Vektorer. koordinatgeometri

Transkript

1 Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet 0 Krsten Juul

2 Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet Ä 0 Krsten Juul Dette håfte kn downlodes fr mtdk/noterhtm HÅftet mç ruges i undervisningen hvis låreren med det smme sender en e-mil til kj@mtdk som oplser t dette håfte enttes (skriv filnvn), og oplser om hold, niveu, lårer og skole

3 VEKTORER Koordinter til punkt i plnen3 Koordinter til punkt i rummet 3 3 Vektor: Definition og sprogrug4 4 Vektor: Koordinter4 5 Koordinter til vektors endepunkt 5 6 Nulvektor 5 7 LÅngde f vektor 5 8 Modst vektor 6 9 TvÅrvektor (plngeometri)6 0 Tl gnge vektor 7 Vektor plus vektor 7 Vektor minus vektor 8 3 rojektion8 4 rikprodukt 8 5 rikprodukt: Vinkelret? 9 6 rikprodukt: Vinkel mellem vektorer9 7 rikprodukt: rojektion f vektor 9 8 Determinnt (plngeometri)0 9 Determinnt: rllel? (plngeometri)0 0 Determinnt: Arel (plngeometri)0 Krdsprodukt (rumgeometri) Krdsprodukt: rllel? (rumgeometri) 3 Krdsprodukt: Arel (rumgeometri) 4 Krdsprodukt: Vinkelret vektor (rumgeometri) KOORDINATGEOMETRI 5 rmeterfremstilling for linje 6 Ligning for linje (plngeometri) 3 7 Ligning for pln (rumgeometri)3 8 Ligning for cirkel (plngeometri) 4 9 Ligning for kugle (rumgeometri)5 30 Afstnd fr punkt til linje (plngeometri) 5 3 Afstnd fr punkt til pln (rumgeometri)5 3 Vinkel mellem linjer5 33 Vinkel mellem plner (rumgeometri) 6 34 Vinkel mellem sideflder (rumgeometri)6 35 Vinkel mellem linje og pln (rumgeometri) 6 36 VilkÇrligt punkt pç linje6 37 SkÅring mellem to linjer l og m 6 38 SkÅring mellem linje og cirkel (plngeometri) 7 39 SkÅring mellem linje og kugle (rumgeometri)7 40 SkÅring mellem linje og pln (rumgeometri)7 4 rojektion f punkt pç linje (plngeometri)7 4 rojektion f punkt pç pln (rumgeometri)8 43 Tngent til cirkel plngeometri) 8 44 Tngentpln til kugle (rumgeometri)8 Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet 0 Krsten Juul

4 BEVISER 45 Skrivning f formler 9 46 Bevis for formler til utomtisk tegning f pil9 47 Automtisk tegning f pil pç Nspire0 48 Bevis for t vi mç prikke ind i en prentes 0 49 Bevis for formel Bevis for t vi fçr nul nçr vi prikker med nulvektor 5 Bevis for t vinkelrette vektorer hr sklrprodukt nul 5 Bevis for formlen for projektion f vektor 53 Bevis for prmeterfremstilling for en linje 54 Bevis for ligning for linje (plngeometri) 55 Bevis for ligning for pln (rumgeometri)3 56 Bevis for ligning for cirkel (plngeometri)3 57 Bevis for ligning for kugle (rumgeometri)3 ÉVELSER 3-4 Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet 0 Krsten Juul

5 Koordinter til punkt i plnen VEKTORER Koordintsstem i plnen Figuren viser et koordintsstem i plnen De to koordintkser er vinkelret pç hinnden Begndelsepunkt O Begndelsespunktet er koordintksernes skåringspunkt Bogstvet O ruges ofte til t etegne egndelsespunktet O hr koordintsåttet (0,0) c KoordintsÄt til punktet Q Vi nringer et fltrt punkt i O O Vi forskder punktet 5 enheder i x-ksens retning sç det kommer fr O til NÇr vi forskder 5 enheder i x-ksens retning, sç liver x-koordinten 5 enheder stñrre NÇr vi forskder i x-ksens retning er det kun x-koordinten der Åndres AltsÇ hr koordintsåttet ( 5,0) Fr forskder vi punktet enhed i -ksens retning sç det kommer fr til Q NÇr vi forskder enhed i -ksens retning, sç liver -koordinten enhed stñrre NÇr vi forskder i -ksens retning er det kun -koordinten der Åndres AltsÇ hr Q koordintsåttet ( 5,) Det fñrste tl i koordintsåttet er punktets x-koordint Det ndet tl i koordintsåttet er punktets -koordint Begndelsepunkt O Begndelsespunktet er koordintksernes skåringspunkt Bogstvet O ruges ofte til t etegne egndelsespunktet O hr koordintsåttet (0,0,0) Det hedder et pln, ikke en pln, men i geometri er egge dele korrekt I eksmensopgver skrives en pln c KoordintsÄt til punktet R Q Vi nringer et fltrt punkt i O x Vi forskder punktet 5 enheder i x-ksens retning sç det kommer fr O til NÇr vi forskder 5 enheder i x-ksens retning, sç liver x-koordinten 5 enheder stñrre NÇr vi forskder i x-ksens retning er det kun x-koordinten der Åndres AltsÇ hr koordintsåttet ( 5,0, 0) Fr forskder vi punktet enhed i -ksens retning sç det kommer fr til Q NÇr vi forskder enhed i -ksens retning, sç liver -koordinten enhed stñrre NÇr vi forskder i -ksens retning er det kun -koordinten der Åndres AltsÇ hr Q koordintsåttet ( 5,, 0) Fr Q forskder vi punktet 3 enheder i z-ksens retning sç det kommer fr Q til R NÇr vi forskder 3 enheder i z-ksens retning, sç liver z-koordinten 3 enheder stñrre NÇr vi forskder i z-ksens retning, er det kun z-koordinten der Åndres AltsÇ hr R koordintsåttet ( 5,,3) Det fñrste tl i koordintsåttet er punktets x-koordint Det ndet tl i koordintsåttet er punktets -koordint Det tredje tl i koordintsåttet er punktets z-koordint (BemÅrk t punkterne R og T ligger lige lngt over x-plnen som indeholder x-ksen og -ksen) Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet 3 0 Krsten Juul R O Q (5,) R (, 4) d KoordintsÄt til punktet R Ç den Ñverste figur kn vi kn komme til R ved t strte i O, forskde i x-ksens retning og forskde 4 i -ksens retning Derfor er R (, 4) R (5,,3) Koordinter til punkt i rummet z S (,4, ) Koordintsstem i rummet T Figuren viser et koordintsstem i rummet De tre koordintkser er vinkelret pç hinnden R S Q x

6 d KoordintsÄt til punktet S Ç den nederste figur pç side 3 kn vi komme til S ved t strte i O, forskde i x-ksens retning, 4 i -ksens retning og i z-ksens retning Derfor er S (, 4, ) 3 Vektor: Definition og sprogrug 3 En vektor er en pil Hvis vi forskder en pil uden t dreje den, sç er pilen stdig smme vektor 3 En vektor kn etegnes med et lille ogstv med pil over 3c Ç figurerne 3f og 3g gålder: Vektorerne og er smme vektor, for de kn forskdes over i hinnden d de hr smme långde og smme retning Vektorerne og c er ikke smme vektor d de hr forskellig långde Vektorerne d og e er ikke smme vektor d de hr forskellig retning 3d Ç figur 3f gçr vektoren fr punktet til punktet Q SÇ kn denne vektor etegnes med Q Der gålder t Q og Q 3e NÇr en vektor er nrgt sç den gçr fr et punkt til et punkt Q, sç siger vi: er vektorens strtpunkt og er Q vektorens endepunkt NÇr vi fsåtter vektoren ud fr, sç er dens endepunkt Q z 3 Figur 3f 4 Vektor: Koordinter 4 Vi kn fç en vektors koordintsåt ved t Q tråkke strtpunktets koordinter fr endepunktets koordinter 4 En vektors koordintsåt skrives lodret 3 c x R d e S 3 d 0 Figur 3g 4c NÇr A, ) og B, ), er 4d NÇr A,, ) og B,, ) ( AB ( ( 3 AB 3 3 ( 3, er 4e Eksempel 4f Eksempel Ç figur 3f er (5,) og Q (,3) Ç figur 3g er R (3, 0, 0) og S (0, 0, ) sç dvs Q 3 ( 5) og dvs Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet 4 0 Krsten Juul sç RS d 0 4g Dette koordintsåt fortåller t gçr 4h Dette koordintsåt fortåller t d gçr 3 i x-ksens retning og 3 i x-ksens retning, i -ksens retning 0 i -ksens retning og Dette kn vi ogsç se pç figur 3f i z-ksens retning Dette kn vi ogsç se pç figur 3g

