Allan C. Malmberg ET IT-LÆREMILJØ. Del 1: Sandsynlighed i skolen

Transkript

1 Allan C. Malmberg CHANCE ET IT-LÆREMILJØ Del 1: Sandsynlighed i skolen INFA 2002

2 FORORD CHANCE er et it-læremiljø til brug for arbejdet med sandsynlighed i en indledende undervisning. Ideerne der ligger bag CHANCE, er opstået gennem erfaringer fra arbejdet i INFAprojektet hvor udviklingen af fagområdet chancelære har haft en fremtrædende plads. I forbindelse med denne erfaringsindsamling tages spørgsmål op vedrørende læreprocessen i matematik, specielt spørgsmål der har tilknytning til samspillet mellem it og læring. I del 1 af CHANCE redegøres for de fagdidaktiske overvejelser der knytter sig til undervisningen i chancelære i skolen. En særlig omtale gives af sandsynlighedsbegrebet i skolen og den måde hvorpå det fremtræder i INFAs tekster og programmer. I tilknytning hertil beskrives de faglige ideer som har været afgørende for udformningen af it-læremiljøet CHANCE. I del 2 gives først en generel beskrivelse af de ideer der ligger bag INFAs it-læremiljøer, de såkaldte LEARN-miljøer. Derefter omtales de fire faglige områder som udgør grundstammen i CHANCE. Omtalen gives i tilknytning til en beskrivelse af de itværktøjer der indgår i læremiljøet. Del 2 afsluttes med forslag til hvordan der kan arbejdes i et it-læremiljø i en indledende undervisning. Det er mit håb at CHANCE kan åbne elevers og læreres øjne for at der i chancelæren findes et fascinerende og spændende fagområde som lægger vægt på det anvendelsesorienterede og det eksperimenterende og som bygger på elevernes aktive medvirken. Et fagområde som giver faglige oplevelser og faglige udfordringer på ethvert niveau. Allan C. Malmberg

3 CHANCE Del 1: Sandsynlighed i skolen 1. Et it - læremiljø til arbejdet med sandsynlighed Et tilbageblik: Læseplanen Faghæfterne 1995 og 2001: At forholde sig til sandsynligheder Sandsynlighedsbegrebet i skolen Tre slags sandsynligheder Det statistiske sandsynlighedsbegreb i centrum Et chancebegreb som bygger på databaser Chancelærens grundregler Hvordan fortolkes chancerne? Chancetræer - det centrale hjælpemiddel Chanceberegninger i træet Samspillet mellem hændelser TRÆ - et edb-program Ny viden - ny database HYPOTESE - at lære af erfaringer En læseplan De faglige ideer bag CHANCE Chancesituationer Et intuitivt chancebegreb Statistiske sandsynligheder Ét fagområde: Chancelære Eksperimenterende og udforskende Indsigt gennem anvendelser "Faglige tankevækkere" Edb-spil i undervisningen Anvendelsen af edb-modeller Forberedelse til en egentlig faglig opbygning...78

4 7. Kan der bygges på elevernes chanceintuition? Der er slet ingen database Den forkerte database Forkert anvendelse af databasen Chancetræet bruges ikke...93 CHANCE Del 2: Læremiljøets opbygning 1. Læring i LEARN-miljøer Opbygning af LEARN-miljøer Læremiljøet CHANCE: Fire faglige områder Indledende arbejde med data og sandsyn ligh Problemløsning i chancesituationer: LOD Problemløsning i chancesituationer: KUGLE Problemløsning i chancesituationer: TRÆ Arbejde med databaser og chancer Chancer i spil At arbejde i et it-læremiljø Litteratur...196

5 1. Et it-læremiljø til arbejdet med sandsynlighed INFA-projektet har siden begyndelsen af 1990'erne arbejdet med at udvikle området sandsynlighed i en indledende matematikundervisning. Det har været sigtet med dette arbejde at vise hvorledes der gennem tekster og it-hjælpemidler kan opbygges et læremiljø som i særlig grad er fremmende for elevernes beskæftigelse med emner fra dette område som vi har navngivet chancelære. De har i læremiljøet kunnet arbejde med eksperimenter udført på computer eller ved håndkraft. De har kunnet belyse problemstillinger ved hjælp af indsamlede data, de har opstillet antagelser og gæt, og de har efterprøvet dem gennem anvendelse af INFAs edb-programmer. En første rapport fra arbejdet foreligger i INFA-Småtryk [Litteratur afsnit E] Der er for os ingen tvivl om at netop inddragelsen af hjælpemidler fra it har givet nye muligheder for etableringen af udfordrende og stimulerende læremiljøer til brug for elevernes beskæftigelse med emner fra chancelæren. Med computeren som hjælpemiddel er skabt en dynamik som tilfører læremiljøet helt nye kvaliteter og som giver læreprocessen en dimension af uvurderlig værdi. En nærmere argumentation for anvendelsen af it i undervisningen er givet i INFA-Småtryk [Litteratur afsnit E]. Læremiljøerne i undervisningen danner ramme for elevernes beskæftigelse med de faglige emner, og det er vigtigt at miljøerne giver optimale udfoldelsesmuligheder for eleverne. Gennem aktiviteterne i læremiljøerne kan eleverne være med til at opbygge deres viden og kompetence med hensyn til chancelærens emner og dens anvendelse ved løsning af virkelighedens problemer. Udformningen af undervisningens læremiljøer kan være helt afgørende for læringens vellykkede forløb, og det er en af 5

6 lærerens vigtige opgaver at opbygge så gode og fleksible læremiljøer som muligt. Læremiljøerne i en it-støttet matematikundervisning bygges op omkring computeren. De centrale ingredienser i et læremiljø af denne art er edb-programmer, tekster, eksempler, opgaver og supplerende materialer, herunder materialer af multimedie-art. Hertil kommer praktiske indslag med indsamling af "rigtige data". Men dette er kun den ene side af sagen. Helt afgørende er også den aktivitet der finder sted i form af samarbejde elever imellem og de drøftelser og diskussioner der foregår mellem elever indbyrdes og mellem elever og lærer. Gennem fortrolighed med arbejdet i sådanne miljøer vil eleverne føle sig trygge og sikre i læresituationer, og de vil kunne være med til at finde og videreudvikle deres egen personlige stil i arbejdet med læreprocesser. De får erfaring med at tackle nye og ukendte problemstillinger, og de kommer til at opleve deres eget potentiale i forhold til foreliggende læresituationer. Forhåbentlig vil de se "det at lære" som en udfordring de har lyst til at tage op. De rette læremiljøer vil kunne styrke elevernes sans for faglig nysgerrighed, deres evner for omstilling og deres tillid til egne muligheder. Læremiljøerne skal give rammer for at eleverne kan udvikle deres kreativitet, ofte med udgangspunkt i det praktiske og aktivitetsorienterede. Men kreativitet er ikke nok i sig selv, den må udfolde sig i tilknytning til en faglighed. I fagområdet chancelære har vi en emnekreds til rådighed som i den rette udformning kan fænge hos alle elever, og hvor det er muligt at tilrettelægge en undervisning som kan give udfordringer til hver enkelt. Vi vil få en fattigere matematikundervisning i skolen hvis vi kun på overfladisk vis lader eleverne stifte bekendtskab med dette spændende, udfordrende og vedkommende fagområde. Med veltilrettelagte læremiljøer til rådighed er det muligt at tilgodese forskelle i elevernes lærestil og forskelle i deres behov 6

