Cirklens fuldkommenhed Renæssancens arkitekturideal

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Cirklens fuldkommenhed Renæssancens arkitekturideal"

Transkript

1 Cirklens fuldkommenhed Renæssancens arkitekturideal Af Ivan Tafteberg Jakobsen, Århus Statsgymnasium Bygningsstatik som videnskabelig disciplin tager først sin begyndelse i midten af 1700-tallet, dvs længe efter renæssancen. Men hvad kendte renæssancen til bygningsstatik? Af forskellige grunde mente fremtrædende arkitekter, at rundbuen havde større styrke end spidsbuen, hvilket er forkert. I artiklen studeres bl.a. statikken i Firenzes domkirke. To berømtheder udtaler sig Renæssancen i Italien frembragte det første arkitekturteoretiske skrift siden antikken, De ti bøger om bygningskunsten skrevet af Leon Battista Alberti i midten af 1400-tallet. Her kommer Alberti ind på forskellige slags buer og deres anvendelse og omtaler bl.a. halvcirkelbuen, som han kalder den regulære bue, således: Det er selvindlysende at den regulære bue er den stærkeste; dette kan yderligere bevises ved ræsonnement og eksperiment. Faktisk kan jeg ikke se, hvordan buen skulle kunne falde sammen af sig selv, med mindre en af dens kiler skulle skubbe en anden ud af position; dette ville være højst usandsynligt, eftersom kilerne faktisk støtter og forstærker hinanden, og selv hvis det skulle begynde at ske, ville det naturlige pres fra enten deres støtte eller deres egen vægt forhindre kilerne i at give efter. ([1], s.82). Den berømte italienske renæssancekunstner Rafael (Raffaello Sanzio) omtalte i 1519 i et brev til pave Leo X den tyske arkitekturs måde, langt fra romernes skønne måde, hvormed han hentydede til den nordeuropæiske gotiske arkitektur og sammenlignede den med den antikke romerske, som man i bogstaveligste forstand havde for øje i Italien. Han fortsatte med at nævne den spidse bue (terzo acuto) og kaldte den svag (debole), hvorpå han skrev:... ifølge den matematiske fornuft kan en halvcirkelbue holde endnu mere oppe, alle dens linjer stræber mod et eneste centrum; og udover svagheden har terzo-acuto buen ikke den yndefuldhed i vore øjne, som cirklens fuldkommenhed glæder sig ved. Og det ses at naturen knap søger nogen anden form. ([6], s.215). Hvad kendte renæssancen til bygningsstatik? Det korte svar er: intet. Men det er både rigtigt og forkert. Ovenstående to citater, der stammer fra to af den italienske renæssances mest betydende mænd, viser, at man gjorde sig overvejelser over ligevægtsbetingelser. De mener begge, at rundbuen har større styrke end spidsbuen, Alberti giver fornuftsgrunde for det og Rafael kæder dette argument sammen med det æstetiske (yndefuldhed) og det filosofiske (cirklens fuldkommenhed) som en underbygning af hans negative holdning over for gotikkens arkitektur og hans beundring for den antikke romerske. Og så tager de begge fejl, det forholder sig lige omvendt. Det de troede de vidste, var forkert. Statik som videnskabelig eller måske snarere som matematisk disciplin blev opdyrket allerede hos grækerne, hvor Arkimedes ligefrem benyttede sig af vægtstangsreglen som genvej til de matematiske sætninger han senere lavede stringente beviser for. Men på det praktisk brugbare plan nåede man ikke meget videre end vægtstangsreglen. I middelalderens Europa tog Jordanus de Nemore emnet op igen, men det ser ikke ud som om disse lærde overvejelser har fundet vej til bygmestrene. Så der har været nogle meget spæde ansatser til en videnskabelig statik, men slet ikke på et niveau så man kunne bruge det til at foretage beregninger med. Og selv om man havde haft en lidt mere avanceret teori ville man ikke have kunnet bruge den til noget, fordi man manglede kvantitativ viden om materialernes egenskaber. Alligevel blev der jo bygget både i antikken, middelalderen og renæssancen. Antikken kunne opvise den imponerende kuppelbygning Pantheon i Rom, i middelalderen byggede man store, dristigt udformede katedraler i Nordeuropa og i renæssancen søgte man at overgå antikkens kupler i et storslået byggeprojekt i først Firenze og dernæst Rom. Hvordan kunne det lade sig gøre uden beregninger af styrke og belastninger og påvirkninger fra vind og jordskælv? Faktum er, at man gjorde det uden sådanne beregninger. Og man kan kun forklare det med århundreders overleveret praktisk kunnen og viden om materialerne og deres egenskaber, den øvede håndværkers fornemmelse for hvad der kan lade sig gøre og hvad der ikke kan lade sig gøre, intuition og for nogle bygmestres vedkommende slet og ret genialitet. Hvilke forestillinger man gjorde sig kan man på århundreders afstand kun få indblik i ved at studere bygningerne selv og så de skriftlige kilder. Den mundtlige overlevering, som måske er den vigtigste, er vi afskåret fra at kende. Bygningsstatik som videnskabelig disciplin tager først sin begyndelse i midten af 1700-tallet, dvs længe efter renæssancen. Domkirken i Firenze Lad os gå direkte til sagen ved at se på den store kuppel, der blev bygget på Santa Maria del Fiore, domkirken i Firenze, i perioden 1420 til Bygmesteren var Filippo Brunelleschi ( ). Man havde bygget på domkirkens treskibede hovedbygning op igennem KVANT, december

2 1300-tallet og man havde planlagt en kuppel over korsskæringen, man byggede sidekapellerne og tamburen som kuplen skulle hvile på, men ingen turde give sig i kast med selve kuplen på grund af dens enorme dimensioner. Der var bygget kupler på kirker tidligere i middelalderen, også i Italien (f.eks. på domkirken i Pisa), men ingen tilnærmelsesvis så store, 45 m i indre diameter - dvs samme størrelse som den berømte antikke kuppel på Pantheon, men anbragt med kuppelbasis i en højde af 55 m, hvor Pantheons kuppel hviler på en basis i en højde af blot 22 m. Vægtstangsreglen alene er nok til at forstå, at kuplens enorme vægt (den færdige kuppel kom til at veje ca ton) i 55 meters højde er langt farligere for ligevægten kraftens arm for en udskridning er jo mere end dobbelt så lang som for Pantheonkuplen. Og så kunne man slet ikke forestille sig hvordan man skulle kunne konstruere et understøttende stillads til et så kæmpemæssigt rum, dels skulle man 90 m i vejret og dels skulle stilladset bære en uhørt vægt. Inden byggeriet gik i gang havde Brunelleschi i 1420 ladet udfærdige et kortfattet byggeprogram, som faktisk stadig findes i et arkiv i Firenze. Vi har derfor et vist kendskab til de tanker Brunelleschi gjorde sig på forhånd, men desværre omfatter programmet kun den overordnede geometri og ikke detaljer i konstruktionsmåden eller ligevægtsovervejelser. Det fremgår dog, at han forestiller sig byggeriet foretaget uden stilladsunderstøtning fra gulvet. Brunelleschis kuppel blev bygget som to kuppelskaller, en tyk indre skal og en noget tyndere yderskal. Når man i dag stiger op i kuplen op til udsigtsplatformen ved lanternens fod sker det på trapper, der går mellem de to kuppelskaller. Denne udformning er med til at øge kuplens stabilitet, hvad Brunelleschi ikke har kunnet regne på, men givetvis har haft en intuitiv fornemmelse af. Kuplen er bygget af mursten og man kan den dag i dag iagttage murskifternes ejendommelige position, idet murværket imellem de to skaller aldrig er blevet pudset. Figur 1. Til venstre: Kuplen på Santa Maria del Fiore, domkirken i Firenze. Billedet stammer fra 1998, hvor der foregik restaureringsarbejder, som der næsten altid gør. Til højre: Dimensionerne (cirkatal) i kuplen og dens underbygning. Figur 3. Kuplens opbygning af ribber og kapper. De røde cirkelbuer angiver ribberne og det skraverede område til højre angiver én af de otte kapper. Der blev udskrevet en konkurrence om bygningen af kuplen i 1418, som Brunelleschi vandt. Hans metoder til at overvinde problemerne er den dag i dag genstand for diskussion, men en række ting har efterhånden udkrystalliseret sig. Kuplens profil og geometriske struktur Den profil som kuplen skulle have, var planlagt allerede en gang i 1300-tallet, og det var en spidsbue af en bestemt type, en såkaldt femtedels-bue (se fig. 2). Figur 4. Her ses den skæve cylinder, som kappen på fig. 3 er en del af. Da ribberne begge er cirkelbuer, vil et snit vinkelret på cylinderaksen give en ellipse som snitkurve. Figur 2. Spidsbuen dannes af to ens cirkelbuer, hvis radius er 4/5 af spidsbuens diameter. Kuplen er en såkaldt ribbekuppel, hvis kapper er dele af en skæv cylinderoverflade. Et af de spørgsmål man har drøftet meget er hvordan det har været muligt at opmure sådan en flade med tilstrækkelig præcision. Netop de ejendommelige murskifter rummer formentlig nøglen til en forståelse heraf. 18 Cirklens fuldkommenhed Renæssancens arkitekturideal

