Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Transkript

1 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber og talsystemet rummer et problem så dybt, at det - skønt opdaget i det 6. århundrede før Kristus - først er blevet helt tilfredsstillende løst i slutningen af forrige århundrede. Med de naturlige tal N = {1, 2, 3,... } kan vi tælle. Inden for de naturlige tal kan vi addere og multiplicere. At subtrahere og dividere lader sig gøre i nogle tilfælde, i andre ikke. Vi kan subtrahere 3 fra 18, men ikke 18 fra 3. Vi kan dividere 18 med 3, men ikke 3 med 18. Med indførelsen af 0 og de negative hele tal, kan alle subtraktioner lade sig gøre. Med indførelsen af de rationale tal (mængden af alle brøker med hele tal som tæller og nævner) kan alle divisioner lade sig gøre. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, : de hele tal, : de rationale tal. De hele tal omfatter de naturlige tal, og de rationale tal omfatter de hele (og dermed de naturlige) tal. Dette forhold kan illustreres således N Eller med mængdesymboler: N Tallene kan anbringes på en tallinie. De hele tal,, anbringes således, at der overalt er samme afstand mellem et tal og dets efterfølger (det tal, som er 1 større).... O E

2 2 Hermed har vi til hvert helt tal x udpeget et tilhørende punkt P på tallinien. Tallene kaldes koordinater eller abscisser til de tilhørende punkter. Det midterste af de ovenfor markerede punkter har således koordinaten eller abscissen 2. To af punkterne giver vi specielle navne. O (origo) er punktet med koordinaten 0 og E (enhedspunktet) er punktet med koordinaten 1. Også de rationale tal, som ikke er hele, lader sig let anbringe på tallinien. Til et ethvert rationalt tal (d.v.s. enhver brøk) x hører der altså et punkt P på tallinien med abscissen x. Med brøkerne vil man vel mene, at man har tal nok til at dække hele tallinien. De rationale tal ligger jo overalt tæt, hvilket vil sige, at tager man et vilkårligt sted på tallinien to vilkårligt tæt ved hinanden beliggende rationale tal, så ligger der uendeligt mange rationale tal derimellem. (Og mellem to vilkårlige af disse ligger der igen uendelig mange rationale tal o.s.v.). Og hvis man så påstår, at 1. til ethvert rationalt tal findes et punkt på tallinien, og 2. til ethvert punkt på tallinien findes et rationalt tal, så viser erfaringen, at et flertal i en ganske almindelig gymnasieklasse vil anse begge påstande for selvklare. Pythagoras ca. 530 år f.kr. og hele kredsen af begavede matematikere omkring ham var på linie med jer. Den pythagoræiske skole var nærmest at karakterisere som en religiøs/filosofisk sekt. Og det kan meget vel have været begyndelsen til enden på sektens glansperiode, da man opdagede, at den sidste påstand ikke var rigtig. En gennemgående opfattelse hos dem var nemlig, at (hele) tal og talforhold (rationale tal) var det fundament, hvorpå verden kunne forstås. På det grundlag havde de bl.a. en veludviklet musikteori nøje forbundet med deres verdensrumsforestilling (begrebet "sfærernes musik" stammer herfra). Og så er det jo ikke så godt, at de rationale tal er utilstrækkelige. Til gengæld gav opdagelsen inspiration til de følgende århundreders meget imponerende matematiske indsigt, som i nogen grad gik til grunde sammen med den græske kultur. Først i midten af det forrige århundrede opnåede man en tilsvarende dyb indsigt i talsystemets grundlag og var derfra i stand til at tage endnu et skridt. Som forberedelse til behandlingen af den anden påstand (som altså ikke er sand) anføres følgende hjælpesætninger: For ethvert naturligt tal n gælder at hvis n er lige så er n 2 lige. Bevis: Hvis n N er lige kan n skrives som n = 2m hvor m N. Så er n 2 = (2m) 2 = 4m 2 = 2 2m 2 og da 2m 2 N er n 2 lige. For ethvert naturligt tal n gælder at hvis n er ulige så er n 2 ulige. Bevis: Hvis n N er lige kan n skrives som n = 2m +1 hvor m N. Så er n 2 = (2m +1) 2 = 4m 2 + 4m + 1 = 2 (2m 2 + 2m) + 1 og da 2m 2 + 2m N er n 2 ulige.

3 3 Omvendt gælder også, at hvis n 2 er lige så er n lige, for vi har jo lige vist, at hvis n er ulige, så er n 2 ulige Tilsvarende gælder, at hvis n 2 er ulige så er n ulige. Pythagoras' læresætning: I en retvinklet trekant er summen af kateternes kvadrater lig med kvadratet på hypotenusen. Vi vil nu give et bevis for at den 2. påstand - at der til ethvert punkt på tallinien findes et rationalt ikke er sandt. Beviset er af den type, man kalder indirekte. De anvendes i følgende situation: Der er præcis to muligheder, hvoraf den ene er rigtig, og den anden er forkert, og det er lettere at argumentere for, at den forkerte mulighed fører til en modstrid, og derfor må forkastes, end det er at give et direkte bevis for rigtige. I et indirekte bevis for en påstand antager man derfor det modsatte af påstanden. Derefter klargør man præmisserne, og man udleder konsekvensen af antagelsen, som klart er i modstrid med præmisserne. Denne modstrid bruges til at forkaste antagelsen. Da den betragtede påstand derfor er den eneste mulighed, betragtes den som vist. Et punkt P på tallinien udpeges, således som det fremgår af figuren. A c 1 O c = q _ p 2 E P I punktet E oprejses den vinkelrette og et liniestykke EA af længden 1 afsættes. OEA er nu en retvinklet trekant med hypotenusen OA. Med en passer tegnes en cirkel med centrum i O og med OA som radius. Denne cirkel skærer tallinien i et punkt P til højre for E. Ifølge konstruktionen gælder, at OA = OP. Ifølge den anden påstand på må punktet P have en koordinat, som er et rationalt tal c, som altså kan skrives som en brøk. Denne brøk kan angives ved sin uforkortelige udgave p/q. Der gælder altså, at OA = OP = p/q, p/q er uforkortelig og p N og q N.

