1. Eksperimenterende geometri og måling

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "1. Eksperimenterende geometri og måling"

Transkript

1 . Eksperimenterende geometri og måling Undersøgelse Undersøgelsen drejer sig om det såkaldte Firfarveproblem. For mere end 00 år siden fandt man ved sådanne undersøgelser frem til, at fire farver er nok til at farve ethvert tænkeligt landkort, uden at nogen nabolande får den samme farve. For uddybning se: (Lokaliseret juni 007) Øvelse 3) Der er uendelig mange løsninger. Den viste er fundet ved at afsætte et linjestykke AB på 0 cm, tegne en cirkel med centrum i B og radius 7 cm, tegne en cirkel med centrum i A og radius 5 cm. Dernæst bestemmes to punkter C og D på de to cirkelperiferier, hvor afstanden er 0 cm, idet man vælger D på den lille cirkel og bruger D som centrum for en cirkel med radius 0 cm, som skærer den store cirkel i C. C D A B

2 Øvelse 3 5) Linjestykket AB lig 00 mm afsættes, og vinkel A lig 60 afsættes. Vinklens venstre ben forlænges til skæring med en cirkel, der har centrum i B og radius 94 mm, hvorved skæringspunkterne C og D fremkommer. Altså er der to løsninger. C D A B Undersøgelse 4 ) Gårdejerne søger et punkt P med samme afstand til alle gårdene A, B og C. Da punktet P skal have lige stor afstand til A og B, må det ligge på midtnormalen for AB og tilsvarende for de øvrige siders midtnormaler. P er derfor skæringspunktet mellem midtnormalerne til linjestykkerne AB, BC og AC. Der er altså kun ét punkt med den søgte egenskab, når man ser strengt geometrisk på det. Spørgsmålet er imidlertid, om denne løsning er den smarteste. Det kunne være billigere at minimere den samlede rørlængde hen til brønden, altså AP + BP + CP, og dette ville give en anden placering, som man kan eksperimentere sig frem til ved at tegne og måle (eller ved at bruge målefunktionen i et geometrisk tegneprogram) og så flytte P rundt, indtil man får den mindste værdi for AP + BP + CP. Det viser sig, at positionen udmærker sig ved, at vinklerne mellem de fra P udløbende rør er lige store og altså 0. ) Grænserne for den enkeltes arbejdsmark udgøres af midtnormalerne til linjestykkerne AB, BC og AC.

3 Øvelse 5 3) Denne øvelse er meget svær, og vi bringer ikke en løsning, men henviser til Georg Mohr s bog: Euclides Danicus: Amsterdam 67. Med et forord af Johannes Hjelmslev, udgivet af Det Kgl. Danske Videnskabernes Selskab - Facsimile-udgave - København: Høst, 98. Opgave 3 Vinkel A lig 90 afsættes. Punktet B afsættes 3 cm ud ad højre ben. Det er oplyst, at BC er parallel med AD, hvilket medfører, at vinkel B er 90. Punktet C afsættes cm ud ad vinkel B s højre ben. For at kunne bestemme længden AD oprejses den vinkelrette på BC i punktet C. Skæringspunkt med AD kaldes E. Længden EC er 3 cm, da EC er parallel med AB, og begge linjestykker står vinkelret på BC, så ABCD er et rektangel. Vi kan nu bestemme længden af AD, idet trekant ECD udgør en retvinklet trekant, hvor to sider er kendte. Vha. den pythagoræiske sætning fås, at EC + ED = CD eller 3 + ED = 5 eller ED = 4. Altså er AD = AE + ED = 6 cm. A E D 3 5 B C Opgave 3 fortsat Cirklens centrum bestemmes som nogle vinkelhalveringslinjers skæringspunkt, jf. vinkelhalveringslinjernes egenskab som geometrisk sted. Vinkel A s og B s vinkelhalveringslinjer konstrueres, og deres skæringspunkt udgør cirklens centrum, S. Radius er lig ½ AB =,5 cm. Den ønskede cirkel tegnes med centrum i S og radius,5 cm. NB. Konstruktionen sikrer ikke, at CD også er tangent til cirklen. A D 3 S 5 B C 3

4 Opgave 4 ) Linjen c tegnes. Punktet C afsættes i en afstand på 0 cm fra c. Højden h c afsættes. Med centrum i C og radius cm tegnes en cirkel. Skæringspunkterne med c betegnes A og A. Tilsvarende tegnes en cirkel med centrum i C og radius 4 cm. Skæringspunkterne med c betegnes B og B. Der er således fire løsninger: ABC, AB ' C, A' B ' C og A' BC, de er dog to og to kongruente. C h B A c A' B' 4

5 Opgave 4 fortsat Inspireret af at h a er lig 0 cm tegnes to parallelle linjer med afstand 0 cm, den nederste kaldes a. På den øverste vælges et punkt som A. Med A som centrum og radius cm tegnes en cirkel, denne skærer a i to punkter, M og M, det giver to løsninger, her viser vi kun den ene. Skæringspunktet M udgør midtpunkt på BC. Om B og C ved vi kun, at de skal ligge på a. Men vi ved, at den omskrevne cirkel har midtnormalernes skæringspunkt som centrum, derfor tegnes midtnormalen n til BC. For at finde centrum for den omskrevne cirkel tegnes en cirkel med centrum i A og radius 8 cm. Cirklen skærer n i to punkter D og E, et af disse udgør centrum. E kan ikke bruges, da en cirkel med radius 8 cm og centrum i E ikke kan nå a, hvor B og C skal ligge, altså er D centrum. Med centrum i D og radius 8 cm tegnes en cirkel, hvor denne skærer a, har vi B og C. Havde vi benyttet M havde vi fået en hermed kongruent trekant. E A R n D m M ' B a M C 5

6 Undersøgelse 6 Det ligger i sagens natur, at en undersøgelse kan gå i mange retninger, men den kan fx forløbe således: Man tegner den vilkårlig trekant ABC i et dynamisk tegneprogram og konstruerer de fire typer skæringspunkter, som vi har udnævnt til at være interessante i denne undersøgelse. Derefter sletter vi (eller dæmper grafisk) alle hjælpelinier, så vi ikke forstyrres af for megen information på tegningen. Nu kan vi benytte os af det, som udmærker et dynamisk tegneprogram: vi trækker i trekantens hjørner. Herved opdager vi med lidt held, at tre af de punkter, vi fokuserer på, ligger på linje. Det drejer sig om medianernes skæringspunkt Me, midtnormalernes skæringspunkt M, og højdernes skæringspunkt H, hvis vi da ikke har valgt trekanten så symmetrisk, at de er sammenfaldende. Vinkelhalveringsliniernes skæringspunkt V synes ikke at passe pænt ind i mønsteret, så det udelader vi i den resterende undersøgelse. Linjen gennem M, Me og H kaldes trekantens Euler-linje. Vi observerer desuden, at punktet Me altid ligger midterst af de tre punkter. Benyttes målefunktionen i tegneprogrammet, opdager man måske også, at HMe altid er dobbelt så lang som MMe. Dette er indholdet i Eulers opdagelse omkring disse tre punkter. Vi vil i denne fase slet ikke komme ind på et bevis for sætningen. A M C Me V H B Undersøgelse Undersøger man en række eksempler på den type graf, vi har kaldt for træer, vil man nok bemærke, at antallet af punkter hele tiden er større end antallet af grene, her kaldet kanter. Det fører os frem til en sætning, der gælder for alle træer og som lyder: For en graf af form som et træ er antallet af punkter lig med antallet af kanter +. Et argument for sætningen kan fx lyde således: Enhver kant slutter i et punkt, hvortil kommer begyndelsespunktet. 6

7 Undersøgelse 4 Denne undersøgelse er så righoldig, at man kan kalde den for et helt undersøgelseslandskab. Det er hindrende for arbejdet i et undersøgelseslandskab, hvis man tror, at man skal nå frem til en række rigtige svar. Derfor bør man så sent som muligt i arbejdet opsøge det følgende forslag til besvarelser. De første svar er ret sikre og lukkede, men senere folder undersøgelsen sig ud og kan føre mange andre steder hen. ) Efter at Saskia har udpeget et tilfældigt punkt A, lægger Mikkel sit snit, så det svarer til diameteren på kagen. Mikkel skærer blot gennem A og cirklens centrum C. Hermed er Mikkel sikret halvdelen. ) Kun hvis Saskia udpeger kagens centrum C som det punkt, Mikkel skal skære igennem, kan hun være sikker på at få halvdelen. For enhver ret linje, der tegnes gennem C, er en diameter. 3a) Ligegyldigt hvilket punkt A, som Saskia vælger, kan Mikkel lægge et snit gennem A, der opdeler trekanten i to lige store stykker og dermed sikre sig at få halvdelen af kagen. Grunden hertil er kort sagt, at hvis Mikkel i en givet snit får, at kagedelen til venstre for kniven er mindre en kagedelen til højre for kniven, så vil han ved at dreje kniven 80 få den modsatte situation, hvor arealet til venstre er større end arealet til højre, for de to dele har byttet rolle ved en drejning af kniven på 80. Udtrykt mere præcist lægger vi kompasretninger ind over opgaven, så vi entydigt kan karakterisere Mikkels snit ud fra kompasretningen v. Kalder vi arealet på venstre side af kniven for f () v, så er arealet på højre side f( v+ 80 ), så f( v) + f( v+ 80 ) = udgør hele arealet. Heraf ses, at med mindre f ( v) er den konstante funktion ½, så er den sommetider større end ½ og sommetider mindre end ½. Da det er intuitivt klart, at f er en kontinuert funktion, må den ifølge sætning antage værdien ½ for en eller anden værdi af v. 3b) Nej, Saskia må nøjes med en fjerdedel af kagen. For selv hvis hun vælger trekantens centrum, altså fx midtnormalernes skæringspunkt som A, så kan Mikkel ved at skære gennem A parallelt med en af trekantens sider dele trekanten i ¼ og ¾. Da han må vælge først, sikrer han sig ¾. Hvis Saskia ikke vælger trekantens centrum som sit A, kan Mikkel tvinge hende til at få en endnu mindre del ved at skære en lille trekant af i det hjørne, som A ligger nærmest på (eller et af hjørnerne, hvis A ligger lige langt fra de to nærmeste). 4a) Argumentet fra 3a kan overføres til en kage af vilkårlig form, da vi i argumentet i 3a) slet ikke benyttede, at der var tale om en trekant. Det kan ske, at kagen falder ud i flere stykker, hvis det er en kage med indhak (en såkaldt ikke-konveks kage), men i princippet burde Mikkel kunne sikre sig en samlet halvdel. 7

