Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017"

Transkript

1 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende til opgave at forklare, hvordan man kommer frem til facit i de enkelte opgaver. Der er altså ikke afkrydsningsfelter, der er kun facit og tilhørende udregninger. Udregningerne er meget udpenslede, så de este kan være med.

2 Indhold Opgave 1 3 Opgave 2 5 Opgave 3 6 Opgave 4 7 Opgave 5 8 Opgave 6 9 Opgave 7 11 Opgave 8 13 Opgave 9 15 Opgave Opgave Opgave Opgave Opgave

3 Opgave 1 En kurve i planen er givet ved x = e t y = ln t, hvor parameteren t gennemløber de positive reelle tal. a. For hvilken parameter t går kurven gennem punktet P = (e, 0)? Tager vi logaritmen på begge sider af x = e t, får vi, at t = ln x. Vi ved fra punktet P, at x = e, hvorfor vi indsætter dette og får: t = ln e = 1. Nu har vi altså fundet værdien. Jeg tjekker dog blot lige, om denne t-værdi opfylder, at y = 0 jævnfør punktet P. Vi indsætter i y = ln t og får: y = ln 1 = 0, hvilket altså betyder, at t = 1 for kurven giver punktet P. b. Hvad er kurvens hastighedsvektor i P? Vi skal blot dierentiere x og y i forhold til t og sætte t = 1. Vi har: x (t) = e t, y (t) = 1 t. Dermed er x (1) = e 1 = e, y (1) = 1 1 = 1. Altså bliver hastighedsvektoren: [ ] x (1) y = (1) [ ] e. 1 c. Hvilket udtryk for kurvens krumning, kan man opnå? Vi har formlen κ = x y y x ((x ) 2 + (y ) 2 ) 3/2 = x y y x (x ) 2 + (y ) 23. Vi kender allerede x og y, så vi kan prøve at udregne nævneren til t = 1 (punktet P ): (x (1)) 2 + (y (1)) 23 = e = e For at udregne tælleren skal vi bruge x og y, hvorfor vi dierentierer x og y : x (t) = e t, y (t) = 1 t 2, INDHOLD 3

4 hvorfor vi har: x (1) = e 1 = e, y (1) = = 1. Indsætter vi det i nævneren fås: x (1)y (1) y (1)x (1) = e ( 1) 1 e = e e = 2e = 2e. Altså bliver udtrykket for κ i punktet P : κ(p ) = 2e e INDHOLD 4

5 Opgave 2 Funktionen f er deneret ved f(x, y) = x 2 e y. Den bestemmer en ade ved z = f(x, y), som indeholder punktet P = (1, 1, e). a. Tangentplanen for aden i punktet P er bestemt ved en eller ere af ligningerne. Hvilke(n)? Tangentplanens ligning er givet ved z P z = f x (P x, P y ) (x P x ) + f y (P x, P y ) (y P y ). Lad os først udregne f x og f y. Vi får: f x (x, y) = 2xe y f x (P x, P y ) = 2 1 e ( 1) = 2e 1 = 2e (3.1) f y (x, y) = x 2 ( 1)e y f y (P x, P y ) = 1 2 ( 1)e ( 1) = 1 ( 1)e 1 = e (3.2) Vi har altså: z e = 2e(x 1) e(y + 1). Altså er første mulighed et facit. Vi kan se, at anden mulighed (læser søjlevist) ikke kan være muligt, da hældningen ganget på x kun svarer til 2 og ikke 2e. Lad os nu betragte e(y + 1) = ey e lægger vi 2e til på begge sider af får vi z e = 2e(x 1) e(y + 1) = 2e(x 1) ey e, z +e = z e+2e = 2e(x 1) ey e+2e = 2e(x 1) ey +e = 2e(x 1) e(y 1), hvilket betyder, at tredje mulighed også er et svar. I mulighed 4 mangler der simpelthen en y-koordinat i ligningen, hvorfor denne ikke kan være et svar. Ved mulighed 5 sætter vi e uden for parentes og får: z e = 2e(x 1) e(y + 1) z = 2e(x 1) e(y + 1) + e = e(2(x 1) (y + 1) + 1) = e(2x 2 y 1 + 1) = e(2x y 2), hvilket altså også er et svar. Slutteligt ser vi, at mulighed 6 kun har divideret med e på højre side og ikke venstre side i forhold til mulighed 5 (som var et svar), hvilket ikke er en gyldig omskrivning. Derfor er mulighed 6 ikke et svar. Hvilket udtryk har den anden ordens partielle aedede f xy (x, y)? Vi dierentierer blot f x i forhold til y eller dierentierer f y i forhold til x. Jeg vælger sidstnævnte: f xy (x, y) = ( x 2 e y) = 2xe y. x INDHOLD 5

6 Opgave 3 En kurve i rummet er givet ved x = ln(t), y = 2t, z = 1 2 t2, hvor parameteren t gennemløber de positive reelle tal. a. Bestem det korrekte udtryk for farten v(t). Farten v(t) er givet ved v(t) = (x ) 2 + (y ) 2 + (z ) 2. Vi udregner altså først de aedede: Vi indsætter: x = 1 t, y = 2, z = 1 2t = t. 2 (1 ) 2 v(t) = t t 2 = 1 t t2. Hvis vi nu betragter det inden i kvadratroden, så kunne det godt ligne, at vi kunne bruge en kvadratsætning, da 1/t t = 1, hvorfor det dobbelte produkt af de to altså må være 2. Vi har: (1 ) 2 1 v(t) = t t2 = t + t = 1 t + t. b. Hvad er buelængden af kurven fra t = 1 til t = e? Vi skal blot integrere fart-funktionen fra t = 1 til t = e. Vi har: e [ 1 1 t + t dt = ln(t) + 1 ] e 2 t2 1 = (ln(e) + 12 ) e2 (ln(1) + 12 ) 12 = e2 1 2 = e2 = 1 2 (e2 + 1) INDHOLD 6

