Cirklens fuldkommenhed Renæssancens arkitekturideal

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Cirklens fuldkommenhed Renæssancens arkitekturideal"

Transkript

1 Cirklens fuldkommenhed Renæssancens arkitekturideal Af Ivan Tafteberg Jakobsen, Århus Statsgymnasium Bygningsstatik som videnskabelig disciplin tager først sin begyndelse i midten af 1700-tallet, dvs længe efter renæssancen. Men hvad kendte renæssancen til bygningsstatik? Af forskellige grunde mente fremtrædende arkitekter, at rundbuen havde større styrke end spidsbuen, hvilket er forkert. I artiklen studeres bl.a. statikken i Firenzes domkirke. To berømtheder udtaler sig Renæssancen i Italien frembragte det første arkitekturteoretiske skrift siden antikken, De ti bøger om bygningskunsten skrevet af Leon Battista Alberti i midten af 1400-tallet. Her kommer Alberti ind på forskellige slags buer og deres anvendelse og omtaler bl.a. halvcirkelbuen, som han kalder den regulære bue, således: Det er selvindlysende at den regulære bue er den stærkeste; dette kan yderligere bevises ved ræsonnement og eksperiment. Faktisk kan jeg ikke se, hvordan buen skulle kunne falde sammen af sig selv, med mindre en af dens kiler skulle skubbe en anden ud af position; dette ville være højst usandsynligt, eftersom kilerne faktisk støtter og forstærker hinanden, og selv hvis det skulle begynde at ske, ville det naturlige pres fra enten deres støtte eller deres egen vægt forhindre kilerne i at give efter. ([1], s.82). Den berømte italienske renæssancekunstner Rafael (Raffaello Sanzio) omtalte i 1519 i et brev til pave Leo X den tyske arkitekturs måde, langt fra romernes skønne måde, hvormed han hentydede til den nordeuropæiske gotiske arkitektur og sammenlignede den med den antikke romerske, som man i bogstaveligste forstand havde for øje i Italien. Han fortsatte med at nævne den spidse bue (terzo acuto) og kaldte den svag (debole), hvorpå han skrev:... ifølge den matematiske fornuft kan en halvcirkelbue holde endnu mere oppe, alle dens linjer stræber mod et eneste centrum; og udover svagheden har terzo-acuto buen ikke den yndefuldhed i vore øjne, som cirklens fuldkommenhed glæder sig ved. Og det ses at naturen knap søger nogen anden form. ([6], s.215). Hvad kendte renæssancen til bygningsstatik? Det korte svar er: intet. Men det er både rigtigt og forkert. Ovenstående to citater, der stammer fra to af den italienske renæssances mest betydende mænd, viser, at man gjorde sig overvejelser over ligevægtsbetingelser. De mener begge, at rundbuen har større styrke end spidsbuen, Alberti giver fornuftsgrunde for det og Rafael kæder dette argument sammen med det æstetiske (yndefuldhed) og det filosofiske (cirklens fuldkommenhed) som en underbygning af hans negative holdning over for gotikkens arkitektur og hans beundring for den antikke romerske. Og så tager de begge fejl, det forholder sig lige omvendt. Det de troede de vidste, var forkert. Statik som videnskabelig eller måske snarere som matematisk disciplin blev opdyrket allerede hos grækerne, hvor Arkimedes ligefrem benyttede sig af vægtstangsreglen som genvej til de matematiske sætninger han senere lavede stringente beviser for. Men på det praktisk brugbare plan nåede man ikke meget videre end vægtstangsreglen. I middelalderens Europa tog Jordanus de Nemore emnet op igen, men det ser ikke ud som om disse lærde overvejelser har fundet vej til bygmestrene. Så der har været nogle meget spæde ansatser til en videnskabelig statik, men slet ikke på et niveau så man kunne bruge det til at foretage beregninger med. Og selv om man havde haft en lidt mere avanceret teori ville man ikke have kunnet bruge den til noget, fordi man manglede kvantitativ viden om materialernes egenskaber. Alligevel blev der jo bygget både i antikken, middelalderen og renæssancen. Antikken kunne opvise den imponerende kuppelbygning Pantheon i Rom, i middelalderen byggede man store, dristigt udformede katedraler i Nordeuropa og i renæssancen søgte man at overgå antikkens kupler i et storslået byggeprojekt i først Firenze og dernæst Rom. Hvordan kunne det lade sig gøre uden beregninger af styrke og belastninger og påvirkninger fra vind og jordskælv? Faktum er, at man gjorde det uden sådanne beregninger. Og man kan kun forklare det med århundreders overleveret praktisk kunnen og viden om materialerne og deres egenskaber, den øvede håndværkers fornemmelse for hvad der kan lade sig gøre og hvad der ikke kan lade sig gøre, intuition og for nogle bygmestres vedkommende slet og ret genialitet. Hvilke forestillinger man gjorde sig kan man på århundreders afstand kun få indblik i ved at studere bygningerne selv og så de skriftlige kilder. Den mundtlige overlevering, som måske er den vigtigste, er vi afskåret fra at kende. Bygningsstatik som videnskabelig disciplin tager først sin begyndelse i midten af 1700-tallet, dvs længe efter renæssancen. Domkirken i Firenze Lad os gå direkte til sagen ved at se på den store kuppel, der blev bygget på Santa Maria del Fiore, domkirken i Firenze, i perioden 1420 til Bygmesteren var Filippo Brunelleschi ( ). Man havde bygget på domkirkens treskibede hovedbygning op igennem KVANT, december

2 1300-tallet og man havde planlagt en kuppel over korsskæringen, man byggede sidekapellerne og tamburen som kuplen skulle hvile på, men ingen turde give sig i kast med selve kuplen på grund af dens enorme dimensioner. Der var bygget kupler på kirker tidligere i middelalderen, også i Italien (f.eks. på domkirken i Pisa), men ingen tilnærmelsesvis så store, 45 m i indre diameter - dvs samme størrelse som den berømte antikke kuppel på Pantheon, men anbragt med kuppelbasis i en højde af 55 m, hvor Pantheons kuppel hviler på en basis i en højde af blot 22 m. Vægtstangsreglen alene er nok til at forstå, at kuplens enorme vægt (den færdige kuppel kom til at veje ca ton) i 55 meters højde er langt farligere for ligevægten kraftens arm for en udskridning er jo mere end dobbelt så lang som for Pantheonkuplen. Og så kunne man slet ikke forestille sig hvordan man skulle kunne konstruere et understøttende stillads til et så kæmpemæssigt rum, dels skulle man 90 m i vejret og dels skulle stilladset bære en uhørt vægt. Inden byggeriet gik i gang havde Brunelleschi i 1420 ladet udfærdige et kortfattet byggeprogram, som faktisk stadig findes i et arkiv i Firenze. Vi har derfor et vist kendskab til de tanker Brunelleschi gjorde sig på forhånd, men desværre omfatter programmet kun den overordnede geometri og ikke detaljer i konstruktionsmåden eller ligevægtsovervejelser. Det fremgår dog, at han forestiller sig byggeriet foretaget uden stilladsunderstøtning fra gulvet. Brunelleschis kuppel blev bygget som to kuppelskaller, en tyk indre skal og en noget tyndere yderskal. Når man i dag stiger op i kuplen op til udsigtsplatformen ved lanternens fod sker det på trapper, der går mellem de to kuppelskaller. Denne udformning er med til at øge kuplens stabilitet, hvad Brunelleschi ikke har kunnet regne på, men givetvis har haft en intuitiv fornemmelse af. Kuplen er bygget af mursten og man kan den dag i dag iagttage murskifternes ejendommelige position, idet murværket imellem de to skaller aldrig er blevet pudset. Figur 1. Til venstre: Kuplen på Santa Maria del Fiore, domkirken i Firenze. Billedet stammer fra 1998, hvor der foregik restaureringsarbejder, som der næsten altid gør. Til højre: Dimensionerne (cirkatal) i kuplen og dens underbygning. Figur 3. Kuplens opbygning af ribber og kapper. De røde cirkelbuer angiver ribberne og det skraverede område til højre angiver én af de otte kapper. Der blev udskrevet en konkurrence om bygningen af kuplen i 1418, som Brunelleschi vandt. Hans metoder til at overvinde problemerne er den dag i dag genstand for diskussion, men en række ting har efterhånden udkrystalliseret sig. Kuplens profil og geometriske struktur Den profil som kuplen skulle have, var planlagt allerede en gang i 1300-tallet, og det var en spidsbue af en bestemt type, en såkaldt femtedels-bue (se fig. 2). Figur 4. Her ses den skæve cylinder, som kappen på fig. 3 er en del af. Da ribberne begge er cirkelbuer, vil et snit vinkelret på cylinderaksen give en ellipse som snitkurve. Figur 2. Spidsbuen dannes af to ens cirkelbuer, hvis radius er 4/5 af spidsbuens diameter. Kuplen er en såkaldt ribbekuppel, hvis kapper er dele af en skæv cylinderoverflade. Et af de spørgsmål man har drøftet meget er hvordan det har været muligt at opmure sådan en flade med tilstrækkelig præcision. Netop de ejendommelige murskifter rummer formentlig nøglen til en forståelse heraf. 18 Cirklens fuldkommenhed Renæssancens arkitekturideal