8 . Areal Opgave 4 I oplægget til opgaven beskrives den omvendte proportionalitet mellem enhedens længde og måltallet i forbindelse med længdemål, fx at måltallet for en længde målt i fod vil være en af måltallet for den samme længde målt i tommer. Se figuren herunder. ) Vi skal nu undersøge, om noget tilsvarende gør sig gældende for arealer. Lad os se på de gamle mål: fod og alen, hvor der går fod på en alen. Af figuren fremgår nu, at der går fire kvadratfod på en kvadratalen. Dvs. at når vi måler et areal ved hjælp af kvadratfod, så får vi et måltal, der er 4 gange så stort, som hvis vi måler med kvadratalen. Fx har nedenstående figur på 3 alen et areal på 6 kvadratalen svarende til 4 kvadratfod. Vi kender det også med mm og cm, hvor der går 0 mm på cm, mens der går 00 kvadratmillimeter på kvadratcentimeter. Den bagvedliggende teori er den, der er udtrykt senere i sætning 5 i dette kapitel. A Formlen m = gælder også for arealer. Hvis vi i stedet at måle er givet areal A med e ønsker at e anvende en anden enhed E, der er t gange større end e, altså E = t e, så kan vi bestemme de tilsvarende måltal M ved M = A = A = A : t = m: t. Vi kan konkludere, at måltallet bliver t gange E t e e mindre, hvis måleenheden bliver t gange større. 8

9 Opgave 4 fortsat ) Det gælder også for rumfang. Der gik i de gamle danske mål to potter til en kande. Så hvis en kroejer rådede over 50 potter øl, så blev det omsat til kander kun til 50 : = 75 kander. Igen gælder det generelt, at hvis måleenheden bliver t gange større, så bliver det tilhørende måltal t gange mindre Imidlertid bliver det anderledes, hvis man laver sit rumfangsmål ud fra længdeenheder, fordi rumfang altid beregnes ved at tre længdeenheder ganges sammen, hvad enten det er ud fra kassens formel med længde gange bredde gange højde, eller det er ud fra kuglens rumfangsformel, hvor det er radius, man ganger med sig selv tre gange og desuden ganger med en passende konstant. Dette betyder, at ændringer i længdemålet slår igennem i tredje potens. Hvis vi altså har en terning med målene m m m og dermed med rumfang m 3, og vi ændrer længdemålene til centimeter, bliver rumfanget 00 cm 00 cm 00 cm = m 3. 3) I en skolesammenhæng er det vigtigst at fokusere på det elementære og centrale i første omgang. Dvs. at man ikke må komplicere sagen med, hvordan ændring i længdemål slår igennem i areal- og rumfangsmål. Det må komme til senere. A Det elementære ligger i betydningen af formlen m = altså i, at man finder måltallet ved at se, e hvor ofte enheden kan tages ud af helheden. Kvadratalen og kvadratfod ligger nok lidt fjernt for eleverne, men man kunne få en tilsvarende diskussion frem i klassen ved at se på A5-papir og A3- papir, hvor eleverne hurtigt vil bemærke, at der går fire stykker A5 til et stykke A3. Her kunne så diskuteres, hvor mange stykker A5 der går på et areal, som man tidligere har målt til stykker A3. Øvelse Figuren til venstre herunder illustrerer beviset for sætning A, hvor vi har vist, at arealet af rektanglet med længden a og bredden b er lig b a. Vi vil nu bevise, at arealet af det samme rektangel er lig a b. Figuren til højre anvendes som illustration for beviset. Vi vælger at se på bredden b og får, at der kan ligge netop b enhedskvadrater langs rektanglets bredde. Hvert af disse enhedskvadrater har ifølge arealaksiom 4 arealet, og derfor får hele søjlen af b enhedskvadrater ifølge arealaksiom 3 arealet = b. Længden a angiver, hvor mange søjler af enhedskvadrater der skal til for at udfylde hele rektanglet, derfor bliver arealet af rektanglet ifølge arealaksiom 3 lig b443 + b b= a b. i alt a gange Hermed har vi en god geometrisk og anskuelig forklaring på, at gange er kommutativ. Den resterende del af opgaven overlades til læseren. 9

10 Øvelse 6 ) Vi har et kvadrat med areal 57 m. Fra sætning 5 (der siger, at forstørres alle sidelængder i en polygon med en faktor f, så bliver arealet f gang så stort) har vi, at hvis omkredsen fordobles, så bliver arealet gang så stort, altså 4 57 m = 08 m. ) Hvis sportspladsen er blevet forstørret med samme faktor på længde og bredde, kan vi tillade os at anvende sætning 5. Da arealet er blevet firdoblet, og da 4 =, må der være tale om en lineær forstørrelse med en faktor. Omkredsen er således blevet 800 meter. Men her er virkelig tale om et skøn, fordi vi ikke ved noget om, hvordan sportspladsen er blevet større. Hvis man nysgerrigt følger dette spor, så skifter opgaven karakter af en øvelse til en undersøgelse. Undersøgelsen vil vise, at hvis sportspladsen af en eller anden mærkelig grund fra starten var meget lang og smal, så ville omkredsens vækst afhænge meget af, om den nye sportsplads blev lavet ved at lægge fire af de gamle i forlængelse af hinanden eller ved siden af hinanden langs de lange sider. Teoretisk set kan man herved, på den ene side få at omkredsen kun vokser ganske lidt, og på den anden at den vokser med en faktor tæt på fire ligesom arealet. 3) Hvis sidelængderne i rektanglet vælges til hhv. 99,9 m og 0, m bliver arealet = (99,9 0,) m = 9,99 m, altså kan arealet blive mindre end 0 m. Det største areal, som et rektangel med en omkreds på 00 m kan få, er, når rektanglet har form som et kvadrat (se ω-bogens afsnit om andengradspolynomiet) med sidelængden 50 m, hvor arealet = (50 50) m = 500 m, altså kan arealet ikke bliver større end 5000 m. 4) Dette er et spørgsmål, der har optaget matematikerne siden den græske oldtid, og problemet har navn efter et gammelt sagn: Didos problem, men kaldes også det isoperimetriske problem. Det drejer sig om, hvor meget areal man kan omslutte med en lukket snor med given længde. Det er nemt nok at se, at arealet kan blive meget lille, hvis man trækker snoren ud til en dobbelt linje. Så det udfordrende problem i denne forbindelse er, at få arealet så stort som muligt. Vi har ovenfor nævnt, at hvis formen skal være rektangulær, så har kvadratet den optimale form. Men hvad nu hvis det skal være en trekant, en femkant, eller hvis der slet ikke er krav til formen. En ledetråd i problemets udvikling har været, at det ser ud til, at arealet bliver større jo mere symmetri, der er i figuren. Vi vil ikke ødelægge den fornøjelse, der er i at prøve kræfter med noget, det har taget menneskeheden omkring 000 år at få rede på, men vil give et kort svar på spørgsmålet i opgaven: Svar: Ja, der er den sammenhæng, at en figur med omkreds L har et areal A, der tilfredsstiller uligheden: 0 A. Men arealet kan antage alle værdier derimellem. L 4π 0

11 Øvelse 0 Græsplænen har form som et rektangel og sidelængderne forholder sig som 6 : 5. Lagner og håndklæder udgør 8 % 3 af arealet af plænen. Arealet af håndklæder og lagner tilsammen beregnes til 6,5 m 8 % 3 = 6,5 m, så udgør 00% 750 m. Altså er plænens areal 750 m. Vi kan finde plænens dimensioner ved at finde ud af, hvor mange rektangler med arealet 6 m 5 m = 30 m, der kan være på 750 m. 750 m : 30 m = 5. Ser vi det som, at arealet er blevet forstørret 5 gange, kan vi ved brug af sætning 5 finde sidelængdens mål. Sidelængden er blevet forstørret med 5 = 5, rektanglets dimensioner er hhv. 6 m 5 = 30 m og 5 m 5 = 5 m. Alternativt kunne vi have kaldt siderne for 5x og 6x og fundet x ud fra ligningen 5x 6x = 750. Dette ville have givet x = 5 og samme svar som ovenfor. (x = -5 må kasseres som løsning til det geometriske problem). Øvelse 3 D a C 4 4 A E b F B Vi bemærker, at AD = BC, altså har vi et ligebenet trapez, længden AE = FB = 8 m : = 9 m. Højden h findes vha. Pythagoras sætning: 9 + h = 4. h = 40 m. a og b findes: Vi kender arealet af trapezet og har, at b = a + 8, ved anvendelse af arealformlen a+ a+ 8 for et trapez fås 40 = 60, hvoraf fås at a = 6,5 m og b = 4,5 m. Trapezet er altså noget højere i forhold til bredden end på vores figurskitse.

