Eksamensnoter til Analyse 1
|
|
- Kirsten Villadsen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 ksamensnoter til Analyse 1 Martin Geisler gimpster@daimi.au.dk Sommer 23 Indledning Disse noter gennemgår de 26 spørgsmål stillet til den mundtlige eksamen i Analyse 1 ved Aarhus Universitet sommeren 23. For hvert spørgsmål er der udvalgt relevante definitioner og sætninger. Sætningerne er forsøgt bevist i stor detalje hvor alle de små trin er beskrevet og begrundet. Nummerene på sætninger, propositioner og lemmaer henviser indtil afsnit 21 til bogen Real Analysis af H. L. Royden, tredje udgave, 1988 og derefter til Forelæsningsnoter til Analyse 1 af Jørgen Vesterstrøm, femte udgave, marts 23. foo bar Indhold 1 Åbne og lukkede mængder i inklusiv Heine-Borels overdækningssætning 3 2 Konstruktion af og egenskaber ved det ydre mål på R 4 3 Lebesguemålet på R 5 4 Målelige funktioner på R 7 5 Lebesgueintegralet af en begrænset målelig funktion over en mængde med endeligt mål 9 6 Integralet af en ikke-negativ funktion 11 7 Integrable funktioner Lebesgues konvergenssætning 12 8 Ubestemt integral absolut kontinuitet 14 9 L p -rum 16 1
2 1 Fuldstændighed af L p -rum Approksimation i L p Målrum og målelige funktioner Integration over målrum Ydre mål µ -målelige mængder Carathéodorys udvidelsessætning Konstruktion af produktmål Fubini og Tonellis sætninger Weierstraß approksimationssætning Ortogonalsystemer og ortonormalbaser 36 2 Sætningen om nærmeste punkt og projektionssætningen Duale rum 4 22 Foldning Approksimerende enheder Konvergens af Fourierrækken Cesarosummabilitet af Fourierrækken Konvergens af Fourierrækken i L
3 1 Åbne og lukkede mængder i inklusiv Heine-Borels overdækningssætning Åben mængde n mængde O kaldes åben hvis x O, ε > : B ε (x) O. Når vi blot ser på den reelle akse, så bliver kuglen B ε (x) til det åbne interval (x ε, x + ε). Kontaktpunkt t punkt x kaldes et kontaktpunkt til mængden F hvis ε > : B ε (x) F. Mængden af kontaktpunkter til F kaldes afslutningen af F og betegnes F. Lukket mængde n mængde F kaldes lukket hvis F F. Sætning 2.15 (Heine-Borel) Lad F være en lukket og begrænset mængde i R. Da kan enhver åben overdækning af F udtyndes til en endelig overdækning. Altså, hvis F O C O for en mængde af åbne mængder C, så findes {O 1, O 2,..., O n } C sådan at F n O i. Vi betragter først tilfældet hvor F [a, b]. Lad være mængden af x b hvor [a, x] kan overdækkes af en endelig delmængde af mængderne i C. Da a dækkes af mindst én mængde i C er a. Samtidig er opad begrænset af b, så c sup findes og c [a, b]. Da c [a, b] så findes O C sådan at c O. Da O er åben, så ligger (c ε, c + ε) i O for et ε >. Hvis der findes tal i [c, c + ε] som er mindre lig b, så vil hele intervallet [a, c + ε] kan nu dækkes af de endelig mange mængder O 1, O 2,..., O k, O hvor O 1, O 2,..., O k var de åbne mængder der dækkede [a, c]. Men c er supremum for, så sådanne punkter findes ikke, altså er c + ε > b for alle ε > samtidig med at c b. Det medfører at c b, og dermed at b sådan at [a, b] kan overdækkes med endelig mange åbne intervaller fra C. Lad nu F være en vilkårlig lukket og begrænset mængde. Da F er begrænset findes [a, b] sådan at F [a, b]. Vi sætter C C F 3
4 hvor F er en åben mængde da F er lukket. Da C er en overdækning af F, så er R F F O F O C O C O. Altså overdækker C hele R og dermed specielt [a, b]. Vi kan derfor udtynde C til en endelig delmængde der overdækker [a, b] og dermed også F. Hvis F ikke er med i overdækningen, så er vi færdig. Hvis den er med, så kan vi fjerne F fra overdækningen og så stadig have en overdækning af F da F F sådan at F ikke bidrager til overdækningen af F. Nødvendigheden af betingelserne Betingelsen i Heine-Borels overdækningssætning om at mængden skal være begrænset er nødvendig. For vi kan overdække R med intervallerne ( n, n) for n N og denne overdækning kan ikke udtyndes til en endelige overdækning. Kravet om at mængden skal være lukket er også nødvendigt. For det åbne interval (a, b) kan overdækkes indefra af ( (a, b) a + 1 n, b 1 ) n n1 men denne overdækning kan igen ikke udtyndes. 2 Konstruktion af og egenskaber ved det ydre mål på R Ydre mål på R Med det ydre mål m ønsker vi en mængdefunktion der til enhver delmængde af R knytter et ikke-negativt udvidet reelt tal. Desuden skal det ydre mål være en udvidelse af længdebegrebet for intervallet. Vi definerer m ved m (A) inf A l(in ), I n hvor I n er en overdækning af A med åbne intervaller. Man ser at m er monoton sådan at A B m (A) m (B), og desuden er m ( ). Proposition 3.1 Det ydre mål af et interval er lig intervallets længde, altså m (I) l(i). Vi ser først på et lukket, begrænset interval [a, b]. For ethvert ε > vil [a, b] (a ε, b + ε) og da dette blot er én mulig overdækning af [a, b], så får vi at m ( [a, b] ) l ( (a ε, b + ε) ) b a + 2ε. 4
5 Da dette gælder for alle ε >, så har vi at m ([a, b]) b a. Den omvendte ulighed vises ved at vise, der om alle intervaloverdækninger {I n } gælder, at l(i n ) b a. Heine-Borels overdækningssætning siger, at vi kan udtynde {I n } til en endelig mængde af åbne intervaller. Disse vil have en samlet længde der er mindre end de oprindelige intervaller, så det er nok at vise uligheden for alle endelige overdækninger. Da a overdækkes, så findes (a 1, b 1 ) sådan at a 1 < a < b 1. Hvis b 1 > b, så er vi færdige, for så er l((a 1, b 1 )) > b a, ellers så finder vi (a 2, b 2 ) så a 2 < b 1 < b 2. På den måde fortsætter vi indtil vi finder et åbent interval så b (a k, b k ). Da der er endelig mange intervaller vil processen altid stoppe. Vi har nu udtaget en overdækkende delmængde sådan at l(in ) l ( (a i, b i ) ) (b k a k ) + (b k 1 a k 1 ) + + (b 1 a 1 ) b k a 1 b a, da a i 1 < b i for alle i. Dette viser, at m ([a, b]) b a og dermed har vi vist, at m ([a, b]) b a. t åbent, begrænset interval I håndteres ved at måle på et lukket interval J I med længde l(j) l(i) ε for et givent ε >. Da m er monoton, så får vi at l(i) ε l(j) m (J) m (I) m (ĪI ) l(īi ) l(i). Lader vi ε gå mod ser vi, at l(i) m (I). For et ubegrænset interval I kan vi for ethvert reelt tal finde et lukket interval J I med l(j). Dermed er l(j) m (J) m ( I) for alle så m (I) l(i). 3 Lebesguemålet på R Ydre mål Det ydre mål m på R defineres ved m (A) inf A I n l(in ), hvor I n er en overdækning af A med åbne intervaller. Målelig mængde Det ydre mål er defineret for alle delmængder af R, men det er ikke tællelig additivt på alle disse delmængder. Men 5
6 på de målelige mængder bliver m tællelig additiv. n mængde kaldes målelig hvis m (A) m (A ) + m (A Ẽ) for alle A R. Da m er tællelig subadditiv, så gælder der altid m (A) m (A ) + m (A Ẽ) og det er dermed nok at vise den omvendte ulighed for at vise lighed. Desuden ser man at Ẽ er målelig når er målelig på grund af symmetrien i definitionen. De målelige mængder M Mængden af alle målelige mængder betegnes med M. Da 1, 2 M 1 2 M og, R M er M en algebra. Lebesguemålet m Vi definerer Lebesguemålet m som restriktionen af m til de målelige mængder. Dermed er m() m () for M. Lemma 3.9 Lad mængden A være vilkårlig og lad 1,..., n være en endelige følge af parvis disjunkte målelige mængder. Så gælder, at m ( A n ) i m (A i ). Bevises føres som et induktionsbevis. For n 1 er ligningen opfyldt. Antag nu at ligningen er opfyldt for alle tal op til n 1. Da mængderne i er parvis disjunkte er og ( A n ) i n A n og ( A n ) n 1 i Ẽ n A i. Da n er en målelig mængde, så deler den målet af alle andre mængder op i to dele hvis mål summer op til den oprindelige mængde: m ( n ) A i m (A n ) + m ( n 1 ) A n 1 m (A n ) + m (A i ). 6
