Allan C. Malmberg. Terningkast

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Allan C. Malmberg. Terningkast"

Transkript

1 Allan C. Malmberg Terningkast INFA 2008

2 Programmet Terning Terning er et INFA-program tilrettelagt med henblik på elever i klasse som har særlig interesse i at arbejde med situationer af chancemæssig art. I Terning kan eleverne beskæftige sig med chancesituationer som har med terningkast at gøre. De kan fastlægge hændelser af forskellig art - ved hjælp af en lettilgængelig notation - og de kan lade programmet beregne sandsynligheder for disse hændelser. Mange af de fundne teoretiske resultater vil let lade sig afprøve i rigtige kast med terninger. Terning giver eleverne mulighed for undersøgelser over "ventetiden" på en forelagt hændelse: Hvor mange kast skal der fx udføres for at der er 50% chance for at hændelsen indtræffer? Eleverne kan også undersøge samspillet mellem to terningkast-hændelser A og B og herigennem blive fortrolige med fortolkningen af hændelserne "A og B indtræffer begge", "A eller B indtræffer", "A men ikke B indtræffer". Også betingede sandsynligheder "A indtræffer, givet B indtræffer" kan behandles med støtte i eksempler på terningkast-situationer. I elevteksten gennemgås de muligheder der findes i Terning, og der gives eksempler på problemløsning som kan gennemføres ved programmets hjælp. Til brug for elevernes afprøvning af opnået faglig kunnen og af deres håndtering af Terning-programmet er givet en omfattende samling af opgaver af varierende sværhedsgrad.

3 Indhold 1. Hændelser fastlagt ved øjenkast Hændelser fastlagt ved øjentalsum Andre fastlæggelser Ventetid: Hvornår indtræffer hændelsen? Samspil mellem to hændelser Betinget sandsynlighed Udfør kast! Fordelinger Opgaver... 24

4 1. Hændelser fastlagt ved øjenkast Indtil videre vælger vi i programmet Terning muligheden Én hændelse. Du vil nu allerøverst se et felt hvor der spørges om antallet af terninger. Der er mulighed for at kaste med 2-6 terninger. Vi vil udføre nogle kast med to terninger, så vi indtaster tallet 2 i terningfeltet. Vi sætter T=2. Ved kast med to terninger er der 36 muligheder for kasteresultater. Lad os antage at vi kaster med en grøn og en rød terning. De 36 muligheder er da: For eksempel svarer kasteresultatet 35 til at den grønne terning viser 3, og den røde terning viser 5. De 36 mulige resultater betragter vi som ligevægtede, dvs. de har alle samme sandsynlighed, eller samme chance, for at forekomme ved et kast med de to terninger. Da der er 36 ligevægtede hændelser, har hver af de 36 hændelser en sandsynlighed på 1/36, dvs. ca. 2.8%. Eksempel 1. Lad os se på hændelsen: En af terningerne viser 5 øjne Når vi siger "en af terningerne" mener vi at enten den grønne eller den røde terning eller begge terninger viser 5 øjne. 1

5 Se på oversigten ovenfor. Find de kasteresultater hvor én terning eller begge terninger viser 5. Der er i alt 11 resultater hvor der forekommer et 5-tal. Nogle af dem er 51,52,56,15,35. Du kan let se at der i alt er 11 i oversigten. Sandsynligheden for hændelsen "En af terningerne viser 5 øjne" er derfor 11 ud af 36, dvs. 11/36. Vi vil nu lade programmet Terning foretage udregningen for os. I feltet Antal terninger indtaster vi 2, og i feltet Øjental indtaster vi 5: Øjental: 5 Derefter klikker vi på OK. På skærmen kommer nu følgende: Antal terninger: 2 Hændelse: 5 Sandsynlighed: 11/36 ( ) Terning beregner altså sandsynligheden til 11/36, dvs. ca som decimaltal. I programmet er indbygget en kastetjekker. Klik på den pågældende knap og der kommer følgende på skærmen. Hændelse: 5 Antal terninger:

6 56 65 Undersøgelse: 23 Nej 35 Ja 53 Ja 55 Ja Den øverste liste viser de kasteresultater der indgår i hændelsen. Du kan se at listen indeholder de 11 kast vi så på før. I den næste liste har vi indtastet 4 kasteresultater. Programmet fortæller med et Ja eller et Nej om de hører med til den hændelse vi er interesseret i. Du kan se at resultatet 23 ikke hører med til hændelsen. Det gør derimod de tre andre kasteresultater vi har undersøgt. Den øverste liste omfatter her alle de kasteresultater der indgår i den hændelse vi har indtastet. Sådan vil det ikke altid være. Ofte vil hændelsen nemlig indeholde et stort antal kasteresultater - måske flere tusinde - og listen vil da blot vise et udvalg af de kasteresultater som indgår i hændelsen. Men du vil altid kunne foretage din egen undersøgelse af lige så mange resultater som du har lyst til. Eksempel 2. Vi ser nu på en kombination af flere øjental. Hvis vi under Øjental indtaster: Øjental: 56 så vil programmet beregne sandsynligheden for hændelsen: Både øjental 5 og 6 forekommer. 3

7 Prøv selv. Lad Terning beregne sandsynligheden for hændelsen 56 og undersøg ved hjælp af kastetjekkeren om programmet regner rigtigt. Eksempel 3. Der er andre muligheder for at kombinere to øjental. Således vil hændelsen 5 minus 6: Øjental: 5-6 bevirke at Terning beregner sandsynligheden for at øjentallet 5, men ikke 6, forekommer. Og hændelsen 5 eller 6 angives således: Øjental: 5/6 Den får programmet til at beregne sandsynligheden for at enten forekommer øjentallet 5 eller øjentallet 6 (eller dem begge). Prøv selv. Lad Terning beregne sandsynligheden for hændelsen 5-6 og for hændelsen 5/6. Kontroller ved hjælp af oversigten over de 36 mulige kasteresultater at programmet regner rigtigt. Flere kombinationer. Her er nogle andre eksempler på hvordan øjental kan kombineres: 55/ /2/3-5-6 Prøv selv. Overvej hvad de fire hændelser svarer til i kasteresultater og lad derefter Terning beregne sandsynligheden for hver af de fire hændelser. 4

8 Brug undervejs kastetjekkeren for at kontrollere at du har forstået de fire hændelser korrekt. Kast med tre terninger. Vi sætter nu T=3. Vi kan forestille os at vi kaster med en grøn, en rød og en sort terning. For hvert af de 36 kasteresultater i oversigten ovenfor er der nu 6 muligheder for øjentallet på den sorte terning, den kan jo vise 1,2,3,4,5 eller 6. Alt i alt er der dermed 36*6 mulige kasteresultater, dvs. 216 ligevægtede kasteresultater. Prøv selv. Sæt T=3, og lad Terning beregne sandsynligheden for hver af følgende hændelser: / Undersøg med kastetjekkeren om du og programmet opfatter hændelserne på samme måde. Hændelser fastlagt ved bogstaver Indtil nu har vi fastlagt hændelser ved hjælp af tal, som fx 56, 5-55, 5-6 og 5/6. Nu vil vi gøre brug af bogstaver til fastlæggelse af hændelser. Vi vælger igen T=3 og indtaster i Øjental: Øjental: xx Programmet opfatter denne besked som en hændelse hvor to terninger viser samme øjental. Vi lader programmet beregne sandsynligheden for hændelsen: Antal terninger: 3 Hændelse: xx Sandsynlighed: 96/216= 4/9 ( ) 5

9 Undersøg ved hjælp af kastetjekkeren om programmet har regnet med de rigtige kasteresultater. Du vil se at tjekkeren fortæller at to af terningerne viser samme øjental, og det forekommer også at alle tre terninger viser det samme. Således er både 121 og 222 godkendte kasteresultater. Hvis du ikke vil godtage de kasteresultater hvor alle tre terninger viser det samme øjental, kunne du have indtastet: Øjental: xxy Programmet vil nu beregne sandsynligheden for et kasteresultat hvor to terninger viser samme øjental og den tredje terning viser noget andet. Forskellige bogstaver står for forskellige øjental. Alt i alt kan du gøre brug af bogstaverne x y z p q og r. Samme bogstav står for samme øjental, og forskellige bogstaver står for forskellige tal. Prøv selv. Sæt T=3, og lad Terning beregne sandsynligheden for hændelsen xxy og undersøg ved hjælp af kastetjekkeren om det er de rigtige kast der indgår i hændelsen. Nogle andre eksempler. Sæt T=3, og beregn sandsynligheden for hver af følgende otte hændelser. xyz xxx/xyz xx-xxx 6xx 16x /6-5-4 Undersøg ved hjælp af kastetjekkeren om programmet korrekt beregner sandsynligheden for de otte hændelser.. 6

10 Øjental-hændelser En lille oversigt over typiske Øjental-hændelser. 6 En terning (eller flere) viser 6 66 To terninger viser 6 55/66 To terninger viser 5 eller to terninger viser 6 56 En terning viser 5 og en viser 6 xx xxy To terninger viser samme øjental To terninger viser samme øjental, en tredje terning viser noget andet En sekser, men ikke to seksere Sekser, men hverken 5 eller Sekser og ikke både 4 og 5. Et øjental-udtryk er opbygget af tre grundstene: og-udtryk Eksempel: 56 minus-udtryk Eksempel: -5 eller-udtryk Eksempel: 5/6 De tre typer af udtryk kan kombineres. Prøv dig frem. Der gælder: I et eller-udtryk må der ikke sættes minus. Du kan altså ikke indtaste 5/-6 som en hændelse. 7

