MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN
|
|
- Maja Kristoffersen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil.. Et notat "Simulering å datamaskine" med forklaring å filernes indhold og virkemåde ( sider).. Et notat om induktionsbeviset (4 sider). 4. Uddrag af bogen Geometri af Ib Axelsen; Gjelleru & Gad, 98 ( sider). 5. Et uddrag fra Matematik i syvende ; Gyldendal, 998 ( sider). Det skrevne materiale medbringes til den skriftlige røve. Også koier af disketten kan medbringes, men ogaverne til røven vil kunne besvares uden, at man ved selve røven har mulighed for at benytte regneark eller MathCad. Såvel regnearkene som MathCad-arket kan desuden hentes å adressen htt:// Modelsæt nr. ; Matematik til lærereksamen. Forberedende materiale. Forår 000. Side af
2 Simulering å datamaskine En del af det forberedende materiale består af to regnearksfiler og en MathCad-fil. Det er kun nødvendigt at arbejde med ét af regnearkene eller med MathCad-arket. Fælles for de tre ark er, at de giver mulighed for at simulere gentagne udførelser af ekserimentet "Kast med tre terninger, og notér summen af øjentallene". Om regnearkene Regnearksfilerne er skrevet til regnearksrogrammerne Works og Excel. De to regneark bruges å lidt forskellige måder, som forklaret herunder. Når regnearket er indlæst, foretages en simulering af et kast ved at trykke å funktionstasten F9. Holdes denne tast nedtrykket, vil simuleringerne blive foretaget i hurtig rækkefølge, og det er derfor muligt i løbet af kort tid at foretage mange simuleringer af ekserimentet. Slies F9 stoer simuleringen, og man kan notere resultater, skrive ud, fremstille diagrammer mv. Hvis man atter trykker å F9, fortsættes den samme forsøgsrække, og det er således muligt at iagttage, hvordan fx frekvenserne for de enkelte udfald udvikler sig efterhånden som antallet af kast vokser. Works-regnearket Navnet å regnearket er TERNING.WKS. Når regnearket indlæses fra disketten, startes simuleringen ved at koiere celle B7 nedad til cellerne B8, B9 og B0. Derved foretages simuleringen af første kast. Funktionstasten F9 bruges til at fortsætte simuleringen som forklaret ovenfor. Regnearket kan ikke "nulstilles", så en ny udførelse af en ekserimentrække må foretages ved, at "startarket" hentes frem å ny, celle B7 koieres osv. Det er derfor vigtigt, at man ikke gemmer regnearket under samme navn, når det har været i brug. Skulle det ske, kan arket hentes å nettet. Excel-regnearket Navnet å regnearket er TRETERN.XLS. Når det åbnes, vil Windows måske sørge, om du vil åbne filen med eller uden makroer. Det er nødvendigt at svare JA for at få arket til at virke efter hensigten. Det er muligt, at der, når arket åbnes, fremkommer følgende fejlmelding: I så fald skal man under Funktioner i menuen Indstillinger finde nedenstående dialogboks ved at trykke å fanen Beregning: Modelsæt nr. ; Matematik til lærereksamen. Forberedende materiale. Forår 000. Side af
3 Sørg derefter for, at alle indstillinger er nøjagtig som ovenfor. Regnarket kan nulstilles ved at klikke med musen å "knaen" med teksten Nulstil. Om MathCad-arket Navnet å matematikarket er terning.mcd MathCad-arket er klar, så snart det er åbnet. Man begynder med at vælge, hvor mange kast man vil lade arket simulere. Herefter simulerer MathCad hele serien å én gang. Resultatet af hvert enkelt kast i simulationen kan ses i arkets første tabel. I den anden tabel er otalt henholdsvis hyighederne og frekvenserne af de enkelte udfald. Hvis man vil lave en ny simulation, kan man fx gøre det ved at klikke sig ind i det gule felt og trykke å F9. Modelsæt nr. ; Matematik til lærereksamen. Forberedende materiale. Forår 000. Side af
