I det følgende beskrives, hvad der er foregået i modulerne. Undervisningsmaterialet/ beskrivelserne af de to case findes i bilagene

Transkript

1 Beskrivelse af miniforløb i matematisk modellering Miniforløb i matematisk modellering Forløbet strækker sig over ca. 3 moduler á 90 min og er brugt i en mata, sab studieretningsklasse i efteråret 2016, hvor eleverne gik i 3.g og netop havde afsluttet en gennemgang af kernestoffet indenfor differentialligninger.på dette tidspunkt var der ikke et oplagt samarbejdsfag, da ikke alle elever havde valgt at opgradere samfundsfag og de, der havde, gik på forskellige hold. Så i mangel af det andet fag valgte jeg i stedet at give eleverne den til modelleringen nødvendige viden i form af oplæg med kortfattet info. Eleverne arbejdede i grupper med to cases, hvor den første handlede om modellering af kroppens indhold af henholdsvis THC (det aktive stof i hash) og alkohol, mens det andet var mindre realistisk og handlede om tilløb til og afløb fra en sø. Undervejs var der fælles opsamling og gennemgang. Eleverne uploadede besvarelser til Lectio. Besvarelserne blev dog ikke rettet, men enkelte besvarelser blev diskuteret i klassen via fremvisning på I-tavlen. Forløbet og mange af de anvendte slides bygger på/er taget fra foredraget af Thomas Vils Pedersen ved kurset Differentialligninger fra andre fag, september 2016, Danske Science Gymnasier (DASG). I det følgende beskrives, hvad der er foregået i modulerne. Undervisningsmaterialet/ beskrivelserne af de to case findes i bilagene Der er ikke foretaget en særskilt evaluering af forløbet. Det var mit indtryk, at alle eleverne både magtede og fik udbytte af CASE 1, mens CASE 2 mere skilte vandene, idét nogle ikke kom ret langt og fandt opgaverne meget vanskelige, mens andre kom pænt frem og fik et godt udbytte i forhold til den afsatte tid, idet der dog var afsat for lidt tid til arbejdet med CASE 2. 1.modul Modulet begyndte med en introduktion til arbejdet i miniforløbet og til CASE 1. Forløbet blev motiveret ved, at matematisk modellering er en vigtig del af læreplanen/faget og desuden vigtigt i forhold til SRP. Processen matematisk modellering blev diskuteret ud fra figur på I-tavlen, ligesom CASE 1 blev præsenteret på I-tavlen og udleveret på arbejdsark til grupperne. Resten af modulet blev brugt til gruppernes arbejde under vejledning (og samtidige karaktersamtaler..) 1 2. modul Modulet begyndte med en gennemgang af lektieopgaverne, jf. nedenstående opgaver. 1 Figuren er udarbejdet af Jacob Allerelli og Marianne Weye Sørensen SK 27. februar 2017 Side 1 af 9

2 Beskrivelse af miniforløb i matematisk modellering Dernæst var der en opsamling på, hvorledes de to modeller kunne udtrykkes som differentialligninger: Den alm. tavle blev delt i to, og under overskrifterne Alkohol, THC blev følgende skrevet op for de to modeller: variable: (masse i gram/mg, tid i timer/døgn), vækst som differentialligning: (M =-k (k=8 for alkohol), M =-k*m, (k bestemt af T½=ln(2)/k for THC), kompartmentmodel (tegninger), fuldstændig løsning (løsningsformlerne), skitser af graferne Den vigtige pointe, at diff-modellerne ku gælder kun indenfor nogle intervaller (de tidsperioder, hvor der ikke indtages rusmidler), blev understreget. Videre arbejde med CASE 1 i grupperne, ved afslutning af modulet blev et par af besvarelserne gennemgået på I-tavlen Modul 3 Modulet begyndte med en gennemgang af lektieopgaven, jf. nedenstående. Det blev understreget, at denne modelleringsopgave vil være mindre realistisk end den foregående i denne opgave er målet principperne SK 27. februar 2017 Side 2 af 9

