Kombinatorik. Eksempel 2: En mand har 7 par bukser og 10 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 10. 7=70 mulige valg.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Kombinatorik. Eksempel 2: En mand har 7 par bukser og 10 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 10. 7=70 mulige valg."

Transkript

1 Noter til Biomat, 005. Kombinatorik. - eller kunsten at tælle. Alle tal i kombinatorik-afsnittet er hele og ikke-negative. Additionsprincippet enten - eller : Antag vi enten skal lave et valg med m muligheder eller et valg med n muligheder. Det samlede antal valgmuligheder er m+n. Eksempel : En mand har 3 par korte og 7 par lange bukser. Skal han vælge et tilfældigt par bukser, så skal han enten vælge et par korte eller et par lange og har 3+7=0 mulige valg. Multiplikationsprincippet både og : Antag vi både skal lave et valg med m muligheder og et valg med n muligheder. Det samlede antal valgmuligheder er m. n. Eksempel : En mand har 7 par bukser og 0 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 0. 7=70 mulige valg. n fakultet, n!: Vi sætter 0!=!=!=. =.. n!= n Permutationer: En r-permutation af en mængde med n elementer er en delmængde med r elementer, 0 r n, hvor de r elementer er stillet op i rækkefølge. Eksempel 3: A={q,w,e,r,t,y}. Her er n=5 og {q,w,e} og {w,q,e} er to forskellige 3- permutationer af mængden A. P(n,r) er antallet af r-permutationer. En r-permutation kan fremkomme ved at - vælge. element i r-permutationen. Der er n mulige valg. - vælge. element i r-permutationen. Der er n- mulige valg. - vælge 3. element i r-permutationen. Der er n- mulige valg. - - vælge r. element i r-permutationen. Der er n-r+ mulige valg. Mutiplikationsprincippet giver så n(n )(n )... (n r+ )(n r)... n! P(n,r) = n(n )(n )...(n r+ ) = = (n r)... (n r)! Side af 8

2 Noter til Biomat, ! 0 Eksempel 4: P (5,3) = = = 60. I eksempel 3 kan altså laves 60 forskellige 3-! permutationer. Kombinationer: En r-kombitation af en mængde med n elementer er en delmængde med r elementer, 0 r n, hvor rækkefølgen er ligegyldig. Eksempel 5: A={q,w,e,r,t,y}. Her er {q,w,e} og {w,q,e} to måder at skrive samme 3- kombination af mængden A på. n K(n,r) er antallet af r-kombinationer. Dette antal skrives også. For at bestemme en r formel for K(n,r) forestiller vi os igen, at vi vil bestemme P(n,r). r-permutationer kan fremkomme ved to delvalg: - valg af r-kombination. Der er K(n,r) mulige valg. - valg af rækkefølge af elementerne i r-kombinationen. Der er P(r,r) mulige valg. Multiplikationsprincippet giver P(n,r) = K(n,r) P(r,r) K(n,r) = K(n,r) = P(n,r) P(r,r) n! ( ) (n r)! r! ( ) 0! n! K(n,r) = r!(n r)! 5 5! 0 Eksempel 6: A={q,w,e,r,t,y}. Her er K (5,3) = = = = 0 forskellige 3-3 3!! 6 kombinationer, dvs. der kan laves 0 forskellige delmængder af A med 3 elementer. Side af 8

3 Noter til Biomat, 005. Endeligt sandsynligheds felt. Definition: Ved et endeligt sandsynlighedsfelt (U,P) forstås en endelig mængde U={u,u,.,u n } og en funktion P, som opfylder: a) 0 P(u) for alle u U. n b) P (ui ) =. i= U kaldes udfaldsrummet, elementerne i U kaldes udfald. P kaldes sandsynlighedsfunktionen, og P(u) kaldes sandsynligheden for u. Definition: Et endeligt sandsynlighedsfelt kaldes symmetrisk, når alle udfald er lige sandsynlige. Eksempel 7: Et kast med en ærlig terning, U={,,3,4,5,6}. Sandsynlighedsfeltet er symmetrisk. Da summen af sandsynligheder skal give, har hvert udfald sandsynligheden. Dette kan generaliseres til: 6 Sætning: I et symmetrisk sandsynlighedsfelt (U;P), hvor U=(u,u,.,u n ), er P (u) = for alle u U. n Hændelser. Vi indfører nu nogle begreber, som i første omgang bruges på endelige sandsynlighedsfelter, men som har samme betydning i alle typer sandsynlighedsfelter. Definition: En delmængde, A, af et udfaldsrum, U, kaldes en hændelse. P(A) = P(u) kaldes sandsynligheden for hændelsen A. Ø kaldes den umulige hændelse og P(Ø)=0. U kaldes den sikre hændelse. Bemærk, at P(U)=. Eksempel 8: Lad A være hændelsen, at en ærlig terning ved et kast giver et lige antal øjne. A={,4,6} og P (A) = + + = 3 =. Dette kan generaliseres til: u A Sætning: I et symmetrisk sandsynlighedsfelt (U;P), hvor U=(u,u,.,u n ) og en hændelse A r består af r udfald, 0 r n er P (A) =. n Undertiden kaldes r antal gunstige udfald og n antal mulige udfald. Side 3 af 8

