Delmængder af Rummet

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Delmængder af Rummet"

Transkript

1 Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

2 Indhold 1 Introduktion 1 2 To måder at tænke på Ligningstanken Parametriseringstanken Frihedsgrader Linjer Parameterfremstilling af linjer Planer En plan, planen, Koordinatplanerne Parametrisering af planer Normalvektor for en plan Ligning for en plan Kugler Tangentplaner Parametrisering af en kugle? Parameterkurver 14 7 Parametriserede flader 14

3 Resumé I dette dokument kigger vi på nogle forskellige delmængder af det tredimensionelle koordinatsystem: Linjer, Planer og Kugler. Vi ser på hvordan de kan beskrives og giver simple eksempler på hvad man kan gøre ved dem. 1 Introduktion Velkommen i det tredimensionelle rum! Her er masser af plads til alle mulige forskellige delmængder. Vi skal se på nogle af de mest fundamentale af disse i dette dokument, nemlig linjer, planer og kugler. Forudsætninger For at læse dette dokument får du brug for at kende til tredimensionelle vektorer 1. Vi får både brug for prikproduktet og krydsproduktet og mange af de sætninger som gælder om dem. Men hvis ikke du gider at læse en masse teori om vektorer først, kan du klare dig med at slå disse ting op efterhånden som vi får brug for dem. Det er desuden vigtigt at du allerede har arbejdet med analytisk geometri i 2 dimensioner (rette linjer, cirklens ligning og sådan noget), og det er en fordel hvis du har arbejdet med parametriserede linjer (og meget gerne vektorfunktioner) i 2 dimensioner også. 1 Læs om vektorer i rummet her. side 1

4 2 To måder at tænke på Når vi nu skal beskrive delmængder af rummet, bliver der for alvor brug for to helt forskellige måder at tænke på. Du kender dem begge i forvejen, men nu er det på tide at blive helt bevidst om forskellen på dem. 2.1 Ligningstanken Den første måde at tænke på kunne passende kaldes ligningstanken. Det er den du har kendt i længst tid, for det er den ide der for eksempel ligger bag den rette linjes ligning, cirklens ligning o.s.v. i det todimensionelle koordinatsystem. Det kan formuleres sådan her: Målet er at karakterisere de punkter som er med i mængden. Altså at sige noget som gælder for punkterne i mængden, og ikke gælder for andre punkter. I det todimensionelle koordinatsystem foregår det ved at opskrive en ligning med to ukendte, x og y, sådan at et punkt (x; y) er med i delmængden præcis hvis koordinaterne opfylder ligningen. F.eks. beskriver ligningen: y = 2x + 1 en ret linje, hvor punktet (3; 7) ligger på (fordi 7 = ), mens punktet (1; 8) ikke ligger på den. 2.2 Parametriseringstanken Den anden måde at tænke på er helt anderledes, og sandsynligvis meget nyere for dig. Du har muligvis allerede arbejdet med den hvis du har hørt om parametriserede linjer i planen, eller ligefrem om parameterkurver. Den kan formuleres sådan her: side 2

5 Målet er at producere de punkter som er med i mængden. Altså at give en opskrift på hvordan samtlige punkter i mængden kan fremstilles. I det todimensionelle koordinatsystem har du muligvis set at en opskrift på formen: ( x y ) = ( 1 2 ) + t ( 3 4 ), t R beskriver( en ret ) linje som går gennem punktet (1; 2) og som har 3 vektoren som retningsvektor. Hvis dette lyder som kinesisk 4 for dig, skal du ikke give op. Det hele bliver gentaget i dette dokument. Det vigtigste er at du lige nu forstår hvordan den ovenstående opskrift fungerer: Hver gang man vælger en værdi at t (den såkaldte frie parameter, kan man udregne højresiden af opskriften, og de to koordinater, x og y, som fremkommer giver et af punkterne i delmængden. Derfor skulle det gerne være klart at punktet (4; 6) er med i den beskrevne delmængde (fordi det fremkommer ved at sætte t = 1. Til gengæld er det lidt mindre klart at punktet (4; 7) ikke er med i delmængden. Det er fordi den eneste værdi af t som kan give x-koordinaten 4, må være t = 1, og den giver ikke y-koordinaten 7 (men derimod 6 som vi lige regnede ud.) 2.3 Frihedsgrader I det todimensionelle koordinatsystem kan alle linjer beskrives med en ligning af typen: ax + by = c hvor a, b og c er reelle tal. Hvis linjen ikke er lodret, kan man endda nøjes med ligninger af typen: y = ax + b side 3