3 Figur 5. Figur 6. Murskifterne har tre interessante egenskaber: 1. De lodrette fuger mellem murstenene er rettet ind mod kuplens centralakse (se fig. 5) 2. De horisontale murstenslag hælder ind mod kuplens centralakse, og hældningen bliver større, jo højere oppe i kuplen de befinder sig derfor anførselstegn om horisontale (se fig. 6). 3. De horisontale fuger ligger ikke vandret gennem en kappe, som man ville have forventet, men danner en kædelinjeagtig kurve fra ribbe til ribbe. Alle tre ejendommeligheder kan forklares, hvis man forestiller sig at opmuringen er sket på overfladen af en såkaldt byggekegle som illustreret på fig. 7. Figur 9. Figur 10. Endnu en ejendommelighed skal nævnes: fiskebensmønstret i murværket. Figur 7. Kuplen med en byggekegle. Hvis man murede hele vejen rundt på overfladen af denne kegle, ville murværket netop komme til at få alle de tre ejendommelige egenskaber som er nævnt i teksten. Hvordan man i en højde mellem 55 og 100 m har kunnet afmærke på en sådan måde at denne enorme kegle har kunnet følges, er i høj grad et åbent spørgsmål som har været diskuteret livligt. Og så er det jo ikke bare én kegle, keglen har skullet ændres med regelmæssige mellemrum jo højere man kom op se fig. 8, 9 og 10. Figur 8. Figur 11. Fiskebensmønstret i kuplens murværk som det ses i opstigningspassagen mellem de to kuppelskaller. Dette kan også iagttages i mellemrummet mellem de to kuppelskaller, og en efter min mening meget troværdig teori siger, at dette mønster har tjent i hvert fald to formål: For det første har de lodret stillede mursten kunnet holde de vandrette mursten på plads ligesom i en kile de vandrette mursten kom jo til at hælde mere og mere jo højere man kom op, og de skulle forhindres i at rutsje ned, så længe mørtlen var blød. For det andet har de vandrette og de lodrette mursten i et murstenslag gennem en kappe kunnet fungere netop som et system af kiler, der holder hinanden på plads. Klemt inde mellem de tunge ribber kommer sådan et KVANT, december

4 murstenslag til at spille samme rolle som et såkaldt ligestik, der har været brugt allerede i oldtiden (se fig. 12 og 13). Figur 12. Snit gennem kappe, der viser de lodret stillede mursten. Ligheden med et almindeligt ligestik er umiskendelig. kirke, der stadig står i Pistoia, en naboby til Firenze. Her fik Giorgio Vasari ( ) til opgave at være arkitekt på fuldførelsen af kirken La Madonna dell U miltà, hvilket først og fremmest betød opførelsen af en kuppel. Vasari var ingen hvem som helst, han var både maler og arkitekt og den mest lærde kunstner ved storhertughoffet i Firenze. I dag er han mest kendt for at have skrevet en samling biografier af de mest betydningsfulde malere, billedhuggere og arkitekter i den italienske renæssance, hvori han også har givet en fyldig og lovprisende omtale af Brunelleschi. Vasari fik ført kuplen til ende i perioden , hvilket netop var i den periode, hvor man i Rom var optaget af hvordan Michelangelos projekt for kuplen på Peterskirken skulle føres ud i livet Michelangelo selv døde i Denne diskussion har givetvis også påvirket Vasari, og i hvert fald i valget af profil for kuplen kan vi se genklang af renæssancens filosofiske optagethed af cirklen og i rummet kuglen som den fuldkomne figur. Figur 13. Ligestik over åbning i kejser Neros palads Domus Aurea i Rom. En af dem der har deltaget i nutidens debat (som i Italien undertiden nærmer sig skænderi) om hvorledes byggeriet er foregået, er arkitekten Paolo Alberto Rossi. Fig. 14 viser en meget anskuelig tegning han har lavet som viser hvorledes samspillet mellem byggekegle og fiskebensmønster kunne tage sig ud under bygningen. Figur 15. Kuplen på La Madonna dell Umiltà. Figur 14. hentet fra Paolo Alberto Rossi: Le Cupole del Brunelleschi, Bologna 1982 p. 25. Brunelleschi har skullet beherske en betragtelig del rumgeometri for at kunne overskue dette projekt, som kun er skildret i meget grove træk ovenfor. Den klassiske, antikke geometri var netop i disse år ved at blive genoptaget og videreudviklet i Europa, læren om kegler og deres snitkurver var en del af denne geometri, og der er gode grunde til at tro at Brunelleschi havde adgang til de bedste kilder; han omgikkes i Firenze astronomen Paolo Toscanelli, der havde europæisk ry. Men han var en hemmelighedsfuld mand, der holdt kortene tæt til kroppen, så tæt at hans fremgangsmåde har været til diskussion lige til i dag. En uheldig efteraber Et virkelig pædagogisk eksempel på at hverken samtid eller eftertid rigtig har forstået Brunelleschis idéer er en Figur 16. Diagonalprofil for kuplen på La Madonna dell Umiltà. Efter [2], p Kuplen skulle bygges med en ottekantet basis, og den blev bygget som en ribbekuppel, der meget minder om Brunelleschis domkirkekuppel. Vasari efterlignede også hans dobbeltkuppelskal, og kapper og ribber blev 20 Cirklens fuldkommenhed Renæssancens arkitekturideal

