Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt

Transkript

1 Oversigt [S] 5., 5.3, 5.4,.,. Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Calculus - 6 Uge 39. -

2 Analysens hovedsætning [S] 5.4 The fundamental theorem of calc. Sætning (Analysens fundamentalsætning) Antag, at f : [a, b] R er kontinuert. Så er g(x) = x a f(t) dt differentiabel og g (x) = f(x) For en stamfunktion F (x), F (x) = f(x), er b a f(x) dx = F (b) F (a) Calculus - 6 Uge 39. -

3 Overbevis [S] 5.4 The fundamental theorem of calculus Sætning (Analysens fundamentalsætning) Bevis g g(x + h) g(x) (x) = lim h h x+h = lim f(u) du h h x f(x )h = lim h h = f(x) Calculus - 6 Uge

4 Stamfunktions botanik [S] 5.3 Evaluating definite integrals... Stamfunktioner x n dx = n + xn+, n dx = ln(x) x e x dx = e x ln(x) dx = x ln(x) x a x dx = ln(a) ax Calculus - 6 Uge

5 Stamfunktions botanik [S] 5.3 Evaluating definite integrals... Stamfunktioner - flere sin(x) dx = cos(x) cos(x) dx = sin(x) x dx = sin (x) + x dx = tan (x) Calculus - 6 Uge

6 Integral smertefrit Eksempel Beregn Løsning [S] 5.4 The fundamental theorem of calculus 4 (x + x 3 ) dx 4 (x + x 3 ) dx = [ x x4 4 ] 4 = ( ) ( ) = ( ) ( ) = Calculus - 6 Uge

7 Integral af integral [S]. Iterated integrals Definition Antag f : [a, b] [c, d] R er kontinuert. For x [a, b] er det partielle integral A(x) = og det itererede integral d c f(x, y) dy b a A(x) dx = b a d c f(x, y) dydx Calculus - 6 Uge

8 Integral integral avet om [S]. Iterated integrals Definition I modsat rækkefølge. Det partielle integral og det itererede integral A(y) = b a f(x, y) dx 3 d c A(y) dy = d c b a f(x, y) dxdy Calculus - 6 Uge

9 Beregn integral integral [S]. Iterated integrals Eksempel R = [, 3] [, ], f(x, y) = x y Partial integral A(x) = = x y dy ] y= [x y y= = x x = 3 x Calculus - 6 Uge

10 Fortsat [S]. Iterated integrals Eksempel - fortsat A(x) = 3 x Itereret integral 3 x y dydx = 3 3 x dx [ ] x 3 3 = = 3 3 = 7 3 Calculus - 6 Uge 39. -

11 Fortsat avet om [S]. Iterated integrals Eksempel - fortsat Partial integral R = [, 3] [, ], f(x, y) = x y A(y) = = 3 [ x 3 3 y x y dx ] x=3 x= = 33 3 y = 9y Calculus - 6 Uge 39. -

12 Sluttelig ens [S]. Iterated integrals Eksempel - fortsat A(y) = 9y Itereret integral 3 x y dxdy = [ y = 9 9y dy ] = 9( ) = 7 Calculus - 6 Uge 39. -

13 Test itereret integral [S]. Iterated integrals Test Lad f(x, y) = xy. Det itererede integral (a) 9. (b) 9. (c) Løsning Afkryds den rigtige: xy dxdy er (a) (b) (c) xy dxdy = [ x [ y ] ] x= x= y dy = 3 = 3 3 = 9 4 Calculus - 6 Uge

14 Øvelse gør mester [S]. Iterated integrals Eksempel Partial integral R = [, ] [, ], f(x, y) = x + ye x A(x) = (x + ye x ) dy = [ xy + y e x] y= y= = x + e x Calculus - 6 Uge

15 Videre [S]. Iterated integrals Eksempel - fortsat A(x) = x + e x Itereret integral (x + ye x ) dydx = (x + e x ) dx = [ x + e x] = ( + e) ( + ) = e Calculus - 6 Uge

