Den astronomiske enhed
|
|
- Monika Kronborg
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Bestemmelse af Den astronomiske enhed Snapshot fra Stellarium Michael Andrew Dolan Møller Rosborg Gymnasium og Hf-kursus Juni (Redigeret maj 2015 og sept )
2 Bestemmelse af den astronomiske enhed. side 2/11 Indholdsfortegnelse Indledning...3 Ækvatorealsystemet...3 Timevinkel...3 Parallaksemetoden...4 Beregning af Kordelængden, AB...5 Retning til Venus i Jordkoordinater...6 Afstanden mellem Jorden og Venus...7 Ved formørkelser...7 Ved beregning...8 Sammenfatning...8 Konklusion...9 Opgaver...10 Referencer...11
3 Bestemmelse af den astronomiske enhed. side 3/11 Indledning 5. juni 2012 var der en Venustransit, som er en relativt sjælden begivenhed. F. eks. kommer den næste transit først den 11. december En Venustransit kan bruges til at finde et absolut mål for den astronomiske enhed, og da denne enhed er grundlaget for størrelsesforholdene i solsystemet samt også grundlag for længdeenheden parsec, pc, som bruges til at angive afstande i astronomien, har det altid været interessant at få den astronomiske enhed bestemt. Richer og Cassini målte længden af den astronomiske enhed i 1672 ved at betragte Mars [8], og Edmund Halley bestemte i 1716 en lidt anderledes metode til at finde længden af den astronomiske enhed. I 1769 lykkedes det andre at få målt værdien ved hjælp af Halleys metode. Halley selv døde i [2]. Halleys metode gav en astronomisk enhed på 151 millioner km, som kun er 1,4 millioner km større end den nuværende bestemmelse af enheden. [3] Se [1] og [2] for at læse mere om Halleys metode. I denne note vil vi finde den astronomiske enhed ved at simulere nogle samtidige observationer for 2 lokaliteter. Det forudsættes, at læseren har kendskab til det ækvatoreale koordinatsystem. (Se evt. noten Kapitel 1 Introduktion til astronomi i [4].) Systemet repeteres kort nedenfor. Ækvatorealsystemet Når astronomer angiver himmellegemers positioner, angives de oftest i ækvatoreale koordinater, der er defineret på følgende måde: Man tegner en himmelkugle med Jorden i centrum. Så projiceres Jordens ækvator ud på himmelkuglen, man vælger nulpunkt i forårspunktet og måler deklinationen vinkelret på himmelens ækvator. Se illustration 1. Man skal altså forestille sig, at alle himmellegemerne er klistret fast på en sfære i en fast afstand. 1. koordinaten, rektascensionen, α, måles i timer, minutter og sekunder, hvor 24 h svarer til 360º. 2. koordinaten, deklinationen, δ, måles i grader, bueminutter og buesekunder. Timevinkel Jorden spinner om sin egen akse med en periode på T = 23 h 56 m 4,1 s. Da denne periode altså er en smule mindre end 24 h, anvender astronomer derfor også et tidssystem, som kaldes siderisk tid på dansk stjernetid. Ligesom civiltid afhænger af, hvor man er på Jorden, afhænger stjernetiden også af ens position. Den lokale stjernetid forkortes LST. Illustration 1: Ækvatorealsystemet.Forårspunktet er det skæringspunkt mellem himmelens ækvator og ekliptika, hvor Solen er til forårsjævndøgn omkring 21. marts. LST er 0 når forårspunktet krydser den lokale meridian, som er den cirkelbue, der går gennem nord-
4 Bestemmelse af den astronomiske enhed. side 4/11 observatørs zenith-syd. Hvis forårspunktet krydser nulmeridianen, som findes over Greenwich ved London, kaldes tidspunktet for GST. (Greenwich Sidereal Time.) Hvis man definerer længdegrader, λ, på Jorden til at være negative, når man går østpå gælder følgende sammenhæng mellem LST og GST: LST = GST-λ. Eksempel Århus er 10º12'36 øst for Greenwich. Lad os f.eks. antage at en dag er GST = 23 h 40 m 10 s. Vi vil beregne LST for Århus. Længdegraden for Århus skal omregnes til h m s, og da Århus er øst for Greenwich, skal man sætte et minus foran talværdien. Dvs. LST=GST λ=23 h + 40m +10s (10+12/60+36/3600) 24 h =23, h +0, h m/h h/s LST=24, h =0, h =0 h 21 m 4 s. Bemærk at LST altså er længere fremme i Århus end i Greenwich, akkurat som civil tid for Danmark er længere fremme end i Greenwich. Astronomer laver dog ikke tidszoner, som civillivet gør hver observatør har sin helt egen lokale tid. Timevinklen, θ, for et himmellegeme defineres som den vinkelafstand (målt i h m s), legemet er fra observatørens meridian. Dvs. når legemet krydser meridianen er timevinklen, θ = 0, og når legemet fortsætter over på den vestlige del af himmelen stiger timevinklen. [5] Man kan bruge timevinklen til at bestemme positionen af forårspunktet samt et himmellegeme (Venus for eksempel) ved at bruge reglen: θ = LST - α klode. Specielt gælder for forårspunktet,, som jo har α = 0 at θ = LST. Parallaksemetoden Prøv at stirre på et punkt på en væg, som er ca. 2-3 m væk. Kig på punktet skiftevis med højre og venstre øje det ser ud som om, punktet hopper til højre og venstre, mens du blinker. Vi ved jo godt, at punktet står stille, men fordi vore øjne er placeret et lille stykke fra hinanden, er synsretningerne til punktet fra de to øjne en smule forskellige. Denne effekt kaldes for parallakseeffekten. Fænomenet optræder også, hvis to observatører langt fra hinanden på Jordens overflade, på samme tid betragter det samme himmellegeme. I forhold til baggrundsstjernerne vil de to observatører altså måle små forskelle i himmellegemets placering på himmelen. Dette er forsøgt vist på illustration 2. Øvelsen består derfor i at måle p og derefter finde afstanden A'B'. Derefter kan vi finde en sammenhæng mellem A'B', p og d. Øvelse Tegn illustration 2 over på et stykke papir. Tegn en cirkel med radius, d, og centrum i midten af Venus. Ræsonner dig p frem til, at følgende formel må gælde: 2 π =A' B ' 2 π d. Reducer formlen og isoler d.
