Matematisk modellering - en trafik model

Transkript

1 Matematisk modellering - en trafik model Af: Claus Myltoft, Middelfart Gymnasium og Marlene Hoffmann, Amtsgymnasiet i Sønderborg Udviklingssigtet med det gennemførte projekt er at anvende et autentisk problem, som eleverne opfatter som vedkommende. Et af de dilemmaer, der er ved den problemorienterede projektarbejdsform, er på den ene side, at problemet skal være vedkommende for eleverne, ellers tager de ikke problemet til sig, og på den anden side skal problemet også være vedkommende for matematikundervisningen. Her forsøges dilemmaet løst ved at tage elevsiden alvorlig. Vi sikrer matematiksiden, ved at vi (læreren) selv opstiller det overordnede problem for eleverne, som så selv formulerer mere konkrete problemstillinger, de så arbejder med indenfor det overordnede problem. Problemet er at lave et (elektronisk) skilt der regulerer trafikhastigheden hen mod et lyskryds. Forløbet er gennemført i to 2.g klasser med to forskellige lærere. I det følgende vil vi belyse de valg vi traf for undervisningen og diskutere fordele og ulemper ved valgene og for forløbet som helhed. Til sidst diskuterer vi forløbets muligheder som del af matematikundervisningen efter reformen.

2 Præsentation af klasserne og rammerne for projektforløbet. 2x MA3 er en 2.g klasse på Middelfart Gymnasium, der har valgt det 3-årige forløb til A-niveau (2A). Der er 23 elever i klassen. 2z Ma er en 2.g klasse på Amtsgymnasiet i Sønderborg, der har valgt det 2-årige forløb til B- niveau (2B). Der er 15 elever i klassen. For begge klasser foregår undervisningen efter ministeriets standardforsøg for matematikundervisning. Da klassen 2B skulle afslutte matematik indenfor 3 måneder er forløbet i denne klasse blev lidt kortere end forløbet i 2A, hvor klassen har matematik et år mere. I 2B blev forløbet afviklet på 6 moduler á 90 min og i 2A på 10 moduler. Projektets overordnede udviklingssigte Det vi finder svært ved problemorienteret undervisning er anvendelsen af autentiske problemer, som eleverne opfatter som vedkommende og gør til deres egne. Vores primære mål med projektet er derfor at finde et overordnet problem, der er så autentisk som muligt og som er vedkommende for matematikundervisningen. For at få eleverne til at til at overtage problemet og gøre det til deres eget, vil vi lade eleverne styre problemformuleringsfasen og selv formulere de konkrete problemer, de ønsker at arbejde med. Vi skaber altså en ramme i undervisningen, hvor eleverne overtager initiativet og selvstændigt arbejder med matematisk modellering for at løse et konkret problem. Intentionerne for elevernes udbytte af projektet Der er to vigtige mål med forløbet: Det ene er at eleverne kommer til at arbejde med deres modelleringskompetence, herunder med matematiske problemformuleringer. Det andet mål er, at videreudvikle elevernes forståelse af funktionsbegreb. Begge klasser har tidligere gennemført flere elevstyrede projekter i matematik, så projektarbejdskompetencen er ikke central i dette projekt, selvom vi i begge klasser afprøver nye styringsredskaber. Modelleringskompetence I 2B har klassen i to tidligere forløb diskuteret begrebet den matematiske model. Vi har benyttet lærebogens 1 opdeling i 4 cirkulært forbundne kasser: problem fra virkeligheden, matematisk problem, matematisk løsning, løsning af det virkelige problem. I dette forløb skal alle faser i modelleringen gennemføres af eleverne, men vægten er på den matematiske løsning. I rapporten skal eleverne redegøre for de 4 faser i modelleringen og sætte deres arbejde i relation til denne opstilling. I 2A har eleverne ikke i tidligere projekter arbejdet med modelleringsprocessen, idet de problemer, de skulle løse og den litteratur, der skulle anvendes, blev udleveret af læreren. Det gav en del frustration i forhold til den meget åbne problemstilling i dette projekt. 1 Carstensen og Frandsen MAT 2B, systime1998.