11 2. Hændelser fastlagt ved øjentalsum Vi vælger stadig Én hændelse. Vi kan her også fastlægge hændelser ved at gøre brug af summen af øjentallene på de terninger der indgår i kastet. Lad os igen se på kast med tre terninger. For eksempel kan vi i feltet Øjentalsum indtaste: Øjentalsum: Det betyder at vi ser på terningkast hvor de tre terninger tilsammen viser 14,15,16, 17 eller 18 øjne. Vi lader Terning beregne sandsynligheden: Antal terninger: 3 Øjentalsum: Sandsynlighed: 35/216 ( ) Du kan ved hjælp af kastetjekkeren kontrollere at programmet har benyttet de korrekte kasteresultater. Vi kan også kombinere to betingelser: Øjental: xx Øjentalsum: Det betyder at vi ser på de kast hvor begge betingelser er opfyldt: To terninger skal vise samme øjental, og summen af de tre terningers øjental skal være fra 14 til 18. Her er programmets resultater: Antal terninger: 3 Hændelse: xx Sandsynlighed: 96/216= 4/9 ( ) Øjentalsum: Sandsynlighed: 35/216 ( ) 8

12 Kombineret hændelse: Sandsynlighed: 23/216 ( ) Her er de to hændelsers sandsynlighed beregnet hver for sig: Hændelsen xx har sandsynligheden 96/216 hvis den var den eneste hændelse (det har vi set i det foregående), og hændelsen Øjentalsum har sandsynligheden 35/216 (det fandt vi også før). Sandsynligheden for den kombinerede hændelse at både xx forekommer og at øjentalsummen er fra 14 til 18, er beregnet til 23/216. Prøv selv. Undersøg ved hjælp af kastetjekkeren om det er de rigtige kast der indgår i den kombinerede hændelse. Øjentalsum-hændelser Her er nogle eksempler på hændelser der er fastlagt ved angivelse af øjentalsum. 7 Summen af øjentallene er Summen af øjentallene er 5, 6 eller 7..5 Summen af øjentallene er 5 eller derunder 10 Summen af øjentallene er 10 eller derover 8..9 Summen af øjentallene er 8 eller 9 8,9 Summen af øjentallene er 8 eller ,7,11 Summen af øjentallene er 3..6 eller 7 eller 11 9

13 3. Andre fastlæggelser Ud over Øjental og Øjentalsum er der tre andre muligheder for fastlæggelse af hændelser: Variation af øjental Bredde af øjental Max og min af øjental Variation. Her kan vi angive hvor mange forskellige øjental der skal indgå i hændelsen. Til eksempel sætter vi Variation til 3. Det betyder at vi kun ser på kast med tre forskellige øjental, fx 123 og 351, men ikke 446 der kun indeholder to forskellige øjental. Bredde. Her kan vi angive hvad afstanden fra det mindste øjental til det største skal være. Sætter vi Bredde til 3, så kan vi godtage kast som 255 og 124, men ikke 265 der har en bredde på 4. Max og min. Her kan vi fx sætte største øjental, max, til 5 og mindste øjental, min, til 2. Vi godtager da kast som 523 og 552, men ikke 553 hvor mindste øjental er 3 og ikke 2. Under max/min kan du nøjes med at udfylde et af felterne, altså enten max eller min. Når vi gør brug af flere muligheder for at fastlægge hændelser, er det altid underforstået at alle de givne betingelser skal opfyldes. Et eksempel. Vi sætter T = 3 og indtaster følgende betingelser: Øjental: xx Øjentalsum: 10.. Bredde: 3 10

14 Max: 5 Her er programmets beregninger: Antal terninger: 3 Øjental: xx Sandsynlighed: 96/216= 4/9 ( ) Øjentalsum: 10.. Sandsynlighed: 135/216= 5/8 ( ) Bredde: 3 Sandsynlighed: 54/216= 1/4 ( ) Max: 5 Sandsynlighed: 61/216 ( ) Kombineret hændelse: Sandsynlighed: 3/216= 1/72 ( ) Vi ser at den kombinerede hændelse har en sandsynlighed på 3/216. Af de 216 mulige resultater af et kast med tre terninger er der altså kun tre der opfylder alle vore stillede betingelser. I kastetjekkeren kan vi se at de tre kasteresultater er: Prøv selv. Opstil tre eller flere betingelser for en hændelse, og lad programmet beregne sandsynligheden. Kontroller at de foretagne beregninger er korrekte. 11

15 4. Ventetid: Hvornår indtræffer hændelsen? Lad os antage at vi kaster med tre terninger, og at vi venter på at alle tre terninger viser samme øjental. Vi venter altså på at hændelsen indtræffer. Øjental: xxx Vi lader programmet beregne hændelsens sandsynlighed: Antal terninger: 3 Hændelse: xxx Sandsynlighed: 6/216= 1/36 ( ) Derefter klikker vi på Ventetid-knappen. På skærmen får vi nu en oversigt: Sandsynlighed: p = 6/216 = Fraktil Talområde 1 % % % % % % % % % Af listen kan vi fx se at der ud for 50% står: Det betyder at der er 50% chance for at hændelsen xxx indtræffer inden for de første 25 kast. Vi ser også at der er 10% chance for at hændelsen indtræffer allerede inden for de første 4 kast. 12

16 Hvis vi under Talområde indtaster 1..40, så svarer programmet med procenttallet 67.59%. Det betyder at der er ca. 68% chance for at hændelsen xxx indtræffer inden for de første 40 kast Til højre på skærmen ser vi: Middeltal I gennemsnit skal vi altså udføre 36 kast før hændelsen xxx indtræffer, men der kan være store forskelle fra spil til spil. Prøv selv. Beregn sandsynligheden for hændelsen: Antal terninger: 3 Øjental: xyz Øjentalsum: Undersøg derefter hvor mange kast der skal udføres for at der er 50% chance for at hændelsen indtræffer. Og hvad er det gennemsnitlige antal kast der må udføres før hændelsen indtræffer? Prøv nu at udføre rigtige kast med tre terninger, og se hvor mange kast du skal udføre før hændelsen indtræffer. 13

17 5. Samspil mellem to hændelser I Programmet Terning har du mulighed for at arbejde med to hændelser på én gang. Gå ind i programmet og vælg "To hændelser". Der kommer nu et skærmbillede hvor du kan fastlægge to hændelser A og B. Vi ser på et simpelt eksempel. Sæt antallet af terninger til 3 og indtast under A hændelsen 6 og under B hændelsen xx: A: 6 B: xx Hændelsen A indtræffer altså hvis en eller flere af de tre terninger viser øjentallet 6. Og hændelsen B indtræffer hvis to (eller alle tre) terninger viser samme øjental. Vi giver her nogle eksempler på kasteresultater som fører til at A og B indtræffer: A: Kasteresultater fx B: Kasteresultater fx Der vil være kasteresultater som får både A og B til at indtræffe. Hændelsen "A og B" betegner vi med A*B. Vi har her: A*B: Kasteresultater fx Vi lader nu programmet udføre beregninger for A, B og A*B. Klik på OK, og på skærmen får du følgende: Hændelse A: Øjental 6 P(A)= 91/216 (0.421) 14

18 Hændelse B:Øjental xx P(B)= 96/216 (0.444) P(A*B)= 31/216 (0.144) Med P(A) betegner vi sandsynligheden for hændelse A. I matematikken betegnes sandsynligheder med P efter det latinske ord for sandsynlighed: probabilitas. Vi ser at sandsynligheden for A er 91/216. Det betyder at 91 af de 216 mulige kasteresultater får A til at indtræffe. Hændelsen B er en smule mere sandsynlig: 96 af de 216 mulige kasteresultater får B til at indtræffe. Vi ser også at der 31 kasteresultater der får både A og B til at indtræffe. Du kan gå ind i kastetjekkeren og her kontrollere at det er de rigtige kasteresultater der er talt med. Der er i programmet tre kastetjekkere, en for hver af hændelserne A, B og A*B. Vi kan nu let regne ud hvor mange af de 91 kasteresultater i A der får A, men ikke B til at indtræffe: Det må være 91-31, altså 60 kasteresultater. Og der må være kasteresultater, altså 65, der får B, men ikke A til at indtræffe. Det kan vi få programmet til at udregne. Klik på de to felter P(A-B) og P(B-A). På skærmen får du nu: P(A-B) = 60/216 P(B-A) = 65/216 Der er også et felt der er afmærket med P(A/B), dvs. sandsynligheden for A eller B. Klik på dette felt, og du får følgende beregning på skærmen: P(A/B) = 156/216 15