5 Bestemmelse af den astronomiske enhed. side 5/11 Illustration 2: To observatører i A og B måler positionen af Venus eller en anden klode. De to observatørers indbyrdes afstand er markeret ved den rødfarvede korde, der er stiplet med fed. (Liniestykket AB.) Den sortstiplede korde A'B' er den del af AB, der er vinkelret på afstandsstregen, d, til Venus. De to observatører har gode instrumenter til koordinatmålinger, der gør det muligt at måle (α, δ) for Venus, og fordi de står forskellige steder, måler de forskellige koordinatsæt. Parallaksevinklen, p, er uhyre lille, og derfor gælder Pythagoras' sætning fra plangeometrien også her, selvom himmelsfæren jo netop ikke er plan. Dvs. vi kan finde parallaksevinklen p= (α A α B ) 2 +(δ A δ B ) 2. Formlen gælder, hvis man regner i radianer, så man skal huske, at omregne α og δ til radianer. Eksempel To observatører i hhv. Århus og Canberra måler den 5/ kl ET 1 følgende koordinatsæt for Venus: (α,δ) A =(5 h 0 m 26 s ;+23 o s 2 5' 57' ' ) (α,δ) B =(5 h 0 m 24 s ;+23 o 6 ' 50' ' ) Parallaksen i radianer er: p= ( π ) +( 53o 2 s 3600 π 180 ) =2, rad. Øvelse Download og installer Stellarium på din pc. Se [7] for et link. Prøv at måle værdierne, som er angivet i eksemplet ovenfor. Beregning af Kordelængden, AB Geografiske positioner er angivet ved en længdegrad, λ, og en breddegrad, β. Hvis vi antager, at Jorden er kugleformet, kan vi udtrykke enhver position på Jorden ved en vektor, r. I kartesiske koordinater er vektoren givet ved følgende udtryk: r=( x y z) ( R cos(β) cos(λ) = R cos(β) sin (λ) R sin (β) ). [6] Eksempel I forrige eksempel betragtede vi nogle observationer målt i Århus og Canberra. Koordinaterne for de to byer er som følger: Århus: Canberra: (λ, β) = (-10º12'36 ; +56º9'36 ) (λ, β) = (-149º7'48,02 ; -35º18'36 ) 1 ET betyder efemeridetid og er et præcist mål for "frk. Klokkens" tid i Greenwich.
6 Bestemmelse af den astronomiske enhed. side 6/11 Vi antager Jordens radius til at være ens overalt og R=6372km. Dermed bliver de to vektorer: r Århus =( x y z) ) 6371km=( =(cos(56,16 0 ) cos( 10,21 0 ) ) sin( 10,21 0 ) 628,9 sin(56,16 0 ) 5292 ) km. r Canberra =( x y z) ) 6371km=( =(cos( 35,31 0 ) cos( 149,13 0 ) ) sin( 149,13 0 ) 2668 sin( 35,31 0 ) 3682) km. Kordevektoren mellem de to byer er dermed r Canberra r Århus =( ) km r Canberra r Århus =AB=12164 km. I eksemplet ovenfor har vi nu beregnet den direkte afstand mellem to observationsbyer, men vi er jo ude efter den del af AB, der peger vinkelret på retningsvektoren mellem Venus og Jorden. Dvs. vi skal finde retningen til Venus. Retning til Venus i Jordkoordinater I eksemplet på side 5 fandt vi de ækvatoreale koordinater for Venus set fra to byer. Hvis vi transformerer de ækvatoreale koordinater til geografiske koordinater, kan vi konstruere en enhedsvektor for d i illustration 2. Der er heldigvis et vist fællesskab mellem de to koordinatsystemer, idet de to ækvatorplaner er fælles i de to koordinatsystemer. Derfor vil δ Venus = β Venus. Længdegrad og rektascension er dog ikke helt ens, da rektascension måles udfra forårspunktet og længdegrader måles ud fra Greenwich-meridianen. Ud fra timevinklen, θ, af Venus kan vi beregne de lokal stjernetider, LST i, for de to positioner ved hjælp af formlen LST = θ + α. Derefter kan vi regne Greenwichs sideriske tidspunkt, GST, ud ved at bruge formlen GST = LST + λ. (Se evt. side 3.) Når GST er kendt har vi timevinklen for forårspunktet, og så har vi fået placeret nulpunktet for rektascension i forhold til Greenwichmeridianen. Dermed kan planetens rektascension omregnes til en længdegrad. Sammenfattet er formlerne: LST observationssted =θ himmellegeme +α himmellegeme GST =LST observationssted +λ observationssted =θ forårspkt. Eksempel Vi fortsætter eksempelrækken ved at betragte Århus og Canberra. Tallene er aflæst i Stellarium på datoen 5/ kl ET. LST Århus =15 h 36 m 12 s +5 h 0 m 26 s =20 h 36 m 12,6 s. LST Canberra =0 h 51 m 54 s +5 h 0 m 24 s =5 h 52 m 18 s. GST 1 =20 h 36 m 12,6 s (10+12/60+36/3600)o 360 o 24 h =19 h 55 m 22 s. GST 2 =5 h 52 m 18 s (149+7/60+48,02/3600)o 360 o 24 h = 4,0703 h =19,92967 h =19 h 55 m 47 s GST =19 h 55 m 35 s. Da GST =θ Forårspunktet ifølge definitionen af ækvatorealsystemet, har vi altså timevinklen på forårspunktet. I geografiske koordinater er positive længdegrader mod vest og rektascension måles mod øst, og derfor må Venus' geografiske
