Kortfattet svar til eksamen i Matematik F2 d. 21. juni 2017

Transkript

1 Kortfattet svar til eksamen i Matematik F2 d. 2. juni 27 Opgave Bestem for følgende tilfælde om en funktion f(z) af z = x + iy er analytisk i dele af den komplekse plan, hvis den har real del u(x, y) og imaginær del v(x, y) givet ved a) u(x, y) = 3(x 2 y 2 ) 4xy, og v(x, y) = 7(x 2 y 2 ) + 6xy b) u(x, y) = e x2 y 2 cos(2xy), og v(x, y) = e x2 y 2 sin(2xy) For at finde ud af om funktionerne er analytiske benytter vi Cauchy-Riemann betingelserne. a) Vi finder at og b) Vi finder at og y v = 6x 4y = x y = 6y 4x = v x x = y 2 2ex2 (x cos(2xy) y sin(2xy)) = v y y = 2ex2 y 2 ( y cos(2xy) x sin(2xy) = v x u(x, y) = e x2 y 2 cos(2xy), og v(x, y) = e x2 y 2 sin(2xy) Dvs. da Cauchy-Riemann betingelserne er opfyldt for begge funktioner er de begge analytiske. Opgave 2 Find alle singulariteter og bestem ordenen af eventuelle poler for følgende udtryk a) b) z 2 + 6z 7 (z 2) 3 (z + 7) 5 z + cos z Side af 6

2 a) Efter en lille omskrivning af polynomiet i tælleren får vi z 2 + 6z 7 (z + 7)(z ) (z 2) 3 = (z + 7) 5 (z 2) 3 (z + 7) 5 = (z ) (z 2) 3 (z + 7) 4 Fra dette kan vi se, at der er en pol af orden 3 i z = 2 og en pol af orden 4 i z = 7. b) Vi foretager en ekspansion af cos(z) omkring z = πm (for m som heltal) og benytter z = ξ + πm, og får z + cos z = z + + k= ( )k ξ 2k (2k!) = z + ξ 2 [ /2 + ξ 4 /4! O(ξ 6 )] = ξ + πm + g(ξ) ξ 2 () Opgave 3 Da g() = /2 ser man, at der er en pol af orden 2 i z = πm eller ækvivalent for ξ =. Find Laurantrækkerne omkring punkterne z for funktionerne a) f(z) = z3 (z ), hvor z = b) f(z) = ln ( z) z 7, hvor z = a) Funktionen er analytisk for z =, dvs. Laurantrækken identisk på med Taylorrækken, som er z 3 (z ) = z3 ( z) = k= z k+3 b) ln ( z) z 7 = z 7 k= z k k Side 2 af 6

3 Opgave 4 Udregn følgende integrale ved kontourintegration i den komplekse plan 2π e 2iθ 4e 2iθ + dθ Vi benytter omskrivningen z = e iθ og omskriver til et kontourintegrale på enhedscirklen benævnt C. 2π e 2iθ 4e 2iθ + dθ = z 2 dz C 4z 2 + iz = ( ) z dz = 2πi Res(z = i/2)+res(z = i/2) 4i C (z i/2)(z + i/2) Vi finder herfra, at Opgave 5 2π e 2iθ 4e 2iθ + dθ = π/2 Benyt et passende valg af kurveintegraler i den komplekse plan til at udregne integralet (langs den reelle akse) (x i)(x 2i)(x 3i)(x 4i) dx Husk at argumentere for værdien af integralet langs de valgte kurver. Der findes ingen poler i den nedre halvplan. Hvis man lukker integrationsvejen med en halvcirkel i den nedre plan får man direkte at integralet er lig nul. Dette følger eftersom at for x, går integranden approksimativt som x 4, dvs. integralet langs halvcirklen i nedre halvplan bidrager ikke. Opgave 6 Benyt et passende valg af kurveintegraler i den komplekse plan til at udregne integralet (langs den reelle akse) sin 2 x x 2 + π 2 dx Husk at argumentere for værdien af integralet langs de valgte kurver. Side 3 af 6

