Indledende Mål- og Integralteori. Steen Thorbjørnsen

Transkript

1 Indledende Mål- og Integralteori Steen Thorbjørnsen INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG 29

2 Copyright 29 Steen Thorbjørnsen

3 Forord Nærværende notesæt er udarbejdet til kurset Målteori ved Institut for Matematiske Fag, Århus Universitet. Noterne bygger i høj grad på Svend Erik Graversens noter [Gr], der hidtil er blevet benyttet i nævnte kursus, men også på bogen [BM] af Christian Berg og Tage Gutmann Madsen samt bogen [Sc] af René L. Schilling. Hvad angår fagligt indhold og generalitet og styrke af de præsenterede resultater svarer noterne i høj grad til [Gr]. En væsentlig forskel i forhold til [Gr] er, at stoffet er omstruktureret med henblik på at komme så hurtigt frem til indførelsen af Lebesgue integralet, som det er praktisk muligt. I den henseende er noterne i høj grad struktureret som [BM]. Tanken med dette er, at de studerende dermed hurtigere får mulighed for at regne opgaver i Lebesgue-integralet, som naturligt udgør hovedfocus for kursets skriftlige eksamen. Kapitel udgør således en minimal fremstilling af målelighed og mål med henblik på udviklingen af Lebesgue-integralet i Kapitel 2. Emner som entydighed af mål, produktmål og transformation af mål bliver følgelig først behandlet i hhv. Kapitel 3, 4 og 5. Endvidere bliver visse videregående emner fra [Gr] gennemgået i appendices. Med henblik på at imødekomme overgangen fra. års studier, indeholder noterne desuden appendices om elementær mængdeteori, den udvidede reelle tallinie samt om supremum, infimum, limes superior og limes inferior. Kurset Målteori efterfølges ved Århus Universitet enten af kurset Sandsynlighedsteori. eller af kurset Reel Analyse. Materiale om L p -rum og integral-uligheder, som naturligt hører hjemme i et kursus i mål- og integralteori, bliver behandlet i begge sidstnævnte kurser og er derfor ikke medtaget i disse noter. Det samme gør sig gældende for konstruktionen af Lebesgue-målet på de reelle tal. Det har fra starten været hensigten at give en fremstilling af Mål- og Integralteori, som er (relativt) let læselig også for studerende med kun et enkelt års universitetsstudier bag sig. Dette har afstedkommet et forholdsvis stort antal sider, hvilket naturligvis kan virke begrænsende på læserens overblik over det gennemgåede stof. Det sidste er forsøgt imødekommet med en ganske stram struktur af teksten, som i vid udstrækning er opdelt i definitioner, sætninger, beviser, bemærkninger, eksempler etc. Det er afslutningsvist en stor fornøjelse at takke Jan Pedersen for hans grundige gennemlæsning af en tidligere version af manuskriptet og hans indsigtsfulde kommentarer, der har forbedret dele af noterne betragteligt. Århus, August 28 Steen Thorbjørnsen I 29 udgaven af noterne er der tilføjet opgaver efter hvert kapitel, ligesom der er tilføjet et appendix om tællelige mængder samt enkelte eksempler og figurer. Derudover er der foretaget nogle få justeringer af formuleringer og beviser, og der er rettet en række trykfejl. Jeg takker de studerende, der fulgte kurset i efteråret 28, for deres nyttige kommentarer. Specielt er jeg taknemmelig for Jesper Bjørnholts grundige sproglige gennemgang af noterne. Det er endelig en fornøjelse at takke Svend Erik Graversen og Jørgen Hoffmann-Jørgensen for berigende diskussioner. Århus, August 29 Steen Thorbjørnsen 3

4 Indhold Målelighed og mål. 6. Målelige mængder begrebet σ-algebra Borel-algebraen i R d Mål og deres grundlæggende egenskaber Målelige afbildninger Målelige funktioner med værdier i R Målelighed ved grænseovergang Målelighed i delrum Simple funktioner Opgaver til Kapitel Lebesgue-integralet Integralet af positive simple funktioner Integration af positive målelige funktioner Nulmængder og µ-næsten overalt Integration af reelle funktioner Konvergenssætninger for integralet Integration over delmængde Lebesgue-integralet vs. Riemann-integralet Opgaver til Kapitel Entydighed af mål δ-systemer og Dynkins Lemma Entydighedsresultater for mål Opgaver til Kapitel Produktmål 2 4. Produktrummet af to målelige rum Produktrum af flere end to målelige rum Produktmål Integration med hensyn til produktmål Tonellis og Fubinis Sætninger Opgaver til Kapitel Nye mål fra gamle Transformation af mål Mål med tæthed Absolut kontinuitet og entydighed af tæthed Opgaver til Kapitel A Appendices 4 A. Elementær mængdelære A.2 Tællelige mængder A.3 Den udvidede reelle tallinie R A.4 Infimum, supremum, limes inferior og limes superior

5 A.5 Generelle partitions σ-algebraer og kardinalitet af σ-algebraer A.6 Borel-målelighed i generelle metriske rum A.7 Translationsinvariante mål i R d A.8 Affine, bijektive transformationer af Lebesgue-målet

6 Målelighed og mål. For at illustrere de problemstillinger og begreber, vi skal studere i dette kapitel, betragter vi først den to-dimensionale euklidiske plan R 2. Vi ønsker at give en stringent matematisk beskrivelse af begrebet areal af delmængder af R 2. Lidt mere præcist ønsker vi at indføre en mængdefunktion λ 2, som til en delmængde A af R 2 knytter et ikke-negativt tal λ 2 (A), der på rimelig vis stemmer overens med vores intuitive opfattelse af arealet af A. Med denne intuitive opfattelse i baghovedet er det rimeligt at forlange, at λ 2 bl.a. bør opfylde følgende betingelser: (i) λ 2 (/) =. (ii) λ 2 ( ni= A i ) = n i= λ 2 (A i ), når A,...,A n er disjunkte delmængder af R 2. (iii) λ 2 s værdi på et vilkårligt (åbent) rektangel (a,b ) (a 2,b 2 ) i R 2 er lig med produktet af sidernes længder: λ 2 ((a,b ) (a 2,b 2 )) = (b a ) (b 2 a 2 ). (iv) Hvis A er en delmængde af R 2, og a er en fast vektor i R 2, så gælder der, at λ 2 (A+a) = λ 2 (A). (v) Hvis A er en delmængde af R 2, υ ( π,π], og R υ (A) betegner rotationen af A med vinkelen υ (omkring origo), så gælder der, at λ 2 (R υ (A)) = λ 2 (A). Betingelserne (ii) og (iii) sikrer, at λ 2 antager den rigtige værdi på vilkårlige (åbne) rektangler i R 2 og på mængder, der kan skrives som foreningsmængden af endeligt mange disjunkte rektangler. Men hvad med andre delmængder af R 2, f.eks. en cirkelskive D? Her kan man let forestille sig, at man kan overdække D med (endeligt mange) små disjunkte rektangler, således at det samlede areal af disse rektangler tilnærmelsesvist er lig med arealet af D. Det er intuitivt klart, at approksimationen kan blive så god, som man måtte ønske, og intuitivt må en mængdefunktion λ 2, der opfylder betingelserne (i)-(iii), således også forventes at antage den rigtige værdi på cirkelskiver og andre pæne delmængder af R 2. Men hvad så, hvis man f.eks. betragter foreningsmængden af uendeligt mange disjunkte rektangler i R 2, f.eks. R = (n n,n) (n n,n). n= Her bør der intuitivt gælde (jvf. (ii)), at λ 2 (R) = lim N N n= λ 2 ( (n n,n) (n n,n)) = lim N N n= n 2 = n= n 2 = π2 6, og overvejelser som denne leder til, at mængdefunktionen λ 2 rimeligvis bør opfylde følgende skærpelse af (ii): (II) λ 2 ( i= A i ) = i= λ 2 (A i ), når (A i ) i N er en følge af disjunkte delmængder af R 2. Her kan man imidlertid vise (jvf. Appendix A.7), at der ikke findes en afbildning λ 2 defineret på hele potensmængden P(R 2 ), som opfylder betingelserne (i),(ii),(iii) og (iv) ovenfor, når Potensmængden P(R 2 ) er systemet af alle delmængder af R 2 ; jvf. Appendix A. 6

7 det forudsættes, at (II) og (iv) skal være opfyldt for vilkårlige følger (A i ) i N af disjunkte delmængder af R 2 hhv. vilkårlige delmængder A af planen 2. For overhovedet at kunne indføre et rimeligt arealbegreb bliver man således nødt til at acceptere, at mængdefunktionen λ 2 kun er defineret på et passende delsystem B(R 2 ) af P(R 2 ). Med andre ord må man altså acceptere, at der findes delmængder af R 2, som man ikke på fornuftig vis kan tilskrive et areal, og mængderne i B(R 2 ) omtales tilsvarende som målelige mængder. Systemet B(R 2 ), som man i første omgang 3 stiller sig tilfreds med at kunne definere λ 2 på, kan beskrives som det mindste system af delmængder af R 2, der opfylder følgende betingelser:. R 2 B(R 2 ). 2. Hvis B B(R 2 ), gælder der også, at B c B(R 2 ). 3. For enhver følge (B i ) i N af mængder fra B(R 2 ) gælder der også, at i N B i B(R 2 ). 4. B(R 2 ) indeholder ethvert rektangel i R 2. Betingelserne -3 ovenfor sikrer, at man kan arbejde frit inden for systemet B(R 2 ) med hensyn til de sædvanlige mængdeoperationer (anvendt tælleligt mange gange), og de udtrykker, at B(R 2 ) er en såkaldt σ-algebra (se nedenfor). Som vi skal se i løbet af dette og de efterfølgende kurser, så findes der én og kun én afbildning 4 λ 2 : B(R 2 ) [, ], der opfylder betingelserne (i),(ii),(iii) for mængder i B(R 2 ). Denne afbildning opfylder endvidere betingelserne (iv) og (v) for alle mængder A i B(R 2 ) (se Appendix A.7 og Appendix A.8). Det viser sig heldigvis, at B(R 2 ) er stor nok til at omfatte alle i praksis forekommende delmængder af R 2, og set i det lys skal det umulige i at definere λ 2 på hele P(R 2 ) måske mere end en praktisk begrænsning opfattes som et udtryk for, at der indenfor det sædvanligvis anvendte aksiomssystem for mængdelæren findes yderst komplicerede delmængder af R 2. Når vi i næste kapitel skal indføre integralet af (i første omgang) ikke-negative funktioner med hensyn til λ 2, er vi ligeledes nødt til at nøjes med at kunne integrere en delklasse af mængden af alle funktioner f : R 2 [, ). Sådan som integralet konstrueres ud fra λ 2, viser det sig, at den nødvendige betingelse på f f.eks. kan udtrykkes som betingelsen, at {x R 2 f(x) b} B(R 2 ) for alle b i [, ), hvilket er et udtryk for, at man kan måle størrelsen af f med målet λ 2. Funktionerne som opfylder denne betingelse kaldes så for målelige funktioner. De målelige funktioner på R 2 udgør en bred klasse af funktioner, som bl.a. omfatter alle kontinuerte funktioner på R 2. Den ovenfor skitserede konstruktion kan uden yderligere komplikationer gennemføres i alle de endeligt dimensionale euklidiske rum R d, og en stor del af overvejelserne giver uden videre mening i langt større generalitet. Når vi i næste afsnit for alvor går i gang med at opbygge målteorien, skal vi således i stedet for R 2 (eller R d ) arbejde med en abstrakt (ikke-tom) grundmængde og studere σ-algebraer i, dvs. systemer E af delmængder af, der opfylder følgende betingelser: 2 Her forudsættes det sædvanlige ZFC-aksiomssystem for mængdelæren; specielt udvalgsaksiomet. 3 Man kan udvide λ 2 til større klasser af delmængder af R 2, men altså ikke til hele P(R 2 ). 4 Entydigheden bevises i Afsnit 3.2 nedenfor, mens eksistensen bevises i de efterfølgende kurser: Reel Analyse eller Sandsynlighedsteori. 7

8 (σ) E, (σ2) For alle mængder A i E gælder der også, at A c E. (σ3) Hvis (A n ) er en følge af mængder fra E, så gælder der også, at n N A n E. Vi skal endvidere studere generelle mængdefunktioner, kaldet mål, µ : E [, ], som opfylder følgende to betingelser: (m) µ(/) =. (m2) µ ( n= A n ) = n= µ(a n ), når (A n ) n N er en følge af disjunkte mængder fra E. Den abstrakte tilgang har den fordel, at overvejelserne bliver renset for irrelevante forhold, som kun er gyldige i R 2 (eller R d ). Vigtigere er det imidlertid, at den resulterende generelle teori omfatter en lang række matematiske situationer, hvor man naturligt ledes til at størrelsesangive mængder på en måde, der er analog til arealbegrebet. Det vigtigste eksempel herpå er nok sandsynlighedsteorien, hvor man i udgangspunktet ønsker at give en matematisk beskrivelse af eksperimenter med tilfældige udfald. Man har så brug for at bestemme sandsynligheden for, at udfaldet af det betragtede eksperiment havner i en bestemt delmængde A af mængden af samtlige mulige udfald. I dette tilfælde skal µ(a) således opfattes som sandsynligheden for, at udfaldet af eksperimentet havner i mængden A, og vores intuitive opfattelse af sandsynligheder retfærdiggør, at mængdefunktionen µ skal opfylde betingelserne (m) og (m2) ovenfor. Endvidere forudsættes µ i denne sammenhæng kun at antage værdier i [,], og µ omtales som et sandsynlighedsmål. Udviklingen af selve mål- og integralteorien skal tilskrives en lang række matematikere fra det 2. århundrede, nogle af hvis navne vi vil støde på undervejs som teorien bliver gennemgået. Blandt de væsentligste er H. Lebesgue, E. Borel, P. Fatou, C. Carathéodory, J. Dynkin, L. Tonelli og G. Fubini, hvoraf de to førstnævnte allerede har optrådt implicit i den benyttede notation λ 2 hhv. B(R 2 ). Den skitserede tilgang til sandsynlighedsteori baseret på mål- og integralteori skyldes først og fremmest den russiske matematiker A.N. Kolmogorov. Den har været af helt afgørende betydning for udviklingen af den moderne sandsynlighedsteori.. Målelige mængder begrebet σ-algebra I dette afsnit betragter vi, på nær i eksemplerne, en (abstrakt) ikke tom-mængde. Vi starter med at indføre forskellige systemer af delmængder af... Definition. Et system E af delmængder af kaldes for en σ-algebra i, hvis det opfylder følgende tre betingelser: (σ) E, (σ2) For alle mængder A i E gælder der også, at A c E. (σ3) Hvis (A n ) n N er en følge af mængder fra E, så gælder der også, at n N A n E. Mængderne i E kaldes for E-målelige mængder eller blot målelige mængder, når E er underforstået af sammenhængen. 8

9 ..2 Bemærkning. Hvis E er en σ-algebra i, så opfylder E specielt betingelsen: Hvis n N, og A,A 2,...,A n er mængder fra E, så gælder der også, at n j= A j E. (.) Dette følger ved at benytte (σ3) på følgen (A n ) n N af mængder fra E, hvor A,...,A n er de givne mængder i (.), mens A j = A n, når j n +. Et system E af delmængder af, som opfylder betingelserne (σ ), (σ 2) og (.) kaldes en (mængde-)algebra i. Som for en række andre begreber i matematikken benyttes sigmaet i terminologien σ-algebra til at udtrykke, at begrebet omhandler tælleligt mange operationer. Terminologien belyser således den faktiske forskel mellem en algebra og en σ-algebra. Det næste resultat viser specielt, at man indenfor en σ-algebra E kan arbejde frit med de sædvanlige mængdeoperationer uden at ryge ud af E, så længe man holder sig til tælleligt mange mængdeoperationer...3 Lemma. Hvis E er en (mængde-) algebra i, så gælder der yderligere følgende regler: (i) / E, (ii) Hvis A,B E, så er også A B element i E, (iii) Hvis A,B E, så er også A \ B element i E. Hvis E er en σ-algebra i, så gælder der endvidere (iv) Hvis (A n ) er en følge af mængder fra E, så er også n N A n element i E. Bevis. Alle udsagnene følger ved anvendelse af de relevante aksiomer samt regneregler for mængder (jvf. Appendix A.): (i) / = c E ifølge (σ2) og (σ). (ii) Da (A B) c = A c B c, følger det, at A B = (A c B c ) c E ved anvendelse af (σ2) og (.). (iii) A \ B = A B c E ifølge (σ2) og (ii). (iv) Da ( ) c n N A n = n N A c n, følger det, at n N A n = ( n N A c c n) E ifølge (σ2) og (σ3). Dermed er lemmaet vist...4 Eksempler. (A) Systemerne {/,} og P() = {A A } er begge σ-algebraer i ; hhv. den mindste og den største af alle σ-algebraer i. 9

10 (B) For enhver delmængde A af er systemet E = {/,A,A c,} en σ-algebra i (overvej!). Det er oplagt den mindste σ-algebra i, der indeholder A, i den forstand at enhver σ- algebra i, der indeholder A, også vil indeholde alle mængderne fra E. (C) Lad A,...,A n være disjunkte delmængder af, således at n j= A j =. I denne situation gælder der, at systemet E := { } A j I {,...,n} (.2) er en σ-algebra i : j I (σ) At E følger fra antagelsen: n j= A j =, ved at benytte I = {,...,n} i (.2). (σ2) For en delmængde I af {,...,n} følger det ved anvendelse af begge antagelserne om A,...,A n, at ( ) c A j = A j E, j I j {,...,n}\i hvilket viser, at E er lukket overfor komplementærmængdedannelse. (σ3) Lad (I k ) k N være en følge af delmængder af {,...,n}. Vi skal vise, at ( ) A j E. j I k k N Da der kun er 2 n forskellige delmængder af {,...,n}, kan der højst være 2 n forskellige blandt mængderne I k, k N, og dermed kan der også højst være 2 n forskellige blandt mængderne j I k A j, k N. Derfor reducerer problemet til at vise, at N k= ( j I k A j ) E, hvis I,...,I N er endeligt mange (forskellige) delmængder af {,...,n}. Men i denne situation er det ikke svært at indse, at som ønsket. N k= ( j I k A j ) = j I I N A j E Som i (B) følger det umiddelbart, at E er den mindste σ-algebra i, der indeholder alle mængderne A,...,A n. (D) Systemet udgør en σ-algebra i R: E := {B R B eller B c er tællelig} (σ) Da R c (= /) er tællelig, følger det, at R E. (σ 2) For enhver delmængde B af R følger det umiddelbart fra definitionen af E, at B E, hvis og kun hvis B c E.

11 (σ3) Lad (B n ) være en følge af mængder fra E. Hvis B n er tællelig for alle n, så bliver n N B n igen tællelig (overvej!) og dermed igen et element i E. Vi kan derfor antage, at B c n er tællelig for (mindst) et n i N. Idet ( n N B n ) c B c n, følger det så, at n N B n har tælleligt komplement, og dermed at n N B n E, som ønsket...5 Øvelse. Overvej om følgende systemer af delmængder af R udgør σ-algebraer: Systemet G af åbne delmængder af R. Systemet F af lukkede delmængder af R. Systemet G F af alle åbne eller lukkede delmængder af R. Systemet af alle begrænsede delmængder af R. Systemet af alle intervaller i R. Det næste resultat viser, at fællesmængder af σ-algebraer altid fører til nye σ-algebraer. Resultatet kan evt. sammenlignes med det fra lineær algebra velkendte resultat, at fællesmængden af en vilkårlig familie af underrum af et givet vektorrum V altid udgør et nyt underrum af V...6 Sætning. Lad (E i ) i I være en (vilkårlig) familie af σ-algebraer i. Da er også systemet E i = {A A E i for alle i I} i I en σ-algebra i. Bevis. Vi viser, at i I E i opfylder betingelserne (σ), (σ2) og (σ3) fra Definition..: (σ) Da E i for alle i, gælder der også, at i I E i. (σ2) Antag, at A i I E i, dvs. A E i for alle i. Så gælder der også, at A c E i for alle i, idet hvert E i opfylder (σ2). Men dette betyder, at A c i I E i. (σ3) Lad (A n ) n N være en følge af mængder fra i I E i. For hvert i gælder der da, at (A n ) n N er en følge af mængder fra E i, og dermed at n N A n E i, da E i opfylder (σ3). Men dette betyder, at n N A n i I E i. Dermed er sætningen vist. Selvom beviset for Sætning..6 næsten er trivielt (når man har indstillet sig på abstraktionsniveauet), så er selve resultatet afgørende for definitionen af frembragte σ-algebraer, som vi nu skal indføre. Som det fremgår af (løsningen til) Øvelse..5, så udgør f.eks. systemet G af åbne mængder i R ikke i sig selv en σ-algebra, og man kan naturligt spørge om, hvilke delmængder af R man skal supplere G med for at opnå en σ-algebra. I den sammenhæng er det nyttigt at vide, at der findes en σ-algebra i R, som indeholder G, og som er den mindste af alle σ-algebraer

12 i R med denne egenskab. Dette er et specialtilfælde af Sætning..7 nedenfor. Resultatet kan ses som en analog til det fra lineær algebra velkendte resultat, at der for enhver delmængde M af et vektorrum V findes et mindste underrum span(m) af V, som indeholder M. I forhold til beviset for Sætning..7 er det endvidere værd at huske på, at span(m) kan defineres som fællesmængden af samtlige underrum af V, der indeholder M...7 Sætning. Lad D være en vilkårlig familie af delmængder af. Så findes en mindste σ-algebra σ(d) i, som indeholder D, dvs. σ(d) opfylder følgende to betingelser: (a) σ(d) er en σ-algebra i og D σ(d). (b) For enhver σ-algebra E i, som indeholder D, gælder der også, at σ(d) E. Bevis. Vi sætter Σ(D) := {E E er en σ-algebra i og D E}, og bemærker at Σ(D) ikke er tom, idet P() Σ(D). Vi definerer så σ(d) := E Σ(D) Ifølge Sætning..6 er σ(d) en σ-algebra i, og den opfylder betingelserne (a) og (b) som følge af definitionen af Σ(D). E...8 Definition. (a) Hvis D er et system af delmængder af, så kaldes σ-algebraen σ(d) fra Sætning..7 for den af D frembragte σ-algebra, og D kaldes for et frembringersystem for σ(d). (b) En σ-algebra E i siges at være tælleligt frembragt, hvis der findes en tællelig familie D af delmængder af, således at E = σ(d)...9 Bemærkninger. () Hvis E er en σ-algebra i, og D er et system af delmængder af, så svarer betingelse (b) i Sætning..7 til implikationen: D E = σ(d) E. (.3) Specielt har vi for systemer D og D 2 af delmængder af implikationerne: D D 2 = D σ(d 2 ) = σ(d ) σ(d 2 ). (.4) (2) Hvis D er et frembringersystem for en σ-algebra E i, så er systemerne {D c D D} { n N A n A n D for alle n i N} { n N A n A n D for alle n i N} 2

13 ligeledes frembringersystemer for E. Dette følger i alle tre tilfælde direkte ved anvendelse af implikationerne i (.4) for passende valg af D og D 2 (overvej!)... Eksempler. (A) Systemerne og D = {[a,b] a,b R, a < b} D 2 = {(a,b) a,b R, a < b} frembringer den samme σ-algebra i R. For a,b i R, så a < b, har vi nemlig, at [a,b] = (a n,b+ n ) σ(d 2), og at n N (a,b) = [a+ n,b n ] σ(d ), n N hvor [a+ n,b n ] opfattes som den tomme mængde for de (højst endeligt mange) n, for hvilke a+ n > b n. Det følger af ovenstående identiteter og (.4), at σ(d ) = σ(d 2 ). Analoge overvejelser viser, at σ(d ) ligeledes er frembragt af systemerne {(a,b] a,b R, a < b} og {(,b] b R}. Specielt noterer vi, at den samme σ-algebra kan have mange forskellige frembringersystemer. (B) Lad nu grundmængden være mængden Q af rationale tal, og betragt systemet D = {{x} x Q} af et-punktsmængder (singletoner) i Q. Da Q som bekendt er en tællelig mængde, gælder der, at σ(d) = P(Q), hvor venstresiden altså er σ-algebraen i Q frembragt af D. En vilkårlig delmængde A af Q kan nemlig oplagt skrives som foreningsmængden af etpunktsmængderne svarende til dens elementer: A = {x}. (.5) x A Da A er tællelig, er der tale om en tællelig foreningsmængde af mængder fra D, og derfor viser (.5), at A σ(d). Det næste resultat giver en nyttig metode til at påvise, at alle mængder i en forelagt σ-algebra har en bestemt egenskab... Sætning. Lad D være et system af delmængder af, som alle besidder en vis egenskab P. Antag videre, at systemet E(P) := {A A har egenskab P} udgør en σ-algebra i. Da har alle mængder i σ(d) ligeledes egenskaben P. 3

14 Bevis. At alle mængder fra D har egenskaben P betyder, at D E(P), og da E(P) er en σ- algebra, medfører dette, at σ(d) E(P) (jvf. Bemærkning..9())...2 Eksempel. Betragt systemet D = {{x} x R}, af et-punktsmængder i R, og bemærk at alle mængder fra D besidder egenskaben Ifølge Eksempel..4(D) er systemet P: A eller A c er tællelig. E(P) = {A R A eller A c er tællelig} en σ-algebra i R. Derfor gælder ifølge Sætning.., at enhver mængde fra σ(d) enten er tællelig eller har tælleligt komplement. Specielt fremgår det, at σ(d) P(R) og σ(d) σ({[a,b] a,b R, a < b}). Faktisk kan vi let vise, at σ(d) = E(P). Vi har nemlig netop indset, at σ(d) E(P), og for at vise den modsatte inklusion benytter vi, at der for alle delmængder A af R gælder identiteten A = {x}, x A som analogt til Eksempel..(B) medfører inklusionen: Ved anvendelse af (.4) følger det derfor, at {A R A er tællelig} σ(d). σ(d) σ({a R A er tællelig}) E(P), hvor sidste inklusion følger umiddelbart af definitionen af E(P)..2 Borel-algebraen i R d. I dette afsnit skal vi udstyre det euklidiske rum R d med en kanonisk σ-algebra, kaldet Borelalgebraen. I forbindelse hermed skal vi studere to forskellige afstandsbegreber også kaldet metrikker på R d. Først og fremmest skal vi udstyre R d med det sædvanlige afstandsbegreb: ρ 2 ((x,...,x d ),(y,...,y d )) = ( d (x i y i ) 2) /2, (.6) i= for x = (x,...,x d ),y = (y,...,y d ) i R d. Vi skal imidlertid også benytte metrikken ρ på R d givet ved ρ ((x,...,x d ),(y,...,y d )) = max x i y i. (.7) i=,2,...,d Vi minder om, at ρ 2 og ρ begge opfylder følgende betingelser 5 for alle x,y,z i R d : 5 Disse betingelser karakteriserer netop en metrik; se Appendix A.6. 4

15 ρ(x,y), ρ(x,y) = x = y, ρ(x,y) = ρ(y,x), ρ(x, z) ρ(x, y) + ρ(y, z), [Hausdorff egenskab] [Symmetri] [Trekantsuligheden] hvor ρ betegner enten ρ 2 eller ρ. For x i R d og r > betegnes den åbne ρ 2 -kugle med centrum x og radius r med b 2 (x,r), dvs. b 2 (x,r) = {y R d ρ 2 (x,y) < r}. Den tilsvarende ρ -kugle betegnes med b (x,r), dvs. b (x,r) = {y R d ρ (x,y) < r} = (x r,x + r) (x d r,x d + r). (.8) En delmængde G af R d siges som bekendt at være åben med hensyn til metrikken ρ 2 (hhv. ρ ), hvis der for ethvert punkt x i G findes et r >, således at b 2 (x,r) G (hhv. b (x,r) G). Systemet af åbne mængder med hensyn til ρ 2 (hhv. ρ ) betegnes med G(ρ 2 ) (hhv. G(ρ )). Selvom der er tale om to forskellige afstandsbegreber, er de to metrikker ρ 2 og ρ ækvivalente, i den forstand at G(ρ 2 ) = G(ρ ). Dette skyldes, at enhver åben kugle mht. ρ 2 indeholder en åben kugle mht. ρ med samme centrum og vice versa (detaljerne vises i Opgave.9.). For at have en simpel notation sætter vi G = G(ρ 2 ) = G(ρ )..2. Definition. Borel-algebraen i R d er σ-algebraen i R d frembragt af systemet G af åbne mængder. Den betegnes med B(R d ), dvs. B(R d ) := σ(g) = σ ( {G R d G er åben mht. ρ 2 og/eller ρ } ). Mængderne i B(R d ) kaldes for Borel-mængder. Det er ikke svært at eftervise, at ethvert interval i R (begrænset eller ubegrænset; åbent, halvåbent eller lukket) er en Borel-mængde (jvf. Opgave.9.3). Et tilsvarende resultat gælder i R d. Den næste sætning viser specielt, at Borel-algebraen B(R d ) også er frembragt af visse systemer af rektangler i R d..2.2 Sætning. For ethvert d i N gælder der, at B(R d ) = σ ( {b 2 (x,r) x R d, r > } ) = σ ( {b 2 (x,r) x Q d, r (, ) Q} ), (.9) og at B(R d ) = σ ( {(a,b ) (a d,b d ) a i,b i R, a i < b i, i =,...,d} ) = σ ( {(a,b ) (a d,b d ) a i,b i Q, a i < b i, i =,...,d} ). (.) 5

16 Specielt fremgår det, at B(R d ) er tælleligt frembragt. Beviset for Sætning.2.2 bygger på følgende hjælperesultat..2.3 Lemma. Betragt R d udstyret med metrikken ρ, hvor ρ betegner én af metrikkerne ρ 2 eller ρ. Lad videre G betegne en ikke-tom åben mængde i R d med hensyn til ρ, og skriv den tællelige mængde Q d G på formen: Q d G = {x k k N}. Da findes en følge (r k ) k N af positive rationale tal, således at G = k N b(x k,r k ), hvor b(x,r) betegner ρ-kuglen med centrum x og radius r. Specielt fremgår det, at enhver åben mængde i R d (med hensyn til ρ) kan skrives som en tællelig forening af åbne ρ-kugler med rationale centre og radier. Bevis for Lemma.2.3. For hvert n i N definerer vi s n = sup{r (,] b(x n,r) G} (,], og vi vælger derefter et vilkårligt rationalt tal r n i [ s n 2,s n ). Så følger det fra definitionen af s n, at og dermed at b(x n,r n ) G for alle n i N, n N b(x n,r n ) G. Lad omvendt et vilkårligt x i G være givet, og vælg r i (,2], således at b(x,r) G. Da Q d er tæt i R d mht. ρ (jvf. Opgave.9.2), kan vi derefter vælge n i N, således at x n b(x, 4 r ) G. Så gælder der, at b(x n, 2 r ) b(x,r) G, for hvis y b(x n, 2 r ), så giver trekantsuligheden, at ρ(y,x) ρ(y,x n )+ρ(x n,x) < r 2 + r 4 < r. 6

17 G x x_n r r/2 Figur : Illustration af beviset for Lemma.2.3. Det følger derfor fra definitionen af s n og valget af r n, at Vi kan således slutte, at som ønsket. r 2 s n, og dermed x b(x n, r 4 ) b(x n,r n) r 4 s n 2 r n. k N b(x k,r k ), Bevis for (.9) i Sætning.2.2. For ethvert x i R d og ethvert r > er kuglen b 2 (x,r) en åben delmængde af R d, og derfor følger det umiddelbart ved anvendelse af (.4), at σ ( {b 2 (x,r) x Q d, r (, ) Q} ) σ ( {b 2 (x,r) x R d, r > } ) Tilbage står derfor at vise, at σ(g) = B(R d ). σ(g) σ ( {b 2 (x,r) x Q d, r (, ) Q} ), (.) men ifølge Lemma.2.3 (med ρ = ρ 2 ) gælder der, at G σ ( {b 2 (x,r) x Q d, r (, ) Q} ), og dermed følger (.) ved anvendelse af (.4). Bevis for (.) i Sætning.2.2. For alle a,b,...,a d,b d fra R, således at a i < b i, i=,...,d, er (a,b ) (a d,b d ) en åben delmængde af R d. Dermed følger det umiddelbart ved anvendelse af (.4), at σ ( {(a,b ) (a d,b d ) a i,b i Q, a i < b i, i =,...,d} ) σ ( {(a,b ) (a d,b d ) a i,b i R, a i < b i, i =,...,d} ) σ(g) = B(R d ). 7

18 Tilbage står derfor at vise, at σ(g) σ ( {(a,b ) (a d,b d ) a i,b i Q, a i < b i, i =,...,d} ), (.2) men ifølge Lemma.2.3 (med ρ = ρ jvf. (.8)) gælder der, at G σ ( {(a,b ) (a d,b d ) a i,b i Q, a i < b i, i =,...,d} ), og dermed følger (.2) ved endnu en anvendelse af (.4)..2.4 Korollar. For ethvert d i N gælder der, at B(R d ) = σ ( {(,b ] (,b d ] b,...,b d R} ) (.3) og endda at B(R d ) = σ ( {(,q ] (,q d ] q,...,q d Q} ). (.4) Specielt fremgår det (igen), at B(R d ) er tælleligt frembragt. Bevis. Betragt følgende systemer af delmængder af R d : Vi bemærker så, at I = {(,b ] (,b d ] b,...,b d R} J = {(,q ] (,q d ] q,...,q d Q}. σ(j) σ(i) B(R d ), (.5) hvor første inklusion følger af, at J I ved anvendelse af (.4). Den anden inklusion i (.5) følger ved anvendelse af (.3) på inklusionen I B(R d ), som f.eks. skyldes, at alle mængder fra I er lukkede og dermed specielt Borel-mængder. Vi mangler således blot at vise, at B(R d ) σ(j), og hertil er det ifølge Sætning.2.2 og (.4) nok at vise, at (a,b ) (a d,b d ) σ(j) for alle a,b,...,a d,b d i Q, således at a i < b i, i =,2,...,d. For at undgå alt for tung notation nøjes vi med at vise dette i tilfældet d = 3, idet det efterfølgende burde være klart, hvordan beviset skal gennemføres i andre dimensioner. Lad således for hvert i fra {,2,3} a i og b i fra Q være givne, således at a i < b i. Vi bemærker først, at (a,b ) (a 2,b 2 ) (a 3,b 3 ) = ( (,b ) (,b 2 ) (,b 3 ) ) ( (a, ) (a 2, ) (a 3, ) ), hvor (,b ) (,b 2 ) (,b 3 ) = k N Det er herefter nok at vise, at ( (a, ) (a 2, ) (a 3, ) ) c σ(j). ( (,b k ] (,b 2 k ] (,b 3 k ]) σ(j). 8

19 Men her benyttes, at ( (a, ) (a 2, ) (a 3, ) ) c = ((,a ] R R) (R (,a 2 ] R) (R R (,a 3 ]), hvor f.eks. R (,a 2 ] R = k N ( (,k] (,a2 ] (,k] ) σ(j). Det indses tilsvarende, at (,a ] R R og R R (,a 3 ] er elementer i σ(j), og dermed er korollaret vist..3 Mål og deres grundlæggende egenskaber Vi skal i dette afsnit indføre og studere begrebet et mål. Vi starter med at indføre noget bekvem terminologi:.3. Definition. Et måleligt rum er et par (,E), hvor er en ikke-tom mængde og E er en σ-algebra i. Vi kan herefter indføre generelle mål på målelige rum:.3.2 Definition. Lad (,E) være et måleligt rum. Et mål på (,E) er en afbildning µ : E [, ], som opfylder følgende to betingelser: (m) µ(/) =, (m2) µ er numerabelt additiv (eller σ-additiv), dvs. for enhver følge (A n ) n N af disjunkte mængder fra E gælder der, at Hvis µ er et mål på (, E), kaldes triplet (, E, µ) for et målrum. ( ) µ A n = µ(a n ). (.6) n N n= Bemærk i forbindelse med betingelsen (m2) at begge sider af identiteten (.6) umiddelbart er meningsfulde: n N A n E, og højresiden er en sum af ikke-negative tal..3.3 Eksempler. (A) Lebesgue-målet på R d. Det er intuitivt klart, at operationen at tage volumen af en Borel-mængde i R 3 (eller areal i R 2 eller længde i R) må opfylde betingelserne (m) og (m2) i definitionen ovenfor og således udgøre et mål på (R 3,B(R 3 )) (hhv. på (R 2,B(R 2 )) eller (R,B(R))). Dette mål kaldes for Lebesgue-målet på R 3 (hhv. på R 2 eller R). Formelt indføres Lebesgue-målet på R d som det mål λ d på (R d,b(r d )), hvis værdi på ethvert åbent interval i R d er produktet af kantlængderne: λ d ( (a,b ) (a d,b d ) ) = (b a ) (b d a d ) (.7) 9

20 for alle a,b,...,a d,b d i R, hvor a j < b j, j =,...,d. Vi skal senere formelt bevise, at der findes netop et mål på (R d,b(r d )), som opfylder (.7). I tilfældet d = skriver vi som regel λ i stedet for λ. (B) Tællemål. Lad være en vilkårlig ikke-tom mængde, og udstyr med σ-algebraen P(). Tællemålet på er da målet τ : P() [, ] givet ved: { antal elementer i A, hvis A har endeligt mange elementer τ(a) =, hvis A har uendeligt mange elementer. For at indse at τ er et mål på (,P()), bemærker vi først, at betingelsen (m) følger umiddelbart fra definitionen af τ. For at eftervise (m2) betragtes en følge (A n ) af disjunkte mængder fra P(), og vi skal vise, at τ ( ) n = n NA τ(a n ). (.8) n= Hvis τ( n N A n ) <, så er τ(a n ) også endelig for alle n, og da A n erne er disjunkte, er der kun endeligt mange n i N, for hvilke A n /. Betegnes disse endeligt mange naturlige tal med n,n 2,...,n k, så følger det nu umiddelbart fra definitionen af τ, at τ ( n N A n ) = τ ( k j= idet vi igen benytter, at A n,a n2,...,a nk er disjunkte. ) k A n j = τ(a n j ) = τ(a n ), j= n= Hvis τ( n= A n ) =, er der to muligheder (som ikke udelukker hinanden): (a) Der findes et n i N, således at τ(a n ) =. (b) τ(a n ) for uendeligt mange n. Men i begge tilfældene (a) og (b) følger det umiddelbart, at n= τ(a n) =, som ønsket. (C) Dirac-mål. Lad være en vilkårlig ikke-tom mængde, og udstyr med σ-algebraen P(). For et vilkårligt element a i defineres Dirac-målet δ a i a som målet på (,P()) givet ved: {, hvis a / A, δ a (A) =, hvis a A. Det vises i Opgave.9.2, at δ a faktisk ér et mål på (,E). (D) Koncentration af mål. Lad (,E, µ) være et målrum, og lad A være en udvalgt mængde fra E. Afbildningen µ A k : E [, ] givet ved µ A k (B) = µ(b A), (B E), ses da let at være et mål på E (se Opgave.9.3). Målet µ A k omtales som koncentrationen af µ til mængden A. 2

21 Vi skal nu etablere en række fundamentale egenskaber ved mål..3.4 Sætning. Lad (,E, µ) være et målrum. Da gælder følgende udsagn: (i) µ er endeligt additiv, dvs. hvis A,...,A N er endeligt mange disjunkte mængder fra E, så gælder der, at µ( N n= A n ) = N n= µ(a n). (ii) Hvis A,B E, og A B, så gælder der, at µ(a) µ(b). (iii) Hvis A,B E, A B, og µ(a) <, så gælder der, at µ(b \ A) = µ(b) µ(a). (iv) For en vilkårlig følge (A n ) af mængder fra E gælder der, at ( ) µ A n µ(a n ). n N n= (v) Lad (A n ) være en voksende følge af mængder fra E, dvs. A A 2 A 3. Så gælder der, at ( ) µ A n = lim µ(a n ). n N (vi) Lad (A n ) være en dalende følge af mængder fra E, dvs. A A 2 A 3. Antag videre at µ(a ) <. Så gælder der, at ( ) µ A n = lim µ(a n ). n N Bevis. (i) Lad A,...,A N være disjunkte mængder fra E, og sæt endvidere A n = /, når n N+. Det følger så ved anvendelse af (m2), at µ ( N n= A n ) = µ ( n= A n ) = N µ(a n ) = µ(a n ). n= n= (ii) og (iii). Antag, at A,B E, og at A B. Så gælder der, at B = A (B \ A), hvor mængderne på højresiden oplagt er disjunkte. Det følger derfor ved anvendelse af (i), at µ(b) = µ(a)+µ(b \ A). Heraf følger det umiddelbart, at µ(b) µ(a), og hvis µ(a) <, følger det yderligere, at også µ(b) µ(a) = µ(b \ A). (iv) og (v). Lad (A n ) være en vilkårlig følge af mængder fra E, og definér så en ny følge (B n ) af delmængder af ved B = A, og B n = A n \ ( n k= A k ) for n 2. Nu gælder der, at B n E for alle n, og B,B 2,B 3,... er disjunkte. Bemærk endvidere, at n= A n = n= B n, og N n= A n = N 2 n= B n for alle N i N.