19 A/B står for hændelsen " A eller B eller begge indtræffer". Vi ser at 156 af de 216 mulige kasteresultater får A/B til at indtræffe. Vi kan let kontrollere at tallet er rigtigt. Der er 91 kasteresultater i A og 96 i B, i alt 187. Men her har vi talt dem i A*B med to gange, så vi skal trække 31 fra de 187. Det giver 156. Der er endnu to felter der kan klikkes på: P(A B) og P(B A). Dem vender vi tilbage til under "Betinget sandsynlighed". Prøv selv. Sæt antallet af terninger til 3 og fastlæg to hændelser A og B: A: Øjental 65 B: Øjental xxy 1. Giv eksempler på kast som får A til at indtræffe 2. Giv eksempler på kast som får B til at indtræffe 3. Giv eksempler på kast som får A*B til at indtræffe Undersøg samspillet mellem hændelserne A og B, dvs.: Lad Terning beregne sandsynlighederne: P(A), P(B), P(A*B ) Beregn nu ved håndkraft sandsynlighederne: P(A/B), P(A-B) og P(B-A) og kontroller at Terning kommer frem til de samme resultater. Når A*B er tom Det kan forekomme at A*B er tom, dvs. at der ikke findes kasteresultater som får både A og B til at indtræffe. Her et eksempel (vi kaster stadig med tre terninger): A: 65 B: Øjentalsum Kontroller at A*B er tom. 16

20 6. Betinget sandsynlighed Vi vælger stadig To hændelser. Vi kaster med tre terninger og ser på hændelserne: A: 65 B: Øjentalsum Her er nogle kasteresultater for A, B og A*B. A: B: A*B: Vi lader nu Terning beregne sandsynlighederne for de tre hændelser: Hændelse A: Øjental: 65 P(A) = 30/216 ( ) Hændelse B: Øjentalsum: P(B) = 35/216 ( ) P(A*B) = 18/216 ( ) Vi ser at sandsynligheden for at hændelse A indtræffer, er 30/216 eller som decimaltal: Det betyder at A indtræffer ved 30 af de 216 resultater der er mulige ved kast med tre terninger. Hvis vi nu får at vide at hændelsen B indtræffer, så ved vi at kasteresultatet er blevet et af de 35 resultater der er indeholdt i B. Af disse 35 er der 18 der findes i A*B. Det betyder at når B indtræffer, så er der 18 ud af 35 kasteresultater der får A til at indtræffe. Vi kan nu beregne den "betingede sandsynlighed", dvs. sandsynligheden for at A indtræffer når vi ved at B indtræffer: Denne sandsynlighed betegner vi sådan: P(A B)="sandsynligheden for A når B indtræffer" = 18/35 17

21 Programmet kan udføre denne beregning for os: Klik på feltet P(A B). Vi får då på skærmen: P(A B) = 18/35 ( ) Når vi ved at B indtræffer, så er sandsynligheden for at A indtræffer 0.514, altså væsentligt større end de som var sandsynligheden for A når vi ikke ved om B indtræffer. Vi har altså for den ubetingede og den betingede sandsynlighed: Det betyder: P(A)=0.139 P(A B)= Når B indtræffer, øger det A's sandsynlighed for at indtræffe. Vi vil kort sige: B styrker A Vi ser herefter på den ubetingede og den betingede sandsynlighed for B: P(B) = P(B A) = Heraf ser vi: A styrker B. Når A indtræffer, øger det B's sandsynlighed for at indtræffe. Generelt gælder der om to hændelser A og B: Hvis A styrker B, så vil B styrke A. Hvis P(A B) er mindre end P(A), så har vi: Når B indtræffer, formindsker det A's sandsynlighed for at indtræffe. Eller kort: B svækker A. Der gælder generelt: Hvis B svækker A, så vil A svække B. 18

22 Prøv selv. Vi kaster med tre terninger og ser på hændelserne A og B: A: Øjental: 12 B: Øjental: xx Undersøg om A og B styrker hinanden eller svækker hinanden. * Hvis P(B)=0 Hvis P(B) = 0, så kan B ikke indtræffe, og dermed eksisterer den betingede sandsynlighed P(A B) ikke. Uafhængige hændelser. Hvis P(A)=P(A B), så vil de to hændelser hverken styrke eller svække hinanden. Det vil sige at sandsynligheden for at den ene hændelse indtræffer ikke påvirkes af om den anden hændelse indtræffer eller ikke indtræffer. Sådanne to hændelser kaldes uafhængige hændelser. For uafhængige hændelser A og B har vi: P(A B) = P(A*B)/P(B) = P(A) og tilsvarende Heraf får vi: P(B A)=P(A*B)/P(A) = P(B) P(A*B) = P(A)*P(B) Et eksempel. Her er et simpelt eksempel med to uafhængige hændelser. Vi kaster med to terninger og ser på hændelserne: A:11/12/13/33 B:11/14/15/44 Vis at A og B er uafhængige hændelser. 19

23 7. Udfør kast I programmet findes der en knap Udfør kast. Vi skal nu se hvordan den kan anvendes. Vi sætter antallet af terninger til 3 og indtaster følgende hændelse: Øjental: xx Vi ser altså igen på den hændelse at mindst to af de tre terninger viser samme øjental. Programmet beregner følgende sandsynlighed for hændelsen: Antal terninger: 3 Hændelse: xx Sandsynlighed 96/216 = 4/9 ( 0.444) Hændelsen A har altså en sandsynlighed på ca Vi klikker nu på knappen Udfør kast. Her skal vi angive hvor mange kast vi ønsker udført, fra 10 og op til Vi indtaster: 100. På skærmen kan vi nu få følgende udskrift: Antal kast: 100 Antal forekomster af hændelsen: 42 90%-konfidensinterval: Vi ser at hændelsen forekom i 42 af de 100 kast. Det er i god overensstemmelse med den beregnede sandsynlighed på I den nederste linje angives et 90%-konfidensinterval. Det fortæller at med et resultat på 42 forekomster kan vi antage at den rigtige sandsynlighed er fra til

24 At der er tale om et 90%-konfidensinterval betyder at vi i ca. 90 ud af 100 kasteserier vil få et interval som indeholder den teoretiske værdi for hændelsens sandsynlighed. Vi ser at den beregnede sandsynlighed på ligger i det angivne konfidensinterval. Hvis kasteserien giver et konfidensinterval som indeholder den beregnede sandsynlighed, vil vi betragte det som et tegn på at programmets beregning er korrekt. Skulle vi få et interval som ikke indeholder den beregnede sandsynlighed, vil vi være på vagt over for beregningen. Vi kan da foretage en ny udførelse af kast. Hvis også den giver et konfidensinterval som ikke indeholder den beregnede værdi, må vi tage beregningen op til nærmere undersøgelse. Men husk at et enkelt "skævt interval" ikke betyder at beregningen af sandsynligheden er forkert. I ca. 10 ud af 100 kasteserier vil det forekomme at intervallet ikke indeholder den beregnede sandsynlighed. Vi udfører nu en ny kasteserie, denne gang på 1000 kast: Antal kast: 1000 Antal forekomster af hændelsen: %-konfidensinterval: Med 1000 kast får vi et snævrere konfidensinterval: fra til Vi ser at også dette interval indeholder den beregnede sandsynlighed på I INFA-publikationen Model og Data kan du læse om hvordan beregningen af konfidensintervaller foregår. 21

25 8. Fordelinger I programmet er indlagt nogle fordelinger som kan fortælle om hvad der kan forekomme ved kast med terninger. Gå ind i Fordelinger og vælg Øjentalsum. Sæt antallet af terninger til 2. På skærmen får du nu en oversigt: Øjentalsum-fordeling Antal terninger: 2 Sandsynlighed Kumuleret sandsynlighed 2 1/36= /36= /36= /36= /36= /36= /36= /36= /36= /36= /36= /36= /36= /36= /36= /36= /36= /36= /36= /36= /36= /36= Af oversigten ser vi fx at ved kast med to terninger er sandsynligheden 5/36 eller for at få en øjentalsum på 8. Vi kan også af listen over den kumulerede sandsynlighed, den summerede sandsynlighed, se at sandsynligheden for at få en øjentalsum på 8 eller derunder er 26/36 = Ved et kast med to terninger er der altså en sandsynlighed på ca. 72% for at terningerne tilsammen viser 8 øjne eller derunder. Der er dermed kun ca. 28% sandsynlighed for at få en øjentalsum på 9 eller derover. Nederst på skærmen kan vi se at den gennemsnitlige øjentalsum ved kast med to terninger er

26 Gå ind i Fordelinger igen og vælg Max. Sæt igen antallet af terninger til 2. Du får nu følgende på skærmen: Max-fordeling Antal terninger: 2 Sandsynlighed Kumuleret sandsynlighed 1 1/36= /36= /36= /36= /36= /36= /36= /36= /36= /36= /36= /36= Middelværdi: 161/36 = Af oversigten kan vi til eksempel se at der er en sandsynlighed på 7/36 = for at max, det største øjental der forekommer i kastet, er 4. Vi ser også at sandsynligheden for at max er på 4 eller derunder, er 16/36 = Der er altså en sandsynlighed på ca.44% for at der ikke forekommer noget øjental større end 4 ved et kast med to terninger. Vi ser at i gennemsnit er max= Det største øjental ved kast med to terninger er altså i gennemsnit ca. 4½. Alle de oplysninger der findes i oversigterne under Fordelinger, kan du selv skaffe dig ved brug af Terning-programmet. Og de anførte middelværdier kan du derefter beregne ved hjælp af en lommeregner. Prøv selv. Lad Terning-programmet beregne sandsynlighederne for min, den mindste værdi der forekommer ved kast med to terninger: Lav lige som ved max en tabel over sandsynlighederne for øjentallene 1..6 og beregn derefter middelværdien. Kontroller ved hjælp af Fordelinger at du har regnet rigtigt. 23

