Vektorer og trigonometri

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Vektorer og trigonometri"

Transkript

1 Vektorer og trigonometri egreber, sætninger og formler, du skal kende fra kapitel Hvad er en vektor? Vektorer i et koordinatsystem Pythagoras sætning og længden af en vektor Ensvinklede trekanter og skalering Trigonometriske beregninger Skalarprodukt af vektorer Projektioner Tværvektor Determinanter, arealberegning og sinusrelationerne...3. Udfordrende opgaver egreber, sætninger og formler, du skal kende fra kapitel 6 Opgave 6. a) Omtrent hvornår begyndte man den opmåling af Danmark, der førte frem til tegning af forholdsvis nøjagtige kort? b) Man tidsinddeler verdenshistorien i nogle større perioder, som du fx kan finde markeret på indersiden af grundbogens omslag. I hvilken periode var det, opmålingen af verden foregik? Opgave 6.2 I Frankrig, der var foregangsland i arbejdet med opmålingen af verden, havde man en ambition om at standardisere måleenhederne. Det første til, at man fastlagde en ny enhed, der blev kaldt en meter. Hvilke måleenheder brugte man i Danmark på den tid? Opgave 6.3 Opmålingen foregik i alle lande ved anvendelse af triangulering. Forklar den grundlæggende ide heri. 07

2 Opgave 6.4 a) Opmålingen af Danmark blev lagt i hænderne på en bestemt institution. Hvilken? b) aspar Wessel, der var ansat af denne institution, udviklede nogle nye ideer til at lette det store beregningsarbejde, og han sammenfattede disse ideer i en afhandling. Hvad var den revolutionerende nye matematiske teori, aspar Wessel her fremlagde? Opgave 6.5 aspar Wessel taler om regning med linjestykker, der har en længde og en retning. a) Hvordan adderes to linjestykker? b) Hvad er det modsatte linjestykke til en linje ab? c) Hvordan foretages subtraktion af linjestykker? d) Hvilke regneregler gælder for addition af linjestykker? Opgave 6.6 a) Hvordan foretages multiplikation af to linjestykker? aspar Wessel indfører en ny enhed ved siden af tallet, og han indfører et symbol ε for den nye enhed. b) Hvor afsættes den nye enhed i koordinatsystemet? c) Udregn ε 2 med brug af den opskrift, der er givet under punkt a). Hvad ser du? d) Udregningen i punkt c) giver anledning til en anden måde at skrive ε på. Hvilken? Opgave 6.7 Med de komplekse tal tager vi skridtet fra éndimensionale tal på tallinjen til todimensionale tal i planen. I matematik forsøger vi ofte at generalisere. Men hvad var det, den irske matematiker Hamilton opdagede i 843? Opgave 6.8 a) Hvad er en vektor, og hvordan repræsenterer vi vektorer geometrisk? b) Givet to punkter, og. Hvad forstår vi ved vektoren? c) Givet en vektor. Hvad forstår vi ved den modsatte vektor til denne? Hvilket symbol anvender vi for denne modsatte vektor? Illustrer med vektoren. d) Hvad er en skalar? 08

3 6. Vektorer og trigonometri Opgave 6.9 a) Hvordan adderes vektorer geometrisk? b) Hvordan subtraheres vektorer geometrisk? En subtraktion af to vektorer kan omskrives til en addition. Hvordan? c) For addition af vektorer gælder den kommutative lov og den associative lov. Hvad siger de to love? Opgave 6.0 a) Hvad siger indskudsreglen? b) Gennemfør et argument for denne. Opgave 6. a) Hvordan multipliceres en vektor med en skalar? b) For multiplikation af skalarer på vektorer gælder de distributive regler. Hvad siger de? Opgave 6.2 a) Hvad er nulvektoren? b) Hvad kaldes vektorer, som vi ved ikke er nulvektoren? Opgave 6.3 a) Hvad er en stedvektor til et punkt P? b) Hvordan defineres koordinaterne til en vektor? Opgave 6.4 Opskriv på koordinatform regnereglerne for addition, subtraktion og multiplikation af en vektor med en skalar. Opgave 6.5 Givet koordinaterne til punkterne og. Hvad er koordinaterne til forbindelses- vektoren? 09

4 Opgave 6.6 a) Hvad siger Pythagoras læresætning? Formuler den både med ord og som formel. b) Hvordan udregnes længden af en vektor, når vi kender koordinaterne? c) Hvordan udregnes afstanden mellem to punkter, hvor vi kender deres koordinater? Opgave 6.7 a) Givet to vektorer a og b. Hvordan kan vi udtrykke påstanden a og b er parallelle med en formel? b) Hvad forstår vi ved en enhedsvektor? Hvordan bestemmer vi en enhedsvektor med samme retning som vektor a? Opgave 6.8 a) Hvordan defineres, at to figurer er ensvinklede? b) Hvordan defineres, at to figurer er ligedannede? Opgave 6.9 a) Hvordan regnes opgaver om ensvinklede trekanter? Illustrer gerne med et eksempel. b) Hvad kaldes det tal k, der indgår i udregningerne med ensvinklede trekanter? Opgave 6.20 a) Hvad forstår vi ved enhedscirklen? b) Forklar begreberne retningspunkt og retningsvektor for en vinkel, samt retningsvinkel for et punkt på enhedscirklen. Opgave 6.2 a) Hvad er definitionen på cosinus og på sinus til en vinkel? b) Hvad er definitionen på tangens til en vinkel? c) Ud fra enhedscirklen får vi de såkaldte overgangsformler for cosinus og sinus. Hvad siger disse formler? Opgave 6.22 osinus og sinus kan anvendes til beregninger af ukendte sider og ukendte vinkler i retvinklede trekanter. Hvilke formler vil du anvende? Illustrer gerne med eksempler. 0

5 6. Vektorer og trigonometri Opgave 6.23 a) Hvad er definitionen på skalarproduktet af to vektorer? b) Hvad får vi, hvis vi udregner skalarproduktet af en vektor med sig selv? Opgave 6.24 Hvad menes med sætningen skalarproduktet er uafhængigt af koordinatsystemet? Opgave 6.25 a) En vigtig formel sammenkæder skalarproduktet og vinklen mellem de to vektorer. Hvad siger formlen? b) Hvordan kan skalarproduktet afgøre, om to vektorer er ortogonale? Opgave 6.26 a) I enhver trekant gælder cosinusrelationerne. Redegør for formlerne. b) For at foretage beregninger i en trekant skal vi normalt kende tre ud af de i alt seks vinkler og sider. Hvilke af trekantstilfældene kan løses med cosinusrelationerne? Opgave 6.27 a) Hvad menes med projektionen af et punkt på en linje? Tegn og forklar. b) Hvad menes med projektionen af en vektor på en linje (eller på en vektor)? c) Givet to vektorer a og b. Der findes en formel, der angiver projektionen af vektor a på vektor b. Hvordan ser den formel ud? Opgave 6.28 Hvad forstår vi ved tværvektoren til en vektor? Opgave 6.29 a) Hvad er definitionen på determinanten det( a, b ) af vektorparret ( a, b )? b) Der findes et særligt determinantsymbol, hvor vektorerne indgår med deres koordinater. Forklar dette. Opgave 6.30 a) Hvad er sammenhængen mellem determinant og areal? b) Hvad er sammenhængen mellem determinanten det( a, b ) og vinklen mellem vektorerne?

6 Opgave 6.3 a) I enhver trekant gælder sinusrelationerne. Redegør for formlerne. b) For at foretage beregninger i en trekant skal vi normalt kende tre ud af de i alt seks vinkler og sider. Hvilke af trekantstilfældene kan løses med sinusrelationerne? Opgave 6.32 I beregninger med brug af sinusrelationerne skal man være opmærksom på den såkaldte sinusfælde. Hvad menes hermed? 5 4 y 6.2 Hvad er en vektor? Opgave 6.33 Figuren viser to vektorer a og b. a) Tegn de to vektorer på et kvadreret papir. b) Tegn på det kvadrerede papir de to summer af de to vektorer. 3 b 2 a x c) Tegn på det kvadrerede papir de to differenser af de to vektorer. d) Tegn på det kvadrerede papir fire vektorer, der er a multipliceret med henholdsvis 2, 5, og 3. e) Tegn på det kvadrerede papir fire vektorer, der er b multipliceret med henholdsvis 2, 5, og 3. f) Tegn på det kvadrerede papir de fire vektorer, der er 3a + 4b, 2a + b, 5a 3b og 7a 8b. 5 y Opgave 6.34 Figuren viser to vektorer a og b. a) Tegn de to vektorer i et matematisk værktøjsprogram b b) Tegn i det matematiske værktøjsprogram de to summer af de to vektorer. c) Tegn i det matematiske værktøjsprogram de to differenser af de to vektorer. a x d) Tegn i det matematiske værktøjsprogram de fire vektorer, der er a multipliceret med henholdsvis 2, 5, og 3. e) Tegn i det matematiske værktøjsprogram de fire vektorer, der er b multipli-ceret med henholdsvis 2, 5, og 3. f) Tegn i det matematiske værktøjsprogram de fire vektorer, der er 3a + 4b, 2a + b, 5a 3b og 7a 8b. 2