4 Noter til Biomat, 005. Da hændelser er mængder, kan vi umiddelbart overtage en række begreber fra mængdelæren: a) AU B Forenet hændelse, dvs. mængden af udfald som ligger i mindst en af hændelserne A og B. b) AI B Fælles hændelse, dvs. mængden af udfald som ligger i både hændelsen A og i hændelsen B. Hvis AI B =Ø, kaldes A og B disjunkte. c) A Komplementær hændelse, dvs. mængden af udfald som ikke ligger i hændelsen A. Sætning: Lad A og B være hændelser, da er P(A U B) = P(A) + P(B) P(AI B) ( ) = P(A) P A Ovenstående bevises ved overveje hvilke udfald, der skal summeres over. Eksempel 9: Lad udfaldsrummet bestå af samtlige børn født i % af disse børn er drenge. Hvis A er hændelsen, at et tilfældigt af disse børn er en dreng, så er P(A)=0,5. P A = 0,5= 0, A må da fortolkes som hændelsen, at et tilfældigt barn er en pige, og ( ) 49 Eksempel 0: En tipskupon med 3 rækker kan udfyldes på 3 3 måder. Lad H være hændelsen, at resultatet bliver 3 rigtige. Ved sypigetips er da P (H) = 3 3 og sandsynlighden for ikke at få 3 rigtige er P( H) = 0, =. Side 4 af 8

5 Noter til Biomat, 005. Betinget sandsynlighed. Eksempel : Vi ser på en gruppe mennesker med kønsfordelingen 40 kvinder og 60 mænd. Antag at 8 af kvinderne og 8 af mændene er tilhængere af partiet Venstre. Vi opstiller en række hændelser: K: En tilfældig person er kvinde. M: En tilfældig person er mand. V: En tilfældig person er tilhænger af venstre. Det giver (sætning om symmetrisk sandsynlighedsfelt) at: P (K) = = 0,4 P(V) = = 0,8 P(V I K) = = 0, Sandsynligheden for at en tilfældigt valgt person er Venstre-tilhænger, forudsat personen er kvinde, er 8 8 ( ) 00 P(VI K) = = P(K ( ) ) 00 dvs sandsynligheden for, at en person både er Venstre-tilhænger og kvinde, i forhold til sandsynligheden for, at en person er kvinde. Dette begrunder: Definition: Lad A og B være hændelser, hvor P(B)>0. Den betingede sandsynlighed for A givet B er P(A I B) P(A B) =. P(B) Hvis P (A B) = P(A) betyder det ikke noget for A om B er indtruffet eller ej. Derfor Definition: Lad A og B være hændelser. A og B kaldes uafhængige når P (AI B) = P(A)P(B) Eksempel : I eksempel er P (VI K) = 0, 08 og P (V)P(K) = 0,8 0,4 = 0, 07. Hændelserne V og K er altså ikke uafhængige i matematisk forstand, hvilket passer med vores dagligsprogs beskrivelse af situationen i eksemplet Sætning: Lad A, A,.,A n være parvis disjunkte hændelser i sandsynlighedsfeltet (U,P) og antag, at sandsynlighederne for disse hændelser er positive. Hvis B er en hændelse, er n P(B) = n i= P(B A i )P(A i ) Bevis: P(B) = P(BI A i ) kombineres med P(BI A ) P(B A )P(A ). i= Bemærk resultatet kan bruges til at bytte hændelse i betinget sandsynlighed. Hvis alle P(A P(B A )P(A ) i IB) i i P(B A i ) er kendte, så kan vi nu beregne P(A i B) = =. P(B) P(B) i = i i Side 5 af 8

6 Noter til Biomat, 005. Stokastisk variabel. Definition: En stokastisk variabel, X, er en funktion, hvis definitionsmængde er udfaldsrummet i et sandsynlighedsfelt (U,P). P (X= j) = P{ u U X(u) = j} er sandsynligheden for, at X antager værdien j. Vi bruger også notationer som osv. P(X j) = P u { U X(u) j} { Ui< X(u) j} P (i< X< j) = P u < Eksempel 3: Lad F være mængden af fisk i et akvarium. Lad M(f) være massen i gram af F= fisk,fisk,.... en fisk, f. Så er M en stokastisk variabel defineret på mængden { } Eksempel 4: Kast med ærlig terning, U={,,3,4,5,6}. Her er identitetsafbildningen I(x)=x en stokastisk variabel. Sandsynligheden for mindst at få en 3-er ved et kast er 4 P (I 3) = = Et forsøg, hvor der er tilknyttet en stokastisk variabel til udfaldene, kaldes et stokastisk eksperiment. Resultatet af et stokastisk eksperiment kan antage værdier i værdimængden for denne, men man må forvente, at meget sandsynlige værdier optræder ofte. Dette er baggrunden for definitionen af middelværdi (også kaldet forventet værdi), hvor værdierne vægtes med sandsynligheden for dem : Definition: Lad X være en stokastisk variabel tilknyttet et sandsynlighedsfelt (U,P). Middelværdien af X er E (X) = j P(X= j). j X(U) Eksempel 5: I et akvarium svømmer 5 fisk, som ikke er lige nemme at fange. P er sandsynligheden for, at en fisk fanges. M er massen i gram af en fisk. Fisk, f fisk fisk fisk3 fisk4 fisk5 P(f) 0, 0,3 0,3 0,5 0,05 M(f) i g Bemærk, at P(M=5g)=0,+0,5=0,35. E (M) = 5g 0,35+ 6g 0,3 + 3g 0,3 + 4g 0,05= 4,65g. 6 3 Side 6 af 8