27 9. Opgaver 1. En sekser Hvad er chancen for at slå mindst én sekser i et kast med tre terninger? 2. Femmer eller sekser Hvad er chancen for at få tre femmere eller tre seksere i et kast med fire terninger? 3. Du ganger øjentallene Du kaster med to terninger. Hvad er chancen for at de to øjental giver mindst 20 når de ganges sammen? 4. Sum højst 5 To terninger kastes. Hvad er chancen for at summen af øjentallene bliver højst 5? 5. Sum mindst 10 To terninger kastes. Hvad er chancen for at summen af øjentallene bliver mindst 10? 6. Sum 7 eller 8 To terninger kastes. Hvad er chancen for at summen af øjentallene bliver 7 eller 8? 7. Seksere To terninger kastes. Hvad er chancen for at ingen af terningerne viser 6? 8. Bredde på 4 I et spil hvor man kaster med to terninger er der gevinst hvis forskellen mellem de to terningers øjental er 4. Hvad er chancen for gevinst i spillet? 24

28 9. To seksere Hvad er chancen for at få to og kun to seksere i et kast med tre terninger? 10. To seksere igen Hvad er chancen for at få to og kun to seksere i et kast med fire terninger? 11. Ventetid på to ens Vi kaster med to terninger. Find ved hjælp af Ventetid hvad chancen er for et kast med to ens i løbet af de første tre kast. Og i de første fem kast. 12. Et spil Vi kaster med to terninger. Når vi skal have en brik i spil, skal vi opnå en sekser eller en femmer. Find ved hjælp af Ventetid hvad chancen er for at vi kan nøjes med at udføre tre kast. Og fem kast. Og hvad er risikoen for at vi skal udføre mere end 10 kast? 13. Kvik-Ludo I Kvik-Ludo kaster man med to terninger og får en brik i spil når én eller begge terninger viser 6. Find ved hjælp af Ventetid hvad chancen er for at vi kan nøjes med at udføre tre kast. Og fem kast. Og hvad er risikoen for at vi skal udføre mere end 10 kast? eller 234 Tre terninger kastes. Hvad er chancen for at de viser 123 eller 234? 15. Et produkt på 120 eller mere I et spil kaster man med tre terninger og ganger de tre øjental sammen. Der er gevinst hvis man opnår et resultat på mindst 120. Hvad er chancen for gevinst? 25

29 16. En trøstpræmie I spillet fra foregående opgave er der en trøstpræmie til den der opnår resultatet 3 eller 4 når øjentallene ganges sammen. Hvad er chancen for en trøstpræmie? 17. Hverken 5 eller 6 Tre terninger kastes. Hvad er chancen for at ingen af dem viser 5 eller 6? 18. To betingelser To terninger kastes. Hvad er chancen for at øjentallene er forskellige og at det største er mindst 4? 19. Et spil I et spil kastes to terninger. Der er gevinst i spillet hvis mindst en af terningerne viser 6 eller hvis summen af øjentallene er mindst 9. Hvad er chancen for gevist? 20. Ulige produkt To terninger kastes. Hvad er chancen for at produktet af øjentallene er et ulige tal? 21. Ulige produkt igen Løs den foregående opgave for kast med tre terninger. Angiv derefter chancen for at produktet er et lige tal. 22. Ulige sum To terninger kastes. Hvad er chancen for at summen af øjentallene er et ulige tal? 23. Variation på 2 Der kastes med fem terninger. Hvad er chancen for at de fem terninger viser to - og kun to - forskellige øjental? 24. Variation på 3 Der kastes med fem terninger. Hvad er chancen for de fem terninger viser tre forskellige øjental? 26

30 25. Pokerterning: Tre ens Der kastes med fem terninger. Hvad er chancen for at få Tre ens: Tre terninger viser samme øjental, de to andre terninger viser to andre indbyrdes forskellige øjental. 26. Pokerterning: Fuldt hus Der kastes med fem terninger. Hvad er chancen for Fuldt hus: Tre terninger viser ét øjental, de to andre terninger viser ét andet øjental. 27. Pokerterning: To par Der kastes med fem terninger. Hvad er chancen for To par: To terninger viser ét øjental, to andre terninger viser ét andet øjental, den sidste terning viser et tredje øjental. 28. Pokerterning: Et par Der kastes med fem terninger. Hvad er chancen for Et par: To terninger viser samme øjental, de tre andre terninger viser tre andre indbyrdes forskellige øjental. 29. Pokerterning: Fem ens Der kastes med fem terninger. Hvad er chancen for at alle fem terninger viser samme øjental? 30. Pokerterning: Stribe Der kastes med fem terninger. Hvad er chancen for Stribe: dvs. at terningerne viser eller Pokerterning: Nix Der kastes med fem terninger. Hvad er chancen for Nix: Fem forskellige øjental uden at der er tale om Stribe. 32. Kast med seks terninger Vi ser på følgende hændelser: Tre par, fx To gange tre ens, fx Fire ens plus to ens, fx

31 Alle seks: Hvilken af disse hændelser har den største sandsynlighed og hvilken den mindste? Gæt, og kontroller dit gæt ved brug af Terning-programmet. 33. En situation fra Backgammon Her kastes med to terninger. En spiller skal opnå mindst én 4'er eller en øjentalsum på 4 eller kasteresultatet 11. Hvad er chancen for et gunstigt kast? 34. Backgammon igen Spilleren fra foregående opgave skal nu opnå mindst én 6'er eller en sum på 6 eller kasteresultatet 22. Hvad er chancen for at det lykkes? 35. Spillet "Skib-Kaptajn-Styrmand" Der kastes med fem terninger. Beregn chancen for hver af følgende tre hændelser: (a) Der forekommer øjentallene 6, 5 og 4 (b) Der forekommer øjentallene 6 og 5, men ikke 4 (c) Der forekommer øjentallet 6, men ikke Mindst én sekser Der kastes med seks terninger. Hvad er chancen for mindst én sekser? Og hvad er chancen når der kastes med fem terninger, med fire terninger, med tre terninger og med to terninger? 37. Største øjental er 5 Der kastes med seks terninger. Hvad er chancen for at det største øjental der forekommer, er 5? Og hvad er chancen når der kastes med fem terninger, med fire terninger, med tre terninger og med to terninger? 28

32 38. Sum af øjental Der kastes med tre terninger. Opstil en tabel over chancen for de mulige øjentalsummer, fra 3 til Vi venter på hændelsen I et spil med tre spillere kaster hver spiller en terning. Hvis to terninger viser ens og den tredje terning viser noget andet, har den tredje spiller vundet. Hvad er chancen for at man finder en vinder i det første spil? Hvad er chancen for at man finder en vinder i løbet af de første tre spil? Hvad er chancen for at man må bruge mere end fem spil for at finde en vinder? 40. Nu med fire spillere Spillet fra foregående opgave udføres nu med fire spillere som hver kaster en terning. En vinder er fundet når tre terninger viser ens og den fjerde terning viser noget andet. Hvad er chancen for at der må spilles mere end fem spil for at finde en vinder? Og mere end ti spil? 41. Kast med fem terninger Hvad er chancen for følgende fem hændelser: (a) Der opnås øjentallet 1, men ikke 2. (b) Der opnås 1 og 2, men ikke 3. (c) Der opnås 1, 2 og 3, men ikke 4. (d) Der opnås 1, 2, 3,og 4, men ikke 5 (e) Der opnås 1, 2, 3, 4 og Et spil med tre terninger I spillet er der følgende vinderkast: Tre ens, Stribe: 123, Stribe: 456 og To ens. Hvad er chancen for et vinderkast? 43. Endnu et spil med tre terninger Her er vinderkastene: To ens, Tre ens, Øjentalsum på 13. Hvad er chancen for et vinderkast? 29

33 44. Over 10, men ikke Tre ens I et terningspil kastes med tre terninger. En spiller vinder hvis han får en øjentalsum på over 10, dog vinder han ikke hvis terningerne viser Tre ens. Hvad er spillerens vinderchance? 45. Hvilken øjentalsum? I et kast med to terninger er det en øjentalsum på 7 der har størst sandsynlighed. Kontroller det! Hvilken øjentalsum har størst sandsynlighed i et kast med tre terninger? Med fire terninger? Med fem terninger? Og med seks terninger? 46. Har han ret? En berømt matematiker sagde i 1714: Ved kast med to terninger har øjentalsummen 11 og øjentalsummen 12 samme chance for at forekomme. De forekommer nemlig begge ved ét kasteresultat: Henholdsvis 56 og 66. Afgør om han har ret. 47. En-to-tre Der kastes med tre terninger. Der er følgende regler for gevinst: Hvis øjentallene 1, 2 og 3 forekommer: 100 kr. Hvis øjentallene 1 og 2 forekommer, men ikke 3: 20 kr. Hvis øjentallet 1 forekommer, men ikke 2: 10 kr. Beregn chancen for hver af de tre gevinster. 48. Bredde. To terninger Der kastes med to terninger. Forskellen mellem de to terningers øjental kan være 0,1,2,3,4 eller 5. Beregn hvilken forskel der har størst sandsynlighed. 49. Bredde. Nu med tre terninger Der kastes tre terninger, og vi undersøger forskellen mellem det største og det mindste øjental der forekommer. Beregn ligesom i den foregående opgave hvilken forskel der har størst sandsynlighed. 30