22 Ved anvendelse af (m2) og (ii) finder vi derfor, at µ ( n= ) ( ) A n = µ n = n=b µ(b n ) µ(a n ), (.9) n= n= hvilket viser (iv). Hvis vi nu yderligere antager, at A A 2 A 3, så har vi, at A N = N n= A n = N n= B n for alle N i N, og genanvendes de to første lighedstegn i (.9), finder vi, at µ ( ) n = n=a µ(b n ) = lim N n= N n= hvor vi i 3. lighedstegn benyttede (i). Dette viser (v). µ(b n ) = lim µ( N ) B n = lim µ(a N), N n= N (vi) Antag, at A A 2 A 3, og lad os i første omgang yderligere forudsætte, at µ() <. Så medfører (ii), at også µ(a) < for alle A i E. Idet A c Ac 2 Ac 3, følger det fra (v), at µ(a c n) µ ( A c ) ( ( ) c n = µ A n ). n= n= Sammenholdes dette med (iii) (husk, at alle værdier af µ er endelige), finder vi, at ( ( µ(a n ) = µ() µ(a c ) ) c n) µ() µ A n = µ ( ) A n, som ønsket. Hvis µ() =, men µ(a ) <, kan vi betragte målet µ k A på (,E), givet ved n= µ k A (B) = µ(b A ), (B E) (jvf. Eksempel.3.3(D)). Bemærk, at µ k A () = µ(a ) <, og idet der yderligere gælder, at µ k A (A n ) = µ(a n ) for alle n, og µ k A ( n= A n ) = µ ( n= n= A n ), følger det ønskede nu umiddelbart ved at benytte det ovenfor viste på målet µ k A. I nogle fremstillinger af målteorien omtales udsagn (iv) i Sætning.3.4 som Booles Ulighed. I forbindelse med udsagn (v) og (vi) i samme sætning er det bekvemt at indføre følgende notation:.3.5 Notation. Lad (A n ) være en følge af delmængder af, og lad A være endnu en delmængde af. Vi skriver da A n A, hvis A A 2 A 3, og n= A n = A. A n A, hvis A A 2 A 3, og n= A n = A. I forlængelse af den netop indførte notation siger man ofte, at egenskaberne (v) og (vi) i Sætning.3.4 udtrykker kontinuitet af målet µ. 22

23 .3.6 Bemærkninger. () Egenskab (iii) i Sætning.3.4 gælder ikke uden antagelsen µ(a) <. Betragt f.eks. tællemålet τ på N. Så gælder der, at {} = N \ N, men det giver ikke mening at skrive: = τ({}) = τ(n \N) = τ(n ) τ(n) =. (2) Egenskab (vi) i Sætning.3.4 gælder heller ikke generelt uden antagelsen µ(a ) <. Betragt f.eks. igen tællemålet τ på N, og sæt A n = {n,n+,n+2,...}, (n N). Så gælder der, at ( τ n N A n ) = τ(/) =, og lim τ(a n ) = lim =. Betingelsen: µ(a ) < kan dog naturligvis erstattes af betingelsen: µ(a n ) < for alle tilstrækkeligt store n (overvej!). Vi afslutter dette afsnit med at indføre en række vigtige klasser af mål..3.7 Definition. Betragt et målrum (,E, µ). Vi siger da, at (a) µ er et sandsynlighedsmål, hvis µ() =. I dette tilfælde benyttes ofte betegnelsen P i stedet for µ. (b) µ er et endeligt mål, hvis µ() <. (c) µ er et σ-endeligt mål, hvis der findes en følge (A n ) n N af mængder fra E, således at µ(a n ) < for alle n, og n N A n =. (.2) (d) µ er et sum-endeligt mål, hvis der findes en følge (µ n ) n N af endelige mål på E, således at µ = n= µ n, eller mere præcist µ(a) = µ n (A), (A E), n= idet man let indser, at højresiden definerer et nyt mål på E (se Opgave.9.4)..3.8 Bemærkninger. () Ethvert endeligt mål er σ-endeligt. (2) Antag, at µ er et σ-endeligt mål på E, og lad (A n ) være en følge af mængder fra E, som opfylder (.2). Man kan da altid efter forgodtbefindende antage, at (A n ) er en voksende følge (dvs. A A 2 A 3 ) eller at A n erne er disjunkte. Vi kan nemlig erstatte (A n ) med A n = n A j, (n N), j= 23

24 eller med n = A n \ ( n ) A j, A j= (n N), hvor følgerne (A n ) og (A n ) igen opfylder (.2) pga. (iv) og (ii) i Sætning.3.4. (3) Ethvert σ-endeligt mål µ er sum-endeligt. Vælges nemlig A,A 2,A 3,... fra E som opfylder (.2), og som er disjunkte, da har vi for B i E, at µ(b) = µ ( (B A n ) ) = n N µ(b A n ) = n= og her er µ k A n et endeligt mål for alle n (jvf. Eksempel.3.3(D)). µ A k n (B), n=.4 Målelige afbildninger Vi skal i dette afsnit studere de afbildninger mellem målelige rum, der på naturlig måde opfører sig i overenstemmelse med den indførte måleligheds-struktur. De målelige afbildninger spiller i den henseende den samme rolle for målteorien, som de kontinuerte afbildninger spiller i topologi. Vi starter med at indføre begrebet originalmængde (eller urbillede) for en afbildning (se også Appendix A.)..4. Definition. Lad og Y være ikke-tomme mængder, og lad f : Y være en afbildning. For en delmængde B af Y defineres originalmængden (eller urbilledet) af B ved f som delmængden f (B) af givet ved: f (B) = {x f(x) B}..4.2 Eksempler. (A) Betragt funktionen f : R R givet ved f(x) = x 2, (x R). For x i R har vi da, at x f ([ 4,4]) x2 [ 4,4] 4 x2 4 x [ 2, 2 ] [ 2,2]. Vi slutter således, at f ([ 4,4]) = [ 2, 2 ] [ 2,2]. (B) Betragt afbildningen g: R R givet ved g(x) = sin(x), (x R). For x i R har vi da, at x g ([ 2, 2 ]) 2 sin(x) 2 p Z: x [ 6 π + pπ, 6 π + pπ]. Vi slutter således, at g ([ 2, 2 ]) = [ 6 π + pπ, 6 π + pπ]. p Z 24

25 (C) Betragt afbildningen h: R 2 R givet ved h(x,y) = exp(x 2 + y 2 ), ((x,y) R 2 ). Vi finder da for (x,y) i R 2, at (x,y) h ((,e]) exp(x 2 + y 2 ) e x 2 + y 2. Vi slutter således, at h ((,e]) er den lukkede enhedscirkelskive i R 2 : h ((,e]) = {(x,y) R 2 x 2 + y 2 }..4.3 Definition. Lad (,E) og (Y,F) være målelige rum, og betragt en afbildning f : Y. Vi siger da, at f er målelig (eller mere præcist E-F-målelig), hvis f (B) E for alle B fra F..4.4 Eksempel. Lad (,E) være et måleligt rum. For enhver delmængde A af definerer vi indikatorfunktionen A : R for A ved: {, hvis x A A (x) =, hvis x A c. For en vilkårlig delmængde B af R har vi da, at, hvis, B A (B) = A, hvis B, og / B A c, hvis B, og / B /, hvis, / B. Hvis A E, følger det således, at A er E-F-målelig, uanset hvilken σ-algebra F, man forsyner R med (f.eks. F = P(R)). Hvis omvendt F er en σ-algebra i R, der f.eks. indeholder alle étpunktmængder (f.eks. F = B(R)), da vil E-F-målelighed af A medføre, at A E. Vi har nemlig i denne situation, at A = A ({}) E..4.5 Notation. Lad og Y være ikke-tomme mængder, lad f : Y være en afbilding, og lad D være et system af delmængder af Y. Med f (D) betegner vi da systemet af delmængder af givet ved f (D) := { f (D) D D }. Vi skal herefter vise en række fundamentale egenskaber ved målelige afbildninger, hvoraf specielt egenskab (iv) og (v) er yderst nyttige, når man skal påvise målelighed af en givet afbildning. 25

26 .4.6 Sætning. Lad (,E),(Y,F) og (Z,H) være målelige rum, og lad f : Y og g: Y Z være afbildninger. (i) Systemet f (F) er en σ-algebra i ; den mindst mulige for hvilken f er målelig, når Y er udstyret med σ-algebraen F. (ii) Systemet A = {B Y f (B) E} er en σ-algebra i Y ; den størst mulige for hvilken f er målelig, når er udstyret med σ-algebraen E. (iii) For ethvert system D af delmængder af Y gælder der, at f (σ(d)) = σ( f (D)). (iv) Lad D være et frembringersystem for F. Da er f E-F-målelig, hvis bare f (D) E for alle D fra D. (v) Hvis f : Y er E-F-målelig, og g: Y Z er F-H-målelig, da er den sammensatte afbildning g f : Z E-H-målelig. Bevis. (i) Vi viser, at f (F) opfylder de tre betingelser (σ)-(σ3) for σ-algebraer i : (σ) = f (Y) f (F). (σ2) Antag, at A f (F), altså at A = f (B) for en passende mængde B fra F. Så følger det, at A c = ( f (B)) c = f (B c ) f (F), idet B c F. (σ3) Lad (A n ) være en følge af mængder fra f (F), dvs. for hvert n har vi, at A n = f (B n ) for en passende mængde B n fra F. Det følger da, at idet n N B n F. Dermed er (i) bevist. n N A n = n N f (B n ) = f ( n N B n ) f (F), (ii) Vi viser, at A opfylder betingelserne (σ)-(σ3) for σ-algebraer i Y : (σ) Y A, idet f (Y) = E. (σ2) Antag, at B A, altså at f (B) E. Så følger det også, at B c A, idet f (B c ) = ( f (B)) c E. 26

27 (σ3) Antag, at (B n ) er en følge af mængder fra A, altså at f (B n ) E for alle n. Så gælder der også, at n N B n A, idet f ( ) B n = f (B n ) E. Dermed er (ii) bevist. n N (iii) Bemærk først, at f (D) f (σ(d)), og da systemet f (σ(d)) ifølge (i) er en σ- algebra i, medfører dette ifølge (.3), at n N σ ( f (D) ) f ( σ(d) ). For at vise den modsatte inklusion bemærker vi først, at det følger fra (ii) (med E erstattet af σ( f (D))), at systemet A = { B Y f (B) σ( f (D)) } er en σ-algebra i Y. Da oplagt D A, har vi så også, at σ(d) A, hvilket betyder, at eller med andre ord at som ønsket. f (B) σ ( f (D) ) for alle B i σ(d), f ( σ(d) ) σ ( f (D) ), (iv) Antag, at f (D) E for alle mængder D fra D, altså at f (D) E. Ifølge (.3) medfører dette, at også E σ ( f (D) ) = f ( σ(d) ) = f (F), hvor vi i første lighedstegn benytter (iii). Men inklusionen f (F) E udtrykker netop, at f er E-F-målelig. (v) Antag, at f : Y er E-F-målelig, og at g: Y Z er E-H-målelig. For en vilkårlig mængde H fra H finder vi da, at (g f) (H) = {x g( f(x)) H} = {x f(x) g (H)} = f (g (H)) E, idet g (H) F. Dermed er sætningen bevist. Vi skal som det næste bevise, at enhver kontinuert funktion på R d er Borel-målelig. Vi erindrer om, at en funktion f : R d R m siges at være kontinuert, hvis x R d ε > δ > y R d : ρ 2 (x,y) < δ = ρ 2 ( f(y), f(x)) < ε, (.2) hvor vi i både R d og R m benytter metrikken ρ 2 indført ved (.6). Bemærk, at betingelsen (.2) alternativt kan formuleres vha. originalmængder som følger: x R d ε > δ > : b 2 (x,δ) f (b 2 ( f(x),ε)), (.22) hvor f.eks. b 2 (x,δ) som tidligere betegner ρ 2 -kuglen i R d med centrum x og radius δ. Følgende resultat er formentlig velkendt fra tidligere kurser. For fuldstændighedens skyld inkluderes et bevis. 27

28 .4.7 Lemma. En afbildning f : R d R m er kontinuert, hvis og kun hvis der for enhver delmængde G af R m gælder implikationen: G er åben i R m = f (G) er åben i R d. (.23) Bevis. Antag først, at f opfylder (.23), og lad x fra R d og ε i (, ) være givne. Da er f (b 2 ( f(x),ε)) en åben delmængde af R d, som indeholder x, og derfor findes et positivt δ, således at b 2 (x,δ) f (b 2 ( f(x),ε)). Dermed er (.22) opfyldt. Antag omvendt, at f : R d R m er kontinuert, lad G være en åben delmængde af R m, og lad x være et punkt fra f (G) (som naturligvis kan antages at være ikke-tom). Vi kan da vælge et positivt ε, således at b 2 ( f(x),ε) G, og til dette ε kan vi efterfølgende vælge et positivt δ i henhold til (.22), dvs. således at b 2 (x,δ) f (b 2 ( f(x),ε)) f (G). Da x var et vilkårligt punkt i f (G), er denne mængde således åben i R d..4.8 Sætning. Enhver kontinuert funktion f : R d R m er B(R d )-B(R m )-målelig. Bevis. Antag, at f : R d R m er kontinuert. Da systemet af åbne mængder i R m frembringer B(R m ), er det ifølge Sætning.4.6(iv) nok at vise, at f (G) B(R d ) for alle åbne mængder G i R m. Men hvis G er en åben delmængde af R m, så er f (G) en åben delmængde af R d ifølge Lemma.4.7, og specielt er f (G) således en Borel-mængde. I forbindelse med det næste resultat indfører vi nu for ethvert d i N koordinat-projektionerne p,..., p d : R d R givet ved p j (x,...,x d ) = x j, ((x,...,x d ) R d, j =,...,d). Disse funktioner er oplagt kontinuerte og dermed ifølge Sætning.4.8 B(R d )-B(R)-målelige. Betragt i det følgende et måleligt rum (,E). Bemærk så, at enhver funktion f : R d kan skrives (entydigt) på formen f = ( f,..., f d ), hvor f j = p j f : R for hvert j i {,...,d}..4.9 Sætning. En funktion f : R d er E-B(R d )-målelig, hvis og kun hvis koordinatfunktionerne p f,..., p d f : R alle er E-B(R)-målelige. 28

29 Bevis. Hvis f er E-B(R d )-målelig, da følger det umiddelbart fra Sætning.4.6(v), at de sammensatte funktioner f j = p j f er E-B(R)-målelige. Antag omvendt, at p j f er E-B(R)-målelig for alle j. For at vise at f er E-B(R d )-målelig, er det ifølge Sætning.4.6(iv) og Korollar.2.4 nok at vise, at f ( (,b ] (,b d ] ) E, for ethvert valg af b,...,b d fra R. Men dette følger af omskrivningen: f ( (,b ] (,b d ] ) = f ( d = d j= j= p j ((,b j ]) ) f ( p ( j (,bj ] )) = d (p j f) ( (,b j ] ), j= hvor sidste udtryk pr. antagelse er fællesmængden af d mængder fra E og dermed en mængde i E..4. Terminologi. En B(R d )-B(R m )-målelig afbildning f : R d R m kaldes ofte for en Borel-funktion..5 Målelige funktioner med værdier i R Den vigtigste klasse af målelige afbildninger på et givet måleligt rum (, E) er ikke overraskende klassen af E-B(R)-målelige funktioner f : R. Vi skal i dette afsnit særskilt studere denne klasse af funktioner..5. Notation & Terminologi. Lad (, E) være et måleligt rum. Vi benytter da følgende notation: M(E) = { f : R f er E-B(R)-målelig }. bm(e) = { f M(E) supx f(x) < }. M(E) + = { f M(E) f(x) for alle x i }. bm(e) + = { f M(E) + sup x f(x) < }. Funktionerne i M(E) + vil vi ofte betegne som værende positive fremfor det noget tungere (men mere korrekte) ikke-negative. 29

30 .5.2 Bemærkning. Ved anvendelse af Sætning.4.6(iv) og Sætning.2.2 fremgår det, at en funktion f : R tilhører M(E), hvis og kun hvis {x a < f(x) < b} = f ((a,b)) E for alle a,b i R, således at a < b, eller alternativt (jvf. Korollar.2.4) hvis og kun hvis {x f(x) b} = f ((,b]) E for alle b i R..5.3 Eksempel. Det følger fra Bemærkning.5.2, at enhver monoton funktion f : R R er element i M(B(R)). Antag nemlig f.eks., at f er voksende (dvs. f(t) f(s) når t s), og indfør så for hvert b i R tallet s( f,b) = sup{t R f(t) b}, med konventionen sup / =. For ethvert b i R gælder der nu, at /, hvis s( f,b) =, f (,s( f,b)], hvis s( f,b) R og f(s( f,b)) b, ((,b]) = (,s( f,b)), hvis s( f,b) R og f(s( f,b)) > b, R, hvis s( f,b) =. I alle tilfælde gælder der altså specielt, at f ((,b]) er en Borel-mængde, og dermed sikrer Bemærkning.5.2, at f er en Borel-funktion. Tilsvarende vises, at aftagende funktioner er Borel-funktioner. Alternativt kan man benytte, at hvis f er en aftagende funktion, så er f en voksende funktion, hvorefter man kan appellere til Sætning.5.4(ii) nedenfor. Vi skal nu vise, at klassen M(E) er stabil under de sædvanlige regneoperationer..5.4 Sætning. Lad (,E) være et måleligt rum. (i) Hvis f,..., f d : R er funktioner fra M(E), og hvis ϕ : R d R er B(R d )-B(R)- målelig, da er funktionen igen et element i M(E). ϕ( f,..., f d ): x ϕ( f (x),..., f d (x)): R (ii) Hvis f,g M(E) og c R, da er funktionerne c f, f + g, f g, f g, f g igen elementer i M(E). Specielt er M(E) et vektorrum. Bevis. (i) Antag, at f,..., f d : R er funktioner fra M(E), og at ϕ : R d R er en Borelfunktion. Betragt da afbildningen f : R d givet ved f(x) = ( f (x),..., f d (x)), (x ), 3

31 og bemærk, at f er E-B(R d )-målelig ifølge Sætning.4.9. Ved anvendelse af Sætning.4.6(v) kan vi derfor slutte, at den sammensatte afbildning er E-B(R)-målelig, som ønsket. (ii) Bemærk først, at ϕ( f,..., f d ) = ϕ f f + g = ϕ ( f,g), f g = ϕ 2 ( f,g), f g = ϕ 3 ( f,g), f g = ϕ 4 ( f,g), (.24) hvor ϕ,ϕ 2,ϕ 3,ϕ 4 : R 2 R er funktionerne givet ved ϕ (x,y) = x+y, ϕ 2 (x,y) = x y, ϕ 3 (x,y) = x y, ϕ 4 (x,y) = x y, (x,y R). Idet funktionerne ϕ,ϕ 2,ϕ 3,ϕ 4 alle er kontinuerte og dermed B(R 2 )-B(R)-målelige (jvf. Sætning.4.8), følger det ved anvendelse af (i), at funktionerne i (.24) alle er elementer i M(E). At også c f M(E), ses f.eks. ved at skrive c f = g f, hvor g: R er funktionen givet ved g(x) = c, (x ), som oplagt tilhører M(E). Dermed er sætningen vist..5.5 Eksempel. Antag, at f,g er to funktioner fra M(E). Da er mængderne {x f(x) = g(x)}, {x f(x) g(x)} og {x f(x) > g(x)} alle elementer i E. Dette følger umiddelbart ved at skrive disse mængder som hhv. ( f g) ({}), ( f g) ([, )) og ( f g) ((, )), hvor f g M(E) ifølge Sætning.5.4(ii)..6 Målelighed ved grænseovergang Vi skal i dette afsnit undersøge spørgsmålet om målelighed af bl.a. sup n N f n samt lim f n for en følge ( f n ) af funktioner fra M(E). I den forbindelse kommer vi uundgåeligt til at betragte funktioner, der antager værdier i den udvidede reelle akse R givet ved R = [, ] = R {, }. Vi skal derfor først og fremmest tage stilling til, hvilken (kanonisk) σ-algebra, det er hensigtsmæssigt at forsyne R med..6. Definition. Vi udstyrer R med σ-algebraen B(R) frembragt af systemet af delmængder af R. {[,a] a R} 3

32 .6.2 Bemærkninger. () Hvis vi udstyrer R med metrikken ρ(x,y) = Arctan(x) Arctan(y), (x,y R) (med konventionerne Arctan(± ) = ± 2 π ), kan man vise, at B(R) netop er den tilhørende Borel-algebra, dvs. B(R) er frembragt af det til ρ svarende system af åbne delmængder af R. Udover at motivere notationen B(R) har dette resultat ingen anvendelse i indeværende kursus, og vi skal derfor ikke komme ind på beviset her. (2) Enhver delmængde A af R kan naturligvis også opfattes som en delmængde af R, som vi tentativt kan betegne med A. Tilsvarende kan vi for en delmængde B af R betragte fællesmængden B R som en delmængde af (grundmængden) R, som vi tentativt betegner med (B R). Med denne notation har vi følgende konkrete beskrivelse af B(R): B(R) = { B R (B R) B(R) } = { A S A B(R), S {, } }. Vi beviser denne beskrivelse i Lemma.6.3 nedenfor. Det bliver imidlertid for tungt at slæbe rundt på operationerne og, og fremover vil vi derfor underforstå dem og altså blot skrive A (hhv. B R) i stedet for A (hhv. (B R) ). Det skulle så gerne fremgå af sammenhængen, om de betragtede mængder opfattes som delmængder af R eller af R. Vi benytter disse konventioner allerede i formuleringen af Lemma Lemma. Med konventionerne fra Bemærkning.6.2(2) har vi følgende konkrete beskrivelse af B(R): B(R) = { B R B R B(R) } = { A S A B(R), S {, } }. (.25) Bevis. Det andet lighedstegn i (.25) følger umiddelbart af (overvej!), at der for enhver delmængde B af R gælder, at B = (B R) S, hvor S = B \R {, }. For at vise første lighedstegn i (.25) indfører vi indlejringen ι : R R givet ved ι : R x x R. For enhver delmængde B af R gælder der da, at ι (B) = B R. Hvis vi definerer D := {[,a] a R}, så følger det fra Sætning.4.6(iii), at ι (B(R)) = ι (σ(d)) = σ(ι (D)) = σ({(,a] a R}) = B(R), (.26) hvor vi til sidst benytter Korollar.2.4. For enhver mængde B fra B(R) har vi således, at B R = ι (B) B(R), hvilket viser inklusionen i første lighedstegn i (.25). For at vise den modsatte inklusion er det pga. andet lighedstegn i (.25) nok at vise, at A B(R) for alle A i B(R), og at S B(R) for alle delmængder S af {, }. Det sidste følger af, at { } = [, n] B(R), og { } = [,n] c B(R). n N 32 n N

33 For en givet mængde A fra B(R) kan vi ifølge (.26) vælge en mængde B fra B(R), således at A = ι (B) = B R = B (R \ {, }), som sammenholdt med ovenstående viser, at A B(R). Dermed er lemmaet vist..6.4 Definition. Lad (, E) være et måleligt rum. Systemet af E-B(R)-målelige funktioner f : R betegnes med M(E), altså M(E) = { f : R f er E-B(R)-målelig}..6.5 Bemærkninger. () Det følger fra definitionen af B(R) og Sætning.4.6(iv), at en funktion f : R tilhører M(E), hvis og kun hvis {x f(x) a} E for alle a i R. Til senere brug bemærkes, at i bekræftende fald bliver også funktionen f element i M(E) som følge af omskrivningen: {x f(x) a} = {x f(x) a} = \ {x f(x) < a} ( = \ {x f(x) a n ). } (2) Da R R kan vi naturligvis opfatte en funktion f : R som en funktion, der antager værdier i R. Formelt betragter vi da funktionen ι f, hvor ι : R R er indlejringen givet ved ι : R x x R, n N som vi også betragtede i beviset for Lemma.6.3. For alle a i R og x i gælder der oplagt, at ι f(x) a, hvis og kun hvis f(x) a, og sammenholdes dette med () ovenfor samt Bemærkning.5.2, så fremgår det, at f M(E) ι f M(E). (.27) I overensstemmelse med Bemærkning.6.2(2) vil vi normalt underforstå indlejringen ι og blot skrive f i stedet for ι f, selvom vi opfatter f som en funktion med værdier i R. Med disse konventioner indebærer (.27), at vi har den uformelle inklusion: M(E) M(E). For en følge ( f n ) af funktioner defineret på en mængde og med værdier i R skal vi i det følgende f.eks. betragte funktionen inf n N f n : R defineret ved ( ) inf f n (x) = inf f n(x), (x ). n N n N Funktionerne sup n N f n, liminf n N f n og limsup n N f n indføres analogt. 33

34 .6.6 Sætning. Lad (,E) være et måleligt rum, og lad ( f n ) n N være en følge af funktioner fra M(E). Da er funktionerne inf f n, n N sup f n, n N liminf f n og limsup f n igen elementer i M(E). Bevis. For at vise at sup n N f n M(E), er det ifølge Bemærkning.6.5() nok at vise, at { } x sup f n (x) b E n N for alle b i R. Og dette følger af omskrivningen { } x sup f n (x) b = {x f n (x) b}, n N n N idet højresiden er en tællelig fællesmængde af mængder fra E. Det følger derefter ved anvendelse af Bemærkning.6.5(), at også inf n N f n M(E), idet ( ) inf f n = ( f n ). n N For hvert n i N gælder der derfor også, at funktionen g n := inf k n f k tilhører M(E), og dermed følger det videre, at også ( ) lim inf f n = sup inf f k = supg n M(E). n N k n n N sup n N Endnu en anvendelse af Bemærkning.6.5() sikrer endelig, at også hvilket afslutter beviset. lim sup f n = liminf ( f n) M(E),.6.7 Korollar. (i) Lad ( f n ) være en følge af funktioner fra M(E), og antag, at ( f n ) er punktvis konvergent i R, altså at f(x) := lim f n (x) eksisterer i R for alle x i. Da er grænsefunktionen f igen element i M(E). (ii) Lad ( f n ) være en følge af funktioner fra M(E), og antag, at ( f n ) er punktvis konvergent i R, altså at f(x) := lim f n (x) eksisterer i R for alle x i. Da er grænsefunktionen f igen element i M(E). 34

35 Bevis. (i) Da ( f n ) er punktvist konvergent i R, gælder der, at f(x) = liminf f n(x) for alle x i, og det følger umiddelbart fra Sætning.6.6, at f er E-B(R)-målelig. (ii) Ifølge Bemærkning.6.5(2) kan vi for hvert n opfatte f n som en funktion i M(E), og det følger da fra (i), at f (opfattet som funktion med værdier i R) igen er E-B(R)-målelig. Pr. antagelse antager f imidlertid kun værdier i R, og det følger så igen fra Bemærkning.6.5(2), at f faktisk er E-B(R)-målelig..6.8 Sætning. Lad f,g være funktioner fra M(E), og lad c være en konstant i R. Da gælder der, at (i) Funktionerne c f, f g, f g og f g er igen elementer i M(E). (ii) Hvis og {x f(x) = } {x g(x) = } = /, {x f(x) = } {x g(x) = } = /, da er funktionen f + g veldefineret og igen et element i M(E). Bevis. For hvert n i N definerer vi funktionerne f n,g n : R ved n, hvis f(x) > n n, hvis g(x) > n f n (x) = f(x), hvis f(x) [ n,n] og g n (x) = g(x), hvis g(x) [ n, n] n hvis f(x) < n, n hvis g(x) < n, og vi bemærker, at f n,g n M(E) for alle n. For a i R har vi nemlig, at, hvis a n {x f n (x) a} = {x f(x) a}, hvis a [ n,n) /, hvis a < n, hvor alle mængderne på højresiden er elementer i E. Tilsvarende ses, at g n M(E). Vi bemærker endvidere, at f(x) = lim f n (x), og g(x) = lim g n (x) for alle x i, hvilket følger umiddelbart af definitionerne af f n og g n. (i) Vi nøjes med at vise, at f g M(E), idet argumenterne for, at de øvrige funktioner i (i) er E-B(R)-målelige, forløber ganske tilsvarende. Ifølge Sætning.5.4 har vi, at f n g n M(E), og dermed også at f n g n M(E) for alle n (jvf. Bemærkning.6.5(2)). Vi bemærker nu, at f(x)g(x) = lim f n (x)g n (x) for alle x i, (.28) 35

36 hvor man specielt skal overveje tilfældene, hvor f(x) {± }, og g(x) = (eller omvendt), samt tilfældene hvor f(x), g(x) {± }. Det følger herefter umiddelbart fra (.28) og Korollar.6.7, at f g M(E). (ii) Antag, at begge mængderne i (ii) er tomme, således at summen f(x)+g(x) er veldefineret for alle x i. Endvidere gælder der så, at f(x)+g(x) = lim ( f n (x)+g n (x)) for alle x i. (.29) For hvert n giver Sætning.5.4, at f n + g n M(E), og dermed at f n + g n M(E) (jvf. Bemærkning.6.5(2)). Derfor viser (.29) sammen med Korollar.6.7, at f + g M(E), som ønsket..6.9 Bemærkning. I tilfældet, hvor g er den konstante funktion g, viser Sætning.6.8 specielt, at funktionerne f + = f og f = ( f ), er elementer i M(E) + for enhver funktion f fra M(E). Funktionerne f + og f betegnes hhv. positiv-delen og negativ-delen af f, og de spiller en vigtig rolle i definitionen af Lebesgueintegralet i Kapitel 2 som følge af relationerne: f = f + f, og f = f + + f, der specielt viser, at enhver funktion f fra M(E) kan skrives som differensen af to funktioner fra M(E) +, samt at f M(E) + for alle f i M(E). Bemærk her, at differensen f + f altid er veldefineret, eftersom f + (x) f (x) = for alle x i. Vi noterer også de nyttige sammenhænge: ( f) + = ( f) = ( f ) = f, og ( f) = ( ( f)) + = f Eksempel. Antag, at f,g M(E). Da er mængderne {x f(x) = g(x)}, {x f(x) g(x)} og {x f(x) > g(x)} alle elementer i E. Her kan vi imidlertid ikke som i Eksempel.5.5 uden videre betragte differensen f g, da den ikke nødvendigvis er veldefineret. Men hvis vi indfører funktionerne f n og g n som i beviset for Sætning.6.8, da følger det umiddelbart, at {x f(x) = g(x)} = {x f n (x) = g n (x)} = ( f n g n ) ({}) E, n N idet f n,g n M(E) for alle n. Tilsvarende følger det, at {x f(x) g(x)} E, og mængden {x f(x) > g(x)} kan derefter klares ved mængdedifferens. Selvom en følge ( f n ) af funktioner fra M(E) ikke er konvergent (i R) for alle x i, kan det alligevel være nyttigt at indføre en slags grænsefunktion f, der stemmer overens med lim f n (x), når denne grænseværdi eksisterer (i R), og som igen er en E-målelig funktion. n N 36

37 .6. Korollar. Lad (,E) være et måleligt rum, og lad ( f n ) n N være en følge af funktioner fra M(E). Da gælder der, at C := { x lim f n (x) eksisterer i R } E, og funktionen f : R defineret ved { lim f n (x), hvis x C, f (x) =, hvis x \C, er igen et element i M(E). Bevis. At C E følger af omskrivningen: C = { x liminf f n (x) = limsup f n (x) } { x liminf f n (x) R } ved anvendelse af Eksempel.6. og Sætning.6.6. For at vise, at f er E-B(R)-målelig, definerer vi først en ny følge ( f n ) af funktioner ved f n (x) = f n (x) C (x), (x, n N). Vi bemærker så, at f (x) = lim f n (x) for alle x i. (.3) Da C E, følger det, at C M(E) (jvf. Eksempel.4.4), og dermed sikrer Sætning.5.4, at f n M(E) for alle n. Derfor viser (.3) sammen med Korollar.6.7, at f M(E), som ønsket..7 Målelighed i delrum Lad (,E) være et måleligt rum. Ofte er man i den situation, at man betragter en funktion f, der kun er defineret på en delmængde A af, og det er nyttigt at kunne diskutere målelighed af sådanne funktioner. Dette forudsætter naturligvis, at man i første omgang har udstyret A med en passende σ-algebra. En del af overvejelserne er analoge til dem, vi gjorde os, i forbindelse med inklusionen R R..7. Definition. Lad (, E) være et måleligt rum, og lad A være en vilkårlig ikke-tom delmængde af. Betragt endvidere indlejringen ι A : A, givet ved ι A : A x x. Den af E nedarvede σ-algebra på A er da σ-algebraen E A i A defineret ved E A = ι (E) = {ι (B) B E}. A A 37

38 Hvis man har fulgt i kursus i topologi, vil man naturligt betragte den nedarvede σ-algebra som en analog til begrebet spor topologi..7.2 Bemærkninger. () Det følger umiddelbart fra (i) i Sætning.4.6, at E A er en σ- algebra i A; den mindste som gør ι A målelig, når er udstyret med E. For en delmængde B af gælder der, at ιa (B) = A B, hvis højresiden opfattes som en delmængde af grundmængden A. Med denne konvention kan man således skrive E A = {A B B E}. Det fremgår specielt, at der gælder E A E A E, hvis vi på venstresiden opfatter E A, som et system af delmængder af. (2) Det følger umiddelbart fra Sætning.4.6(iii), at hvis D er et frembringersystem for E, da er systemet (D) = {ι (B) B D}, et frembringersystem for E A. ι A A (3) Hvis (Y,F) er endnu et måleligt rum, og f : Y er en E-F-målelig afbildning, kan vi betragte restriktionen f A : A Y givet ved f A (x) = f(x), (x A). Idet f A = f ι A, følger det umiddelbart fra Sætning.4.6(v), at f A er E A -F-målelig. Følgende resultat er ofte anvendeligt til at påvise målelighed af en givet funktion. Resultatet omtales ofte som Tuborg resultatet..7.3 Sætning. Lad (,E) og (Y,F) være målelige rum, og lad A,...,A k være disjunkte mængder fra E, således at = k j= A j. Betragt endvidere en funktion f : Y givet ved en Tuborg-forskrift : f (x), hvis x A f 2 (x), hvis x A 2 f(x) = (.3)... f k (x), hvis x A k, for givne funktioner f j : A j Y, j =,...,k. Hvis der for alle j gælder, at f j er E A j -F-målelig, da er afbildningen f E-F-målelig. 38

39 Bevis. Antag, at f j : A j Y er E A j -F-målelig for alle j. For en vilkårlig mængde B fra F finder vi så, at f (B) = k {x A j f j (x) B} = k f j (B) E, j= hvor vi til sidst benytter at f j (B) E A j E for alle j, idet A j E (jvf. Bemærkning.7.2()). Dermed er sætningen vist. I tilfældet hvor (,E) = (R d,b(r d )) kommer man ofte ud for at betragte funktioner f : R d R m givet på formen (.3), hvor funktionerne f,..., f k enkeltvis vides at være kontinuerte. For at kunne udlede målelighed i dette tilfælde er vi nødt til først at indføre og studere Borelalgebraerne i A,...,A k. Hvis A er en delmængde af R d kan man på naturlig måde indføre et afstandsbegreb på A ved at definere afstanden ρ A (x,y) mellem to punkter x og y fra A som afstanden mellem x og y opfattet som punkter i R d. Formelt har vi altså: ρ A (x,y) = ρ 2 (ι A (x),ι A (y)), j= (x,y A), hvor ρ 2 som i Afsnit.2 betegner den sædvanlige afstand på R d. De til ρ A svarende kugler er så givet ved b A (x,r) = {y A ρ A (x,y) < r} = ι A (b 2(x,r)), (.32) for x i A og r >, og hvor b 2 (x,r) betegner den sædvanlige kugle i R d mht. ρ 2 : b 2 (x,r) = {y R d ρ 2 (x,y) < r}..7.4 Definition. Lad A være en ikke-tom delmængde af R d. (a) En delmængde G af A siges da at være åben (mht. ρ A ), hvis den opfylder følgende betingelse: x G r > : b A (x,r) G. Systemet af åbne delmængder af A betegnes med G(A). (b) Borel-algebraen i A er σ-algebraen B(A) i A defineret ved B(A) = σ ( G(A) ). Følgende lemma karakteriserer de åbne delmængder af A i termer af de åbne delmængder af R d..7.5 Lemma. Lad A være en ikke-tom delmængde af R d. Da gælder der, at G(A) = {ι (G) G G} = {A G G G}, A hvor G som i Afsnit.2 betegner systemet af åbne mængder i R d. 39

40 Bevis. Lad først G være en åben delmængde af R d, lad x være et punkt i ιa (G), og bemærk, at x = ι A (x) G. Da G er åben i R d, findes r >, således at b 2 (x,r) G, og det følger så fra (.32), at b A (x,r) = ιa (b 2(x,r)) ι (G), hvilket viser, at ιa (G) er åben i A. Lad omvendt D være en åben delmængde af A. For hvert x i D kan vi da vælge r x >, således at b A (x,r x ) D. Betragt nu følgende delmængde G af R d : G = x D b 2 (x,r x ), og bemærk, at G er en åben delmængde af R d (idet enhver foreningsmængde af åbne delmængder af R d igen er en åben delmængde af R d ). Vi finder derpå via (.32), at ιa (G) = ιa (b 2(x,r x )) = b A (x,r x ) = D, x D x D og vi har dermed fremstillet D på den ønskede form..7.6 Sætning. Lad A være en ikke-tom delmængde af R d. Da er Borel-algebraen på A identisk med den af B(R d ) nedarvede σ-algebra på A, dvs. B(A) = B(R d ) A. Bevis. Ved anvendelse af Bemærkning.7.2(2) samt Lemma.7.5 finder vi, at som ønsket. B(R d ) A = σ ( {ιa (G) G G}) = σ ( G(A) ) = B(A), Lad A være en ikke-tom delmængde af R d. En funktion f : A R m siges at være kontinuert, hvis x A ε > δ > y A: ρ A (x,y) < δ = ρ 2 ( f(y), f(x)) < ε. (.33) I analogi med Sætning.4.7 har vi følgende resultat:.7.7 Lemma. Lad A være en ikke-tom delmængde af R d. En funktion f : A R m er kontinuert, hvis og kun hvis f (G) G(A) for enhver åben mængde G i R m. (.34) Bevis. Beviset følger ordret som beviset for Sætning.4.7, idet man blot skal erstatte R d med A som grundmængden samt metrikken ρ 2 på R d med ρ A. 4

41 .7.8 Korollar. (i) Lad A være en ikke-tom delmængde af R d. Da er enhver kontinuert funktion f : A R m B(R d ) A -B(R m )-målelig. (ii) Lad A,...,A k være disjunkte Borel-mængder i R d, således at R d = k j= A j, og betragt en funktion f : R d R m givet ved en Tuborg-forskrift : f (x), hvis x A f 2 (x), hvis x A 2 f(x) =... f k (x), hvis x A k, hvor funktionerne f j : A j R m, j =,...,k alle er kontinuerte. Da er f B(R d )-B(R m )- målelig. Bevis. (i) Antag, at f : A R m er kontinuert. Ifølge Sætning.4.6(iv) er det nok at vise, at f (G) B(R d ) A for enhver åben delmængde G af R m. Men for en sådan mængde G har vi ifølge Lemma.7.7 og Sætning.7.6, at f (G) G(A) σ(g(a)) = B(A) = B(R d ) A, som ønsket. (ii) Dette følger umiddelbart ved at sammenholde (i) med Sætning Simple funktioner Vi skal i dette afsnit studere de såkaldte simple (og målelige) funktioner på et måleligt rum (,E). Disse funktioner er ikke i sig selv specielt interessante, men ofte er det simpelt(!) at påvise bestemte egenskaber og identiteter for de simple funktioner. Samtidig kan man ifølge Sætning.8.3 nedenfor approksimere en vilkårlig målelig funktion med en følge af simple målelige funktioner, og ved anvendelse af dette er det ofte muligt at overføre gyldigheden af den betragtede egenskab eller identitet fra de simple funktioner til alle målelige funktioner. Den her beskrevne metode spiller en væsentlig rolle i konstruktionen af Lebesgue-integralet i næste kapitel, og den benyttes så tit indenfor mål- og integralteori, at den ofte betegnes som standardbeviset. I Opgave.9.3 etableres nogle meget konkrete formuleringer af standard-beviset..8. Definition. En funktion s: R siges at være en simpel funktion, hvis den kun antager endeligt mange forskellige værdier, dvs. hvis værdimængden er på formen {a,...,a n } for passende n i N og forskellige reelle tal a,...,a n. Med SM(E) betegnes klassen af simple E-B(R)-målelige funktioner s: R og med SM(E) + klassen af ikke-negative funktioner i SM(E). 4

42 .8.2 Bemærkninger. Lad (,E) være et måleligt rum. () Det følger umiddelbart fra definitionen af simple funktioner samt Sætning.5.4, at SM(E) er et vektorrum (over R), altså at linearkombinationer af simple målelige funktioner fører til nye sådanne. (2) En simpel funktion s: R kan entydigt skrives på formen s(x) = n a j A j (x), j= (x ), hvor n N, < a < a 2 < < a n <, og A,...,A n er disjunkte, ikke-tomme delmængder af, således at n j= A j =. I denne situation gælder der, at A j = {x s(x) = a j }, ( j =,...,n), og specielt fremgår det, at s SM(E), hvis og kun hvis A j E for alle j i {,...,n}. (3) Hvis A,...,A n er vilkårlige delmængder af, og a,...,a n er vilkårlige reelle tal, da definerer udtrykket n s(x) = a j A j (x), (.35) j= oplagt en funktion s, der kun antager endeligt mange værdier, dvs. en simpel funktion. Vi bemærker dog, at den samme funktion s kan have mange forskellige fremstillinger på formen (.35). Eksempelvis kan vi i tilfældet = R skrive R\[,] (x)+ [,] (x) = [,] (x) = 2 [,] (x) [,2] (x)+ (,2] (x) [,) (x), hvor venstresiden er formen fra (2). (4) Det vil vise sig nyttigt for os at betragte repræsentationer på formen (.35) af en lidt mere generel type end den givet i (2). Lad s være en funktion i SM(E) skrevet på formen s(x) = n a j A j (x), (x ) (.36) j= som i (3). Vi siger da, at (.36) er en standard-repræsentation af s, hvis A,...,A n er disjunkte mængder fra E, og n j= A j =. Bemærk, at den samme funktion s kan have mange forskellige standard-repræsentationer, idet det ikke forudsættes, at a,...,a n er forskellige, eller at A j /. Vi skal som det næste vise, at enhver funktion f fra M(E) kan approksimeres punktvist med en følge (s n ) af funktioner fra SM(E). Resultatet gælder naturligvis også for funktioner f fra M(E) som følge af (den uformelle) inklusion: M(E) M(E) (jvf. Bemærkning.6.5(2))..8.3 Sætning. Lad f være en funktion fra M(E). Så findes en følge (s n ) af funktioner fra SM(E), således at 42

43 (i) f(x) = lim s n (x) for alle x i. (ii) s n (x) f(x) for alle n i N og alle x i. Hvis f, så kan følgen (s n ) vælges således, at der yderligere gælder (iii) s (x) s 2 (x) s 3 (x) for alle x i. Bevis. Vi starter med at betragte tilfældet, hvor f. For hvert n i N definerer vi da funktionen s n : R ved { j s n (x) = 2 n, hvis f(x) [ j 2 n, j 2 n ) for et j i {,2,...,n2 n }, n, hvis f(x) n. { j = 2 n, hvis x f ([ j 2 n, j 2 n )) for et j i {,2,...,n2 n }, n, hvis x f ([n, ]). f 2 s_2 Figur 2: Approksimationen s 2 af en ikke-negativ funktion f. Det følger fra Sætning.7.3, at s n SM(E) for alle n, og definitionen af s n sikrer umiddelbart, at s n f for alle n. Det fremgår endvidere fra definitionen, at f(x) s n (x) 2 n, hvis f(x) [,n), og at s n (x) = n, hvis f(x) n. 43

44 Dermed følger det umiddelbart, at lim s n(x) = f(x) for alle x i. For endelig at vise at s n (x) s n+ (x), bemærker vi, at dette er oplagt fra definitionen af disse funktioner, hvis f(x) n+. Og hvis f(x) [,n), så har vi, at for et j i {,2,...,n2 n }, og dermed at Hvis endelig har vi, at f(x) [ j 2 n, j 2 n ) = [ 2( j ) 2 n+, 2 j 2 n+ ) [ 2 j 2 n+, 2 j ) 2 n+ s n (x) = j 2 n, og s n+ (x) { j 2 n, 2 j 2 n+ }. f(x) [n,n+) = (n+)2n+ [ j, j=n2 n+ 2 n+ + j 2 n+ ), s n (x) = n, og s n+ (x) n2n+ = n. 2n+ Dermed har vi vist sætningen, i tilfældet hvor f. For en generel funktion f i M(E) benytter vi, at f = f + f, hvor f +, f M(E) + (jvf. Bemærkning.6.9). Ifølge det ovenfor viste kan vi så vælge følger (t n ) og (u n ) af funktioner fra SM(E), således at for alle x i, og således at lim t n(x) = f + (x), og lim u n (x) = f (x) t n (x) t n+ (x) f + (x), og u n (x) u n+ (x) f (x) for alle n i N og x i. For hvert n i N definerer vi nu og det følger så, at for alle x i, samt at s n = t n u n SM(E), f(x) = f + (x) f (x) = lim t n (x) lim u n (x) = lim s n (x) s n (x) t n (x)+u n (x) f + (x)+ f (x) = f(x) for alle n i N og x i. Hermed er sætningen vist. I forbindelse med udsagnene i Sætning.8.3 er det bekvemt at indføre følgende 44

45 .8.4 Notation & Terminologi. Betragt for hvert n i N en funktion f n : R, og lad f : R være endnu en sådan funktion. Vi siger da, at f n konvergerer punktvist mod f for n, og vi skriver f n f for n, hvis f n (x) f(x) for alle x i. f n vokser punktvist mod f for n, og vi skriver f n f for n, hvis f (x) f 2 (x) f 3 (x), og f n (x) f(x) for alle x i..9 Opgaver til Kapitel.9. Opgave. Betragt metrikkerne ρ 2 og ρ på R d (jvf. formlerne (.6) og (.7)). (a) Vis, at ρ ér en metrik på R d (se evt. Appendix A.6 for definitionen). (b) Tegn i tilfældet d = 2 kuglerne b ρ2 (,2) = {x R 2 ρ 2 (,x) < 2}, og b ρ (,2) = {x R 2 ρ (,x) < 2}. (c) Vis (for generelt d), at for alle x,y i R d. ρ (x,y) ρ 2 (x,y), og ρ 2 (x,y) dρ (x,y), (c) Vis, at der for vilkårlige x i R d og r i (, ) gælder, at b ρ2 (x,r) b (x,r), og b (x,d /2 r) b ρ2 (x,r). Tegn endvidere eksempler på disse inklusioner i tilfældet d = 2. (d) Vis, at ρ 2 og ρ er ækvivalente i den forstand, at en delmængde G af R d er åben med hensyn til ρ 2, hvis og kun hvis den åben med hensyn til ρ..9.2 Opgave. Lad ρ betegne en metrik på R d. En delmængde T af R d siges at være tæt i R d med hensyn til ρ, hvis b ρ (x,r) T / for alle x i R d og alle r i (, ). (a) Vis, at Q er en tæt delmængde af R med hensyn til det sædvanlige afstandsbegreb på R. (b) Vis, at Q d er tæt i R d med hensyn til begge metrikkerne ρ og ρ 2 (jvf. formlerne (.6) og (.7))..9.3 Opgave. Redegør for, at ethvert interval i R (begrænset eller ubegrænset; åbent, halvåbent eller lukket) er en Borel-mængde i R. 45

46 .9.4 Opgave. Betragt følgende systemer af delmængder af R: F = {F R F er lukket}, K = {K R K er kompakt}, I = {(a,b] a,b R, a < b}, J = {(a,b] a,b Q, a < b}, og husk, at en delmængde af R er kompakt, hvis og kun hvis den er lukket og begrænset. Vis nu, at systemerne F, K, I og J hver især frembringer Borel-algebraen B(R)..9.5 Opgave. Betragt følgende system af delmængder af R: A = {A R A eller A c er endelig}. Vis, at A er en (mængde-) algebra men ikke en σ-algebra..9.6 Opgave. Lad være en ikke-tom mængde, og lad B være en delmængde af. Vis da, at systemet E B := {A B A eller B A c } er en σ-algebra i..9.7 Opgave. Betragt mængden = {, 2, 3, 4}, og delmængderne A = {,2}, A 2 = {3,4}, A 3 = {2,3,4}. (a) Vis, at σ({a,a 2,A 3 }) = σ({{},{2},{3,4}}), og opskriv derefter eksplicit alle mængderne i denne σ-algebra. (b) Samme opgave som (a), idet A,A 2,A 3 nu opfattes som delmængder af grundmængden = N..9.8 Opgave. Lad (A n ) n N være en følge af tællelige delmængder af R. (a) Redegør for, at mængden B := R \( n N A n ) er overtællelig. (b) Vis, at σ({a n n N}) E B, hvor E B er σ-algebraen indført i Opgave.9.6. (c) Lad x være et element fra B. Vis da, at {x} / σ({a n n N}). (d) Betragt σ-algebraen E fra Eksempel..4(D), altså E = {A R A eller A c er tællelig}. Vis da, at hvis E er tælleligt frembragt (jvf. Definition..8(b)), så findes en følge (A n ) n N af tællelige delmængder af R, således at E = σ({a n n N}). (e) Vis, at E ikke er tælleligt frembragt. (f) Vis, at E B(R), og sammenhold dette med, at B(R) er tælleligt frembragt. 46