7 Noter til Biomat, 005. Definition: Lad X være en stokastisk variabel tilknyttet et sandsynlighedsfelt (U,P). E(X)=µ. Variansen af X er Var(X) = (j µ) P(X= j) j X(U) Bemærk, at værdier, j, som ligger langt fra middelværdien vil bidrage til at gøre variansen større især hvis de er meget sandsynlige. Eksempel 6: For tallene i eksempel 5 fås Var (M) = (5g 4,65g) 0,35+ (6g 4,65g) 0,3 + (3g 4,65g) 0,3 + (4g 4,65g) 0,05=,475g det er lidt svært at sammenligne variansen med målingerne, for enheden kvadrat-gram er et abstrakt begreb. Det er begrundelse for at indføre: Definition: Lad X være en stokastisk variabel tilknyttet et sandsynlighedsfelt (U,P). Spredningen af X er σ( X) = Var(X) Eksempel 7: For tallene i eksempel 5 fås σ(m) =,475g =,96g Side 7 af 8

8 Noter til Biomat, 005. Binomialfordelingen. Betragt et forsøg med to udfald: Succes, s, og fiasko, f, der skal ikke lægges noget værdiladet i dette. Sandsynligheden for succes kalder vi p, dermed er sandsynligheden for fiasko -p. Dette forsøg gentages et antal, n, gange. Hvis sandsynligheden for succes ved hver gentagelse er p og er uafhængig af de forrige forsøg, så kaldes forsøgsserien et Binomialforsøg. n kaldes forsøgets længde, og p kaldes basissandsynligheden. Forsøget, der gentages, kaldes basisforsøget. Vi taler om binomialfordelingen, b(n,p). Lad os kalde udfaldsrummet for et binomial forsøg for U. forsøgslængde U Antal udfald i U {s,f} {(s,s),(s,f),(f,s),(f,f)} 4 3 {(s,s,s),(s,s,f),(s,f,s),.,(f,f,f)} 8... n n Eksempel 8: Basisforsøget kan være et kast med en terning. Resultatet 6 øjne kalder vi succes. På en ærlig terning er basissandsynligheden p=. Da gentagelser ikke 6 afhænger af tidligere kast, vil f.eks. n=0 kast være et binomialforsøg med 0 udfald. Eksempel 9: Skal der i en gruppe på 50 mennesker med ligelig kønsfordeling nedsættes et tilfældigt udvalg på 5 personer, så kunne det gøres ved 5 personvalg, hvor der i hvert valg (basisforsøg) vælges en mand eller en kvinde. Men da der ved hvert valg er en person mindre at vælge mellem, bliver sandsynligheden for en mand (eller en kvinde) ikke det samme i de 5 valg ( i første valg er sandsynligheden for en mand ½, i andet valg er det 4/49 eller 5/49). Her er altså ikke tale om et binomialforsøg. Vi definerer nu en stokastisk variabel, X, som antallet af succeser i et binomialforsøg med længde n. X kan da antage værdierne 0,,,3,.,n, og vi vil nu opstille en formel for P(X=j). I et udfald, u, med j succeser, er der n-j fiaskoer. Da der er uafhængighed mellem de enkelte gentagelser, så får vi P(u) som produktet af sandsynlighederne for resultaterne i hvert gentaget basisforsøg. Da succes har sandsynligheden p, og fiasko har sandsynligheden -p, er j n j P(u) = p ( p) Nu er u ikke det eneste udfald med j succeser, men alle de andre har samme sandsynlighed. Antallet af udfald af denne type findes ved at se på n pladser, hvor j succeser skal anbringes. Dette antal, ved vi fra kombinatorik, er K(n,j), derfor er j P(X= j) = K(n, j)p ( p) n j Side 8 af 8

9 Noter til Biomat, 005. Eksempel 0: - nr. 8 fortsat. Lad X være antallet af seksere. Sandsynligheden for at få 3 seksere er da ( ) ( ) = P(X= 3) = K(0,3) 0, Når X er en stokastisk variabel, kaldes f(t)=p(x=t) for sandsynlighedsfunktionen for X, og F(t)=P(X t) kaldes for fordelingssfunktionen for X. Eksempel : Sandsynlighedsfunktioner illustreres med pinde- eller stolpediagrammer. Her er vist sandsynlighedsfunktionen for b(4;0,3) j f(j) 0,40 0,46 0,646 0,0756 0,008 F(j) 0,40 0,657 0,963 0,999,0000 0,5 Fordelingsfunktionens graf: , Vi vil undlade de tekniske beviser, men der gælder: Sætning: Hvis X er stokastisk variabel, der er binomialt med fordelingen b(n,p), så er E(x) = np og Var(X) = np( p). Hvis E(X) er et helt tal, så er dette den mest sandsynlige værdi for X. Hvis E(X) ikke er et helt tal, så er et af de hele nabotal til E(x) det mest sandsynlige. Side 9 af 8