3 Erfaringerne fra de to forløb viser, at det er ønskeligt, at eleverne lærer og arbejder med modelleringsprocessen i mere lukkede forløb inden de stilles overfor de åbne. Problemformuleringskompetence I projektet skal eleverne selv sætte ord på problemet. Derfor forsøgte vi at beskrive problemstillingen så kortfattet som muligt. For at eleverne kan forstå problemet bliver de nødt til at udvide denne beskrivelse. Desuden skal de oversætte den til matematik. De skal så at sige komme fra ord til grafer og funktionsudtryk. Funktionsbegrebet De fagfaglige mål med projektet er, at gøre eleverne i stand til - selvstændigt at opstille funktionsudtryk - opstille en gaffelforskrift - at udvikle variabelkontrol - bestemmelse af forskrift ud fra overordnet model - redegøre for definitionsmængder - anvende grafregnerens plotfunktion sammen med graftegning arbejdet kan føre til - redegøre for egenskaber for polynomiumsbrøker - analyse af asymptoter - kontraintuitive resultater - parallelforskydning af grafer vha. f ( x h) + k - anvendelse af modulus funktionen Ved denne opdeling fremgår det at der er minimumskrav til besvarelsen af problemet, men at der indenfor projektets naturlige afgrænsning er klare muligheder for undervisningsdifferentiering og udfordringer til de bedste elever. Design af forløbet Problemformulering Det overordnede problem eleverne skulle arbejde med blev stillet således: Opstil en matematisk model ud fra hvilken man kan lave et elektronisk signal til et skilt som skal vise den anbefalede hastighed hen til et lyskryds. I det første modul var den skjulte læreplan så at få eleverne til at overtage problemstillingen og gøre den til deres egen. Fra elevernes synspunkt var målet med dobbelttimen at forstå problemet, dets omfang og kompleksitet, samt at forsøge at simplificere det til noget, de kunne arbejde med. Som tidligere nævnt betragter vi dette som et autentisk problem og da eleverne er omkring 18 år har vi en erfaring for at interessen for trafik er stor, hvilket blev bekræftet.

4 Organisering af forløbet Gruppedannelsen Da eleverne i 2A som nævnt er en ret homogen gruppe, blev det overladt til eleverne selv danne grupperne med max. 4 elever i hver gruppe. Dette blev gjort ud fra den betragtning, at eleverne fra starten skulle mærke, at det var deres projekt. I 2B blev grupper dannet ud fra 3 kriterier: Det første var, at grupperne blev sat sammen ud fra deres valg for 3.g, sådan at potentielle eksamenselever var i samme gruppe. Dernæst blev de sat sammen på tværs af deres sædvanlige sociale præferencer. Det tredje kriterium var at grupperne ikke måtte spænde over for mange karakterer. Altså skulle den sædvanligvis stærkeste elev ikke arbejde sammen med den svageste. Der var 4 elever i grupperne. Projektoplæg og faglig introduktion Formålet med projektoplægget og den faglige introduktion var at fange elevernes interesse. Vi tror at der er lige så mange måder at gøre det på, som der er lærere der underviser, men her er vores bud på hvordan interessen for problemet kan skabes. Problemet præsenteres og sættes i en passende kontekst. Det kan være et akut problem i byen der skal løses, eller eksempler fra et andet kendt sted, som præsenteres. Trafikregulering og bilisters lyst til at overholde sådanne inddrages og det diskuteres hvordan man kan få bilister til at lytte til det råd de får fra et trafiksignal. Den første lektion er tænkt som en samlet brain storm, hvor alle eleverne kan komme med idéer til forståelse af problemet. I fællesskab diskuteres mulige løsningsstrategier og det bliver snart klart at alle ikke er enige om hvilke variable der er vigtige og hvilke der i første omgang er uvæsentlige. Efter den indledende diskussion skulle eleverne i 2B arbejde sammen i de af læreren givne grupper og i disse grupper skulle de tage stilling til hvilket problem de ville løse og derefter påbegynde arbejdet. I 2A er det første gruppearbejde mere lærerstyret. Eleverne bliver bedt om at lave en liste over alle de variable, de mener, kan have indflydelse på, hvilken hastighed skiltet vil vise. Herefter bliver de bedt om to og to at beskrive, hvilken indflydelse de forskellige variable kan have på den anviste hastighed. Eksempelvis jo længere tid, der er grønt, desto længere tid kan skiltet vise den samme hastighed. Herefter skal eleverne danne grupper, og hver gruppe skal oprette en mappe på Fronter, hvor de kan lægge arbejdspapirer og kommunikere med læreren. Timeplan og deadlines Det er ikke muligt at opstille en timeplan, da eleverne skal arbejde selvstændigt med opgaverne og dermed selv definerer timernes indhold. På et passende tidspunkt - ca. midtvejs - i forløbet blev der i 2B indlagt et kort deduktivt forløb om metoder til at fastlægge en funktions regneforskrift. Der var 3 faser i forløbet: 1. Forståelse og formulering af problemet. 2. Opstilling af matematisk model og løsning af problemet. 3. Afrapportering. Den 1. fase er beskrevet i det ovenstående. Vejledning Der var ingen deadlines under forløbet, men under samtalerne med grupperne talte vi meget om hvad de skulle lave hjemme. Et så elevstyret forløb stiller krav til organisation af timerne.