7 Bestemmelse af den astronomiske enhed. side 7/11 længdegrad være λ Venus =θ forårpunkt α Venus =19 h 55 m 35 s 5 h 0 m 26 s =14 h 55 m 9 s =223,79 o. Altså kan vi nu bruge formlen nederst på side 5 til at finde retningsvektoren for d: )=( e d =(cos(23,099 0 ) cos(223,79 0 ) 0,6640 cos(23,099 0 ) sin(223,79 0 ) 0,6365 sin(23,099 0 ) 0,3923). For at finde A'B' kan vi bruge nogle resultater fra vektorregningen. Vi ved jo, at for to vektorer a og b gælder, at a b= a b cos(v). Dvs. vinklen mellem d og AB kan findes ved følgende formel: v=cos 1( AB d AB d ) =cos 1( AB e d AB ). Endelig kan man ved at betragte illustration 2 se, at A ' B ' =AB sin (v). Øvelse Prøv at overbevise dig om, at A' B '=AB sin (v) gælder. Hint: Find en retvinklet trekant på tegningen og benyt dig af at sin(v) = cos(90-v). Eksempel Med de dansk-australske data kan vi altså beregne vinklen, v: AB e d km ( 7954 = ) km km ( 0,6634 0,6371 0,3924 ) =0,2511 v=cos 1 (0,2511)=75,46 o. Dermed bliver A' B '=12164 km sin(75,46 o )=11774 km. I eksemplerne har vi nu beregnet A'B' samt parallaksen p. Dermed kan den absolutte afstand mellem Jorden og Venus bestemmes, og den bliver: d = A' B ' p = 11774km 2, rad =3, km. Afstanden mellem Jorden og Venus Ved formørkelser Ved at observere Venus' synodiske omløbstid, altså tidsrummet fra nedre konjunktion til nedre konjunktion, kan man bestemme Venus' sideriske omløbstid. Dernæst kan man ved hjælp af Keplers 3. lov bestemme Venus' halve storakse i astronomiske enheder. En måling viser, at Venus' synodiske omløbstid er på 584 dage = 1,599 yr. Dermed kan den 1 sideriske omløbstid beregnes af formlen: = =1yr T sid T Jorden T syn 1,599 yr T sid=0,6153 yr. Ved indsættelse i Keplers 3. lov fås: a=t 2/ 3 =0, /3 =0,723 AU. Da Jordens afstand er 1 AU, hvis vi ser bort fra eccentriciteten, vil afstanden mellem Venus og Jorden være 0,277 AU, såfremt vi er meget tæt på nedre konjunktion. [4: Kapitel 1 - Introduktion til astronomi. ]
8 Bestemmelse af den astronomiske enhed. side 8/11 Dermed får vi at 0,277 AU=3, km 1 AU=1, km. Altså en afvigelse på 4%. Skal man være mere omhyggelig, bør man inkludere de to baners eccentricitiet, og man skal vide, hvordan formen af banerne er fastlagt. Ved beregning Stellarium kan angive afstanden mellem Venus og Jorden endnu mere præcist end metoden ovenfor, og metoden gælder altid altså også når der ikke er nedre konjunktion. For den 5/ er afstanden mellem de to planeter 0,2888AU. Med denne afstand får man følgende sammenhæng mellem den astronomiske enhed og meteren: 0,2888 AU =3, km 1 AU =1, km. Bestemmelsen er altså ca. 8% for lille, og da vi har elimineret fejl i baneafstandene, så må det være vinkelmålingerne, der er skyld i afvigelsen. Man kan også benytte almanakprogrammer til at finde afstande og et eksempel på gode computerprogrammer med tilhørende forklaringer, hvordan de virker kan man se i referencelisten. [6]. Sammenfatning Vi har nu gennemført en bestemmelse af den astronomiske enhed. Metoden kan sammenfattes til: 1. Benyt to gode teleskoper og to gode stjerneure til at betragte en klode, f. eks. Venus, på nøjagtigt samme tidspunkt. Timevinkel og målte koordinater for kloden skal nedskrives. Har man ikke to gode observatorier, kan man f. eks. bruge Stellarium. 2. Parallaksen for kloden beregnes. 3. Ved kendskab til observationsstedernes geografiske koordinater, skal man bestemme kordelængden mellem de to observatorier samt orienteringen af denne vektor. 4. Ved kendskab til klodens timevinkel og dens rektascension, kan man finde forårspunktets placering i geografiske koordinater og dernæst klodens retningsvektor. (Deklination og breddegrad er ens.) 5. Ved hjælp af vektorregning findes vinklen mellem kordevektoren og retningsvektoren til kloden. 6. Man beregner den vinkelrette del af kordelængden i forhold til retningsvektoren til kloden. 7. Man beregner den absolutte afstand mellem Jorden og kloden. 8. Man skal dernæst finde afstanden mellem kloden og Jorden i astronomiske enheder. Er der tale om konjunktion eller opposition ved observationstidspunktet, kan man efter at have målt klodens synodiske omløbstid, anvende Keplers 3. lov til at bestemme klodens halve storakse. Da Jordens halve storakse er 1,0 AU, kan afstanden mellem de to kloder nemt bestemmes. 9. Er der ikke konjuktion/opposition, kan man anvende Stellarium eller tilsvarende program til at finde afstanden i astronomiske enheder. 10. Endelig kan den astronomiske enhed beregnes. Når den astronomiske enhed er bestemt, kan man finde et absolut mål for grund-enheden for kosmologiske afstande i Universet, parsec'en, som er defineret som ,8AU = 1 pc. Da parsec'en bygger på den astronomiske enhed, er det altså af største vigtighed at få den astronomiske enhed bestemt så nøjagtigt som muligt.
