Formelsamling. Noter til Fysik 4 Elektromagnetisme

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Formelsamling. Noter til Fysik 4 Elektromagnetisme"

Transkript

1 Formelsamling Noter til Fysik 4 Elektromagnetisme You can know the name of a bird in all the languages of the world, but when you re finished, you ll know absolutely nothing whatever about the bird... So let s look at the bird and see what it s doing that s what counts. I learned very early the difference between knowing the name of something and knowing something. Richard P. Feynman Benyttede bøger: Introduction to Electrodynamics, David J. Griffiths, De overordnede kapitelnumre i denne formelsamling svarer til de behandlede kapitler i bogen Introduction to Electrodynamics. Sammensat af Kristoffer Stensbo-Smidt 28. juni 2007

2 INDHOLD Indhold 1 Vector Analysis Vektoralgebra Integralregning Dirac-delta-funktionen Vektorfelter Electrostatics Coulombs lov Elektriske felter Kontinuerte distributioner Divergens og curl af elektrostatiske felter Gauss lov i funktion Curlet af E Elektrisk potentiale Hurtig oversigt Overfladeladning Arbejde og energi Ledere Overfladeladning og kraft på en leder Kapacitorer Special Techniques Laplace s ligning I én dimension I to dimensioner I tre dimensioner Entydighedssætninger Billedmetoden Multipoler Electric Fields in Matter Bundne ladninger Elektrisk forskydning Grænsebetingelser Lineære dielektrika Grænseværdiproblemer Energi og kræfter Magnetostatik Divergens og curl af B Magnetisk vektorpotential Hurtig oversigt Grænsebetingelser Multipolekspansion Magnetic Fields in Matter Kraft og kraftmoment Felter fra et magnetiseret objekt H-feltet Grænsebetingelser Lineært og ikke-lineært materiale Side 2 af 21

3 INDHOLD 7 Elektrodynamik Elektromotorisk kraft Elektromagnetisk induktion Induktans Energi i magnetiske felter Udvalgte formler Bennys tavle E-felter Potentialer B-felter Indeks 21 Side 3 af 21

4 1 Vector Analysis 1 Vector Analysis 1.1 Vektoralgebra S. 3ff. Små, hyggelige formler: A B = 0 A B det(a, B) = 0 A B (I to dimensioner) A B = 0 A B (I tre dimensioner) A B = AB cos θ (B A) = (A B) A (B C) = B(A C) C(A C) A (B C) = B (C A) = C (A B) A x A y A z A (B C) = B x B y B z C x C y C z 1.2 Integralregning S. 31. Divergensteoremet: (også kaldet Gauss teorem eller Greens teorem) ( v) dτ = v da V S S. 34. Stokes teorem: ( v) da = v dl S. 37. Partiel integration: b S P b f(x) g(x) dx = [F (x) g(x)] b a F (x) g (x) dx a a 1.3 Dirac-delta-funktionen S For Dirac-delta-funktionen centreret om x = a og funktionen f(x): f(x)δ(x a) dx = f(a) hele R 3 f(r)δ 3 (r a) dτ = f(a) (En dimension) (Tre dimensioner) 1.4 Vektorfelter Teorem 1.1 (S. 53. Irrotational fields ) Følgende punkter er ækvivalente: 1. F = 0 overalt. 2. b F dl afhænger kun af endepunkterne, ikke af vejen. a 3. F dl = 0 for ethvert lukket loop. 4. F er gradienten af en skalar, F = V. Teorem 1.2 (S. 54. Solenoidal fields ) Følgende punkter er ækvivalente: Side 4 af 21

5 2 Electrostatics 1. F = 0 overalt. 2. F da afhænger kun af randen, ikke af overfladen. 3. F da = 0 for enhver lukket overflade. 4. F er rotationen af en vektor, F = A. 2 Electrostatics 2.1 Coulombs lov S. 59. Coulombs lov: F = 1 qq r r 3 (r r ) hvor r er positionen af testladningen Q, mens r er positionen af punktladningen q. 2.2 Elektriske felter S. 60. Punktladninger q 1, q 2,..., q n med afstande r r 1, r r 2,..., r r n fra Q: Kontinuerte distributioner S. 62. Kontinuerte elektriske felter: F = QE, E(r) = 1 Linjeladning: λ er ladning pr. linjeelement dl : E(r) = 1 P n i=1 q i r r i 3 (r r i ) λ(r ) r r 3 (r r ) dl Overfladeladning: σ er ladning pr. overfladeelement da : E(r) = 1 σ(r ) r r 3 (r r ) da Volumenladning: ρ er ladning pr. volumenelement dτ : E(r) = 1 ρ(r ) r r 3 (r r ) dτ S V 2.3 Divergens og curl af elektrostatiske felter S. 67. Fluxen af et felt E er givet som: Φ E E da S. 68. For enhver lukket overflade gælder Gauss lov: E da = 1 Q enc ε 0 S S E = 1 ε 0 ρ(r) (Integralform) (Differentialform) hvor Q enc er den totale ladning indenfor overfladen. Side 5 af 21

6 2.4 Elektrisk potentiale Gauss lov i funktion S. 71. Det elektriske felt i afstanden r fra en uniformt ladet sfærisk kilde med ladningen q: E = 1 q r 2 ˆr S. 73. Det elektriske felt inde i en lang cylinder hvor ladningsdensiteten afhænger af afstanden s fra aksen og en konstant k, dvs. ρ = ks: E = 1 3ε 0 ks 2 ŝ S. 74. Det elektriske felt i en hvilken som helst afstand fra en uendeligt plan med uniform overfladeladning σ: hvor ˆn er enhedsvektoren, der peger væk fra planen. E = σ 2ε 0 ˆn Curlet af E S. 77. For enhver statisk ladningsdistribution gælder: E dl = Elektrisk potentiale S. 78. Det elektriske potentiale er defineret som hvor O er et referencepunkt. Differentialversion: Forskellen mellem to punkter er: E = 0 V (r) r O E = V V (b) V (a) = E dl b a E dl Bemærk: Forskellen ændres ikke, hvis der skiftes referencepunkt O. S. 81. Superpositionsprincippet gælder: S. 83. Poissons ligning: F = F 1 + F E = E 1 + E V = V 1 + V V = ρ ε 0 Side 6 af 21

7 2.4 Elektrisk potentiale Hvis ρ = 0 får man Laplace s ligning: 2 V = 0 S. 84. Potentialet af punktladninger q n er: V (r) = 1 n i=1 q i r r i For forskellige ladninger: V (r) = 1 V (r) = 1 V (r) = 1 λ(r ) r r dl (Linjeladning) σ(r ) r r da (Overfladeladning) ρ(r ) r r dτ (Volumenladning) Hurtig oversigt S. 87. Nyttig figur: ρ ρ r r dτ E = 1 E = ρ ε 0 ; E = 0 r r r r 3 ρ dτ V = 1 2 V = ρ ε 0 E = V V V = E dl E Overfladeladning S. 89. Det elektriske felt er diskontinuert, når man krydser en overfladespænding. Forskellen fra den ene til den anden side er: E over E under = σ ε 0 ˆn hvor ˆn er enhedsvektoren vinkelret på overfladen, pegende fra under til over. Dette gælder kun for overfladen selv et eksternt felt er kontinuert gennem overfladen! Side 7 af 21