12 Øvelse 6 Plænens plus gangens areal beregnes til 4,34 m. Plænens areal beregnes til 53,94 m. Forøgelsen i procent: 4,34 53,94 00% 0,39, dvs. plænens areal forøges med ca. 39%. 53,94 Tænker man på, at areal vokser med kvadratet på den lineære forstørrelsesfaktor, kan man løse 8, 6 opgaven uden at udregne arealer: =,394 altså en arealvækst på ca 39 %. 7 Øvelse 9 Vi bestemmer først arealet af den her tegnede del af figuren. C B 0 D A Det fremgår, at CDA er ligebenet, dvs. DAC = ACD, og da A og C begge er rette er CAB = BCA, heraf fremgår, at ABC også er ligebenet, og længden af BC derfor er lig 0 m. Af den vandrette diagonal i figur 9 i bogen har vi allerede fundet stykket BC = 0 m. Den resterende del på den anden side af C beregnes vha. Pythagoras sætning, idet vinkel C er ret: + x = 35 eller x = 8 m. I alt bliver diagonalen 48 m. Hele arealet findes: Arealet af firkant ABCD findes lettest ved at opdele den i to retvinklede trekanter ved hjælp af diagonalen BD, hvilket giver ½ 0 = 40 m Arealet af den retvinklede trekant med siderne, 35 og 8 meter er lig 94 m Arealet af trekanten på toppen er ifølge Herons formel lig 56(56 45,5)(56 8,5)(56 48) = 40 m I alt giver dette præcis 34 m.

13 Lærereksamen i regning december 96, opg. 4 C E D a b G F A 459 m B Arealet af ABC er (678, , ,75) : 3884,75 6,048 gange så stort som arealet af DGC. Ifølge sætning 5 er sidelængden på 459 m i ABC 6,048 så stor som a, da siderne er parallelle. Dvs. a = 459 : 6,048 87,0034. Siden a er altså ca. 87 m. (Regner man med alle decimaler på lommeregneren, får man faktisk præcis 87 meter. Typisk for den tids opgaver var der kælet meget for, at man ofte skulle få pæne præcise tal. Således giver 7 (678, , ,75) : 3884,75 faktisk, således at det efter uddragning af kvadratrod giver 7, hvilket forklare det præcise heltallige resultat 87.) Arealet af ABC er (678, , ,75) : (639, ,75) = 5,065 gange så stort som arealet af EFC. Længden af AB er 5,065 gange så stor som b, dvs. b = 459 : 5,065 = 04 (præcis). Siden b er altså 04 m. Vejens bredde h findes: Arealformlen for trapez anvendes. Arealet af vejen er lig 639,5 m h = 639, 5 heraf fås h = 3,5. Vejbredden er 3,5 m. Erstatning udgør 40,66 kr., som gives pr. kvadratmeter plus et tillæg på 8,75%. Vi har således, at 8,75% = 40,66 kr. Dvs. 00% = 40,66 00 kr. = 3378,4 kr. 8,75 Erstatning pr. kvadratmeter = 3378,4 639,5 kr./m =,8 kr./m. 3

14 Lærereksamen i linjefaget matematik Juni 00 Denne opgave kræver megen indsigt i euklidisk geometri, som bogen dækker i et senere kapitel. Hvis man har den elementære euklidiske geometri præsent, kan man dog prøve kræfter med opgaven. ) En regulær sekskant består af seks ligesidede trekanter. Højden i en ligesidet trekant med siden s 3 er s (kan findes vha. Pythagoras sætning). Arealet af en regulær sekskant med siden 3 3 s = s s = s 6 3. D E C F A B ) Når man skal vise, at en trekant er ligebenet, skal man vise, at to af siderne er lige store, eller at vinklerne ved grundlinjen er lige store. Da femkanten er regulær, er ABD kongruent med CDA. Heraf følger, at DAC = BDA, og da de to vinkler er vinkler ved grundlinjen i AFD, har vi vist, at denne er ligebenet. 3) ACDE er et ligesidet trapez, da femkanten er regulær. Derfor er ACD = EAC. Endvidere har vi, da femkanten er regulær og meget symmetrisk, at AE er parallel med BD. Og da ensliggende vinkler ved parallelle linjer er ens, får vi, at EAC = DFC. Altså er DFC = ACD, hvorved vi har vist, at CDF har vinklerne ved grundlinjen lige store og dermed er ligebenet. 4) For at vise, at de to trekanter er ligedannede forsøger vi at vise, at de er ensvinklede. Da ABCD er et ligebenet trapez, og ACDE ligeledes er et ligebenet trapez kongruent med ABCD, får vi, at CDA = ACD, og vi har i 3) vist, at DFC = ACD, altså er vinklerne ved grundlinjen i begge trekanter alle fire lige store, og dermed er den tredje vinkel i begge trekanter også lige store, altså er trekanterne CDF og DAC ensvinklede og dermed ligedannede. 4

15 Lærereksamen i linjefaget matematik Juni 00 fortsat 5) AF = ED = s, idet de modstående sider i et parallelogram er lige store. Diagonalen AC har derfor længden s + FC. Vi vil finde FC ved at opstille en ligning og kalder i den forbindelse FC for x. Vi benytter, at CDF er ligedannet med DAC til at opstille to lige store forhold: x s =, hvoraf (ved multiplikation med s(s + x) på hver side) fås, at x + sx s = 0. s s + x Denne ligning kan løses ud fra løsningsformlen for en andengradsligning: s± 5 s s± s 5 x = =, hvor vi kun kan bruge den positive løsning, altså 8, 6 nu et udtryk ved s for diagonalens længde: =,394 7 s+ s 5, og vi har 6) Den nemme måde at løse spørgsmål 6 på er ved at slå formlen for arealet af en regulær femkant s med siden s op i en formelsamling: Areal = Men måske har meningen i eksamensopgaven fra Aalborg været, at man skulle udlede denne formel selv, hvilket er muligt med resultatet fra 5), Pythagoras' sætning og arealbestemmelse ved triangulering. Vend evt. tilbage til dette i en repetitionsfase. Vi har s = 4 cm, og arealet bliver cm. 7) Vi skal bestemme fodboldens overflade. Fra ) har vi, at arealet af en regulær sekskant med siden 3 s = 3 s. Vi indsætter s = 4 cm og får 4 3 cm. Arealet af overfladen af fodbolden = = 48 ( ). Heraf får vi, at arealet af overfladen er ca. 6,7 cm. 8) Fodboldens radius bestemmes ved at sætte det under 7) fundne areal lig med overfladearealet, som findes ved at betragte fodbolden som kugleformet. 4 π r 48 ( ) = + +, hvoraf fås, at radius er ca. 9,6 cm. 5

16 3. Rumfang Opgave 3 Ved opdeling af -4-6-pyramidestubben kan man bestemme rumfanget. Først trækker vi lodrette linjer fra det øverste kvadrat og ned til grundfladen, herved fremkommer en kasseformet prisme med højden 6. Arealet af grundfladen = = 4. Rumfang = 4 6 = 4. Fra hvert hjørne i det øverste kvadrat trækkes parallelle linjer til kanten af det nederste kvadrat. Herved fremkommer der fire prismer, der hver har en trekantet grundflade og en højde på (her ligger højden ned). Arealet af grundfladen = 6 = 3. Rumfang = 3 = 6. De fire prismer har til sammen rumfanget 4 6 = 4. Nu mangler vi fire skæve pyramider i hvert hjørne, de har kvadratiske grundflader og en højde på 6. Areal af grundfladen = =. Rumfang = 3 6 =. De fire pyramider har tilsammen rumfanget 4 = 8. Pyramidestubbens rumfang er lig = 56. Øvelse 5 Øvelse i tetraeder I denne øvelse udnyttes de formler, vi lige har læst om. ) Rumfang og overflade for et tetraeder med siden 0 cm beregnes. Først bestemmes arealet af overfladen: 3 Højden i en sideflade (AM på figur ) er lig =, Arealet af én sideflade er lig =. Arealet af overfladen er lig = Med benævnelse er overfladens areal ca. 73 cm. Hvis læseren undervejs har regnet med afrundede decimaltal kan der forekomme afvigelser, hvilket kan give anledning til overvejelser over størrelsen af disse. Herefter bestemmes rumfanget: 3 Rumfanget er lig 0 8. Med benævnelse er rumfanget ca. 8 cm 3. ) Rumfang og overflade for et tetraeder med tetraederhøjden (TO på figur ) på 0 cm beregnes. Først bestemmes arealet af overfladen: 6

17 Øvelse 5 fortsat Vi har: TO = s og TO = 0, s findes: 3 3 s = 0 = 5 6 Højden i en sideflade (AM på figur ) bestemmes: 3 5 AM = 5 6 = Arealet af én sideflade er lig 5 6 = 75 3 Arealet af overfladen er lig 4 = Med benævnelse er overfladens areal ca. 60 cm. Herefter bestemmes rumfanget: Rumfanget er lig ( 5 6 ) =. Med benævnelse er rumfanget ca. 7 cm 3. 3) Rumfang og areal af overflade af et tetraeder med sidelinjen (AM på figur ) 0 cm. Overfladens areal er ca. 3 cm. Rumfanget er ca. 8 cm 3. 4) Rumfanget på liter = dm 3. Terning: Sidelængden i en terning med rumfang dm 3 er lig dm. Overfladearealet er lig 6 dm = 6 dm. Tetraeder: Vi finder sidelængden ud fra rumfangsformlen: 3 s =, 3 3 s = = Højden i én sideflade = 6 6 = Areal af én sideflade = Areal af overfladen = ( ) = 3 6 7, Altså ca. 7, dm. Heraf fremgår det, at terningen har den mindste overflade. 7

