Stamfunktion & integral

Transkript

1 PeterSørensen.dk Stmfunktion & integrl Indhold Stmfunktion... Integrl (Uestemt integrl)... 2 Det estemte integrl... 2 Arel og integrl... Regneregler for estemte integrler... Integrler / stmfunktioner kn findes ved hjælp f CAS-værktøj... Stmfunktion En funktion F kldes stmfunktion til en funktion f hvis F = f. Fx: F(x) = x² og f(x) = 2x. Der findes uendelig mnge stmfunktioner til 2x, l.. også (x²+) idet (x²+) = 2x Der gælder, t lle stmfunktioner til 2x er (x²+k) hvor k er et tl, der med et fint ord kldes en ritrær konstnt. Aritrær etyder tilfældig eller vilkårlig. Enhver f disse stmfunktioner kn etegnes med den særlige skrivemåde: 2x, som udtles integrlet f 2x med hensyn til x. Nogen gnge siger mn det uestemte integrl. Det er uestemt hvilken stmfunktion, der menes, når mn skriver 2x Der gælder således 2x = x² + k, hvor k er en ritrær konstnt At integrere en funktion vil sige t finde stmfunktionerne. Eksempler: F(x) = x² er en stmfunktion til f(x) = 2x, fordi (x²) = 2x G(x) = x² + er en stmfunktion til g(x) = 2x, fordi (x² + ) = 2x Bemærk G(x) = F(x) + Generelt kn mn sige: Hvis der til en funktion f findes en stmfunktion F, så gælder:. G(x)=F(X)+k er også stmfunktion for f, idet k er et tilfældigt tl, kldet en ritrær konstnt. 2. Enhver stmfunktion til f kn skrives på formen G(x) =F(X)+k hvor k er et konstnt tl. Dvs., lle stmfunktioner til f udgøres f dem, der kn skrives på formen G(x)=F(X) + k

2 Bevis:. G (x) = (F(x)+k ) = f(x) + 0 = f(x). hvorfor G er stmfunktion til f. 2. Vi etrgter stmfunktion til f : G. (G(x) F(x)) = G (x) F (x) = f(x) f(x) = 0. Grfen for (G(x) F(x)) er derfor vndret overlt og (G(x) F(x)) = et konstnt tl k. Altså G(x)=F(X)+k. Integrl (Uestemt integrl) En stmfunktion til f kldes også det uestemte integrl til f og etegnes f(x) Ofte siges lot integrlet til f Eksempler på integrler ses til højre, hvor k er en ritrær konstnt og Ln er en særlig funktion, vi skl lære om senere. Løs interktive opgver og Se regler for integrtion f(x) f(x) x 2 x² + k x + 2 x² + x + k x + k x² ⅓ x³ + k x² x³ + k 6x² 2 x³ + k x³ ¼ x + k x³ / x +k /n+ x n+ + k Ln(x) Ln(-x) xⁿ (n ikke lig -) x - (x>0) x - (x<0) Det estemte integrl Ld F være en stmfunktion til f. Det estemte integrl f f fr til defineres som F() F() og etegnes F() F() kn kortfttet skrives således: [ F ( x)] Altså: Det estemte integrl f f fr til = f x) f x) ( = ( hr smme værdi unset hvilken stmfunktion til f, mn etrgter. [ F ( x)] = F() F(). Bevis Hvis mn etrgter 2 forskellige stmfunktioner til f, F og F 2, vil de kun dskille sig fr hinnden ved en ritrær konstnt. Dvs F 2 (x) - F ( x) vil ltid give den smme værdi unset x. Den værdi kn vi klde k. Det kn udtrykkes således: F 2 (x) - F ( x) = k F 2 (x) = F ( x) + k Herefter ses det let t F 2 () F 2 () hr smme værdi som F () F (), idet F 2 () F 2 () = (F () + k) (F () + k) = F () F ().

3 Bemærk Det estemte integrl er et estemt tl, nemlig = 6²-² = 6-9 = 2 Det estemte integrl er en estemt funktion med regneforskrift: = x²-² = x²-9 Vi skl i øvrigt snrt se, t er relet f det område i koordintsystemet, der ligger mellem intervllet [; 6] på x-ksen og grfen for 2x. Bemærk 2x>0 når x er i intervllet [; 6]. Arel og integrl Ved integrlregning kn mn finde rel f mnge forskellige figurer. Vi vil nu etrgte en funktion, som er positiv eller eventuelt nul og kontinuert i et lukket intervl [; ]. x er et tl i intervllet. I ovenstående tegning etrgtes det skrverede rel, der fgrænses f grfen, x-ksen og de lodrette linjer gennem og x. Dette rel fhænger f, hvor i intervllet x plceres. Arelet er således en funktion f x, og kldes relfunktionen, og den vil vi etegne således: A A(x) er således lig det skrverede rel. Der gælder: A er en stmfunktion til f, og A er den stmfunktion, hvor A() = 0. Det vil vi ikke evise, men nskueliggøre. At A() = 0 virker temmelig indlysende. At A er en stmfunktion til f er også temmelig indlysende. Det ses således: A A ( x h) A( x) = h x I tegningen til højre vises situtionen ved en lille positiv h-værdi. Det virker troværdigt, t tælleren er lig, eller næsten lig, relet f det mørkt mrkerede rektngel. D rektnglet hr grundlinjen h er røken så godt som lig højden f rektnglet, ltså f(x). A Dermed hr vi nskueliggjort, t x Altså, t A (x) = f(x), som etyder, t A en stmfunktion til f. f(x) for h 0 (røken nærmer sig f(x). når h nærmer sig nul)

4 Bemærk = A() - A() = A() 0 = A(). Dvs. hvis en grf for en funktion f ligger over x-ksen på stykket fr til, kn mn eregne relet f det område, der ligger mellem x-ksen og grfen fr til således: Arelet f området f fr til mellem 2 grfer for funktionerne f og g, hvor f(x)>g(x) kn eregnes således: Eksempel: f(x) = 2x, F(x) = x 2 g(x)= x², G(x) = Arelet mellem de to grfer er Regneregler for estemte integrler g( x) = g ( x) c = c = c + c Den sidste regel kldes Indskudsreglen Eksempler: = = ( / 2 ² - / 2 2² ) (2 2 2) = 2½ x = x = [½x ²] = ( ½ ² - ½ ² ) = 6½ = 82½ 2x = [x ²] = ² - ² = 2 2x = 2x + 2x = 2 [x ²] + [x ²] = (² - ²) + (² - ²) = ² - ² =

5 Integrler / stmfunktioner kn findes ved hjælp f CAS-værktøj På TI89 findes f. eks. 2 x ved t tste: F6 Enter Enter F 2 2 x, x ) Enter 2x fås ved t tste: F6 Enter Enter F 2 2 x, x,, ) Enter På PC med TI Interctive gøres følgende: Klik i Mth Box (Første ikon i skærmens. linje) Klik i Tools i det nye vindue Vælg Integrl Vælg Single integrl w/out limits Skriv 2x i det venstre felt Skriv x i det højre felt Tst Enter I RegneRoot, klik i Guide & CAS og vælg Differentil- og integrlregning. Se eventuelt Vejledning til RegneRoot. Se eventuelt det sidste f videoen: CAS