34 50. Øjentalsum 4 Hvad har størst sandsynlighed: At få mindst 8 ved kast med to terninger, at få mindst 12 ved kast med tre terninger, eller at få mindst 20 ved kast med fem terninger? Gæt og beregn. 51. To eller tre terninger? Hvad har størst sandsynlighed: At få en øjentalsum på 9 ved kast med to terninger eller ved kast med tre terninger? 52. Delelig med 6 Kast med tre terninger. Hvad er chancen for at øjentalsummen er delelig med 6? 53. Delelig med 3 Kast med tre terninger. Hvad er chancen for at øjentalsummen er delelig med 3? 54. Et spil mellem to Vælg mellem følgende: Der kastes to terninger og du vinder ved øjentalsum 5, eller der kastes med tre terninger og du vinder ved øjentalsum 10. Hvad vælger du? 55. Øjentalsum 14 ved tre eller fem terninger Du vinder ved øjentalsum 14. Hvor er chancen størst: Ved kast med tre terninger eller ved kast med fem terninger? 56. Øjentalsum 15 ved tre eller fem terninger Du vinder ved øjentalsum 15. Hvor er chancen størst: Ved kast med tre terninger eller ved kast med fem terninger? 57. Mere end dobbelt så stort Der kastes to terninger. Hvad er chancen for at det ene øjental er mere end dobbelt så stort som det andet? 58. Mindst dobbelt så stor Kast med to terninger. Hvad er chancen for at det ene øjental er mindst dobbelt så stort som det andet? 31

35 59. Netop dobbelt så stor Der kastes to terninger. Hvad er chancen for at det største øjental er præcis dobbelt så stor som det mindste? 60. Og nu med tre terninger Gentag beregningen fra foregående opgave når der kastes med tre terninger. 61. Tre gange så stort Der kastes med to terninger. Hvad er chancen for at det største øjental er præcis tre gange så stort som det mindste. 62. Samspil mellem to hændelser Vi kaster med tre terninger. Undersøg samspillet mellem hændelserne A og B: A: xxy B: 12 Undersøg også om de to hændelser styrker eller svækker hinanden. 63. Samspil mellem to hændelser Vi kaster med tre terninger. Undersøg samspillet mellem hændelserne A og B: A: xx B: Øjentalsum under 8 Undersøg også om de to hændelser styrker eller svækker hinanden. 64. Uafhængige hændelser Vi kaster med tre terninger og ser på hændelserne A og B: A: xx B: Øjentalsum over 10 Gør rede for at A og B er uafhængige hændelser. 32

36 65. Når P(B-A) = 0 Der kastes med tre terninger. Undersøg samspillet mellem hændelserne A og B: A: xx B: Variation 2 Styrker eller svækker de to hændelser hinanden? 66. Max og Variation Der kastes med tre terninger. Undersøg samspillet mellem de to hændelser A og B: A: Max = 6 B: Variation = 3 Styrker eller svækker de to hændelser hinanden? 67. Hvad er chancen for en sum på 12? Der kastes med tre terninger. Hvad er chancen for en øjentalsum på 12? Hvad er chancen for en øjentalsum på 12 når det vides at mindst én af terningerne viser 4? 68. Hvad er chancen for 6? Der kastes med tre terninger. Hvad er chancen for at mindst en af terningerne viser 6 når det vides at øjentalsummen er 12? 69. Chancen for Fuldt Hus Der kastes med fem terninger. Hvad er chancen for Fuldt Hus (se opgave 26) når det vides at øjentalsummen er 24? Hvilken øjentalsum giver størst chance for Fuldt Hus? 33

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side VisiRegn ideer 3 Talrækker Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Talrækker 2-4 Elevaktiviteter til Talrækker 3.1 Talrækker (1) M-Æ 5-9 3.2 Hanoi-spillet

Læs mere

Brøk Laboratorium. Varenummer 72 2459

Brøk Laboratorium. Varenummer 72 2459 Brøk Laboratorium Varenummer 72 2459 Leg og Lær om brøker Brøkbrikkerne i holderen giver brugeren mulighed for at sammenligne forskellige brøker. Brøkerne er illustreret af cirkelstykker som sammenlagt

Læs mere

Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9.

Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9. Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9. klassetrin: statistisk sandsynlighed, kombinatorisk sandsynlighed og personlig

Læs mere

Regnetest B: Praktisk regning. Træn og Test. Niveau: 9. klasse. Med brug af lommeregner

Regnetest B: Praktisk regning. Træn og Test. Niveau: 9. klasse. Med brug af lommeregner Regnetest B: Praktisk regning Træn og Test Niveau: 9. klasse Med brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag Et forskningsprogram

Læs mere

Grundlæggende færdigheder

Grundlæggende færdigheder Regnetest A: Grundlæggende færdigheder Træn og Test Niveau: 7. klasse Uden brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag

Læs mere

Spil banko. Spil lotto. Række 3. Række 1. Antal rigtige: Række 4. Række 2. skrives tallene på lottokuponen og antallet af rigtige noteres.

Spil banko. Spil lotto. Række 3. Række 1. Antal rigtige: Række 4. Række 2. skrives tallene på lottokuponen og antallet af rigtige noteres. 14 Spil banko 1 5 6 10 11 15 16 20 21 25 26 30 1 5 6 10 11 15 16 20 21 25 26 30 15 Spil lotto Række 1 Række 2 Tal i hverdagen 14. Udfyld de hvide felter på bankopladerne med tal fra 1-30. Har man et af

Læs mere

LEKTION 22 FARVEBEHANDLING

LEKTION 22 FARVEBEHANDLING LEKTION 22 FARVEBEHANDLING I hvert eneste spil skal man som spilfører tage stilling til, hvordan samtlige fire farver skal spilles. Derfor er dette et vigtigt område i selve spilføringen. Mange kombinationer

Læs mere

T A L K U N N E N. Datasæt i samspil. Krydstabeller Grafer Mærketal. INFA Matematik - 1999. Allan C

T A L K U N N E N. Datasæt i samspil. Krydstabeller Grafer Mærketal. INFA Matematik - 1999. Allan C T A L K U N N E N 3 Allan C Allan C.. Malmberg Datasæt i samspil Krydstabeller Grafer Mærketal INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag Et

Læs mere

Ligeværdige udtryk. Aktivitet Emne Klassetrin Side. Vejledning til Ligeværdige udtryk 2

Ligeværdige udtryk. Aktivitet Emne Klassetrin Side. Vejledning til Ligeværdige udtryk 2 VisiRegn ideer 4 Ligeværdige udtryk Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Ligeværdige udtryk 2 Elevaktiviteter til Ligeværdige udtryk 4.1 Ligeværdige

Læs mere

JEANNETTE STEEN CAMILLA SIMONSEN BRUG LÅGET. i matematik. Taktile materialer

JEANNETTE STEEN CAMILLA SIMONSEN BRUG LÅGET. i matematik. Taktile materialer JEANNETTE STEEN CAMILLA SIMONSEN BRUG LÅGET i matematik Taktile materialer Jeannette Steen og Camilla Simonsen BRUG LÅGET i matematik Taktile materialer Jeannette Steen og Camilla Simonsen Brug låget i

Læs mere

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter

Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Taldata 1. Chancer gennem eksperimenter Indhold 1. Kast med to terninger 2. Et pindediagram 3. Sumtabel 4. Median og kvartiler 5. Et trappediagram 6. Gennemsnit 7. En statistik 8. Anvendelse af edb 9.

Læs mere

Sandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder

Sandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder En sandsynlighed er et kvantitativt mål for usikkerhed et mål der udtrykker styrken af vores tro på forekomsten

Læs mere

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,

Læs mere

Først falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr. Der er 91 dage mellem datoerne, svarende til 13 uger.

Først falder den med 20% af 100 = 20 kr, dernæst stiger den med 30% af 80 = 24 kr. Der er 91 dage mellem datoerne, svarende til 13 uger. ud af deltagere må være børn, da der er dobbelt så mange børn som voksne. Derfor er der i alt børn med på skovturen. ud af børn må være piger, da der er dobbelt så mange piger som drenge. Det vil sige,

Læs mere

SANDSYNLIGHED FACIT SIDE 154-155

SANDSYNLIGHED FACIT SIDE 154-155 SIDE 154-155 Opgave 1 A. Data (x) h(x) f(x) 2 1 0,042 3 3 0,125 4 6 0,25 5 3 0,125 6 4 0,16 7 1 0,042 8 2 0,0833 9 1 0,042 10 2 0,0833 11 1 0,042 B. C. Diagrammet (et søjlediagram) er lavet ud fra hyppigheden,

Læs mere

Allan C. Malmberg CHANCE OG RISIKO. Kan det virkelig passe?

Allan C. Malmberg CHANCE OG RISIKO. Kan det virkelig passe? Allan C. Malmberg CHANCE OG RISIKO Kan det virkelig passe? INFA 2006 Allan C. Malmberg CHANCE OG RISIKO Kan det virkelig passe? Faglige udfordringer med løsninger INFA 2006 Seneste publikationer af samme

Læs mere

matematik grundbog trin 1 Demo preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1

matematik grundbog trin 1 Demo preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 33 matematik grundbog trin 1 Demo preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 matematik grundbog trin 1 Demo-udgave 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering og udskrift af denne bog er

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Tip til 1. runde af Kombinatorik Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man tæller et antal kombinationer på en smart måde,

Læs mere

Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)

Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition) Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)

Læs mere

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul

for gymnasiet og hf 2016 Karsten Juul for gymnasiet og hf 75 50 5 016 Karsten Juul Statistik for gymnasiet og hf Ä 016 Karsten Juul 4/1-016 Nyeste version af dette håfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm HÅftet mç benyttes i undervisningen

Læs mere

Tal, funktioner og grænseværdi

Tal, funktioner og grænseværdi Tal, funktioner og grænseværdi Skriv færdig-eksempler der kan udgøre en væsentlig del af et forløb der skal give indsigt vedrørende begrebet grænseværdi og nogle nødvendige forudsætninger om tal og funktioner

Læs mere

Kombinatorik. Eksempel 2: En mand har 7 par bukser og 10 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 10. 7=70 mulige valg.