18 Øvelse Ifølge Archimedes lov har vi, at rumfanget af ringen er lig 5,76 g 4, g =,64 g =,64 cm 3. Ringens massefylde i gram/cm 3 : 5,76 5,7, 64 Guld har massefylde 9,3. Vi kan så konstatere, at hvis ringen var fremstillet af rent guld, skulle den veje 9,3 g/cm 3,64 cm 3 = 3,65 g, og det gør den ikke, altså er der tilsat et stof med en lettere massefylde, vi går ud fra det er sølv. Men hvor meget sølv er der tilsat? Sølv har massefylden 0,5. Vi finder, hvor stor en del af ringen, målt i cm 3, der er sølv. Vi lader x = cm 3 guld og y = cm 3 sølv. 9,3 x + 0,5 y = 5,7,64 x + y =,64 Ligningssystemet løses, og vi finder, at x 0,97 cm 3 og y 0,67 cm 3. Vi kan også bestemme andelen af guld og sølv i gram: Vi lader x = gram guld og y = gram sølv. 9,3 x + 0,5 y = 5,7 5,76 x + y = 5,76 Ligningssystemet løses, og vi finder, at x 5,5 g og y 0,5 g. Sammenlign de fundne værdier for x og y i de to ligningssystemer, og beskriv i dagligsprog, hvor stor en del af ringen der er sølv. 8

19 Opgave 8 Lærereksamen dm 8 dm Idet vi får oplyst, at keglens sidelinje danner en vinkel på 60 med aksen, og vi ved, at aksen står vinkelret på radius i keglens topflade, får vi, at trekanten med de stiplede kateter er en trekant. Om denne har vi, at den korte katete er lig hypotenusens længde (hvilket også kunne bestemmes ved at tage cosinus til 60 gange længden af hypotenusen). Den lange katete er 3 hypotenusens længde (hvilket kan beregnes vha. Pythagoras sætning). 3 Heraf fås, at radius i hhv. kegle og cylinder er 7 dm, og højden i keglen er 7 dm. Keglens rumfang i dm 3 = Cylinderens rumfang i dm 3 = = = 94 7 Når cylinderen er fyldt med olie, er der (057,67 94) liter = 33,67 liter tilbage, der skal fyldes i keglen. Vi finder, hvor stort det rumfang af keglen, der forbliver tomt, er: (34,75 33,67) liter =,078 liter. Dette tomme rumfang udgør en lille kegle øverst oppe i figuren. Vi kender højde og rumfang i den store kegle. Begge disse størrelser skal formindskes med den samme faktor, som vi kalder x. Rumfang af lille kegle = 3,5 7 3 x x, =, og vi finder x = 0, 7 Den lille kegle har højden 0, 3,5 dm = 0,7 dm. Dvs. olien når en højde på (3,5 0,7) dm =,8 dm i keglen, og i hele beholderen når den en højde på (8 +,8) dm = 0,8 dm. 9

20 Opgave 0 Lærereksamen (grunduddannelsen) maj-juni 977 Her bringes blot et resultat: ) 730 g ) 3,5 dm 3. Opgave Vi skal vise, at en dæmning med tværsnit som et skævt trapez med bundbredde b, topbredde a, højde h og længden L har rumfang ( ). L h a+ b a L A b Dæmningen deles midt over, og vi flytter halvdelen som vist på tegningen. Derved fremkommer et prisme med længden ½ L. Vi ser, at formen på prismets endeflade fremkommer på samme måde, som hvis vi havde drejet trapezet om punktet A, hvorved der fremkommer et parallelogram med højden h, og to parallelle sider, der hver har længden a + b (jf. kapitel om arealberegning). Arealet af parallelogrammet er lig h(a + b). Vi kan nu beregne rumfanget, idet rumfanget af et prisme er højde gange grundflade. Rumfanget af dæmningen = ½ L h(a + b), hvilket skulle vises. 0

21 Opgave ) Vi skal vise, at arealet af et snit i afstanden x fra midtpunktet af legemerne er lig π ( R x ). Kuglen: radius r i snitfladen findes vha. Pythagoras sætning: x + r = R, altså har vi r = R x Arealet af snitfladen = π r = π( R x ) Cylinderskiven: Afstanden fra midtpunktet til top- eller bundfladen i cylinderen er lig længden af radius R. På samme måde forholder det sig med et snit i afstanden x fra midtpunktet, derfor er radius i kegledelen af snittet lig x. Arealet af snitfladen = π R π x = π( R x ) Hermed er det vist, at de to snitflader har samme areal. ) Vha. den simple udgave af Cavalieris princip skal vi finde kuglens rumfang udtrykt ved R. Fra ) har vi, at for 0 x R vil snitfladerne i de to figurer have samme areal, og de to figurer har samme højde, nemlig R. Kuglens rumfang er ifølge Cavalieris princip lig den udhulede cylinders rumfang. Rumfanget af den udhulede cylinder er lig rumfanget af cylinderen minus rumfanget af de to kegler. 4 3 Kuglens rumfang = R π R R π R = π R. 3 3

22 4. Tallenes historiske udvikling Øvelse Da 9 er det største ciffer, består det største trecifrede tal af tre 9 under hinden skrevet i maya symboler, og resultatet bliver: = Man kunne også sige, at det største trecifrede må være mindre end det mindste fircifrede, som er 4 0 = Øvelse 3 Idet vi benytter friheden i fortolkningen af positionerne til at læse de første fire tegn som tallet 4, hvorefter de næste tre står efter kommaet og dermed angiver 30 60, skrives 4 som: 4 skrives med de første seks tegn, og 3 = 5 skrives med de sidste ni tegn, dvs som: skrives Man kan ikke se på dette tal, at det er ca. 40. Det kunne godt tolkes som et tal, der var 60 gange større og for den sags skyld 60 gange mindre osv. 5 timer 40 minutter og 55 sekunder kan skrives som den øverste række, 7 timer 45 minutter og 4 sekunder som rækken under. Herefter er additionen ikke vanskelig, resultatet bliver som rækken under stregen, 3 timer 6 minutter og 9 sekunder.

23 Opgave 3 Vi vil vise, at den moderne notation svarer til den geometriske fortolkning: x + x= svarer direkte til den geometriske fortolkning i figur 8 ud fra den forklaring, der er 4 givet lige før figur 8. 3 Den geometriske idé med at lægge et kvadrat på gange ind således, at figur 9 komplementeres til kvadratet i figur 0, udtrykkes ved, at følgende ligninger er ensbetydende: x 3 x + + = + er ensbetydende med x + = 4 Den geometriske konstatering af, at et kvadrat med arealet må have siden, udtrykkes ved at ovenstående resultat er ensbetydende med: x + =, der løses let som x + = der ved subtraktion på hver side af lighedstegnet er ensbetydende med x = ved subtraktion af på hver side. Øvelse 5 ) Svar: 8 7 = 36 ) \ \ Svar: 37 5 = = 887 3

24 Øvelse 9 ) Konstruktion af 5: Vi konstruerer en retvinklet trekant, hvor længden af kateterne er hhv. og, idet vi herved ifølge Pythagoras sætning får hypotenusen lig 5. C Vi afsætter et linjestykke AB med længden e. e D Dernæst oprejser vi den vinkelrette (se evt. figur ) til AB gennem B og tegner en cirkel med afstanden BA som radius og centrum i B. Skæringspunktet mellem denne cirkel og den oprejste vinkelrette kaldes for D. e Vi tegner igen en cirkel med afstanden BA som radius og nu med centrum i D. Skæringspunktet mellem denne cirkel og den oprejste vinkelrette kaldes for C. A e B Da AB har længden og BC har længden, har vi nu en hypotenuse AC i den konstruerede retvinklede trekant med længden 5. 4

25 Øvelse 9 ) Det gyldne snit ( 5 ) konstrueres. A D F G B E C Vi genbruger den retvinklede trekant fra ), hvor hypotenusen har længden 5, og AB er lig. Vi subtraherer ved at tegne en cirkel med centrum i A og radius AB, skæringspunktet med AC kaldes D. Nu mangler vi at dividere med, altså halvere CD. Dette gøres ved at konstruere midtnormalen til DC. Med centrum i hhv. C og D tegnes to cirkler med samme radius, gennem skæringspunkterne E og F tegnes linjen, som er midtnormal til CD. Skæringspunktet mellem linjen gennem C og D samt midtnormalen benævnes G. DG = CG har længden ( 5 ). 5

26 Øvelse O Kvadratrod Kvadratrod 3 A E B D En vilkårlig vinkel tegnes, toppunkt benævnes O. Ud af vinklens højre ben afsættes linjestykket med længden svarende til længden OE. Derefter afsættes svarende til OA. Ud af vinklens venstre ben afsættes længden 3. Ved at forbinde E og B får vi trekanten OEB. Dernæst konstrueres en linje gennem A parallel med EB, og vi får trekanten OAD, hvor D er skæringspunktet mellem den parallelle linje og O s venstre vinkelben. Da EB og AD er parallelle, er vinklerne ved A og E lige store, ligesom vinklerne ved D og B er det, jf. aksiomet om ensliggende vinkler ved parallelle linjer. Den tredje vinkel i hver af de to trekanter er den ved O, så derfor er trekanterne ensvinklede. Nu bruger vi sætningen om, at ensvinklede trekanter er ligedannede, og får følgende ligheder: OA OD = eller OE OB OD = eller 3 = OD. 3 Øvelse 4 (8 + 36) + (8 36) = =