5 Oplægget var i begge klasser at eleverne de sidste 10 min. at hver undervisningsgang arbejdede individuelt med noter, resumeer, logbog eller anden form for opsamling af dagens arbejde. Dette arbejde skulle finde sted i klasseværelset. Desuden skulle samtlige grupper i alle moduler fremlægge deres resultater for læreren og diskuterer videre mål. Der blev afsat 12 min. pr. gruppe. Denne organisation rummer ikke tid til yderligere spørgsmål og derfor indførte vi en ordning, hvor spørgsmål enten kunne skrives på Fronter, eller afleveres på et stykke papir. Hvis der var mange ens spørgsmål blev de gennemgået i starten af den efterfølgende time. Lektier: Det er svært at formulere gode lektier i dette forløb. Der kan enten blive tale om at læse et par sider i lærebogen, at skrive et resume at dagens diskussioner eller at renskrive gruppens resultater (fx grafer). Det er vigtigt at læreren er med til at formulere lektien. I praksis betød det at eleverne skulle skrive deres lektie til sig selv på et farvet ark til mig. Læreren holdt en tæt kontakt med hver enkelt gruppe gennem hele forløbet, og forsøgte gennem spørgsmål og vejledning at give grupperne individuelle deadlines og arbejdsopgaver. Det var ikke meningen, at alle grupper skulle arbejde med præcis samme problemstilling eller nå lige langt. Tekster og materialer Det er svært at vælge tekster til dette forløb, fordi teksterne ikke må indeholde løsningen af problemet og samtidig skal støtte elevernes arbejde. Vores kompromis var at inddrage udsnit af lærebogen, som behandlede de relevante matematikfærdigheder, såsom gaffelforskrifter, polynomiumsbrøker og matematisk modellering. Vi valgte desuden at udlevere et udsnit af Dejgaard og Michelsens Trafikmodeller for at give et eksempel på opstilling og afrapportering af en matematisk trafikmodel. Produkt og krav I 2B blev der ikke afsat tid til at skrive rapporten i undervisningen, men de noter og lektier de havde lavet dannede et godt udgangspunkt for rapporten. Kravene til rapporten i 2B ses nedenfor. I 2A blev de sidste 2 moduler afsat til rapportskrivning. Inden da blev grupperne bedt om at standse der, hvor de er nået til og samle arbejdspapirerne sammen, så de afslutte forløbet med, at hver gruppe afleverer en rapport, som de får en efterfølgende kommentering af. Rapportkrav - udleveres til eleverne ved projektstart (2B) Der skal afleveres en grupperapport. Alle gruppemedlemmer skal vide alt om alle afsnit i rapporten. Rapporten skal som minimum indeholde: Et konkret løsningsforslag til problemet Redegørelse for de valg der træffes En beskrivelse af modelarbejdet ud fra lærebogens figur 2 side 225. Detaljerede matematiske gennemgange af samtlige pile i figur 2 Grafer der beskriver signalet som funktion af tiden (for alle modeller der arbejdes med). Rapporten vil blive opgivet til mundtlig eksamination.

6 Evaluering Rapporterne rettes og kommenteres af læreren, hvorved eleverne får en faglig evaluering af deres arbejde. Elevernes evaluering af forløbet er mundtlig.