5 muret op i mursten præcis som i Firenze. Men profilen var ikke længere en femtedelsprofil, men derimod en profil der næsten er en halvcirkel. Og de tre ovenfor omtalte egenskaber, som Brunelleschis murskifter har, er ikke til stede. De lodrette fuger hælder ganske vist noget, men de er ikke rettet mod et bestemt punkt på centralaksen, og murstenene synes at være lagt i plane lag fra ribbe til ribbe med det resultat at der bliver en gennemgående svaghed i ribbehjørnerne fordi der ikke er en kontinuitet i murværket gennem ribben som der er i Brunelleschis. Vasari har med andre ord ikke forstået Brunelleschis metode, men efterligner ham blot i det ydre. Kupler af sten I dag ved vi at en halvkuglekuppel af sten vil være påvirket af kræfter som vist på figuren. Da såvel natursten som mursten kan tåle temmelig stort tryk, men kun lidt træk, opstår der problemer fra ca 40 grader over basis og nedefter kuplen vil revne og skride ud som vist. Det havde man ingen mulighed for at beregne sig frem til i hverken middelalder eller renæssance, men personer med tilstrækkelig tæt tilknytning til bygningshåndværket kunne vide det af erfaring. I antikkens Rom murede man op omkring den nederste del, så kuplen udvendig kom til at se ud som en fladkuppel (således Pantheon i Rom). Hvorfor man gjorde det, ved man ikke, men det virkede. Man kan vise, at en spidsbuekuppel har svagere tangentialkræfter, og den er derfor et bedre valg. Statikken for ribbekupler er mere kompliceret, men som en første kvalitativ tilnærmelse er ovenstående billede tilstrækkeligt til at illustrere det byggetekniske problem. Mange kupler bygget både før og efter de store renæssancekupler har et bærende træskelet. Træ kan tage træk, men er brændbart. Resultatet udeblev heller ikke. Allerede året efter Vasaris død blev man bekymret for Kuplens stabilitet og få år efter installerede man de første jernringe til at sikre at den ikke faldt fra hinanden. Der viste sig store revner i murværket, og ribberne løsrev sig fra kapperne. Jernringene blev i tidens løb fulgt op af flere, og adskillige undersøgelser er blevet foretaget med bekymrede miner, den seneste i 1980 erne. Når man ser op på kuplen i dag (se fig. 15) ser man nogle sorte linjer forneden der kunne ligne et restaureringsstillads, men der er tale om en serie udvendige stålringe uden hvilke kuplen formentlig ville briste forneden (se boksen om kupler af sten). Fra Firenze til Rom Kuplen på Peterskirken er utænkelig uden inspirationen fra Brunelleschis kuppel i Firenze, men renæssancens idealer var nu for alvor slået igennem. Den første arkitekt på den nye Peterskirke i Rom, der blev påbegyndt omkring år 1500, var Donato Bramante. Hans idé var at sætte Pantheons kuppel altså en halvkuglekuppel oven på et klassisk tempel. Også Michelangelos første udkast havde en profil som var tæt på en halvcirkel. Der er ingen tvivl om, at argumenter af den type der er citeret i begyndelsen af artiklen, gjorde indtryk og spillede en stor rolle. Brunelleschi havde i sin tid benyttet en middelalderlig gotisk profil og havde løst sit problem, men denne løsning var man ikke til sinds at benytte. Det endte dog med at de arkitekter der overtog byggeriet efter Michelangelos død, ændrede profilen til en spidsbueprofil - en såkaldt tredjedelsbue, der ikke er helt så spids som Brunelleschis. Desuden fordoblede man antallet af ribber til 16, så kuplen kom tættere på en omdrejningskuppel. Mange af erfaringerne fra Firenze blev udnyttet her, og pladsen tillader ikke yderligere detaljer. Resultatet blev endnu en triumf for den håndværksmæssige kunnen og arkitekternes fornemmelse for det mulige og umulige men stadig uden noget ingeniørvidenskabeligt fundament. Peterskirken blev allerede fra begyndelsen forsynet med indmurede jernringe til at imødegå det fundamentale statikproblem, der er omtalt i boksen. Der er siden kommet flere jernringe til dog ingen synlige på samme måde som i Pistoia og bygningen er ligesom Firenzekuplen under konstant overvågning. Men Brunelleschis kuppel er aldrig blevet forsynet med jernringe og må i hvert fald i den forstand siges at være en bedre løsning på problemet. Peterskirken og den videnskabelige bygningsstatiks fødsel Halvandet århundrede efter Peterskirkens fuldførelse kom den til at spille en central rolle for oplysningstidens gryende ingeniørvidenskab. I midten af 1700-tallet blev der nemlig foranstaltet en større undersøgelse af kuplens statik på grund af bekymringer over revner i kuplen. Der blev skrevet flere afhandlinger om emnet og Giovanni Poleni er forfatter til en af de mest grundige og velargumenterede. Disse undersøgelser er gået over i historien som de første i vores forstand videnskabeligt funderede teorier om en kompliceret bygnings statik. Det er i den forbindelse værd at nævne, at det er en anderledes vanskelig sag også i dag at undersøge statikken for en historisk bygning end at redegøre for statikken i en bygning man er i færd med at rejse. Et detaljeret kendskab til bygningens hele struktur og de anvendte materialer er en nødvendig forudsætning, som man sjældent har, og som i sin yderste konsekvens kun kan opnås ved at rive bygningen ned. Derfor er drøftelsen af historiske bygninger på et ingeniørmæssigt plan også særdeles levende i dag, og det sidste ord er bestemt ikke sagt om hverken domkirken i Firenze eller Peterskirken i Rom. KVANT, december

6 Litteratur [1] Leon Battista Alberti (1486): De re aedificatoria. Engelsk overs (1988).: On the Art of Building in Ten Books. Translated by Joseph Rykwert, Neil Leach, and Robert Tavernor. M.I.T. Press. [2] Forskellige forfattere (1992): Centenario del Miracolo della Madonna dell Umiltà a Pistoia, Pistoia. [3] Ivan Tafteberg Jakobsen (1996): Geometrien bag domkirkekuplen i Firenze. Normat, årgang 44, s Her er det historiske og geometriske behandlet i større detalje. Her findes også en mere vidtgående litteraturliste. [4] Ross King (2000): Brunelleschis Dome. The Story of the Great Cathedral in Florence. London. Dette er en populær, journalistisk beskrivelse, der imidlertid giver mange interessante detaljer. [5] Howard Saalman (1980): Filippo Brunelleschi. The Cupola of Santa Maria del Fiore. London. Grundigt, arkitekturhistorisk værk. Aktuelle bøger [6] Renato Sparacio (1999): La Scienza e i tempi del costruire. Torino. Italiensk bog om materialer og teknisk baggrund for arkitektur på universitetsniveau, men ikke for ingeniører. Ivan Tafteberg Jakobsen er lektor i matematik ved Århus Statsgymnasium og har gennem en årrække arbejdet med inddragelse og formidling af stof af historisk karakter i matematikundervisningen fra matematikkens grænseområder som arkitektur, landmåling og navigation. Af Michael Cramer Andersen, KVANT Universet illustreret opslagsværk Forfattere: Martin Rees, Peter Frances, Georgina Garner, Rob Houston m.fl., Forlaget Aktium 2006, 512 sider, ill. i farver indb., 349 kr. inkl. moms. Se Denne bog er et meget omfangsrigt og flot billedværk om Universet fra A til Z. Bogen er delt op i tre hovedafsnit. De første knap 100 siders Introduktion giver overblik over astronomiens grundbegreber og besvarer spørgsmål som: Hvor stort er Universet og hvad indeholder det? Hvem har bidraget til udviklingen af verdensbilledet og hvilke metoder og arbejdsredskaber anvender astronomerne? Over de følgende godt 200 sider, Guide til Universet, kommer læseren på en rejse gennem først Solsystemet, så vores galakse Mælkevejen og til sidst Universet udenfor Mælkevejen. Bogens tredje del, Nattehimlen, er en guide for amatørastronomen, med stjernekort over alle stjernebillederne og en serie kort med stjernehimlen måned for måned, altsammen suppleret med billeder af interessante objekter og forklarende tekst, bl.a. nogle af myterne, der knytter sig til stjernebillederne. Bogen er æstetisk set meget flot og svær at lægge fra sig. Men det er samtidig svært, at læse den fra start til slut pga. den leksikalske opbygning. Men det er både en styrke og en svaghed ved værker af denne type (forlaget har tidligere udsendt en lignende bog om Jorden), at alle emner er brudt ned i opslag på 2 sider, hvilket hæmmer det samlede overblik. Det kan desuden være svært at vurdere, hvad der er vigtigt og hvad der blot er medtaget for fuldstændighedens skyld eller fordi der fandtes et flot billede. Til den nysgerrige læser, der har masser af tid og plads i bogreolen er der til gengæld rig mulighed for at gå på opdagelse i Universet. Himmelkalenderen 2007 Forfattere: Jan Teuber og Jan-Erik Ovaldsen, Nyt Teknisk Forlag 2006, 192 sider, ill.i farver, 149 kr. inkl. moms. Se Himmelkalenderen 2007 indeholder de traditionelle kalenderoplysninger samt information om astronomiske begivenheder og de enkelte planeters stilling på himmelen. Himmelkalenderen, der udkommer for anden gang, rummer desuden en astronomisk håndbog hvor man f.eks. kan få svar på hvornår Jorden er længst væk fra Solen, eller hvornår der er formørkelser i Danmark. Efter kalenderdelen og en evighedskalender, er der kort over stjernehimlen og en række korte informative artikler om bl.a. solsystemets planeter, exoplaneter, meteorsværme og meteoritter, kometer og deres kredsløb, kollisioner med jordkloden, teleskoper samt en række faktuelle tabeller. Der er gjort meget ud af at bruge nye billeder, hvoraf en del fylder hele siden, så de rigtig kommer til deres ret. Man får meget for pengene i denne lille bog, der vil være nyttig for enhver med interesse for astronomi. 22 Aktuelle bøger

