Sfærisk Astronomi. Knud Erik Sørensen. Virgo

Transkript

1 Sfærisk Astronomi Knud Erik Sørensen Virgo

2 Sfærisk Astronomi Version , Knud Erik Sørensen, Virgo, Grafik: Knud Erik Sørensen.

3 Indholdsfortegnelse Forord Indledning Universet set fra Jorden... 9 Vort solsystem Hvad kan man se på himlen? Størrelsesklasser Nytten af en lille kikkert Opgaver Sfærisk trigonometri Planer og kugler Sfæriske trekanter Opgaver Ækvatorsystemet Stedbestemmelse på Jorden Horisonten Himlens rotation Ækvatorkoordinatsystemet Solens tilsyneladende bevægelse, forårspunkt og ekliptika Ekliptikakoordinater Præcession og epoker Aberration Stjernernes egenbevægelse og indbyrdes placering i rummet Vinkelmåling på himmelkuglen Brugen af stjernekortene i Almanakken Konstruktion af stjernekort ved stereografisk projektion Opgaver Horisontsystemet Horisontkoordinatsystemet Timevinkel Sammenhæng mellem stjernetid og rektascension Kulminationstidspunkter og -højder Beregning af kulminationstidspunkter... 49

4 Sammenhæng mellem horisont- og ækvatorkoordinater Stjerners halve dagbue, opgangstider og nedgangstider Korrektioner til op- og nedgangstider. Refraktion Tusmørke og lyse nætter Stjernekort med bevægelig horisont Opgaver Stjernehimlen Inddelingen af himlen i stjernebilleder Stjernernes navne Stjernebilledernes navne Hvordan lærer man stjernebillederne at kende? Opgaver Planeterne Planeternes bevægelse Elongation, konjunktion, opposition og kvadratur Omløbstider for planeter Planeternes baner. Baneelementerne Planeternes lysstyrker og faser Opgaver Kalenderen Solens bevægelse og døgnet Årets længde Den julianske kalender Den gregorianske kalender Andre kalendere Kalenderberegninger Månen og tidsregningen Påsken og øvrige helligdages placering Opgaver Månen Månen og dens bevægelse Månens faser Månens form og stilling på himlen Månen og formørkelser Solformørkelser...115

5 Måneformørkelser Opgaver Appendix 1 Nogle nyttige sammenhænge og konstanter Appendix 2 Stjernebillede contra stjernetegn Appendix 3 Regning med operatorer og udsagn Litteratur Bøger Almanakker og tidsskrifter Leksika og stjernekort Freeware almanakoplysninger og stjernekort Konverteringsprogrammer Nogle apps til smartphones og tablets Index

6 Himmelkuglens cirkler. Petrus Apianus: Cosmegraphia, 1524

7 Forord Sfærisk Astronomi er en bearbejdning af min bog fra 1986 Astronomi til Almanakbehov, som for længst er gået af handlen og nu er vanskelig at opdrive. Imidlertid efterspørges den stadig, og derfor har jeg indscannet den, lavet nye tegninger, rettet fundne fejl, revideret teksten og valgt et bedre layout end det, der var muligt for mig dengang. Bogen blev oprindeligt skrevet til brug i undervisningen i Gymnasiet og på HF, men kunne dengang og det gælder stadig også an vendes til selvstudium, i studiekredse, i folkeskolens ældste klasser, på ungdomsskoler, højskoler, osv. Til målgruppen hører også amatørastronomer. Sfærisk Astronomi giver baggrunden for de astronomiske og kalendariske oplysninger i almanakker, astronomiske håndbøger og tidsskrifter. I det følgende refereres der ofte til Almanakken, som mere udførligt hedder Københavns Universitets Almanak Skriv- og Rejse-Kalender. Det er dog ikke nogen betingelse for at kunne arbejde med nærværende bog, at man har netop denne almanak. Almanakkens data kan nu findes i mange astronomirelevante apps for smartphones og tablets, i dedikerede astronomiprogrammer og mange steder på internettet specielt vil jeg gerne pege på webstedet I bogen behandles ikke områder, der hører hjemme under astrofysik. Emner som stjerners fysiske opbygning, typer, afstande, kosmologi, rumfærd, atmosfæren, observatorier, mm. er således forbigået, og i stedet præsenteres et værktøj til beskrivelse af fænomener på himlen, som de kan opleves med ubevæbnet øje eller gennem en lille kikkert. Med bogen bygges et fundament for de mange, som kan nyde himlens skønhed og glæden ved at genkende dens stjernebilleder, planeter mm., ligesom der er forklaringer til dem, der kan undre sig over fænomener på himlen, og som kan studse over forandringer på den. Skrivemåden 12 h 12 m 12 s for 12 timer 12 minutter 12 sekunder anvendes ved rektascensionskoordinater og tidsintervaller, og af tegnemæssige grunde er målestoksforholdene i mange af tegningerne ikke korrekte. Horsens, januar 2015, Knud Erik Sørensen.

8

9 Universet set fra Jorden 1. Indledning Når man en skyfri, mørk aften kigger på himlen, ses myriader af lysende objekter, og det synlige antal for et ubevæbnet øje vokser kraftigt i den første halve time, man tilbringer i mørket. De fle ste af de lysende punkter er stjerner, stjernesystemer eller galakser. Vor egen galakse, Mælkevejen, strækker sig med sine mindst 200 milliarder stjerner som et lysende bånd tværs over himlen. Den min der om en enorm skive, som er tykkest på midten. Se figur 1.1. Astronomer klassificerer galakser efter deres form som spiral galakser, elliptiske galakser eller uregelmæssige galakser. Set med det blotte øje el- Kugleformede hobe Halo Skiven Solen kiloparsec. Solen Figur 1.1: Mælkevejens form. Figur 1.2: M31. Andromedagalaksen. Foto: NASA. 9