3 Figur 5. Figur 6. Murskifterne har tre interessante egenskaber: 1. De lodrette fuger mellem murstenene er rettet ind mod kuplens centralakse (se fig. 5) 2. De horisontale murstenslag hælder ind mod kuplens centralakse, og hældningen bliver større, jo højere oppe i kuplen de befinder sig derfor anførselstegn om horisontale (se fig. 6). 3. De horisontale fuger ligger ikke vandret gennem en kappe, som man ville have forventet, men danner en kædelinjeagtig kurve fra ribbe til ribbe. Alle tre ejendommeligheder kan forklares, hvis man forestiller sig at opmuringen er sket på overfladen af en såkaldt byggekegle som illustreret på fig. 7. Figur 9. Figur 10. Endnu en ejendommelighed skal nævnes: fiskebensmønstret i murværket. Figur 7. Kuplen med en byggekegle. Hvis man murede hele vejen rundt på overfladen af denne kegle, ville murværket netop komme til at få alle de tre ejendommelige egenskaber som er nævnt i teksten. Hvordan man i en højde mellem 55 og 100 m har kunnet afmærke på en sådan måde at denne enorme kegle har kunnet følges, er i høj grad et åbent spørgsmål som har været diskuteret livligt. Og så er det jo ikke bare én kegle, keglen har skullet ændres med regelmæssige mellemrum jo højere man kom op se fig. 8, 9 og 10. Figur 8. Figur 11. Fiskebensmønstret i kuplens murværk som det ses i opstigningspassagen mellem de to kuppelskaller. Dette kan også iagttages i mellemrummet mellem de to kuppelskaller, og en efter min mening meget troværdig teori siger, at dette mønster har tjent i hvert fald to formål: For det første har de lodret stillede mursten kunnet holde de vandrette mursten på plads ligesom i en kile de vandrette mursten kom jo til at hælde mere og mere jo højere man kom op, og de skulle forhindres i at rutsje ned, så længe mørtlen var blød. For det andet har de vandrette og de lodrette mursten i et murstenslag gennem en kappe kunnet fungere netop som et system af kiler, der holder hinanden på plads. Klemt inde mellem de tunge ribber kommer sådan et KVANT, december

4 murstenslag til at spille samme rolle som et såkaldt ligestik, der har været brugt allerede i oldtiden (se fig. 12 og 13). Figur 12. Snit gennem kappe, der viser de lodret stillede mursten. Ligheden med et almindeligt ligestik er umiskendelig. kirke, der stadig står i Pistoia, en naboby til Firenze. Her fik Giorgio Vasari ( ) til opgave at være arkitekt på fuldførelsen af kirken La Madonna dell U miltà, hvilket først og fremmest betød opførelsen af en kuppel. Vasari var ingen hvem som helst, han var både maler og arkitekt og den mest lærde kunstner ved storhertughoffet i Firenze. I dag er han mest kendt for at have skrevet en samling biografier af de mest betydningsfulde malere, billedhuggere og arkitekter i den italienske renæssance, hvori han også har givet en fyldig og lovprisende omtale af Brunelleschi. Vasari fik ført kuplen til ende i perioden , hvilket netop var i den periode, hvor man i Rom var optaget af hvordan Michelangelos projekt for kuplen på Peterskirken skulle føres ud i livet Michelangelo selv døde i Denne diskussion har givetvis også påvirket Vasari, og i hvert fald i valget af profil for kuplen kan vi se genklang af renæssancens filosofiske optagethed af cirklen og i rummet kuglen som den fuldkomne figur. Figur 13. Ligestik over åbning i kejser Neros palads Domus Aurea i Rom. En af dem der har deltaget i nutidens debat (som i Italien undertiden nærmer sig skænderi) om hvorledes byggeriet er foregået, er arkitekten Paolo Alberto Rossi. Fig. 14 viser en meget anskuelig tegning han har lavet som viser hvorledes samspillet mellem byggekegle og fiskebensmønster kunne tage sig ud under bygningen. Figur 15. Kuplen på La Madonna dell Umiltà. Figur 14. hentet fra Paolo Alberto Rossi: Le Cupole del Brunelleschi, Bologna 1982 p. 25. Brunelleschi har skullet beherske en betragtelig del rumgeometri for at kunne overskue dette projekt, som kun er skildret i meget grove træk ovenfor. Den klassiske, antikke geometri var netop i disse år ved at blive genoptaget og videreudviklet i Europa, læren om kegler og deres snitkurver var en del af denne geometri, og der er gode grunde til at tro at Brunelleschi havde adgang til de bedste kilder; han omgikkes i Firenze astronomen Paolo Toscanelli, der havde europæisk ry. Men han var en hemmelighedsfuld mand, der holdt kortene tæt til kroppen, så tæt at hans fremgangsmåde har været til diskussion lige til i dag. En uheldig efteraber Et virkelig pædagogisk eksempel på at hverken samtid eller eftertid rigtig har forstået Brunelleschis idéer er en Figur 16. Diagonalprofil for kuplen på La Madonna dell Umiltà. Efter [2], p Kuplen skulle bygges med en ottekantet basis, og den blev bygget som en ribbekuppel, der meget minder om Brunelleschis domkirkekuppel. Vasari efterlignede også hans dobbeltkuppelskal, og kapper og ribber blev 20 Cirklens fuldkommenhed Renæssancens arkitekturideal

