2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema:

Transkript

1 Der er hjælp til opgaver med # og facit på side 6 1. Et eksperiment kan beskrives med følgende skema: u P(u) 0,3 0,2 0,1 0,2 x Bestem x og sandsynligheden for at udfaldet er et lige tal.. 2. Ved et roulettespil kan man vinde 0,10,100, 500 og 1000 kr. Sandsynligheden for gevinsterne ses af følgende skema: Gevinst u P(u) 0,75 0,15 0,06 0,03 0,01 Bestem sandsynligheden for følgende hændelser: A: gevinsten er mindst 100 kr B: gevinsten er under 100 kr C: gevinsten er 100 kr eller 500 kr D: gevinsten er højst 100 kr Bestem den gennemsnitlige gevinst man kan forvente at få, hvis man spiller mange gange. 3. En sandsynlighedsfordeling er angivet i følgende stolpediagram: Bestem P(3), P(5) og middelværdien. 4. En sandsynlighedsfordeling er angivet i følgende skema u 1 4 x 10 P(u) 0,3 y 0,1 0,2 Middelværdien er 4,6. Bestem x og y. # Tegn et stolpediagram af fordelingen. 5. Et eksperiment består i at kaste to symmetriske terninger og aflæse det største øjental. Udfyld tabellen (brug en opstilling som figur 1 side 248 i noten Sandsynlighed ): u P(u) Bestem middelværdien og forklar betydningen af tallet. 1/6

2 6. Man kan bruge CAS til bestemmelse af fakultet [!] og kombinationer [K(n,r) = ncr]: K(n,r) kaldes ofte for Binomial-koefficient. Det vil her føre for vidt at beskrive for flere CAS-værktøjer, men da betegnelser og fremgangsmåde er ret ensartede i de forskellige CAS-værktøjer, så lad dig inspirere af forklaringen nedenfor og kig i vejledningen til dit eget CAS-værktøj. Her vises hvordan det gøres med TI-89. Tast 2nd 5, så kommer math-menuen frem, tast 7 for Probability. Vælg herefter 1 for! eller 3 for ncr (ell. Binomial-koefficient) Bestem: 5! 8! 12! Bestem: K(8,2) K(8,6) K(8,0) K(8,1) K(8,7) 7. I en klasse med 24 elever skal udvælges 5 elever. Hvor mange forskellige kombinationer er der? 8. I en binomialfordeling er antalsparameteren n = 6 og sandsynlighedsparameteren p = 0,8. Beregn P(0) K(6,0) 0,8 P(1) P(2) P(3) P(4) P(5) P(6) 0 0,2 6 Denne binomialfordeling betegnes også b(6, 0.8) [altså b(n, p) ] 9. I et spil er sandsynligheden for at få gevinst 0,25. Der spilles 3 gange. Bestem sandsynlighederne for at få gevinst hhv 0, 1, 2 og 3 gange. Tegn stolpediagram over fordelingen. Bestem middelværdien. 10. Et binomialforsøg hvor sandsynligheden for succes er 0,7 gentages 15 gange. X betegner antallet af succeser ved de 15 gentagelser. Bestem følgende sandsynligheder ved hjælp af CAS: a) P ( X 6) b) P ( X 6) c) P ( 2 X 10) d) P ( 2 X 10) e) P ( X 8) f) P ( X 8) 11. I et stort vareparti er 10% af enhederne defekte. Der udtages en stikprøve på 50 enheder. Bestem sandsynligheden for 2/6