10 Sfærisk Astronomi ler gennem en lille kikkert optræder galakser blot som lysende punkter. Eventuelt giver en struktur sig til kende i en lille kikkert. Det gælder f.eks. for den nærmeste, den spiralfor mede Andromedagalakse, M31, dvs. nr. 31 i Messierkataloget fra Den ligger 2,5 millioner lysår fra os og kan anes med det blotte øje. Fra en stjernes dannelse til dens død er der en stadig aktivitet af fysiske og atomare processer i dens indre. Ved kontraktion fri gives potentiel energi, og ved fusion af lette grundstoffer frigives kernenergi. Disse processer bevirker udsendelse af elektromagnetisk stråling med en sammensætning, der afhænger af stjernens størrelse og alder og dermed temperatur. Disse interessante emner skal ikke behandles her, men når vi overhovedet kan se stjerner, og disse har forskellige farver, skyldes det netop den nævnte stråling. Alle stjerner, man kan se med det blotte øje fra Jorden, tilhører Mælkevejen. Den er en spiralgalakse af bjælkespiraltypen, hvor Solen ligger i en af armene, ca lysår fra centrum, se figur 1.1. Stjernerne roterer om galaksens cen trum, Solen med en rotationshastighed på omkring 225 km/s. Under denne bevægelse slæber den sine drabanter med. Inden for Mælkevejen finder vi enkeltstjerner, dobbeltstjerner, ho be og tåger. Dobbeltstjerner kan være to eller flere stjerner, der til fældigt ses i samme retning og kaldes så optiske dobbeltstjerner, og de har in tet har med hinanden at gøre. De fleste dobbeltstjerner er dog egentlige, idet stjernerne omkredser hinanden, altså bevæger sig om et fælles tyngdepunkt, bundet sammen af gravitationskræfter. Egent lige dobbeltstjerner kan være visuelle eller spektroskopiske. De visuelle kan adskilles i komponenter i en kikkert, medens de sidste kun gennem uregelmæssigheder i det udsendte lys afslører tilstede værelsen af mindst to stjerner. Man regner med, at en trediedel af alle stjerner er dobbelte eller flerdobbelte. Stjerner, der varierer i lysstyrke, kaldes variable. Det kan være formørkelsesvariable, hvor den ene stjerne regelmæs sigt dækker for den anden med et fald i lysstyrken til følge. Et velkendt eksempel er Algol i stjernebilledet Perseus. For en anden type af variable stjerner varierer lys- 10

11 1. Indledning styrken regelmæssigt på grund af pulsationer af deres varme atmosfærer. Her skal også novaerne nævnes. Det er stjerner, hvis lysstyrke pludseligt vokser på grund af udslyngning af store stofmængder til det omgi vende rum. I løbet af få timer nås et maksimum i lysstyrken, som derefter langsomt aftager til stjernen igen bliver usynlig. Mælkevejens stjerner ligger ikke jævnt fordelt. I visse retnin ger er tætheden så stor, at det ikke kan være tilfældigt, og man taler her om åbne stjernehobe, som typisk indeholder enkeltstjerner, der bevæger sig som en helhed. Disse hobe med Pleiaderne som et smukt eksempel er særdeles velegnede ob jekter til en lille prismekikkert. I andre retninger især over eller under Mælkevejens tætte ækvatorplan finder man en meget kraftig koncentration af stjerner i kugleforme de stjernehobe, se figur 1.3, som kan indeholde op mod en million stjerner. Tætheden vokser ind mod hobens centrum, hvor stjernerne ikke kan opløses i enkeltstjerner. Et smukt eksempel, som tilmed er synligt for det blotte øje, er M13 i stjernebilledet Herkules. Rummet mellem stjernerne i Mælkevejen indeholder store mængder gas og støv, kaldet interstellart stof. Hvis der i nærheden findes var me stjerner, kan strålingen fra disse bringe stoffet til at lyse. Der findes også mørke gaståger, dvs. tåger, som ikke modtager kraf tig bestråling og derfor ikke ly- Figur 1.3: Kuglehoben M13 i Herkules. Foto: NASA. 11

12 Sfærisk Astronomi ser, men måske i stedet dækker for lysende objekter. Lysende gaståger og mørke tåger befinder sig ofte tæt ved hinanden. Et smukt eksempel herpå har man i stjernebilledet Orion. Af det interstellare stof dannes nye stjerner. Vort solsystem Vores solsystem udgøres af Solen som det centrale legeme omkred set af planeter med deres måner, dværgplaneter, asteroider, kometer samt mindre klippestykker. Den almindelige massetiltrækning holder legemerne fast i en kredsbane, se Planeternes baner. Såfremt Solen var alene om at trække, ville bevægelsen foregå efter Keplers love, : Ethvert legeme bevæger sig i en ellipseformet bane med Solen i det ene brændpunkt. Bevægelsen omkring Solen foregår med konstant arealhastighed, dvs. forbindelselinien mellem Solen og legemet overstryger lige store arealer i lige store tidsrum. Forholdet mellem kvadratet på omløbstiden og kubus på middel afstanden er ens for alle legemer. Forudsætningen for ovenstående love er imidlertid ikke tilstede. Som bekendt er den almindelige massetiltrækning mellem to legemer proportional med produktet af legemernes masser og omvendt propor tional med kvadratet på afstanden mellem dem. F = G m M r 2 (1.1) hvor G = 6, Nm 2 kg -2, m og M er masserne og r afstanden. Solsystemet som helhed deltager i Mælkevejens rotation, men øn sker vi kun at beskrive bevægelsen inden for solsystemet, kan vi på grund af de store afstande se bort fra påvirkningen fra resten af universet. Men inden 12

13 1. Indledning for solsystemet må vi tage hensyn til, at ethvert legeme ud over et træk fra Solen også møder en tiltrækning fra alle andre legemer. Da over 99% af solsystemets masse er sam let i Solen, bliver der for de enkelte legemer kun små afvigelser fra ellipsebaner. Hvis et legeme består af flere dele, er det tyng depunktet for disse, som tilnærmelsevis følger en ellipsebane. Det te gælder for eksempel for det fælles tyngdepunkt for Jorden og Må nen, men også Solen og planeterne kredser om deres fælles tyngde punkt, som imidlertid ligger tæt ved solcentret. Ved en beskrivelse af Månens bevægelse i forhold til Jorden vil Keplers love igen kunne anvendes som en tilnærmelse, men denne gang bliver afvigel serne større, idet afstanden fra Månen til Solen varierer mærkbart under et måneomløb. Uregelmæssigheder af denne art omtales som per turbationer. I solsystemet er kun Solen selvlysende, så alle andre objekter lyser med tilbagekastet sollys. Planeterne er i rækkefølge regnet inde fra Solen: Merkur, Ve nus, Jorden, Mars, Jupiter, Saturn, Uranus og Neptun. Indtil 2006 blev også Pluto medtaget i planeternes række, men nu regnes den som en dværgplanet. Den fysiske opbygning af planeterne er beskrevet i Almanakken, hvor også data vedrørende masser, omløbstider, ekscentriciteter, måner, mm. findes. Mellem Mars og Jupiter findes et bælte med småplaneter, asteroi der og planetoider, der er små klippestykker med en diameter fra få km op til ca km for den største, Ceres. Ingen af dem kan ses med ubevæbnet øje. I øvrigt findes i solsystemet en del vagabonde rende stof, fra mindre klippestykker ned til mikroskopiske partik ler. Hvis disse krydser Jordens bane, vil de på grund af deres sto re hastighed ved gnidning opvarmes til glødning og i løbet af få sekunder brænde op som stjerneskud i atmosfæren. Større stykker, meteorer, kan som ildkugler nå ned til Jordens overflade. I Almanakken kan man også finde kometer omtalt og tabelleret. Hvad kan man se på himlen? Medens man i dagtimerne kun kan se Solen og eventuelt Månen byder mørket på adskillige spændende objekter. 13

