Lektion 5 Det bestemte integral

Transkript

1 f(x) dx = F (b) F () Lektion 5 Det bestemte integrl Definition Integrlregningens Middelværdisætning Integrl- og Differentilregningens Hovedsætning Bereging f bestemte integrler Regneregler Arel mellem to grfer

2 Det bestemte integrl Hvis f(x) er en kontinuert funktion defineret på et intervl og og b er to tl i det intervl, < b, så er det bestemte integrl f(x) dx relet f området mellem x-ksen og grfen y = f(x) begrænset f de lodrette linjer x = og x = b. Vi regner områder over x-ksen som positive og områder under x-ksen som negtive. I denne sitution er f(x) dx = A A 2 + A 3 A 4 + A 5 hvor A, A 3 og A 5 er relerne over x-ksen og A 2, A 4 reler under x-ksen. 2

3 Arelet f en kvrtcirkel Eksempel (Det bestemte integrl som et rel). x 2 dx = π 4, relet f en kvrt enhedscirkel. 2. ( x) dx = 2, (det negtive f) relet f en treknt under x-ksen. 3. k dx = k(b ). 4. Areler kn beregnes ved t inddele i strimler. Feks er x2 dx = lim n n i= n ( i n ) 2 = lim n n(n + )(2n + ) = lim n n 3 6 n 3 = lim n ( + /n) (2 + /n) 6 n i 2 i= = 2 6 = 3 Hmm, det virker lidt besværligt! x 3 dx = fordi grfen for y = x 3 er symmetrisk over y-ksen. 3

4 3 Middelværdisætningen Forestil dig t grfen forestiller en bølge. Når vndet er fldet til ro hr det en dybde et sted mellem den højeste bølgetop og den lveste bølgedl. Tllet b f(x) dx kldes for middelværdien for funktionen f(x) Sætning 2 En kontinuert funktion f(x), x b, ntger sin middelværdi: Der findes et tl c et sted mellem og b sådn t f(x) dx = f(c)(b ) For t indse dette skl vi bre vise t middelværdien ligger mellem mindstværdien, m, og størsteværdien, M; for d f(x) er kontinuert vil den ntge lle værdier mellem m og M. Men d f(x) netop ligger mellem m og M vil relet under grfen f(x) dx ligge mellem relet m(b ) og relet M(b ). Middelværdien ligger derfor mellem m og M. 4

5 Differentil- og integrlregingnens hovedsætning Sætning 3 Ld F (t) = t f(x) dx være funktionen som måler relet f området mellem grfen y = f(x) og x-ksen og x = og x = t.. Funktionen F (t) er differentibel med differentilkvotient F (t) = f(t). 2. Hvis G(t) er en nden funktion så G (t) = f(t), så er G(t) = F (t) + C. Sætningen siger, for det første, t enhver kontinuert funktion er den fledte funktion f en differentibel funktion, enhver kontinuert funktion hr et (ubestemt) integrl. For det ndet: Kender vi bre et integrl til den kontinuerte funktion f(x), d får vi enhvert ndet integrl ved blot t lægge en konstnt til. 5

6 . Differentilkvotienten F (t) er den øjeblikkelige reltive vækst lim h F (t + h) F (t) h f F (t). Forskellen i tælleren F (t+h) F (t) = t+h t f(x) dx = t+h t f(x) dx f(x) dx er relet mellem de lodrette linjer x = t og x = t + h. Middelværdisætningen siger t dette rel er lig med f(c h )h for et tl c h mellem t og t + h. Altså er F (t + h) F (t) f(c lim = lim h )h h h h h = lim f(c h ) = f(x) h fordi c h nærmer sig x og f(c h ) nærmer sig f(x) når h bliver meget lille. 2. Ld G(t) være en nden funktion hvis fledte også er f(t). Så er den fledte f forskellen (G(t) F (t)) = G (t) F (t) = f(t) f(t) = og ltså er G(t) F (t) konstnt. 6