7 Beskrivelse af forløbet hvordan gik det? Arbejdede eleverne problemorienteret? (Tog de problemstillingen til sig) Der var stor forskel på i hvilken grad eleverne tog problemet til sig. For nogle grupper blev det et udfordrende matematisk problem, som de udforskede og udviklede og hvor de glædede sig over at opdage mangfoldigheden af muligheder udenfor den pensumorienterede undervisning. Et eksempel fra 2B er en gruppe der arbejdede med modulo funktioner og gav udtryk for glæde og overraskelse over anvendeligheden af en mærkelig funktion. For en anden gruppe i 2B blev projektet i højere grad relateret til bilkørsel og her opstod en respekt for information til trafikanter - spørgsmålet om det kan betale sig at rette sig efter et digitalt signal blev diskuteret. I 2A var spredningen ligeså stor. Eksempelvis arbejdede en gruppe med at få opstillet en generel model med så mange variable som muligt, mens en anden gruppe havde svært ved bare at forstå den simple model, som læreren havde præsenteret dem for, for at få dem i gang med projektet. Problemstillingen blev opfattet som interessant, men den hævede sig ikke til det ekstraordinære. Det forblev undervisning, om end alle grupper fik et udbytte af projektet der perspektiverede matematikundervisningen i forhold til deres personlige holdninger og livsanskuelse. Et krav som vi efter reformen i højere grad skal leve op til. Hvordan arbejdede de konkret med problemstillingen? For alle grupper i 2B var der en forventning til at de tidligt kunne overskue hele modellen og i fællesskab (grupper med lærer) arbejdede de sig i retning af de små overskuelige trin. Under forløbet blev de bedre til at stille de centrale spørgsmål, som det var muligt at få svar på. Et eksempel på at deres problemformuleringskompetence blev styrket. Der var behov for mange gentagelse og alle moduler blev startet med at skaffe overblik over resultaterne fra sidst. Denne gentagelse blev vigtig for rapporteringen, hvor det tydeligt fremgik at systematiseringen og forklaringerne gav overblik. I 2A blev det hurtigt klart for læreren (i løbet af første dobbeltlektion), at grupperne have svært ved at afgrænse problemet, og det kom derfor til at virke uoverskueligt at komme i gang. Derfor blev de præsenteret for en meget simpel fortolkning af problemet, ud fra hvilken de blev bedt om at arbejde videre. Selv den simple fortolkning voldte det dog et par grupper nogle problemer med at forstå. Arbejdet med problemet blev meget forskelligt, da eleverne i 2B blev tvunget til selv - med lærerhjælp - at arbejde sig igennem den frustrerende start, mens eleverne i 2A fik en opgave udleveret for at afhjælpe frustrationen. I det følgende vil vi give et par eksempler på konkret indhold i projektet. Eksempel 1 Minimumshastighed Et af de delproblemer der skulle løses var at bestemme minimumshastigheden. Besvarelsen af dette (umiddelbart) simple problem involverer mange faktorer: overblik, fortolkning af situation, variabelkontrol, afbildning på graf og omregning mellem enheder. Alene at finde frem til en beskrivelse af hvilken bil der var tale om var en udfordring, som krævede en matematisk samtale. Beregningen af hastigheden var herefter relativt let gennemført, hvorefter det næste

8 problem indtraf, - hvor skulle punkterne afsættes i koordinatsystemet? Her blev det tydeligt om de to tidsbegreber blev adskilt (den kronologiske tid i lyssignalet og bilistens tidsopfattelse). Til sidst skulle minimumshastigheden afbildes som et punkt i et koordinatsystem på lommeregneres grafdisplay hvilket i nogle grupper også voldte problemer, - og i andre helt blev glemt. En interessant observation i forbindelse med eleverne arbejde med minimumshastigheden var at de efter beregningen overvejede rimeligheden af resultatet og i flere tilfælde ændrede parametrene - afstanden fra skilt til lyskryds - for at få en passende minimumshastighed. De bibeholdt altså forbindelsen mellem modellen og det faktiske problem. Eksempel 2 Udfordringer - undervisningsdifferentiering Kravet til at signalet skulle digitaliseres gav anledning til en udfordring for de elever som ikke ville nøjes med at udvikle en trinvis model, men som ønskede at beskrive funktionen for t>0. Der er flere måder at løse problemet, men det kan løses ved at indføre modulofunktionen. For gruppemedlemmerne kan man tale om en aha oplevelse som viste dem at der faktisk er praktiske situationer, hvor mærkelige funktioner er anvendelige og uundværlige. En del af deres arbejde blev at forstå, beskrive og anvende en ukendt funktion. Disse elever arbejdede sig selvstændigt igennem en klassisk funktionsundersøgelse med henblik på at forstå funtionen godt nok til at løse deres konkrete problem. Eksempel 3 Tegning af grafer For at kunne opstille funktionsudtryk, skulle grupperne først tegne en graf, der viste den anbefalede hastighed som funktion af tiden. Dette voldte store problemer, idet det ikke var entydigt, hvilken tid, der skulle afsættes på x-aksen.. Til sidst måtte læreren gå ind og definere tiden som den tid, der er gået efter, at skilt og lyskryds er blevet tændt. En af grupperne i 2A arbejdede dog med en model, hvor tiden var den tid det tog, inden det blev grønt. Hvordan fungerede organiseringens forskellige faser? Problemformuleringsfasen blev ændret til en fase hvor eleverne skulle overtage det lærerformulerede problem. Den blev ændret fra at være en selvstændig problemformulering til at handle om at forstå problemet. Denne fase fungerede godt, især supplementet med diskussion af variable og variabelkontrol (HOT-model). Den første arbejdsfase var ledsaget af megen frustration. Vi måtte her kæmpe med års tradition for at matematikopgaver er lukkede og lette at gennemskue. Derfor kom lærerens rolle i høj grad til at handle om hjælp til at forsimple problemet og opstille delmål. Eleverne blev gradvis bedre til selv at overtage rollen for fortolker og problemformulerer. Under arbejdsfasen blev der i 2B indlagt et kort deduktivt forløb om metoder til bestemmelse af funktionsforskrifter, hvor de blev præsenteret for tre forskellige metoder: bestemmelse af konstanter når typen er kendt (algebraisk), bestemmelse af konstanter når typen er kendt (regression) samt en induktiv tilgang, hvor man ud fra beregninger generaliserer til et funktionsudtryk. Dette deduktive oplæg og kravet om anvendelse i projektet skabte ro og gav eleverne en velfortjent pause i projektet. Desuden tydeliggjorde det også at projektet var eksamensrelevant.