14 Sfærisk Astronomi Et studium af Månen er et simpelt, men spændende projekt, hvor blot en lille prismekikkert kan mangedoble udbyttet. Månen bør føl ges i en hel periode, hvor dens fase skifter fra ny over fuld til ny. Overfladens struktur ses bedst i randzonen, terminatoren, mel lem belyst og ikke-belyst del, når Månen er i første kvarter, altså når netop halvdelen af den belyste flade vender mod Jorden. De høje partier i grænseområdet kaster da lange skygger, som giver relief. Planeterne og stjernerne studeres bedst på måneløse tidspunkter. Samtlige planeter befinder sig i et bælte på ca. 8 omkring eklip tika, se Solens tilsyneladende bevægelse, men hver planet har sit særpræg. Merkur står altid så tæt på Solen, at den kun kan ses umiddel bart efter solnedgang eller umiddelbart før solopgang. I begge til fælde så nær horisonten, at observation er vanskelig i Danmark. For Venus er observationsbetingelserne bedre, men også den kan kun ses i et begrænset tidsinterval 4 timer, når det er mest efter solnedgang eller før solopgang. Venus er efter Solen og Månen det lysstærkeste objekt, og identifikation skulle være let. Speci elt Venus faser er et interessant studium, der kan dyrkes med blot en lille kikkert. Kapitel 6 omtaler dette nærmere. Mars genkendes let på den røde farve. Det er en ydre planet og kan derfor være synlig hele natten. Den indbyrdes stilling af Jor den og Mars i deres baner er afgørende for dens lystyrke. Under gunstige betingelser kan Mars hvide polkalot ses i en lille kik kert. Jupiter og specielt dens fire store måner: Io, Europa, Ganyme des og Callisto er interessante objekter for en lille prismekik kert. Omløbstiden for Io er 1,77 døgn, medens Callisto bruger 16,7 døgn for et omløb. Figur 1.4: Jupiter og dens 4 store måner. Fotografik. 14

15 1. Indledning Saturn er især kendt for sit ringsystem, som kan være et smukt skue i en større kikkert. I en lille prismekikkert ser Saturn aflang ud, og først med en forstørrelse på ca. 50 gange ses ringene tydeligt. Hvor imponerende ringene tager sig ud, afhænger af vinklen mellem deres plan og sigtelinien. Denne vinkel har en periode på ca. 15 år. De øvrige planeter er ikke synlige for det blotte øje. Uranus kan ses som en lysende prik i en lille kikkert, hvis man da ellers kan lokalisere den! Om en planet er synlig til et givet tidspunkt, afhænger af plane tens og Jordens indbyrdes stilling i banen omkring Solen. Stjerner kan man derimod altid være sikker på at få at se, og her er alene årstiden og tidspunktet afgørende for hvilke. Som en indledning til et studium af stjernehimlen bør man lære nogle stjernebilleder at kende, så man kan orientere sig på himlen. Kapitel 5 omtaler dette nærmere. I nogen afstand, hyppigst 23 grader, fra polerne kan man opleve polarlys: nordlys henholdsvis sydlys. Det er lys, der udsendes fra de højt liggende, tynde luftlag i atmosfæren, når ladede partikler, udsendt fra Solen, indfanges og afbøjes af Jordens magnetfelt. Nordlys ses yderst sjældent i Danmark. Større er muligheden for at opleve zodiakallys, et svagt lysskær over himlen omkring Solens op- og nedgangssteder. Lyset er sollys, der spredes af de støv- og gas skyer, som befinder sig i solsystemet i eklip tikas plan. Til sidst skal ganske kortvarige fænomener nævnes. Omkring Jor den kredser et stort antal kunstige satellitter eller rumsonder. Deres bevægelse hen over himlen kan ses på grund af reflekteret sollys. Også her er en lille kikkert nyttig. Når satellitten passe rer gennem Jordens skygge, aftager dens lysstyrke, som i øvrigt også kan variere regelmæssigt på grund af satellittens rotation om egen akse. Satellitter passerer med stor regelmæssighed, se Med jævne mellemrum besøger en komet vor egn af solsystemet, men de fleste er imidlertid for lyssvage til observation med det blotte øje. En oversigt over de kortperiodiske kometer findes i Almanakken. Blandt amatørastronomer er kometjagt ikke nogen unormal be skæftigelse, og langt de fleste nye kometer findes da også af amatører. Til dette formål er en 15