Kombinatorik. Eksempel 2: En mand har 7 par bukser og 10 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 10. 7=70 mulige valg. Noter til Biomat, 005. Kombinatorik. - eller kunsten at tælle. Alle tal i kombinatorik-afsnittet er hele og ikke-negative. Additionsprincippet enten - eller : Antag vi enten skal lave et valg med m muligheder

Læs mere

Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed

Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Tilfældighed Hvor tilfældige kan vi være? I skemaet ved siden af skal du sætte 0 er og 1-taller, ét tal i hvert felt. Der er 50 felter. Du skal prøve at

Læs mere

Allan C. Malmberg LÆR OM CHANCER! Sanne og Malene går på opdagelse med computeren

Allan C. Malmberg LÆR OM CHANCER! Sanne og Malene går på opdagelse med computeren Allan C. Malmberg LÆR OM CHANCER! Sanne og Malene går på opdagelse med computeren INFA 2005 Forord Denne INFA-publikation giver en indføring i arbejdet med begreber fra sandsynlighedernes verden. Den henvender

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1. Diskret matematik.

Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1. Diskret matematik. Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1 1 Paritet Diskret matematik. I mange matematikopgaver er det en god ide at se på paritet dvs. hvornår en bestemt størrelse er henholdsvis lige

Læs mere

Spil. Chancer gennem tællemetoder. Chancelære: MI 82 INF. INFA-Chancelæreserien:

Spil. Chancer gennem tællemetoder. Chancelære: MI 82 INF. INFA-Chancelæreserien: INFA-Chancelæreserien: Chancer gennem eksperimenter Chancer gennem optællinger CHANCETRÆ - Chancer gennem beregninger SPIL - Chancer gennem tællemetoder LOD - Chancer gennem simuleringer KUGLE - Chancer

Læs mere

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit

Læs mere

c) For, er, hvorefter. Forklar.

c) For, er, hvorefter. Forklar. 1 af 13 MATEMATIK B hhx Udskriv siden FACITLISTE TIL KAPITEL 7 ØVELSER ØVELSE 1 c) ØVELSE 2 og. Forklar. c) For, er, hvorefter. Forklar. ØVELSE 3 c) ØVELSE 4 90 % konfidensinterval: 99 % konfidensinterval:

Læs mere

Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord

Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord Simulation af χ 2 - fordeling John Andersen Introduktion En dag kastede jeg 60 terninger Fig. 1 Billede af de 60 terninger på mit skrivebord For at danne mig et billede af hyppighederne flyttede jeg rundt

Læs mere

for matematik pä B-niveau i hf

for matematik pä B-niveau i hf for matematik pä B-niveau i hf 75 50 5 016 Karsten Juul GRUPPEREDE DATA 1.1 Hvad er deskriptiv statistik?...1 1. Hvad er grupperede og ugrupperede data?...1 1.1 Eksempel pä ugrupperede data...1 1. Eksempel

Læs mere

Fyld en mængde genstande i en ikke gennemsigtig beholder. Man skal nu gætte to ting:

Fyld en mængde genstande i en ikke gennemsigtig beholder. Man skal nu gætte to ting: Tidlig matematik, Workshop 10. februar 2016 Aktiviteter Hvad er matematik? Gæt hvor mange og hvad Fyld en mængde genstande i en ikke gennemsigtig beholder. Man skal nu gætte to ting: Hvad er i beholderen?

Læs mere

Nanostatistik: Stokastisk variabel

Nanostatistik: Stokastisk variabel Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/29 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser

Læs mere

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1

Statistik. Peter Sørensen: Statistik og sandsynlighed Side 1 Statistik Formålet... 1 Mindsteværdi... 1 Størsteværdi... 1 Ikke grupperede observationer... 2 Median og kvartiler defineres ved ikke grupperede observationer således:... 2 Middeltal defineres ved ikke

Læs mere

Vedledning i brugen af regnearksmodel til Beregning af indtjening fra planteavl

Vedledning i brugen af regnearksmodel til Beregning af indtjening fra planteavl Vedledning i brugen af regnearksmodel til Beregning af indtjening fra planteavl Indhold Koncept... 1 Indtastningsfelter... 3 Bedriftsoplysninger... 3 Anvender du maskinstation?... 3 Har du ledig arbejdstid?...

Læs mere

SMK menuen 8.1 8. SMK STATISTISK MÅLERKONTROL

SMK menuen 8.1 8. SMK STATISTISK MÅLERKONTROL SMK menuen 8.1 8. SMK STATISTISK MÅLERKONTROL Rambøll SMK administrerer kravene til kontrol af vandmålere i drift. Fra d. 1. februar år 2000 skal vandværkets forbrugsmålere inddeles i partier med ensartede

Læs mere

Regneark II Calc Open Office

Regneark II Calc Open Office Side 1 af 10 Gangetabel... 2 Udfyldning... 2 Opbygning af gangetabellen... 3 Cellestørrelser... 4 Øveark... 4 Facitliste... 6 Sideopsætning... 7 Flytte celler... 7 Højrejustering... 7 Kalender... 8 Dage

Læs mere

http://192.168.1.217/www.nelostuote.fi/tanska/discoveryregler.html

http://192.168.1.217/www.nelostuote.fi/tanska/discoveryregler.html 1 / 10 25.6.2008 9:03 2 / 10 25.6.2008 9:03 Indhold 2 kort (spilleplader), 2 plastikfolier (benyttes til at lægge over kortet), 1 tjekometer, 28 tjekometer kort, 18 udrustningskort, 210 terræn brikker,

Læs mere

TRIX. Træningshæfte 2 FACITLISTE. Side 1. Side 2 Side 3. FACIT, side 1-3 Trix, Træningshæfte 2 Alinea. Byg og tegn

TRIX. Træningshæfte 2 FACITLISTE. Side 1. Side 2 Side 3. FACIT, side 1-3 Trix, Træningshæfte 2 Alinea. Byg og tegn TRIX Træningshæfte Side J a o u - - - - - - e t u r i g v b n Fra oven p FACITLISTE Forfra Fra siden Jubii Side Side Femkanter Veksle mønter Farv rødt Farv gult Jubii Positionssystemet Øverst: Eksperimenter

Læs mere

Årsplan for matematik 2.b (HSØ)

Årsplan for matematik 2.b (HSØ) Årsplan for matematik 2.b (HSØ) Bøger, supplerende materiale og andet relevant I undervisningen bruger vi Kolorit. Der suppleres med kopiark fra den tilhørende kopimappe + andre kopiark, som passer til

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

Betjeningsvejledning. for. UniRace

Betjeningsvejledning. for. UniRace Betjeningsvejledning for UniRace 2007 Et konkurrence indtastningsprogram. Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... 2 Figur fortegnelse... 3 Indledning... 4 Race info... 4 Indtastning af deltagere...

Læs mere

Simulering af stokastiske fænomener med Excel

Simulering af stokastiske fænomener med Excel Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen

Læs mere

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Inst f. Matematiske Fag Omfang: 8 Kursusgang I fremtiden

Læs mere

GUX-2013. Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 2

GUX-2013. Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt 2 GUX-01 Matematik Niveau B prøveform b Vejledende sæt Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål. Besvarelsen af denne delprøve

Læs mere

Lille Georgs julekalender 2010. 1. december

Lille Georgs julekalender 2010. 1. december 1. december I hver af de øverste bokse skal der skrives et af tallene 1, 2, 3,..., 9. Alle tre tal skal være forskellige. I de næste bokse skrives de tal der fremkommer ved at man lægger sammen som vist.

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser

Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Hvad er meningen? Et forløb om opinionsundersøgelser Jette Rygaard Poulsen, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Hans Vestergaard, Frederikshavn Gymnasium og HF-kursus Søren Lundbye-Christensen, AAU 17-10-2004

Læs mere

Øvelser ved start på bevægelsesaktivitet

Øvelser ved start på bevægelsesaktivitet EKSTRA ØVELSER Bevægelsesaktiviteter i salen Bilag 1 Øvelser ved start på bevægelsesaktivitet Gå rundt i salen mellem hinanden i rask gang (musik). Stop musikken og spørg om deltagerne så hinanden hvad

Læs mere

Brugermanual til NaboLink enhederne: BaseLink V02 KeyLink V02 AlarmLink V02 Revision 16.03.2016. Indholdsfortegnelse:

Brugermanual til NaboLink enhederne: BaseLink V02 KeyLink V02 AlarmLink V02 Revision 16.03.2016. Indholdsfortegnelse: Brugermanual til NaboLink enhederne: Indholdsfortegnelse: BaseLink V02 KeyLink V02 AlarmLink V02 Revision 16.03.2016 1 Side 1. Standard sæt indeholder.... 2 2. AlarmLink indeholder.... 2 3. Udvidet sæt

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Vejledning: Anvendelse af kuber på SLS-data fra LDV i Excel 2007. Målgruppe: Slutbruger

Vejledning: Anvendelse af kuber på SLS-data fra LDV i Excel 2007. Målgruppe: Slutbruger Vejledning: Anvendelse af kuber på SLS-data fra LDV i Excel 2007. Målgruppe: Slutbruger April 2015 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... 2 1 Indledning... 3 1.1 Metode til anvendelse af kuber med

Læs mere

Guide til din private side på Netstambogen www.lgancce.com

Guide til din private side på Netstambogen www.lgancce.com Guide til din private side på Netstambogen www.lgancce.com Når du slår Netstambogen op på Internettet, får du dette billede: For dem, der ikke er velbevandret i spansk, så kan man vælge den engelske udgave.