8 2.5 Arbejde og energi Potentialet er kontinuert, mens gradienten af potentialet ikke er: V over = V under V over ˆn V under ˆn = 1 ε 0 ρ 2.5 Arbejde og energi S. 91. Arbejde, der kræves for at flytte en ladning Q fra a til b: W = Q(V (b) V (a)) Hvis ladningen flyttes fra til r bliver arbejdet blot W = QV (r). S. 92. Arbejde, der kræves, for at samle n ladninger q i : W = 1 2 n q i V (r i ) i=1 Dette svarer også til den energi, man får, hvis man fjerner ladningerne helt fra hinanden. Energien, der kræves for at danne ladningerne, er ikke talt med her. S. 93. For en volumenladning: W = 1 2 ρv dτ = ε 0 2 Hele R 3 E 2 dτ Dette er den totale energi i samlingen af ladninger, dvs. inkl. energien, der kræves for at danne ladningerne! For en linjeladning og en overfladeladning fås: W = 1 λv dl (Linjeladning) 2 W = 1 σv da (Overfladeladning) 2 S. 96. Vigtigt! Superpositionsprincippet kan ikke bruges på arbejdet! 2.6 Ledere S. 97. Egenskaber ved perfekte ledere: E = 0 inden i en leder. Hvis lederen placeres i et elektrisk felt, vil der inden i lederen dannes et andet i modsat retning, som får det totale felt indeni til at blive 0. ρ = 0 inden i en leder. Der er ladning, bare ligeså meget positivt som negativt. Summen inden i bliver 0. Er der en ladning, vil denne ligge på overfladen. En leder har samme potentiale overalt, sålænge det er indeni eller på overfladen af en leder. Her gælder: V (a) = V (b). E står vinkelret på overfladen lige udenfor lederen Overfladeladning og kraft på en leder S Lige udenfor en leder er feltet E = σ ε 0 ˆn Side 8 af 21

9 3 Special Techniques Kraften pr. areal er givet ved: f = σe gennemsnit = 1 2 σ(e over + E under ) = 1 2ε 0 σ 2ˆn P = ε 0 2 E Kapacitorer S Kapacitansen er givet som C Q V hvor V = V + V er forskellen i potentialet mellem de to ledere. Q er den positive leders ladning. S Arbejdet det kræver at oplade en kapacitor: W = 1 2 CV 2 3 Special Techniques 3.1 Laplace s ligning S Laplace s ligning: I én dimension S Laplace s ligning bliver: 2 V = 2 V x V y V z 2 = 0 Løsningen bliver: 2 V x 2 = 0 V (x) = mx + b S Bemærk: 1. V (x) er et gennemsnit: V (x) = 1 [V (x + a) + V (x a)] 2 2. Der findes ingen lokale ekstrema disse kan kun findes i endepunkterne I to dimensioner S Laplace s ligning bliver: Her findes ingen generel løsning! S Bemærk: 2 V x V y 2 = 0 Side 9 af 21

10 3.2 Billedmetoden 1. V (x, y) er et gennemsnit af punkterne omkring det: V (x, y) = 1 2πR cirkel V dl 2. Der findes ingen lokale ekstrema disse kan kun findes på randen I tre dimensioner S Laplace s ligning bliver: S Bemærk: 2 V x V y V z 2 = 0 1. V (r) er et gennemsnit af punkterne i en kugle omkring det: V (r) = 1 4πR 2 V da kugle 2. Der findes ingen lokale ekstrema disse kan kun findes på randen Entydighedssætninger S Første entydighedssætning: Løsningen til Laplace s ligning i et volumen V er unikt bestemt, hvis V er bestemt på overfladen S. S Anden entydighedssætning: I et volumen V omkranset af ledere og som indeholder en bestemt ladningsdensitet ρ er det elektriske felt unikt bestemt, hvis den totale ladning på hver leder er givet. (Regionen som helhed kan være omkranset af en anden leder eller slet ikke være omkranset af noget). S Alternativ første entydighedssætning: Potentialet V i et volumen V er unikt bestemt hvis (a) ladningsdensiteten i regionen og (b) værdien af V på hele randen er bestemt. 3.2 Billedmetoden S Betragt en punktladning q i punktet (0, 0, d) og et ledende plan i xy-planen. For at finde bl.a. potentialet i området over planet betragtes i stedet to modsatte ladninger i (0, 0, d) og (0, 0, d). S Potentialet bliver: V (x, y, z) = 1 [ q x2 + y 2 + (z d) 2 S Overfladeladningen induceret på det ledende plan er: σ(x, y) = Den totale ladning induceret på planet er Q = q. Kraften bliver: S Energien bliver: qd 2π(x 2 + y 2 + d 2 ) 3/2 F = 1 q 2 (2d) 2 ẑ W = 1 q 2 4d Dette er også arbejdet, der skal bruges, for at bringe ladningen ind fra. ] q x2 + y 2 + (z + d) 2 Side 10 af 21

11 3.3 Multipoler Bemærkning 3.1 (S Regler for billeder) 1. Man må ikke indsætte billedladninger i den region, man finder potentialet i. 2. Billedladningerne skal summere til den korrekte totale ladning i hver region. 3.3 Multipoler S Dipolmomentet er defineret som p r ρ(r ) dτ Dipol-potentialet er: Fra Bennys note E3.4.2: Potentialet bliver da: V dip (r) = 1 p r r 3 V (r) = 1 Q r + 1 p r r 3 S Dipolmomentet for en samling punktladninger: n p = q i r i Dipolmomentet for den fysiske dipol: i=1 p = qd hvor d går fra den negative ladning til den positive. S Flyttes koordinatsystemet et stykke a, ændres dipolmomentet: S Den elektriske dipol: E dip (r, θ) = 4 Electric Fields in Matter S Dipolmomentet er proportional til E: p = p Qa p (2 cos θˆr + sin θ ˆθ) r3 p = αe hvor α er atomar polarisabilitet. S Kraftmomentet om dipolens center er givet som: N = p E S om et hvilket som helst andet punkt er givet som: hvor F er givet som N = (p E) + (r F) S Polarisationen er defineret som dipolmomentet per volumen: i V P p i V hvor V er et lille volumen. F = (p )E F = (p E) (Side 258) Side 11 af 21

12 4.1 Bundne ladninger 4.1 Bundne ladninger S Bundet overfladeladning: S Bundet volumenladning: σ b = P ˆn ρ b = P 4.2 Elektrisk forskydning S Den elektriske forskydning er defineret som D ε 0 E + P Gauss lov bliver da: D = ρ f D da = Q fenc (Differentialform) (Integralform) Metode 4.1 (S Beregning af forskydning) Hvis der er symmetri, benyt Gauss lov på sammen måde som til at beregne det elektriske felt. Hvis der ikke er symmetri, find en anden måde! Men antag aldrig at D er bestemt udelukkende ved den frie ladning! Grænsebetingelser S Forskydningen er diskontinuert over en overflade: Dover Dunder = σ f og D over D under = P over P under S For E-feltet: 4.3 Lineære dielektrika E over E under = σ ε 0 E over E under = 0 S For lineære dielektrika kan polarisationen kan også skrives som: hvor χ e er den elektriske susceptibilitet. S Der vil altid gælde, at hvor ε = ε 0 (1 + χ e ) kaldes permittiviteten. Den relative permittivitet er givet ved P = ε 0 χ e E D = εe ε r 1 + χ e = ε ε 0 Side 12 af 21