9 I 2Avar der ikke et egentligt deduktivt forløb, men der var flere af opgaverne, der var lærerstyrede. Grupperne kom typisk med en problemstilling, der hed; vi kan ikke komme videre, hvad skal vi gøre?. Nogle af grupperne var meget passive i forhold til at få en for dem acceptabel løsning af problemet. Derved fik det overordnede problem ikke rollen, som det der skulle drive projektet fremad. Hvordan fungerede arbejdet i grupperne? Vi havde valgt forskellige gruppeinddelinger i de 2 klasser. I 2B var gruppearbejdet forbløffende harmonisk og ligeværdigt. Der var brug for alle i alle grupper, - det var ikke muligt for ét gruppemedlem at løse problemet alene. Problemet skulle formuleres, omformuleres og diskuteres for at eleverne var i stand til at overskue modelleringen. Derfor var en sprogliggørelse og diskussion nødvendigt for alle parter og her var der brug for andre kompetencer end den værktøjskasse der bliver trænet i den traditionelle matematikundervisning. I 2A var der stor forskel på arbejdet i grupperne. I 3 af grupperne var der en god dynamik, og alle tog del i projektet. I de 3 andre grupper meldte nogle af eleverne sig ud af projektet, dels af faglige årsager, men også af sociale årsager. Generelt var der en dårlig kommunikation i grupperne, når det handlede om at være kritisk i forhold til de andre medlemmers arbejde. Dette gav sig blandt andet udtryk i nogle meget dårlige rapporter, hvor en kritisk læsning kunne have reddet mange af de sproglige og matematiske fejl. Det gav sig også til udtryk ved den mundtlige årsprøve, hvor nogle af de elever, der var oppe i projektet ikke helt var inde i det stof, de fremlagde. Hvordan fungerede vejledningen af grupperne? I 2B blev planen for gruppevejledningerne ikke altid overholdt. Ofte viste det sig at være mere hensigtsmæssigt at lave kortere vejledningsperioder og derved få mulighed for at tale med grupper mere end en gang pr. modul. I vejledingen blev jeg ofte bedt om hjælp til at skaffe overblik og give anvisninger på konkrete delspørgsmål. Gradvist ændrede min rolle sig og blev i højere grad hjælp til de matematiske detaljer. Faktisk valgte jeg ikke at gennemføre de lange samtaler med grupperne, som var planlagt. I stedet lavede jeg korte vejledninger for at holde grupperne i gang, da de var tilbøjelige til at gå i stå. Især i 1. halvdel af projektet var det nødvendigt med støtte og opmundring. I 2A blev strukturen overholdt meget strengt, hvilket er nyt i forhold til tidligere projekter, hvor eleverne har været vant til, at de kunne komme og få vejledning, når de havde et problem. Selvom det i oplægget var meningen, at de skulle forberede sig til disse samtaler (skrive spørgsmål til læreren via Fronter), så var de fleste grupper meget dårligt forberedte på samtalerne, hvilket betød en høj grad af lærerstyring af disse.