7 Sætning 3.1 Mængden af alle Lebesguemålelige mængder, M, er en σ - algebra. Vi mangler at vise lukkethed under tællelig forening. Da M er en algebra, så kan en vilkårlig tællelig forening laves om til en tællelig forening af parvis disjunkte mængder med samme forening. Så lad A være en vilkårlig mængde, og { i } en følge af parvis disjunkte målelige mængder med forening. Vi sætter F n n i der så er målelig da det er en endelig forening af målelige mængder. Da F n så er Ẽ F F n og dermed m (A) m (A F n ) + m (A F F n ) m (A F n ) + m (A Ẽ). Vi har netop set (lemma 3.9), at m er tællelig additiv, så sådan at m (A F n ) m (A) m (A i ) m (A i ) + m (A Ẽ). Da venstresiden er uafhængig af n, så får vi at m (A) m (A i ) + m (A Ẽ) m (A ) + m (A Ẽ), idet m er tællelig subadditiv. 4 Målelige funktioner på R Målelig mængde Det ydre mål defineret ved m (A) inf A l(in ), I n hvor I n er en overdækning af A med åbne intervaller, giver anledning til begrebet målelig mængde. Mængden er målelig hvis m (A) m (A ) + m (A Ẽ) for alle A R. 7
8 Målelig funktion n funktion f siges at være målelig hvis den er defineret på en målelig mængde og α R : { x f (x) > α } M. Da M er en σ -algebra, så har vi for et givent α R at { x f (x) > α } M { x f (x) α } M da de to mængder er hinandens kompliment. På tilsvarende måde kan man vise, at de skarpe og bløde uligheder kan laves om til bløde og skarpe uligheder. De fire mængder kaldes skarpe og bløde super- og subniveaumængder. Proposition 3.19 Hvis f og g er to målelige funktioner på samme målelige mængde, så er f + g også målelig på. Vi viser at {x f (x) + g(x) > α} er målelig. Da f (x) + g(x) > α f (x) > α g(x) så kan vi finde et r Q sådan at f (x) > r > α g(x). Derfor er { x f (x) + g(x) > α } ( {x } { } ) f (x) > r x g(x) > α r r Q og dermed er f + g målelig da superniveaumængden kan skrives som en tællelig forening af målelige mængder. Næsten overalt Vi siger at egenskaben P gælder næsten overalt hvis m({x P(x)}), altså hvis undtagelsesmængden er en nulmængde. Proposition 3.21 Lad f være en målelig funktion. Hvis f g næsten overalt, da er g målelig. Vi sætter {x f (x) g(x)}. Ifølge vores antagelse, så er dette en nulmængde. Mængden {x g(x) > α} kan nu splittes op: { x g(x) > α } ( {x f (x) > α } { x g(x) > α } ) { x g(x) α }. Da er en nulmængde, så er enhver delmængde af selv en nulmængde og dermed målelig. ndelig er f målelig og dermed er {x f (x) > α} målelig. 8
9 5 Lebesgueintegralet af en begrænset målelig funktion over en mængde med endeligt mål Simpel funktion n funktion φ kaldes simpel hvis φ er defineret på en målelig mængde og kun antager endelig mange værdier. n simpel funktion der antager værdierne a 1, a 2,..., a n har en entydig opskrivning som φ a i χ i, hvor i {x φ(x) a i }. Disse mængder er parvis disjunkte og har forening. Integralet af en simpel funktion For en simpel funktion φ definerer vi integralet af φ på ved φ a i m( i ). sup φ f Proposition 4.3 Lad f være en begrænset funktion defineret på en målelig mængde med m() <. Da er φ inf ψ ψ f for alle simple funktioner φ og ψ netop når f er målelig. Lad først f være målelig og begrænset af M. Mængderne { } k x (k 1)M n < f (x) < km k n,..., n n er så målelige, parvis disjunkte og har forening. Tællelige additivitet giver så, at k n m( k ) m() <. Vi definerer nu en række simple funktioner φ n og ψ n ved φ n M 1)χ k og ψ n n k n(k M n k n kχ k. Disse opfylder at φ n f ψ n for alle n. Når vi tager infimum og supremum får vi, at sup φ φ n M (k 1)m( k ) φ f n k n 9
10 og inf ψ ψ n M ψ f n k n km( k ). Dermed er inf ψ f M n k n ψ sup φ ψ n φ n φ f ( k (k 1) ) m(k ) M n m(). Da n var et vilkårligt tal konkluderer vi at sup φ inf ψ. Hvis der omvendt gælder, at φ inf ψ ψ f sup φ f så kan vi for ethvert n finde simple funktioner φ n og ψ n sådan at φ n f ψ n og ψ n φ n < 1 n. Simple funktioner er målelige, og dermed er også φ sup φ og ψ inf ψ målelige. Desuden er φ f ψ. Ved at vise, at mængden { x φ (x) < ψ (x) } har mål, så ser vi at φ ψ næsten overalt. Dermed er f lig en målelig funktion næsten overalt og er derfor selv målelig. Vi kan skrive som en tællelig forening af ν, ν N, givet ved { ν x φ (x) < ψ (x) 1 }. ν For alle n er mængderne ν indeholdt i mængden (ν,n) {x φ n (x) < ψ n (x) 1/ν} hvis mål er mindre end ν/n fordi (ψ n φ n ) 1 n (ψ n φ n ) 1 (ν,n) n (ν,n) 1 ν 1 n µ( (ν,n) ) ν n. 1
11 Da dette gælder for alle n N, så får vi for n at m( ν ) for alle ν N. Da så er en tællelig forening af nulmængder er selv en nulmængde. Dermed er f φ ψ næsten overalt, og dermed målelig. Lebesgueintegral af begrænset målelig funktion For en målelig og begrænset funktion f på med m() < definerer vi Lebesgueintegralet af f over ved f inf ψ, ψ f hvor ψ varierer over alle simple funktioner der dominerer f. Lebesgueintegralet udvider Riemannintegralet Hvis f er Riemannintegrabel på [a, b] så er f målelig og Riemannintegralet har samme værdi som Lebesgueintegralet. Idet enhver trappefunktion også er en simpel funktion får vi at R b a b b b f sup φ inf ψ R f φ f a ψ f a a da supremum vokser når mængderne vokser. Da f er Riemannintegrabel, så er der lighed, og dermed er sup b a φ inf b a ψ hvilket medfører, at f er målelig. 6 Integralet af en ikke-negativ funktion Integralet af en begrænset funktion Lad f være en begrænset målelig funktion defineret på en målelig mængde med m() <, så defineres integralet af f over ved f inf ψ. ψ f Integralet af en ikke-negativ funktion Lad f være en (vilkårlig) ikkenegativ målelig funktion på en målelig mængde med m() <. Da defineres Lebesgueintegralet af f over ved f sup h, h f hvor h varierer over alle begrænsede funktioner der domineres af f. 11
12 Sætning 4.9 (Fatous lemma) Hvis {f n } er en følge af ikke-negative målelige funktioner med f n f næsten overalt på en målelig mængde med m() <, er f lim inf f n. Vi kan uden tab af generalitet antage, at f n f overalt, idet integralet ikke påvirkes af funktionsværdierne på en nulmængde. Lad h f være en begrænset funktion sådan at m( ) < hvor {x h(x) }. Sæt h n min(h, f n ). Dermed bliver h n begrænset af h og h n (x) for x. Desuden går h n mod h for alle x da f n går mod f. Vi ved fra tidligere, at integralet af begrænsede målelige funktioner konvergerer mod integralet af grænsefunktionen: h lim h n Da h n f n for alle n og, så er lim h n lim f n lim f n Tager vi nu supremum over h, så får vi at f sup h lim inf f n. h f 7 Integrable funktioner Lebesgues konvergenssætning Integralet af en ikke-negativ funktion Lad f være en ikke-negativ målelig funktion på en målelig mængde med m() <. Da defineres Lebesgueintegralet af f over ved f sup h, h f hvor h varierer over alle begrænsede funktioner der domineres af f. Definition af integrabel funktion n ikke-negativ målelig funktion f siges at være integrabel over en målelig mængde hvis f <. 12
13 Integralet af en vilkårlige funktion Lad f være en vilkårlig funktion på en målelig mængde. Hvis f + og f begge er integrable over, da definerer vi Lebesgueintegralet af f over ved f f + f. Sætning 4.9 (Fatous lemma) Se beviset på modstående side. Sætning 4.16 (Lebesgues konvergenssætning) Lad g være en integrabel funktion, og lad {f n } være en følge af målelige funktioner sådan at f n g på en målelig mængde og sådan at f n f næsten overalt. Da er funktionen f målelig, og f lim f n. Funktionen g f n er ikke-negativ, målelig og går mod g f næsten overalt. Fatous lemma giver så, at (g f ) lim inf (g f n ) lim sup (g f n ), hvor vi til sidst benyttede at limes superior altid dominerer limes inferior. Da f g er f integrabel og derfor kan integralet splittes op. Derfor er g f g lim sup f n sådan at f lim sup f n. Ser vi i stedet på funktionen g + f n, så er denne også ikke-negativ, målelig og får mod g + f næsten overalt. Så Fatous lemma giver, at (g + f ) lim inf (g + f n ) og som før kan integralet splittes op til g + f g + lim inf f n sådan at f lim sup f n. Dermed er lim sup f n f lim inf f n og ligheden følger nu af at lim inf f n lim sup f n. 13