13 5 Magnetostatik Grænseværdiproblemer S For volumenladningerne gælder der: Energi og kræfter ( ) χe ρ b = ρ f 1 + χ e S Energien i en kapacitor fyldt med et dielektrisk materiale bliver W = 1 D E dτ 2 S Kraften, en kapacitor vil udøve på det mellemliggende materiale for at holde det inde, kan beregnes som F = ε 0χ e a 2d V 2 hvor a er arealet af kapacitoren og d er afstanden mellem de to plader. 5 Magnetostatik S Lorentz-kraftloven: F = Q[E + (v B)] S Magnetiske kræfter udfører intet arbejde! S Den magnetiske kraft kan også udtrykkes ved strømstyrken: F mag = I (dl B) hvor dl er i strømmens retning. S Fladestrømsdensiteten defineres som: K di dl = σv hvor σ er fladeladningsdensiteten. Den magnetiske kraft kan da bestemmes som: F mag = (v B)σ da = (K B) da S Volumenstrømsdensiteten defineres som: J di da = ρv hvor ρ er volumenladningsdensiteten. Den magnetiske kraf kan da bestemmes som: F mag = (v B)ρ dτ = (J B) dτ S Kontinuitetsligningen: J = ρ t Side 13 af 21

14 5.1 Divergens og curl af B S Biot-Savarts lov: B(r) = µ 0 I (r r ) 4π r r 3 dl = µ 0 dl 4π I (r r ) r r 3 S Biot-Savarts lov for flade- og volumenstrømme: B(r) = µ 0 4π 5.1 Divergens og curl af B S Divergensen er altid 0: S Ampères lov: K(r ) (r r ) r r 3 da og B(r) = µ 0 4π B = 0 J(r ) (r r ) r r 3 dτ B = µ 0 J B dl = µ 0 I enc (Differentialform) (Integralform) For forskellige B-felter, se afsnit 8.4 side 20 i denne formelsamling. 5.2 Magnetisk vektorpotential S Sammenhæng mellem B og vektorpotentialet A: Divergensen er 0: S Ampères lov kan skrives: B = A A = 0 2 A = µ 0 J S Hvis strømmen går mod 0 for r kan A bestemmes ved A(r) = µ 0 I(r ) 4π r r dl = µ 0I 1 4π r r dl (Linjestrømme) A(r) = µ 0 K(r ) 4π r r da (Fladestrømme) A(r) = µ 0 J(r ) 4π r r dτ (Volumenstrømme) S I lighed med Ampères lov fås: A dl = Φ hvor Φ er fluxen af B gennem det pågældende loop. Side 14 af 21

15 5.2 Magnetisk vektorpotential Hurtig oversigt S Nyttig figur: J A = µ 0 J 4π r r dτ 2 A = µ 0 J B = µ 0 4π J (r r ) r r 3 dτ B = µ 0 J; B = 0 B = A; A = 0 A B Grænsebetingelser S For B-feltet: Altså: hvor ˆn er normalvektoren til overfladen. S A er kontinuert: Men det er den afledede ikke: B over = B under B over B under = µ 0K B over B under = µ 0 (K ˆn) A over n A over = A under A under n = µ 0 K Multipolekspansion S Vektorpotentialets dipol: A dip (r) = µ 0 m (r r ) 4π r r 3 hvor m I da = Ia er det magnetiske dipolmoment og a er vektorarealet af loopet. S Den magnetiske dipol: B dip (r) = µ 0m 4πr 3 (2 cos θˆr + sin θ ˆθ) Side 15 af 21

16 6 Magnetic Fields in Matter 6 Magnetic Fields in Matter 6.1 Kraft og kraftmoment S Kraftmomentet på enhver ladningsdistribution i et magnetisk felt: N = m B hvor m er det magnetiske dipolmoment. I et uniformt magnetfelt er den resulterende kraft på et ladningsloop 0. S For et infinitesimalt loop med dipolmoment m i et felt B er kraften: 6.2 Felter fra et magnetiseret objekt S Bundet volumenstrøm: Bundet fladestrøm: hvor ˆn er normalvektoren. 6.3 H-feltet S H er givet som: Ampères lov bliver da: F = (m B) J b = M K b = M ˆn H 1 µ 0 B M H = J f H dl = I fenc (Differentialform) (Integralform) S Divergensen af H er normalt ikke (som B) lig 0: H = M Grænsebetingelser S For H: Hover H under = (M over M under ) H over H under = K f ˆn S For B: Bover B under = 0 B over B under = µ 0(K ˆn) Side 16 af 21

17 6.4 Lineært og ikke-lineært materiale 6.4 Lineært og ikke-lineært materiale S Lineære materialer opfylder følgende relation: M = χ m H hvor χ m kaldes den magnetiske susceptibilitet (skema s. 275). S Relationen melllem B og H: B = µh hvor µ µ 0 (1 + χ m ) kaldes permeabiliteten. Den relative permeabilitet er givet som µ r 1 + χ m = µ/µ 0. S I et homogent lineært materiale: 7 Elektrodynamik S Ohms lov: J b = χ m J f J = σ(e + v B) σe da v oftest er ubetydelig. σ kaldes for konduktiviteten. Nogle gange oplyses resistiviteten ρ = 1/σ (skema s. 286). S Ohms lov er også kendt som: V = IR hvor V er potentialforskellen mellem to elektroder, I er strømstyrken mellem dem og R er resistansen, der afhænger af geometrien. S Joules opvarmningslov: P = V I = I 2 R hvor P er effekten, V er potentialforskellen, I er strømstyrken og R er resistansen. 7.1 Elektromotorisk kraft S Den elektromotoriske kraft (emf) er givet som E f dl = f s dl hvor f = f s + E er den elektrostatiske kraft og f s er kraften, der får elektronerne til at flytte sig (som bæltet i en Van de Graaff-generator). Idéelt gælder der: V = E og dermed også E = IR (Ohms lov, s. 298). S For en ledningsloop, der trækkes gennem et magnetfelt gælder der (Lenz lov): hvor Φ B da er fluxen af B gennem loopet. E = dφ dt Side 17 af 21

18 7.2 Elektromagnetisk induktion 7.2 Elektromagnetisk induktion S Ændres den magnetiske flux gennem et loop dannes en emf: E = dφ dt For det inducerede elektriske felt gælder Faradays lov: B B dl = t da E = B t (Integralform) (Differentialform) Hvis symmetrien tillader det, kan Faradays lov i integralform benyttes på samme måde som Ampères lov for B-felter. S En anden version af Faradays lov i integralform: E dl = dφ dt Induktans S Hvis en strøm I 1 løber gennem loop 1, bliver fluxen gennem loop 2: hvor M er den gensidige induktans. S Ændres strømmen induceres der en emf: Φ 2 = MI 1 Φ 1 = MI 2 E 2 = M di 1 dt S Der induceres også en emf i loopet, hvor strømmen ændres: E = L di dt hvor L kaldes selv-induktansen eller bare induktansen Energi i magnetiske felter S Forøges strømstyrken i en ledning fra 0 til I, er der udført et arbejde: W = 1 2 LI2 S Arbejdet mere generelt: W = 1 2 (A J) dτ = 1 2µ 0 B 2 dτ Side 18 af 21