7 Opgave 4 En funktion er deneret ved f(x) = sin(x 2 ) for en reel parameter x. a. Hvad er dierentialkvotienten f (x)? Vi skal bruge kædereglen. Den indre funktion, x 2, dierentieret - ganget på den ydre funktion, sin(u) dierentieret i forhold til u, hvor u = x 2. Vi har: f (x) = ( x 2) (sin(u)) = 2x cos(u) = 2x cos(x 2 ) b. Bestem anden ordens Taylor polynomiet for funktionen f med udviklingspunkt x = 0. Et anden ordens Taylor polynomium er givet ved: P 2 (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) 2. Vi har, at x 0 = 0, hvilket giver: P 2 (x) = f(0) + f (0) x f (0) x 2. Vi kender allerede f og f og får ved at sætte x = 0: f(0) = sin(0 2 ) = sin 0 = 0, f (0) = 2 0 cos 0 2 = 0. Det vil sige, at første og andet led i polynomiet er ubetydelige, og udtrykket bliver i stedet: P 2 (x) = x f (0) x 2 = 1 2 f (0) x 2. Vi nder nu den dobbelt aedede ved at bruge både produktreglen og kædereglen: Vi sætter x = 0 og får: f (x) = ( 2x cos(x 2 ) ) = 2x ( cos x 2) + (2x) cos x 2 = 2x 2x ( sin x 2 ) + 2 cos x 2 = 4x 2 sin(x 2 ) + 2 cos(x 2 ). f (0) = sin(0 2 ) + 2 cos(0 2 ) = 2 cos 0 = 2. Dermed bliver P 2 (x) = x2 = x 2. INDHOLD 7

8 Opgave 5 Et komplekst tal er givet ved z = 1 + 3i. Hvad er z (z konjugeret) skrevet på polær form? Først og fremmest er z = 1 3i, da kun imaginærdelen skifter fortegn. Vi udregner først modulus: z = = = 4 = 2. Det vil sige, at vi kan fjerne alle svarmuligheder, hvor 2 ikke er foran e. Da z e iθ = z (cos θ + i sin θ), skal vi blot nde det θ, sådan at cos θ = 1/2 og sin θ = 3. Ved at huske eller slå op på en liste over sinus- og cosinus-værdier ses det, at θ = 5π/3 eller alternativt: θ = 5π 3 2π = 5π 3 6π 3 = π 3. Altså bliver den polære form for z: z = 2e πi 3. b. Hvad er z 3 skrevet på standard form? Vi husker regnereglerne cos( x) = cos x og sin( x) = sin(x). Disse betyder, at vi blot kan smide en negativt fortegn på θ i opgaven fra før for at opnå den polære form for z (og altså ikke z). Vi har for z: πi z = 2e ( πi 3 ) = 2e 3. Hvilket vil sige, at vi blot kan bruge potens-regneregler for at udregne z 3 : ( z 3 = 2e πi 3 ) 3 = 2 3 e πi 3 3 = 8e πi = 8 (cos(π) + i sin(π)) = 8 ( 1 + 0i) = 8. Note: Hvis man forstår metoden, er denne langt hurtigere end at gange parenteserne (1 + 3i)(1 + 3i)(1 + 3i) sammen. INDHOLD 8

9 Opgave 6 Et komplekst tal z kaldes rent imaginær, hvis det ligger på den imaginære akse, dvs. hvis det er på formen z = iy for et reelt tal y. a. For nogle komplekse tal z gælder det, at z 2 er rent imaginær. Hvilke af svarmulighederne beskriver netop alle disse tal? Jeg elsker de her opgaver, de gør mig glad - så I får to metoder til at løse dem på. Metode 1 - Udelukkelsesmetoden z rent imaginær: Vi vælger blot z = i og ser, at z 2 = i 2 = 1, hvilket ikke er et rent imaginært tal. Derfor er det ikke alle rene imaginære tal, der opfylder dette, hvorfor svarmuligheden er falsk. Alle komplekse tal: Denne følger direkte af den forrige, da alle imaginære og reelle tal er komplekse tal. Det gælder ikke for i, så det gælder ikke for alle komplekse tal. Vi kunne også have sagt 1 2 = 1, hvilket heller ikke er rent imaginært. z på formen x(1 + i), x reel: Vi prøver: z 2 = (x(1 + i)) 2 = x 2 (1 + i) 2 = x 2 (1 2 + i 2 + 2i) = x 2 ( i) = 2ix 2. Da x er reel, så vil x 2 også være reel. Derfor vil hele udtrykket 2ix 2 altid være imaginært. Spørgsmålet er bare, om dette beskriver hele mængden. z = x(1 i), x reel: Denne er egentlig blevet udelukket af forrige svarmulighed, da x(1 i) ikke indeholder mængden x(1 + i). Dog hvis x(1 i) også er en løsningsmængde, så er x(1 + i) også en utilstrækkelig svarmulighed. Vi ser: z 2 = (x(1 i)) 2 = x 2 (1 i) 2 = x 2 (1 2 + i 2 2i) = x 2 (1 1 2i) = 2ix 2, hvilket også er rent imaginært, hvorfor z = x(1 + i) også er en utilstrækkelig svarmulighed. z = x(1 ± i), x 0: Vi ser, at denne restringerer x værdierne til x 0. Men eftersom vi har set, at z 2 = (x(1 ± i)) 2 ) ± 2ix 2, hvor x er reel, og x 2 derfor også er reel, så kan vi tillade alle de reelle værdier af x, vi har lyst til. Derfor er svaret z = x(1 ± i), x 0. Metode 2 - Bevis Lad x, y R, og lad z = x + iy. Så søger vi de komplekse tal z, der opfylder, at z 2 = ic, hvor c R. Vi har: Da z 2 skal være lig ic, har vi: z 2 = (x + iy) 2 = x 2 + i 2 y 2 + 2ixy = x 2 y 2 + 2ixy. x 2 y 2 + 2ixy = ic. INDHOLD 9