7 for og evner for at fordybe i det faglige stof. Hvor vægten lægges på læring gennem aktiviteter og handlinger, vil de fleste elever kunne være med og gøre en indsats i arbejdet med de forelagte emner. Man vil efter vor overbevisning kunne nå et godt stykke ad denne vej i matematikundervisningen gennem etablering af læremiljøer efter de retningslinier der er skitseret her. De mange faglige og pædagogiske virkemidler der spilles på i de itstøttede læremiljøer tilgodeser en stor del af de krav der kan stilles til en undervisning hvor den enkelte elev kan udfolde sig mest muligt og alligevel deltage i et arbejdsmæssigt fællesskab. I undervisningen vil man kunne arbejde med fælles faglige oplevelser i bestræbelsen på at nå et fælles mål, men man kan gennem de foreliggende hjælpemidler nå målene ad forskellige veje og med forskellig grad af detaljering og gåen-idybden undervejs. Det må imidlertid ikke overses at arbejdet med læremiljøer i en it-støttet undervisning stiller store krav til læreren. Der forudsættes et fagligt overblik og en faglig indsigt i de behandlede emner som sætter læreren i stand til at foretage overvejelser og afvejninger i forbindelse med valg af faglige og pædagogiske metoder. Et spændende og givende læremiljø opbygges ikke ved at læreren blot tager et edb-program og den tilhørende elevtekst og lader eleverne arbejde med det. Der kræves en tilrettelæggelse som nøje vurderer de givne hjælpemidler og deres rolle i læringsmæssig sammenhæng og i relation til den givne elevgruppe. Det er gennem veltilrettelagte læresituationer at skolens matematikundervisning har mulighed for at opfylde de gode intentioner fra undervisningsvejledningerne: At fremme arbejdsformer som giver eleverne en eksperimenterende og udforskende holdning til de faglige emner, og som vænner dem til at undre sig, at være nysgerrige, at stille spørgsmål og at gå på opdagelse. 7

8 Og det er gennem sådanne læremiljøer at matematik undervisningen kan nærme sig de mange gode hensigter der er udtrykt i princippet om undervisningsdifferentiering. I del 2 af CHANCE er der nærmere redegjort for ideerne bag INFA-projektets it-læremiljøer. INFAs udvikling af it-læremiljøer er inspireret af de arbejder der er nævnt i afsnit D i litteraturlisten. 8

9 2. Et tilbageblik: Læseplanen 1976 Fagområdet statistik og sandsynlighed kom ind i skolen i Danmark med læseplanerne fra Det fik imidlertid aldrig en tilfredsstillende udformning i undervisningen, og det har på ingen måde udviklet sig til at blive et inspirerende og udfordrende område hvor eleverne kan boltre sig med matematikken og dens anvendelser i en ny og spændende iscenesættelse. Fagområdet har ved undervisningen i skolen været præget af en række mindre vellykkede beslutninger: 1. Sandsynlighedsregningen udspillede sig næsten udelukkende de med sandsynligheder af kombinatorisk art. Derved blev repertoiret af anvendelser begrænset til at bestå af de traditionelle trivielle eksempler på chanceeksperimenter: terningkast og kugleudtagelser. Af misforstået skræk for at være umatematisk i undervisningen, har læreren ikke tilladt at sandsynligheder kunne opstå i forbindelse med datamaterialer, men kun gennem små velbeskrevne matematiske udfaldsrum, så man var sikker på at der ingen diskussion kunne finde sted om de tillagte talværdier. - Nogle lærere og lærebogsforfattere opbyggede den sædvanlige mængdebeskrivelse af sandsynlighedsregningen, med udfaldsrum, hændelser og sandsynlighedsfunktion, og nåede ikke herudover. Og eleverne oplevede det hele som en ny ørkesløs eksercits i symbolmanipulation. 2. Kombinatorikken blev af både lærebogsforfattere og lærere dyrket med vægten lagt på formler og ikke på metoder. Derved blev dette område lukket land for den største del af eleverne. Tilmed var lærerne også utrygge ved kombinatorikken hvor selv ganske banale problemstillinger kunne føre dem ud på usikker faglig grund. 9

10 Man kom derfor hurtigt til den erkendelse at kombinatorik er for svært, både for elever og lærere. Og de kombinatoriske overvejelser indskrænkedes herefter til at omfatte bestemmelsen af antallet af udvalg bestående af højst to elementer der kan udtages fra en mængde på ikke over en halv snes elementer. - Med sådanne bånd på det faglige program kommer man ikke ret langt i anvendelsessituationer. 3. Den deskriptive statistik blev dyrket som et selvstændigt fagområde. Der blev lagt mere vægt på terminologi end på indhold, og den statistiske beskrivelse af datamaterialer blev ofte løsrevet fra enhver form for dataindsamling og datafortolkning. Det vigtigste var opstilling af tabeller, beregning af mærketal og fremstilling af grafiske figurer, alt sammen kun til ære for fagområdet, ikke med henblik på nogen som helst anvendelsessituation. En beskæftigelse med et forelagt talmateriale kunne derfor kulminere med beregning af en middelværdi eller en median uden at der blev foretaget nogen fortolkning af de beregnede værdier, eller uden at de på nogen måde blev anvendt i en meningsfyldt sammenhæng. Betydningsindholdet blev helt fjernet fra talbeskrivelserne. Undervisningen byggede på færdigleverede data, og ikke på den dynamik der ligger i at eleverne selv lever med i alle faser af processen med at indsamle data og bruge dem på meningsfyldt måde. 4. Eksempelmaterialet var for fattigt. Der var langt imellem de inciterende og fængende eksempler på anvendelse som dette fagområde er så rigt på. I undervisningen så man stort set aldrig en situation hvor der opstod et behov hos eleverne for at fastlægge en chance eller en risiko, ej heller så man eksempler på hvordan elevernes dataindsamling kunne bidrage til at besvare spørgsmål om ukendte sandsynligheder. * Intet under at fagområdet ikke blev til noget i skolens matematikundervisning. Under de givne betingelser måtte enhver form 10