16 Sfærisk Astronomi god prismekikkert et fortrinligt værktøj. Kometer forveksles let med tågepletter, men kan naturlig vis skelnes fra disse ved gentagne observationer, for i modsætning til tåger flytter kometer sig fra nat til nat. Et kig i et stjernekata log kan også ofte afsløre, at en formodet komet i virkeligheden er et velkendt himmellegeme. Det før omtalte Messierkatalog blev netop til som en liste over uklare objekter, der kunne forveksles med ko meter. Hver nat kan man opleve meteorer eller, som de også kaldes, stjerneskud. I perioder optræder meteorsværme, og tiden for disse kan findes i Almanakken. Størrelsesklasser Antallet af stjerner, som under meget gunstige forhold kan ses med det blotte øje, angives normalt til ca Nær horisonten er kun meget klare stjerner synlige, idet stjernelyset under sin lan ge, skrå vej gennem atmosfæren svækkes betydeligt. I Tycho Brahes stjernekatalog fra omkring år 1600, der er baseret på iagttagelser med det blotte øje, er der optegnet godt 1000 stjerner. Fra den græske astronom Hipparchs tid omkring 150 f.kr. har man inddelt stjerner ne i 6 størrelsesklasser, således at de lysstærkeste regnes for 1. klasse og de lyssvageste for 6. klasse. Størrelsesklassen har intet med stjernens fysiske udstrækning at gøre. Fra en stjerne af 1. størrelsesklasse modtager vi 100 gange så meget lys som fra en stjerne af 6. størrelsesklasse. Nu har man udvidet og forfinet skalaen, så den i princippet består af alle reelle tal. Til brug for definitionen af en størrelsesklasse må vi først om tale begrebet punktintensitet fra en punktformig lyskilde. Intensiteten af lyset fra en kilde er den effekt, der modtages pr. flade fra kilden. Man skal her tænke sig en meget lille, plan flade, der indholder iagttagelsespunktet og er vinkelret på retningen til lyskilden. Intensitet måles oftest i W/m 2. Intensiteten af lyset fra en punktformig lyskilde aftager med kva dratet på afstanden til kilden. 16

17 1. Indledning Ved et himmellegemes tilsyneladende størrelsesklasse, m, fra latin: magnitudo, forstås: m = konstant - 2,5 log ({I }) hvor {I } er talværdien af den fra stjernen modtagne lysintensitet. Denne definition tager hensyn til den logaritmiske sammenhæng mellem øjets følsomhed og lysintensiteten. Ved et passende valg af konstanten beholder de fra gam mel tid kendte stjerner så nogenlunde deres størrelsesangivelse. En bestemmelse af I, den modtagne effekt pr. flade, er normalt for unøjagtig til beregningsbrug, hvorfor man i stedet benytter sig af en omskrivning: I 1 I 2 = 10 0,4 ( m - m ) 2 1 (1.2) Til én størrelsesklasse svarer et intensitetsforhold på 10 0,4 = 2,512, og den relative intensitet mellem to stjerner kan bestemmes ret nøjagtigt. Med et ubevæbnet øje kan man se ned til 6. størrelsesklasse. En almindelig prismekikkert, f.eks. 8 30, gør 9. størrelsesklasse synlig, medens man med store teleskoper kan se ned til f.eks. 24. størrelsesklasse. Det skal også nævnes, at man opererer med mange slags størrel sesklasser, f.eks. størrelsesklasser m.h.t. bestemte farver. Da stjernerne befinder sig i vidt forskellige afstande fra Jorden, kan man ikke blot ved at sammenligne to stjerners størrelsesklasser få noget at vide om deres energiudsendelser. Derfor indføres begrebet absolut størrelsesklasse, M, hvor sammenligningen foretages under ens betingelser, idet man nemlig tænker sig alle stjerner flyttet til en afstand på 10 parsec, se Appendix 1. Man udregner derefter den tilsyneladende størrelsesklasse, stjernen ville have i denne standardafstand. Idet {p} er talværdien for afstanden til objektet målt i parsec, kan man vise, at sammenhængen mellem m og M er givet ved M = m log({p}) (1.3) 17

18 Sfærisk Astronomi Eksempel 1.1 De nærmeste stjerner er Navn Afstand/lysår m M Proxima Centauri 4,3 11,1 15,5 α Cen A 4,4-0,1 4,3 β Cen B 4,4 1,3 5,7 Barnards stjerne 5,9 9,5 13,3 HD ,1 7,5 10,5 Vedrørende navngivning af stjerner: se Stjernernes navne. Eksempel 1.2 De klareste stjerner er Navn m M Sirius, α CMa -1,5 1,4 Canopus, α Car -0,7-4,7 Rigil Kent, α Cen -0,1 4,3 Arcturus, α Boo -0,1-0,2 Vega, α Lyr 0,0 0,5 Capella, α Aur 0,1-0,6 Nytten af en lille kikkert Til observation af himmelobjekter er en kikkert naturligvis øn skelig, men det er slet ikke nødvendigt med en dyr, kraftig kik kert. Selv en lille kikkert er af stor værdi, men jo større kik kert des længere rækkevidde. En prismekikkert kan være glimrende til Månens overflade, planeter, stjernehobe, variable stjerner, dobbeltstjerner og tåger. En kikkerts vigtigste egenskab i denne forbindelse er at være lyssamlende. Med et ubevæbnet øje, hvor pupillens diameter maksimalt kan blive ca. 6 mm, kan man skimte objekter til 6. størrelsesklasse. 18

19 1. Indledning For små flader vinkelret på sigteretningen til en stjerne kan den modtagne effekt udregnes som intensi teten et sted på fladen ganget med fladens areal. En lille pris mekikkert mærket 7 50 forstørrer 7 gange og har en objektivdiameter på 50 mm. Alt lyset, der fra en stjerne ram mer objektivet, ledes til øjet, som således får en effektiv pu pildiameter på 50 mm. Gennem kikkerten modtager øjet derfor en effekt fra stjernen, som er ca. 70 gange større end den effekt, øjet ville modtage direkte. Forholdet mellem de to modtagearealer er nemlig (50 mm/6 mm) 2. Ved brugen af en kikkert skal man være opmærksom på, at en stor forstørrelse betyder, at man kun kan se et lille udsnit af him len. Det er så nødvendigt at holde kikkerten meget roligt, hvil ket kan være vanskeligt uden en fast montering. Nogle ideer til simple stativer for prismekikkerter samt en redegørelse for for skellige kikkerttyper findes sammen med mange andre gode råd til amatøren i f.eks. Günther D. Roth: Stjerner og Planeter. 19

20 Sfærisk Astronomi Opgaver Opgave 1.1 Udregn under antagelse af jævn cirkelbevægelse Solens omløbstid i banen omkring Mælkevejens centrum. Opgave 1.2 Antag, at Jorden befinder sig i afstanden 149,6 millioner km fra Solen, og at Månen kredser om Jorden i en cirkelbane i afstanden km. Beregn da den største og den mindste kraft, hvormed Solen trækker i Månen. Opgave 1.3 Beregn afstanden til himlens klareste stjerne. Opgave 1.4 Find Solens absolutte størrelsesklasse, M, når dens tilsyneladende størrelsesklasse er m = -26,7. Beregn den største afstand, hvorfra Solen kan ses med ubevæbnet øje. Angiv resultatet i AU, dvs. astronomiske enheder, hvilket er afstanden Jorden-Solen. Opgave 1.5 Vis, at man med en 7 50 prismekikkert kan se objekter ned til 10. størrelsesklasse. I praksis bliver det nok kun til 9. størrelsesklasse, da der ofte går en størrelsesklasse tabt som følge af lystab i de mange linseoverflader i både objektiv og okular. 20