3 A: Der er højst 5 defekte i stikprøven. B: Der er mindst 6 defekte i stikprøven. C Der er mellem 10 og 12 defekte i stikprøven Bestem middelværdien. 12. X betegner antal succeser i en binomialfordeling med antalsparameteren n og sandsynlighedsparameteren p = 0,4. Bestem P ( X 1), når n =10 Bestem P ( X 5), når n =13 Bestem P ( X 4), når n =13 Hvad skal n mindst være for at P ( X 4) bliver større end 0,95? 13. I en meningsmåling 10.november 2007 baseret på 980 vælgere foretaget af Epinion er fordelingen på politiske partier følgende: peger på Helle Thorning-Schmidt som statsminister Socialdemokraterne Radikale venstre SF Kristendemokraterne Enhedslisten (0,4% ved ikke) 26,2% 5,9 % 12,3% 1,2% 2,1% peger på Anders Fogh-Rasmussen som statsminister Konservative Dansk Folkeparti Venstre Ny alliance 9,3% 12,0% 27,2% 3,4% Bestem med 95% sikkerhed i hvilket interval den procentvise støtte til Helle Thorning-Schmidt er. Hvem grinede højest efter folketingsvalget d. 13. november 2007? 14. 3/6

4 Varighed i år Antal ialt I 2005 blev ægtepar skilt i Danmark. Tabellen til venstre viser hvor længe ægteskaberne havde varet. a) Udregn de kumulerede frekvenser, og tegn en sumkurve over fordelingen. b) Bestem kvartilsættet, og forklar hvad det fortæller om skilsmisserne i /6

5 Se tabellen side 300 i noten Statistik. Brug normalfordelingspapiret til at påvise at vægtene med god tilnærmelse er normalfordelte. Aflæs herefter på papiret middelværdi og spredning for fordelingen. 20. Løs først opgaven ved brug af normalfordelingspapir og herefter ved brug af CAS /6

6 23. Et kaffemærke leverer i 500grams pakninger. For en sikkerhedsskyld indstiller man påfyldningsmaskinen til at hælde 510gram kaffe i pakken. Det antages, at den påfyldte vægt er normalfordelt med middelværdi 510 og spredning 10. Bestem sandsynligheden for, at en tilfældig valgt pakke 1) vejer under 500gram. # 2) vejer mellem 500 og 520gram. # Vink til 4: Udnyt at summen af sandsynlighederne skal give 1 og bestem herved y # Vink til 23: 1) Udnyt at 500 netop er en spredning fra middelværdien. Så kan opgaven besvares ud fra kendskab til de særlige egenskaber ved en normalfordeling. 2) Samme princip kan bruges Facit: 1. x = 0,2 P(lige tal) = 0,4 2. P(A) = 0,10 P(B) = 0,90 P(C) = 0,09 P(D) = 0,96 32,5 3. P(3) = 0,20 P( 5) = 0,12 3,01 4. x = 7 y = 0,4 5. u P(u) = ~ 4, , ,0015 0,015 0, , , , , , , , =0, , , , , , , , , ,02353 = , , ,83142 n = mellem 44,5% og 50,9% 14. nedre kvartil: 6 median: 8 øvre kvartil: fordelingerne er nummereret i læseretningen og spredningen for den første fordeling betegnes s 1 osv. Så er s6 s1 s3 s2 s5 s4 og s 4 = middelværdien er 91,875 og s=34,5 18. Intervalfrekvenserne fås til interval Osv. intervalfrekvens 0,05 0,2-0,05=0,15 0,25-0.2=0,05 Herefter kan histogrammet tegnes og middelværdien udregnes som tidligere prøvet. 19. De kumulerede frekvenser afsættet i normalfordelingspapiret og den bedste rette linie tegnes. Da punkterne med god tilnærmelse ligger på linien er vægtene med god tilnærmelse normalfordelte. 70 kg og 10 kg. 20. a) 55,8 % (fundet ved TIStat.normCdf( 90, 110, 100, 13) ) b) 6,2 % 21. a) 0,21 % b) 34,6 % 22. a) 4,78 % (fundet ved TIStat.normCdf( -, 0.40, 0.50, 0.06) ) b) 20,23 % 23. a) 2,4%+13,6%=16,0% b) 34,1%+34,1%=68,2% 6/6