9 Bestemmelse af den astronomiske enhed. side 9/11 Konklusion En gymnasieelev, som går i gang med denne opgave, vil sandsynligvis betragte opgaven som værende indviklet, fordi det ofte kan være svært at visualisere rumlige strukturer. Men virkeligheden for Cassini, Halley, Hornsby, Green og alle de andre var meget værre, fordi de skulle foretage lange og farefulde rejser, før de kunne foretage observationerne. Derudover var urene ikke så gode, som i dag, så selve målingerne var meget komplekse at udføre. Endelig skulle de beregne de relative planetafstande i hånden! Det var også en kompliceret affære. Da James Cook tog til Tahiti i 1768 for at gøre klar til Venus-passagen i 1769, vidste han udmærket, at en pæn andel af besætningen aldrig ville kom hjem igen. Det viste sig, at over halvdelen af besætningen døde undervejs, inkl. skibsastronomen Charles Green. [9] De fleste imponeres sikkert over den iver, videnskabsmændene havde - også dengang, og deres villighed til at foretage store ofre, for at få samlet observationerne sammen. Det er nok ikke nogen overdrivelse at postulere, at datidens eventyrere var lige så dristige som nutidens astronauter, der risikerer liv og lemmer for at bibringe menneskeheden ny viden. Historien om Jean Richers rejse til Fransk Guyana ( ) og Cooks rejse til Tahiti i ( ) er fantastiske historier, som den ivrige 3. g'er kunne tage op i en SRP-opgave.
10 Bestemmelse af den astronomiske enhed. side 10/11 Opgaver Nedenstående opgaver kan løses kort eller mere omfattende. Noten, inklusive opgaverne, burde være nok til et tværfagligt forløb mellem Fysik/astronomi/historie, men man kan sagtens gå mere i dybden og overveje at skrive SRP-opgave med opgaverne som udgangspunkt. Bestemmelse af den astronomiske enhed ved egne observationer Bestem den astronomiske enhed ved at udvælge to observationssteder på Jorden, og udfør målinger og beregninger som vist i denne note. Du bestemmer selv hvilken klode, du vil observere. (Husk at jo tættere kloden og Jorden er på hinanden, des bedre resultater får du.) Cassinis og Richers rejse Find litteratur om Richers rejse til Fransk Guyana og sæt dig ind i historien. Forbered et foredrag, som du kan holde for dine klassekammerater. James Cooks rejse Find litteratur om James Cooks rejse til Fransk Guyana og sæt dig ind i historien. Forbered et foredrag, som du kan holde for dine klassekammerater. Cassini Find litteratur om Cassini og skriv en kort biografi om Cassini. Skriv derefter en artikel om en af Cassinis videnskabelige resultater. Edmond Halley Find litteratur om Halley og skriv en kort biografi om Halley. Skriv derefter en artikel om en af Halleys videnskabelige resultater. Skibsfart i gamle dage Sæt dig ind i navigation, f. eks. bestemmelse af længdegrader. Skriv en artikel om udfordringerne ved at rejse før Greenwich-observatoriets hjemmeside kan muligvis være dig behjælpelig med information.
11 Bestemmelse af den astronomiske enhed. side 11/11 Referencer 1. (En side, der viser hvordan E. Halley bestemte afstanden til Venus ved at betragte Venus-transitter.) T. Hornsby, The quantity of the Sun's parallax, as deduced from the observations of the transit of Venus, on June 3, Philosophical Transactions of the Royal Society 61 (1771), Min hjemmeside, hvor udvalgte noter offentliggøres. 5. D. Scott Birney: Observational Astronomy, Cambridge University Press, O. Montenbruck & T. Pfleger: Astronomy on the Personal Computer, Springer Verlag Programmet Stellarium til at simulere observationer %2FIAU2004_IAUC196%2FS a.pdf&code=f5e0756c d990e75 cf703ee45
Den astronomiske enhed
Bestemmelse af Den astronomiske enhed Snapshot fra Stellarium Michael Andrew Dolan Møller Rosborg Gymnasium og Hf-kursus Juni 2012. (Redigeret maj 2015.) Bestemmelse af den astronomiske enhed. side 1/10
Læs mereTYCHO BRAHE OG SOLSYSTEMET
TYCHO BRAHE OG SOLSYSTEMET TIL UNDERVISEREN Dette undervisningsmateriale tager udgangspunkt i programserien Store Danske Videnskabsfolk og specifikt udsendelsen om Tycho Brahe. Skiftet fra det geocentriske
Læs mereFormelsamling i astronomi. Februar 2016
Formelsamling i astronomi. Februar 016 Formelsamlingen er ikke komplet det bliver den nok aldrig. Men måske kan alligevel være til en smule gavn. Sammenhæng mellem forskellige tidsenheder Jordens sideriske
Læs mereVenus relative størrelse og fase
Venus relative størrelse og fase Steffen Grøndahl Planeten Venus er værd at studere i teleskop. Med blot en forstørrelse på 20-30 gange, kan man se, at Venus ikke er punktformet og at den ligesom Månen
Læs mereMatematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder.
2. Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2.1 I Figur 1.1 i kapitel 1 er der vist et ideelt Kartesiske eller Euklidiske koordinatsystem, med koordinater ( X, Y, Z) = ( X 1, X 2, X
Læs mereSpørgsmål. Koordinatsystemer Partikler og stråling Astronomi astrofysik Står planeterne på række? Andre spørgsmål.
Spørgsmål. Koordinatsystemer Partikler og stråling Astronomi astrofysik Står planeterne på række? Andre spørgsmål. Jorden Alt - Az Time vinkel DEC RA - DEC Ækvator Horisonten Himlens ækvator Himlens ækvator
Læs mereVinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014
Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereVerdensbilleder - Venus' faser
Verdensbilleder - Venus' faser Illustration 1: En model af Ptolemæus' armillarsfære til måling af himmellegemers positioner. Modellen er lavet af C. F. Delamarche i 1780. [4]. Af Michael Andrew Dolan Møller
Læs mereFormelsamling i astronomi. November 2015.
Formelsamling i astronomi. November 015. Formelsamlingen er ikke komplet det bliver den nok aldrig. Men måske kan alligevel være til en smule gavn. Sammenhæng mellem forskellige tidsenheder: Jordens sideriske
Læs mereTeorien. solkompasset
Teorien bag solkompasset Preben M. Henriksen 31. juli 2007 Indhold 1 Indledning 2 2 Koordinatsystemer 2 3 Solens deklination 4 4 Horisontalsystemet 5 5 Solkompasset 9 6 Appendiks 11 6.1 Diverse formler..............................
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1)
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant. a) Beregn konstanten b således,
Læs mere1. Jordkloden 1.1. Inddelinger og betegnelser
1. Jordkloden 1.1 Inddelinger og betegnelser 1! Bredde Grad! [ ]! =! 10.000 / 90! =! 111 km 1! Bredde Minut! [ ]! =! 111 / 60! =! 1,850 km * 1! Bredde Sekund! [ ]! =! 1850 / 60! =! 31 m 1! Sømil *!!! =!
Læs mereStorcirkelsejlads. Nogle definitioner. Sejlads langs breddeparallel
Storcirkelsejlads Denne note er et udvidet tillæg til kapitlet om sfærisk geometri i TRIPs atematik højniveau 1, ved Erik Vestergaard. Nogle definitioner I dette afsnit skal vi se på forskellige aspekter
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereIntroduktion til Astronomi
Introduktion til Astronomi Hans Kjeldsen Kontor: 1520-230 Email: hans@phys.au.dk Tlf.: 8942 3779 Introduktion til Astronomi 1 Introduktion til Astronomi Studieretning Astronomi 3. år Valgfag Relativistisk
Læs mereLysets hastighed. Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.12.2009
Lysets hastighed Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.1.009 Indholdsfortegnelse 1. Opgaveanalyse... 3. Beregnelse af lysets hastighed... 4 3.
Læs mereTrigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet
Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet RT1: fstandsberegning (Fra katederet) 5 RT2: Bold og Glob 6 OT1:Bestemmelse af Jordens radius 9 OT2:Modelafhængighed 11 OT3:fstanden til Månen 12 OT4:Månens
Læs mereVUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner
Læs mereMælkevejens rotation
Kineæstetisk øvelse. September 2014. Side 1/5 Mælkevejens rotation Kineæstetisk aktivitet - Lærervejledning 1 Alexander L. Rudolph Professor i fysik og astronomi, Cal Poly Pomona Professeur Invité, Université
Læs mereKeplers Love. Om Kinematik og Dynamik i Renæssancens Astronomi. Folkeuniversitetet 9. oktober 2007
Keplers Love Om Kinematik og Dynamik i Renæssancens Astronomi Folkeuniversitetet 9. oktober 2007 Poul Hjorth Institut for Matematik Danmarke Tekniske Universitet Middelalderens astronomi var en fortsættelse
Læs mereHAF Sfærisk astronomi
Forside1 Plane trekanter B Vinkelsum = 180 c a a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos(a) b 2 = c 2 + a 2 2 a c cos(b) c 2 = a 2 + b 2 2 a b cos(c) A b C a sin(a) = b sin(b) = c sin(c) 1 Sfæriske trekanter N v Lillecirkel
Læs mereVerdensbilleder Side 1 af 7
Verdensbilleder ide 1 af 7 Verdensbilleder A. elvstændigt arbejde som forberedelse: 1. Følgende tekster læses grundigt forud, og der tages notater om personer, årstal, betydningsfulde opdagelser, samt
Læs mereDen syvende himmel. Ib Michelsen. Ikast
Den syvende himmel Ib Michelsen Ikast 2018 Antikken Den syvende himmel Aristoteles Filosof og matematiker (384f.v.t. 322 f.v.t.), Platons elev, samler Antikkens viden op, som senere overtages af og indgår
Læs mereObservationelle Værktøjer
Observationelle Værktøjer Et værktøjskursus. Afsluttes med en rapport på ca. 10-15 sider (IKKE et Bachelor Projekt!). Tenerife Kursus (Januar 2010?). Matlab programmering. Øvelser i 1525-319, Instruktor:
Læs mereTeoretiske Øvelser Mandag den 31. august 2009
agpakke i Astronomi: Introduktion til Astronomi Hans Kjeldsen hans@phys.au.dk 3. august 009 Teoretiske Øvelser Mandag den 31. august 009 Øvelse nr. 1: Keplers og Newtons love Keplers 3. lov giver en sammenhæng
Læs mereSfærisk Geometri. Ikast Ib Michelsen
Sfærisk Geometri Ikast 2018 Ib Michelsen Ib Michelsen Matematik A: Sfærisk Geometri Sidst ændret: 25-11-2018 Udskrevet: C:\Users\IbM\Dropbox\3uy\SfGe\SG0.odt 12 sider Indholdsfortegnelse Indledning...4
Læs mereTeoretiske Øvelser Mandag den 30. august 2010
Hans Kjeldsen hans@phys.au.dk 3. august 010 Teoretiske Øvelser Mandag den 30. august 010 Computerøvelse (brug MatLab) Det er tanken at I - i forbindelse med hver øvelsesgang - får en opgave som kræver
Læs mereVi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge.