6 hvor a er linjens hældningskoefficient og b er højden hvori linjen skærer y-aksen. Linjer i rummet kan desværre ikke beskrives ved hjælp af en enkelt ligning. En god intuitiv måde at forstå dette på er ved at bruge begrebet frihedsgrader 2 I det tredimensionelle rum har man som udgangspunkt tre frihedsgrader, forstået på den måde at man altid har tre uafhængige retninger at bevæge sig i. Hvis man opstiller en begrænsning af hvilket punkter der må bruges, i form af f.eks. en ligning som punkternes koordinater skal opfylde, så fjerner man en frihedsgrad. Derfor vil en ligning som regel 3 beskrive en delmængde af rummet med 2 frihedsgrader. Det kunne f.eks. være en plan eller (overfladen af) en kugle som vi skal se på senere. Hvis man vil beskrive noget som kun har 1 frihedsgrad (som f.eks. en linje) kan man derfor vælge at gøre en af følgende to ting: 1. Opstille to ligninger, som hver fjerner en frihedsgrad. Vi skal senere se at dette svarer til at definere to forskellige planer. Og linjen består dermed af de punkter som opfylder begge ligninger (dvs. skæringspunkterne mellem de to planer). 2. Starte fra den modsatte ende, idet vi ikke fortæller hvad et punkt i rummet skal opfylde for at være med, men i stedet fortælle præcis hvordan man fremstiller de punkter som er med. Altså lave en parameterfremstilling af linjen. Når vi skal arbejde med planer vil du se at begge disse strategier kan være fordelagtige, alt efter hvad vi vil bruge beskrivelsen til. 2 Vi vil ikke kaste os ud i at definere dette begreb præcist, eftersom det faktisk er meget svært. I stedet vil vi gøre som man ofte gør i fysik og antage at alle ved hvad det betyder. 3 Det er ikke en præcis regel. F.eks. beskriver ligningen x 2 + y 2 + z 2 = 0 noget 0-dimensionalt, nemlig punktet (0; 0; 0). side 4

7 3 Linjer Det første objekt man kommer i tanker om at tegne i det tredimensionelle rum, som ikke bare er et punkt, er sandsynligvis en linje. Hvis bare man udpeger to forskellige punkter i rummet, så har man indirekte udpeget en linje, nemlig den der går igennem disse to punkter. Bemærk at vi med ordet linje altid mener ret linje. Hvis vi nogensinde vil tale om streger som kan bøje eller krumme, så vil vi bruge ordet en kurve i stedet for. 3.1 Parameterfremstilling af linjer Den bedste måde at beskrive linjer i rummet på er altså ved at give en måde at producere punkterne på dem med en såkaldt parameterfremstilling. Først skal vi lige bruge et nyt begreb: Definition 1. Hvis L er en linje i rummet, så vil vi sige at en vektor v, som ikke er nulvektor, er retningsvektor for L hvis v opfører sig sådan at når den indtegnes fra et punkt på L, så peger den på et andet punkt på L. Med andre (mere upræcise) ord: Hvis v peger i en retning som er parallel med L. Nu er det så rigtig vigtigt at fange ideen: Vi vil lave en opskrift på hvordan samtlige punkter på linjen kan beregnes 4. Hvis man allerede kender et punkt på en linje og en retningsvektor for denne linje, så er det næsten oplagt at finde på sådan en opskrift: 4 Hvis du allerede kender til begrebet vektorfunktioner, så lyder dette som en opgave for lige præcis en vektorfunktion. Men eftersom vektorfunktioner i rummet er en (meget gennemskuelig) hemmelighed i gymnasiematematik vil vi krybe uden om at tale om vektorfunktioner, og holde os til begrebet en opskrift. side 5