Læs mere

for matematik pä B-niveau i hf

for matematik pä B-niveau i hf for matematik pä B-niveau i hf 014 Karsten Juul TEST 1 StikprÅver... 1 1.1 Hvad er populationen?... 1 1. Hvad er stikpråven?... 1 1.3 Systematiske fejl ved valg af stikpråven.... 1 1.4 TilfÇldige fejl

Læs mere

Matematik og magi. eller Næste stop Las Vegas. 14 Anvendt matematik. Rasmus Sylvester Bryder

Matematik og magi. eller Næste stop Las Vegas. 14 Anvendt matematik. Rasmus Sylvester Bryder 14 Anvendt matematik Matematik og magi eller Næste stop Las Vegas Rasmus Sylvester Bryder Da jeg var mindre, morede jeg mig ofte når min halvfætter Casper viste mig korttricks. Det trick han viste mig

Læs mere

Brugervejledning. People Software Solutions Ltd. Version: 2011.1.24

Brugervejledning. People Software Solutions Ltd. Version: 2011.1.24 Brugervejledning People Software Solutions Ltd. Version: 2011.1.24 1 Start programmet Isæt USB-nøglen i et ledigt USB-stik på computeren. Klik på: Klik på ikonet, når mappen på USB-nøglen er åbnet. Skulle

Læs mere

Sjov med pizza-stykker

Sjov med pizza-stykker Sjov med pizza-stykker Første gang eleverne får materialet i hånden, bør de have tid til selv at undersøge det, så de bliver fortrolige med de forskellige dele. Det kan også være en god idé at lade eleverne

Læs mere

Faglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1

Faglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1 Faglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1 Faglige delmål for matematik i 1. og 2. klasse. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne efter 2. klasse har tilegnet sig kundskaber og færdigheder,

Læs mere

HåndOffice spiller ret og opret

HåndOffice spiller ret og opret HåndOffice spiller ret og opret For at kunne indtaste individuelle resultater for Liga og 1. divisions kampe skal spillere og officials være oprettet og placeret på et hold. Kvikguide. 1. Find Hold søg

Læs mere

Dokumentation af programmering i Python 2.75

Dokumentation af programmering i Python 2.75 Dokumentation af programmering i Python 2.75 Af: Alexander Bergendorff Jeg vil i dette dokument, dokumentere det arbejde jeg har lavet i løbet opstarts forløbet i Programmering C. Jeg vil forsøge, så vidt

Læs mere

Indholdsfortegnelse. 1. Installation af LØN... 1. 2. Introduktion til LØN... 2. 3. Indtastning af lønseddel... 7. 4. Udskrifter...

Indholdsfortegnelse. 1. Installation af LØN... 1. 2. Introduktion til LØN... 2. 3. Indtastning af lønseddel... 7. 4. Udskrifter... Løn til Windows Indholdsfortegnelse 1. Installation af LØN... 1 2. Introduktion til LØN... 2 2.1. Første start af LØN...2 2.1.1. Ét eller flere distrikter...2 2.1.2. Lønperioder...3 2.1.3. Kartoteker...4

Læs mere

Online-timeseddelregistrering

Online-timeseddelregistrering Online-timeseddelregistrering Denne vejledning giver dig et overblik over, hvordan du kommer i gang med at foretage registrering af dine timesedler i vores online-tidsregistreringssystem, som hedder AXP.

Læs mere

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

Lidt historisk om chancelære i grundskolen

Lidt historisk om chancelære i grundskolen Lidt historisk om chancelære i grundskolen 1976 1.-2.klassetrin Vejledende forslag til læseplan:.det tilstræbes endvidere at eleverne i et passende talmaterialer kan bestemme for eksempel det største tal,

Læs mere

1. Indholdsfortegnelse. 2. Landeopsætning. ClickLearn Bog October 4, 2010 NAV undervisning 1/15. SW-Tools ClickLearn Bog 10/4/2010 1/15

1. Indholdsfortegnelse. 2. Landeopsætning. ClickLearn Bog October 4, 2010 NAV undervisning 1/15. SW-Tools ClickLearn Bog 10/4/2010 1/15 NAV undervisning 1/15 1. Indholdsfortegnelse 1. Indholdsfortegnelse...1 2. Landeopsætning...1 3. Finansopsætning...2 4. Søgning efter debitor...5 4.1. Søgning efter debitor...6 4.2. Nyt i næste version...8

Læs mere

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema:

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema: Der er hjælp til opgaver med # og facit på side 6 1. Et eksperiment kan beskrives med følgende skema: u 1 2 3 4 5 P(u) 0,3 0,2 0,1 0,2 x Bestem x og sandsynligheden for at udfaldet er et lige tal.. 2.

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,

Læs mere

Indholdsfortegnelse resultat- & kritikprogrammet.

Indholdsfortegnelse resultat- & kritikprogrammet. Indholdsfortegnelse resultat- & kritikprogrammet. Ringsekretærers indtastning af resultater og kritikker... 2 Kom i gang Opstart af programmet... 2 En anden bruger er i gang med ringen... 3 Dommer ændringer

Læs mere

På alle områder er konklusionen klar: Der er en statistisk sammenhæng mellem forældre og børns forhold.

På alle områder er konklusionen klar: Der er en statistisk sammenhæng mellem forældre og børns forhold. Social arv 163 8. Social arv nes sociale forhold nedarves til deres børn Seks områder undersøges Der er en klar tendens til, at forældrenes sociale forhold "nedarves" til deres børn. Det betyder bl.a.,

Læs mere

F I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER MÅLSCORE I HÅNDBOLD G Y L D E N D A L

F I N N H. K R I S T I A N S E N KUGLE SIMULATIONER MÅLSCORE I HÅNDBOLD G Y L D E N D A L RÆSONNEMENT & 1BE V I S F I N N H. K R I S T I A N S E N GNING 2 EGNEARK KUGLE 5 MÅLING SIMULATIONER 3 G Y L D E N D A L MÅLSCORE I HÅNDBOLD Faglige mål: Håndtere simple modeller til beskrivelse af sammenhænge

Læs mere

Lille Georgs julekalender 06. 1. december

Lille Georgs julekalender 06. 1. december 1. december Hvad skal der stå på den tomme plads? 11001-10101 - 10011 10111-11011 - 11101 11000-10100 - Svar: 10010 Forklaring: Ydercifrene forbliver de samme. Ciffer nr. rykker mød højre ved først at

Læs mere

2. Christian den Fjerde. Årsplan 2015 2016 (Matematik PHO) Elevbog s. 2-11

2. Christian den Fjerde. Årsplan 2015 2016 (Matematik PHO) Elevbog s. 2-11 Lærer. Pernille Holst Overgaard Lærebogsmateriale. Format 2 Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 33-36 Elevbog s. 2-11 Additions måder. Vi kende forskellige måder at Addition arbejder med addition

Læs mere

Lokal rapport Næsbjerg Skole - Forældre til elever i 0.-9. klasse - 2014. Side 1 ud af 16 sider

Lokal rapport Næsbjerg Skole - Forældre til elever i 0.-9. klasse - 2014. Side 1 ud af 16 sider Side 1 ud af 16 sider INDHOLDSFORTEGNELSE FORORD... 3 RAPPORTENS OPBYGNING... 4 DEN SAMLEDE TILFREDSHED... 5 DE FEM HØJESTE OG DE FEM LAVESTE VURDERINGER... 6 STØRSTE FORSKELLE FRA KOMMUNENS GENNEMSNIT...

Læs mere

LINEÆR PROGRAMMERING I EXCEL

LINEÆR PROGRAMMERING I EXCEL LINEÆR PROGRAMMERING I EXCEL K A P P E N D I X I lærebogens kapitel 29 afsnit 3 er det med 2 eksempler blevet vist, hvordan kapacitetsstyringen kan optimeres, når der er 2 produktionsmuligheder og flere

Læs mere

Matematik på Humlebæk lille Skole

Matematik på Humlebæk lille Skole Matematik på Humlebæk lille Skole Matematikundervisningen på HLS er i overensstemmelse med Undervisningsministeriets Fælles Mål, dog med få justeringer som passer til vores skoles struktur. Det betyder

Læs mere

Ansættelse af ny medarbejder - Månedsløn

Ansættelse af ny medarbejder - Månedsløn Vejledning HR-centret 13.10.2014 Ansættelse af ny medarbejder - Månedsløn Ansættelse af fast medarbejder både indenfor og udenfor overenskomst og forhåndsaftale. Med indenfor overenskomst og forhåndsaftale

Læs mere

International matematikkonkurrence

International matematikkonkurrence Facit til demoopgaver for 6. og 7. klassetrin Navn og klasse 3 point pr. opgave Facit 1 Hvilken figur har netop halvdelen farvet? A B C D E 2 På min paraply fra Australien står der KANGAROO: Hvilket af

Læs mere

Manual til overføring af fotografier fra kamera til harddisk.