4 Induktionsbeviset Vi vil her beskrive en bevistye, der meget ofte anvendes i forbindelse med udsagn, som gælder for alle naturlige tal, nemlig det såkaldte induktionsbevis. Der er (udover bevisets generelle anvendelighed) flere grunde til, at dette bevis er interessant: Dels benytter det nogle meget væsentlige egenskaber ved de naturlige tal, og dels illustrerer det én af de måder, hvorå matematiske bestræbelser af og til går ud å at gøre det uendelige endeligt. Idéen bag beviset For at forklare, hvad tankegangen i induktionsbeviset er, vil vi forestille os følgende situation: Du står overfor 0000 mennesker og har fået til ogave at afgøre, om de allesammen bærer briller! Hvis du kan få øje å blot én uden briller, er ogaven selvfølgelig løst, for når bare der er én uden briller, kan de jo ikke alle bære briller. Nu er 0000 mennesker temmelig mange, og roblemet er, at alle du kan se derfra, hvor du står, bærer briller. Selvfølgelig er det muligt at gå alle igennem fra den ene ende (insektion). Første gang du ser en erson uden briller, er du færdig, men hvis alle faktisk bærer briller, må man hele rækken igennem. Og hvis kun én er uden briller kan han/hun være den sidste af de Alt i alt en temmelig stor ogave. Så får du en lys idé! Du beder de 0000 (som er meget lydige) stille sig o å en række bag hinanden å en sådan måde, at hvis en erson bærer briller, skal den næste erson i rækken også bære briller! (De skal med andre ord stille sig o således, at de der bærer briller - hvad enten det er ingen, nogle eller alle - står sidst): hvis denne erson bærer briller... så vil også denne erson bære briller. Det snedige ved denne ostilling er, at nu er det nok at se å, om den første erson i rækken bærer briller! Hvis erson nr. ikke bærer briller, er vi færdige. Hvis erson nr. bærer briller, ved vi, at så bærer ersonen bag ved (nr. ) også briller. Men hvis erson nr. bærer briller, vil ersonen bagved (nr. ) ligeledes bære briller osv. På denne måde kan vi slutte os til, at hvis erson nr. bærer briller, da bærer alle briller. Vi kan altså bekræfte åstanden ( bevise sætningen ) Denne erson bærer briller om alle 0000 blot ved at kontrollere en enkelt. Bemærk, at metoden ikke afhænger af, hvor mange ersoner der er tale om. Den vil virke for 50, 0000, ersoner. Ja, sågar hvis vi kunne forestille os uendeligt mange ersoner, ville metoden stadig virke! Bemærk også, at der en stærk lighed mellem den ersonrække, vi her forestiller os og de naturlige tal (i modsætning til de fleste andre talmængder). Grundlaget for ovennævnte ostilling er bl.a., at der i rækken er et entydigt bestemt første element, som vi kan kontrollere. På samme måde har de naturlige tal et entydigt bestemt første element, nemlig tallet. Modelsæt nr. ; Matematik til lærereksamen. Forberedende materiale. Forår 000. Side 4 af
5 Endvidere giver selve rækkeostillingen den egenskab, at enhver erson har en entydigt bestemt efterfølger - ersonen bagved. På samme måde har ethvert naturligt tal en entydigt bestemt efterfølger, nemlig tallet. Det er disse egenskaber ved de naturlige tal, der gør, at ideen kan overføres til beviser for åstande om mængden af naturlige tal, som eksemlerne herunder viser. Eksemler Vi vil demonstrere bevisets gang å to eksemler. Eksemel Bevis, at for ethvert naturligt tal n gælder formlen: n( n )(n )... n Bevis: Først viser vi, at formlen gælder for n. For n er venstre side af lighedstegnet lig med tallet. ( ) ( ) Højre side bliver tallet Altså gælder formlen for n. Vi antager nu, at der findes et naturligt tal, således at formlen gælder for n, dvs. således at ( )( )... Vi vil så undersøge, om formlen under denne antagelse også gælder for tallet, dvs. således at ( )(( ) )(( ) )... ( ) Ved at regne å venstre side og bruge antagelsen får vi: ( )( )( )... ( ) ( ) ( ) 9 Ved at regne å højre side får vi: ( )(( ) )(( ) ) ( )( )( ) Modelsæt nr. ; Matematik til lærereksamen. Forberedende materiale. Forår 000. Side 5 af