7 5 Koordinter til vektors endepunkt x 5 NÇr A (, ) og x AB er 5 NÇr A (,, ) 3 og AB z B x, ) B x,, ) ( ( 3 z B B er A A 5c I ord kn de to formler udtrkkes sçdn: NÇr en vektor er fst ud fr et punkt, og mn lågger vektorens koordinter til punktets koordinter, sç fçr mn koordinterne til vektorens endepunkt 5d Eksempel 5e Eksempel (4,) Ud fr figuren slutter vi: x,, ), 6 Nulvektor 5 0 ( 0 0 z0 r r r, ( x,, z) r3 Med disse etegnelser fçr vi ud fr figuren: ( x,, z) ( x0 r, 0 r, z0 r3 ) 6 Vekoren med långde 0 kldes nulvektor og etegnes med o som er ogstvet lille o med pil over 0 6 I plnen er o 0, og i rummet er o c Ç en figur er nulvektor et punkt 7 LÄngde f vektor 7 Smolet v etder långden f vektoren v B B ( 45, ) (9, 3) 0 r r 0 x 7 NÇr v x, er 7c NÇr v, er z v x v x z 7d Eksempel A (,) og B (6,5) For t finde långden f AB udregner vi fñrst koordinterne til AB : 6 ( ) AB 5 Nu fçr vi AB 8 ( 6) 8 6 Vi hr udregnet t fstnden mellem punkterne A og B er 0 0 I rummet er udregningerne de smme ortset fr t der er tre koordinter Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet 5 0 Krsten Juul

8 8 Modst vektor 8 Koordinter til modst vektor x En vektor x hr den modstte vektor En vektor hr den modstte vektor z x 8 x 8c z 8d Modst vektor på figur Den modstte vektor til hr smme långde som og hr modst retning f 8e Eksempel Ç figuren er SÇ er ( ) 9 TvÄrvektor (plngeometri) 9 NÇr vi drejer en vektor 90 mod uret, sç fçr vi vektorens tvårvektor Vi skriver â er tvårvektoren til over en vektor for t etegne tvårvektoren En vektor i rummet hr IKKE en tvårvektor 9c Formel for tvärvektor Vi udregner koordinterne til tvårvektoren ved hjålp f fñlgende formel: â Figur 9 x 9d x 9e Eksempel: Hvis 3, er â 3 Se Figur 9 9f Eksempel Du skl IKKE huske t reglen Figur 9g viser et kvdrt er nr 9 Du skl läse reglen, Af 9 fçr vi huske den, og forstå t den ruges her Det smme gälder 5 AB lle tilsvrende henvisninger Vi omskriver hñjresiden med Formel 9d og fçr AB 5 Af dette og Formel 5 fçr vi B ( 7, 3 ( 5)) AltsÇ er B ( 8, ) D C 5 A(7,3) B Figur 9g Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet 6 0 Krsten Juul

9 0 Tl gnge vektor 0 Koordinter til k Vi gnger en vektor med et tl ved t gnge hver f vektorens koordinter med tllet: 0 k k 0c k k 3 k k k 3 0d k på en figur,5 er ensrettet med d,5 er positiv,5 er,5 gnge sç lng som er modst rettet d er negtiv er gnge sç lng som 0e 0 er nulvektoren o 0f LÅngden f k er k gnge långden f Se 0 0g k er ensrettet med hvis k er positiv k er modstrettet hvis k er negtiv 0h Hvis er o eller prllel med, sç findes et tl k sç er k Vektor plus vektor Koordinter til c på en figur d på en figur Hvis er fst i forlångelse f som pç figur e, sç er Hvis og er fst ud fr smme punkt vektoren R som pç figur f, og QRS er et prllelogrm, sç er digonlen R lig fr 's strtpunkt til 's spids,5 Q R Figur e Q S R Figur f g Eksempel Figur h viser tre vektorer Af regel c fçr vi Herf og f fçr vi 8 ( 7) ( 3) AltsÇ er Figur h Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet 7 0 Krsten Juul

10 Vektor minus vektor Koordinter til c på en figur d på en figur Hvis og er fst i forlångelse f Hvis og er fst ud fr smme punkt, hinnden som pç figur e, sç er T lig sç er vektoren fr 's spids til 's spids Ç figur f, er SQ lig T Q Q Figur e Figur f S 3 rojektion 3 rojektion f punkt på linje NÇr vi fr et punkt gçr vinkelret ind pç en linje l, kommer vi til et punkt l pç l som vi klder projektionen f pç l l 3 SÅdn kn vi tegne projektionen (plngeometri) For t tegne projektionen f et punkt pç en linje l tegner vi den linje m som gçr gennem og er vinkelret pç l SkÅringspunktet mellem m og l er det punkt l vi klder projektionen f pç l l 3c rojektion f vektor på vektor Linjen l er prllel med NÇr vi projicerer strtpunkt og endepunkt for pç l, sç fçr vi strtpunkt og endepunkt for en vektor som vi klder projektionen f pç l 3d rojektion f punkt på pln NÇr vi fr et punkt gçr vinkelret ind pç en pln, kommer vi til et punkt i som vi klder projektionen f pç 4 rikprodukt 4 rikproduktet f to vektorer og er et tl NÇr vi kender koordinterne, kn vi udregne prikproduktet ved hjålp f formlerne i rmmerne rikproduktet kldes ogsç sklrproduktet Sklr etder tl 4 4c Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet 8 0 Krsten Juul

11 5 rikprodukt: Vinkelret? 5 Smolet låses er vinkelret pç eller og er ortogonle 5 netop nçr 0 hvis hverken eller er nulvektor 5c Eksempel 3 t og og er ortogonle netop nçr 0, ltsç nçr 3t 0 dvs nçr t 3 I rummet er udregningen den smme ortset fr t hver vektor hr tre koordinter 6 rikprodukt: Vinkel mellem vektorer 6 NÇr vi fsåtter to vektorer ud fr smme punkt, dnner de to vinkler Den f vinklerne der er mindre end eller lig 80, klder vi vinklen mellem vektorerne 6 NÇr v er vinklen mellem og, er cos( v) 6c Eksempel 8 og 3 NÇr v er vinklen mellem og, er cos( v) ltsç 8 ( ) 3 cos( v) 3 8 ( ) Nspire lñser denne ligning mht v for Vinklen mellem og er 94,4 0 v 80 og fçr v 94, 3987 v I rummet er udregningen den smme ortset fr t hver vektor hr tre koordinter 7 rikprodukt: rojektion f vektor 7 rojektionen f pç er 7 LÅngden f projektionen f pç er 7c Eksempel NÇr 8 og 3 er 8 ( ) 3 ( ) 3 3 7d Eksempel 0 NÇr og 0 5 ( ) 5 er 5 5 ( ) c og 7d: I rummet er udregningen den smme ortset fr t hver vektor hr tre koordinter Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet 9 0 Krsten Juul

12 8 Determinnt (plngeometri) 8 Determinnten det(, ) f to vektorer pç er et tl NÇr vi kender koordinterne, kn vi udregne determinnten ved hjålp f formlen i rmmen To vektorer i rummet hr ikke en determinnt 8 det(, ) 8c Eksempel 8 og 3 det(, ) 83 ( ) 6 9 Determinnt: rllel? (plngeometri) 9 Smolet låses og er prllelle 9 netop nçr det(, ) 0 hvis hverken eller er nulvektor 9c Eksempel 3 4 og t og er prllelle netop nçr det(, ) 0, ltsç nçr ( 3) t 4 dvs nçr t 3 0 Determinnt: Arel (plngeometri) 0 nçr t nçr t 0 nçr t nçr t 0 Smolet x låses den numeriske vårdi f x Der gålder 0 0, 4 4, 4 4, 0,5 0, 5, 0,5 0, 5, osv Arelet A f det prllelogrm der udspåndes f og er 0 A det(, ) A 0c Eksempel 8 og 3 Arelet A f det prllelogrm der udspåndes f og er A det(, ) ( ) d Eksempel Arelet T f treknt ABC er T det( AB, AC) C 0e Eksempel En skåv firknt QRS deler vi op i to treknter for t finde relet A T B Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet 0 0 Krsten Juul Q S R