19 8 Udvalgte formler 8 Udvalgte formler 8.1 Bennys tavle Elektrostatik F = qe Magnetostatik E = ρ ε 0 B = 0 E = 0 E = V F = qv B B = µ 0 J B = A 2 V = ρ 2 A = µ 0 J ( A = 0) ε 0 V (r) = 1 ρ(r ) r r dτ A(r) = µ 0 J(r ) 4π r r dτ D = ε 0 E + P H = B µ 0 M 8.2 E-felter S. 65. Punktladning: S. 63. Uendelig lang linje: D = ρ f H = J f W = D E dτ W = B H dτ W = ε 0 E 2 dτ W = B H dτ N = p E N = m B ρ b = P σ b = P ˆn i V P = p i V E = 1 q r 2 ˆr E = 1 2λ s ŝ S. 63. Afstanden z over midtpunktet af en endelig linje med længden 2L: E = 1 2λL z z 2 + L ẑ 2 S. 64. I afstanden z på aksen af en ring med radius r: (opgave) E = λ rz 2ε 0 (r 2 + z 2 ) ẑ 3/2 S. 64. I afstanden z på aksen af en cirkelskrive med radius R: (opgave) E = σ ( ) z 1 ẑ 2ε 0 R2 + z 2 J b = M K b = M ˆn i V M = m i V Side 19 af 21

20 8.3 Potentialer S. 72. En uendelig plan: S. 71. Kugle: Altså det samme som en punktladning! E = σ 2ε 0 ˆn E = 1 q r 2 ˆr 8.3 Potentialer S. 84. Punktladning: V (r) = 1 q r S. 82. Kugleskal med radius R, overfladeladning σ og total ladning q: V (r) = { 1 q 1 S. 82. Kugle med radius R og total ladning q: (opgave) r = R2 σ ε 0r q R = Rσ ε 0 for r > R for r < R S For en enkelt dipol: V (r) = { 1 q 1 r ε 0r ( 3 r2 q 2R R 2 ) V (r) = 1 (r r ) p r r 3 for r > R for r < R 8.4 B-felter S Uendelig lang wire: B = µ 0I 2πs ˆϕ S Uendelig, uniform fladestrøm K = Kˆx over xy-planen: { +(µ 0 /2)Kŷ for z < 0, B = (µ 0 /2)Kŷ for z > 0. S B-feltet i afstanden z på aksen af en cirkulær ring med radius R og strøm I: B = µ 0I 2 R 2 (R 2 + z 2 ) 3/2 S Uendelig lang cylinder (spole) med radius R, n vindinger pr. enhedslængde: { µ 0 niẑ indeni cylinderen, B = 0 udenfor cylinderen. S Torus (spole) med ialt N vindinger: B = { µ0ni 2πs ˆϕ indeni spolen, 0 udenfor spolen. Side 20 af 21

21 Indeks A, 14 Ampères lov, 14, 16 arbejde, 8 linjeladning, 8 overfladeladning, 8 volumenladning, 8 B-felter, 20 Biot-Savarts lov, 14 bundne ladninger, 12 Coulombs lov, 5 dipolmoment, 11 fysisk dipol, 11 Dirac-δ-funktion, 4 divergensteoremet, 4 elektrisk dipol, 11 elektrisk felt, 5 linjeladning, 5 overfladeladning, 5 volumenladning, 5 elektrisk potentiale, 6 elektromotorisk kraft, 17 emf, 17 entydighedssætninger, 10 Faradays lov, 18 fladestrømsdensitet, 13 flux, 5 forskydning, 12 Gauss lov, 5 Gauss teorem, 4 gensidig induktans, 18 Greens teorem, 4 kraftmoment elektrisk felt, 11 magnetisk felt, 16 Laplace s ligning, 7, 9 leder, 8 Lenz lov, 17 Lorentz-kraftlov, 13 magnetisk dipol, 15 magnetisk dipolmoment, 15 magnetisk susceptibilitet, 17 magnetisk vektorpotential, 14 Ohms lov, 17 partiel integration, 4 permeabilitet, 17 Poissons ligning, 6 polarisation, 11, 12 potentiale linjeladning, 7 overfladeladning, 7 punktladning, 7 volumenladning, 7 potentialer, 20 resistivitet, 17 solenoidal fields, 4 Stokes teorem, 4 superposition, 6 volumenstrømsdensitet, 13 H, 16 hurtig oversigt elektrostatik, 7 magnetostatic, 15 irrotational fields, 4 Joules lov, 17 kapacitor, 9 konduktivitet, 17 kontinuitetsligningen, 13 kraft elektrisk felt, 11 magnetisk felt, 16 21

Noter til elektromagnetisme

Noter til elektromagnetisme Noter til elektromagnetisme Martin Sparre www.logx.dk 20-06-2007 1 Elektrostatik Coloumbs lov F Q = 1 qq r r 4πε 0 r r 2 r r Det elektriske felt: F Q (r) = QE(r), E(r) = 1 q i r r i 4πε 0 r r i i 2 r r

Læs mere

Fysik 21 Elektromagnetisme Formelsamling til eksamen

Fysik 21 Elektromagnetisme Formelsamling til eksamen Fysik 21 Elektromagnetisme Formelsamling til eksamen Sebastian B. Simonsen 31. januar 2005 Indhold 1 Kapitel 2 - Electrostatics 3 2 Kapitel 3 - Special Techniques 5 2.1 Separation af variable.......................

Læs mere

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Skriftlig prøve i Fysik 4 (Elektromagnetisme) 27. juni 2008

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Skriftlig prøve i Fysik 4 (Elektromagnetisme) 27. juni 2008 KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Skriftlig prøve i Fysik 4 (Elektromagnetisme) 27. juni 2008 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner. Der må besvares

Læs mere

Fysik 21 Formeloversigt

Fysik 21 Formeloversigt Fysik 21 Formeloversigt Henrik Dahl 18. januar 2004 Indhold 1 Betegnelser og enheder 2 2 Formler 4 2.1 Elektrostatik............................. 4 2.1.1 Generelt............................ 4 2.1.2 Kraft,

Læs mere

Noter til EM1 på KU (Elektromagnetisme 1)

Noter til EM1 på KU (Elektromagnetisme 1) Noter til EM1 på KU (Elektromagnetisme 1) af Nikolai Plambech Nielsen, LPK331. Version 1.0 13. juni 2016 Introduktion Dette er min samling af noter til kurset EM1 (Normalt bare kaldt EL). I kurset bruges

Læs mere

Benyttede bøger: Statistisk fysik 1, uredigerede noter, Per Hedegård, 2007.