6 Modelsæt nr. ; Matematik til lærereksamen. Forberedende materiale. Forår 000. Side af ) )( ( 9,... n n altså det samme som før. Vi har nu vist, at hvis formlen gælder for et naturligt tal, så gælder den også for det næste naturlige tal. Vi ved, at formlen gælder for n. Den gælder derfor også for tallet, dermed for tallet, osv. Altså gælder formlen for alle naturlige tal. Eksemel En række tal, hvor kvotienten mellem hvert tal og det foregående er konstant, kaldes en kvotientrække. Hvis første tal i rækken er og kvotienten betegnes, er der tale om talrækken,,,,, n, Summen af de n første tal i denne række er tallet. Dette tal dukker... n o i forskellige sammenhænge, og det har derfor interesse at finde en formel, så denne sum let kan udregnes: Bevis formlen ved induktion. Bevis: Først undersøger vi, om formlen gælder for n. Da er venstre side lig med, og højre side er Altså gælder formlen for n. Vi antager nu, at formlen gælder for et vist naturligt tal, således at Vi vil så undersøge, om formlen under denne antagelse gælder for tallet, således at Ved at regne å venstre side af lighedstegnet og benytte antagelsen, får vi
7 Modelsæt nr. ; Matematik til lærereksamen. Forberedende materiale. Forår 000. Side 7 af ) ( Vi har derfor, at hvis formlen gælder for et vist naturligt tal, så gælder den også for det næste naturlige tal. Da vi ved formlen gælder for n, vil den også gælde for n, dermed for n, n 4 osv. Altså gælder formlen for ethvert naturligt tal n.
8 Uddrag fra Geometri af Ib Axelsen Trekanter I forbindelse med trekanter har man givet navne til bestemte liniestykker: Liniestykket, der forbinder en vinkelsids med midtunktet af den modstående side, kaldes en median. Tilsvarende er vinkelhalveringslinien det liniestykke CD, der halverer vinklen, og højden CH står vinkelret å den modstående side. Vi vil definere kongruens af to trekanter. Trekanterne ABC og A'B'C' kaldes kongruente, når siderne og vinklerne arvis er lige store: Når trekanterne er kongruente, skriver vi ABC A'B'C'. To kongruente trekanter kan bringes til at dække hinanden. Ved raktisk anvendelse af geometri er situationen ofte den, at der foreligger en geometrisk figur, hvor man måler nogle af dens dele, hvorefter figuren kan rekonstrueres. Man foretager f.eks. en omåling af en stue, hvorefter et væg-til-væg tæe klies til. Man må så håbe, at der er nok olysninger til, at tæet konstrueres, så det er»kongruent«med gulvet og kommer til at asse. Vi vil undersøge, hvad der skal til for at sikre, at trekanter er kongruente. En trekant har tre sider og tre vinkler. Disse omtales som trekantens stykker. Modelsæt nr. ; Matematik til lærereksamen. Forberedende materiale. Forår 000. Side 8 af
9 Ofte gælder, at hvis tre tilsvarende stykker i to trekanter er lige store, er trekanterne kongruente. Der gælder: To trekanter ABC og A'B'C' har tre stykker lige store. I Alle tre sider: Trekanterne er kongruente. II En vinkel og de hosliggende sider: Trekanterne er kongruente. III En vinkel, en hosliggende og den modstående side: Trekanterne er ikke nødvendigvis kongruente. IV En side og de to hosliggende vinkler: Trekanterne er kongruente. V En side, en hosliggende og den modstående vinkel: Trekanterne er kongruente. VI Alle tre vinkler: Trekanterne behøver å ingen måde være kongruente. Modelsæt nr. ; Matematik til lærereksamen. Forberedende materiale. Forår 000. Side 9 af
10 I hvert af tilfældene ser vi å konstruktion af en trekant ud fra de tre stykker. Derved ser vi åstandenes rigtighed, idet trekanteme er kongruente, hvis trekanten kun kan se ud å én måde. Tilfælde I: Det første liniestykke afsættes, og ud fra endeunkterne tegnes cirkler med de to andre liniestykker som radius: Den fremkomne trekant har de givne liniestykker som sider, og den kan ikke se anderledes ud. Tilfælde II: Ud ad benene å den givne vinkel afsættes de givne liniestykker: Trekanten kan kun se ud å én måde. Tilfælde III: Ud ad det ene ben å den givne vinkel afsættes den hosliggende side: Med det