21 Planer og kugler 2. Sfærisk trigonometri Jorden er som bekendt tilnærmelsesvis en kugle, og fra et vilkår ligt ståsted på jordoverfladen synes himlens stjerner at befinde sig på indersiden af en kugleoverflade. Vi skal derfor af hensyn til det følgende opridse terminologien og give nogle sammenhænge inden for den sfæriske geometri, altså geometrien på en kugleflade. Først betragter vi to ikke-parallelle planer i rummet, se figur 2.1. Disse vil skære hinanden i en ret linie, l s. Derefter teg ner vi i de to planer linierne l 1 og l 2 vinkelret på l s. Ved vinklen mellem planerne vil vi nu forstå vinklen mellem l 1 og l 2 eller, hvad der er det samme, vinklen mellem planernes normaler _ n 1 og _ n 2. Hvis en plan skærer en kugleoverflade, er skæringskurven altid en cirkel, se figur 2.2. Går planen gennem kuglens centrum, kaldes skæ ringskurven en storcirkel, i alle andre tilfælde en lillecirkel. En linie gennem kuglens centrum og vinkelret på den plan, der frem bringer en skæringscirkel, er n 1 n 2 v Lillecirkel P l 1 l 2 v Storcirkel l s Figur 2.1 Figur

22 Sfærisk Astronomi cirklens akse, og dennes skærings punkter med kugleoverfladen er cirklens poler. To storcirkler skærer hinanden i diametralt modsatte punkter, se figur 2.3. Ved vinklen mellem to storcirkler forstås vinklen mellem de planer, der frembringer dem, hvilket er det samme som vinklen mel lem storcirklernes akser. v A c b B a C Figur 2.3 Figur 2.4 Sfæriske trekanter Tre storcirkler deler kuglens overflade i højst otte dele. Hver af disse kaldes en sfærisk trekant. På figur 2.1 betragter vi tre kant ABC. Buestykkerne BC, CA og AB er dens sider og kaldes a, b og c. Dens vinkler er vinklerne mellem de storcirkler, der danner siderne, og såvel vinklerne som siderne måles i grader eller i radianer. I øvrigt bruges samme betegnelser som i en plan trekant. Bemærk dog nogle væsentlige forskelle: i en sfærisk trekant er vinkelsummen altid over 180, og to eller endog tre vinkler kan være rette. For en vilkårlig sfærisk trekant gælder et sæt formler. cos(a) = cos(b) cos(c) + sin(b) sin(c) cos(a) (2.1) 22

23 2. Sfærisk trigonometri sin(a) sin(b) = sin(b) sin(a) (2.2) sin(a) cos(b) = cos(b) sin(c) - sin(b) cos(c) cos(a) (2.3) Betegnelserne refererer til figur 2.4. Disse formler kaldes de sfærisktrigonometriske grundformler. Ved konsekvent bogstavombytning, f.eks. a erstattes med b, b med c, c med a og tilsvarende for vinklerne, kan man få nok to sæt formler ana loge til ovennævnte for en sfærisk trekant. Svarende til formlerne findes et sæt formler, der fremkommer ved at ombytte store og små bogsta ver og erstatte cos med -cos: cos(a) = -cos(b) cos(c) + sin(b) sin(c) cos(a) (2.4) sin(a) sin(b) = sin(b) sin(a) (2.5) sin(a) cos(b) = cos(b) sin(c) + sin(b) cos(c) cos(a) (2.6) Også her kan man få yderligere 2 sæt formler ved konsekvent bog stavombytning. To punkter, der ikke er diametralt modsatte på en kugle overflade bestemmer én og kun én storcirkel. Ved afstanden mellem to punkter på en kugleoverflade forstås den korteste strækning mel lem punkterne. Denne findes ved at følge en storcirkel gennem de to punkter. Vi kan også minde om overgangformlerne, som gælder generelt for alle vinkler v: sin(90 -v) = cos(v); sin(180 -v) = sin(v); sin(360 -v) = -sin(v) (2.7) cos(90 -v) = sin(v); cos(180 -v) = - cos(v); cos(360 -v) = cos(v) (2.8) Dise formler skal vi gøre brug af senere. 23

24 Sfærisk Astronomi Opgaver Opgave 2.1 Tegn en sfærisk trekant med to rette vinkler og en med tre rette vinkler. Tegn en sfærisk tokant! 24

25 Stedbestemmelse på Jorden 3. Ækvatorsystemet Jorden har på det nærmeste form som en kugle, men er i virkelig heden fladtrykt ved polerne på grund af sin rotation. Jorden drej er en omgang om egen akse på 23 h 56 m 04 s. Hvor denne akse skærer jordoverfladen, finder vi den geografiske nordpol henholdsvis den geografiske sydpol. Storcirklen på jordkuglen mellem de to poler udgør ækvator. På ethvert sted på jordoverfladen kan tyngdens ret ning let findes, f.eks. ved hjælp af en lodsnor, og dens retning kal des stedets vertikallinie. Planen gennem Jordens akse og vertikallinien kaldes stedets meridian. Hvis jordoverfladen havde kugleform, ville skæringskurven mellem meridian og Jorden være en stor cirkel. Vi regner i denne approksimation. Et sted på jordoverfladen er entydigt bestemt ved dets vertikallinie og kan dermed angives ved to koordinater, normalt stedets bredde, latitude, og dets længde, longitude. N Zenit A P φ Horisont b l O b Ækvator Figur 3.1 Figur