10 Da x og y er reelle, og det yderligere ses, at højresiden kun indeholder et imaginært led, så må x 2 y 2 = 0, da disse to led ikke kan påvirke de imaginære led. Vi har: x 2 y 2 = 0 y 2 = x 2 y = ±x. Men dette udtryk for y kan vi indsætte i z = x + iy: z = x + iy = x + i(±x) = x ± ix = x(1 ± i). Hvor x blot skal være reelt. Vi har nu fundet svaret. b. For nogle komplekse tal z gælder det, at z z er reel. Hvilke af svarmulighederne beskriver netop alle disse tal? Dette gælder for alle komplekse tal, hvilket skulle være en kendt resultat for alle. Beviset går dog således: Lad z = x + iy, hvor x og y er reelle, så er z = x iy. Dermed er: z z = (x + iy)(x iy) = x 2 i 2 y 2 = x 2 + y 2, hvilket også er reelt. Note: z z svarer faktisk til modulus af z 2. Vi har: z 2 = x 2 + y 22 = x 2 + y 2 = z z. c. For nogle komplekse tal z gælder det, at z z er reel. Hvilke af svarmulighederne beskriver netop alle disse tal? Vi ved, at man ikke må dividere med 0, hvilket kun er svarmulighed 1, der udelukker. Men hvis vi lige skal gribe det lidt mere besværligt an: Lad os omskrive brøken ved at forlænge den med z: z z = z z z z = z2 z z. Vi ved fra forrige opgave, at nævneren er reel. Det vil sige, at vi reelt blot kan se bort fra denne. Vi betragter altså kun tælleren. Lad z = x + iy, så er z 2 = (x + iy) 2 = x 2 + i 2 y 2 + 2ixy = x 2 y 2 + 2ixy. Vi skal have, at dette er reelt, men det er det kun, hvis 2ixy = 0. Dette er kun opfyldt, hvis x = 0 og/eller y = 0. Hvilket betyder, at z må være et reelt tal eller rent imaginært. 0 er dog stadig udelukket, da vi ikke må have, at x = y = 0, eftersom man ikke kan dividere med 0. INDHOLD 10

11 Opgave 7 En homogen anden ordens dierentialligning er givet ved y 4y + 8y = 0. a. Find den fuldstændige løsning til dierentialligningen. Note: Selve opgaveformuleringen i eksamenssættet kan faktisk misforstås, da der står "Markér DET udtryk, som udgør den fuldstændige løsning til dierentialligningen."i stedet for "DE(T)", hvorfor man kan tro, der kun er ét svar. En uheldig formulering. Vi løser det karakteristiske polynomium r 2 4r + 8 = 0. Vi nder først diskriminanten: D = ( 4) = = 16 = (4i) 2, hvorfor vi får løsningerne: r = ( 4) ± (4i) = 4 ± (4i) 2 = 2 ± 2i. Komplekse rødder på formen r = a + bi giver den generelle fuldstændige løsning: hvilket i vores tilfælde giver: y(t) = c 1 e at cos(bt) + c 2 e at sin(bt), y(t) = c 1 e 2t cos(2t) + c 2 e 2t sin(2t). Vi kan dog også vælge roden med den negative imaginær-del: y(t) = c 1 e 2t cos( 2t) + c 2 e 2t sin( 2t). Da cos θ = cos( θ) sker der ingen ændring ved cosinus-delen. Vi har ydermere, at sin( θ) = sin(θ), hvilket egentligt blot betyder, at konstanten c 2 vil skifte fortegn afhængig af, hvilken fuldstændig løsning, der vælges. b. Hvilken funktion løser begyndelsesbetingelserne y(0) = 2, y (0) = 6? Standardmetoden: Hvis betragter y(0) i forhold til en af vores fundne løsninger i a. y(0) = c 1 e 2 0 cos(2 0) + c 2 e 2 0 sin(2 0) = c 1 e 0 + c 2 0 = c 1 = 2. Vi har altså: Dierentieres denne fås: y(t) = 2e 2t cos(2t) + c 2 e 2t sin(2t). y (t) = 2 2e 2t cos(2t) + 2 ( 2)e 2t sin(2t) + c 2 2e 2t sin(2t) + c 2 2e 2t cos(2t). INDHOLD 11