fremkomne unkt som centrum tegnes en cirkel, hvis radius er lig med den modstående side. Det ses, at der kan være to muligheder, så trekanterne er ikke nødvendigvis kongruente. Tilfælde IV: Ud fra endeunkterne af den givne side afsættes de hosliggende vinkler: Tilfælde V: Da vinkelsummen i en trekant er 80, er den sidste vinkel bestemt. Dermed svarer det til tilfælde IV. Tilfælde VI: Trekanterne er ensvinklede. Vi kan vælge en side af vilkårlig længde og afsætte de to hosliggende vinkler. Dermed asser den sidste vinkel også. Trekanterne kan altså se ud å mange måder. At kende alle tre vinkler i en trekant svarer i virkeligheden til kun at kende to af stykkerne, da vinkelsummen altid er 80. Modelsæt nr. ; Matematik til lærereksamen. Forberedende materiale. Forår 000. Side 0 af
11 Uddrag fra Matematik i syvende Modelsæt nr. ; Matematik til lærereksamen. Forberedende materiale. Forår 000. Side af
12 Modelsæt nr. ; Matematik til lærereksamen. Forberedende materiale. Forår 000. Side af
Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode
Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13
Læs mereSimulering af stokastiske fænomener med Excel
Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen
Læs mereTilhørende: Robert Nielsen, 8b. Geometribog. Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden.
Tilhørende: Robert Nielsen, 8b Geometribog Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden. 1 Polygoner. 1.1 Generelt om polygoner. Et polygon er en figur bestående af mere end
Læs mereFor at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning
Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret
Læs mereTREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)
Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale
Læs mereMatematisk induktion
Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag
Læs meredvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11
Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.
Læs mereGeometri, (E-opgaver 9d)
Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige
Læs mereHvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8
Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt
Læs mereSimulering af stokastiske fænomener med Excel
Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen
Læs mere1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen
1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,
Læs mereExcel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008
Excel tutorial om indekstal og samfundsfag 2008 I denne note skal vi behandle data fra CD-rommen Samfundsstatistik 2008, som indeholder en mængde data, som er relevant i samfundsfag. Vi skal specielt analysere
Læs mereFinde midtpunkt. Flisegulv. Lygtepæle
Finde midtpunkt Flisegulv Lygtepæle Antal diagonaler Vinkelsum Vinkelstørrelse Et lille geometrikursus Forudsætninger (aksiomer): Parallelle linjer skærer ikke hinanden uanset hvor meget man forlænger
Læs mereTrekants- beregning for hf
Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel
Læs mereOM BEVISER. Poul Printz
OM BEVISER Poul Printz Enhver, der har stiftet bekendtskab med matematik selv å et relativt beskedent niveau, er klar over, at matematiske beviser udgør et meget væsentligt element af matematikken. De
Læs mereMatematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri
Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når
Læs mere1 Geometri & trigonometri
1 Geometri & trigonometri 1.0.1 Generelle forhold Trigonometri tager sit udgangspunkt i trekanter, hvor der er visse generelle regler: vinkelsum areal A trekant = 1 2 h G A B C = 180 o retvinklet trekant
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs mereI kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:
INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en
Læs mereKapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).