7 Lærebøger om renæssancen Renæssancen da mennesket kom i centrum Forfattere: Kim Beck Danielsen og Sanne Stemann Knudsen, Systime 2005, 208 sider, ill., 180 kr. excl. moms. Se Denne bog beskriver perioden fra 1300-tallet til 1500-tallet, bl.a. gennem centrale kildetekster, med fokus i Norditalien. Bogen er beregnet for tværfagligt samarbejde på ungdomsuddannelserne i historie, dansk, billedkunst, fysik og andre fag især i Almen Studieforberedelse eller til studierejser til Firenze. Bogen fortæller historien om, hvordan Renæssancen startede i midten af 1300-tallet i litteraturen og siden bredte sig til malerkunst, arkitektur og til sidst naturvidenskab. Digteren Dante Alighieri ( ), fik stor betydning med Den guddommelige komedie, skrevet på italiensk folkesprog, hvor Dante selv er hovedpersonen, der føres gennem skærsilden, Helvede og planeternes sfærer til Himlen. Dante udtrykker sin vrede over de rige, der kun tænker på at tjene penge, og de får alle deres straf i Helvede. Dette samfundskritiske værk peger fremad mod en ny personlig tankegang. Perioden var præget af en genoplivning af antikkens højkulurer i Grækenland og Rom. Hvor det tidligere var herremændene og de gejstlige, der satte dagsordenen, blev det nu selvbevidste, rige købmænd, bankfolk og håndværkere med skaberkraft, der ønskede at forandre verden. Et af de kulturelle centre var byen Firenze, der får et helt kapitel. Ikke alle var rige, der var store klasseforskelle, og mens en stor del af befolkningen levede i fattigdom, eller døde af pest, krige og oversvømmelser, diskuterede de rige arkitektur, billedkunst, filosofi og politik og støttede kunstudsmykningen i kirkerne for at retfærdiggøre deres materielle liv. Men de rige handelslav finansierede desuden klostre og hospitaler, så der bl.a. blev sørget for forældreløse børn. Kapitlet om renæssancen indenfor naturvidenskaben er nok mest interessant her. Vi hører bl.a. om købmandssønnen Leonardo da Pisa ( ), eller Fibonacci, der på sine dannelsesrejser bl.a. fik indblik i arabisk matematik. Han skrev et indflydelsesrigt værk der konsekvent anvendte arabertallene, der gør beregninger betydeligt enklere end med romertal. Fibonacci præsenterede løsninger på mange handelsproblemer med brug af bl.a. brøker og kvadratrødder. Som løsning på problemet med hvordan antallet af kaninpar vokser med tiden, fremsættes Fibonaccitalrækken. Forholdet mellem to Fibonaccital går mod det gyldne snit, der allerede blev brugt i kunstværker i antikken og som blev genoptaget i renæssancen bl.a. af Leonardo da Vinci i hans tegning af menneskets proportioner (se forsiden). Leonardo da Vinci er et af de bedste eksempler på et rennæssancemenneske, der spændte over mange fagområder. Bogen omtaler desuden Cardano, der skrev bøger indenfor medicin, matematik og fysik; Cusanus og Kopernikus, der tog vigtige skridt til at forlade det middelalderlige verdensbillede; dominikanermunken Bruno der blev brændt som kætter for sine radikale teologiske idéer, inspireret af Kopernikus, og stjernekiggeren Galilei, der underbyggede det kopernikanske verdensbillede med sine astronomiske observationer. Teksten underbygges med originale tekstuddrag. Bogen afsluttes med eksempler på forskellige syn på renæssancen, fra Oplysningstidens positive til moderne historikeres mere kritiske syn. Det er en inspirerende bog og teksterne om videnskab kan f.eks. fint inddrage det historiske perspektiv i fysik- eller matematikundervisningen, evt. sammen med andre fag. Men man savner nogle regneopgaver. Skabt til at skabe Renæssancens kultur i Europa Forfattere: Flemming Clausen m.fl., Forlaget Alinea 2006, 123 sider, ill., 198 kr. excl. moms. Se og Denne bog er en genudgivelse af den snart klassiske lærebog fra 1990, der giver en bred kulturhistorisk indføring i renæssancens kultur i Europa med kilder. Bogen kan bl.a. bruges i historie, samfundsfag, billedkunst og fysik og har, som noget nyt et omfattende supplerende materiale på en hjemmeside. Her findes flere oversatte tekster samt forslag til ekskursioner, opgaver og projekter. I indledningen introduceres begrebet renæssance og de kulturstrømninger, der førte frem til perioden. I tre kapitler, diskuteres herefter temaerne Naturen, Mennesket og Samfundet via centrale tekster. Kapitlet om Naturen beskriver Aristoteles verdensbillede og hvordan det efterhånden krakelerede da Kopernikus flyttede verdens centrum væk fra Jorden og da Tycho Brahe opdagede en ny stjerne på himlen. To af de ingredienser, der i dag kendetegner naturvidenskab: eksperimenter og matematik, blev nyvurderet og fik en større betydning i vurderingen af argumenter. Aristoteles teorier om naturen var baseret på iagttagelser, og han afviste eksperimenter, fordi de var kunstige indgreb i naturen. Indenfor alkymien var eksperimenter til gengæld væsentlige. Herefter diskuteres forholdet mellem tro og viden med Galileis kamp for et nyt verdensbillede som det mest centrale eksempel. Efterhånden bryder Aristoteles verdensbillede dog helt sammen, hjulpet på vej af Francis Bacon, der pegede på at eksperimenter fører til ny indsigt, og Rene Descartes, der tvivlede på erfaringen og opbyggede et logisk deduktivt system hvilende på aksiomer. Descartes udviklede desuden en mekanistisk fysik, der også havde tilhængere længe efter Newtons fysik var udviklet. Bogen går på mange områder mere i dybden end den anden bog og kan stadig bruges til den historiske dimension i fysik. Men man savner også her egentlige regneopgaver. KVANT, december

Verdensbilleder i oldtiden

Verdensbilleder i oldtiden Verdensbilleder Teksten består af to dele. Den første del er uddrag fra Stenomuseets skoletjeneste(http://www.stenomuseet.dk/skoletj/), dog er spørgsmål og billeder udeladt. Teksten fortæller om hvordan

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN Man kan nøjes med at gennemføre første del af projektet, som er den spiralkonstruktion, der er omtalt i kapitel 10. Eller man kan udvide med anden del, der giver en mere elegant, men også mere kompliceret