7 6. Vektorer og trigonometri Opgave 6.35 Figuren viser to vektorer a og b. a) Tegn de to vektorer på et kvadreret papir. b) Tegn på det kvadrerede papir de to summer af de to vektorer. c) Tegn på det kvadrerede papir de to differenser af de to vektorer. d) Tegn på det kvadrerede papir fire vektorer, der er a multipliceret med henholdsvis 2, 5, - og -3. e) Tegn på det kvadrerede papir fire vektorer, der er b multipliceret med henholdsvis 2, 5, og 3. f) Tegn på det kvadrerede papir de fire vektorer, der er 3 a + 4b, 2a + b, 5a 3b og 7a 8b. b a Opgave 6.36 Figuren viser to vektorer a og b. a) Tegn de to vektorer i et matematisk værktøjsprogram. b) Tegn i det matematiske værktøjsprogram de to summer af de to vektorer. c) Tegn i det matematiske værktøjsprogram de to differenser af de to vektorer. d) Tegn i det matematiske værktøjsprogram de fire vektorer, der er a multipliceret med henholdsvis 2, 5, og 3. e) Tegn i det matematiske værktøjsprogram de fire vektorer, der er b multipliceret med henholdsvis 2, 5, og 3. f) Tegn i det matematiske værktøjsprogram de fire vektorer, der er 3a + 4b, 2a + b, 5a 3b og 7a 8b. b a Opgave 6.37 Figuren viser tre vektorer a, b og c. a) Tegn de tre vektorer på et kvadreret papir. b) Tegn på det kvadrerede papir summer af de tre vektorer. c) Tegn på det kvadrerede papir differenser af to af vektorerne. d) Tegn på det kvadrerede papir de fire vektorer, der er 3a + 4b + 2c, 2a + b 3c, 5a 3b 8c og 7a 8b + c. a b c 3

8 Opgave 6.38 Figuren viser tre vektorer a, b og c. a) Tegn de tre vektorer i et matematisk værktøjsprogram. a b c b) Tegn i det matematiske værktøjsprogram summen af de tre vektorer. c) Tegn i det matematiske værktøjsprogram differensen af to af vektorerne. d) Tegn i det matematiske værktøjsprogram de fire vektorer, der er 3a + 4b + 2c, 2a + b 3c, 5a 3b 8c og 7a 8b + c. 6.3 Vektorer i et koordinatsystem Opgave 6.39 Vi har givet to vektorer på koordinatform 2 a og 3 b. 3 5 Tegn fire repræsentanter for henholdsvis a og b i et koordinatsystem. Opgave 6.40 Kontrol af sum- og differensformlen To vektorer er givet ved a 3 4 og b 7 2. a) Tegn på kvadreret papir (baggrund med gitterlinjer) de to vektorer, således at de ligger i forlængelse af hinanden. Tegn sumvektoren a + b, dvs. den vektor der går fra a s begyndelsespunkt til b s endepunkt. b) estem ved aflæsning sumvektorens koordinater, og vis, at man får det samme, hvis man lægger vektorernes x-koordinater hhv. y-koordinater sammen. c) Gentag processen, idet du nu tegner differensvektoren a b, idet du udnytter, at a b a +( b ). 4

9 6. Vektorer og trigonometri Opgave 6.4 y På figuren er repræsentanter for en række vektorer indtegnet. a) estem koordinaterne for vektorerne. b) estem koordinater for differensvektorerne a b, a d, d c, g b, tegn repræsentanter for hver af dem, og kontroller dine resultater ved aflæsning. c) Udnyt den geometriske beskrivelse af vektoraddition til at tegne følgende vektorer: ) a + b 2) g + d 3) a + d + 2c b c a d g f x Udregn koordinaterne og kontroller resultaterne ved aflæsning af koordinaterne. Opgave 6.42 Dynamisk model for sumformlen a) fsæt de to frie punkter og i et matematisk værktøjsprogram. b) Tegn de to stedvektorer O og O i værktøjsprogrammet. c) fsæt vektoren O ud fra punktet. d) Marker det nye endepunkt som, og afsæt vektoren O. e) fprøv den dynamiske illustration, så punktet flyttes, og beskriv sammen- hængen mellem koordinaterne til vektorerne O, O og O. f) fprøv den dynamiske illustration, så punktet flyttes, og beskriv sammen- hængen mellem koordinaterne til vektorerne O, O og O. Opgave 6.43 Kontrol af formlen for skalarmultiplikation To vektorer er givet ved a 3 4 og b 7 2. a) Gang koordinaterne for vektor a med 2, og tegn den nye vektor 2 a i samme koordinatsystem. Svarer den nye vektor til to vektor a lagt i forlængelse af hinanden? b) Gang koordinaterne for vektor b med 2, og tegn den nye vektor 2 b i samme koordinatsystem. Svarer den nye vektor til en halv vektor b? 5

10 y Opgave 6.44 b c a d x Figuren viser repræsentanter for vektorerne a, b, c og d. a) estem koordinaterne for a, b, c og d. b) Tegn repræsentanter for 3 a, 2 b, c og 4 d, og bestem koordinaterne. c) Tegn repræsentanter for a + b og c + d, og bestem koordinaterne. Opgave 6.45 Tre vektorer er givet ved a 2 2, b 5 3 og c 4 0 a) Tegn en repræsentant for a + b i et koordinatsystem, og bestem koordinaterne. b) Tegn en repræsentant for a + c i et koordinatsystem, og bestem koordinaterne. c) Tegn en repræsentant for a + b + c i et koordinatsystem, og bestem koordinaterne. d) Tegn en repræsentant for 3 a i et koordinatsystem, og bestem koordinaterne. e) Tegn en repræsentant for 7 c i et koordinatsystem, og bestem koordinaterne. Opgave 6.46 Vi har i et koordinatsystem givet punkterne (5,7), ( 2,), (0, 3). estem koordinaterne for vektorerne,,, og. Opgave 6.47 Vi har i et koordinatsystem givet punkterne (7,5), ( 3,3), (8, 3). a) estem koordinaterne for midtpunktet af siderne, og. b) Konstruer midtpunkterne i et geometriprogram, og bestem koordinaterne dér. Opgave 6.48 Vi har de to vektorer a 7 2 og b 3 0. a) Tegn a i et koordinatsystem. b) estem koordinaterne til a + b. c) estem koordinaterne til b. 6 d) estem koordinaterne til 3a 5 b. c e) estem c, så 2a + c 5 b. c 2

11 6. Vektorer og trigonometri Opgave 6.49 Vi har fire vektorer a 0 2, b 8 5, c 9 20 og d 5 5. a) estem længden af hver af de fire vektorer. b) estem koordinaterne for hver af enhedsvektorerne, der er ensrettet med hver af de fire vektorer. Opgave 6.50 Du har to vektorer a og b, der er parallelle. a) Vælg koordinater for de to vektorer, så de er parallelle. b) Hvordan kan vi ud fra koordinaterne for to vektorer undersøge, om de er parallelle? Opgave 6.5 En vektor a er givet ved a 7 4. a) Tegn en repræsentant for a. b) estem længden af a, og bestem vinklen mellem a og vandret. c) estem b, så a + b 5 3. Opgave 6.52 Vi har punkterne (4,5) og (30,57). estem forbindelsesvektoren og forbindelsesvektoren. Opgave 6.53 Vi har punkterne ( 4,7) og D(25, 0). estem forbindelsesvektoren D og forbindelsesvektoren D. Opgave 6.54 Vi har de to vektorer a 8 5 og b 4. a) Tegn a i et koordinatsystem. b) Tegn a + b i et koordinatsystem. c) estem koordinaterne til a + b. d) estem koordinaterne til b. e) estem koordinaterne til 3a 5b. f) estem c c, så 3a + c b. c2 7

12 6.4 Pythagoras sætning og længden af en vektor Opgave 6.55 I en retvinklet trekant, hvor 90, er a 6 og b. a) estem c. Opgave 6.56 I en retvinklet trekant, hvor 90, er a 7 og c 20. a) estem b. Opgave 6.57 I en retvinklet trekant, hvor 90, er b 3 og c 0. a) estem a. Opgave 6.58 Der er givet følgende fire vektorer 4 a, 3 b 7, 4 c 3 og 5 d 0. a) eregn længden af hver af de fire vektorer. b) Tegn i et geometriprogram repræsentanter for hver af de fire vektorer. c) estem længden af vektorerne med geometriprogrammets facilitet. Opgave 6.59 Vi har i et 2D koordinatsystem givet punkterne (7,5), ( 3,3), (8, 3). a) estem længderne af linjestykkerne, og. Opgave 6.60 estem afstanden mellem de to punkter. a) (2,4) og (,5) b) ( 5,7) og (, 5) c) ( 8, 0) og (3,5) 8