13 Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet 0 Krsten Juul Krdsprodukt (rumgeometri) Krdsproduktet f to vektorer og er en vektor NÇr vi kender koordinterne, kn vi udregne krdsproduktet ved hjålp f formlen i rmmen Krdsproduktet kldes ogsç vektorproduktet c Eksempel Krdsprodukt: rllel? (rumgeometri) netop nçr o hvis hverken eller er nulvektor Eksempel og Ç Nspire udregner vi D er nulvektor, er og prllelle 3 Krdsprodukt: Arel (rumgeometri) Arelet A f det prllelogrm der udspåndes f og er 3 A 3 Eksempel 0 og 0 Ç Nspire udregner vi Arelet A f det prllelogrm der udspåndes f og er 3 ) ( A Afsnit 3 fortsätter på näste side Dette er udregnet pç Nspire ved t tste cross({,-,5},{-3,6,4}) x z Vi skl vide t denne formel findes Vi skl ikke huske formlen Vi vil ltid ruge Nspire til t udregne krdsprodukt

14 3c Eksempel Arelet T f treknt ABC er B Q R T ABAC 3d Eksempel: En skåv firknt QRS deler vi op i to treknter for t finde relet A T C S 4 Krdsprodukt: Vinkelret vektor (rumgeometri) 4 Krdsproduktet f to vektorer er en vektor der er vinkelret pç egge vektorer: og 4 HÇjrehÅndsreglen: Gri om med hñjre hçnd sç fingrene peger fr til SÇ vil pege i tommelfingerens retning KOORDINATGEOMETRI 5 rmeterfremstilling for linje r r r t 5 r l 5 x, ) ( x, ) ( 0 0 r r r3 t r r 3 x,, ) ( x,, z) ( 0 0 z0 r l r r NÇr ( x0, 0) er et punkt pç l og NÇr ( x0, 0, z0) er et punkt pç l og r r r3 er prllel med l, sç er fñlgende er prllel med l, sç er fñlgende en prmeterfremstilling for l: en prmeterfremstilling for l: x x0 r 5c t 0 r Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet 0 Krsten Juul 5d x x z z r t r r 5e NÇr 5c er en prmeterfremstilling for l, 5f NÇr 5d er en prmeterfremstilling sç gålder: for l, sç gålder: ( 0 0 x, ) er et punkt pç l x,, ) er et punkt pç l r r er prllel med l 5g Antg t x 0, 0, r og r i c 5c er erstttet med 5h estemte erstttet med tl SÇ estemte gålder: tl SÇ gålder: Hvis vi indsåtter et tl for t og udregner hñjresiden, sç fçr vi koordinterne til et punkt der ligger pç linjen Hvis koordinterne til et punkt ikke kn fçs pç denne mçde, sç ligger punktet ikke pç linjen 5i En vektor der er prllel med l, kldes en retningsvektor for l 5j NÇr A og B er to forskellige punkter pç l, sç er AB prllel med l ( 0 0 z0 r r r 3 3 er prllel med l Antg t x 0, 0, z 0, r, r og r 3 i 5d er erstttet med estemte tl SÇ gålder: Hvis vi indsåtter et tl for t og udregner hñjresiden, sç fçr vi koordinterne til et punkt der ligger pç linjen Hvis koordinterne til et punkt ikke kn fçs pç denne mçde, sç ligger punktet ikke pç linjen 5k NÇr A er et punkt pç l og AB er prllel med l, sç er B et punkt pç l Afsnit 5 fortsätter på näste side! A B l

15 5l Eksempel En linje l gçr gennem punkterne A(5, 0, 0) og B (5, 7, 4) For t estemme en prmeterfremstilling for l ruger vi 5j, 4d og 5d D A og B ligger pç l, er AB prllel med l 55 0 x 5 0 AB 70 7 sç l hr prmeterfremstillingen 0 t z Ligning for linje (plngeometri) 6 NÇr ( x0, 0) er et punkt pç l og er vinkelret pç l, sç kn vi estemme en ligning for l ved fñrst t såtte ind i formlen ( x 0, 0) ( x x0) ( 0) 0 og derefter gnge ind i prenteserne og tråkke smmen sç vi fçr en ligning f tpen x c 0 l 6 NÇr x c 0 er en ligning for l, sç er vektoren vinkelret pç l 6c NÇr vi kender tllene, og c i en ligning x c 0 for en linje l, sç kn vi undersñge om et punkt ligger pç l ved t såtte punktets koordinter ind for x og i ligningen Hvis ligningen liver snd, sç ligger punktet pç l Hvis ligningen liver flsk, sç ligger punktet ikke pç l 6d En vektor der er vinkelret pç l kldes en normlvektor for l 6e Eksempel En linje l gçr gennem punkterne A(, 7) og B (3,) For t estemme en ligning for l pç formen x c 0 ruger vi 5j, 9, 9d og 6 A og B ligger pç l, sç l er prllel med 3 5 AB 7 6 SÇ er l vinkelret pç ( 6) 6 AB 5 5 SÇ hr l ligningen 6 ( x ) ( 5) ( 7) 0 Denne omskriver vi til 6x Ligning for pln (rumgeometri) 7 NÇr ( x0, 0, z0) er et punkt i en pln, og er vinkelret pç, c sç kn vi estemme en ligning for ved fñrst t såtte ind i formlen ( x x0) ( 0) c( z z0) 0 og derefter gnge ind i prenteserne og tråkke smmen sç vi fçr en ligning f tpen x cz d 0 c ( x0, 0, z0) 7 NÇr x cz d 0 er en ligning for, sç er vektoren vinkelret pç c 7c NÇr vi kender tllene,, c og d i en ligning x cz d 0 for en pln, sç kn vi undersñge om et punkt ligger i ved t såtte punktets koordinter ind for x, og z i ligningen: Hvis ligningen liver snd, sç ligger punktet i Hvis ligningen liver flsk, sç ligger punktet ikke i Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet 3 0 Krsten Juul

16 7d NÇr A og B er to forskellige punkter i, sç er AB prllel med 7e En vektor der er vinkelret pç, kldes en normlvektor for 7f NÇr og er prllelle med, sç er vinkelret pç hvis og ikke er prllelle, dvs hvis ikke er nulvektor 7g Eksempel unkterne A (0, 3, 4), B (,,), C(, 4, 3) ligger i plnen For t estemme en ligning for ruger vi 4d, 7d, 7f og AB 3 5 og AC En normlvektor til : AB AC 5 (Udregnet pç Nspire) 3 Ligning for : 8 ( x 0) 5 ( 3) ( 3) ( z 4) 0 Denne omskriver vi til 8x 5 3z Ligning for cirkel (plngeometri) 8 ( x x 0 ) ( 0) r er ligning for en cirkel med centrum C x 0, ) og rdius r ( 0 8 NÇr er et punkt pç en cirkel med centrum C, er cirklens rdius r C Se 7d 8c Eksempel En cirkel hr ligningen ( x ) ( 5) 9 Vi omskriver til formen 8 : ( x ) ( ( 5) ) 3 Herf ser vi t centrum er (, 5) og rdius er 3 8d Metode: NÇr vi kender en ligning for en cirkel, sç kn vi undersñge om et punkt ligger pç cirklen ved t såtte punktets koordinter ind for x og i ligningen Hvis ligningen liver snd, sç ligger punktet pç cirklen Hvis ligningen liver flsk, sç ligger punktet ikke pç cirklen 8e Eksempel der forklrer en metode En cirkel hr ligningen x x For t estemme centrum og rdius omskriver vi ligningen til formen ( x x 0 ) ( 0) r med metoden vi hr vist i rmmen nedenfor Anden ligning i esvrelsen hr vi fçet sçdn: Koefficienten til x er Hlvdelen er, og i nden er Vi lågger til egge sider Koefficienten til er 0 Hlvdelen er 5, og 5 i nden er 5 Vi lågger 5 til egge sider Konstntleddet er 7 Vi tråkker 7 fr egge sider Tredje ligning i esvrelsen nedenfor hr vi fçet f formlerne ( ) og ( ) sçdn: Koefficienten til x er Hlvdelen er Derfor skl der stç i fñrste prentes Koefficienten til er 0 Hlvdelen er 5 Derfor skl der stç +5 i nden prentes Besvrelsen: x x x x ( x ) ( 5) 9 Herf ser vi t centrum er (, 5) og rdius er 9 3 Hvis x-led eller -led mngler, ser omskrivningen lidt nderledes ud: x x ( x 0) ( 5) 8 Centrum er ( 0, 5) og rdius er 8 Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet 4 0 Krsten Juul