10 Noter til Biomat, 005. Eksempel : For b(0;0,) er E(X)=0.,=,. Derfor er X= eller X=3 det mest sandsynlige resultat. P(X=)=0,984 og P(X=3)=0,44 Så her X= mest sandsynlig, men man kan ikke regne med, at værdien nærmest E(X) altid er mest sandsynlig. I eksempel 9 så vi et eksempel på ikke binomialfordelt gentagelse. Hvis der i stedet for 50 personer havde været 00000, så ville sandsynligheden for valg af en mand ved første valg igen være ½. Ved andet valg 49999/99999 eller 50000/99999, ved 5. Valg ville sandsynlighederne ligge mellem 49995/99995=0,49997 og 50000/99995=0, Disse sandsynligheder er ikke ½, men det er tæt på! Derfor tillader man sig ofte at bruge binomialfordelingen ved små stikprøver i store grupper. Her ville det ikke blive ret forkert at regne med, at antallet af valgte mænd (eller kvinder) er b(5,/) fordelt. Side 0 af 8

11 Noter til Biomat, 005. Normalfordelingen. Vi får brug for at integrere over uendeligt store intervaller, og indfører uegentlige integraler: Definition: Hvis f er kontinuert på de reelle tal sættes når begge eksisterer. 0 0 f(x)dx= lim f(x)dx= a a 0 f(x)dx f(x)dx+ og 0 0 f(x)dx f(x)dx= lim a a o f(x)dx Det kan virke lidt underligt! Når f(x) er positiv, kan vi endda tolke dette uegentlige integral som arealet af (den uendeligt lange) punktmængde under grafen. Integraler, hvor kun én af grænserne er ± defineres på lignende måde..5.5 e t Sætning: t e dt = π t 5 Beviset ligger udenfor dette kursus rammer. Side af 8

12 Noter til Biomat, 005. Ville vi være matematisk korrekte, burde vinu indføre nogle generelle begreber om kontinuerte sandsynlighedsfelter, tilhørende stokastiske variable og begreberne middelværdi, varians og spredning i denne sammenhæng, men vi hopper i stedet direkte ud i: Definition: En stokastisk variabel, X, sige at være standardnomalfordelt med spredning og middelværdi 0, hvis t P(X s) = s e π Funktionen ϕ (t) = e kaldes tæthedsfunktionen for standardnormalfordlingen, og π s Φ(s) = P(X s) = e π kaldes fordelingsfunktionen for standardnormalfordelingen. Standardnormalfordelingen kaldes også n(0,). Bemærk:.) Sætningen side giver P (X ) =. Det er altså sikkert, at X har en reel værdi..) P(a X b) =Φ(b) Φ(a) = P(X b) P(X a) er arealet under tæthedsfunktionen mellem a og b på. aksen. I kombination med.) ses, at sandsynligheder højest får værdien. 3.) Tæthedsfunktionen er symmetrisk om. aksen, så P(X a) = P(X a). 4.) P(X=a)=0, så P (X a) = P(X< a). t dt t dt Ved at lave substitutionen e π Dette giver anledning til: = z µ t og dermed dt= dz fås σ σ z µ t σ dt= e σ π dz= hvor µ, σ R+ Side af 8

13 Noter til Biomat, 005. Definition: En stokastisk variabel, X, sige at være nomalfordelt med spredning σ og middelværdi µ, hvis t µ σ P(X s) = s e σ π t µ σ Funktionen f(t) = e kaldes tæthedsfunktionen for normalfordlingen, og σ π F(s) = P(X s) = e σ π kaldes fordelingsfunktionen for normalfordelingen. Denne normalfordeling kaldes også n( µ, σ ). s dt t µ σ dt e.5 π t 3.5 ( t 3) e π e 0.5 π t t 8 Ovenfor ses grafer for tæthedsfunktionerne n(3;,5), n(3;) og n(3;0,5). Bemærk:.) Tæthedsfunktionerne er symmetriske om en lodret linie gennem t = µ..) Lille spredning giver smalt område adskilt væsentligt fra. aksen og stort maksimum. 3.) Stor spredning giver bredt område adskilt væsentligt fra. aksen og lille maksimum. 4.) F.eks. P(-<X<0) er arealet under tæthedsfuntionen mellem og 0. Denne sandsynlighed ses at være størst for n(3;,5). Det er i overensstemmelse med vores intuition, at fordelingen med størst spredning giver størst sandsynlighed for værdier et stykke fra middelværdien. Side 3 af 8

14 Noter til Biomat, 005. Eksempel 3: Hunner af den redeparasitiske bi Nomada panzeri Lepeletier, 84 har en længde, der er normalfordelt med middelværdi 9,0mm og spredning 0,6mm. Længden følger altså normalfordelingen n(9,0;0,6). Vi vil beregne sandsynligheden for, at en tilfældig N. panzeri har en længde mellem 0,mm under og 0,mm over middelværdien. De fleste lommeregnere giver let P (8,8 < X< 9,) = 0,967. Hvis man kun har adgang til standardnormalfordelingen n(0,), klares problemet med en lille omskrivning: P(8,8 8,8 9,0 < X< 9,) = P < 0,6 X 9,0 9, 9,0 < = P( 0,3333< Z< 0,667) =Φ(0,667) Φ( 0,3333) 0,6 0,6 fordi Z = X µ er standardnormalfordelt. σ Sandsynligheden for, at en n( µ, σ ) fordelt stokastisk variabel X ligger mellemµ σ og µ +σ er (vi bruger igen omskrivningen ovenfor): ( µ σ) µ ( µ+σ) µ P ( µ σ< X<µ+σ) = P < Z< = P( < Z< ) = 0,687 σ σ dvs. samme sandsynlighed uanset værdierne af middelværdi og spredning. Side 4 af 8

