Uddrag af: Else Møller Nielsen MATEMATIK EN GRUNDBOG FOR LÆRERSTUDERENDE Forlaget Biofolia 007 3 Geometri 53369_matematik_kap3net_5k.indd 0--006 3:03:34
53369_matematik_kap3net_5k.indd 0--006 3:03:34
Eksperiment, beviser og matematisk teori belyst gennem eksempler fra geometrien Formålet med dette afsnit er først og fremmest at påpege det vigtige i at eksperimentere sig til sammenhænge i faget. Da eksperimenterne imidlertid ikke kan stå alene, men bør afsluttes med en form for argumentation eller ræsonnement (lidt afhængigt af hvilket klassetrin vi taler om), vil vi også se på, hvad der forstås ved matematiske ræsonnementer eller beviser, og hvilken rolle de spiller i undervisningen. Afsluttende vil vi give et indtryk af, hvordan en matematisk teori kan opbygges, og her vil vi tage opbygningen af areallæren for plane figurer som eksempel. Et sådant overordnet emne, der her er på dagsordenen, belyses bedst ved at eksemplificere. Når geometrien er udvalgt for denne eksemplificering, så er det, fordi der her mere end i nogen anden matematisk disciplin er så rige muligheder for at eksperimentere, udvikle kompetencer til matematisk problemløsning og til at udføre ræsonnementer. Geometrien er nok det område, hvor det er lettest at nå nogle af undervisningens mere overordnede mål, bl.a. fordi vi her har så mange redskaber at arbejde med. Geometrien beskriver den fysiske verden. Der er noget, vi kan se, røre ved, tegne, måle og veje. Vi har desuden masser af konkrete materialer at arbejde med såsom plasticbrikker, der repræsenterer de geometriske former, centicubes, sømbrætter, måleinstrumenter, klippe-, klistre- og tegnerekvisitter. Vigtigheden af, at eleverne selv inddrages i opbygningen af matematikken, fremgår helt klart af fagets formål stk.. Heri hedder det bl.a., at eleverne skal erfare, at matematikken både er et redskab til problemløsning og et kreativt fag. Videre står der, at undervisningen skal give dem mulighed for indlevelse og fremme deres fantasi og nysgerrighed. Eleverne skal derfor have lov at bruge deres kreativitet og nysgerrighed til at løse matematiske problemer. De skal i videst mulig omfang opbygge deres egen matematik ved at eksperimentere sig frem til sammenhænge. Dette synspunkt gennemsyrer hele faghæftet. Men der står også i formålet, at analyse og argumentation skal indgå i arbejdet, hvorfor vi også vil se på den rolle, som argumenter, ræsonnementer og egentlige beviser spiller i undervisningen. Begrebet matematisk teori hører ikke hjemme i folkeskolens undervisning, men det medtages her, fordi en lærer må vide noget om sammen- Eksperiment, beviser og matematisk teori 53369_matematik_kap3net_5k.indd 3 0--006 3:03:34
hængen mellem fagets elementer. Om hvordan nye begreber bygges op af tidligere lærte begreber, hvordan nye sætninger udledes af tidligere beviste sætninger i et sammenhængende system, der hedder en matematisk teori. Med areallæren for plane polygoner som eksempel på en aksiomatisk opbygget teori opnår vi foruden at belyse begrebet matematisk teori at indlede geometribeskrivelsen med en grundig indføring i arealbegrebet. Om at eksperimentere i matematikundervisningen Matematiske sammenhænge og sætninger opstår ikke ud af intet, men er et resultat af observationer og ofte utallige eksperimenter, der giver anledning til opstilling af en hypotese om en formodet sammenhæng, og denne hypotese kan så efterprøves med flere eksperimenter. Disse kan enten forkaste hypotesen eller give yderligere næring til troen på den, og evt. kan processen sluttes af med et egentlig bevis. Det er den matematiske forskers arbejdsmetode at eksperimentere, men i lærebøger fremstilles resultatet af forskningen som oftest renset for alle de forsøg og fejlslutninger, der må være gået forud for den flotte lovmæssighed, der udtrykkes i sætningen. Dette er lærebogens dilemma, for heri skal der fortælles om den viden, der er resultatet af årtusinders forskning og kulturarv på området. En mulig vej ud af dette dilemma er dels at opfordre læseren til at stoppe op og tænke med før, under og efter processen med bogens præsentation af de matematiske emner, dels at præsentere passende problemer, som inviterer læseren til selv at gå på opdagelse. Og her er der oplagte muligheder i geometrien. En sætnings indhold er ofte ikke det væsentligste, men vejen frem til den er vigtig, og der er mange veje at gå, hvoraf ingen vej har patent på at være den rigtige. Det er måske de forskellige veje, der især bør være genstand for opmærksomhed. At nå frem til sammenhænge i faget ved at eksperimentere bliver derfor det centrale. Vi skal eksperimentere, fordi det er matematikforskerens arbejdsform. Et barn, der skal lære matematik, er matematikforsker i det små. En matematisk arbejdsmetode med at stille spørgsmål, lede efter sammenhænge, turde gætte, efterprøve gættet, ræsonnere m.m. er vigtig, for at det bliver til elevens egen matematik i modsætning til en matematik, der overtages fra læreren/lærebogen i færdig form. Al pædagogisk forskning tyder på, at en sådan overtagelse ikke umiddelbart er mulig. Elevens egen bearbejdelse i en eller anden form er altid nødvendig for tilegnelsen af nye matematiske emner. GEOMETRI 53369_matematik_kap3net_5k.indd 4 0--006 3:03:34
Der er fortsat en tendens til, at matematik er meget facit- og resultatorienteret. Når man præsenteres for det færdige resultat af den lange proces, som matematikeren helt sikkert har været igennem, så er det, at man som studerende tænker: Det kunne jeg aldrig selv have fundet på. Men man fik måske heller ikke chancen, fordi skolen ikke i tilstrækkelig grad har praktiseret matematikforskerens arbejdsmetode. Hvis problemstillingen ikke præsenteres fra starten af, men mere som et færdigt slutresultatet, så begynder man jo ikke at undres og stille spørgsmål. Hvordan kan vi fremme en eksperimenterende adfærd? Men er det at arbejde eksperimenterende noget, der kan læres? Det er bestemt svært, fordi eleven ofte selv skal både erkende, formulere og løse problemet. Det er noget sværere end blot at forstå og følge tankegangen i en lovmæssighed eller i et bevis præsenteret af andre. Vi vil derfor her se på, om der evt. kan gives anvisninger på farbare veje til at fremme en mere eksperimenterende holdning i arbejdet med faget. Adler siger i