Benyttede bøger: Statistisk fysik 1, uredigerede noter, Per Hedegård, 2007. Formelsamling Noter til Fysik 3 You can know the name of a bird in all the languages of the world, but when you re finished, you ll know absolutely nothing whatever about the bird... So let s look at the

Læs mere

Ordliste. Teknisk håndbog om magnetfelter og elektriske felter

Ordliste. Teknisk håndbog om magnetfelter og elektriske felter Ordliste Teknisk håndbog om magnetfelter og elektriske felter Afladning Atom B-felt Dielektrika Dipol Dosimeter E-felt Eksponering Elektricitetsmængde Elektrisk elementarladning Elektrisk felt Elektrisk

Læs mere

Elektromagnetisme 7 Side 1 af 12 Elektrisk strøm. Elektrisk strøm

Elektromagnetisme 7 Side 1 af 12 Elektrisk strøm. Elektrisk strøm Elektromagnetisme 7 Side 1 af 1 Med dette emne overgås fra elektrostatikken, som beskriver stationære ladninger, til elektrodynamikken, som beskriver ladninger i bevægelse (elektriske strømme, magnetfelter,

Læs mere

Formelsamling og noter. Elektrodynamik og bølger

Formelsamling og noter. Elektrodynamik og bølger Formelsamling og noter. Elektrodynamik og bølger 26. oktober 212 Dennis Hansen E = ρ ɛ B = E = B B = µ J + µ ɛ E E da = Q enc ɛ E dl = Φ B Ei = L i di i dt + Q i C i + R i Ẽ i = iωl i Ĩ i + i ωc i Ĩ i

Læs mere

AARHUS UNIVERSITET. Det naturvidenskabelige fakultet 3. kvarter forår OPGAVESTILLER: Allan H. Sørensen

AARHUS UNIVERSITET. Det naturvidenskabelige fakultet 3. kvarter forår OPGAVESTILLER: Allan H. Sørensen AARHUS UNIVERSITET Det naturvidenskabelige fakultet 3. kvarter forår 2006 FAG: Elektromagnetisme OPGAVESTILLER: Allan H. Sørensen Antal sider i opgavesættet (inkl. forsiden): 5 Eksamensdag: fredag dato:

Læs mere

Elektromagnetisme 10 Side 1 af 12 Magnetisme. Magnetisering

Elektromagnetisme 10 Side 1 af 12 Magnetisme. Magnetisering Elektroagnetise 10 Side 1 af 12 Magnetisering Magnetfelter skabes af ladninger i bevægelse, altså af elektriske strøe. I den forbindelse skelnes elle to typer af agnetfeltskabende strøe: Frie strøe, der

Læs mere

Opgave 1. (a) Bestem de to kapacitorers kapacitanser C 1 og C 2.

Opgave 1. (a) Bestem de to kapacitorers kapacitanser C 1 og C 2. 2 Opgave 1 I første del af denne opgave skal kapacitansen af to kapacitorer bestemmes. Den ene kapacitor er konstrueret af to tynde koaksiale cylinderskaller af metal. Den inderste skal har radius r a

Læs mere

Elektromagnetisme 13 Side 1 af 8 Maxwells ligninger. Forskydningsstrømme I S 1

Elektromagnetisme 13 Side 1 af 8 Maxwells ligninger. Forskydningsstrømme I S 1 Elektromagnetisme 13 Side 1 af 8 Betragt Amperes lov fra udtryk (1.1) anvendt på en kapacitor der er ved at blive ladet op. For de to flader og S der begge S1 afgrænses af C fås H dl = J ˆ C S n da = I

Læs mere

SPOLER (DC) Princippet (magnetiske felter) Induktion og selvinduktion Induktans (selvinduktionskoefficient)

SPOLER (DC) Princippet (magnetiske felter) Induktion og selvinduktion Induktans (selvinduktionskoefficient) SPOLER (DC) Princippet (magnetiske felter) Induktion og selvinduktion Induktans (selvinduktionskoefficient) Princippet Hvis vi betragter kredsskemaet her til højre, og fokuserer på delen med sort stregfarve,

Læs mere

DETTE OPGAVESÆT INDEHOLDER 6 OPGAVER MED IALT 11 SPØRGSMÅL. VED BEDØMMELSEN VÆGTES DE ENKELTE

DETTE OPGAVESÆT INDEHOLDER 6 OPGAVER MED IALT 11 SPØRGSMÅL. VED BEDØMMELSEN VÆGTES DE ENKELTE DETTE OPGAVESÆT INDEHOLDER 6 OPGAVER MED IALT 11 SPØRGSMÅL. VED BEDØMMELSEN VÆGTES DE ENKELTE SPØRGSMÅL ENS. SPØRGSMÅLENE I DE ENKELTE OPGAVER KAN LØSES UAFHÆNGIGT AF HINANDEN. 1 Opgave 1 En cylinderkapacitor

Læs mere

Elektromagnetisme 7 Side 1 af 12 Elektrisk strøm. Elektrisk strøm

Elektromagnetisme 7 Side 1 af 12 Elektrisk strøm. Elektrisk strøm Elektromagnetisme 7 Side 1 af 12 Med dette emne overgås fra elektrostatikken, som beskriver stationære ladninger, til elektrodynamikken, som beskriver ladninger i bevægelse (elektriske strømme, magnetfelter,

Læs mere

DETTE OPGAVESÆT INDEHOLDER 5 OPGAVER MED IALT 11 SPØRGSMÅL. VED BEDØMMELSEN VÆGTES DE ENKELTE

DETTE OPGAVESÆT INDEHOLDER 5 OPGAVER MED IALT 11 SPØRGSMÅL. VED BEDØMMELSEN VÆGTES DE ENKELTE DETTE OPGAVESÆT INDEHOLDER 5 OPGAVER MED IALT 11 SPØRGSMÅL. VED BEDØMMELSEN VÆGTES DE ENKELTE SPØRGSMÅL ENS. SPØRGSMÅLENE I DE ENKELTE OPGAVER KAN LØSES UAFHÆNGIGT AF HINANDEN. 1 Opgave 1 En massiv metalkugle

Læs mere

Noter til EM2 på KU (Elektrodynamik og Bølger)

Noter til EM2 på KU (Elektrodynamik og Bølger) Noter til EM2 på KU (Elektrodynamik og Bølger) af Nikolai Plambech Nielsen, LPK331. Version 1.0 Indhold I Kredsløbsregning 6 1 Grundlæggende elektronik (Noter kapitel 2) 7 1.1 Passive komponenter.......................................

Læs mere

Niels Jonassen ELEKTRO MAGNETISME. Polyteknisk Forlag

Niels Jonassen ELEKTRO MAGNETISME. Polyteknisk Forlag Niels Jonassen ELEKTRO MAGNETISME Polyteknisk Forlag FORORD Denne bog er en stærkt revideret og omarbejdet udgave af noter og kompendier, der siden 1984 har været anvendt ved kurser i elektromagnetisme

Læs mere

U = φ. R = ρ l A. Figur 1 Sammenhængen mellem potential, φ og spændingsfald, U: U = φ = φ 1 φ 2.