8 Hvis man indtegner retningsvektoren fra det punkt som vi kender i forvejen, så peger den ihvertfald på et punkt mere som ligger på linjen. Dette punkts koordinater er givet som vores kendte punkts koordinater plus retningsvektorens koordinater. Men hvis man skalerer retningsvektoren (altså ganger den med et reelt tal), så har vi en ny retningsvektor. Hvis vi skalerer med et negativt tal, så vender den bare den modsatte vej, men stadig parallelt med linjen. Kun hvis vi skalerer med nul, så kommer der ikke en retningsvektor ud af det, fordi det giver nulvektor. Ved at indtegne alle de skalerede retningsvektorer fra det punkt som vi kender i forvejen kan vi lave uendeligt mange andre punkter. Selv hvis vi bruger skaleringen med nul så fremkommer får vi bare det punkt vi havde fra starten. Ethvert punkt på linjen kan produceres på denne måde. Det er bare et spørgsmål om at vælge den rigtige skalering af retningsvektoren og lægge til punktet. Man skal have et billede i stil med figur?? i hovedet. Sætning 2. Hvis og P = (x 0 ; y 0 ; z 0 ) R 3 v = a b c V 3 så udgør punkterne givet ved koordinaterne: x x 0 a y = y 0 + t b, t R z z 0 c den linje som går gennem P og har v som retningsvektor. side 6

9 Allerede med linjer kan man finde på mange forskellige spørgsmål. Det skal vi lige se et par eksempler på. Eksempel 1. Lad os starte med punkterne: og P = (3; 4; 7) Q = ( 1; 18; 4) Der findes præcis en linje som går igennem disse to punkter, og vi kan nemt finde en parameterfremstilling for den. Det eneste vi skal bruge er en retningsvektor for den, og det kan findes som den forbindende vektor: r = P Q = = Dermed er punkterne på linjen givet ved parameterfremstillingen: x 3 4 y = 4 + t 14 z 7 3 (Bemærk at den samme linje har uendeligt mange andre parameterfremstillinger. F.eks. kunne vi sagtens have brugt Q s koordinater som den første vektor, og vi kunne have brugt QP eller en hvilken som helst skalering af den som retningsvektor.) 4 Planer Nu kaster vi os ud i at beskrive den næste type objekt, nemlig de såkaldte planer. Altså helt flade, uendeligt tynde og uendeligt vidstrakte delmængde af det tredimensionelle koordinatsystem. side 7

10 Allerførst skal vi lige have styr på en sproglig detalje. 4.1 En plan, planen,... Det hedder en plan. Så er den historie ikke længere. Ganske vist er der journalister og andre svage sprogbrugere som har indført begreberne et skråplan og et højere plan i det danske sprog. Men det oprindelige danske ord for et fladt, uendeligt tyndt område er altså en plan. Og i matematik bryder man sig ikke om at lave om på de navne som allerede findes. Nogle vil så sige noget i retning af Nej, nej, nej. En plan er sådan noget som Egon fra Olsenbanden har. Men det er altså det samme ord. På samme måde som at en bas kan betyde både et musikinstrument med en dyb lyd og en sanger med en dyb stemme. Og det er altså ikke nær så fjollet som når de dumme mennesker skal bruge ordet plan i bestemt form og skriver planet. 4.2 Koordinatplanerne Der ligger tre særlige planer i det tredimensionelle koordinatsystem, nemlig de såkaldte koordinatplaner. De kaldes henholdsvist xy-planen, yz-planen og xz-planen. Det er de planer som hver især indeholder to af akserne. De er skitseret på figur 1 nedenfor. Disse er naturligvis slet ikke de eneste planer vi har, men de skal vise sig at være gode eksempler når vi skal afprøve vores generelle metoder på nogle konkrete planer som er nemme at forestille sig. 4.3 Parametrisering af planer Nu skal vi finde en måde at beskrive en hvilken som helst plan på, sådan at alle andre kan vide præcis hvilken plan vi snakker om. Sjovt nok er det parametermetoden den nemmeste at finde på, så den starter vi med. Vi skal først have defineret et begreb: side 8