11 for livskraft blive udslukt i løbet af kort tid. Og blot nogle få af folkeskolens afgangsprøver afslørede da også hvad der fra officielt hold forventedes af kundskaber inden for dette område: Ingen reel indsigt, men kendskab til en række faggloser som hos eleverne kunne sætte gang i reflekser der førte til beregning af talværdier, til opstilling af tabeller eller til tegning af diagrammer. Hos en usikker lærer vil en sådan holdning smitte af på den daglige undervisning. Det anvendelsesorienterede, det eksperimenterende, det oplevelsesgivende, det udfordrende, det fascinerende og det sprudlende blev dermed totalt fjernet fra undervisningen i sandsynlighedsregning og statistik i den autoriserede danske skoleudgave. Undervisningen i skolen i sandsynlighedsregning og statistik har dermed aldrig nærmet sig noget der lignede beskrivelsen i undervisningsvejledningen fra 1976 (side 18): Undervisningen må centreres om de to emners fundamentale begreber og disses anvendelser i situationer, som vedrører elevernes hverdag. Undervisningen må give eleverne en begrebsmæssig baggrund for dagligdags udtryk som chance, risiko og tilfældighed, og den må give eleverne mulighed for at opnå fortrolighed med elementære eksperimenter af stokastisk art. Og fortsat hed det i undervisningsvejledningen: De må endvidere kunne udlede relevante oplysninger fra givne statistiske beskrivelser, og de må kunne tage stilling til holdbarheden af konklusioner og fortolkninger, der foretages i tilknytning til sådanne beskrivelser. Disse gode hensigter realiseres ikke gennem et arbejde med opgaver der handler om udtagelse af et par kugler fra en pose, ej heller gennem et talmateriale som giver en oversigt over hvordan det gik ved et halvt hundrede kast med en tegnestift. 11

12 De mange ord i den matematik-didaktiske debat om en eksperimenterende og udforskende arbejdsform er gået hen over dette fagområde uden at efterlade sig synlige spor. Netop her hvor eksperimenter kunne være et vigtigt element i elevernes arbejde med at skaffe sig ny erkendelse, oplevede man en undervisning der forfaldt til papirøvelser i kombinatorisk optælling og mængdelæresymbolik - og i drøftelse af om en forelagt hændelse nu var af typen både-og eller af typen enten-eller. Sandsynlighedsregning og statistik blev i skoleudformningen drænet for alt liv. Et på denne måde braklagt fagområde vil der selvfølgelig ikke være nogen begrundelse for at bevare i den fremtidige matematikundervisning i skolen. Det kan i en sådan udgave ikke bidrage til at vække elevernes interesse for matematik og deres forståelse for fagets rolle i anvendelse og erkendelse. Men det kunne have været ganske anderledes Undervisningsforsøg fra indland og udland viser at fagområdet ikke behøver at leve en så kummerlig tilværelse i den almene uddannelse. Projekter med udfordrende og inspirerende temaarbejde har været udviklet adskillige steder, og resultaterne herfra fortæller at der er mulighed for at opbygge et område som både har elevernes interesse og som tilgodeser de mange gode intentioner der gennem de senere år er opstillet for undervisningen i sandsynlighedsregning og statistik. Der er da også meldinger fra det ene land efter det andet om spændende projekter som har til formål at føre eleverne ind i sandsynlighedernes verden. Og flere og flere undervisningssystemer placerer fagområdet inden for det obligatoriske stof som alle elever i grunduddannelsen skal stifte bekendtskab med. Samtidig foregår der en rivende udvikling hvor fagfolk og pædagoger deltager i opbygningen af en didaktik for dette felt, og der holdes særskilte konferencer hvor emnet er sandsynlighed i skole og læreruddannelse. En orientering om igangværende initiativer inden for den elementære undervisning i chan- 12

13 celære kan findes i tidsskriftet Teaching Statistics (tysk udgave: Stochastik in der Schule). Samlede beskrivelser af undervisningen i sandsynlighed i skolen findes hos Anne Hawkins og S. Lajoie [Litteratur afsnit B]. På den hjemlige front har dette fagområde fra 1990 været centralt placeret i INFA-projektets virksomhed med udvikling af materialer til brug for undervisningen i folkeskolen og i lærernes efteruddannelse. Et tidligere projekt ved Lærerhøjskolens Matematiske Institut etableredes i slutningen af 1970'erne med det formål at belyse mulighederne for at realisere de forslag der var givet i læseplanen fra Som et af resultaterne af de fagdidaktiske arbejder i dette projekt udvikledes et lærebogsmateriale "Hvad er Chancen", som udsendtes i to bind i [Litteratur afsnit B]. Lærebogen var skrevet med henblik på brug ved undervisningen i folkeskolens klasse, men der var tænkt på undervisning i en forsøgssituation hvor fagområdet sandsynlighedsregning og statistik tildeles et betydeligt timetal. Det lykkedes aldrig at få etableret en sådan undervisning, og lærematerialet blev i stedet anvendt ved uddannelsen og efteruddannelsen af folkeskolens lærere. 13

14 3. Faghæfterne: At forholde sig til sandsynligheder I Faghæftet Matematik fra 1995 hedder det under det indledende afsnit om færdigheder og faglige redskaber: Gennem aktiviteter, der er relevante for eleverne, skal opnås færdighed i: at anvende tal at beskrive størrelser ved måling og beregning at bruge grafiske fremstillinger at arbejde med geometri i plan og rum at benytte variable og formler at anvende og vurdere statistik at forholde sig til sandsynligheder. Disse færdigheder indgår i fagets anvendelser som beskrivelsesmiddel og som redskab ved forudsigelse af en udvikling eller en begivenhed. Eleverne skal være i stand til at benytte datatekniske hjælpemidler og vurdere i hvilke sammenhænge, det er hensigtsmæssigt at anvende dem ved problemløsning. Eleverne skal altså gennem undervisningen komme frem til at opnå færdigheder i "at forholde sig til sandsynligheder". Nu kan eleverne ikke bare forholde sig til noget uden at have et udgangspunkt at forholde sig fra. Uden en basis at støtte sig til bliver det rent dilettanteri at forholde sig til en sag. Man kan frygte at dette vil blive realiteten i skolens forhold til sandsynligheder, idet der ikke i de vejledende læseplaner i faghæftet gives opfordringer eller retningslinier til at opbygge et fagligt fundament hvorfra eleverne kan foretage deres overvejelser. 14