15 Noter til Biomat, Opgaver Side 5 af 8

16 Noter til Biomat, Side 6 af 8

17 Noter til Biomat, Side 7 af 8

18 Noter til Biomat, Side 8 af 8

Definition. Definitioner

Definition. Definitioner Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/

Læs mere

Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)

Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition) Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)

Læs mere

Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold:

Monotoniforhold Der gælder følgende sætninger om en differentiabel funktions monotoniforhold: Side 21 Oversigt over undervisningen i matematik - 2x 05/06 Der undervises efter: Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 Claus Jessen, Peter Møller og

Læs mere

Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel

Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel I eksperimenter knyttes ofte en talværdi til hvert udfald. S s X(s) R Definition: En stokastisk variabel X er en funktion defineret på S, der antager værdier på

Læs mere

Elementær sandsynlighedsregning

Elementær sandsynlighedsregning Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder

Læs mere

Elementær sandsynlighedsregning

Elementær sandsynlighedsregning Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 9. Sandsynlighedsregning

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 9. Sandsynlighedsregning Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 9. Sandsynlighedsregning Hvad er den typiske størrelse af et nittehoved? 9. Statistik og sandsynlighedsregning Indhold 9.0 Indledning

Læs mere

Statistik Lektion 2. Betinget sandsynlighed Bayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV Binomialfordelingen

Statistik Lektion 2. Betinget sandsynlighed Bayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV Binomialfordelingen Statistik Lektion etinget sandsynlighed ayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV inomialfordelingen Repetition Udfaldsrum S Hændelse S Simpel hændelse O i 1, 3 4,

Læs mere

MM501/MM503 forelæsningsslides

MM501/MM503 forelæsningsslides MM501/MM503 forelæsningsslides uge 50, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen dx Eksempler = et udtryk, der indeholder

Læs mere

1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable

1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder

Læs mere

Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable

Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable 2.1 Sandsynlighedsbegrebet............................... 1 2.1.1

Læs mere

Statistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen

Statistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager

Læs mere

Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable

Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/41 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset

Læs mere

Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen

Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition Lov om total sandsynlighed Bayes sætning P( B A) = P(A) = P(AI B) + P(AI P( A B) P( B) P( A B) P( B) +

Læs mere

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema:

2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema: Der er hjælp til opgaver med # og facit på side 6 1. Et eksperiment kan beskrives med følgende skema: u 1 2 3 4 5 P(u) 0,3 0,2 0,1 0,2 x Bestem x og sandsynligheden for at udfaldet er et lige tal.. 2.

Læs mere

Sandsynlighedsregning 2. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 2. forelæsning Bo Friis Nielsen Vigtigste nye emner i.,. og.5 Sandsynlighedsregning. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Siene Danmarks Tekniske Universitet 800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Binomialfordelingen

Læs mere

Repetition Stokastisk variabel

Repetition Stokastisk variabel Repetition Stokastisk variabel Diskret stokastisk variabel Udfaldsrum endelige eller tællelige mange antal elementer Sandsynlighedsfunktion f(x) er ofte tabellagt Udregning af sandsynligheder P( a < X

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

Sandsynlighedregning

Sandsynlighedregning MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Sandsynlighedregning + = - P(A B) P(A) P(B) P(A B). 1. udgave 2016 FORORD Dette notat giver en kort gennemgang af de grundlæggende begreber i sandsynlighedsregning. Det forudsættes,

Læs mere

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt: SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve

Læs mere

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning

Statistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Inst f. Matematiske Fag Omfang: 8 Kursusgang I fremtiden

Læs mere

Oversigt over nyttige fordelinger

Oversigt over nyttige fordelinger Oversigt over nyttige fordelinger Helene Regitze Lund Wandsøe November 14, 2011 1 Bernoulli-fordelingen 1 Når et eksperiment har to mulige udfald: succes eller fiasko. X er en stokastisk variabel med følgende

Læs mere

Note om Monte Carlo metoden

Note om Monte Carlo metoden Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at

Læs mere

Sandsynlighedsregning & Statistik

Sandsynlighedsregning & Statistik Jørgen Larsen Sandsynlighedsregning & Statistik for matematikstuderende 2006 Indhold Forord 5 Del I Sandsynlighedsregning 7 Indledning 9 Endelige udfaldsrum. Grundlæggende definitioner.....................

Læs mere

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}

{ } { } {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet. Til gengæld kan vi prøve at sige noget om,

Læs mere

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 11, 2016 1/22 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

Vejledende løsninger til opgaver i kapitel 6

Vejledende løsninger til opgaver i kapitel 6 Vejledende løsninger til opgaver i kapitel Opgave 1: a) Den stokastiske variabel, X, der angiver, om en elev består, X = 1, eller dumper, X =, sin eksamen i statistik. b) En binomialfordelt variabel fremkommer

Læs mere

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium

Deskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsregning En note om sandsynlighedsregning. Den er tænkt som supplement til Vejen til Matematik B2. Henrik S. Hansen, Sct. Knud Version 2.0 Indhold Indledning... 1 Sandsynlighedsregning...

