Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord
|
|
- Birgitte Henningsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Simulation af χ 2 - fordeling John Andersen Introduktion En dag kastede jeg 60 terninger Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord For at danne mig et billede af hyppighederne flyttede jeg rundt på terningerne som vist på figur 2: Fig. 2 En måde at repræsentere resultatet af kast med 60 terninger
2 Fig. 3 Søjlediagram over terningerne fra Fig. 2 Ved hjælp af et Excel-regneark simulerede jeg derpå et kast med 6000 terninger og fik søjlediagrammet på figur 3: Fig. 4 Søjlediagram der repræsenterer resultatet af en computersimulering af kast med 6000 terninger Som man ser stemmer hyppighederne fra det kastet med 6000 terninger godt overens med en forventning om at der er ca. en sjettedel af terningerne der viser 1, cirka en sjettedel der viser 2 osv. Jo flere terninger desto bedre overensstemmelse med forventningerne hvilket er helt i overensstemmelse med de store tals lov som beskrevet i [2]. Men hvad nu, hvis man ud fra situationen med kun 60 terninger skulle afgøre om afvigelsen fra det forventede var passende eller for stor? Her kan en brug af grafikken komme til kort, for hvordan ser man om variationerne er for store eller inden for normalområdet? Vi skal i det følgende se på metoder til at behandler den slags vurderinger.
3 En hjemmelavet metode Hvis man kender mindste kvadraters metode fra linær regression eller lignende kan man måske føle sig inspireret til at se på en sum som denne eller for at være mere præcis (faktisk udfald forventet udfald) 2 (1) (hyppighed af k 10) 2 6 k=1 Hvis denne sum er nul svarer det til at alle seks hyppigheder er 10 hvilket nok er for godt til at være sandt (der sikkert blevet manipuleret med data). Hvis summen (1) derimod er alt for stor kan det tyde på at hyppighederne afviger for meget fra det forventede til at vi tør tro på at terningen er ægte. For at få en idé om, hvad man kan forvente af summer som (1) kan man simulere en masse kast med 60 ægte terninger med tilhørende beregninger af summen (1). Så kan man prøve at få et overblik over fordeling af disse summer ved hjælp af metoder fra den deskriptive statistik. Nedenfor på figur 5 ses et udsnit af et regneark hvor en sådan simulering er foretaget. Figurerne 6-8 viser formlerne. Nedenstående punkter forklarer princippet bag opbygningen af regnearket: Kolonne A viser numrene på kastene med de 60 terninger Kolonnerne B:BI (af pladshensyn er en del kolonner skjult i visningen) viser resultaterne for de enkelte terninger. Række 2 viser nummeret på hver af de 60 terninger. Kolonnerne BJ:BO viser hyppighederne for de 6 mulige øjental. Mulighederne ses i række 2. Kolonnerne BP:BU beregner de kvadrerede afvigelser mellem hyppighederne og de forventede 10. Kolonne BV viser summerne af de kvadrerede afvigelser altså summerne svarende til (1)
4 Fig. 5 Regneark med simulering af en masse kast med 60 terninger. Læg mærke til at så snart man har indtastet formlerne i række 3 så kan resten af regnearket opbygges ved at kopiere række 3 nedad. I det konkrete tilfælde har jeg kopieret nedad så jeg får simuleret kast med 60 terninger hvilket må formodes at give et rimeligt indtryk af hvorledes summerne fordeler sig. Der er 2 20 rækker at gøre godt med i min version af Excel og min computers arbejdshukommelse slipper op længe før jeg har udnyttet alle disse rækker. Så hvis man vil simulere millioner af kast må man ty til andre programmer end Excel, men lad os nu se hvor langt vi kan komme med Excel. Mon ikke det er tilstrækkeligt til at vi kan fatte pointen? På de næste tre figurer ses formlerne bag figur 5. Jeg gå ikke yderligere i detaljer med formlerne. Nærlæsning af formlerne skulle gerne være tilstrækkeligt til at den interesserede læser opdager tankegangen bag opbygningen. Forstør billedet hvis du har svært ved at se hvad der står. Fig. 6 Formler til Fig. 5 første del.
5 Fig. 7 Formler til Fig. 5 anden del. (Forstør for at se detaljer) Fig. 8 Formler til Fig. 5 tredje del. (Forstør for at se detaljer) De summer af kvadrerede afvigelser der står i kolonne BV (se figur 5) udgør nu det datamateriale jeg vil have et overblik over. Derfor tegner jeg ved hjælp af Excel histogram og sumkurve over dette observationssæt. Se figurerne 9 og 10.