sin bog: Vad är dyskalkyli?, at tankeprocessen i matematik især handler om de ting: ) at kunne genkende og ) at kunne finde mønstre. Vi skal lede efter noget, vi kan genkende, noget vi har set før. Adler siger, at genkendeprocessen især er nærværende ved læsning af tekst eller matematiske symboler, hovedregning m.m., hvor en automatiseret proces betyder hurtig genkendelse; men at den også er vigtig i alle typer af problemløsning, hvor vi skal vælge mellem forskellige handlingsmuligheder. Her kan visse alternativer straks udelukkes ved tænkning alene; men før vi kan komme så langt, må vi have opnået en genkendelse. Hvis de tankeprocesser, der berører selve genkendelsen, ikke er tilstrækkeligt effektive, så påvirker det muligheden for at associere på forskellige sammenhænge og mønstre og dermed udviklingen af strategisk tænkning. Det er ikke helt enkelt at svare på, hvad vi i undervisningen kan gøre for at styrke den genkendelse, som Adler mener, er så vigtig, men i hvert fald må det handle om at opbygge situationer, der giver erfaring, så der er noget at genkende, nogle mønstre at associere til. Når eleverne på egen hånd skal løse problemer eller lede efter mønstre og sammenhænge, må de blive gode til at stille spørgsmål af typen: Har jeg set noget lignende før? Er der et system? Gælder denne lovmæssighed Björn Adler (00): Vad är dyskalkyli?, side 57 Eksperiment, beviser og matematisk teori 53369_matematik_kap3net_5k.indd 5 0--006 3:03:34
generelt eller er dette et specialtilfælde? Hvad nu hvis jeg ændrer på dette eller hint? Ofte kan det være en stor hjælp at lave en tegning eller måske forenkle problemet ved fx at se på simplere taleksempler. Det er klart, at ikke alle har samme evner og lyst til at gå i kast med at eksperimentere. Nogle skal hjælpes, somme tider måske ligefrem skubbes i gang, men de kan alle blive dygtigere. Det er også klart, at ingen bliver god til at eksperimentere uden at prøve det. De kan blive dygtigere til: At turde gætte på forskellige muligheder og prøve af, om de gælder. At afgrænse problemet. Eleverne kan selv være med til at bestemme, hvilke løsninger de vil tage med. Her tænkes på, at fx i symmetriforhold kan det være svært at afgøre, om løsninger er ens, hvis de ved en spejling kan bringes til at dække hinanden. At systematisere. I matematik må man arbejde systematisk. Det er især vigtigt i spørgsmål, der handler om, på hvor mange måder noget kan gøres. At opbygge et system at gå efter er bydende nødvendigt. At kategorisere eller sortere efter principper, de selv er med til at sætte. At finde metoder til at afgøre, om alle løsninger er med, og på den anden side sikre sig, at ingen løsninger er talt med mere end én gang. Dette punkt har sammenhæng med at systematisere. At stille spørgsmålet: Hvad nu hvis, vi ændrer betingelserne, gælder det så mon også? At turde eksperimentere er central i mange andre forhold, men især inden for IT. Det er som om drenge på dette område er modigere end piger. De tænker mere: Hvis noget ikke lykkes, så prøver vi blot noget andet, og det er jo netop den kreative tænkning, der bærer frugt i IT og også i matematik. Det handler om at opbygge gode tankestrategier. For læreren er det vigtigt at få viden om, hvordan eleven tænker, hvis hun skal have mulighed for at hjælpe eleven med denne opbygning af strategier til bearbejdelse og løsning af problemer. Og denne viden kan hun kun få gennem samtale med eleven eller med grupper af elever. Samtaler om, hvad problemet er, og hvor forskellige løsninger diskuteres, giver netop muligheden for at diskutere strategier omkring systematisering m.m. Det sker, at eleven spørger, om det overhovedet er matematik at lede efter mønstre. Skulle vi ikke hellere lære regler og systemer? Hvis man skal kunne svare på, om det er matematik, må man vide, hvad matematik er, og det er bestemt ikke noget, man meget kort kan give et svar på, for matematik er så meget. Men matematik er i hvert fald ikke bare et sæt af regler. Det er ikke bare viden om regnemetoder og beregningsprincipper. Det er ikke GEOMETRI 53369_matematik_kap3net_5k.indd 6 0--006 3:03:34
bare kundskaber om fx geometriske grundbegreber som trekant, cirkel, parallelogram og den rette linjes ligning for blot at nævne noget. Det er det også. Men der er så meget mere, der måske er nok så vigtig. Det handler måske mere om hvordan? Hvordan lærer man matematik? Hvordan undervises der i faget? Hvordan tænker man matematik? Hvordan arbejder man med problemløsning? Herved bliver fagets arbejdsmetoder centrale, og som før nævnt kan dette i perioder være vigtigere end selve de matematiske emner. Man siger da, at processen er vigtigere end produktet. Eleven skal have mulighed for at udvikle egne metoder. Det kræver tillid til egne evner til at løse problemer, og netop tilliden er væsentlig. Den får man, ved at det lykkes. Men somme tider vil det jo mislykkes, og så gælder det om sammen med andre at få analyseret, hvad der gik galt. Få det vendt til en god proces, der kan medføre udvikling. At der tænkes forkert giver et godt afsæt for diskussion, hvorigennem mulige misforståelser kan afdækkes. Hvis vi altid kun får forelagt de rigtige løsninger og måske helst lærerens løsning, bliver der ikke så mange nuancer i diskussionen, og matematikken bliver mere ensrettet: ét rigtigt facit, én rigtig metode. Det induktive ræsonnement Noget af det, der karakteriserer en eksperimenterende (også kaldet induktiv) proces, er, at man ud fra observationer og enkelteksperimenter opstiller en hypotese om en generel regel. Hvis reglen gælder for de første mange tilfælde, man prøver, så plejer den at gælde generelt. I folkeskolen er man ofte tilfreds med et induktivt ræsonnement, hvor man udleder noget generelt ud fra observationer af enkelttilfælde. Men det kan gå galt, fordi man måske i de næste forsøg, som man undlader at foretage, ville erfare, at reglen ikke passer. Derfor er det nødvendigt at slutte processen af med et ræsonnement eller et bevis. I de mindre klasser er et sådant ikke muligt, og her har hverken eleverne eller læreren behov for et bevis; det induktive ræsonnement giver på dette trin fuld tilfredshed. Et klassisk eksempel på, at man skal passe på med et induktivt ræsonnement, har vi i nedenstående problemstilling, hvor man vil undersøge, om der er sammenhæng mellem antallet af punkter på cirkelperiferien og det antal områder, som cirklen bliver opdelt i, når samtlige linjestykker (korder), der forbinder punkterne, trækkes. Da der ønskes det maksimale antal områder, må man kræve, at ikke 3 linjestykker går gennem samme punkt. Eksperiment, beviser og matematisk teori 53369_matematik_kap3net_5k.indd 7 0--006 3:03:34