Læs mere

INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c

INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c AALBORG UNIVERSITET FREDRIK BAJERS VEJ 7 G 9220 AALBORG ØST Tlf.: 96 35 89 27 URL: www.math.aau.dk Fax: 98 15 81 29 E-mail: bjh@math.aau.dk Dataanalyse Sandsynlighed og stokastiske

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 Dagens program Kapitel 4: Diskrete fordelinger Afsnit 4.1-4.2, 4.7: Bernoulli fordeling Binomial fordeling Store Tals Lov (Laws of Averages, Laws of Large Numbers) 1 Bernoulli fordeling Kvantitative Metoder

Læs mere

Hvad skal vi lave i dag?

Hvad skal vi lave i dag? p. 1/2 Hvad skal vi lave i dag? Eksempler på stokastiske variable. Ventetid på krone ved møntkast. Antal plat ved n kast. Antal radioaktive henfald. Ventetiden på en flyulykke. Udtrækning af tal i et interval.

Læs mere

Statistik Lektion 2. Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var.

Statistik Lektion 2. Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var. Statistik Lektion Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var. Repetition Stikprøve Stikprøvestørrelse n Stikprøvemiddelværdi Stikprøvevarians s Population

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Negativ binomialfordeling, Afsnit 4.4 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte fordelinger, Afsnit 5.1-5.2: - Fordelingsfunktion - Tæthedsfunktion - Eksempel:

Læs mere

Statistiske modeller

Statistiske modeller Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder

Læs mere

Repetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable

Repetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition

Læs mere

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1)

Billedbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1) ; C ED 6 > Billedbehandling og mønstergenkendelse Lidt elementær statistik (version 1) Klaus Hansen 24 september 2003 1 Elementære empiriske mål Hvis vi har observationer kan vi udregne gennemsnit og varians

Læs mere

Allan C. Malmberg. Terningkast

Allan C. Malmberg. Terningkast Allan C. Malmberg Terningkast INFA 2008 Programmet Terning Terning er et INFA-program tilrettelagt med henblik på elever i 8. - 10. klasse som har særlig interesse i at arbejde med situationer af chancemæssig

Læs mere

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål Program Statistik og Sandsynlighedsregning Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Varians og middelværdi Normalfordelingen Susanne Ditlevsen Uge 48, tirsdag Tætheder og fordelingsfunktioner

Læs mere

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål

Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål Program Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume fra i mandags og et par eksempler mere om sammenhængen

Læs mere

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Statistisk Model

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Statistisk Model Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Statistisk Model Indhold Binomialfordeling Sandsynlighedsfunktion Middelværdi og spredning 1 Aalen: Innføring i statistik med medisinske eksempler

Læs mere

Binomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/

Binomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/ Program: 1. Repetition af vigtige sandsynlighedsfordelinger: binomial, (Poisson,) normal (og χ 2 ). 2. Populationer og stikprøver 3. Opsummering af data vha. deskriptive størrelser og grafer. 1/29 Binomial

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte

Læs mere

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

Teoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition

Teoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition 1 Uge 8 Teoretisk Statistik, 16. februar 2004 1. Generel teori, repetition 2. Diskret udfaldsrum punktssh. 3. Fordelingsfunktionen 4. Tæthed 5. Transformationer 6. Diskrete vs. Kontinuerte stokastiske

Læs mere

Nanostatistik: Stokastisk variabel

Nanostatistik: Stokastisk variabel Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/29 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser

Læs mere

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte

Læs mere

DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 19. december 2012 Kursus nr : 02405. (navn) (underskrift) (bord nr)

DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 19. december 2012 Kursus nr : 02405. (navn) (underskrift) (bord nr) DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 9. december 0 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret

Læs mere

Sandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder

Sandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder En sandsynlighed er et kvantitativt mål for usikkerhed et mål der udtrykker styrken af vores tro på forekomsten

Læs mere

Benyttede bøger: Statistisk fysik 1, uredigerede noter, Per Hedegård, 2007.

Benyttede bøger: Statistisk fysik 1, uredigerede noter, Per Hedegård, 2007. Formelsamling Noter til Fysik 3 You can know the name of a bird in all the languages of the world, but when you re finished, you ll know absolutely nothing whatever about the bird... So let s look at the

Læs mere

Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3

Landmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3 Landmålingens fejlteori Repetition - Kontinuerte stokastiske variable Lektion 4 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 29. april

Læs mere

Oversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff

Oversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff Course 242/2323 Introducerende Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 22 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark

Læs mere

Opgaver i sandsynlighedsregning

Opgaver i sandsynlighedsregning Afdeling for Teoretisk Statistik STATISTIK Institut for Matematiske Fag Preben Blæsild Aarhus Universitet 9. januar 005 Opgaver i sandsynlighedsregning Opgave Lad A og B være hændelser således at P(A)

Læs mere

4 Stokastiske variabler

4 Stokastiske variabler 4 Stokastiske variabler I kapitel 3 viste vi, hvordan man kan tilskrive sandsynligheder til forskellige hændelser, der knytter sig til et eksperiment. I praksis vil et eksperiment ofte involvere mange