11 Figur 1: De tre koordinatplaner i det rumlige koordinatsystem. Definition 3. Hvis α er en plan i rummet, så vil vi sige at en vektor v, som ikke er nulvektor, er retningsvektor for α hvis v opfører sig sådan at når den indtegnes fra et punkt i α, så peger den på et andet punkt på α. Dette minder meget om retningsvektorer for linjer. Læg dog mærke til at en plan vil have mange flere forskellige retningsvektorer end en linje. To forskellige retningsvektorer for den samme linje vil altid være parallelle. Det er ikke nødvendigvis tilfældet for en plan. Derfor indfører vi et ekstra begreb: Definition 4. To retningsvektorer for den samme plan, α kaldes uafhængige hvis de ikke er parallelle. side 9

12 Hvis man kender to punkter i en plan, så kan kan lave en retningsvektor ved at lave en forbindende vektor mellem de to punkter. Sætning 5. Hvis α er en plan, hvor P = (x 0 ; y 0 ; z 0 ) er et punkt som ligger i α og v 1 og v 2 er to 4.4 Normalvektor for en plan 4.5 Ligning for en plan 5 Kugler De sidste objekter behøver vist ikke nogen nærmere præsentation. Sætning 6 (Kuglens ligning). Hvis P = (a; b; c) R 3 og r > 0 så er kuglen med centrum i P og med radius r beskrevet ved ligningen: (x a) 2 + (y b) 2 + (z c) 2 = r 2 Bevis. Dette er en direkte konsekvens af afstandsformlen i rummet. Ligningen siger ganske enkelt at afstanden fra punktet (x; y; z) til P skal være lig med r. Bemærk at når man taler om en kugle i rummet, så er det overfladen af denne kugle, på samme måde som en cirkel i to dimensioner kun refererer til cirklens periferi. side 10

13 5.1 Tangentplaner Hvis man kender et punkt på en kugle, så er det nemt at finde en beskrivelse af kuglens tangentplan i dette punkt: Eksempel 2. Lad os sige at vi har gang i kuglen med ligningen: (x 2) 2 + (y 1) 2 + (z + 3) 2 = 9 Altså den kugle som har centrum i punktet og radius C = (2; 1; 3) R = 3 Det er ikke svært at se at punktet: P = (4; 1; 4) ligger på kuglen. Lad os finde en beskrivelse af tangentplanen i dette punkt. For det første må P være et punkt i denne plan. Og for det andet må vektoren som går fra centrum ud til P være en normalvektor for denne plan. Vi har altså en normalvektor n givet ved: n = CP = ( 3) = Dermed er tangentplanen givet ved ligningen: (x 4) 2 (y ( 1)) 1 (z ( 4)) = 0 eller omskrevet: 2x 2y z 14 = 0 side 11

14 5.2 Parametrisering af en kugle? Så er vi nået til det punkt hvor forfatteren går i selvsving. Hvis du har svært ved at følge med til dette afsnit, så er det ikke noget problem at stoppe med at læse lige her. Hvis du alligevel hænger på, så lover jeg at det bliver sjovt og spændende. Kan vi mon producere overfladen af en kugle med en parameterfremstilling i stedet for at beskrive den med en ligning? Dette spørgsmål opstår nogle gange når man sidder med et af de sjældne grafprogrammer som kan tegne tredimensionelt, hvis de f.eks. ikke tillader at beskrive delmængder ved hjælp af ligninger 5. Svaret er heldigvis ja, men vi skal være lidt kreative. Her er en ide som virker. Vi vil parametrisere enhedskuglen, men det er ret nemt at ændre til alle andre kugler. Vi vil lade den ene parameter, s, løbe fra 1 til 1, og forestille os at dette angiver et punkt på x-aksen. Til hver værdi af s vil vi så lade den anden parameter, t, styre os igennem en cirkelbevægelse som foregår i yz-retningerne omkring det aktuelle punkt på x-aksen, og med den rigtige radius. Det ser sådan her ud: x y z = s r cos(t) r sin(t), s [ 1; 1], t [0; 2π] Det eneste som vi mangler er at indse hvordan den rigtige radius afhænger af de to parametre. Det kan man indse hvis man forestiller sig at det aktuelle punkt på x-aksen (med koordinaterne: (s; 0; 0)) som vi tegner en cirkel omkring indgår i en retvinklet trekant. Nemlig den trekant som opstår hvis hvis først vi tegner en kant fra origo ud til punktet på x-aksen. Denne kant har længden s. Derfra fortsætter 5 Det er ret ofte tilfældet ikke fordi programmøren har været ond, men fordi det faktisk er en kollosal beregning for computeren at finde de punkter i rummet som opfylder en given ligning. side 12