12 Indsættes t = 0: y (0) = 2 2e 2 0 cos(2 0) + 2 ( 2)e 2 0 sin(2 0) + c 2 2e 2 0 sin(2 0) + c 2 2e 2 0 cos(2 0) = 4e 0 cos(0) 4e 0 sin(0) + 2c 2 e 0 sin(0) + 2c 2 e 0 cos(0) = 4 + 2c 2 e 0 cos(0) = 4 + 2c 2 = 6 c 2 = 6 4 = = 1. Den løsningen, der opfylder disse betingelser er altså: Den simple metode: y(t) = 2e 2t cos(2t) + e 2t sin(2t). Vi indser hurtigt (maks 10 sekunder), at det kun er de to øverste funktioner af hver søjle, der opfylder, at når vi sætter t = 0, så får vi værdien 2. Vi skal altså derfor blot dierentiere disse to funktioner og derefter indsætte t = 0 i de aedede. Hvis ingen af disse opfylder, at y (0) = 6, så krydser vi feltet ingen af dem af. c. Find den partikulære løsning til den inhomogene dierentialligning y 4y + 8y = t 2. Der er en hurtig udelukkelsesmetode, man kan bruge for at nde den partikulære løsning, når man har valgumuligheder. - Men det er for trættende at skulle forklare på skrift, så I må nøjes med den stringente metode: Vi gætter på en partikulær løsning: y p (t) = at 2 + bt + c, hvilken dierentieres to gange: y p(t) = 2at + b, y p(t) = 2a. Vi indsætter så disse i dierentialligningen: t 2 = y p 4y p+8y p = 2a 4(2at+b)+8(at 2 +bt+c) = 2a 8at 4b+8at 2 +8bt+8c = 8at 2 +( 8a+8b)t+ Dette giver os 3 ligninger. Først: Dernæst 8at 2 = t 2 8a = 1 a = 1 8 ( 8a+8b)t = ( b)t = ( 1+8b)t = 0t = 0 1+8b = 0 8b = 1 b = 1 8. Allerede nu kan vi spotte den korrekte løsning. INDHOLD 12

13 Opgave 8 En funktion er deneret ved f(x, y) = x 4 + y 4 4xy + 1. Det oplyses, at grafen for funktionen danner en opadgående skål mod (åbner sig opad). a. Hvilke af de givne punkter er kritiske punkter? Vi dierentierer først f mht. både x og y: f x (x, y) = 4x 3 4y, f y (x, y) = 4y 3 4x. Der er to måder. Enten kan du blot indsætte de punkter, du har fået givet, og så tjekke, om både f x og f y giver 0, eller vi kan nde alle løsninger. Den første metode bør være lige til, hvorfor jeg fokuserer på den anden. Vi betragter: f x (x, y) = 0 4x 3 4y = 0 x 3 y = 0 y = x 3. Bemærk, at dette betyder, at y og x skal have samme fortegn. Denne værdi for y kan vi nu indsætte i f y : f y (x, y) = 0 4y 3 4x = 0 y 3 x = (x 3 ) 3 x = x 3 3 x = x 9 x = x(x 8 1) = 0. Vi kan altså se, at x = 0 er en løsning. Derudover kan vi se fra parentesen, at x 8 = 1. Da 8 er et lige tal, kan x både være 1 og 1. Vi har altså 3 mulige værdier for x, som vi så kan indsætte i udtrykket for y = x 3 : y(0) = 0 3 = 0, y( 1) = ( 1) 3 = 1, y(1) = 1 3 = 1. Vi har altså de kritiske punkter (0, 0), ( 1, 1) og (1, 1). b. Hvad er den mindste værdi, som funktionen f antager? Vi ved, at det er en form for skål, der åbner sig opad. Dette betyder, at den antager et minimum i et punkt - et kritisk punkt! Så vi indsætter blot de punkter, vi fandt fra før i funktionen og nder: f(0, 0) = = 1, f( 1, 1) = ( 1) 4 + ( 1) 4 4 ( 1) ( 1) + 1 = = 1 f(1, 1) = = = 1 Altså er den mindste værdi, der antages, 1, hvilken sker både i (1, 1) og ( 1, 1). c. Antager funktionen et lokalt maksimum i Origo (0, 0)? Nej, det er forholdsvist let at forestille sig, at eftersom guren åbner sig opad, samtidig med, at den (kun) har to pukler i form af globale minima, så kan Origo ikke være andet end et saddelpunkt. INDHOLD 13