6 Fig. 9 Histogram over summer af kvadratiske afvigelser. Fig. 10 Sumkurve over summer af kvadratiske afvigelser. Man kan se at cirka 95% af summerne er mindre end 110 (108 helt præcis hvilket ses ved at prøve sig frem i regnearket). Så kun i 5% af alle tilfælde vil vi forvente summer over 108. Hvad med terningerne i Fig. 1? For det kast kan man beregne summe (1) til af være 30. Det er øjensynlig en meget typisk værdi for den slags summer så der er vist ikke noget alarmerende ved det kast. Så de terninger er formodentlig i orden. Med mindre man har mistanke om at der alligevel er noget lusk ved fordelingen mellem 1-ere og 6-ere. F.eks. kunne man vælge at gå nærmere ind på at se på 6-erne separat, men det vil jeg ikke komme ind på i nærværende fremstilling. Bemærk at i det foregående er stort set kun brugt metoder fra den deskriptive statistik nærmere betegnet histogram og sumkurve kombineret med rå regnekraft. Man skal selvfølgelig være omhyggelig når regnearket bygges op, men der er mere et spørgsmål om udholdenhed end om brug af sofistikerede matematiske metoder. Det er netop en af pointerne ved denne fremstilling.
7 Standardiseret χ 2 - test Problemstillinger af ovenstående slags har været undersøgt længe for computere var opfundet. Der er udviklet metoder som ikke kræver så meget regnekraft. Til gengæld er matematikken bagved noget mere krævende. Det drejer sig bl.a. om de såkaldte χ 2 - test. Se [4] og [5]. Her vil jeg justere ovenstående så det kommer i overensstemmelse med standardmetoderne. Det har vist sig at det letter den bagved liggende matematik at man ser på følgende sum (faktisk udfald forventet udfald)2 forventet udfald så man i stedet for summen (1) ovenfor skal beregne summen (hyppighed af k 10)2 (1.2) 10 6 k=1 Man kan vise at den tilnærmelsesvis er χ 2 fordelt med 5 frihedsgrader. Tabelopslag giver følgende: Brøkdel Invers χ 2 fordeling 0,99 15,09 0,98 13,39 0,97 12,37 0,96 11,64 0,95 11,07 0,94 10,60 0,93 10,19 0,92 9,84 Tabel 1 Man ser at 95 % af sådanne summer skal ligge under 11,07. Det stemmer fint med de 108 vi fik tidligere ved simulering, for divideres 108 med 10 får vi netop 10, ,07. På figurerne 11 og 12 sammenlignes simulerede data med χ 2 fordelingen. Regnearket der er brugt ligner det der tidligere er brugt bortset fra at der i kolonne BV er divideret med 10, så der henvises til figurerne 5-8 men henblik på detaljerne.
8 Fig. 11 Histogram over kvadratiske afvigelser divideret med 10 sammenlignet med sandsynlighedstætheden for χ 2 fordelingen med 5 frihedsgrader. Fig. 12 Sumkurve for kvadratiske afvigelser divideret med 10 sammenlignet med fordelingsfunktionen for χ 2 fordelingen med 5 frihedsgrader.
9 Test af uafhængighed af to kategorier Vi skal nu se på et lidt mere kompliceret eksempel. Forestil dig et land med fire politiske partier P, Q, R og S. Ved sidste valg fik de 40, 30, 20 og 10 % af stemmerne. Vi vil undersøge om folks indkomst har indflydelse på hvilket parti de stemmer på. Vi deler befolkningen op i tre indkomstkategorier I1, I2 og I3. Der er udviklet standardtest til at tjekke en sådan situation se f.eks. [4]. Her behandles problemstillingen ved simulering i regneark. Et analyseinstitut sender konsulenter ud for at interviewe 600 tilfældigt udvalgte stemmeberettigede borgere og resultatet samles i Tabel 1: P Q R S I I I Tabel 1 Hvordan kan vi nu ud fra disse data afgøre om indkomsterne har indflydelse på stemmeprocenterne? Vi griber det an ved at skaffe os en ide om, hvordan data typisk vil fordele sig, hvis indkomsterne ingen indflydelse har på procenterne. Det gør vi ved at simulere 2000 interviewundersøgelser af 600 personer hvor vi har sikret os at det drejer sig om uafhængige kategorier. Først laver jeg et regneark der simulerer indplaceringen af en tilfældigt udvalgt vælger. I eksemplet antager jeg at fordelingen mellem kategorierne P, Q, R og S er 40%, 30%, 20% og 10% medens fordelingen mellem kategorierne IC1, IC2 og IC3 er 50%, 30% og 20%. Jeg bruger to af hinanden uafhængige SLUMPMELLEM(1;100) i cellerne C2 og B3. Det tilfældige tal i C2 bruges til at placere vælgeren i en tilfældig af kategorierne P, Q, R og S i overensstemmelse med procenterne for disse kategorier. Der skrives 1 i den relevante af cellerne D3:G3 og 0 i de tre andre. Uafhængigt af dette placeres vælgeren i en af kategorierne IC1, IC2 og IC3 ud fra det tilfældige tal i B3 og resultatet markeres med 1 i den relevante celle blandt C4:C6. Se detaljerne i Figur 13 og 14. Fig. 13 Placering af en vælger i skemaet ud fra uafhængighed mellem kategorierne.