Læs mereTalrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side
VisiRegn ideer 3 Talrækker Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Talrækker 2-4 Elevaktiviteter til Talrækker 3.1 Talrækker (1) M-Æ 5-9 3.2 Hanoi-spillet
Læs mereExcel-1: kom godt i gang!!
Excel-1: kom godt i gang!! Microsoft Excel er et såkaldt regneark, som selvfølgelig bliver brugt mest til noget med tal men man kan også arbejde med tekst i programmet. Excel minder på mange områder om
Læs mereFig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord
Simulation af χ 2 - fordeling John Andersen Introduktion En dag kastede jeg 60 terninger Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord For at danne mig et billede af hyppighederne flyttede jeg rundt
Læs mereUndersøgelser af trekanter
En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,
Læs mereMatematik for malere. praktikopgaver. Geometri Regneregler Areal Procent. Tilhører:
Matematik for malere praktikopgaver 2 Geometri Regneregler Areal Procent Tilhører: 2 Indhold: Geometri... side 4 Regneregler... side 10 Areal... side 12 Procent... side 16 Beregninger til praktikopgave
Læs mereKompetencetræning #2 også til prøven. 31. Januar 2019
Kompetencetræning #2 også til prøven 31. Januar 2019 Bordet rundt Har I prøvet noget af? Var der nogle forhindringer i at prøve noget af? Hvis du har prøvet noget af hvor var udfordringerne så for dig
Læs mereKompendium til Geogebra
Kompendium til Geogebra Hardsyssel Efterskole Matematik 8. Klasse Side 1 af 12 Kompendium til Geogebra 1. Generel præsentation af Geogebra 1.1 Download af programmet Geogebra kan gratis downloades fra
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....
Læs mereGeometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit
Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer
Læs mereTal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.
1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler
Læs mereBeregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion
VVS-branchens efteruddannelse Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Med de trigonometriske funktioner, kan der foretages
Læs mere7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri
7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Linjer i trekanter: kende til højde, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median, kunne tegne indskrevne og omskrevne
Læs mereGratisprogrammet 27. september 2011
Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne
Læs mereAnalytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen
Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger
Læs mere5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve
5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer
Læs mereFormler og diagrammer i Excel 2000/2003 XP
Formler i Excel Regneudtryk Sådan skal det skrives i Excel Facit 34 23 =34*23 782 47 23 =47/23 2,043478261 27³ =27^3 19683 456 =KVROD(456) 21,3541565 7 145558 =145558^(1/7) 5,464829073 2 3 =2*PI()*3 18,84955592
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri
Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,
Læs mereF-dag om geometri. Fremstilling og beskrivelse af stiliserede blade
F-dag om geometri Fremstilling og beskrivelse af stiliserede blade I foråret fejrede Canada at landet havde eksisteret som nation i 150 år. I den anledning blev der fremstillet et logo, der tog afsæt i
Læs mereRettevejledning, FP10, endelig version
Rettevejledning, FP10, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. I forbindelse med FP10 fremstiller opgavekommissionen
Læs mereEksamensspørgsmål: Trekantberegning
Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8
Læs mereHvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser
Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004
Læs mere06 Formler i retvinklede trekanter del 2
06 Formler i retvinklede trekanter del 2 I del 2 udledes (nogle af) de generelle formler, der gælder for sinus, cosinus og tangens i retvinklede trekanter. Sætning 1 For enhver vinkel v gælder der BEVIS
Læs mereTrigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde
Trigonometri Ordet trigonometri er sammensat af de to ord trigon og metri, hvor trigon betyder trekant og metri kommer af det græske ord metros, som kan oversættes til måling. Så ordet trigonometri er
Læs mere*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV. - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser
*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV q2nodvvh - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser INFA 1998 1 Forord I den nye læseplan for matematik og i den tilhørende undervisningsvejledning