26 Sfærisk Astronomi Bredden, b, defineres som vinklen mellem vertikalen og ækvators plan, se figur 3.1. Vi skal senere se, at et steds bredde også kan udtrykkes som dets polhøjde, φ, se figur 3.2. Bredden varierer fra +90 ved nordpolen over 0 på ækvator til -90 ved sydpolen. Posi tiv bredde kaldes også nordlig og negativ bredde sydlig. Længden, l, defineres som vinklen mellem stedets meridian og meridianen for observatoriet i den engelske by Greenwich. Længder reg nes positive fra Greenwich mod øst og negative mod vest. Længder varierer hermed fra -180 over 0 til I stedet for forteg nene siges normalt østlig henholdsvis vestlig. Længder angives ofte i timer i stedet for grader, hvilket hænger sammen med, at to steders længdeforskel også er et mål for tiden mellem kulmination af samme stjerne de to steder. Afstanden fra Jordens centrum til hver af polerne er 6357 km, medens ækvatorradius er 6378 km. Horisonten Et steds vertikal skærer himmelkuglen opad i zenit og nedad i nadir. En plan vinkelret på vertikalen gennem iagttagelsesstedet er horisontplanen. Dens skæringslinje med himmelkuglen kaldes hori sonten. N I Zenit Zenit Jorden Horisont C I Horisont Nadir S Nadir Figur 3.3 Jordkuglen med en iagttager I, nadir, zenit og horisontplan. Figur 3.4 Iagttageren I som centrum for himmelkuglen. 26

27 3. Ækvatorsystemet Himlens rotation Følger man himlens udseende en stjerneklar aften, fremgår det snart, at den drejer sig om en akse gennem iagttagelsestedet og et punkt på himlen i nærheden af den klare stjerne Polaris, Nordstjernen, i stjernebilledet Lille Bjørn. Omdrejningsaksen skærer himmelkuglen i himlens nordpol og himlens sydpol. Sydpolen ligger ikke nær nogen klar stjerne. Overalt på Jorden skal man kigge i samme retning for at finde Polaris. Det må betyde, at afstandene til stjernerne er over ordentlig store sammenlignet med afstande på Jorden. Linjen, der forbinder himlens poler, kaldes verdensaksen. Himmelkuglens ækvator er storcirklen vinkelret på verdensaksen. Alle stjerner bevæger sig i cirkler, som ligger i parallelle planer parallelt med ækvator, se figur 3.5. Hver stjerne bevæger sig én gang rundt i en lillecirkel, dens døgncirkel, på 23 h 56 m 04 s. Vi antager foreløbig skønt det ikke er helt korrekt, se Præcession og epoker at alle fiksstjerner har en fast placering på himmelkuglen. Ækvatorkoordinatsystemet En stjernes deklinationscirkel er den halve storcirkel, som for binder himlens poler, og som går gennem stjernen, se figur 3.6. N N St 1 Æ St 2 Ækvator Æ Æ Ækvator F α δ S 1 Æ St 3 S Figur 3.5 S Figur

28 60 Meridian Sfærisk Astronomi Deklinationen, δ, er buen fra stjernens ækvatorpunkt, S 1, til stjernen, målt på deklinationscirklen. δ angives i grader, fra -90 til 90, idet stjerner på den sydlige halvkugle har negativ dekli nation. Man vælger derefter et fast punkt, F, forårspunktet, på himlens ækvator som udgangspunkt for en inddeling af ækva tor i 24 lige store enheder, kaldet timer. Positiv retning regnes mod øst, altså mod den daglige omdrejning. En stjernes rektascension, α, er buen på ækvator fra forårspunk tet F til stjernens ækvatorpunkt, S 1. α måles oftest i timer, minutter og sekunder. Både deklination og rektascension er uændret for fiks stjerner under den daglige omdrejning. Figur 3.7 viser et udsnit af observatorens meridian, dvs. storcirklen gennem himlens nordpol og zenit. Under sin daglige om drejning kommer en stjerne to gange til at passere meridianen, og stjernen siges da at kulminere: øvre kulmination nærmest zenit og nedre kulmination nærmest nadir. Hvis man blot siger kulmination, menes øvre kulmination, og det kan da oversættes til: står i syd. Solens og Månens kulminationstidspunkter kan aflæses for hver dag i Almanakken, hvor man også finder kulminationstidspunkter for plane terne, men kun for hver 10. dag. 90 Nordpolen Deklinationscirkel Zenith 30 Objekt N 10 Æ Æ Deklination Himlens ækvator 0 1 Rekstascension S 6 7 Figur

29 3. Ækvatorsystemet Eksempel 3.1 Himlens klareste stjerne er Sirius i stjernebilledet Store Hund, Canis Major. Stjernens epoke-2000 koordinater er α = 6 h 45 m og δ = Lad os betragte disse angi velser nærmere. Først rektascensionen: Da 360 svarer til 24 h svarer 1 h = 60 m til 15, og dermed svarer 1 m til 0,25. Om regnet til grader fås α = 101,25. Dernæst deklinationen: Det er almindeligt at dele 1 i 60 bueminutter = 60, og 1 deles igen op i 60 dele, kaldet bue sekunder, altså l = 60. Omregnet bliver deklinationen da δ = -16,72. Solens tilsyneladende bevægelse, forårspunkt og ekliptika Medens stjerners rektascension og deklination er konstante, ændrer koordinaterne for planeter, Solen og Månen sig til stadighed. Vi skal nu betragte disse himmellegemers bevægel ser nærmere. På stjernekort er ofte vist en kurve, der hedder ekliptika. Det er den bane, Solen synes at følge mellem stjernerne set fra Jorden. For hver dag i året kan vi i Almanakken finde Solens deklination ved kulmination, og da vi nu på stjernekortet har Solens bane, kan vi for hver dag finde rekt ascensionen. Solens bane mellem stjernerne kaldes som nævnt ekliptika. Eklip tikas plan, der i virkeligheden er Jordens baneplan i bevægelsen om Solen, danner en vinkel på med ækvators plan. 21. juni 21. dec. Ækvator 23. sep. Ekliptika 21. marts Solen Figur