Læs mere

Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse

Læs mere

DM72 Diskret matematik med anvendelser

DM72 Diskret matematik med anvendelser DM72 Diskret matematik med anvendelser En hurtig gennemgang af de vigtigste resultater. (Dvs. ikke alle resultater). Logik Åbne udsagn 2 + 3 = 5 Prædikater og kvantorer P (x) := x er et primtal x N : n

Læs mere

En oversigt over udvalgte kontinuerte sandsynlighedsfordelinger

En oversigt over udvalgte kontinuerte sandsynlighedsfordelinger Institut for Økonomi Aarhus Universitet Statistik 1, Forår 2001 Allan Würtz 4. April, 2001 En oversigt over udvalgte kontinuerte sandsynlighedsfordelinger Uniform fordeling Benyttes som model for situationer,

Læs mere

Nanostatistik: Middelværdi og varians

Nanostatistik: Middelværdi og varians Nanostatistik: Middelværdi og varians JLJ Nanostatistik: Middelværdi og varians p. 1/28 Repetition Stokastisk variabel: funktion fra udfaldsrum over i de hele tal eller over i de reelle tal Ex: Ω = alle

Læs mere

Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9.

Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9. Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9. klassetrin: statistisk sandsynlighed, kombinatorisk sandsynlighed og personlig

Læs mere

Statistik. Hjemmeside: kkb. Statistik - lektion 1 p.1/22

Statistik. Hjemmeside:  kkb. Statistik - lektion 1 p.1/22 Statistik Kursets omfang: 2 ECTS Inklusiv mini-projekt! Bog: Complete Business Statistics, AD Aczel & J. Sounderpandian Software: SPSS eller Excel?? Forelæser: Kasper K. Berthelsen E-mail: kkb@math.aau.dk

Læs mere

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)

Regneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x) Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen

Læs mere

Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136

Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136 Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 36 Det er besværligt at regne med binomialfordelingen, og man vælger derfor ofte at bruge en approksimation med normalfordeling. Man

Læs mere

Note til styrkefunktionen

Note til styrkefunktionen Teoretisk Statistik. årsprøve Note til styrkefunktionen Først er det vigtigt at gøre sig klart, at når man laver statistiske test, så kan man begå to forskellige typer af fejl: Type fejl: At forkaste H

Læs mere

SANDSYNLIGHED FACIT SIDE 154-155

SANDSYNLIGHED FACIT SIDE 154-155 SIDE 154-155 Opgave 1 A. Data (x) h(x) f(x) 2 1 0,042 3 3 0,125 4 6 0,25 5 3 0,125 6 4 0,16 7 1 0,042 8 2 0,0833 9 1 0,042 10 2 0,0833 11 1 0,042 B. C. Diagrammet (et søjlediagram) er lavet ud fra hyppigheden,

Læs mere

Oversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger

Oversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 2: og diskrete fordelinger Oversigt 1 2 3 Fordelingsfunktion 4 Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 017 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger

Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Sandsynlighedregning

Sandsynlighedregning MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Sandsynlighedregning + = - P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). 1. udgave 2007 FORORD Dette notat giver en kort gennemgang af de grundlæggende begreber i sandsynlighedsregning. Det forudsættes,

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 Dagens program Kapitel 4: Diskrete fordelinger Hypergeometrisk fordeling, Afsnit 4.3 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Geometrisk fordeling og Negativ binomialfordeling (Inverse Sampling), Afsnit 4.4 Approksimation

Læs mere

Valgkampens og valgets matematik

Valgkampens og valgets matematik Ungdommens Naturvidenskabelige Forening: Valgkampens og valgets matematik Rune Stubager, ph.d., lektor, Institut for Statskundskab, Aarhus Universitet Disposition Meningsmålinger Hvorfor kan vi stole på

Læs mere

Binomialfordelingen. Binomialfordelingen. Binomialfordelingen

Binomialfordelingen. Binomialfordelingen. Binomialfordelingen Statistik og Sandsynlighedsregning 1 MS kapitel 3 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Definition 3.2.1 Lad X 1, X 2,..., X n være uafhængige

Læs mere

Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger

Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Tue Tjur Marts 2007 Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Stat. MØK 2. år Kapitel : Sandsynlighedsfordelinger og stokastiske variable En sandsynlighedsfunktion på en mængde E (udfaldsrummet)

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,

Læs mere

Vi kalder nu antal prøverør blandt de 20, hvor der ikke ses vækst for X.

Vi kalder nu antal prøverør blandt de 20, hvor der ikke ses vækst for X. Opgave I I en undersøgelse af et potentielt antibiotikum har man dyrket en kultur af en bestemt mikroorganisme og tilført prøver af organismen til 20 prøverør med et vækstmedium og samtidig har man tilført

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:

Læs mere

4. september 2003. π B = Lungefunktions data fra tirsdags Gennemsnit l/min

4. september 2003. π B = Lungefunktions data fra tirsdags Gennemsnit l/min Epidemiologi og biostatistik Uge, torsdag 28. august 2003 Morten Frydenberg, Institut for Biostatistik. og hoste estimation sikkerhedsintervaller antagelr Normalfordelingen Prædiktion Statistisk test (udfra

Læs mere

2011.09.20 lth@campus.dk

2011.09.20 lth@campus.dk 2011.09.20 lth@campus.dk Intro Læseplan Beskrivende Statistik Sandsynligheder Ordet kommer fra Latin.: statisticum (statsrådgiver) Italiensk.: statistica (statsmand / politiker) Hvorfor statistik? Træk

Læs mere

Temaopgave i statistik for

Temaopgave i statistik for Temaopgave i statistik for matematik B og A Indhold Opgave 1. Kast med 12 terninger 20 gange i praksis... 3 Opgave 2. Kast med 12 terninger teoretisk... 4 Opgave 3. Kast med 12 terninger 20 gange simulering...