5 muret op i mursten præcis som i Firenze. Men profilen var ikke længere en femtedelsprofil, men derimod en profil der næsten er en halvcirkel. Og de tre ovenfor omtalte egenskaber, som Brunelleschis murskifter har, er ikke til stede. De lodrette fuger hælder ganske vist noget, men de er ikke rettet mod et bestemt punkt på centralaksen, og murstenene synes at være lagt i plane lag fra ribbe til ribbe med det resultat at der bliver en gennemgående svaghed i ribbehjørnerne fordi der ikke er en kontinuitet i murværket gennem ribben som der er i Brunelleschis. Vasari har med andre ord ikke forstået Brunelleschis metode, men efterligner ham blot i det ydre. Kupler af sten I dag ved vi at en halvkuglekuppel af sten vil være påvirket af kræfter som vist på figuren. Da såvel natursten som mursten kan tåle temmelig stort tryk, men kun lidt træk, opstår der problemer fra ca 40 grader over basis og nedefter kuplen vil revne og skride ud som vist. Det havde man ingen mulighed for at beregne sig frem til i hverken middelalder eller renæssance, men personer med tilstrækkelig tæt tilknytning til bygningshåndværket kunne vide det af erfaring. I antikkens Rom murede man op omkring den nederste del, så kuplen udvendig kom til at se ud som en fladkuppel (således Pantheon i Rom). Hvorfor man gjorde det, ved man ikke, men det virkede. Man kan vise, at en spidsbuekuppel har svagere tangentialkræfter, og den er derfor et bedre valg. Statikken for ribbekupler er mere kompliceret, men som en første kvalitativ tilnærmelse er ovenstående billede tilstrækkeligt til at illustrere det byggetekniske problem. Mange kupler bygget både før og efter de store renæssancekupler har et bærende træskelet. Træ kan tage træk, men er brændbart. Resultatet udeblev heller ikke. Allerede året efter Vasaris død blev man bekymret for Kuplens stabilitet og få år efter installerede man de første jernringe til at sikre at den ikke faldt fra hinanden. Der viste sig store revner i murværket, og ribberne løsrev sig fra kapperne. Jernringene blev i tidens løb fulgt op af flere, og adskillige undersøgelser er blevet foretaget med bekymrede miner, den seneste i 1980 erne. Når man ser op på kuplen i dag (se fig. 15) ser man nogle sorte linjer forneden der kunne ligne et restaureringsstillads, men der er tale om en serie udvendige stålringe uden hvilke kuplen formentlig ville briste forneden (se boksen om kupler af sten). Fra Firenze til Rom Kuplen på Peterskirken er utænkelig uden inspirationen fra Brunelleschis kuppel i Firenze, men renæssancens idealer var nu for alvor slået igennem. Den første arkitekt på den nye Peterskirke i Rom, der blev påbegyndt omkring år 1500, var Donato Bramante. Hans idé var at sætte Pantheons kuppel altså en halvkuglekuppel oven på et klassisk tempel. Også Michelangelos første udkast havde en profil som var tæt på en halvcirkel. Der er ingen tvivl om, at argumenter af den type der er citeret i begyndelsen af artiklen, gjorde indtryk og spillede en stor rolle. Brunelleschi havde i sin tid benyttet en middelalderlig gotisk profil og havde løst sit problem, men denne løsning var man ikke til sinds at benytte. Det endte dog med at de arkitekter der overtog byggeriet efter Michelangelos død, ændrede profilen til en spidsbueprofil - en såkaldt tredjedelsbue, der ikke er helt så spids som Brunelleschis. Desuden fordoblede man antallet af ribber til 16, så kuplen kom tættere på en omdrejningskuppel. Mange af erfaringerne fra Firenze blev udnyttet her, og pladsen tillader ikke yderligere detaljer. Resultatet blev endnu en triumf for den håndværksmæssige kunnen og arkitekternes fornemmelse for det mulige og umulige men stadig uden noget ingeniørvidenskabeligt fundament. Peterskirken blev allerede fra begyndelsen forsynet med indmurede jernringe til at imødegå det fundamentale statikproblem, der er omtalt i boksen. Der er siden kommet flere jernringe til dog ingen synlige på samme måde som i Pistoia og bygningen er ligesom Firenzekuplen under konstant overvågning. Men Brunelleschis kuppel er aldrig blevet forsynet med jernringe og må i hvert fald i den forstand siges at være en bedre løsning på problemet. Peterskirken og den videnskabelige bygningsstatiks fødsel Halvandet århundrede efter Peterskirkens fuldførelse kom den til at spille en central rolle for oplysningstidens gryende ingeniørvidenskab. I midten af 1700-tallet blev der nemlig foranstaltet en større undersøgelse af kuplens statik på grund af bekymringer over revner i kuplen. Der blev skrevet flere afhandlinger om emnet og Giovanni Poleni er forfatter til en af de mest grundige og velargumenterede. Disse undersøgelser er gået over i historien som de første i vores forstand videnskabeligt funderede teorier om en kompliceret bygnings statik. Det er i den forbindelse værd at nævne, at det er en anderledes vanskelig sag også i dag at undersøge statikken for en historisk bygning end at redegøre for statikken i en bygning man er i færd med at rejse. Et detaljeret kendskab til bygningens hele struktur og de anvendte materialer er en nødvendig forudsætning, som man sjældent har, og som i sin yderste konsekvens kun kan opnås ved at rive bygningen ned. Derfor er drøftelsen af historiske bygninger på et ingeniørmæssigt plan også særdeles levende i dag, og det sidste ord er bestemt ikke sagt om hverken domkirken i Firenze eller Peterskirken i Rom. KVANT, december

6 Litteratur [1] Leon Battista Alberti (1486): De re aedificatoria. Engelsk overs (1988).: On the Art of Building in Ten Books. Translated by Joseph Rykwert, Neil Leach, and Robert Tavernor. M.I.T. Press. [2] Forskellige forfattere (1992): Centenario del Miracolo della Madonna dell Umiltà a Pistoia, Pistoia. [3] Ivan Tafteberg Jakobsen (1996): Geometrien bag domkirkekuplen i Firenze. Normat, årgang 44, s Her er det historiske og geometriske behandlet i større detalje. Her findes også en mere vidtgående litteraturliste. [4] Ross King (2000): Brunelleschis Dome. The Story of the Great Cathedral in Florence. London. Dette er en populær, journalistisk beskrivelse, der imidlertid giver mange interessante detaljer. [5] Howard Saalman (1980): Filippo Brunelleschi. The Cupola of Santa Maria del Fiore. London. Grundigt, arkitekturhistorisk værk. Aktuelle bøger [6] Renato Sparacio (1999): La Scienza e i tempi del costruire. Torino. Italiensk bog om materialer og teknisk baggrund for arkitektur på universitetsniveau, men ikke for ingeniører. Ivan Tafteberg Jakobsen er lektor i matematik ved Århus Statsgymnasium og har gennem en årrække arbejdet med inddragelse og formidling af stof af historisk karakter i matematikundervisningen fra matematikkens grænseområder som arkitektur, landmåling og navigation. Af Michael Cramer Andersen, KVANT Universet illustreret opslagsværk Forfattere: Martin Rees, Peter Frances, Georgina Garner, Rob Houston m.fl., Forlaget Aktium 2006, 512 sider, ill. i farver indb., 349 kr. inkl. moms. Se Denne bog er et meget omfangsrigt og flot billedværk om Universet fra A til Z. Bogen er delt op i tre hovedafsnit. De første knap 100 siders Introduktion giver overblik over astronomiens grundbegreber og besvarer spørgsmål som: Hvor stort er Universet og hvad indeholder det? Hvem har bidraget til udviklingen af verdensbilledet og hvilke metoder og arbejdsredskaber anvender astronomerne? Over de følgende godt 200 sider, Guide til Universet, kommer læseren på en rejse gennem først Solsystemet, så vores galakse Mælkevejen og til sidst Universet udenfor Mælkevejen. Bogens tredje del, Nattehimlen, er en guide for amatørastronomen, med stjernekort over alle stjernebillederne og en serie kort med stjernehimlen måned for måned, altsammen suppleret med billeder af interessante objekter og forklarende tekst, bl.a. nogle af myterne, der knytter sig til stjernebillederne. Bogen er æstetisk set meget flot og svær at lægge fra sig. Men det er samtidig svært, at læse den fra start til slut pga. den leksikalske opbygning. Men det er både en styrke og en svaghed ved værker af denne type (forlaget har tidligere udsendt en lignende bog om Jorden), at alle emner er brudt ned i opslag på 2 sider, hvilket hæmmer det samlede overblik. Det kan desuden være svært at vurdere, hvad der er vigtigt og hvad der blot er medtaget for fuldstændighedens skyld eller fordi der fandtes et flot billede. Til den nysgerrige læser, der har masser af tid og plads i bogreolen er der til gengæld rig mulighed for at gå på opdagelse i Universet. Himmelkalenderen 2007 Forfattere: Jan Teuber og Jan-Erik Ovaldsen, Nyt Teknisk Forlag 2006, 192 sider, ill.i farver, 149 kr. inkl. moms. Se Himmelkalenderen 2007 indeholder de traditionelle kalenderoplysninger samt information om astronomiske begivenheder og de enkelte planeters stilling på himmelen. Himmelkalenderen, der udkommer for anden gang, rummer desuden en astronomisk håndbog hvor man f.eks. kan få svar på hvornår Jorden er længst væk fra Solen, eller hvornår der er formørkelser i Danmark. Efter kalenderdelen og en evighedskalender, er der kort over stjernehimlen og en række korte informative artikler om bl.a. solsystemets planeter, exoplaneter, meteorsværme og meteoritter, kometer og deres kredsløb, kollisioner med jordkloden, teleskoper samt en række faktuelle tabeller. Der er gjort meget ud af at bruge nye billeder, hvoraf en del fylder hele siden, så de rigtig kommer til deres ret. Man får meget for pengene i denne lille bog, der vil være nyttig for enhver med interesse for astronomi. 22 Aktuelle bøger