7 Beregning f bestemte integrler Sætning 4 Ld F (x) være en et integrl til f(x), dvs F (x) = f(x). Så er f(x) dx = F (b) F () Skl du beregne det bestemte integrl f(x) dx gør følgende:. Find en funktion F (x) så F (x) = f(x) (F (x) = f(x) dx) 2. Beregn F (b) F () (skrives tit [F (x)] b ) Vi hr nemlig F (t) = t f(x) dx + C hvor C er en konstnt. Altså er F (b) F () = ( f(x) dx + C) ( f(x) dx + C) = f(x) dx fordi f(x) dx = og C C =. 7

8 Eksempel 5 (Beregning f bestemte integrler). Ved omvendt substution fndt vi i Lektion 4 x 2 dx = 2 x x rcsin x Altså er 2 x x rcsin x] ( rcsin rcsin ) = 2 π 2 = π 4 x 2 dx = [ som i Ek- = 2 som i Eksempel. 2. ( x) dx = [ 2 x2] sempel x 2 dx = [ 3 x 3] 2 = 2 = = π/2 sin x dx = [ cos x ] π/2 = ( ) ( ) =. 5. +x 2 dx = [ rctn x ] = rctn rctn = π x 3 dx = [ 4 x 4] =. 7. I Lektion 2 så vi t dx d rcsin x =. x 2 Altså er /2 dx = [ rcsin x ] /2 x 2 rcsin 2 = π 6. 8 =

9 Regneregler. f(x) dx = 2. f(x) dx = b f(x) dx (Enstemmig vedtgelse) 3. f(x) dx + c b f(x) dx = c f(x) dx 4. kf(x) dx = k f(x) dx 5. (f(x)+g(x)) dx = f(x) dx+ g(x) dx Eksempel 6 (Brug f regneregler) (x+) 2 dx (x+) 3 dx = x+ x (x+) 3 dx (x+) 3 dx = 9

10 Arelet mellem to grfer Sætning 7 Antg t funktionen f(x) ligger over funktionen g(x), dvs f(x) g(x) for lle x. D er det bestemte integrl (f(x) g(x)) dx lig med relet f området mellem y = f(x), y = g(x), x =, x = b. Hæver vi begge de to funktioner et godt stykke over x-ksen, ser vi t relet mellem de to grfer er lig med relet under y = f(x) minus relet under y = g(x), eller lig med f(x) dx g(x) dx = (f(x) g(x)) dx hvilket vr påstnden. Eksempel 8 (Arel mellem to kurver) De to grfer y = x og y = x 3 skærer hinnden i x = og x =. Arelet f området mellem de to grfer mellem disse to skæringspunkter er (x x3 ) dx = [ 2 x ] 4 x4 = 2 4 = 4.

11 Opgver til Lektion 5. Find middelværdien f f(x) = x 4, x [, 2]. 2. Find middelværdien f f(x) = x, x [, 4]. 3. Find 2 (x 5 ) dx. 4. Find (x 3 + 2) 2 dx. 5. Find π sin x cos x dx. 6. Find relet f området fskåret f linjen y = x og prblen y = 6 x Find relet f en cirkel med rdius R. 8. Find relet under en bue på grfen for sinus funktionen. 9. Et bdekr er ved t blive fyldt med vnd. Til tiden t (i minutter) løber der 3t

12 liter pr. minut ned i krret. Hvor meget vnd løber der ned i bdekrret fr t = minutter til t = 2 minutter?. (Eksmen pril 2 Opgve ) Find den ekskte værdi f det bestemte integrl 5x 2 x 3 2 dx. Argumenter for t dyrs overflde er proportionl med l 2 og dets volumen med l 3, hvor l er det længden. Hvis en fisk vokser fr 4 cm til 5 cm, hvd sker der så med dens vægt? 2. (Store fisk svømmer hurtigere end små - men hvor meget?) En svømmende fisk yder en effekt W = CRV 2 som er proportionl med vndmodstnden, R, og kvdrtet på hstigheden, V. Ld os ntge t vndmodstnden er proportionl med fiskens overflde og dens mksimleffekt med dens volumen (muskelmsse). Gør rede for t topfrten vokser proportionlt med l hvor l er længden.