3 Beskrivelse af miniforløb i matematisk modellering Dernæst diskuterer eleverne to og to nedenstående spørgsmål, der blev præsenteret på I-tavlen: Herefter blev differentialligningen for den simple model opstillet ud fra kompartmentmodel, hvor udgangspunktet var, at vi så på, hvad der skete i løbet af tiden Δt, jf. PP fra sidste DASG-kursus Variable: t: tiden i døgn M = M(t): massen af stoffet i søen til tiden t. Vi ser på, hvad der sker med M i tiden fra t til t + Δt Pointen Δt så lille, at M kan regnes konstant i løbet af denne tid, blev forsøgt fremhævet SK 27. februar 2017 Side 3 af 9

4 Beskrivelse af miniforløb i matematisk modellering (Ved overgangen til differentialligningen blev begreberne differenskvotient og differentialkvotient repeteret) Herefter blev det kort repeteret, hvordan differentialligningen kan løses med CAS og med løsningsformel og elevernes svar på spørgsmålene kunne herved tjekkes. Herefter blev arbejdsmaterialet udlevereret, og eleverne arbejdede eleverne videre med denne case der var kun ½ time tilbage og af andre grunde kunne vi ikke bruge længere tid på forløbet, så elevernes egen behandling af denne CASE blev ikke så dybtgående. SK 27. februar 2017 Side 4 af 9

5 Elevmaterialet til CASE 1 Nedbrydning af rusmidler CASE 1 - Nedbrydning af rusmidler Opgaveformulering Der ønskes en matematisk modellering af: 1. Mængden af alkohol i kroppen for en person, der indtager en øl hver halve time 2. Mængden af THC (det aktive stof i hash) i kroppen for en person, der indtager 12 mg THC hver fjerde dag. Dokumentér jeres løsning skriftligt. Tag i teksten læseren ved hånden, og beskriv overvejelser og metoder. Sørg for, at der er en rød tråd fra formulering af problemet til konklusionen. Up-load jeres besvarelse til opgaver i Lectio, enten som et Word-dokument eller som en pdf-fil. På næste side finder I oplysninger og opgaver, der kan hjælpe jer i jeres modellering. Start fx med at løse alle opgaverne - det er dog ikke nødvendigvis alle opgavernes løsning der skal med i jeres endelige besvarelse. Det handler om at udvælge det, der er relevant, for at løse opgaven. SK 27. februar 2017 Side 5 af 9

6 Elevmaterialet til CASE 1 Nedbrydning af rusmidler Oplysninger og opgaver, der kan hjælpe jer i modelleringen. Om alkohol: A. Vurdér, hvor meget alkohol, der er i en øl. Tip: Se fx Sundhedsstyrelsen: pdf s. 25 B. Alkohol nedbrydes som det eneste rusmiddel med konstant hastighed, dvs. nedbrydningshastigheden er uafhængig af, hvor meget alkohol, man har i kroppen. Tegn en kompartmentmodel, der illustrerer dette. Lad fx den afhængige variabel være massen af alkoholen i kroppen målt i gram - og betegn fx denne med M. Oversæt kompartmentmodellen til en differentialligning, som M vil opfylde. Hvilken type funktioner er løsninger til denne differentialligning? C. Normale personer forbrænder alkohol med en hastighed på ca. 8 gram i timen. D. Forestil dig, at en person på én gang indtages 5 øl: a) Hvor mange gram alkohol har personen i blodet lige efter indtagelsen b) Hvor meget alkohol har personen tilbage i blodet efter 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 og 10 timer? c) Tegn en graf, der viser, hvordan mængden af alkohol anhænger af antallet af timer siden indtagelsen af de 5 ør d) Opstil en formel, der angiver, hvordan mængden af alkohol i kroppen afhænger af antallet af timer siden indtagelsen af de 5 øl. Prøv både at komme frem til svaret ved at bruge din viden fra 1.g - og ved at løse den differentialligning, som du opstillede i B. e) Hvor lang tid går der, før personen ikke har noget alkohol tilbage i kroppen. f) En anden person indtager én øl hver halve time (i en hurtig slurk). Tegn en graf, der viser, hvordan mængden af alkohol i kroppen på denne person afhænger af antallet af timer, siden indtagelsen begyndte Om THC: A. THC nedbrydes som mange andre rusmidler sådan, at nedbrydningshastigheden er proportional med massen af THC i kroppen. Tegn en kompartmentmodel, der illustrerer dette. Lad fx den afhængige variabel være massen af THC i kroppen målt i mg, betegn fx denne med M, og kald proportionalitetskonstanten for "k" (så k er et positivt tal og k er et negativt tal). Oversæt kompartmentmodellen til en differentialligning, som M vil opfylde. Hvilken type funktioner er løsninger til denne differentialligning? B. THC har en halveringstid på ca. 4 døgn. Bestem værdien af konstanten k for opgaven herover. C. Forestil dig, at en person på én gang indtager 12 mg THC a. Hvor meget THC har personen tilbage i kroppen efter 4, 8, 12 og 16 døgn? b. Tegn en graf, der viser, hvordan mængden af THC i kroppen afhænger af antallet af døgn siden indtagelsen. Prøv både at komme frem til svaret ved at bruge din viden fra 1.g - og ved at løse den differentialligning, som du opstillede i A. c. Hvor lang tid går der, før mængden af THC i kroppen er faldet til 0,1 mg? d. Hvad ser der, hvis personen personen indtager 12 mg THC hver fjerde dag? Teg en graf, der viser, hvordan mængden af THC i kroppen på denne person afhænger af antallet dage siden første dosis Kilde: Oplysninger og opgaver efter Thomas Vils Pedersen, Vækst, Matematiklærerforeningen 2005, s.30 SK 27. februar 2017 Side 6 af 9