47 .9.9 Opgave. Lad betegne en ikke-tom mængde og lad (A n ) n N være en følge af mængder fra. Betragt endvidere mængderne og (a) Vis, at (b) Vis, at lim inf A n := n= k=n lim supa n := n= k=n n= A k = {x x A n for alle n fra et vist trin} A k = {x x A n for uendeligt mange n}. A n liminf A n limsupa n A n. n= lim inf A n = A n = limsupa n, n= hvis (A n ) er en voksende følge, dvs. hvis A A 2 A 3. (c) Vis, at lim inf A n = A n = limsupa n, n= hvis (A n ) er en dalende følge, dvs. hvis A A 2 A 3. (d) Antag, at = R, og at A n = [,x n ] for alle n, hvor (x n ) er en begrænset følge af positive tal. Vis da, at [ ) [,limsupx n limsupa n,limsupx n ]..9. Opgave. Betragt en ikke-tom grundmængde, og lad A og B være delmængder af. Lad endvidere (A n ) være en følge af delmængder af. (a) Angiv indikatorfunktionerne for mængderne A B, A B og A \ B ud fra indikatorfunktionerne for A og B. (b) Angiv indikatorfunktionerne for hver af mængderne n N A n, n N A n, limsup A n og liminf A n ud fra indikatorfunktionerne for A n, n N..9. Opgave. Lad (,E, µ) være et målrum, og antag, at µ er et endeligt mål, det vil sige, at µ() <. (a) Vis, at µ(a B) = µ(a)+µ(b) µ(a B) for vilkårlige mængder A,B fra E. (b) Overvej om resultatet i (a) også gælder, hvis µ ikke er et endeligt mål. (c) Find en betingelse på A og B (i forhold til µ), som sikrer, at formlen i (a) holder, uanset om µ er endeligt eller ej..9.2 Opgave. Lad være en ikke-tom mængde, lad a være et element i, og definér afbildningen δ a : P() [, ] ved ligningen: {, hvis a / A, δ a (A) =, hvis a A 47

48 for ethvert A i P(). Vis, at δ a er et mål på P() (jvf. Eksempel.3.3(C))..9.3 Opgave. Lad (,E, µ) være et målrum, og lad A være en udvalgt mængde fra E. Vis da, at der ved ligningen µ A k (B) = µ(b A), (B E), defineres et mål µ A k på E (jvf. Eksempel.3.3(D))..9.4 Opgave. Lad (,E) være et måleligt rum, lad (µ n ) være en følge af mål på (,E), og lad (a n ) være en følge af tal fra [, ). Vis da, at der ved ligningen: defineres et mål µ på E. µ(a) = a n µ(a), n= (A E),.9.5 Opgave. Lad (,E, µ) være et målrum, og lad (B n ) være en følge af mængder fra E. (a) Vis, at der altid gælder ulighederne: ( µ og n N B n ) inf n N µ(b n), ( ) µ B n sup µ(b n ). n N n N (b) Vis, at hvis (B n ) er en aftagende følge af mængder, så gælder der altid uligheden: ( ) µ B n lim µ(b n ) (jvf. Sætning.3.4(vi)). n N.9.6 Opgave. (Det første Borel-Cantelli Lemma) Lad (, E, µ) være et målrum, og antag, at µ er et endeligt mål. Lad endvidere (A n ) være en følge af mængder fra E, og betragt mængden lim supa n = n N k n A k = {x x A n for uendeligt mange n}. (a) Vis, at og udled derpå, at ( ) ( µ lim supa n = lim µ A k ), k n ( µ ) lim supa n lim k=n µ(a k ). (b) Vis implikationen: ( ) µ(a n ) < = µ lim supa n =. (.37) n= Dette resultat omtales ofte som det første Borel-Cantelli Lemma. 48

49 (c) Vis, f.eks. vha. Opgave.9.5, at implikationen (.37) også gælder, selvom µ ikke er et endeligt mål..9.7 Opgave. Betragt målrummet (R, B(R), λ), hvor λ er Lebesgue målet på R. Lad videre B være en vilkårlig Borel mængde i R, og betragt så funktionen f : (, ) [, ) givet ved f(x) = λ(b ( x,x]), (a) Vis, at f er voksende og kontinuert. (x (, )). (b) Bestem grænseværdierne lim x f(x) og lim x f(x). (c) Vis, at for ethvert reelt tal a i [,λ(b)] findes en Borel mængde A, således at A B og λ(a) = a..9.8 Opgave. Betragt det målelige rum (R,E), hvor E = {A R A eller A c er tællelig} (jvf. Eksempel..4(D)). Vis da, at der ved ligningen {, hvis A er tællelig µ(a) =, hvis A c er tællelig defineres et mål µ på E. Vis derpå, at µ ikke er σ-endeligt..9.9 Opgave. Lad (,E) være et måleligt rum, og lad µ : E [, ] være en ikke-negativ mængdefunktion. Vis da, at µ er et mål, hvis og kun hvis den opfylder følgende tre betingelser: (i) µ(/) =. (ii) µ(a B) = µ(a)+µ(b) for alle disjunkte mængder A og B fra E. (iii) µ( n N A n ) = lim µ(a n ), for enhver voksende følge (A n ) af mængder fra E. Vis desuden, at hvis µ() <, så er µ et mål, hvis og kun hvis den opfylder (i), (ii) og følgende betingelse: (iv) µ( n N B n ) = lim µ(b n ) for enhver aftagende følge (B n ) af mængder fra E..9.2 Opgave. Lad være en ikke-tom mængde, og lad A være en delmængde af. Bestem da klassen M(E) af E-B(R)-målelige funktioner f : R i hvert af følgende tilfælde: (a) E = P(). (b) E = {/,}. (c) E = {/,A,A c,}..9.2 Opgave. Lad (, E) være et måleligt rum, lad f og g være funktioner fra M(E), og lad A være en mængde fra E. Vis da, at funktionen h: R givet ved { f(x), hvis x A, h(x) = g(x), hvis x A c, igen er et element i M(E). 49

50 .9.22 Opgave. Lad (,E) være et målrum, og betragt en funktion f : R. Vis da, at f M(E), hvis og kun hvis den kan skrives på formen: f = h+ A +( ) B, hvor A og B er disjunkte mængder fra E, og h M(E) Opgave. (a) Betragt funktionerne f, f 2, f 3, f 4 : R R givet ved { {, hvis x /x, hvis x f (x) = x, f 2 (x) = sign(x) = f 3 (x) =, hvis x <,, hvis x =, exp(cos(/x)), hvis x f 4 (x) =, hvis x =, sin(/x), hvis x < for alle x i R. Vis da, at disse funktioner alle er elementer i M(B(R)). (b) Lad (,E) være et målrum, og lad f,g være funktioner fra M(E). Vis da, at hvis g(x) for alle x i, da er funktionen f/g igen et element i M(E). [Vink: Benyt f.eks. funktionen f 3 fra (a)!] (c) Lad f : R R være en funktion fra M(B(R)) +, og betragt området under grafen for f, dvs. mængden U f = {(x,y) R 2 y f(x)}. Vis da, at U f B(R 2 ) Opgave. Lad (,E) være et måleligt rum, og betragt en funktion f : R. Vis, at der gælder implikationen: f M(E) = f M(E). Gælder den modsatte implikation?.9.25 Opgave. Betragt det målelige rum (R,B(R)). En delmængde C af R kaldes (som bekendt?) konveks, hvis den opfylder betingelsen: λ [,], x,y C = λx+( λ)y C. En funktion f : R R kaldes (som bekendt?) konveks, hvis den opfylder uligheden: for alle x,y i R og λ i [,]. f(λx+( λ)y) λ f(x)+( λ) f(y), Vis nu, at enhver konveks funktion f : R R er B(R)-B(R)-målelig. [Vink: Vis f.eks., at for ethvert t i R er f ((,t]) en konveks delmængde af R og dermed et interval.] 5

51 .9.26 Opgave. Lad f : R R være en højrekontinuert funktion, dvs. f(t) = lim s t f(s) for alle t i R. Definér så for hvert n i N funktionen f n : R R givet ved: f n (x) = n 2 k= f( n k) [ k n, n k n2 )(t)+ k= (a) Vis, at f(x) = lim f n (x) for alle x i R. (b) Vis, at f M(B(R)). f( k+ n ) [ k n, k+ n )(t), (t R). (c) Vis, at enhver venstrekontinuert funktion g: R R ligeledes er B(R)-B(R)-målelig Opgave. Lad ( f n ) være en følge af funktioner fra M(E), og antag, at der findes en positiv konstant K, således at sup f n (x) K, x R for alle n i N. Vis da, at der ved ligningen: f(x) = defineres en ny funktion f i M(E). n= n 2 f n(x), (x R).9.28 Opgave. Lad µ være et endeligt mål på (R,B(R)), og betragt funktionen F µ : R [, ) givet ved: F µ (x) = µ((,x]), (x R). (a) Vis, at F µ er voksende, og bestem grænseværdierne lim F µ(x) og lim F µ (x). x x (b) Vis, at F µ er højrekontinuert, altså at lim y x F µ (y) = F µ (x) for alle x i R. (c) Vis, at for alle x i R eksisterer grænseværdien lim y x F µ (y), og udtryk den i termer af µ Opgave. Lad (,E, µ) være et målrum, lad (Y,F) være et måleligt rum, og lad f : Y være en E-F-målelig afbildning. (a) Vis, at der ved ligningen: ν f (F) = µ ( f (F)), (F F), defineres et mål ν f på (Y,F). Betragt nu tilfældet, hvor (,E, µ) = (R,B(R),λ), (Y,F) = (R,B(R)), og f(t) = αt + β, (t R) for passende konstanter α i (, ) og β i R. 5

52 (b) Vis, at f M(B(R)), og at ν f ((a,b)) = (b a), α for alle a,b i R, således at a < b. (c) Vi har tidligere postuleret (jvf. Eksempel.3.3(A)), at λ er det eneste mål på (R,B(R)), hvis værdi på ethvert åbent, begrænset interval (a,b) er lig med intervallængden b a. Vis på grundlag af dette udsagn, at for alle B i B(R). ν f (B) = α λ(b),.9.3 Opgave. (Standardbeviset) Denne opgave går ud på at udlede eksplicitte formuleringer af det såkaldte standard-bevis (jvf. indledningen til Afsnit.8). Vi betragter som sædvanlig et måleligt rum (, E). (a) Lad V være en delmængde af M(E) +, og antag, at V opfylder følgende tre betingelser: (i) A V for alle A i E. (ii) Hvis f,g V, og α,β [, ), så gælder der også, at α f + βg V. (iii) Hvis ( f n ) er en voksende følge af funktioner fra V, så gælder der også, at Vis da vha. Sætning.8.3, at V = M(E) +. lim f n = sup f n V. n N (b) Lad W være en delmængde af M(E), og antag, at W opfylder følgende tre betingelser: (I) A W for alle A i E. (II) W er et vektorrum (et underrum af vektorrummet af alle reelle funktioner defineret på ). (III) Hvis ( f n ) er en voksende følge af funktioner fra W, således at sup n N f n (x) < for alle x i, da gælder der også, at Vis da vha. Sætning.8.3, at W = M(E). lim f n = sup f n W. n N.9.3 Opgave. Lad være en ikke-tom mængde, lad (Y,F) være et måleligt rum, og lad ϕ : Y være en afbildning. Som bekendt (jvf. Sætning.4.6) gælder der da, at mængdesystemet E := ϕ (F) er en σ-algebra i. Vis nu, at og at M(E) + = { f ϕ f M(F) + }, M(E) = { f ϕ f M(F)}. 52

53 [Vink: Benyt passende versioner af standard-beviset (jvf. Opgave.9.3). Det kan desuden være nyttigt at bemærke, at B ϕ = ϕ (B) for enhver delmængde B af Y.].9.32 Opgave. I denne opgave skal vi bl.a. betragte σ-algebraen σ( f) frembragt af en funktion f : R R. Husk, at σ( f) = { f (B) B B(R)}. (a) Lad α og β være reelle tal, således at α >, og betragt funktionen f α,β : R R givet ved f α,β (x) = αx+β, (x R). Bestem for ethvert interval (a,b] i R originalmængden/urbilledet f ((a,b]), og udled, at σ( f α,β ) = B(R). (b) Bestem σ-algebraen σ(exp) frembragt af exponentialfunktionen: exp(x) = e x, (x R). For en funktion g: R R indfører vi nu yderligere mængdesystemet I(g) = {B R g (B) = B}. (c) Vis, at I(g) er en σ-algebra i R for enhver funktion g: R R. En funktion h: R R siges som bekendt at være periodisk med periode 2π, hvis h(x+2π) = h(x), for alle x i R. (d) Betragt nu specielt funktionen g: R R givet ved g(x) = x+2π, (x R). Vis, at en funktion h: R R er periodisk med periode 2π, hvis og kun hvis den er I(g)- B(R)-målelig Opgave. Denne opgave går ud på at bestemme σ-algebraen σ( f) frembragt af funktionen f : R [,] givet ved f(x) = cos(x), (x R). Vi skal dog i første omgang betragte restriktionerne f og f 2 af f til hhv. [,π] og [,2π], dvs. funktionerne f : [,π] [,] og f 2 : [,2π] [,] givet ved f (x) = cos(x), (x [,π]). og f 2 (x) = cos(x), (x [,2π]). Vi får undervejs brug for at betragte Borel-algebraen B([,π]) i [,π], og det kan uden yderligere argumentation benyttes at B([,π]) = {B B(R) B [,π]} = σ ( {I [,π] I er et lukket interval} ). 53

54 (a) Antag at a,b [,], og at a < b. Bestem da originalmængden f ([a,b]). Betragt nu σ-algebraerne σ( f ) og σ( f 2 ) frembragt af hhv. f og f 2, altså σ( f ) = { f (B) [,π] B B(R)} og σ( f 2) = { f2 (B) [,2π] B B(R)}. (b) Vis, at σ( f ) = B([,π]). Betragt nu yderligere funktionen g: [π, 2π] [, π] givet ved g(x) = 2π x, (x [π,2π]). (c) Vis, at f 2 (x) = { f (x), hvis x [,π] f (g(x)), hvis x [π,2π], og udled at f2 (B) = f (B) g ( f (B)), for enhver mængde B fra B(R). Konkludér, at σ( f 2 ) = {A g (A) A B([,π])}. For en delmængde B af R og en konstant c i R benytter vi som bekendt notationen c+b = {c+x x B}. (d) Vis, at der for enhver mængde B fra B(R) og ethvert helt tal p gælder, at { x [p2π,(p+)2π] f(x) B } = p2π + f 2 (B), og udled at { σ( f) = p Z ( p2π +(A g (A)) ) A B([,π]) }. (e) Skitsér på en tegning en typisk mængde fra σ( f); f.eks. f (I), hvor I er et interval. 54

55 2 Lebesgue-integralet Til ethvert målrum (,E, µ) skal vi i dette kapitel knytte et integral, dvs. en afbildning defineret på en passende bred klasse af funktioner på, som til enhver sådan funktion f knytter et tal betegnet f dµ. I hovedtilfældet (,E, µ) = (R,B(R),λ) er Lebesgue-integralet b a f dλ identisk med det velkendte Riemann-integral b a f(x)dx, i hvert fald når f : [a,b] R er en kontinuert funktion på et kompakt interval [a, b]. Men Lebesgue-integralet er defineret for en langt bredere klasse af funktioner end de kontinuerte, ligesom det er væsentligt mere robust under grænseovergang med en punktvis konvergent følge ( f n ) af funktioner, i den forstand at man i langt større generalitet har mulighed for at ombytte integration og grænseovergang. Forskellen mellem Riemann-integralet og Lebesgue-integralet kan løst sagt udtrykkes ved, at hvor Riemann-integralet opnås ved at betragte små inddelinger af.-aksen, så opnås Lebesgueintegralet ved at betragte inddelinger af 2.-aksen. Mere præcist så opnås Riemann-integralet ba f(x)dx af en kontinuert funktion f : [a,b] R som bekendt ved at approksimere f med stykkevis konstante funktioner g n = n j= f(t j ) [t j,t j )(t), (n N) svarende til inddelinger a = t < t < t 2 < < t n = b af [a, b], og Riemann-integralet bestemmes da som grænseværdien af de tilsvarende Riemannsummer n j= f(t j )(t j t j ) under betingelsen max j=,2,...,n (t j t j ) for n. Hvis man fortolker Riemann-integralet b a f(x)dx som arealet under grafen for f (når f ), så bestemmes dette areal altså ved Riemann-tilgangen som grænseværdien for n af arealerne under graferne for g n. s_i s_{i+} f g_n s_2 s_ a b s_3 55

56 Figur 3: Approksimation af arealet under grafen for en ikke-negativ funktion f ved Riemann-tilgangen. Lebesgue-integralet b a f dλ kan ligeledes opfattes som arealet under grafen for f, men her bestemmes dette areal ved som i beviset for Sætning.8.3 at approksimere f med funktioner af formen 6 n h n = u j {u j f<u j }, (n N), j= svarende til inddelinger af værdimængden for f. Mere præcist vælges reelle tal u,u,...,u n således at u < u < < u n, og u min f(t) max f(t) < u n, t [a,b] t [a,b] og således at max j=,...,n (u j u j ) for n. Arealet under grafen for f bestemmes derefter som grænseværdien for n af arealerne under graferne for h n. n u j λ({u j f < u j }) (2.) j= u_n u_j u_{j } f h_n u_ u_ a_ b_ a_2 b_2 a_3 b_3 a_4 b_4 Figur 4: Approksimation af arealet under grafen for en ikke-negativ funktion f ved Lebesguetilgangen. Bemærk specielt, at {u j f < u j } = [a,b ) (a 2,b 2 ] [a 3,b 3 ) (a 4,b 4 ]. Bemærk her, at veldefineretheden af summen i (2.) forudsætter, at mængderne {u j f < u j } tilhører Borel-algebraen B(R), hvilket generelt er opfyldt, hvis f er en Borel-funktion. Dette antyder, at Lebesgue-konstruktionen kan gennemføres for en langt større klasse af Borelfunktioner end de kontinuerte. Dog skal man holde sig for øje, at mængderne {u j f < u j } 6 Her benyttes {u j f < u j } som kort notation for mængden {x u j f(x) < u j }; jvf. Notation nedenfor. 56

57 kan være yderst komplicerede for generelle Borel-funktioner f, og vores anstrengelser i det foregående kapitel med generel målelighed vil derfor vise sig yderst værdifulde undervejs i konstruktionen af Lebesgue-integralet. Lebesgue selv beskrev i et foredrag i dansk matematisk forening anno 926 (se [BM]) forskellen mellem de to integraler som forskellen mellem to forskellige metoder til at optælle indholdet af en pose mønter: Riemann-integralet svarer til, at man simpelthen tæller pengene i den rækkefølge, de trækkes op af posen. Lebesgue-integralet svarer derimod til, at man tæller pengene ved først at opdele posens indhold efter de forskellige mønttyper og derefter optæller antallet af -kroner, antallet af 2-kroner, antallet af fem-kroner osv. En anden rammende beskrivelse af forholdet mellem Riemann- og Lebesgue-integralet fra [BM] består i at sammenligne med forskellen mellem mængden Q af rationale tal og mængden R af reelle tal: I hverdagen møder man i praksis kun rationale tal, men det er (ikke mindst fra et teoretisk synspunkt) af stor betydning, at man f.eks. kan tale om grænseværdien af følgen 7 (+ n )n for n, der som bekendt er lig med det ikke-rationale tal e. På samme måde vil langt de fleste funktioner, man kommer ud for i forbindelse med anvendelser af matematik indenfor fysik, kemi, statistik og økonomi, være kontinuerte eller i hvert fald stykkevis kontinuerte, og til håndtering af sådanne funktioner er Riemann-integralet tilstrækkeligt. Men ved punktvis grænseovergang med en følge af kontinuerte funktioner kan man risikere at ryge ud af klassen af sådanne 8, og det er derfor (ikke mindst fra et teoretisk synspunkt) af væsentlig betydning, at man alligevel under passende betingelser kan arbejde med integralet af grænsefunktionen. Og hertil får man altså brug for Lebesgue-integralet. Lad os endelig gentage, at Lebesgue-konstruktionen kan gennemføres for et vilkårligt målrum (,E, µ). Hver gang man befinder sig i en situation, hvor man naturligt kan størrelsesangive mængder via et mål µ, får man altså i tilgift via µ-integralet tilsvarende mulighed for at størrelsesangive en bred klasse af funktioner på. Et af de væsentligste eksempler herpå kommer igen fra sandsynlighedsteorien, hvor integralet f dµ kaldes for middelværdien eller den forventede værdi af f, når µ er et sandsynlighedsmål. 2. Integralet af positive simple funktioner I det følgende betrages et fast målrum (,E, µ). Lad s være en ikke-negativ simpel funktion skrevet på formen: n s = a j A j j= hvor a,...,a n, og hvor A,...,A n er disjunkte mængder fra E, således at foreningmængden A A n = (dvs. der er tale om en standard-repræsentation af s jvf. Bemærkning.8.2). Med tanke på tilfældet, hvor µ er Lebesgue-målet på R, og på at integralet af en (ikke-negativ) 7 Den her omtalte grænseovergang har ovenikøbet også stor praktisk betydning i den virkelige verden i forbindelse med kontinuert tilskrivning af rente. 8 Man kan faktisk vise (se Opgave 3.3.3), at M(B(R)) er det mindste vektorrum af reelle funktioner på R (jvf. Sætning.5.4), der er lukket overfor punktvis grænseovergang (jvf. Korollar.6.7) og omfatter alle de kontinuerte funktioner (jvf. Sætning.4.8). 57

58 funktion på R skal angive arealet af området mellem grafen og første-aksen, ledes vi naturligt til at definere integralet af s som tallet n a j µ(a j ). (2.2) j= Som nævnt i Bemærkning.8.2 har s dog mange forskellige standard-repræsentationer, og for at kunne benytte tallet (2.2) som definition af integralet, må vi derfor sikre os, at dette tal ikke afhænger af, hvilken standard-repræsentation af s der benyttes. 2.. Lemma. Lad s være en funktion fra SM(E) med to standard-repræsentationer (jvf. Bemærkning.8.2(4)): n m a j A j = s = b k Bk. j= k= Da gælder der, at n m a j µ(a j ) = b k µ(b k ). j= k= Bevis. Da der er tale om standard-repræsentationer, har vi de disjunkte opspaltninger: og det følger derfor, at ligesom Vi finder nu, at ligesom n j= A j = = m A j = m m (A j B k ), og µ(a j ) = µ(a j B k ) for alle j =,...,n, k= k= B k = n n (A j B k ), og µ(b k ) = µ(a j B k ) for alle k =,...,m. j= j= n a j µ(a j ) = j= m b k µ(b k ) = k= n j= m k= m k= k= B k, a j µ(a j B k ), n b k µ(a j B k ). j= Idet vi kan ombytte summations-ordenen i disse endelige summer, er vi færdige, hvis vi kan vise, at a j µ(a j B k ) = b k µ(a j B k ) (2.3) 58

59 for alle j i {,...,n} og k i {,...,m}. Lad derfor sådanne j og k være givne. Hvis A j B k = /, er (2.3) oplagt opfyldt, og ellers kan vi vælge et element x i A j B k. Da A j erne og B k erne er disjunkte, følger det, at a j = s(x) = b k, som implicerer gyldigheden af (2.3). Med Lemma 2.. i bagagen kan vi nu give følgende 2..2 Definition. Lad s være en ikke-negativ funktion fra SM(E) med standard-repræsentation s = n a j A j, j= hvor a,...,a n. Vi definerer da µ-integralet I µ (s) af s ved I µ (s) = n a j µ(a j ) [, ]. j= Med ovenstående definition har vi indført en afbildning I µ : SM(E) + [, ]. Følgende sætning anfører en række nyttige egenskaber ved denne afbildning Sætning. Afbildningen I µ : SM(E) + [, ] har følgende egenskaber: (i) I µ ( A ) = µ(a) for enhver mængde A fra E. (ii) I µ (as) = ai µ (s) for alle s i SM(E) + og a i [, ). (iii) I µ (s+t) = I µ (s)+i µ (t) for alle s,t fra SM(E) +. (iv) I µ (s) I µ (t) for alle s,t fra SM(E) +, således at s t. Bevis. (i) og (ii) følger umiddelbart af Definition 2..2 og overlades til læseren. (iii) Lad s og t være funktioner fra SM(E) + med standard-repræsentationer: s = n m a j A j, og t = b k Bk, j= k= hvor a,...,a n,b,...,b m. Idet A,...,A n og B,...,B m udgør disjunkte opspaltninger af, har vi, at m n A j = A j B k, og Bk = A j B k, k= j= og vi finder derfor, at s+t = n m j= k= a j A j B k + m k= n b k A j B k = j= 59 n j= m k= (a j + b k ) A j B k. (2.4)

60 Ved en passende identifikation af mængden {( j,k) j =,...,n, k =,...,m} med {,2,...,mn} kan vi opfatte det sidste udtryk i (2.4) som en standard-repræsentation af s+t, og det følger derfor, at I µ (s+t) = = = n m j= k= n j=a j m k= n j= (a j + b k )µ(a j B k ) a j µ(a j )+ = I µ (s)+i µ (t). µ(a j B k )+ m k= b k µ(b k ) m n k k=b j= µ(a j B k ) (iv) Antag, at s,t SM(E) +, og at s t. Så er t s igen en funktion fra SM(E) +, og ved anvendelse af (iii) finder vi derfor, at I µ (t) = I µ (s+(t s)) = I µ (s)+i µ (t s) I µ (s), som ønsket. 2.2 Integration af positive målelige funktioner I dette afsnit betragter vi igen et fast målrum (,E, µ). Vi skal i det følgende indføre µ-integralet f dµ af en generel funktion f : [, ] fra M(E) +. Hvis man igen tager udgangspunkt i areal-fortolkningen af integralet (når µ er Lebesgue-målet), er følgende definition naturlig: 2.2. Definition. Lad f være en funktion fra M(E) +. Vi definerer da µ-integralet f dµ af f ved f dµ = sup ({ I µ (s) s SM(E) +, og s f }) [, ] Bemærkning. Hvis f,g er to funktioner fra M(E) +, således at f g, da gælder der oplagt, at { Iµ (s) s SM(E) + og s f } { I µ (s) s SM(E) + og s g }, og det følger derfor umiddelbart fra Definition 2.2., at f dµ gdµ. I øjeblikket giver Definition 2..2 og Definition 2.2. to umiddelbart forskellige definitioner af µ-integralet af en funktion fra SM(E) + M(E) +. Sprogbrugen retfærdiggøres af følgende 6

61 2.2.3 Lemma. For enhver funktion s fra SM(E) + gælder der, at sdµ = I µ (s). Bevis. Lad s være en givet funktion fra SM(E) +. Da er I µ (s) selv et element i den mængde, der tages supremum over i definition af sdµ, og det følger derfor umiddelbart, at I µ (s) sdµ. Hvis omvendt t er en funktion fra SM(E) +, således at t s, da giver Sætning 2..3(iv), at I µ (t) I µ (s), og dermed følger det umiddelbart fra definitionen af sdµ, at også sdµ I µ (s), som ønsket. Det næste resultat er af fundamental betydning for integralet og dets anvendelser. Det omtales ofte som Lebesgues Sætning om monoton konvergens eller Lebesgues Monotonisætning eller simpelthen monoton konvergens 9. Resultatet er et eksempel på, hvordan man under passende betingelser kan bytte om på integration og grænseovergang for en følge ( f n ) af målelige funktioner. Vi skal senere se andre eksempler på dette fænomen, idet vi dog med det samme understreger, at der ikke er tale om et generelt gældende fænomen (jvf. Eksempel nedenfor) Hovedsætning. (Monoton Konvergens) Lad ( f n ) være en følge af funktioner fra M(E) +, således at f f 2 f 3. Da er funktionen f = sup n N f n = lim f n igen et element i M(E) +, og der gælder, at f dµ = lim f n dµ = lim f n dµ = sup n N f n dµ. Bevis. Da ( f n ) er voksende, følger det umiddelbart, at sup n N f n = lim n N f n, og Sætning.6.6 fortæller, at denne funktion, som vi altså kalder for f, igen er et element i M(E) +. Ifølge Bemærkning er f n dµ voksende i n, ligesom f n dµ f dµ for alle n. Dermed følger det også umiddelbart, at Tilbage står derfor at vise, at lim f n dµ = sup n N f dµ sup n N f n dµ 9 I [Sc] omtales Hovedsætning som Beppo-Levis Sætning. f n dµ, f dµ. 6

62 hvilket ifølge Definition 2.2. kommer ud på, at I µ (s) sup n N f n dµ for alle s i SM(E) + således at s f. Lad derfor en sådan funktion s være givet, og bemærk så, at det er nok at vise, at αi µ (s) sup n N f n dµ, for ethvert α i (,). Lad derfor også α fra (,) være givet. Hvis nu x, således at f(x) >, så gælder der, at αs(x) < f(x), og ifølge definitionen af f findes derfor et m x i N, således at αs(x) f n (x) for alle n i N for hvilke n m x. (2.5) Hvis derimod f(x) =, så har vi, at s(x) = = f n (x) for alle n, og derfor er (2.5) opfyldt med m x =. Ovenstående viser, at hvis vi for hvert m i N definerer så gælder der, at B m := {x αs(x) f m (x)}, m N Da ( f n ) er voksende, gælder der yderligere, at Bemærk endvidere, at definitionen af B m medfører uligheden: B m =. (2.6) B B 2 B 3. (2.7) αs Bm f m for alle m i N, hvor αs Bm SM(E) +. Det følger derfor fra Sætning 2..3(ii) og Definitionen af f m dµ, at αi µ (s Bm ) = I µ (αs Bm ) f m dµ sup n N f n dµ for ethvert m i N. Vi kan dermed også slutte, at α limsup m I µ (s Bm ) sup n N f n dµ. (2.8) For at bestemme venstresiden i (2.8) indfører vi nu en standard-repræsentation s = N a j A j j= af s, hvor a,...,a N. Det følger da, at s Bm har standard-repræsentationen s Bm = N a j A j B m + B c m, j= 62

63 således at I µ (s Bm ) = N a j µ(a j B m ). j= For hvert j i {,...,N} gælder der ifølge (2.6) og (2.7), at A j B m A j for m, og ved anvendelse af Sætning.3.4(v) finder vi derfor, at lim sup m I µ (s Bm ) = limsup m N j= a j µ(a j B m ) = N a j µ(a j ) = I µ (s). j= Indsættes dette i vurderingen (2.8), fremgår det, at αi µ (s) sup n N fn dµ, som er den ønskede ulighed. Som en umiddelbar konsekvens af Hovedsætning noterer vi, at integralet f dµ af en generel funktion fra M(E) + alternativt kunne defineres som grænsen af integralerne af en voksende følge af simple funktioner, der approksimerer f : Korollar. Lad f være en funktion fra M(E) +, og lad (s n ) være en voksende følge af funktioner fra SM(E) +, som opfylder, at s n (x) f(x) for n for alle x i (jvf. Sætning.8.3). Da gælder der, at f dµ = lim s n dµ = lim I µ (s n ). Bevis. Det første lighedstegn følger af Hovedsætning 2.2.4; det andet af Lemma Eksempler. (A) Det er ikke svært at give eksempler på, at man ikke generelt kan bytte om på integration og grænseovergang for følger af positive funktioner. Vi kan f.eks. genbruge eksemplet fra Bemærkning.3.6(2): Betragt målrummet (N, P(N), τ), hvor τ er tællemålet, og definér herpå følgen ( f n ) af funktioner ved f n = {n,n+,n+2,...}, (n N). Det følger så, at men samtidig har vi, at for alle n i N. lim f n(x) = for alle x i N, f n dτ = τ({n,n+,n+2,...}) = 63

64 (B) Antag, at µ er et mål på (R,B(R)), og lad f være en funktion fra M(B(R)) +. Så gælder der oplagt, at f [ n,n] f for n, og Hovedsætning fortæller derfor, at f [ n,n] dµ f dµ for n. I tilfældet hvor µ er Lebesgue-målet λ, og hvor f yderligere er en kontinuert funktion, da kan man, som vi skal se i Afsnit 2.7, identificere integralet f [ n,n] dλ med Riemannintegralet R n n f(x)dx. Dermed kan man altså i denne situation bestemme integralet f dλ som en grænseværdi af sædvanlige Riemann-integraler. Og Riemann-integraler kan jo (i princippet) udregnes ved stamfunktionsbestemmelse (se f.eks. opgaverne og 2.8.7). Ved hjælp af Korollar kan vi nu let vise en række andre vigtige egenskaber ved det generelle integral ud fra de tilsvarende egenskaber for I µ i Sætning Sætning. Lad f,g være funktioner i M(E) +. Da gælder følgende udsagn: (i) A dµ = µ(a) for enhver mængde A fra E. (ii) α f dµ = α f dµ for alle α i [, ). (iii) ( f + g)dµ = f dµ + gdµ. (iv) f dµ gdµ, hvis f g. Bevis. Vi har allerede etableret (i) og (iv) (jvf. Lemma og Bemærkning 2.2.2). (ii) Lad α fra [, ) være givet, og vælg en følge (s n ) af funktioner fra SM(E) +, således at s n f for n (jvf. Sætning.8.3). Så gælder der for hvert n, at αs n SM(E) +, ligesom αs n α f for n. Ved anvendelse af Korollar og Sætning 2..3 finder vi derfor, at α f dµ = lim I µ (αs n ) = α lim I µ (s n ) = α f dµ, som ønsket. (iii) Vælg følger (s n ) og (t n ) fra SM(E) +, således at s n f og t n g for n. Så gælder der for hvert n, at s n +t n SM(E) +, ligesom s n +t n f +g for n. Ved anvendelse af Korollar og Sætning 2..3 finder vi så, at ( ( f + g)dµ = lim I µ (s n +t n ) = lim Iµ (s n )+I µ (t n ) ) = Dermed er sætningen vist. f dµ + gdµ Bemærkning. Udsagn (ii) i Sætning gælder faktisk også i tilfældet, hvor α =. For en funktion f fra M(E) + har vi nemlig, at n f f for n, hvilket ifølge Sætning.6.7 sikrer, at f M(E) +. Endvidere giver Hovedsætning sammen med Sætning 2.2.7(ii), at f dµ = lim n f dµ = lim n 64 f dµ = f dµ,

65 som påstået. Med Sætning har vi foreløbig afsluttet konstruktionen af integralet (af positive, målelige funktioner). Vi skal herefter anføre endnu et par nyttige konsekvenser af Hovedsætning Sætning. Lad ( f n ) være en følge af funktioner fra M(E) +, og betragt sumfunktionen u(x) = f n (x), n= (x ). Så er u igen en funktion fra M(E) +, og ( udµ = f n )dµ = n= n= f n dµ. Bevis. For hvert n i N betragter vi funktionen u n givet ved u n = n f j M(E) +, j= og da alle led er positive funktioner, bemærker vi, at u n u for n. Dermed sikrer Sætning.6.6, at u M(E) +, og Hovedsætning giver derefter sammen med Sætning 2.2.7(iii), at som ønsket. udµ = lim ( n u n dµ = lim f j )dµ = lim j= n j= f j dµ = j= f j dµ, 2.2. Sætning. (Fatous Lemma) For enhver følge ( f n ) af funktioner fra M(E) + gælder der, at liminf f n M(E) +, og at ( ) lim inf n dµ liminf f n dµ. Bevis. Vi har set i Sætning.6.6, at liminf f n M(E) +. For hvert k i N betragter vi herefter funktionen u k givet ved u k = inf n k f n M(E) +, og vi husker, at u k liminf f n for k. Ved anvendelse af Hovedsætning finder vi derfor, at ( ) ( ) lim inf f n dµ = lim u k dµ = lim inf f n dµ liminf f k dµ, (2.9) k k n k k 65

66 hvor vi til sidst benytter, at for hvert k er inf n k f n f k, og dermed ( ) inf f n dµ f k dµ, n k ved anvendelse af Bemærkning Bemærk også, at da vi ikke kan vide, om f k dµ konvergerer for k, må vi erstatte lim med liminf i den sidste vurdering i (2.9). Vi skal afslutningsvist i dette afsnit vise, at µ-integralet for positive målelige funktioner kan karakteriseres som en afbildning E µ : M(E) + [, ] opfyldende tre grundlæggende egenskaber. Som vi skal se en række eksempler på, er dette specielt nyttigt, når man ønsker at fastlægge, hvordan man integrerer mht. et konkret mål µ Hovedsætning. Lad (,E, µ) være et målrum. Der findes da én og kun én afbildning E µ : M(E) + [, ] med følgende egenskaber: (i) E µ ( A ) = µ(a) for enhver mængde A fra E. (i2) E µ ( f + g) = E µ ( f)+e µ (g) for alle f,g i M(E) +. (i3) for enhver voksende følge ( f n ) af funktioner fra M(E) + gælder der, at ( ) E µ lim f n = lim E µ ( f n ). Afbildningen E µ er specifikt givet ved E µ ( f) = f dµ ( f M(E) + ). (2.) Bevis. Eksistens-delen følger umiddelbart af, at afbildningen E µ givet ved (2.) har egenskaberne (i)-(i3) ifølge Hovedsætning og Sætning Med hensyn til entydighedsdelen antager vi, at E µ : M(E) + [, ] er en afbildning, der opfylder (i)-(i3), og vi vil vise, at E µ nødvendigvis må være givet ved (2.). Vi viser først, at E µ som konsekvens af (i)-(i3) også opfylder følgende betingelse: (i4) E µ (α f) = αe µ ( f) for alle f i M(E) + og α i [, ). I tilfældet α = finder vi ved anvendelse af (i), at E µ ( f) = E µ () = E µ ( / ) = µ(/) = = E µ ( f). Hvis α = n N, finder vi derpå ved hjælp af (i2), at E µ (n f) = E µ ( f + f + + f) = E µ ( f)+e µ ( f)+ + E µ ( f) = ne µ ( f). (2.) Hvis så α = r Q (, ), skriver vi r på formen r = p/q, hvor p,q N. Det følger så ved anvendelse af (2.), at pe µ ( f) = E µ (p f) = E µ (qr f) = qe µ (r f), 66

67 som ved division med q giver, at re µ ( f) = E µ (r f). For et generelt α i (, ) kan vi vælge en voksende følge (r n ) fra (,α) Q, således at r n α for n. Så gælder der også, at r n f α f for n, og ved anvendelse af (i3) følger det så endelig, at som ønsket. E µ (α f) = lim E µ (r n f) = lim r n E µ ( f) = αe µ ( f), Efter at have etableret (i4) viser vi, at E µ opfylder (2.) ved anvendelse af standard-beviset (jvf. indledningen til Afsnit.8). Vi betragter således først en funktion s fra SM(E) + skrevet på formen: N s = a j A j, j= hvor a,...,a N. Ved anvendelse af (i2),(i4) og (i) følger det så, at ( N ) E µ (s) = E µ a j A j = j= N a j E µ ( A j ) = j= N a j µ(a j ) = j= sdµ. Betragt derefter en vilkårlig funktion f i M(E) +. Ifølge Sætning.8.3 kan vi vælge en følge (s n ) af funktioner fra SM(E) +, således at s n f for n. Det følger da fra (i3), det netop viste og Hovedsætning 2.2.4, at E µ ( f) = lim E µ (s n ) = lim som ønsket. Dermed er også entydigheden vist. s n dµ = f dµ, Bemærkninger. () Sætning 2.2. ovenfor kan som nævnt bl.a. benyttes til at fastlægge virkningen af integralet med hensyn til et givet mål. For et punkt a i gælder der f.eks., at f dδ a = f(a) for alle f i M(E) +, hvilket kan ses som en konsekvens af, at afbildningen E a : M(E) + [, ] givet ved E a ( f) := f(a), ( f M(E) + ) let ses at have egenskaberne (i)-(i3) i tilfældet µ = δ a (se Opgave 2.8.3). (2) En anden konsekvens af Sætning 2.2. er, at enhver afbildning E µ : M(E) + [, ], der besidder egenskaberne (i)-(i3), automatisk også besidder samtlige øvrige egenskaber, som vi har udledt for integralet (f.eks. Fatous Lemma), og samtlige egenskaber som vi skal udlede i de efterfølgende afsnit Eksempel. (Integration med hensyn til tællemålet på N) Vi betragter i dette eksempel målrummet (N,P(N),τ), hvor τ betegner tællemålet på N. Da N er udstyret med σ-algebraen P(N) bestående af alle delmængder af N, er alle funktioner f : N R målelige. Vi ønsker at vise, at der for enhver funktion f : N [, ] gælder, at f dτ = f(n). (2.2) n= 67

68 Hertil kunne vi benytte Sætning 2.2. og bevise, at højresiden af (2.2) (som funktion af f ) opfylder betingelserne (i) (i3). Det er imidlertid nemmere at bemærke, at enhver funktion f : N [, ] kan skrives som en rækkesum: f(n) = f(k) {k} (n), k= Ved anvendelse Sætning følger det derfor, at ( f dτ = f(k) {k} )dτ = k= som ønsket. = k= f(k)τ({k}) = f(k), k= k= (n N). f(k) {k} dτ = f(k) k= {k} dτ 2.3 Nulmængder og µ-næsten overalt I det følgende betragtes et fast målrum (,E, µ). I forbindelse med overvejelser omkring µ- integralet er det praktisk at indføre terminologien µ-næsten overalt for egenskaber, der måske ikke gælder for alle x i, men hvor målet µ ikke kan registrere de x er i, for hvilke egenskaben ikke gælder. Hvis f.eks. f M(E) +, og f dµ =, så kan man ikke slutte, at f(x) = for alle x i, men dog at µ({x f(x) > }) = (jvf. Sætning nedenfor). Vi siger i denne situation, at f(x) = µ-næsten overalt. Vi skal nedenfor indføre terminologien generelt, men vi starter med at indføre de såkaldte µ-nulmængder Definition. En delmængde N af kaldes en µ-nulmængde, hvis der findes en mængde A fra E, således at N A, og µ(a) =. Systemet af nulmængder i betegnes med N µ Bemærkninger. () En mængde A fra E er en µ-nulmængde, hvis og kun hvis µ(a) =. Specielt ses, at / N µ. (2) Hvis (N n ) n N er en følge af µ-nulmængder, så er n N N n igen en µ-nulmængde. For hvert n kan vi nemlig vælge en mængde A n fra E, således at N n A n, og så µ(a n ) =. Det følger så, at n N N n n N ved anvendelse af Sætning.3.4(iv). A n E, og µ ( ) n n=a µ(a n ) =, n= Denne metode virker ikke, hvis τ er tællemålet på en overtællelig mængde (f.eks. = R), og i den situation må man derfor gå frem via Hovedsætning 2.2. (eller lignende) for at etablere et resultat svarende til (2.2). 68

69 2.3.3 Eksempel. Betragt målrummet (R d,b(r d ),λ d ). Det er ikke svært at indse, at for ethvert punkt x i R d er den tilhørende et-punktsmængde (eller singleton) {x} en (målelig) λ d - nulmængde (overvej!). Enhver tællelig delmængde M = {x n n N} af R d kan vi skrive som (den tællelige) foreningsmængde af et-punktsmængderne svarende til dens elementer: M = {x n }. n N Det følger derfor fra Bemærkning 2.3.2(2), at enhver tællelig delmængde af R d er en (målelig) λ d -nulmængde. Specielt noterer vi, at Q d er en λ d -nulmængde. Da Q d er tæt i R d (jvf. Opgave.9.2), ser vi, at λ d -nulmængder godt kan fylde meget (i topologisk forstand). Som nævnt skal vi herefter indføre egenskaber blandt elementerne i, der gælder µ-næsten overalt. Formelt kan vi betragte en egenskab blandt elementerne i som en afbildning p: {sand,falsk}, hvor fortolkningen naturligvis er, at x fra har egenskaben p, hvis og kun hvis p(x) = sand. Men disse konventioner kan vi nu indføre følgende: Terminologi. Lad p være en egenskab blandt elementerne i. Egenskaben p siges da at gælde µ-næsten overalt eller for µ-næsten alle x, hvis mængden er en µ-nulmængde. {x p(x) = sand} c = {x p(x) = falsk} Ofte benytter man forkortelserne n.o. og n.a. for næsten overalt og næsten alle. I sandsynlighedsteori siges ofte næsten sikkert, forkortet n.s., i stedet for næsten overalt Eksempler. (A) Betragt en reel funktion f : R. Vi siger da, at f > µ-næsten overalt, eller at f(x) > for µ-næsten alle x, hvis {x f(x) } er en µ-nulmængde. (B) Lad f, f, f 2, f 3,... være funktioner fra ind i R. Vi siger da, at f n f µ-næsten overalt, eller at f n (x) f(x) for µ-næsten alle x, hvis {x f n (x) f(x)} er en µ-nulmængde. Udover det i indledningen til dette afsnit postulerede resultat (jvf. (i) nedenfor) viser nedenstående sætning bl.a., at µ-integralet ikke kan mærke µ-nulmængder (se punkt (ii) og (iv)) Sætning. Lad f,g være funktioner fra M(E) +. Da gælder der, at (i) f dµ = f = µ-n.o. 69