10 Fremgangsmåden i de to klasser er meget forskelligt. Ved at lave faste mødetider mellem lærer og grupper, tvinges eleverne til at engagere sig i den tid, hvor læreren ikke er til rådighed. Men samtidig er der en stor risiko for, at projekt ville være faldet til jorden, hvis læreren havde ladet grupperne være i fred. Derfor er det vigtigt, at grupperne går fra møderne med nogle konkrete arbejdsopgaver, som de mener sig i stand til at løse inden det næste møde med læreren. Dette er dog ingen garanti for, at de ikke kan gå i stå, og der opstår en del tidsspild. 6. Udvalgte pædagogiske observationer En af observationerne i 2B var at der gentagne gange måtte stilles de samme spørgsmål. De oftest stillede spørgsmål var: Hvad er minimumshastigheden i jeres model? Hvornår skal denne hastighed anbefales? På hvilke tidspunkter er lyset grønt? Hvornår skal bilisten anbefales at køre med maxhastigheden? I hvor lang tid skal maxhastigheden anbefales? Jeg har stillet spørgsmålene i næsten alle grupper og i flere af grupperne stillede jeg spørgsmålet flere gange - ofte i starten af et nyt modul. Desuden skulle jeg hjælpe med at holde styr på tidsvariablen, som kunne fortolkes på to forskellige måder. Jeg har efterfølgende overvejet om det var bedre hvis jeg havde udleveret en opgave som introduktion til projektet, hvori de skulle opstille en simpel model for et lyskryds med pæne tal. Opgave 1 I denne opgave skal der opstilles en model som kan danne grundlag for en programmering af signalet i skilte der anbefaler en hastighed hen mod et lyskryds. 60 a = 500 m På den valgte vejstrækning er der en hastighedsbegrænsning på 60 km/t og det digitale skilt som I skal lave skal stå 1 km fra lyskrydset. Lyset skifter hvert minut (vi ser i første omgang helt bort fra den gule fase). Hvor lang tid tager det at køre hen til lyskrydset ved den maksimale hastighed? Lad os antage at den første bil (t = 0) ser skiltet når lyset netop skifter til grønt. Kan den første bil fortsætte sin kørsel med en hastighed på 60 km/t? Bestem i hvilke tider efter skiftet til grønt at skiltet skal anbefale den maksimale hastighed. Hvad er den minimale hastighed der anbefales når a = 500 m? Hvornår anbefales denne hastighed? Udfyld nedenstående tabel og tegn en graf der viser lyssignalet som funktion af tiden for de første 4 minutter. t / [min] 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 V / [km/t] Redegør for at funktionen indenfor de første 2 minutter kan beskrives som

11 60 for f ( x) = 30 for 2 t Lav en funktionsforskrift for de første 4 minutter. t ]0, 1] t ]1; 2] Jeg må nok konkludere at for mit hold (2B) ville denne start have givet eleverne en større fortrolighed med opgaven, som sandsynligvis ville være motiverende. I stedet fik jeg en fase med frustration og den deraf følgende succes ved at løse opgaven. Selve projektet bliver dog markant ændret ved denne tilføjelse. Eleverne i 2B overtog gradvis problemet, om end det varede længere og var mere frustrerende end jeg havde forventet. Claus valgte af at inddrage et oplæg der ligner opgave 1. Nedenfor beskriver han resultatet af ændringen. I 2A blev det de grupper, der havde sværest ved at forstå problemstillingen, dem jeg havde mest kontakt med og vejledning af. Derfor tager den pædagogiske observation også udgangspunkt i en samtale med en af disse grupper. Som nævnt ovenfor så havde jeg for at få ledt grupperne på vej præsenteret dem for en fortolkning af problemet. Dvs. jeg havde på tavlen lavet en meget simpel model i form af en graf. Modellen havde følgende forudsætninger: - Der er kun en bil på vejen - Afstanden mellem skilt og lyssignal er 1 Km - Maks. Hastigheden på vejen er 60 Km/t. - Der er grønt og rødt i skiftevis 1 minut ad gangen (gult eksisterer ikke). - Alle andre forhold er ideelle. Jeg bad gruppen om at lege med denne model. Dvs. de skulle prøve at ændre på nogle af de ovenstående variable, og derudfra tegne en ny graf. De behøvede ikke i første omgang at bekymre sig om en regneforskrift. Ved næste samtale havde de tegnet 3 nye grafer, men det viste sig, at de endnu ikke havde forstået den første model, og de havde derfor også svært ved at forklare, hvordan de andre grafer var fremkommet. Vi brugte derfor vejledningen til at få en forståelse af problemet. Her er der en masse spørgsmål, f.eks. hvad er det for en tid, vi har på x-aksen? Eller hvor er bilen henne på vejen? Her er der i elevernes øjne et paradoks, for tiden er det tidspunkt bilen er ved skiltet, og bilen er altid ved skiltet. For at give gruppen en bedre forståelse lavede vi en ny model, hvor de havde ændret på de ovenstående variable. Herefter blev de sendt af sted med samme besked som første gang. Ved tredje samtale havde de lavet nogle nye grafer, men det viste sig igen, at de ikke var rigtige, og det skyldtes, at gruppen stadig ikke forstået problemet. De havde stadig svært fed at forklare deres modeller, og det virkede som om, de forsøgte at løse en opgave jeg havde stillet frem for at løse et problem, de selv havde formuleret. Ved at udlevere en konkret opgave i starten af forløbet blev hele forløbets indhold ændret væsentligt. I 2B blev formålet at opstille en simpel model til løsning af problemet, mens undervisningen i 2A i højere grad kom til at handle om at forstå den opstillede model og modellere den. En så umiddelbart ubetydelig ændring ændrer således fundamentalt hvilken