14 En mere matematisk tilgang kan måske vise, hvorfor det er et saddelpunkt. Lad os betragte funktionen i de punkter, hvor y = x. På denne linje ligger både (0, 0), ( 1, 1) og (1, 1). Indsætter vi x på y's plads i funktionen fås: Dierentieres denne opnår vi: f 1 (x) = f(x, x) = x 4 + x 4 4xx + 1 = 2x 4 4x f 1(x) = 8x 3 8x = 8x(x 2 1). Det er selvfølgelig de samme kritiske punkter, vi nder her, men det er ikke det interessante. Det, vi kigger på, er hvad er hældningen imellem (0, 0) og de to andre kritiske punkter. Jeg vælger her x = 1/2 og x = 1/2 til at vise disse hældninger: f 1 ( 1 ) = ( ( 1 ) 2 ( ) 1 1) = = = 3 og f 1 ( ) 1 = ( (1 ) 2 1) 2 ( ) 1 = = 1 4 = 3. Funktionen vokser altså, når den går imod (0, 0) men aftager så igen efter (fortegnet af hældningerne), når vi bevæger os på linjen y = x. Det betyder, at (0, 0) agerer som et maksimum, når vi bevæger os langs y = x. Hvad hvis vi i stedet kommer fra linjen, der går vinkelret ind på y = x? Vi betragter altså nu y = x og får: f 2 (x) = f(x, x) = x 4 + ( x) 4 4x( x) + 1 = x 4 + x 4 + 4x = 2x 4 + 4x Dierentierer vi denne fås: f 2(x) = 8x 3 + 8x = 8x(x 2 + 1). Der er ingen kritiske punkter foruden 0 her, så vi skal blot vælge x-værdier på hver side af Origo. - Så jeg vælger de samme værdier som før: f 2 ( 1 ) = f 2 ( ) 1 = ( ( 1 ) 2 ( ) 1 + 1) = = 1 4 = 5. ( (1 ) 2 + 1) 2 ( ) 1 = = = 5. Forskellige fortegn, men hvis vi bevæger os i retningen y = x, ser vi, at Origo agerer som et minimum, da funktionen aftager til den rammer Origo for derefter at vokse. Origo agerer altså både som et minimum og et maksimum afhængig af retningen. Dette betyder, at Origo er et saddelpunkt. INDHOLD 14

15 Opgave 9 Hvilken af de følgende formler svarer til Laplace transformationen, F (s), s > 2 af funktionen f(t) = e 2t + cos(3t), t 0 Svar: Vi slår op i tabellen for Laplace transformationer. Vi ser, at Dermed har vi: L { e at} = 1 s a, L {cos(at)} = s s 2 + a 2. F (s) = L { e 2t + cos(3t) } = L { e 2t} +L {cos(3t)} = 1 s 2 + s s = 1 2 s 2 + s s Det eneste, der mangler, er at få skrevet dem på fælles brøkstreg. Vi har: F (s) = 1 s 2 + s s = s (s 2)(s 2 + 9) + s(s 2) (s 2)(s 2 + 9) = s s 2 2s (s 2)(s 2 + 9) = 2s2 2s + 9 (s 2)(s 2 + 9). INDHOLD 15

16 Opgave 10 Hvilken af de følgende formler svarer til den inverse Laplace transformation f(t), t 0 af funktionen 7s 7 F (s) = (s 3)(s + 4), s > 3? Svar: Udtrykket ligner umiddelbart ikke noget, vi kan slå op i en tabel, så vi vil splitte brøken op. Dette gøres ved metoden partielle brøker. Vi har: 7s 7 (s 3)(s + 4) = A s 3 + B s + 4. Vi ganger med (s 3)(s + 4) på begge sider og får: 7s 7 = A(s + 4) + B(s 3) = As + 4A + Bs 3B = (A + B)s + (4A 3B). Af dette udtryk får vi to ligninger, nemlig: A + B = 7, 4A 3B = 7. Vi løser den første i forhold til A og får A = 7 B. Dette indsætter vi så i den anden ligning og får: 4A 3B = 4(7 B) 3B = 4 7 4B 3B = 28 7B = 7 7B = 7 28 = 35. Divideres med 7 på begge sider, får vi, at B = 5. Dette kan vi så indsætte i udtrykket A = 7 B = 7 5 = 2. Dermed ved vi, at: F (s) = 7s 7 (s 3)(s + 4) = 2 s s + 4 = 2 1 s s + 4, og disse kan vi slå op i tabellen over Laplace-transformer, det er nemlig præcis den, vi brugte i forrige opgave: L { e at} = 1 s a. Vi får altså: L {F (s)} 1 = 2L { } 1 { } L = 2e 3t + 5e 4t. s 3 s + 4 INDHOLD 16

17 Opgave 11 Note: Jeg hader den her opgave, fordi vedkommende bruger decimaler frem for brøker! Det niveau vil jeg ikke synke ned på. En funktion er deneret ved f(x, y) = (x + y)e x2 y 2. a. Bestem den retningsaedede D u f(p ) i punktet P = (1, 1) og retningen bestemt ved enhedsvektoren u = ( 4 5, 3 5). Først skal vi nde f x og f y. Vi har ved brug af kædereglen og produktreglen: f x (x, y) = (x + y)2xe x2 y 2 + e x2 y 2, f y (x, y) = (x + y)( 2y)e x2 y 2 + e x2 y 2. Indsætter vi punktet P = (1, 1) får vi: og f x (1, 1) = (1 + 1)2 1e e = 4e 0 + e 0 = = 5, f x (1, 1) = (1 + 1)( 2 1)e e = 4e 0 + e 0 = = 3. Dermed er gradientvektoren i punktet P = (1, 1): f(p ) = (5, 3). Den retningsaedede er blot skalarproduktet mellem gradientvektoren og enhedsvektoren. Vi har altså: ( 4 D u f(p ) = (5, 3) 5, 3 ) = = = Hvis I vil have det med decimaler, så må I selv gøre det. Jeg nægter i hvert fald i så simple tilfælde! b. Hver af svarmulighederne, v, bestemmer en enhedsvektor u, som peger i samme retning som v. Find alle vektorer i listen for hvilke det gælder, at D u f(p ) = 0. Vi betragter samme f(p ) fra før. Ydermere lader vi u = (x 1, x 2 ). Opgaven lyder altså på at bestemme de x 1 og x 2, som opfylder D u f(p ) = 0. Vi har: D u f(p ) = f(p ) u = (5, 3) (x 1, x 2 ) = 5x 1 3x 2 = 0 x 1 = 3 5 x 2. Det betyder altså, at alle svarmuligheder, hvor x 1 er 3 5 størrelsen af x 2, er korrekte. Det vil sige, at de tre øverste muligheder er korrekte, og de nederste er forkerte. Eksempel på korrekt [ ] 3 v = x 5 1 = = 3. Eksempel på forkert: v = [ ] 3 x 4 1 = = INDHOLD 17