15 Ej heller er er der i undervisningsvejledningen nogen støtte at hente for den lærer der ønsker at få læseplansudvalgets bud på hvordan undervisningen i dette fagområde kan tilrettelægges. Sandsynlighedsregning har ikke fået et eneste lille afsnit blandt vejledningens mange sider. Undervejs i faghæftet kan man læse at vægten lægges på "det statistiske sandsynlighedsbegreb", men der gives ikke en nærmere forklaring på hvad denne betegnelse står for. En sådan behandling af fagområdet er næppe et udtryk for en optimistisk tro i læseplansudvalget på at emnet sandsynlighedsregning er så ligetil at det ikke giver anledning til vanskeligheder for elever og lærere. For i så fald er udvalget ganske ude af trit med virkeligheden. Tværtimod burde dette fagområde have en fyldig og veleksemplificeret omtale i læseplan og undervisningsvejledning. I foråret 2001 er faghæftet udsendt i en revideret udgave, "Klare Mål". Blandt de centrale kundskabs- og færdighedsområder finder vi en stort set uændret omtale af den rolle der er tiltænkt sandsynligheder: "Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til at forholde sig til sandsynligheder." I den tilhørende undervisningsvejledning, version 2001, leder man stadig forgæves efter forslag til hvordan målet "at forholde sig til sandsynligheder" kan fremmes i skolens undervisning. Vi må sætte vor lid til faghæftets 2010-udgave. * Der skal i det følgende gennem opbygningen af CHANCE i del 2 gives forslag til hvad der kunne være en faglig baggrund for på rimelig vis "at forholde sig til sandsynligheder. Der vil i tilknytning hertil blive fremsat forslag til aktiviteter der er relevante for eleverne når de skal opnå færdighed i at omgås sandsynligheder med forståelse og indsigt. 15

16 4. Sandsynlighedsbegrebet i skolen Det følgende forslag til arbejdet med sandsynligheder i den elementære undervisning bygger på erfaringer der er gjort i INFA-projektet hvor sandsynlighedsregningen er behandlet under kraftig inddragelse af it-hjælpemidler. Forslagets sigte er imidlertid langt bredere end blot at gøre opmærksom på mulighederne i at anvende it i undervisningen. Der fremlægges ideer til en faglig begrebsopbygning som i udpræget grad gør brug af beskrivelser ved konkrete modeller i form af databaser. Gennem sådanne databaser vil elever og lærere få adgang til lethåndterlige hjælpemidler til arbejdet med sandsynlighedsregningens grundlæggende begreber, begreber som almindeligvis anses for svært tilgængelige for begyndere og som ofte giver anledning til vanskeligheder i en begynderundervisning. Den følgende redegørelse vil vise hvorledes arbejdet med sandsynlighedsregning i INFA-projektet kan ses som en bestræbelse på at give nye ideer til skolens behandling af fagområdet, ideer som giver sig udslag i såvel den faglige opbygning som i de hjælpemidler der benyttes i elevernes beskæftigelse med begrebsdannelserne og deres anvendelse i problemløsning. - Redegørelsen beskæftiger sig med de overordnede linjer for arbejdet med chancelæren i INFA-projektet, og den går ikke i detaljer med hensyn til de enkelte faglige ideer der ligger til grund for projektet. Disse ideer vil blive nærmere beskrevet i del 2 i omtalen af de udviklede undervisningstemaer. INFAs chancebegreb i stikord Til indledning skal gives en kort karakteristik af det sandsynlighedsbegreb der er benyttet i INFAs chancelærearbejde og som vil blive nærmere beskrevet i den følgende fremlæggelse. Beskrivelsen gives i relation til fem aspekter. 16

17 Chancebegrebet. Hovedvægten er lagt på det statistiske chancebegreb, men der gøres også udstrakt brug af det kombinatoriske og det personlige chancebegreb. Faglig opbygning. Der er tale om en faglig opbygning som hviler på et intuitivt grundlag, ikke på en teoretisk opbygning. Beskrivelser gives ved hjælp af dagligsprog, og der er ingen anvendelse af mængdelæreterminologi. Tildeling af talværdier til chancer. Talværdier tildeles gennem anvendelse af datamaterialer fra eksperimenter, gennem overvejelser over symmetriforhold, gennem afvejning af væddemål og gennem opstilling af lodtrækningssituationer. Fortolkning af chancer. Chancer fortolkes ved frekvenser i eksperimentserier, gennem opstilling af lodtrækninger og væddemål, samt som overvejelser over graden af overbevisning om hændelsers indtræffen. Pædagogiske hjælpemidler. Databaser, chancetræer, æskemodeller, eksperimenter, simuleringer, spil. Omfattende inddragelse af it. 4.1 Tre slags sandsynligheder I arbejdet med emner fra sandsynlighedsregning i CHANCE gøres brug af tre typer af chancebegreber: et kombinatorisk, et statistisk og et personligt. I hæftet fra Chance-læreserien Chancetræ - Chancer gennem beregninger, er der givet en indledende omtale af disse begreber og deres anvendelse ved beskrivelse af situationer fra virkeligheden. Hovedpunkterne fra denne fremlæggelse gengives her. Hverdagens sandsynligheder Den daglige tilværelse indeholder et væld af situationer hvor chancer og risikoer spiller en rolle. Når vi ikke med sikkerhed kan sige hvad der vil ske, men kun hvad der kan ske blandt en række muligheder, er vi i en chancesituation. Vi vil da være in- 17