27 Øvelse 4 fortsat (8 + 36) (8 36) = = 64 ( 36) = = 00 Opgave 4 Når man søger efter sådanne løsninger er der en gammel tradition for at kalde de søgte størrelser med bogstaver fra sidst alfabetet (det engelske), altså x, y og z. I vores tilfælde med to ubekendte vil vi kalde dem for x og y i stedet for a og b. Lad de to tal t og t være givne. Så søger vi altså løsninger til ligningerne: () x+y=t () x y=t Vi løser ved den såkaldte indsættelsesmetode, idet vi af () finder y=t x, hvilket indsættes i (), der derefter bliver til x ( t x ) =t Der ganges ind i parentesen og får vi en andengradsligning: x + t x = tder omskrives til et mere normalt format x t x+ t = 0 Vores ( og Cardano s) problem drejer sig altså om at løse en andengradsligning. Vi lærer i skolen at b± b 4ac andengradsligningen ax + b x + c = 0 har to løsninger, men vel at mærke kun a hvis b 4acer positiv, for ellers kan vi ikke uddrage kvadratroden. Men det kan vi godt, hvis vi er lige så dristige som Cardano og uden tøven regner videre med dem, som om intet er hændt. Derfor kan problemstillingen, der er opstillet i ligning () og () altid løses, men der er sommetider kun en enkelt løsning til ligningerne og vi får så x = y. 7

28 5. Regneundervisningens nyere historie Undersøgelse ) Vi finder ,5, dernæst forsøger vi os med nogle tal, der ligger tæt på dette resultat: = 406, dvs. de to på hinanden følgende naturlige tal er 37 og 38. ) Kvadratroden af.407 er meget lidt større end kvadratroden af.406, hvilket vil sige, at de to på hinanden følgende tal skal være større end 37 38, men allerede =.48 og giver et for stort resultat. Altså findes der ikke to på hinanden følgende naturlige tal, der ganget giver.407. Undersøgelsen af klares vha. samme metode, idet du konstaterer at giver for lidt og giver for meget, så der kun bliver chance for ) Ti på hinanden følgende naturlige tal giver mere end 5 9 0, hviket er 900. Derfor kan vi ikke få ) Ti på hinanden følgende naturlige tal vil som endetal have,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, dvs. vi skal gange med et eller andet tal gange 0, hvilket giver et tal, der ender på 0. Der gør det givne tal ikke, så derfor kan det ikke skrives som produktet af 0 på hinanden følgende naturlige tal. Hvis du har fået hjælp til denne løsning så overvej lige om kan skrives på den ønskede måde. 8

29 Opgave 5 ) Overlades til læseren. ) = 3.05 (4 cifre) Som overslag kan man sige: = =.500, dvs. ved brug af lommeregner skal man forvente omkring fire cifre. På den anden side kan to tocifrede tal godt resultere i et trecifret tal som ved 0 0=00, og i den anden ende giver = 980, så antallet af cifre synes ikke at kunne overstige =.388 (5 cifre) Overslag: = = 0.000, dvs. man forventer cirka fem cifre. Går vi til den anden ekstrem, finder vi =98990, altså 6 cifre = (6 cifre) Overslag: = = , dvs. der må forventes cirka seks cifre. Men kan det give 7 cifre? Vi prøver med = , så 7 cifre er muligt = (7 cifre) Fortsæt selv undersøgelsen. Her har vi to 4-cifrede tal som ganget samme giver et 7 cifret tal og ikke = 8 cifre. Men giver det altid enten 7 eller 8, når man har sådan to 4-cifrede tal? = (5 cifre) Overslag: = = , dvs. forvente cirka fem cifre. 8 = 96 ( cifre) Overslag: 0 0 = 00 = 00, her ville man så forvente cirka tre cifre, men forhåbentlig godtage et resultat på 96. Ekstremerne er 0 = 0 og 99 9 = 89. Hvad mon vi kan sige, når et n-cifret tal ganges med et m-cifret tal? Vi kan åbenbart ikke være sikre på at produktet har n + m cifre. Kan det have n + m + eller n + m? Kan vi overbevise os selv om, at det enten giver n + m eller n + m +. Hvis vi går tilbage til eksemplerne, er der så tilfælde, hvor vi sikkert kan afgøre, om vi rammer n + m, og tilfælde hvor det klart er n + m +. 9

30 6. De positive rationale tal Øvelse Vise kan i denne sammenhæng bestå af et sprogligt svar: Hvis vi har a b endedele af noget og c b endedele af det samme, så betyder det, at vi har a + c b endedele i alt. Øvelse ) Omregnet til 4 endedele ses at være størst, nemlig. 4 ) Den fælles nævner er 35 og = er større end =. Subtraktionen giver: = a a 3) < eller hvis vi forkorter <, da de to brøker har en fælles nævner, har vi et sandt udsagn for a <. Faktisk er udsagnet sandt hvis og kun hvis a <. 4) Man finder den største af en række brøker ved at finde en fælles nævner for brøkerne og derefter sammenligne tællerne. 5) Vi skal vise, at a < c ad < bc ad < bc. b d bd bd a c < ifølge sætning kan vi gange med samme tal i tæller og nævner, uden at en brøk ændrer værdi b d ad bc bd < bd vi ganger med samme tal på begge sider af lighedstegnet bd ad bd bc < vi forkorter bd bd ad < bc, hvilket skulle vises. 30

31 Øvelse 4 fortsat 6) Vi har, at a c, og skal vise, at a a + c c b d b b+ d d Vi ser først på a a + c der ifølge øvelse 4.5 er ensbetydende med b b + d ab ( + d) ba ( + c) vi ganger ind i en parentes ab + ad ba + bc vi subtraherer ab = ba på begge sider af lighedstegnet ad bc ifølge 5) a c b d. Det sidste var givet at være sandt, så derfor er også det ensbetydende udsagn a a + c sandt. b b + d Tilsvarende for a + c c, hvorefter vi har vist, at a a + c c er et sandt udsagn og kan b+ d d b b+ d d konkludere, at hvis man adderer brøker af forskellig størrelse ved at addere tæller med tæller og nævner med nævner, så får man et resultat, der ligger mellem de to brøker, der skulle adderes. Vi interesserer os i dette kapitel kun for positive brøker. Læseren kan ved en senere lejlighed overveje, om det vi her har vist også gælder, hvis vi tillader negative brøker, som man jo gør i skolen og i samfundet. 7) Vi finder tre brøker, der ligger mellem 7 og 8 : Vi finder en tilstrækkelig stor fællesnævner, således at der ligger tre brøker med den samme fællesnævner mellem de to givne brøker: = og =, og de tre brøker bliver: , og Men vi kunne også have udnyttet vores fund i 6) ovenfor, for den metode fortæller os at + < <, således at vi har fundet brøk med den ønskede egenskab. Derefter kan vi bruge samme metode igen til at finde en brøk mellem og 8 5 osv. 3

32 Øvelse 6 Vi skal vise, at a c a d + b + = c. b d b d a c + idet vi forlænger brøkerne med hhv. b og d b d a d b c = + ensbenævnte brøker adderes blot ved at addere tælleren, fordi de svarer til, at man lægger ting af samme type sammen bd bd a d + b c =, hvilket skulle vises. bd På tilsvarende måde kan man vise a c a d b = c. b d b d Øvelse 8 Vi beviser på kortest mulige måde, at c = c n d n d Venstresiden betyder ifølge vores fortolkning af gange at vi skal tage af c, hvilket betyder at n d vi skal dele stykket c i n lige store stykker. Tænker vi på det som c stykker af størrelsen en d ended del, så kan vi vælge at opdele hver af disse d endedele i n stykker og så tage en fra hver. Hvis d endedele hver opdeles i n lige store stykker stykker, så går der klart n af disse på en enkelt d endedel og dermed n d på en hel, hvorfor disse små stykker pr. definition af vores brøkbegreb er af størrelsen. Tager vi nu en fra hver af de c d endedele, giver dette pr. definition af vores n d c brøkbegreb, hvilket skulle bevises. n d Øvelse Forbrug af korn pr. måned: :3 = :3=, altså tons. 7 4 tons = gram. Antallet af høns, der kan leve af kornet i tre måneder, lad os sige 9 dage: : 50 : høns. 3

33 Opgave 5 Det viser sig, at de tre tolkninger af 7 giver meget forskellige resultater, så det er vigtigt at 5 referere til den vedtagne og internationalt anvendt definition : : 5 = : 5 = : 5 = = = = ::5 = :5 = :5 = = = = : = = = Øvelse 5 Gruppe 500 promille;,5; ;,500; 6 4 ; ; 8 ; 3 ; 6:4 6 Gruppe 0,75; ppm; tre fjerdedele; 750 promille; 3 4 ; ; ; 75 %; 3:4 8 33

34 Øvelse 6 ) og ) er de to delbeviser for sætning. Da disse beviser er lidt abstrakte for første semester på læreruddannelsen, er det tanken at prøve ideerne i beviserne af på konkrete eksempler, der som regel viser sig lettere. a) Påvis og argumenter for, at 80 ikke kan skrives som et endeligt decimaltal. Det følger af 7 sætning, da 7 = ikke udelukkende indeholder primfaktorerne og 5. Men vi vil her gå gennem beviset for sætning. ) igen: Antag, at 80 kan skrives som et endeligt decimaltal som fx 0, , som er det svar, man får på 7 en skolelommeregner. Antag altså, at 80 = 0, gælder eksakt. Så skal vi for at komme 7 videre i bevisideen i sætning. ) gange på hver side af lighedstegnet med en passende tierpotens, som i dette tilfælde skal være , hvilket giver = eller ved 7 multiplikation med 7 på hver side = Men dette kan ikke være muligt, for på højre side har vi 7 som indeholder fx primfaktoren 3. Ser vi nemlig på venstre side, så består 80 af primfaktorerne og 5, og det samme gør enhver tierpotens og derfor specielt Vi har altså udelukkende og 5 i primfaktoropløsningen på venstre side, mens der står 3 og 3 og sikkert andre grimme ting gemt i det store tal på højre side. De to sider kan derfor ikke være lig med hinanden. Den sætning, vi bygger på her, er sætningen om primfaktoropløsningens entydighed, der omtales senere i bogen, og som efter planen vil blive bevist i ε-bogen i dette lærebogssystem. b) Påvis og argumenter for, at 7 kan skrives som et endeligt decimaltal, som den skulle ifølge 80 sætning, idet tælleren kun indeholder primfaktorerne og 5. Igen vil vi ikke nøjes med at benytte resultatet fra sætning. Vi vil gå bagom og gennemføre beviset i sætning, ) i dette eksempel. Ideen er at opløse 80 i de relevante faktorer: 7 7 = Så forlænger vi brøken til højre, så vi får en tierpotens i nævneren. Det sker nemmest ved at 3 forlænge med 5, hvorefter vi kan fortsætte: = = = = = =,