18 Opgave 12 En funktion er givet ved f(x, y) = x2 x 2 + y 2. a. Find denitionsmængden for f. Vi ser, at der kun opstår problemer, når nævneren er 0. Eftersom x 2 og y 2 kun kan være positive (da vi arbejder med reelle tal), kan nævneren kun blive 0, hvis x = y = 0. De må bare ikke være nul på samme tid. Så "x 0 eller y 0"siger, at hvis x ikke er nul, så er vi ligeglade med, hvad y er, men hvis x er nul, så må y ikke være nul. b. Hvilken beskrivelse svarer til niveakurven med ligningen f(x, y) = 1 4? Vi har: f(x, y) = x2 x 2 + y 2 = 1 4 x2 = 1 4 (x2 + y 2 ) 4x 2 = x 2 + y 2 y 2 = 3x 2. Tager vi kvadratroden på begge sider skal vi huske, at have ±, da både positive og negative værdier opfylder dette: y = ± 3x 2 = ± 3x. Dette er altså to rette linjer gennem (0, 0) med hældningskoecienterne ± 3. Linjerne rammer ikke Origo, da vi husker, at (0, 0) ikke var en del af denitionsmængden. c. Hvad svarer niveaukurven f(x, y) = 4 til? Vi har: f(x, y) = x2 x 2 + y 2 = 4 x2 = 4(x 2 + y 2 ) x 2 = 4x 2 + 4y 2 4y 2 = 3x 2. Dette kan ikke lade sig gøre, da y 2 ikke kan blive negativ, kan venstre side heller ikke blive negativ. Ligeledes kan højre side ikke blive positiv, hvorfor de altid vil have forskelligt fortegn - med undtagelse af Origo. Men hvad var der nu med Origo? Nåååå ja, Origo var ikke en del af denitionsmængden! INDHOLD 18

19 Opgave 13 En ade F i rummet er bestemt ved ligningen F (x, y, z) = 2xy + 3xz yz = 2. Nogle af ligningerne i svarmulighederne beskriver tangentplanen for aden F i punktet P = (1, 1, 1). Hvilke? Svar: Vi kigger blot på relationen mellem hældningerne for x, y og z imellem. Vi dierentierer først: F x (x, y, z) = 2y + 3z, F y (x, y, z) = 2x z, F z (x, y, z) = 3x y. Ved at indsætte P = (1, 1, 1) får vi: F x (1, 1, 1) = 2( 1)+3 1 = 1, F y (1, 1, 1) = = 1, F z (x, y, z) = 3 1 ( 1) = 4. Vi ser altså, at koecienterne foran x og y skal være ens, mens z skal have en 4 gange så stor koecient. Det er der kun tre ligninger, der opfylder. Vi ved, at der ndes nogle ligninger, der beskriver tangentplanen, så hvis de tre ligninger er ens, må de alle være korrekte. Vi betragter: x + y + 4z = 4. Hvis vi ganger denne igennem med 1 fås: x y 4z = 4, hvorfor de to ligninger altså er identiske. Vi kunne også have ganget den med 2 og fået: 2(x + y + 4z) = 2 4 2x + 2y + 8z = 8, altså er de alle tre identiske. Vi blev lovet, at der nogle ligninger beskrev tangentplanen. Da de er identiske samt var de eneste, der opfyldte koecient-kravet, så er de alle korrekte. INDHOLD 19

20 Opgave 14 Figure nedenfor viser grafen for en funktion r = f(θ), 0 θ 2π afbildet i polære koordinater. Svar: Vi bruger udelukkelsesmetoden. Vi har funktionerne: f(θ) = 1 + cos θ, f(θ) = 2 + sin θ, f(θ) = 2 + cos θ f(θ) = 2 + sin(2θ), f(θ) = 2 + cos(2θ), f(θ) = (1 sin θ) 2 Til vinklen θ = 0 aæser vi en radius på 3. Denne indsætter vi så i de forskellige funktioner: f(0) = 1 + cos 0 = = 2, f(0) = 2 + sin 0 = 2, f(0) = 2 + cos 0 = = 3 f(0) = 2+sin(2 0) = 2, f(0) = 2+cos(2 0) = 2+1 = 3, f(0) = (1 sin 0) 2 = 1 2 = 1. Der er altså kun to funktioner, der møder kravet om, at f(0) = 3. De er: f(θ) = 2 + cos θ, f(θ) = 2 + cos(2θ). Vi aæser nu θ = π til en radius på 1. Vi indsætter: 2 ( π ) ( π ) ( π ) ( f = 2 + cos = = 2, f = 2 + cos 2 π ) = 2 + cos π = 2 1 = Altså er svaret f(θ) = 2 + cos(2θ), da denne er den eneste, der opfylder betingelserne. INDHOLD 20

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår

Læs mere

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6.

