Diskrete fordelinger. Fire vigtige diskrete fordelinger: 1. Uniform fordeling (diskret) 2. Binomial fordeling. 3. Hyper-geometrisk fordeling

Størrelse: px

Starte visningen fra side:

Download "Diskrete fordelinger. Fire vigtige diskrete fordelinger: 1. Uniform fordeling (diskret) 2. Binomial fordeling. 3. Hyper-geometrisk fordeling"

Dagmar Madsen
7 år siden
Visninger:

1 Disrete fordelinger Fire vigtige disrete fordelinger: 1. Uniform fordeling (disret) 2. Binomial fordeling 3. Hyper-geometris fordeling 4. Poisson fordeling 1

2 Uniform fordeling Definition Esperiment med lige sandsynlige udfald. Definition: Lad X: S R være en disret stoastis variabel. Hvis aldes fordelingen af X en (disret) uniform fordeling eller ligefordeling. 2 P(X = ) = P(X = ) = LP(X = ) = Sandsynlighedsfuntion: Fordelingsfuntion: 1 f( : ) = F( : ) = for for = = 1 1, 1 2,, K, 2, K,

3 Uniform fordeling Esempel Esempel: Kast med terning f() X: # øjne Middelværdi: E(X) = = Varians: Var(X) = = (1-3.5) (6-3.5) Sandsynlighedsfuntion: Fordelingsfuntion: 1 f( : 6) = 6 F( : 6) = 6 for = 1,2, K,6 for = 1,2, K,6

4 Uniform fordeling Middelværdi & varians Sætning: Lad X være uniform fordelt med mulige udfald 1, 2,, Da gælder i i= 1 middelværdi af X: E(X) = μ = varians af X: Var(X) = i= 1 ( i μ) 2 4

5 Binomial fordeling Bernoulli proces Gentagelse af forsøg med to mulige udfald. Bernoulli proces: 1. Esperimentet består af n gentagelser af samme forsøg. 2. Hvert forsøg har 2 mulige udfald: succes eller fiaso, også aldet et Bernoulli forsøg. 3. P( succes ) = p er ens for alle forsøg. 4. Forsøgene er uafhængige. 5

6 Binomial fordeling Bernoulli proces Definition: Lad den stoastise variabel X angive antal succes er i n Bernoulli forsøg. Fordelingen af X aldes en binomial fordeling med antalsparameter n og sandsynlighedsparameter p, hvor p = P( succes ). Notation: X ~ bn(n,p) 6

7 Binomial fordeling Sandsynligheds- & fordelingsfuntion Sætning: Hvis X ~ bn( n, p ), så har X sandsynlighedsfuntion n n b(;n,p) = P(X = ) = p (1 p), = 0,1,2, K,n n!!(n )! og fordelingsfuntion B(;n,p) = P(X ) = b(t;n,p), t= 0 = 0,1,2, K,n (se TabelA.1) 7

8 Binomial fordeling Opgave BILKA har mulighed for at afvise et parti batterier, hvis de ie opfylder BILKA s accept-politi: Der udtages en stiprøve på 20 batterier: Hvis ét eller flere batterier ie virer, asseres hele partiet. Antag, der modtages et parti, hvor 10% ie virer. 1. Hvad er sandsynligheden for, at hele partiet asseres? 2. Hvad er sandsynligheden for, at højst 3 ie virer? 8

9 Binomial fordeling Middelværdi & varians Sætning: Hvis X ~ bn(n,p), så er middelværdi af X: varians af X: E(X) = np Var(X) = np(1-p) Esemplet fra før: Hvad er det forventede antal batterier, der ie virer? 9

10 Hyper-geometris fordeling Hyper-geometris forsøg Hyper-geometris forsøg: 1. n elementer udtages ud af N elementer uden tilbagelægning. 2. af de N elementer er succes er og N- er fiaso er Bemær!! I modsætning til binomial fordeling er det uden tilbagelægning og forsøgene ie uafhængige. Bruges ofte i valitetsontrol. 10

11 Hyper-geometris fordeling Definition Definition: Lad den stoastise variabel X angive antal succes er i et hyper-geometris forsøg, hvor der udtages n elementer ud af N elementer, hvoraf er succes er og N-er fiaso er. Fordelingen af X aldes en hyper-geometris fordeling. Notation: X ~ hg(n,n,) 11

12 Hyper-geometris fordeling sandsynligheds- og fordelingsfuntion Sætning: Hvis X ~ hg( N, n, ), så har X sandsynlighedsfuntion N n h(;n,n,) P(X ) = = =, = 0,1,2, K,n N og fordelingsfuntion n H(;N,n,) = P(X ) = h(t;n,n,), t= 0 = 0,1,2, K,n 12

13 Hyper-geometris fordeling Opgave Føte modtager et parti batterier på 40 sty. Partiet er uacceptabelt, hvis 3 eller flere batterier er defete. Stiprøveplan: udtag 5 batterier. Hvis et batteri ie virer, asseres hele partiet. Hvad er sandsynligheden for, at netop et batteri ie virer, hvis der er 3 defete i hele partiet? Er det en god stiprøveplan? 13

14 Hyper-geometris fordeling Middelværdi & varians Sætning: Hvis X ~ hg(n,n,), så er middelværdi af X: varians af X: n E(X) = N N n Var(X) = N 1 n N 1 N 14

15 Poisson fordeling Poisson proces Esperiment, hvor samme hændelse observeres i et tidsinterval. Poisson proces: 1. # hændelsen indtræffer i [a,b] er uafhængigt # hændelsen indtræffer i [c,d], hvor a<b<c<d 2. Sandsynligheden for 1 hændelse i et lille tidsinterval [a, a + ε ] er proportional med ε. 3. Sandsynligheden for mere end 1 hændelse i lille tidsinterval tæt på 0. } No memory 15

16 Poisson fordeling Definition Definition: Lad den stoastise variabel X angive antal hændelser i tidsintervallet t fra en Poisson proces, hvor gennemsnitlig # hændelser pr. tidsenhed er λ. Fordelingen af X aldes en Poisson fordeling med parameter μ = λt. Notation: X ~ pois(μ), hvor μ = λt 16

17 Poisson fordeling Sandsynligheds- & fordelingsfuntion Sætning: Hvis X ~ pois(μ), så har X sandsynlighedsfuntion p(;μ) = P(X = ) = μ e μ!, = 0,1,2,K og fordelingsfuntion P(; μ) = P(X ) = p(t;μ), t= 0 = 0,1,2, K (se TabelA.2) 17

18 Poissonfordeling Esempler Nogle esempler X ~ pois(μ) : X ~ pois( 2 ) X ~ pois( 4 ) f() 0,4 0,3 0,2 f() 0,4 0,3 0,2 0,1 0,1 0 =0 =1 =2 =3 =4 =5 =6 =7 0 =0 =2 =4 =6 =8 18

19 Poissonfordeling Middelværdi & varians Sætning: Hvis X ~ pois(μ), så er middelværdi af X: varians af X: E(X) = μ Var(X) = μ 19

20 Poissonfordeling Opgave Netto har lavet lidt research: På hverdagsformiddage ommer der gennemsnitlig 3 under minuttet. 1. Hvad er sandsynligheden for, at der ommer 2 under mellem ? 2. Hvad er sandsynligheden for, at der ommer mindst 2 under i det samme interval? 3. Hvad er sandsynligheden for, at der ommer mindst 10 under mellem ? 20

Relaterede dokumenter

Definition. Definitioner

Definition. Definitioner Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/