Læs mere

Jorden placeres i centrum

Jorden placeres i centrum Arkimedes vægtstangsprincip. undgik konsekvent at anvende begreber om det uendeligt lille eller uendeligt store, og han udviklede en teori om proportioner, som overvandt forskellige problemer med de irrationale

Læs mere

Noter om Bærende konstruktioner. Skaller. Finn Bach, december 2009. Institut for Teknologi Kunstakademiets Arkitektskole

Noter om Bærende konstruktioner. Skaller. Finn Bach, december 2009. Institut for Teknologi Kunstakademiets Arkitektskole Noter om Bærende konstruktioner Skaller Finn Bach, december 2009 Institut for Teknologi Kunstakademiets Arkitektskole Statisk virkemåde En skal er et fladedannende konstruktionselement, som kan optage

Læs mere

Verdensbilleder Side 1 af 7

Verdensbilleder Side 1 af 7 Verdensbilleder ide 1 af 7 Verdensbilleder A. elvstændigt arbejde som forberedelse: 1. Følgende tekster læses grundigt forud, og der tages notater om personer, årstal, betydningsfulde opdagelser, samt

Læs mere

Månedens astronom februar 2006 side 1. 1: kosmologiens fødsel og problemer

Månedens astronom februar 2006 side 1. 1: kosmologiens fødsel og problemer Månedens astronom februar 2006 side 1 Verdensbilleder * Det geocentriske * Det geo-heliocentriske * Det heliocentriske 1: kosmologiens fødsel og problemer Astronomien er den ældste af alle videnskaber

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

MUSEET PÅ VEN. Lærervejledning 1.-3. klasse. Kære lærere, Vi er glade for at I har lyst til at komme på besøg med jeres klasse!

MUSEET PÅ VEN. Lærervejledning 1.-3. klasse. Kære lærere, Vi er glade for at I har lyst til at komme på besøg med jeres klasse! MUSEET PÅ VEN Lærervejledning 1.-3. klasse Kære lærere, Vi er glade for at I har lyst til at komme på besøg med jeres klasse! Denne vejledning er tænkt som et tilbud for dem der godt kunne tænke sig at

Læs mere

Fibonacci følgen og Det gyldne snit

Fibonacci følgen og Det gyldne snit Fibonacci følgen og Det gyldne snit af John V. Petersen Indhold Fibonacci... 2 Fibonacci følgen og Binets formel... 3... 4... 6... 6 Bevis for Binets formel... 7 Binets formel fortæller os, at...... 9...

Læs mere

RENÆSSANCEN I FIRENZE

RENÆSSANCEN I FIRENZE RENÆSSANCEN I FIRENZE Tværfagligt kursus for alle fag, især astronomi, billedkunst, dansk, design, filosofi, fysik, historie, italiensk, matematik, oldtidskundskab og religion Den italienske renæssance

Læs mere

Projekt 5.9. Geometriske fraktaler og fraktale dimensioner

Projekt 5.9. Geometriske fraktaler og fraktale dimensioner Projekt 5.9. Geometriske fraktaler og fraktale dimensioner Indhold 1. Fraktaler og vækstmodeller... 2 2. Kløverøen... 2 3. Fraktal dimension... 4 3.1 Skridtlængdemetoden... 4 3.2 Netmaskemetoden... 7 3.3

Læs mere

Renæssancen i Norditalien

Renæssancen i Norditalien Kulturspillets weekendkurser 2014 Renæssancen i Norditalien Tid: Lørdag den 1. feb. 2014 Sted: Århus, nærmere adresse følger Norditalien blev arnested for den historiske epoke, der trak Europa ud af Middelalderens

Læs mere

Den måde, maleren bygger sit billede op på, kaldes billedets komposition.

Den måde, maleren bygger sit billede op på, kaldes billedets komposition. Komposition - om at bygge et billede op Hvis du har prøvet at bygge et korthus, ved du, hvor vigtigt det er, at hvert kort bliver anbragt helt præcist i forhold til de andre. Ellers braser det hele sammen.

Læs mere

Det første kapitel / hvorledes målestaven skal laves og tilvirkes.

Det første kapitel / hvorledes målestaven skal laves og tilvirkes. Petrus Apianus beskrivelse af jakobsstaven 1533 af Ivan Tafteberg Jakobsen Oversættelse i uddrag fra Petrus Apianus: Instrument Buch durch Petrum Apianum erst von new beschriben. Ingolstadii, 1533. [Findes

Læs mere

F I N N H. K R I S T I A N S E N DET GYLDNE SNIT TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING

F I N N H. K R I S T I A N S E N DET GYLDNE SNIT TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING F I N N H. K R I S T I A N S E N 6 DET GYLDNE SNIT 4 TES REGNING MED REGNEARK KUGLE G Y L D E N D A L SIMULATIONER 5 LANDMÅLING Faglige mål: Demonstrere viden om matematikanvendelse samt eksempler på matematikkens

Læs mere

Den sproglige vending i filosofien

Den sproglige vending i filosofien ge til forståelsen af de begreber, med hvilke man udtrykte og talte om denne viden. Det blev kimen til en afgørende ændring af forståelsen af forholdet mellem empirisk videnskab og filosofisk refleksion,

Læs mere

Universet. Fra superstrenge til stjerner

Universet. Fra superstrenge til stjerner Universet Fra superstrenge til stjerner Universet Fra superstrenge til stjerner Af Steen Hannestad unıvers Universet Fra superstrenge til stjerner er sat med Adobe Garamond og Stone Sans og trykt på Arctic

Læs mere

Fig. 1 En bue på en cirkel I Geogebra er der adskillige værktøjer til at konstruere cirkler og buer:

Fig. 1 En bue på en cirkel I Geogebra er der adskillige værktøjer til at konstruere cirkler og buer: Euclidean Eggs Freyja Hreinsdóttir, University of Iceland 1 Introduction Ved hjælp af et computerprogram som GeoGebra er det nemt at lave geometriske konstruktioner. Specielt er der gode værktøjer til

Læs mere

Italiensk grundgrammatik - esercizi 1. udgave, Hurtigt overblik Udgivelsen er en komplet begyndergrammatikbog til italiensk.

Italiensk grundgrammatik - esercizi 1. udgave, Hurtigt overblik Udgivelsen er en komplet begyndergrammatikbog til italiensk. Italiensk Italiensk grundgrammatik - esercizi 1. udgave, 2011 ISBN 13 9788761616913 Forfatter(e) Flemming Forsberg, Alexander Forsberg Udgivelsen er en komplet begyndergrammatikbog til italiensk. 34 paragraffer

Læs mere

MUSEET PÅ VEN. Lærervejledning 4.-6. klasse. Kære lærere, Vi er glade for at I har lyst til at komme på besøg med jeres klasse!

MUSEET PÅ VEN. Lærervejledning 4.-6. klasse. Kære lærere, Vi er glade for at I har lyst til at komme på besøg med jeres klasse! MUSEET PÅ VEN Lærervejledning 4.-6. klasse Kære lærere, Vi er glade for at I har lyst til at komme på besøg med jeres klasse! Denne vejledning er tænkt som et tilbud for dem der godt kunne tænke sig at

Læs mere

GOTISK KIRKEARKITEKTUR Forslag til projekter om arkitektur i gymnasiet

GOTISK KIRKEARKITEKTUR Forslag til projekter om arkitektur i gymnasiet GOTISK KIRKEARKITEKTUR Forslag til projekter om arkitektur i gymnasiet Der foreligger her udkast til fire forløb: to til brug på forskellige studieretninger og to til almen studieforberedelse. Forløbene

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

Kursus Renæssancen i Firenze

Kursus Renæssancen i Firenze Kursus Renæssancen i Firenze Tværfagligt rejsekursus for ALLE fag, især: Dansk, italiensk, oldtidskundskab, billedkunst, design, filosofi, astronomi, fysik, historie, religion og matematik Den italienske

Læs mere

Opgaver til Det lille Fagbibliotek

Opgaver til Det lille Fagbibliotek Opgaver til Det lille Fagbibliotek Navn og klasse: Titel: Stjernerne Himlens diamanter Om fagbogen 1. Hvem er bogens forfattere? 2. Hvornår er bogen udgivet? 3. Nis Bangsbo har tilrettelagt bogen grafisk.