13 6. Vektorer og trigonometri Vi vil i de følgende to opgaver se på nogle meget gamle anvendelser af Pythagoras sætning: Opgave 6.6 På en kileskrifttavle, der hedder M 8596, og som er ca år gammel, findes en opgave om en pæl, der står lænet op ad en mur. Pælens længde er 30. a) Hvor langt er pælen gledet væk fra muren (a), når den er gledet 3 ned ad muren (x)? b) Hvor langt er pælen gledet ned ad muren (x), når den er gledet 5 væk fra muren (a)? x c x c Opgave 6.62 Den kinesiske matematik var grundlæggende algebraisk, og de matematiske problemer, kineserne beskæftigede sig med, var ligesom andre steder i verden hovedsagelig af praktisk karakter. Med "De ni kapitler om den matematiske kunst" begynder en ny matematisk tradition i Kina. Værket består af en samling matematiske problemer, som mange forskellige personer har bidraget til over flere århundreder. Den første egentlige bog kom nogenlunde samtidigt med Euklids Elementer, dvs. i år 300 f.v.t., men den udgave, vi kender i dag, er fra 263 e.v.t. Problem 3 i kapitel 9 handler om udnyttelse af den pythagoræiske læresætning (se også figuren): Man har et bambusrør, som er 0 ch'ih højt. Det er knækket, og den øverste ende rører jorden 3 ch'ih væk fra roden. Find højden af knækket. a) Løs problem 3. a P 6.5 Ensvinklede trekanter og skalering Opgave 6.63 På et kort er målestoksforholdet : a) På kortet måles afstanden mellem to byer til 5 cm. estem afstanden i virkeligheden. b) I virkeligheden er afstanden mellem to byer 00 km. estem afstanden mellem de to byer på kortet. 9

14 Opgave 6.64 En person har tre forskellige kort over samme område, hvor det ene kort er tegnet med målestoksforholdet : Det andet kort er tegnet med målestoksforholdet :50000, og det tredje kort er tegnet med målestoksforholdet : a) I området er der 20 km mellem to byer. estem afstanden mellem de to byer på de tre kort. b) Hvilket kort vil indeholde flest detaljer? Opgave 6.65 Trekanterne og DE er ensvinklede. Nogle af trekanternes mål er 5, D 5, 6 og E 2. a) estem skaleringsfaktoren mellem de to ensvinklede trekanter. b) estem siderne og DE. D E Opgave 6.66 Trekanterne og er ensvinklede. Siderne a 20, b 60, a 000 og c a) estem siderne c og b. Opgave ,8 7 7,5 Trekanterne og er ensvinklede. Nogle af trekanternes mål fremgår af figuren. a) estem længden af siden og længden af siden. (hf- eksamen august 2006) Opgave 6.68 Q Q Figuren viser to ensvinklede trekanter PQR og P Q R 9,5 25,5 30,6 a) estem længden af siden P Q. (hf- eksamen maj 2007) P R P R 20

15 6. Vektorer og trigonometri Opgave 6.69 En afstand over en sø skal bestemmes. a) estem afstanden, når og D er parallelle. 700 m 200 m D 240 m Opgave 6.70 I punktet står der en person, og i punktet er der en mast. Fra punktet H kan personen se toppen af masten, dvs. punktet, bliver reflekteret i en vandpyt i punktet D. a) estem højden af masten, dvs. længden af. H 80 cm D 500 cm 2,60 m Opgave 6.7 For to ensvinklede trekanter og gælder det, at a) estem forholdet mellem h og h 2, hvor h er højden fra, og h 2 er højden fra 2. b) estem forholdet mellem arealet af trekant og trekant

16 6.6 Trigonometriske beregninger Opgave 6.72 a) Tegn enhedscirklen. b) fsæt i. kvadrant en vinkel v, der er mindre 90. c) Marker den tilhørende retvinklede trekant. d) Hvad er siderne i denne trekant I? e) fsæt også vinklen 90º v i. kvadrant. f) Marker den tilhørende retvinklede trekant. g) Hvad er siderne i denne trekant II? h) Hvad gælder der om trekant I og II? i) rgumenter for cos(90 v) sin(v) og sin(90 v) cos(v). Opgave 6.73 a) Tegn enhedscirklen. b) fsæt en vinkel v, der er større end 90 og mindre end 80. c) Marker den tilhørende retvinklede trekant i 2. kvadrant. d) Hvad er siderne i denne trekant I? e) fsæt i. kvadrant vinklen 80 v. f) Marker den tilhørende retvinklede trekant. g) Hvad er siderne i denne trekant II? h) Hvad gælder der om trekant I og II? i) rgumenter for sin(80 v) sin(v) og cos(80 v) cos(v). Opgave 6.74 I) II) b Vi har to retvinklede trekanter. a) estem den ukendte vinkel og de ukendte kateter for de to trekanter. a b c 8,5 c 6,5 a

17 6. Vektorer og trigonometri Opgave 6.75 Vi har to retvinklede trekanter. a) estem den ukendte vinkel, den ukendte katete og den ukendte hypotenuse i begge trekanter. I) b 5,6 a II) F e d 2,33 c 50 D 25 f E Opgave 6.76 Vi har to retvinklede trekanter. a) estem den ukendte side og de ukendte vinkler i de to trekanter. I) II) b a 6,8 F e d 5 c 3,9 D f 5 E Opgave 6.77 Figuren viser en trekant, hvor vinkel er ret. a) estem og vinkel. b) estem længden af højden fra på siden. 3,6 (hf- eksamen maj 2006) 8,4 Opgave 6.78 Figur 2 viser en del af en fodboldbane, hvor en spiller skal sparke frispark fra punktet. 8 m mål 7,32 m D a) estem og vinkel i trekant. b) estem vinkel i trekant D (dvs. den vinkel, som spilleren ser målet under). (hf- eksamen august 2007) 20 m Figur Figur 2 23

18 Opgave cm H 30 cm 26 cm Figur Figur 2 Figur viser en sekskantet drage. På figur 2 er nogle af dragens mål angivet. a) estem vinkel i trekant H. estem H. b) estem vinkel i trekant. (hf- eksamen december 2007) Opgave 6.80 F 66 cm E D Figur Figur 2 42,9 40 cm Figur viser et telt. Figur 2 viser et længdesnit gennem teltet. Nogle af målene fremgår af figuren. a) estem teltets højde. estem længden af siden. b) estem vinkel E i trekant DEF. (hf- eksamen december 2008) Opgave 6.8 Fotoet på figur viser facaden af Ishavskatedralen i den norske by Tromsø. Figur 2 viser en modeltegning af facaden. Nogle af målene fremgår af figur m 38 m a) estem Ishavskatedralens højde H. b) estem arealet af Ishavskatedralens facade H (hf- eksamen maj 2009) Figur Figur 2 Opgave 6.82 Figuren viser en retvinklet trekant, hvor D halverer vinkel. Nogle af målene fremgår af figuren. 5,0 D a) estem vinklen v. b) estem arealet af trekant. v v 4,5 (hf- eksamen august 2009) 24

19 6. Vektorer og trigonometri Opgave 6.83 Hvis en,5 meter høj cyklist befinder sig i området D, kan chaufføren ikke se cyklisten gennem sideruden (se figurerne). a) estem vinkel i trekant ED. b) estem længden af D.,5 m 8,0 m E 2,5 m D Øje (hf- eksamen december 2009) Opgave 6.84 Figuren viser en bordplade, der har form som et ligebenet trapez, hvor siderne og D er parallelle. Nogle af målene fremgår af figuren. 70 cm a) estem vinkel i trekant E. b) estem længden af E. estem arealet af bordpladen. (hf- eksamen juni 200) 70 cm 70 cm 35 cm E D Opgave 6.85 På Møns Klint har der gennem tiden været mange nedstyrtninger. På nedenstående geometriske modeller ses et lodret snit gennem klinten før og efter en nedstyrtning. E F F før efter 0 m 0 m Møns Klint Figur (størrelsesforholdene er ikke korrekte) Figur 2 I modellen antager man, at materialet inden for rektanglet DEF styrter ned og danner trekant. Nogle af trekantens mål fremgår af figur 2. a) estem højden af det nedstyrtede materiale. I modellen antager man desuden, at trekant og rektanglet DEF har samme areal. Klinten er 0 meter høj. b) estem bredden D af det stykke af klinten, der styrtede ned. (hf- eksamen august 200) D m 25

20 Opgave m P w v Fra et punkt P på en 200 m høj klippe observeres to skibe på havet. Skibene befinder sig henholdsvis i positionerne og. Vinklen mellem vandret og sigtelinjen fra P til og mellem vandret og sigtelinjen til P måles til henholdsvis w 32 og v 24. a) estem afstanden fra til. (stx- eksamen august 2008) Opgave 6.87 En vektor er givet ved a 5 6. a) estem længden af a. b) estem vektor a s vinkel med den positive del af. aksen y Opgave 6.88 Figuren viser repræsentanter for vektorerne a og b. b a a) estem længderne af a og b. b) estem vinklen mellem repræsentanterne for a og b og den positive del af x-aksen. x 6.7 Skalarprodukt af vektorer Opgave 6.89 To vektorer er givet ved a 3 5 og b 0 6 Gør rede for, at de to vektorer er ortogonale. (stx eksamen net maj 202 uden) Opgave 6.90 I planen er der givet to vektorer, t 2 a og 5 estem tallet t, så vektorerne a og b er ortogonale. (stx eksamen maj 2008 uden) 3 b 3, hvor t er et tal. 26