Læs mere

Teoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts.

Teoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. Teoretisk Statistik, 9 marts 2005 Empiriske analoger (Kap. 3.7) Normalfordelingen (Kap. 3.12) Opsamling på Kap. 3 nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. 1 Empiriske analoger Betragt

Læs mere

Binomialfordelingen. X ~ bin(n,p): X = antal "succeser" i n uafhængige forsøg, der alle har samme sandsynlighed p for at ende med succes.

Binomialfordelingen. X ~ bin(n,p): X = antal succeser i n uafhængige forsøg, der alle har samme sandsynlighed p for at ende med succes. Uge 9 Teoretisk Statistik 23. februar 24 1. Binomialfordelingen 2. Den hypergeometriske fordeling 3. Poissonfordelingen 4. Den negative binomialfordeling 5. Gammafordelingen Binomialfordelingen X ~ bin(n,p):

Læs mere

For nemheds skyld: m = 2, dvs. interesseret i fordeling af X 1 og X 2. Nemt at generalisere til vilkårligt m.

For nemheds skyld: m = 2, dvs. interesseret i fordeling af X 1 og X 2. Nemt at generalisere til vilkårligt m. 1 Uge 11 Teoretisk Statistik 8. marts 2004 Kapitel 3: Fordeling af en stokastisk variabel, X Kapitel 4: Fordeling af flere stokastiske variable, X 1,,X m (på en gang). NB: X 1,,X m kan være gentagne observationer

Læs mere

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff.

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Kursus 242 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 35/324 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail:

Læs mere

for matematik pä B-niveau i hf

for matematik pä B-niveau i hf for matematik pä B-niveau i hf 014 Karsten Juul TEST 1 StikprÅver... 1 1.1 Hvad er populationen?... 1 1. Hvad er stikpråven?... 1 1.3 Systematiske fejl ved valg af stikpråven.... 1 1.4 TilfÇldige fejl

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger

Anvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Lineære transformationer, middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 8, onsdag SaSt2 (Uge 8, onsdag) Lineære transf. og middelværdi 1 / 15 Program I formiddag: Fordeling

Læs mere

Sandsynlighedsregning 2. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 2. forelæsning Bo Friis Nielsen Sandsynlighedsregning 2. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Vigtigste nye emner i 2.1, 2.2 og 2.5

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Juni 2013 Roskilde

Læs mere

Sandsynlighedsregning

Sandsynlighedsregning Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 21. September, 2007 Lidt om binomialkoefficienter n størrelsen af en mængde/population. Vi ønsker at udtage en sub population af størrelse r. To sub populationer

Læs mere

Diskrete fordelinger. Fire vigtige diskrete fordelinger: 1. Uniform fordeling (diskret) 2. Binomial fordeling. 3. Hyper-geometrisk fordeling

Diskrete fordelinger. Fire vigtige diskrete fordelinger: 1. Uniform fordeling (diskret) 2. Binomial fordeling. 3. Hyper-geometrisk fordeling Disrete fordelinger Fire vigtige disrete fordelinger: 1. Uniform fordeling (disret) 2. Binomial fordeling 3. Hyper-geometris fordeling 4. Poisson fordeling 1 Uniform fordeling Definition Esperiment med

Læs mere

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin aug-juni 10/11 Institution Campus Vejle Handelsgymnasie Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Statistik

Læs mere

Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher

Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk

Læs mere

Statistik i basketball

Statistik i basketball En note til opgaveskrivning jerome@falconbasket.dk 4. marts 200 Indledning I Falcon og andre klubber er der en del gymnasieelever, der på et tidspunkt i løbet af deres gymnasietid skal skrive en større

Læs mere

Middelværdi og varians. Kovarians. korrelation = 0.02 korrelation = 0.7 korrelation = 1.0

Middelværdi og varians. Kovarians. korrelation = 0.02 korrelation = 0.7 korrelation = 1.0 Middelværdi og varians Middelværdien af en diskret skalarfunktion f(x), for x = 0, N er: µ = N f(x) N x=0 For vektorfuktioner er middelværdivektoren tilsvarende: µ = N f(x) N x=0 Middelværdien er en af

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer (DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer (DM504) For et givent positivt heltal n og en given mængde af familier, antages at sandsynligheden for at familien har i børn, for 1 i n, er p i, således at n i=1 p i = 1. Endvidere er de 2 i mulige måder at få

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable

Landmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:

Læs mere

Normalfordelingen. Erik Vestergaard

Normalfordelingen. Erik Vestergaard Normalfordelingen Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematiksider.dk Erik Vestergaard, 008. Billeder: Forside: jakobkramer.dk/jakob Kramer Side 7: istock.com/elenathewise Side 8: istock.com/jaroon

Læs mere