35 Opgave 9 ) x = 0,3 000 x = 000 0,3 000x = 3,3 000x x= 3,3 0,3 999x = x = = ) q = 0, q = 0 0,5536 0q = 5, q = 000 5, q = 5536, q 0q= 5536,536 5, q = q = 9990 I både ) og ) har vi kun anvendt lovlige metoder ved ligningsløsning prøv selv at redegøre for hvilke og vi kunne have tilladt at skrive ensbetydende hele vejen, altså har vi vist, at de to uendelige periodiske decimaltal kan skrives som brøker. Vi har dog tilladt os at flytte på kommaet i en uendelige decimalbrøk efter de samme regler som i endelige decimalbrøker ( man ganger med 0 ved at flytte kommaet en plads til højre ), og det er ikke noget, vi har bevist rigtigheden af her i bogen. Det er faktisk svært at gøre helt præcist, fordi en uendelig decimalbrøk består af uendelige mange led, der skal lægges sammen, hvilket har en tendens til at få det til at svimle for folk, der forsøger. Bare tanken om, at uendeligt mange ting lagt sammen kun giver noget endeligt, syntes for de fleste at stride mod sund fornuft og i al fald mod daglig praksis, jf. vores behandling af de reelle tal i det historiske kapitel og senere i ω-bogen. 35

36 7. Brøkregning i to fagdidaktiske skoler Øvelse Et tilfredsstillende svar på opgaven: del 8 brød til 0 mænd, der indeholder stambrøken 4, kunne være: brød til hver, og der er 3 brød tilbage, brød til hver, og der er et halvt brød tilbage, som 4 fordeles med 0 til hver. Dvs. de får hver

37 8. Negative tal Opgave 4 Vi skal vise, at den kommutative lov gælder for multiplikation af hele tal: a b = b a Det er som hævdet i her i bogen mere besværligt end egentligt svært, fordi vi bliver nødt til at dele op i de tilfælde, der kan forekomme, fordi definition af multiplikation for de hele tal er opdelt i tilfælde: Definition af + og for de hele tal: For ethvert par - n, - m af negative tal defineres (definition. 9)) - n - m = n m. For blandet positive og negative tal n, - m defineres: (definition. )) n - m (og - m n) = - (n m). Endelig defineres i definition 3, at resultatet giver 0, når mange ganger et helt tal med 0. Ud fra disse definitioner er det indlysende, at den kommutative lov gælder, hvis et af tallene er 0, for i så fald bliver resultatet efter definition 3 lig med 0 på begge sider af lighedstegnet. Hvis begge tal er positive, så er der tale om naturlige tal, hvor den kommutative lov gælder ifølge vores formel 3). Hvis begge tal er negative følger den kommutative lov let af (definition. 9)), idet - n - m = n m pr. definition. Så observerer vi, at n og m er naturlige tal, og vi derfor ifølge formel 3) har n m = m n, der igen ifølge (definition. 9)) er lig med -m -n. Vi har således vist, at - n - m = - m - n. Ligger de to tal på hver sin side af 0, fremgår det direkte af definitionen, at n - m = - m n, så også her gælder kommutativiteten, og derfor gælder det for alle hele tal, at a b = b a. 37

38 Opgave 5 Vi skal argumentere for, at det er mere besværligt end svært at bevise, at den associative lov gælder for addition af hele tal. Igen følger det næsten af definition, fordi den opdeler i tilfælde: Definition af + og for de hele tal: For ethvert par - n, - m af negative tal defineres (definition. 8)) - n + - m = - (n + m) For n, - m defineres: (definition. 0)) n + - m (og - m + n) = n m, hvis m < n, og n + - m (og m + n) = - (m n), hvis n < m. Hvis vi skal vise, at den associative lov a + (b + c) = (a + b) + c gælder for tre hele tal a, b, c, så bliver vi nødt til at dele op i en flere tilfælde. ) Hvis a, b, c er positive, så kan vi dog henholde os til vores viden fra de naturlige tal, altså vores formel ). Så her er det nemt. ) Hvis a, b, c alle er negative, så er det også nogenlunde overskueligt, fordi vores definition (definition. 8)) ikke forgrener sig ligesom definition. 0). For hvis de er negative, så kan vi sige, at de er lig med - n, - m og - r, hvor n, m, r er naturlige tal. Vi skal altså vise, at - n + ( - m + - r ) = ( - n + - m) + - r. Vi regner på begge sider samtidig og finder ved hjælp af definition. 8), at påstanden er ensbetydende med: - n + - (m + r) = - (n + m) + -r. Da (m + r) og (n + m) fortsat er naturlige tal, kan vi bruge definition. 8) endnu en gang, og vi får, at vores udsagn er ensbetydende med: -(n + (m + r)) = -((n + m) + r). Dette er sandt, fordi n + (m + r) = (n + m) + r er sandt, fordi vi har vist den associative lov for de naturlige tals addition jf. formel ), og hvis to tal er ens, så er de det også, hvis der sættes et minus foran, fordi at være ens betyder, at der er tale om det samme tal. ) Hvis et af tallene er 0, fx a, så skal vi vise, at 0 + (b + c) = (0 + b) + c. Bruges definition (at 0 går ud af regnestykket) på addition med 0 på hver side, fås, at udsagnet reduceres til b + c = b + c, hvilket altid er sandt. 38

39 Opgave 5 fortsat ) Hvis a, b, c ligger lidt blandet på forskellig side af 0, så bliver der mange tilfælde at betragte på grund af definition. 0). Lad os sige, at a er negativ (altså a = - n, hvor n er et naturligt tal) og b er et naturligt tal m, og c også er et naturligt tal r, så skal vi altså vise at: - n + (m + r) = ( -n + m) + r Men vi kan ikke komme til at regne dette ud ifølge definition. 0), før vi har styr på, hvor stor n er i forhold til m. Lad os i første omgang antage, at n < m, så kan vi komme i gang med beregningen, idet vi så også ved, at n < m + r, hvorfor vi ved hvilken del af definition. 0) vi skal have fat i. Udsagnet ses at være ensbetydende med: (m + r) n = (m n ) + r, hvilket er indlysende for naturlige tal, idet der blot hævdes, at man kan tage n ud af en samling på m + r ved at tage dem ud af de m og lade de r urørte. Hermed har vi klaret ) i et enkelt tilfælde. Hvis man fortsætter beviset, vil man se, at der er mange tilfælde at gå gennem, men det er ikke fordi det bliver sværere, det er blot besværligt, så vi holder op her og opfordrer læseren til blot at klare et enkelt deltilfælde mere. Konklusionen skulle gerne være som i kapitlet om de negative tal, at alle de kendte regneregler faktisk gælder for disse hele tal. Dette afspejler strukturen i den nye læreruddannelse i Danmark, hvor vi først rigtig går i dybden med de naturlige tal, i ε-bogen, der er aldersspecialiseret mod de mindre børn. Men i bevissammenhænge vil vi antage, at sådanne simple sammenhænge om regning med naturlige tal er velkendte for læseren, og det er vores afsæt for at bevise tilsvarende regler for de hele tal, der jo som historien har vist slet ikke er indlysende. 39

40 9. Algebraiske strukturer i skolen Opgave 3 Hvis man vil tjekke, om man evt. selv har nogle af de mulige fejllæringer, kan man lige prøve at udpege de sande og de falske blandt følgende formler for reelle tal a, b, c og d. a a,f a a (forudsat a > 0), F a = = 3, F 6a 6 a c a : =, F c d d 6 = 4, hvis er positiv, S a a a + 6 = + 4, hvis er positiv, F a a a b + b = b S 4 6, F,F a b = a b a + b = a b a b + c a =, for a, b og c positive, F b + c Opgave 4 Ud fra den associative lov vises, at (a + b) + (c + d) = a + (b + (c + d)). Vi sætter c + d = e og får: (a + b) + e = a + (b + e) her indsættes e = c + d igen = a + (b + (c + d)), hvilket skulle vises. På samme måde vises den tilsvarende lighed for multiplikation, idet vi her kalder ( c d) for e: ( ab ) ( cd ) = ( ab ) e= a ( be ) = a ( b ( cd )). Der er flere mulige måder at sætte parenteser på, men de viser sig alle at give samme resultat fx (( ab ) c) deller ( a ( b c)) d. 40

Matematik. Meteriske system

Matematik. Meteriske system Matematik Geometriske figurer 1 Meteriske system Enheder: Når vi arbejder i længder, arealer og rummål er udgangspunktet metersystemet: 2 www.ucholstebro.dk. Døesvej 70 76. 7500 Holstebro. Telefon 99 122

Læs mere

Finde midtpunkt. Flisegulv. Lygtepæle

Finde midtpunkt. Flisegulv. Lygtepæle Finde midtpunkt Flisegulv Lygtepæle Antal diagonaler Vinkelsum Vinkelstørrelse Et lille geometrikursus Forudsætninger (aksiomer): Parallelle linjer skærer ikke hinanden uanset hvor meget man forlænger

Læs mere

Trekants- beregning for hf

Trekants- beregning for hf Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Geometri. Georg Mohr-Konkurrencen

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Geometri. Georg Mohr-Konkurrencen Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en teoretisk indføring, men der i stedet fokus på

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

bruge en formel-samling

bruge en formel-samling Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber

Læs mere

Matematik for lærerstuderende klasse Geometri

Matematik for lærerstuderende klasse Geometri Matematik for lærerstuderende 4.-10. klasse Geometri Klassisk geometri (kapitel 6) Deduktiv tankegang Ræsonnementskompetence Mål med kapitlet: Erkender Thales sætning som fundament for afstandsberegning.