10 Fig. 14 Formler til Fig. 13 Næste skridt er at justere regnearket så man kan opsummerer resultaterne af de enkelte interviews i tabellen. Her bruges samme teknik som i afsnittet "Kast med 5 terninger" i [2] så læs lige dette afsnit igen. Fig. 15 Opsamling af de enkelte "interviws". Her er vi nået til person nr. 336 (celle A11) Fig. 16 Formler til den del af Fig. 15 der ikke er med i Fig. 13 og 14. Hvert interview simuleres med tryk på F9. Der skal således 600 tryk for at fremstille en tabel svarende til Tabel 1. Hvis jeg vil have en ide om hvordan tabeller som denne typisk vil se ud må jeg så gennemføre 600 "interview" mange gange flere tusinde hvis jeg vil have glæde af de store tals love så jeg kan få solide statistikker. Det holder jo ikke en meter, så jeg må justere mit regneark for at kunne simulere et stort antal interviewserier á 600 interviews i ét hug. For at kunne lave det vælger jeg at bryde beregningerne i regnearket i Fig. 15 op og placere formlerne til hver tabel på en lang række, så jeg kan kopiere nedad og få simuleret en masse tabeller i en fart. Det sker ved at jeg klipper (ikke kopierer) formlerne til Fig. 15 og indsætter dem på række. Når jeg vælger "klip" og "indsæt" justerer Excel selv cellehenvisningerne. Det er meget svært at forklare
11 detaljerne i dette med ord. Derfor henviser jeg den interesserede og vedholdende læser det færdige regneark [3]. Fig. 17 Simulering af en masse uafhængige datatabeller, hver især organiseret på en række del 1. Fig. 18 Simulering af en masse uafhængige datatabeller, hver især organiseret på en række del 2.
12 Fig. 19 Simulering af en masse uafhængige datatabeller, hver især organiseret på en række del 3. Fig. 20 Formler til Figurerne del 1. Fig. 21 Formler til Figurerne del 2.
13 Fig. 22 Formler til Figurerne del 3. Fig. 23 Histogram over 2000 simuleringer af interviews med 600 personer sammenlignet med tæthedsfunktionen for χ 2 fordelingen med (3-1)(4-1) = 6 frihedsgrader. Data til histogrammet fremkommer i kolonne BN på Fig ,00 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 Fig. 24 Summerede frekvenser fra Fig. 23 sammenlignet med χ 2 fordelingen med 6 frihedsgrader. References 0,
14 [1] (February 2012) [2] John Andersen: Simulering af stokastiske fænomener med Excel [3] (December 2011) [4] (December 2011) [5] (February 2012) [6] John Andersen: Animation bringing motion into mathematics (December 2011)
Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP()
Gennemsnit og normalfordeling illustreret med terningkast, simulering og SLUMP() John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Et kast med 10 terninger gav følgende udfald Fig. 1 Result of rolling 10 dices
Læs mereSimulering af stokastiske fænomener med Excel
Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen
Læs mereSimulering af stokastiske fænomener med Excel
Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen
Læs mereTalrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side
VisiRegn ideer 3 Talrækker Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Talrækker 2-4 Elevaktiviteter til Talrækker 3.1 Talrækker (1) M-Æ 5-9 3.2 Hanoi-spillet
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2 -test [ki-i-anden-test]
Anvendt Statistik Lektion 6 Kontingenstabeller χ 2 -test [ki-i-anden-test] 1 Kontingenstabel Formål: Illustrere/finde sammenhænge mellem to kategoriske variable Opbygning: En celle for hver kombination
Læs mereDeskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,
Læs mereVærktøjshjælp for TI-Nspire CAS Struktur for appendiks:
Værktøjshjælp for TI-Nspire CAS Struktur for appendiks: Til hvert af de gennemgåede værktøjer findes der 5 afsnit. De enkelte afsnit kan læses uafhængigt af hinanden. Der forudsættes et elementært kendskab
Læs mereMaple 11 - Chi-i-anden test
Maple 11 - Chi-i-anden test Erik Vestergaard 2014 Indledning I dette dokument skal vi se hvordan Maple kan bruges til at løse opgaver indenfor χ 2 tests: χ 2 - Goodness of fit test samt χ 2 -uafhængighedstest.
Læs mereKapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9.
Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9. klassetrin: statistisk sandsynlighed, kombinatorisk sandsynlighed og personlig
Læs mereAllan C. Malmberg. Terningkast
Allan C. Malmberg Terningkast INFA 2008 Programmet Terning Terning er et INFA-program tilrettelagt med henblik på elever i 8. - 10. klasse som har særlig interesse i at arbejde med situationer af chancemæssig
Læs mereStatistik i basketball
En note til opgaveskrivning jerome@falconbasket.dk 4. marts 200 Indledning I Falcon og andre klubber er der en del gymnasieelever, der på et tidspunkt i løbet af deres gymnasietid skal skrive en større
Læs mere1 - Problemformulering
1 - Problemformulering I skal undersøge, hvordan fart påvirker risikoen for at blive involveret i en trafikulykke. I skal arbejde med hvilke veje, der opstår flest ulykker på, og hvor de mest alvorlige
Læs merePENGE OG ØKONOMI. Dette kapitel sætter fokus på renter, opsparing og lån.