30 Vir Lib Vir Lib Sfærisk Astronomi Det er Solens vandring på stjernehimlen, som er skyld i himlens forskellige udseender til forskellige tider af året. Vi kan jo kun se de stjerner, som er fremme, når Solen er nede! Derfor kan Solens bane mellem stjernerne naturligvis også kun bestemmes indirekte. Bevægelsen forløber gennem den såkaldte dyrekreds eller zodiak: Vædderen [=Ari], Tyren [=Tau], Tvillingerne [=Gem], Krebsen [=Can], Løven [=Leo], Jomfruen [=Vir], Vægten [=Lib], Skorpionen [=Sco], Skytten [=Sgr], Stenbuk ken [=Cap], Vandmanden [=Aqr] og Fiskene [=Psc]. Foruden disse 12 stjernebilleder passerer Solen kortvarigt gennem stjernebilledet Ophiuchus, Slangeholderen [=Oph], se figur 3.9 samt Appendix 2. Forårspunktet er det skæringspunkt mellem ekliptika og ækvator, som passeres af Solen på vej mod nordlig deklination. Ud fra for årspunktet deles ekliptika i 12 buer á 30. Buestykkerne kaldes stjernetegn og bærer de samme navne som dyrekredsens stjernebil leder. Da oldtidens astronomer for ca år siden indførte stjernetegnene, lå forårspunktet i stjernebilledet Vædderen, men et stjernetegn dækker i dag ikke det stjernebillede, det har fået navn efter, se Appendix 2. Figur 3.10 viser ekliptika og dens inddeling i stjernetegn. Disse er markeret yderst. Inderst ses de stjernebilleder, de 12 stjerne tegn nu dækker. Oph Sgr Sgr Cap Oph Sgr Sgr Cap Solen Aqr Aqr Jorden Psc Solen Psc Ari Ari Leo Leo Jorden Can Tau Can Tau Gem Gem Figur 3.9: Solens øjensynlige bevægelse og Jordens virkelige bevægelse. 30

31 3. Ækvatorsystemet 23/ Scorpius Scorpionen 23/ Libra Vægten Jomfruen 23/9 180 Virgo Jomfruen Løven 23/8 150 Leo Løven 23/7 120 Sagittarius Skytten 23/ Skorpionen Vægten Krebsen Tvillingerne Cancer Krebsen 23/6 90 Capricornus Stenbukken Skytten Gemini Tvillingerne 23/1 300 Stenbukken Fiskene Tyren Vædderen 23/5 60 Aqurius Vandmanden Vandmanden Taurus Tyren 23/2 330 Pisces Fiskene 23/3 0 Aries Vædderen 23/4 30 Figur 3.10 Ekliptikakoordinater Foruden det allerede indførte ækvatorkoordinatsystem (α, δ) er det undertiden også formålstjenligt at benytte et andet med ud gangspunkt i ekliptika. Koordinaterne kaldes her længde, λ, og bredde, β, se figur En stjernes breddecirkel er den storcirkel, der går gennem eklip tikas poler og stjernen; den skærer ekliptika i S 1. Længden, λ, er da buen på ekliptika fra forårspunktet, F, mod øst til stjernens fodpunkt, S 1. Bredden, β, er buen på breddecirklen fra S 1 til stjernen. Bredden antager værdier fra -90 til +90, fra syd til nord. I dette koordinatsystem har Solen naturligvis til sta dighed bredden 0, medens dens længde vokser fra 0 til 360 i årets løb. 31

32 Sfærisk Astronomi ENP 90 - λ NP 90 - β 90 - δ * F α Forårspunktet Solen λ δ Stjerne β S 1 Ekliptika ε Ækvator Præcession og epoker Figur 3.11 Registreres stjerners rektascensioner og deklinationer over en længere periode, ses, at disse koordinater forandrer sig på en ret uoverskuelig måde. Registrerer man derimod en stjernes længde og bredde, viser det sig, at bredden er næsten konstant, medens længden systematisk vokser med ca. 50 hvert år. Det må betyde, at forårspunktet, hvorfra længderne jo beregnes, hvert år rykker 50 mod vest i ekliptika. Da bredden ikke forandrer sig, må det være ækvators plan, som langsomt skifter stilling, dog således at hældningen mod ekliptika er uforandret. Man kan passende sammen ligne situationen med en snurretop, hvis akse danner en vinkel med lodret. Medens snurren drejer om sig selv, beskriver dens ak se en kegleflade omkring lodret. På samme måde vil verdensaksen, der er vinkelret på ækvators plan, beskrive en kegleflade om ekliptikas akse. Forklaringen på denne drejning, som kaldes præ cession, er ret kompliceret. Her skal blot nævnes, at den er et resultat af Solens og Månens træk i en roterende, fladtrykt Jor den, hvor ækvators plan ikke falder sam- 32

33 3. Ækvatorsystemet men med ekliptikas plan. På grund af en uregelmæssighed i Månens bevægelse, kommer der en periodisk forandring, nutationen, i præcessionen, og aksen be skriver da en bølgeformet kegleflade. Eftersom en stjernes koordinater altså varierer i tidens løb på grund af præcessionen, må man i tabeller over positioner altid angive til hvilket tidspunkt, positionen er gældende: Man angiver koordinaterne for en given epoke, oftest begyndelsen af året, f.eks. epoke eller standardepoken, for tiden epoke Det skal be mærkes, at man naturligvis har færdige formler at indsætte i, når der skal foretages reduktion, dvs. omregning af positioner fra et tidspunkt til et andet. Aberration og egenbevægelse er to andre årsager til ændringer i stjerners koordinater. Disse vil blive omtalt næste afsnit. Vi vender nu tilbage til konsekvenserne af præcession. Den om talte drejning af verdensaksen bevirker, at himlens nordpol flyt ter sig et lille stykke hvert år. I løbet af en periode på ca år vil alle punkter på lillecirklen i figur 3.12 blive nordpol. Om år vil nordpolen således ligge nær den klare stjerne Vega i stjernebilledet Lyren. Cassiopeja 4000 e. Kr e. kr. 0 Lille Bjørn 8000 Svanen Ekliptikas pol Dragen 4000 f. Kr Lyren Vega Hercules Figur