Læs mere

Konstruktion af SEGMENTBUE I MURVÆRK.

Konstruktion af SEGMENTBUE I MURVÆRK. Konstruktion af SEGMENTBUE I MURVÆRK. Murerviden.dk - 1 - RE Forudsætninger. Segmentbuens endepunkt i overkant sten Stander Overkant segmentbue i lejefuge Vederlag Pilhøjde Det er nødvendigt at kende visse

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

Naturlove som norm. n 1 n 2. Normalen

Naturlove som norm. n 1 n 2. Normalen Normalen u n 1 n 2 v Descartes lov, også kaldet Snels lov (efter den hollandske matematiker Willebrord Snel (1580-1636), som fandt den uafhængigt af Descartes), bruges til at beregne refraktionsindekset

Læs mere

Matematik og dam. hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil. Jonas Lindstrøm Jensen

Matematik og dam. hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil. Jonas Lindstrøm Jensen Matematik og dam hvordan matematik kan give overraskende resultater om et velkendt spil Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) March 200 Indledning Det klassiske spil dam spilles på et almindeligt skakbræt.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Erhvervsgymnasiet Grindsted Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTx Astronomi

Læs mere

Naturvidenskab. En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv

Naturvidenskab. En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv Naturvidenskab En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv Naturvidenskab defineres som menneskelige aktiviteter, hvor

Læs mere

Verdens alder ifølge de højeste autoriteter

Verdens alder ifølge de højeste autoriteter Verdens alder 1 Erik Høg 11. januar 2007 Verdens alder ifølge de højeste autoriteter Alle religioner har beretninger om verdens skabelse og udvikling, der er meget forskellige og udsprunget af spekulation.

Læs mere

Universet. Opgavehæfte. Navn: Klasse

Universet. Opgavehæfte. Navn: Klasse Universet Opgavehæfte Navn: Klasse Mål for emnet: Rummet Hvor meget ved jeg før jeg går i gang Skriv et tal fra 0-5 Så meget ved jeg, når jeg er færdig Skriv et tal fra 0-5 Jeg kan beskrive, hvad Big Bang

Læs mere

Verdens alder ifølge de højeste autoriteter

Verdens alder ifølge de højeste autoriteter Verdens alder ifølge de højeste autoriteter Alle religioner har beretninger om verdens skabelse og udvikling, der er meget forskellige og udsprunget af spekulation. Her fortælles om nogle få videnskabelige

Læs mere

Guide til lektielæsning

Guide til lektielæsning Guide til lektielæsning Gefions lærere har udarbejdet denne guide om lektielæsning. Den henvender sig til alle Gefions elever og er relevant for alle fag. Faglig læsning (=lektielæsning) 5- trinsmodellen

Læs mere

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen 12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Kortlægningen af den ydre og indre verden

Kortlægningen af den ydre og indre verden en start på. Derefter sker det ved udviklingen af et vidensproducerende system, hvor forskningsinstitutioner, læreanstalter, eksperter, industrilaboratorier osv. indgår som helt centrale elementer. den

Læs mere

Boxsekstant (kopi) instrumentbeskrivelse og virkemåde

Boxsekstant (kopi) instrumentbeskrivelse og virkemåde Boxsekstant (kopi) instrumentbeskrivelse og virkemåde Sekstantens dele Figur 1. Boxsekstanten med låget skruet på som håndtag. Figur 2 Boxsekstanten anbragt i sin trækasse i lukket tilstand. Boxsekstanten

Læs mere

Lad kendsgerningerne tale

Lad kendsgerningerne tale de på, at det nok snarere var hjernen. Vesalius bog var banebrydende både ved at skabe grundlaget for en videnskabelig og på observation baseret anatomi, og ved at være en uhørt velillustreret lærebog,

Læs mere

Lærervejledning 7.-9. klasse

Lærervejledning 7.-9. klasse Lærervejledning 7.-9. klasse Kære lærere, Vi er glade for at I har lyst til at komme på besøg med jeres klasse! Denne vejledning er tænkt som et tilbud for dem der godt kunne tænke sig at arbejde mere

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 10/11 Institution Uddannelsescenter Herning, Teknisk Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

Keplers Love. Om Kinematik og Dynamik i Renæssancens Astronomi. Folkeuniversitetet 9. oktober 2007

Keplers Love. Om Kinematik og Dynamik i Renæssancens Astronomi. Folkeuniversitetet 9. oktober 2007 Keplers Love Om Kinematik og Dynamik i Renæssancens Astronomi Folkeuniversitetet 9. oktober 2007 Poul Hjorth Institut for Matematik Danmarke Tekniske Universitet Middelalderens astronomi var en fortsættelse

Læs mere

Opgaveformuleringer til studieprojekt - Matematik og andet/andre fag:

Opgaveformuleringer til studieprojekt - Matematik og andet/andre fag: Opgaveformuleringer til studieprojekt - Matematik og andet/andre fag: Fag: Matematik/Historie Emne: Det gyldne snit og Fibonaccitallene Du skal give en matematisk behandling af det gyldne snit. Du skal

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2016 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Marie Kruses Skole Stx Fysik B Klaus Olsbjerg

Læs mere

Aristoteles og de athenske akademier

Aristoteles og de athenske akademier lige geometriske genstande, som var evige og foranderlige størrelser i en abstrakt verden. Erkendelse var således ikke erkendelse af sansernes verden, men af en anden verden, kun tilgængelig for ånden.

Læs mere

Keplers verdensbillede og de platoniske legemer (de regulære polyedre).

Keplers verdensbillede og de platoniske legemer (de regulære polyedre). Keplers verdensbillede og de platoniske legemer (de regulære polyedre). Johannes Kepler (1571-1630) var på mange måder en overgangsfigur i videnskabshistorien. Han ydede et stort bidrag til at matematisere

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Mørk energi Anja C. Andersen, Dark Cosmology Centre, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet

Mørk energi Anja C. Andersen, Dark Cosmology Centre, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet Mørk energi Anja C. Andersen, Dark Cosmology Centre, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet En af de mest opsigtsvækkende opdagelser inden for astronomien er, at Universet udvider sig. Det var den

Læs mere

Astrologi & Einsteins relativitetsteori

Astrologi & Einsteins relativitetsteori 1 Astrologi & Einsteins relativitetsteori Samuel Grebstein www.visdomsnettet.dk 2 Astrologi & Einsteins relativitetsteori Af Samuel Grebstein Fra The Beacon (Oversættelse Ebba Larsen) Astrologi er den

Læs mere

Mellem stjerner og planeter

Mellem stjerner og planeter Mellem stjerner og planeter Et undervisningsmateriale for folkeskolens 4. til 7. klassetrin om Tycho Brahes målinger af stjernepositioner Titelbladet fra Tycho Brahes bog De Nova Stella, udgivet i 1573.

Læs mere

Projekt 3.8. Månens bjerge

Projekt 3.8. Månens bjerge Projekt 3.8. Månens bjerge Introduktion til hvordan man kan arbejde med dette projekt. Det følgende kan integreres i et projekt om verdensbilleder, hvor man både kommer ind på diskussioner om at opnå erkendelse,

Læs mere

Figur 2: Forsiden af Dialogue fra 1632.