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Geometri. Georg Mohr-Konkurrencen
Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en teoretisk indføring, men der i stedet fokus på
Læs mereKom i gang med regneark:
Kendte og nye værktøjs ikoner på værktøjslinien. Det er de samme værktøjs ikoner der går igen i mange af programmerne, men der er dog også nogle nye. Autosum Formel regner Sortering Diagrammer Flet og
Læs merei matematikundervisningen medianer, vinkelhalveringslinier samt center- og periferivinkler i regulære polygoner IT-færdighedsniveau
i matematikundervisningen medianer, vinkelhalveringslinier samt center- og periferivinkler i regulære polygoner IT-færdighedsniveau Dette E-læringsmodul er udarbejdet af: Jacob Kjær Hansen Tommerup Skole
Læs mereSvar på opgave 322 (September 2015)
Svar på opgave 3 (September 05) Opgave: En sekskant har sidelængder 7 7. Bestem radius i den omskrevne cirkel hvis sekskanten er indskrivelig. Besvarelse: ny version 6/0-05. metode. Antag at sekskanten
Læs mereTransformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion
Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august 2007 1 Inversion Inversion er en bestemt type transformation af planen, og ved at benytte transformation på en geometrisk problemstilling
Læs mereGeogebra Begynder Ku rsus
Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Geogebra Begynder Ku rsus Kompendiet indeholder: Mål side længder Mål areal Mål vinkler Vinkelhalveringslinje Indskrevne cirkel Midt normal Omskrevne cirkel Trekant
Læs mere1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.
Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt
Læs mereEn lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau)
Matematik i WordMat En lille vejledning til lærere og elever i at bruge matematikprogrammet WordMat (begynderniveau) Indholdsfortegnelse 1. Introduktion... 3 2. Beregning... 4 3. Beregning med brøker...
Læs mereMatematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri
Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11
Læs mereGrønland. Matematik A. Højere teknisk eksamen
Grønland Matematik A Højere teknisk eksamen Onsdag den 12. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres
Læs mereBjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten
Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen
Læs mereMatematik for lærerstuderende klasse Geometri
Matematik for lærerstuderende 4.-10. klasse Geometri Klassisk geometri (kapitel 6) Deduktiv tankegang Ræsonnementskompetence Mål med kapitlet: Erkender Thales sætning som fundament for afstandsberegning.
Læs mereIntroduktion til EXCEL med øvelser
Side 1 af 10 Introduktion til EXCEL med øvelser Du kender en almindelig regnemaskine, som kan være til stort hjælp, når man skal beregne resultater med store tal. Et regneark er en anden form for regnemaskine,
Læs mereOpgave 1 -Tages kvadrat
Opgave 1 -Tages kvadrat Den danske matematiker, Tage Werner, fandt på figuren, som ses herunder. Figuren kan laves ved 1) at tegne et kvadrat, 2) markere midtpunkterne på kvadratets sider og 3) tegne linjestykker
Læs merematematik Demo excel trin 2 bernitt-matematik.dk 1 excel 2 2007 by bernitt-matematik.dk
matematik excel trin 2 bernitt-matematik.dk 1 excel 2 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel 2 1. udgave som E-bog 2007 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt efter aftale
Læs mereProjekt 6.7. Beviser for Pythagoras sætning - og konstruktion af animationer
Projekt 6.7. Beviser for Pythagoras sætning - og konstruktion af animationer Flere beviser for Pythagoras sætning 1 Bevis for Pythagoras sætning ved anvendelse af ensvinklede trekanter... 1 Opgave 1 Et
Læs meregeometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt
brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er
Læs mereKøretøjernes dimensioner angives i afsnit 2. Placeringen på tværs er positiv til højre og negativ til venstre, og er kaldt placering til højre.
Et regneark til beregning af luminans af vejtavler Kai Sørensen, 29. april 2015 Forord Regnearket erstatter det regneark, der er omtalt i notatet Et regneark til beregning af luminans af vejtavler af 27.
Læs mereÅrsplan matematik 8. klasse
Årsplan matematik 8. klasse 2019-2020 Eleverne arbejder med grundbogen Matematrix 8. I undervisningen inddrages digitale undervisningsredskaber såsom Geogebra, Wordmat, MatematikFessor, emat, excel og
Læs mereLærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.
Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler
Læs mereProjekt 3.7. Pythagoras sætning
Projekt 3.7. Pythagoras sætning Flere beviser for Pythagoras sætning... Bevis for Pythagoras sætning ved anvendelse af ensvinklede trekanter... Opgave 1: Et kinesisk og et indisk bevis for Pythagoras sætning...
Læs mereMatematik FP9. Folkeskolens prøver. Prøven med hjælpemidler. Torsdag den 3. maj 2018 kl
Matematik FP9 Folkeskolens prøver Prøven med hjælpemidler Til dette opgavesæt hører en regnearksfil. Torsdag den 3. maj 2018 kl. 10.00-13.00 Ved prøven må der anvendes alle de specifikke hjælpemidler,
Læs mereBemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik
Spørgsmål til årsprøve 1v Ma 2008 side 1/5 Steen Toft Jørgensen Bemærkninger til den mundtlige årsprøve i matematik IT-værktøjer Jeg forventer, at I er fortrolige med lommeregner TI-89 og programmerne
Læs mereExcel tutorial om lineær regression
Excel tutorial om lineær regression I denne tutorial skal du lære at foretage lineær regression i Microsoft Excel 2007. Det forudsættes, at læseren har været igennem det indledende om lineære funktioner.
Læs mereForeløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring
Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger
Læs mereGeometri, (E-opgaver 9b & 9c)
Geometri, (E-opgaver 9b & 9c) Indhold GEOMETRI, (E-OPGAVER 9B)... 1 Arealet af en er ½ højde grundlinje... 1 Vinkelsummen i en er altid 180... 1 Ensvinklede er... 1 Retvinklede er... Sinus,... FORMLER...
Læs mereEksempler på temaopgaver i matematik indenfor geometri
Eksempler på temaopgaver i matematik indenfor geometri Med udgangspunkt i begrebsafklaringen fra dokumentet Matematik og den ny skriftlighed gives her fem eksempler på, hvordan de forskellige opgavetyper,
Læs mereHuskesedler. Anvendelse af regneark til statistik
Huskesedler Anvendelse af regneark til statistik August 2013 2 Indholdsfortegnelse Aktivere Analysis Toolpak... 4 Dataudtræk fra Danmarks Statistik... 4 Kopiering af formler... 4 Målsøgning... 5 Normalfordeling...
Læs mereProjekt Beholderkonstruktion. Matematik - A
Projekt Beholderkonstruktion Matematik - A [Skriv et resume af dokumentet her. Resumeet er normalt en kort beskrivelse af dokumentets indhold. Skriv et resume af dokumentet her. Resumeet er normalt en
Læs mereOpgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel
Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og
Læs mereMatematik og samfundsfag Gini-koefficienten
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Matematik og samfundsfag Gini-koefficienten Den såkaldte Gini-koefficient, introduceret i 92 i en artikel af den italienske statistiker, demograf og sociolog Corrado
Læs mereSådan kommer du i gang med GeomeTricks
Sådan kommer du i gang med GeomeTricks Ved hjælp af programmet GeomeTricks kan du tegne figurer i geometri. Når du tegner en figur, så skal du opbygge din figur ved hjælp af geometriske objekter. Geometriske
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2009 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs mereKompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard
Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...