21 6. Vektorer og trigonometri Opgave To vektorer er givet ved a og 3 2 b, hvor t er et tal. t a) Tegn i et geometriprogram repræsentanter for a og for fem forskellige udgaver af b. 2 b) Sæt OP t, og give en sproglig beskrivelse af, hvor i planen punkterne P t t ligger for et vilkårligt t. c) Giv ud fra din geometriske konstruktion et bud på for hvilken værdi af t, a og b er ortogonale. d) eregn værdien af tallet t, så a og b er ortogonale. Opgave 6.92 I et koordinatsystem er to vektorer givet ved a 2 t og 3 + 2t b, hvor t er et tal. 4 a) Tegn i et geometriprogram repræsentanter for a og b for fem forskellige værdier af t. 2 Sæt OP 3 2t t, og OQ + t t. 4 b) Giv en sproglig beskrivelse af, hvor i planen punkterne P t og Q t ligger for et vilkårligt t. c) Konstruer OPt og OQ t ved hjælp af en skyder for tallet t, og giv ud fra din geometriske konstruktion et bud på for hvilken værdi af t, a og b er ortogonale. d) eregn værdien af tallet t, så a og b er ortogonale. Opgave 6.93 estem tallet t, så vektorerne a 2t og 5t b 3 er ortogonale. (stx eksamen juni 200 uden) Opgave 6.94 I et koordinatsystem er to vektorer a og b bestemt ved 2 a t og b t + 3 a) estem de værdier af t, der gør a og b ortogonale. b) Tegn vektorerne for de pågældende værdier af t. (aseret på stx eksamen maj 20 uden) 27

22 Opgave Vi har givet to vektorer a og 5 6 b 5. fgør uden at tegne vektorerne eller beregne vinklen, om vinklen mellem disse to vektorer er ret, spids eller stump? Opgave 6.96 I et koordinatsystem er to vektorer a og b bestemt ved a 2 og b 3 2 estem vinklen mellem a og b. Opgave 6.97 I et koordinatsystem er givet vektorerne a t 2 og b 3 t hvor t er et tal. estem for t 4 vinklen mellem a og b. Opgave 6.98 To vektorer er givet ved a 2 8 og b 3 9. a) Tegn repræsentanter for a og b i et koordinatsystem med et matematisk værktøjsprogram. b) estem vinklen mellem a og b med et matematisk værktøjsprogram. c) estem vinklen mellem a og b vha. prikproduktet. Opgave 6.99 I en trekant kendes tre størrelser, se figuren. b 0 a 3,47 a) estem vinkel. b) estem vinklerne og. c 0 Opgave 6.00 I en trekant kendes tre størrelser, se figuren. b,88 a) estem siden a. 52 c 8 b) estem vinklerne og. 28

23 6. Vektorer og trigonometri Opgave 6.0 Figuren viser et koordinatsystem med en model af en helikopterrute på et bestemt tidspunkt af året mellem to byer og D. Enheden i koordinatsystemet er km. Modellen af helikopterruten er opdelt i tre strækninger S, S 2 og S 3, der hver kan beskrives ved en vektor. Koordinaterne for de fire punkter er: (0,0), (33,8), (27,28) og D(32,4). Opgaven løses i dit matematiske værktøjsprogram. a) Plot punkterne og tegn forbindelsesvektorerne, og D op som vist på figuren. b) Skriv stedvektorerne til punkterne ind. c) eregn forbindelsesvektorerne,, D og D ud fra stedvektorerne, idet der fx gælder, at: O O. d) estem ved måling på din konstruktion længden af helikopterruten D. y S 3 S 2 S D v x e) Hvor meget længere er ruten D i forhold til den direkte rute D? Hvilken regel fortæller, at man havner samme sted i begge tilfælde? f) estem ved måling på din konstruktion vinklen v, som helikopteren skal dreje ifølge modellen, når ruten skifter mellem de to strækninger S og S 2. Opgave 6.02 I trekant er der givet siderne 8, 2 og 5. a) Konstruer trekanten i et dynamisk geometriprogram, og forklar udførligt konstruktionstrinene. b) estem vha. det dynamiske geometriprogram de ukendte vinkler. Opgave 6.03 I trekant er der givet siderne 9, 0 og en mellemliggende vinkel på 35. a) Konstruer trekanten i et dynamisk geometriprogram, og forklar udførligt konstruktionstrinene. b) estem vha. det dynamiske geometriprogram den side og de ukendte vinkler. 29

24 Opgave 6.04 I trekant er 72, b 4, og c 3,8. a) Tegn en model af trekanten, og beregn længden af siden a. b) eregn længden af højden på siden b. (stx- eksamen maj 2007) Opgave 6.05 Til venstre ses en skitse af trekant DH og firkant D a) estem D i trekant DH. b) estem D og i firkant D. H D 7 D (stx- eksamen maj 2008) 6.8 Projektioner Opgave 6.06 I et koordinatsystem er to vektorer a og b bestemt ved a 2 3 og b 2 a) estem tallet s, således at a + s b og v er ortogonale. b) estem koordinatsættet til projektionen af a på b. (stx eksamen december 2008 med) Opgave 6.07 I et koordinatsystem er to vektorer a og b bestemt ved a 2 og b 3 2 a) estem vinklen mellem a og b. b) estem længden af projektionen af b på a. (stx eksamen august 2009 med) Opgave 6.08 To vektorer er givet ved a 6 2 og b 3 4. estem koordinatsættet til projektionen af a på b. (aseret på stx eksamen december 2009 med) 30

25 6. Vektorer og trigonometri 6.9 Tværvektor Opgave 6.09 a) Tegn vha. et geometriprogram repræsentanter for følgende vektorer i et koordinatsystem: 0 a b c 2 7 d e 5 f 6 0 b) estem, og indtegn en tværvektor til a, b, d og f. 6.0 Determinanter, arealberegning og sinusrelationerne Opgave 6.0 Vi har givet vektorerne a 3 5 og b 7. a) estem det(a, b ). Hvilken geometrisk betydning har dette tal? b) estem det( b,a ). Sammenlign med det(a, b ). Hvad ser du? Opgave 6. I et koordinatsystem er to vektorer givet ved a t + og b 3 2t 4, hvor t er et tal. a) estem t, så vektorerne a og b er ortogonale b) estem t, så vektorerne a og b er parallelle. (stx eksamen august 2008 uden) Opgave 6.2 I planen er der givet to vektorer a 2 5 og b 3 4. a) estem koordinaterne til c, hvor c a + 2 b ved beregning og konstruktion i dit matematiske værktøjsprogram. b) estem længden af de tre vektorer a, 2 b og c ved måling i dit matematiske værktøjsprogram. c) De tre vektorer a, 2 b og c danner sammen en trekant. estem ved måling vinklerne i trekanten samt trekantens omkreds og areal. 3

26 Opgave 6.3 I planen er givet tre punkter (, 2), ( 3,4) og (6,). a) Opskriv koordinaterne til stedvektorerne for de tre punkter, og bestem ved beregning i dit matematiske værktøjsprogram koordinaterne til forbindelses- vektorerne,, og,. b) Konstruer de tre punkter, stedvektorer og forbindelsesvektorer i dit matematiske værktøjsprogram, konstruer den tilhørende trekant, og bestem omkreds og areal af trekanten ved måling. Opgave 6.4 estem tallet t, så vektorerne a 2 2t 3 og b 4 7t 5 (stx eksamen august 200 uden) er parallelle. Opgave 6.5 I et koordinatsystem i planen er to vektorer a og b givet ved a 3 t og b 2 8 estem t, så a og b er parallelle. (stx eksamen december 202 uden) Opgave 6.6 I et koordinatsystem er to vektorer a og b givet ved a 3 2 og b 2 5 estem arealet af det parallelogram, som de to vektorer a og b udspænder. (stx eksamen maj 202 uden) Opgave 6.7 I et koordinatsystem er to vektorer a og b bestemt ved a 5 0 og b 6 8 a) estem koordinatsættet til projektionen af a på b. b) estem arealet af parallelogrammet udspændt af a og b. (stx eksamen maj 20 med) 32

27 6. Vektorer og trigonometri Opgave 6.8 To vektorer i planen er givet ved a 5 4 og b 3 6 estem arealet af det parallelogram, som de to vektorer udspænder. (stx eksamen august 20 uden) Opgave 6.9 I et koordinatsystem i planen er to vektorer a og b givet ved a 3 7 og b 4 a) estem vinklen mellem a og b. b) estem arealet af den trekant, der udspændes af a og b. (stx eksamen august 203 med) Opgave 6.20 To vektorer er givet ved a 8 6 og b 3 t, hvor t er et tal. a) estem t, så de to vektorer er ortogonale. b) estem arealet af det parallelogram, som de to vektorer udspænder, når t 2. (stx eksamen net maj 202 uden) Opgave 6.2 I et koordinatsystem er givet to punkter P(3,) og Q(20,7) samt en vektor a 4 3. a) estem arealet af det parallelogram, der udspændes af vektorerne PQ og a. b) estem koordinatsættet til projektionen af PQ på a. 33

28 Opgave 6.22 I et koordinatsystem er to vektorer givet ved 2 a 6 og b, hvor t er et tal. 3 t a) estem t, så a og b er ortogonale. b) estem t, så a og b er parallelle. c) Der er to værdier af t, så arealet udspændt af a og b er 0. estem disse to værdier. (efter stx eksamen maj 207, uden) Opgave 6.23 I en trekant kendes tre størrelser, se figuren. a) estem siden b. b a 7 b) estem vinkel. 68,7 c 4,72 c) estem siden c. d) estem arealet af trekant. Opgave 6.24 I en trekant kendes tre størrelser, se figuren. b 5 a 7 a) estem vinkel. b) estem vinkel. c 27,93 c) estem siden c. d) estem arealet af trekant. Opgave I en trekant kendes tre størrelser, se figuren. a) estem den ukendte vinkel og sider. b) estem arealet af trekant. a 5,

29 6. Vektorer og trigonometri Opgave 6.26 En model af en mark omkranset af vejstykker er beskrevet ved figuren DEF. Punkterne,,, D, E og F er indlagt i et koordinatsystem med enheden km. Koordinaterne for en række af vektorerne er givet ved 0,49, 0,07 DE 0,32 og 0,07 0,32, 0,26 EF 0,70 D, 0,26 0,425. 0,087 E D F 0,5 0 0,5 a) estem koordinaterne for en vektor, der beskriver vejstykket fra F til. b) estem afstanden fra til via. c) estem arealet af marken DEF. d) estem vinklen mellem de to vejstykker og F. Opgave 6.27 En model af en flagstang med flag er indlagt i et koordinatsystem med enheden meter. I modellen er der placeret en projektør i punktet, i punktet er foden til flagstangen placeret og i punktet er flagknoppen placeret. 7 I modellen er 0 og. Flaget er 3 meter bredt og meter højt, når det er udfoldet som vist på figuren. a) estem afstanden fra projektøren til flagknoppen ifølge modellen. b) estem afstanden fra projektøren til det punkt på flaget, der er længst væk fra projektøren. Flagstangen flyttes, så er uændret, og projektøren flyttes ikke. c) estem koordinaterne til, hvis vinklen mellem en linje fra projektøren til foden af flagstangen og en linje fra projektøren til flagknoppen skal være 30º ifølge modellen. Opgave 6.28 Figuren viser en model af et område, der er beskrevet ved figuren, hvor enheden er km. 3 I modellen er, 59º og 3. 5 a) estem afstanden fra til ifølge modellen. b) estem arealet af området ifølge modellen. 35

30 Opgave 6.29 a) Scan QR-koden. Læg billedet ind i et koordinatsystem, og aflæs koordinater til forskellige punkter på kortet. b) eskriv en mulig løberute mellem alle de markerede punkter vha. vektorer, så man starter og slutter samme sted. c) estem længden af løberuten. Opgave 6.30 O z 6 T y illedet til venstre viser en flødebolle, der har form som en pyramide med kvadratisk bund. Toppunktet af pyramiden ligger på en linje, der står vinkelret på diagonalernes skæringspunkt i bunden. Den kvadratiske bund har sidelængden 6 cm, og afstanden fra toppunktet til bunden er 6 cm. x 6 6 På figuren er en model af flødebollen indtegnet i et koordinatsystem med enheden cm. a) enyt modellen til at bestemme den vinkel, som en af flødebollens sider danner med flødebollens bund. b) enyt modellen til at bestemme det samlede overfladeareal af flødebollen inklusive bunden. (stx eksamen, maj 205) 6. Udfordrende opgaver 3 D 2 Opgave 6.3 Lad os antage, at vi skal bevæge os fra punktet til punktet. På vejen skal vi hen og røre væggen D. Dette kan selvfølgelig gøres på rigtig mange forskellige måder. a) estem den korteste afstand fra til via D. D 5 D 36

31 6. Vektorer og trigonometri Opgave 6.32 reddegrader måles fra Ækvator (0 ) til Nordpolen (90 ). P er på v nordlig bredde. (Tilsvarende med sydlig bredde). N P N Nordstjernen P a) Forklar ud fra illustrationen til højre, hvordan du med hjælp fra Nordstjernen kan bestemme din breddegrad. Æ v Æ v Horisonten ved P S S Opgave 6.33 En af de mest berømte lertavler med matematisk indhold fra det gamle abylon har navnet Plimpton 322, opkaldt efter ham der fandt den. Den indeholder en tabel med 4 søjler af tal. Vi har her udeladt søjle. a) Hvis vi opfatter tallene i søjle 2 som bredden af et rektangel og tallene i søjle 3 som diagonalen i dette rektangel, hvordan udregnes da den anden side i rektanglet? Tegn og forklar. b) Kopier tabellen ind i et regneark, og udregn den sidste side c) I fortolkningen af tabellen antager man, at der er fire fejl, nemlig i de tonede felter med de kursiverede tal. Kan du forklare, hvorfor man mener, der må være fejl her? Hvad skulle der stå? Den første søjle beregnes ud fra søjle 2 og 3 og er knyttet til vinklen mellem diagonalen og siderne i rektanglet. Tavlen tolkes derfor som et udtryk for en tidlig babylonsk trigonometri. Rækkefølgen af tallene ned gennem tavlen er bestemt ved, at disse vinkler kommer i størrelsesorden. Plimptons tabel med tal skrevet i tres-talssystemet. Tabellen rummer fire søjler. Sidste søjle er blot en nummerering. Til venstre har vi skrevet søjlerne 2, 3 og 4 i titalssystemet. Opgave 6.34 Tegningen skal illustrere en situation, hvor en person befinder sig i på en klint, 50 m over havets overflade. Sigtbarheden er ideel, og med en rigtig god kikkert kan man lige ane toppen af en skibsmast, som vi ved er 0 m over havets overflade. er horisonten, set fra. (Målestoksforholdene er ikke korrekte). a) Hvor langt er der til horisontens kant fra, og hvor langt er der til skibet i fugleflugtslinje fra? (Jordens radius er 6370 km). 37

32 Opgave 6.35 Vi har et rektangulært papir med siderne 32 og 40. Vi bøjer et hjørne, så vi får figuren til venstre. a) estem arealet af den gule trekant ved beregning. b) estem arealet ved konstruktion i et geometriprogram. Kilde: Georg Mohr Opgave Opgave 6.36 Figuren viser en cirkel og en retvinklet trekant, hvor er ret. uestykket D har længden 30, og cirklens radius er 25. a) estem D. D b) estem arealet af den skraverede punktmængde. Kilde: Gemt - men ikke glemt en opgavesamling til matematik, Matematiklærerforeningen i 99. Opgave 6.37 Højdevinkel Regnmåler,5 m Ved placering af regnmålere forsøger man at mindske vindens indflydelse på regndråbernes baner ved hjælp af passende læforhold. Forsøg har vist, at de bedste læforhold opnås, hvis måleren placeres på steder omgivet af vegetation, således at højdevinklen (se figur) regnet fra målerens overkant til toppen af træerne er mellem 5 o og 30 o. Regnmåleren er monteret på en træpind og er,5 m høj. 38

33 6. Vektorer og trigonometri a) I hvilke afstande fra 5 m høje lægivende træer kan en regnmåler placeres, når højdevinklen skal være mellem 5 o og 30 o. En anden regnmåler er placeret i afstanden 0 m fra lægivende træer, og højdevinklen er målt til 25 o. b) estem højden af de lægivende træer. Kilde: Gemt - men ikke glemt en opgavesamling til matematik, Matematiklærerforeningen i 99. Opgave 6.38 Figuren viser rørledningen i en såkaldt spidsbunderrørledning. Det oplyses, at radius R i den store cirkel er 40 cm, og at radius r i den lille cirkel er 5 cm. a) estem den vinkel, der på figuren er betegnet med v. b) estem arealet af røråbningen. R v Kilde: Gemt - men ikke glemt en opgavesamling til matematik, Matematiklærerforeningen i 99. r Opgave 6.39 Ovenstående figur viser to parabolantenner, der er rettet mod en kommunikationssatellit. Figuren til højre viser en geometrisk model af situationen i det tilfælde, hvor retningen fra antenne til satellit danner en vinkel på 5 o med vandret, og hvor satellittens afstand fra jordens centrum er km. Jordens radius sættes til 6370 km a) estem afstanden mellem satellitten og en af parabolantennerne. b) estem afstanden langs jordoverfladen mellem parabolantennerne. 39

34 204 Opgave 5.22 a) W(L) 0,00738 L 3,37 b) En aborre på 00 g er 6,8 cm lang. Opgave 5.23 En flyvefærdig unge på 0, kg er 26 døgn gammel. En unge som er 27 døgn gammel vejer 0,3 kg. Opgave 5.24 a 3 og b,5 Opgave 5.25 b 0,47, og overfladearealet af en sø med seks fuglearter er m 2 Opgave 5.26 a) En 30 mm lang hundestejle vejer 290,9 mg. b) En hundestejle på 000 mg er 46,8 mm lang. Opgave 5.27 a 0,2 og b 20 Opgave 5.28 Variable: v: hastighed, l: bremselængde. Model: l 0,0067 v 2 Opgave 5.29 Variable: p: entrepris, : tilskuerantal. Model: 5562,0355 p 0,5799 Opgave 5.30 a) w 225,6 g. b) w 4,64 g. Opgave 5.3 a) b 0,47, og overfladearealet af en sø med seks fuglearter er m 2. b) k 3,6. Dette betyder, at når overfladearealet tidobles, vil antallet af fuglearter vokse med 26%. Opgave 5.7 c) a,403 og b 2 k 0,403. Facit Kapitel 6 Opgave Ingen facitliste. Opgaverne fungerer som kontrolspørgsmål og/eller oplæg til diskussion i klassen. Opgave 6.4 a) 2 a 4, 5 b 2, 2 c, 2 d 6 4 2, f, g 2 7 b) Udregning af koordinater: a b 2, 0 a d 6, 4 d c, 9 g b 0 Den geometriske konstruktion af differensvektorerne: b a b g b y a a d g c d f 2 d c Ved aflæsning på tegningen finder vi de samme koordinatsæt. c) Geometrisk konstruktion af sumvektorerne: b a + b y c f 2 d a g a + d + 2c g + d Ved aflæsning finder vi samme koordinater som ved udregning: 3 6 a + b 6, g + d 0 0, a + d + 2c 0 x x

35 Facit Opgave a) 6, 4, 0 7 0, 6 b) 4 5, 9 0 0, 0 Opgave , , 7, a) Midtpunkt på : (2,4) på : (2.5,0) på : (7.5,) b) y 5 M (2.00,4.00) ,53 0,20 8,06 M (2.50,0.00) M (7.50,.00) c) 0,2 2,53 8,06 Opgave 6.48 a) Tegn pil fra (0,0) ud til (7,2) b) c) d) e) 0 a + b 2 33 b 0 6 3a 5b 44 c 46 x Opgave 6.49 a) a 0,2 b 9,4 c 2,9 d 5,8 b) a 0,98 a 0,20 b 0,85 b 0,53 c 0,4 c 0,9 d 0,32 d 0,95 Opgave 6.50 a) Der er uendeligt mange forskellige mulig- 4 0 heder. Et eksempel er a og b b) Man kan undersøge, om der findes en konstant k, så a k b. Hvis der findes en sådan konstant, er den forholdet mellem de to x-koordinater og forholdet mellem de to y-koordinater. Man kan altså beregne disse to forhold og tjekke, om de er ens; i givet fald er vektorerne parallelle. I eksemplet fra a) har vi 0 50 k 2, Opgave 6.5 a) Tegn pil fra (0,0) ud til (7,4) b) Længden: 8,06, vinklen: 29,74º 22 c) b 29 Opgave og Opgave D og D

36 Opgave 6.54 a) + b) y Opgave 6.59 a) 0,2 2,53 8,06 a + b Opgave 6.60 a) 4,24 b) 2,2 c) 0,9 d),34 c) d) e) a 9 a + b 9 b a 5b 55 3 f) c 39 Opgave 6.55 c 2,5 Opgave 6.56 b 8,7 Opgave 6.57 a 9,5 x Opgave 6.6 a) 3,08 b) 0,42 Opgave 6.62 ambusrøret er knækket i højden 4,55 ch ih over jorden. Opgave 6.63 a) 30 km b) 50 cm Opgave 6.64 a) fstanden er 20, 40 og 80 cm. b) Kortet med :00000 giver flest detaljer. Opgave 6.65 a) k 3 b) 4 og DE 8 Opgave 6.66 c 50 og b 3000 Opgave og 4 Opgave 6.58 a) a 7, b 58, c 5, d 5 b) y c 5 c b 7, a b a 4,2 d 5 d x c) L a 4,2, L b 7,62, L c 5, L d 5 Opgave 6.68 P Q 23,4 Opgave m Opgave ,78 m Opgave 6.7 h2 a) 3 h b) T T 9 206

37 Facit Opgave 6.74 I) 60º, a 7,4 og b 4,25 II) 50º, a 5,0 og b 4,2 Opgave 6.75 I) 40º, a 7,3 og b 4,7 II) F 65º, e 5,5 og f 5,0 Opgave 6.76 I) 55º, 35º og b 5,6 II) D 45º, F 45º og e 7, Opgave 6.77 a) 9, og 23,2 b) h c 3,3 Opgave 6.78 a) 2,5 m og 2,8º b) 5,7º Opgave 6.84 a) 60º b) E 60,6 cm og arealet af bordpladen er 6365,3 cm 2 Opgave 6.85 a),5 m b) D,05 m Opgave , m Opgave 6.87 a) 7,8 b) 50,2º Opgave 6.88 a) a 8,06 og b 3,6 b) v a 29,74º og v b 7,57º Opgave 6.79 a) 29,9º og H 5,0 b) 0,º Opgave 6.80 a) 30, cm og 9, cm b) E 5,6º Opgave 6.8 a) H 35,0 m b) realet er 59,4 m 2 Opgave 6.82 a) v 25,8º b) T 2,8 Opgave 6.89 Prikproduktet giver 0. Opgave 6.90 t 7 Opgave 6.9 a) 3 y a 2 b b b x Opgave 6.83 a) 7,4º b) D 3,2 m 2 3 b b 2 b b 3 b) lle punkter P t ligger på linjen x 2. c) t ligger mellem 2 og 3. Tættest på 3. d) t

38 Opgave 6.92 a) b b b b 2 0 b ba 2 ba 2 b) Punkterne P t ligger på linjen x 2 (jo større numerisk t-værdi, jo længere væk fra x-aksen) og punkterne Q t ligger på linjen y 4 (for t,5 ligger P t på y-aksen. Jo længere numerisk t-værdien ligger fra t,5, jo længere fra y-aksen ligger punktet) c) Den geometriske konstruktion: d) t 3 4 t 0,75 Opgave 6.93 t Opgave b b y y 90 a) t 5 b) Vektorerne for pågældende t-værdi: b b y b a 5 x b a b a 2 b a b a 0 x x Opgave 6.95 Da prikproduktet giver, er vinklen mellem vektorerne spids tæt på 90. Opgave 6.96 Vinklen 82,87 Opgave 6.97 Vinklen 9,44 Opgave 6.98 b) + c) 4,40º Opgave 6.99 a) 9,98º b) 80,0º Opgave 6.00 a) a 7,00 b) 63,78º og 64,22º Opgave b) O 33, O 27, O 32 og OD c) 6 5,, D 32, D d) 63,8 km. e),7 km længere. Indskudssætningen garanterer, at vi lander det samme sted med de to ruter. f) 92,35º. Opgave 6.04 a) a 4,65 b) h c 3,6 Opgave 6.05 a) D 56,4º b) D 86, og 62, Opgave 6.06 a) s b) a b

39 Facit Opgave 6.07 a) Vinklen 82,87 b) b 0,45 a Opgave 6.08 a b 3,2 4,6 Opgave 6.09 a) Geometrisk repræsentation y 4 3 b 2 f a d e 2 c x Opgave 6. 3 a) t b) t 2 Opgave a) c 3 b) a 5,39, 2b 0 og c 3,60 c) Vinklerne er 38,9º, 2,3º og 9,8º. Omkredsen er 28,99. realet er 23. Opgave a) O, O, O 2 4 2, 9 7, b) Omkredsen er 23,43. realet et 24. b) 2 â 0, ˆ 4 b 3, ˆ d 7, ˆ 0 f 6 Opgave 6.4 f b d ˆ âa y a 6 5 e c b ˆ 3 f ˆ f d x t 3 Opgave 6.5 t 2 Opgave 6.6 real 9 Opgave 6.7 a) a b 3 4 b) real 00 Opgave 6.8 real 8 Opgave 6.0 a) det ( a, b ) 26 realet af parallelogrammet udspændt af de to vektorer giver 26. b) det( b, a ) 26 Der gælder, at det( a, b ) det( b, a) Opgave 6.9 a) 70,84 b) real 2,5 Opgave 6.20 a) t 4 b) real

40 Opgave 6.2 a) real 75 8 b) PQ a 6 Opgave 6.22 a) t 4 b) t 9 c) Determinanten skal være 0 eller 0. Så t 4 eller t 4 Opgave 6.23 a) b 5,00 b) 69,57º c) c 7,04 d) T 6, 4 Opgave 6.24 a) 40,98º b),09º c) c 9,96 d) T 6,33 Opgave 6.25 a) 08º, b 2,72 og c 6,92 b) T 7,2 Opgave ,06 a) F 0,469 b) 0,707 km c) 0,247 km 2 96,23º Opgave 6.27 a) 0,63 m b) 2,8 m 3,86 c) 0 Opgave 6.28 a) 5,83 km b) 43,73 km 2 Opgave 6.29 Opgave 6.30 a) 63,43º b) 6,5 cm 2 Opgave Opgave 6.33 c) Vi leder efter tre hele tal, der opfylder Pythagoras. Udregn i et værktøjsprogram som Maple en sequence. Gør som følger i tredje sidste række: seq ( a, 289 ) 2 a 2, a,288, og opsøg de hele tal blandt de 288. Der kan godt være flere svar, som her: 3. række: 36, 6, 240, række: række: række: 65, 70, 06, 9, 92 Hvis vi ønsker ét svar, skal vi inddrage vinklerne, der skal stå i rækkefølge efter størrelse. Opgave 6.34 Der er 25,2 km til horisonten og 36,5 km fra skibet til klinten. Opgave 6.35 realet af trekanten er 400. Opgave 6.36 a) Vinkel D er 68,76º. b) realet af cirkeludsnittet er 375. Siden er 64,3. realet af trekant er 803,8. realet af den skraverede punktmængde er 803, ,8. Opgave 6.37 a) fstand mellem 23,38 m og 50,38 m b) Højden er 4,66 +,5 6,6 m Opgave 6.38 a) v 28,96º b) 5864, cm 2 Opgave 6.39 a) Den halve vinkel ved satellitten er 8,38º. fstanden er km. b) fstanden langs overfladen er

Vektorer og lineær regression

Vektorer og lineær regression Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden

Læs mere

Mike Vandal Auerbach. Geometri i planen. # b. # a. # a # b.

Mike Vandal Auerbach. Geometri i planen. # b. # a. # a # b. Mike Vandal Auerbach Geometri i planen # a # a www.mathematicus.dk Geometri i planen 1. udgave, 2018 Disse noter dækker kernestoffet i plangeometri på stx A- og B-niveau efter gymnasiereformen 2017. Al

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Trekants- beregning for hf

Trekants- beregning for hf Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel

Læs mere

Løsning til øvelse 7.8, side 272: Københavns Politigård

Løsning til øvelse 7.8, side 272: Københavns Politigård website: link fra, kapitel 7, afsnit 2 Løsning til øvelse 7.8, side 272: Københavns Politigård Bemærk: Benyt fx formelsamlingen til stxa side 10-14 til at finde de relevante formler. (Geogebra starter

Læs mere

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri 7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Linjer i trekanter: kende til højde, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median, kunne tegne indskrevne og omskrevne

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

A U E R B A C H M I K E # e z. a z. # a. # e x. # e y. a x

A U E R B A C H M I K E   # e z. a z. # a. # e x. # e y. a x M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A 2. udgave, 207 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit

Læs mere

Pythagoras Ensvinklede trekanter Trigonometri. Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen

Pythagoras Ensvinklede trekanter Trigonometri. Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen MATEMATIKBANKENS P.E.T. KOMPENDIUM Pythagoras Ensvinklede trekanter Trigonometri Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen FORENKLEDE FÆLLES MÅL FOR PYTHAGORAS, ENSVINKLEDE TREKANTER

Læs mere

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x

M A T E M A T I K. # e z. # a. # e x. # e y A U E R B A C H M I K E. a z. a x M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

Matematik for lærerstuderende klasse Geometri

Matematik for lærerstuderende klasse Geometri Matematik for lærerstuderende 4.-10. klasse Geometri Klassisk geometri (kapitel 6) Deduktiv tankegang Ræsonnementskompetence Mål med kapitlet: Erkender Thales sætning som fundament for afstandsberegning.

Læs mere

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil

Læs mere

1 Geometri & trigonometri

1 Geometri & trigonometri 1 Geometri & trigonometri 1.0.1 Generelle forhold Trigonometri tager sit udgangspunkt i trekanter, hvor der er visse generelle regler: vinkelsum areal A trekant = 1 2 h G A B C = 180 o retvinklet trekant

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Geometri. Georg Mohr-Konkurrencen

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Geometri. Georg Mohr-Konkurrencen Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en teoretisk indføring, men der i stedet fokus på

Læs mere

Frederiksberg HF-kursus Vektorer i planen, Mat B, SSO Kenneth Leerbeck, 2. J. Vektorer. planen

Frederiksberg HF-kursus Vektorer i planen, Mat B, SSO Kenneth Leerbeck, 2. J. Vektorer. planen Vektorer i planen English abstract This report is about the mathematical concept vectors. It explains what a vector is, and how vectors are indicated with coordinates and arrows. It explains calculating

Læs mere

RENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L

RENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L SIMULATION 4 2 RENTES REGNING F I NMED N H REGNEARK. K R I S T I A N S E N KUGLE 5 LANDMÅLING 3 MÅLSCORE I HÅNDBO G Y L D E N D A L Faglige mål: Anvende simple geometriske modeller og løse simple geometriske

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

Tilhørende: Robert Nielsen, 8b. Geometribog. Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden.

Tilhørende: Robert Nielsen, 8b. Geometribog. Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden. Tilhørende: Robert Nielsen, 8b Geometribog Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden. 1 Polygoner. 1.1 Generelt om polygoner. Et polygon er en figur bestående af mere end

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde Trigonometri Ordet trigonometri er sammensat af de to ord trigon og metri, hvor trigon betyder trekant og metri kommer af det græske ord metros, som kan oversættes til måling. Så ordet trigonometri er

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

Matematik. Meteriske system

Matematik. Meteriske system Matematik Geometriske figurer 1 Meteriske system Enheder: Når vi arbejder i længder, arealer og rummål er udgangspunktet metersystemet: 2 www.ucholstebro.dk. Døesvej 70 76. 7500 Holstebro. Telefon 99 122

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 2stx101-MAT/A-01062010 Tirsdag den 1. juni 2010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Mathematicus AB1. # a # b. # a # b. Mike Vandal Auerbach.

Mathematicus AB1. # a # b. # a # b. Mike Vandal Auerbach. Mathematicus AB1 # a # b # a # b Mike Vandal Auerbach www.mathematicus.dk Mathematicus AB1 1. udgave, 2017 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og må anvendes til ikke-kommercielle formål.

Læs mere

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296)

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296) Forslag til løsning af Opgaver om areal (side96) Opgave 1 6 0 8 Vi kan beregne arealet af 6 8 0 s 4. ved hjælp af Heron s formel: ( ) 4 4 6 4 8 4 0 6. Parallelogrammets areal er det dobbelte af trekantens

Læs mere

06 Formler i retvinklede trekanter del 2

06 Formler i retvinklede trekanter del 2 06 Formler i retvinklede trekanter del 2 I del 2 udledes (nogle af) de generelle formler, der gælder for sinus, cosinus og tangens i retvinklede trekanter. Sætning 1 For enhver vinkel v gælder der BEVIS

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 12/13 Institution Teknisk gymnasium Thisted, EUC - nordvest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

Analytisk Geometri og Vektorer

Analytisk Geometri og Vektorer Matematikprojekt om Analytisk Geometri og Vektorer Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen 19 November 2010 Indhold I Analytisk plan og rum-geometri................. 3 I

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1) Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant. a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Projekt 6.3 Caspar Wessel indførelse af komplekse tal

Projekt 6.3 Caspar Wessel indførelse af komplekse tal Projekt 6.3 Caspar Wessel indførelse af komplekse tal Et af de helt store idenskabelige projekter i 1700tallets Danmark ar kortlægningen af Danmark. Projektet ble aretaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes

Læs mere

A U E R B A C H M I K E # e z. a z. # a. # e x. # e y. a x

A U E R B A C H M I K E   # e z. a z. # a. # e x. # e y. a x M A T E M A T I K A 3 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik A3. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

M A T E M A T I K A 3

M A T E M A T I K A 3 M A T E M A T I K A 3 M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik A3. udgave, 206 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes

Læs mere

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning  Gratis anvendelse - læs betingelser! Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

bruge en formel-samling

bruge en formel-samling Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber

Læs mere

Mattip om. Arealer 2. Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5. Du skal lære om: Repetition af begreber og formler. Arealberegning af en trekant

Mattip om. Arealer 2. Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5. Du skal lære om: Repetition af begreber og formler. Arealberegning af en trekant Mattip om Arealer 2 Du skal lære om: Repetition af begreber og formler Kan ikke Kan næsten Kan Arealberegning af en trekant Arealberegning af en trapez Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5 2016 mattip.dk 1

Læs mere

Geometri i plan og rum

Geometri i plan og rum INTRO I kapitlet arbejder eleverne med plane og rumlige figurers egenskaber og med deres anvendelse som geometriske modeller. I den forbindelse kommer de bl.a. til at beskæftige sig med beregninger af

Læs mere

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty Matematik Den kinesiske prøve uiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui 45 min 01 11

Læs mere

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse!

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Det er velkendt at det største rektangel med en fast omkreds er et kvadrat. Man kan nemt illustrere dette i et værktøjsprogram ved at tegne et vilkårligt

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns

Læs mere

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Termin maj-juni 2013 Institution ZBC Ringsted Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik B Jacob Debel 12HTX11 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel

Læs mere

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande

VEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande VEKTORGEOMETRI del Skæringer Projektioner Vinkler Afstande x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Februar 019 ; Michael Szymanski ; mz@ghg.dk 1 Indhold OVERSIGT... 3 SKÆRINGSPUNKTER OG RØRINGSPUNKTER...