Figur 2: Forsiden af Dialogue fra 1632. Indledning Når man hører fortællinger om fysikkens historie, virker det ofte som om, der sker en lineær, kontinuert udvikling af naturvidenskaben. En ny og bedre teori afløser straks ved sin fremkomst

Læs mere

Naturvidenskabelig grundforløb

Naturvidenskabelig grundforløb Naturvidenskabelig grundforløb Den naturvidenskabelige revolution 1500-1750 ISBN 13 9788761613813 Forfatter(e) Marie Sørensen, Nanna Dissing Bay Jørgensen Følger de fem videnskabsmænd Kopernikus, Brahe,

Læs mere

På egne veje og vegne

På egne veje og vegne På egne veje og vegne Af Louis Jensen Louis Jensen, f. 1943 Uddannet arkitekt, debuterede i 1970 med digte i tidsskriftet Hvedekorn. Derefter fulgte en række digtsamlinger på forlaget Jorinde & Joringel.

Læs mere

Keplers love og Epicykler

Keplers love og Epicykler Keplers love og Epicykler Jacob Nielsen Keplers love Johannes Kepler (57-60) blev i år 600 elev hos Tyge Brahe (546-60) i Pragh, og ved sidstnævntes død i 60 kejserlig astronom. Kepler stiftede således

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

White Words Peter Callesen

White Words Peter Callesen White Words Peter Callesen White Words Et udsmykningsprojekt til KUA 2 Tårnet set fra stueetagen i Læringsgaden White Words - Detaljebilleder fra model Toppen af tårnet set fra 3. sal White Window, 2010

Læs mere

GRID. Intern faglig debat på Kunstakademiets Arkitektskole, Afd 6. N 38 Oktober 2000 - Særnummer i samarbejde med Pro 2

GRID. Intern faglig debat på Kunstakademiets Arkitektskole, Afd 6. N 38 Oktober 2000 - Særnummer i samarbejde med Pro 2 GRID Intern faglig debat på Kunstakademiets Arkitektskole, Afd 6 Einig zu sein ist göttlich und gut; woher ist die Sucht denn Unter den Menschen, daß nur Eines und Einer nur sei? HÖLDERLIN N 38 Oktober

Læs mere

INDLEDNING Bogens målgruppe 11 Ingen læse-rækkefølge 11 Bogens filosofiske udgangspunkt 11 Filosofi og meditation? 12 Platon hvorfor og hvordan?

INDLEDNING Bogens målgruppe 11 Ingen læse-rækkefølge 11 Bogens filosofiske udgangspunkt 11 Filosofi og meditation? 12 Platon hvorfor og hvordan? Indhold INDLEDNING Bogens målgruppe 11 Ingen læse-rækkefølge 11 Bogens filosofiske udgangspunkt 11 Filosofi og meditation? 12 Platon hvorfor og hvordan? 14 INDFØRING Filosofi 16 Filosofi spørgsmål og svar

Læs mere

Solsystemet. Præsentation: Niveau: 7. klasse. Varighed: 4 lektioner

Solsystemet. Præsentation: Niveau: 7. klasse. Varighed: 4 lektioner Solsystemet Niveau: 7. klasse Varighed: 4 lektioner Præsentation: Forløbet Solsystemet ligger i fysik-kemifokus.dk 7. klasse, men det er muligt at arbejde med forløbet både i 7. og 8. klasse. Solsystemet

Læs mere

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik.

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. M4 Dynamik 1. Kræfter i ligevægt Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. Fx har nøglen til forståelsen af hvad der foregår i det indre af en stjerne været betragtninger

Læs mere

ANNE ELLEKJÆR. leder i Dome of Visions og står for at skabe den kuratoriske ramme i bygningen på Søren Kierke-

ANNE ELLEKJÆR. leder i Dome of Visions og står for at skabe den kuratoriske ramme i bygningen på Søren Kierke- 76 ET TREDJE STED 77 ANNE ELLEKJÆR Dome of Visions er mange ting: Et opdateret forsamlingshus, et byudviklingsprojekt, et arkitektonisk og et bæredygtigt projekt klimatisk såvel leder i Dome of Visions

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Lærervejledning: Bygning, hjem, museum arkitektur på Ordrupgaard. Forløb: Arkitektur på Ordrupgaard. Fag: Dansk, billedkunst

Lærervejledning: Bygning, hjem, museum arkitektur på Ordrupgaard. Forløb: Arkitektur på Ordrupgaard. Fag: Dansk, billedkunst Lærervejledning: Bygning, hjem, museum arkitektur på Ordrupgaard Forløb: Arkitektur på Ordrupgaard Målgruppe: Udskoling Fag: Dansk, billedkunst Materialet består af to dele: Lærervejledning med information

Læs mere

Renæssancen: Kunst og arkitektur

Renæssancen: Kunst og arkitektur Renæssancen: Kunst og arkitektur Renæssancen starter i 1400-tallet i Italien. -Det var tanken om det gamle grækenlands og Roms storheds genfødsel, der lå bag ordet. Disse perioder benævnes antikken. Dengang

Læs mere

Bygning, hjem, museum

Bygning, hjem, museum Bygning, hjem, museum arkitektur på Ordrupgaard Undervisningsmateriale til udskolingen Arkitektur er bygninger. Bygninger til at leve i, til at opleve, til at lære i eller til at arbejde i. Arkitektur

Læs mere

STUDIERETNINGER PÅ RIBE KATEDRALSKOLE

STUDIERETNINGER PÅ RIBE KATEDRALSKOLE STUDIERETNINGER PÅ RIBE KATEDRALSKOLE På Ribe Katedralskole er grundforløbet tilrettelagt ens for alle elever, så eleverne uden problemer kan ændre deres foreløbige ønske om studieretning, når der til

Læs mere

Alle vandrette linjer, der er vinkelrette med synslinjen, er parallelle med horisonten.

Alle vandrette linjer, der er vinkelrette med synslinjen, er parallelle med horisonten. Perspektiv tegning Hjælp til perspektivtegning. Illustrationerne er købt fra Perspektivtegning - Matematik i Billedkunst, billedkunst i matematik. - en kopimappe som er lavet af Jørgen Skourup og Ole Stærkjær.

Læs mere

Menneskets opståen del 1. Fælles Mål. Ideer til undervisningen

Menneskets opståen del 1. Fælles Mål. Ideer til undervisningen Menneskets opståen del 1 DR2 2002 2 x 60 min Den pædagogiske vejledning knytter sig til de to første afsnit af tv-serien "Menneskets opståen" med undertitlerne "Darwins Farlige Tanker del 1 og 2". Hver

Læs mere

Når du skal fjerne en væg

Når du skal fjerne en væg Når du skal fjerne en væg Der skal både undersøgelser og ofte beregninger til, før du må fjerne en væg Før du fjerner en væg er det altid en god idé at rådføre dig med en bygningskyndig. Mange af væggene

Læs mere

Geometri i plan og rum

Geometri i plan og rum INTRO I kapitlet arbejder eleverne med plane og rumlige figurers egenskaber og med deres anvendelse som geometriske modeller. I den forbindelse kommer de bl.a. til at beskæftige sig med beregninger af

Læs mere

Nyhedsbrev om idéhistorie B på htx. Tema: Studieretningsprojektet

Nyhedsbrev om idéhistorie B på htx. Tema: Studieretningsprojektet Nyhedsbrev om idéhistorie B på htx Tema: Studieretningsprojektet Ministeriet for Børn og Undervisning Departementet Kontor for Gymnasiale Uddannelser September 2012 Hvorfor dette nyhedsbrev? I august og

Læs mere

************************************************************************

************************************************************************ Projektet er todelt: Første del har fokus på Euklids system og består af introduktionen, samt I og II. Anden del har fokus på Hilberts system fra omkring år 1900 og består af III sammen med bilagene. Man