70 (ii) f N dµ = for enhver mængde N i N µ E. (iii) Hvis f dµ <, så gælder der, at f < µ-n.o. (iv) Hvis f = g µ-n.o., så gælder der, at f dµ = gdµ. Før beviset indfører vi lidt mere bekvem notation: Notation. Betragt reelle funktioner f, g: R defineret på. Vi benytter da symbolet { f > g} som kort notation for mængden {x f(x) > g(x)}. Notationen generaliserer umiddelbart til en lang række af mængder, f.eks. { f = g} := {x f(x) = g(x)} { f g} := {x f(x) g(x)} {exp( f) g 2 } := {x exp( f(x)) g(x) 2 }. Den beskrevne notation vil blive benyttet frit i det følgende. Bevis for Sætning (i) Ved anvendelse af Bemærkning noterer vi først, at f dµ = f dµ = { f>} dµ = { f>} dµ = µ({ f > }), hvor 2. lighedstegn benytter, at = (jvf. Appendix A.3). Det følger fra ovenstående udregning, at f dµ = f dµ = µ({ f > }) = µ({ f > }) = f = µ-næsten overalt. (ii) Dette følger umiddelbart fra (i), idet f N = µ-næsten overalt. (iii) Antag, at f dµ <. Idet f { f= }, følger det ved anvendelse af Bemærkningerne og 2.2.8, at > f dµ { f= } dµ = { f= } dµ = µ({ f = }), hvilket medfører, at µ({ f = }) =. (iv) Antag, at f = g µ-n.o., altså at µ({ f g}) = (jvf. Eksempel.6.). Det følger så fra (ii), at f dµ = f { f=g} dµ + f { f g} dµ = f { f=g} dµ = g { f=g} dµ = g { f=g} dµ + 7 g { f g} dµ = gdµ,

71 hvor vi i tredje lighedstegn benytter, at funktionerne f { f=g} og g { f=g} er identiske. 2.4 Integration af reelle funktioner Vi skal i dette afsnit udvide integralet til klasser af funktioner med værdier i R = [, ], idet den væsentligste interesse naturligvis påkaldes af funktioner med værdier i R. Vi vil i dette afsnit benytte notationen: E µ ( f) = f dµ for enhver funktion f fra M(E) +. Dette er til dels for at kunne gøre brug af en kort notation men også for igennem notationen at kunne tydeliggøre, hvordan de integraler, der indføres i dette afsnit, og deres egenskaber etableres udfra integralerne af ikke-negative funktioner, som blev indført i foregående afsnit. I de efterfølgende afsnit vil vi vende tilbage til notationen f dµ også for ikke-negative funktioner f. Vi minder om (jvf. Bemærkning.6.9), at for en funktion f : R betegner f + og f hhv. positiv- og negativdelen af f, og der gælder, at f = f + f, og f = f + + f. Endvidere har vi set, at f +, f M(E) +, hvis og kun hvis f M(E) Definition. For et målrum (,E, µ) definerer vi klasserne L(µ) og L (µ) af målelige funktioner fra ind i R ved: L(µ) = { f M(E) E µ ( f + ) E µ ( f ) < } og L (µ) = { f M(E) E µ ( f + ) E µ ( f ) < } Bemærkninger. () En funktion f fra L (µ) kan kun antage reelle værdier; værdierne ± er pr. definition udelukkede. (2) Det følger umiddelbart fra definitionerne af L(µ) og L (µ), at M(E) + L(µ), og L (µ) L(µ). (3) For alle a i R og f i L(µ) har vi også, at a f L(µ). Der gælder nemlig, at { (a f) ± a f ±, hvis a = a f, hvis a <, og dermed i alle tilfælde at E µ ((a f) + ) E µ ((a f) ) = E µ ( a f + ) E µ ( a f ) = a (E µ ( f + ) E µ ( f )). 7

72 (4) For f i M(E) gælder der, at E µ ( f ) = E µ ( f + + f ) = E µ ( f + )+E µ ( f ), og dermed fremgår det, at E µ ( f + ) E µ ( f ) E µ ( f ) 2 ( E µ ( f + ) E µ ( f ) ), hvilket medfører følgende alternative karakterisering af L (µ): L (µ) = { f M(E) E µ ( f ) < }. (2.3) For f,g i M(E) og a i R har vi endvidere ifølge (ii) (iv) i Sætning 2.2.7, at E µ ( a f ) = a E µ ( f ), og E µ ( f + g ) E µ ( f + g ) = E µ ( f )+E µ ( g ), og sammen med (2.3) viser dette, at L (µ) er et vektorrum. (5) Hvis f L(µ), og g L (µ), så gælder der også, at f + g L(µ). Vi har nemlig, at ( f + g) + = ( f + g) f +g = f + + g +, (2.4) og ( f + g) = ( ( f + g) ) ( f +g ) = f + g, (2.5) og dermed følger det vha. (ii) (iv) i Sætning 2.2.7, at E µ (( f + g) + ) E µ (( f + g) ) (E µ ( f + )+E µ (g + )) (E µ ( f )+E µ (g )), hvor højresiden er endelig, hvis f L(µ) og g L (µ) Definition. For en funktion f i L(µ) defineres integralet f dµ af f med hensyn til µ ved f dµ = E µ ( f + ) E µ ( f ). (2.6) Bemærkninger. () Definitionen af L(µ) sikrer, at vi ikke kommer til at trække fra i formel (2.6). (2) Hvis f L(µ) \L (µ), så gælder der, at {, hvis E µ ( f + ) = f dµ =, hvis E µ ( f ) =. (3) For en funktion f fra M(E) + har vi, at f =, og dermed at f dµ = E µ ( f + ) E µ ( f ) = E µ ( f + ) = E µ ( f). For en generel funktion f fra L(µ) kan vi derfor også skrive f dµ = f + dµ f dµ. 72

73 (4) Antag, at f,g M(E), og at f = g µ-n.o. Så gælder der, at f L(µ) g L(µ), og at f L (µ) g L (µ). Hvis f L(µ), gælder der endvidere, at f dµ = gdµ. Samtlige disse påstande følger umiddelbart af, at f ± = g ± µ-n.o., således at E µ ( f ± ) = E µ (g ± ) ifølge Sætning 2.3.6(iv). (5) I litteraturen benyttes mange alternative notationer for integralet f dµ, bl.a. f dµ, f(x) µ(dx), f(x)dµ(x). Vi vil også i disse noter fremover gøre brug af de to førstnævnte Sætning. Lad (,E, µ) være et målrum, og antag at f,g L(µ), og at a R. Da gælder følgende udsagn: (i) a f dµ = a f dµ. (ii) Hvis f,g L (µ), har vi, at ( f + g)dµ = f dµ + gdµ. (iii) Hvis f g µ-n.o., gælder der, at f dµ gdµ, og hvis yderligere f,g L (µ), gælder bi-implikationen: f dµ = gdµ f = g µ-n.o. (iv) f dµ f dµ. Bevis. (i) Hvis a, finder vi ved anvendelse af Sætning 2.2.7(ii), at (a f)dµ = E µ ((a f) + ) E µ ((a f) ) = E µ (a f + ) E µ (a f ) = ae µ ( f + ) ae µ ( f ) = a f dµ, og hvis a <, har vi tilsvarende (a f)dµ = E µ ((a f) + ) E µ ((a f) ) = E µ ( a f ) E µ ( a f + ) = ae µ ( f )+ae µ ( f + ) = a f dµ. (ii) Antag, at f,g L (µ). Vi bemærker først, at ( f + g) + ( f + g) = f + g = f + f + g + g, og dermed at (husk, at alle funktionsværdier er endelige) ( f + g) + + f + g = ( f + g) + f + + g +. 73

74 Ved anvendelse af Sætning 2.2.7(iii) følger det derfor, at E µ (( f + g) + )+E µ ( f )+E µ (g ) = E µ (( f + g) )+E µ ( f + )+E µ (g + ). Da alle indgående integraler er endelige (jvf. Bemærkning 2.4.2(4)), kan vi herfra slutte, at ( f + g)dµ = E µ (( f + g) + ) E µ (( f + g) ) som ønsket. = E µ ( f + ) E µ ( f )+E µ (g + ) E µ (g ) = f dµ + gdµ, (iii) Vi bemærker først, at vi uden tab af generalitet kan antage, at f g overalt (dvs. for alle x i ) og ikke bare µ-n.o. I modsat fald kan vi nemlig erstatte f og g med funktionerne f { f g} og g { f g} uden at ændre på integralerne f dµ, gdµ (jvf. Bemærkning 2.4.4(4)) eller på om f = g µ-n.o. Vi antager således, at f g, eller ækvivalent at f + g +, og f g. Ved anvendelse af Sætning 2.2.7(iv) finder vi så, at f dµ = E µ ( f + ) E µ ( f ) E µ (g + ) E µ (g ) = gdµ. Antages nu yderligere, at f,g L (µ), kan vi betragte funktionen g f L (µ) +, og det følger da fra (i) og (ii), at gdµ = f dµ (g f)dµ = g f = µ-n.o., hvor vi til sidst benytter Sætning 2.3.6(i). (iv) Vi finder ved anvendelse af trekantsuligheden (for ), at f dµ = Eµ ( f + ) E µ ( f ) Eµ ( f + )+E µ ( f ) = E µ ( f + + f ) = E µ ( f ) = f dµ. Dermed er sætningen vist Bemærkninger. () I forbindelse med (iii) i Sætning bemærkes, at hvis f, g L(µ), f g, og f dµ = gdµ =, så kan man ikke generelt slutte, at f = g µ-n.o. Betragt f.eks. funktionerne og 2, i tilfældet hvor µ() =. (2) Formlen i Sætning 2.4.5(ii) gælder faktisk mere generelt i tilfældet, hvor f L(µ), og g L (µ). Husk nemlig først fra Bemærkning 2.4.2(5), at under disse antagelser har vi, at f + g L(µ). Hvis så E µ ( f + ) og E µ ( f ) begge er endelige, så er mængden N = { f = } en µ-nulmængde, idet E µ ( f ) < (jvf. Sætning 2.3.6(iii)). Dermed følger 74

75 det, at f N c L (µ), og ved anvendelse af Bemærkning 2.4.4(4) samt Sætning 2.4.5(ii) finder vi derfor, at ( f + g)dµ = ( f N c + g)dµ = f N c dµ + gdµ = f dµ + gdµ. Vi mangler således kun at betragte tilfældene, hvor enten E µ ( f + ) = eller E µ ( f ) =. Antages f.eks., at E µ ( f ) =, så finder vi ved anvendelse af (2.5), at således at f = ( ( f + g)+( g) ) ( f + g) +( g) = ( f + g) + g +, = E µ ( f ) E µ (( f + g) )+E µ (g + ). Da E µ (g + ) <, kan vi altså slutte, at E µ (( f + g) ) =, og dermed at ( f + g)dµ = E µ (( f + g) + ) E µ (( f + g) ) = = E µ ( f + ) E µ ( f )+ gdµ = f dµ + gdµ. Tilfældet, hvor E µ ( f + ) =, klares tilsvarende. En ofte benyttet metode til at påvise, at en forelagt funktion f tilhører L(µ), består i at sammenligne f med en funktion g, som man ved tilhører L(µ): Korollar. Lad f være en funktion i M(E). (i) Antag, at der findes en funktion g fra L(µ), således at f g µ-n.o., og E µ (g + ) <. Da gælder der også, at f L(µ), og at f dµ <. (ii) Antag, at der findes en funktion g fra L(µ), således at f g µ-n.o., og E µ (g ) <. Da gælder der også, at f L(µ), og at f dµ >. (iii) Antag, at f kun antager reelle værdier, og at der findes en funktion g fra M(E) +, således at f g µ-n.o., og E µ (g) <. Da gælder der, at f L (µ). Bevis. (i) Da f g µ-n.o., har vi specielt, at f + g + µ-n.o., og dermed giver Sætning 2.4.5(iii), at E µ ( f + ) E µ (g + ) <. Dette sikrer, at f L(µ), og at f dµ = E µ ( f + ) E µ ( f ) <. 75

76 (ii) Da f g µ-n.o., har vi specielt, at f g µ-n.o., og udsagnet følger herefter ganske som i beviset for (i). (iii) Da f g µ-n.o., giver Sætning 2.4.5(iii), at E µ ( f ) E µ (g) <, og dermed at f L (µ) ifølge (2.3). Lad os afslutningsvist i dette afsnit bemærke, at der mellem klasserne L (µ) og L(µ) ligger klassen L (µ) = { f M(E) E µ ( f ) < }, der kun adskiller sig fra L (µ) derved, at funktionerne gerne må antage værdier i {, }. Betingelsen E µ ( f ) < medfører dog ifølge Sætning 2.3.6(iii), at mængden N = { f = } = {x f(x) {, }} er en µ-nulmængde, og funktionen f N c er så et element i L (µ), der opfylder, at f = f N c µ-n.o. Generelt vil de resultater, som vi ovenfor og i det følgende beviser for L (µ), således også være gyldige for L (µ) (evt. i en passende modificeret form), hvilket i alle tilfælde indses ved at indføre en passende µ-nulmængde. Vi vil derfor ikke i det følgende arbejde specifikt med klassen L (µ). 2.5 Konvergenssætninger for integralet I dette afsnit betragtes et fast målrum (,E, µ). Vi skal vise en række vigtige og nyttige resultater om, hvornår man for en følge af funktioner fra M(E), der konvergerer µ-næsten overalt, kan bytte om på rækkefølgen af grænseværdi og integration. Hovedsætning er som tidligere nævnt et resultat af denne type, og vi starter med at vise en stærkere version af dette resultat Sætning. (Generaliseret Monoton Konvergens) (i) Lad f, f, f 2, f 3,... være funktioner fra M(E), som opfylder følgende tre betingelser: (a) f f 2 f 3 µ-n.o. (b) f dµ <. (c) f = lim f n µ-n.o. Da gælder der, at f n L(µ) for alle n, f L(µ), og at f n dµ f dµ for n. (ii) Antag, at f, f, f 2, f 3,... er funktioner fra M(E), således at følgende tre betingelser er opfyldte: (d) f f 2 f 3 µ-n.o. (e) f + dµ <. (f) f = lim f n µ-n.o. Da gælder der, at f n L(µ) for alle n, f L(µ), og at f n dµ f dµ for n. Vi har allerede gennemført et argument af denne type i Bemærkning 2.4.6(2). 76

77 Bevis. (i) Da f n f µ-n.o. for alle n, og dermed også f = lim f n f µ-n.o., så følger det umiddelbart fra Korollar 2.4.7(ii), at f n L(µ) for alle n, og at f L(µ). For at vise konvergensudsagnet antager vi først, at (a) og (c) gælder overalt (og ikke bare næsten overalt), samt at f (x) < for alle x i. Bemærk så, at f f f n, og dermed at f + f n for alle n. Ved anvendelse af Bemærkning 2.4.6(2) sammen med Hovedsætning på den voksende følge ( f + f n) n N fra M(E) + finder vi så, at f dµ + f dµ = ( f ( = lim + f)dµ = lim f dµ + ( f + f n)dµ ) f n dµ = f dµ + lim og dermed fremgår det ønskede ved subtraktion af det endelige tal f dµ. f n dµ, Under de generelle antagelser i (i) bemærker vi først, at antagelse (b) ifølge Sætning 2.3.6(iii) medfører, at µ({ f = }) =. Sammen med antagelserne (a) og (c) kan vi dermed slutte, at mængden ( N = {x f n (x) f(x)} { f ) = } { f n > f n+ } er en (målelig) µ-nulmængde. Funktionerne f n N c og f N c opfylder nu de skærpede forudsætninger, under hvilke vi beviste konvergensudsagnet ovenfor, og vi kan derfor slutte, at f n N c dµ f N c dµ for n. Men da f n = f n N c µ-n.o., ligesom f = f N c µ-n.o., følger det herefter ved anvendelse af Bemærkning 2.4.4(4), at også f n dµ f dµ for n. (ii) Funktionerne f, f, f 2, f 3,... opfylder betingelserne: f f 2 f 3 µ-n.o. ( f ) dµ = f + dµ <. f = lim ( f n ) µ-n.o. Ved anvendelse af (i), Bemærkning 2.4.2(3) og Sætning 2.4.5(i) følger det derfor, at f n L(µ) for alle n, at f L(µ), samt at f n dµ = ( f n )dµ ( f)dµ = n N f dµ for n, hvoraf det ønskede fremgår ved multiplikation med Sætning. (Generaliseret Fatous Lemma) (i) Lad ( f n ) være en følge af funktioner fra M(E), og antag, at der findes en funktion g fra L(µ), således at (a) f n g µ-n.o. for alle n i N (b) g dµ <. 77

78 Da gælder der, at f n L(µ) for alle n, liminf f n L(µ), og at ( ) lim inf n dµ liminf f n dµ. (ii) Lad ( f n ) være en følge af funktioner fra M(E), og antag, at der findes en funktion g fra L(µ), således at (c) f n g µ-n.o. for alle n i N. (d) g + dµ <. Da gælder der, at f n L(µ) for alle n, limsup f n L(µ), og at ( lim sup f n )dµ limsup f n dµ. Bevis. (i) Da f n g µ-n.o. for alle n, og dermed også liminf f n g µ-n.o., følger det umiddelbart fra Korollar 2.4.7(ii), at f n L(µ) for alle n, og at liminf f n L(µ). For hvert k i N betragter vi herefter funktionen u k givet ved u k = inf n k f n M(E), og vi husker, at u k liminf f n for k. Da g inf n N f n = u µ-n.o., følger det videre fra Sætning 2.4.5(iii), at u dµ g dµ <. Alle forudsætninger for anvendelse af Sætning 2.5. på følgen (u n ) er dermed opfyldte. Vi finder således ganske som i beviset for Sætning 2.2., at ( ) lim inf f n dµ = lim k som ønsket. ( ) u k dµ = lim inf f n dµ liminf k n k k (ii) Funktionerne g, f, f 2, f 3,... opfylder betingelserne: f n g µ-n.o. for alle n i N. ( g) dµ = g + dµ <. Ved anvendelse af (i) følger det derfor, at f n L(µ) for alle n, og at lim sup f n = liminf ( f n) L(µ), og endelig at ( ( lim sup f n )dµ = limsup f n )dµ = liminf ( f n )dµ = liminf = limsup f n dµ, 78 f k dµ, ( ) lim inf ( f n) dµ ( ) f n dµ

79 hvoraf det ønskede fremgår ved multiplikation med. Nedenstående hovedresultat er yderst anvendeligt, og det er dermed et af de vigtigste resultater om Lebesgue-integralet Hovedsætning. (Domineret Konvergens) Lad f, f, f 2, f 3,... være funktioner fra M(E), og antag, at (a) f = lim f n µ-n.o. Antag endvidere, at der findes en funktion g fra M(E) +, således at følgende to betingelser er opfyldte: (b) f n g µ-n.o. for alle n i N. (c) gdµ <. Da gælder der, at f n L (µ) for alle n, f L (µ), og f dµ = lim f n dµ, ligesom lim f n f dµ =. Bevis. Da f n g µ-n.o. for alle n, og dermed også f = lim f n g µ-n.o., følger det umiddelbart fra Korollar 2.4.7(iii), at f n L (µ) for alle n, og at f L (µ). Bemærk derpå, at f n dµ f dµ = ( f n f)dµ f n f dµ, ved anvendelse af (i), (ii) og (iv) i Sætning Det er derfor nok at vise, at f n f dµ =. lim Bemærk hertil, at f n f f n + f 2g µ-n.o. for alle n. Ved anvendelse af Sætning 2.5.2(ii) finder vi derfor, at ( ) lim sup f n f dµ lim sup f n f dµ = dµ =, som ønsket Bemærkninger. () En funktion g fra M(E) +, der opfylder betingelserne (b) og (c) i Hovedsætning 2.5.3, omtales ofte som en integrabel majorent for følgen ( f n ). Hovedsætningen omtales derfor ofte som Lebesgues Sætning om domineret konvergens eller Lebesgues majorentsætning eller blot domineret konvergens. (2) Konvergensudsagnene i Hovedsætning gælder faktisk også, hvis man kun forudsætter, at f, f, f 2, f 3... er elementer i M(E) og ikke M(E). Argumentet er naturligvis, at betingelse (c) sikrer, at g < µ-n.o., og dermed at f n g < µ-n.o., ligesom f g < µ-n.o. Ved at indføre en passende µ-nulmængde som i beviset for Sætning 2.5. opnås 79

80 konvergensudsagnene dermed også i den mere generelle situation. Dog skal man i forbindelse med udsagnet lim f n f dµ =, (2.7) være opmærksom på, at differensen f n f kan være udefineret i nogle punkter. Men da f n, f R µ-n.o., udgør disse punkter højst en µ-nulmængde, og de har derfor ingen betydning for værdien af integralet f n f dµ, hvorfor (2.7) alligevel giver mening i den mere generelle situation Eksempel. Lad µ være et mål på (R,B(R)), og lad f være en funktion i L (µ). Da gælder der, at f [ n,n] f, og f [ n,n] f for alle n. Det følger derfor ved anvendelse af Sætning (med g = f ), at f dµ = lim f [ n,n] dµ. I tilfældet, hvor µ er Lebesgue-målet λ, og f yderligere er kontinuert, kan man, som vi skal se i Afsnit 2.7, identificere f [ n,n] dλ med Riemann-integralet R n n f(x)dx. Dermed kan man altså analogt til Eksempel 2.2.6(B) bestemme f dλ som en grænseværdi af Riemannintegraler. 2.6 Integration over delmængde Lad (,E, µ) være et målrum, og lad A være en ikke-tom mængde fra E. Vi skal i dette afsnit kort diskutere integraler over A med hensyn til µ både for funktioner, der er defineret på hele, og for funktioner der kun er defineret på A. Vi minder om (jvf. Bemærkning.7.2()), at vi kan udstyre A med σ-algebraen E A = {A B B E} = {B E B A}. For en funktion g: A R skal vi endvidere betragte funktionen g: R givet ved: { g(x), hvis x A g(x) =, hvis x A c. (2.8) Vi vil omtale g som standard-udvidelsen af g. Det følger umiddelbart ved anvendelse af Sætning.7.3, at g M(E), hvis g M(E A ) Definition. (a) Lad f : R være en funktion i M(E), og antag, at f A L(µ). Vi definerer da µ-integralet A f dµ af f over A ved formlen: f dµ = f A dµ. A Hvis værdien af integralet er et reelt tal, siges f at være µ-integrabel over A. 8

81 (b) Lad g: A R være en funktion i M(E A ), og betragt funktionen g givet ved (2.8). Hvis g L(µ), definerer vi µ-integralet A gdµ af g over A ved: gdµ = gdµ. A Hvis værdien af integralet er et reelt tal, siges g at være µ-integrabel over A Bemærkninger. () Lad A og B være disjunkte mængder fra E. For enhver funktion f fra L(µ) har vi da, at f A B = f A + f B, og at A B f dµ = A f dµ + f dµ. (2.9) B Dette følger umiddelbart fra Sætning 2.2.7(iii), hvis f, og fra Sætning 2.4.5(ii) hvis f L (µ). For generelt f i L(µ) følger (2.9) f.eks. ved at splitte f som f + f, idet man kan være sikker på, at A B f + dµ, f + dµ, f + dµ <, A B eller A B hvorfor (2.9) kan opnås ved at subtrahere de to ligninger: f + dµ = f + dµ + f + dµ, og f dµ = A B A B A B Som specialtilfælde af (2.9) har vi, at f dµ = for enhver mængde A fra E. A f dµ + f dµ, A c f dµ, f dµ, f dµ <, A B A f dµ + f dµ. B (2) For en funktion g fra M(E A ) kan det være bekvemt at skrive standard-udvidelsen g på formen g A, idet vi naturligt opfatter sidstnævnte udtryk som udenfor A, selvom udtrykket strengt taget kun giver mening indenfor A. Med denne konvention udtrykker Definition 2.6.(b) gyldigheden af formlen: gdµ = g A dµ, A også for funktioner, der kun er defineret på A (jvf. Definition 2.6.(a)) Notation. Lad I være et interval i R, og lad a,b være tal fra I, således at a < b. Lad endvidere µ være et mål på det målelige rum (I,B(I)) (jvf. Afsnit.7), og lad f : I R være 8

82 en funktion fra L(µ). Vi benytter da notationen: b a a b f dµ = f dµ = f dµ = (a,b] (a, ) (,b] f dµ = f dµ = I f dµ = I f (a,b] dµ f (a, ) dµ, I hvis sup(i) = f (,b] dµ, hvis inf(i) = Bemærkninger. () Med den netop indførte notation gælder indskudsreglen: c a f dµ = b a c f dµ + f dµ b for alle f fra L(µ) og alle reelle tal a,b,c fra I, således at a < b < c. Hvis f er integrabel over [min{a, b, c}, max{a, b, c}], gælder formlen faktisk også uanset det indbyrdes størrelsesforhold mellem a, b og c, hvis man benytter konventionen: b a a f dµ = f dµ. b (2) I situationen fra Notation gælder der f.eks., at f dµ = f dµ, [a,b] (a,b] hvis µ({a}) =. Vi har nemlig (jvf. Bemærkning 2.6.2), at [a,b] f dµ = {a} f dµ + f dµ, (a,b] hvor {a} f dµ = ifølge Sætning 2.3.6(ii) (anvendt på f + og f ). Betragt igen målrummet (,E, µ), en ikke-tom mængde A fra E samt det målelige rum (A,E A ). Det følger umiddelbart, at der ved definitionen µ r A (B) := µ(b), (B E A) fastlægges et mål µ A r på E A. Vi omtaler µ A r som restriktionen af µ til A. Som alternativ til Definition 2.6.(b) kunne man for en funktion g fra M(E A ) vælge at definere µ-integralet over A som integralet af g mht. målet µ A r (når dette integral eksisterer). Det viser sig heldigvis (og ikke overraskende), at denne tilgang giver samme resultat som Definition 2.6.(b). 82

83 2.6.5 Sætning. Lad g: A R være en funktion fra M(E A ), og betragt standard-udvidelsen g: R givet ved (2.8). Så gælder der, at g L(µ A r ) g L(µ), og i bekræftende fald gælder der videre, at gdµ A r = A gdµ = A gdµ. Bevis. Vi viser først, at afbildningen E A : M(E A ) + [, ] givet ved E A (g) = gdµ, (g M(E A ) + ) opfylder betingelserne (i)-(i3) i Hovedsætning 2.2. for µ r A -integralet: (i) Lad B være en mængde fra E A, dvs. B A og B E. Så gælder der 2, at B = B, og det følger, at E A ( B ) = B dµ = µ(b) = µ A r (B). (i2) For to funktioner f,g fra M(E A ) + bemærker vi først, at ( f + g) = f + g, og det følger derfor vha. Sætning 2.2.7(iii), at E A ( f + g) = ( f + g) dµ = f + gdµ = f dµ + gdµ = E A ( f)+e A (g). (i3) Lad (g n ) være en voksende følge af funktioner fra M(E A ) +, og sæt g = lim g n. Vi bemærker så, at g n g for n, og ved anvendelse af Hovedsætning følger det derfor, at E A (g) = gdµ = lim Det følger nu fra Hovedsætning 2.2., at gdµ A r = E A(g) = A g n dµ = lim E A (g n ). gdµ = for alle funktioner g i M(E) +. For en vilkårlig funktion g fra M(E A ) bemærker vi dernæst, at (g ± ) = ( g) ±, og derfor følger det umiddelbart, at ( ) ( ) g L(µ A r ) g + dµ A r g dµ A r <. A ( ) ( g) + dµ A ( A gdµ ) ( g) dµ < g L(µ), 2 På venstresiden opfattes B som en funktion defineret på A, og på højresiden som en funktion defineret på hele 83

84 og i bekræftende fald gælder der, at gdµ A r = g + dµ A r g dµ A r = A Dermed er sætningen vist. A A ( g) + dµ ( g) dµ = gdµ = gdµ. A 2.7 Lebesgue-integralet vs. Riemann-integralet Vi starter med kort at minde om konstruktionen af Riemann-integralet: Lad a og b være reelle tal, således at a < b. En inddeling af [a,b] er en endelig delmængde π = {t,t,...,t n } af [a,b], således at a = t < t < < t n = b. Med Π([a, b]) betegner vi systemet af alle inddelinger af [a, b]. Betragt nu yderligere en funktion f : [a,b] R. For en inddeling π = {t,t,...,t n } af [a,b] defineres den tilsvarende Riemannundersum R( f, π) og Riemann-oversum R( f, π) ved formlerne hvor R( f,π) = n i= m i (t i t i ), og R( f,π) = m i = inf f(t), og M i = sup t [t i,t i ] n i= t [t i,t i ] M i (t i t i ), f(t) Definition. En funktion f : [a, b] R siges at være Riemann-integrabel over [a, b], hvis < sup R( f,π) = inf R( f,π) <. π Π([a,b]) π Π([a,b]) I bekræftende fald defineres Riemann-integralet R b a f(x)dx af f over [a,b] ved b R f(x)dx = sup R( f,π) = inf R( f,π). a π Π([a,b]) π Π([a,b]) Bemærkninger. () Hvis f : [a, b] R er en kontinuert funktion, gælder der som bekendt, at f er Riemann-integrabel over [a,b], og at R b hvor F er en (vilkårlig) stamfunktion til f. a f(x)dx = F(b) F(a), (2) Hvis f : [a, b] R er Riemann-integrabel over [a, b], så er f nødvendigvis begrænset. Vi kan nemlig vælge en inddeling π = {t,t,...,t n } af [a,b], således at < R( f,π) = 84 n i= m i (t i t i ),

85 og dette medfører, at og dermed at < m i = inf t [t i,t i ] f(t) for alle i fra {,2,...,n}, inf f(t) = min m i >, t [a,b] i=,...,n således at f er nedadtil begrænset. Tilsvarende ses, at f er opadtil begrænset ved at betragte Riemann-oversummer Sætning. Lad a og b være reelle tal, således at a < b, og lad f : [a,b] R være en B([a, b]) B(R)-målelig funktion. Hvis f er Riemann-integrabel over [a, b], da er f også element i L (λ[a,b] r ), og b b f dλ = R f(x)dx. a a Bevis. Antag, at f : [a, b] R er Riemann-integrabel. Ifølge Bemærkning 2.7.2(2) er f dermed begrænset, og vi sætter S = sup f(t) <. t [a,b] Betragt endvidere standard-udvidelsen af f : { f(t), hvis t [a,b] f(t) =, hvis t R \[a,b], og bemærk, at f S [a,b]. Det følger så (jvf. Sætning 2.6.5), at f dλ[a,b] r = f dλ S [a,b] dλ = Sλ([a,b]) = S(b a) <, [a,b] hvilket viser, at f L (λ r [a,b] ). Betragt derpå en vilkårlig inddeling π = {t,t,...,t n } af [a,b], og bemærk, at udenfor λ-nulmængden {b} gælder vurderingen: hvor som ovenfor n i= m i [ti,t i ) f n i= M i [ti,t i ), m i = inf f(t), og M i = sup t [t i,t i ] t [t i,t i ] f(t). Ved anvendelse af (i)-(iii) i Sætning følger det så, at n ( n ) R(π, f) = m i (t i t i ) = m i [ti,t i ) dλ f dλ i= i= ( n ) n M i [ti,t i ) dλ = M i (t i t i ) = R(π, f). i= 85 i=

86 Idet f dλ = b a f dλ (jvf. Definition 2.6.), har vi altså for enhver inddeling π af [a,b], at og derfor også at R(π, f) Da f er Riemann-integrabel ved vi, at b a f dλ R(π, f), b sup R(π, f) π Π([a,b]) a f dλ inf R(π, f). π Π([a,b]) (2.2) b sup R(π, f) = inf R(π, f) = R f(x)dx, π Π([a,b]) π Π([a,b]) a og sammenholdes dette med (2.2), fremgår det ønskede umiddelbart Bemærkninger. () Hvis f : [a,b] R er en funktion i L(λ[a,b] r ), skriver man som en konsekvens af ovenstående sætning ofte b a f(x)dx i stedet for b a f dλ. (2) Hvis f : [a, b] R er kontinuert på [a, b], så medfører ovenstående sætning, at integralet over [a,b] med hensyn til λ kan udregnes ved hjælp af stamfunktionsbestemmelse: b hvor F er en stamfunktion til f. a b f dλ = R f(x)dx = F(b) F(a), a Eksempler. (A) Lad os som et konkret eksempel benytte resultaterne ovenfor til at udregne integralet [, ) xe x λ(dx). Vi bemærker først, at xe x [, ) (x) = lim xe x [,n] (x) for alle x i R, og at xe x [,n] (x) er ikke-negativ og voksende i n. Ved anvendelse af Hovedsætning og Sætning følger det derfor, at xe x λ(dx) = xe x [, ) (x)λ(dx) = lim For fast n i N finder vi dernæst ved partiel integration, at n R xe x dx = [ xe x] n + R n n xe x [,n] (x)λ(dx) = lim R xe x dx. (2.2) e x dx = ne n + [ e x] n = (n+)e n +. Sammenholdes dette med (2.2), kan vi konkludere, at xe x ( λ(dx) = lim (n+)e n + ) =. 86

87 (B) Funktionen D = Q [,] omtales ofte som Dirichlets funktion. Der gælder oplagt, at D L (λ), og at D(x)λ(dx) = λ(q [,]) =. Men D er ikke Riemann-integrabel over [,]! For en vilkårlig inddeling π = {t,t,...,t n } af [,], gælder der nemlig, at m i = inf D(t) =, og M i = sup t [t i,t i ] t [t i,t i ] D(t) =, eftersom både Q og R \Q er tætte i R. Det følger derfor umiddelbart, at R(D,π) =, og at R(D,π) = for enhver inddeling π af [,], og dermed gælder der også, at sup R(D,π) = < = inf R(D,π). π Π([,]) π Π([,]) Da Q [,] er en tællelig mængde, kan vi skrive den på formen: Q [,] = {x n n N}. For hvert n i N kan vi da betragte funktionen f n : [,] R givet ved: f n (x) = n {x j }(x), (x [,]). j= Det følger da umiddelbart, at f n D for n. Endvidere er det ikke svært at indse, at for hvert n er f n Riemann-integrabel, og R f n (x)dx =. Men da D ikke er Riemannintegrabel, overføres denne egenskab altså ikke fra f n erne til D ved grænseovergangen n, og det giver ikke mening at skrive: lim R f n (x)dx = R D(x) dx. (2.22) Erstatter vi imidlertid ovenstående Riemann-integraler med de tilsvarende integraler mht. Lebesgue-målet λ, da bliver (2.22) meningsfuld og korrekt i overensstemmelse med bl.a. Hovedsætningerne og Bemærkning. Lad os som afslutning på dette afsnit notere, at en funktion, der er Riemannintegrabel, ikke kan være alt for diskontinuert. Mere præcist gælder der (se f.eks. [Sc, Theorem.8]), at en begrænset funktion f : [a,b] R er Riemann-integrabel, hvis og kun hvis mængden af diskontinuitetspunkter for f udgør en λ-nulmængde (jvf. Eksempel 2.7.5(B)). Specielt vil enhver begrænset funktion med kun tælleligt mange diskontinuitetspunkter altså være Riemann-integrabel (jvf. Eksempel 2.3.3). 2.8 Opgaver til Kapitel Opgave. Vis udsagnene (i) og (ii) i Sætning Opgave. Lad (, E, µ) være et målrum. (a) Lad s være en funktion fra SM(E) + skrevet på formen s = 87 n a j A j, (2.23) j=

88 hvor a,...,a n, og A,...,A n E. Vis da, at n sdµ = a j µ(a j ), j= uanset om (2.23) er en standard-repræsentation eller ej (jvf. Definition 2..2). (b) Lad (A n ) være en følge af disjunkte mængder fra E, lad (a n ) være en følge af tal fra [, ), og betragt funktionen s: [, ) givet ved Vis da, at s M(E) +, og at s n (x) = a j A j (x), j= sdµ = a j µ(a j ). j= (x ). Gælder ovenstående også, hvis A j erne ikke er disjunkte? (c) Betragt funktionen s: R [, ) givet ved udtrykket: { n 2, hvis x (n,n], og n N, s(x) =, hvis x (,]. Vis da, at s M(B(R)) +, og udregn derefter integralet sdλ Opgave. Lad være en ikke-tom mængde, lad a være et udvalgt element i, og betragt målrummet (,P(),δ a ) (jvf. Eksempel.3.3(C)). Vis da, at f dδ a = f(a) for alle funktioner f : [, ]. [Vink: Benyt en passende udgave af standard-beviset (jvf. Opgave.9.3). Alternativt kan man benytte Hovedsætning 2.2.] Opgave. Lad (α n ) være en følge af tal fra [, ), og betragt da målrummet (N,P(N), µ), hvor µ er målet givet ved: µ = α n δ n n= (jvf. Opgave.9.4). Vis da, at der for enhver funktion f : N [, ] gælder, at f dµ = α n f(n). n= Opgave. (a) Lad f : R [, ) være en funktion fra M(B(R)) +, og antag, at f er kontinuert på (, ). Vis da, at n f [, ) dλ = lim R f(x)dx, og at f (,] dλ = lim R f(x)dx. /n 88

89 (b) Betragt funktionen f : R [, ) givet ved { x 2, hvis x (, ) f(x) =, hvis x (,]. Vis, at f M(B(R)) +, og udregn derefter integralerne f [, ) dλ og f (,] dλ ved at benytte sammenhængen mellem Lebesgue integraler og Riemann integraler (jvf. Bemærkning 2.2.6(B)) Opgave. Udregn for hvert α i R værdierne af integralerne x α λ(dx) og x α λ(dx). [Vink: Benyt Opgave ] Opgave. Betragt funktionerne f, f 2, f 3 : R [, ) givet ved: f (x) = x 2, f 2 (x) = +x 2, f 3(x) = e x, for alle x i R. Udregn da integralet f j dλ for hvert j fra {,2,3}. [Vink: Benyt Bemærkning 2.2.6(B)] Opgave. Fatous Lemma er, som det fremgår af dets bevis, en konsekvens af Lebesgues Sætning om Monoton Konvergens (kort: Monoton Konvergens). Giv omvendt et bevis for Monoton Konvergens baseret på Fatous Lemma (dvs. antag, at vi ved, at Fatous Lemma gælder). Giv tilsvarende et bevis for Monoton Konvergens baseret på Sætning Opgave. Betragt målrummet (R, B(R), λ). (a) Vis, at enhver tællelig delmængde af R er en (målelig) λ-nulmængde. Vi minder om, at en delmængde T af R d siges at være tæt i R d, hvis b(x,r) T / for alle x i R d og alle r i (, ). (b) Vis, at der for enhver delmængde N af R gælder implikationen: Gælder den modsatte implikation? N er en λ-nulmængde = R \ N er tæt i R. (c) Vis, at hvis f,g: R R er to kontinuerte funktioner, så gælder der, at f = g λ-n.o. f(x) = g(x) for alle x i R. (d) Vis, at der ikke findes en kontinuert funktion f : R R, således at f = (, ) λ-n.o Opgave. Betragt målrummet (N, P(N), τ), hvor τ er tællemålet. (a) Bestem systemet N τ af τ-nulmængder. (b) Beskriv mængderne L(τ) og L (τ). 89

90 (c) Vis, at der for enhver funktion f fra L (τ) gælder, at N f(n)τ(dn) = f(n). n= (d) Vis, at hvis f L(τ), så eksisterer grænseværdien lim N N n= f(n) i [, ], og der gælder, at f(n)τ(dn) = lim f(n). N N N n= (e) Formulér Lebesgues sætninger om monoton og domineret konvergens (Hovedsætningerne og 2.5.3) for målrummet (N,P(N),τ) som resultater om rækker af hhv. ikkenegative og reelle tal Opgave. Betragt målrummet (R, B(R), λ). (a) Betragt desuden følgen ( f n ) af funktioner givet ved: f n = n (,/n], (n N). Bestem da lim f n (x) for alle x i R og lim fn dλ. Sammenhold med Hovedsætningerne og (b) Lad g: R R være en kontinuert funktion, og betragt følgen (g n ) af funktioner givet ved: g n (x) = g(x n ) [,] (x), (x R, n N). Bestem lim g n (x) for alle x i R og lim gn dλ. [Vink: Benyt, at g er begrænset på [, ] samt Hovedsætning ] Opgave. Lad (,E, µ) være et målrum, og lad f,g,h være funktioner fra M(E). (a) Antag, at f,h L (µ), og at f g h µ-n.o. Vis da, at g L (µ). (b) Antag, at µ er et endeligt mål, og at der findes reelle konstanter a,b, således at a g(x) b for µ-næsten alle x i. Vis da, at g L (µ), og at aµ() g(x) µ(dx) bµ(). (c) Antag, at h L (µ), og at der findes en positiv konstant K, således at f K µ-n.o. Vis da, at produktet f h igen ligger i L (µ). (d) Antag at f,h L (µ). Undersøg om det generelt kan sluttes, at også f h L (µ) Opgave. Bevis at [Vink: Vis og benyt, at n x +n 2 λ(dx), for n. x2 n x +n 2 x 2 2 for alle x i (,] samt Opgave ] x 9

91 2.8.4 Opgave. Betragt funktionen f : R R givet ved: ln(x), hvis x >. f(x) =, hvis x =. ln( x), hvis x <. (a) Vis, at f / L (λ). (b) Vis, at f [ 2,2] L (λ), og bestem derefter værdien af integralet 2 2 f(x)λ(dx) Opgave. Lad (,E, µ) være et målrum, og antag, at µ() <. Lad endvidere ( f n ) være en følge af funktioner fra L (µ), og antag, at der findes en funktion f : R, således at f n f uniformt på for n. (a) Vis, at f L (µ), og at f dµ = lim fn dµ. (b) Gælder (a) også uden antagelsen om, at µ() <? Opgave. Lad (,E) være et måleligt rum, og lad µ, µ 2 : E [, ] være to mål herpå. Det følger specielt af Opgave.9.4, at der ved formlen: defineres et nyt mål ν på (,E). ν(a) = µ (A)+µ 2 (A), (A E) (a) Vis, at der for enhver funktion f fra M(E) + gælder, at f dν = f dµ + f dµ 2. (2.24) (b) Vis, at (2.24) også gælder for alle f i L(ν). (c) Vis, at L (ν) = L (µ ) L (µ 2 ). (d) Undersøg, om der generelt gælder, at L(µ) = L(µ ) L(µ 2 ) Opgave. Lad µ være et mål på (R,B(R)), og lad f være en funktion fra L (µ). (a) Vis, at der ved udtrykket F(x) = x f(t) µ(dt), (x R) defineres en funktion, som er højrekontinuert i ethvert x i R. (b) Vis, at for ethvert x i R eksisterer grænseværdien fra venstre lim y x F(y) i R. Undersøg endvidere, hvornår F er kontinuert i x Opgave. Lad (,E, µ) være et målrum, lad I være et interval i R, og lad f : I R være en funktion. For faste x i og t i R betragter vi snitfunktionerne f x : I R og f t : R givet ved f x (s) = f(x,s), (s I), 9

92 og f t (y) = f(y,t), (y ). Vi antager, at f t L (µ) for alle t i I, og vi kan da betragte funktionen F : I R givet ved F(t) = f t (x) µ(dx) = f(x,t) µ(dx), (t I). Antag yderligere, at alle snitfunktionerne f x er kontinuerte i et punkt t fra I, og at der findes en funktion g fra M(E) +, således at x t I : f(x,t) g(x), Vis da, at F ligeledes er kontinuert i t. og g(x) µ(dx) < Opgave. Betragt en kontinuert funktion f : R R, og definér for ethvert n i N funktionen n f : R R ved n f(x) = n( f(x+ n ) f(x)), (x R). (a) Vis, at hvis a,b R, og a < b, så gælder der, at b lim n f(x)λ(dx) = f(b) f(a). a (b) Antag, at f er differentiabel på hele R, og at den afledede f er begrænset på ethvert begrænset interval. Vis da, at b f(b) = f(a)+ f (t)λ(dt) a for alle a,b i R, således at a < b. [Vink: Benyt (a), Middelværdisætningen samt Lebesgues Sætning om Domineret Konvergens] Opgave. (Differentiation under integraltegnet) Lad (, E, µ) være et målrum, og lad I være et åbent interval i R. Lad endvidere f : I R være en funktion, og betragt for fastholdte t i I og x i snitfunktionerne f t (y) = f(y,t) (y ) og f x (s) = f(x,s), (s I). Vi antager, at f t L (µ) for alle t i I og kan dermed betragte funktionen F : I R givet ved Vi antager yderligere, at F(t) = f t (x) µ(dx) = f(x,t) µ(dx), (t I). 92