18 teresseret i at skaffe os oplysninger om hvor stor en chance eller hvor stor en risiko der er for at en bestemt mulighed indtræffer. Når vi taler om hverdagens chancesituationer, benytter vi udtryk som har med sandsynligheder at gøre. Taler vi om en hændelse vi gerne ser indtræffe, bruger vi ordet chance, og foreligger der en uønsket hændelse, taler vi om hændelsens risiko. Er vi lidt mere neutrale i vurderingen af hændelsen, kan vi benytte ordet sandsynlighed. Vi taler således om chancen for at få gevinst i et spil, om risikoen for at der sker en trafikulykke, og om sandsynligheden for at en lodtrækning i en skoleklasse resulterer i at en pige vælges. I mange hverdagssituationer kan vi nøjes med at omtale en chance eller risiko som værende stor eller lille uden nærmere at angive den ved hjælp af talværdier. Vi kan fx sige at der er stor chance for en mild vinter, og at der er en lille risiko for farlige bivirkninger ved en vaccine. Ofte vil vi dog sætte tal på: Der er mindst 90% chance, Der er en risiko på højst 5%, osv. At sætte tal på chancer Hvordan fremkommer nu disse talvurderinger? I INFAs chancelæretekster gives eksempler på hvordan man kan sætte tal på chancer og risikoer. Der er gjort brug af to metoder. Hvis der foreligger et chanceeksperiment med ligevægtede udfald, opstiller vi en såkaldt slumpmodel for eksperimentet, og vi kan derefter beregne sandsynligheden ved at tælle gevinstudfald. Hvis det er umuligt at opstille en sådan model, eller hvis det er for besværligt at foretage optællingerne, kan vi måske i stedet gennemføre en statistisk undersøgelse. På grundlag af data fra eksperimentserier kan vi derefter udtale os om de ukendte chancer eller risikoer. Ved den første metode arbejder vi med det der kaldes kombinatorisk sandsynlighed. Der når vi frem til talværdier for sand- 18

19 synlighederne ved at tælle udfald og gevinstudfald. Måske må vi ved disse optællinger benytte særlige tælle-metoder, og sådanne metoder hører hjemme i det fagområde der kaldes kombinatorik. Deraf betegnelsen kombinatorisk sandsynlighed. Ved den anden metode når vi frem til talværdier for sandsynlighederne ved hjælp af statistiske undersøgelser i tilknytning til udførte eksperimenter som kan være rigtige eksperimenter eller simulerede eksperimenter. De sandsynligheder der fastlægges på denne måde, vil vi kalde statistiske sandsynligheder. I hverdagen forekommer kombinatoriske sandsynligheder stort set kun i helt enkle stikprøveudtagelser og i forbindelse med spil. I spil er der næsten altid tale om konstruerede situationer som er lagt til rette på en sådan måde at de kan beskrives ved hjælp af udfaldsrum med ligevægtede udfald. Det gælder derimod ikke for virkelighedens mere alvorlige chancesituationer, her er det i almindelighed ikke os selv der står for iscenesættelsen. I hverdagens chancesituationer er det især statistiske sandsynligheder der gøres brug af. Data indsamles og en statistik udarbejdes. Med udgangspunkt i denne statistik fremsættes derefter udtalelser om chancer og risikoer. Vi laver altså statistik over fortiden, og benytter den ved forudsigelser af fremtiden. Statistik bygger på det kendte og anvendes på det ukendte. En statistik over dødsfald i Danmark kan således sætte os i stand til at give tal for en danskers chancer for at opnå en bestemt levealder. Chancer ud fra ekspertvurderinger Det er imidlertid ikke kun statistiske sandsynligheder man ser anvendt i hverdagens chancesituationer. Undertiden fremsættes der også udtalelser om chancer som ikke støtter sig på nogen statistik. 19

20 Det kan skyldes at det er for vanskeligt eller for bekosteligt at fremskaffe en statistik, eller at det måske slet ikke er muligt at opstille en statistik. I sådanne situationer når man somme tider frem til et tal for den ukendte sandsynlighed ved at lade en ekspert vurdere alle foreliggende oplysninger og på grundlag heraf fremsætte sin formodning om den givne situation. Sandsynligheder af denne art vil vi kalde personlige sandsynligheder. Sandsynligheder som kommer til veje gennem sådanne ekspertvurderinger kan være stærkt afhængige af hvem den pågældende ekspert er, og der kan i øvrigt være problemer med at afgøre hvem der kan betragtes som uvildig ekspert. Hverdagens chancer og risikoer kan altså optræde som tre forskellige typer af sandsynligheder: 1. Kombinatoriske sandsynligheder gennem optællinger 2. Statistiske sandsynligheder gennem datamaterialer 3. Personlige sandsynligheder fastlagt gennem ekspertvurderinger. De kombinatoriske sandsynligheder kan umiddelbart se mest solide ud. De kan jo findes ved optællinger, og alle der udfører disse optællinger (og tæller rigtigt) vil komme til det samme resultat. Ved statistiske sandsynligheder er billedet ikke så klart. Her kan benyttes forskellige datamaterialer, og de vil sjældent føre til helt de samme sandsynligheder. Men hvis materialerne bygger på et omfattende antal tilfælde, vil de dog i almindelighed give resultater som ikke afviger meget fra hinanden. Helt anderledes stiller sagen sig ved personlige sandsynligheder. De overvejelser der ligger til grund for de personlige sandsynligheder, lader sig jo vanskeligt kontrollere. Man vil dog un- 20

21 dertiden kunne bedømme en ekspert på de resultater han opnår over et større antal vurderinger. Det er sjældent der foreligger helt rene anvendelser af statistiske sandsynligheder og personlige sandsynligheder, ofte vil disse to typer blive benyttet side om side. I nogle situationer vil anvendelsen af statistiske sandsynligheder have overvægt, i andre er det brugen af personlige sandsynligheder der er dominerende. For nærmere beskrivelser af sandsynlighedsbegrebet henvises til de fremstillinger der er anført i afsnit A i litteraturlisten. - En fremstilling der opbygger den elementære sandsynlighedsregning på personlige sandsynligheder findes hos A. O'Hagan [Litteratur afsnit B]. Et nyt fagområde i skolen I den almene uddannelse kom sandsynlighedsregning ind som et fagområde i matematikundervisningen fra omkring Nogle lande var tidligt med og kunne allerede i 50 erne fremvise forsøgsprojekter der havde afprøvet en række emner fra fagområdet. De fleste andre lande er fulgt med i årene derefter, Danmark indførte emnekredsen i folkeskolen med skoleloven af En omtale af chancelære-undervisningen i en række lande findes i rapporten af V. Barnett [Litteratur afsnit B] Det store flertal af tekster der har været benyttet i den elementære undervisning rundt omkring i verden, har bygget på det kombinatoriske sandsynlighedsbegreb. Der har kun været få eksempler på faglige forløb der tager udgangspunkt i det statistiske og det personlige sandsynlighedsbegreb. Det har været et sigte med INFA-projektets arbejde med sandsynlighedsregning at vise at de tre omtalte sandsynlighedsbegreber alle har relevans i pædagogisk henseende. De vil alle tre kunne indgå i den elementære undervisning, og de vil på hver sin vis kunne bidrage til at sætte facetter på elevernes 21

