Peter Harremoës Matematik A med hjælpemidler 15. december 2016 = 25 = x = = 10 2 =

Transkript

1

2 Opgave 6 a) Se bilag 2! Opgave 7 a) Omsætningen er givet ved R (x) = p (x) x = 500 x 1 /2 x = 500 x 1 /2 b) Den afsætning, som giver det største dækningsbidrag, bestemmes ved at løse ligningen R (x) = C (x) x 1 /2 = 25 x 1 /2 = ( ) 2 1 x = = 10 2 = Ved en afsætning på 100 stk. opnås det største dækningsbidrag. Den tilsvarende pris er p (100) = = 50 eller 50 kroner pr. stk. Opgave 8 a) Data fra filen fastfood er talt op og resultatet fremgår af nedenstående tabel. b) Vi opstiller følgende nulhypotese. H 0 : Den foretrukne type fastfood afhænger ikke af køn. Da p-værdien i en χ 2 -test for uafhængighed er omtrent 0 og dermed under signifikansniveauet på 5 % forkaster vi H 0 og konkluderer at der er en sammenhæng mellem køn og hvilken type fastfood, der foretrækkes. side 1 af 6

3 c) Kvinder, som foretrækker sushi kan estimeres til at være 38.3 % af alle kvinder. Et 95 % konfidensinterval for andelen bestemmes til [34.5; 42.1] procent. Formuleringen af opgaven er dog ikke helt entydig. Opgave 9 a) Ligevægtsmængden bestemmes ved at løse ligningen. d (x) = s (x) 0.038x + 65 = 0.032x x = 35 x = = 500. Ligevægtsprisen er s (500) = = 46. Ligevægtspunktet er derfor (p, q) = (500, 46). b) Forbrugeroverskuddet beregnes som arealet af trekanten, som er 1 2 (65 46) 500 = 4750 kroner. c) En afgift på 7 kr. gør at grafen for s ny er forskudt opefter i forhold til grafen for s. Derfor vil ligevægtspunktet flytte sig skråt op mod venstre, hvorved både højde og grundlinje for den skraverede trekant bliver mindre. Afgiften vil derfor mindske forbrugeroverskuddet. side 2 af 6

4 Opgave 10 a) Datafilen regional indeholder oplysninger om BNP i 1000 kr. pr. indbygger i forskellige landsdele. I 1994 var gennemsnittet 181.2, medianen var 166 og standardafvigelsen var I 2014 var gennemsnittet 319.9, medianen var 295 og standardafvigelsen var b) Sammenhængen mellem BNP i 1000 kr. pr. indbygger i 1994 er plottet mod den gennemsnitlige årlige vækst. Den bedste lineære model for sammenhængen er V (x) = x c) Konfidensintervallet for hældningskoefficienten er [ ; ]. d) Generelt er der sket en ganske stor forøgelse af BNP i perioden fra 1994 til Vi kan afvise at der ikke er nogen sammenhæng mellem BNP i 1994 og den årlige vækst. Der er således en tendens til at områder med højt BNP også har større vækst men sammenhængen er ganske svag hvilket afspejler sig i værdien R 2 = Der er derfor grund til at diskutere anvendeligheden af den lineære model. side 3 af 6

5 Opgave 11 a) Forskriften for de variable enhedsomkostninger er b) V E (x, y) = C A (x) x + C B (y) y = 0.005x3 0.5x x x y3 0.5y y y = 0.005x 2 0.5x y 2 0.5y = 0.005x 2 0.5x y 2 0.5y Niveaukurven N (1000) samt begrænsningerne er indtegnet i et koordinatsystem. c) Af figuren ses at det frie minimumssted ligger uden for polygonområdet og at minimumsstedet må ligge på linjen y = 0.5x Vi vil derfor minimere funktionen Den afledte er g (x) = 0.005x 2 0.5x ( 0.5x + 350) ( 0.5x + 350) g (x) = 0.01x ( 0.5x + 350) ( 0.5) 0.5 ( 0.5) = 0.01x (0.5x 350) = 0.01x x 3.50 = 0.015x 3.75 Ligningen g (x) = 0 har derfor løsning x = = 250. Den tilsvarende værdi af y beregnes som y = = 225. Der skal derfor produceres 250 A og 225 B for at minimere de samlede variable enhedsomkostninger. side 4 af 6

6 Opgave 12 A a) Idet f (x) = 1 3 x3 2x 2 3x + 18 er f (x) = x 2 4x 3 så f (0) = 18 og f (0) = 3. Derfor har tangenten t ligning y = 3 (x 0) + 18 eller y = 3x Tangenten skæring med x-aksen findes ved at løse ligningen 3x + 18 = 0, hvilket giver x = 6. Ved at indsætte i beregningsforskriften for f checkes at (6, 0) er et nulpunkt for f. b) Skæringspunktet (3.0) er fundet ved hjælp af GeoGebra. Arealet af M kan bestemmes ved 3 0 (t (x) f (x)) dx t (x) dx = = = )) 3 x3 2x 2 3x + 18 dx + ( 13 ) [ x3 + 2x 2 dx + 3 ] 6 2 x2 + 18x ( ( 1 ( 3x + 18) [ 1 12 x x3 ] 3 0 ( + 3 ) = = = 24 3 / ( 3 ) ( 3x + 18) dx side 5 af 6

7 Opgave 12 B a) Differentialligningen L (T ) = a L (T ) (M L (T )), 0 T 100 når a = og M = 82, hvilket giver L (T ) = exp( 0.08T ) Grafen for L er vist nedenfor. b) Ved en loyalitet på 70 % kan SPS-GYM forvente en tilfredshed på 65.6%. Opgave 12 C a) Et lån på kr. med en kvartalsvis ydelse på kr. og en rente på % kan tilbagebetales på ( ) ln 1 A0 y r n = ln (1 + r) = ln ( ) ln ( ) = 80. Lånet kan således tilbagebetales på 80 kvartaler eller 20 år. b) For 2. termin er rentedelen = kroner. Afdragsdelen er = kr. Bidragssatsen er = kr. Ultimo restgæld er = kroner. Bemærk at bidragssatsen i denne opgave ikke er indregnet som en del af ydelsen, som det normalt gøres. side 6 af 6

8

9