17 9 Ligning for kugle (rumgeometri) 9 ( x x 0 ) ( 0) ( z z0) r er ligning for en kugle med centrum C x,, ) og rdius r ( 0 0 z0 9 NÇr er et punkt pç en kugle med centrum C, er kuglens rdius r C Se 7c og 7d 9c Eksempel En kugle hr ligningen ( x ) ( z 5) 8 Vi omskriver til formen 9: Herf ser vi t centrum er (, 0, 5) og rdius er 8 8 ( ) ( 0) ( ( 5) ) x 9d Metode: NÇr vi kender en ligning ( x x 0 ) ( 0) ( z z0) r for en kugle, sç kn vi undersñge om et punkt ligger pç kuglen ved t såtte punktets koordinter ind for x, og z i ligningen Hvis ligningen liver snd, sç ligger punktet pç kuglen Hvis ligningen liver flsk, sç ligger punktet ikke pç kuglen 9e Eksempel der forklrer en metode En kugle hr ligningen x x z 0z 8 0 For t estemme centrum og rdius omskriver vi ligningen til formen fr 9 (Se forklringen i 8e) x x z 0z 8 0 x x z 5 0z 5 8 ( x ) ( z 5) Herf ser vi t centrum er (, 0, 5) og rdius er Afstnd fr punkt til linje (plngeometri) 30 Afstnden d fr et punkt x, ) til en linje l : x c 0 x c d ( er l d 30 Eksempel Afstnden d fr punktet (, ) til linjen med ligningen 4x d 4 4 ( 3) 5 er 3 Afstnd fr punkt til pln (rumgeometri) 3 Afstnden h fr et punkt ( x,, z) til en pln : x cz d 0 er h h x cz d c 3 Vinkel mellem linjer 3 Hvis vi kender retningsvektorer r og r for linjer l og l, sç find vinklen v mellem r og r SÇ vil v og 80v våre de to vinkler som l og l dnner Se 6 3 Hvis vi kender normlvektorer n og n for to linjer l og l i plnen, sç find vinklen v mellem n og n SÇ vil v og 80v våre de to vinkler som l og l dnner Se 6 3c Hvis vi for to linjer l og l i plnen kender en retningsvektor r og en normlvektor n, sç find vinklen v mellem ˆr og n SÇ vil v og 80v våre de to vinkler som l og l dnner Se 9d og 6 Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet 5 0 Krsten Juul

18 33 Vinkel mellem plner (rumgeometri) 33 Find vinklen v mellem normlvektorer n og n til to plner og SÇ vil v og 80v våre de to vinkler som og dnner Se 6 34 Vinkel mellem sideflder (rumgeometri) 34 Til den ene sideflde skl vi finde en normlvektor n der peger ind i vinklen (Brug hñjrehçndsreglen 4) Til den nden sideflde skl vi finde en normlvektor n der peger ud f vinklen (Brug hñjrehçndsreglen 4) Vinklen v mellem n og n er vinklen mellem sideflderne 34 (Hvis egge vektorer peger ind i vinklen, eller egge peger ud, finder vi en vinkel u som ikke dnnes f sideflderne De to plner der indeholder sideflderne, dnner vinklerne u og v) n n 35 Vinkel mellem linje og pln (rumgeometri) 35 Find vinklen v mellem en normlvektor n til plnen og en retningsvektor r til linjen TrÅk den mindste f vinklerne v og 90 fr den stñrste Resulttet er vinklen mellem linjen og plnen Se 6 36 VilkÅrligt punkt på linje 36 Vi omskriver prmeterfremstillingen for en linje l: x 5 5 t 5t t 3 3 t 3t Et vilkçrligt punkt pç l er ( x, ) (5t, 3t) I rummet er udregningen den smme ortset fr t der er tre koordinter 37 SkÄring mellem to linjer l og m 37 BÅde l og m er givet ved prmeterfremstilling FÑrst finder vi et vilkçrligt punt pç hver linje: l: ( x, ) (s, 53s) og m: ( x, ) (t, t) Vi skl estemme s og t sç de to punkter hr ens x-koordinter og ens -koordinter: s t 5 3s t Vi lñser dette ligningssstem mht s og t og fçr: s og t NÇr s er ( x, ) (s, 53s) (, 53) (4, ) SkÅringspunktet er ( x, ) (4, ) 37 BÅde l og m er givet ved ligning (plngeometri) Vi skl finde x og sç egge ligninger er opfldt: l: 3x 0 0 m: x 6 0 Vi lñser dette ligningssstem mht x og og fçr x 4 og SkÅringspunktet er ( x, ) (4, ) 37c er pç nåste side I 36 stçr hvordn vi gñr rmetrene s og t i de to punkter mç ikke våre smme ogstv Skriv t Nspire lñser ligningssstemet, eller skriv mellemregninger I rummet er udregningerne de smme ortset fr t der er 3 koordinter Skriv t Nspire lñser ligningssstemet, eller skriv mellemregninger Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet 6 0 Krsten Juul

19 37c l er givet ved ligning, m ved prmeterfremstilling (plngeometri) FÑrst finder vi et vilkçrligt punkt pç m : I 36 stçr hvordn vi gñr m: ( x, ) (t, t) Vi indsåtter dette punkt i ligningen l: 3x 0 0 og fçr 3(t ) ( t) 0 0 Vi lñser denne ligning mht t og fçr t NÇr t er ( x, ) (t, t) (, ) (4, ) SkÅringspunktet er ( x, ) (4, ) Skriv t Nspire lñser ligningen, eller skriv mellemregninger 38 SkÄring mellem linje og cirkel (plngeometri) 38 Linjen er givet ved prmeterfremstilling FÑrst finder vi et vilkçrligt punkt pç linjen : ( x, ) (t, t) Vi indsåtter dette punkt i cirklens ligning og fçr x 6x 0 ( t) 6(t) ( t) ( t) Vi lñser denne ligning mht t og fçr t0 eller t NÇr t0 er ( x, ) (t, t) (0, 0) (, ) NÇr t er ( x, ) (t, t) (, ) (6, 0) SkÅringspunkterne er (, ) og ( 6, 0) 0 I 36 stçr hvordn vi gñr Skriv t Nspire lñser ligningen, eller skriv mellemregninger 38 Linjen er givet ved ligning Linjen og cirklen er givet ved ligningerne x 6 0 x 6x 0 Vi lñser dette ligningssstem mht x og og fçr x og eller x6 og 0 SkÅringspunktet er ( x, ) (, ) og ( x, ) (6, 0) Skriv t Nspire lñser ligningssstemet, eller skriv mellemregninger 39 SkÄring mellem linje og kugle (rumgeometri) 39 Vi indsåtter et vilkçrligt punkt fr linjen i kuglens ligning, osv Se 36 og SkÄring mellem linje og pln (rumgeometri) 40 Vi indsåtter et vilkçrligt punkt fr linjen i plnens ligning, osv Se 36 og 37c 4 rojektion f punkt på linje (plngeometri) 4 Vi vil finde projektionen Q f punktet (,) pç linjen l: x Q er skåringspunktet mellem l og linjen m der gçr gennem og er vinkelret pç l Af ligningen for l ser vi t vektoren er vinkelret pç l, sç m hr prmeterfremstillingen 3 x m : t 3 Herefter kn vi ruge metoden fr 37c til finde Q Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet 7 0 Krsten Juul