punkt punkter område områder 3 punkter 4 områder 4 punkter 8 områder 5 punkter 6 områder Tør du gætte på, hvor mange områder, der er med 6 punkter eller med 7 punkter? Tjek dit gæt. Eksperimenterne skal efterbearbejdes I det foregående er det vigtige i at eksperimentere fremhævet, men det bør nævnes, at eksperimenterne ikke udføres blot for legens og eksperimenternes skyld alene, men for at vigtige sammenhænge kan opdages, afdækkes og erkendes. For at det kan ske, kræves der en form for samlet bearbejdelse af, hvad der kan uddrages af eksperimentet. Sker dette ikke, kommer resultaterne let til at stå som tilfældige spots uden indbyrdes sammenhæng, og over tid vil de blive glemt. Aktiviteter omkring eksperimenter i geometri Her præsenteres nu nogle eksempler på geometriske eksperimenter, som læserne opfordres til at gå i kast med, gerne i et samarbejde med andre. Diskussionen omkring resultaterne er måske det vigtigste. En del af dem kræver meget arbejde. Det er også sådan, at de resultater, man når frem til, varierer fra at være vigtige, matematiske sammenhænge til at være sjove, men mere tilfældige resultater. Det betyder, at der af og til fokuseres på processen, mens såvel produkt som proces i andre tilfælde er vigtige resultater. A. Inddeling af et kvadrat i lige store flader Undersøg forskellige måder at dele et 4 4 -sømbræt (eller evt. et større kvadrat) i lige store flader (figurer) på. Det er klart, at vi her tænker på, at de flader er lige store, når de har samme areal. Man løber hurtigt ind i at skulle afgrænse problemet m.m. Kan man sige noget om, hvor mange løsninger, der findes? GEOMETRI 53369_matematik_kap3net_5k.indd 8 0--006 3:03:34
A. Ligebenede trekanter Undersøg, hvor mange ligebenede trekanter, der kan tegnes på et 4 4 -sømbræt. Her skal der nok også ske en afgrænsning af problemet. Hvordan forholder det sig med ligesidede trekanter på et sømbræt? A3. Figurer lavet af 5 kvadrater Lav alle de figurer, som 5 kvadrater kan danne. De skal være sammenhængende, dvs. kvadraterne skal have mindst én side fælles. Figurerne kaldes pentominoer (femlinger). Man kan evt. lave figurerne med centicubes eller tegne dem, og bagefter klippe dem ud. Hvor mange forskellige kan du lave? Hvordan vil du afgøre, om du har alle løsningerne med? Når du har dem alle (her tælles symmetriske figurer for én figur), kan du samle dem, så de danner et rektangel. Det sidste spørgsmål hører til den type, der kan være drilske og tidkrævende. Det er en individuel afgørelse, om man vil bruge den fornødne tid. Det er ikke her, du finder en vigtig matematisk sammenhæng. A4. Puslespil Der findes en masse puslespil, hvor man har mulighed for at bruge sin fantasi og forestillingsevne. Det er mere det frie eksperiment end ræsonnementet, der skal bruges her. Alle kan være med; man skal blot prøve sig frem. I medgift får man noget sans for geometriske former, symmetriforhold og vel også indsigt i, at meget forskellige figurer kan have samme areal. Her er valgt et gammelt kinesisk puslespil (fig. ), men også de mere kendte kinesiske tangramklodser (fig. ) giver rige muligheder for at forme geometriske figurer og arbejde med symmetri. Du kan evt. selv konstruere kvadratet i fig. nedenfor, idet det er givet, at ABCD er et kvadrat, ligesom den midterste figur også er et kvadrat. Desuden gælder, at M og N er midtpunkter af kvadratsiderne. Klip derefter brikkerne i kvadratet ud og saml dem, så de danner hver af følgende figurer (alle brikker medgår til hver figur): ) et kors, ) en trekant, 3) et parallelogram, 4) et rektangel eller 5) en firkant med netop én ret vinkel. Eksperiment, beviser og matematisk teori 53369_matematik_kap3net_5k.indd 9 0--006 3:03:35
B C M N A fig. Kinesisk puslespil. D fig. Tangrambrikker. A5. Det maksimale antal rette vinkler i en n-kant I en trekant kan man højst have én ret vinkel. I en firkant kan man have hele fire. Men hvor mange rette vinkler er det muligt at få i en 5 kant, en 6 kant, en 7 kant,? Man skal nok her tillade ikke-konvekse figurer (i ikke-konvekse figurer vil der findes sider, hvis forlængelse går ind i det område, figuren afgrænser). A6. Fliselægning Havefliser har i dag ofte flotte geometriske former modsat tidligere, hvor man fortrinsvis benyttede sig af kvadrater eller rektangler. Hvis vi definerer, at en geometrisk figur kan bruges til fliselægning, når den kan dække planen uden mellemrum ( huller ), mens man ser bort fra, om randen er pæn eller ej, så er spørgsmålet: ) ) 3) 4) Kan alle former for trekanter bruges som fliser? Det er klart, at man kan bruge kvadrater og rektangler som fliser, men hvad med en vilkårlig firkant? Hvad med regulære 5 kanter (i regulære figurer er alle sider og vinkler lige store)? Hvad med regulære sekskanter, syvkanter eller ottekanter? I denne opgave er der tale om relativt vigtige sammenhænge. 0 GEOMETRI 53369_matematik_kap3net_5k.indd 0 0--006 3:03:35
A7. Pick s sætning Antal kantsøm: K Antal indre søm: I Areal 8 4 4 6 9 4 Man får at vide, at for figurer, der kan laves på et sømbræt, findes der en sammenhæng mellem på den ene side figurens areal og på den anden side antallet K af søm langs figurens kant (søm langs elastikken) og antallet I af indre søm (søm inden for elastikken). Med andre ord: Hvis jeg kender K og I, så kan jeg beregne figurens areal ud fra disse tal, idet der findes en formel for arealet, hvori K og I indgår. Formlen kaldes Pick s sætning. Dette er et klassisk eksempel på et eksperiment. Man skal selv finde sammenhængen her en formel. Dvs. man er selv forsker. Hvor mange figurer, man er nødt til at tegne, før formlen er der, er individuelt eller måske et spørgsmål om held. Men den formel, man finder frem til, kan bruges, bl.a. til arealberegning af geometriske figurer tegnet i et koordinatsystem, hvor vinkelspidserne har hele tal som koordinater. A8. Kvadrater på sømbræt Man ønsker på et sømbræt at indkredse et kvadrat, der har et helt tal som areal. For hvilke hele tal mellem og 0 er dette muligt? Resultatet af denne opgave er heller ikke uvæsentlig. Eksperiment, beviser og matematisk teori 53369_matematik_kap3net_5k.indd 0--006 3:03:35