INTRO Dette kapitel sætter fokus på renter, opsparing og lån. Kapitlets første opslag har løn og skat som omdrejningspunkt, og eleverne opfordres bl.a. til at undersøge opbygningen af deres egne eller
Læs mereHvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser
Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004
Læs mereBrøk Laboratorium. Varenummer 72 2459
Brøk Laboratorium Varenummer 72 2459 Leg og Lær om brøker Brøkbrikkerne i holderen giver brugeren mulighed for at sammenligne forskellige brøker. Brøkerne er illustreret af cirkelstykker som sammenlagt
Læs mereFra tilfældighed over fraktaler til uendelighed
Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Tilfældighed Hvor tilfældige kan vi være? I skemaet ved siden af skal du sætte 0 er og 1-taller, ét tal i hvert felt. Der er 50 felter. Du skal prøve at
Læs mereMODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN
MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..
Læs merefor gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul
for gymnasiet og hf 75 50 5 016 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf Ä 016 Karsten Juul 4/1-016 Nyeste version af dette håfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm HÅftet mç benyttes i undervisningen
Læs mereFyld en mængde genstande i en ikke gennemsigtig beholder. Man skal nu gætte to ting:
Tidlig matematik, Workshop 10. februar 2016 Aktiviteter Hvad er matematik? Gæt hvor mange og hvad Fyld en mængde genstande i en ikke gennemsigtig beholder. Man skal nu gætte to ting: Hvad er i beholderen?
Læs mereStatistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning
Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Inst f. Matematiske Fag Omfang: 8 Kursusgang I fremtiden
Læs mereFagårsplan 13/14 Fag: Matematik Klasse: 7.B Lærer: LBJ Fagområde/ emne
Fagårsplan 13/14 Fag: Matematik Klasse: 7.B Lærer: LBJ Fagområde/ emne Periode Mål Eleverne skal: Tal og enheder arbejde med tal og enheder, som bruges i hverdagen blive bedre til at omregne mellem enheder
Læs mere6. Regression. Hayati Balo,AAMS. 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 1
6. Regression Hayati Balo,AAMS Følgende fremstilling er baseret på 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus, B-niveau 1 6.0 Indledning til funktioner eller matematiske modeller Mange gange kan
Læs mereDet siger FOAs medlemmer om smartphones, apps og nyheder fra FOA
FOA Kampagne og Analyse 6. september 2012 Det siger FOAs medlemmer om smartphones, apps og nyheder fra FOA FOA har i perioden 27. april - 8. maj 2012 gennemført en undersøgelse om medlemmernes brug af
Læs mereEn ny vej - Statusrapport juli 2013
En ny vej - Statusrapport juli 2013 Af Konsulent, cand.mag. Hanne Niemann Jensen HR-afdelingen, Fredericia Kommune I det følgende sammenfattes resultaterne af en undersøgelse af borgernes oplevelse af
Læs mereFORDELING AF ARV. 28. juni 2004/PS. Af Peter Spliid
28. juni 2004/PS Af Peter Spliid FORDELING AF ARV Arv kan udgøre et ikke ubetydeligt bidrag til forbrugsmulighederne. Det er formentlig ikke tilfældigt, hvem der arver meget, og hvem der arver lidt. For
Læs mereStatistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1
Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke
Læs mereSøren Christiansen 22.12.09
1 2 Dette kompendie omhandler simpel brug af Excel til brug for simpel beregning, såsom mængde og pris beregning sammentælling mellem flere ark. Excel tilhører gruppen af programmer som samlet kaldes Microsoft
Læs mereHvor meget el bruger din familie?
Opgave E.1 Hvor meget el bruger din familie? Ud fra resultatet i opgave H.1 skal eleverne regne deres forventede årsforbrug ud. Forbruget på forskellige dage kan svinge en del, så tallet giver kun en idé
Læs mere16 opgaver, hvor arbejdet med funktionsbegrebet er centralt og hvor det er oplagt at inddrage it
16 opgaver, hvor arbejdet med funktionsbegrebet er centralt og hvor det er oplagt at inddrage it Tanker bag opgaverne Det er min erfaring, at elever umiddelbart vælger at bruge det implicitte funktionsbegreb,
Læs mereLINEÆR PROGRAMMERING I EXCEL
LINEÆR PROGRAMMERING I EXCEL K A P P E N D I X I lærebogens kapitel 29 afsnit 3 er det med 2 eksempler blevet vist, hvordan kapacitetsstyringen kan optimeres, når der er 2 produktionsmuligheder og flere
Læs mereTemaopgave i statistik for
Temaopgave i statistik for matematik B og A Indhold Opgave 1. Kast med 12 terninger 20 gange i praksis... 3 Opgave 2. Kast med 12 terninger teoretisk... 4 Opgave 3. Kast med 12 terninger 20 gange simulering...
