Implicit differentiation

Transkript

1 Implicit differentition Implicit differentition Indhold. Implicit differentition.... Tngent til ellipse og hyperel Prisme i hovedstillingen Teoretisk rgument for hovedstillingen...4 Ole Witt-Hnsen

2 Implicit differentition. Implicit differentition I sidste nummer f LMFK ldet, vr der en rtikel om ortogonle tngenter til en ellipse. D jeg gik i gymnsiet vr formlen for tngent til ellipse og hyperel en del f det oligtoriske pensum i nlytisk geometri, (som gnske vidst er udgået f gymnsiets mtemtikpensum, og jeg husker stdig med en vis ærefrygt, t formlerne lev udledt ved nvendelse f implicit differentition. Grundlget for implicit differentition lev først rigtig klrt for mig til Børge Jessens forelæsninger på mtemtik i 965 (KU. Løseligt formuleret, så hvis mn hr en ligning f(x,y = c, så er y implicit en funktion f x. At isolerer y, kn godt vise sig t være særdeles esværligt eller umuligt. Men i mnge tilfælde kn mn lligevel godt finde et udtryk for / ved implicit t ntge, t y=y(x. Mn får så: df f f x y som kn løses mht. /. (Og eventuelt løses mht. / =. Tngent til ellipse og hyperel En ellipse, som hr centrum i (x,y og hlvkser og. hr som ekendt ligningen: ( x x ( y y Hvis (x,y er et punkt på ellipsen, er udregnet i x hældningskoefficienten for tngenten i x. For t estemme / differentierer vi ellipsens ligning implicit. ( x x som løses mht. / til t give. ( y y ( x x ( y y Ligningen for en linie gennem (x,y og hældning er: y y = (x x. Indsættes ovennævnte udtryk for hældningen tget i x. Finder mn: som omskrives til y y ( x ( y x ( x x y

3 Implicit differentition 3 ( x x ( x x ( y y( y y Mn finder ltså et simpelt udtryk for tngentligningen, som minder emærkelsesværdigt om ellipsens ligning. For en hyperel, som hr ligningen: ( x x ( y y er den eneste forskel til tngentligningen, t minustegnet følger med ( x x ( x x ( y y( y y 3. Prisme i hovedstillingen D jeg for en del år siden skrev et hefte om Geometrisk optik til rug som vlgfrit emne, skulle jeg nvende det kendte resultt, t føjningen i et prisme er mindst i hovedstillingen, ltså der hvor strålegngen er symmetrisk omkring prismet. Det skulle jo være nemt nok t vise ud fr rydningsloven? Det er muligt, t der kn findes en simpel nlytisk forklring, men jeg kunne ikke finde den, men efter t hve opgivet t løse prolemet med lmindelige nlytiske metoder, kom jeg til t tænke på implicit differentition. Simpelt? Nej! Men det kn gøres, som vist nedenfor. Vi etrgter firknten ABCD. Vi nvender t supplementvinklen (8 vinklen til vinklen i en treknt er lig med summen f de to ndre vinkler i treknten. Dette nvendt på treknt ABD og d A=B=9 fremgår f figuren (og geometrien:

4 Implicit differentition 4 D 8 og 8 D Aføjningen f strålen ses t være i i i i ( i i Mn kn eksperimentelt påvise og teoretisk udlede, t føjningen er mindst, når strålegngen er symmetrisk, ltså når i = i = i og = =. Dette kldes for prismets hovedstilling. I dette tilfælde er min i, så i min og. Anvender mn dette i rydningsloven finder mn: n sin min sin( sin( 3. Teoretisk rgument for hovedstillingen. Ifølge udledningen ovenfor gælder smt ifølge rydningsloven i i ( og (, n og sin nsin og n sin nsin nsin( Ud fr den sidste ligning kn vi opftte i som en funktion f og ud fr den første ligning kn vi opftte som funktion f i. Dette skriver vi: i = i ( og = (i => i = i ( (i Den funktionelle fhængighed fremgår implicit ovenfor. Herefter kn vi implicit udtrykke φ som funktion f i og differentiere den for et finde minimum.

5 Implicit differentition 5 i i ( og ( i i i i ( ( i Ved (implicit differentition f den smmenstte funktion med hensyn til i for t estemme et eventuelt minimum, finder mn herefter: d di d di d di Ved implicit differentition f ligningerne: får mn: nsin og nsin nsin( di cosi ncos( d di d Ved t løse disse ligninger for og d di d og ncos cosi di og indsætte i udtrykket for φ, finder mn d di d di d di cos i cos( cos i cos cos i cos cos i cos d Det ses nu, t hr løsningen i i, idet egge de to røker så liver lig med. di Dette er netop etingelsen for hovedstillingen, hvilket vr det vi ville vise. At det er et minimum og ikke et mximum er indlysende f fysiske grunde. Ole Witt-Hnsen Mrts