7 Lærebøger om renæssancen Renæssancen da mennesket kom i centrum Forfattere: Kim Beck Danielsen og Sanne Stemann Knudsen, Systime 2005, 208 sider, ill., 180 kr. excl. moms. Se Denne bog beskriver perioden fra 1300-tallet til 1500-tallet, bl.a. gennem centrale kildetekster, med fokus i Norditalien. Bogen er beregnet for tværfagligt samarbejde på ungdomsuddannelserne i historie, dansk, billedkunst, fysik og andre fag især i Almen Studieforberedelse eller til studierejser til Firenze. Bogen fortæller historien om, hvordan Renæssancen startede i midten af 1300-tallet i litteraturen og siden bredte sig til malerkunst, arkitektur og til sidst naturvidenskab. Digteren Dante Alighieri ( ), fik stor betydning med Den guddommelige komedie, skrevet på italiensk folkesprog, hvor Dante selv er hovedpersonen, der føres gennem skærsilden, Helvede og planeternes sfærer til Himlen. Dante udtrykker sin vrede over de rige, der kun tænker på at tjene penge, og de får alle deres straf i Helvede. Dette samfundskritiske værk peger fremad mod en ny personlig tankegang. Perioden var præget af en genoplivning af antikkens højkulurer i Grækenland og Rom. Hvor det tidligere var herremændene og de gejstlige, der satte dagsordenen, blev det nu selvbevidste, rige købmænd, bankfolk og håndværkere med skaberkraft, der ønskede at forandre verden. Et af de kulturelle centre var byen Firenze, der får et helt kapitel. Ikke alle var rige, der var store klasseforskelle, og mens en stor del af befolkningen levede i fattigdom, eller døde af pest, krige og oversvømmelser, diskuterede de rige arkitektur, billedkunst, filosofi og politik og støttede kunstudsmykningen i kirkerne for at retfærdiggøre deres materielle liv. Men de rige handelslav finansierede desuden klostre og hospitaler, så der bl.a. blev sørget for forældreløse børn. Kapitlet om renæssancen indenfor naturvidenskaben er nok mest interessant her. Vi hører bl.a. om købmandssønnen Leonardo da Pisa ( ), eller Fibonacci, der på sine dannelsesrejser bl.a. fik indblik i arabisk matematik. Han skrev et indflydelsesrigt værk der konsekvent anvendte arabertallene, der gør beregninger betydeligt enklere end med romertal. Fibonacci præsenterede løsninger på mange handelsproblemer med brug af bl.a. brøker og kvadratrødder. Som løsning på problemet med hvordan antallet af kaninpar vokser med tiden, fremsættes Fibonaccitalrækken. Forholdet mellem to Fibonaccital går mod det gyldne snit, der allerede blev brugt i kunstværker i antikken og som blev genoptaget i renæssancen bl.a. af Leonardo da Vinci i hans tegning af menneskets proportioner (se forsiden). Leonardo da Vinci er et af de bedste eksempler på et rennæssancemenneske, der spændte over mange fagområder. Bogen omtaler desuden Cardano, der skrev bøger indenfor medicin, matematik og fysik; Cusanus og Kopernikus, der tog vigtige skridt til at forlade det middelalderlige verdensbillede; dominikanermunken Bruno der blev brændt som kætter for sine radikale teologiske idéer, inspireret af Kopernikus, og stjernekiggeren Galilei, der underbyggede det kopernikanske verdensbillede med sine astronomiske observationer. Teksten underbygges med originale tekstuddrag. Bogen afsluttes med eksempler på forskellige syn på renæssancen, fra Oplysningstidens positive til moderne historikeres mere kritiske syn. Det er en inspirerende bog og teksterne om videnskab kan f.eks. fint inddrage det historiske perspektiv i fysik- eller matematikundervisningen, evt. sammen med andre fag. Men man savner nogle regneopgaver. Skabt til at skabe Renæssancens kultur i Europa Forfattere: Flemming Clausen m.fl., Forlaget Alinea 2006, 123 sider, ill., 198 kr. excl. moms. Se og Denne bog er en genudgivelse af den snart klassiske lærebog fra 1990, der giver en bred kulturhistorisk indføring i renæssancens kultur i Europa med kilder. Bogen kan bl.a. bruges i historie, samfundsfag, billedkunst og fysik og har, som noget nyt et omfattende supplerende materiale på en hjemmeside. Her findes flere oversatte tekster samt forslag til ekskursioner, opgaver og projekter. I indledningen introduceres begrebet renæssance og de kulturstrømninger, der førte frem til perioden. I tre kapitler, diskuteres herefter temaerne Naturen, Mennesket og Samfundet via centrale tekster. Kapitlet om Naturen beskriver Aristoteles verdensbillede og hvordan det efterhånden krakelerede da Kopernikus flyttede verdens centrum væk fra Jorden og da Tycho Brahe opdagede en ny stjerne på himlen. To af de ingredienser, der i dag kendetegner naturvidenskab: eksperimenter og matematik, blev nyvurderet og fik en større betydning i vurderingen af argumenter. Aristoteles teorier om naturen var baseret på iagttagelser, og han afviste eksperimenter, fordi de var kunstige indgreb i naturen. Indenfor alkymien var eksperimenter til gengæld væsentlige. Herefter diskuteres forholdet mellem tro og viden med Galileis kamp for et nyt verdensbillede som det mest centrale eksempel. Efterhånden bryder Aristoteles verdensbillede dog helt sammen, hjulpet på vej af Francis Bacon, der pegede på at eksperimenter fører til ny indsigt, og Rene Descartes, der tvivlede på erfaringen og opbyggede et logisk deduktivt system hvilende på aksiomer. Descartes udviklede desuden en mekanistisk fysik, der også havde tilhængere længe efter Newtons fysik var udviklet. Bogen går på mange områder mere i dybden end den anden bog og kan stadig bruges til den historiske dimension i fysik. Men man savner også her egentlige regneopgaver. KVANT, december

RENÆSSANCEN I FIRENZE

RENÆSSANCEN I FIRENZE RENÆSSANCEN I FIRENZE Tværfagligt kursus for alle fag, især astronomi, billedkunst, dansk, design, filosofi, fysik, historie, italiensk, matematik, oldtidskundskab og religion Den italienske renæssance

Læs mere

Kursus Renæssancen i Firenze

Kursus Renæssancen i Firenze Kursus Renæssancen i Firenze Tværfagligt rejsekursus for ALLE fag, især: Dansk, italiensk, oldtidskundskab, billedkunst, design, filosofi, astronomi, fysik, historie, religion og matematik Den italienske

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

Fibonacci følgen og Det gyldne snit

Fibonacci følgen og Det gyldne snit Fibonacci følgen og Det gyldne snit af John V. Petersen Indhold Fibonacci... 2 Fibonacci følgen og Binets formel... 3... 4... 6... 6 Bevis for Binets formel... 7 Binets formel fortæller os, at...... 9...