15 vi vinkelret ud (f.eks. lodret opad) indtil vi møder kuglen. Denne kant har længden r den rigtige radius. Til sidst tegner vi en kant tilbage til origo. Denne har længde 1, fordi den er en radius i enhedskuglen. Nu siger Pythagoras at: dvs. s 2 + r 2 = 1 2 r = 1 s 2 (Vi valgte den positive løsning fordi radius bør være positiv). Nu er det blot at indsætte denne viden i parameterfremstillingen: x y z = s 1 s2 cos(t) 1 s2 sin(t), s [ 1; 1], t [0; 2π] Det er ganske nydeligt, men hvis man tænker lidt over det, så er der en enkelt detalje som måske virker irriterende: Når s = ±1, svarende til at vi står ude i de alleryderste punkter på kuglen på x-aksen, så kører vi rundt på en cirkel med radius nul. Med andre ord: Vi får det samme punkt frem uanset hvad vi sætter den anden paramter, t til at være. Dette virker som temmeligt meget spild af gode parametre, ikke? Man kunne så spørge om kugleoverfladen kunne parametriseres mere elegant. Dermed vi snuser vi faktisk til en meget dybsindig (og meget flot) sætning, som vi desværre ikke har magt nok til at bevise på dette niveau. Men den er nem nok at forstå: Sætning 7. Der findes ikke nogen (kontinuerte) parametriseringer af kugler i rummet, hvor hvert punkt gennemløbes præcis 1 gang, og hvor begge parametre kan tage alle værdier inden for et lukket interval. side 13

16 Eksempel 3 (Lidt om computerspil). Den foregående sætning kan faktisk blive enormt relevant i praksis. Lad os forestille os at vi er i gang med at programmere et computerspil, hvor spillerne skal styre et eller andet som bevæger sig på overfladen af en kugle. Dermed har vi brug for hele tiden at holde styr på hvilket punkt på kuglen en spiller befinder sig i. Det gør man i praksis ved at lave en eller anden form for koordinater dvs. nogle talvariable som tilsammen angiver en entydig position på kuglen. Et oplagt valg kunne være længdegrad og breddegrad sådan som man f.eks. gør med GPS-koordinater på jordoverfladen. Men det har en irritende bivirkning som minder meget om problemerne vi så ovenover; Nemlig at når man befinder sig på nordpolen eller sydpolen, så kan breddegradskoordinaten ændre sig uden at man flytter sig. Dette kan føre til mange besværligheder i praksis. F.eks. kan man ikke se om to spiller er kørt ind i hinanden alene ved at undersøge om begge deres koordinater er ens. Et andet (og værre) problem kommer når man gerne vil lave en måde at styre på, som fungerer ens uanset hvorhenne man befinder sig. Vi skal slet ikke gå ind i detaljerne om disse problemer her, men blot afsløre at det hænger nøje sammen med en masse spændende matematik som hedder topologi. Og sætningen ovenover er et eksempel på et resultat fra denne gren af matematikken. 6 Parameterkurver 7 Parametriserede flader side 14

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Afstandsformlerne i Rummet

Afstandsformlerne i Rummet Afstandsformlerne i Rummet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Analytisk plangeometri 1

Analytisk plangeometri 1 1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt

Læs mere

Ordbog over Symboler

Ordbog over Symboler Ordbog over Symboler Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Vektorfunktioner. Frank Villa. 23. april 2013

Vektorfunktioner. Frank Villa. 23. april 2013 Vektorfunktioner Frank Villa 23. april 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Brug og Misbrug af logiske tegn

Brug og Misbrug af logiske tegn Brug og Misbrug af logiske tegn Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne:

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne: Vektorer i 3D. Grundegreer. Koordinater z k P OP i 0 j x y Enhedsvektorerne De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: i, j og k Vektor OP Hvis punkt p har koordinaterne: P ( a a a3 ) Så har vektor OP koordinaterne:

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011

Diskriminantformlen. Frank Nasser. 11. juli 2011 Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Implikationer og Negationer

Implikationer og Negationer Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Bevægelsens Geometri

Bevægelsens Geometri Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.