Om ræsonnementer og beviser En matematisk sætning er hypotetisk opbygget af et: hvis p så q, hvor p og q er udsagn (påstande). Sætningen kan også udtrykkes ved implikationen: p q. Udsagnet p kaldes implikationens forsætning, og q er eftersætningen. I den følgende beskrivelse af opbygningen af areallæren vil vi opleve en række geometriske eksempler på egentlige beviser og også på mindre ræsonnementer, der måske mere har karakter af en argumentation (forklaring). For at illustrere den mere overordnede tankegang i et matematisk bevis er her valgt et eksempel på en sætning med et geometrisk indhold, som vi (ud fra bogens fremstilling) endnu ikke er i stand til at bevise: Hvis en firkant kan indskrives i en cirkel, så er summen af de modstående vinkler lig med 80. Et bevis for en sætning går ud på, at vi forudsætter, antager, hypotetisk forestiller os, at forsætningen er sand. Under den forudsætning kan vi så gennem et ræsonnement bevise, konkludere, at også eftersætningen er sand. Udsagnet i forsætningen: firkanten kan indskrives i en cirkel behøver ikke at være sand, men hvis den er, så er ræsonnementet en garanti for, at der også må gælde: summen af de modstående vinkler er 80. Det betyder heller ikke, at summen af de modstående vinkler er 80 i enhver firkant. Hvis vi har bevist sætningen, så er der alene argumenteret for, at det gælder, når firkanten er indskrevet i en cirkel. I det følgende vil vi opbygge den viden, der gør, at ræsonnementet for netop denne sætning kan gennemføres. Det kræver nemlig som oftest viden om specifikke matematiske forhold (her om vinkler ved cirklen) at kunne gennemføre et matematisk ræsonnement. Ræsonnementet her bygger som ræsonnementer sædvanligvis gør på påstande (sætninger), der tidligere er bevist. Et eksempel på en falsk påstand har vi i: Hvis vinklerne i forskellige figurer (polygoner) er parvis lige store, så er de figurer ligedannede (dvs. den ene figur er en forstørrelse af den anden). Hvis vi sammenligner et rektangel (her tænkes på et rektangel, hvor der er forskel på længde og bredde) med et kvadrat, så er vinklerne i de figurer parvis lige store, men det er jo klart, at de ikke er ligedannede. Det er altså muligt at finde eksempler på, at forsætningen er sand, samtidig med GEOMETRI 53369_matematik_kap3net_5k.indd 0--006 3:03:35
at eftersætningen er falsk. Vi kan således ikke slutte eftersætningen ud fra forsætningen. Her er der også gennemført et ræsonnement, men denne gang for at sætningen er falsk. Den udtrykker ikke en generel egenskab. At finde modeksempler er en udbredt metode til at påvise, at en påstand ikke holder. Ét modeksempel er nok til, at sætningen må falde. I kapitlet om tal har vi set eksempler på andre typer af beviser. Det indirekte bevis blev fx brugt til at bevise, at der findes uendelig mange primtal. Induktionsbeviser blev brugt i tilfælde, hvor man skulle vise, at en bestemt sammenhæng gælder for alle naturlige tal. I den følgende opbygning af areallæren vil der være en række eksempler på direkte beviser. Ræsonnementer og bevisers rolle i undervisningen Beviser har ikke længere en fremtrædende rolle i folkeskolens undervisning. De er nok kommet lidt i miskredit, fordi der har været en tendens til, at lærebogens bevis blev lært udenad, hvilket synes meningsløst. Men det er vanskeligt at forestille sig en matematikundervisning, hvor argumentation og ræsonnementer ikke spilder en væsentlig rolle, hvad de da heldigvis også fortsat gør. Ræsonnementet er forklaringen på sammenhængen, og den kan man dårligt undlade at give, hvis man vil bygge på, at læring skal ske gennem forståelse. Der er alt for meget, der blot skal huskes, hvis man ikke bygger på den indsigt og forståelse, der kommer af, at man har fået, eller allerbedst selv har tænkt sig til, en forklaring. Hvis man har erfaret en sammenhæng ved at have ræsonneret sig til den, så behøver man ikke at bruge kræfter på at huske, for man ved jo, at man nok igen vil kunne tænke sig frem til den. Det er uhyre vigtigt, at eleverne bringes i situationer, hvor de kan udfordres og evt. i dialog med læreren eller andre elever gennemføre kortere rækker af ræsonnementer. Det er vigtigt, at de kan gennemskue holdbarheden af et matematisk argument. Det er vigtigt, at de kan skelne mellem intuitive eller empiriske opfattelser af fænomener og matematiske beviser for disse fænomener, fordi de ellers let opbygger en forestilling om, at det er nok, at det ser ud til at være sådan; eksempelvis kan man da se, at diagonalerne i et parallelogram halverer hinanden. Hvorfor skal det bevises? Det skal det, fordi vi først kan være sikre på, at en påstand holder, når vi har kunnet føre et ræsonnement eller bevis for den. Det kan jo være, at vi ikke har været grundige nok i vort arbejde. Måske vil vi ved fortsatte undersøgelser kunne finde netop det eksempel, der gør, at påstanden må falde. Den matematiske metode består langt hen ad vejen i at bevise. Det giver Eksperiment, beviser og matematisk teori 3 53369_matematik_kap3net_5k.indd 3 0--006 3:03:35
matematikken et præg af eksakthed og præcision. Her er det ikke nok at tro og mene, i matematik kræver vi og kan vi give et bevis. I skolens undervisning er det selvfølgelig nødvendigt at bløde op på det stringente og give faget et mere menneskeligt ansigt med plads til intuitionen og det induktive ræsonnement, men det bør gøres uden helt at sælge ud af det, der er det bærende i faget at gennemføre matematiske ræsonnementer. Symmetri, regulære polygoner og det gyldne snit Symmetriforhold og regelmæssighed er bærende begreber i geometri. De regulære polygoner, hvor alle sider og alle vinkler er lige store, er de flotteste former, fordi vi her opnår det maksimale antal symmetriakser. Det ser ud til, at der er lige så mange symmetriakser, som der er sider i polygonen. Prøv at argumentere for dette. De regulære polygoner kan tegnes ind i en cirkel, hvori siderne bliver korder. Hvis man sætter radius i cirklen til, vil man kunne beregne længden af korderne om ikke på anden måde så ved at anvende trigonometri. Men hertil har man brug for at kende størrelsen af vinklerne. Vi vil derfor se på, hvordan man kan beregne vinkelsummen i en n-kant og specielt vinklernes størrelse i den regulære n-kant. Vinklerne i en n-kant Når man tegner alle diagonalerne fra én af vinkelspidserne, bliver den konvekse n-kant inddelt i et antal trekanter, i alt n trekanter. Man kan fx argumentere med, at der fra en vinkelspids kan tegnes n 3 diagonaler (det gælder dog kun i en konveks polygon), og da disse udgør skillelinjer mellem trekanterne, må der være en trekant mere end antallet af diagonaler, dvs. 4 GEOMETRI 53369_matematik_kap3net_5k.indd 4 0--006 3:03:36