22 forståelse af hvad sandsynligheder er og hvad sandsynligheder kan benyttes til. At sandsynlighedsregning i folkeskolen hidtil næsten udelukkende har været eksemplificeret gennem anvendelser af den kombinatoriske sandsynlighed, er som allerede nævnt en fatal svaghed i undervisningen. Netop de to andre typer af sandsynligheder kan bidrage til at belyse de alsidige anvendelsesmuligheder der er for sandsynlighedsregning og statistik i et moderne samfund. Den der kun stifter bekendtskab med den kombinatoriske sandsynlighed, må stå ganske uforstående over for de mange påstande om den centrale rolle faget spiller som redskab for problemløsning og erkendelse inden for næsten ethvert teknisk og videnskabeligt område. 4.2 Det statistiske sandsynlighedsbegreb i centrum INFAs undervisningsmaterialer foreligger i såkaldte EMMAtemaer, hvor EMMA står for "elektroniske materialer til matematik". I EMMA-temaet Taldata 1-3 fastlægges chancer på grundlag af statistiske materialer, datamaterialer. Med denne placering af de statistiske undersøgelser er det hensigten at sætte det statistiske sandsynlighedsbegreb i forgrunden i INFAs arbejde med fagområdet, og at udvikle elevernes intuitive chanceforståelse og deres fortrolighed med chanceovervejelser i forhold til denne version af sandsynlighedsbegrebet. Udgangspunktet vil derfor være et datamateriale som er opstået i tilknytning til et chanceeksperiment. Fra eksperimentet er indsamlet data som beskriver hvilke resultater der blev opnået i eksperimentet. Et eksempel på et sådant materiale findes i det indledende afsnit i EMMA-temaet hvor det undersøges hvor mange kast der skal foretages med to terninger før der opnås et kast hvor de to terninger viser det samme øjental. 22

23 Antal kast Antal eksperimenter Kumuleret antal Som det ses af denne oversigt, blev der i 18 af de 100 eksperimenter opnået to ens allerede i første kast. Hvis vi benytter vore 100 eksperimenter som den database hvorfra vi henter viden om vanskeligheden ved at opnå to ens, vil vi altså kunne sige at der er 18% chance for at opnå to ens i første kast. Datamaterialet viser også at der er 31% chance for at opnå to ens i løbet af de første to kast. Og der er 58% chance for at opnå to ens i løbet af de første fem kast. - Vi ser endvidere at det højeste antal kast der skulle bruges for at få to ens, var

24 Et arbejdsredskab Nu er det ikke tanken at eleverne skal opfatte disse talangivelser som sandheden om de ukendte chancer. De skal netop tage dem med forbehold, og vurdere dem i relation til det materiale der bygges på. Fra eksperimenter i klassen vil de vide at den næste serie af forsøg kan give et afvigende resultat. Men det er netop sigtet med fremstillingen i EMMA-temaerne at vænne dem til at omgås datamaterialer på en sådan måde at de ser at der af dem kan hentes oplysninger, men at disse oplysninger ikke behøver at være det endelige ord i sagen. Nye data kan give nye oplysninger som bevirker at den foreliggende viden må justeres. Vi vil imidlertid sætte tal på chancerne på baggrund af de foreliggende data. Vel vidende at disse chancer modificeres når nye data kommer til, og vel vidende at personer der indsamler hvert deres datasæt vil komme frem til resultater der ikke stemmer ganske overens. Men det er en del af den forståelse af chancer, vi gerne vil bibringe eleverne. De skal vænne sig til at opfatte et chanceudsagn som noget der kan være kommet til veje på grundlag af et datasæt. Til billedet hører da naturligt at de fremlagte chancetal kun kan være foreløbige vurderinger, de kan ikke tages som eksakte værdier der er fastlagt én gang for alle. Men vi vil bruge disse tal til at belyse den givne chancesituation, og indtil der foreligger nye data benytter vi dem, vi har. Som konsekvens heraf må vi gå med til at det vil være korrekt at eleverne i tilknytning til eksemplet ovenfor konkluderer (foreløbigt) at chancen er lille for at der skal benyttes mere end 25 kast for at få to ens. Deres datamateriale viser jo at de i alle 100 forsøg kunne klare sig med højst 26 kast. Den lærer der føler sig utryg herved, kan opfatte de fundne chancetal som et bud på de ukendte bagved liggende teoretiske sandsynligheder. Han kan altså skelne mellem chancer og sandsynligheder, og lade chancer være de praktiske arbejdsredskaber vi benytter i vore bestræbelser for at opnå ind- 24

25 sigt i de teoretiske sandsynligheders verden. Chancer bestemmer vi altså på grundlag af datamaterialer, og disse chancer benytter vi som en praktisk håndterlig udgave af de bagved liggende teoretiske sandsynligheder hvis eksakte værdier vi i øvrigt aldrig vil kunne bestemme. På denne måde vil vi kunne arbejde med et konkretiseret chancebegreb, et begreb der er baseret på et foreliggende datamateriale som eleverne vil kunne gribe tilbage til når behovet for anskueliggørelse melder sig. Dette vil vi illustrere i det følgende, hvor der opstilles regler for regning med chancer. Disse regler udledes let med henvisning til konkrete datasæt hvor enhver talmæssig sammenhæng kan kontrolleres ved optællinger og beregninger. Et arbejde med sådanne "konkrete regler kan støtte elevernes forståelse når de på et senere tidspunkt i deres uddannelse stifter bekendtskab med sandsynligheder som udfolder sig i tilknytning til en formaliseret opbygning med udfaldsrum, hændelsessystem, sandsynlighedsfunktion og aksiomer. Man kan sige at der gennem databasen opbygges en konkret model for den forelagte chancesituation. Eleverne vil fra andet arbejde med matematik være bekendt med at modeller ikke indeholder hele sandheden, men at de kan benyttes på fornuftig vis til beskrivelse og problemløsning som vedrører den betragtede situation. Med nye informationer vil der kunne opbygges modeller som svarer bedre til virkeligheden, og der kan gennem dem gives nye og bedre svar på de stillede spørgsmål. 4.3 Et chancebegreb som bygger på databaser Vi vil altså i den elementære undervisning knytte an til et sandsynlighedsbegreb som i udstrakt grad bygger på anskueliggørelse gennem en tilhørende database. I databasen indlægger vi de data der udtrykker vor aktuelle viden om den 25