16 Fortsat avet om [S]. Iterated integrals Eksempel - fortsat Partial integral R = [, ] [, ], f(x, y) = x + ye x A(y) = (x + ye x ) dx = [ x + ye x] x= x= = ( + ye) ( + y) = (e )y + Calculus - 6 Uge

17 Igen ens [S]. Iterated integrals Eksempel - fortsat A(y) = (e )y + Itereret integral (x + ye x ) dxdy = ((e )y + ) dy = [ (e )y + y ] = ((e ) + ) ( + ) = e Calculus - 6 Uge

18 Fubini: Alle veje fører til Rom [S]. Iterated integrals 4 Sætning (Fubinis sætning) Lad R = [a, b] [c, d] og antag f : R R er kontinuert. Så er dobbeltintegralet lig de itererede integraler og R R f(x, y) da = f(x, y) da = b a d c d c b a f(x, y) dydx f(x, y) dxdy Calculus - 6 Uge

19 Overbevis [S]. Iterated integrals Fubinis sætning - begrundelse Lad f(x, y). Volumenet under grafen er dobbeltintegralet f(x, y) da Det partielle integral R A(x) = d c f(x, y) dy er arealet af et snit gennem området under grafen for x fast. Calculus - 6 Uge

20 Mere overbevis [S]. Iterated integrals Fubinis sætning - begrundelse Det itererede integral b a A(x) dx = b a d c f(x, y) dydx tilnærmes af Riemann summen A(x i ) x i som ved grænseovergang fører til volumenet, der netop er dobbeltintegralets værdi. Calculus - 6 Uge 39. -

21 Fremgangsmåde [S]. Iterated integrals Eksempel R = [, ] [, ], f(x, y) = x 3y R (x 3y ) da = = = (x 3y ) dydx [ xy y 3 ] y= y= dx (x 7) dx [ x = 7x = ] Calculus - 6 Uge 39. -

22 Fortsat Eksempel - fortsat (x 3y ) da = R [S]. Iterated integrals (x 3y ) dxdy = = [ x 3y x ( 6y ) dy ] x= x= = [ y y 3] = dy Bemærk, at midtpunktsreglen, [S]. Eksempel 3, gav tilnærmelsen 95 =, Calculus - 6 Uge 39. -

23 Med sinus og cosinus [S]. Iterated integrals Figur - Eksempel 3 R = [, ] [, π], f(x, y) = y sin(xy) z x y Calculus - 6 Uge

24 Fortsat [S]. Iterated integrals Eksempel 3 - fortsat R y sin(xy) da = = = π π π y sin(xy) dxdy [ cos(xy)] x= x= dy ( cos(y) + cos(y)) dy [ = sin(y) = ] π + sin(y) Calculus - 6 Uge

25 Test Fubini [S]. Iterated integrals Test Lad f(x, y) = x ln y, R = [, ] [, ]. Der gælder R x ln y da = x ln y dxdy. Løsning (x, y) [, ] [, ] giver ved Fubinis sætning R x ln y da = Afkryds: x ln y dydx ja nej Calculus - 6 Uge

26 Produktregel [S]. Iterated integrals Figur - Eksempel 5 R = [, π ] [, π ], f(x, y) = sin(x) cos(y) z x y Calculus - 6 Uge

27 Produktregel Eksempel 5 sin(x) cos(y) da = R = = π π π π cos(y) [S]. Iterated integrals sin(x) cos(y) dxdy π sin(x) dx sin(x)dx dy π cos(y) dy = [ cos(x)] π [sin(y)] π = ( ( ))( ) = Calculus - 6 Uge

28 Opgave Øvelse R = [, ] [, ], f(x, y) = xe xy [S]. Iterated integrals z x y Calculus - 6 Uge

29 Opgave løst Øvelse R xe xy da = = = [S]. Iterated integrals xe xy dydx [e xy ] y= y= dx (e x e ) dx = [e x x] = e Calculus - 6 Uge

30 Test Fubini [S]. Iterated integrals Test Lad f(x, y) = x ln y, R = [, ] [, ]. Der gælder R x ln y da = x dx ln y dy. Løsning R x ln y da = = = x ln y dy Afkryds: x ln y dydx ln y dydx x dx ja nej Calculus - 6 Uge