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6. Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. juni 16 Dette eksamenssæt består af 1 nummererede sider med 14 afkrydsningsopgaver.

Læs mere

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 3.

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 3. Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. januar 7 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.

Læs mere

Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016

Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016 Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med

Læs mere

Prøveeksamen i Calculus

Prøveeksamen i Calculus Prøveeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Marts 6 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver.

Læs mere

Reeksamen i Calculus Onsdag den 17. februar 2016

Reeksamen i Calculus Onsdag den 17. februar 2016 Reeksamen i Calculus Onsdag den 17. februar 216 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider

Læs mere

Prøveeksamen MR1 januar 2008

Prøveeksamen MR1 januar 2008 Skriftlig eksamen Matematik 1A Prøveeksamen MR1 januar 2008 Tilladte hjælpemidler Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt (lærebøger, notater, osv.), og også elektroniske hjælpemidler som lommeregner og

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009 Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,

Læs mere

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner. Komplekse tal Mike Auerbach Odense 2012 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.

Læs mere

Reeksamen i Calculus Tirsdag den 20. august 2013

Reeksamen i Calculus Tirsdag den 20. august 2013 Reeksamen i Calculus Tirsdag den 20. august 2013 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

Komplekse tal. Mike Auerbach. Tornbjerg Gymnasium, Odense 2015

Komplekse tal. Mike Auerbach. Tornbjerg Gymnasium, Odense 2015 Komplekse tal Mike Auerbach Tornbjerg Gymnasium, Odense 2015 Indhold 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner 2 1.1 Radianer................................................ 2 1.2 Cosinus og sinus som

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI. TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010

INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI. TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010 INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI TIDLIGERE EKSAMENSOPGAVER MM501 Calculus I, MM502 Calculus II Januar 2006 juni 2010 Forord Denne opgavesamling indeholder samtlige eksamensopgaver, der har været stillet

Læs mere

Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 2012

Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 2012 Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 212 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med ialt

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Reeksamen i Calculus

Reeksamen i Calculus Reeksamen i Calculus Torsdag den 11. august 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede sider

Læs mere

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7

Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen

Læs mere

(Prøve)Eksamen i Calculus

(Prøve)Eksamen i Calculus (Prøve)Eksamen i Calculus Sæt 1, april 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende (prøve)eksamenssæt består af 7 nummererede sider

Læs mere

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002 Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Noter om komplekse tal

Noter om komplekse tal Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at

Læs mere

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion

Læs mere

Calculus Uge

Calculus Uge Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Bevægelsens Geometri

Bevægelsens Geometri Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.

Læs mere

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w

z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016

Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016 Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.

Læs mere

Svar til eksamen i Matematik F2 d. 23. juni 2016

Svar til eksamen i Matematik F2 d. 23. juni 2016 Svar til eksamen i Matematik F d. 3. juni 06 FORBEHOLD FOR FEJL! Bemærk, i modsætning til herunder, så skal det i besvarelsen fremgå tydeligt, hvordan polerne ndes og hvordan de enkelte residuer udregnes.

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 6

Matematik F2 Opgavesæt 6 Opgave 4: Udtryk funktionen f(θ) = sin θ ved hjælp af Legendre-polynomierne på formen P l (cos θ). Dvs. find koefficienterne a l i ekspansionen f(θ) = a l P l (cos θ) l= Svar: Bemærk, at funktionen er

Læs mere

Hans J. Munkholm: En besvarelse af

Hans J. Munkholm: En besvarelse af Hans J. Munkholm: En besvarelse af Projekt for MM501, Lineære differentialligninger November-december 2009 Nummererede formler fra opgaveformuleringen Her samles alle opgavens differentialligninger og

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Funktioner af to variable

Funktioner af to variable enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,

Læs mere

Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 135, 270, 60, 30.

Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 135, 270, 60, 30. Opgaver Polære koordinater Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 15, 70, 60, 0. Opgave Bestem sin π Opgave. Et punkt p i xy-planen er givet ved de kartesiske koordinater,. Bestem p s polære

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen

Læs mere

Differentiation af Trigonometriske Funktioner

Differentiation af Trigonometriske Funktioner Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0). EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at

GEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at GEOMETRI-TØ, UGE 3 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad γ : (α, β) R 2 være en regulær kurve i planen.

Læs mere

Besvarelse til eksamen i Matematik F2, 2012

Besvarelse til eksamen i Matematik F2, 2012 Besvarelse til eksamen i Matematik F2, 202 Partiel besvarelse - har ikke inkluderet alle detaljer! Med forbehold for tastefejl. Opgave Find og bestem typen af alle singulariteter for følgende funktioner:

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil

Læs mere

Eulers equidimensionale differentialligning

Eulers equidimensionale differentialligning Eulers equidimensionale differentialligning Projektbesvarelse for MM501, udformet af Hans J. Munkholm Differentialligningen September-oktober 2009 For at kunne referere let og elegant gentages differentialligningen

Læs mere

Differentialkvotient af cosinus og sinus

Differentialkvotient af cosinus og sinus Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

Komplekse Tal. Frank Villa. 15. februar 2013

Komplekse Tal. Frank Villa. 15. februar 2013 Komplekse Tal Frank Villa 15. februar 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Komplekse Tal. Frank Nasser. 15. april 2011