U = φ. R = ρ l A. Figur 1 Sammenhængen mellem potential, φ og spændingsfald, U: U = φ = φ 1 φ 2. Ohms lov Vi vil samle os en række byggestene, som kan bruges i modelleringen af fysiske systemer. De første to var hhv. en spændingskilde og en strømkilde. Disse elementer (sources) er aktive og kan tilføre

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 9. november 25 Divergens af et vektorfelt [Sektion 9.8 og.7 i bogen, s. 43]. Definition af og og egenskaber for divergens Lad

Læs mere

AARHUS UNIVERSITET. Det Naturvidenskabelige Fakultet Augusteksamen OPGAVESTILLER: Allan H. Sørensen

AARHUS UNIVERSITET. Det Naturvidenskabelige Fakultet Augusteksamen OPGAVESTILLER: Allan H. Sørensen AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet Augusteksamen 2006 FAG: Elektromagnetisme OPGAVESTILLER: Allan H. Sørensen Antal sider i opgavesættet (inkl. forsiden): 6 Eksamensdag: fredag dato: 11.

Læs mere

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Skriftlig prøve i Fysik 4 (Elektromagnetisme) 26. juni 2009

KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Skriftlig prøve i Fysik 4 (Elektromagnetisme) 26. juni 2009 KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Skriftlig prøve i Fyik 4 (Elektromagnetime) 26. juni 2009 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner. Der må bevare med

Læs mere

3.3 Andre spørgsmål... 12

3.3 Andre spørgsmål... 12 e k s ame nso p g av e r Contents Første spørgsmål. Opgave 4.3........................................ E-feltet udenfor et dielektrikum......................... E-feltet indeni et dielektrikum.......................

Læs mere

Elektromagnetisme 10 Side 1 af 11 Magnetisme. Magnetisering

Elektromagnetisme 10 Side 1 af 11 Magnetisme. Magnetisering Elektroagnetise 10 Side 1 af 11 Magnetisering Magnetfelter skabes af ladninger i bevægelse, altså af elektriske strøe. I den forbindelse skelnes elle to typer af agnetfeltskabende strøe: Frie strøe, der

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 sider Skriftlig prøve, lørdag den 12. december, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":

Læs mere

Antennens udstrålingsmodstand hvad er det for en størrelse?

Antennens udstrålingsmodstand hvad er det for en størrelse? Antennens udstrålingsmodstand hvad er det for en størrelse? Det faktum, at lyset har en endelig hastighed er en forudsætning for at en antenne udstråler, og at den har en ohmsk udstrålingsmodstand. Den

Læs mere

Formelsamling og noter. Elektromagnetisme

Formelsamling og noter. Elektromagnetisme Formelsamling og noter. Elektromagnetisme 3. august 2 Dennis Hansen Generelt E = ρ ɛ E = B t B = B = µ J + µ ɛ E t I stof E da = Q enc ɛ D = ɛ E + P D = ɛe E dl = Φ B H = B M H = µ µ B B da = D = ρ free

Læs mere

Elektrodynamik. Christian Andersen. 15. juni 2010. Indhold 1. 1 Indledning 3

Elektrodynamik. Christian Andersen. 15. juni 2010. Indhold 1. 1 Indledning 3 Elektodynamik Chistian Andesen 15. juni 010 Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 Elektostatik 3.1 Det elektiske felt............................. 3. Divegens og Cul af E-felte...................... 3.3 Elektisk

Læs mere

Epistel E2 Partiel differentiation

Epistel E2 Partiel differentiation Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Stern og Gerlachs Eksperiment

Stern og Gerlachs Eksperiment Stern og Gerlachs Eksperiment Spin, rumkvantisering og Københavnerfortolkning Jacob Nielsen 1 Eksperimentelle resultater, der viser energiens kvantisering forelå, da Bohr opstillede sin Planetmodel. Her

Læs mere

Når strømstyrken ikke er for stor, kan batteriet holde spændingsforskellen konstant på 12 V.

Når strømstyrken ikke er for stor, kan batteriet holde spændingsforskellen konstant på 12 V. For at svare på nogle af spørgsmålene i dette opgavesæt kan det sagtens være, at du bliver nødt til at hente informationer på internettet. Til den ende kan oplyses, at der er anbragt relevante link på

Læs mere

MODUL 5 ELLÆRE: INTRONOTE. 1 Basisbegreber

MODUL 5 ELLÆRE: INTRONOTE. 1 Basisbegreber 1 Basisbegreber ellæren er de mest grundlæggende størrelser strøm, spænding og resistans Strøm er ladningsbevægelse, og som det fremgår af bogen, er strømmens retning modsat de bevægende elektroners retning

Læs mere

ELLÆRENS KERNE- BEGREBER (DC) Hvad er elektrisk: Ladning Strømstyrke Spændingsforskel Resistans Energi og effekt

ELLÆRENS KERNE- BEGREBER (DC) Hvad er elektrisk: Ladning Strømstyrke Spændingsforskel Resistans Energi og effekt ELLÆRENS KERNE- BEGREBER (DC) Hvad er elektrisk: Ladning Strømstyrke Spændingsforskel Resistans Energi og effekt Atomets partikler: Elektrisk ladning Lad os se på et fysisk stof som kobber: Side 1 Atomets

Læs mere

Maj 2015 (alle opgaver og alle spørgsmål)

Maj 2015 (alle opgaver og alle spørgsmål) Maj 2015 (alle opgaver og alle spørgsmål) Alternativ besvarelse (med brug af Maple til beregninger, incl. pakker til VektorAnalyse2 og Integrator8). Ved eksamen er der ikke tid til f.eks. at lave illustrationer,

Læs mere

Fysikkens store teorier fra Newton til nu

Fysikkens store teorier fra Newton til nu Fysikkens store teorier fra Newton til nu Elektromagnetisme og lidt QED 20. marts 2014 Jesper Mygind Emeritus Institut for Fysik Danmarks Tekniske Universitet E-mail: myg@fysik.dtu.dk URL: http://dcwww.fys.dtu.dk/~myg/

Læs mere

Magnetisme og harddisk-teknologi

Magnetisme og harddisk-teknologi Magnetisme og harddisk-teknologi 10030 Fysik og Nanoteknologi Februar 010 af Claus Schelde Jacobsen (DTU Fysik) csj@fysik.dtu.dk Mikkel Fougt Hansen (DTU Nanotech) mikkel.hansen@nanotech.dtu.dk 010 Version:

Læs mere

Kære selvstuderende i: Fysik A. Herunder ser du det materiale, der udgør dit eksaminationsgrundlag.