n trekanter. Vi ved, at trekantens vinkelsum er 80. Da hver eneste af trekantvinklerne indgår som dele af polygonvinklerne, og da de tilsammen udgør summen af n-kantens vinkler, så får vi resultatet: Vinkelsummen af en n-kant er (n ) 80. B C C B A D G D O A E F E H F G Argumentet for formlen kan også føres ved at vælge et punkt O inde i n-kanten og så tegne linjer til vinkelspidserne. Man får på denne måde n trekanter. Men summen af vinklerne inde ved O hører ikke med til n-kantens vinkelspidser. Derfor får vi nu en vinkelsum i n-kanten på: n 80 360 = n 80 80 = (n ) 80 Den viste formel for vinkelsummen gælder for såvel regulære som ikkeregulære polygoner, men hvis det er en regulær n-kant, så kan vi beregne vinklen: I en regulær n- kant er vinklen lig med (n ) 80 n Konstruktion af regulære n-kanter Grækerne kendte til at konstruere regulære 3, 4, 5, og 6 kanter ved hjælp af passer og lineal. Gauss (tysk matematiker; 777 855) opdagede, at det var muligt at konstruere en regulær 7-kant. En regulær 7-kant kan derimod ikke konstrueres. Hvis vi holder os til n 0, så er det muligt at konstruere regulære n-kanter for n lig med 3, 4, 5, 6, 8, 0,, 5, 6, 7 og 0. Hvis vi tænker de regulære polygoner lagt ind i en cirkel, kan problematikken i nogle tilfælde omformes til, om det er muligt at konstruere centervinklen på 360 ο n. Symmetri, regulære polygoner og det gyldne snit 5 53369_matematik_kap3net_5k.indd 5 0--006 3:03:36
Her vil vi se på et par af konstruktionerne. Det vil være en god øvelse at udføre konstruktionerne på computeren, fx med programmet GeoMeter eller lignende programmer. Ligesidet trekant, kvadrat, regulær 8 kant og regulær 6 kant En ligesidet trekant og et kvadrat giver næsten sig selv. Den regulære 8 kant fås ved halvering af centervinklerne, når kvadratet er tegnet ind i en cirkel, og ved fortsat halvering fås den regulære 6 kant. Regulær femkant Denne konstruktion hører ikke til de mest oplagte. Først tegnes en cirkel (se fig. ). Midtpunktet M af radius OB konstrueres. Med M som centrum og MC som radius er tegnet en cirkelbue, der skærer diameteren AB i punktet D. Med C som centrum og CD som radius er tegnet en ny cirkelbue, der skærer den oprindelige cirkel i punktet E. Med korden CE i passeren afsættes nu punkter hele vejen rundt langs periferien. Det lader sig gøre netop 5 gange, så det ser ud til, at korden CE har den længde, der skal til for at indtegne en regulær femkant i cirklen. Det er lidt vanskeligt at bevise, at det forholder sig sådan. Hvis du har lyst, så er der skitseret en metode i teksten til tegningerne. Ideen er, at man i fig. beregner sidelængden CE ud fra viden om den konstruktion, man har udført, hvorimod man i fig. har som forudsætning, at det er en regulær 5-kant. Når det er givet, bliver O Q R en gylden trekant med vinklerne 7, 7 og 36 (se afsnittet om det gyldne snit), og herudfra kan man så beregne femkantens længde. Da man får den samme længde ved de beregninger, er konstruktionen i orden. C E A D r= 5- O 5 M B O T Q S R fig. Konstruktion af den regulære femkant. M er midtpunkt af OB. Bue CD har centrum i M og radius MC. Bue ED har centrum i C og radius CD. CD kan beregnes af den retvinklede CDO. fig. OQR er en gylden trekant, og derfor er QR = 5-. OS kan beregnes. Da der gælder: QT = OS QR, kan QT beregnes, og femkantens sidelængde er det dobbelte af denne. 6 GEOMETRI 53369_matematik_kap3net_5k.indd 6 0--006 3:03:37
Regulær 0 kant, 6 kant, kant, 5 kant og 7 kant Den regulære 0 kant kan fås ved halvering af centervinklen for den regulære femkant. Den regulære sekskant får vi ved med radius i passeren at afsætte punkter på cirkelperiferien, hvorved vi, som nævnt tidligere, kan nå rundt netop 6 gange. Korden, hvis længde er lig radius, vil være side i den regulære 6 kant. Denne sekskant er meget brugt i praksis, fordi man, hvis man har flere af dem, kan bruge den til overdækning af en flade, hvilket bierne også har fundet ud af. Ved halvering af centervinklen i 6 kanten kan man få en regulær kant. Den regulære 5 kant er noget mere indviklet, men centervinklen må være: 360 5 = 4 og 4 = 5 + 9. Her kan 5 fås ved fortsat halvering af 60. 9 kan fås ved fortsat halvering af de 36, som er centervinklen ved 0 kanten. 5 kanten kan altså konstrueres. Den regulære 7 kant er det bedst, at vi afstår fra at beskrive; men der er nok ingen grund til at betvivle, at Gauss har ret i, at den kan konstrueres (selv om forfatteren ikke kan). Aktiviteter omkring symmetri, klip og foldning Symmetri er et meget vigtigt begreb i geometriundervisningen. I mange geometriske former, i arbejdstegningen, i konstruktion af mønstre er opmærksomheden omkring symmetriforhold helt central. Vores verden er i høj grad opbygget af regelmæssighed og symmetri, med mindre man bevidst har forsøgt at undgå det symmetriske. Der arbejdes med symmetri i hele skoleforløbet, og det er nemt at finde opgaver på alle niveauer. Det er fx naturligt at arbejde med at folde og efterfølgende klippe i et stykke papir. Det kan være klipning af gækkebreve, der ved udfoldning er blevet til flotte regelmæssige figurer, hvor foldelinjerne nu er symmetriakser. Disse oplevelser er selvfølgelig uundværlige byggesten i forståelsen af symmetriforhold. En del af aktiviteterne her handler derfor om foldning efterfulgt af klip. A. A4 papiret Det er almindelig kendt, at stykker A4 papir giver et A3 format, mens der omvendt går stykker A5 til et A4. A4 er den mest brugte dimension. Det største af papirformaterne hedder A0. Symmetri, regulære polygoner og det gyldne snit 7 53369_matematik_kap3net_5k.indd 7 0--006 3:03:37