Læs mere

Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre:

Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: 2 Indholdsfortegnelse: Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: Side 4: Side 5: Side 9: Side 10: Side 12: Side 14: Side 15: Side 16: Side 19: Side 20: Side 21: Side 23: Problemformulering. En nem tilgang

Læs mere

Studieretningsprojekter i machine learning

Studieretningsprojekter i machine learning i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer

Læs mere

Redaktionelt forord Kapitel 1. John Lockes værk og dets kontekst Kapitel 2. De fire temaer i Lockes værk... 17

Redaktionelt forord Kapitel 1. John Lockes værk og dets kontekst Kapitel 2. De fire temaer i Lockes værk... 17 Indholdsfortegnelse Statskundskabens klassikere John Locke Redaktionelt forord... 7 Kapitel 1. John Lockes værk og dets kontekst... 9 Kapitel 2. De fire temaer i Lockes værk... 17 Kapitel 3. Det første

Læs mere

Mellem stjerner og planeter

Mellem stjerner og planeter Mellem stjerner og planeter Et undervisningsmateriale for folkeskolens 8. til 10. klassetrin om Tycho Brahes målinger af stjernepositioner samt ændringen af verdensbilledet som følge af målingerne. Titelbladet

Læs mere

Tro og viden om universet gennem 5000 år

Tro og viden om universet gennem 5000 år Tro og viden om universet gennem 5000 år Niels Bohr Institutet, København Indhold: Universet, vi ved nu: 14 milliarder år gammelt Dante s univers, for 700 år siden: Den Guddommelige Komedie Videnskab,

Læs mere

en fysikers tanker om natur og erkendelse

en fysikers tanker om natur og erkendelse Einsteins univers en fysikers tanker om natur og erkendelse Helge Kragh Einsteins univers en fysikers tanker om natur og erkendelse Einsteins univers en fysikers tanker om natur og erkendelse Helge Kragh

Læs mere

1a. Mat A, Fys A, Kemi B

1a. Mat A, Fys A, Kemi B Studieretningsbeskrivelse for 1a. Mat A, Fys A, Kemi B I studieretningerne sætter de tre fag præg på undervisningen i klassens øvrige fag. Det sker gennem et samarbejde mellem to eller flere fag om et

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Introduktion til ovaler: Ovato Tondo fra Rafaels skole En oval er en lukket krum kurve med to vinkelrette symmetriakser, storeaksen og lilleaksen, og dermed også et symmetricentrum. Der findes mange forskellige

Læs mere

INDHOLD. 1 Verdens-billeder 10

INDHOLD. 1 Verdens-billeder 10 INDHOLD Forord 7 1 Verdens-billeder 10 Myter eller naturvidenskab 11 Observationer 12 Modeller 20 Keplers model Teori og praksis 36 Solen 37 Mælkevejen verdensbilledet fra 1609 til 1924 38 Det moderne

Læs mere

Hvorfor lyser de Sorte Huller? Niels Lund, DTU Space

Hvorfor lyser de Sorte Huller? Niels Lund, DTU Space Hvorfor lyser de Sorte Huller? Niels Lund, DTU Space Først lidt om naturkræfterne: I fysikken arbejder vi med fire naturkræfter Tyngdekraften. Elektromagnetiske kraft. Stærke kernekraft. Svage kernekraft.

Læs mere

Formalia Fy/hi opgave pa Svendborg Gymnasium og HF

Formalia Fy/hi opgave pa Svendborg Gymnasium og HF Formalia Fy/hi opgave pa Svendborg Gymnasium og HF På SG har vi i slutningen af 1.g en mulighed for at lave en mindre skriftlig opgave i historie i samarbejde med et andet af klassens fag. Formålet med

Læs mere

3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden

3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden Dette er den tredje af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden Lad os begynde

Læs mere

LAD DER BLIVE LYD. Af Lis Raabjerg Kruse

LAD DER BLIVE LYD. Af Lis Raabjerg Kruse LAD DER BLIVE LYD Af Lis Raabjerg Kruse Prøv du at skrive det i dit interview folk tror, man er fuldstændig bindegal det er jeg måske også. Men det er rigtigt, det jeg siger! Verden bliver til en stjernetåge,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Marie Kruses Skole Stx Astronomi C Klaus

Læs mere

Matematik. Læseplan og formål:

Matematik. Læseplan og formål: Matematik Læseplan og formål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

14 U l r i c h B e c k

14 U l r i c h B e c k En eftermiddag, da Ulrich Beck som ung førsteårs jurastuderende gik rundt i den sydtyske universitetsby Freiburg og tænkte over virkelighedens beskaffenhed, slog det ham pludselig, at det egentlig ikke

Læs mere

Den ældste beskrivelse af en jakobsstav (o.1340)

Den ældste beskrivelse af en jakobsstav (o.1340) Den ældste beskrivelse af en jakobsstav (o.1340) af Ivan Tafteberg Jakobsen Jakobsstaven er opfundet af den jødiske lærde Levi ben Gerson, også kendt under navnet Gersonides eller Leo de Balneolis, der

Læs mere

Eksempler på temaopgaver i matematik indenfor geometri

Eksempler på temaopgaver i matematik indenfor geometri Eksempler på temaopgaver i matematik indenfor geometri Med udgangspunkt i begrebsafklaringen fra dokumentet Matematik og den ny skriftlighed gives her fem eksempler på, hvordan de forskellige opgavetyper,

Læs mere

En stjernes fødsel, liv og død

En stjernes fødsel, liv og død En stjernes fødsel, liv og død Undervisningsforløb 2 - Origins2017 1 En stjernes fødsel, liv og død Undervisningsforløb 2 - Origins2017 Forfattere: Christina Ena Skovgaard, VUC Aarhus, Torben Arentoft,

Læs mere

Aalborg Universitet, Institut for Architektur&Design Gammel Torv 6 9000 Aalborg. 9. semester, 2003. Videnskabsteori. Jeppe Schmücker Skovmose

Aalborg Universitet, Institut for Architektur&Design Gammel Torv 6 9000 Aalborg. 9. semester, 2003. Videnskabsteori. Jeppe Schmücker Skovmose Videnskabsteori Aalborg Universitet, Institut for Architektur&Design Gammel Torv 6 9000 Aalborg 9. semester, 2003 Titel: Videnskabsteori Jeppe Schmücker Skovmose Videnskabsteori Udgangspunktet for opgaven

Læs mere

. Verdensbilledets udvikling

. Verdensbilledets udvikling . Verdensbilledets udvikling Vores viden om Solsystemets indretning er resultatet af mange hundrede års arbejde med at observere himlen og opstille teorier. Stjernerne flytter sig ligesom Solen 15' på

Læs mere

Fagmodul i Filosofi og Videnskabsteori

Fagmodul i Filosofi og Videnskabsteori ROSKILDE UNIVERSITET Studienævnet for Filosofi og Videnskabsteori Fagmodul i Filosofi og Videnskabsteori DATO/REFERENCE JOURNALNUMMER 1. september 2013 2012-906 Bestemmelserne i denne fagmodulbeskrivelse

Læs mere

Kryptologi og RSA. Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk)

Kryptologi og RSA. Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) Kryptologi og RSA Jonas Lindstrøm Jensen (jonas@imf.au.dk) 1 Introduktion Der har formodentlig eksisteret kryptologi lige så længe, som vi har haft et sprog. Ønsket om at kunne sende beskeder, som uvedkommende

Læs mere

Marianne Hesselbjerg

Marianne Hesselbjerg Marianne Hesselbjerg Projektbeskrivelse, Coffee Spot, Tårn G4 Projektet er udarbejdet med respekt for coffee spottets stramme design. Temaet for projektet er tid. Hvad er tid, kan man måle tid, se tid,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj 2017 Skive-

Læs mere