7 Elevmaterialet til CASE 2 Forurening af sø CASE 2 - Forurening af sø Opgaveformulering Der ønskes en matematisk modellering af mængden af et forurenende stof i en sø, der løbende tilføres et forurenende stof og friskt, rent vand, og som samtidigt leverer vand til en å, der løber fra søen. Modelleringen skal foretages med henblik på en diskussion af, hvorledes koncentrationen af de forurenende stof i søen kan holdes under en given grænseværdi. Dokumentér jeres løsning skriftligt. Tag i teksten læseren ved hånden, og beskriv overvejelser og metoder. Sørg for, at der er en rød tråd fra formulering af problemet til konklusionen. Up-load jeres besvarelse til opgaver i Lectio, enten som et Word-dokument eller som en pdf-fil. På næste side finder I stikord og hints der kan hjælpe jer i jeres modellering. Start fx med at løse alle opgaverne - det er dog ikke nødvendigvis alle opgavernes løsning, der skal med i jeres endelige besvarelse. Det handler om at udvælge det, der er relevant, for at løse opgaven. SK 27. februar 2017 Side 7 af 9

8 Elevmaterialet til CASE 2 Forurening af sø Forslag og opgaver, der kan hjælpe jer i modelleringen. Den eksperimentelle tilgang: Tag udgangspunkt i situationen fra lektieopgaven/ tavlegennemgangen. Simplificeret model af virkeligheden Matematisk model og analyse af model Løs differentialligningen med forskellige valg af parametrene - fortag ændringerne systematisk - skrift kun én ting ad gangen! Hvad sker der fx, hvis både indstrømning og udstrømning øges til 4 m 3 /min? Hvad hvis søen graves dybere? Den analytiske tilgang: Indfør bogstaver for alle parametrene, opstil differentialligningen og løs den med disse bogstaver. Af jeres løsning/jeres differentialligning bør I kunne aflæse den grænse, som stofmængden i søen vil nærme sig - og ud fra denne finde et udtryk for koncentrationen af stoffet i søen - første del af en løsningen er vist herunder Simplificeret model af virkeligheden Matematisk model og analyse af model SK 27. februar 2017 Side 8 af 9

9 Elevmaterialet til CASE 2 Forurening af sø Hvad hvis indløb og udløb ikke er det samme? Prøv fx at arbejde videre med nedenstående situation - her vil I skulle bruge dsolve for at løse differentialligningen Simplificeret model af virkeligheden Matematisk model og analyse af model Kilde: Klippene i dette dokument er fra oplæg ved Thomas Vils Pedersen på kurset Differentialligninger fra andre fag, september 2016, Danske Science Gymnasier (DASG) SK 27. februar 2017 Side 9 af 9