14 Nødvendigheden af betingelserne Kravet om at f skal være begrænset i sætningen om begrænset konvergens er nødvendigt. Som modeksempel kan man for n 1 definere f n : [ 1, 1] N ved { n 1/n x 1/n, f n (x) ellers. Da er f n defineret på det begrænsede mængde [ 1, 1] men f n når n. Funktionen f opfylder at f n f punktvist for alle x [ 1, 1], men f lim f n 2. 8 Ubestemt integral absolut kontinuitet Definition af begrænset variation n funktion f defineret på et interval [a, b] siges at være af begrænset variation hvis sup f (xi ) f (x i 1 ) <. hvor der tages supremum over alle inddelinger a x < x 1 < < x n b af [a, b]. Definition af ubestemt integral Hvis f er integrabel på [a, b] da siger vi at funktionen F defineret ved F(x) x a f (t) dt. er et ubestemt integral. Funktionen F kaldes også en stamfunktion til f. Lemma 5.7 Lad f være en integrabel funktion på [a, b]. Da er stamfunktionen F defineret ved F(x) x a f (t) dt en kontinuert funktion af begrænset variation. Lad F være en stamfunktion til f på [a, b]. Proposition 4.14 siger, at der for alle ε > findes et δ > sådan, at F(b ) F(a ) b f (t) dt < ε a 14
15 når b a < δ. Dermed er F kontinuert. Vi skal også vise at F er af begrænset variation, så lad en vilkårlig inddeling a x < x 1 < < x n b være givet. Da er F(xi ) F(x i 1 ) n xi a xi xi 1 f (t) dt a xi f (t) dt x i 1 b a x i 1 f (t) dt f (t) dt <. f (t) dt Idet inddelingen var vilkårlig, så bevares uligheden når vi tager supremum over alle inddelinger af [a, b] og dermed er F af begrænset variation. Definition af absolut kontinuitet n funktion f på [a, b] er absolut kontinuert hvis der for alle ε > findes et δ >, sådan at der for enhver endelig mængde af parvis disjunkte intervaller (x i, x i ) i [a, b] gælder, at n x i x i δ f (xi ) f (x i ) ε. Man bemærker, at enhver absolut kontinuert funktion også er uniform kontinuert, idet man så blot betragter summen med ét led. Sætning 5.14 n funktion F er et ubestemt integral hvis og kun hvis F er absolut kontinuert. Vi viser kun af F er absolut kontinuert når F er et ubestemt integral, så lad F(x) x a f (t) dt x [a, b] og ε > være givet. Proposition 4.14 giver os nu et δ > sådan at der for alle målelige mængder A [a, b] gælder, at m(a) < δ f (t) dt < ε. A 15
16 For enhver endelig mængde af parvis disjunkte intervaller (x i, x i ) med forening A og m(a) < δ får vi nu, at m(a) medfører, at x i x i < δ f (t) dt A x i x i f (t) dt Dermed er F absolut kontinuert. F(x i ) F(x i) < ε. Cantorfunktionen Cantorfunktionen er et eksempel på en funktion der er uniform kontinuert men ikke absolut kontinuert. Se figur 1. Figur 1: Cantorfunktionen med otte iterationer. Cantorfunktionen er differentiabel næsten overalt med differentialkvotient konstant lig men er alligevel voksende. Dette viser, at kravet om at f skal være absolut kontinuert i lemma 5.13 ikke er overflødigt. 9 L p -rum Vi betegner mængden af alle målelige funktio- Definition af L p og f p ner f der opfylder 1 f p < med L p. For f L p lader vi f p betegne det ikke-negative reelle tal ( 1 ) 1/p f p f p. L p er et vektorrum Summen af f og g fra L p ligger også i L p. Lad f, g L p være givet med f g. Da er f + g f + g på grund af den normale trekantsulighed for reelle tal og desuden er ( ) f + g f + g p g 2 2 p g p ( ) f + g p 2 p f p + g p ( f + g )p 2 p( f p + g p) 16
17 sådan at f + g p 2 p ( f p + g p ). Dermed bliver 1 f + g p 1 2 p( f p + g p) ( 1 1 ) 2 p f p + g p <. Tilsvarende for skalarmultiplikation hvor vi for f L p og α R har at 1 1 αf p α p f p <. Sætning 6.1 (Minkowskis ulighed, 1 p ) For f, g L p med 1 p gælder, at f + g L p og f + g p f p + g p. I tilfældet p er f og g begrænsede funktioner næsten overalt, og dermed er f + g også begrænset næsten overalt så f + g L. Hvis f > f på 1 og g > g på 2, så får vi at f + g > f + g på Da 1 og 2 er nulmængder, så er 3 også en nulmængde da det er en delmængde af en nulmængde. Altså er f + g essentielt begrænset af f + g. Det mindste essentielle overtal er domineret af dette tal, så f + g f + g. I det almindelige tilfælde med 1 p < antager vi at f p α og g p β tilfældet hvor f eller g har p-norm er trivielt. Definer nu f og g ved f f α og g g β. Så er f p g p 1 da for eksempel f p p 1 f α p 1 1 α p f p 1 f p f p p 1. p Sæt λ α/(α + β), så er 1 λ β/(α + β). Vi har nu f + g p ( f + g )p (αf + βg ) p (α + β) p( ) λf + (1 λ)g p (α + β) p( p λf + (1 p ) λ)g 17
18 da funktionen t t p er konveks på [, ) for 1 p <. For en konveks funktion φ gælder nemlig, at φ ( λx + (1 λ)y ) λφ(x) + (1 λ)φ(y) for λ 1. Integrerer vi nu på begge sider og benytter linearitet af integralet, så får vi f + g p p 1 f + g p 1 (α + β) p( p λf + (1 p ) λ)g 1 1 ) (α + β) (λ p p f + (1 λ) p g (α + β) p( λ f p p + (1 λ) g p ) p (α + β) p ( f p + g p ) p. Tager vi den p-te rod på hver side får vi f + g p f p + g p. Sætning 6.2 (Minkowskis ulighed, < p < 1) For f, g L p med < p < 1 gælder, at f + g L p og f + g p f p + g p. Beviset kører præcis som i tilfældet med 1 p <, blot er funktionen t t p nu konkav. Dermed er sådan at f + g p (α + β) p( λf p + (1 λ)g p ) f + g p p 1 f + g p 1 ( f p + g p ) p, (α + β) p( p λf + (1 p ) λ)g hvorefter resultatet følger ved at tage den p-te rod på hver side. Sætning 6.4 (Hölders ulighed) Hvis p og q er ikke-negative udvidede reelle tal med 1/p + 1/q 1 og f L p og g L q, så er f g L 1 og f g f p g q. Nævnes blot, bevises ikke? 18
19 Rummet L 2 er indeholdt i L 1 Der gælder ægte inklusion, altså L 2 L 1. Da 2 er Hölderkonjugeret med sig selv så får vi for f L 2 og 1 L 2 at (f 1) f L 1. Ydermere har vi, at f (x) 1/ x ligger i L 1 men ikke i L 2 idet 1 1 1/ x dx [2 x ] 1 x 2 1/x dx [ln x] 1 x. Det viser, at L 2 L 1. mens 1 Fuldstændighed af L p -rum Vi betegner mængden af alle målelige funktio- Definition af L p og f p ner f der opfylder 1 med L p. f p < For f L p lader vi f p betegne det ikke-negative reelle tal ( 1 ) 1/p f p f p. Definition af konvergens Vi siger, at følgen {f n } konvergerer mod f i p-middel hvis f n f p. Definition af fuldstændighed Hvis enhver Cauchy-følge i et normerede vektorrum X er konvergent, da siges X at være et fuldstændigt rum. t fuldstændigt vektorrum kaldes også et Banachrum. Proposition 6.5 t normeret vektorrum X er fuldstændigt hvis og kun hvis enhver absolut summabel række er summabel, altså hvis fn < f n <. Nævnes blot, bevises ikke. Sætning 6.6 (Riesz-Fischer) L p -rummene er fuldstændige. I tilfældet p betegner f det essentielle supremum af værdimængden for f sådan at f f næsten overalt. Lad nu {f n } være en følge i L med f n <. 19
20 Da har vi at f n fn f n < næsten overalt idet undtagelsesmængden er en tællelig forening af undtagelsesmængderne {x f n (x) > f n }. Vi ser, at funktionen f n er begrænset af det endelige tal f n næsten overalt. Dermed er f n begrænset næsten overalt og ligger derfor i L. I det almindelige tilfælde med 1 p < ser vi på en følge { k } i L p med f k p M <. Definér g n ved g n f k k1 Vi har da defineret en ikke-negativ funktion hvor g n p f k p k1 f k p k1 f k p M. Da {g n (x)} er en voksende følge er den konvergent mod et udvidet reelt tal g(x) med g(x), begge ydrepunkter er mulige. Funktionen g er grænsefunktion af en række målelige funktioner (g n er målelig da den er summen af de målelige f k ) og er dermed selv målelig. Fatous lemma giver da at g p lim inf (g n ) p lim inf g n p p M p hvormed g p er integrabel sådan at g < næsten overalt. Vi definerer nu funktionen s ved f k g(x) <, s(x) k1 g(x). Når g(x) f k < er rækken f k absolut summabel, og da R er fuldstændigt er enhver absolut summabel række summabel. Funktionen s er derfor endelig overalt. Da s næsten overalt er grænsefunktionen af de målelige afsnitssummer s n givet ved s n n k1 f k er s selv målelig. Desuden er s n n f k f k g n g k1 k1 og dermed er s g og s L p. Vi mangler nu blot at vise, at den oprindelige række f k lim s n har sum s. k1 2
21 Til det formål ser vi på afstanden mellem s og s n i et punkt og får sn (x) s(x) ( p sn (x) ) + s(x) p ( g(x) + g(x) )p 2 p g(x) p. Da g p er integrabel er 2 p g p også integrabel og dermed er s n (x) s(x) p integrabel. Desuden går s n (x) s(x) p mod for næsten alle x, da s n (x) går imod s(x) undtagen på den nulmængde hvor g(x). Lebesgues konvergenssætning kan nu bruges og giver lim s n s p. n Vi har dermed at s n s p og derfor også at s n s for n. Da f k lim s n så har vi nu vist at summen har værdien s i L p. Dermed er L p fuldstændig da enhver absolut summabel række er summabel. 11 Approksimation i L p Definition af konvergens Vi siger, at følgen {f n } konvergerer mod f i p-middel hvis f n f p. Da f n f p f n p f p, så vil konvergens i p-middel medføre konvergens af p-normerne: f n p f p. Lemma 6.7 Givet f L p, 1 p < og ε > så findes der en begrænset målelig funktion f M med f M M og f f M p < ε Vi bruger lodret afskæring, og definerer f N ved N f N (x) f (x) N N < f (x), N f (x) N f (x) < N. Så er f N N og f N f næsten overalt idet f er begrænset næsten overalt fordi f L p sådan at 1 f p <. Konvergensen betyder, at f f N p og da f f N p f p hvor f er integrabel, så er f f N også integrabel. Dermed er f f N p p 1 f f N p og f N er dermed konvergent i p-middel med grænse f. Der findes derfor et M sådan at f f M p < ε. 21
22 Proposition 6.8 Givet f L p, 1 p < og ε > så findes der en trappefunktion φ sådan at f φ p < ε. Vi bruger approksimation i to trin. Først vælger vi en begrænset målelig funktion f M sådan at f f M p < ε/2. Vi ved fra tidligere (proposition 3.22) at der findes en trappefunktion φ med φ f M sådan at ( ) ε p f M φ < ε 8M 8M ε 4 undtagen på en mængde med m() δ hvor ( ε δ < 8M Vi har nu at ) p f M φ p p Dermed er 1 ( ε 4 f M φ p f M φ p + [,1] ) p ( ε + (2M) p 8M f M φ p ) p εp 4 p + ε p ( ε 4 p 2 f φ p f f M p + f M φ p ε 2 + ε 2 ε. ) p 12 Målrum og målelige funktioner Definition af et måleligt rum Vi kalder et par (X, B) for et måleligt rum når B er en σ -algebra over X. Mængder i B kaldes målelige Definition af et mål n ikke-negativ funktion µ kaldes et mål hvis den er defineret på en σ -algebra B og opfylder at µ( ) samt at ( µ i ) µ( i ) for enhver følge { i } af parvis disjunkte mængder fra B. Denne egenskab kaldes tællelig additivitet. Definition af målrum n tripel (X, B, µ) kaldes et målrum når B er en σ -algebra over X og µ er et mål på B. 22
23 Proposition 11.1 For et vilkårligt mål µ gælder, at A B µ(a) µ(b). Da vi kan skrive B som en disjunkt forening af A og B A, så er µ(b) µ(a) + µ(b A) og dermed også µ(b) µ(a). Proposition 11.2 (Kontinuitet i ) For en aftagende følge i i+1 i B med µ( 1 ) < gælder, at ( µ ) i lim µ( i ). i Da i i+1 så er µ( i ) µ( i+1 ) og dermed er følgen aftagende. Den er desuden nedad begrænset af og dermed konvergent. Vi sætter i og kan så skrive 1 som en disjunkt forening 1 ( i i+1 ). Da µ er tællelig additivt, så er µ( 1 ) µ() + µ( i i+1 ). Idet vi kan skrive i som en disjunkt forening af i i+1 og i+1, så er µ( i ) µ( i+1 ) µ( i i+1 ). Her er antagelsen om at µ( 1 ) < vigtig, da vi ellers ikke kunne trække µ( 1 ) fra. Vi får nu, at µ( 1 ) µ() + µ( i ) µ( i+1 ) µ() + µ( 1 ) lim µ( i ). i da rækken er en alternerende sum. Når µ( 1 ) trækkes fra og grænseværdien flyttes over på den anden side står resultatet der. Definition af fuldstændigt målrum t målrum (X, B, µ) siges at være fuldstændigt hvis alle delmængder af nulmængder er måleligt, altså hvis A B med B B medfører, at A B. Definition af målelig funktion n funktion f kaldes målelig hvis der for alle α R gælder, at { x f (x) > α } B. Den skarpe ulighed er ækvivalent med en blød ulighed og uligheden kan vendes. ksempelvis er {x f (x) α} komplimentærmængden til {x f (x) > α} og de vil derfor begge ligge i B hvis blot den ene gør det da B er en σ -algebra. 23
24 Proposition 11.8 Hvis µ er et fuldstændigt mål, og f g næsten overalt hvor f er en målelig funktion, så er g målelig. Vi sætter {x f (x) g(x)}, vores antagelse er, at µ(). Vi får nu { x g(x) > α } ( {x f (x) > α } { x g(x) > α } ) { x g(x) α }. Den første mængde er målelig da f er en målelig funktion, og de to sidste mængder er delmængder af og dermed begge målelige da µ er et fuldstændigt mål. 13 Integration over målrum Definition af integral af simpel funktion Hvis φ er en ikke-negativ simpel funktion, da definerer vi integralet af φ hen over en målelig mængde ved φ c i µ( i ), når φ er givet ved φ c i χ i. Definition af integral af ikke-negativ funktion Lad f være en målelig, ikke-negativ, udvidet reel funktion f fra et målrum (X, B, µ). Da definerer vi integralet af f ved f sup φ f φ, hvor φ varierer over alle simple funktioner φ f. Sætning (Fatous lemma) Lad {f n } være en følge af ikke-negative målelige funktioner i et målrum. Hvis f n går mod en funktion f næsten overalt på en mængde, så er f lim inf f n. Da funktionsværdierne på en nulmængde ikke påvirker integralet kan vi antage, at f n f overalt på. Idet f er et supremum 24
25 over alle simple funktioner φ f er det nok at vise, at φ lim inf f n for alle simple funktioner φ f. Lad derfor φ f være en vilkårlig ikke-negativ simpel funktion. Hvis φ findes der en mængde A med µ(a) hvor φ > a >, da en simpel funktion φ altid er begrænset. Vi sætter nu A n {x k n : f k (x) > a}. Da er A n en tællelig forening af målelige mængder og er derfor selv målelig. Desuden er følgen {A n } voksende da kravet k n : f k (x) > a lempes når n vokser. Da φ lim f n, så vil der for et stort nok k gælder, at f n (x) > φ(x) > a for alle n k. Dermed er A A n så der findes et A k med µ(a k ) da A A k. Da f n A n φ aµ(a n ) så er også lim f n φ. I det almindelige tilfælde hvor φ < er mængden A {x φ(x) > } målelig da φ er en målelig funktion. Da φ er begrænset af M får vi at µ(a) <. For et ε > sætter vi A n { x k n : fk (x) > (1 ε)φ(x) }. Som før, så er {A n } en voksende følge da kravet lempes når n vokser, og A A n da f n (x) bliver større end (1 ε)φ(x) når n bliver tilstrækkelig stor. Følgen {A A n } bliver så en aftagende følge med (A A n ) da A A n for store n. Sætningen om kontinuitet i siger så, at lim µ(a A n ) og vi kan derfor finde et k sådan at µ(a A n ) < ε for alle n k. For n k får vi først at f k f k (1 ε) φ. A k A k Da φ på A, så er φ A φ A A k φ+ A k φ. Idet 1 ε < 1 så får vi at f k (1 ε) (1 ε) (1 ε) A k φ ( φ ε φ (1 ε) φ φ + M A A k φ ). A A k φ Her er højresiden gjort uafhængig af k så når vi tager limes inferior på venstresiden, så gælder uligheden stadig og ( ) lim inf f n ε φ + M. 25
26 Da ε var vilkårlig, så får vi at lim inf f n φ. Vi har nu vist at lim inf f n φ for alle simple funktioner φ f. Uligheden bevares når vi tager supremum over alle simple funktioner der domineres af f, så lim inf f n sup φ. Sætning (Monoton konvergens) Lad {f n } være en følge af ikkenegative, målelige funktioner der konvergerer næsten overalt til en funktion f og antag, at f n f for alle n. Da er f lim f n. Bemærk, at der ikke er noget krav om at f n skal være en monoton følge, de skal blot være opad begrænset af f. Da f n f er f n f idet der for enhver simpel funktion φ f n gælder at φ f. Men Fatous lemma giver også, at f lim inf f n så f lim inf f n lim sup f n f og dermed er lim inf f n lim sup f n lim f n f. 14 Ydre mål µ -målelige mængder Definition af ydre mål Vi kalder en mængdefunktion µ for et ydre mål hvis den er defineret på alle delmængder af en grundmængde X, er på den tomme mængde, monoton og tællelig subadditiv: µ ( ), A B µ (A) µ (B) µ ( ) i µ ( i ). og Definition af målelig mængde Vi siger at mængden er målelig hvis der for alle A X gælder, at µ (A) µ (A ) + µ (A Ẽ). På grund af subadditiviteten er det altid nok at vise, at µ (A) µ (A ) + µ (A Ẽ). 26
27 Sætning 12.1 Mængden af µ -målelige mængder B er en σ -algebra. Da µ (A ) + µ (A ) µ ( ) + µ (A) µ (A) så er målelig. På grund af symmetrien i definitionen, så er X også målelig. Lad nu 1 og 2 være to målelig mængder. Da 2 er målelig får vi at µ (A) µ (A 2 ) + µ (A Ẽ 2 ) og da 1 er målelig, så er sådan at µ (A Ẽ 2 ) µ (A Ẽ 2 1 ) + µ (A Ẽ 2 Ẽ 1 ) µ (A) µ (A 2 ) + µ (A Ẽ 2 1 ) + µ (A Ẽ 2 Ẽ 1 ). Med omskrivningen A ( 1 2 ) (A 2 ) (A 1 Ẽ 2 ) af A ( 2 2 ) som en disjunkt forening får vi at µ (A) µ ( A ( 1 2 ) ) + µ (A Ẽ 2 Ẽ 1 ). hvor A Ẽ 1 Ẽ 2 A ( 1 2 ). Dermed er 1 2 målelig og dermed også enhver endelig forening af målelige mængder. Dette viser, at B er en algebra. Lad nu { i } være en følge af parvis disjunkte, målelige mængder. Definér G n og ved G n n i og i. Da er G n sådan at Ẽ G G n og da i j for j i er G n n n og G n Ẽ n G n 1. Da n er målelig, så fås ved induktion at µ (A G n ) µ (A G n n ) + µ (A G n Ẽ n ) µ (A n ) + µ (A G n 1 ) µ (A i ). 27
28 Mængderne G n er alle målelige da de er en endelig forening af målelige mængder. Derfor er µ (A) µ (A G n ) + µ (A G G n ). Da Ẽ G G n er A Ẽ A G G n og da A (A i ) er A specielt også en delmængde af (A i ). Vi får derfor at µ (A) µ ( n µ (A i ) + µ (A G G n ) ) (A i ) + µ (A Ẽ) µ (A ) + µ (A Ẽ). Da µ er subadditiv gælder der altid µ (A) µ (A )+µ (A Ẽ) og vi har dermed vist lighed, hvilket betyder at er målelig. 15 Carathéodorys udvidelsessætning Definition af mål på en algebra Vi kalder en ikke-negativ funktion µ defineret på en algebra A for et mål på en algebra hvis µ( ) og ( µ i ) µ( i ) når { i } er en disjunkt følge af mængder fra A med i A. Man ser, at et mål på en algebra kun adskiller sig fra et mål på en σ -algebra derved at man ikke har garanti for at en tællelig forening ligger i algebraen og derfor heller ikke kan kræve tællelig additivitet i dette tilfælde. Definition af ydre mål Som ved definitionen af det ydre Lebesguemål definerer vi µ ved µ () inf A i µ(a i ). hvor {A i } varierer over alle tællelige overdækninger af. Det kan vises, at µ er et ydre mål, altså at µ er på, monoton og tællelig subadditiv. Vi siger, at µ er frembragt af µ. Definition af A σ og A σ δ Vi betegner mængden af alle tællelige foreninger af mængder fra A med A σ. Mængden af alle tællelige fællesmængder af mængder fra A σ betegnes A σ δ. 28
29 Proposition 12.6 For ethvert ε > og A findes A A σ og B A σ δ sådan at A og B samt µ (A) µ () + ε og µ (B) µ (). Fra infimumet i definitionen af det ydre mål får vi, at der findes en følge {A i } fra A sådan at A i og µ(a i ) µ () + ε. Dermed er A A i A σ da det er en tællelig forening og A opfylder på grund af subadditiviteten at µ(a) µ(a i ) µ()+ε. Fra det vi netop har vist ved vi, at vi for ethvert n N kan finde en mængde A n A σ sådan at A n og µ(a n ) µ () + 1 n. Sæt nu B A n sådan at B R σ δ og B da A n for alle n. Så er µ () µ (B) og µ (B) µ (A n ) µ () + 1 n da B A n for alle n. Dermed er µ (B) µ () og da vi den modsatte ulighed også gælder, så er µ (B) µ (). 16 Konstruktion af produktmål Måleligt rektangel Vi kalder A B et måleligt rektangel hvis A og B er målelige mængder fra hver sin σ -algebra A og B hørende til målrummene (X, A, µ) og (Y, B, ν). Mængden af alle målelige rektangler betegnes R. Definition af semialgebra Vi kalder en mængde C for en semialgebra hvis A, B C medfører, at A B C og hvis A C medfører, at ÃA n A i hvor {A i } er en følge af parvis disjunkte mængder fra C. Mængden af alle målelige rektangler, R, og mængden af alle intervaller på R er to eksempler på en semialgebra. Definition af λ Vi definerer mængdefunktionen λ ved λ(a B) µ(a)ν(b), for A A og B B. 29
30 Lemma Lad {A i B i } være en følge af parvis disjunkte, målelige rektangler med forening A B. Da er λ(a B) λ(a i B i ). For et fastholdt x A ligger punktet (x, y) i netop ét rektangel A i B i for hvert y B idet rektanglerne er parvis disjunkte. Når y gennemløber B får vi derfor en række disjunkte mængder B i med Bi B svarende til de i hvor x A i. Da ν er et mål på B så ν tællelig additiv og derfor er ν(bi )χ Ai (x) ν(b)χ A (x). Sætningen om monoton konvergens har et korollar der nu kan bruges, da vi har en følge af begrænsede funktioner χ Ai. Vi får ( χ Ai (x) dµ) ( ) χai (x) dµ χ A (x) dµ og da χ A µ(a) så er ν(bi )µ(a i ) ν(b i )χ Ai dµ ν(bi )χ dµ Ai ν(b)χ A dµ ν(b) χ A dµ ν(b)µ(a). Udvidelse af R til R og S Da funktionen λ er tællelig additiv, så ved vi fra tidligere (Proposition 11.7) at den kan udvides til et mål på en algebra R. Fra Carathéodorys sætning får vi en udvidelse af R til en σ -algebra S hvor udvidelsen af λ bliver et fuldstændigt mål. Dette fuldstændige mål betegnes µ ν. Hvis X og Y er σ -endelige så bliver µ ν også σ -endelig. Lemma Lad være en mængde i R σ δ med (µ ν)() <. Da er funktionen g defineret ved g(x) ν( x ) målelig og g dµ (µ ν)(). X Bevises ikke, men skal bruges til beviset af lemma
31 Lemma Lad være en (µ ν)-målelig delmængde af X Y med (µ ν)() <. Så er x en ν-målelig mængde for næsten alle x og funktionen g defineret ved g(x) ν( x ) er en µ-målelig funktion defineret for næsten alle x med g dµ (µ ν)(). X Da er målelig med endeligt mål, så findes F R σ δ sådan at (µ ν)(f) (µ ν)() og F. Sæt nu G F der så er målelig da både F og er målelige. Da har endeligt mål og da µ ν er endelig additiv, så er (µ ν)(g) (µ ν)(f ) (µ ν)(f) (µ ν)(). Da og F har samme, endelige mål er (µ ν)(g). Lemma giver nu at ν(g x ) for næsten alle x og dermed er ν( x ) ν(f x ) ν(g x ) ν(f x ) også for næsten alle x. Altså er g(x) ν( x ) ν(f x ) for næsten alle x og da F R σ δ så giver lemma at g er målelig for næsten alle x. Fra samme lemma får vi at g dµ (µ ν)(f) (µ ν)(). 17 Fubini og Tonellis sætninger Sætning (Fubini) Lad (X, A, µ) og (Y, B, ν) være to fuldstændige målrum og lad f være en integrabel funktion X Y. Da er funktionen f x (y) f (x, y) defineret og integrabel for næsten alle x, funktionen x f (x, y) dν(y) Y er integrabel på X og ( ) f dν dµ X Y X Y f d(µ ν). På grund af symmetrien mellem X og Y, så fås endnu tre påstande. Hvis sætningen gælder for alle ikke-negative funktioner f, så gælder den også for f på grund af integralets linearitet. Vi kan derfor nøjes med at vise sætningen for f. 31
32 Vi ved fra lemma 12.18, at de tre påstande gælder når f er en karakteristisk funktion der forsvinder udenfor en mængde med begrænset mål. Vi har nemlig, at g(x) ν( x ) χ x dν er målelig og integrabel da lemmaet også giver, at g(x) dµ (µ ν)() hvor og X X g(x) dµ (µ ν)() X ( X Y Y ) ( ) χ x (y) dν dµ χ (x, y) dν dµ X Y χ d(µ ν). Da integralet er lineært gælder sætningen også for linearkombinationer af karakteristiske funktioner, altså for simple funktioner der forsvinder udenfor en mængde med endeligt mål. n tidligere sætning giver, at der for enhver ikke-negativ målelig funktion findes en følge {φ n } af ikke-negative simple funktioner hvor φ n f punktvist og φ n f sådan at φ n er integrabel. Dermed er (µ ν)({(x, y) φ n (x, y) }) < da φ n ellers ikke ville have endeligt integral. For fastholdt x vil (φ n ) x (y) φ n (x, y) gå punktvist mod f x (y). Funktionerne (φ n ) x er målelige for alle n da de er simple, og derfor er grænsefunktionen f x også målelig. Da f er integrabel er f begrænset næsten overalt, og derfor er også f x begrænset for næsten alle x. Så f x er integrabel på Y for næsten alle x. Sætningen om monoton konvergens kan bruges da (φ n ) x f x for alle n og giver f dν f x dν lim(φ n ) x dν Y Y Bruger vi sætningen igen får vi at ( ) ( f dν dµ lim X Y Y lim (φ n ) x dν lim Y X lim X ( 32 Y Y ) φ n dν dµ ) φ n dν dµ Y φ n dν.