Dette rejser nogle interessante spørgsmål: ) Hvor mange A4 stykker går der på A0? ) Prøv at beregne dimensionerne af A0 og arealet af A0. 3) De forskellige papirformater er ligedannede rektangler. Hvad fortæller det om forholdet mellem den længste og den korteste side i arkene? 4) Lav en tegning (bestem selv målestoksforhold), der viser, hvordan A0 kan dækkes af netop ét af hvert format: A, A, A3, A4 og stykker af A5 format. 5) Vi ser på det kvadrat, hvis side er lig med A4 papirets korte side. Sammenlign længden af diagonalen i dette kvadrat med A4-formatets længste side. Begrund resultatet af målingen. A. Fold og klip regulære figurer Vi har i det foregående set på ofte besværlige konstruktioner af regulære polygoner, men når disse figurer har så mange symmetriakser, kan man måske komme lettere til dem ved foldning og efterfølgende klip. Undersøg, hvilke regulære polygoner, man i princippet kan frembringe ved at folde et antal gange og efterfølgende klippe (foldekant skal hver gang følge foldekant). Rent fysisk er det dog kun muligt at foretage et begrænset antal foldninger. A3. Fold og klip et kvadrat og en ligesidet trekant Det er almindelig kendt, hvordan man af et rektangel udklipper det størst mulige kvadrat. Se tegning fig.. Det er lidt vanskeligere at folde og klippe en ligesidet trekant. Først foldes omkring den lodrette midterfold (fig. ), fold ud igen. A4 papirets korte side skal være trekantsiden. Punktet B er bestemt som billedet af A ved en foldning om en sådan linje CD, således at A kommer til at ligge på midterfolden. Fold ud igen, tegn linjerne AB og BC og klip langs disse. Fig. 3 viser konstruktionen af en lidt større ligesidet trekant CDF, hvor punktet D er fundet på samme måde som i fig.. Herefter er punktet F fundet som billedet af C ved foldning om den vandrette linje DE. ) ) Gør rede for, at de udklippede trekanter begge er ligesidede trekanter. Hvorfor mon den ligesidede trekant er så relativt vanskelig at folde, og hvorfor kan den ikke indkredses på et sømbræt? 8 GEOMETRI 53369_matematik_kap3net_5k.indd 8 0--006 3:03:38
B klip her C midterfold B = A' midterfold B F foldelinie D D fold E A fig. Fold så AD dækker AB. ABCD er et kvadrat. D foldelinie A C fig. Fold om en sådan linie CD,at A når op til midterfolden. ABC er en ligesidet trekant. A fig. 3 Som i fig., men der foldes yderligere om DE. CDF er en ligesidet trekant. C A4. Den regulære femkant Når man binder en knude på en strimmel papir, får man noget, der meget ligner en regulær femkant (se fig. ). Det er også muligt ved hjælp af A4 papiret at folde en figur, der kommer tæt på at være en regulær 5 kant. Den passer dog ikke helt. Et A4 papir foldes om den foldelinje, der fremkommer ved at lade et hjørne dække det diametralt modsatte hjørne (fig. ). Fold nu langs midtnormalen (dvs. langs linjen AD) for denne foldelinje. Du har nu en 4 kant ABCD (fig. 3). Fold ud igen. Herefter foldes så siderne BC og FE lægges ind til foldelinjen AD og flugter med denne. Papirets form er nu en næsten perfekt femkant. A B A B= F A C C= E B= F C= E D D D fig. F fig. fig. 3 E fig. 4 Der er ikke matematik i opgaven med at folde femkanten ud over den symmetribetragtning, der altid er, når man folder om en linje, men fordi femkanten er lidt besværlig at få frem, er den måske alligevel interessant. A5. Fold og klip I denne opgave er der derimod meget matematik, bl.a. forståelsen af geometriske former, problemløsning m.m. Det centrale i opgaven er, at en foldelinje bliver til en symmetriakse i den færdige figur. Vi ser på følgende tilfælde: Symmetri, regulære polygoner og det gyldne snit 9 53369_matematik_kap3net_5k.indd 9 0--006 3:03:38
) Netop klip er tilladt, og der foldes netop én gang om en foldelinje. Vi vil betragte det udklippede hul som den geometriske figur. Hvilke geometriske polygoner kan du klippe ud efter dette princip? Er det muligt at klippe, så hullet bliver: a) et kvadrat, b) en ligebenet trekant, c) en ligesidet trekant eller d) en trekant med 3 forskellige sider. ) Netop ét klip. Der foldes gange ved foldehjørnet (fig. ). Drage Rektangel Vinge Kvadrat klip Foldehjørne Ligebenet trekant Ligesidet trekant Rombe fig. fig. Det er normalt at folde, så kant følger kant, når man folder. gang. Den begrænsning vil vi ikke have her (se fig. ). Hvilke af figurerne i fig. er det muligt at frembringe ved ét klip om foldehjørnet? Det vil være naturligt at eksperimentere sig frem. Man opdager, at vinklerne ved foldningen og ved det efterfølgende klip ikke er uvæsentlige faktorer. Det gyldne rektangel, den gyldne trekant og det gyldne snit Rektangler kan have forskellige dimensioner og formater. Vi har set på A4 formatet som eksempel på et meget anvendt format. Historisk har imidlertid det gyldne rektangel spillet en betydelig rolle, fordi det har nogle dimensioner, der åbenbart opfattes som særlig harmoniske. I antikkens bygning, ja selv i de egyptiske pyramider finder man mange eksempler på det særlige forhold mellem dette rektangels dimensioner. Men lad os starte med at definere et gyldent rektangel, som et rektangel med følgende egenskab: Hvis man fra det gyldne rektangel fjerner et kvadrat, hvis side er lig med rektanglets korte side, så bliver det tiloversblevne et rektangel, der er ligedannet med det oprindelige rektangel. 0 GEOMETRI 53369_matematik_kap3net_5k.indd 0 0--006 3:03:38
Vi går ud fra, at ABEF er et gyldent rektangel, og hermed følger det af definitionen, at ABEF og CEFD (se fig. ) er ligedannede, og vi kan opstille forholdet mellem siderne og nå til følgende udregninger: x = x ( x ) = x x = 0 x ± 5 x=,68034 (6 dec. Kun den positive løsning kan bruges) x B C x- E B C E 5 A D fig. Det gyldne rektangel ABEF med sidelængder og x. CEFD er et gyldent rektangel med sidelængder x - og. F A M D F fig. Konstruktion af det gyldne rektangel. MC kan beregnes af Pythagoras. MC = MF = radius for bue CF med centrum i M. Konstruktion af et gyldent rektangel er vist i fig.. Man starter med at tegne kvadratet ABCD med siden. M er midtpunkt af AD. Med M som centrum og MC som radius tegnes en cirkelbue, der skærer forlængelsen af AD i punktet F. I trekant MCD kan siderne beregnes ved brug af Pythagoras, og man får de på tegningen angivne tal. ABEF er et gyldent rektangel, da: 5 + 5 AF = AM + MF = + = =,68034 (6 dec.). Den gyldne trekant Der findes også en gylden trekant. Det er en ligebenet trekant med vinklerne 7, 7 og 36 (se fig. 3). Der gælder nemlig det specielle, at tegnes vinkelhalveringslinjen til fx vinkel A, vil vi få ligebenede trekanter CAD og BDA, og desuden er CAD ligedannet med den oprindelige trekant, idet også denne trekant har vinklerne 7, 7 og 36. Sættes grundlinjen AC til og AB = BC = x, så kan vi slutte, at AC = AD = BD = (ligebenede trekanter) og DC = x. Da ABC CAD, er de ensliggende sider proportionale, og stiller vi forholdene op, opnår vi helt samme ligning som ovenfor ved det gyldne rektangel, + 5 hvilket betyder, at x =. Symmetri, regulære polygoner og det gyldne snit 53369_matematik_kap3net_5k.indd 0--006 3:03:40