Læs mereUNDERVISNING I PROBLEMLØSNING
UNDERVISNING I PROBLEMLØSNING Fra Pernille Pinds hjemmeside: www.pindogbjerre.dk Kapitel 1 af min bog "Gode grublere og sikre strategier" Bogen kan købes i min online-butik, i boghandlere og kan lånes
Læs mereKasteparabler i din idræt øvelse 1
Kasteparabler i din idræt øvelse 1 Vi vil i denne første øvelse arbejde med skrå kast i din idræt. Du skal lave en optagelse af et hop, kast, spark eller slag af en person eller genstand. Herefter skal
Læs mereMicrosoft Excel - en kort introduktion. Grundlag
Microsoft Excel - en kort introduktion Grundlag Udover menuer og knapper - i princippet som du kender det fra Words eller andre tekstbehandlingsprogrammer - er der to grundlæggende vigtige størrelser i
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test]
Anvendt Statistik Lektion 6 Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test] Kontingenstabel Formål: Illustrere/finde sammenhænge mellem to kategoriske variable Opbygning: En celle for hver kombination af
Læs mereEksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS
Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Tabellen herunder viser udviklingen af USA's befolkning fra 1850-1910 hvor befolkningstallet er angivet i millioner: Vi har tidligere redegjort for at antallet
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereHuskesedler. Anvendelse af regneark til statistik
Huskesedler Anvendelse af regneark til statistik August 2013 2 Indholdsfortegnelse Aktivere Analysis Toolpak... 4 Dataudtræk fra Danmarks Statistik... 4 Kopiering af formler... 4 Målsøgning... 5 Normalfordeling...
Læs mereRegneark II Calc Open Office
Side 1 af 10 Gangetabel... 2 Udfyldning... 2 Opbygning af gangetabellen... 3 Cellestørrelser... 4 Øveark... 4 Facitliste... 6 Sideopsætning... 7 Flytte celler... 7 Højrejustering... 7 Kalender... 8 Dage
Læs merefor matematik pä B-niveau i hf
for matematik pä B-niveau i hf 014 Karsten Juul TEST 1 StikprÅver... 1 1.1 Hvad er populationen?... 1 1. Hvad er stikpråven?... 1 1.3 Systematiske fejl ved valg af stikpråven.... 1 1.4 TilfÇldige fejl
Læs mereVejledning: Anvendelse af kuber på SLS-data fra LDV i Excel 2007. Målgruppe: Slutbruger
Vejledning: Anvendelse af kuber på SLS-data fra LDV i Excel 2007. Målgruppe: Slutbruger April 2015 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... 2 1 Indledning... 3 1.1 Metode til anvendelse af kuber med
Læs merePå alle områder er konklusionen klar: Der er en statistisk sammenhæng mellem forældre og børns forhold.
Social arv 163 8. Social arv nes sociale forhold nedarves til deres børn Seks områder undersøges Der er en klar tendens til, at forældrenes sociale forhold "nedarves" til deres børn. Det betyder bl.a.,
Læs mereIkke desto mindre er det bemærkelsesværdigt, at halvdelen af de beskæftigede danskere er åbne over for at tage et job i Europa.
Notat Befolkningsundersøgelse om international jobmobilitet Til: Fra: Dansk Erhverv, LBU Capacent har på vegne af Dansk Erhverv gennemført en spørgeskemaundersøgelse blandt befolkningen på 18 år eller
Læs mereVelkommen til ABC Analyzer! Denne basis manual indeholder introduktion til: De primære funktioner De 6 faneblade Dataslicers Rapporter og klikrapport
Velkommen til ABC Analyzer! Denne basis manual indeholder introduktion til: De primære funktioner De 6 faneblade Dataslicers Rapporter og klikrapport Manual opdateret Oktober 2015 Copyright ABC Softwork
Læs merec) For, er, hvorefter. Forklar.
1 af 13 MATEMATIK B hhx Udskriv siden FACITLISTE TIL KAPITEL 7 ØVELSER ØVELSE 1 c) ØVELSE 2 og. Forklar. c) For, er, hvorefter. Forklar. ØVELSE 3 c) ØVELSE 4 90 % konfidensinterval: 99 % konfidensinterval:
Læs mereMETODESAMLING TIL ELEVER
METODESAMLING TIL ELEVER I dette materiale kan I finde forskellige metoder til at arbejde med kreativitet og innovation i forbindelse med den obligatoriske projektopgave. Metoderne kan hjælpe jer til:
Læs mereDisposition for kursus i Excel2007
Disposition for kursus i Excel2007 Analyse af data (1) Demo Øvelser Målsøgning o evt. opgave 11 Scenariestyring o evt. opgave 12 Datatabel o evt. opgave 13 Evt. Graf og tendens o evt. opgave 10 Subtotaler
Læs mereLars Andersen: Anvendelse af statistik. Notat om deskriptiv statistik, χ 2 -test og Goodness of Fit test.
Lars Andersen: Anvendelse af statistik. Notat om deskriptiv statistik, χ -test og Goodness of Fit test. Anvendelser af statistik Statistik er et levende og fascinerende emne, men at læse om det er alt
Læs mereLad det vokse -4. Det koster at følge Jesus.
Lad det vokse -4 Det koster at følge Jesus. Mål: Børn lærer om forudsætninger for vækst; børn lærer, hvilke ting der kan stå i vejen for vækst; børn indser, at ikke alle, som tror på Jesus, vil blive ved
Læs merefor matematik pä B-niveau i hf
for matematik pä B-niveau i hf 75 50 5 016 Karsten Juul GRUPPEREDE DATA 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1. Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.1 Eksempel pä ugrupperede data...1 1. Eksempel
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereLæringsmålstyret undervisning. Tinderhøj skole 04. marts 2015 Lene Heckmann
Læringsmålstyret undervisning Tinderhøj skole 04. marts 2015 Lene Heckmann Lene Heckmann Lærer, forfatter og udviklingskonsulent i Danmark og Norge Indehaver Læs mere på www.leneheckmann.dk Eller på www.facebook.com/leneheckmann
Læs mere2016 Sebastian Trabjerg Tenniskonsulenten.dk. All rights reserved. Denne E- bog må kun benyttes til personligt brug.
1 Introduktion Du har garanteret hørt denne sætning før Din serv skal være et våben og en fordel for dig Men er den nu også det? Eller er det mere et redskab som du bruger til at sætte bolden i gang med?
Læs mereVejledende årsplan for matematik 5.v 2009/10
Vejledende årsplan for matematik 5.v 2009/10 Uge Emne Formål Opgaver samt arbejdsområder 33-36 Geometri 1 Indlæring af geometriske navne Figurer har bestemte egenskaber Lære at måle vinkler med vinkelmåler
Læs mereGode råd om at drikke lidt mindre
4525/Gode råd om at drikke 21/08/02 13:16 Side 1 (1,1) Yderligere hjælp I nogle tilfælde er det ikke nok at arbejde med problemet selv. Der er så mulighed for at henvende dig et sted, hvor man har professionel
Læs mereEksponentiel regression med TI-Nspire ved transformation af data
Eksponentiel regression med TI-Nspire ved transformation af data En vigtig metode til at få overblik over data er at tranformere dem, således at der fremkommer en lineær sammenhæng. Ordet transformation
Læs mereIkke-grupperede observationer
Ikke-grupperede observationer Oscaruddelingen eller Academy Awards er den amerikanske lmbranches (og sikert verdens) mest prestigefyldte prisuddeling inden for lm. Uddelingen sker ved en globalt transmitteret
Læs mereRapport Bjælken. Derefter lavede vi en oversigt, som viste alle løsningerne og forklarede, hvad der gør, at de er forskellige/ens.
Rapport Bjælken Indledning Vi arbejdede med opgaverne i grupper. En gruppe lavede en tabel, som de undersøgte og fandt en regel. De andre grupper havde studeret tegninger af bjælker med forskellige længder,
Læs mereExcel-4: Diagrammer og udskrift
Excel-4: Diagrammer og udskrift Udfra indtastede tal og formler kan Excel oprette forskellige typer meget flotte diagrammer: grafer, kurver, søjler og cirkeldiagrammer. OPGAVE: Men der skal være nogle
Læs mereEnsomhed i ældreplejen
17. december 2015 Ensomhed i ældreplejen 3 ud af 4 medlemmer af FOA ansat i hjemmeplejen eller på plejehjem møder dagligt eller ugentligt ensomme ældre i forbindelse med deres arbejde, og en tredjedel
Læs mereSLS-kasserer. - En vejledning til kassererarbejdet i din lokalbestyrelse
SLS-kasserer - En vejledning til kassererarbejdet i din lokalbestyrelse Indholdsfortegnelse Indledning... 1 Kassereropgaver i SLS-lokalbestyrelsen... 2 Årsregnskab... 2 Ansøgning om støtte til lokalbestyrelsens
Læs mereBilag 6 c rapporten Idræt i udsatte boligområder
Bilag 6 c rapporten Idræt i udsatte boligområder Instruktion til interviewerne på spørgeskemaundersøgelsen af voksne beboere i de udsatte boligområder 1 1. Indledning Det overordnede mål for spørgeskema-interviewene
Læs mereFor at få tegnet en graf trykkes på knappen for graftegning. Knap for graftegning
Graftegning på regneark. Ved hjælp af Excel regneark kan man nemt tegne grafer. Man åbner for regnearket ligger under Microsoft Office. Så indtaster man tallene fra tabellen i regnearkets celler i en vandret
Læs mere1 Start og afslutning. Help.
Afdeling for Teoretisk Statistik STATISTIK 2 Institut for Matematiske Fag Jørgen Granfeldt Aarhus Universitet 24. september 2003 Hermed en udvidet udgave af Jens Ledet Jensens introduktion til R. 1 Start
Læs mereGuide. Fortæl DEN GODE historie. sider. Juni 2014 - Se flere guider på bt.dk/plus og b.dk/plus. Ud af comfortzonen med Krisztina Maria.
Foto: Scanpix Guide Juni 2014 - Se flere guider på bt.dk/plus og b.dk/plus 10 sider Fortæl DEN GODE historie Ud af comfortzonen med Krisztina Maria Positive tanker INDHOLD: Fortæl den gode historie...4-6
Læs mereExcel-6: HVIS-funktionen
Excel-6: HVIS-funktionen Regnearket Excel indeholder et væld af "funktioner" som kan bruges til forskellige ting indenfor f.eks. finans, statistik, logiske beregninger, beregninger med datoer og meget
Læs mereSandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereVejledning i brug af Gym-pakken til Maple
Vejledning i brug af Gym-pakken til Maple Gym-pakken vil automatisk være installeret på din pc eller mac, hvis du benytter cd'en Maple 16 - Til danske Gymnasier eller en af de tilsvarende installere. Det
Læs mereBilag 6: Transskribering af interview med deltager nr. 1
Bilag 6: Transskribering af interview med deltager nr. 1 Indledning INT: Okay, det er denne her brochure, det handler om. D: Mmm. INT: Og hvad tror du, den handler om? D: Den her brochure? Den handler
Læs mereØvelser ved start på bevægelsesaktivitet
EKSTRA ØVELSER Bevægelsesaktiviteter i salen Bilag 1 Øvelser ved start på bevægelsesaktivitet Gå rundt i salen mellem hinanden i rask gang (musik). Stop musikken og spørg om deltagerne så hinanden hvad
Læs mereAt lave dit eget spørgeskema
At lave dit eget spørgeskema 1 Lectio... 2 2. Spørgeskemaer i Google Docs... 2 3. Anvendelighed af din undersøgelse - målbare variable... 4 Repræsentativitet... 4 Fejlkilder: Målefejl - Systematiske fejl-
Læs mereBLIV EKSPERT I DIN TEMPERAMENTSBOMBE
GRY BASTIANSEN BLIV EKSPERT I DIN TEMPERAMENTSBOMBE ARBEJDSBOG FOR UNGE BLIV EKSPERT I DIN TEMPERAMENTSBOMBE Akademisk Forlag og Gry Bastiansen 1 INDHOLD VELKOMMEN TIL KURSET, DER GØR DIG TIL EKSPERT PÅ
Læs mereFlertal for offentliggørelse af skoletests men størst skepsis blandt offentligt ansatte
Af forskningschef Geert Laier Christensen Direkte telefon 61330562 5. marts 2010 Flertal for offentliggørelse af skoletests men størst skepsis blandt offentligt ansatte En spørgeskemaundersøgelse, gennemført
Læs mereFå navn på analysenr. i excel-fil og ind i pivottabel med data fra qlikview
Få navn på analysenr. i excel-fil og ind i pivottabel med data fra qlikview Opret en excel-fil med analysenr. og navn. Gemt som dataliste_til_pivottabeller Analysenr. skal stå i nr. orden, og cellen skal
Læs mereBasal statistik for lægevidenskabelige forskere, forår 2014 Udleveret 4. marts, afleveres senest ved øvelserne i uge 13 (25.
Hjemmeopgave Basal statistik for lægevidenskabelige forskere, forår 2014 Udleveret 4. marts, afleveres senest ved øvelserne i uge 13 (25.-27 marts) Garvey et al. interesserer sig for sammenhængen mellem
Læs mereGode lønforhandlinger
LEDERENS GUIDE TIL Gode lønforhandlinger Sådan forbereder og afholder du konstruktive lønforhandlinger Sæt løn på din dagsorden Du er uden sammenligning medarbejdernes vigtigste kilde til viden om, hvordan
Læs mereIndholdsfortegnelse :
Rapporten er udarbejdet af Daniel & Kasper D. 23/1-2001 Indholdsfortegnelse : 1.0 STEPMOTEREN : 4 1.1 Stepmotorens formål : 4 1.2 Stepmotorens opbygning : 4 2.0 PEEL-KREDSEN 4 2.1 PEEL - Kredsen Generelt
Læs mereSådan går det i. sønderborg. Kommune. beskæftigelsesregion
Sådan går det i sønderborg Kommune beskæftigelsesregion syddanmark Kære kommunalpolitiker i Sønderborg Kommune Denne pjece giver et overblik over forskellige aspekter af udviklingen i Sønderborg Kommune.
Læs mereAnamorphic Widescreen
Anamorphic Widescreen Fuldskærm og widescreen For at kunne forklare hvad anamorphic widescreen egentlig er, vælger jeg at starte helt fra begyndelsen af filmhistorien. Som alle nok ved så er billedformatet
Læs mere3 trin til at håndtere den indre kritik
Fri og Kreativ 3 trin til at håndtere den indre kritik Ved cand. mag. i psykologi og pædagogik Line Larsen friogkreativ.dk Copyright 2013 friogkreativ.dk Alle rettigheder reserveret. Side 1 af 7. 3 trin
Læs mereOpgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel
Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og
Læs mereGiv eleverne førerkasketten på. Om udvikling af gode faglige læsevaner
Giv eleverne førerkasketten på Om udvikling af gode faglige læsevaner Odense Lærerforening, efterår 2011 Elisabeth Arnbak Center for grundskoleforskning DPU Århus Universitet Det glade budskab! Læsning
Læs mere_2_mulighederAfgive vælgererklæring eller tilbagetrække støtte?