Komplekse Tal. Frank Nasser. 15. april 2011 Komplekse Tal Frank Nasser 15. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Kapitel 2. Differentialregning A

Kapitel 2. Differentialregning A Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over. Opsamling Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.. Brøkregning, parentesregneregler, kvadratsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale

Læs mere

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009

Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009 Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 37, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm 2009 bearbejdet af Jessica Carter 2010 1 Hvad er et komplekst tal? Hvordan regner man med komplekse tal? Man kan betragte udvidelsen

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Matematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale. htx112-mat/a-26082011

Matematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale. htx112-mat/a-26082011 Matematik A Højere teknisk eksamen Forberedelsesmateriale htx112-mat/a-26082011 Fredag den 26. august 2011 Forord Forberedelsesmateriale til prøverne i matematik A Der er afsat 10 timer på 2 dage til

Læs mere

Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave

Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Opgave 1 Lad R betegne kvartcirkelskiven x 2 + y 2 4, x 0, y 0. (Tegn.) Udregn R x2 y da. Løsning y. Opgave 1 - figur. Calculus 2-2006 Uge 50.

Opgave 1 Lad R betegne kvartcirkelskiven x 2 + y 2 4, x 0, y 0. (Tegn.) Udregn R x2 y da. Løsning y. Opgave 1 - figur. Calculus 2-2006 Uge 50. Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

SØREN L. BUHL KOMPLEKSE TAL M. M. Matematik 1 Den teknisk naturvidenskabelige Basisuddannelse

SØREN L. BUHL KOMPLEKSE TAL M. M. Matematik 1 Den teknisk naturvidenskabelige Basisuddannelse SØREN L. BUHL KOMPLEKSE TAL M. M. Matematik Den teknisk naturvidenskabelige Basisuddannelse Afdeling for Matematik og Datalogi Institut for Elektroniske Systemer Aalborg Universitetscenter MCMXCII Indhold

Læs mere

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET

EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Taylorpolynomier. Preben Alsholm. 17. april 2008. Taylorpolynomier. Funktion af ere variable. Preben Alsholm. Taylorpolynomier

Taylorpolynomier. Preben Alsholm. 17. april 2008. Taylorpolynomier. Funktion af ere variable. Preben Alsholm. Taylorpolynomier . 17. april 008 for I Givet en funktion f og et udviklingspunkt x 0. Find et polynomium P n af grad højst n, så f og P n har samme nulte, første, anden, tredie,..., n te a edede i punktet x 0.. for I Givet

Læs mere

Komplekse Tal. Frank Villa. 22. februar 2013

Komplekse Tal. Frank Villa. 22. februar 2013 Komplekse Tal Frank Villa 22. februar 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 17. september, 013 1 Homogene andenordens lineære ODE er [Bogens afsnit.1] 1.1 Linearitetsprincippet Vi så sidste gang, at førsteordens

Læs mere

DiploMat Løsninger til 4-timersprøven 4/6 2004

DiploMat Løsninger til 4-timersprøven 4/6 2004 DiploMa Løsninger il -imersprøven / Preben Alsholm / Opgave Polynomie p er give ved p (z) = z 8 z + z + z 8z + De oplyses, a polynomie også kan skrives således p (z) = z + z z + Vi skal nde polynomies

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

OPGAVER 1. Approksimerende polynomier. Håndregning

OPGAVER 1. Approksimerende polynomier. Håndregning OPGAVER 1 Opgaver til Uge 4 Store Dag Opgave 1 Approksimerende polynomier. Håndregning a) Find for hver af de følgende funktioner deres approksimerende polynomiumer af første og anden grad med udviklingspunkt

Læs mere

Funktionsundersøgelse. Rasmus Sylvester Bryder

Funktionsundersøgelse. Rasmus Sylvester Bryder Funktionsundersøgelse Rasmus Sylvester Bryder 7. november 2008 Dette projekt aeveres i forbindelse med LA T EX 2ε-kurset vejledningsuge 2, 2008-09 på KU; til projektet benyttes noter givet til opgaveløsning.

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4 Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Afleveringsopgave 4 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte forsider

Læs mere

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning

Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning enote 29 1 enote 29 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

DesignMat Lineære differentialligninger I

DesignMat Lineære differentialligninger I DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Grundlæggende matematik

Grundlæggende matematik Grundlæggende matematik Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Noterne vil indeholde gennemgang af grundlæggende regneregler og regneoperationer afledt af disse. Dette er (vil mange påstå) det vigtigste

Læs mere

Vektorfelter. enote Vektorfelter

Vektorfelter. enote Vektorfelter enote 24 1 enote 24 Vektorfelter I enote 6 indføres og studeres vektorer i plan og rum. I enote 16 ser vi på gradienterne for funktioner f (x, y) af to variable. Et gradientvektorfelt for en funktion af

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Lektion 12. højere ordens lineære differentiallininger. homogene. inhomogene. eksempler

Lektion 12. højere ordens lineære differentiallininger. homogene. inhomogene. eksempler Lektion 12 2. ordens lineære differentialligninger homogene inhomogene eksempler højere ordens lineære differentiallininger 1 Anden ordens lineære differentialligninger med konstante koefficienter A. Homogene

Læs mere

Komplekse Tal. Frank Villa. 20. februar 2013

Komplekse Tal. Frank Villa. 20. februar 2013 Komplekse Tal Frank Villa 20. februar 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere