Funktionsrum. Kapitel Funktionsrummet L = L(X, E, µ)
|
|
- Mogens Christensen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Kapitel Funktionsrum. Funktionsrummet L = L(X, E, µ) For et vilkårligt målrum (X,E,µ) er mængdenl=l(x,e,µ) afµ-integrable funktioner f :X R et reelt vektorrum ifølge Theorem 7.3 i [EH]. Hvis vi indfører notationen f = f dµ for f L, kan vi konstatere at følgende regneregler holder: (i) f 0, (ii) a f = a f (iii) f+ g f + g for alle a R, f, g L. Afbildningen f f er med andre ord en seminorm på vektorrummetl. Ifølge lemma 6.22 i [EH] gælder der at (iv) f = 0 f= 0µ næsten overalt, så er ikke nogen rigtig norm for de fleste målrum. Visse målrum - somnudstyret med tællemålet - har ikke andre nulmængder end, og så fald sikrer (iv) at er en rigtig norm. Men for de fleste målrum må man nøjes med seminormsegenskaben.
2 2 Kapitel. Funktionsrum Det er naturligt at betragte f g = f g dµ som en afstand melleml-funktionerne f og g. Man bemærker, at f g = 0 f= g µ næsten overalt, så f g er en pseudometrik og kun en metrik, hvis er den enesteµ-nulmængde. Definition. En følge af funktioner f, f 2, L siges at konvergere i -middel mod en grænsefunktion f Lhvis der gælder at f n f 0 for n. Dette konvergensbegreb for funktioner er et helt andet end punktvis konvergens, som vi hidtil udelukkende har beskæftiget os med. Som vi skal se, er der et vist samspil mellem de to konvergensbegreber, men i første omgang skal man fokusere på forskellen. Eksempel.2 Betragt funktionerne f n :R R givet ved f n = n (0, n) for n=, 2,... Disse funktioner er ikke-negative, og de er integrable med hensyn til Lebesguemålet, alle med integral. De er tydeligvis punktvist konvergente mod nulfunktionen, men da f n 0 = f n dm= for alle n, konvergerer de ikke i -middel mod nulfunktionen. Eksempel.3 Betragt trekantsskemaet af afsluttede intervallet [0, ] [ ] [ 0, 2 2 [ [, ] 0, 3] 3, ] [ [ [, ] 0, 4] 4, [ 4] 2 2 4, ] [ , ].
3 .2. Vektorrum med seminorm 3 Lad os numerere disse intervaller række for række og derefter oppefra og ned, og lad g, g 2,... være den tilsvarende følge af indikatorfunktioner. For at pinde det helt ud: i denne nummerering bliver indikatorfunktionerne for fjerde række i skemaet g 7, g 8, g 9 og g 0. Indikatorfunktionerne svarende til intervallerne i den k te række har alle integral k med hensyn til Lebesguemålet m, så vi kan indse at g n 0 for n. Så g n -funktionerne konvergerer mod nulfunktionen i -middel. Men g n -funktionerne konverger ikke punktvist mod nulfunktionen. Uanset hvilket x [0, ] vi tager så vil der i følgen g (x), g 2 (x),... blive ved med at komme både 0 og, og derfor er følgen divergent..2 Vektorrum med seminorm Lad (M, d) være et pseudometrisk rum, dvs. en mængde M forsynet med en pseudometrik d(, ). Et pseudometrisk rum adskiller sig fra et metrisk rum derved at der kan optræde punktpar (x, y) med x y og d(x, y)=0. For et pseudometrisk rum kan man definere kuglen om x M med radius r > 0 som B(x, r)={y M d(x, y)<r}. Når man har indført kuglerne, kan man gå videre og snakke om åbne mængder. En mængde G M er åben hvis der for hvert x G findes et r>0 så B(x, r) G. Man ser at systemetgaf åbne mængder i M er stabilt over for endelig fællesmængdedannelse og over for vilkårlig foreningsmængdedannelse, og dermed udgør G en topologi. Pseudometrikken giver anledning til et naturligt konvergensbegreb. En følge x, x 2, M siges at konvergere mod x M, netop hvis d(x n, x) 0 for n. Det kan formuleres ved hjælp af topologien, for det er ækvivalent med at det for enhver åben mængde G indeholdende x gælder at x n G fra et vist trin. Topologien i et pseudometrisk rum adskiller sig noget fra den tilsvarende konstruktion i et metrisk rum. Fra et abstrakt topologisk synspunkt ville man sige at problemet
4 4 Kapitel. Funktionsrum er at den såkaldte Hausdorff egenskab ikke gælder. Hausdorff egenskaben går ud på at man til to vilkårlige punkter x y kan finde disjunkte åbne mængder G og G 2 så x G og y G 2. Man taler om at separere punkter ved hjælp af åbne mængder. I et pseudometrisk rum er det ikke muligt at separere x og y ved hjælp af åbne mængder hvis d(x, y) = 0. Af trekantsuligheden fås d(x, z)=d(y, z) for alle z M, så kugler med centrum x eller y kommer ud på ét, for B(x, r)= B(y, r). Specielt vil en åben mængde, der indeholder x, også indeholde y. Mere generelt vil x og y samtidig være indre punkter, ydre punkter eller randpunkter for en mængde A M. Et praktisk udslag af den manglende Hausdorff egenskab er at grænseværdier ikke nødvendigvis er entydige. Hvis x, x 2,... er en følge der konvergerer mod x M og hvis d(x, y) = 0, så vil følgen også konvergere mod y. Vi vil specielt interessere os for pseudometriske rum, der konstrueres ud fra en seminorm. I et vektorrum V med seminorm indføres en pseudometrik ved definitionen d(x, y)= x y for alle x, y V. Som vi skal se nu, kan man til et vektorrum med seminorm kan knyttes et andet vektorrum med en rigtig norm, på en sådan måde at de to vektorrum i praksis nærmest kan identificeres. Man kan derfor relativt let formulere sig uden om de problemer som den manglende Hausdorff egenskab ellers kunne give. Bemærk at : V R er kontinuert ligesom i et normeret rum. Det følger nemlig af trekantsuligheden at x y x y for alle x, y M. (.) Også kompositionerne er kontinuerte. Således kan man indse, at multiplikation med skalarer er kontinuert i (λ 0, x 0 ), ved brug af λx λ 0 x 0 λ x x 0 + λ λ 0 x 0, der fås ved at bruge trekantsuligheden på identiteten λx λ 0 x 0 =λ(x x 0 )+(λ λ 0 )x 0.
5 .2. Vektorrum med seminorm 5 Vi ser tilsvarende at additionen iver kontinuert, ved at benytte uligheden (x+y) (a+b) x a + y b. Ved fastsættelsen x y x y =0 defineres en ækvivalensrelationen i V. Vi skriver de tilhørende ækvivalensklasser som [x]={y V x y}={y V x y =0} for x V. Mængden V = V/ af ækvivalensklasser er et vektorrum med kompositioner defineret ved repræsentanter, [x]+[y]=[x+y], a [x]=[ax]. I algebraiske termer fokuserer vi på underrummetv 0 ={x V x =0} og danner herudfra kvotientrummet (eller faktorrummet) V=V/V 0. Da x = y når x y =0 ifølge (.), kan vi definere en funktion : V R ved [x] = x. Vi kan konstatere at denne funktion er en norm i V. Vi noterer alle disse overvejelser som en sætning: Sætning.4 Et vektorrumvmed seminorm går over i et vektorrum V med norm, når elementerne samles i klasser ved ækvivalensrelationen x y x y =0. Eksempel.5 For et vilkårligt målrum (X,E,µ) har vi defineret en seminorm på funktionsrummet L = L(X, E, µ) ved f = f dµ, f L(X,E,µ). Det vektorrum, der dukker op i sætning.4, vil i denne sammenhæng som regel blive skrevet L(X, E, µ). Ækvivalensrelationen bag konstruktionen er f g f g = 0,
6 6 Kapitel. Funktionsrum eller f g f= gµ-næsten sikkert. Overgangen fra funktionsrummet L til det mere abstrakte rum L består løst sagt i, at vi ophører at skelne mellem funktioner f og g, eller regner dem for lige gode, når f = g næsten overalt med hensyn til µ. Præcist: de opfattes som repræsentanter for en og samme ting (nemlig for samme klasse)..3 FunktionsrummeneL p =L p (X,E,µ), p< Lad (X,E,µ) være et målrum, og lad p være et reelt tal med p [, ). En funktion f M(X,E) siges at være p-dobbelt integrabel med hensyn tilµhvis f p dµ<. Mængden af p-dobbelt integrable funktioner betegnesl p (X,E,µ) - eller blotl p (µ) eller måske enddal p hvis det skal gå hurtigt. Bemærk, atl (µ) netop er mængdenl(µ) afµ-integrable funktioner påx. Og der er naturligvis ingen mennesker der begynder at tale om en -dobbelt integrabel funktion når de kan nøjes med at sige integrabel. Tilsvarende siger man normalt kvadratisk integrabel i stedet for 2-dobbelt integrabel. Sætning.6 MængdenL p (X,E,µ) er et reelt vektorrum. BEVIS: Hvis a R er en skalar og f L p, så er a f p dµ= a p f p dµ<, og vi ser at a f L p. For at vise atl p er stabil over for addition, udnytter vi følgende uligheder, der gælder for alle y, z R: y+z p ( y + z ) p ( 2 max{ y, z } )p = 2 p max{ y p, z p } 2 p ( y p + z p ).
7 .3. FunktionsrummeneL p =L p (X,E,µ), p< 7 Tager vi f, g L p og sætter f (x) og g(x) ind som y og z, ser vi at f+ g p dµ 2 p f p + g p dµ< og vi konkluderer at f+ g L p. Vi skal se, at der ved ( f p = f p dµ) /p f L p (X,E,µ) defineres en seminorm p pål p (X,E,µ). Det er klart at denne definition opfylder (i) og (ii) fra p., så udfordringen er at få vist trekantsuligheden. For at bevise trekantsuligheden gennemgår vi nogle klassiske integraluligheder, centreret omkring begrebet duale eksponenter. To tal p, q (, ) er duale eksponenter hvis p + =. (.2) q F. eks. har 2 sig selv som dual eksponent, mens 3 har 3 2. Ethvert p (, ) har præcis én dual eksponent, nemlig q= p p. Hvis p og q er duale eksponenter, så er (p )(q )=. (.3) Lemma.7 (Youngs ulighed) Lad p, q> være duale eksponenter. Der gælder at uv up p + vq q for u, v [0, ). (.4) BEVIS: Uligheden er triviel for u=0 eller v=0, så vi antager at begge er positive. Da x e x er konveks på hele den reelle akse (se [EH], appendix D) gælder der for alle y, z Rog alleα (0, ) at exp ( αy+( α)z ) αe y + ( α)e z. Bruges det på y= p log u, z=q log v, α= p, får vi Youngs ulighed. Bemærk at Youngs ulighed for p=q=2 er det velkendte resultat 2uv u 2 + v 2.
8 8 Kapitel. Funktionsrum (0, v) (u, 0) Figur.: Grafisk illustration af Youngs ulighed. Kurven er grafen for x x p. Arealet af kassen er uv, arealet af det nederste skraverede område er p up, arealet af det øverste skraverede område er q vq. Youngs ulighed siger at arealet af kassen er mindre end summen af de to skraverede arealer. Sætning.8 (Hölders ulighed) Lad (X,E,µ) være et målrum, og lad p, q> være duale eksponenter. Hvis f L p (µ) og g L q (µ) så er f g L(µ) og f g dµ f p g q. (.5) BEVIS: Vi kan antage f p 0 og g q 0, for ellers er f = 0 eller g=0 næsten sikkert, og i så fald er også f g=0 næsten sikkert. Heraf vil det følge at venstresiden af (.5) er nul, sådan at uligheden trivielt er opfyldt. Vi kan observere at hvis (.5) holder for f og g, så holder formlen også for c f og d g, hvor c og d er reelle tal. Det er derfor tilstrækkeligt at vise formlen under antagelse af at f p = g q =. Det generelle tilfælde følger nemlig af dette specielle tilfælde, kombineret med at f= f p f f p, g= g q g g q,
9 .3. FunktionsrummeneL p =L p (X,E,µ), p< 9 Fra Youngs ulighed følger det at f (x) g(x) p f (x) p + q g(x) q for alle x X, og dermed f g dµ p f p dµ+ q g q dµ = p f p p+ q g q q= p + q = = f p g q. Eftersom denne øvre grænse er endelig, følger det at f g er integrabel. Og selve Hölders ulighed står direke at læse. Den form Hölders ulighed oftest optræder i, er med p=q=2. I den form kaldes uligheden gerne Cauchy-Schwarz ulighed. Denne variant siger at hvis f og g begge er kvadratisk integrable med hensyn tilµ, så er f g integrabel, og f g dµ f 2 g 2. Sætning.9 (Minkowskis ulighed) Lad (X, E, µ) være et målrum, og lad p. Hvis f, g L p (µ) så er f+ g L p (µ) og f+ g p f p + g p. (.6) BEVIS: Vi ved allerede at f+ g L p (µ), således at det kun er selve uligheden, vi skal vise. Uligheden er allerede kendt for p =, så vi antager at p > og vi lader q være den duale eksponent til p. Vi begynder med vurderingen f+ g p p= f+ g p dµ= f+ g f+ g p dµ f f+ g p dµ+ g f+ g p dµ. Funktionen f+ g p ere-målelig, og f+ g (p )q dµ= f+ g p dµ<,
10 0 Kapitel. Funktionsrum idet f+ g L p. Altså er f+ g p L q med ( f+ g p q = ) /q f+ g p dµ = f+ g p/q p = f+ g p p. Hölders ulighed giver så f f+ g p dµ f p f+ g p p, g f+ g p dµ g p f+ g p p. Sammenholdt har vi f+ g p p ( f p + g p ) f+ g p p. (.7) Hvis f+ g p = 0 er (.6) trivielt opfyldt. Og hvis f+ g p 0 kan vi nu opnå (.6) ved at forkorte f+ g p p væk i (.7). Vi samler det viste i følgende: Sætning.0 Lad (X,E,µ) være et målrum, og lad p. Ved fastsættelsen ( /p f p = f dµ) p for alle f L p (µ), defineres en seminorm på funktionsrummetl p (µ). Det konvergensbegreb der svarer til seminormen p kaldes konvergens i p-middel, eller for p=2 konvergens i kvadratisk middel. En følge f, f 2, L p (µ) konvergerer således mod f L p µ) i p-middel, netop hvis f n f p 0 for n. Altså netop hvis f n f p dµ 0 for n.
11 .3. FunktionsrummeneL p =L p (X,E,µ), p< Konvergens i p-middel er noget helt andet end punktvis konvergens. Både eksempel.2 og eksempel.3, der formelt beskæftiger sig med forholdet mellem konvergens i -middel og punktvis konvergens, generaliseres uden videre til at punktvis konvergens ikke nødvendigvis medfører konvergens i p-middel, og omvendt at konvergens i p-middel ikke nødvendigvis medfører punktvis konvergens i ét eneste punkt. Men der gælder dog følgende: Sætning. Lad (X,E,µ) være et målrum, og p [, ). Lad f, f 2,... :X R være en følge afl p -funktioner. Antag at der findes en grænsefunktion f :X R sådan at f n (x) f (x) for n for alle x X. Hvis der findes en integrabel majorant f p, f 2 p,..., så er f L p (µ), og der gælder at f n f p 0 for n. g M + for følgen BEVIS: Det er klart at f L p (µ), for når f n (x) p f (x) p for n og når f n (x) p g(x) for alle n, så må også f (x) p g(x). Da f n (x) f (x) p 0 for alle x, og da f n f p 2 p g, giver Lebesgues majorantsætning f n f p dµ 0 dµ=0 for n. Seminormen p er ikke i almindelighed en norm pål p (X,E,µ), idet ( /p f p = f dµ) p = 0 f= 0µ næsten sikkert. Men ved at samle funktionerne il p i ækvivalensklasser kan man, ligesom i eksempel.5 føre seminormen over i en norm: Sætning.2 FunktionsrummetL p (X,E,µ) med seminormen p går over i et vektorrum L p = L p (X,E,µ) med norm (som vi også skriver p ) når funktionerne samles i klasser ved ækvivalensrelationen f g f g p = 0, det vil sige f g f= gµ-næsten sikkert.
12 2 Kapitel. Funktionsrum Skellet melleml p (µ) og L p (µ) er en formalistisk øvelse, som ikke betyder det store i manges øjne. Men overgangen til L p redder entydighed af grænsepunkt for følger, og det er en egenskab man ofte ubevidst trækker på. Sætning.3 Hvisµ(X)<, og hvis r s, så gælder der atl s (µ) L r (Xµ), og at f r f s µ(x) /r /s for alle f L s (µ). (.8) BEVIS: Antagµ(X)< og f L s. Anvendelse af Hölders ulighed på f r L s/r og den konstante funktion L s/(s r) giver da f r L, altså f L r, samt ( f r dµ ) r/s ( f r s/r dµ dµ) (s r)/s, dvs. f r f s µ(x) /r /s. I tilfældet µ(x) = gælder ikke i almindelighed resultater af lignende karakter. For Lebesgue målet på R er det således let at give eksempler på funktioner tilhørende henholdsvisl r \L s,l r L s ogl s \L r når r<s. Eksempel.4 Når målrummet er (N, P(N), τ) hvor τ er tællemålet, skriver man normaltl p i stedet forl p. Vi har altså at og vi ser at l p = (x, x 2,...) R N x p = x j p j= /p x j p <, j= når x=(x, x 2,...) l p. Hvis vi tager to talfølger x og y der begge er nul fra koordinat k + og fremad, så kan Hölders og Minkowskys uligheder i dette tilfælde formuleres /q k k k x j y j x j /p p y j q, j= j= j=
13 .4. Fischers fuldstændighedssætning 3 når p og q er duale eksponenter, og k x j + y j p j= /p k x j p j= /p k + y j p j= /p. Det er disse uligheder, der skyldes henholdsvis Otto Hölder (889) og Hermann Minkowski (896). Sætning.5 Lad (X,E,µ) være et målrum, og p [, ). De simplel p -funktioner ligger overalt tæt il p (µ). BEVIS: Vi starter med at vise at f L p kan approksimeres vilkårligt godt med simple L p -funktioner hvis vi gør den ekstra antagelse at f 0. Ifølge korollar 5.7 i [EH] findes der en følge g g 2... afs + -funktioner funktioner, så g n ր f. Idet 0 g n f og f L p, sluttes af sætning. at g n L p, og f g n p 0. En reel funktion f L p kan spaltes f=f + f, og da både f + og f er majoriseret af f, ser vi at f +, f L p. De er ikke-negative, så for et givetǫ> 0 kan vi ifølge det netop viste, finde positive simplel p -funktioner g og g 2, så f + g p <ǫ/2, f g 2 p <ǫ/2. Funktionen g=g g 2 er da en simpell p -funktion, og f g p f + g p + f g 2 p <ǫ..4 Fischers fuldstændighedssætning En følge (x n ) n N i et pseudometrisk rum (M, d) er en Cauchyfølge hvis der for alle ǫ> 0 findes et N N sådan at d(x n, x m )<ǫ for alle n, m N. En konvergent følge er naturligvis en Cauchyfølge. Vi siger at det pseudometriske rum (M, d) er fuldstændigt hvis det omvendte gælder, altså hvis enhver Cauchyfølge er konvergent. Vi ved at den reelle akse med den sædvanlige metrik er et fuldstændigt
14 4 Kapitel. Funktionsrum metrisk rum, og derfor også et fuldstændigt pseduometrisk rum. Tilsvarende er de rationale tal Q med den sædvanlige metrik et ikke-fuldstændigt (pseudo)metrisk rum. I et vektorrumvmed seminorm kan man indføre begreberne konvergent og absolut konvergent uendelig række. Definition.6 En uendelig række x k med led fravkaldes konvergent med sum s såfremt afsnitsfølgen s n = x x n konvergerer mod s. Rækken kaldes absolut konvergent såfremt rækken af positive tal x k er konvergent, altså såfremt x k <. Fuldstændighed af pseudometrikken i et seminormeret vektorrum kan formuleres ved hjælp af en relation mellem de absolut konvergente rækker og de konvergente rækker. Man taler om at absolut konvergens medfører konvergens, eller om Weierstrass M- kriterium. Sætning.7 Et vektorrum V med seminorm er fuldstændigt, hvis og kun hvis enhver række x k med led frav, hvor x k <, er konvergent iv. BEVIS: Antag først atver fuldstændigt, og at rækken x k er absolut konvergent. Sættes s n = n x k har man s n+p s n = n+p k=n+ x k n+p k=n+ x k, og da x k er en konvergent reel række, følger det af udsnitskriteriet at (s n ) er en Cauchyfølge. Fuldstændigheden giver at (s n ) må være konvergent, og derfor er x k konvergent. Antag dernæst at absolut konvergens medfører konvergens og lad (x n ) være en Cauchy følge iv. Vi kan vælge n < n 2 <... således at x n x m 2 k for n, m n k, og dermed har vi x nk+ x nk <. (.9)
15 .4. Fischers fuldstændighedssætning 5 Faktisk er rækkens sum, men det spiller ikke nogen rolle for os. Rækken x n + ( ) xnk+ x nk er altså absolut konvergent, og dermed konvergent, så der findes x V, så afsnitsfølgen x n, x n2,... konvergerer mod x. Men vi ser at også (x n ) konvergerer mod x. Vi kan nemlig for givetǫ> 0 findet N så x k x m <ǫnår k, m N. Vælg k så stor at n k N, og så x nk x <ǫ. For n Nser vi da at x x n x x nk + x nk x n 2ǫ. Spørgsmålet om fuldstændighed af et vektorrum med seminorm, kan føres tilbage til det tilsvarende spørgsmål for normerede rum, idet der gælder: Sætning.8 Lad V være et vektorrum med seminorm, og lad V være det tilsvarende normerede rum af ækvivalensklasser ved relationen x y x y = 0. Så er V fuldstændigt, hvis og kun hvis V er fuldstændigt, altså et Banach rum. BEVIS: Idet der for x, y V gælder x y = [x] [y] = [x y], så følger, at (x n ) er konvergent (henholdsvis en Cauchy følge) iv, hvis og kun hvis ([x n ]) er konvergent (henholdsvis en Cauchy følge) i V. Sætning.9 (Fischers fuldstændighedssætning) Lad (X, E, µ) være et målrum og lad p [, ). FunktionsrummetL p =L p (X,E,µ) er fuldstændigt. Anderledes sagt: det normerede rum L p = L p (X,E,µ) er et Banach rum. BEVIS: Vi benytter karakteriseringen af fuldstændighed i sætning.7. Så vi tager en følge af funktioner g k L p der tilsammen opfylder at g k p <, og vi søger en funktion f L p så n f g k 0 for for n. p
16 6 Kapitel. Funktionsrum Eftersøgningen viser sig at lykkes ved, at rækken g k er punktvis konvergent næsten overalt med en sumfunktion, der kan bruges. I første omgang sætter vi h(x)= g k (x) for alle x X. Vi lader h komme til verden som en sum af tælleligt mangem + -funktioner, og dermed er h selv enm + -funktion. Rækken g k (x) er (absolut) konvergent i hvert punkt x Xhvor h(x)<. For n har vi n g k (x) րh(x) for alle x X og dermed p n g k (x) ր h(x) p, idet vi regner p =. Lebesgues monotonisætning giver da at p n g k dµր h p dµ, hvilket kan reformuleres som n ( g k ր p h p dµ) /p. Idet n g k p n g k p for alle n N, finder vi som resultat: ( Da h p dµ<, slutter vi at h p dµ) /p g k p <. N={x X h(x)= }={x h(x) p = } har målµ(n)=0. Rækken g k (x) er altså absolut konvergent forµ-næsten alle x X, og dermed kan vi definere f :X R ved f (x)= X\N (x) g k (x) for x X.
17 .4. Fischers fuldstændighedssætning 7 Det er klart at f er en grænse afm-funktioner, og da f selv er reel, er f også en M-funktion. Videre har vi f (x) h(x) for alle x X, hvoraf det følger at ( /p ( f dµ) p h p dµ) /p g k p <. Vi ser således at f L p (µ) og det følger af sætning. at f n g k p 0 for n, da n g k fµ-n.o., og da h p er en majorant af den ønskede type. BEMÆRK: Vi har faktisk vist følgende: En række g k med led fral p, der opfylder at g k p <, konvergerer punktvis absolut næsten overalt og i p-middel mod en funktion f L p, som opfylder f p g k p. Denne ulighed kan lidt farligt skrives g k p g k p, og fremtræder derved som en generalisation af Minkowskis ulighed. Korollar.20 Enhver følge f, f 2, L p (X,E,µ), der konvergerer i p-middel mod f L p, har en delfølge f n, f n2,..., der konvergerer punktvis mod f næsten overalt. Det er endda muligt at opnå, at ( f nk p ) har en integrabel majorant g M +. BEVIS: Vi udnytter af ( f n ) er en Cauchyfølge. De samme argumenter som gav (.9) giver nu en delfølge n < n 2 <... sådan at f nk+ f nk p <. Følgen f n, f n2,... er afsnitsfølge for den absolut konvergente række f n + ( f nk+ f nk ),
18 8 Kapitel. Funktionsrum og dermed vil konvergere f n, f n2,... både næsten overalt og i p-middel mod en funktion f L p. Da også f nk f il p, sluttes, at f f p = 0, altså f= f næsten overalt. Som majorant kan benyttes p g(x)= f n (x) + f nk+ (x) f nk (x). Korollar.2 Hvis en følge f, f 2, L p (X,E,µ) konvergerer i p-middel mod ϕ L p og punktvis modϕ 2 næsten overalt, da erϕ =ϕ 2 næsten overalt. BEVIS: En passende delfølge konvergerer næsten overalt modϕ, foruden naturligvis tillige modϕ 2. Litteratur [EH] - Ernst Hansen: Measure Theory (second edition). Københavns Universitet 2007.
Konvergens i L 1 -forstand. Definition af L 1 -seminorm. Topologi i pseudometrisk rum. Seminorm til norm
Definition af L 1 -seminorm Konvergens i L 1 -forstand Lad (X, E, µ) være et målrum. Husk at L(µ) er et reelt vektorrum. Vi definerer f 1 = f dµ for f L Definition En følge af funktioner f 1, f 2, L siges
Læs merePunktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013
Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mereHilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum
Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs mereAnalyse 1, Prøve 4. 25. juni 2009. r+1. Men vi har øjensynligt, at 2. r r+1
Analyse 1, Prøve 4 25. juni 29 Alle henvisninger til CB er henvisninger til Metriske Rum (1997, Christian Berg), alle henvisninger til TL er til Kalkulus (26, Tom Lindstrøm), og alle henvisninger til Opgaver
Læs mereAnalyse 1, Prøve 4 Besvarelse
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 2011 1 Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse Lad Opgave 1 (50%) M = {T R 2 T er en åben trekant} og lad A : M R være arealfunktionen, dvs.
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mereGult Foredrag Om Net
Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges
Læs merePotensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen
Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 6
ANALYSE 1, 2014, Uge 6 Forelæsninger Tirsdag Topologiske begreber i generelle metriske rum, dvs. begreber som åbne og afsluttede delmængder og rand af en mængde. For talrummene R k er disse begreber indført
Læs mereMASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 10. september Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 10. september 2018 Oversigt Relle tal Notation Tal Største og mindste element, mindste overtal og største undertal
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.
Læs mereSupplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at
Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn
Læs mereLineære ligningssystemer
enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f
GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar
Læs mereDifferentialligninger. Ib Michelsen
Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3
Læs mereUendelige rækker og Taylor-rækker
Uendelige rækker og Taylor-rækker Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 200 Thomas Bolander, FUKBH 0 s. /24 Forhold mellem endelighed
Læs mereEksamensnoter til Analyse 1
ksamensnoter til Analyse 1 Martin Geisler gimpster@daimi.au.dk Sommer 23 Indledning Disse noter gennemgår de 26 spørgsmål stillet til den mundtlige eksamen i Analyse 1 ved Aarhus Universitet sommeren 23.
Læs mereMASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 7. september 2016 Formålet med MASO Integer sequences Oversigt Relle tal Notation Tal Overtal og undertal Største
Læs mereBesvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03
IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos
Læs mereEpistel E2 Partiel differentiation
Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +
Læs mereBesvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 23 Besvarelse, Eksamen Analyse, 23 Opgave Lad, for n N, funktionen f n : [, ) R være givet ved NB. Trykfejl. Burde være x. f n (x)
Læs mereDifferentialregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereAnalyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over
Læs mere5.3 Konvergens i sandsynlighed Konvergens i sandsynlighed 55. Hvis vi regner den karakteristiske funktion for X, v ud i argumentet 1, fås
5.3. Konvergens i sandsynlighed 55 BEVIS: Lad φ 1, φ 2,... og φ være de karakteristiske funktioner for X 1, X 2,... og X. Hvis vi regner den karakteristiske funktion for X, v ud i argumentet 1, fås φ X,v
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader
GEOMETRI-TØ, UGE Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave, [P] 5... Find parametriseringer af de kvadratiske flader
Læs mereLineære Afbildninger. enote 8. 8.1 Om afbildninger
enote 8 enote 8 Lineære Afbildninger Denne enote undersøger afbildninger mellem vektorrum af en bestemt type, nemlig lineære afbildninger Det vises, at kernen og billedrummet for lineære afbildninger er
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 5
ANALYSE, 204, Uge 5 Afleveringsfrist for Prøve 2 er Tirsdag den 20/5 kl 0:5. Forelæsninger Tirsdag Vi går videre med Afsnit 4 om uniform konvergens af Fourierrækker, hvor hovedsætningen er Sætning 4.3.
Læs mereANALYSE 1. Uge 7, 4. juni juni, 2007
ANALYSE 1 Uge 7, 4. juni - 10. juni, 2007 Forelæsninger Mandag 4. juni Formålet med denne dags forelæsninger er at etablere en overgang til emnet metriske rum, hvis hovedformål er at udvide begreber som
Læs mereFundamentale begreber fra Analysen. Introduktion. De reelle tal. Carsten Lunde Petersen
IMFUFA Carsten Lunde Petersen Fundamentale begreber fra Analysen Introduktion Disse noter udgør et meget ltreret udkik over de grundlæggende begreber i reel analyse. Noten indeholder meget lidt om det
Læs meren=1 er veldefineret for alle følger for hvilke højresiden er endelig. F.eks. tilhører følgen
2 Hilbert rum 2. Eksempler på Hilbert rum Vi skal nu først forsøge at begrunde, at de indre produkt rum af funktioner eller følger, som blev indført i Kapitel, ikke er omfattende nok til vores formål.
Læs mereTalteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.
Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske
Læs mereSølvkorn 11 Eksponentialfunktioner og logaritmer
Eksponentialfunktioner og logaritmer Rasmus Sylvester Bryder Findes der for b, y > 0 et x R, så b x = y? Svaret er ja undtagen for b = 1, y 1), og det er alment kendt, at logaritmefunktionen gør et godt
Læs mereSandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel
MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter
Læs mereMatematiske metoder - Opgaver
Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.
Læs mereMatematik 2 AN. Matematisk Analyse. Metriske rum. Christian Berg
Matematik 2 AN Matematisk Analyse Metriske rum Christian Berg 1997 Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København Ø c Matematisk Afdeling 1997 Forord Nærværende notehæfte er oprindelig skrevet
Læs mere10. Nogle diofantiske ligninger.
Diofantiske ligninger 10.1 10. Nogle diofantiske ligninger. (10.1). I dette kapitel betragtes nogle diofantiske ligninger, specielt nogle af de ligninger, der kan behandles via kvadratiske talringe. Ligningerne
Læs mereFunktioner af flere variable
Funktioner af flere variable Stud. Scient. Martin Sparre Københavns Universitet 23-10-2006 Definition 1 (Definition af en funktion af flere variable). En funktion af n variable defineret på en delmængde,
Læs mereAffine og konvekse mængder
Kapitel 3 Affine og konvekse mængder 3.1 Affine mænger Definition 3.1 LadXvære et vektorrum. En delmængde A Xer affin hvis λ 1 x 1 +λ 2 x 2 A for alle x 1, x 2 A og λ 1,λ 2 R med λ 1 +λ 2 = 1. (3.1) Udtrykket
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Læs mere9.1 Egenværdier og egenvektorer
SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der
Læs mereOptimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering
Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen
Læs mereTonelli light. Eksistensbeviset for µ ν gav målet. for G E K ved succesiv integration. Alternativ definition:
Tonelli light Eksistensbeviset for µ ν gav målet ( ) λ(g) = G (x, y)dν(y) dµ(x) for G E K ved succesiv integration. Alternativ definition: ( ) λ(g) = G (x, y)dµ(x) dν(y). Som λ(a B) = µ(a)ν(b) gælder λ(a
Læs mereDeskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,
Læs mereEgenskaber ved Krydsproduktet
Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereKomplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet
Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N
Læs mereEt udtryk på formena n kaldes en potens med grundtal a og eksponent n. Vi vil kun betragte potenser hvor grundtallet er positivt, altså a>0.
Konkrete funktioner Potenser Som udgangspunkt er brugen af potenser blot en forkortelse for at gange et tal med sig selv et antal gange. Hvis a Rskriver vi a 2 for a a a 3 for a a a a 4 for a a a a (1).
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereGrundlæggende regneteknik
Grundlæggende regneteknik Anne Ryelund, Mads Friis og Anders Friis 14. oktober 2014 Indhold Forord Indledning iii iv 1 Regning med brøker 1 1.1 Faktorisering i primtal.............................. 3 1.2
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )
GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder
Læs mereSkriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508)
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI SYDDANSK UNIVERSITET, ODENSE Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) Mandag d. 14. januar 2007 2 timer med alle sædvanlige hjælpemidler tilladt. Opgavesættet
Læs mereHilbert rum. Chapter Indre produkt rum
Chapter 4 Hilbert rum 4.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereAlgebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:
INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler
Læs mere= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)
Læs mere1.1. n u i v i, (u, v) = i=1
1.1 1. Hilbert rum 1.1. Hilbert rum og deres geometri. Definition 1.1. Et komplekst vektor rum V kaldes et indre produkt rum (eller præ-hilbert rum), når det er forsynet med en funktion (, ): V V C, som
Læs mereNoter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Læs mereHeisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013
Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme
Læs mereParadokser og Opgaver
Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen (MEL) Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på
Læs mere2. Fourierrækker i en variabel
.1. Fourierrækker i en variabel I Kapitel II 7 blev der indført, dels funktionsrummene L p (X, µ) (mere udførligt skrevet L p (X, E, µ)), dels rummene L p (X, µ), der fås af L p (X, µ) ved at funktioner
Læs mereSubstitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer
Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer Erik Bennike 14. november 2009 Denne note giver en beskrivelse af de relevante begreber omkring substitutions- og indkomsteffekter i mikroøkonomi. 1 Introduktion
Læs mereMM502+4 forelæsningsslides
MM502+4 forelæsningsslides uge 9, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael ørdam 1 Egentlige og uegentlige dobbeltintegraler: efinition (Egentlige
Læs mereProjekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable
Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses
Læs mereBjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten
Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele
Læs mereHistogrammetoden For (x i, y i ) R 2, i = 1,..., n, ser vi på den gennemsnitlige
Histogrammetoden For (x i, y i ) R 2, i = 1,..., n, ser vi på den gennemsnitlige længde: z = 1 n hvor z i = xi 2 + yi 2. n z i = 1 n i=1 n i=1 x 2 i + y 2 i Indfør tabellen samt vægtene Da er a k = #{i
Læs mereGamle eksamensopgaver (MASO)
EO 1 Gamle eksamensopgaver (MASO) Opgave 1. (Vinteren 1990 91, opgave 1) a) Vis, at rækken er divergent. b) Vis, at rækken er konvergent. Opgave 2. (Vinteren 1990 91, opgave 2) Gør rede for at ligningssystemet
Læs mereIndhold. Litteratur 11
Indhold Forord ii 00-sættet 1 Opgave 1....................................... 1 Spørgsmål (a).................................. 1 Spørgsmål (b).................................. 1 Spørgsmål (c)..................................
Læs mere6.1 Reelle Indre Produkter
SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II
Læs mereDesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier
DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil
Læs mereAarhus Universitet 5. februar Meddelelse 2
fdeling for Teoretisk Statistik IOSTTISTIK Institut for Matematiske Fag Preben læsild arhus Universitet 5. februar 2003 Meddelelse 2 Forelæsningerne i uge 6 (3-7.2) Ved forelæsningen den 4.2 gav Frank
Læs mereBorel-σ-algebraen. Definition (EH 1.23)
Borel-σ-algebraen Definition (EH 1.23) Borel-σ-algebraen B k på R k er σ-algebraen frembragt af de åbne mængder O k. Andre frembringersystemer for B k : De afsluttede mængder. De åbne kasser I k (k = 1,
Læs mereDiskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen
Diskrete Matematiske Metoder Jesper Lützen Juni 2013 ii Indhold Introduktion. ix 0.1 Den aksiomatisk-deduktive metode................. ix 0.2 Diskret matematik; hvad er det?.................. x 1 Tal,
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereVi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe.
0.1: Ringe 1. Definition: Ring En algebraisk struktur (R, +,, 0,, 1) kaldes en ring hvis (R, +,, 0) er en kommutativ gruppe og (R,, 1) er en monoide og hvis er såvel venstre som højredistributiv mht +.
Læs mereAnalyse 1, Prøve 2 Besvarelse
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet maj Analyse, Prøve Besvarelse Opgave (3%) (a) (%) Bestem mængden af x R for hvilke rækken ( + (x) n ) er konvergent og angiv sumfunktionen
Læs mereAfgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. 2 n. n=1 2n (n + 1)2 1 = 2(n + n+1
Analyse Reeksamen 00 Rasmus Sylvester Bryder 5. august 0 Opgave Afgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. ( ) n n +3n+7 n= n + For alle n N vil
Læs mere2. del. Reaktionskinetik
2. del. Reaktionskinetik Kapitel 10. Matematisk beskrivelse af reaktionshastighed 10.1. Reaktionshastighed En kemisk reaktions hastighed kan afhænge af flere forskellige faktorer, hvoraf de vigtigste er!
Læs mereEn differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby
24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder
Læs mereØvelse 10. Tobias Markeprand. 11. november 2008
Øvelse 10 Tobias Markeprand 11. november 2008 Kapitel 10 i Blanchard omhandler vækst, dvs. økonomien på det lange sigt. For at kunne foretage analyser af vækst og dets årsager må man kunne sammenligne
Læs mere1: Fundamentale begreber.
Topologi 1 1: Fundamentale begreber. Hvis vi lader henholdsvis O og C betegne de åbne og afsluttede delmængder i et metrisk rum med X som underliggende mængde, mens vi benytter betegnelserne I henholdsvis
Læs mereDesignMat Egenværdier og Egenvektorer
DesignMat Egenværdier og Egenvektorer Preben Alsholm September 008 1 Egenværdier og Egenvektorer 1.1 Definition og Eksempel 1 Definition og Eksempel 1 Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C).
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereHistogrammetoden For (x i, y i ) R 2, i = 1,..., n, ser vi på den gennemsnitlige. Histogrammetoden. Histogrammetoden.
For ( i, y i ) R 2, i =,, n, ser vi på den gennemsnitlige længde: z = n hvor z i = i 2 + yi 2 Indfør tabellen samt vægtene Da er z i = n 2 i + y 2 i a k = #{i 00z i = k}, k N 0 z ned := ν k = a k n 00kν
Læs mereIntegration m.h.t. mål med tæthed
Integration m.h.t. mål med tæthed Sætning (EH 11.7) Lad ν = f µ på (X, E). For alle g M + (X, E) gælder at gdν = g f dµ. Bevis: Standardbeviset: 1) indikatorfunktioner 2) simple funktioner 3) M + -funktioner.
Læs mereVarmeligningen og cosinuspolynomier.
Varmeligningen og cosinuspolynomier. Projekt for MM50 Marts 009 Hans J. Munkholm 0. Praktiske oplysninger Dette projekt besvares af de studerende, som er tilmeldt eksamen i MM50 uden at være tilmeldt eksamen
Læs mereDivisorer. Introduktion. Divisorer og delelighed. Divisionsalgoritmen. Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så
Introduktion 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal Primtal 2) Formalistisk struktur Definition Lemma Divisorer Definition (Divisor) Lad d og n være hele tal Hvis der findes et helt tal q så d q =
Læs mere[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0
MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...
Læs mereSandsynlighedsregning Stokastisk variabel
Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel I eksperimenter knyttes ofte en talværdi til hvert udfald. S s X(s) R Definition: En stokastisk variabel X er en funktion defineret på S, der antager værdier på
Læs mereDet Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff
Det Platon mener, er... Essay om matematikken bag Epinomis 990 c 5 ff af Christian Marinus Taisbak Illustrationer: Claus Glunk Platons tekst i Erik Ostenfelds oversættelse Motto (Ian Mueller in memoriam):
Læs mereKombinatorik. Eksempel 2: En mand har 7 par bukser og 10 skjorter. Skal han både vælge en skjorte og et par bukser, så har han 10. 7=70 mulige valg.
Noter til Biomat, 005. Kombinatorik. - eller kunsten at tælle. Alle tal i kombinatorik-afsnittet er hele og ikke-negative. Additionsprincippet enten - eller : Antag vi enten skal lave et valg med m muligheder
Læs mereEr A åben? Er A afsluttet? Er A en Borel-mængde? [Vink: Prøv at skriv A som en tællelig forening af afsluttede mængder.
Analyse Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 10. og 13. september 013 Supplerende opgave 4 Betragt mængden A = {(x, y) R x + y 1, x < y}. Er A åben? Er A afsluttet? Er A en Borel-mængde? [Vink: Prøv at skriv
Læs mereMasterprojekt udarbejdet af Søren Naundrup Vejleder Steen Andersson
ELEMENTÆR MÅLTEORI SØREN NAUNDRUP Masterprojekt udarbejdet af Vejleder Steen Andersson Dato 19. december 2014. Indholdsfortegnelse 1. Indledning 3 2. σ-algebraer og deres egenskaber 3 2.1. Om σ-algebraer.
Læs mereEuklids algoritme og kædebrøker
Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n
Læs mere