93 For hvert fast x i er snitfuntionen f x : I R differentiabel i I, dvs. for hvert t i I eksisterer den partielle afledede f x (t) = t f(t,x). Der findes en funktion g i M(E) +, således at gdµ <, og f(t,x) g(x) for alle x i og alle t i I. t Opgaven går ud på at vise, at F er differentiabel i I samt at bestemme differential-kvotienten. Lad således t være en punkt fra I, og lad (t n ) være en følge af punkter fra I \ {t}, således at t n t for n. (a) Vis, at F(t n ) F(t) t n t = f(x,t n ) f(x,t) t n t µ(dx), for alle n i N. (b) Vis, at for ethvert n i N og ethvert x i findes et punkt ξ n,x mellem t n og t, således at og udled, at f(x,t n ) f(x,t) t n t = t f(x,ξ n,x), f(x,t n) f(x,t) g(x) for alle n i N og alle x i. t n t (c) Vis, at funktionen x t f(x,t) er et element i L (µ), og at F(t n ) F(t) f(x,t) µ(dx). t n t t (d) Konkludér, at F er differentiabel i I med afledet F (t) = f(x,t) µ(dx), t (e) Vis, at der ved udtrykket F(t) = cos(t 2 x)e x λ(dx), (t I). (t R), fastlægges en veldefineret funktion F : R R, som er differentiabel i R. Bestem endvidere den afledede Opgave. Lad µ være et sandsynlighedsmål på (R, B(R)). (a) Vis, at der ved ligningen G(t) = defineres en kontinuert funktion G: R R. R cos(xt) µ(dx), (t R) (b) Antag, at R x2 µ(dx) <. Vis da, at G er to gange kontinuert differentiabel, og bestem G () samt G (). 93

94 3 Entydighed af mål Lad være en ikke-tom mængde. I de foregående kapitler har vi studeret mange aspekter af klassen af σ-algebraer i. I Afsnit 3. nedenfor skal vi introducere en bredere klasse af systemer af delmængder af, nemlig de såkaldte δ-systemer (hvor δ et står for J. Dynkin). Ofte står man i den situation, at man ønsker at påvise en bestemt egenskab P for alle mængder i σ(d), hvor D er et passende system af delmængder af, og hvor man ved, at P er gyldig for alle mængder i D. Som bekendt (jvf. Sætning..) er man færdig, hvis man kan vise, at systemet E(P) af alle delmængder af, der besidder P, udgør en σ-algebra, men dette kan være yderst vanskeligt (eller forkert). I en række sammenhænge viser det sig imidlertid væsentligt nemmere at påvise, at E(P) er et δ-system, og man har så brug for at vide, hvornår et δ-system, der indeholder D, også vil indeholde σ(d). Svaret på sidstnævnte spørgsmål leveres af Dynkins Lemma (Sætning 3..7 nedenfor). Præmie-eksemplet på anvendelse af den ovennævnte strategi præsenteres i Afsnit 3.2, hvor vi skal etablere entydighedssætninger for mål, men vi skal også i senere afsnit gøre brug af metoden. Entydighedssætningerne for mål udtaler sig om, hvornår man for to mål µ og ν på et måleligt rum (,E) kan slutte, at µ = ν, hvis man ved, at µ og ν stemmer overens på et frembringersystem for E. 3. δ-systemer og Dynkins Lemma I dette afsnit betragtes en fast ikke-tom mængde. Som nævnt ovenfor skal vi i det følgende indføre og studere en mere generel type af systemer af delmængder af end σ-algebraer nemlig de såkaldte δ-systemer (eller Dynkin-systemer). 3.. Definition. Et system D af delmængder af siges at udgøre et δ-system i, hvis det opfylder følgende betingelser: (δ) D. (δ2) B \ A D, hvis A,B D og A B [D er \-stabilt]. (δ3) Hvis (A n ) n N er en voksende følge af mængder fra D, så gælder der også, at n N A n D [D er -stabilt] Bemærkninger. () Det følger umiddelbart fra Definition.. og Lemma..3, at enhver σ-algebra i specielt er et δ-system i. (2) Antag, at D er et δ-system i. Så gælder der også, at (2a) A c = \ A D for alle A fra D pga. (δ) og (δ2). (2b) n N A n D for enhver dalende følge (A n ) af mængder fra D, idet n N A n = ( n N A c n) c, hvor (A c n ) n N er en voksende følge af mængder fra D. 94

95 Ganske som for σ-algebraer har vi følgende resultat Sætning. (i) For en vilkårlig familie (D i ) i I af δ-systemer i er systemet igen et δ-system i. D i = {A A D i for alle i I} i I (ii) For ethvert system S af delmængder af findes et mindste δ-system δ(s) i, som indeholder S, nemlig δ(s) = D. D δ -system i S D Bevis. Præcis som for σ-algebraer (jvf. Sætningerne..6 og..7) Bemærkning. () Lad D være et δ-system i, og lad S,S,S 2 være vilkårlige systemer af delmængder af. Ganske som for σ-algebraer (jvf. Bemærkning..9()) har vi da implikationerne: S D = δ(s) D. S S 2 = δ(s ) δ(s 2 ). (2) I situationen fra Sætning 3..3 kunne man fristes til at omtale D som et δ-frembringersystem for δ(s). For at undgå mulig forvirring vil vi dog undlade at benytte den terminologi, således at vi kan forbeholde ordet frembringersystem til σ-algebraer. Som nævnt er enhver σ-algebra specielt et δ-system. Det omvendte udsagn er ikke korrekt (et modeksempel gives i Opgave 3.3.), hvilket, som Lemma 3..6 nedenfor viser, skyldes, at et δ-system ikke nødvendigvis er -stabilt Notation & Terminologi. Et system S af delmængder af siges at være fællesmængde stabilt (kort: -stabilt), hvis A B S for alle A,B fra S. Hvis S er et -stabilt system af delmængder af, følger det umiddelbart ved iteration, at nj= A j S for alle n i N og alle mængder A,...,A n fra S. Egenskaben kan dog ikke generelt udvides til uendelige følger af mængder fra S Lemma. Lad D være et system af delmængder af. Da er følgende betingelser ækvivalente: 95

96 (a) D er en σ-algebra. (b) D er et -stabilt δ-system. Bevis. Som nævnt er det oplagt, at (a) medfører (b). For at vise den modsatte implikation antager vi, at D er et -stabilt δ-system, og vi viser så, at D opfylder betingelserne (σ)-(σ3) i Definition... Her er (σ) identisk med (δ), og (σ2) følger af (δ) og (δ2) (jvf. Bemærkning 3..2(2)). For endelig at påvise (σ3) antager vi, at (A n ) er en vilkårlig følge af mængder fra D, og vi definerer så en ny følge (B n ) af mængder ved: B n = n j= A j, (n N). Da gælder der oplagt, at B B 2 B 3, så hvis vi kan vise, at B n D for alle n, vil (δ3) sikre, at A n = B n D. n N j= n N Bemærk hertil, at B c n = ( n ) c n A j = A c n D, da D er -stabilt, og da A c n D for alle n. Men så følger det også, at B n = (B c n) c D. j= 3..7 Sætning. (Dynkins Lemma). Antag, at S er et -stabilt system af delmængder af. Så gælder der, at δ(s) = σ(s). Bevis. Da σ(s) er et δ-system, som indeholder S, gælder der oplagt, at δ(s) σ(s). For at vise den modsatte inklusion er det tilsvarende nok at vise, at δ(s) er en σ-algebra, hvilket ifølge Lemma 3..6 kommer ud på at vise, at δ(s) er -stabilt. For en vilkårlig mængde A fra δ(s) betragter vi hertil systemet Bemærk, at vi er færdige, hvis vi kan vise, at D A = {B δ(s) A B δ(s)}. Vi viser først, at D A er et δ-system for ethvert fast A i δ(s): (δ) D A, idet δ(s), og A = A δ(s). D A = δ(s) for alle A i δ(s). (3.) (δ2) Antag, at B,B 2 D A, og at B B 2. Så følger det, at B 2 \ B δ(s), og at A (B 2 \ B ) = (A B 2 ) \ B = (A B 2 ) \(A B ) δ(s), idet δ(s) er \-stabil, ligesom A B,A B 2 δ(s), og A B A B 2. 96

97 (δ3) Antag, at (B n ) er en følge af mængder fra D A, således at B B 2 B 3. Så gælder der, at n N B n δ(s), og at A ( ) B n = (A B n ) δ(s), n N idet δ(s) er -stabilt, ligesom A B n δ(s) for alle n, og A B A B 2. Efter at have etableret at D A er et δ-system, viser vi nu, at identiteten i (3.) er opfyldt, når A S. Da S er -stabilt, har vi nemlig i dette tilfælde, at S D A, og dermed at δ(s) D A, hvilket er ækvivalent med lighedstegnet i (3.). Vi har således vist, at n N A B δ(s) for alle A i S og alle B i δ(s). (3.2) Ved nu at lade A og B bytte rolle i forhold til det netop anførte argument følger gyldigheden af (3.) generelt: For fast B i δ(s) viser (3.2), at S D B, og da D B er et δ-system, følger det derfor, at δ(s) D B, altså δ(s) = D B, som ønsket. 3.2 Entydighedsresultater for mål Ved hjælp af Dynkins Lemma kan vi nu let vise et vigtigt entydighedsresultat for mål, der blandt sine konsekvenser tæller entydigheden af Lebesgue-mål. Vi deler resultatet op i to dele, hvoraf det første omhandler endelige mål og det sidste mere generelle mål Sætning. Lad (,E) være et måleligt rum, og lad µ og ν være to mål herpå, som opfylder, at µ() = ν() <. Antag videre, at der findes et system S af delmængder af, således at S er -stabilt, σ(s) = E, og µ(a) = ν(a) for alle A i S. Da er µ = ν, dvs. µ(a) = ν(a) for alle A i E. Bevis. Vi betragter systemet D = {A E µ(a) = ν(a)}, og vi skal vise, at D E. Vi bemærker først, at S D ifølge antagelserne. Hvis vi kan vise, at D er et δ-system, så vil det derfor følge, at δ(s) D, og da S er -stabilt gælder her ifølge Sætning 3..7, at δ(s) = σ(s) = E. Vi er derfor færdige, hvis vi kan vise, at D er et δ-system: (δ) D, idet µ() = ν() pr. antagelse. (δ2) Antag, at A,A 2 D, og at A A 2. Da µ og ν er endelige mål, følger det fra Sætning.3.4(iii), at således at A 2 \ A D. µ(a 2 \ A ) = µ(a 2 ) µ(a ) = ν(a 2 ) ν(a ) = ν(a 2 \ A ), 97

98 (δ3) Antag, at (A n ) er en følge af mængder fra D, således at A A 2 A 3. Ved anvendelse af Sætning.3.4(v) finder vi da, at µ ( n N således at n N A n D. Dermed er sætningen vist. ) A n = lim µ(a n ) = lim ν(a n ) = ν ( ) A n, n N Hovedsætning. Lad (,E) være et måleligt rum, og lad µ og ν være to mål herpå. Antag, at der findes et system S af delmængder af med følgende egenskaber: (a) S er -stabilt. (b) σ(s) = E. (c) Der findes en voksende følge (A n ) af mængder fra S, således at n N (d) µ(a) = ν(a) for alle A fra S. A n =, og µ(a n ) = ν(a n ) < for alle n. Da gælder der, at µ = ν, dvs. µ(a) = ν(a) for alle A fra E. Bevis. Betragt for hvert fast n i N målene µ A k n og νa k n på (,E) givet ved µ A k n (B) = µ(b A n ), og νa k n (B) = ν(b A n ), (B E) (jvf. Eksempel.3.3(D)). Det følger fra antagelse (c), at µ A k n () = µ(a n ) = ν(a n ) = νa k n () <, og antagelserne (a) og (d) sikrer videre, at µ A k n (B) = µ(b A n ) = ν(b A n ) = νa k n (B) for alle B fra S. Ved anvendelse af Sætning 3.2. kan vi derfor slutte, at µ A k n = νa k n, altså at µ(b A n ) = ν(b A n ) for alle B i E og n i N. (3.3) Lad nu B være en vilkårlig mængde fra E, og bemærk, at ifølge antagelse (c) har vi ( ) B A B A 2 B A 3, og (B A n ) = B A n = B = B. Ved anvendelse af Sætning.3.4(v) samt (3.3) ovenfor følger det derfor, at n N n N som ønsket. µ(b) = lim µ(b A n ) = lim ν(b A n ) = ν(b), 98

99 3.2.3 Eksempel. (Entydighed af Lebesgue-mål) Det følger fra Hovedsætning 3.2.2, at der højst kan findes et mål λ på (R,B(R)), som opfylder, at λ((a,b)) = b a for alle a,b i R, så at a < b. (3.4) Antages nemlig, at λ er endnu et mål på (R,B(R)) med denne egenskab, så stemmer λ og λ altså overens på systemet S = {(a,b) a,b R, a < b} {/}, som udgør et -stabilt frembringersystem for B(R) (jvf. Sætning.2.2). Sættes f.eks. A n = ( n,n), fremgår det videre, at A n = R, og λ(a n ) = 2n = λ (A n ) < for alle n. n N Alle antagelserne i Hovedsætning er således opfyldte, og vi kan slutte, at λ = λ. Helt tilsvarende indses, ved at betragte systemet S d = {(a,b ) (a d,b d ) a i,b i R, a i < b i, i =,...,d} {/}, at der højst findes et mål λ d på (R d,b(r d )), som opfylder, at λ d ((a,b ) (a d,b d )) = (b a ) (b d a d ). (3.5) Vi skal i de efterfølgende kurser vise, at der faktisk eksisterer mål λ på (R,B(R)) og λ d på (R d,b(r d )), som opfylder hhv. (3.4) og (3.5). Disse mål kaldes som bekendt for Lebesguemålene på hhv. R og R d Eksempel. (Fordelingsfunktioner) Lad µ være et endeligt mål på (R, B(R)), og betragt det -stabile frembringersystem S = {(,b] b R} for B(R) (jvf. Korollar.2.4). Det følger så umiddelbart fra Sætning 3.2., at µ er entydigt bestemt af funktionen F µ : R [, ) givet ved For hvis µ er endnu et mål på (R,B(R)), således at F µ (x) = µ((,x]), (x R). (3.6) F µ (x) = F µ (x) for alle x i R, så stemmer µ og µ overens på S, og dermed følger det også, at µ (R) = lim µ ((,n]) = lim F µ (n) = lim F µ (n) = µ(r) (jvf. Sætning.3.4(v)). Sætning 3.2. viser derfor, at µ = µ. Tilsvarende følger det, at ethvert endeligt mål ν på (R d,b(r d )) er entydigt bestemt af funktionen F ν : R d [, ) givet ved F ν ((x,...,x d )) = ν((,x ] (,x d ]), (x,...,x d R). Hvis µ og ν specielt er sandsynlighedsmål på hhv. (R,B(R)) og (R d,b(r d )), så kaldes funktionerne F µ og F ν for fordelingsfunktionerne for hhv. µ og ν. Et sandsynlighedsmål på (R d,b(r d )) er altså entydigt bestemt af sin fordelingsfunktion. 99

100 3.3 Opgaver til Kapitel Opgave. I denne opgave betragtes et målrum (, E, µ), således at µ() =. Vi betragter endvidere et vilkårligt system G af mængder fra E (dvs. G E), og vi indfører så mængdesystemet: U G := { A E µ(a B) = µ(a)µ(b) for alle B i G }. (a) Vis, at U G er et δ-system i. (b) Vis ved at give et eksempel, at U G ikke generelt er en σ-algebra. [Vink: Betragt f.eks. situationen: = {,2,3,4}, E = P(), og µ({ j}) = 4 for alle j i. Betragt endvidere mængderne A = {,3}, A 2 = {,4}, og B = {,2}.] (c) Er U G generelt en σ-algebra, hvis G er en del-σ-algebra af E? Opgave. Lad (,E, µ), G og U G være som i Opgave 3.3., men antag nu yderligere, at G er en del-σ-algebra af E. Vi betragter desuden en funktion f : R fra M(E), og vi antager, at f ([a,b]) U G for alle a,b i R, således at a b. (b) Vis, f.eks. vha. Dynkins Lemma, at f (B) U G for enhver Borelmængde B i R. [Vink: Betragt systemet I = {[a,b] a,b R, a b} {/}, og redegør for, at systemet f (I) er et -stabilt frembringersystem for f (B(R)).] (c) Vis, at hvis ψ SM(B(R)) +, og s SM(G) +, så gælder formlen: ψ( f(x)) s(x) µ(dx) = ψ( f(x)) µ(dx) s(x) µ(dx). [Vink: Antag evt. først, at ψ og s er indikatorfunktioner.] (d) Vis mere generelt, at hvis ϕ M(B(R)) +, og g M(G) +, så gælder formlen: ϕ( f(x)) g(x) µ(dx) = ϕ( f(x)) µ(dx) g(x) µ(dx) Opgave. Ved at kombinere Sætning.5.4(ii), Sætning.4.8 og Korollar.6.7(ii) følger det, at klassen M(B(R d )) af Borel-funktioner på R d har følgende egenskaber: (i) M(B(R d )) er et vektorrum. (ii) M(B(R d )) indeholder enhver kontinuert funktion f : R d R. (iii) Hvis ( f n ) er en punktvis konvergent følge af funktioner fra M(B(R d )), så gælder der også, at lim f n M(B(R d )). Denne opgave går ud på at vise, at M(B(R d )) er den mindste klasse af reelle funktioner på R d, som har egenskaberne (i)-(iii). Hvis C er en klasse af reelle funktioner på R d, som har egenskaberne (i)-(iii), skal det således nedenfor vises, at C M(B(R d )). For en vilkårlig ikke-tom delmængde A af R d og et vilkårligt x i R d sætter vi d(x,a) = inf{ρ 2 (x,y) y A},

101 hvor ρ 2 (x,y) er den sædvanlige afstand mellem x og y i R d (jvf. formel (.6)). Det kan i det følgende uden yderligere argumentation benyttes, at funktionen x d(x, A) er kontinuert på hele R d. Det kan tilsvarende benyttes 3, at hvis F er en lukket (=afsluttet), ikke-tom delmængde af R d, så gælder der for alle x i R d, at x F d(x,f) =. (a) Lad F være en ikke-tom lukket delmængde af R d, og definér derefter for hvert n i N: H n = {x R d d(x,f) n }. Vis da, at H n er en lukket delmængde af R d for alle n i N, og at n N H n = F c. (b) Antag, at F er en lukket delmængde af R d, og at / F R d. Vis da, at der findes et N i N, således at H n /, når n N. Vis derefter, at hvis n N, så fastlægges ved udtrykket: f n (x) = en veldefineret funktion f n på R d. Vis endelig, at d(x,h n ) d(x,f)+d(x,h n ), (x Rd ) lim f n+n(x) = F (x) for alle x i R d. Lad nu C være en klasse af reelle funktioner defineret på R d, og antag, at C opfylder betingelserne: (i) C er et vektorrum. (ii) C indeholder enhver kontinuert funktion f : R d R. (iii) Hvis ( f n ) er en punktvis konvergent følge af funktioner fra C, så gælder der også, at lim f n C. (c) Vis, at { F F R d, og F er lukket} C. (d) Vis, at systemet er et δ-system i R d. D = {B R d B C} (e) Udled vha. Dynkins Lemma, at D B(R d ). (f) Vis, f.eks. ved at benytte standard-beviset, at C M(B(R d )). 3 Den ambitiøse studerende bør naturligvis overveje disse påstande!

102 4 Produktmål Betragt to målrum (,E, µ) og (Y,F,ν). Vi skal i dette kapitel organisere det kartesiske produkt Y til et målrum ( Y,E F, µ ν), således at E F indeholder alle produktmængder A B, hvor A E og B F, og således at µ ν(a B) = µ(a)ν(b), (4.) for sådanne A og B. Konstruktionen af µ ν viser sig imidlertid kun at være mulig under antagelse af, at µ og ν er σ-endelige (jvf. Definition.3.7), og den bygger på µ- og ν-integralerne, som vi har indført i Kapitel 2. Under forudsætningen om σ-endelighed gælder der også, at målet µ ν er entydigt bestemt af betingelsen (4.), og µ ν omtales derfor som produktmålet af µ og ν. I tilfældet (,E, µ) = (Y,F,ν) = (R,B(R),λ) ses specielt, at produktmålet λ λ har den egenskab, der karakteriserer Lebesgue-målet λ 2 (jvf. Eksempel 3.2.3). Dermed følger eksistensen af Lebesgue-målet i to dimensioner (og ved iteration i højere dimensioner) fra eksistensen af det én-dimensionale Lebesgue-mål og konstruktionen af produktmål, som vi skal give nedenfor. Vores udestående, hvad angår Lebesgue-mål, er efter dette kapitel således reduceret til at etablere eksistensen af det én-dimensionale Lebesgue-mål λ. I afsnit 4.4 skal vi undersøge, hvordan man integrerer med hensyn til produktmålet µ ν. Vi skal således vise to resultater (Tonellis og Fubinis sætninger), der udtrykker, hvordan integraler mht. µ ν kan udregnes som dobbelt-integraler, idet man først integrerer mht. µ og dernæst mht. ν (eller omvendt). 4. Produktrummet af to målelige rum I dette afsnit betragtes to målelige rum (, E) og (Y, F). Vi skal udstyre det kartesiske produkt Y med en naturlig σ-algebra E F, ligesom vi skal studere målelighed med hensyn til E F både af afbildinger defineret på Y og af afbildninger med værdier i Y. 4.. Definition. Vi udstyrer det kartesiske produkt Y med produkt-σ-algebraen E F, defineret ved E F = σ ( {A B A E, B F} ). I forbindelse med produktrummet Y er det naturligt at betragte koordinat-projektionerne ned på hhv. og Y samt indlejringerne af og Y i Y Definition. (a) Koordinat-projektionerne p : Y og p 2 : Y Y defineres ved: p (x,y) = x og p 2 (x,y) = y for alle (x,y) i Y. 2

103 (b) Lad x og y være faste elementer i hhv. og Y. Vi definerer da de tilhørende indlejringsafbildninger ι x : Y Y og ι y : Y ved ι x (y) = (x,y), og ι y (x) = (x,y ), (x, y Y). Det næste resultat viser specielt, at produkt-σ-algebraen E F er nært knyttet til projektionsafbildningerne Sætning. (i) Projektionsafbildningerne p og p 2 er hhv. (E F)-E- og (E F)-Fmålelige. Endvidere kan E F karakteriseres som den mindste σ-algebra i Y med denne egenskab: Hvis H er en σ-algebra i Y, som opfylder, at p og p 2 er hhv. H-Eog H-F-målelige, så gælder der, at H E F. (ii) For vilkårlige x i og y i Y er indlejringsafbildningerne ι x : Y Y og ι y : Y hhv. F-(E F)- og E-(E F)-målelige. Bevis. (i) For vilkårlige mængder A fra E og B fra F har vi, at p (A) = A Y E F og p (B) = B E F, hvilket viser, at p og p 2 er målelige som foreskrevet. Antag derpå, at H er en σ-algebra i Y som beskrevet i (i). Det følger da, at A B = (A Y) ( B) = p og dette medfører (jvf. (.3)), at som ønsket. 2 (A) p 2 (B) H for alle A i E og B i F, H σ ( {A B A E, B F} ) = E F, (ii) For at vise at ι x er F-(E F)-målelig, er det ifølge Sætning.4.6(iv) nok at vise, at ιx (D) F for alle mængder D fra frembringersystemet {A B A E, B F} for E F. Men hvis A E og B F, ses det umiddelbart, at { ιx B F, hvis x A (A B) = {y Y (x,y) A B} = / F, hvis x / A, som ønsket. Helt tilsvarende vises det, at ι y er E-(E F)-målelig Sætning. Lad (, E), (Y, F) og (Z, H) være målelige rum. (i) En funktion f : Z Y er H-(E F)-målelig, hvis og kun hvis koordinatafbildningerne p f : Z og p 2 f : Z Y er hhv. H-E- og H-F-målelige. 3

104 (ii) Lad g: Y Z være en (E F)-H-målelig afbildning, og lad x og y være faste elementer i hhv. og Y. Da er snit-afbildningerne g(,y ): x g(x,y ): Z og g(x, ): y g(x,y): Y Z hhv. E-H- og F-H-målelige. Bevis. (i) Antag først, at f er H-E F målelig. Idet p og p 2 er hhv. (E F)-E- og (E F)-Fmålelige, følger det fra Sætning.4.6(v), at p f og p 2 f er hhv. H-E- og H-F-målelige. Antag omvendt, at p f og p 2 f er hhv. H-E- og H-F-målelige. Ifølge Sætning.4.6(iv) er det nok at vise, at f (A B) H for alle A i E og B i F. Men for sådanne A og B finder vi, at f (A B) = (p f) (A) (p 2 f) (B) H, idet mængderne (p f) (A) og (p 2 f) (B) begge er elementer i H. (ii) Bemærk, at g(,y ) = g ι y, og g(x, ) = g ι x, hvor afbildningerne ι y og ι x er hhv. E-(E F)- og F-(E F)-målelige ifølge Sætning Dermed følger påstanden umiddelbart af Sætning.4.6(v) Bemærkning. Lad U være en delmængde af Y, og lad x og y være udvalgte elementer i hhv. og Y. Vi benytter da notationen og U x = {y Y (x,y) U} = ιx (U) U y = {x (x,y ) U} = (ι y ) (U), og disse mængder kaldes for snitmængderne af U i hhv. x og y. y_ U x_ Figur 5: Snitmængder i en delmængde U af R 2. De med fedt markerede intervaller på 2.-aksen udgør tilsammen snitmængden U x, mens de med fedt markerede intervaller på.-aksen tilsammen udgør snitmængden U y. 4

105 Som følge af Sætning 4..3 noterer vi, at U x F, og U y E for alle U i E F. Snitmængderne spiller en væsentlig rolle i konstruktionen af produktmålet i Afsnit 4.3. Det næste resultat er nyttigt med henblik på at identificere (små) frembringersystemer for E F Sætning. Lad C og D være frembringersystemer for hhv. E og F, og antag, at der findes følger (C n ) og (D n ) af mængder fra hhv. C og D, således at n N C n =, og n N D n = Y. Da gælder der, at E F = σ ( {A B A C, B D} ). Bevis. Vi sætter H = σ({a B A C, B D}). Det følger umiddelbart fra definitionen af E F, at H E F. For at vise den omvendte inklusion er det ifølge Sætning 4..3(i) nok at vise, at p og p 2 er hhv. H-E- og H-F-målelige. For at vise denne målelighed af p er det ifølge Sætning.4.6(iv) nok at vise, at p (A) H for alle A i C, og for et sådant A finder vi, at p (A) = A Y = A ( n N D n ) = n N A D n H, eftersom A D n H for alle n. Tilsvarende vises det, at p 2 er målelig som foreskrevet. I forbindelse med Sætning 4..6 ovenfor noterer vi, at betingelsen om eksistens af følger (C n ) og (D n ) med de i sætningen beskrevne egenskaber specielt er opfyldt, hvis C og Y D Korollar. I tilfældet (, E) = (Y, F) = (R, B(R)) gælder der, at B(R) B(R) = B(R 2 ). Bevis. Ved anvendelse af Sætning.2.2 følger det, at og at B(R) = σ ( {(a,b) < a < b < } ), B(R 2 ) = σ ( {(a,b ) (a 2,b 2 ) < a i < b i <, i =,2} ). (4.2) Idet vi kan skrive: R = n N( n,n), følger det endvidere fra Sætning 4..6, at højresiden af (4.2) er lig med B(R) B(R). 5

106 4.2 Produktrum af flere end to målelige rum Vi skal i dette afsnit kort gennemgå, hvordan resultaterne fra det foregående afsnit kommer til at se ud, hvis man betragter produktrummet af flere end to målelige rum. Vi betragter således i det følgende d målelige rum (,E ),...,( d,e d ), hvor d er et naturligt tal større end Definition. Vi udstyrer det kartesiske produkt d med produkt-σ-algebraen E E d defineret ved E E d = σ ( {A A d A i E i, i =,...,d} ). For hvert i fra {,2,...,d} kan vi betragte projektions-afbildningen p i : (x,...,x d ) x i : d i, (4.3) og for fastholdte ξ j fra j, j {,2,...,d} \ {i}, kan vi betragte indlejringsafbildningen x i (ξ,...,ξ i,x i,ξ i+,...,ξ d ): i d. (4.4) I analogi med Sætning 4..3 har vi da Sætning. (i) For hvert i fra {,2,...,d} er projektionsafbildningen p i givet ved (4.3) (E E d )-E i -målelig. Endvidere kan E E d karakteriseres som den mindste σ-algebra i d med denne egenskab: Hvis H er en σ-algebra i d, som opfylder, at p i er H-E i -målelig for alle i, så gælder der, at H E E d. (ii) Lad i fra {,2,...,d} og ξ j fra j, j {,2,...,d} \ {i}, være givne. Da er indlejringsafbildningen givet ved (4.4) E i -(E E d )-målelig. Bevis. (i) Dette følger ganske som i beviset for Sætning 4..3 ved anvendelse af identiteterne: p i (A i ) = i A i i+ d, (A i E i, i =,2,...,d), og A A d = d i= p i (A i ), (A i E i, i =,2,...,d). (ii) Lad ι betegne indlejringsafbildningen givet ved (4.4). Ifølge Sætning.4.6(iv) er det nok at vise, at ι (A A d ) E i for vilkårlige A j fra E j, j =,2,...,d. Men dette følger af, at { ι A i, hvis ξ j A j for alle j fra {,...,d} \ {i} (A A d ) = /, hvis ξ j / A j for mindst ét j fra {,...,d} \ {i}. Dermed er sætningen vist. 6

107 4.2.3 Sætning. Lad (,E ),...,( d,e d ) og (Z,H) være målelige rum. (i) En funktion f : Z d er H-(E E d )-målelig, hvis og kun hvis koordinatafbildningen p i f : Z i er H-E i -målelig for alle i =,2,...,d. (ii) Lad g: d Z være en (E E d )-H-målelig afbildning. For vilkårlige i fra {,2,...,d} og ξ,...,ξ i,ξ i+,...,ξ d fra hhv.,..., i, i+,..., d gælder der da, at snit-afbildningen g(ξ,...,ξ i,,ξ i+,...,ξ d ): x i g(ξ,...,ξ i,x i,ξ i+,...,ξ d ): i Z er E i -H-målelig. Bevis. Beviset er helt analogt til beviset for Sætning 4..4: (i) Hvis f er målelig som foreskrevet, da gælder der for hvert i, at p i f er H-E i -målelig ifølge Sætning og Sætning.4.6(v). Hvis omvendt p i f er H-E i -målelig for alle i, så gælder der, at f (A A d ) = d (p i f) (A i ) H, i= for alle A i fra E i, i =,,...,d, hvilket viser, at f er H-(E E d )-målelig ved anvendelse af Sætning.4.6(iv). (ii) Dette følger af Sætning.4.6(v) og identiteten: g(ξ,...,ξ i,,ξ i+,...,ξ d ) = g ι, hvor ι er indlejringsafbildningen givet ved (4.4), som er E i -(E E d )-målelig ifølge Sætning 4.2.2(ii). Vi bemærker i forbindelse med Sætning 4.2.3, at udsagn (i) generaliserer Sætning.4.9, eftersom B(R d ) = B(R) d Sætning. Antag for hvert i fra {,...,d} at D i er et frembringersystem for E i, og at der findes en følge (D (i) n ) n N af mængder fra D i, således at n N D (i) n = i. Da gælder der, at E E d = σ ( {A A d A i D i, i =,2,...,d} ). Bevis. Vi sætter H = σ ( {A A d A i D i, i =,2,...,d} ). Inklusionen H E E d er da oplagt fra definitionen af E E d. For at vise den modsatte inklusion er det ifølge Sætning 4.2.2(i) og Sætning.4.6(iv) nok at vise, at p j (B j ) H, for vilkårlige j fra 7

108 {,2,...,d} og B j fra D j. Men dette følger af, at p j (B j ) = j B j j+ d = n,...,n j,n j+,...,n d N D () n D ( j ) n j B j D n ( j+) j+ D (d) n d, hvor det sidste udtryk er en tællelig foreningsmængde af mængder fra H. Notationen antyder, at E E d kan opnås ved at anvende operationen successivt d gange. At dette er tilfældet, bekræftes af følgende resultat (i tilfældet m = ) Korollar. Lad d og m være naturlige tal, og lad (,E ),...,( d+m,e d+m ) være målelige rum. Under den naturlige identifikation: gælder der da, at d+m ( d ) ( d+ d+m ), (4.5) E E d+m = (E E d ) (E d+ E d+m ). Bevis. Pr. definition af produkt-σ-algebra har vi E E d+m = σ ( {D D d+m D j E j, j =,...,d + m} ), ligesom E E d = σ ( {D D d D j E j, j =,...,d} ), og E d+ E d+m = σ ( {D d+ D d+m D j E j, j = d +,...,d + m} ). Ifølge Sætning gælder der derfor, at (E E d ) (E d+ E d+m ) = σ ( {(D D d ) (D d+ D d+m ) D j E j, j =,...,d + m} ), og korollaret følger nu af, at der for vilkårlige D j fra E j, j =,...,d + m, gælder, at (D D d ) (D d+ D d+m ) = D D d+m under den naturlige identifikation (4.5) Korollar. For vilkårlige naturlige tal d og m gælder følgende udsagn: (i) B(R) d := B(R) B(R) = B(R } {{ } d ). d faktorer (ii) B(R d ) B(R m ) = B(R d+m ), under den naturlige identifikation R d R m R d+m. 8

109 Bevis. (i) Dette følger ganske som i beviset for Korollar 4..7 ved anvendelse af Sætning samt identiteterne (jvf. Sætning.2.2): B(R) = σ ( {(a,b) < a < b < } ), og B(R d ) = σ ( {(a,b ) (a d,b d ) < a i < b i <, i =,...,d} ). (ii) Ved anvendelse af (i) og Korollar finder vi, at som ønsket. B(R d ) B(R m ) = B(R) d B(R) m = B(R) (d+m) = B(R d+m ), Vi noterer afslutningsvist, at for et generelt metrisk rum (S, ρ) kan man udstyre produktrummet S d med f.eks. metrikken ρ ((x,...,x d ),(y,...,y d )) = max i=,...,d ρ(x i,y i ), ((x,...,x d ),(y,...,y d ) S d ), og derefter indføre Borel-algebraen B(S d ) i S d som σ-algebraen frembragt af systemet af åbne mængder mht. ρ. Der gælder da generelt, at B(S) d B(S d ), med lighedstegn hvis (S,ρ) er separabelt. Vi refererer til Appendix A.6 for detaljer. 4.3 Produktmål I dette afsnit skal vi for σ-endelige målrum (,E, µ) og (Y,F,ν) bevise eksistens og entydighed af et mål µ ν på ( Y,E F), der opfylder formlen (4.). I specialtilfældet (,E, µ) = (Y,F,ν) = (R,B(R),λ), gælder der som tidligere nævnt, at λ λ = λ 2. For at motivere den generelle konstruktion af produktmål, starter vi med en heuristisk udledning i dette tilfælde, idet vi som bekendt opfatter λ 2 (U) som arealet af U for enhver Borel-mængde U i R 2. Lad os for simpelhedskyld antage, at U er en pæn delmængde af R 2, som er indeholdt i et rektangel [,b] [,c] for passende positive tal b og c. For at approksimere arealet af U er det naturligt at gå frem som ved konstruktionen af Riemann-integralet. Vi betragter således som i Afsnit 2.7 inddelinger = t < t < t 2 < < t n = b, af [,b] på.-aksen, hvor max (t i t i ) for n. i=,2,...,n For hvert i kan vi så betragte rektanglet (t i,t i ] [,c] over del-intervallet (t i,t i ], og vi kan opspalte U i sine fællesmængder med disse rektangler. For arealet af U svarer dette til formlen: λ 2 (U) = n i= λ 2 (U (t i,t i ] [,c]). 9

110 For hvert i kan vi derefter approksimere arealet λ 2 (U (t i,t i ] [,c]) med summen af arealerne af akseparallelle rektangler, hvis lodrette sider er stykker af linierne x = t i og x = t i, og hvis vandrette sider er bestemt af skæringspunkterne mellem linien x = t i og randen af U. c U t_{i } t_i b Figur 6: Approksimation af arealet af mængden U med en Riemann-venstresum. De med fed markerede intervaller på 2.-aksen udgør tilsammen snit-mængden U ti. Bemærk her, at rektanglernes venstre lodrette sider tilsammen udgør mængden {t i } U ti, hvor U ti betegner snitmængden af U i t i (jvf. Bemærkning 4..5). Den samlede længde af rektanglernes lodrette sider bliver dermed λ(u ti ), og det samlede areal af rektanglerne bliver λ(u ti )(t i t i ). Vi opnår således approksimationen og dermed også λ 2 (U (t i,t i ] [,c]) λ(u ti )(t i t i ), λ 2 (U) n i= λ(u ti )(t i t i ). Her genkender vi højresiden som en Riemann-venstresum for funktionen ϕ U (t) = λ(u t ), (t [,b]), og hvis denne funktion er Riemann-integrabel, kan vi dermed slutte, at λ 2 (U) = lim n i= λ(u ti )(t i t i ) = R b λ(u t )dt, hvor første lighedstegn i hvert fald er intuitivt klart. Da Riemann-integralet stemmer overens med Lebesgue-integralet for alle Borel-målelige, Riemann-integrable funktioner (jvf. Sætning 2.7.3), ledes vi til at benytte formlen: λ 2 (U) = b λ(u t )λ(dt), (4.6)

111 som er meningsfuld, hvis bare funktionen ϕ U er Borel-målelig. Spørgsmålet er så bare, for hvilke mængder U funktionen ϕ U ér Borel-målelig. For at kunne benytte (4.6) til at konstruere λ 2 udfra λ skulle formlen jo gerne gælde for alle U i B(R 2 ). Det viser sig heldigvis også, at ϕ U er en Borel-funktion for alle U i B(R 2 ), men det kræver en del arbejde at få etableret, og dette viser sig faktisk at være den vanskeligste del af hele konstruktionen. Lad os som en hyldest til Lebesgue-integralet afslutningsvist bemærke, at hvis vi kun havde Riemann-integralet til rådighed, så ville formel (4.6) kun være meningsfuld for en stærkt begrænset klasse af mængder U. Da vores ambition er at konstruere produktmålet µ ν for generelle σ-endelige mål µ og ν, vender vi i det følgende tilbage til dette mere generelle setup. Vi skal således som det næste bevise måleligheden af ϕ U i denne generelle ramme, idet vi dog starter med at antage, at µ og ν er endelige mål Lemma. Betragt målrummene (,E, µ) og (Y,F,ν), og antag, at µ(),ν(y) <. Lad videre U være en (E F)-målelig delmængde af Y, og betragt afbildningerne ϕ U : [, ) og ψ U : Y [, ) givet ved ϕ U (x) = ν(u x ), og ψ U (y) = µ(u y ), (x, y Y), hvor U x og U y er snitmængderne indført i Bemærkning Da er ϕ U E-B(R)-målelig og ψ U er F-B(R)-målelig. Bevis. Bemærk først, at ϕ U og ψ U er veldefinerede, idet U x F, og U y E for alle x i og y i Y ifølge Bemærkning Vi viser kun, at ϕ U er E-målelig, idet argumentet for at ψ U er F-målelig forløber helt analogt. Betragt systemet D := {U E F ϕ U er E-målelig}. Vi skal vise, at D = E F. Hertil er det nok at vise, at D er et δ-system, som indeholder det -stabile frembringersystem K = {A B A E, B F} for E F. For så medfører Dynkins lemma (Sætning 3..7), at D δ(k) = σ(k) = E F. Trin. Vi viser først, at K D. Betragt således mængden A B, hvor A E og B F. Vi finder så for x i, at { /, hvis x / A, (A B) x = {y Y (x,y) A B} = B, hvis x A, således at ϕ A B (x) = ν((a B) x ) = ν(b) A (x). (4.7) Da A E fremgår det heraf, at ϕ A B er E-målelig, således at A B D. Trin 2. Vi viser dernæst, at D er et δ-system:

112 (δ) Y D, idet Y K D (ifølge Trin ). (δ2) Antag, at U,U 2 D, og at U U 2. For x i finder vi så, at (U 2 \U ) x = ι x (U 2 \U ) = ιx (U 2 ) \ ιx (U ) = (U 2 ) x \(U ) x, hvor (U ) x (U 2 ) x. Idet ν((u ) x ) ν(y) <, følger det af Sætning.3.4(iii), at ϕ U2 \U (x) = ν((u 2 \U ) x ) = ν((u 2 ) x \(U ) x ) = ν((u 2 ) x ) ν((u ) x ) = ϕ U2 (x) ϕ U (x), for alle x i. Da ϕ U,ϕ U2 begge er E-målelige, følger det dermed fra Sætning.5.4(ii), at også ϕ U2 \U er E-målelig, dvs. U 2 \U D. (δ3) Lad (U n ) være en voksende følge af mængder fra D, og sæt U = n NU n. For x i har vi så, at (U ) x (U 2 ) x (U 3 ) x, og at (U n ) x = ιx n N n N Det følger da fra Sætning.3.4(v), at ( (U n ) = ι ) U n x n N = ι x (U) = U x. ϕ U (x) = ν(u x ) = lim ν((u n ) x ) = lim ϕ Un (x), (x ). Da ϕ Un er E-målelig for alle n, følger det dermed, at også ϕ U er E-målelig (jvf. Korollar.6.7(ii)), dvs. U D. Dermed er det godtgjort, at D er et δ-system, hvilket afslutter beviset Lemma. Betragt målrummene (,E, µ) og (Y,F,ν), og antag, at µ og ν er σ-endelige. Lad videre U være en mængde fra E F, og betragt afbildningerne ϕ U : [, ] og ψ U : Y [, ] givet ved ϕ U (x) = ν(u x ), og ψ U (y) = µ(u y ), (x, y Y). Da er ϕ U E-B(R)-målelig, og ψ U er F-B(R)-målelig. Bevis. Som i beviset for Lemma 4.3. er ϕ U og ψ U veldefinerede ifølge Bemærkning 4..5, og vi viser kun, at ϕ U er E-målelig. Da ν er σ-endeligt, kan vi vælge en følge (B n ) af mængder fra F, således at B B 2 B 3, n N B n = Y, og ν(b n ) < for alle n. For hvert n i N definerer vi derpå det endelige mål ν n på (Y,F), givet ved ν n (B) := ν k B n (B) = ν(b B n ), (B F) 2

113 (jvf. Eksempel.3.3(D)). Betragt nu en vilkårlig mængde U fra E F, og betragt for hvert n funktionen ϕ (n) U : [, ) givet ved ϕ (n) U (x) = ν n(u x ) = ν(u x B n ), (x ). Da ν n er et endeligt mål, fortæller Lemma 4.3., at ϕ (n) U er E-målelig for alle n. Bemærk videre, at U x B U x B 2 U x B 3, og (U x B n ) = U x Y = U x, n N for hvert x i, og vha. Sætning.3.4(v) følger det derfor, at ϕ U (x) = ν(u x ) = lim ν(u x B n ) = lim ϕ (n) U (x), for alle x i. Vha. Korollar.6.7(i) kan vi derfor slutte, at også ϕ U er E-målelig. Vi er nu parate til at bevise eksistens og entydighed af produktmål Hovedsætning. Lad (,E, µ) og (Y,F,ν) være σ-endelige målrum. Da findes ét og kun ét mål π på ( Y,E F), således at Målet π er givet eksplicit ved π(u) = ν(u x ) µ(dx) = π(a B) = µ(a)ν(b) for alle A i E og B i F. (4.8) Y µ(u y )ν(dy) for alle U i E F. (4.9) Bevis for entydigheds-delen af Hovedsætning Antag, at π og π er to mål på produktrummet ( Y,E F), der begge opfylder (4.8). Med andre ord gælder der, at π(d) = π (D) for alle D i det -stabile frembringersystem K = {A B A E, B F}, for E F. Da (,E, µ) og (Y,F,ν) er σ-endelige, kan vi vælge voksende følger (A n ) og (B n ) fra hhv. E og F, således at n N A n =, n N B n = Y, og µ(a n ),ν(b n ) < for alle n. Sættes nu H n = A n B n for alle n, så er (H n ) en voksende følge af mængder fra K, der opfylder, at H n = Y, og π(h n ) = µ(a n )ν(b n ) = π (H n ) < for alle n. n N En anvendelse af Hovedsætning viser dermed, at π = π. 3

114 Ifølge Lemma kan vi definere afbild- Bevis for eksistens-delen af Hovedsætning ningen π : E F [, ] ved π(u) = ν(u x ) µ(dx), (U E F). Vi viser først, at π faktisk er et mål på E F. Det følger umiddelbart, at π(/) = ν(/ x ) µ(dx) = µ(dx) =. For en følge (U n ) af disjunkte mængder fra E F bemærker vi dernæst, at ((U n ) x ) n N er en følge af disjunkte mængder fra F for hvert x i. Dermed følger det, at π ( ) n N U n = ν (( ) n N U n )x µ(dx) = ν ( ) n N (U n ) x µ(dx) = = ( ν ( ) ) (U n ) x µ(dx) = n= π(u n ), n= hvor vi bl.a. har benyttet Sætning n= ( ν ( (U n ) x ) µ(dx) ) Vi viser dernæst, at målet π opfylder identiteten (4.8). Lad A fra E og B fra F være givne. Vi har tidligere bemærket (se formel (4.7)), at ν((a B) x ) = ν(b) A (x), (x ). Det følger derfor, at π(a B) = som ønsket. = ν(b) ν((a B) x ) µ(dx) = A (x) µ(dx) = ν(b)µ(a), ν(b) A (x) µ(dx) På samme måde som ovenfor følger det, at der ved ligningen π (U) = µ(u y )ν(dy), (U E F), Y defineres et mål π på E F, som ligeledes opfylder (4.8). Ifølge entydighedsdelen (etableret ovenfor) gælder der derfor, at π = π, hvilket beviser det andet lighedstegn i (4.9) Definition. Lad (, E, µ) og (Y, F, ν) være σ-endelige målrum. Målet π beskrevet i Hovedsætning kaldes for produktmålet af µ og ν, og det betegnes med µ ν. 4

115 4.3.5 Bemærkning. Vi har ovenfor indført produktmålet af to σ-endelige mål. Hvis man mere generelt betragter d σ-endelige målrum (,E, µ ),...,( d,e d, µ d ), da følger det helt analogt til beviset for entydighedsdelen af Sætning 4.3.3, at der højst findes ét mål π på produkt-σalgebraen E E d, som opfylder, at π(a A d ) = d j= µ j (A j ), (A j E j, j =,...,d). (4.) Eksistensen af et mål π på ( d,e E d ), der opfylder (4.), kan f.eks. etableres ved successiv anvendelse af Sætning 4.3.3: Hvis d = 3, kan vi indføre π som produktmålet (µ µ 2 ) µ 3, som er veldefineret, idet µ µ 2 automatisk er σ-endeligt. Bemærk også, at (E E 2 ) E 3 = E E 2 E 3 ifølge Bemærkning Hvis d = 4, kan man efterfølgende indføre π som produktmålet ((µ µ 2 ) µ 3 ) µ 4, og således fortsættes (induktion!). Det entydigt bestemte mål π på E E d, der opfylder (4.), kaldes naturligt for produktmålet af µ,..., µ d, og det betegnes med µ µ d. Følgende resultat viser sammenhængen mellem Lebesgue-målene i forskellige dimensioner via produktmålskonstruktionen Sætning. For vilkårlige naturlige tal d og m gælder følgende udsagn: (i) λ d := } λ {{ λ } = λ d. d faktorer (ii) λ d λ m = λ d+m, under den naturlige identifikation: R d R m R d+m. Bevis. (i) Ifølge Korollar 4.2.6(i) er λ d et mål på (R d,b(r d )). Påstanden følger derefter af, at λ d ifølge definitionen af produktmål har egenskaben: λ d ((a,b ) (a d,b d )) = d i= λ((a i,b i )) = d i= (b i a i ) for alle a i,b i i R, således at a i < b i, i =,...,d. Ifølge Eksempel karakteriserer denne egenskab λ d, og vi kan derfor slutte, at λ d = λ d. (ii) Ifølge Korollar 4.2.6(ii) kan vi under den nævnte identifikation betragte λ d λ m som et mål på (R d+m,b(r d+m )), og påstanden følger så igen af, at λ d λ m har den egenskab, der karakteriserer λ d+m ifølge Eksempel Korollar. Lad d og m være naturlige tal. For enhver mængde B fra B(R d+m ) gælder der da, at λ d+m (B) = λ m(b x )λ d (dx) = λ d(b y )λ m (dy). R d R m Bevis. Dette resultat følger umiddelbart ved at kombinere Sætning 4.3.6(ii) med Hovedsætning

116 Den næste sætning viser, at den intuitive opfattelse af integralet af en positiv funktion som arealet under dens graf er i fuld overensstemmelse med den udviklede teori Sætning. Lad (,E, µ) være et σ-endeligt målrum, og betragt produktrummet: ( R,E B(R), µ λ). Lad videre f være en funktion i M(E) +, og betragt området under grafen for f, dvs. mængden H = {(x,t) R t f(x)}. Da gælder der, at H E B(R), og at f dµ = (µ λ)(h) = µ({ f t})λ(dt). Bevis. For at vise at H E B(R), betragter vi koordinat-projektionerne p : R og p 2 : R R (jvf. Definition 4..2). Vi finder da, at H = {(x,t) R p 2 (x,t) } {(x,t) R f p (x,t) p 2 (x,t) } = p 2 ([, )) ( f p p 2 ) ([, )) E B(R), idet afbildningerne p 2 og ( f p p 2 ) begge er E B(R)-målelige. Vi bestemmer derpå snitmængderne H x og H t for x i og t i R: og H x = {t R (x,t) H} = {t R t f(x)} = [, f(x)], H t = {x (x,t) H} = { /, hvis t < { f t}, hvis t. Ved anvendelse af (4.9) i Hovedsætning finder vi derefter, at µ λ(h) = λ(h x ) µ(dx) = λ([, f(x)]) µ(dx) = og at µ λ(h) = R Dermed er sætningen vist. µ(h t )λ(dt) = R µ({ f t}) [, ) (t)λ(dt) = f(x) µ(dx), µ({ f t})λ(dt) Korollar. Lad (,E, µ) være et σ-endeligt målrum, og lad f være en funktion i M(E) +. Da gælder der, at µ({ f k}) f dµ µ({ f k}). (4.) k= k= 6

117 Hvis µ er et endeligt mål, gælder der specielt, at f dµ < µ({ f k}) <. (4.2) k= Bevis. Da funktionen t µ({ f t}) er aftagende (og dermed Borel-målelig), finder vi for t i (, ), at µ({ f k }) (k,k] (t) µ({ f t}) µ({ f k}) (k,k] (t). k= k= Ved integration mht. λ og anvendelse af Sætning følger det derfor, at og helt tilsvarende fås, at µ({ f t})λ(dt) = = µ({ f t})λ(dt) k= ( ) µ({ f k}) (k,k] (t) λ(dt) k= ( µ({ f k}), k= ) µ({ f k}) (k,k] (t)λ(dt) µ({ f k }) = µ({ f k}). k= k= Sammenholdes disse uligheder med Sætning 4.3.8, fremgår (4.). Bemærk dernæst, at forskellen på højre- og venstreside af (4.) er leddet µ({ f }), og hvis µ er endeligt, er dette et endeligt tal. Derfor gælder der i dette tilfælde, at µ({ f k}) < k= µ({ f k}) <, k= som sammen med (4.) viser (4.2). 4.4 Integration med hensyn til produktmål Tonellis og Fubinis Sætninger I dette afsnit betragtes to σ-endelige målrum (,E, µ) og (Y,F,ν), og vi skal undersøge, hvordan man integrerer (E F)-målelige funktioner defineret på Y med hensyn til produktmålet µ ν. 7

118 For en funktion f fra M(E F) og for x i og y i Y betragter vi snit-funktionerne f(x, ): Y R og f(,y): R givet ved: f(x, )(t) = f ι x (t) = f(x,t), og f(,y)(s) = f ι y (s) = f(s,y), (s, t Y). Vi erindrer fra Sætning 4..4(ii), at f(x, ) M(F), og f(,y) M(E) Sætning. (Tonellis Sætning) Lad (, E, µ) og (Y, F, ν) være σ-endelige målrum og betragt produktrummet ( Y,E F, µ ν). For enhver funktion f : Y [, ] fra M(E F) + gælder der da, at (i) Funktionen x Y f(x, )dν = Y f(x,y)ν(dy) er positiv og E-målelig. ( ) (ii) f(x,y)ν(dy) µ(dx) = f(x,y)(µ ν)(dx,dy). Y Y Bemærkning. Lad (,E, µ) og (Y,F,ν) være σ-endelige målrum. Der gælder naturligvis et resultat analogt til Tonellis Sætning, hvis man lader x og y bytte rolle og først integrerer mht. x og dernæst mht. y. For enhver funktion f fra M(E F) + har vi således ialt, at ( ) f(x,y)ν(dy) µ(dx) = f(x,y)(µ ν)(dx,dy) Y = Y ( Specielt fremgår det, at integrations-ordenen er ligegyldig. Y ) f(x,y) µ(dx) ν(dy). Bevis for Tonellis Sætning. Beviset er (endnu) et eksempel på anvendelse af standardbeviset (jvf. indledningen til Afsnit.8). Vi viser således først sætningen for en simpel funktion s i M(E F) +. Vi skriver s på formen: s = n i= a j Uj, hvor n N, og a j [, ), U j E F for alle j i {,...,n}. For x i bemærker vi da, at s(x, ) = n n a j Uj (x, ) = a j (Uj ) x, j= j= hvor (U j ) x betegner snitmængden af U j i x (jvf. Bemærkning 4..5). Det følger derfor, at Y ( n n s(x, )dν = Y a j (Uj ) x )dν = a j ν((u j ) x ), (4.3) j= j= som sammen med Lemma viser, at x Y s(x, )dν er en linear-kombination af E-målelige funktioner, hvilket sikrer, at (i) er opfyldt. 8

119 Med hensyn til (ii) finder vi ved integration med hensyn til µ i (4.3), at ( Y ) ( n ) n s(x, )dν µ(dx) = a j ν((u j ) x ) µ(dx) = a j ν((u j ) x ) µ(dx) j= j= = n a j (µ ν)(u j ) = s d(µ ν), j= Y hvor vi i tredje lighedstegn har benyttet Hovedsætning Dermed er også (ii) opfyldt. For en generel funktion f fra M(E F) + benytter vi Sætning.8.3 til at vælge en følge (s n ) af simple funktioner fra M(E F) +, således at s n f for n. For hvert x i har vi da, at også s n (x, ) f(x, ) for n, og dermed ved Hovedsætning at Y Y s n (x, )dν Y f(x, )dν for n. (4.4) For hvert n ved vi fra første del af beviset, at funktionen x Y s n(x, )dν er E-målelig, og dermed viser (4.4), at x Y f(x, )dν er punktvis grænse af E-målelige funktioner, hvilket sikrer, at (i) er opfyldt (jvf. Korollar.6.7). Med hensyn til (ii) finder vi ved anvendelse af (4.4), første del af beviset og (yderligere) to anvendelser af Hovedsætning 2.2.4, at ( ) ( ) f(x, )dν µ(dx) = lim s n (x, )dν µ(dx) = lim Y Y s n d(µ ν) = Y f d(µ ν). Dermed er sætningen bevist Eksempel. Betragt mængden E = {(x,y) R 2 < x < y < }. Vi ønsker for ethvert α i R at udregne integralet: E (y x)α λ 2 (dx,dy). Bemærk, at integralet er veldefineret, eftersom E er en åben mængde og dermed en Borel-mængde, ligesom den ikke-negative funktion (x,y) (y x) α er kontinuert på E og dermed Borel-målelig (jvf. Korollar.7.8(i)). Ved anvendelse af Bemærkning 2.6.2(2) og Tonellis Sætning finder vi nu, at (y x) α λ 2 (dx,dy) = E R 2(y x)α E (x,y)λ 2 (dx,dy) ( ) = (y x) α Ex (y)λ(dy) λ(dx). Bemærk her, at E x = R R { /, hvis x / (,) (x,), hvis x (,). 9

120 E E_x x x Figur 7: Illustration af snitmængden E x fra Eksempel Indsættes dette i ovenstående udregning, finder vi, at E (y x) α λ 2 (dx,dy) = ( x ) (y x) α λ(dy) λ(dx). (4.5) For at udregne det inderste integral på højresiden af (4.5) betragter vi et fast x i (,). Hvis α, er funktionen y (y x) α kontinuert på [x,], og x (y x) α λ(dy) kan umiddelbart udregnes som et Riemann-integral ved stamfunktionsbestemmelse. Hvis α < gælder der, at (y x) α for y x, og derfor kan samme fremgangsmåde ikke umiddelbart benyttes. Ved hjælp af Hovedsætning kan vi imidlertid i alle tilfælde udregne x (y x) α λ(dy) som en grænseværdi: x (y x) α λ(dy) = lim x+ n (y x) α λ(dy), og her kan x+ n(y x) α λ(dy) i alle tilfælde udregnes ved stamfunktionsbestemmelse: x+ n Vi slutter derfor, at [ (α + ) (y x) α+] y= (y x) α y=x+ λ(dy) =, hvis α, [ ] n y= ln(y x), hvis α =, x = (y x) α λ(dy) = y=x+ n { (α + ) ( ( x) α+ ( n )α+), hvis α, ln( x) ln( n ), hvis α =. { (α + ) ( x) α+, hvis α >,, hvis α. Dermed kan vi endelig slutte (jvf. (4.5)), at hvis α, så er E (y x) α λ 2 (dx,dy) = λ(dx) =, 2

121 mens vi for α i (, ) finder, at E (y x) α λ 2 (dx,dy) = (α + ) ( x) α+ λ(dx) = (α + ) (α + 2) [ ( x) α+2] x= x= = (α + )(α + 2). Vi skal herefter vise en analog til Tonellis Sætning for funktioner med generelle reelle værdier Sætning. (Fubinis Sætning) Lad (, E, µ) og (Y, F, ν) være σ-endelige målrum, og betragt produktrummet ( Y,E F, µ ν). Lad yderligere f : Y R være en funktion i L (µ ν). Da gælder der, at (i) Mængden N = { x f(x, ) / L (ν) } = { x Y f(x,y) ν(dy) = } tilhører E, og µ(n) =. (ii) Funktionen u: R, defineret ved { Y f(x,y)ν(dy), hvis x Nc u(x) =, hvis x N, (iii) er element i L (µ). f d(µ ν) = Y u(x) µ(dx) = Nc ( Y ) f(x,y)ν(dy) µ(dx) Bemærkninger. Lad (, E, µ) og (Y, F, ν) være σ-endelige målrum. () Der gælder naturligvis et resultat svarende til Fubinis Sætning, hvis man lader x og y bytte rolle. For f i L (µ ν) har man således formlen: Mc ( ) f d(µ ν) = f(x,y) µ(dx) ν(dy), (4.6) hvor mængden Y M := {y Y f(,y) / L (µ)} = { y Y f(x,y) µ(dx) = } er F-målelig, og ν(m) =. (2) Formlen i (iii) af Fubinis Sætning skrives ofte ( ) f(x,y)ν(dy) µ(dx) = Y Y f d(µ ν), (4.7) 2

122 selvom Y f(x,y)ν(dy) kun giver mening for x i Nc. Man benytter således underforstået konventionen Y f(x,y)ν(dy) = for x i N, hvilket præcis svarer til definitionen af funktionen u. Tilsvarende overvejelser gælder naturligvis for formlen (4.6), og derfor skrives ofte under antagelserne i Fubinis Sætning: ( ) ( ) f(x,y)ν(dy) µ(dx) = f d(µ ν) = f(x,y) µ(dx) ν(dy), Y Y som specielt udtrykker, at integrationsordenen er ligegyldig. (3) En væsentlig forudsætning i Fubinis Sætning er, at f L (µ ν). For at checke at dette er opfyldt for en givet funktion f i M(E F), skal man undersøge, om f d(µ ν) <. Y Hertil kan man ofte med fordel benytte Tonellis Sætning og således undersøge, om ( ) ( ) f(x,y) µ(dx) ν(dy) <, eller om f(x,y) ν(dy) µ(dx) <, Y alt efter hvad der er nemmest i den konkrete situation. Y Y Bevis for Fubinis Sætning. (i) For ethvert x i er funktionen f(x, ) F-målelig ifølge Sætning 4..4(ii). Dermed er funktionen w(x) = f(x,y) ν(dy), (x ), Y veldefineret, og ifølge (i) i Tonellis Sætning er den E-B(R)-målelig. Specielt følger det, at N = {w = } = w ({ }) E. Ved anvendelse af (ii) i Tonellis Sætning finder vi videre, at ( ) w(x) µ(dx) = f(x,y) ν(dy) µ(dx) = Y Y f d(µ ν) <, og ifølge Sætning 2.3.6(iii) medfører dette, at w < µ-n.o., dvs. µ(n) =. (ii) For at vise, at u er E-målelig, er det ifølge Sætning.7.3 nok at vise, at funktionen x f(x,y)ν(dy), (x N c ) (4.8) Y er E N c-målelig. Hertil bemærker vi, at for ethvert x i N c kan vi skrive f(x,y)ν(dy) = f + (x,y)ν(dy) f (x,y)ν(dy), (4.9) Y Y hvor funktionerne x Y f ± (x,y)ν(dy) er definerede på hele, og ifølge (i) i Tonellis Sætning er de E-målelige. Dermed er deres restriktioner til N c E N c-målelige (jvf. Bemærkning.7.2(3)), 22 Y

123 og dermed viser (4.9), at funktionen givet i (4.8) ligeledes er E N c-målelig (jvf. Sætning.5.4) som ønsket. Ved anvendelse af Sætning 2.4.5(iv) og (ii) i Tonellis Sætning finder vi endvidere, at Nc ( ) u(x) µ(dx) = f(x,y)ν(dy) µ(dx) f(x,y) ν(dy) µ(dx) hvilket viser, at u L (µ). N c ( Y Y ) f(x,y) ν(dy) µ(dx) = f d(µ ν) <, Y (iii) Formlen udledes overordnet set ved at anvende (ii) i Tonellis Sætning på f + og f. Vi bemærker først, at ( ) u(x) µ(dx) = f(x,y)ν(dy) N c(x) µ(dx) = Y [( Her gælder der, at funktionerne ( x Y ) ( f + (x,y)ν(dy) N c(x) Y Y ) f ± (x,y)ν(dy) N c(x), (x ) Y ) ] f (x,y)ν(dy) N c(x) µ(dx). er elementer i L (µ), eftersom (ii) i Tonellis Sætning giver, at ( ) ( ) f ± (x,y)ν(dy) N c(x) µ(dx) f(x,y) ν(dy) µ(dx) = Y Y Y (4.2) f d(µ ν) <. Ved anvendelse af Sætning 2.4.5(ii) kan vi derfor fortsætte udregningen (4.2) som følger: ( ) ( ) u(x) µ(dx) = f + (x,y)ν(dy) N c(x) µ(dx) f (x,y)ν(dy) N c(x) µ(dx) = = = Y ( Y Y Y ) f + (x,y)ν(dy) µ(dx) f + d(µ ν) f d(µ ν), Y ( f d(µ ν) Y Y ) f (x,y)ν(dy) µ(dx) hvor vi i 2. og 3. lighedstegn har benyttet hhv. Sætning 2.3.6(ii) og (ii) i Tonellis Sætning. Dermed er sætningen vist Eksempel. Sæt A = [,4] [, ), og betragt funktionen f : A R givet ved: f(x,y) = ln ( 4 + x ) e xy, ((x,y) A). Vi ønsker at udregne integralet f(x,y)λ 2 (dx,dy) = A R 2 f(x,y) A(x,y)λ 2 (dx,dy) 23

124 (jvf. Bemærkning 2.6.2(2)). Med henblik på at benytte Fubinis Sætning viser vi først, at f A L (λ 2 ). Da f er kontinuert på A, viser Korollar.7.8, at f A er en Borel-funktion. Da ln er voksende, bemærker vi endvidere, at ln( 4 + x) max{ ln( 4 ),ln( 9 4 )} = ln(4) for alle x i [,4]. Ifølge Tonellis Sætning har vi (idet λ 2 = λ λ), at ( ) f(x,y) A(x,y)λ 2 (dx,dy) = f(x,y) λ(dy) λ(dx). (4.2) R 2 For fast x i (,4] finder vi her ved anvendelse af Hovedsætning og Sætning 2.7.3, at [, ) [,4] [, ) n f(x,y) λ(dy) ln(4) e xy λ(dy) = ln(4) lim e xy λ(dy) [ = ln(4) lim x e xy ] y=n y= = ln(4), x (4.22) mens vi for x = finder, at f(x,y) λ(dy) = ln(4) e xy λ(dy) = ln(4) λ(dy) =. (4.23) [, ) [, ) [, ) Idet vi kan se bort fra λ-nulmængden {} i integrationen mht. x i (4.2) (jvf. Sætning 2.3.6(iv)), kan vi nu konkludere, at R 2 f(x,y) A(x,y)λ 2 (dx,dy) ln(4) 4 x λ(dx) <, idet det forudsættes kendt (jvf. Opgave 2.8.6), at 4 x λ(dx) <. Da vi nu har etableret, at f A L (λ 2 ), kan vi benytte Fubinis Sætning til at udregne integralet f(x,y) A (x,y)λ 2 (dx,dy): Det følger fra (4.22) og (4.23), at N = {x R f(x, ) A (x, ) / L (λ)} = {}, der specielt er en λ-nulmængde, som forudsagt af del (i) i Fubinis Sætning. Det følger endvidere fra del (iii) af denne sætning, at ( f(x,y) A(x,y)λ 2 (dx,dy) = ln( R ) x)e xy λ(dy) λ(dx) = = (,4] 4 4 [, ) ln( 4 + ( x) ln( 4 + x) x λ(dx) ) e xy λ(dy) λ(dx) 4 = lim ln( 4 + x) λ(dx), /n x 24

125 hvor vi til sidst benytter Hovedsætning med g(x) = ln(4) x som majorent. For hvert n kan vi udregne integralet 4 /n ln( 4 + x) x λ(dx) som et Riemann-integral og dermed benytte substitutionen: t = 4 + x. Vi finder således, at 4 /n og vi kan dermed konkludere, at ln( 4 + x) 9 4 λ(dx) = 2 ln(t)λ(dt) = 2 [ t ln(t) t ] 9 4 n, x n f(x,y) [ ] 9 A(x,y)λ 2 (dx,dy) = 2 lim t ln(t) t 4 n = R ln( 4 9) 9 4 ( 4 ln( 4 ) ) 4 4 = 4( 9ln(9) 8ln(4) ) Opgaver til Kapitel Opgave. Identificér og gennemfør de udeladte detaljer i Bemærkning Opgave. Lad (,E, µ) og (Y,F,ν) være σ-endelige målrum, og lad f : R og g: Y R være funktioner fra hhv. L (µ) og L (ν). Betragt så funktionen h: Y R givet ved: h(x,y) = f(x)g(y), ((x,y) Y). (a) Vis, at h L (µ ν), og at h(x,y)(µ ν)(dx,dy) = Y f(x) µ(dx) g(y)ν(dy). Y (b) Udregn værdien af integralet [, ) [, ) xe x y λ 2 (dx,dy). [Vink: Husk at λ 2 = λ λ.] Opgave. Betragt mængden S = {(x,y) R 2 x [,], x y x 2 }. (a) Skitsér mængden S, og redegør for, at S B(R 2 ). (b) Bestem arealet af S, dvs. λ 2 (S). (c) Udregn værdien af integralet S xyλ 2(dx,dy) Opgave. Betragt mængden = {(x,y) R 2 x [, 2 π ], y < x}. (a) Skitsér mængden, og redegør for, at B(R 2 ). (b) Udregn værdien af integralet x2 cos(xy)λ 2 (dx,dy). 25

126 4.5.5 Opgave. Betragt i R 2 mængden = {(x,y) R 2 x = y}. (a) Redegør for at B(R 2 ), og bestem λ 2 ( ). Betragt nu endvidere Lebesgue målet λ på R, og lad τ betegne restriktionen af tællemålet på R til B(R). (b) Vis, at ( ) ( ) (x,y)λ(dy) τ(dx) (x,y)τ(dx) λ(dy). R R R R Sammenhold med Tonellis Sætning Opgave. Betragt den lukkede enhedscirkelskive D = {(x,y) R 2 x 2 + y 2 } i R 2. Udregn arealet af D vha. resultaterne i Afsnit Opgave. For ethvert positivt tal a og ethvert d i N defineres simplekset S d (a) i R d ved: S d (a) = { (x,...,x d ) R d x,...,x d, d j= x j a }. (a) Tegn S d () for hvert d i {,2,3}. (b) Vis ved induktion efter d, at λ d (S d (a)) = ad d! for ethvert positivt a og ethvert d i N Opgave. Betragt tællemålet τ 2 på (N 2,P(N 2 )). (a) Vis, at τ 2 = τ τ, hvor τ betegner tællemålet på (N,P(N)). (b) Oversæt Tonellis og Fubinis sætninger til resultater omkring ombytning af summationsordenen for dobbeltsummer på formen: n= m= a m,n, hvor (a m,n ) (m,n) N 2 er en dobbeltindiceret familie af positive eller reelle tal Opgave. Betragt funktionen f : R 2 R givet ved y 2, hvis < x < y, f(x,y) = x 2, hvis < y < x,, ellers. 26

127 (a) Udregn dobbeltintegralerne ( ) f(x,y)λ(dx) λ(dy) og ( ) f(x,y)λ(dy) λ(dx). (b) Gælder der, at f L (λ 2 )? 4.5. Opgave. Lad µ være et endeligt mål på (R 2,B(R 2 )), og antag, at µ har en tæthed h fra M(B(R 2 )) + med hensyn til Lebesgue-målet λ 2. Vis da, at følgende betingelser er ækvivalente: (a) Der findes endelige mål µ og µ 2 på (R,B(R)), således at µ = µ µ 2. (b) Der findes funktioner f,g fra L (λ) +, således at h(x,y) = f(x)g(y), ((x,y) R 2 ) Opgave. (Generaliseret partiel integration) I denne opgave betragtes målrummet (R, B(R), λ), hvor λ betegner Lebesgue-målet. Endvidere betragtes en funktion g fra L (λ). (a) Vis, at der ved udtrykket G(x) = x g(t)λ(dt), defineres en kontinuert funktion G: R R. (x R), (b) Vis, at hvis a,b R, således at a < b, da gælder formlen b g(t)λ(dt) = G(b) G(a). a I det følgende betragtes endnu et mål µ på (R,B(R)), og vi antager, at µ(r) <. Vi betragter endvidere funktionen F µ : R R givet ved F µ (t) = µ((,t]), (t R). Endelig betragtes som i (b) reelle tal a og b, således at a < b. (c) Vis vha. Fubinis Sætning, at b g(t)f µ (t)λ(dt) = a R ( b a ) [s, ) (t)g(t)λ(dt) µ(ds). (d) Vis, at der for ethvert s i R gælder, at b [s, ) (t)g(t)λ(dt) = (G(b) G(s)) (a,b] (s)+(g(b) G(a)) (,a] (s). a (e) Udled formlen: b g(t)f µ (t)λ(dt) = G(b)F µ (b) G(a)F µ (a) G(t) µ(dt). a (a,b] Formlen, der udledes i spørgsmål (e), kan betragtes som en generalisering af den velkendte formel for partiel integration (se Opgave 5.4.5). 27

128 5 Nye mål fra gamle Vi skal i dette kapitel studere to fundamentale konstruktioner, der ud fra et givet mål µ fører til et nyt ν; nemlig transformation af mål og mål med tæthed. Transformation af mål behandles i Afsnit 5., og begrebet har bl.a. stor betydning i forbindelse med eksperimenter, hvor man studerer en størrelse ξ, men hvor man f.eks. kun er i stand til at observere ϕ(ξ) for en passende transformation ϕ. Hvis opførslen af ξ er beskrevet af et mål µ, da vil opførslen af ϕ(ξ) være beskrevet af transformationen af µ ved afbildningen ϕ (jvf. Definition 5. nedenfor). Hvis µ er et mål på et måleligt rum (,E), og g M(E) +, da er det let at indse (jvf. Lemma 5.2. nedenfor), at der ved udtrykket ν(a) = gdµ, (A E), A defineres et nyt mål ν på (, E), som siges at have tæthed g mht. µ. Betydningen af denne konstruktion, der behandles i Afsnit 5.2, illustreres bl.a. af, at alle de vigtigste (sandsynligheds-) mål på R enten har en tæthed med hensyn til Lebesgue-målet λ (de kontinuerte fordelinger) eller med hensyn til tællemålet på (N,P(N )) (de diskrete fordelinger). I forlængelse af gennemgangen af mål med tæthed skal vi i Afsnit 5.3 kort diskutere begrebet absolut kontinuitet samt entydighed af tætheden. 5. Transformation af mål Lad (,E, µ) være et målrum, lad (Y,F) være et måleligt rum og lad ϕ : Y være en E- F-målelig afbildning. Ved hjælp af ϕ kan vi transformere målet µ på (,E) til et mål ν på (Y,F). 5.. Lemma. Lad situationen være som beskrevet ovenfor. Da fastlægges ved udtrykket ν(b) := µ(ϕ (B)), (B F), et mål ν på F. Bevis. Det følger umiddelbart, at ν(/) = µ(ϕ (/)) = µ(/) =, og hvis (B n ) n N er en følge af disjunkte mængder fra F, så finder vi, at ν ( n N B n ) = µ ( ϕ ( n N B n )) = µ ( n N ϕ (B n ) ) = µ ( ϕ (B n ) ) = ν(b n ), n= n= idet vi har benyttet at original-mængderne ϕ (B ),ϕ (B 2 ),ϕ (B 3 ),... ligeledes er disjunkte. 28

129 5..2 Definition. Målet ν introduceret i Lemma 5.. ovenfor kaldes for transformationen af µ ved ϕ eller billedmålet af µ ved ϕ. Det betegnes ofte med µ ϕ, µ ϕ eller ϕ(µ) Eksempel. (Translationer I) Lad x = (x,...,x d ) være en fast vektor i R d, og betragt afbildningen τ x : R d R d givet ved: τ x (y) = y+x = (y + x,...,y d + x d ), (y = (y,...,y d ) R d ). For et vilkårligt åbent interval (a,b ) (a d,b d ) i R d bemærker vi, at ( (a,b ) (a d,b d ) ) = (a x,b x ) (a d x d,b d x d ), τ x og det følger derfor fra Sætning.4.6(iv), at τ x er B(R d )-B(R d )-målelig. Vi kan således betragte transformationen λ d τx af Lebesgue-målet λ d med τ x. Vi bemærker specielt, at λ d τx ( (a,b ) (a d,b d ) ) ( = λ d (a x,b x ) (a d x d,b d x d ) ) = d i= (b i a i ). Ifølge Eksempel findes der kun ét mål på (R d,b(r d )) med denne egenskab, nemlig λ d selv. Vi kan derfor slutte, at λ d τ x = λ d for alle x i R d, hvilket udtrykkes ved at sige, at Lebesgue-målet på R d er translationsinvariant. I Appendix A.7 vises det, at der ikke findes andre interessante translationsinvariante mål på (R d,b(r d )) end dem på formen cλ d, hvor c (, ). Den næste sætning viser, hvordan man integrerer med hensyn til billedmål Sætning. (Den lille transformationssætning) Lad (, E, µ), (Y, F) og ϕ være som ovenfor, og betragt transformationen µ ϕ af µ ved ϕ. Da gælder der, at L(µ ϕ ) = { f M(F) f ϕ L(µ)}, og L (µ ϕ ) = { f M(F) f ϕ L (µ)}, (5.) ligesom Y f dµ ϕ = f ϕ dµ for alle f i L(µ ϕ ). (5.2) Bevis. Vi viser først, at (5.2) er opfyldt for alle funktioner f fra M(F) +. Ifølge Hovedsætning 2.2. vil dette følge, hvis vi viser, at afbildningen E ϕ : M(F) + [, ] givet ved E ϕ ( f) = f ϕ dµ, ( f M(F) + ), opfylder betingelserne (i)-(i3) i denne sætning (med µ erstattet af µ ϕ ). Bemærk først, at afbildningen er veldefineret, eftersom f ϕ M(E) + for alle f i M(F) +. Vi finder så 29

130 (i) For enhver mængde B fra F gælder der, at E ϕ ( B ) = B ϕ dµ = ϕ (B) dµ = µ(ϕ (B)) = µ ϕ (B). (i2) For f,g i M(F) + har vi, at E ϕ ( f + g) = = ( f + g) ϕ dµ = ( f ϕ + g ϕ)dµ f ϕ dµ + g ϕ dµ = E ϕ ( f)+e ϕ (g). (i3) Antag, at ( f n ) er en voksende følge af funktioner fra M(F) +, og sæt f = lim f n. Da er ( f n ϕ) en voksende følge af funktioner fra M(E) +, og f ϕ = lim f n ϕ. Ved anvendelse af Hovedsætning for µ-integralet fremgår det da, at E ϕ ( f) = f ϕ dµ = lim f n ϕ dµ = lim E ϕ ( f n ). Dermed er (5.2) eftervist for alle f fra M(F) +. For en generel funktion f fra M(F) fremgår det derefter, at ( ) ( ) f L(µ ϕ ) f + dµ ϕ f dµ ϕ < Y ( ( ) f + ϕ dµ Y ( ) ( f ϕ) + dµ ( ) f ϕ dµ < ) ( f ϕ) dµ < f ϕ L(µ). Helt tilsvarende vises det (erstat med ), at der for enhver funktion f i M(F) gælder, at f L (µ ϕ ) f ϕ L (µ), og dermed har vi eftervist (5.). For en funktion f fra L(µ ϕ ) finder vi endelig, at Y f dµ ϕ = = Y hvilket etablerer (5.2) generelt. f + dµ ϕ Y ( f ϕ) + dµ f dµ ϕ = ( f ϕ) dµ = f + ϕ dµ f ϕ dµ, f ϕ dµ 5..5 Eksempel. (Translationer II) Betragt som i Eksempel 5..3 afbildningen τ x : R d R d givet ved: τ x (y) = x+y, (y R d ), 3

131 hvor x er en fast vektor fra R d. Da λ d τx = λ d (jvf. Eksempel 5..3), følger det umiddelbart fra Sætning 5..4, at der for enhver funktion f : R d R fra L(λ d ) gælder formlen: f(y+x)λ d(dy) = f τ x(y)λ d (dy) = f(y)(λ R d R d R d d τx )(dy) = f(y)λ d(dy). R d I tilfældet d = bemærker vi specielt, at hvis a,b R, og a < b, så gælder der for f i L(λ), at b a f(x+y)λ(dy) = = R R f(x+y) [a,b] (y)λ(dy) = f(y) [a+x,b+x] (y)λ(dy) = f(x+y) [a+x,b+x] (x+y)λ(dy) R b+x a+x f(y)λ(dy), i overensstemmelse med velkendte substitutioner for Riemann-integraler. 5.2 Mål med tæthed Lad (,E, µ) være et målrum. For enhver funktion g i M(E) + skal vi nu konstruere et nyt mål ν på (,E) Lemma. Lad situationen være som beskrevet ovenfor. Da defineres ved formlen ν(a) = gdµ = g A dµ, (A E), et mål ν på (,E). A Bevis. Idet g / =, følger det umiddelbart, at ν(/) = g / dµ =. For en følge (A n ) af disjunkte mængder fra E bemærker vi dernæst, at n N A n = n= A n, og det følger derfor ved anvendelse af Sætning 2.2.9, at ν ( n N A n ) = ( g n N A n dµ = g An )dµ = n= g An dµ = n= ν(a n ), n= som ønsket Definition. I situationen betragtet i ovenstående lemma siges målet ν at have tæthed g med hensyn til µ, og g kaldes for den Radon-Nikodym afledede eller blot tætheden for ν med hensyn til µ. Man benytter også notationen: g = dν, og ν = g µ. dµ 3

132 5.2.3 Eksempler. (A) Normalfordelingen. For ξ i R og σ 2 i (, ) er normalfordelingen med parametre (ξ,σ 2 ) målet N(ξ,σ 2 ) på (R,B(R)) med tæthed g ξ,σ 2(x) = (2πσ 2 ) /2 e (x ξ)2 /(2σ 2), (x R) med hensyn til Lebesgue-målet λ på (R,B(R)). Med andre ord gælder der, at N(ξ,σ 2 )(B) = e (x ξ)2 /(2σ 2) λ(dx), 2πσ 2 B for enhver Borel-mængde B i R. Det vises i Opgave 5.4.3, at N(ξ,σ 2 ) er et sandsynlighedsmål, altså at R e (x ξ)2 /(2σ 2) λ(dx) = 2πσ 2. (B) Eksponentialfordelingen. For ethvert positivt tal r er eksponentialfordelingen med parameter r målet Eksp r på (R,B(R)) med tæthed g r (x) = re rx [, ) (x) med hensyn til Lebesgue-målet λ på (R,B(R)). For enhver Borel-mængde B i R gælder der altså, at Eksp r (B) = r e rx λ(dx), [, ) B og vi bemærker specielt, at Eksp r er koncentreret på [, ), i den forstand at Eksp r (B) = for enhver Borel-mængde B, således at B (,). Det er ikke svært at vise, at Eksp r er et sandsynlighedsmål (overvej!). (C) Poisson-fordelingen. For ethvert positivt tal r er Poisson-fordelingen Poiss r med parameter r målet på (N,P(N )) med tæthed g r (n) = e r rn n! med hensyn til tællemålet τ på (N,P(N )). For enhver delmængde B af N gælder der altså, at Poiss r (B) = e r B r n n! τ(dn) = r e r n n B n! (jvf. Eksempel 2.2.3). Det følger umiddelbart af potensrækkeudviklingen for eksponentialfunktionen, at Poiss r er et sandsynlighedsmål. Det næste resultat viser, hvordan man integrerer med hensyn til et mål ν, der har tæthed med hensyn til et mål µ Sætning. Lad (,E, µ) være et målrum, lad g være en funktion fra M(E) +, og lad ν være målet på (,E) med tæthed g med hensyn til µ. Da gælder der, at L(ν) = { f M(E) f g L(µ)}, og L (ν) = { f M(E) f g L (µ)}, (5.3) ligesom f dν = f gdµ for alle f i L(ν). (5.4) 32

133 Bevis. Vi benytter samme metode som i beviset for Sætning 5..4, og vi starter således med at vise, at afbildningen E g ( f) = f gdµ, ( f M(E) + ), opfylder betingelserne (i)-(i3) fra Hovedsætning 2.2., der karakteriserer ν-integralet: (i) For enhver mængde A fra E har vi, at E g ( A ) = A gdµ = ν(a). (i2) For f,h i M(E) + finder vi, at E g ( f + h) = ( f + h) gdµ = f gdµ + h gdµ = E g ( f)+e g (h). (i3) Antag, at ( f n ) er en voksende følge af funktioner fra M(E) +, og sæt f = lim f n. Da g, er ( f n g) igen en voksende følge af funktioner fra M(E) +, og f g = lim f n g. Ved anvendelse af Hovedsætning for µ-integralet finder vi dermed, at E g ( f) = f gdµ = lim f n gdµ = lim E g ( f n ). Ifølge Hovedsætning 2.2. har vi dermed eftervist (5.4) for alle funktioner f fra M(E) +. For en generel funktion f fra M(E) bemærkes dernæst, at eftersom g, har vi Det følger derfor, at f L(ν) ( f g) + = f + g, og ( f g) = f g. ( ( ( ) ( f + dν ) f + gdµ ( ) ( f g) + dµ ) f dν < ( ) f gdµ < ) ( f g) dµ < f g L(µ). For en funktion f fra M(E) finder vi tilsvarende (erstat med ), at f L (ν) f g L (µ), og dermed har vi eftervist (5.3). For en funktion f fra L(ν) finder vi endelig, at f dν = f + dν f dν = f + gdµ f gdµ = hvilket etablerer (5.4) generelt. ( f g) + dµ ( f g) dµ = 33 f gdµ,

134 5.2.5 Eksempel. Lad µ være et endeligt mål på (R, B(R)), og betragt som i Eksempel funktionen F µ : R R givet ved F µ (x) = µ((,x]), (x R). Antag yderligere, at F µ er kontinuert differentiabel med afledet F µ. Da F µ er voksende, følger det, at F µ M(B(R)) +. Vi kan derfor betragte målet F µ λ med tæthed F µ mht. λ. Ved anvendelse af Hovedsætning og Sætning finder vi så for ethvert x i R, at x x (F µ λ)((,x]) = F µ(t)λ(dt) = lim F ( µ(t)λ(dt) = lim Fµ (x) F µ ( n) ) = F µ (x), n (5.5) hvor vi til sidst benytter, at F µ ( n) = µ((, n]) µ(/) =, ved anvendelse af Sætning.3.4(vi). Ifølge Eksempel medfører (5.5), at µ = F µ λ. Når F µ er kontinuert differentiabel, har µ således tæthed mht. Lebesgue-målet, nemlig den afledede F µ. For en vilkårlig funktion h fra L(µ) følger det endvidere ved anvendelse af Sætning 5.2.4, at h(x) µ(dx) = h(x)(f µ λ)(dx) = h(x)f µ(x)λ(dx). R R Man kan mere generelt vise, at hvis F µ er kontinuert i alle punkter og differentiabel på nær i tælleligt mange punkter, da har µ en tæthed mht. Lebesgue-målet, nemlig funktionen F µ D, hvor D betegner mængden af punkter, i hvilke F µ er differentiabel. R 5.3 Absolut kontinuitet og entydighed af tæthed Lad (,E) være et måleligt rum, og lad µ,ν være mål herpå. Vi skal i dette afsnit diskutere nødvendige og tilstrækkelige betingelser for, at ν har en tæthed med hensyn til µ (jvf. Definition 5.2). Vi skal endvidere undersøge spørgsmålet om entydighed af tætheden Lemma. Lad (,E, µ) være et målrum, og lad ν være endnu et mål på (,E), således at ν() <. Da er følgende to betingelser ækvivalente: (i) A E: µ(a) = = ν(a) =. (ii) ε > δ > A E: µ(a) δ = ν(a) ε. Bevis. (ii) (i): Antag, at (ii) er opfyldt, og lad A være en mængde fra E, således at µ(a) =. Det følger da fra betingelse (ii), at der for ethvert positivt ε gælder, at ν(a) ε, og dermed kan vi slutte, at ν(a) =. (i) (ii): Vi viser, at (ii) (i). Antag således, at (ii) er opfyldt, altså at ε > δ > A E: µ(a) δ og ν(a) > ε. 34

135 Vi kan da vælge et positivt ε, således at der for ethvert n i N findes en mængde A n fra E med egenskaberne: µ(a n ) 2 n, og ν(a n ) > ε. Vi indfører så mængden A = n N k n A k E, og vi bemærker for ethvert n i N, at ( ) µ(a) µ A k k n µ(a k ) k=n 2 k = 2 n. k=n Vi kan dermed slutte, at µ(a) lim 2 n =, altså at µ(a) =. Bemærk dernæst, at k n A n A for n, og da ν er et endeligt mål, giver Sætning.3.4(vi) derfor, at ν(a) = lim ν ( k n ) A k limsupν(a n ) ε. I alt har vi altså vist, at µ(a) =, og at ν(a) ε, og dermed er (i) opfyldt Bemærkning. Lad µ og ν være to mål på et måleligt rum (,E). Betingelse (i) i Lemma 5.3. er specielt opfyldt, hvis ν har en tæthed g fra M(E) + med hensyn til µ. For en mængde A i E, således at µ(a) =, har vi nemlig i denne situation, at g A = µ-n.o., og dermed ifølge Sætning 2.3.6(i) at ν(a) = g A dµ =. Bemærk, at g L (µ) +, hvis og kun hvis ν er et endeligt mål, og i dette tilfælde bliver betingelse (ii) så også opfyldt ifølge Lemma Når ν er et endeligt mål, er betingelserne (i) og (ii) i Lemma 5.3. således nødvendige for eksistensen af en tæthed for ν med hensyn til µ. I et senere kursus bevises den såkaldte Radon-Nikodyms Sætning, som udtrykker, at hvis µ og ν er mål på (,E), således at ν er endeligt, og µ er σ-endeligt, da er betingelse (i) (og dermed også betingelse (ii)) i Lemma 5.3. ækvivalent med eksistensen af en tæthed g fra L (µ) + for ν med hensyn til µ. Hvis betingelse (i) i Lemma 5.3. er opfyldt, siger man, at ν er absolut kontinuert med hensyn til µ, og man skriver ν µ. Sprogbrugen retfærdiggøres bl.a. af ækvivalensen mellem betingelserne (i) og (ii) i Lemma Ifølge Radon-Nikodyms Sætning er absolut kontinuitet altså ækvivalent med eksistensen af en tæthed for ν mht. µ (når ν og µ er hhv. endelige og σ-endelige). Vi vender os derefter imod spørgsmålet om entydighed for tætheder. Vi bemærker indledningsvist, at der højst kan blive tale om entydighed op til µ-nulmængder. For hvis g,h er to funktioner fra M(E) +, således at g = h µ-n.o., så følger det umiddelbart fra Sætning 2.3.6(iv), at målene g µ og h µ er identiske. Hvis g h µ-n.o., så gælder der ifølge Sætning 2.4.5(iii), at A gdµ A hdµ for alle A i E. Vi starter med -under passende forudsætninger- at vise en omvendt til dette resultat Sætning. Lad (,E, µ) være et målrum, og lad g og h være funktioner fra L(µ), således at gdµ hdµ for alle A i E. (5.6) A A 35

136 (i) Hvis yderligere g,h L (µ), da gælder der, at g h µ-n.o. (ii) Hvis yderligere µ er σ-endeligt, da gælder der, at g h µ-n.o. Bevis. (i) Antag, at g,h L (µ), og betragt funktionen (g h) {g>h}, som er et element i L (µ) + (overvej!). Vi finder så, at (g h) {g>h} dµ = gdµ hdµ, {g>h} {g>h} således at (g h) {g>h} dµ =. Ved anvendelse af Sætning 2.3.6(i) følger det derfor, at som ønsket. (g h) {g>h} = µ-n.o. dvs. µ({g > h}) =, (ii) Antag først, at µ er et endeligt mål. Da Q er tæt i R, bemærker vi så, at {g > h} = {g r > q h}, q,r Q q<r og da Q er tællelig, er det derfor nok at vise, at µ({g r > q h}) = for alle q,r i Q, således at q < r. For sådanne q,r medfører (5.6) via Sætning 2.4.5(iii), at rµ({g r > q h}) = r {g r>q h} dµ g {g r>q h} dµ h {g r>q h} dµ qµ({g r > q h}). Da q < r, og µ({g r > q h}) [, ), er dette kun muligt, hvis µ({g r > q h}) =, som ønsket. Hvis µ kun er σ-endeligt, kan vi vælge en voksende følge (A n ) af mængder fra E, således at A n =, og µ(a n ) < for alle n. n N For hvert n i N kan vi da betragte det endelige mål µ k A n givet ved og det følger fra Sætning.3.4(v), at µ k A n (B) = µ(b A n ), (B E), µ({g > h}) = lim µ({g > h} A n ) = lim µ k A n ({g > h}). (5.7) Idet vi bemærker, at µ A k n har tæthed An med hensyn til µ (overvej!), følger det ved anvendelse af Sætning og (5.6), at der for alle A i E gælder, at gdµ A k n = g A dµ A k n = g A An dµ = g A An dµ A = gdµ hdµ = = A A n A A n 36 A hdµ k A n,

137 hvor prikkerne udtrykker, at de samme regninger kan udføres (i modsat rækkefølge) med h i stedet for g. Da µ A k n er et endeligt mål, kan vi derfor udfra første del af beviset slutte, at µ A k n ({g > h}) = for alle n, og sammenholdes dette med (5.7), fremgår det, at µ({g > h}) =, som ønsket Korollar. Lad µ og ν være mål på det målelige rum (,E), og antag, at ν har en tæthed med hensyn til µ. Antag yderligere, at (mindst) en af følgende to betingelser er opfyldt: (i) ν er et endeligt mål. (ii) µ er et σ-endeligt mål. Da er tætheden dν/dµ entydigt bestemt µ-n.o., dvs. hvis g og h er funktioner fra M(E) +, som begge er tætheder for ν mht. µ, da er g = h µ-n.o. Bevis. Lad g og h være funktioner fra M(E) +, som begge er tætheder for ν med hensyn til µ. Der gælder altså, at gdµ = ν(a) = hdµ for alle A i E. A Hvis nu µ yderligere antages σ-endeligt, da følger det umiddelbart fra Sætning 5.3.3(ii), at og dermed at g = h µ-n.o. A g h µ-n.o., men også at h g µ-n.o., Antag så i stedet, at ν er et endeligt mål. Da gælder der, at > ν() = gdµ = hdµ, og dette medfører specielt, at µ(n) =, hvor N = {g = } {h = }, (jvf. Sætning 2.3.6(iii)). Funktionerne g N c og h N c er nu elementer i L (µ) +, og der gælder også (jvf. Sætning 2.3.6(iv)), at g N c dµ = ν(a) = h N c dµ for alle A i E. A Ved hjælp af Sætning 5.3.3(i) kan vi derfor som ovenfor slutte, at som ønsket. A g = g N c = h N c = h, µ-n.o., Korollar. Lad (,E, µ) være et målrum, og antag, at g og h er funktioner fra L (µ), som opfylder, at gdµ = hdµ for alle A i C, (5.8) A A hvor C er et -stabilt frembringersystem for E, således at C. Da gælder der, at h = g µ-n.o. 37

138 Bevis. Hvis vi først antager, at g,h, så kan vi betragte målene ν og η med tætheder hhv. g og h med hensyn til µ. Da udtrykker (5.8), at ν(a) = η(a) for alle A i C. Da C og g,h L (µ), har vi endvidere, at ν() = η() <. Ved anvendelse af Sætning 3.2. kan vi derfor slutte, at ν = η, og benyttes derefter tilfælde (i) i Korollar 5.3.4, følger det, at g = h µ-n.o. For generelle g,h i L (µ) opfyldende (5.8) har vi, at A g + dµ g dµ = gdµ = hdµ = h + dµ h dµ, A A A A A og dermed (bemærk, at alle integraler er endelige) at (g + + h )dµ = g + dµ + h dµ = g dµ + h + dµ = (g + h + )dµ A A A A A A for alle mængder A fra C. Idet g + + h og g + h + er funktioner fra L (µ) +, kan vi nu udfra første del af beviset slutte, at g + + h = g + h + µ-n.o., og dermed (husk, at alle funktionsværdier er endelige) at g = g + g = h + h = h, µ-n.o., som ønsket. 5.4 Opgaver til Kapitel Opgave. Betragt Lebesgue-målet λ på (R,B(R)), og lad λ[,] k betegne koncentrationen af λ til [, ] (jvf. Eksempel.3.3(D)). Betragt endvidere funktionen ϕ : R R givet ved ϕ(x) = x 2, (x R). Vis da, at transformationen λ[,] k ϕ af λ[,] k ved ϕ er målet med tæthed med hensyn til λ. g(x) = 2 x (,](x), (x R) Opgave. Betragt funktionen ϕ : R 2 R givet ved: ϕ(x,x 2 ) = exp( x x 2 ), ((x,x 2 ) R 2 ). Vi skal i denne opgave studere billedmålet λ 2 ϕ, hvor λ 2 er Lebesguemålet på (R 2,B(R 2 )). 38

139 (a) Vis, at der for ethvert t i R gælder, at { ϕ /, hvis t < ((,t]) = [ ln(t),ln(t)] [ ln(t),ln(t)], hvis t. (b) Vis, at der for ethvert t i R gælder, at (c) Vis, at billedmålet λ 2 ϕ har tæthed t λ 2 ϕ ((,t]) = 8 [, ) (s) ln(s) λ(ds). s s 8ln(s) s [, ) (s), (s R), med hensyn til Lebesguemålet λ på R, idet udtrykket naturligvis opfattes som, hvis s / [, ). (d) Vis, at der for enhver funktion h i M(B(R)) + gælder formlen: R 2 h( e x x 2 ) λ 2 (dx,dx 2 ) = 8 (e) Vis, at R 2 e x x 2 λ 2 (dx,dx 2 ) = Opgave. Betragt afbildningen η : R 2 R givet ved h(s) ln(s) λ(ds). s η((x,y)) = (x,y) = x 2 + y 2, ((x,y) R 2 ). (a) Vis, at billedmålet λ 2 η er målet på (R,B(R)) med tæthed f(r) = 2πr (, ) (r), (r R), med hensyn til Lebesgue-målet λ. (b) Vis, at R 2 e x2 y 2 λ 2 (dx,dy) = π. (c) Vis ved hjælp af Tonelli s Sætning, at e x2 λ(dx) = π. (d) Vis, at der for alle ξ i R og alle σ i (, ) gælder identiteten: R R e (x ξ)2 /(2σ 2) λ(dx) = 2πσ 2. 39

140 (e) Vis, at x /2 e x λ(dx) = π Opgave. (a) Vis, at for ethvert fast t i R er funktionen f t (x) := cos(tx)e x2, (x R) et element i L (λ), hvor λ som sædvanlig betegner Lebesgue målet på R. Vi definerer nu funktionen F : R R ved ligningen: F(t) = cos(tx)e x2 λ(dx), R (t R). (b) Vis, at F er kontinuert på R. [Vink: Benyt Opgave 2.8.6]. (c) Vis, at F er differentiabel på R med afledet F (t) = xsin(tx)e x2 λ(dx). R [Vink: Benyt Opgave 2.8.2]. (d) Vis for ethvert n i N og ethvert t i R, at n [ ] n n xsin(tx)e x2 λ(dx) = 2 e x2 sin(tx) n n 2 e x2 t cos(tx)λ(dx), n og konkludér, at F (t) = 2 tf(t), (t R). (e) Vis, at der for ethvert t i R gælder, at cos(tx)e x2 λ(dx) = πe t2 /4. R [Vink: Det kan uden yderligere argumentation benyttes, at der kun findes én løsning til differentialligningen: y (t)+ 2 ty(t) =, som opfylder sidebetingelsen: y() = π. Benyt endelig Opgave 5.4.3] Opgave. Betragt målrummet (R,B(R),λ), og lad f være en funktion fra L (λ) +, som endvidere er kontinuert. Betragt da målet µ på (R, B(R)) med tæthed f med hensyn til λ. Redegør i denne situation for, at formlen udledt i spørgsmål (e) i Opgave 4.5. svarer til den velkendte formel for partiel integration, når den indgående funktion g antages kontinuert. 4

141 A Appendices A. Elementær mængdelære I dette appendix betragtes en ikke-tom (grund-) mængde ; f.eks. = {,,2,3,4}, = N eller = R). Elementerne i betegnes typisk med x, y og z. A.. De grundlæggende mængdeoperationer. En delmængde af er en (specificeret) samling af elementer i. Specielt nævnes den tomme mængde /, som ikke indeholder nogle elementer. For delmængder A og B af indføres de grundlæggende mængdeoperationer,, \ og c som følger: A B = delmængden af bestående af alle elementer, der ligger i (A.) A B mindst én af mængderne A eller B. = delmængden af bestående af alle elementer, der ligger i både A og B. (A.2) A \ B = delmængden af bestående af alle elementer i A, der ikke ligger i B. (A.3) A c = delmængden af bestående af alle elementer i, der ikke ligger i A. (A.4) A..2 Regneregler for mængdeoperationerne. Det følger umiddelbart fra definitionerne, at der gælder (bl.a.) følgende regneregler for delmængder A og B af : / c =, og c = / (A.5) A c = \ A (A.6) (A c ) c = A (A.7) A \ B = A B c = A \(A B) (A.8) (A B) c = A c B c (A.9) (A B) c = A c B c. (A.) A..3 Mængdeinklusion. For delmængder A og B af indfører vi relationerne og ved definitionerne: A B alle elementer i A er også elementer i B A B B A. Vi skriver endvidere, A B (eller ækvivalent B A), hvis A B, uden at A = B, dvs. hvis alle elementer i A også er elementer i B, men der er elementer i B, som ikke ligger A. 4

142 Det følger umiddelbart, at der gælder følgende udsagn for delmængder A, B og C af : / A (A.) A,B A B, og A B A,B (A.2) A \ B A, og A \ B B c (A.3) A,B C = A B C C A,B = C A B A B = B c A c A B = B = A (B \ A). (A.4) (A.5) (A.6) (A.7) A..4 Disjunkte mængder. To delmængder A og B af kaldes disjunkte, hvis A B = /. Mere generelt siges delmængder A,A 2,...,A n af at være være disjunkte (eller mere præcist parvis disjunkte), hvis A i A j = / for alle i, j fra {,2,...,n}, således at i j. A..5 Systemer af delmængder. Med P() betegnes potensmængden for, dvs. systemet af alle delmængder af. Bemærk, at P() selv er en mængde, hvis elementer er delmængderne af. Dermed kan vi også tale om delmængder af P(), dvs. en (specificeret) samling af delmængder af. En delmængde af P() vil vi normalt omtale som et system eller en familie af delmængder af (for at undgå det forvirrende udtryk mængde af mængder ). I forlængelse heraf er det ofte bekvemt at angive en delmængde af P() som en indiceret familie (A i ) i I, hvor I er en (ikke-tom) indexmængde (f.eks. I = {,2,3} eller I = N), og for hvert index i fra I er A i en delmængde af. A..6 Generaliserede mængdeoperationer. Lad i det følgende I være en (ikke-tom) indexmængde, og lad (A i ) i I og (B i ) i I være tilsvarende systemer af delmængder af. Vi definerer da i generalisering af (A.) og (A.2): i I A i = delmængden af bestående af de elementer, der ligger i A i (A.8) for mindst ét i fra I i I A i = delmængden af bestående af de elementer, der ligger i A i (A.9) for alle i fra I. I generalisering af A..2 har vi da (bl.a.) følgende regneregler: ( i I A i ) c = ( i I A i ) ( ) c i I A c i, og i I A i = i I A c i. (A.2) ( ) i I B i = i I(A i B i ). (A.2) ( i I A i ) C = i I(A i C) for enhver delmængde C af. (A.22) Her kan (A.22) f.eks. bevises på følgende måde: For at vise inklusionen antages, at x ( i I A i ) C. Så gælder der, at x C, og at x A i for (mindst) et i fra I. Men så gælder der også, at x A i C i I(A i C). For at vise inklusionen bemærker vi, at der for hvert j fra I gælder, at A j B ( i I A i ) C, og dermed gælder der også, at j I(A j C) ( i I A i ) C, som er den ønskede inklusion. Udsagnene (A.2) og (A.2) vises tilsvarende. 42

143 A..7 Eksempel. Betragt grundmængden = {,, 2, 3}. Vi har da { P() = /,{},{},{2},{3},{,},{,2},{,3},{,2},{,3},{2,3}, } {,,2},{,,3},{,2,3},{,2,3},{,,2,3}. Bemærk specielt, at da der er 4 elementer i, er der 2 4 = 6 elementer i P(), svarende til at enhver delmængde af udvælges ved at foretage et valg med to muligheder ( med eller ikke-med ) for hver af de 4 elementer i. Lad os nu betragte nogle systemer af delmængder af : { } A = {},{2},{,2,3} { } B = /,{2,3},{,,2},{,2,3} C = alle delmængder af med et lige antal elementer { } = /,{,},{,2},{,3},{,2},{,3},{2,3},{,,2,3} D = alle delmængder af med 3 eller flere elementer { } = {,,2},{,,3},{,2,3},{,2,3},{,,2,3}. Vi kan da på naturlig måde benytte mængdeoperationerne,, \ og c til at danne nye systemer af delmængder af, f.eks. { } A B = /,{},{2},{2,3},{,,2},{,2,3} { } A B = {,2,3} { } B \C = {,,2},{,2,3} D c = alle delmængder af med højst 2 elementer { } = /,{},{},{2},{3},{,},{,2},{,3},{,2},{,3},{2,3}. Bemærk, at følgende udsagn er meningsfulde (og sande): P() A P() / B, {} A, {,2,3} A { } /,{,2,3} B A C c. Derimod giver følgende udsagn ingen mening (overvej hvorfor!): P() A P() {} A { } /,{,2,3} B A C c. 43

144 A..8 Familier af disjunkte mængder. Lad I være en (ikke-tom) indexmængde, og lad (A i ) i I være et tilsvarende system af delmængder af. Vi siger da, at mængderne A i, i I, er disjunkte (eller mere præcist parvis disjunkte), hvis A i A j = / for alle i, j fra I, således at i j. A..9 Familier af systemer af delmængder (mængder af mængder af mængder!). Selvom det muligvis lyder afskrækkende, kan det være naturligt at betragte (indicerede) familier (A i ) i I, hvor hvert A i er et system af delmængder af. Hvis vi f.eks. lader grundmængden være mængden R af reelle tal, kan vi betragte følgende systemer af delmængder af R: A = {(a,b) a,b R, a < b} A 2 = {[a,b] a,b R, a < b} A 3 = {(,a] a R} A 4 = {G R G er åben} A 5 = {{a} a R} A 6 = {M R M er tællelig} B n = {M R M har mindst n elementer}, n N. Vi kan da f.eks. betragte følgende familier af systemer af delmængder af R: (A i ) i {,2,3,4}, (A i ) i {5,6}, (B n ) n N. I Kapitel vises det, at systemerne i (A i ) i {,2,3,4} alle frembringer den samme σ-algebra, og det samme er tilfældet for systemerne i (A i ) i {5,6}. Endvidere kan vi eksempelvis bemærke, at B n n N = systemet af delmængder af R, der ligger i B n for alle n i N = systemet af delmængder af R med uendeligt mange elementer. A.. Originalmængder a.k.a. urbilleder. I det følgende skal vi udover betragte endnu en (grund-)mængde Y samt en afbildning f : Y. For enhver delmængde H af Y definerer vi da originalmængden (også kaldet urbilledet) f (H) af H ved f som mængden f (H) = {x f(x) H}. Lad os med det samme understrege, at notationen ikke umiddelbart har noget at gøre med den inverse afbildning f, som jo kun giver mening, hvis f er i hvert fald injektiv, hvad vi ikke har forudsat 4. Det er nyttigt at indse, at originalmængde-dannelse opfører sig præcis, som man kunne ønske det, i forhold til mængdeoperationerne. Hvis H og K er delmængder af Y, gælder der således: H K = f (H) f (K), og H K = / = f (H) f (K) = /. (A.23) f (H c ) = f (H) c, og f (K \ H) = f (K) \ f (H). (A.24) f (H K) = f (H) f (K), og f (H K) = f (H) f (K). (A.25) 4 Hvis f : Y er en bijektiv afbildning er det dog korrekt at opfatte f (H) som billedmængden af H ved afbildningen f. 44

145 Hvis (H i ) i I er en familie af delmængder af Y, gælder der yderligere, at f ( ) A i = f (A i ), og f ( ) A i = f (A i ). i I i I i I i I (A.26) Lad os som et eksempel bevise første identitet i (A.26): Antag, at x f ( i I A i ), altså at f(x) i I A i. Så findes mindst ét i fra I, således at f(x) A i, og dermed gælder der også, at x f (A i ) i I f (A i ). Dermed har vi vist inklusionen. For at bevise den modsatte inklusion er det nok at bemærke, at der for hvert j fra I gælder, at f (A j ) f ( i I A i ) (jvf. første implikation i (A.23)). A.. Billedmængder. Som i A.. betragter vi en afbildning f : Y. For en ikke-tom delmængde A af definerer vi da billedmængden (eller bare billedet) f(a) af A ved f som mængden: f(a) = { f(x) x A} = {y Y x A: y = f(x)} Y. Mængden f() omtales specielt som billedmængden (eller værdimængden) af afbildningen f. Billedmængde-dannelse opfører sig ikke lige så pænt som originalmængde-dannelse i forhold til mængdeoperationerne. Dog gælder der følgende regler for (ikke-tomme) delmængder A og B af : A B = f(a) f(b) f(a B) = f(a) f(b) f(a B) f(a) f(b), (A.27) (A.28) (A.29) idet vi specielt understreger, at der normalt ikke gælder lighedstegn i den sidstnævnte inklusion (overvej!). Hvis (A i ) i I er en familie af delmængder af, gælder der tilsvarende, at ( ) f A i = ( ) f(a i ), og f A i f(a i ). (A.3) i I A.2 Tællelige mængder i I i I i I A.2. Definition. Lad og Y være ikke-tomme mængder, og lad f : Y være en afbildning. Vi siger da, at (a) f er injektiv, hvis der for alle x,x i gælder implikationen: x x = f(x) f(x ), eller ækvivalent f(x) = f(x ) = x = x. (b) f er surjektiv, hvis y Y x : y = f(x). (c) f er bijektiv, hvis f er både injektiv og surjektiv. 45

146 A.2.2 Bemærkninger. () Lad og Y være ikke-tomme mængder, og lad f : Y være en afbildning. Da er f bijektiv, hvis og kun hvis den har en invers afbildning, dvs. en afbildning g: Y, der opfylder, at g( f(x)) = x for alle x i, og f(g(y)) = y for alle y i Y. Hvis f har en invers, er den entydigt bestemt, og den betegnes med f. Den inverse afbildning bliver igen en bijektion. (2) Lad,Y og Z være ikke-tomme mængder, og betragt afbildninger f : Y og g: Y Z. Hvis f og g begge er injektive (hhv. surjektive eller bijektive), da er den sammensatte afbildning g f igen injektiv (hhv. surjektiv eller bijektiv). A.2.3 Definition. Lad være en mængde. Vi siger da, at (a) er endelig, hvis = /, eller hvis der findes et N i N og en bijektiv afbildning f : {,2,...,N}. (b) er numerabel, hvis der findes en bijektiv afbildning f : N. (c) er tællelig, hvis er enten endelig eller numerabel. (d) er overtællelig, hvis ikke er tællelig. A.2.4 Bemærkninger. Lad og Y være ikke-tomme mængder. () er endelig, hvis og kun hvis den kan skrives på formen: = {a n n {,2,...,N}} for et passende N i N, og hvor a n a m, når n m. (2) er numerabel, hvis og kun hvis den kan skrives på formen: = {a n n N}, hvor a n a m, når n m. (3) Hvis der findes en bijektion f : Y, så er tællelig (hhv. endelig eller numerabel), hvis og kun hvis Y er tællelig (hhv. endelig eller numerabel). Dette følger ved anvendelse af Bemærkning A.2.2(2). A.2.5 Eksempler. (A) Enhver delmængde af af N er tællelig. Vi kan nemlig definere: a = min(), a 2 = min( \{a }), a 3 = min( \{a,a 2 }), a 4 = min( \{a,a 2,a 3 }),... Vi kan fortsætte så længe \{a,...,a N } /. Og hvis det indtræffer, at \{a,...,a N } = / for et N i N, så har vi, at = {a,...,a N }, og er endelig (jvf. Bemærkning A.2.4()). I modsat fald får vi skrevet på formen: = {a n n N}, og bliver numerabel (jvf. Bemærkning A.2.4(2)). At vi i sidstnævnte tilfælde får alle elementer i med ved proceduren skyldes, at der for hvert x i kun er endeligt mange elementer fra, som er mindre end x (overvej!). (B) Mængden Z af alle hele tal er numerabel. Vi kan nemlig definere en bijektiv afbildning f : N Z ved: f() =, og f(2n) = n, og f(2n+) = n, for alle n i N. 46

147 A.2.6 Sætning. Lad være en ikke-tom mængde. Da er følgende betingelser ensbetydende: (i) er tællelig. (ii) Der findes en injektiv afbildning f : N. (iii) Der findes en surjektiv afbildning g: N. Bevis. (i) (ii): Antag, at er tællelig. Hvis er numerabel, findes en bijektion f : N, og den inverse afbildning f : N er da specielt injektiv. Hvis er endelig findes et N i N og en bijektiv afbildning f : {,2,...,N}. Hvis vi opfatter f som en afbildning med værdier i N, opnår vi en injektiv afbildning f : N. (ii) (i): Antag, at der findes en injektiv afbildning f : N, og betragt billedmængden f()= { f(x) x } N. Vi kan da betragte f som en bijektiv afbildning fra til f(). Ifølge Eksempel A.2.5(A) er f() tællelig. Dermed bliver også tællelig (jvf. Bemærkning A.2.4(3)). (ii) (iii): Antag, at der findes en injektiv afbildning f : N, og betragt billedmængden f(). Idet vi opfatter f som en bijektion mellem og f(), kan vi betragte den inverse afbildning: f : f(). Udvælg nu et vilkårligt element x fra. Vi kan da definere en afbildning g: N ved { f (n), hvis n f() g(n) = x, hvis n N \ f(). Da f er surjektiv, bliver g det også. (iii) (ii): Antag, at der findes en surjektiv afbildning g: N. Vi definerer nu en afbildning f : N ved formlen: f(x) = min ( g ({x}) ), (x ), hvor g ({x}) betegner originalmængden af {x} ved g. Denne afbildning er injektiv, for hvis x,x er forskellige elementer fra, så er originalmængderne g ({x}) og g ({x }) disjunkte. Dermed er sætningen bevist. A.2.7 Bemærkning. Det følger umiddelbart fra Sætning A.2.6, at enhver delmængde af en tællelig mængde igen er tællelig. Antages nemlig, at er en tællelig mængde, kan vi ifølge Sætning A.2.6(ii) vælge en injektiv afbildning f : N. For enhver ikke-tom delmængde A af kan vi endvidere betragte inklusions-afbildningen: ι : A x x, som oplagt er injektiv. Ifølge Bemærkning A.2.2(2) er den sammensatte afbildning f ι : A N igen injektiv, og dette viser, at A er tællelig. 47

148 A.2.8 Sætning. Lad og Y være ikke-tomme mængder. (i) Mængden N 2 = N N er numerabel. (ii) Hvis og Y begge er tællelige mængder, da er Y ligeledes tællelig. (iii) Hvis (A n ) n N er en følge af delmængder af, som alle er tællelige, da er n N A n ligeledes tællelig. (iv) Mængden Q af rationale tal er numerabel. (v) For ethvert d i N er Q d en tællelig mængde. Bevis. (i) Ifølge Bemærkning A.2.4(2) skal vi opskrive N N på formen {a n n N}, således at a n a m, når n m. Dette kan f.eks. gøres som følger: a = (,), a 2 = (,2), a 3 = (2,), a 4 = (,3), a 5 = (2,2), a 6 = (3,), a 7 = (,4), a 8 = (2,3), a 9 = (3,2), a = (4,), * 6 * * 5 * * * 4 * * * * 3 * * * * * 2 * * * * * * * * * * * * * Figur 8: Illustration af nummereringen af N N fra beviset for Sætning A.2.8. (ii) Antag, at og Y er tællelige. Så findes ifølge Sætning A.2.6(iii) surjektive afbildninger f : N og f 2 : N Y. Vi kan derefter definere en surjektiv afbildning f : N N Y ved: f(n,m) = ( f (n), f 2 (m)), (n,m N). Ifølge (i) findes en bijektiv afbildning h: N N N. Dermed bliver den sammensatte afbildning f h: N Y surjektiv, hvilket viser, at Y er tællelig. (iii) Som i beviset for (ii) er det nok at anføre en surjektiv afbildning f : N N n N A n. For hvert n i N kan vi vælge en surjektiv afbildning f n : N A n, og vi definerer derefter f : N N n N A n ved: f(n,m) = f n (m), (n,m N). 48

149 Det følger umiddelbart, at f er surjektiv. (iv) Da Q ikke er endelig, er det nok at vise, at Q er tællelig, og som i beviset for (ii) er det hertil nok at anføre en surjektiv afbildning f : N N Q. Da Z er numerabel (jvf. Eksempel A.2.5(B)), kan vi vælge os en bijektiv afbildning h: N Z, og vi definerer derefter f : N N Q ved: f(n,m) = h(n) m, (n,m N). Idet Q = { p q p Z, q N}, følger det umiddelbart, at f er surjektiv. (v) Dette følger umiddelbart ved at kombinere (ii) og (iv) i et induktions-argument (overvej dette!). A.2.9 Sætning. Mængden R af reelle tal er overtællelig. Bevis. Vi bemærker først, at for enhver følge (a n ) n N af tal fra mængden {,,...,9} er rækken n= a n n (absolut) konvergent, eftersom a n n n= 9 n = 9 n= Vi kan derfor betragte følgende delmængde af R: D = n = 9 n= = <. { } a n n n N: an {,,...,9} [,], n= idet vi er specielt interesserede i delmængden: D = { } a n n n N: an {,,...,9} og n N m n: a m 9. n= Mængden D har nemlig egenskaben, at hvis n= a n n og n= b n n er to elementer fra D, så gælder bi-implikationen: a n n = b n n a n = b n for alle n i N. n= n= (A.3) 49

150 Her er implikationen oplagt, og for at vise antager vi, at {n N a n b n } /, og vi lader så n betegne denne mængdes minimum. Vi kan antage, at a n < b n, og det følger da, at n= b n n n= a n n = b n n a n n = b n n a n n + n=n n=n (b n a n ) n n=n + n=n + a n n > (b n a n ) n b n n n=n + 9 n n=n + = (b n a n ) n 9 n + n = (b n a n ) n 9 n= n + = (b n a n ) n n, hvor den skarpe ulighed netop skyldes definitionen af D. a n n Lad os nu antage, at R ér tællelig. Da er mængden D også tællelig (jvf. Bemærkning A.2.7), og der findes ifølge Sætning A.2.6(iii) en surjektiv afbildning g: N D. For hvert k i N kan vi (på entydig vis) skrive g(k) = a (k) n n, n= hvor følgen (a (k) n ) n N opfylder betingelserne i Definitionen af D. Vi betragter derefter tallet hvor α n = { ξ = a (n) n α n n, n=, hvis a (n) n, hvis a (n) n =. Da α n 9 for alle n, ser vi, at ξ D, og derfor findes k i N, således at g(k) = ξ, dvs. α n n = a (k) n n. n= n= (A.32) Ifølge (A.3) medfører dette specielt, at α k = a (k) k, men dette strider imod (A.32). Vi har således opnået den søgte modstrid. A.2. Bemærkning. Lad a,b være reelle tal, således at a < b. Da er f.eks. afbildningen f(x) = tan ( π b a (x a) π 2), (x (a,b)) en bijektion af (a,b) på R. Ifølge Sætning A.2.9 er (a,b) derfor overtællelig, og pga. Bemærkning A.2.7 er (a,b], [a,b) og [a,b] derfor også overtællelige. 5

151 A.2. Kardinalitet af mængder. Kardinaliteten card(a) af en mængde A er løst sagt lig med antallet af elementer i A. Dette er en præcis definition, hvis A kun har endeligt mange elementer, men hvis A har uendeligt mange elementer, opstår der problemer, som følge af at der er forskellige grader af uendelighed. F.eks. kan vi betragte delmængderne N og [, ] af R, der begge har uendeligt mange elementer, men ifølge Bemærkning A.2. er [, ] overtællelig, hvilket er et udtryk for, at der er flere elementer i [,] end i N. Vi siger, at [,] har (strengt) større kardinalitet end N. Formelt siges to mængder A og B at have samme kardinalitet, hvis der findes en bijektiv afbildning ϕ : A B. I så fald skrives A B. Endvidere siges B at have større kardinalitet end A, hvis der findes en injektiv afbildning f : A B, og terminologien strengt større benyttes, hvis der ikke samtidig gælder, at A B. Det er ikke svært at indse, at er en ækvivalensrelation på det system af mængder, man måtte betragte 5, og selve kardinaliteten card(a) kan man derefter formelt indføre som A s ækvivalensklasse med hensyn til. Der gælder altså, at card(a) = card(b) A B. Hvis B har større eller strengt større kardinalitet end A, benyttes notationen: card(a) card(b) hhv. card(a) < card(b). Med denne notation udtrykker Bernsteins Sætning, at der gælder følgende implikation: card(a) card(b) og card(b) card(a) = card(a) = card(b), hvilket naturligvis er trivielt for endelige mængder. Den såkaldte Kontinuum-hypotese 6 udtrykker, at der ikke findes en mængde A, således at card(n) < card(a) < card(r). Denne hypotese er uafhængig af det sædvanlige ZFC-aksiomssystem for mængdelæren, og den kan således hverken bevises eller modbevises inden for dette aksiomssystem! A.2.2 Øvelse. Eftervis, at der gælder følgende udsagn: card({,2,...,n}) = card({,2,...,m}) n = m, card(n) = card(z) = card(q), card((a, b)) = card([a, b]) = card(r) for alle a, b i R, således at a < b, card(q Q) < card(r). A.3 Den udvidede reelle tallinie R Vi udvider den reelle tallinie R med to elementer og, således at < x < for alle x i R. Vi sætter så: R = R { } { } = [, ]. 5 Man kan ikke betragte systemet af alle mulige mængder, da dette leder til det berømte paradoks af B. Russell. 6 Kardinalitetsbegrebet blev indført af G. Cantor, der ligeledes formulerede kontinuum-hypotesen. 5

152 A.3. Addition i R. Additionen + i R udvider den sædvanlige addition i R efter følgende konventioner: a R: a+ = +a =, a R: a+( ) = +a =, + =, +( ) =. Vi fremhæver, at +( ) ikke tilægges nogen mening. Der gælder nu følgende regneregler for a,b,c i R: a+b = c a = c b, hvis b R, a+b a+c b c, hvis a R. A.3.2 Multiplikation i R. Multiplikationen i R udvider den sædvanlige multiplikation i R efter følgende konventioner: (± ) = (± ) =, c (, ]: c (± ) = (± ) c = ±, c [,): c (± ) = (± ) c =. Multiplikationen i R bliver da kommutativ og associativ, dvs. for a,b,c i R gælder der, at a b = b a, og (a b) c = a (b c). Som det er kutyme, vil vi ofte udelade symbolet og altså blot skrive ab i stedet for a b for vilkårlige a,b i R. A.3.3 Grænseovergang i R. Lad (x n ) være en følge af elementer i R, og lad x være et element i R. Hvis x R, benytter vi den sædvanlige definition af, at x n x for n : lim x n = x ε > N N n N : x n x ε, idet vi anvender den naturlige konvention: ± =. Vi bemærker specielt, at hvis x n x R for n, så gælder der nødvendigvis, at x n R for alle tilstrækkeligt store n. Hvis x {, }, benytter vi følgende definitioner: og lim x n = R > N N n N : x n R, lim x n = R > N N n N : x n R. Lad os som et afsluttende eksempel betragte to følger (x n ) og (y n ) af elementer i R, der begge har grænseværdier i R. Hvis det yderligere forudsættes, at der ikke gælder, at lim x n {, }, samtidig med at lim y n = (eller omvendt), da følger det med konventionerne i A.3.2, at ( ) ( ) lim (x n y n ) = lim x n lim y n. 52

153 A.4 Infimum, supremum, limes inferior og limes superior I dette appendix repeteres de væsentligste egenskaber ved supremum, infimum, limes superior og limes inferior. Resultaterne forventes i vid udstrækning at være kendte fra tidligere kurser. Supremum og infimum Hvis en delmængde A af R har et største element, betegnes dette med max(a), mens et eventuelt mindste element i A betegnes med min(a). Det er dog langtfra alle delmængder af R, der har et største- og/eller mindste element (betragt f.eks. mængderne N og (, ]). Imidlertid har enhver (ikke-tom) delmængde af R et supremum og et infimum, som vi skal indføre nedenfor. Disse størrelser kan med rette opfattes som generaliseringer af maximums- og minimums-begreberne. A.4. Notation & Terminologi. Lad A være en (ikke-tom) delmængde af R. Et tal v i R siges da at være et overtal for A, hvis x v for alle x i A. Mængden af overtal for A betegnes med O(A). Et tal w i R siges tilsvarende at være et undertal for A, hvis x w for alle x i A. Mængden af undertal for A betegnes med U(A). En helt fundamental egenskab ved de reelle tal er, at de besidder supremums-egenskaben: A.4.2 Supremumsegenskaben. For enhver ikke-tom delmængde A af R gælder der, at mængden O(A) har et mindste element, dvs. A har et mindste overtal i R. Dette tal kaldes for supremum af A, og det betegnes med sup(a); altså: sup(a) = min(o(a)). For beviset for A.4.2 henvises til et passende kursus i algebra! Ved at benytte A.4.2 på mængden A = { x x A}, følger det, at enhver ikke-tom delmængde A af R ligeledes har et største undertal i R. Dette tal kaldes for infimum af A, og det betegnes med inf(a). Der gælder altså, at inf(a) = max(u(a)) = sup( A). A.4.3 Bemærkninger. () Pr. konvention sætter man ofte sup(/) = og inf(/) =, men i nogle sammenhænge kan man komme ud for andre konventioner. Man bør derfor som hovedregel anføre, hvad man forstår ved inf(/) og sup(/), hvis man har brug for at betragte disse størrelser. Med mindre andet er eksplicit anført vil vi i disse noter benytte ovenstående konventioner. 53

154 (2) Det følger umiddelbart, at operationerne sup og inf kan udvides til alle delmængder af R, idet man for enhver delmængde A af R f.eks. sætter {, hvis A sup(a) = sup(a R), hvis / A. Dette er i overenstemmelse med identiteten: sup(a) = min(o(a)), når vi benytter den oplagte generalisering af O(A) til delmængder A af R. (3) En (ikke-tom) delmængde A af R har som nævnt ikke generelt et største element men altså altid et supremum. F.eks. har mængden [,) ikke et største element, men sup([,)) =. Hvis mængden A faktisk har et største element max(a), så gælder der altid, at max(a) = sup(a). I denne situation er det nemlig oplagt, at max(a) er det mindste overtal for A. Tilsvarende gælder der naturligvis, at min(a) = inf(a), hvis min(a) skulle eksistere. Bemærk iøvrigt at max(a) eksisterer, hvis og kun hvis sup(a) A. (4) Hvis A = {x n n N} for en passende følge (x n ) af elementer i R, da skriver man ofte sup n N x n i stedet for sup({x n n N}). Tilsvarende notation benyttes i forbindelse med infimum. (5) Hvis (x n ) og (y n ) er to følger af elementer i R, således at x n y n for alle n, så gælder der også, at sup n N x n sup n N y n, og at inf n N x n inf n N y n. Det fremgår nemlig umiddelbart, at sup n N y n er et overtal for {x n n N}, mens inf n N x n er et undertal for {y n n N}. A.4.4 Eksempler. (A) Idet vi betragter mængden N af naturlige tal som en delmængde af R, har vi, at sup(n) =, og at inf(n) = min(n) =. (B) Betragt mængden A = [,] \ Q, hvor Q betegner mængden af rationale tal. Da R \ Q er tæt i R, følger det, at inf(a) =, og at sup(a) =, mens hverken min(a) eller max(a) eksisterer. (C) Betragt mængden A = { n n N}. Så gælder der, at inf(a) =, og at sup(a) = max(a) =. Vi noterer som det næste en række nyttige egenskaber ved sup og inf i følgende lemma, hvor vi for en ikke-tom delmængde A af R og et element x i R benytter notationen: x+a = {x+a a A} xa = {xa a A}. A.4.5 Lemma. Lad A og B være ikke-tomme delmængder af R, og lad x være et element i R. Da gælder der følgende udsagn: (i) sup( A) = inf(a), og inf( A) = sup(a). (ii) sup(x+a) = x+sup(a), og inf(x+a) = x+inf(a). 54

155 (iii) Hvis x, gælder der, at sup(xa) = x sup(a) og inf(xa) = x inf(a). (iv) Hvis A B, gælder der, at sup(a) sup(b), og at inf(a) inf(b). (v) For ethvert tal v i R gælder der bi-implikationerne: v sup(a) v O(A) a v for alle a i A, (A.33) og v sup(a) ε > a A: a > v ε. (A.34) Har man vist, at v opfylder begge højresiderne af (A.33) og (A.34), kan man således slutte, at v = sup(a). (vi) For ethvert tal v i R gælder der bi-implikationerne: v inf(a) v U(A) v a for alle a i A, (A.35) og v inf(a) ε > a A: a < v+ε. (A.36) Har man vist, at v opfylder begge højresiderne af (A.35) og (A.36), kan man således slutte, at v = inf(a). (vii) Der findes følger (x n ) og (y n ) af elementer fra A, således at x n sup(a) for n og y n inf(a) for n. Bevis. Udsagnene forventes alle at være mere eller mindre velkendte fra foregående kurser. Vi nøjes derfor med kort at bevise (v) og (vii): (v) Bi-implikationerne (A.33) følger umiddelbart af identiteten: sup(a) = min(o(a)) samt af definitionen af O(A). For at vise i (A.34) antager vi, at v sup(a), og at ε >. Det følger da, at v ε < sup(a) = min(o(a)), og derfor er v ε ikke et overtal for A, hvilket netop betyder, at der findes a i A, således at v ε < a. For at vise i (A.34) antager vi, at højresiden af (A.34) er opfyldt. Da sup(a) specielt er et overtal for A, kan vi dermed slutte, at der for alle positive ε gælder, at v ε < sup(a). Ved at lade ε, følger det derfor, at v sup(a). (vii) Vi påviser kun eksistensen af følgen (x n ), idet eksistensen af (y n ) bevises analogt, eller ved at benytte at inf(a)= sup( A). Hvis sup(a)=, kan vi for hvert n i N vælge et element x n fra A, således at x n > n (ellers ville n være et overtal for A). Definér derefter, x n := max{x,...,x n} for alle n i N. Så er (x n ) en voksende følge af elementer fra A, og der gælder oplagt, at x n = sup(a) for n. Vi kan derfor antage, at sup(a) R. For hvert n i N er sup(a) n så ikke et overtal for A, og vi kan derfor vælge et x n fra A, således at sup(a) n < x n sup(a). Defineres derefter som før, x n := max{x,...,x n } for alle n i N, så er (x n) en voksende følge af elementer fra A, og der gælder stadig, at sup(a) n < x n sup(a) for alle n. Dermed følger 55

156 det umiddelbart, at x n sup(a) for n. A.4.6 Sætning. (i) For enhver voksende følge (x n ) i R gælder der, at x n supx n for n. n N (ii) For enhver aftagende følge (y n ) i R gælder der, at y n inf n N y n for n. Bevis. Vi viser kun udsagnet (i), idet (ii) bevises analogt eller ved at benytte (i) på den voksende følge ( y n ). Vi sætter endvidere s = sup n N x n, og vi bemærker, at (i) er trivielt opfyldt, hvis s = (overvej!). Antag så, at s =. For at vise at x n for n, skal vi eftervise følgende betingelse: R > N N n N : x n R. (A.37) Lad derfor et positivt tal R være givet. Vi kan da vælge et N i N, således at x N > R (ellers ville R være et overtal for {x n n N}). Hvis n N, gælder der nu, at x n x N > R, og dermed er (A.37) eftervist. Antag derpå, at s R, og lad et positivt tal ε være givet. Da er s ε ikke et overtal for {x n n N}, og derfor findes et N i N, således at x N > s ε. Hvis n N, gælder der nu, at s x n x N > s ε, og dermed x n s < ε, og da ε var vilkårligt, viser dette, at x n s for n. Limes inferior og limes superior Lad (x n ) være en følge af elementer fra R. Vi indfører nu to nye følger (v k ) og (w k ) af elementer fra R ved definitionerne: v k := supx n, og w k := inf x n for alle k i N. (A.38) n k n k Det følger umiddelbart fra (iv) i Lemma A.4.5, at følgen (v k ) er aftagende (i k), mens følgen (w k ) er voksende. Ifølge Sætning A.4.6 har disse følger derfor begge en grænseværdi i R, nemlig hhv. inf k N v k og sup k N w k. Dermed har vi retfærdiggjort følgende definition: A.4.7 Definition. Lad (x n ) være en vilkårlig følge af elementer fra R, og betragt følgerne (v k ) og (w k ) indført i (A.38). Vi definerer da limes superior limsup x n og limes inferior 56

157 liminf x n for (x n ) ved ligningerne: og lim supx n = lim v k = inf v k, k k N lim inf x n = lim w k = supw k. k k N A.4.8 Bemærkninger. det, at og at () Hvis man sammenholder (A.38) med Definition A.4.7, så følger lim supx n = lim k ( lim inf x n = lim k ( hvilket specielt forklarer terminologien. sup n k inf n k x n ) ( x n = inf k N ) sup n k x n ), ( ) = sup inf x n, k N n k (2) Det følger umiddelbart fra Definition A.4.7, at hverken limsup x n eller liminf x n afhænger af de første endeligt mange elementer i (x n ). Mere præcist gælder der for ethvert N i N, at lim sup x n = limsupx N+n, og liminf x n = liminf x N+n. Vi skal herefter notere en række nyttige egenskaber ved limsup og liminf. A.4.9 Lemma. Lad (x n ) og (y n ) være to følger af elementer fra R, og lad a være et reelt tal. Der gælder da følgende udsagn: (i) liminf x n limsup x n (ii) limsup (a+x n ) = a+limsup x n, og liminf (a+x n ) = a+liminf x n. (iii) Hvis a, gælder der, at lim sup (ax n ) = alimsup x n, og liminf (ax n) = aliminf x n. (iv) limsup ( x n ) = liminf x n, og liminf ( x n ) = limsup x n. (v) Hvis x n y n for alle n i N, så gælder der også, at lim sup x n limsupy n, og liminf x n liminf y n. (vi) limsup (x n + y n ) limsup x n + limsup y n, og liminf (x n + y n ) liminf x n + liminf y n. 57