fig. 3 ABC og CAD er begge gyldne trekanter, idet er AD er vinkelhalveringslinje. CAD og BDA er begge ligebenede trekanter, og dermed har AC, AD og BD samme længde på. 36 For de ensvinklede trekanter ABC og CAD kan vi opstille forhold, der bliver helt som for det gyldne rektangel. + 5 x Derfor bliver x =. D - + 5. 7 Hvis vi stedet havde valgt AB =, bliver AC = x- 36 7 36 C B A Det tal, vi her har fået for forholdet mellem siderne i det gyldne rektangel og den gyldne trekant, kaldes det gyldne snits forhold og betegnes som regel med det græske bogstav ϕ. Vi har også mødt tallet i forbindelse med Fibonaccitallene, hvor vi beviste, at grænseværdien for forholdet mellem et tal og dets foregående tal i rækken netop var ϕ. For ϕ gælder det specielle: = ϕ = ϕ = 0,68034 (6 dec.) ϕ- ϕ,68034 Det gyldne snit for linjestykker Men det gyldne snit har flere betydninger, idet det også er en måde at dele et linjestykke op på. Punktet C deler linjestykket AB i det gyldne snits forhold AB AC =, hvor AC > CB AC CB Eller udtrykt mindre formelt: Forholdet mellem hele linjestykket og det længste delestykke er lig med forholdet mellem det længste og det korteste af delestykkerne. I fig. 4 deler punktet C linjestykket AB i det gyldne snits forhold. Sætter vi AB = x og AC =, så får vi ved at bruge ovenstående definition præcis samme ligning som ved det gyldne rektangel, og vi kan konkludere, at C deler linjestykket i forholdet: GEOMETRI 53369_matematik_kap3net_5k.indd 0--006 3:03:4
AB AC + 5 = = AC CB. D A C x x - B A 5 - F C B fig. 4 C deler AB i det gyldne snits forhold. Hvis vi sætter AB til x og AC til, får vi x =,68034, men bytter vi om, så AB er og AC er x, får vi x = 0,68034 (6 dec.). fig. 5 Konstruktion af punktet C, der deler AB i det gyldne snits forhold. I B oprejses den vinkelrette og D konstrueres, så BD = ½ AB. Det fremgår af tegningen, hvordan buerne FB og FC er konstrueret. Sætter vi i stedet AB = og AC = x, bliver BC = x, og vi får udregningen: x ± 5 = = + = = = x x (x skal være større end 0). x x x x 0 x 0,68034. I fig. 5 er vist en konstruktion af det punkt C, der deler linjestykket i det gyldne snits forhold. I punktet B oprejses den vinkelrette, og linjestykket BD afsættes, så BD = ½ AB. Punkterne A og D forbindes med en ret linje. Med D som centrum og DB som radius tegnes en bue. Denne skærer AD i punktet F. Med A som centrum og AF som radius tegnes en cirkelbue, der skærer AB i punktet C. Påstanden er, at C deler AB i det gyldne snits forhold. Vi får: Sættes AB =, så er BD =. Af Pythagoras følger: 5 AD = Da DF = DB =, er 5 5 AC = AF = =, som jo netop er det gyldne snits forhold, når AB sættes til. Kunstnere tager ofte hensyn til det gyldne snit i deres arbejde. De punkter, som billedets længde deles i ved det gyldne snit, bestemmes, og ligeledes de tilsvarende punkter for billedets højde. Der trækkes nu henholdsvis lodrette Symmetri, regulære polygoner og det gyldne snit 3 53369_matematik_kap3net_5k.indd 3 0--006 3:03:4
og vandrette linjer gennem punkterne. Linjernes skæringspunkter regnes for særlig vigtige punkter, hvor centrale ting anbringes. Det gyldne snit (punktet C) kan i praksis bestemmes ved, at CB udgør ca. 38% ( (00 6,8034)% ) af hele linjestykket. Femstjernen og det gyldne snit Pentagon kendes nok bedst som navnet for USA s forsvarsministerium. Denne bygning har form som en regulær femkant, og en sådan har netop fra gammel tid heddet en pentagon, idet penta står for 5. Hvis vi forlænger siderne i en pentagon til skæring, får vi en femstjerne, der kaldes et pentagram. Det viser sig, at det gyldne snits forhold er at finde overalt i denne, og det har gjort, at femstjernen betragtes som særlig smuk og harmonisk. Det er vel grunden til, at flere lande (bl.a. USA) har den med i deres flag. Uendelighedsbegrebet er også repræsenteret i pentagrammet. Hvis vi trækker linjer mellem femstjernens spidser, får vi igen en pentagon, hvis sider kan forlænges til et nyt pentagram (fig. ). G F H B x x C A x x D x E J I fig. Pentagrammet. Når BD tegnes får man BGD AGI, og x kan beregnes til 0, 68034.. fig. Der kan tegnes femstjerner inden i og uden om i en uendelighed. Vi kan vise, at fx diagonalen GI i den store femkant (se fig. ) af punktet D bliver delt i det gyldne snits forhold, og at punktet B deler linjestykket GA i det samme forhold. Det handler igen om at opstille forholdene mellem ligedannede trekanter: BGD og AGI. Herudfra kan x beregnes til + 5 0,68034 og dermed fx GA,68034. På grund af symmetri gælder det samme for alle de andre diagonaler. 4 GEOMETRI 53369_matematik_kap3net_5k.indd 4 0--006 3:03:4
Der er også flere gyldne trekanter i pentagrammet. Spidserne i femstjernen fx BGC er gyldne trekanter, og det samme gælder for de lidt større trekanter som fx JGI. Vinklerne i disse trekanter er 7, 7 og 36. Da det gyldne snit er forbundet med særlig harmoniske forhold, har designere, arkitekter m.m. bevidst eller ubevidst siden tidernes morgen taget hensyn til det i deres fremstilling af ting. Det kendteste eksempel er nok det berømte græske bygningsværk Parthenontemplet, der kan tegnes ind i et gyldent rektangel. Også den menneskelige krop kan opfattes som delt efter forholdet; det mest kendte vidnesbyrd herpå er at finde i Leonardi da Vinci s meget kendte billede: Homo ad cirkulum. Det gyldne snits forhold er altid blevet opfattet som noget helt enestående, hvorfor det også helt indtil 900 tallet blev kaldt det guddommelige forhold. Læs evt. http://www.mcs. surrey.ac.uk/personal/r.knott/fibonacci/ Analytisk Geometri René Descartes (fransk filosof og matematiker, 596-650) tilskrives æren for at have opfundet analytisk geometri, idet han opfandt koordinatsystemet, der er grundlaget for den analytiske geometri, der i korthed går ud på, at geometriske objekter kan udtrykkes ved tal. Vi har i den beregnende geometri med areal og rumfangsbestemmelse af plane og rumlige figurer set en vis forbindelse mellem tallenes verden og geometrien. Men med koordinatsystemet er der skabt en forbindelse mellem algebraen og geometrien, der åbner for muligheden af at løse geometriske problemer ved algebraiske beregninger og omvendt. Fx kan kurvers mulige skæringspunkt tolkes som en fælles løsning til ligninger. I koordinatsystemet kan man nemlig angive et punkts beliggenhed i planen (eller rummet, men her vil vi holde os til planen) ved dets koordinater, dvs. ved et talpar. En punktmængde kan beskrives ved sammenhængen mellem de koordinater. Således beskriver ligningen y = x + de punkter, der alle har det sådan, at punktets.