Kære selvstuderende i: Fysik A. Herunder ser du det materiale, der udgør dit eksaminationsgrundlag. Kære selvstuderende i: Fysik A Herunder ser du det materiale, der udgør dit eksaminationsgrundlag. Bøgerne er Vejen til fysik AB1 og Vejen til fysik A2 2. udgave, som kan købes hos http://www.hax.dk/ og

Læs mere

Torben Laubst. Grundlæggende. Polyteknisk Forlag

Torben Laubst. Grundlæggende. Polyteknisk Forlag Torben Laubst Grundlæggende Polyteknisk Forlag Torben Laubst Grundlæggende Polyteknisk Forlag DIA- EP 1990 3. udgave INDHOLDSFORTEGNELSE 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Indledning Transformeres principielle

Læs mere

Elektromagnetisme 15 Side 1 af 5 Molekylært elektrisk felt. Molekylært E-felt i et dielektrikum. mol

Elektromagnetisme 15 Side 1 af 5 Molekylært elektrisk felt. Molekylært E-felt i et dielektrikum. mol lektromagnetisme 15 Side 1 af 5 Molekylært -felt i et dielektrikum Det ekylære elektriske felt, som et enkelt ekyle i et dielektrikum oplever, er ikke det samme som det makroskopiske -felt defineret i

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 9 sider Skriftlig prøve, lørdag den 13. december, 2014 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle tilladte hjælpemidler på

Læs mere

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne:

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne: Vektorer i 3D. Grundegreer. Koordinater z k P OP i 0 j x y Enhedsvektorerne De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: i, j og k Vektor OP Hvis punkt p har koordinaterne: P ( a a a3 ) Så har vektor OP koordinaterne:

Læs mere

a og b Den magnetiske kraftlov Og måling af B ved hjælp af Tangensboussole

a og b Den magnetiske kraftlov Og måling af B ved hjælp af Tangensboussole 3.1.2. a og b Den magnetiske kraftlov Og måling af B ved hjælp af Tangensboussole Udført d. 15.04.08 Deltagere Kåre Stokvad Hansen Max Berg Michael Ole Olsen 1 Formål: Formålet med øvelsen er at måle/beregne

Læs mere

8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse. Fysik A - 2.A

Undervisningsbeskrivelse. Fysik A - 2.A Undervisningsbeskrivelse. Fysik A - 2.A Termin August 2014 Juni 2017 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer Rybners HTX HTX Fysik A Jesper Pedersen (JEPE) Hold 2.A Oversigt over planlagte undervisningsforløb

Læs mere

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen

Læs mere

Kapitel 10. B-felt fra en enkelt leder. B (t) = hvor: B(t) = Magnetfeltet (µt) I(t) = Strømmen i lederen (A) d = Afstanden mellem leder og punkt (m)

Kapitel 10. B-felt fra en enkelt leder. B (t) = hvor: B(t) = Magnetfeltet (µt) I(t) = Strømmen i lederen (A) d = Afstanden mellem leder og punkt (m) Kapitel 10 Beregning af magnetiske felter For at beregne det magnetiske felt fra højspændingsledninger/kabler, skal strømmene i alle ledere (fase-, jord- og eventuelle skærmledere) kendes. Den inducerede

Læs mere

Strøm til hjernen Elektromagnetisme

Strøm til hjernen Elektromagnetisme Strøm til hjernen Forkortelser F = Forsøg (som vi udfører) FB = Forsøg med børn (forsøg som vi udfører, men som børnene deltager aktivt i) H = Hands-on forsøg (børnene får selv lov til at prøve det hele)

Læs mere

MM01 (Mat A) Ugeseddel 1

MM01 (Mat A) Ugeseddel 1 Institut for Matematik og Datalogi 2. august 200 Syddansk Universitet, Odense HJM/LL MM0 (Mat A) Ugeseddel Velkommen til kurset MM0 (Matematik A). Forelæsninger: afholdes i to ugentlige timer, onsdag kl.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010

Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Undervisningsbeskrivelse Mat A 2007-2010 Termin Maj 2010 Institution HTX-Sukkertoppen Uddannelse HTX Fag og Niveau Matematik A Lærer Reza Farzin Hold HTX 3.L / science Titel 1 Titel 2 Titel 4 Titel 5 Titel

Læs mere

Vektoranalyse INDLEDNING. Indhold. 1 Integraltricks. Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008

Vektoranalyse INDLEDNING. Indhold. 1 Integraltricks. Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008 Vektoranalyse Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008 INLENING ette er en opsamling af ting, jeg synes er gode at have ifbm vektoranalyse som præsenteret i kurset VEKANAE07 ved IMF på AU. Noten er dels

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 10 sider Skriftlig prøve, lørdag den 23. maj, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":

Læs mere

INERTIMOMENT for stive legemer

INERTIMOMENT for stive legemer Projekt: INERTIMOMENT for stive legemer Formålet med projektet er at træne integralregning og samtidig se en ikke-triviel anvendelse i fysik. 0. Definition af inertimoment Inertimomentet angives med bogstavet

Læs mere

Formelsamling Noter til MatF 1

Formelsamling Noter til MatF 1 Formelsamling Noter til MatF 1 You can know the name of a bird in all the languages of the world, but when you re finished, you ll know absolutely nothing whatever about the bird...o let s look at the

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1) Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant. a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Teknologi & kommunikation

Teknologi & kommunikation Grundlæggende Side af NV Elektrotekniske grundbegreber Version.0 Spænding, strøm og modstand Elektricitet: dannet af det græske ord elektron, hvilket betyder rav, idet man tidligere iagttog gnidningselektricitet

Læs mere

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009 Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,

Læs mere

Benyttede bøger: Introduction to Cosmology, Barbara Ryden, 2003.

Benyttede bøger: Introduction to Cosmology, Barbara Ryden, 2003. Formelsamling Noter til Astronomi 1 You can know the name of a bird in all the languages of the world, but when you re finished, you ll know absolutely nothing whatever about the bird... So let s look

Læs mere

Indre modstand og energiindhold i et batteri

Indre modstand og energiindhold i et batteri Indre modstand og energiindhold i et batteri Side 1 af 10 Indre modstand og energiindhold i et batteri... 1 Formål... 3 Teori... 3 Ohms lov... 3 Forsøgsopstilling... 5 Batteriets indre modstand... 5 Afladning

Læs mere

Protoner med magnetfelter i alle mulige retninger.

Protoner med magnetfelter i alle mulige retninger. Magnetisk resonansspektroskopi Protoners magnetfelt I 1820 lavede HC Ørsted et eksperiment, der senere skulle gå over i historiebøgerne. Han placerede en magnet i nærheden af en ledning og så, at når der

Læs mere

Vektorfelter. enote Vektorfelter

Vektorfelter. enote Vektorfelter enote 24 1 enote 24 Vektorfelter I enote 6 indføres og studeres vektorer i plan og rum. I enote 16 ser vi på gradienterne for funktioner f (x, y) af to variable. Et gradientvektorfelt for en funktion af

Læs mere

Teknisk. Matematik FACITLISTE. Preben Madsen. 4. udgave

Teknisk. Matematik FACITLISTE. Preben Madsen. 4. udgave Teknisk Preben Madsen Matematik 4. udgave FACITLISTE Indhold TAL OG ALGEBRA... LIGNINGER OG ULIGHEDER... GEOMETRI... 4 TRIGONOMETRI... 5 CIRKLEN... 5 6 OVERFLADER UDFOLDNINGER... 5 7 RUMFANG... 8 8 ANALYTISK

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Dansk Fysikolympiade 2015 Udtagelsesprøve søndag den 19. april 2015. Teoretisk prøve. Prøvetid: 3 timer

Dansk Fysikolympiade 2015 Udtagelsesprøve søndag den 19. april 2015. Teoretisk prøve. Prøvetid: 3 timer Dansk Fysikolympiade 2015 Udtagelsesprøve søndag den 19. april 2015 Teoretisk prøve Prøvetid: 3 timer Opgavesættet består af 15 spørgsmål fordelt på 5 opgaver. Bemærk, at de enkelte spørgsmål ikke tæller

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

a og b. Den magnetiske kraftlov Og måling af B ved hjælp af Tangensboussole

a og b. Den magnetiske kraftlov Og måling af B ved hjælp af Tangensboussole 3.1.2. a og b Den magnetiske kraftlov Og måling af B ved hjælp af Tangensboussole Udført d. 15.04.08 Deltagere Kåre Stokvad Hansen Max Berg Michael Ole Olsen 1 Formål: Formålet med øvelsen er at måle/beregne

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x i [,] drejes 36 om x-aksen. Vis,

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides. uge 6, 2009

MM502+4 forelæsningsslides. uge 6, 2009 MM502+4 forelæsningsslides uge 6, 2009 1 Definition partielle afledede: De (første) partielle afledede af en funktion f(x, y) af to variable er f(x + h, y) f(x, y) f 1 (x, y) := lim h 0 h f(x, y + k) f(x,

Læs mere

Eksamen i fysik 2016

Eksamen i fysik 2016 Eksamen i fysik 2016 NB: Jeg gør brug af DATABOG fysik kemi, 11. udgave, 4. oplag & Fysik i overblik, 1. oplag. Opgave 1 Proptrækker Vi kender vinens volumen og masse. Enheden liter omregnes til kubikmeter.