Læs mere

Projekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter

Projekt 8.12 Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekter: Kapitel 8 Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Projekt 8. Firkantstrigonometri og Ptolemaios sætning i cykliske firkanter Trigonometrien til beregning af

Læs mere

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler

Læs mere

Pythagoras og andre sætninger

Pythagoras og andre sætninger Pythagoras og andre sætninger Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt,

Læs mere

Projekt 6.7. Beviser for Pythagoras sætning - og konstruktion af animationer

Projekt 6.7. Beviser for Pythagoras sætning - og konstruktion af animationer Projekt 6.7. Beviser for Pythagoras sætning - og konstruktion af animationer Flere beviser for Pythagoras sætning 1 Bevis for Pythagoras sætning ved anvendelse af ensvinklede trekanter... 1 Opgave 1 Et

Læs mere

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2013 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns Tekniske Skole, HTX Vibenhus Uddannelse

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere

GEOMETRI I PLAN OG RUM

GEOMETRI I PLAN OG RUM LÆRERVEJLEDNING GEOMETRI I PLN OG RUM Kopiark Indhold og kommentarer Vejledende sværhedsgrad Tilknytning til Kolorit 9 matematik grundbog Navne på figurer På siden arbejder eleverne med navnene på forskellige

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Årsplan matematik 8. klasse

Årsplan matematik 8. klasse Årsplan matematik 8. klasse 2019-2020 Eleverne arbejder med grundbogen Matematrix 8. I undervisningen inddrages digitale undervisningsredskaber såsom Geogebra, Wordmat, MatematikFessor, emat, excel og

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2015 til juli 2017 Institution Teknisk Gymnasium Sønderborg Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL

MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL 8 MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL DIGITALE VÆRKTØJER A1.1 SORTER LIGNINGER 2x + 3 = 15 x 17 = 25 61 x = 37 2x + 11 = 5x 10 x 2 = 2x + 3 4x + 1 5 = 9 4x

Læs mere

Mattip om. Arealer 1. Tilhørende kopier: Arealer 1, 2 og 3. Du skal lære om: De vigtigste begreber. Arealberegning af et kvadrat eller rektangel

Mattip om. Arealer 1. Tilhørende kopier: Arealer 1, 2 og 3. Du skal lære om: De vigtigste begreber. Arealberegning af et kvadrat eller rektangel Mattip om realer 1 Du skal lære om: De vigtigste begreber Kan ikke Kan næsten Kan realberegning af et kvadrat eller rektangel Tegning/konstruktion af kvadrater og rektangler realberegning af et parallelogram

Læs mere

Projekt 3.7. Pythagoras sætning

Projekt 3.7. Pythagoras sætning Projekt 3.7. Pythagoras sætning Flere beviser for Pythagoras sætning... Bevis for Pythagoras sætning ved anvendelse af ensvinklede trekanter... Opgave 1: Et kinesisk og et indisk bevis for Pythagoras sætning...

Læs mere

Geometriske eksperimenter

Geometriske eksperimenter I kapitlet arbejder eleverne med nogle af de egenskaber, der er knyttet til centrale geometriske figurer og begreber (se listen her under). Set fra en emneorienteret synsvinkel handler kapitlet derfor

Læs mere

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex

ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET. Formelsamling. Brush-up Flex ADGANGSKURSUS AALBORG UNIVERSITET Formelsamling Brush-up Flex 2016 Indholdsfortegnelse 1. Brøkregning... 2 2. Parenteser... 3 3. Kvadratsætningerne:... 3 4. Potensregneregler... 4 5. Andengradsligninger...

Læs mere

TRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE.

TRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE. TRIGONOMETRI, 4 UGER, 9.KLASSE. FRA FÆLLES MÅL Målsætninger for undervisningsforløbet er opsat efter kompetence, færdigheds og vidensmål samt læringsmål i lærersprog. Geometri og måling Fase 3 Geometriske

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. August 2017-juni 2020 (1.,2, og3.

Undervisningsbeskrivelse. Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser. August 2017-juni 2020 (1.,2, og3. Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer August 2017-juni 2020 (1.,2, og3. år) Rybners HTX Matematik A Antonia

Læs mere

Færdigheds- og vidensområder

Færdigheds- og vidensområder Klasse: Mars 6./7. Skoleår: 16/17 Eleverne arbejder med bogsystemet format, hhv. 6. og 7. klasse. Da der er et stort spring i emnerne i mellem disse trin er årsplanen udformet ud fra Format 7, hvortil

Læs mere

Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari

Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2 Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Opgave 7 - Analytisk Plangeometri Delopgave a) Vi starter ud med at undersøge afstanden fra punktet P(5,4) til linjen

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. KERNESTOF i GYMNASIEMATEMATIK op til A- niveau

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. KERNESTOF i GYMNASIEMATEMATIK op til A- niveau MOGENS ODDERSHEDE LARSEN KERNESTOF i GYMNASIEMATEMATIK op til A- niveau 3. udgave 4 FORORD Denne bog er beregnet for studerende, som har behov for at repetere eller opgradere deres matematiske viden til

Læs mere

Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt).

Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt). Mit bord. Tegn det bord, du sidder ved. Du skal lave en tegning af bordet set lige på fra alle sider (fra langsiden, den korte side, fra oven og fra neden - 4 tegninger i alt). Tegningerne skal laves på

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 12/13 og maj/juni 13/14 Institution Teknisk gymnasium Thisted, EUC - nordvest Uddannelse Fag og niveau

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) August 2015- juni 2017 ( 1 og 2. År) Rybners HTX Matematik B

Læs mere

Årsplan 2018/19 Matematik 3. årgang. Kapitel 1: Jubii

Årsplan 2018/19 Matematik 3. årgang. Kapitel 1: Jubii Årsplan 08/9 Matematik. årgang TriX A Kapitel : Jubii I bogens første kapitel får eleverne mulighed for at repetere det faglige stof, som de arbejdede med i. klasse. Kapitlet har især fokus på kerneområderne

Læs mere

VEKTORGEOMETRI del 1 Vektorregning Parameterfremstillinger Produkter af vektorer

VEKTORGEOMETRI del 1 Vektorregning Parameterfremstillinger Produkter af vektorer VEKTORGEOMETRI del 1 Vektorregning Parameterfremstillinger Produkter af vektorer x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indhold REPETITION OG KOORDINATER... REGNING MED VEKTORER... 8 STEDVEKTOR... 1 VEKTOR

Læs mere

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion VVS-branchens efteruddannelse Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Med de trigonometriske funktioner, kan der foretages

Læs mere

Tegning. Arbejdstegning og isometrisk tegning Ligedannede figurer Målestoksforhold Konstruktion Perspektivtegning. 1 Tegn fra tre synsvinkler

Tegning. Arbejdstegning og isometrisk tegning Ligedannede figurer Målestoksforhold Konstruktion Perspektivtegning. 1 Tegn fra tre synsvinkler Tegning Arbejds og isometrisk Ligedannede figurer Målestoksforhold Konstruktion Perspektiv Kassens højde Bundens bredde dybde Hullets diameter Afstand mellem hul og bund Højde over jorden Musvit 30 10

Læs mere

Elevark Niveau 2 - Side 1

Elevark Niveau 2 - Side 1 Elevark Niveau 2 - Side 1 Opgave 2-1 Brug (Polygon-værktøjet) og tegn trekanter, der ligner disse: Brug (Tekstværktøjet) til at skrive et stort R under de retvinklede trekanter Se Tip 1 og 2 Elevark Niveau

Læs mere

Todimensionale Vektorer

Todimensionale Vektorer Todimensionale Vektorer Frank Villa 6. december 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Nasser 0. april 0 c 008-0. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Klasseundervisning, opgaveløsning ved tavle, samt som selvstændige

Klasseundervisning, opgaveløsning ved tavle, samt som selvstændige STUDIEPLAN Matematik A 1C 1Z HTX 2009 10 Tal og Algebra Tid Uge 34 35 Faglige mål At kunne beherske de grundlæggende regneregler. Fagligt indhold Algebra, brøker, potenser og rødder. Ligninger Tid Uge

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Københavns

Læs mere

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a.

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Trigonometri - Facitliste

Trigonometri - Facitliste Trigonometri - Facitliste En del opgaver, undersøgelser og aktiviteter er formuleret, så der er flere mulige facit, da resultatet på forskellig måde afhænger af elevernes valg. I de tilfælde anføres eksempelvis

Læs mere

Kommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5

Kommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5 Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Projekter: Kapitel - Projektet er delt i to små projekter, der kan laves uafhængigt af hinanden. Der afsættes fx - timer til vejledning med efterfølgende

Læs mere

Todimensionelle Vektorer

Todimensionelle Vektorer Todimensionelle Vektorer Frank Villa 15. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Problemløsning i retvinklede trekanter

Problemløsning i retvinklede trekanter Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug

Læs mere

Sfærisk Geometri. Ikast Ib Michelsen

Sfærisk Geometri. Ikast Ib Michelsen Sfærisk Geometri Ikast 2018 Ib Michelsen Ib Michelsen Matematik A: Sfærisk Geometri Sidst ændret: 25-11-2018 Udskrevet: C:\Users\IbM\Dropbox\3uy\SfGe\SG0.odt 12 sider Indholdsfortegnelse Indledning...4

Læs mere

Geometriske vektorer. enote En geometrisk vektor

Geometriske vektorer. enote En geometrisk vektor enote 10 1 enote 10 Geometriske vektorer Formålet med denne note er at give en introduktion til geometriske vektorer i planen og rummet, som sigter mod at introducere en række af de metoder, der gør sig

Læs mere

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel

Storcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel Storcirkelsejlads Denne note er et udvidet tillæg til kapitlet om sfærisk geometri i TRIPs atematik højniveau 1, ved Erik Vestergaard. Nogle definitioner I dette afsnit skal vi se på forskellige aspekter

Læs mere