Læs mere

Mellem stjerner og planeter

Mellem stjerner og planeter Mellem stjerner og planeter Et undervisningsmateriale for folkeskolens 4. til 7. klassetrin om Tycho Brahes målinger af stjernepositioner Titelbladet fra Tycho Brahes bog De Nova Stella, udgivet i 1573.

Læs mere

Formalia Fy/hi opgave pa Svendborg Gymnasium og HF

Formalia Fy/hi opgave pa Svendborg Gymnasium og HF Formalia Fy/hi opgave pa Svendborg Gymnasium og HF På SG har vi i slutningen af 1.g en mulighed for at lave en mindre skriftlig opgave i historie i samarbejde med et andet af klassens fag. Formålet med

Læs mere

Fig. 1 En bue på en cirkel I Geogebra er der adskillige værktøjer til at konstruere cirkler og buer:

Fig. 1 En bue på en cirkel I Geogebra er der adskillige værktøjer til at konstruere cirkler og buer: Euclidean Eggs Freyja Hreinsdóttir, University of Iceland 1 Introduction Ved hjælp af et computerprogram som GeoGebra er det nemt at lave geometriske konstruktioner. Specielt er der gode værktøjer til

Læs mere

Keplers love og Epicykler

Keplers love og Epicykler Keplers love og Epicykler Jacob Nielsen Keplers love Johannes Kepler (57-60) blev i år 600 elev hos Tyge Brahe (546-60) i Pragh, og ved sidstnævntes død i 60 kejserlig astronom. Kepler stiftede således

Læs mere

. Verdensbilledets udvikling

. Verdensbilledets udvikling . Verdensbilledets udvikling Vores viden om Solsystemets indretning er resultatet af mange hundrede års arbejde med at observere himlen og opstille teorier. Stjernerne flytter sig ligesom Solen 15' på

Læs mere

Matematik i AT (til elever)

Matematik i AT (til elever) 1 Matematik i AT (til elever) Matematik i AT (til elever) INDHOLD 1. MATEMATIK I AT 2 2. METODER I MATEMATIK OG MATEMATIKKENS VIDENSKABSTEORI 2 3. AFSLUTTENDE AT-EKSAMEN 3 4. SYNOPSIS MED MATEMATIK 4 5.

Læs mere

Mellem stjerner og planeter

Mellem stjerner og planeter Mellem stjerner og planeter Et undervisningsmateriale for folkeskolens 8. til 10. klassetrin om Tycho Brahes målinger af stjernepositioner samt ændringen af verdensbilledet som følge af målingerne. Titelbladet

Læs mere

Den ældste beskrivelse af en jakobsstav (o.1340)

Den ældste beskrivelse af en jakobsstav (o.1340) Den ældste beskrivelse af en jakobsstav (o.1340) af Ivan Tafteberg Jakobsen Jakobsstaven er opfundet af den jødiske lærde Levi ben Gerson, også kendt under navnet Gersonides eller Leo de Balneolis, der

Læs mere

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen 12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre

Læs mere

Metoder og erkendelsesteori

Metoder og erkendelsesteori Metoder og erkendelsesteori Af Ole Bjerg Inden for folkesundhedsvidenskabelig forskning finder vi to forskellige metodiske tilgange: det kvantitative og det kvalitative. Ser vi på disse, kan vi konstatere

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Italien spørgeskema til sproglærere dataanalyse

Italien spørgeskema til sproglærere dataanalyse Italien spørgeskema til sproglærere dataanalyse Dig selv 1. 32 sproglærere har besvaret spørgeskemaet, 15 underviser på mellemtrinnet, 17 på ældste trin. 2. 23 underviser i engelsk, 6 i fransk, 3 i tysk,

Læs mere

Det dobbelte bogholderi og centralperspektivet

Det dobbelte bogholderi og centralperspektivet aristoteliske opfattelser fandtes stadig, endda helt frem til 1600-tallet, hvor der så til gengæld opstod radikalt andre ideer. Men indtil da udvikledes de aristoteliske og ny-platoniske opfattelser sig

Læs mere

Studieretningsprojekter i machine learning

Studieretningsprojekter i machine learning i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer

Læs mere

Verdensbilleder Historisk astronomi verdensbilleder

Verdensbilleder Historisk astronomi verdensbilleder Side 1 Til læreren Verdensbilleder Historisk astronomi verdensbilleder Alle kulturer har til enhver tid forsøgt at forstå indretningen af deres omgivelser. Hvor lurer farerne, og hvor uddeler naturen gaver.

Læs mere

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål

Matematik. Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Matematik Matematikundervisningen tager udgangspunkt i Folkeskolens Fælles Mål Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der

Læs mere

Mellem stjerner og planeter

Mellem stjerner og planeter Mellem stjerner og planeter Et undervisningmateriale for gymnasieklasser om begrebet parallakse og statistik. Titelbladet fra Tycho Brahes bog De Nova Stella, udgivet i 1573. Oversat fra latin står der

Læs mere

Verdensbilleder. Oldtidskundskab C og Fysik B Jens Jensen 3x Rungsted Gymnasium

Verdensbilleder. Oldtidskundskab C og Fysik B Jens Jensen 3x Rungsted Gymnasium Verdensbilleder Oldtidskundskab C og Fysik B Jens Jensen 3x Rungsted Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse Indhold Problemformulering... 3 Underspørgsmål... 3 Materialer, metoder og teorier... 3 Delkonklusioner...

Læs mere

Det Musikalske St. Petersburg

Det Musikalske St. Petersburg Det Musikalske St. Petersburg 6 Dage / 5 Natter Dag 1 Ankomst til St. Petersburg. Ved ankomst er det transport til hotellet. Gruppen vil blive mødt af vores lokale quides, der er med under hele turen.

Læs mere

Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet

Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet RT1: fstandsberegning (Fra katederet) 5 RT2: Bold og Glob 6 OT1:Bestemmelse af Jordens radius 9 OT2:Modelafhængighed 11 OT3:fstanden til Månen 12 OT4:Månens

Læs mere

Guide til lektielæsning

Guide til lektielæsning Guide til lektielæsning Gefions lærere har udarbejdet denne guide om lektielæsning. Den henvender sig til alle Gefions elever og er relevant for alle fag. Faglig læsning (=lektielæsning) 5- trinsmodellen

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

Forsøgslæreplan for græsk A - stx, marts 2014

Forsøgslæreplan for græsk A - stx, marts 2014 Bilag 26 Forsøgslæreplan for græsk A - stx, marts 2014 1. Identitet og formål 1.1. Identitet Græsk er et sprog- og kulturfag, der omhandler antikken som grundlag for europæisk kultur. Faget beskæftiger

Læs mere

Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang.

Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang. Den tekniske platform Af redaktionen Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang. Teknologisk udvikling går således hånd i hånd med videnskabelig udvikling.