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse Løsningsforslag til Geometri 4.-0. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser, dem

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder: Geometrinoter, januar 009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler sætninger om trekanter, trekantens ydre røringscirkler, to cirklers radikalakse samt Simson- og Eulerlinjen i en trekant.

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse!

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Det er velkendt at det største rektangel med en fast omkreds er et kvadrat. Man kan nemt illustrere dette i et værktøjsprogram ved at tegne et vilkårligt

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Et kommatal som for eksempel 1,25 kaldes også noget andet. Hvad kaldes det også?

Et kommatal som for eksempel 1,25 kaldes også noget andet. Hvad kaldes det også? Et tal som både består af et helt tal og en brøk, for eksempel. Hvad hedder det? Et kommatal som for eksempel 1,25 kaldes også noget andet. Hvad kaldes det også? Hvad kalder man tallet over brøkstregen

Læs mere

Tilhørende: Robert Nielsen, 8b. Geometribog. Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden.

Tilhørende: Robert Nielsen, 8b. Geometribog. Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden. Tilhørende: Robert Nielsen, 8b Geometribog Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden. 1 Polygoner. 1.1 Generelt om polygoner. Et polygon er en figur bestående af mere end

Læs mere

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august 2007 1 Inversion Inversion er en bestemt type transformation af planen, og ved at benytte transformation på en geometrisk problemstilling

Læs mere

Færdigheds- og vidensområder

Færdigheds- og vidensområder Klasse: Mars 6./7. Skoleår: 16/17 Eleverne arbejder med bogsystemet format, hhv. 6. og 7. klasse. Da der er et stort spring i emnerne i mellem disse trin er årsplanen udformet ud fra Format 7, hvortil

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Geometri i plan og rum

Geometri i plan og rum INTRO I kapitlet arbejder eleverne med plane og rumlige figurers egenskaber og med deres anvendelse som geometriske modeller. I den forbindelse kommer de bl.a. til at beskæftige sig med beregninger af

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri

7 Trekanter. Faglige mål. Linjer i trekanter. Ligedannethed. Pythagoras. Trigonometri 7 Trekanter Faglige mål Kapitlet Trekanter tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Linjer i trekanter: kende til højde, vinkelhalveringslinje, midtnormal og median, kunne tegne indskrevne og omskrevne

Læs mere

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11

dvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11 Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

Vektorer og lineær regression

Vektorer og lineær regression Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse 1 Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser,

Læs mere

Pythagoras Ensvinklede trekanter Trigonometri. Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen

Pythagoras Ensvinklede trekanter Trigonometri. Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen MATEMATIKBANKENS P.E.T. KOMPENDIUM Pythagoras Ensvinklede trekanter Trigonometri Helle Fjord Morten Graae Kim Lorentzen Kristine Møller-Nielsen FORENKLEDE FÆLLES MÅL FOR PYTHAGORAS, ENSVINKLEDE TREKANTER

Læs mere

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius.

Mødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius. 6.01 Mødet Begreb Eksempel Navn Parallel Vinkelret Linjestykke Polygon Cirkelperiferi Midtpunkt Linje Diagonal Radius Ret vinkel 6.02 Fire på stribe Regler Hver spiller får en spilleplade (6.03). Alle

Læs mere

Færdigheds- og vidensområder Evaluering. Tal: Færdighedsmål

Færdigheds- og vidensområder Evaluering. Tal: Færdighedsmål Klasse: Jorden mat Skoleår: 16/17 Eleverne arbejder med bogsystemet format, hhv. 4. og 5. klasse. Bøgerne er bygget op, så emnerne følger hinanden hele vejen, hvorfor årsplanen er opbygget efter disse.

Læs mere

Tegning. Arbejdstegning og isometrisk tegning Ligedannede figurer Målestoksforhold Konstruktion Perspektivtegning. 1 Tegn fra tre synsvinkler

Tegning. Arbejdstegning og isometrisk tegning Ligedannede figurer Målestoksforhold Konstruktion Perspektivtegning. 1 Tegn fra tre synsvinkler Tegning Arbejds og isometrisk Ligedannede figurer Målestoksforhold Konstruktion Perspektiv Kassens højde Bundens bredde dybde Hullets diameter Afstand mellem hul og bund Højde over jorden Musvit 30 10

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

Elevbog s. 14-25 Vi opsummerer hvad vi ved i. kendskab til geometriske begreber og figurer.

Elevbog s. 14-25 Vi opsummerer hvad vi ved i. kendskab til geometriske begreber og figurer. Årsplan 5. LH. Matematik Lærer Pernille Holst Overgaard (PHO) Lærebogsmateriale. Format 5 Tid og fagligt Aktivitet område Uge 33-37 Tal Uge 38-41 (efterårsferie uge 42) Figurer Elevbog s. 1-13 Vi opsummerer

Læs mere

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering

Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering (Der evalueres løbende på følgende hovedpunkter) 33-36 Regneregler Vedligeholde og udbygge forståelse og færdigheder inden for de fire regningsarter Blive fortrolig

Læs mere

Et kommatal som for eksempel 1,25 kaldes også noget andet. Hvad kaldes det også?

Et kommatal som for eksempel 1,25 kaldes også noget andet. Hvad kaldes det også? Et tal som både består af et helt tal og en brøk, for eksempel 2 " #. Hvad hedder det? Et kommatal som for eksempel 1,25 kaldes også noget andet. Hvad kaldes det også? Hvad kalder man tallet over brøkstregen

Læs mere

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen

1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen 1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,

Læs mere

Om ensvinklede og ligedannede trekanter

Om ensvinklede og ligedannede trekanter Om ensvinklede og ligedannede trekanter Vi vil her give et bevis for sætningen, der siger at for trekanter er begreberne ensvinklet og ligedannet det samme. Sætningen er langt fra trivial trekanter er

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

Mattip om. Arealer 2. Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5. Du skal lære om: Repetition af begreber og formler. Arealberegning af en trekant

Mattip om. Arealer 2. Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5. Du skal lære om: Repetition af begreber og formler. Arealberegning af en trekant Mattip om Arealer 2 Du skal lære om: Repetition af begreber og formler Kan ikke Kan næsten Kan Arealberegning af en trekant Arealberegning af en trapez Tilhørende kopi: Arealer 4 og 5 2016 mattip.dk 1

Læs mere

Elevark Niveau 2 - Side 1

Elevark Niveau 2 - Side 1 Elevark Niveau 2 - Side 1 Opgave 2-1 Brug (Polygon-værktøjet) og tegn trekanter, der ligner disse: Brug (Tekstværktøjet) til at skrive et stort R under de retvinklede trekanter Se Tip 1 og 2 Elevark Niveau

Læs mere

Geogebra Begynder Ku rsus

Geogebra Begynder Ku rsus Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Geogebra Begynder Ku rsus Kompendiet indeholder: Mål side længder Mål areal Mål vinkler Vinkelhalveringslinje Indskrevne cirkel Midt normal Omskrevne cirkel Trekant

Læs mere

matematik grundbog trin 1 Demo preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1

matematik grundbog trin 1 Demo preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 33 matematik grundbog trin 1 Demo preben bernitt grundbog trin 1 2004 by bernitt-matematik.dk 1 matematik grundbog trin 1 Demo-udgave 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering og udskrift af denne bog er

Læs mere

Projekt 2.4 Euklids konstruktion af femkanten

Projekt 2.4 Euklids konstruktion af femkanten Projekter: Kapitel Projekt.4 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen af den regulære femkant. 0. Forudsætninger, definitioner og

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Matematik på Åbent VUC

Matematik på Åbent VUC Lektion 8 Geometri Når du bruger denne facitliste skal du være opmærksom på, at: - der kan være enkelte fejl. - nogle af facitterne er udeladt - bl.a. der hvor facitterne er tegninger. - decimaltal kan

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

Kommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5

Kommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5 Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Projekter: Kapitel - Projektet er delt i to små projekter, der kan laves uafhængigt af hinanden. Der afsættes fx - timer til vejledning med efterfølgende

Læs mere

Konstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder)

Konstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder) 1: Tegn disse figurer: a: Et kvadrat med sidelængden 3,5 cm. b: En cirkel med radius 4,. c: Et rektangel med sidelængderne 3,6 cm og 9,. d: En cirkel med diameter 7,. e: En trekant med grundlinie på 9,6

Læs mere

Geometri Følgende forkortelser anvendes:

Geometri Følgende forkortelser anvendes: Geometri Følgende forkortelser anvendes: D eller d = diameter R eller r = radius K eller k = korde tg = tangent Fig. 14 Benævnelser af cirklens liniestykker Cirkelperiferien inddeles i grader Cirkelperiferien

Læs mere

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a.