20 4 rojektion f punkt på pln (rumgeometri) 4 Vi vil finde projektionen Q f punktet ( 6,, 5) pç plnen : x 3 z 5 0 Q er skåringspunktet mellem og linjen m der gçr gennem og er vinkelret pç Af ligningen for ser vi t vektoren 3 er vinkelret pç, sç m hr prmeterfremstillingen x 6 m : t 3 z 5 Herefter kn vi ruge metoden fr 40 til finde Q 43 Tngent til cirkel (plngeometri) 43 En tngent til en cirkel er en linje der hr pråcis àt punkt fålles med cirklen Dette punkt kldes rñringspunktet NÇr mn siger tngenten i, etder det t er rñringspunktet 43 En tngent til en cirkel er vinkelret pç linjen gennem centrum og rñringspunkt 43c En linje er tngent til en cirkel netop hvis fstnden fr centrum til linjen er lig rdius 43d Eksempel unktet (4, 5) ligger pç en cirkel med centrum C (3,) Vi vil finde en ligning for tngenten l i IfÑlge 43 er C vinkelret pç l, sç vi kn finde ligningen for l ved t ruge 4c og 6 43e Eksempel Linjen l: 3x er tngent til en cirkel med centrum C (, 5) Vi vil finde en ligning for cirklen IfÑlge 43c kn vi finde rdius ved t finde fstnden fr C til l Se 30 og 30 SÇ kn vi estemme cirklens ligning ved t ruge 8 43f Eksempel Vi vil undersñge om linjen l: 3x er tngent til cirlen M: ( x ) ( 5) 8 Metode : Vi finder centrum og rdius som i 8c SÇ udregner vi fstnden fr centrum til l og ruger 43c Metode : Vi finder skåringspunkterne mellem l og M og ruger 43 SkÅringspunkterne finder vi som i Tngentpln til kugle (rumgeometri) C l 44 En tngentpln til en kugle er en pln der hr pråcis àt punkt fålles med kuglen Dette punkt kldes rñringspunktet NÇr mn siger tngentplnen i, etder det t er rñringspunktet 44 En tngentpln til en kugle er vinkelret pç linjen gennem centrum og rñringspunkt 44c En pln er tngentpln til en kugle netop hvis fstnden fr centrum til plnen er lig rdius 44d Eksempel unktet (4, 5, ) ligger pç en kugle med centrum C (3,, 4) Vi vil finde en ligning for tngentplnen i IfÑlge 44 er C vinkelret pç l, sç vi kn finde ligningen for ved t ruge 4d og 7 Afsnit 44 fortsätter på näste side! C Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet 8 0 Krsten Juul

21 44e Eksempel: lnen : x z 4 0 er tngentpln til en kugle med centrum C (, 0, 5) Vi vil finde en ligning for kuglen IfÑlge 44c kn vi finde rdius ved t finde fstnden fr C til Se 3 SÇ kn vi estemme kuglens ligning ved t ruge 9 44f Eksempel: Vi vil undersñge om plnen : x z 4 0 er tngentpln til kuglen med centrum C(, 0, 5) og rdius 4 Vi udregner fstnden fr C til og ruger 44c Se 3 45 Skrivning f formler BEVISER I et eksempel som 6e skrev vi udregningerne med estemte tl Hvis vi skl lve smme udreninger med mnge forskellige tl, sç er det smrt t strte med t etegne tllene med ogstver og skrive udregningerne med disse ogstver SÇ kn vi fç Nspire til t udregne et resulttet hver gng vi Åndrer de givne tl Denne metode ruger vi i eksempel Bevis for formler til utomtisk tegning f pil v Figuren viser en vektor SE v med strtpunkt S ( s, ) v s NÇr vi tster estemte tl for vektorens koordinter v og v og strtpunktets koordinter s og s, sç skl Nspire tegne pilen S C A D E Vi skl skrive formler som Nspire kn ruge til t udregne koordinterne til E, C og D For t fç E 's koordinter lågger vi v 's koordinter til S 's : e ( ) e Her hr vi rugt 5c s v s v Vi vålger t lde pilespidsens långde våre 0, gnge pilens långde SÇ mç SA 0,9v Her hr vi rugt 0f og 0g For t fç SA 's koordinter skl vi gnge v 's koordinter med 0,9: 0,9v SA 0,9v For t fç A 's koordinter lågger vi SA 's koordinter til B 's : Vi ser t s 0, 9v s 0, 9v AC hr smme retning som vˆ Her hr vi rugt 0 Her hr vi rugt 5c Her hr vi rugt 9 Vi vålger t lde pilespidsens hlve redde våre 0,05 gnge pilens långde, sç AC 0,05v ˆ Her hr vi rugt 0f og 0g og v 0,05v AC 0,05 v 0,05v Her hr vi rugt 9d og 0 Afsnit 46 fortsätter på näste side! Du skl IKKE huske t reglen er nr 5c Du skl slå op på reglen, huske den, og forstå t den ruges her Det smme gälder lle tilsvrende henvisninger Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet 9 0 Krsten Juul

22 For t fç C 's koordinter lågger vi AC 's koordinter til A 's : () c s 0,9v 0, 05v s 0,9v 0, 05v c Vi ser t 0,05v AD AC Her hr vi rugt 8d og 8 0,05v For t fç D 's koordinter lågger vi AD 's koordinter til A 's : (3) d s 0,9v 0, 05v d s 0,9v 0, 05v Her hr vi rugt 5c Her hr vi rugt 5c I fsnit 47 ruger vi formlerne (), () og (3) til t fç Nspire til t tegne pilen 47 Automtisk tegning f pil på Nspire 47 Venstre skårmillede viser de formler der udregner koordinterne til punkterne E, C og D fr fsnit HÑjre skårmillede viser pilen fr fsnit 46 NÇr vi pç venstre skårmillede Åndrer s, s, v og/eller v, sç Åndres pilen utomtisk 47c Forindelsen mellem venstre og hñjre skårmillede lver vi sçdn: Vi såtter mrkñren pç et punkt, hñjreklikker (pç lommeregner tster vi i stedet ctrl menu), vålger Koord og Lign, fltter mrkñr til x-koordint, hñjreklikker, vålger Vrile / KÄd til og vålger den relevnte vrile, osv 48 Bevis for t vi må prikke ind i en prentes u og u er koordinter til u, og tilsvrende for v og w u v w ( u v) w ( uv) w ( uv ) w uw v w uw vw uv w u w v w u u w v w uw uw v w vw w v w D de to udtrk give smme fire led, er de ens, dvs 48 ( u v)w u w v w Vi hr rugt vektorregel og 4, og tlregler: gnge ind i prentes, og ved plus er råkkefñlge ligegldig I rummet er eviset det smme ortset fr t der er tre koordinter Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet 0 0 Krsten Juul

23 49 Bevis for formel v og v er koordinter til v kv v ( kv ) v ( kv) v ( kv) v k v k v kv v k v k v v k( v v ) k v k v D de to udtrk give smme resultt, er de ens, dvs ( kv) v k v Vi hr rugt vektorregel 0, 4 og 7, og tlregler: ved gnge er råkkefñlge ligegldig, x =xx, kvdrtrod i nden, og gnge ind i prentes I rummet er eviset det smme ortset fr t der er tre koordinter 50 Bevis for t vi får nul når vi prikker med nulvektor v og v er koordinter til v 0 v o v 0v 0v 0 v 50 o v 0 0 sç Vi hr rugt vektorregel 4, og tlregel om nul gnge tl I rummet er eviset det smme ortset fr t der er tre koordinter 5 Bevis for t vinkelrette vektorer hr sklrprodukt nul u og u er koordinter til u, og tilsvrende for v NÇr vi fsåtter u og v ud fr smme punkt, er v u vektoren fr u 's spids til v 's spids Her hr vi rugt d NÇr u v kn vi ruge thgors såtning pç den viste treknt: u v v u u u v v ( vu) ( vu) Her hr vi rugt 7 og u v u v u u v v ( vu) ( vu) u u v v v u vu v u v u v u v u vu 0 0 Her hr vi rugt 4 Nu hr vi evist t 5 hvis u v er uv 0 5 Bevis for formlen for projektion f vektor Se figuren til hñjre rojektionen f pç er en vektor der er o eller prllel med, sç vi kn fç projektionen frem ved t gnge med et tl: t NÇr c er vektoren pç figuren, er t c Begge sider i denne ligning prikker vi med og fçr: t c Vi prikker ind i prentesen og fçr: ( t) c FÑrste led pç hñjre side omskriver vi med 49, og sidste led er 0 d t Afsnit 5 fortsätter på näste side! c : t c Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet 0 Krsten Juul