Cykloider Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge Retningspunkt (repetition) Figur 1 viser enhedscirklen Det viste punkt P er anbragt sådan at den øverste af buerne
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs mereAfstande Afstande i universet
Side 1 Til læreren i universet Her får man en fornemmelse af rummeligheden i universet at stjernerne ikke, som antaget i Middelalderen, sidder på indersiden af en kugleflade, men i stedet er spredt i rummet
Læs mereExoplanetdetektion ved lyskurvemåling. Michael A. D. Møller. November side 1/6
Exoplanetdetektion ved lyskurvemåling. Michael A. D. Møller. November 2011. side 1/6 Exoplanetdetektion I denne øvelse skal du måle en lyskurve for en stjerne, når den krydses af en af sine planeter. Dataene
Læs mereLøsning til øvelse 7.8, side 272: Københavns Politigård
website: link fra, kapitel 7, afsnit 2 Løsning til øvelse 7.8, side 272: Københavns Politigård Bemærk: Benyt fx formelsamlingen til stxa side 10-14 til at finde de relevante formler. (Geogebra starter
Læs mereAdditionsformlerne. Frank Villa. 19. august 2012
Additionsformlerne Frank Villa 19. august 2012 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereAALBORG UNIVERSITET LANDINSPEKTØR- MATEMATISK GRUNDLAG LISBETH FAJSTRUP. IVER OTTOSEN. - om formiddagen i hvert fald. Ellers er den parallelforskudt:
Generelt om kurset: Kurset består af flere elementer: Forelæsninger - to timer, Øvelser: Opgaveregning. Arbejde hjemme med Litteraturen Repetitionsopgaver - matematik fra gymnasiet eller første studieår,
Læs mereKapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).
Læs mereMikkel Gundersen Esben Milling
Mikkel Gundersen Esben Milling Grundregel nr. 1 En GPS kan og må ikke erstatte navigation med kort og kompas! Kurset Basal brug af GPS Hvad er en GPS og hvordan virker systemet Navigation og positionsformater,
Læs mereAfstande i Universet afstandsstigen - fra borgeleo.dk
1/7 Afstande i Universet afstandsstigen - fra borgeleo.dk Afstandsstigen I astronomien har det altid været et stort problem at bestemme afstande. Først bestemtes afstandene til de nære objekter som Solen,
Læs mereGeometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit
Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer
Læs mereEksamensspørgsmål: Trekantberegning
Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8
Læs mereProjektopgave Observationer af stjerneskælv
Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der
Læs mereAnalytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen
Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger
Læs mereAnalytisk plangeometri 1
1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler
Læs mereKeplers love og Epicykler
Keplers love og Epicykler Jacob Nielsen Keplers love Johannes Kepler (57-60) blev i år 600 elev hos Tyge Brahe (546-60) i Pragh, og ved sidstnævntes død i 60 kejserlig astronom. Kepler stiftede således
Læs mereUdledning af Keplers love
Udledning af Keplers love Kristian Jerslev 8. december 009 Resumé Her præsenteres en udledning af Keplers tre love ud fra Newtonsk tyngdekraft. Begyndende med en analyse af et to-legeme problem vil jeg
Læs mereF O R S I D E N. STJERNE OBS SALLING ALMANAKKEN. DÆKNINGSKORT. REDIGERING Jens Th. Carlsen
F O R S I D E N. I STJERNE OBS SALLING SER PÅ: P ALMANAKKEN. REDIGERING Jens Th. Carlsen DE FØRSTE F SIDER FORTÆLLER OM: ALMANAKKENS HISTORIE. HVILKET ÅR R EFTER??? GYLDENTAL M.M. PÅSKEDAGENE I 40 ÅRIG
Læs mereAstronomi & Universet, del I.