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

geometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2009 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring

Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring Foreløbig udgave af læringsmål til: Kapitel 1 Regn med store tal Fælles Mål Læringsmål Forslag til tegn på læring udføre beregninger med de fire regningsarter inden for naturlige tal, herunder beregninger

Læs mere

Geometriske eksperimenter

Geometriske eksperimenter I kapitlet arbejder eleverne med nogle af de egenskaber, der er knyttet til centrale geometriske figurer og begreber (se listen her under). Set fra en emneorienteret synsvinkel handler kapitlet derfor

Læs mere

*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV. - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser

*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV. - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser *HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV q2nodvvh - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser INFA 1998 1 Forord I den nye læseplan for matematik og i den tilhørende undervisningsvejledning

Læs mere

Geometri, (E-opgaver 9d)

Geometri, (E-opgaver 9d) Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296)

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296) Forslag til løsning af Opgaver om areal (side96) Opgave 1 6 0 8 Vi kan beregne arealet af 6 8 0 s 4. ved hjælp af Heron s formel: ( ) 4 4 6 4 8 4 0 6. Parallelogrammets areal er det dobbelte af trekantens

Læs mere

Svar på opgave 322 (September 2015)

Svar på opgave 322 (September 2015) Svar på opgave 3 (September 05) Opgave: En sekskant har sidelængder 7 7. Bestem radius i den omskrevne cirkel hvis sekskanten er indskrivelig. Besvarelse: ny version 6/0-05. metode. Antag at sekskanten

Læs mere

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.

Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår

Læs mere

i tredje kilogram (kg) længde cirkeludsnit periferi todimensional hjørne

i tredje kilogram (kg) længde cirkeludsnit periferi todimensional hjørne median 50% halvdel geometri i tredje 3 rumfang normal 90 grader underlig indskrevet kilogram (kg) bage forkortelse tusinde (1000) rumfang beholder fylde liter passer ben sds bredde deci centi lineal tiendedel

Læs mere

Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten

Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten Midtnormalerne i en trekant Konstruer et linjestykke (punkt-menuen) og navngiv endepunkterne A og B (højreklik og vælg: Etiket), dvs. linjestykket betegnes AB.

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338) Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,

Læs mere

GEOMETRI I PLAN OG RUM

GEOMETRI I PLAN OG RUM LÆRERVEJLEDNING GEOMETRI I PLN OG RUM Kopiark Indhold og kommentarer Vejledende sværhedsgrad Tilknytning til Kolorit 9 matematik grundbog Navne på figurer På siden arbejder eleverne med navnene på forskellige

Læs mere

MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL

MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL 8 MULTI PRINTARK CAROLINE KREIBERG ANETTE SKIPPER-JØRGENSEN RIKKE TEGLSKOV GYLDENDAL DIGITALE VÆRKTØJER A1.1 SORTER LIGNINGER 2x + 3 = 15 x 17 = 25 61 x = 37 2x + 11 = 5x 10 x 2 = 2x + 3 4x + 1 5 = 9 4x

Læs mere

Rettevejledning, FP10, endelig version

Rettevejledning, FP10, endelig version Rettevejledning, FP10, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. I forbindelse med FP10 fremstiller opgavekommissionen

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017 Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på

Læs mere

Vi håber disse svarforslag kan være til glæde for læseren, og vi modtager gerne forslag til forbedringer:

Vi håber disse svarforslag kan være til glæde for læseren, og vi modtager gerne forslag til forbedringer: Svarforslag til Alfa, Forstudier Vi håber disse svarforslag kan være til glæde for læseren, og vi modtager gerne forslag til forbedringer: Kristine.Jess@skolekom.dk Med venlig hilsen forfatterne Indhold

Læs mere

1 Geometri & trigonometri

1 Geometri & trigonometri 1 Geometri & trigonometri 1.0.1 Generelle forhold Trigonometri tager sit udgangspunkt i trekanter, hvor der er visse generelle regler: vinkelsum areal A trekant = 1 2 h G A B C = 180 o retvinklet trekant

Læs mere

På opdagelse i GeoGebra

På opdagelse i GeoGebra På opdagelse i GeoGebra Trekanter: 1. Start med at åbne programmet på din computer. Du skal sørge for at gitteret i koordinatsystem er sat til. Dette gør vi ved at trykke på Vis oppe i venstre hjørne og

Læs mere

Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1.

Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1. Opgave 1 Til denne opgave anvendes bilag 1. a) Undersøg figur 1. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne b) Undersøg figur 2. Mål og noter vinklerne Mål og noter længderne c) Undersøg figur 3. Mål

Læs mere

Regning. Mike Vandal Auerbach ( 7) 4x 2 y 2xy 5. 2x + 4 = 3. (x + 3)(2x 1) = 0. (a + b)(a b) a 2 + b 2 2ab.

Regning. Mike Vandal Auerbach ( 7) 4x 2 y 2xy 5. 2x + 4 = 3. (x + 3)(2x 1) = 0. (a + b)(a b) a 2 + b 2 2ab. Mike Vandal Auerbach Regning + 6 ( 7) (x + )(x 1) = 0 x + = 7 + x y xy 5 7 + 5 (a + (a a + b ab www.mathematicus.dk Regning 1. udgave, 018 Disse noter er en opsamling på generelle regne- og algebraiske

Læs mere

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere

Vi håber disse svarforslag kan være til glæde for læseren, og vi modtager gerne forslag til forbedringer:

Vi håber disse svarforslag kan være til glæde for læseren, og vi modtager gerne forslag til forbedringer: Svarforslag til Alfa, Forstudier Vi håber disse svarforslag kan være til glæde for læseren, og vi modtager gerne forslag til forbedringer: Kristine.Jess@skolekom.dk Med venlig hilsen forfatterne Indhold

Læs mere

1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter, maj 007, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, indskrivelige

Læs mere

Projekt 3.1 Pyramidestub og cirkelareal

Projekt 3.1 Pyramidestub og cirkelareal Projekt. Pyramidestub og cirkelareal - i tilknytning til afsnit., især for A Indhold Rumfanget af en pyramidestub... Moderne metode... Ægyptisk metode... Kommentarer til den ægyptiske beregning... Arealet

Læs mere

Mattip om. Geometri former og figurer. Du skal lære: Kan ikke Kan næsten Kan. At finde og tegne former og figurer

Mattip om. Geometri former og figurer. Du skal lære: Kan ikke Kan næsten Kan. At finde og tegne former og figurer Mattip om Geometri former og figurer Du skal lære: At finde og tegne former og figurer Kan ikke Kan næsten Kan At beregne omkreds og areal af figurer Om forskellige typer trekanter At finde højde og grundlinje

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber:

I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske objekter og begreber: INTRO Efter mange års pause er trigonometri med Fælles Mål 2009 tilbage som fagligt emne i grundskolens matematikundervisning. Som det fremgår af den følgende sides udpluk fra faghæftets trinmål, er en

Læs mere

Anvendelse af matematik til konkrete beregninger

Anvendelse af matematik til konkrete beregninger Anvendelse af matematik til konkrete beregninger ved J.B. Sand, Datalogisk Institut, KU Praktisk/teoretisk PROBLEM BEREGNINGSPROBLEM og INDDATA LØSNINGSMETODE EVT. LØSNING REGNEMASKINE Når man vil regne

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse

Læs mere

Matematik for malere. praktikopgaver. Tegneopgave Ligninger Areal Materialeberegning Procent Rumfang og massefylde Trekantberegninger.

Matematik for malere. praktikopgaver. Tegneopgave Ligninger Areal Materialeberegning Procent Rumfang og massefylde Trekantberegninger. Matematik for malere praktikopgaver 3 Tilhører: Tegneopgave Ligninger Areal Materialeberegning Procent Rumfang og massefylde Trekantberegninger 2 Indhold: Tegneopgave... side 4 Ligninger... side 8 Areal...

Læs mere

F I N N H. K R I S T I A N S E N DET GYLDNE SNIT TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING

F I N N H. K R I S T I A N S E N DET GYLDNE SNIT TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING F I N N H. K R I S T I A N S E N 6 DET GYLDNE SNIT 4 TES REGNING MED REGNEARK KUGLE G Y L D E N D A L SIMULATIONER 5 LANDMÅLING Faglige mål: Demonstrere viden om matematikanvendelse samt eksempler på matematikkens

Læs mere

F-dag om geometri. Fremstilling og beskrivelse af stiliserede blade

F-dag om geometri. Fremstilling og beskrivelse af stiliserede blade F-dag om geometri Fremstilling og beskrivelse af stiliserede blade I foråret fejrede Canada at landet havde eksisteret som nation i 150 år. I den anledning blev der fremstillet et logo, der tog afsæt i

Læs mere

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul

Funktioner generelt. for matematik pä B-niveau i stx. 2013 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st f f ( ),8 0 Karsten Juul Funktioner generelt for matematik pä B-niveau i st Funktion, forskrift, definitionsmångde Find forskrift StÇrste og mindste vårdi

Læs mere

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:

Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at: Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Projekt 6.7. Beviser for Pythagoras sætning - og konstruktion af animationer

Projekt 6.7. Beviser for Pythagoras sætning - og konstruktion af animationer Projekt 6.7. Beviser for Pythagoras sætning - og konstruktion af animationer Flere beviser for Pythagoras sætning 1 Bevis for Pythagoras sætning ved anvendelse af ensvinklede trekanter... 1 Opgave 1 Et

Læs mere

er et helt tal. n 2 AB CD AC BD (b) Vis, at tangenterne fra C til de omskrevne cirkler for trekanterne ACD og BCD står vinkelret på hinanden.

er et helt tal. n 2 AB CD AC BD (b) Vis, at tangenterne fra C til de omskrevne cirkler for trekanterne ACD og BCD står vinkelret på hinanden. Opgave Heltalligt Bestem alle hele tal, n >, for hvilke n + n er et helt tal. Opgave Trekantet I en spidsvinklet trekant ABC skærer vinkelhalveringslinien fra A siden BC i punktet L og den omskrevne cirkel

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty

cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty cvbnmrtyuiopasdfghjklæøzxcvbnmq wertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwer tyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwerty Matematik Den kinesiske prøve uiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui 45 min 01 11

Læs mere

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion

Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion VVS-branchens efteruddannelse Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Med de trigonometriske funktioner, kan der foretages

Læs mere