24 Begge sider i denne ligning dividerer vi med t og fçr: Vi indsåtter dette udtrk for t i fñlgende ligning som vi egrundede ovenfor: t og fçr: 5 53 Bevis for prmeterfremstilling for en linje r l er linjen som gçr gennem ( x0, 0 ) og er prllel med r r r r t r x, ) ( x, ) ( 0 0 l Et punkt ( x, ) ligger pç l netop nçr vektoren fr ( x0, 0 ) til ( x, ) er o r eller prllel med r dvs r vektoren fr ( x0, 0 ) til ( x, ) er lig t, hvor t er et tl r dvs r vi fçr ( x, ) nçr vi lågger t 's koordinter til (, 0) r x 0 ltsç x x0 r 53 t 0 r sç vi hr evist t 53 er en prmeterfremstilling for r linjen l som gçr gennem ( x0, 0) og hr retningsvektoren r Se figur I rummet er eviset det smme ortset fr t der er tre koordinter 54 Bevis for ligning for linje (plngeometri) l er linjen som gçr gennem ( x0, 0 ) og er vinkelret pç xx0 Vektoren fr ( x0, 0) til ( x, ) er Se figur 0 Et punkt ( x, ) ligger pç l netop nçr xx 0 0 og dette gålder netop nçr xx0 0 0 dvs 54 xx ) ( ) 0 er o eller vinkelret pç ( 0 0 x 0, ) Vi hr nu evist t 54 er en ligning for linjen der gçr gennem ( x 0, 0) og hr normlvektoren Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet 0 Krsten Juul ( 0 x x 0 0 l ( x, )

25 55 Bevis for ligning for pln (rumgeometri) Beviset er mgen til eviset i fsnit 54 ortset fr t der er tre koordinter og vi siger pln i stedet for linje 56 Bevis for ligning for cirkel (plngeometri) M er cirklen med centrum C( x 0, 0) og rdius r Et punkt ( x, ) ligger pç M netop nçr dvs långden f C er r långden f xx 0 0 er r Ved hjålp f långdeformlen (se 7) kn vi skrive dette sçdn: ( xx ) ( 0 0) D egge sider er 0, kn vi oplñfte til nden SÇ fçr vi ( xx r 0 ) ( 0 ) Dette er cirklens ligning (se 8) 57 Bevis for ligning for kugle (rumgeometri) r Beviset er mgen til eviset i fsnit 56 ortset fr t der er tre koordinter og vi siger kugle i stedet for cirkel Dette etder t du i fsnit d kn låse hvordn du skl gñre ÉVELSER Brug lnt og viskelåder nçr du udflder Kuglepen ol er FORBUDT! Évelse se d AfsÅt fñlgende punkter i koordintsstemet: ( 0, h) ( k, 0) ( h, k) ( hk, 0) ( h, k) Évelse se d Skriv koordinter ved hjålp f p og q: B(, ) C(, ) A(5, ) p B q D(, ) E(, ) E D C Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet 3 0 Krsten Juul

26 Évelse se d z Skriv koordinter: A(,, ) B(,, ) A B C(,, ) x C Évelse se d z AfsÅt fñlgende punkter i koordintsstemet: (, 3, 0) Q(, 3,) R(0,, 3) S(,, 3) T (,, ) x 3 Évelse se 3c () Hvilke f vektorerne er ens? () Hvilke f vektorerne hr smme långde? c d f (c) Hvilke f vektorerne hr smme retning? e (d) Hvilke f vektorerne hr modst retning? 3 Évelse se 3e () AfsÅt u ud fr A () AfsÅt u ud fr B (c) NÇr v fsåttes ud fr, er endepunktet C v B A (d) NÇr v fsåttes ud fr, er endepunktet A (e) NÇr endepunktet for v er D, er strtpunktet u C D Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet 4 0 Krsten Juul

27 4 Évelse se 4 og 4 Skriv koordinter: ( Q ( Q R ( S ( c d x d R z c S 4 Évelse se 4g () KoordintsÅttet fortåller t gçr 3 i x-ksens retning og i -ksens retning () AfsÅt ud fr (c) 3 KoordintsÅttet fortåller t gçr i x-ksens retning og i -ksens retning (d) AfsÅt ud fr 5 Évelse se 5c Skriv koordinter: = (, ) = (, ) (4, 5) h k Q Q = ( Évelse se 6, 6, 4 og 5c A (8, 3) og B (4, 6) () AA () Hvis BC o, er C = ( Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet 5 0 Krsten Juul

28 7 Évelse se 7c og 7d z () Skriv koordinter: () A = ( B = ( AB u x v B u A (c) Udregn långden f v 7 Évelse se 7 NÇr t t, er 8 Évelse se 8 k3 NÇr u, er u 9 8 Évelse se 8d AfsÅt den modstte vektor til c ud fr 9 Évelse se 9d () NÇr, er â 5 () k3 NÇr, er ˆ k c 9 Évelse se 9 og 8d () AfsÅt tvårvektoren til v ud fr A () AfsÅt den modstte vektor til v ud fr A (c) AfsÅt vˆ ud fr A v A 93 Évelse se 9, 4c, 9d og 5c Figuren viser to ens kvdrter A (5, 0), B (0, 7) () Skriv snd eller flsk ved hver ligning: C AB AC, BA AC, AB CD, BA CD B D () Udregn koordintsåttet til C A (c) Udregn koordintsåttet til D 0 Évelse se 0 3 () NÇr, er 6 () NÇr t, er 4 Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet 6 0 Krsten Juul

29 0 Évelse se 0d () Tegn 3 v () Tegn 0,5v (c) Tegn 4v v Évelse se og 0 3 5, t og c 4 () (d) () 3 (e) t (c) 3 (f) c Évelse se c og d () Tegn vektoren () Tegn vektoren c (c) Tegn vektoren d c d 3 Évelse se c og 5c 3, 5 3 og (, ) () Udregn koordintsåttet til c () Udregn koordintsåttet til Q c Q Évelse se og 0 4, 3 og c 7 3 k () () 5c Évelse se c og d () Tegn vektoren () Tegn vektoren c (c) Tegn vektoren d c d 3 Évelse se 3 () Tegn den linje n som gçr gennem og er vinkelret pç l () Tegn det punkt l som er projektionen f pç l (c) Tegn det punkt m som er projektionen f pç m l Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet 7 0 Krsten Juul m

30 3 Évelse se 3 og 3c () Tegn en linje l som er prllel med () Tegn 's strtpunkt, og tegn det punkt som er projektionen f dette punkt pç l (c) Tegn projektionen f 's endepunkt pç l (d) Tegn den vektor som er projektionen f pç (e) Tegn projektionen f pç 33 Évelse se 3 og 3c () Tegn projektionen f pç l () Tegn projektionen f 0 pç n l 4 Évelse se 4, 4 og 4c () () (c) 3, 6 og c 4 4 Skriv snd eller flsk ved hver f fñlgende 5 pçstnde: () rikproduktet f og er c () rikproduktet f og er 4 (3) Sklrproduktet og er 0 (4) rikproduktet og er 0 (5) c 34 c n 0 (d) (e) t 3 3t k Évelse se 5 og 5 Skriv snd eller flsk ved hver f fñlgende 7 pçstnde: () 0 () c 0 (3) og er ortogonle (4) og c er ortogonle (5) er vinkelret pç (6) c 4 3 (7) 6 c Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet 8 0 Krsten Juul

31 5 Évelse se 5c og 5c t 6 og 5 4 () NÇr t3 er () NÇr vi fsåtter vektoren fr () ud fr punktet (7,), sç liver endepunktet (, ) = (, ) (c) AfsÅt vektoren fr () ud fr (d) For t 0, for t og for t skl du fsåtte ud fr Skriv t-vårdierne ved de 4 vektorer (e) er vinkelret pç netop nçr NÇr vi udregner venstre side, liver denne ligning til Vi lñser denne ligning mht t og fçr t dvs for denne vårdi f t er Vi ser t dette godt kn psse med figuren 6 Évelse se 6c 3 og 4 NÇr v er vinklen mellem og, er ltsç cos(v) cos(v) Nspire lñser denne ligning mht v for og fçr v Vinklen mellem og er 6 Évelse se 4c og 6c Brug 6 til t udregne vinkel A i treknt ABC C(, 3) B(9, 0) A(, ) Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet 9 0 Krsten Juul