Læs mere

1. Tryk. Figur 1. og A 2. , der påvirkes af luftartens molekyler med kræfterne henholdsvis F 1. og F 2. , må der derfor gælde, at (1.1) F 1 = P.

1. Tryk. Figur 1. og A 2. , der påvirkes af luftartens molekyler med kræfterne henholdsvis F 1. og F 2. , må der derfor gælde, at (1.1) F 1 = P. M3 1. Tryk I beholderen på figur 1 er der en luftart, hvis molekyler bevæger sig rundt mellem hinanden. Med jævne mellemrum støder de sammen med hinanden og de støder ligeledes med jævne mellemrum mod

Læs mere

Når du skal fjerne en væg

Når du skal fjerne en væg Når du skal fjerne en væg Der skal både undersøgelser og ofte beregninger til, før du må fjerne en væg Før du fjerner en væg er det altid en god idé at rådføre dig med en bygningskyndig. Mange af væggene

Læs mere

Hvorfor gør man det man gør?

Hvorfor gør man det man gør? Hvorfor gør man det man gør? Ulla Kofoed, lektor ved Professionshøjskolen UCC Inddragelse af forældrenes ressourcer - en almendidaktisk udfordring Med projektet Forældre som Ressource har vi ønsket at

Læs mere

Matematik. Læseplan og formål:

Matematik. Læseplan og formål: Matematik Læseplan og formål: Formålet med undervisningen i matematik er, at eleverne bliver i stand til at forstå og anvende matematik i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold.

Læs mere

Den vandrette og den lodrette akse.

Den vandrette og den lodrette akse. Den vandrette og den lodrette akse. En tilgang til tilværelsen, som måske kan gøre det lettere at blive bevidst om forskellige aspekter af livet, er ved at se på den vandrette og den lodrette akse. Det

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Intuition og inspiration

Intuition og inspiration Intuition og inspiration Jeg havde en følelse af skæbne, at selv om jeg var blevet tildelt livet af skæbnen, så havde jeg noget, jeg skulle opfylde. Det gav mig en indre sikkerhed. Ofte havde jeg den følelse,

Læs mere

Menneskets opståen del 1 og 2. Fælles Mål. Ideer til undervisningen

Menneskets opståen del 1 og 2. Fælles Mål. Ideer til undervisningen Menneskets opståen del 1 og 2 Darwins farlige tanker del 1 og 2 Den pædagogiske vejledning knytter sig til de to første afsnit af tv-serien "Menneskets opståen" med undertitlerne "Darwins Farlige Tanker

Læs mere

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin

Læseplan for faget matematik. 1. 9. klassetrin Læseplan for faget matematik 1. 9. klassetrin Matematikundervisningen bygger på elevernes mange forudsætninger, som de har med når de starter i skolen. Der bygges videre på elevernes forskellige faglige

Læs mere

Klassiske St. Petersburg

Klassiske St. Petersburg Klassiske 5 Dage / 4 Nætter Mandag til : DAG 1 Mandag DAG 2 Tirsdag DAG 3 Onsdag Transfer fra lufthavnen Pulkovo til hotellet Byrundtur I St. Petersburg Flygt til Eremitage Museet DAG 4 Torsdag DAG 5 Besøg

Læs mere

Bygning, hjem, museum

Bygning, hjem, museum Bygning, hjem, museum arkitektur på Ordrupgaard Undervisningsmateriale til udskolingen Arkitektur er bygninger. Bygninger til at leve i, til at opleve, til at lære i eller til at arbejde i. Arkitektur

Læs mere

Prædiken til 2. påskedag, Luk. 24,13-35. 1. tekstrække.

Prædiken til 2. påskedag, Luk. 24,13-35. 1. tekstrække. 1 Grindsted Kirke. Mandag d. 1. april 2013 kl. 11.00. Egil Hvid-Olsen Prædiken til 2. påskedag, Luk. 24,13-35. 1. tekstrække. Salmer. DDS 234 Som forårssolen morgenrød. DDS 241 Tag det sorte kors fra graven!.

Læs mere

Huset fortæller. Odense adelige Jomfrukloster

Huset fortæller. Odense adelige Jomfrukloster Huset fortæller Odense adelige Jomfrukloster På afstand et homogent anlæg, men tæt på er der spor fra forskellige byggeperioder. Med udgangspunkt i bygningen kan man fortælle arkitekturhistorie fra middelalder

Læs mere

White Words Peter Callesen

White Words Peter Callesen White Words Peter Callesen White Words Et udsmykningsprojekt til KUA 2 Tårnet set fra stueetagen i Læringsgaden White Words - Detaljebilleder fra model Toppen af tårnet set fra 3. sal White Window, 2010

Læs mere

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Følgende ideer er ment som praktiske og konkrete ting, man kan bruge i matematik-undervisningen i de yngste klasser. Nogle af aktiviteterne kan bruges til

Læs mere

IZAK9 lærervejledning

IZAK9 lærervejledning IZAK9 lærervejledning Immersive learning by Copyright Qubizm Ltd. 2014 1 Indholdsfortegnelse Introduktion... 3 Øvelser og organisering... 3 Hvordan er opgaverne udformet?... 4 Opgaveguide Videofilm på

Læs mere

Oversigt over klagepunkter: 1. Revne i facade mellem oprindeligt hus og tilbygning

Oversigt over klagepunkter: 1. Revne i facade mellem oprindeligt hus og tilbygning 7259 Oversigt over klagepunkter: 1. Revne i facade mellem oprindeligt hus og tilbygning Klagers påstand: Der er en revne i en lodret fuge mellem det oprindelige hus og tilbygningen. Revnen burde være omtalt

Læs mere

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen

Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen Space Challenge og Undervisningsminsteriets Fælles Mål for folkeskolen I dette kapitel beskrives det, hvilke Fælles Mål man kan nå inden for udvalgte fag, når man i skolen laver aktiviteter med Space Challenge.

Læs mere

Du bliver hvad du tænker SELVVÆRD SELVINDSIGT SELVTILLID SUCCES

Du bliver hvad du tænker SELVVÆRD SELVINDSIGT SELVTILLID SUCCES Du bliver hvad du tænker SELVVÆRD SELVINDSIGT SELVTILLID SUCCES Indholdsfortegnelse Forord 4 1. Selvindsigt en gave du selv skal finde! 7 2. Mentale principper for dine tanker og handlinger 10 Princippet

Læs mere

Funktioner og ligninger

Funktioner og ligninger Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive

Læs mere

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt.

Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Introduktion til mat i 5/6 klasse Vejle Privatskole 13/14: Klassen er sammenlæst, altså 5 og 6 klasse på en og samme tid. Samtidig er klassen pt på ca 11 elever ialt. Udgangspunktet bliver en blød screening,

Læs mere

Julehjerter med motiver

Julehjerter med motiver Julehjerter med motiver Torben Mogensen 18. december 2012 Resumé Jeg har i mange år moret mig med at lave julehjerter med motiver, og er blevet spurgt om, hvordan man gør. Så det vil jeg forsøge at forklare

Læs mere

Tips og vejledning vedrørende den tredelte prøve i AT, Nakskov Gymnasium og HF

Tips og vejledning vedrørende den tredelte prøve i AT, Nakskov Gymnasium og HF Tips og vejledning vedrørende den tredelte prøve i AT, Nakskov Gymnasium og HF Den afsluttende prøve i AT består af tre dele, synopsen, det mundtlige elevoplæg og dialogen med eksaminator og censor. De

Læs mere

LÆGGEVEJLEDNINGER - CHAUSSÉSTEN.