2 Astronomi & Universet, del I. Selv om det grundlæggende tema i Star Trek er at udforske, og undersøge Universet, virker det som de har det "meget nemt derude i fremtiden". Al den viden de kan trække
Læs mereAAU Landinspektøruddannelsen
AAU Landinspektøruddannelsen Universal Mercator Projektion Mads Hvolby, Nellemann & Bjørnkjær 2003 UTM Projektion Indhold Forord Generelt UTM-Projektiionen UTM-Nettet Specifikationer for UTM-Projektionen
Læs mereAalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A
Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00
Læs mereMatematik A. Højere teknisk eksamen. Gammel ordning. Forberedelsesmateriale. gl-htx191-mat/a
Matematik A Højere teknisk eksamen Gammel ordning Forberedelsesmateriale gl-htx191-mat/a-27052019 Udlevering: Mandag den 27. maj 2019 Forberedelsesmateriale til prøverne i matematik A Der er afsat 10 timer
Læs mereVenuspassage - en astronomisk meterstok
Downloaded from orbit.dtu.dk on: Dec 19, 2015 Venuspassage - en astronomisk meterstok Linden-Vørnle, Michael Published in: Aktuel Naturvidenskab Publication date: 2012 Document Version Forlagets endelige
Læs mereDen ældste beskrivelse af en jakobsstav (o.1340)
Den ældste beskrivelse af en jakobsstav (o.1340) af Ivan Tafteberg Jakobsen Jakobsstaven er opfundet af den jødiske lærde Levi ben Gerson, også kendt under navnet Gersonides eller Leo de Balneolis, der
Læs mere1. Bevægelse med luftmodstand
Programmering i TI nspire. Michael A. D. Møller. Marts 2018. side 1/7 1. Bevægelse med luftmodstand Formål a) At lære at programmere i Basic. b) At bestemme stedbevægelsen for et legeme, der bevæger sig
Læs mereIntroduktion til cosinus, sinus og tangens
Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,
Læs mereMatlab script - placering af kran
Matlab script - placering af kran 1 Til at beregne den ideelle placering af kranen hos MSK, er der gjort brug af et matlab script. Igennem dette kapitel vil opbygningen af dette script blive gennemgået.
Læs mere5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve
5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer
Læs mereKeplers verdensbillede og de platoniske legemer (de regulære polyedre).
Keplers verdensbillede og de platoniske legemer (de regulære polyedre). Johannes Kepler (1571-1630) var på mange måder en overgangsfigur i videnskabshistorien. Han ydede et stort bidrag til at matematisere
Læs mereGeoCaching hvordan man finder det... ved hjælp af satelitter
GeoCaching hvordan man finder det... ved hjælp af satelitter Andreas Ulovec, Universität Wien 1 Introduktion Masser af mennesker bruger GPS til at bestemme deres egen geografiske placering, eller til at
Læs mereNattehimlen juli 2018
Nattehimlen juli 2018 Mars fanget af Damian Peach juni 2018. Endnu en måned til at betragte planeterne Merkur, Venus, Mars, Jupiter og Mars med det blotte øje. Og mens Jupiter og Saturn forbliver store,
Læs merePartiel solformørkelse, fredag den 20. marts 2015, kl. 9:40-12:05
Partiel solformørkelse, fredag den 0. marts 015, kl. 9:40-1:05 Nærum Gymnasium, Esbjerg gymnasium, Birkerød Gymnasium, Sønderborg Gymnasium m. fl. Vejledning: Fredag formiddag byder på en enestående oplevelse
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.
Opsamling Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.. Brøkregning, parentesregneregler, kvadratsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående
Læs mereOle Christensen Rømer 1644-1710
Ole Christensen Rømer 1644-1710 Ole Rømer Født den 25. september 1644 i Kannikegade i Aarhus Boede i en ejendom ved Mindet (nær Åboulevarden 12) Flyttede til en ejendom i Skolegade efter en brand Student
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....
Læs mere... Genopfriskning og overblik
... Genopfriskning og overblik Koordinater, stjernernes bevægelse over himlen Kataloger, databaser Teleskoper, adaptiv optik, lucky imaging Detektorer Fotometri + kalibrering Spektrografer og spektroskopi
Læs mereEn sumformel eller to - om interferens
En sumformel eller to - om interferens - fra borgeleo.dk Vi ønsker - af en eller anden grund - at beregne summen og A x = cos(0) + cos(φ) + cos(φ) + + cos ((n 1)φ) A y = sin (0) + sin(φ) + sin(φ) + + sin
Læs mereNattehimlen januar 2018
Nattehimlen januar 2018 Fuldmåne (Credit: Luc Viatour/Wikipedia) Godt nytår! 2018 bliver en travl måned med stjernekiggeri. Januar bringer adskillige klare planeter tilbage på himlen, især i det årle morgengry.
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2014 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Marie Kruses Skole Stx Astronomi C Klaus
Læs mereMellem stjerner og planeter
Mellem stjerner og planeter Et undervisningsmateriale for folkeskolens 8. til 10. klassetrin om Tycho Brahes målinger af stjernepositioner samt ændringen af verdensbilledet som følge af målingerne. Titelbladet
Læs mereProjekt 1.3 Brydningsloven
Projekt 1.3 Brydningsloven Når en bølge, fx en lysbølge, rammer en grænseflade mellem to stoffer, vil bølgen normalt blive spaltet i to: Noget af bølgen kastes tilbage (spejling), hvor udfaldsvinklen u
Læs mereStx matematik B maj 2009
Ib Michelsen Svar stxb maj 2009 1 Stx matematik B maj 2009 Opgave 1 Bestem f ' ( x), idet f (x )=2 x 3 +4 x 2 f ' ( x)=(2 x 3 +4 x 2 )'=(2 x 3 )'+(4 x 2 )'=2 ( x 3 )' +4 ( x 2 )'=2 3 x 3 1 +4 2 x 2 1 =6
Læs mereVektorer og rumgeometri med. TI-Interactive!