32 7 Évelse se 3c og 7c () Tegn den vektor som er projektionen f pç () (c) Udregn koordintsåttet til og skriv mellemregnnger: 7 Évelse se 7d, 4g og 3c 4 5 og 4 () Udregn långden f, og skriv mellemregninger: () AfsÅt og ud fr, tegn, og mçl långden f 8 Évelse se 8c () () (c) (d) 3, 8 og c 4 3 Skriv snd eller flsk ved hver f fñlgende 4 pçstnde: () Determinnten f og er c () Determinnten f og er 5 (3) Determinnten f og er (4) det(, c ) 4 det(, c ) det(, ) t3 det(, ) t 9 Évelse se 9 og 9 Skriv snd eller flsk ved hver f fñlgende 6 pçstnde: () det( AB, AC) 0 () det( AB, AD) 0 (3) det( AB, DE) 0 (4) det( AD, BE) 0 B E (5) AB AC 5 7 (6) 3 A C D Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet 30 0 Krsten Juul

33 9 Évelse se 9c 6 t og 5 4t () For hver f t-vårdierne, 0,, og 3 skl du fsåtte ud fr () og er prllelle netop nçr det(, ) NÇr vi udregner venstre side, liver denne ligning til Vi lñser denne ligning mht t og fçr t dvs for denne vårdi f t er Vi ser t dette godt kn psse med figuren 0 Évelse se 0 Skriv snd eller flsk ved hver f de 4 pçstnde: () Den numeriske vårdi f 5 er 5 () (3) (4) NÇr x, er x x 0 Évelse se 0, 0d og 8 Skriv snd eller flsk ved hver f de 3 pçstnde: () NÇr og er vektorer i plnen der udspånder et prllelogrm med rel A, sç gålder ltid t A det(, ) () NÇr QR er en treknt i plnen med rel T, sç er T det( Q, R) 4 (3) 4 3 er relet f det prllelogrm der udspåndes f vektorerne og 3 03 Évelse se 0c 6 og 5 3 Udregn relet A f det prllelogrm der udspåndes f og, og skriv mellemregninger A = Évelse se c og 3 og () () Af () kn vi se t og ikke er prllelle d Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet 3 0 Krsten Juul

34 3 Évelse se 3c og 3 z () A = ( () B = ( (c) C = ( (d) (e) (f) (g) AB AC AB AC Arelet f treknt ABC er x A C B T = 3 Évelse se 3d, 3c og 3 Udregn relet f firknt ABCD, og skriv mellemregninger A(6,0,0) B(,8, 0) C(,6,4) D(3,0,6) E(0,8,0) F(0,0,7) D z F C x A B E 33 Évelse se 3 () Vektorerne u og v er vinkelret pç hinnden og deres långder er og 3 u v () I prllelogrmmet QRS hr grundlinjen Q långden 0, og hñjden er 4 Q R 4 Évelse se 4, 4, 3 og Figuren viser 6 vektorer der er fst ud fr smme punkt og hr långde f Vektorerne er to og to enten modst rettede eller vinkelret pç hinnden c d e d e c Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet 3 0 Krsten Juul

35 5 Évelse se 0 og En linje l hr prmeterfremstillingen l : x 4 t 3 x 4 () NÇr t er 3 Tegn punktet med disse koordinter x 4 () NÇr t 3 er 3 Tegn punktet med disse koordinter x 4 (c) NÇr t er 3 Tegn punktet med disse koordinter x 4 (d) NÇr t 0 er 3 Tegn punktet med disse koordinter (4,3) x 4 (e) NÇr t er 3 Tegn punktet med disse koordinter x 4 (f) NÇr t, 5 er 3 Tegn punktet med disse koordinter l 5 Évelse se 5g En linje m hr prmeterfremstillingen m : x s 8 4 x () NÇr s 3 er, sç punktet (, ) ligger pç m x 5 () NÇr s er, sç punktet ( 5, 0) ligger pç m 0 x 8 (c) NÇr s er 6 x 3 (d) Find et tl s sç 5 (e) Ligger punktet (3,5) pç m? x 9 (f) Find et tl s sç 48 (g) Ligger punktet (9, 48) pç m?, sç punktet (8,6) ligger pç m eller skriv t det ikke kn lde sig gñre eller skriv t det ikke kn lde sig gñre 53 Évelse se 5c, 9, 9d og 5j () En linje l gçr gennem punktet ( 3, 5) 4 og er prllel med vektoren 7 Skriv en prmeterfremstilling for l : 3 () En linje m gçr gennem punktet (,) og er vinkelret pç vektoren 4 Skriv en prmeterfremstilling for m : () En linje k gçr gennem punkterne (, 3) og (, 8) Skriv en prmeterfremstilling for k : Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet 33 0 Krsten Juul

36 54 Évelse se 5i, 5e, 5f og 5 () () Skriv snd eller flsk ved hver f fñlgende 6 pçstnde: () Hvis to linjer k og n egge er prllelle med en vektor r, sç er k og n prllelle () Hvis r er retningsvektor for linjen n, sç er r vinkelret pç n (3) Hvis r er retningsvektor for linjen n, sç er r prllel med n (4) To linjer er ortogonle netop nçr deres retningsvektorer er ortogonle 7 x 7 (5) er retningsvektor for linjen med prmeterfremstillingen t x 7 (6) er retningsvektor for linjen med prmeterfremstillingen t To linjer l og m i rummet hr fñlgende prmeterfremstillinger: l : x 6 3 s z 3 3 UndersÑg om l og m er ortogonle og m : x 4 3 t 6 z 6 Évelse se 6c En linje l hr ligningen l : x 6 0 () NÇr vi indsåtter koordinterne for punktet (3, 0) for x og i ligningen for l, sç fçr vi ligningen () Er denne ligning snd? Svr: (c) Ligger pç l? Svr: (d) NÇr vi indsåtter koordinterne for punktet Q(,) (e) Er denne ligning snd? Svr: (f) Ligger Q pç l? Svr: for x og i ligningen for l, sç fçr vi ligningen (g) NÇr vi indsåtter koordinterne for punktet R(, t) for x og i ligningen for l, sç fçr vi ligningen (h) Ligningen er snd netop nçr t (i) Af punkterne med x-koordint er det kun punktet (, ) der ligger pç l 6 Évelse se 6, 9, 9d og 5e () En linje l gçr gennem punktet (8, 5) og er vinkelret pç vektoren Brug 6 til t skrive en 3 ligning for l : 3 () En linje m gçr gennem punktet ( 4, 3) og er prllel med vektoren Brug 6 til t skrive en 5 ligning for l : x (c) En linje k hr prmeterfremstillingen t Herf ser vi t (, ) er et punkt 4 3 pç k, og t er prllel med k Brug 6 til t skrive en ligning for k : Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet 34 0 Krsten Juul

37 63 Évelse se 6, 6d og 5e () Skriv snd eller flsk ved hver f fñlgende pçstnde: () Hvis to linjer i plnen er vinkelret pç smme vektor, sç er de to linjer prllelle () For linjer l og m i plnen gålder t hvis l er vinkelret pç n, m er vinkelret pç p, og n er vinkelret pç p, sç er l vinkelret pç m (3) Hvis n er normlvektor for linjen l, sç er n vinkelret pç l (4) Hvis n er normlvektor for linjen l, sç er n prllel med l (5) To linjer i plnen er ortogonle netop nçr deres normlvektorer er ortogonle (6) To linjer i plnen er prllelle netop nçr deres normlvektorer er prllelle (7) 3 er normlvektor for linjen med ligningen 5 3x 5 0 (8) 3x 5 0 (9) 3x 5 0 (0) 3x () To linjer l og m er givet ved l : x 0 og x 0 8 m : t 4 UndersÑg om l og m er prllelle 7 Évelse se 7e, 7, 7d og 7f () Skriv snd eller flsk ved hver f fñlgende pçstnde: () Hvis r er prllel med linjen l, og n er vinkelret pç plnen, sç er l prllel med netop nçr r er vinkelret pç n () Hvis r er prllel med linjen l, og n er vinkelret pç plnen, sç er l prllel med netop nçr r er prllel med n (3) Hvis n er normlvektor for plnen, sç er n prllel med (4) Hvis n er normlvektor for plnen, sç er n vinkelret pç (5) er vinkelret pç plnen med ligningen x z 6 0 (6) Hvis en pln skårer koordintkserne i punkterne A (4,0,0), B( 0,,0) og C (0,0,), sç er AB AC en normlvektor til 8 Évelse se 8 og 8c () Cirklen med ligningen ( x ) ( ) 9 hr centrum C(, ) og rdius r = () Cirklen med ligningen ( x 4) ( 5) 7 hr centrum C(, ) og rdius r = (c) Cirklen med ligningen ( x p) ( q) 4 hr centrum C(, ) og rdius r = 8 Évelse se 8e Bestem centrum og rdius for cirklen med ligningen x 6x 8 0 Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet 35 0 Krsten Juul