4 4 Af Pythagoras læresætning følger OE 2 + EA 2 = OA = (p/q) 2 2 = p 2 /q 2 2 q 2 = p 2 Heraf følger at p 2 er lige og derfor er p også lige. p kan således skrives som p= 2 m, hvor m N Ved at indsætte 2 m i stedet for p får vi (2 m) 2 = 2 q 2 4 m 2 = 2 q 2 2 m 2 = q 2 Heraf slutter vi, at q 2 er lige og dermed at q er lige. Dermed er både p og q lige. Det betyder at p/q kan forkortes med 2, hvilket er i strid med vores præmis, nemlig at p/q er uforkortelig. Antagelsen er derfor forkert. Dvs. koordinaten til P kan dermed ikke skrives som en brøk. Hvis vi kun kender de rationale tal (som grækerne), så har liniestykket OP ingen længde. OP kan ikke måles med enheden OE. Grækerne udtrykte det ved at kalde liniestykkerne OE og OP inkommensurable. En følge af overvejelserne er endvidere, at en så simpel ligning som x 2 = 2 ikke har nogen løsning. En rational løsning x = p/q betyder, at (p/q) 2 = 2, hvilket jo netop var den ligning, som bragte os i uføre. Det er bemærkelsesværdigt, hvor store konsekvenser dette fik for den antikke græske matematik. Det var jo kun rent principielt, at der manglede noget. I praksis kunne enhver måleopgave og løsninger til enhver andengradsligning jo tilnærmes ubegrænset godt med rationale tal. Men grækerne stræbte netop efter det principielt sande, den ideale verden. Det vil I høre mere om i oldtidskundskab. Men da der således manglede tal til at måle længder af liniestykker, som meget let lod sig konstruere, førte det til, at matematikken udviklede sig på basis af geometri i højere grad end aritmetik. I midten af forrige århundrede lykkedes det imidlertid at få et principielt tilfredsstillende grundlag, hvorpå talsystemet kunne udvides til en talmængde, så også påstand nr. 2 på s. 2. gælder. De manglende tal kaldes de irrationale tal, som sammen med de rationale udgør de reelle tal,.

5 5 De reelle tal Vores talsystem ser nu således ud - i en udgave, hvor der også er skelnet mellem positive og negative tal 0 N = En vanskelighed ved indførelsen af de reelle tal er, at man i selve definitionen må inddrage et uendelighedsbegreb. Men I har faktisk vænnet jer til uendelige decimalbrøker. (Man kommer ikke langt på en lommeregner, før man opdager, at tallet 2 må kunne skrives som en uendelig decimalbrøk.) Vi kan derfor give en konkret opskrift på, hvordan en løsning til ligningen x 2 = 2 kan angives som en uendelig decimalbrøk. Ved at prøve sig frem kan man indse, at 1,4 er for lille og 1,5 er for stor, fordi 1,4 2 = 1,96 og 1,5 2 = 2,25. Ved igen at prøve sig frem ser man, at 1,41 er for lille og 1,42 er for stor (prøv selv!) Således kan fortsættes i en uendelighed, æh, i princippet altså. Men det er klart, at problemet principielt har en løsning i form af en uendelig decimalbrøk. Løsningen kaldes 2, og når man skriver 2 = 1, , så skal de 13 cifre følges af uendelig mange entydigt bestemte cifre. For et hvilket som helst på anden måde udpeget punkt på tallinien kan en tilsvarende metode anvendes, hvoraf ses, at de reelle tal er lig med mængden af decimalbrøker (endelige eller uendelige). Decimalbrøker Det rationale tal p/q kan skrives som en decimalbrøk, som fremkommer ved, at man simpelthen udfører divisionen. 1) Hvis divisionen på et tidspunkt går op, er p/q så skrevet som en endelig decimalbrøk. 2) Hvis divisionen ikke går op, så går den til gengæld ind i en periode. Ved division med p kan man nemlig højst få p 1 forskellige rester (= 0, når divisionen ikke går op). Fra et vist tidspunkt vil man altid trække et 0 ned til placering bag resten. På et tidspunkt får man altså en rest, man har haft før efterfulgt af et 0, hvorefter divisionsproceduren gentager sig selv. p/q kan altså skrives som en uendelig, periodisk decimalbrøk. De rationale tal er lig med mængden af endelige eller uendelige, periodiske decimalbrøker. De irrationale tal \ er lig med mængden af uendelige, ikke-periodiske decimalbrøker. De reelle tal er lig med mængden af decimalbrøker.