33 og da sætningen gælder for simple funktioner er ( ) lim φ n dν dµ lim φ n d(µ ν) X Y X Y hvor φ n f sådan at vi ved at bruge sætningen en tredje gang får, at ( ) f dν dµ lim φ n d(µ ν) X Y X Y X Y lim φ n d(µ ν) X Y f d(µ ν). Sætning 12.2 (Tonelli) Lad (X, A, µ) og (Y, B, ν) være to σ -endelige målrum og lad f være en ikke-negativ målelig funktion på X Y. Da er f x (y) f (x, y) defineret og målelig for næsten alle x, funktionen x f (x, y) dν(y) Y er målelig og ( ) f dν dµ f d(µ ν). X Y X Y På grund af symmetrien mellem X og Y, så fås endnu tre påstande. Beviset kører på helt samme måde som beviset for Fubinis sætning, blot er f ikke længere integrabel. Men det blev også kun brugt til at argumentere for, at φ n forsvandt udenfor en mængde med endeligt mål. Når vi arbejder med to σ -endelige mål µ og ν, så er µ ν også σ -endeligt, og så siger proposition 11.7 direkte, at vi kan vælge φ n så de er udenfor en mængde med begrænset mål. 18 Weierstraß approksimationssætning Definition af tæt underrum Vi siger at A B er tæt hvis der for alle ε > og b B findes et a A så a b < ε. Det er så vigtigt at specificere den norm man måler med. ksempler på tætte underrum er Q i R med almindelig absolut værdi som norm og simple funktioner der forsvinder udenfor en mængde med endeligt mål i L p med p-middel som norm for p <. Definition af f Vi definerer f på [a, b] ved f (t). sup t [a,b] 33
34 Sætning 2.4 (Weierstraß approksimationssætning) Mængden af polynomier på [a, b] er tæt i rummet af kontinuert funktioner på [a, b], C([a, b], ). Det er nok at se på intervallet [, 1] for f er defineret på [a, b], da betragter vi blot g på [, 1] defineret ved g(x) f ((x a)/(b a)). Hvis så q er et polynomium hvor q(t) g(t) < ε for t [, 1] så er q((x a)/(b a)) et polynomium på [a, b] sådan at der for t [a, b] gælder at ( ) t a ( ) ( ) q f (t) b a t a t a q g < ε. b a b a For f på [, 1] definerer vi polynomiet p n ved p n (x) j ( ) j n f x n)( j j (1 x) n j. Da er p n højst et n te-grads polynomium. Binomialformlen giver, at 1 n (x + (1 x)) n kan skrives som 1 j ( n j ) x j (1 x) n j så når vi ganger f (x) ind på summen fås f (x) j ( ) n f (x) x j j (1 x) n j. Vi skal nu vurdere afstanden mellem f og p n ned under ε. Trekantsuligheden generaliseret til n + 1 led giver f (x) pn (x) n j ( n) j ( n f (x) f j ) x j (1 x) n j, hvor de sidste faktorer er flyttet ud fra numerisktegnet da de er positive. Summen splittes nu op i to summer S 1 og S 2 hvor x j/n δ i S 1 og x j/n > δ i S 2 for et fast δ >. Idet vi indfører betegnelsen ω δ (f ) for den maksimale oscillation af f på et interval af bredde δ givet ved ω δ (f ) sup f (x) f (x ), x,x [a,b] x x δ 34
35 så fås for S 1 S 1 j ω δ (f ) ( ) n ω δ (f ) x j j (1 x) n j j ( n j ) x j (1 x) n j ω δ (f ). Her brugte vi igen opskrivningen af 1 (x + (1 x)) n ved hjælp af binomialformlen. For S 2 vurderes f (x) f (j/n) op til 2M hvor M f f (t) for alle t [, 1]. Samtidig laver vi vurderingen for x j/n > δ ( ) ( δ δ δ x j 2 ( ( 1 ) x j ) ) 2. n δ n Vi får nu når vi trække 2M og 1/δ 2 udenfor summen ( ( 1 S 2 2M x j ) ) 2( ) n x δ n j j (1 x) n j j 2M δ 2 j Man kan vise følgende lighed j sådan at ( x j ) 2 ( ) n x n j j (1 x) n j ( x j ) 2 x j (1 x) n j x(1 x) n n S 2 2M x(1 x) δ 2 2M 1 n δ 2 4 M 2δ 2 n idet x(1 x) 1 4 på [, 1] og dermed er hele summen f (x) pn (x) S1 + S 2 ω δ (f ) + M 2δ 2 n. Da f er kontinuert på [, 1] er den også uniformt kontinuert på [, 1]. Definitionen af uniform kontinuitet giver os et δ > sådan at ω δ (f ) < ε/2 for ethvert ε >. For dette δ vælger vi nu n så stor at M/2δ 2 n < ε/2. Dermed er f (x) pn (x) ωδ (f ) + M 2δ 2 n ε 2 + ε 2 ε. Vi har nu konstrueret et polynomium der ligger ε tæt ved f og dermed er mængden af polynomier tæt i C([a, b], ). 35
36 19 Ortogonalsystemer og ortonormalbaser Definition af rum med indre produkt n funktion, : H H C kaldes et indre produkt på H hvis den for alle x, y, z H og λ C opfylder at (a) x, y y, x, (b) x + y, z x, z + y, z og x, y + z x, y + x, z, (c) λx, y λ x, y og x, λy λ x, y, (d) x, x og (e) x x, x >. Definition af norm Vi definerer ved x x, x. Det kan vises, at det giver en norm sådan at den opfylder trekantsuligheden, at x x og så videre. Da x, y x, z x y z på grund af Cauchy-Schwarz ulighed er det indre produkt kontinuert i begge variable. Regneregler for norm For x, y H fås cosinusrelationen og parallellogramloven der siger at x + y 2 x 2 + y 2 + 2R ( x, y ) x + y 2 + x y 2 2 x y 2. Definition af ortonormalsystem Vi kalder en mængde {e 1, e 2,...} i H af indbyrdes vinkelrette, normerede vektorer for et ortonormalsystem. Der skal altså gælde at e i, e j e i e j for i j og e i e i, e i 1 for alle i. Sætning 2.6 (Bessels ulighed) Lad {e n } være et ortonormalsystem i H og x H et vilkårligt element. Da gælder x 2 x, ei 2. Sætning 2.6 (Parsevals ligning) Lad {e n } være et ortonormalsystem i H og x H et vilkårligt element. Da gælder og x 2 x, ei 2 x lim n x, e i e i x, e i e i. Sætning 2.12 Lad H være et komplekst vektorrum med et indre produkt med et ortonormalsystem {e n }. Vi sætter V span{e 1, e 2,...}. Da er følgende udsagn ækvivalente: 36
37 (a) x 2 x, ei 2 for alle x H, (b) x lim n x, e i e i x, e i e i for alle x H og (c) Det mindste lukkede underrum som indeholder {e n } er lig H. Hvis H er et Hilbertrum, da medfører disse tre egenskaber at {e n } er et maksimalt ortonormalsystem. Vi beviser sætningen ved at se på et vilkårligt x H. Den første ækvivalens er givet ved Parsevals ligning. Vi viser nu at x V når x lim s n lim n x, e i e i. Vi har at s n span{e 1,..., e n } og definitionen af V er netop at den indeholder alle konvergenspunkter for følger fra V så specielt indeholder den x lim s n. For at slutte den modsatte implikation skal vi først vurdere x s n imod x y for et vilkårligt y V n. Vi får først at n s n, e i x, e j e j, e i j1 x, ej e j, e i e, ei så x s n, e i x, e i s n, e i. Derfor står x s n vinkelret på e i for alle i og da det indre produkt er lineært står x s n vinkelret på alle y V n span{e 1,..., e n }. Fra Pythagoras får vi nu at x y 2 x s n + s n y 2 j1 x s n 2 + s n y 2 x s n 2 da s n y ligger i V n. Dermed er x y x s n. Vi fører beviset kontrapositivt, sådan at vi viser at hvis en af de to første ligninger ikke holder, så er x V. Så vi antager at x lim s n. Dermed er Parsevals ligning ikke opfyldt og Bessels ulighed giver nu, at x 2 > x, ei 2 x 2 Da x s n står vinkelret på s n V n så er x, ei 2 d 2 >. x 2 lim n s n 2 lim n x s n 2 inf n x s n 2 hvor vi til sidst kunne sætte grænseværdien lig infimum da følgen er aftagende idet s n er vokser når man tager flere led med. Da vi 37
38 tager infimum over n, så er dette tal uafhængigt af n. Vi har nu at der for y V n gælder x y x s n inf n x s n d >. Dette gælder for alle n, så for y n1 gælder at x y inf n x s n d >. Dermed kan y ikke ligge i V. Vi har nu vist, at de tre først udsagn gælder for for et vilkårligt x H, dermed gælder de for alle x H. Vi mangler nu at vise, at disse udsagn sammen med fuldstændigheden af H medfører, at {e n } er et maksimalt ortonormalsystem. Antag derfor, for en modstrid, at det kan udvides til {f, e 1,...} og at denne udvidelse ikke er triviel, altså at f. Da f H så kan den udtrykkes ved hjælp af de mange e i som f 2 f, ei 2. Så {e n } kan ikke udvides. Antag nu omvendt at {e n } er et maksimalt ortonormalsystem og definer s ved s x, e i e i for et vilkårligt x H. Denne række er konvergent da H er et Hilbertrum og da det indre produkt er kontinuert på H H, så er s, e i x, e j e j, e i x, e i j1 hvilket betyder at s x e i for alle i. Hvis nu s x så er (s x)/ s x en ny vektor der står vinkelret på alle andre e i hvilket giver en modstrid da vi har antaget af {e n } er et maksimalt ortonormalsystem. Så s x og dermed har vi vist den ønskede implikation. Definition af ortonormalbasis t ortonormalsystem i et Hilbertrum kaldes en ortonormalbasis hvis det er maksimalt. 2 Sætningen om nærmeste punkt og projektionssætningen Sætning 2.16 (Nærmeste punkt) Lad M H være en lukket konveks mængde i et Hilbertrum H. Da findes præcis ét punkt y M for et 38
39 givent x H sådan at x y inf x z. z M Da x z er nedad begrænset af findes inf x z d for z M. Da d er et infimum, så findes der for ethvert n et z n M sådan at d x z n d + 1 n. Vi viser af følgen {z n } er en Cauchyfølge da at se på z n og z m for n, m N. Parallelogramloven giver nu at z n z m 2 (zn x) (z m x) 2 2 z n x z m x 2 x (zn x) + (z m x) 2 2 z n x z m x (z n + z m ) x 2 ( 2 d + 1 ) 2 ( + 2 d + 1 ) 2 4d 2 n m ( ) d + 4d 2 min(n, m) hvor vi ved næstsidste vurdering benyttede, at M er et underrum sådan at 1 2 (z n + z m ) ligger i M. Vi ser, at z n z m 2 går mod for min(n, m) hvilket betyder at {z n } er en Cauchyfølge. Da H er et Hilbertrum findes y lim z n, og da M er lukket så ligger y i M. Kontinuiteten af normen giver d x y x lim z n ( lim x z n lim d + 1 ) d, n hvilket viser, at y lim z n virkelig er det nærmeste punkt. At y er entydig vises ved et modstridsbevis. Lad y være endnu et punkt med x y d. Parallelogramloven giver igen at y y 2 (y x) (y x) 2 2 y x y x 2 (y x) + (y x) 2 2 y x y x (y + y ) x 2 2d 2 + 2d 2 4d 2 sådan at y y hvilket viser at y er entydig. 39
40 Sætning 2.17 (Projektionssætningen) Lad M H være et lukket underrum. Da er H en direkte sum af M og M sådan at ethvert x H kan skrives på entydig vis som x y + z hvor y M og z M. Lad x H være givet og lad y M være det nærmeste punkt for x i M. Da ethvert underrum er konveks, så er y valgt entydigt. Da gælder R z y, x y z M. For et vilkårligt u M fås med z u + y at R u, x y. Da det gælder for et vilkårligt u M da gælder det også for λu hvor λ C. Med λ 1 fås u, x y u, x y u, x y, hvilket viser, at x y M. Vi kan dermed skrive x H som x y + (x y) hvor y M og x y M. Denne opskrivning er entydig, thi hvis x y + z y + z med y, y M og z, z M så får vi at M y y z z M sådan at alle fire elementer ligger i M M. Men M M {} idet et element i fællesmængden opfylder at, x for alle x H, så specielt har vi at, hvilket viser at. 21 Duale rum Definition af lineær operator Vi kalder en afbilding A fra et vektorrum X til Y en lineær operator hvis den opfylder at A(αx + βy) αa(x) + βa(y) for alle x, y X og α, β R. Definition af operatornorm Hvis der for en lineær operator A findes et tal M sådan at A(x) M x for alle x X så siges A at være begrænset. Man kan vise, at begrænsethed er ensbetydende med kontinuitet. 4
41 Vi betegner det mindste sådanne M med A der så er givet ved A(x) A sup x x. Der gælder da A(x) A x. Proposition HLR 1.3 Rummet B af alle begrænsede lineære operatorer fra et vektorrum X til et vektorrum Y er selv et vektorrum. Hvis Y er fuldstændigt (et Banachrum), da er B også fuldstændigt. Propositionen bevises ikke men den skal bruges senere. Definition af duale rum Mængden af alle begrænsede lineære operatorer fra et vektorrum X til C kaldes det duale rum til X og betegnes X. Sætning FN 3.1 (Riesz-Frechet) Lad H være et komplekst Hilbertrum og definér en afbilding T x : H C for ethvert x H ved T x (y) y, x. Da er T x en kontinuert lineær operator. Afbildingen T : H H defineret ved T (x) T x giver da en afbilding af H på H der er isometrisk, surjektiv og konjugeret lineært. Dermed kan enhver lineær operator f fra et vilkårligt komplekst Hilbertrum til C skrives som f (y) y, x hvor x er entydigt bestemt ved f og f x. Det er klart at T x er lineær da det indre produkt er lineært i først variabel. Fra Cauchy-Schwarz får vi at Tx (y) Tx (y ) y y, x y y x hvor y y når y y idet normen er kontinuert. Dermed bliver T x også kontinuert. Vi viser nu de tre egenskaber for T. Først vises at T er isometrisk ved at vise, at T x er isometrisk. Cauchy-Schwarz giver at Tx (y) y, x y x for alle y H og dermed er T x x. Omvendt får vi at Tx (x) x, x x 2 T x x x T x 41
Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over
Læs mereHilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum
Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereTonelli light. Eksistensbeviset for µ ν gav målet. for G E K ved succesiv integration. Alternativ definition:
Tonelli light Eksistensbeviset for µ ν gav målet ( ) λ(g) = G (x, y)dν(y) dµ(x) for G E K ved succesiv integration. Alternativ definition: ( ) λ(g) = G (x, y)dµ(x) dν(y). Som λ(a B) = µ(a)ν(b) gælder λ(a
Læs mereSupplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at
Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn
Læs mere1.1. n u i v i, (u, v) = i=1
1.1 1. Hilbert rum 1.1. Hilbert rum og deres geometri. Definition 1.1. Et komplekst vektor rum V kaldes et indre produkt rum (eller præ-hilbert rum), når det er forsynet med en funktion (, ): V V C, som
Læs mere= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mereHilbert rum. Chapter Indre produkt rum
Chapter 4 Hilbert rum 4.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs mereProjekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet
Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Mens den 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner kom forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2. hovedsætning betydeligt
Læs mereKonvergens i L 1 -forstand. Definition af L 1 -seminorm. Topologi i pseudometrisk rum. Seminorm til norm
Definition af L 1 -seminorm Konvergens i L 1 -forstand Lad (X, E, µ) være et målrum. Husk at L(µ) er et reelt vektorrum. Vi definerer f 1 = f dµ for f L Definition En følge af funktioner f 1, f 2, L siges
Læs mereMASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 10. september Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 10. september 2018 Oversigt Relle tal Notation Tal Største og mindste element, mindste overtal og største undertal
Læs mereNoter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 3. fjerdedel
MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter
Læs mereAnalyse 1, Prøve 4 Besvarelse
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 2011 1 Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse Lad Opgave 1 (50%) M = {T R 2 T er en åben trekant} og lad A : M R være arealfunktionen, dvs.
Læs mereFunktionsrum. Kapitel 1. 1.1 Funktionsrummet L = L(X, E, µ)
Kapitel Funktionsrum. Funktionsrummet L = L(X, E, µ) For et vilkårligt målrum (X,E,µ) er mængdenl=l(x,e,µ) afµ-integrable funktioner f :X R et reelt vektorrum ifølge Theorem 7.3 i [EH]. Hvis vi indfører
Læs mereGult Foredrag Om Net
Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges
Læs mereMasterprojekt udarbejdet af Søren Naundrup Vejleder Steen Andersson
ELEMENTÆR MÅLTEORI SØREN NAUNDRUP Masterprojekt udarbejdet af Vejleder Steen Andersson Dato 19. december 2014. Indholdsfortegnelse 1. Indledning 3 2. σ-algebraer og deres egenskaber 3 2.1. Om σ-algebraer.
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mere83 - Karakterisation af intervaller
83 - Karakterisation af intervaller I denne opgave skal du bevise, at hvis A er en delmængde af R med følgende egenskab: x, y, z R : x, y A og x < z < y z A (1) så er A enten et interval eller en mængde
Læs mereBesvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03
IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos
Læs mereSupplerende note om Hilbertrum og Banachrum
Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum Jimi Lee Truelsen Om Noten Vi vil i denne note uddybe nogle af emnerne fra de første 3 apitler af [Ve] og komme med nogle eksempler. Det drejer sig især om begreberne
Læs mereFundamentale begreber fra Analysen. Introduktion. De reelle tal. Carsten Lunde Petersen
IMFUFA Carsten Lunde Petersen Fundamentale begreber fra Analysen Introduktion Disse noter udgør et meget ltreret udkik over de grundlæggende begreber i reel analyse. Noten indeholder meget lidt om det
Læs meren=1 er veldefineret for alle følger for hvilke højresiden er endelig. F.eks. tilhører følgen
2 Hilbert rum 2. Eksempler på Hilbert rum Vi skal nu først forsøge at begrunde, at de indre produkt rum af funktioner eller følger, som blev indført i Kapitel, ikke er omfattende nok til vores formål.
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mereEksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt
Læs mereMASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 7. september 2016 Formålet med MASO Integer sequences Oversigt Relle tal Notation Tal Overtal og undertal Største
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f
GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar
Læs mereHistogrammetoden For (x i, y i ) R 2, i = 1,..., n, ser vi på den gennemsnitlige
Histogrammetoden For (x i, y i ) R 2, i = 1,..., n, ser vi på den gennemsnitlige længde: z = 1 n hvor z i = xi 2 + yi 2. n z i = 1 n i=1 n i=1 x 2 i + y 2 i Indfør tabellen samt vægtene Da er a k = #{i
Læs mereDen homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereBorel-σ-algebraen. Definition (EH 1.23)
Borel-σ-algebraen Definition (EH 1.23) Borel-σ-algebraen B k på R k er σ-algebraen frembragt af de åbne mængder O k. Andre frembringersystemer for B k : De afsluttede mængder. De åbne kasser I k (k = 1,
Læs mere6.1 Reelle Indre Produkter
SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II
Læs mereEn differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby
24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 5
ANALYSE, 204, Uge 5 Afleveringsfrist for Prøve 2 er Tirsdag den 20/5 kl 0:5. Forelæsninger Tirsdag Vi går videre med Afsnit 4 om uniform konvergens af Fourierrækker, hvor hovedsætningen er Sætning 4.3.