38 9 Évelse se 9 og 9 En kugle hr centrum (, 5, 3), og punktet ( 3, 7, 0) ligger pç kuglen Skriv en ligning for kuglen 30 Évelse se 30 Skriv snd eller flsk ved hver f fñlgende pçstnde: () Afstnden fr (3, 7) til l: x 3 er ( ) () Afstnden fr Q(, 3) til m: 4x 5 0 er (3) Afstnden fr R(, ) til n: 3x 0 er Évelse se 3 og 0 lnen hr ligningen x z d 0 hvor d er et negtivt tl () Afstnden fr egndelsespunktet O(0,0,0) til plnen er d () Afstnden fr (t,0,0) til plnen : x z 0 er 3 t eller t 3 Évelse se 3, 3 og 3c Fire linjer er givet ved x c x e g l : s, l : t, l 3 : ix j k 0, l 4 : lx m n 0 d f h () For t finde vinkel mellem l og l vil vi fñrst finde vinklen v mellem og l og l dnner, er sç De to vinkler som () For t finde vinkel mellem l 3 og l 4 vil vi fñrst finde vinklen v mellem som l 3 og l 4 dnner, er sç (c) For t finde vinkel mellem l og l 4 vil vi fñrst finde vinklen v mellem som l og l 4 dnner, er sç og og De to vinkler De to vinkler 33 Évelse se 33, 7, 7d og 7f To plner og hr ligningerne : x cz d 0 og : ex f gz h 0 En pln indeholder punkterne A (,, 3), B(,, 3 ) og C( c, c, c3) som ikke ligger pç linje () For t finde vinkel mellem og vil vi fñrst finde vinklen v mellem og De to vinkler som og dnner, er sç 33 fortsätter på näste side! Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet 36 0 Krsten Juul

39 Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet 37 0 Krsten Juul () For t finde vinkel mellem og vil vi fñrst finde vinklen v mellem vektoren og vektoren De to vinkler som og dnner, er sç 34 Évelse se 34, 4 og 4 v er vinklen mellem sideflderne ABD og BCD () Skriv snd eller flsk ved hver f fñlgende pçstnde: () Vektoren AD AB peger ind i vinklen () Vektoren BD BA peger ind i vinklen (3) Vektoren BD BC peger ud f vinklen (4) Vektoren DB DC peger ud f vinklen (5) v er lig vinklen mellem AD AB og BD BC (6) v er lig vinklen mellem BD BA og BD BC 35 Évelse se 35 Denne Ñvelse drejer sig om en pln og to linjer: : 0 4 z x, l : f e d t c z x, m : i h g t z x () For t finde vinklen mellem og l vil vi fñrst finde vinklen mellem og Hvis denne vinkel er 8, sç er vinklen mellem og l lig () For t finde vinklen mellem og m vil vi fñrst finde vinklen mellem og Hvis denne vinkel er 50, sç er vinklen mellem og l lig 36 Évelse se 36 () l: s x Et vilkçrligt punkt pç l er ), ( ), ( x () m: t x Et vilkçrligt punkt pç m er ), ( ), ( x A B C D x z

40 37 Évelse se 37 l : x 0 s x, m : t 6 Brug metoden fr 37 til t finde skåringspunktet mellem linjerne l og m uden t ruge elektronisk hjålpemiddel 38 Évelse se 38 l : x t 0, C : x 9 0 Brug metoden fr 38 til t finde de to skåringspunkter mellem linjen l og cirklen C uden t ruge elektronisk hjålpemiddel 38 Évelse se 38 l : 3x 0, C : x ( ) 0 Brug metoden fr 38 til t finde de to skåringspunkter mellem linjen l og cirklen C uden t ruge elektronisk hjålpemiddel z 40 Évelse se 40 Ç figuren er en skrç våg der indeholder punkterne A, B og C En metlstng er fstgjort pç denne våg i punktet F Metlstngen er ogsç fstgjort i punkterne D og E Ñverst pç to lodrette stånger Skriv hvordn vi kn udregne koordinterne til F nçr vi kender koordinterne til A, B, C, D og E B x 4 Évelse se 4 Find projektionen f punktet (6, 4, ) pç plnen : x z 0 A F C D E 43 Évelse l : x c 0, C : ( x 5) ( 3) 6 Vi indsåtter estemte tl for, og c sç linjen l er tngent til cirklen C 5 3 c Hvilket tl fçr vi sç nçr vi udregner? Svr: For t svre pç dette hr vi rugt fñlgende tre regler fr dette håfte: og og 43 Évelse () En opgve drejer sig om en linje l og en cirkel C i plnen Ligningerne for l og C stçr i opgven Disse to ligninger er et ligningssstem Hvis vi lñser ligningssstemet, hvordn kn vi sç se om l er tngent til C? Svr: () Ç C 's ligning kn vi se centrums koordinter og rdius Hvis vi udregner fstnden fr centrum til l, hvordn kn vi sç se om l er tngent til C? Svr: Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet 38 0 Krsten Juul

41 44 Évelse se 44e : x z 0 er tngentpln til en kugle K med centrum O (0,0,0) Find en ligning for K 44 Évelse se 44d unktet A(,,) ligger pç en kugle K med centrum B (, 0, 0) Find en ligning for den pln som er tngentpln til K i A 48 Évelse se og 4 () x, 3 og c 4 () (c) (d) (e) c c ( ) c c c 49 Évelse se 0, 4 og 7 () () (c) (d) (e) (f) x 3 (3 ) 3 Hvilke f de 5 udtrk ()-(e) er lig hinnden? Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet 39 0 Krsten Juul

42 5 Évelse se 4, 7,, c () () (c) (d) 3 x og 5 (e) (f) (g) (h) Tegn vektoren pç figuren til hñjre (i) Hvis er vinkelret pç, sç fñlger f t (j) (k) Heri indsåtter vi resultterne fr (c), (d) og (g) og fçr Vi tråkker det smme fr egge sider i denne ligning og fçr 0 (l) Vi dividerer egge sider med og fçr 0 dvs 5 Évelse se 3, 3c og 0d Tegn den vektor som er projektionen f pç t nçr t 5 Évelse se 3, 3c og 0d Tegn den vektor som er projektionen f pç t nçr t 53 Évelse se c, 48, 5 og 49 Hvilke f fñlgende 7 udtrk er lig hinnden? () e d (5) ( d ) d f d () f d (6) 3 d (3) ( d f ) d (7) d (4) d f d e d f Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet 40 0 Krsten Juul

43 533 Évelse se 0d, 5j og 5k () Tegn vektoren A () E Skriv snd eller flsk ved hver f fñlgende 0 pçstnde: () A ligger pç l (7) E ligger pç l () A er prllel med l (8) E er prllel med l (3) Der findes et tl t sç A tr (9) Der findes et tl t sç E tr (4) B ligger pç l (0) Der findes et tl t sç tr (5) B er prllel med l () Der findes et tl t sç C tr (6) Der findes et tl t sç B tr () C ligger pç l (c) NÇr D tr, er t (d) NÇr E tr, er t r D A B C l 54 Évelse se 4c, 5 og 4 Figuren viser vektoren m n () Tegn vektoren v fr punktet ( p, q) punktet ( e, f ) () (c) v og nogle punkter Skriv snd eller flsk ved hver f fñlgende pçstnde: m p () 0 n q m c p () 0 n d q (3) m( c p) n( d q) 0 til (, ) ( g, h) m n ( c, d ) ( p, q) ( e, f ) (4) m( e p) n( f q) 0 m g p (5) 0 n hq (d) Tegn tre ne punkter ( x, ) hvor m( x p) n( q) 0 56 Évelse se 4c og 7 Ç figuren er en cirkel med rdius 0 () Tegn vektoren CB () CB (c) CB 0 C x 0, ) ( 0 A x, ) ( B x, ) ( (d) 0 0) ( x x ) ( (e) 0 0) ( x x ) ( 0 0 (f) Tegn tre ne punkter ( x, ) hvor ( x x ) ( ) 00 Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet 4 0 Krsten Juul