12 modelleringskompetence der er i fokus. De to forløb kan på en måde ses som hinandens forlængelser, hvor 2B opstiller modellen, mens 2A udbygger og analyserer den. I begge forløb blev det tydeligt at det er meget svært for eleverne at matematisere selv de simpleste ting. Netop det synes at være forløbets styrke. Elevernes udbytte i forhold til intentionerne Forløbet skabte mulighed for undervisningsdifferentiering og for enkelte elever blev forløbet en udvikling af forholdet mellem funktioner, grafer og funktionsforskrifter samt en forståelse af definitionsmængder. For andre igen blev det en mulighed for at sætte sig ind i nye områder at matematikken. Fælles for alle elever er at deres forståelse af funktionsbegrebet er udvidet. Dermed er det faglige kerneområdet på tilfredsstillende vis tilgodeset. Det ville være en god idé at arbejde med matematisk modellering og modelleringsprocessen, således eleverne er fortrolige med den inden de starter på projekter af denne type, hvor der er lagt op til en høj grad af elevstyring. Et godt aspekt ved dette projekt er, at de matematiske redskaber eleverne skal bruge i løsningen, er velkendte og simple. Hvilket betyder, at de ikke samtidig skal forstå en problemstilling og forsøge at forstå selve matematikken, de skal bruge. Rapporterne afspejler et kendt problem, nemlig det at eleverne ikke har behov for at præsentere et stykke matematik som de har forstået. Derfor er rapporterne fra de svagere grupper faktisk bedre end for der stærke grupper. For de eleverne som fandt alle faser i projektet svært, er alt veldokumenteret og velpræsenteret. For de stærke elever optræder formidlingen af de simple beregninger ikke relevant og de ser ikke at udeladelsen giver en usammenhængende rapport. Forløbet set i forhold til det overordnede udviklingssigte Det bedste ved forløbet var at opstille et problem som var ægte frustrerende, men samtidig muligt at løse. Det var bekræftende at se eleverne arbejde sig igennem et problem og se dem bruge hinanden ligeværdigt i arbejdet med matematikken. En anden god ting ved projektet var en god lærer-elev kontakt i vejledningssamtalerne. Det var ubehageligt når grupperne blev så frustrerede at læreren skulle bruge alle sine evner som motivator for at overvinde håbløsheden. Problemet var klart på grænsen af det eleverne selvstændigt kan håndtere. Et andet problem var en dårlig lærer-elev kontakt udenfor vejledningssamtalerne. Dette skyldes, at læreren havde travlt med vejledning af andre og eleverne var for dårlige til at føre logbog og dokumentere deres arbejde. En videreudvikling af forløbet kan være at der arrangeres flere fælles happenings. Der kan her være tale om mange forskellige tiltag. Fx kan man stille krav til at en eller 2 grupper skal præsentere noget (5. min) i hvert modul. Derved kan gode idéer inspirere andre og eleverne trænes i at argumentere. En anden mulighed er at lave et intro-forløb til projektet.