158 (vii) Hvis lim y n eksisterer i R, så gælder der, at lim sup (x n + y n ) = limsup x n + lim y n, og liminf (x n + y n ) = liminf x n + lim y n. Bevis. Det forventes igen, at udsagnene er mere eller mindre velkendte fra tidligere kurser, og vi nøjes derfor med kort at bevise (vi) og (vii). (vi) For ethvert k i N gælder der, at sup n k (x n + y n ) sup n k x n + supy n, n k idet højresiden er et overtal for mængden {x n +y n n N}. Tages nu grænseværdi for k på begge sider af uligheden ovenfor (bemærk, at disse grænseværdier eksisterer!), så følger det, at ( ) ( ( lim sup(x n +y n ) = lim sup(x n +y n ) lim supx n )+ lim supy n )=limsupx n +limsupy n, k k k n k n k hvilket viser den første ulighed i (vi). Den anden ulighed vises tilsvarende eller ved at benytte den netop viste sammen med udsagn (iv). (vii) Antag, at y n y R for n. For ethvert positivt ε kan vi da vælge et K i N, således at y + ε y n y ε, når n K. Dermed følger det også, at x n + y + ε x n + y n x n + y ε, når n K. (A.39) Ved anvendelse af den første ulighed i (A.39), Bemærkning A.4.3(5) samt Lemma A.4.5(ii) kan vi nu slutte, at sup n k (x n + y n ) sup(x n + y + ε) = y + ε + supx n, når k K. (A.4) n k Lader vi så k i (A.4), da fremgår det, at ( ) lim sup(x n + y n ) = lim sup(x n + y n ) y + ε + lim k n k k ( Da dette gælder for et vilkårligt positivt ε, kan vi dermed også slutte, at n k n k sup n k lim sup(x n + y n ) y + limsupx n. Tilsvarende følger det ved anvendelse af den sidste ulighed i (A.39), at også lim sup(x n + y n ) y + limsupx n, ) x n = y + ε + limsupx n. og dermed er første identitet i (vii) bevist. Den anden identitet i (vii) følger tilsvarende eller ved at benytte udsagn (iv). Hvor en følge (x n ) af elementer i R kun sjældent har en grænseværdi, så eksisterer limsup x n og liminf x n altså altid. Et af de vigtigste resultater om limsup og liminf udtrykker, at lim x n eksisterer, hvis og kun hvis limsup x n og liminf x n er sammenfaldende. 58

159 A.4. Sætning. En følge (x n ) af elementer i R har en grænseværdi i R, hvis og kun hvis limsup x n liminf x n. I bekræftende fald gælder der, at lim x n = limsupx n = liminf x n. Bevis. Vi betragter først tilfældet, hvor x n for n, svarende til at limsup x n = liminf x n =. Vi finder nemlig, at lim x n = R > N N n N : x n R R > N N k N : inf x n R n k ) lim inf = k ( n k x n liminf x n = liminf x n = limsupx n =, hvor vi til sidst benytter Lemma A.4.9(i). Tilfældet, hvor x n for n, håndteres tilsvarende eller ved at benytte det netop etablerede på følgen ( x n ). Antag derpå, at lim x n = x R, og lad et positivt ε være givet. Vi kan da vælge N i N, således at x ε x n x+ε, når n N, og for dette N gælder der dermed også, at x ε inf x n supx n x+ε, når k N. n k Tager vi nu grænseværdi for k, så følger det, at ) x ε lim inf = liminf x n limsupx n = lim k ( n k x n n k k ( Specielt viser dette, at limsup x n,liminf x n R, og at liminf x n x ε, og limsupx n x ε. Da ε var vilkårlig, kan vi dermed slutte, at som ønsket. lim inf x n = x = limsupx n, 59 ) supx n x+ε. n k

160 Antag endelig, at liminf x n = limsup x n = x R, og lad igen et positivt ε være givet. Idet vi husker på, at inf x n liminf n k kan vi så vælge et K i N, således at x n for k, og sup n k x n limsupx n for k, x ε inf x n supx n x+ε, når k K. n k n k Benyttes dette specielt i tilfældet, hvor k = K, fremgår det, at x ε x n x+ε, når n K. Da ε var vilkårlig, viser dette, at x n x for n, som ønsket. A.4. Korollar. Lad (x n ) være en følge af tal fra [, ]. Så gælder der, at x n for n limsupx n =. Bevis. Implikationen er en umiddelbar konsekvens af Sætning A.4., og implikationen følger ligeledes fra denne sætning, når man har observeret, at liminf x n, eftersom x n for alle n. A.5 Generelle partitions σ-algebraer og kardinalitet af σ-algebraer I dette appendix betragtes en ikke-tom mængde. Lad endvidere D være et system af delmængder af. Generelt kan man ikke konstruere mængderne i σ-algebraen σ(d) frembragt af D udfra mængderne i frembringersystemet D. Vi skal i dette appendix bl.a. studere nogle situationer, hvor dette faktisk ér muligt. Vi skal desuden klarlægge hvilke muligheder, der er, for antallet af elementer i en σ-algebra. Vi starter med i generalisering af Eksempel..4 at betragte generelle partitions σ-algebraer. A.5. Definition. En partition af er en familie (B i ) i I af delmængder af, som opfylder, at B i B j = / når i j, og B i =. (A.4) i I Vi understreger, at indexmængden I i definitionen ovenfor kan være vilkårlig! For en generel familie (A i ) i I af delmængder af skal vi i det følgende betragte systemerne { i M A i M I} og { i M A i M I}, idet vi benytter konventionerne: A i = /, og A i =. (A.42) i / 6 i /

161 A.5.2 Lemma. Lad (B i ) i I være en partition af, således at B i / for alle i, og sæt endvidere H = σ ( {B i i I} ). (i) Hvis I er tællelig, så gælder der, at H = { } B i M I. i M (A.43) (ii) Hvis I er en endelig mængde med N elementer, så består σ-algebraen H af 2 N forskellige mængder. (iii) Hvis I N, så er kardinaliteten card(h) af H (jvf. Appendix A.) den samme som kardinaliteten card(r) af de reelle tal. Specielt er H overtællelig. (iv) Hvis I er en overtællelig mængde, så er H naturligvis ligeledes overtællelig, og der gælder, at H = { } B i M I, og enten M eller I \ M er tællelig. (A.44) i M Bevis. (i) Antag, at I er tællelig, og lad H betegne systemet på højresiden af (A.43). Inklusionen H H følger da umiddelbart af, at I er tællelig, mens den modsatte inklusion følger af, at B i H for alle i, hvis vi yderligere viser, at H er en σ-algebra: (σ) Hele fås i tilfældet M = I: = i I B i H. (σ2) For enhver delmængde M af I har vi, at ( ) c B i = i M i I\M ved anvendelse af begge betingelserne i (A.4). B i H, (σ3) Lad (M n ) n N være en følge af (ikke-tomme) delmængder af I, og sæt M = n N M n. Da gælder der, at ( ) B i = B i H. i M n Dermed er (i) bevist. n N (ii) og (iii). Bemærk, at hvis M og M er forskellige delmængder af I, så gælder der, at i M B i i M B i, eftersom B i erne er ikke-tomme og disjunkte. Det følger derfor fra (i), at card(h) = card(p(i)), og her er card(p(i)) = 2 N, hvis card(i) = N N, mens card(p(i)) = card(r), hvis card(i) = card(n). (iv) Lad H betegne systemet på højresiden af (A.44). Ved at gå frem som i beviset for (i) ovenfor er det ikke svært at vise, at H udgør en σ-algebra i. Udover overvejelserne i beviset for (i) får man hertil brug for, at systemet af delmængder M af I, for hvilke M eller I \ M er tællelig, udgør en σ-algebra i I (jvf. Eksempel..4). Vi overlader detaljerne til læseren! Idet B i H for alle i, følger det derefter umiddelbart, at H H. Den modsatte inklusion følger af, 6 i M

162 at i M B i H, hvis M er tællelig, mens ( i M B i ) c = i I\M B i H, hvis I \ M er tællelig. Lemma A.5.2 giver en konstruktiv beskrivelse af mængderne i σ-algebraen frembragt af en partition af. For et generelt system (A l ) l L af delmængder af bliver situationen mere kompliceret, og, som vi nu skal se, så kan man kun i visse situationer beskrive elementerne i σ({a l l L}) konstruktivt. Startpunktet er at indføre en passende partition af udfra de givne mængder (A l ) l L. A.5.3 Lemma. Lad L være en tællelig mængde, og lad (A l ) l L være en vilkårlig familie af delmængder af. For enhver delmængde J af L definerer vi (jvf. (A.42)): ( ) ( ) ( ) ( ) B J = A l \ A l = A l. (A.45) l J l L\J l J A c l l L\J Da udgør familien (B J ) J P(L) en partition af, og for hvert l i L gælder der, at A l = J P(L) l J B J. (A.46) Bevis. For at vise at (B J ) J P(L) udgør en partition af, antages først, at J og J er to forskellige delmængder af L. Vi kan så yderligere antage, at der findes et element l i L, således at l J og l / J. Da følger det fra (A.45), at B J A l og B J A c l, hvilket specielt viser, at B J B J = /. For dernæst at vise, at J P(L) B J =, betragter vi et vilkårligt x i, og sætter J(x) = {l L x A l } L. Det følger da umiddelbart fra (A.45), at x B J(x) J P(L) B J, som ønsket. Vi mangler at vise identiteten (A.46): For l i L finder vi, at ( ) A l = A l B J = (A l B J ) = B J, J P(L) J P(L) J P(L) l J hvor vi til sidst benytter, at A l B J = /, hvis l / J, mens A l B J = B J, hvis l J (jvf. (A.45)). Dermed er lemmaet vist. A.5.4 Sætning. Lad L være en tællelig mængde, lad (A l ) l L være en familie af delmængder af, og sæt E = σ ( {A l l L} ). Betragt endvidere mængderne B J, J P(L), givet ved (A.45), og sæt P (L) = {J P(L) B J /}, og H = σ ( {B J J P (L)} ). 62

163 (i) Hvis P (L) er en tællelig mængde, så gælder der, at og at card(e) = E = H = { J M B J M P (L) }, { 2 N, hvis card(p (L)) = N N card(r), hvis P (L) N. (ii) Hvis P (L) er overtællelig, da gælder der, at H = { J M B J M P (L), og enten M eller P (L) \ M er tællelig } E. (A.47) Specielt er E ligeledes overtællelig. Bevis. (i) Antag, at P (L) er tællelig. Det er nok at vise, at E = H, idet de resterende påstande alle fremgår af beskrivelsen af H, der opnås ved at benytte (i)-(iii) i Lemma A.5.2 på partitionen (B J ) J P (L) af (jvf. Lemma A.5.3). Da L er tællelig, følger det umiddelbart fra (A.45), at B J E for alle delmængder J af L, og dermed at H E. Omvendt viser (A.46), at A l H for alle l i L, da P (J) er tællelig, og dette medfører, at E H. (ii) Antag, at P (L) er overtællelig. Den første identitet i (A.47) fås ved at benytte Lemma A.5.2(iv) på partitionen (B J ) J P (L) af. Specielt fremgår det, at H er overtællelig. Vi mangler således blot at etablere inklusionen H E, og som i beviset for (i) følger dette af formel (A.45), idet L er tællelig. A.5.5 Korollar. Lad være en vilkårlig ikke-tom mængde, og lad E være en σ-algebra i. Da indeholder E enten endeligt mange eller overtælleligt mange mængder. Hvis E består af endeligt mange mængder, da er antallet af disse lig med 2 N for er passende N i N. Bevis. Hvis E ikke er tælleligt frembragt (jvf. Definition..8(b)), da indeholder E oplagt overtælleligt mange mængder. Vi kan derfor antage, at E er frembragt af et system (A l ) l L af delmængder af, hvor indexmængden L er tællelig. Påstandene i korollaret følger da umiddelbart ved anvendelse af Sætning A.5.4. Det næste eksempel viser specielt, at inklusionen i Sætning A.5.4(ii) meget vel kan være ægte. Dermed kan man altså i denne situation ikke generelt beskrive alle elementerne i E konstruktivt udfra mængderne i frembringersystemet (A l ) l L (i hvert fald ikke via den ovenfor benyttede metode). A.5.6 Eksempel. Vi erindrer fra Eksempel.2.4, at Borel-algebraen B(R) er frembragt af systemet (A q ) q Q, hvor A q =(,q] for alle q. For en vilkårlig delmængde J af Q bliver mængden 63

164 B J indført i (A.45) i dette tilfælde givet ved ( ) ( ) B J = (, q] \ (, q] = q J q Q\J { (,inf(j)] \(,sup(q \ J)], hvis sup(q \ J) Q \ J (,inf(j)] \(,sup(q \ J)), hvis sup(q \ J) / Q \ J. (A.48) Bemærk her, at sup(q \ J) inf(j), idet Q er tæt i R. På den anden side viser (A.48), at B J = / med mindre sup(q \ J) inf(j). Sammenholdes disse overvejelser igen med (A.48) fremgår det, at B J = / med mindre sup(q \ J) = inf(j) og sup(q \ J) / Q \ J, dvs. med mindre J er på formen J = {q Q q x} for et x i R. I dette tilfælde fremgår det endvidere fra (A.48), at B J = {x}. Mængden P (Q) fra Sætning A.5.4 er således overtællelig. Vi konkluderer yderligere, at σ-algebraen H fra Sætning A.5.4 er givet ved: H = σ ( {{x} x R} ) = {B R B eller R \ B er tællelig}, hvor det sidste lighedstegn følger af (A.47), men det blev også etableret i Eksempel..2. Specielt bemærker vi, at H B(R) = σ ( {(,q] q Q} ), således at inklusionen i Sætning A.5.4(ii) er ægte. A.6 Borel-målelighed i generelle metriske rum I dette appendix skal vi kort behandle en del af resultaterne fra Kapitel for generelle metriske rum. Borel algebraen i et generelt metrisk rum A.6. Definition. Et metrisk rum er et par (S,ρ), hvor S er en ikke-tom mængde, og ρ er en metrik på S, dvs. en afbildning ρ : S S [, ), som opfylder følgende betingelser for alle x,y,z i S: (i) ρ(x,y) = x = y, (ii) ρ(x,y) = ρ(y,x), (iii) ρ(x,z) ρ(x,y)+ρ(y,z). 64

165 A.6.2 Eksempel. Som nævnt i Afsnit.2 kan vi udstyre R d som et metrisk rum vha. metrikkerne ρ 2 og ρ givet ved: ( d ρ 2 ((x,...,x d ),(y,...,y d )) = (x i y i ) 2) /2, i= og for (x,...,x d ),(y,...,y d ) i R d. ρ ((x,...,x d ),(y,...,y d )) = max i=,2,...,d x i y i I det følgende skal vi betragte et generelt metrisk rum (S,ρ). Vi skal endvidere for x i S og r i (, ) benytte notationen: for ρ-kuglen med centrum x og radius r. b(x,r) = b ρ (x,r) = {y S ρ(x,y) < r} A.6.3 Definition. En delmængde G af S kaldes åben, hvis x G r > : b(x,r) G. Systemet af åbne delmængder af S betegnes med G. En delmængde F af S kaldes lukket, hvis F c er åben. Flere af beviserne i Kapitel bygger på, at R indeholder en tællelig tæt mængde, nemlig mængden Q af alle rationale tal. Metriske rum med denne egenskab kaldes separable. A.6.4 Definition. Et metrisk rum (S, ρ) kaldes separabelt, hvis der findes en tællelig delmængde T af S, som er tæt i S, i den forstand at x S ε > t T : ρ(x,t) ε. For separable metriske rum gælder følgende analog til Lemma.2.3: A.6.5 Lemma. Betragt et separabelt metrisk rum (S, ρ), og lad T være en tællelig tæt delmængde af S. Lad videre G være en åben ikke-tom delmængde af S, og skriv T G = {x n n I}, hvor I N. Da findes en familie (r n ) n I af positive, rationale tal, således at G = b(x n,r n ). n I 65

166 Bevis. Præcis som beviset for Lemma.2.3. A.6.6 Definition. Borel-algebraen i S er σ-algebraen B(S) i S frembragt af systemet G af åbne mængder, dvs. B(S) = σ(g). For separable metriske rum gælder følgende generalisering af Sætning.2.2: A.6.7 Sætning. Lad (S,ρ) være et separabelt metrisk rum, og lad T være en tællelig tæt delmængde af S. Da gælder der, at B(S) = σ ( {b(x,r) x S, r > } ) = σ ( {b(x,r) x T, r (, ) Q} ). Specielt fremgår det, at B(S) er tælleligt frembragt. Bevis. Idet b(x,r) G for alle x i S og r >, følger det umiddelbart, at σ ( {b(x,r) x S, r < } ) B(S). Omvendt viser Lemma A.6.5, at G σ ( {b(x,r) x T, r (, ) Q} ), og dermed B(S) σ ( {b(x,r) x T, r (, ) Q} ), og heraf følger sætningen umiddelbart. Kontinuitet vs. Borel-målelighed I det følgende betragtes to metriske rum (S,ρ ) og (S 2,ρ 2 ). Vi skal ligeledes betragte S og S 2 som målelige rum ved at udstyre dem med Borel-algebraerne hhv. B(S ) og B(S 2 ). A.6.8 Definition. En afbildning f : S S 2 siges at være kontinuert i et punkt x fra S, hvis den opfylder, at ε > δ > x S : ρ (x,x ) < δ = ρ 2 ( f(x), f(x )) < ε. (A.49) Afbildningen f siges at være kontinuert, hvis den er kontinuert i ethvert punkt x af S. Vi bemærker, at betingelsen (A.49) kan udtrykkes i termer af originalmængder som følger: ε > δ > : b ρ (x,δ) f (b ρ2 ( f(x),ε)). (A.5) 66

167 A.6.9 Sætning. En afbildning f : S S 2 er kontinuert, hvis og kun hvis der for enhver delmængde G af S 2 gælder, at G åben i S 2 = f (G) åben i S. Bevis. Ganske som beviset for Lemma.4.7. A.6. Sætning. Enhver kontinuert funktion f : S S 2 er B(S )-B(S 2 )-målelig. Bevis. Antag, at f : S S 2 er kontinuert. Da systemet af åbne mængder i S 2 frembringer B(S 2 ), er det ifølge Sætning.4.6(iv) nok at vise, at f (G) B(S ) for alle åbne mængder G i S 2. Men hvis G er en åben delmængde af S 2, så er f (G) en åben delmængde af S ifølge Sætning A.6.9, og specielt er f (G) således en Borel-mængde. Som det sikkert er bekendt fra tidligere kurser, så er det nyttigt at kunne udtrykke kontinuitet i termer af konvergente punktfølger. En følge (x n ) af punkter fra S siges at konvergere mod et punkt x fra S, hvis ρ (x n,x) for n. I bekræftende fald skrives: x n x for n. A.6. Lemma. En afbildning f : S S 2 er kontinuert i et punkt x fra S, hvis og kun hvis der for enhver følge (x n ) af punkter i S gælder implikationen: x n x for n = f(x n ) f(x) for n. (A.5) Bevis. Antag først, at f : S S 2 er kontinuert i punktet x fra S, og lad (x n ) være en følge af punkter i S, således at x n x for n. Lad endvidere et positivt ε være givet. I henhold til (A.5) kan vi da vælge et positivt δ, således at f(x ) b ρ2 ( f(x),ε) for alle x i b ρ (x,δ). Vi kan derefter vælge et N i N, således at x n b ρ (x,δ), når n N. Hvis n N, gælder der således, at f(x n ) b ρ2 ( f(x),ε), dvs. at ρ 2 ( f(x n ), f(x)) < ε. Da ε var vilkårligt, viser dette, at f(x n ) f(x) for n, som ønsket. Den modsatte implikation vises ved kontraposition: Antag, at f ikke er kontinuert i x, altså (jvf. (A.49)) at ε > δ > x S : ρ (x,x ) < δ, og ρ 2 ( f(x), f(x )) ε. For hvert n i N kan vi benytte denne betingelse med δ = n, og vi kan dermed for et passende positivt ε udvælge en følge (x n ) af punkter fra S, således at der for hvert n i N gælder, at ρ (x n,x) < n, og ρ 2( f(x n ), f(x)) ε. Så gælder der oplagt, at x n x for n, men det er også klart, at f(x n ) ikke konvergerer mod f(x). Derfor er betingelsen (A.5) ikke opfyldt. 67

168 Produktmetrikker og Borel-algebra i produktrum Hvis (S,ρ) er et metrisk rum, og d N, kan vi udstyre produktrummet S d med forskellige metrikker dannet ud fra ρ: ρ ((x,...,x d ),(y,...,y d )) = d i= ρ(x i,y i ) ( ρ 2 d ((x,...,x d ),(y,...,y d )) = i,y i ) i=ρ(x 2) /2 ρ ((x,...,x d ),(y,...,y d )) = max i=,...,d ρ(x i,y i ), for x = (x,...,x d ) og y = (y,...,y d ) fra S d. Det er ikke svært at se, at ρ,ρ 2 og ρ faktisk ér metrikker på S d, og de er alle eksempler på såkaldte produktmetrikker. A.6.2 Definition. Lad (S,ρ) være et metrisk rum, og betragt produktrummet S d. En metrik η på S d kaldes da for en produktmetrik, hvis der for enhver følge (x (n) ) n N = ((x (n),...,x(n) d )) n N af punkter fra S d og ethvert punkt x = (x,...,x d ) fra S d gælder, at η(x (n),x) i {,2,...,d}: ρ(x (n) i,x i ). (A.52) Hvis η og η er to produktmetrikker på S d, så følger det umiddelbart fra (A.52), at der for enhver følge (x (n) ) af punkter i S d og ethvert punkt x i S d gælder, at x (n) x for n i (S d,η) x (n) x for n i (S d,η ). Ved at kombinere dette med Lemma A.6., fremgår det specielt, at identitets-afbildningen, x x, er kontinuert fra (S d,η) til (S d,η ) og omvendt. Sammenholdt med Sætning A.6.9 udtrykker dette præcis, at en delmængde G af S d er åben mht. η, hvis og kun hvis den er åben mht. η. Lader vi G(η) og G(η ) betegne systemerne af åbne mængder i S d mht. hhv. η og η, har vi altså, at G(η) = G(η ), og dette udtrykkes ved at sige, at η og η er ækvivalente. Alle produktmetrikker på S d er således ækvivalente, og dette retfærdiggør følgende definition: A.6.3 Definition. Lad (S,ρ) være et metrisk rum, og betragt produktrummet S d. Borelalgebraen B(S d ) i S d defineres da ved ligningen: B(S d ) = σ ( G(η)), hvor η er en produktmetrik på S d (f.eks. ρ,ρ 2 eller ρ ), og G(η) betegner systemet af åbne delmængder af S d med hensyn til η. 68

169 Vi kan alternativt udstyre S d med produkt-σ-algebraen B(S) n introduceret i Afsnit 4.2. Det er så naturligt at spørge til forholdet mellem B(S d ) og B(S) d. Nedenstående resultat generaliserer Korollar 4.2.6(i). A.6.4 Sætning. Lad (S,ρ) være et metrisk rum, og betragt produktrummet S d og herpå de to σ-algebraer B(S d ) og B(S) d. Da gælder der, at (i) B(S) d B(S d ). (ii) B(S) d = B(S d ), hvis (S,ρ) er et separabelt metrisk rum. Bevis. (i) Hvis G,...,G d er åbne delmængder af S med hensyn til ρ, så ses det let, at mængden G G d er åben i S d med hensyn til f.eks. ρ. Da B(S) er frembragt af de åbne delmængder af S, følger det nu ved anvendelse af Sætning 4.2.4, at B(S) d = σ ( {G G d G,...,G d åbne i S} ) σ(g(ρ )) = B(S d ). (ii) Antag, at (S,ρ) er separabelt. Så er (S d,ρ ) ligeledes separabelt (overvej!), og ifølge Sætning A.6.7 gælder der således, at Bemærk her for x = (x,...,x d ) i S d, at og derfor følger det umiddelbart, at B(S d ) = σ ( {b ρ (x,r) x S d, r > } ). b ρ (x,r) = b ρ (x,r) b ρ (x d,r), B(S d ) = σ ( {b ρ (x,r) x S d, r > } ) σ ( {A A d A,...,A d B(S)} ) = B(S) d, som sammen med (i) giver det ønskede. A.7 Translationsinvariante mål i R d For enhver vektor a i R d betragter vi afbildningen τ a : R d R d givet ved τ a (x) = x+a, (x R d ). (A.53) Denne afbildning betegnes som translation med a. Det ses umiddelbart, at τ a er kontinuert med kontinuert invers τ a = τ a. A.7. Definition. Et mål µ på (R d,b(r d )) siges at være translationsinvariant, hvis der for alle a i R d gælder, at µ τ a = µ, hvor µ τ a som bekendt betegner transformationen af µ under τ a. 69

170 A.7.2 Bemærkninger. () Vi har set i Eksempel 5..3, at Lebesgue-målet λ d er translationsinvariant for alle d i N. (2) Lad µ være et mål på (R d,b(r d )) og a et element i R d. For enhver mængde B fra B(R d ) har vi da, at µ τa (B) = µ(τa (B)) = µ(τ a (B)) = µ(b a), hvor B a = {x a x B}. At µ er translationsinvariant kommer således ud på, at µ(b+a) = µ(b) for alle a i R d og B i B(R d ). (3) Lad µ være et translationsinvariant mål på (R d,b(r d )). For enhver funktion f fra M(B(R d )) + og ethvert a fra R d gælder der da ifølge Sætning 5..4, at f(x+a) µ(dx) = f τ a(x) µ(dx) Rd R d (A.54) = f(x)[µ τ a ](dx) = f(x) µ(dx). Rd Rd For en målelig funktion f : R d R og a i R d har vi dermed, at f τ a L(µ) f L(µ), og Sætning 5..4 giver videre, at (A.54) også gælder for generelle f fra L(µ). A.7.3 Lemma. Lad µ og ν være to σ-endelige mål på (R d,b(r d )), og antag, at µ og ν begge er translationsinvariante. For vilkårlige f,g fra M(B(R d )) + gælder der da, at f(x) µ(dx) Rd R d g( x) µ(dx) Rd R d Bevis. Ved anvendelse af resultaterne fra Afsnit 4. ses det let, at funktionen (x,y) g(y) f(x+y): R d R d [, ], er B(R 2d )-målelig (overvej!). Ved anvendelse af Tonellis Sætning og Bemærkning A.7.2(3) finder vi derpå, at g(y) f(x+y)(µ ν)(dx,dy) = R2d = Rd g(y) (Rd f(x+y) µ(dx) ) ν(dy) Rd g(y) (Rd f(x) µ(dx) ) ν(dy) = f(x) µ(dx) g(y)ν(dy). Rd R d 7 (A.55)

171 Hvis vi stedet integrerer i den modsatte rækkefølge, så giver Tonellis Sætning og Bemærkning A.7.2(3), at g(y) f(x+y)(µ ν)(dx,dy) = R2d = = = = Rd (Rd g(y) f(x+y)ν(dy) ) µ(dx) Rd (Rd g((x+y) x) f(x+y)ν(dy) ) µ(dx) Rd (Rd g((y x) f(y)ν(dy) ) µ(dx) Rd f(y) (Rd g(y x) µ(dx) ) ν(dy) Rd f(y) (Rd g( x) µ(dx) ) ν(dy) = g( x) µ(dx) f(y)ν(dy), Rd R d og sammenholdes med (A.55), fremgår den ønskede formel. A.7.4 Sætning. Lad µ være et σ-endeligt mål på (R d,b(r d )), og antag, at µ er translationsinvariant. Så findes en konstant c i [, ), således at µ = cλ d. Bevis. Lad B være en vilkårlig Borel-mængde i R d. Vi benytter Lemma A.7.3 i tilfældet ν = λ d, g = [ 2, 2 og f = ]d B. Det følger så, at B(x) µ(dx) R d R d [ 2, (y)λ 2 ]d d (dy) = R d [ 2, 2 ( x) µ(dx) B(y)λ ]d d (dy) R d = R d [ 2, 2 (x) µ(dx) B(y)λ ]d d (dy), R d og dermed at Hvis vi sætter µ(b) = µ(b)λ d ( [ 2, 2 ]d) = µ ( [ 2, 2 ]d) λ d (B). c = µ ( [ 2, 2 ]d), har vi altså vist, at µ = cλ d. Da µ er σ-endeligt, medfører dette specielt, at c <, idet målet λ d ikke er σ-endeligt (overvej!). Det næste resultat viser specielt, at det ikke er muligt at definere et naturligt længdebegreb på hele potensmængden P(R). A.7.5 Sætning. (Vitalis Sætning.) Der findes ikke noget translationsinvariant mål µ på (R,P(R)), som opfylder, at < µ([,]) <. 7

172 Bevis. Vi indfører en relation blandt tallene i [,] ved: x y x y Q, (x,y [,]). Det er let at se, at er en ækvivalensrelation på [,]. For hvert x i [,] lader vi [x] betegne -ækvivalensklassen for x, altså [x] = {y [,] y x Q} = {y R y x Q} [,] = (x+q) [,]. Vi benytter nu udvalgsaksiomet til at udvælge en repræsentant for hver -ækvivalensklasse: Ifølge udvalgsaksiomet findes der en afbildning u: P(R) \ {/} R, der opfylder, at Vi betragter så mængden u(m) M for alle mængder M fra P(R) \ {/}. A := {u([x]) x [,]} [,], som præcis indeholder ét element fra hver -ækvivalensklasse. Vi bemærker, at A har følgende egenskaber: (a) q Q [,](A+q) [,2]. (b) [,] q Q(A+q). (c) Mængderne A+q, q Q, er parvis disjunkte. For hvert q i [,] gælder der nemlig, at A+q [,]+q [,2], hvilket viser (a). For at vise (b) betragter vi et vilkårligt tal t fra [,], og sætter så x = u([t]) A. Så gælder der, at t x = q for et passende q i Q, og det følger dermed, at t = x+q A+q (A+q). q Q Med hensyn til (c) betragter vi to elementer q,q fra Q, således at (A+q) (A+q ) /. Vi kan så vælge x,x fra A, således at x+q = x + q, og dermed følger det, at x x = q q Q, dvs. x x. Men da x,x A, og A præcis indeholder ét element fra hver -ækvivalensklasse, kan vi heraf slutte, at x = x, og dermed at q = q, som ønsket. Antag nu, at der findes et translationsinvariant mål µ på (R,P(R)), der opfylder, at α := µ([, ]) (, ). Vi bemærker så, at µ([,2]) µ([,])+µ([,2]) = µ([,])+µ([,]+) = 2α. 72

173 Sammenholdes dette med (a) og (c), følger det, at ( ) 2α µ([,2]) µ (A+q) q Q [,] = µ(a+q) = q Q [,] og da α <, medfører dette, at µ(a) =. Men så viser (b) og (c), at ( ) α = µ([,]) µ (A+q) q Q µ(a) = µ(a), q Q [,] = µ(a+q) = µ(a) =, q Q q Q hvilket er en modstrid. Dermed er sætningen vist. A.7.6 Korollar. Der findes delmængder af R, som ikke er Borel-mængder. Bevis. Vi ved, at Lebesgue-målet λ er et translationsinvariant mål på (R, B(R)), som opfylder at λ([,]) = (, ). Ifølge Vitalis Sætning må der derfor nødvendigvis gælde, at B(R) P(R). A.7.7 Bemærkninger. () Det følger faktisk fra beviset for Sætning A.7.5, at mængden A konstrueret i dette bevis (vha. udvalgsaksiomet) ikke kan være en Borel-mængde. For hvis A var en Borel-mængde, så kunne den sidste del af beviset gennemføres indenfor B(R) og med µ = λ. (2) Som konsekvens af Sætning A.7.5 kan vi også notere, at der f.eks. ikke findes et naturligt arealbegreb på hele P(R 2 ). For hvis ν bare er et translationsinvariant mål på (R 2,P(R 2 )), som opfylder, at ν([,] [,]) (, ), da vil formlen 7 µ(b) = ν ( p (B) (R [,])), (B P(R)), definere et translationsinvariant mål på (R,P(R)), som opfylder, at µ([,]) = ν([,] [,]) (, ). A.8 Affine, bijektive transformationer af Lebesgue-målet En affin transformation af R d er en afbildning ψ : R d R d på formen ψ(x) = Ax+b, (x R d ), (A.56) hvor A er en d d matrix (med reelle koefficienter), og b R d. Bemærk, at ψ er kontinuert og dermed specielt Borel-målelig. Bemærk endvidere, at ψ er bijektiv, netop når A er invertibel. I dette tilfælde bliver den inverse afbildning ψ : R d R d igen en affin transformation givet ved ψ (x) = A x A b, (x R d ). 7 Her betegner p som i Afsnit 4. projektionen p : (x,y) x: R 2 R. 73

174 Specielt er ψ igen Borel-målelig. Vi skal i dette appendix studere transformationer af Lebesgue-målet λ d med bijektive affine afbildninger. Vi starter dog med det tilsvarende spørgsmål for lineære transformationer. A.8. Sætning. Lad ϕ : R d R d være en bijektiv lineær afbildning, dvs. for en passende invertibel d d matrix A. ϕ(x) = Ax, (x R d ), (i) Der findes en konstant c ϕ i (, ), således at λ d ϕ = c ϕ λ d. (ii) Hvis A er en ortogonal matrix, gælder der, at c ϕ =. Dermed er λ d altså invariant under ortogonale transformationer. I forbindelse med (ii) i Sætning A.8. minder vi om, at en d d-matrix A (med reelle koefficienter) kaldes ortogonal, hvis A t A = d = AA t, hvor d betegner d d enheds-matricen. Vi minder også om, at det sædvanlige indre produkt, på R d er givet ved x,y = x y + +x d y d, (x = (x,...,x d ), y = (y,...,y d ) R d ), at den tilhørende norm på R d er givet ved x 2 = x,x = x 2 + +x2 d, (x = (x,...,x d ) R d ), og at der for enhver d d matrix A og alle x,y i R d gælder identiteten: A t x,y = x,ay. Bevis for Sætning A.8.. (i) Bemærk først, at muligheden, c ϕ =, er udelukket, eftersom λ d (ϕ (R d )) = λ d (R d ) =. Ifølge Sætning A.7.4 er det derfor nok at vise følgende to udsagn: (a) λ d ϕ er σ-endeligt. (b) λ d ϕ er translationsinvariant. Ad (a) Vi kan vælge en følge (K n ) af mængder fra B(R d ), således at n N K n = R d, og så λ d (K n ) < for alle n. Bemærk så, at billedmængderne ϕ(k n ) igen er Borel-mængder, idet ϕ(k n ) = (ϕ ) (K n ) for alle n, hvor ϕ er Borel-målelig. Vi noterer endvidere, at n N ϕ(k n ) = ϕ(r d ) = R d, idet ϕ er bijektiv. For hvert n i N bemærker vi endelig, at λ d ϕ ( ϕ(k n ) ) = λ d (K n ) <, og ialt følger det således, at λ d ϕ er σ-endeligt. 74

175 Ad (b) Bemærk først, at ϕ igen er en lineær transformation (svarende til matricen A ). For a i R d og B i B(R d ) finder vi så, at λ d ϕ (B+a) = λ d (ϕ (B)+ϕ (a) ) = λ d ( ϕ (B) ) = λ d ϕ (B), hvor vi i andet lighedstegn har benyttet, at λ d er translationsinvariant. Dermed er (i) bevist. (ii) Antag, at A er en ortogonal matrix, og bemærk så, at der for ethvert x i R d gælder, at Dette medfører specielt, at ϕ(x) 2 2 = Ax 2 2 = Ax,Ax = At Ax,x = x,x = x 2 2. ϕ (b 2 (,)) = b 2 (,), (A.57) hvor b 2 (,) som i Kapitel betegner enhedskuglen i R d : b 2 (,) = {x R d x 2 < }. Ved anvendelse af (A.57) følger det nu, at c ϕ λ d ( b2 (,) ) = λ d ϕ (b 2 (,)) = λ d ( b2 (,) ), og da λ d (b 2 (,)) (, ), kan vi heraf slutte, at c ϕ =, som ønsket. A.8.2 Korollar. Lad ψ være en bijektiv affin transformation af R d givet ved (A.56) for en d d matrix A og en vektor b i R d. Da findes en konstant c ψ i (, ), således at λ d ψ = c ψ λ d, og hvis A er ortogonal, gælder der, at c ψ =. Bevis. Lad ϕ være den lineære transformation af R d givet ved: ϕ(x) = Ax, (x R d ), og bemærk, at ψ = τ b ϕ (jvf. (A.53)). For enhver Borel-mængde B i R d finder vi så ved anvendelse af Sætning A.8.(i), at λ d ψ (B) = λ d ϕ ( τ b (B)) ( = c ϕ λ d τ (B)) = c ϕ λ d (B), hvor vi til sidst benytter translationsinvariansen af λ d. Dermed følger første påstand i korollaret med c ψ = c ϕ, og den anden påstand følger derefter af, at c ϕ =, hvis A er ortogonal (jvf. Sætning A.8.(ii)). A.8.3 Bemærkninger. () Lad υ være en vinkel i ( π,π]. Rotationen i R 2 med vinklen υ er den lineære transformation R υ : R 2 R 2 givet ved: ( )( ) cos(υ) sin(υ) x R υ (x) =, (x = (x sin(υ) cos(υ),x 2 ) R 2 ). Idet matricen for R υ specielt er en ortogonal matrix, fortæller Sætning A.8.(ii) i særdeleshed, at Lebesgue-målet λ 2 er invariant under rotationer i R x 2 b

176 (2) Lad A være en invertibel d d matrix, lad b være en vektor i R d, og betragt den tilsvarende affine afbildning ψ : R d R d, givet ved (A.56). Man kan da generelt vise (se f.eks. Sætning 5.8 i [BM]), at konstanten c ψ fra Korollar A.8.2 er givet ved c ψ = / det(a). For en vilkårlig funktion f : R d R fra L(λ d ) følger det således ved anvendelse af Sætning 5..4, at eller ækvivalent, at f(ψ(x))λ d(dx) = f(y)λ R d R d d ψ (dy) = f(ψ(x)) det(a) λ d(dx) = f(y)λ d(dy). R d R d R d f(y) det(a) λ d(dy), (A.58) Formlen (A.58) er et specialtilfælde af den vigtige Integral-transformations-formel for Lebesgue-mål, som vi skal studere nærmere i de efterfølgende kurser. (3) En afbildning ψ : R d R d kaldes en isometri, hvis ψ(x) ψ(y) 2 = x y 2, (x,y R d ). Man kan vise (se f.eks. [Be, Sætning 3.]), at enhver isometri ψ : R d R d kan fremstilles (entydigt) på formen: ψ(x) = Ax+b, (x R d ), (A.59) hvor A er en ortogonal d d matrix og b R d. Dermed viser Korollar A.8.2 specielt, at λ d er invariant under enhver isometri af R d. 76

177 Indeks -stabilt, 95 \-stabilt, 94 -stabilt, 94 absolut kontinuitet af mål, 35 affin transformation af R d, 73 afstandsbegreb, 4 algebra (af mængder), 9 Bernsteins Sætning, 5 bijektiv afbildning, 45 billedmængde, 45 billedmål, 29 Booles ulighed, 22 Borel, E., 8 Borel-algebra frembragt af intervaller, 5, 8 i R d, 5 i R, 3 i delrum, 39 vs. nedarvet σ-algebra, 4 i et generelt metrisk rum, 66 vs. produkt-σ-algebra, 5, 8, 69 Borel-mængde, 5 Cantor, G., 5 Caratheodory, C., 8 δ-system definition af, 94 fællesmængde af familie af, 95 Den lille transformationssætning, 29 Dirac-mål, 2 Dirichlets funktion, 87 disjunkte mængder, 42 familie af, 44 Domineret konvergens, 79 Dynkin, J., 8 Dynkins lemma, 96 eksponentialfordelingen, 32 endelig mængde, 46 entydighedssætning for endelige mål, 97 for integraler, 66 for σ-endelige mål, 98 for tæthed af mål, 37 Fatou, P., 8 Fatous lemma, 65 generaliseret, 77 fordelingsfunktion, 99 frembragt σ-algebra, 2 frembringersystem for σ-algebra, 2 Fubini, G., 8 Fubinis sætning, 2 ikke-målelig mængde, 73 indikator-funktion, 25 indlejringsafbildning, 3, 6 indskudsreglen, 82 injektiv afbildning, 45 integrabilitet, 8 integral-transformations-formel, 76 integralet som areal under graf, 6 integration af funktioner med værdier i R, 7 af positive målelige funktioner, 6 af positive simple funktioner, 59 af reelle funktioner, 7 med hensyn til billedmål, 29 med hensyn til Dirac-mål, 67 med hensyn til mål med tæthed, 32 med hensyn til produktmål Fubinis sætning, 2 Tonellis sætning, 8 med hensyn til tællemål, 67 over delmængde, 8 isometri af R d, 76 kardinalitet, 5 Kolmogorov, A.N., 8 koncentration af mål, 2 kontinuert afbildning fra R d til R m, 27 i termer af åbne mængder, 28 mellem metriske rum, 66 77

178 på delrum, 4 kontinuum hypotesen, 5 koordinatafbildning målelighed af, 28, 3, 7 koordinatprojektion, 28, 2, 6 L(µ), 7 L (µ), 7 Lebesgue s sætning om monoton konv., 6 Lebesgue, H., 8, 57 Lebesgue-mål affin transformation af, 75 definition af, 9 entydighed af, 99 invarians under isometri, 76 invarians under ortogonal transf., 74 rotationsinvarians af, 75 translationsinvarians af, 29 Lebesgues sætning om domineret konv., 79 limsup og liminf definition af, 56 egenskaber for, 57 og konvergens af talfølger, 59, 6 metrik, 4, 64 metrisk rum, 64 Monoton konvergens, 6 generaliseret, 76 mængde-inklusion, 4 mængdeoperationer definition af, 4 generaliserede, 42 regneregler for, 4, 42 mål σ-endeligt, 23 definition af, 9 endeligt, 23 sum-endeligt, 23 transformation af, 29 målelig afbildning, 25 målelige funktioner med værdier i R, 33 med værdier i R, 29 regning med, 3 målelighed af koordinatprojektioner, 28 af kontinuerte funktioner, 28 af monotone funktioner, 3 af positiv- og negativ-del, 36 af supremum og infimum, 34 ved grænseovergang, 34, 37 ved restriktion, 38 måleligt rum, 9 nedarvet σ-algebra på delmængde, 37 normalfordelingen, 32 nulmængde, 68 numerabel mængde, 46 næsten alle, 69 næsten overalt, 69 ombytning af integrationsorden, 8, 22 originalmængde, 44 ortogonal matrix, 74 overtællelig mængde, 46 overtal, 53 partition definition af, 6 σ-algebra genereret af, 6, 62 Poisson-fordelingen, 32 positiv- og negativ-del, 36 produkt-σ-algebra af to σ-algebraer, 2 af tre eller flere σ-algebraer, 6 produktmål af Lebesgue-mål, 5 definition af, 4 eksistens og entydighed af, 3 produktmetrik definition af, 68 ækvivalens af, 68 punktvis konvergens, 45 Radon-Nikodym afledet, 3 Radon-Nikodyms sætning, 35 Riemann-integrabel, 84 Riemann-integral, 84 udregning ved stamfunktion, 84 vs. Lebesgue-integral, 85 Riemann-oversum og undersum, 84 rotation, 75 78

179 Russel, B., 5 sandsynlighedsmål, 23 separabelt metrisk rum, 65 σ-algebra antal af elementer i, 63 definition af, 8 frembragt af mængdesystem, 2 fællesmængde af familie af, tælleligt frembragt, 2 simple funktioner approksimation med, 42 definition af, 4 regning med, 42 standard repræsentation af, 42 snitmængde, 4 standard-beviset, 4 standard-udvidelse af en funktion, 8 supremum og infimum definition af, 53 egenskaber for, 54 og konvergens af monotone talfølger, 56 surjektiv afbildning, 45 system af mængder, 42 familie af, 44 grænseovergang i, 52 multiplikation i, 52 undertal, 53 urbillede, 44 Vitalis Sætning, 7 værdimængde, 45 åben mængde i R d, 5 i delrum, 39 i generelt metrisk rum, 65 Tonelli, L., 8 Tonellis sætning, 8 transformation af mål, 29 translation, 29, 3, 69 translationsinvariante mål definition af, 69 karakterisering af, 7 trekantsuligheden, 5 Tuborg-resultatet, 38 for kontinuerte funktioner, 4 tællelig mængde, 46 tælleligt frembragt σ-algebra, 2 tællemål, 2 tæthed af mål definition af, 3 entydighed af, 37 udvidede reelle tallinie addition i, 52 definition af, 5 79

180 Litteratur [Be] [BM] [Gr] [Sc] CHRISTIAN BERG, Metriske rum, Matematisk Afdeling, Københavns Universitet (997). CHRISTIAN BERG OG TAGE GUTMANN MADSEN, Mål- og integralteori, Matematisk Afdeling, Københavns Universitet (2). SVEND ERIK GRAVERSEN, Forelæsningsnoter til Målteori, Institut for Matematiske Fag, Århus Universitet (27). RENÉ SCHILLING, Measures, Integrals and Martingales, Cambridge University Press (27). [Ru] WALTER RUDIN, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill (987). 8