LÆGGEVEJLEDNINGER - CHAUSSÉSTEN. LÆGGEVEJLEDNINGER - CHAUSSÉSTEN. Belægningen anvendes i dag mest til parkeringspladser, torve, overkørsler, korte vejstrækninger i bykerner og private anlæg m.v. Brolægning af chaussésten laves med retvinklede,

Læs mere

ANALYSE OG GENTEGNING

ANALYSE OG GENTEGNING ANALYSE OG GENTEGNING 17-12-2014 Det arkitektoniske værk Schröder House blev bygget i 1924 i Utrecht af den hollandske arkitekt Gerrit Rietveld til Fru- Schröder-Schräder og hendes 3 børn. Efter hendes

Læs mere

Fra At lære en håndbog i studiekompetence, Samfundslitteratur 2003. Kapitel 6, s. 75-87.

Fra At lære en håndbog i studiekompetence, Samfundslitteratur 2003. Kapitel 6, s. 75-87. Side 1 af 10 Fra At lære en håndbog i studiekompetence, Samfundslitteratur 2003. Kapitel 6, s. 75-87. At skrive At skrive er en væsentlig del af både din uddannelse og eksamen. Når du har bestået din eksamen,

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

- stammebeskrivelser ET UNDERVISNINGSMATERIALE FRA

- stammebeskrivelser ET UNDERVISNINGSMATERIALE FRA - stammebeskrivelser ET UNDERVISNINGSMATERIALE FRA Hvid stamme MOTTO: Det er Solgudens vilje, at du skal gøre hvad jeg siger STIKORD: Præster, bestemmer, rige Da Solguden straffede menneskerne, troede

Læs mere

forstå, arbejde med og analysere problemstillinger af matematisk art i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold

forstå, arbejde med og analysere problemstillinger af matematisk art i sammenhænge, der vedrører dagligliv, samfundsliv og naturforhold Årsplan for undervisningen i matematik på 4. klassetrin 2006/2007 Retningslinjer for undervisningen i matematik: Da Billesborgskolen ikke har egne læseplaner for faget matematik, udgør folkeskolens formål

Læs mere

Svend Wiig Hansen rå figur Undervisningsmateriale 3.-7. klasse. Introduktion

Svend Wiig Hansen rå figur Undervisningsmateriale 3.-7. klasse. Introduktion Svend Wiig Hansen rå figur Undervisningsmateriale 3.-7. klasse Introduktion Svend Wiig Hansen er en dansk kunstner, som arbejdede med skulptur og maleri. Han blev født i 1922 og døde i 1997. I 1953 blev

Læs mere

Historie: Eksempler på emner og opgaveformuleringer

Historie: Eksempler på emner og opgaveformuleringer Historie: Eksempler på emner og opgaveformuleringer Historie: Eksempler på emner Historie - engelsk Martin Luther King og De Sorte Pantere deres forskellige måder at kæmpe på The Blitz IRA Nordirland Forhold

Læs mere

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra

VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens

Læs mere

Oven over skyerne..! Få alt at vide om rumfart, rumstationer og raketter hér: http://www.geocities.ws/johnny97dk/rumfart/index.htm

Oven over skyerne..! Få alt at vide om rumfart, rumstationer og raketter hér: http://www.geocities.ws/johnny97dk/rumfart/index.htm Oven over skyerne..! Du skal lære mennesker, steder og ting ude i rummet og på jorden hvor du bor Du skal lære om stjernetegnene Du skal lave din egen planet-rap Du skal skrive et brev fra Månen Du skal

Læs mere

strategi drejer sig om at udvælge de midler, processer og de handlinger, der gør det muligt at nå det kommunikationsmæssige mål. 2

strategi drejer sig om at udvælge de midler, processer og de handlinger, der gør det muligt at nå det kommunikationsmæssige mål. 2 KOMMUNIKATIONSSTRATEGIENS TEORETISKE FUNDAMENT I den litteratur, jeg har haft adgang til under tilblivelsen af denne publikation, har jeg ikke fundet nogen entydig definition på, hvad en kommunikationsstrategi

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik

Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik Spørgsmål til årsprøve 1v Ma 2008 side 1/5 Steen Toft Jørgensen Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik IT-værktøjer Jeg forventer, at I er fortrolige med lommeregner TI-89 og programmerne

Læs mere

Denne vejledning er kun til introperioden, det anbefales at du også læser lærervejledningen til hele forløbet!

Denne vejledning er kun til introperioden, det anbefales at du også læser lærervejledningen til hele forløbet! Vejledning til introperioden Denne vejledning er kun til introperioden, det anbefales at du også læser lærervejledningen til hele forløbet! Indholdsfortegnelse Vejledning til introperioden... 1 Indledning...

Læs mere

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne

Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Fagårsplan 10/11 Fag: Matematik Klasse: 7.ABC Lærer: Henrik Stillits. Fagområde/ emne Matematiske færdigheder Grundlæggende færdigheder - plus, minus, gange, division (hele tal, decimaltal og brøker) Identificer

Læs mere

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet.

Når vi forbereder et nyt emne eller område vælger vi de metoder, materialer og evalueringsformer, der egner sig bedst til forløbet. MATEMATIK Delmål for fagene generelt. Al vores undervisning hviler på de i Principper for skole & undervisning beskrevne områder (- metoder, materialevalg, evaluering og elevens personlige alsidige udvikling),

Læs mere

Opdagelse af stenkiste fra slutningen af 1700-tallet over Søbækken

Opdagelse af stenkiste fra slutningen af 1700-tallet over Søbækken Opdagelse af stenkiste fra slutningen af 1700-tallet over Søbækken Af arkitekt MAA Jan Arnt I efteråret 2006 skete der oversvømmelse af en villa på Søbækvej 1A. Dette uheld var årsag til, at offentligheden

Læs mere

ANNE ELLEKJÆR. leder i Dome of Visions og står for at skabe den kuratoriske ramme i bygningen på Søren Kierke-

ANNE ELLEKJÆR. leder i Dome of Visions og står for at skabe den kuratoriske ramme i bygningen på Søren Kierke- 76 ET TREDJE STED 77 ANNE ELLEKJÆR Dome of Visions er mange ting: Et opdateret forsamlingshus, et byudviklingsprojekt, et arkitektonisk og et bæredygtigt projekt klimatisk såvel leder i Dome of Visions

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

Venus relative størrelse og fase

Venus relative størrelse og fase Venus relative størrelse og fase Steffen Grøndahl Planeten Venus er værd at studere i teleskop. Med blot en forstørrelse på 20-30 gange, kan man se, at Venus ikke er punktformet og at den ligesom Månen

Læs mere

Loven for bevægelse. (Symbol nr. 15)

Loven for bevægelse. (Symbol nr. 15) Loven for bevægelse (Symbol nr. 15) 1. Guddommens jeg og skabeevne bor i ethvert væsens organisme og skabeevne Vi er igennem de tidligere symbolforklaringers kosmiske analyser blevet gjort bekendt med

Læs mere

Naturen i byen Overlade Skole. Et tværfagligt projekt for 5. + 6. klasse. For fagene: Dansk, Matematik, Billedkunst, Sløjd, Musik & Natur/Teknik.