-koordinat y er større end. koordinaten x. Den pågældende punktmængde kaldes grafen for ligningen. Vi vil nu lidt overordnet beskrive koordinatsystemet, idet der bygges på en vis forhåndsviden. Analytisk Geometri 5 53369_matematik_kap3net_5k.indd 5 0--006 3:03:43
Koordinatsystemet På en koordinatakse har vi et nulpunkt O og et enhedspunkt E, og herved kan der til ethvert punkt P på aksen knyttes et tal x, punktets koordinat, der, når P ligger til højre for O, angiver længden af linjestykket OP målt med enheden O E. Et punkt P til venstre for O får en koordinat x, så O P = x = x, idet x nu er negativ, og x derfor positiv. På en koordinatakse er afstanden mellem punkter P og Q med koordinaterne henholdsvis x og x givet ved: x x hvis x x = = x x hvis x > x PQ x x O E P Q 0 x x Det retvinklede koordinatsystem har koordinatakser, der står vinkelret på hinanden med fælles nulpunkt og sædvanligvis med samme enhed. y-aksen ordinataksen P(3,) R (-3,) -3 - Q(-,-) O(0,0) - 3 x-aksen abscisseaksen Afstandsformlen Når punkter er givet i et koordinatsystem, kan vi ud fra punkternes koordinater beregne afstanden mellem dem. Hvis de punkter begge ligger på en linje, der enten er parallel med x-aksen eller med y-aksen, så er afstanden mellem punkterne at betragte som afstanden mellem punkternes projektion på en af koordinatakserne. Fx er afstanden mellem punkterne A(,) og B(5,) lig med 5 = 4, og afstanden mellem punkterne (3,) og (3,7) er 7 = 5. Hvis linjen gennem de punkter ikke er parallel med nogen af akserne, kan vi beregne afstanden mellem dem ved hjælp af Pythagoras sætning. I fig. skal afstanden mellem punkterne A(,3) og B(4,6) beregnes. Der tegnes 6 GEOMETRI 53369_matematik_kap3net_5k.indd 6 0--006 3:03:44
en linje gennem A parallel med x-aksen og en linje gennem B parallel med y-aksen. De skærer hinanden i punktet C, der må have koordinaterne (4,3). Desuden er C ret, da det er et retvinklet koordinatsystem. Ved brug af Pythagoras sætning finder vi, idet AC = 4 og BC = 6 3 : AB = AC + BC AB = ( 4 ) + (6 3 ) AB = ( 4 ) + (6 3 ) = 3 Generelt vil vi beregne afstanden PQ mellem vilkårlige punkter P( x, y ) og Q ( x, y ). Der tegnes som i eksemplet ovenfor linjer parallelle med x- og y-aksen. Herved fremstår den retvinklede PQ R, og ved brug af Pythagoras får vi: PQ = PR + Q R PQ = (x x ) + ( y y ) PQ = (x x ) + ( y y ) y-aksen B (4,6) 6 y-aksen Q(x,y) y 3 A(,3) C (4,3) P(x,y) O(0,0) y R (x,y) x-aksen 3 4 fig. AB kan beregnes til : AB = ( - 4) + (3-6) = 3, da AC = - 4 og BC = 3-6 x-aksen x x fig. PR = x - x og QR = y - y Deraf fås : PQ = (x - x ) + (y - y ) Afstandsformlen Afstanden mellem punkterne P( x, y ) og Q ( x, y ) er givet ved: PQ = (x x ) + ( y y ). Vis at denne afstandsformel også kan bruges i de tilfælde, hvor linjen gennem de punkter er parallel med en af akserne. Analytisk Geometri 7 53369_matematik_kap3net_5k.indd 7 0--006 3:03:45
Cirklen Ovenstående resultat overføres let til cirklen, da denne er defineret som mængden af punkter, der har en bestemt afstand til centrum. Vi vil undersøge, hvordan de punkter, der ligger på en cirkel med radius r og centrum i C(a,b), kan beskrives ud fra deres koordinater. For et vilkårligt punkt P( x, y ) på cirkelperiferien kan afstanden til centrum C(a,b) beregnes, og denne afstand kan så sættes lig med r: CP = ( x a) + ( y b ) r = ( x a) + ( y b ) r = ( x a) + ( y b) y C (a,b) r P (x,y) Cirklens ligning : (x - a) + (y - b) = r x Enhedscirklen har ligningen : x + y = Cirklens ligning En cirkel med centrum i C(a,b) og radius r har ligningen: ( x a) + ( y b) = r Hvis cirklens centrum er O (0,0 ), får cirklen ligningen: x + y = r Vi kan regne på cirklens ligning: ( x a ) + ( y b ) = r x + a ax + y + b by = r x ax + y by = r a b 8 GEOMETRI 53369_matematik_kap3net_5k.indd 8 0--006 3:03:46
I den sidste ligning indgår der på højre side udelukkende konstanter, da centrum C(a,b) er et bestemt punkt, og radius r er givet. Ofte er cirklens ligning angivet på denne form, hvorfor vi må omforme til den sædvanlige form, der tillader en umiddelbar aflæsning af centrum og radius. Vi vil se på et eksempel: Eksempel : En punktmængde er givet ved: x x + y 6 y = 6 Ud fra ovenstående slutter vi, at grafen må være en cirkel. Vi ønsker at bestemme a og b, så ligningen i stedet kan skrives på formen: ( ) ( ) x a + y b = r. I stedet for udtrykket x x vil vi gerne opnå kvadratet på en toleddet størrelse, dvs. en størrelse på formen ( x a). Her må x betragtes som det dobbelte produkt, når de led i den toleddede størrelse hedder henholdsvis x og - ( - er det halve af koefficienten til x). Udtrykket x x mangler leddet ( ) = for at være kvadratet på en toleddet størrelse. Vi adderer derfor på begge sider af lighedstegnet. Tilsvarende betragtninger over udtrykket y 6 y fører til, at vi også må addere 3 på begge sider af lighedstegnet. Vi får derfor: x x y 6 y 6 + = x x + + y 6 y + 3 = 6 + + 3 ( x ) + ( x 3) = 36 ( x ) + ( x 3) = 6 Af sidste ligning kan vi se, at grafen for punktmængden er en cirkel med centrum i punktet (,3) og radius 6. Eksempel : En punktmængde er givet ved: Ved tilsvarende betragtninger som i eksempel får vi: x 4x y 0 x 0 + + = ( x + ) + ( x 5) = 49 x x + y 6 y = 6 x + 4x + y 0 x = 0 x + 4x + + y 0 x + 5 = 0 + + 5 Centrum for denne cirkel er (,5) og radius er 7 Øvelse: Tegn grafen for x + y = 48 + 8 y x Analytisk Geometri 9 53369_matematik_kap3net_5k.indd 9 0--006 3:03:46