Læs mere

User s guide til cosinus og sinusrelationen

User s guide til cosinus og sinusrelationen User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011 Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Flere ligninger med flere ukendte

Flere ligninger med flere ukendte Flere ligninger med flere ukendte Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Kræfter og Arbejde. Frank Nasser. 21. april 2011

Kræfter og Arbejde. Frank Nasser. 21. april 2011 Kræfter og Arbejde Frank Nasser 21. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Problemløsning i retvinklede trekanter

Problemløsning i retvinklede trekanter Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 2

Matematik F2 Opgavesæt 2 Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande VEKTORGEOMETRI del Skæringer Projektioner Vinkler Afstande x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indhold OVERSIGT... 3 SKÆRINGSPUNKTER OG RØRINGSPUNKTER... 4 Skæring med koordinatakser- og planer...

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Afstandsformlen og Cirklens Ligning

Afstandsformlen og Cirklens Ligning Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.

Læs mere

Funktioner af to variable

Funktioner af to variable enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,

Læs mere

Matematik A August 2016 Delprøve 1

Matematik A August 2016 Delprøve 1 Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,

Læs mere

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning  Gratis anvendelse - læs betingelser! Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da

Læs mere

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport

Parameterkurver. Et eksempel på en rapport x Parameterkurver Et eksempel på en rapport Parameterkurver 0x MA side af 7 Hypocykloiden A B Idet vi anvender startværdierne for A og B som angivet, er en generel parameterfremstilling for hypocykloiden

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum:

Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum: Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de ne emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gmnasiepensum: Ordinær kursusgang : Introduktion til vektorer og matricer. Regning

Læs mere

Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge.

Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge. Cykloider Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge Retningspunkt (repetition) Figur 1 viser enhedscirklen Det viste punkt P er anbragt sådan at den øverste af buerne

Læs mere

Omskrivningsgymnastik

Omskrivningsgymnastik Omskrivningsgymnastik Frank Villa 29. december 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen

Analytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Differentiation af Trigonometriske Funktioner

Differentiation af Trigonometriske Funktioner Differentiation af Trigonometriske Funktioner Frank Villa 15. oktober 01 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-01. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Afstand fra et punkt til en linje

Afstand fra et punkt til en linje Afstand fra et punkt til en linje Frank Villa 6. oktober 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Vektorfelter langs kurver

Vektorfelter langs kurver enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote

Læs mere

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning

Projekt 2.1: Parabolantenner og parabelsyning Projekter: Kapitel Projekt.1: Parabolantenner og parabelsyning En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen for en parabolantenne,

Læs mere

Prøveeksamen MR1 januar 2008

Prøveeksamen MR1 januar 2008 Skriftlig eksamen Matematik 1A Prøveeksamen MR1 januar 2008 Tilladte hjælpemidler Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt (lærebøger, notater, osv.), og også elektroniske hjælpemidler som lommeregner og

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................

Læs mere

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering

Optimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen

Læs mere

1. Graftegning i Derive

1. Graftegning i Derive 1. Graftegning i Derive Kapitel 1: Graftegning i Derive Det er meget simpelt at tegne grafer i Derive: Man åbner et 2-dimensionalt grafvindue, skifter tilbage til algebravinduet (home) og indskriver et

Læs mere

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009

MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 EUROPÆISK STUDENTEREKSAMEN 2009 MATEMATIK ( 5 h ) DATO: 8. juni 2009 PRØVENS VARIGHED: 4 timer (240 minutter) TILLADTE HJÆLPEMIDLER Europaskolernes formelsamling Ikke-grafisk, ikke-programmerbar lommeregner

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

VEKTORGEOMETRI del 1 Vektorregning Parameterfremstillinger Produkter af vektorer

VEKTORGEOMETRI del 1 Vektorregning Parameterfremstillinger Produkter af vektorer VEKTORGEOMETRI del 1 Vektorregning Parameterfremstillinger Produkter af vektorer x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indhold REPETITION OG KOORDINATER... REGNING MED VEKTORER... 8 STEDVEKTOR... 1 VEKTOR

Læs mere

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner

Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Enhedscirklen og de trigonometriske Funktioner Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011

Pythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011 Pythagoras Sætning Frank Nasser 20. april 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari

Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2 Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Opgave 7 - Analytisk Plangeometri Delopgave a) Vi starter ud med at undersøge afstanden fra punktet P(5,4) til linjen

Læs mere

7. Rumgeometri med Derive

7. Rumgeometri med Derive 7. Rumgeometri med Derive Kapitel 7: Rumgeometri med Derive Det er afgjort tricket at frembringe gode 3-dimensionalle illustrationer på en PCskærm, men med Derive V er der gjort et rigtigt hæderligt forsøg

Læs mere

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med

Læs mere

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,

Læs mere

Vejledende Matematik A

Vejledende Matematik A Vejledende Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 10A, 10B, 10C og 10D skal kun én opgave afleveres til bedømmelse. Hvis flere end én opgave afleveres, bedømmes

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder.

Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2. Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2.1 I Figur 1.1 i kapitel 1 er der vist et ideelt Kartesiske eller Euklidiske koordinatsystem, med koordinater ( X, Y, Z) = ( X 1, X 2, X

Læs mere

Vektorer og rumgeometri med. TI-Interactive!

Vektorer og rumgeometri med. TI-Interactive! Vektorer og rumgeometri med TI-Interactive! Indtastning af vektorer Regning med vektorer Skalarprodukt og vektorprodukt Punkter og vektorer Rumgeometri med ligninger Jan Leffers (2007) Indholdsfortegnelse

Læs mere

Matematik C. Cirkler. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse.

Matematik C. Cirkler. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse. Cirkler Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse Side Indholdsfortegnelse Cirklen ligning Tegning af cirkler Skæring mellem cirkel og x-aksen

Læs mere

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 29. maj 2009 kl. 9.00-14.00 Matematik A 2009 Prøvens varighed er 5 timer.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni, 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Vektorregning. Vektorer som lister

Vektorregning. Vektorer som lister 10 Vektorregning Vektorer som lister En vektor laves nemmest som en liste på TI-89 Titanium / Voyage 200. I nedenstående skærmbillede ser du, hvordan man definerer vektorer og laver en simpel udregning

Læs mere

Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet

Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet Jesper Møller og Rasmus P. Waagepetersen, Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet September 3, 2003 1 Indledning Dette notesæt giver en oversigt

Læs mere

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013 Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik

Læs mere

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer

Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 23. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser

Læs mere

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje

Projekt 2.5 Brændpunkt og ledelinje Projekter. Kapitel. Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje Projekt.5 Brændpunkt og ledelinje En af de vigtigste egenskaber ved en parabel er dens brændpunkt og en af parablens vigtigste anvendelser er som profilen

Læs mere

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen 1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,

Læs mere

a) angiv en parameterfremstilling for den plan, der indeholder landingsbanen ikke som del af besvarelsen

a) angiv en parameterfremstilling for den plan, der indeholder landingsbanen ikke som del af besvarelsen Opgave 1 Lufthavnen Airtowns landingsbane kan tilnærmelsesvist beskrives som (del af) en plan. Med et passende indlejret koordinatsystem (hvor koordinatværdierne kan tolkes som målt i km, -planen er den

Læs mere

10/11/2013 Avedøreværket. Matematik og IT. Mikkel G, Erik, Alexander og Mathias ROSKILDE HTX KLASSE 3.4

10/11/2013 Avedøreværket. Matematik og IT. Mikkel G, Erik, Alexander og Mathias ROSKILDE HTX KLASSE 3.4 1/11/213 Avedøreværket Matematik og IT Mikkel G, Erik, Alexander og Mathias ROSKILDE HTX KLASSE 3.4 Indhold Forord... 2 Matematik... 3 a) Bestem koordinaterne til punkt B i grundfladen... 4 b) Opstil en

Læs mere

Spor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm.

Spor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm. Homografier Möbius transformationer Følgende tema, handler om homografier, inspireret af professor Børge Jessens noter, udgivet på Københavns Universitet 965-66. Noterne er herefter blevet bearbejdet og

Læs mere

Matematikprojekt Belysning

Matematikprojekt Belysning Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj 2013 HTX Vibenhus

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x i [,] drejes 36 om x-aksen. Vis,

Læs mere