26 forelagte chancesituation. I eksemplet ovenfor indeholder databasen det statistiske materiale fra de 100 eksperimenter. Vi kan forestille os at databasen indeholder 100 sedler, én for hvert eksperiment. På hver seddel står anført hvor mange kast der blev benyttet i det pågældende eksperiment for at opnå to ens. Databasen vil derfor i dette tilfælde indeholde 18 sedler hvorpå der står 1, der vil være 13 sedler hvorpå der står 2, og der vil fx være 2 sedler hvorpå der står 17. Når vi skal udtale os om chancerne for at opnå to ens i et bestemt antal kast, benytter vi databasen. Vi tænker os en seddel udtaget fra databasen ved lodtrækning. Chancen for at få to ens i første kast sætter vi til 18%, der er jo 18 af de 100 sedler i databasen som bærer tallet 1. Og når vi udtrækker en seddel fra databasen, er der 18 tilfælde ud af 100 hvor den viser tallet 1. På tilsvarende måde kan vi af databasens sammensætning se at der er 58% chance for at vi kan få to ens i løbet af de første 5 kast. Blandt databasens 100 sedler er der jo 58 sedler som viser et af tallene 1, 2, 3, 4, 5. Virkelige eller tænkte databaser? I omgangen med statistiske sandsynligheder, altså sandsynligheder som beskrives i tilknytning til et datamateriale, er der ingen vanskeligheder med at etablere den nødvendige database. Den består simpelthen af de data der foreligger. Det kan som i eksemplet ovenfor være resultaterne fra en eksperimentserie, eller det kan være data i en officiel trafikstatistik eller sygdomsstatistik. Lidt anderledes stiller det sig når der er forelagt en chancesituation hvor der optræder en sandsynlighed der ikke kan karakteriseres som en statistisk sandsynlighed. Lad os se på et terningkast. Der er forelagt en terning, men der vides intet om hvilke kasteresultater der er opnået med den, måske den endnu aldrig har været kastet. Vi véd intet om terningen, men så længe vi ikke har grund til at tro andet, vil vi 26

27 gå ud fra at det er en sædvanlig symmetrisk opbygget terning. Vi vil derfor antage at i en ideel kasteserie vil de enkelte øjental forekomme lige tit. I databasen indlægger vi data som afspejler denne antagelse: Vi indlægger samme antal sedler med tallet 1, tallet 2,..., tallet 6. Til eksempel kan vi i databasen nøjes med at indlægge seks sedler i alt, én for hvert af de seks øjental. Men vi kan også vælge at indlægge fx 10 sedler for hvert øjental hvis vi af pædagogiske grunde eller af andre grunde skulle foretrække det. Det afgørende er blot at der er lige mange sedler af hver slags. Herefter kan vi afgøre alle spørgsmål om chancer i det forelagte chanceeksperiment ved hjælp af den opstillede database. Hver gang vi udtrækker en seddel fra databasen, noterer vi os hvad der var anført på sedlen, derefter lægger vi sedlen tilbage før næste udtrækning finder sted. Ved situationer med kombinatoriske sandsynligheder etablerer vi altså en database som afspejler de ligevægtede udfald der indgår i chancesituationen. Der er i dette tilfælde tale om en tænkt database, den er ikke bygget op af data fra udførte eksperimenter. I situationer med personlige sandsynligheder kan vi på samme måde etablere en database af tænkte data. Hvis en ekspert vurderer en chance til at være 15%, kan vi etablere en database der indeholder 100 sedler hvoraf de 15 viser tallet 1, og de øvrige viser tallet 0. Ved udtrækning af en seddel fra databasen er der 15% chance for at sedlen viser tallet 1, svarende til ekspertens vurdering af den forelagte chance. Hvis eksperten skulle sætte chancer på en række muligheder i en chancesituation, kunne han fx komme til den vurdering at mulighed 1 havde en chance på 10%, mulighed 2 en chance på 50%, mulighed 3 og mulighed 4 hver en chance på 20%. Også her kunne der nu let etableres en database som gengiver ekspertens vurdering af de fire chancer. 27

28 Vi kan på denne måde opstille en database som afspejler den forelagte chancesituation. Ved situationer med statistiske sandsynligheder indeholder databasen de aktuelle observationer, ved situationer med kombinatoriske eller personlige sandsynligheder indeholder databasen tænkte data som er opstillet på grundlag af de forelagte oplysninger om den bagved liggende chancesituation. Der er intet i vejen for at vi også ved de statistiske sandsynligheder opstiller en database med tænkte data. Vi kan da blot sige at de aktuelle data har givet os ideen til indholdet af databasen, men vi har ikke følt os bundet til i alle detaljer at kopiere de data der fremkom af det udførte eksperiment. Ved opbygningen af databasen står vi altså frit, men ønsker vi at vore beskæftigelser med chancer skal kunne anvendes til løsning af praktiske problemer, må vi selvfølgelig tage hensyn til hvad virkeligheden giver os af oplysninger i form af data fra udførte eksperimenter. En opbygning af den elementære sandsynlighedsregning på databaser findes hos en det 20. århundredes store statistikere, J. Neyman [Litteratur afsnit B]. Belysning af hverdagens chancer I hverdagens chancesituationer kan vi opstille en database som giver et billede af forelagte chanceforhold. Vi sørger blot for at databasen indeholder det rigtige antal sedler af hver type. At en sandsynlighed er på 5%, kan vi fortolke således: Det svarer til chancen for at udtrække en seddel med et 1-tal fra en database der indeholder 5 sedler med 1-tal og 95 sedler uden 1-tal. En sådan database-model vil altid kunne opstille når hverdagens sandsynligheder skal fortolkes og forstås. Når vi har etableret en database for en forelagt chancesituation, siger vi at der er opstillet en chancemodel for situationen. I 28