Vektorer og rumgeometri med TI-Interactive! Indtastning af vektorer Regning med vektorer Skalarprodukt og vektorprodukt Punkter og vektorer Rumgeometri med ligninger Jan Leffers (2007) Indholdsfortegnelse
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Nasser. april 11 c 8-11. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereMatematikken bag Parallel- og centralprojektion
Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med
Læs mereProblemløsning i retvinklede trekanter
Problemløsning i retvinklede trekanter Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug
Læs mereOpgave: "GPS og koordinater" (Geo-øvelse i Kongens Have).
Flemming Sigh, Odense Katedralskole, 23-08-2011. 1 / 5 Opgave: "GPS og koordinater" (Geo-øvelse i Kongens Have). 1. Indstillinger på GPS eren. a) Valg af koordinater. I Google Earth kan du få et overblik
Læs mereONSDAG 19/4(AA) AALBORG UNIVERSITET LANDINSPEKTØR- MATEMATISK GRUNDLAG. 8:15-ca. 10:15 - forelæsning. (med en pause midt i selvfølgelig.
Generelt om kurset: Kurset består af flere elementer: Forelæsninger - to timer, Øvelser: Opgaveregning. Arbejde hjemme med Litteraturen Repetitionsopgaver - matematik fra gymnasiet eller første studieår,
Læs mereTrigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist
Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,
Læs mereKnud Erik Sørensen HAF
Planeten Opdaget 23. september 1846 af Urban Le Verrier, John Couch Adams og Gottfried Galle Tsid = 164 år 323 dage, 21 t 41 min 11 s. Dvs. første fulde omløb den 12. juli 2011 1 Planetdata Data for og
Læs mere3D-grafik Karsten Juul
3D-grafik 2005 Karsten Juul Når der i disse noter står at du skal få tegnet en figur, så er det meningen at du skal få tegnet den ved at taste tildelinger i Mathcad-dokumentet RumFig2 Det er selvfølgelig
Læs mereTrekants- beregning for hf
Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel
Læs mereBreddegrader mærket med rødt Længdegrader mærket med blåt
Koordinater Mange autocamperpladser eller seværdigheder har ingen postadresse, og opgiver derfor beliggenheden i koordinater. Det er en meget præcis angivelse, men alligevel sker der mange fejltagelser
Læs mereExoplaneter fundet med Kepler og CoRoT
Exoplaneter fundet med Kepler og CoRoT Analyse af data fra to forskningssatellitter Af Hans Kjeldsen, Institut for Fysik og Astronomi, Aarhus Universitet I denne artikel demonstreres det hvordan man kan
Læs mereMatematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver
Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,
Læs mere1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen
1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,
Læs mereHubble relationen Øvelsesvejledning
Hubble relationen Øvelsesvejledning Matematik/fysik samarbejde Henning Fisker Langkjer Til øvelsen benyttes en computer med CLEA-programmet Hubble Redshift Distance Relation. Galakserne i Universet bevæger
Læs mereA U E R B A C H M I K E # e z. a z. # a. # e x. # e y. a x
M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A 2. udgave, 207 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit
Læs mereGeodæsi og Geostatistik
1 Noter til Geofysik 5 Geodæsi og Geostatistik C.C.Tscherning Niels Bohr Institutet Forår 2009. Indhold: 2 1. Indledning 1.1. Hvad er geodæsi? 2. Matematiske Hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder
Læs mereVektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne:
Vektorer i 3D. Grundegreer. Koordinater z k P OP i 0 j x y Enhedsvektorerne De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: i, j og k Vektor OP Hvis punkt p har koordinaterne: P ( a a a3 ) Så har vektor OP koordinaterne:
Læs mereDelmængder af Rummet
Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Nasser 0. april 0 c 008-0. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2018 Institution Erhvervsgymnasiet Grindsted Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTx Astronomi
Læs mereOpgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 135, 270, 60, 30.
Opgaver Polære koordinater Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 15, 70, 60, 0. Opgave Bestem sin π Opgave. Et punkt p i xy-planen er givet ved de kartesiske koordinater,. Bestem p s polære
Læs mereNAVIGATION emneforløb i samarbejde mellem matematik og historie. NAVIGATION emneforløb i samarbejde mellem matematik og historie
NAVIGATION emneforløb i samarbejde mellem matematik og historie Ivan Tafteberg Jakobsen Århus Statsgymnasium november 2003 / rev. 2004 1 Hvad snakker vi om? Hvad er navigation? Ordet stammer fra latin.
Læs mereASTRONOMISK NAVIGATION - Om kuglegeometri og koordinater på jordkloden og himmelkuglen
ASTRONOMISK NAVIGATION - Om kuglegeometri og koordinater på jordkloden og himmelkuglen Ivan Tafteberg Jakobsen Århus Statsgymnasium Version: 18. august 2007 side 1 af 15 Astronomisk navigation hvad er
Læs mereSolen og dens 8(9) planeter. Set fra et rundt havebord
En gennemgang af Størrelsesforhold i vort Solsystem Solen og dens 8(9) planeter Set fra et rundt havebord Poul Starch Sørensen Oktober / 2013 v.4 - - - samt meget mere!! Solen vores stjerne Masse: 1,99
Læs mereVinkelmåling med sekstant
Vinkelmåling med sekstant I dette lille projekt skal vi se på princippet i hvordan man måler vinkler med en sekstant, og du skal forklare hvorfor det virker! Hvis du er i besiddelse af en sekstant, eventuelt
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mere