Naturen i byen Overlade Skole. Et tværfagligt projekt for 5. + 6. klasse. For fagene: Dansk, Matematik, Billedkunst, Sløjd, Musik & Natur/Teknik. Et tværfagligt projekt for 5. + 6. klasse For fagene: Dansk, Matematik, Billedkunst, Sløjd, Musik & Natur/Teknik. Et MEGA godt emne det har været sjovt! Patrick Stistrup 6. klasse Indhold - Hvad har vi

Læs mere

Svar nummer 2: Meningen med livet skaber du selv 27. Svar nummer 3: Meningen med livet er at føre slægten videre 41

Svar nummer 2: Meningen med livet skaber du selv 27. Svar nummer 3: Meningen med livet er at føre slægten videre 41 Indhold Hvorfor? Om hvorfor det giver mening at skrive en bog om livets mening 7 Svar nummer 1: Meningen med livet er nydelse 13 Svar nummer 2: Meningen med livet skaber du selv 27 Svar nummer 3: Meningen

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Perspektiv. At illustrerer rumligt. Forsvindingspunkt Horisont

Perspektiv. At illustrerer rumligt. Forsvindingspunkt Horisont Rumlig afbildning For at illustrere en bygning eller et Rum, i et sprog der er til at forstå, for ikke byggefolk, kan det være en fordel at lave en gengivelse af virkeligheden. Perspektiv At illustrerer

Læs mere

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET

Tal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.

Læs mere

Til underviseren. I slutningen af hver skrivelse er der plads til, at du selv kan udfylde med konkrete eksempler fra undervisningen.

Til underviseren. I slutningen af hver skrivelse er der plads til, at du selv kan udfylde med konkrete eksempler fra undervisningen. Til underviseren Her er nogle små skrivelser med information til forældrene om Perspekt. Du kan bruge dem til løbende at lægge på Forældreintra eller lignende efterhånden som undervisningen skrider frem.

Læs mere

Personprofil og styrker

Personprofil og styrker Personprofil og styrker Et redskab til at forstå dine styrker gennem din personprofil Indhold Dette værktøj er udviklet med henblik på at skabe sammenhæng mellem de 24 karakterstyrker udviklet af The VIA

Læs mere

Mennesket og Universet. En historisk rejse i Kosmos med Louis Nielsen

Mennesket og Universet. En historisk rejse i Kosmos med Louis Nielsen Mennesket og Universet En historisk rejse i Kosmos med Louis Nielsen Big Bang Det voksende Univers Kunst-illustrationer af Universets begyndelse og udvikling Forskellige Verdensbilleder Fra Den flade Jord

Læs mere

Dit barns trivsel, læring og udvikling

Dit barns trivsel, læring og udvikling Til forældre med børn på vej mod børnehave Århus Kommune Børn og Unge Dit barns trivsel, læring og udvikling Status- og udviklingssamtale. Barnet på 2 3 år Indhold Indhold Introduktion...4 De 6 læreplanstemaer...5

Læs mere

Linseteleskopet. Et billigt alternativ - Unge forskere 2015. Af: Thorbjørn Ledet Maagaard og Lukas Balderlou Jensen

Linseteleskopet. Et billigt alternativ - Unge forskere 2015. Af: Thorbjørn Ledet Maagaard og Lukas Balderlou Jensen Linseteleskopet Et billigt alternativ - Unge forskere 2015 Af: Thorbjørn Ledet Maagaard og Lukas Balderlou Jensen Abstract Formål: Formålet med projektet er at bygge billige linseteleskoper, der ville

Læs mere

Fra Støv til Liv. Af Lektor Anja C. Andersen Dark Cosmology Center, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet

Fra Støv til Liv. Af Lektor Anja C. Andersen Dark Cosmology Center, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet Fra Støv til Liv Af Lektor Anja C. Andersen Dark Cosmology Center, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet Observationer af universet peger på, at det er i konstant forandring. Alle galakserne fjerner

Læs mere

Introduktion til Udspring. En guide for tilskuere

Introduktion til Udspring. En guide for tilskuere Introduktion til Udspring En guide for tilskuere Juli 2012 Udspring er en æstetisk sport, hvor ynde kombineres med styrke og smidighed, mens udspringeren bevæger sig gennem luften. Udspringeren skal have

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

PEDERSKER KIRKE Kalkede overflader Afrensning, reparationer og ny kalkning

PEDERSKER KIRKE Kalkede overflader Afrensning, reparationer og ny kalkning PEDERSKER KIRKE Kalkede overflader Afrensning, reparationer og ny kalkning 12.8.2011 Resultat af prøve. August 2011 NIELS-HOLGER LARSEN August 2011 Baggrund for prøvebehandling Prøven skal danne grundlag

Læs mere

Skønheden begynder med

Skønheden begynder med Skønheden begynder med En matematisk fraktal den lille tabel Matematik på C-niveau er obligatorisk i alle 4 gymnasiale ungdomsuddannelser: Hf, hhx, htx, stx I denne lille pjece kan du få et indtryk af,

Læs mere

BANG BEENFELDT A/S. Bygningsrenovering. Rådgivende ingeniørfirma

BANG BEENFELDT A/S. Bygningsrenovering. Rådgivende ingeniørfirma BANG BEENFELDT A/S Rådgivende ingeniørfirma Bygningsrenovering En af Bang og Beenfeldt A/S spidskompetencer er renoveringssager. Vi løser typisk opgaver for andels- og ejerforeninger - alt fra de helt

Læs mere

RC Mammutblok. rc-beton.dk

RC Mammutblok. rc-beton.dk RC Mammutblok rc-beton.dk RC MAMMUTBLOK RC Mammutblok er næste generations præisolerede fundamentsblok, hvor der er tænkt på arbejdsmiljø, energi optimering og arbejdstid. Blokkene kan anvendes til stort

Læs mere

Murprojekteringsrapport

Murprojekteringsrapport Side 1 af 6 Dato: Specifikke forudsætninger Væggen er udført af: Murværk Væggens (regningsmæssige) dimensioner: Længde = 6,000 m Højde = 2,800 m Tykkelse = 108 mm Understøtningsforhold og evt. randmomenter

Læs mere

!!!!! af Brian Kristensen! http://akrylkunst.dk. Tegne et ansigt

!!!!! af Brian Kristensen! http://akrylkunst.dk. Tegne et ansigt af Brian Kristensen http://akrylkunst.dk side 1 af 6 Denne quick guide viser i korte steps hvordan man tegner de rigtige proportioner i et ansigt. For at have et fundament når du tegner et ansigt er det

Læs mere

GODE PENGE. Et kontant svar på gældskrisen OLE BJERG. Informations Forlag

GODE PENGE. Et kontant svar på gældskrisen OLE BJERG. Informations Forlag GODE PENGE Et kontant svar på gældskrisen OLE BJERG Informations Forlag Indhold Indledning 9 Så sikkert som penge i banken 11 Penge og den økonomiske videnskab 19 Gæld, Geld, Guilt 25 Fra guldstandard

Læs mere

Cresta Asah Fysik rapport 16 oktober 2005. Einsteins relativitetsteori

Cresta Asah Fysik rapport 16 oktober 2005. Einsteins relativitetsteori Einsteins relativitetsteori 1 Formål Formålet med denne rapport er at få større kendskab til Einstein og hans indflydelse og bidrag til fysikken. Dette indebærer at forstå den specielle relativitetsteori

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Konsulentfirmaet Holler

Konsulentfirmaet Holler Om forudsætninger for kreativitet set i forhold til børn og unges udvikling At være kreativ er at skabe (sig noget). Ordet kreativ er afledt at det latinske ord for at skabe. Alle børn og unge er skabende

Læs mere

Gymnasiet Sprog & Kultur Natur & Videnskab Musik & Kreativitet Krop & Sundhed Sprog & Samfund

Gymnasiet Sprog & Kultur Natur & Videnskab Musik & Kreativitet Krop & Sundhed Sprog & Samfund Gymnasiet Sprog & Kultur Natur & Videnskab Musik & Kreativitet Krop & Sundhed Sprog & Samfund... mange års erfaring gør en forskel! 1 Hvad vælger du? På VHG kan du vælge mellem 7 forskellige studieretninger.

Læs mere