Manual til overføring af fotografier fra kamera til harddisk. Manual til overføring af fotografier fra kamera til harddisk. Det første man skal gøre sig klart er, hvor man som udgangspunkt vil lægge sine fotografier. Især når man er mange, der bruger den samme computer,

Læs mere

Mini AT-forløb om kommunalvalg: Mandatfordeling og Retfærdighed 1.x og 1.y 2009 ved Ringsted Gymnasium MANDATFORDELING

Mini AT-forløb om kommunalvalg: Mandatfordeling og Retfærdighed 1.x og 1.y 2009 ved Ringsted Gymnasium MANDATFORDELING MANDATFORDELING Dette materiale er lavet som supplement til Erik Vestergaards hjemmeside om samme emne. 1 http://www.matematiksider.dk/mandatfordelinger.html I dette materiale er en række øvelser der knytter

Læs mere

3 Usikkerhed og sandsynligheder

3 Usikkerhed og sandsynligheder 3 Usikkerhed og sandsynligheder De fleste samfundsvidenskabelige problemstillinger involverer usikkerhed. For at kunne analysere disse er det nødvendigt med en dybere forståelse af begrebet usikkerhed

Læs mere

FP9. 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet af en firkant.

FP9. 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet af en firkant. FP9 9.-klasseprøven Matematisk problemløsning December 2014 Et svarark er vedlagt til dette opgavesæt 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet

Læs mere

Maple 11 - Chi-i-anden test

Maple 11 - Chi-i-anden test Maple 11 - Chi-i-anden test Erik Vestergaard 2014 Indledning I dette dokument skal vi se hvordan Maple kan bruges til at løse opgaver indenfor χ 2 tests: χ 2 - Goodness of fit test samt χ 2 -uafhængighedstest.

Læs mere

Søren Christiansen 22.12.09

Søren Christiansen 22.12.09 1 2 Dette kompendie omhandler simpel brug af Excel til brug for simpel beregning, såsom mængde og pris beregning sammentælling mellem flere ark. Excel tilhører gruppen af programmer som samlet kaldes Microsoft

Læs mere

sådan gør du... [Joblog på Jobnet.dk]

sådan gør du... [Joblog på Jobnet.dk] [jobsøgende] sådan gør du... [Joblog på Jobnet.dk] Opret din joblog Joblog på Jobnet.dk Joblog er et værktøj, som hjælper dig med at dokumentere, organisere og målrette din jobsøgning. Med joblog får du

Læs mere

Ægtefællesammenføringsspillet version 1.0 Udarbejdet af Leoparddrengen, 2010

Ægtefællesammenføringsspillet version 1.0 Udarbejdet af Leoparddrengen, 2010 Ægtefællesammenføringsspillet version 1.0 Udarbejdet af Leoparddrengen, 010 Der skal bruges: En udprintet spilleplade Sagsmarkører kan være hvad som helst, bare unik for hver spiller En blok og kuglepen

Læs mere

FP9. 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet af en firkant.

FP9. 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet af en firkant. FP9 9.-klasseprøven Matematisk problemløsning December 2014 Et svarark er vedlagt til dette opgavesæt 1 Esters fritidsjob 2 Katrine maler 3 Backgammon 4 Halvmaratonløb 5 Babyloniernes formel for arealet

Læs mere

Tjek. lønnen. Et værktøj til at undersøge ligeløn på arbejdspladser inden for det grønne område og transportsektoren. 2007 udgave Varenr.

Tjek. lønnen. Et værktøj til at undersøge ligeløn på arbejdspladser inden for det grønne område og transportsektoren. 2007 udgave Varenr. Tjek lønnen Et værktøj til at undersøge ligeløn på arbejdspladser inden for det grønne område og transportsektoren 2007 udgave Varenr. 7522 Indholdsfortegnelse Forord... 3 Teknisk introduktion... 4 Indledning...

Læs mere

Henkastet affald. Undervisningsforløb. Natur/Teknik 3. 6. klasse

Henkastet affald. Undervisningsforløb. Natur/Teknik 3. 6. klasse Henkastet affald Undervisningsforløb Natur/Teknik 3. 6. klasse Side 1 af 30 Første lektion ca. 90 min. Undervisningsrummet Træningsrummet Studierummet Som indledning tales der med eleverne om, hvad affald

Læs mere

April 2016. Højtuddannede i små og mellemstore virksomheder. Indhold

April 2016. Højtuddannede i små og mellemstore virksomheder. Indhold April 2016 Højtuddannede i små og mellemstore virksomheder Indhold Opsummering...2 Metode...2 Højtuddannede i små og mellemstore virksomheder...3 Ansættelse af studerende... 10 Tilskudsordninger... 11

Læs mere

TDC HomeBox til dig med bredbånd og bredbåndstelefoni. Installationsvejledning

TDC HomeBox til dig med bredbånd og bredbåndstelefoni. Installationsvejledning til dig med bredbånd og bredbåndstelefoni Installationsvejledning Velkommen til en verden af muligheder Indholdsfortegnelse Du har bestilt et nyt produkt hos. I den forbindelse har du fået tilsendt en.

Læs mere

Ligninger... 1 Funktioner & modeller... 3 Regression... 6 Sjove opgaver... 7

Ligninger... 1 Funktioner & modeller... 3 Regression... 6 Sjove opgaver... 7 Træningsopgaver 1 Indhold Ligninger... 1 Funktioner & modeller... 3 Regression... 6 Sjove opgaver... 7 Ligninger Opgave L0) Opgave L1) Opgave L2) a) 2x 5 5x 7 b) 3x 7 3x 11 c) 3 (2x 3) 2( x 1) d) En funktion

Læs mere

CANASTAKLUBBEN. stiftet 20. januar 1995. For at fremme kammeratlig sammenvær og hygge, for klubbens medlemmer og ikke mindst deres børn.

CANASTAKLUBBEN. stiftet 20. januar 1995. For at fremme kammeratlig sammenvær og hygge, for klubbens medlemmer og ikke mindst deres børn. CANASTAKLUBBEN stiftet 20. januar 1995 For at fremme kammeratlig sammenvær og hygge, for klubbens medlemmer og ikke mindst deres børn. Canasta er et ungt spil, hvori man finder ideer fra flere kortspil.

Læs mere

TDC HomeBox til dig med fastnet og bredbånd. Installationsvejledning

TDC HomeBox til dig med fastnet og bredbånd. Installationsvejledning TDC HomeBox til dig med fastnet og bredbånd Installationsvejledning Velkommen til en verden af muligheder Du har bestilt et nyt produkt hos TDC. I den forbindelse har du fået tilsendt en TDC HomeBox. TDC

Læs mere

Foreningsmanual til ansøgning om sæsontider i offentlige lokaler.

Foreningsmanual til ansøgning om sæsontider i offentlige lokaler. Foreningsmanual til ansøgning om sæsontider i offentlige lokaler. Foreninger, der er godkendt som folkeoplysende foreninger og er hjemmehørende i Greve Kommune samt offentlige institutioner, kan ansøge

Læs mere

Indholdsfortegnelse. Indhold

Indholdsfortegnelse. Indhold Indholdsfortegnelse Indhold Login... 2 Registrér komme / gå tider... 4 Flere arbejdsperioder på samme dag?... 5 Frokostpause / ret Frokostpause... 7 Sletning... 8 Afslut måned... 9 Godkendte/afviste måneder...

Læs mere

Beregn gennemsnitlig BMI

Beregn gennemsnitlig BMI Beregn gennemsnitlig BMI I denne vejledning kigges på hvordan man beregner den gennemsnitlige BMI ved operation. Data til dette findes i dataudtræk fra Skema 1A eller dataudtræk med data fra alle skemaer.

Læs mere

Besvarelse af opgavesættet ved Reeksamen forår 2008

Besvarelse af opgavesættet ved Reeksamen forår 2008 Besvarelse af opgavesættet ved Reeksamen forår 2008 10. marts 2008 1. Angiv formål med undersøgelsen. Beskriv kort hvordan cases og kontroller er udvalgt. Vurder om kontrolgruppen i det aktuelle studie

Læs mere

JAR Øvelse nr. 2. JAR-Manual, Version 1.0. Avanceret søgning. Regionsvejledning

JAR Øvelse nr. 2. JAR-Manual, Version 1.0. Avanceret søgning. Regionsvejledning JAR Øvelse nr. 2 Avanceret søgning Regionsvejledning JAR-Manual, Version 1.0 Øvelse ID: 2 Øvelsesemne: Avanceret søgning Øvelsesbeskrivelse: Gør dig i stand til at bygge avancerede søgninger op. Formål:

Læs mere

Vejledning til lærere Oprettelse på www.pengeuge.dk

Vejledning til lærere Oprettelse på www.pengeuge.dk Vejledning til lærere Oprettelse på www.pengeuge.dk Denne vejledning gennemgår: 1. Tilmelding Hvis det er første gang du er med i Pengeuge. 2. Log ind Hvis du var med i Pengeuge 2015 og allerede er oprettet.

Læs mere

Tabulex Daginstitution Børn

Tabulex Daginstitution Børn Tabulex Daginstitution Børn Vejledning til medarbejdere 4. september 2015 Side 1 af 23 Indhold Indledning... 3 Hvad er Tabulex Børn?... 3 Hvordan logger man på?... 3 1. Check-in... 4 2. Her og nu... 5

Læs mere