Læs mere

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 EUROPÆISK STUDENTEREKSAMEN 2009 MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 PRØVENS VARIGHED: 4 timer (240 minutter) TILLADTE HJÆLPEMIDLER Europaskolernes formelsamling Ikke-grafisk, ikke-programmerbar lommeregner

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

Elektromagnetisme 14 Side 1 af 10 Elektromagnetiske bølger. Bølgeligningen

Elektromagnetisme 14 Side 1 af 10 Elektromagnetiske bølger. Bølgeligningen Elektromagnetisme 14 Side 1 af 1 Bølgeligningen Maxwells ligninger udtrykker den indbyrdes sammenhæng mellem de elektromagnetiske felter samt sammenhængen mellem disse felter og de feltskabende ladninger

Læs mere

Vejledende opgaver i kernestofområdet i fysik-a Elektriske og magnetiske felter

Vejledende opgaver i kernestofområdet i fysik-a Elektriske og magnetiske felter Oktober 2012 Vejledende opgaver i kernestofområdet i fysik-a Elektriske og magnetiske felter Da læreplanen for fysik på A-niveau i stx blev revideret i 2010, blev kernestoffet udvidet med emnet Elektriske

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / Juni 2016 Institution Den Jyske Håndværkerskole Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold EUX - Tømre Matematik

Læs mere

Lineær beamoptik 1. Koordinatsystem

Lineær beamoptik 1. Koordinatsystem Lineær beamoptik 1 1 Wille kapitel 3.1 til og med 3.6 (undtagen 3.3) Koordinatsystem Indledning / overblik Rækkeudvikling af feltet Bevægelsesligningen Løsning af bevægelsesligningen Transfermatricer og

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse for: gsfya403 S13/14 Fysik B->A, STX

Undervisningsbeskrivelse for: gsfya403 S13/14 Fysik B->A, STX Undervisningsbeskrivelse for: gsfya403 S13/14 Fysik B->A, STX Fag: Fysik B->A, STX Niveau: A Institution: Københavns VUC - Sankt Petri Passage 1 (280103) Hold: Fysik B-A 4 uger Termin: August 2013 Uddannelse:

Læs mere

Til at beregne varmelegemets resistans. Kan ohms lov bruges. Hvor R er modstanden/resistansen, U er spændingsfaldet og I er strømstyrken.

Til at beregne varmelegemets resistans. Kan ohms lov bruges. Hvor R er modstanden/resistansen, U er spændingsfaldet og I er strømstyrken. I alle opgaver er der afrundet til det antal betydende cifre, som oplysningen med mindst mulige cifre i opgaven har. Opgave 1 Færdig Spændingsfaldet over varmelegemet er 3.2 V, og varmelegemet omsætter

Læs mere

Matematik for fysikere Formelsamling

Matematik for fysikere Formelsamling Matematik for fysikere Formelsamling MatF Blok 3-2012/2013 Helle Gormsen Lisbeth Tavs Gregersen Version 1.0 Københavns Universitet Det Natur- og Biovidenskabelige Fakultet Niels Bohr Instituttet Forord

Læs mere

At den magnetiske og elektriske kraft er knyttet uløseligt sammen ses af flg. omskrivning af udtryk (8.2):

At den magnetiske og elektriske kraft er knyttet uløseligt sammen ses af flg. omskrivning af udtryk (8.2): Elektroagnetise 8 Side 1 af 8 Magnetisk induktion To punktladninger og q påvirker (i vakuu) so bekendt hinanden ed en q1 elektrisk kraft (oulobkraft) F 1 qq 1 1 = 4πε 1 0 r1 r ˆ. (8.1) Hvis de to ladninger

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin december 09 Institution Teknisk Gymnasium Grenaa, Viden Djurs Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold htx Fysik

Læs mere

Den elektrodynamiske højttaler

Den elektrodynamiske højttaler Den elektrodynaiske højttaler Ideel højttaler: arbejder i stepelorådet (stift stepel) kun translatoriske bevægelser dynaiske bevægelser foregår lineært Højttalerebranen betragtes so et sipelt svingende

Læs mere

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer.

MATEMATIK A. Indhold. 92 videoer. MATEMATIK A Indhold Differentialligninger... 2 Differentialregning... 3 Eksamen... 3 Hvorfor Matematik?... 3 Integralregning... 3 Regression... 4 Statistik... 5 Trigonometriske funktioner... 5 Vektorer

Læs mere

6 Plasmadiagnostik 6.1 Tætheds- og temperaturmålinger ved Thomsonspredning

6 Plasmadiagnostik 6.1 Tætheds- og temperaturmålinger ved Thomsonspredning 49 6 Plasmadiagnostik Plasmadiagnostik er en fællesbetegnelse for de forskellige typer måleudstyr, der benyttes til måling af plasmaers parametre og egenskaber. I fusionseksperimenter er der behov for

Læs mere

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 5. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Udledning af varmeligningen Vi vil nu på samme måde som med bølgeligningen

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave 1 1 Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x 1 i [ 1,] drejes 360 om x-aksen.

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 17. oktober, 2013 1 Partielle differentialligninger 1.1 D Alemberts løsning af bølgeligningen [Bogens sektion 12.4 på side 553]

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser

Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 (14/15)

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin maj-juni 2016 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Stx Fysik A Peter Lindhardt 3 ab Fysik A Oversigt over undervisningsforløb maj 2016 Titel

Læs mere

Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo

Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den

Læs mere

Svingninger & analogier

Svingninger & analogier Fysik B, 2.år, TGK, forår 2006 Svingninger & analogier Dette forsøg løber som tre sammenhængende forløb, der afvikles som teoretisk modellering og praktiske forsøg i fysiklaboratorium: Lokale 43. Der er

Læs mere

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med

Læs mere

Synopsis: Titel: Automobil Permanent Magnet generator med buck/boost konverter

Synopsis: Titel: Automobil Permanent Magnet generator med buck/boost konverter Titel: Automobil Permanent Magnet generator med buck/boost konverter Semester: 4. semester Energiteknik Semester tema: Regulering af energiomsættende systemer ECTS: 17 Projektperiode: Fra 02.02.09 til

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2018 Rybners

Læs mere