Support Hvis du ikke kan finde svar på dine spørgsmål længere nede på siden, kan du kontakte partiet. Du kan stille spørgsmål til processen, eller til brugen af systemet ved at kontakte det parti du vil
Læs mereFaglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1
Faglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1 Faglige delmål for matematik i 1. og 2. klasse. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne efter 2. klasse har tilegnet sig kundskaber og færdigheder,
Læs mereUgebrev 4 Indskolingen 2016
Ugebrev 4 Indskolingen 2016 Fælles info: Kære forældre i indskolingen. I må meget gerne sørge for at jeres børn kan deres unilogin udenad. Vi bruger det ofte, og lige nu er det en tidsrøver at sørge for
Læs mereTIPS TIL SAMARBEJDET OM SAMTALEGUIDEN
Samtaleguiden 36 Samtaleguiden er lavet primært til unge, der ryger hash. Som vejleder, mentor m.fl. kan du bruge Samtaleguiden som et fælles udgangspunkt i samtalen med den unge. Du kan dog også blot
Læs mereMatematik interne delprøve 09 Tesselering
Frederiksberg Seminarium Opgave nr. 60 Matematik interne delprøve 09 Tesselering Line Købmand Petersen 30281023 Hvad er tesselering? Tesselering er et mønster, der består af en eller flere figurer, der
Læs mereRef. SOL/KNP 02.10.2014. Selvstændige 2014. Djøf undersøgelser
Ref. SOL/KNP 02.10.2014 2014 Djøf undersøgelser Indhold Indledning... 3 Baggrund... 3 Hovedresultater... 3 Metode... 5 Repræsentativitet... 5 Den typiske selvstændige... 6 Karakteristika... 6 Erfaring
Læs mereQuick ringeguide til jobkonsulenter. Til dig, der hurtigt vil i gang med at booke møder hos virksomheder
Quick ringeguide til jobkonsulenter Til dig, der hurtigt vil i gang med at booke møder hos virksomheder Generelle råd til samtalen Vær godt forberedt Halvér dit taletempo Tal tydeligt med entusiasme og
Læs mereGodt i gang. Jeg har fået min pc med udstyr udleveret, og jeg har skrevet under på, at jeg vil passe godt på udstyret
Godt i gang Jeg har fået min pc med udstyr udleveret, og jeg har skrevet under på, at jeg vil passe godt på udstyret Jeg ved, hvordan jeg tænder og slukker korrekt Jeg har fået et login og et password,
Læs mereI Guds hånd -3. Fællessamling Dagens højdepunkt målrettet undervisning. 15-20 minutter
I Guds hånd -3 I Guds hånd kan jeg sejre Mål: At lære børnene, at de kan sejre, når de holder sig tæt til Gud. Selvom de føler, de oplever nederlag, vil de stadig få sejr til sidst. For Gud er med dem.
Læs mereBalance i hverdagen. Af: Annette Aggerbeck, journalist
Denne artikel er fremstillet for Sygeforsikringen Danmark. Den indgår i det andet nummer af deres elektroniske nyhedsbrev Nyt & Sundt, som er produceret i samarbejde med Netdoktor. Balance i hverdagen
Læs mereOm at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi
Om at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi I 996 var det en sensation, da det kom frem, at det var lykkedes D. Bailey, P. Borwein og S. Plouffe at finde en formel for tallet π, med hvilken man
Læs merei tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient
ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender hældnings a hældningskoefficient lineær funktion lagt n resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn formel andengradsligning
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj 2013 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold CampusVejle, Boulevarden 48, 7100 Vejle HHX Matematik
Læs mereKapitel 3 Centraltendens og spredning
Kapitel 3 Centraltendens og spredning Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 25 Indledning I kapitel 2 omsatte vi de rå data til en tabel, der bedre viste materialets fordeling
Læs mereGenerelt er korrelationen mellem elevens samlede vurdering i forsøg 1 og forsøg 2 på 0,79.
Olof Palmes Allé 38 8200 Aarhus N Tlf.nr.: 35 87 88 89 E-mail: stil@stil.dk www.stil.dk CVR-nr.: 13223459 Undersøgelse af de nationale tests reliabilitet 26.02.2016 Sammenfatning I efteråret 2014 blev
Læs mereFormler og diagrammer i Excel 2000/2003 XP
Formler i Excel Regneudtryk Sådan skal det skrives i Excel Facit 34 23 =34*23 782 47 23 =47/23 2,043478261 27³ =27^3 19683 456 =KVROD(456) 21,3541565 7 145558 =145558^(1/7) 5,464829073 2 3 =2*PI()*3 18,84955592
Læs mereSANDSYNLIGHED FACIT SIDE 154-155
SIDE 154-155 Opgave 1 A. Data (x) h(x) f(x) 2 1 0,042 3 3 0,125 4 6 0,25 5 3 0,125 6 4 0,16 7 1 0,042 8 2 0,0833 9 1 0,042 10 2 0,0833 11 1 0,042 B. C. Diagrammet (et søjlediagram) er lavet ud fra hyppigheden,
Læs mere