13 Da jeg læste rapporterne var det tydeligt hvilke grupper der havde fået målrettet vejledning om hvad der skulle indgå i rapporten. Derved blev det tydeligt i hvor høj grad læreren kan påvirke rapportskrivningen og elevernes overblik og udbytte. Derfor vil jeg fremover fokusere mere på den del af vejledingen. Jeg er blevet mere bevidst om min rolle som vejleder og hvilke vejledningsredskaber, jeg skal bruge i et projektforløb, såsom logbog, sociale kontrakter osv. I det hele taget har jeg lært, at det er vigtigt at bakke op om elevernes styring i projektet. Eksempelvis hvis en gruppe har givet hinanden lektier for, skal læreren være med til at skælde ud, hvis nogle af gruppens medlemmer ikke laver dem. Det vil give for meget splittelse, hvis man overlader det til eleverne. Hvordan kan erfaringerne integreres i praksis Det her beskrevne projekt om trafikregulering passer dårligt med kravene til matematikundervisningen på det almene gymnasium efter reformen. Jeg var meget forundret over at opdage denne uoverensstemmelse, som jeg vil belyse med citater fra læreplanen og vejledningen for matematik på A-niveau. I læreplanen fremgår det at eleverne skal kunne: håndtere formler, herunder kunne oversætte mellem symbolholdigt og naturligt sprog, og selvstændigt kunne anvende symbolholdigt sprog til at beskrive variabelsammenhænge og til at løse problemer med matematisk indhold [2.1 faglige mål]. Samtidig betones modellering [2.2 kernestof] og en eksperimenterende tilgang matematik [3.1 didaktiske principper]. Disse tre aspekter indgår central i vores trafikprojekt, men alligevel skal underviseren skabe pladsen til projektet, hvis det skal afvikles. Problemerne opstår allerede med de i dette forløb centrale matematiske færdigheder: - opstille funktionsudtryk vha. en gaffelforskrift. - redegøre for egenskaber for polynomiumsbrøker. - parallelforskyde grafer vha. f ( x h) + k Ingen af disse tre færdigheder indgår i kernestoffet for matematik-a efter reformen. Da ca. 1/3 af undervisningstiden skal anvendes på supplerende stof, håbede vi at forløbet på naturlig måde indgik her, men det er heller ikke tilfældet. Forløbets styrker findes i læreplanens didaktiske principper [3.1] hvor det det fremgår at det centrale i undervisningen er elevernes selvstændige håndtering af matematiske problemstillinger. Samtidig skal eleverne selvstændigt formulere formodninger ud fra konkrete eksempler. Begge disse krav er en vigtig del af vores skitserede forløb. Min fortolkning af disse citater understøtter min opfattelse af at forløbet er godt og udvikler elevernes studiekompetence ved at støtte det individuelle, det induktive og modelleringskompetencen. Desværre fremgår det af vejledningen at kravene til eleverne ikke er så høje, når man ser på deres selvstændige arbejde med matematikken. Ifølge vejledningen for matematik A punkt 2.h skal eleverne kunne demonstrere viden om matematikanvendelse inden for udvalgte områder, herunder viden om anvendelse i behandling af en mere kompleks problemstilling. At demonstrere viden om matematikanvendelse betyder, at man på reflekteret vis kan præsentere et stof, man har arbejdet med. Der ligger således ikke heri en forestilling om, at eleverne selvstændigt kan tage fat på en matematisk problembehandling og modellering at et materiale eller en problemstilling, der foreligger i umiddelbar og ubearbejdet form.

14 Vægten lægges altså på elevernes selvstændige bearbejdning af matematiske tekster, ikke på deres selvstændige arbejde med den matematiske model. De eksempler på induktive forløb der findes i vejledningen [3.a] er langt mindre omfattende end vores trafikprojekt og er primært eksempler hvor eleverne selv skal eksperimentere sig frem til mindre sætninger fx vinkelsummer, funktioners karakteristika. Et sidste problem for vores projekt er at det er svært at udvide projektet til et tværfagligt projekt. En mulighed ligger i udbyggelse af dimension om troværdighed og bilisters motivation for at overholde en fartgrænse. Personligt synes jeg at projektet udvikler centrale kompetencer hos eleverne, såsom funktionsforståelse, ligeværdigt gruppearbejde, variabelkompetence, selvstændighed, gå på mod og meget meget mere. Derfor synes jeg at det er ærgerligt at projektarbejdet i så høj grad skal være tværfagligt, da det ikke giver megen plads til fagfaglige projekter.