Læs mereTema: Kvadrattal og matematiske mønstre:
2 Indholdsfortegnelse: Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre: Side 4: Side 5: Side 9: Side 10: Side 12: Side 14: Side 15: Side 16: Side 19: Side 20: Side 21: Side 23: Problemformulering. En nem tilgang
Læs merePythagoras Ensvinklede trekanter Trigonometri. Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen
MATEMATIKBANKENS P.E.T. KOMPENDIUM Pythagoras Ensvinklede trekanter Trigonometri Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen FORENKLEDE FÆLLES MÅL FOR PYTHAGORAS, ENSVINKLEDE TREKANTER
Læs mereRENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L
SIMULATION 4 2 RENTES REGNING F I NMED N H REGNEARK. K R I S T I A N S E N KUGLE 5 LANDMÅLING 3 MÅLSCORE I HÅNDBO G Y L D E N D A L Faglige mål: Anvende simple geometriske modeller og løse simple geometriske
Læs mereKort til Husdyrgodkendelse / Excel data og Næsgaard Markkort
Kort til og Næsgaard Markkort Kun i ADVICER Dette afsnit er kun relevant hvis du arbejder med AD- VICER udgaven af Næsgaard Markkort (rådgiverudgaven). Funktionen findes IKKE i PLUS og OPTI udgaven af
Læs mereGeometri med Geometer I
f Frans Kappel Øvre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer I Markeringspil: Klik på et objekt (punkt, linje, cirkel) for at markere det. Hvis du trykker Shift samtidig kan du markere flere objekter eller
Læs merematematik Demo excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk
matematik excel trin 1 preben bernitt bernitt-matematik.dk 1 excel 1 2007 by bernitt-matematik.dk matematik excel 1 1. udgave som E-bog 2007 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt
Læs mereOptimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering
Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen
Læs mereGennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()
Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices
Læs meregeometri trin 1 brikkerne til regning & matematik preben bernitt
brikkerne til regning & matematik geometri trin 1 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 1 ISBN: 978-87-92488-15-2 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er
Læs mereKonstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder)
1: Tegn disse figurer: a: Et kvadrat med sidelængden 3,5 cm. b: En cirkel med radius 4,. c: Et rektangel med sidelængderne 3,6 cm og 9,. d: En cirkel med diameter 7,. e: En trekant med grundlinie på 9,6
Læs mereExcel-4: Diagrammer og udskrift
Excel-4: Diagrammer og udskrift Udfra indtastede tal og formler kan Excel oprette forskellige typer meget flotte diagrammer: grafer, kurver, søjler og cirkeldiagrammer. OPGAVE: Men der skal være nogle
Læs mereVejledende besvarelse
Side 1 Vejledende besvarelse 1. Skitse af et andengradspolynomium Da a>0 og da parablen går gennem (3,-1) skal f(3)=-1. Begge dele er opfyldt, hvis f (x )=x 2 10, hvor en skitse ses her: Da grafen skærer
Læs mereGeometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:
Geometrinoter, januar 009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler sætninger om trekanter, trekantens ydre røringscirkler, to cirklers radikalakse samt Simson- og Eulerlinjen i en trekant.
Læs mereIntroduktion til GeoGebra
Introduktion til GeoGebra Om navne Ib Michelsen Herover ses GeoGebra's brugerflade. 1 I øverste linje finder du navnet GeoGebra og ikoner til at minimere vinduet, ændre til fuldskærm og lukke I næste linje
Læs mereProjekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten
Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten Midtnormalerne i en trekant Konstruer et linjestykke (punkt-menuen) og navngiv endepunkterne A og B (højreklik og vælg: Etiket), dvs. linjestykket betegnes AB.
Læs mereFormelsamling Matematik C
Formelsamling Matematik C Ib Michelsen Ikast 2011 Ligedannede trekanter Hvis to trekanter er ensvinklede har de proportionale sider (dvs. alle siderne i den ene er forstørrelser af siderne i den anden
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereEksponentielle funktioner for C-niveau i hf
Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf 2017 Karsten Juul Procent 1. Procenter på en ny måde... 1 2. Bestem procentvis ændring... 2 3. Bestem begyndelsesværdi... 2 4. Bestem slutværdi... 3 5. Vækstrate...
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 2007 2014 MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform b. Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA
STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 007 014 MATEMATIK A-NIVEAU Prøveform b 014 Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.
Læs mereMatematikprojekt Belysning
Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang
Læs mereDet gyldne snit, forløb i 1. g
Det gyldne snit, forløb i 1. g Mål - Træne at skrive elementære matematiske tekster på computer inkl. billeder, formler og tabeller - Bruge geometriprogram - Læse en elementær tekst selv om et fagligt
Læs mere