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs merePolynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42
Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder
Læs mere[BM] Mål- og integralteori, af Christian Berg og Tage Gutmann Madsen, Københavns Universitet, 2001.
INTEGRATIONS- OG FOURIERTEORI 2. februar 2009 Oversigt nr. 1 Lærebogen for kurset er [BM] Mål- og integralteori, af Christian Berg og Tage Gutmann Madsen, Københavns Universitet, 2001. Den skulle være
Læs merePunktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013
Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Læs mereLineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger
enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )
GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mereDesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær.
er DesignMat Uge 2 er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II Efterår 2010 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge).
Læs merePotensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen
Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er
Læs merestandard normalfordelingen på R 2.
Standard normalfordelingen på R 2 Lad f (x, y) = 1 x 2 +y 2 2π e 2. Vi har så f (x, y) = 1 2π e x2 2 1 2π e y2 2, og ved Tonelli f dm 2 = 1. Ved µ(a) = A f dm 2 defineres et sandsynlighedsmål på R 2 målet
Læs mereLineær Algebra eksamen, noter
Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,
Læs mereMASO Uge 5. Topologi i euklidiske rum. Jesper Michael Møller. Uge 5. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 5 Topologi i euklidiske rum Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 5 Formålet med MASO Oversigt Åbne og afsluttede mængder Det indre, det ydre, afslutningen,
Læs merePolynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.
Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter
Læs mereIndhold. Litteratur 11
Indhold Forord ii 00-sættet 1 Opgave 1....................................... 1 Spørgsmål (a).................................. 1 Spørgsmål (b).................................. 1 Spørgsmål (c)..................................
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler
Læs mereAfgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. 2 n. n=1 2n (n + 1)2 1 = 2(n + n+1
Analyse Reeksamen 00 Rasmus Sylvester Bryder 5. august 0 Opgave Afgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. ( ) n n +3n+7 n= n + For alle n N vil
Læs mereGamle eksamensopgaver (MASO)
EO 1 Gamle eksamensopgaver (MASO) Opgave 1. (Vinteren 1990 91, opgave 1) a) Vis, at rækken er divergent. b) Vis, at rækken er konvergent. Opgave 2. (Vinteren 1990 91, opgave 2) Gør rede for at ligningssystemet
Læs mereIntegration. Frank Nasser. 15. april 2011
Integration Frank Nasser 15. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret
Læs mereSandsynlighedsteori 1.1 Uge 44.
Institut for Matematiske Fag Aarhus Universitet Den 18. oktober 2004. Sandsynlighedsteori 1.1 Uge 44. Forelæsninger: Vi afslutter foreløbigt den rene mål- og integralteori med at gennemgå afsnittet Produktmål,
Læs mereANALYSE 1. Uge 7, 4. juni juni, 2007
ANALYSE 1 Uge 7, 4. juni - 10. juni, 2007 Forelæsninger Mandag 4. juni Formålet med denne dags forelæsninger er at etablere en overgang til emnet metriske rum, hvis hovedformål er at udvide begreber som
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs mereVektorfelter langs kurver
enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote
Læs mereaf koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning
EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 6
ANALYSE 1, 2014, Uge 6 Forelæsninger Tirsdag Topologiske begreber i generelle metriske rum, dvs. begreber som åbne og afsluttede delmængder og rand af en mængde. For talrummene R k er disse begreber indført
Læs mereMM502+4 forelæsningsslides
MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Læs mere[BM] Mål- og integralteori, af Christian Berg og Tage Gutmann Madsen, Københavns Universitet, 2001.
INTEGRATIONS- OG FOURIERTEORI 31. januar 2012 Oversigt nr. 1 Lærebogen for kurset er [BM] Mål- og integralteori, af Christian Berg og Tage Gutmann Madsen, Københavns Universitet, 2001. Den skulle være
Læs mereSkriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508)
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI SYDDANSK UNIVERSITET, ODENSE Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) Mandag d. 14. januar 2007 2 timer med alle sædvanlige hjælpemidler tilladt. Opgavesættet
Læs mereFoldningsintegraler og Doobs martingale ulighed
Foldningsintegraler og Doobs martingale ulighed N.J. Nielsen Indledning I dette notat vil vi vise en sætning om foldningsintegraler, som blev benyttet trin 2 i onstrutionen af Itointegralet, gennemgå esempel
Læs mereHistogrammetoden For (x i, y i ) R 2, i = 1,..., n, ser vi på den gennemsnitlige. Histogrammetoden. Histogrammetoden.
For ( i, y i ) R 2, i =,, n, ser vi på den gennemsnitlige længde: z = n hvor z i = i 2 + yi 2 Indfør tabellen samt vægtene Da er z i = n 2 i + y 2 i a k = #{i 00z i = k}, k N 0 z ned := ν k = a k n 00kν
Læs mereLineær Algebra, TØ, hold MA3
Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet
Læs mereDesignMat Uge 11 Lineære afbildninger
DesignMat Uge Lineære afbildninger Preben Alsholm Forår 008 Lineære afbildninger. Definition Definition Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge). Afbildningen
Læs mereDette materiale er ophavsretligt beskyttet og må ikke videregives
Grundlæggende mål- og integralteori Grundlæggende mål- og integralteori Steen Thorbjørnsen Aarhus Universitetsforlag Grundlæggende mål- og integralteori Steen Thorbjørnsen og Aarhus Universitetsforlag
Læs mereKirchberger s sætning om separation af to mængder Maria Larissa Ziino
12 Formidlingsaktivitet Kirchberger s sætning om separation af to mængder Maria Larissa Ziino I denne artikel fremføres to sætninger af henholdsvis den østrigske matematiker Eduard Helly og den tyske matematiker
Læs mereMujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011
Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation
Læs mereIntegration m.h.t. mål med tæthed
Integration m.h.t. mål med tæthed Sætning (EH 11.7) Lad ν = f µ på (X, E). For alle g M + (X, E) gælder at gdν = g f dµ. Bevis: Standardbeviset: 1) indikatorfunktioner 2) simple funktioner 3) M + -funktioner.
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen. december 16 1 Numerisk integration og differentiation 1.1 Simpsons regel Antag, at vi har en funktion f på intervallet I = [a,
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mere2. Fourierrækker i en variabel
.1. Fourierrækker i en variabel I Kapitel II 7 blev der indført, dels funktionsrummene L p (X, µ) (mere udførligt skrevet L p (X, E, µ)), dels rummene L p (X, µ), der fås af L p (X, µ) ved at funktioner
Læs merez + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w
Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation
Læs mereMASO Uge 5. Topologi i euklidiske rum. Jesper Michael Møller. Uge 5. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 5 Topologi i euklidiske rum Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 5 Formålet med MASO Oversigt Åbne og afsluttede mængder Det indre, det ydre, afslutningen,
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts 2006 1 Polynomier Disse noter giver en kort introduktion til polynomier, og de fleste sætninger nævnes uden bevis. Undervejs er der forholdsvis nemme opgaver,
Læs mereSylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder
Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 4 1 enote 4 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 19 og enote 21 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier i
Læs mereJeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som
Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til
Læs mereIntegralregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement
Læs mereLidt alment om vektorrum et papir som grundlag for diskussion
Definition : vektorrum, vektorer Et vektorrum er en mængde af elementer med operationerne sum (+) og numerisk multiplikation (), så følgende regler gælder for alle a, b, c og for alle reelle tal s, t R.
Læs mereNogle grundlæggende begreber
BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element
Læs mereIntegration. Frank Villa. 8. oktober 2012
Integration Frank Villa 8. oktober 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Varians og middelværdi Normalfordelingen Susanne Ditlevsen Uge 48, tirsdag Tætheder og fordelingsfunktioner
Læs mereReeksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Reeksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål. Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt.
Læs mereBesvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 23 Besvarelse, Eksamen Analyse, 23 Opgave Lad, for n N, funktionen f n : [, ) R være givet ved NB. Trykfejl. Burde være x. f n (x)
Læs mereAffine og konvekse mængder
Kapitel 3 Affine og konvekse mængder 3.1 Affine mænger Definition 3.1 LadXvære et vektorrum. En delmængde A Xer affin hvis λ 1 x 1 +λ 2 x 2 A for alle x 1, x 2 A og λ 1,λ 2 R med λ 1 +λ 2 = 1. (3.1) Udtrykket
Læs mereProjekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable
Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses
Læs mereLineær Algebra - Beviser
Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner
Læs mereOversigt [LA] 11, 12, 13
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar
Læs mereTaylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium
Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium
Læs mereMatematisk Metode Notesamling
Matematisk Metode Notesamling Anders Bongo Bjerg Pedersen Stud.Scient, Matematisk Institut, KU 21. november 2005 Bemærkninger til noterne: Hosliggende noter er fra faget Matematisk Metode, afholdt i blok
Læs mereMM501/MM503 forelæsningsslides
MM501/MM503 forelæsningsslides uge 50, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen dx Eksempler = et udtryk, der indeholder
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier
Læs mere