29 denne chancemodel kan vi udføre beregninger og foretage overvejelser der vedrører chancer og risikoer. Chancemodellen er vort værktøj i det videre arbejde med chancesituationen. Hvis vi undervejs i arbejdet får nye oplysninger, kan vi justere databasen så vi får en chancemodel som giver et bedre billede af situationen. Ny viden kan på denne måde føre til chancemodeller som giver et bedre og bedre billede af den forelagte chancesituation. Lærerens valg I INFAs chancetekster har vi ikke fremhævet brugen af databaser. Vi finder at anvendelsen af den angivne fremgangsmåde til begrebsudvikling ved hjælp af databaser må være overladt til lærerens afgørelse. Hvor det findes pædagogisk ønskeligt, kan undervisningen inddrage overvejelser som udfolder sig i tilknytning til databaser der afspejler de forelagte chancesituationer. I EMMA-temaet "Chancer gennem optællinger som giver en indførelse i den kombinatoriske sandsynlighed, er derfor benyttet den sædvanlige beskrivelse med enkle overskuelige udfaldsrum. Det er her lærerens afgørelse om en supplerende beskrivelse ved hjælp af databaser vil være til støtte for elevernes indsigt i chancebegrebet. I praksis er der ikke langt fra den kombinatoriske sandsynligheds udfaldsrum med lutter ligevægtede udfald til databasen med en seddel svarende til hvert af de resultater der forekommer i en serie af udførelser af det betragtede chanceeksperiment. Måske databasen med dens håndterlige sedler vil forekomme nogle elever lidt lettere tilgængelig end det mere abstrakte udfaldsrum, som måske endda kan være fremlagt i mængdelærens sprog. I skolens sandsynlighedsregning kan man ikke blot negligere fastlæggelsen af databasen (eller udfaldsrummet), og sige at dette spørgsmål ikke er værd at spilde tid på. Selv i ganske enkle chanceeksperimenter kan der forekomme afvigende opfattelser af den forelagt situation, opfattelser som kan føre til 29

30 forskellige databaser og til forskellige fastsættelser af chancer for forelagte hændelser. I et senere afsnit kommer vi ind på brugen af databaser i arbejdet med sandsynligheder. 4.4 Chancelærens grundregler Vi kan nu indføre den terminologi som vi finder nyttig for vor beskæftigelse med chancer og deres beregning. En hændelse kan vi karakterisere ved en henvisning til data der findes i databasen. Hændelsen Der skal bruges højst 5 kast refererer til de 58 sedler vi omtalte før. Vi kan selvfølgelig godt her vælge at gøre brug af mængdelærens begrebsapparat, og definere hændelser ved henvisning til delmængder af databasen, men der er næppe i den elementære undervisning vundet noget ved en beskrivelse i et sådant sprog. Hvis vi finder det mere naturligt, kan vi også betragte hændelser som udsagn der karakteriserer et antal af sedlerne i databasen. Uden at dette behøver at føre os ind i logikkens begrebsapparat til behandling af udsagn. Ideen er at anvende dagligsproget så længe det slår til, og ikke at opbygge situationer hvor eleven kan kritiseres for ikke at benytte de autoriserede vendinger: Vi vil være tilfreds med dagligsproget når blot meningen fremgår klart af de givne meddelelser. Det vil være intuitivt oplagt hvad der i tilknytning til databasen forstås ved en sikker hændelse og en umulig hændelse. "Der skal højst bruges 26 kast er en sikker hændelse i den opstillede database, nemlig en hændelse med en chance på 100%. "Der skal bruges over 30 kast er en umulig hændelse. Det kan ikke - i den foreliggende database - forekomme at der benyttes over 30 kast for at opnå to ens. Hændelsen har en chance på 0%. Begrebet "Sikker hændelse og "Umulig hændelse har altså mening i tilknytning til den forelagte database. En ny database som opstilles på grundlag af andre eksperimenter, kan have andre sikre og andre umulige hændelser. Begrebet "Modsat hændelse eller "Komplementær hændelse kan også illustreres i tilknytning til databasen. Hændelsen "Der 30

31 skal bruges op til 5 kast har som modsat hændelse "Der skal bruges mere end 5 kast. Det er klart at en hændelse og dens modsatte hændelse tilsammen må have en chance på 100%. Kendes chancen for én af de to hændelser, kendes altså begge de to hændelsers chancer. Videre kan begrebet "Adskilte hændelser illustreres. Hændelserne "Der skal bruges op til 5 kast og "Der skal bruges over 20 kast er adskilte hændelser. Der er ingen seddel i databasen som henviser til begge disse hændelser. Det er intuitivt klart, gennem henvisning til optælling af sedler i databasen, at den chance der tillægges den samlede hændelse, "Sumhændelsen af de to forelagte hændelser, fås som summen af chancerne for de to hændelser. I det forelagte tilfælde vil hændelsen "Der skal bruges op til 5 kast eller der skal bruges over 20 kast altså have en chance på 64%, nemlig 58% + 6%. Hvis vi ønsker det, kan vi nu formulere vore erfaringer i almene regler for chancer. Lad os benytte de gængse betegnelser hvor P(H) betegner chancen for hændelsen H (underforstået: Hændelse i tilknytning til den givne database). For den modsatte hændelse til H benytter vi betegnelsen H og for sumhændelsen til hændelserne A og B benytter vi betegnelsen "A+B. Grundlaget for regning med chancer Enhver hændelse H udpeger et antal sedler, #(H), fra den foreliggende database. Ved chancen P(H) (i relation til den foreliggende database) forstår vi da andelen af sedler i databasen der udpeges af hændelsen, dvs. #(H)/n, hvor n er det samlede antal sedler i databasen. 31

32 Vi har da følgende tre grundlæggende regler for arbejdet med chancer: 1. For enhver hændelse H gælder: 0 P(H) 1 2. For en hændelse H og dens modsatte hændelse H gælder: P(H) + P( H) = 1 3. For to adskilte hændelser A og B gælder: P(A+B) = P(A) + P(B) I undervisningen er disse regler ikke afgørende milepæle, og der er ingen grund til at gøre noget særligt ud af dem. Deres gyldighed fremgår direkte af beregningen af chancer i tilknytning til de opstillede databaser. Man kan med god ret sige at de tre regler hører til den intuitive forforståelse af chancebegrebet som enhver vil have. De er imidlertid grundregler i den forstand at de kan benyttes til at karakterisere det faglige område der hedder elementær sandsynlighedsregning. I en aksiomatisk opbygning vil disse tre regler (eller nogle tilsvarende) blive sat i spidsen som givne grundregler for omgangen med sandsynligheder. Fra disse regler udledes derefter andre regler som kan benyttes ved beregningen af sandsynligheder. Grundreglerne fastlægger altså en skabelon for sandsynlighedsregningen: Hvis grundreglerne gælder, så gælder alle de øvrige regler også. Når eleverne derfor senere møder fagområdet i en mere abstrakt opbygning, vil de der kunne genkende de intuitive regler fra skolens chancelære. Erfaringer fra arbejdet med de intuitive regler vil da kunne overføres til det nye regi. 32