4 Bemærk, at integralet kan omskrives på følgende form sin 2 x x 2 + π 2 dx = 4 e 2ix 2 x 2 + π 2 dx 4 e 2ix x 2 + π 2 dx jvf. Jordans lemma, så kan vi lukke det første integrale langs en halvcirkel i den øvre halvplan og det andet integrale langs en halvcirkel i det nedre halvplan. Vi har derfor, at (øvre halvplan) 4 og (nedre halvplan) 4 e 2ix 2 x 2 + π 2 dx = 4 e 2ix x 2 + π 2 dx = 4 Adderes de to bidrag fås Opgave 7 Udtryk funktionen e 2ix 2 (x + iπ)(x iπ) dx = 2πiRes(iπ) = 4 e 2π + 2 e 2ix (x + iπ)(x iπ) dx = 2πiRes( iπ) = 4 e 2π sin 2 x x 2 + π 2 dx = e π sinh(π) f(θ) = cos 5 (θ) ved hjælp af Legendre-polynomierne på formen P l (cos θ). Dvs. find koefficienterne a l i ekspansionen f(θ) = a l P l (cos θ) l= Funktionen er ulige og af 5. orden, så kun l =, 3, 5 skal bruges. Ved inspektion fås, at cos 5 (θ) = 3 7 P (cos θ) P 3(cos θ) P 5(cos θ) Opgave 8 Benyt Laplace-transformationen til at løse følgende system af differentialligninger for x(t) og y(t), med startbetingelsen (x, y ) = (, ). ẋ = 4x y ẏ = x + 4y Side 4 af 6

5 sˆx x = 4ˆx ŷ sŷ y = ˆx + 4ŷ Vi isolerer nu hhv. ˆx og ŷ og får ˆx = ŷ = s 2 8s + 5 s 4 s 2 8s + 5 Den inverse Laplace-transformation på de to ligninger giver x(t) = ( e 3t e 5t) 2 y(t) = ( e 3t + e 5t) 2 Opgave 9 Benyt den inverse Laplace-transformationen på funktionen ˆf(s) = / s til at finde f(t). Bemærk at funktionen er flertydig. Du får muligvis brug for følgende integrale (for a > ), exp( ax2 )dx = π/a. Den inverse transformation findes fra f(t) = L ( s ) = λ+i e st ds 2πi λ i s Problemet med den inverse transformation er, at funktionen har et branchpoint pga. kvadratroden, så vi bliver nødt til at introducere en opskæringslinie som gør, at man stadigvæk kan evaluare ovenstående integrale for λ >. Samtidig skal vi være påpasselige i forhold til at vælge en passende kontour at integrere langs. Vi vælger her at bruge den negative reelle akse som opskæringslinie og lader argumentet for de komplekse tal løbe mellem π og π. Vi vælgere en intgrationsvej som vist i Fig.. Bemærk, at Figure : Integrationsvej Side 5 af 6

6 eftersom t >, så vil integrationsvejen langs elementerne Γ 2 og Γ 5 være lig. Funktionen har ingen poler i det valgte domæne, så vi har derfor, at Dette leder til ligheden: e Γ st e ds = s Γ3 st e ds s Γ4 st ds s = e iπ = e iπ/2 = = 4i = e 2πi Γ+Γ3+Γ4 st ds. (2) s e r exp(iπ)t dr e iπ e r exp( iπ)t dr r exp(iπ) r exp( iπ) e rt dr e iπ/2 e rt dr r r (e iπ/2 e iπ/2) = 2i π = 2i t e u2t du e u2t du r e rt dr Vi har i ovenstående benyttet substitutionen r = u 2 og benyttet symmetrien af integranten til at udvide integrationen til hele den reelle akse. Den inverse transformation er derfor ( ) s f(t) = L = e 2πi Γ st ds = π s 2πi 2i t = πt (3) Side 6 af 6