34 Sfærisk Astronomi Når man sammenligner navnene på de stjernebilleder, som Solen befinder sig i, med horoskopnavne for de samme dage, er der, jf. Appendix 2, en næsten systematisk uoverensstemmelse på omkring 30, der netop er det stykke, som forårspunktet har flyttet sig på 2000 år. Vædderens stjernetegn dækker nu stort set stjernebilledet Fiskene, og de øvrige himmeltegn er ligeledes forskudt en plads. I Almanakken ses, at Solen netop er i forårspunktet ved for årsjævndøgn den 21. marts. På det tidspunkt er det efterår på den sydlige halvkugle, og punktet kaldes derfor ofte i stedet Væd derpunktet og markeres med symbolet ϒ, der ligner vædderhorn. Ved midvinter, når Solen er i stjernebilledet Skytten/stjernetegnet Stenbukken og har rektascensionen 18 h, ses stjerner med α = 6 h syd ved midnat, f.eks. Orion. Ved midsommer er Solen i stjernebilledet Tvillingerne/ stjernetegnet Krebsen og har rektascension 6 h, altså ses stjerner med α = 18 h i syd ved midnat. Aberration I løbet af et år undergår en stjernes koordinater som omtalt en forandring. Beregnes forandringen i længde og bredde, og fra trækkes præcessionen og nutationen, bliver bl.a. en periodisk forandring tilbage: Retningen til enhver stjerne beskriver i årets løb en el lipse. Fænomenet kaldes den årlige aberration og er opdaget i 1725 af den engelske astronom James Bradley. Det skyldes, at Jordens hastighed ikke er helt negligibel i forhold til lysets. Lige som regndråber falder skråt fremad i regnskyens bevægelsesretning, vil lyset fra en stjerne iagttages i en retning, som danner en lille vinkel med den virkelige ret ning til stjernen. Alle stjerners aberrationsellipser har storak sen 40,9, medens lilleaksen er storaksen multipliceret med sinus af stjernens bredde. For stjerner på ekliptika udarter ellipsen, som figur 3.13 viser, til et liniestykke. Stjerner i eklipti kas poler bevægelser sig i en cirkel. Jordens daglige rotation giver anledning til den daglige aberration, der dog aldrig overstiger 0,32. 34

35 3. Ækvatorsystemet A A 4 B 3 1 B 2 4 β Solen 2 Jordens bane 3 Figur 3.13 C C 3 λ Stjernernes egenbevægelse og indbyrdes placering i rummet Det, vi ser på himlen som stjernebilleder, er oftest enkelt stjerner eller stjernesystemer, som i virkeligheden ligger langt fra hinanden. Da de enkelte stjerner bevæger sig uafhængigt, vil stjernebilledet langsomt skifte udseende. Figur 3.14 viser stjernebilledet Cassiopeia, som det ser ud nu, for år siden og om år. Stjernerne i Cassiopeia er som alle andre enkeltstjerner, vi ser på nattehimlen, beliggende i vores Mælkevej, endda i retning mod dens centrum. En stjernes egenbevægelse bevirker naturligvis også en ændring i dens koordinater. Den årlige egenbevægelse er størst for Barnards stjerne i stjernebilledet Ophiuchus med ca. 10. Kun 9 af de synlige stjerner har en egenbevægelse på over 2. Vinkelmåling på himmelkuglen Hvis man skal måle vinkelafstande på himmelkuglen uden at kræ ve den helt store nøjagtighed, kan man lave sig en skala som i figur Hvis afstanden mellem stregerne er 8,9 mm, og man holder denne skala 50 cm fra sig, f.eks. for enden af en udstrakt arm, svarer hvert afsnit netop til 1 35

36 Sfærisk Astronomi ε γ δ år β Cassiopeia α Nu ε γ β δ α lysår 700 δ ε år γ ε γ β α Solen δ β ε γ 200 α 100 δ 0 β α Figur 3.14 grad på himmelkuglen. Prøv den på Månen og bliv overrasket. Til overslag kan figur 3.15 være til stor hjælp. Såfremt stjernebilledet Orion er på himlen på observationstids punktet, kan man bruge hans bælte som målestok. De tre stjerner, som udgør dette bælte, ligger med god nøjagtighed ækvidistant og spænder tilsammen over 3. Brugen af stjernekortene i Almanakken Man kan på intet tidspunkt se hele den del af himlen, som er gengivet på et af Almanakkens kort. De er tegnet således, at man i princippet skal holde dem over hovedet med teksten nedad for at få den korrekte indbyrdes placering af stjernerne på himlen. I tabel 3 i afsnittet Om stjernkortenes anvendelse i Almanakken kan man time for time efter solnedgang 2 gange i hver måned se, hvilken rektascension, der kulminerer i syd. 36

37 3. Ækvatorsystemet , Figur 3.15 Da himlen drejer en omgang rundt på 23 h 56 m 04 s, må alle stjerner kulminere ca. 4 minutter tidligere for hver dag. På 15 døgn bliver det til en time. Anderledes sagt vokser den rektascension, der kulminerer til et bestemt klokkeslæt, med 4 m pr. døgn eller med 1 h på 15 døgn. Dette er forklaringen på opbygningen af tabellen. Eksempel 3.2 Den 26. marts kulminerer alle stjerner med rektascension 10 h kl. 22:00. Altså er Regulus i Løven at finde mod syd. Mod vest er rektascensionen 6 h mindre, altså 4 h. Her må Syvstjer nen i Tyren altså være ved at gå ned. I øst med α = 16 h finder vi Arctu rus i Bootes, medens Cepheus er i nedre kulmination i nord. Konstruktion af stjernekort ved stereografisk projektion Vi skal slutte dette kapitel af med at vise, hvordan man selv kan fremstille et stjernekort i et ønsket målestoksforhold. Vi skal benytte en metode, der kaldes stereografisk projektion. Princippet vises i figur Himmelkuglen iagttages fra dens sydpol. Gennem dens nordpol tænkes lagt en tangentplan, som himlens stjerner skal projiceres ud på ved hjælp af synslini- 37

38 Sfærisk Astronomi er. Alle punkter med samme deklination bliver projiceret i en cirkel med nordpolen som centrum. Ækvator projiceres som cirklen æ 1 æ 2. Stjerner med positiv deklination projiceres inden for og stjerner med nega tiv deklination uden for ækvator. Stereografisk projektion afbilder enhver cirkel i en cirkel. Det er således muligt også at konstruere f.eks. horisonten på simpel måde. I praksis kan man gøre følgende: Brug et stykke tegnepapir cm. Tegn i øverste venstre hjørne en cirkel med radius 6 cm forestillende himmelkuglen. Heri indlægges en vandret og en lodret diameter repræsenterende ækvator og verdensaksen. Gennem himlens nordpol tegnes en tangent, der skal svare til stjernekor tets plan. Cirkelbuen fra pol til pol deles i buer svarende til deklinationer mellem 90 og -90. Gennem sydpo- æ 2 æ Nordpol 1 s 2 45 s 1 S 1 15 Æ 1 Æ 2 S 2-30 Sydpol Figur

39 3. Ækvatorsystemet len og alle dele punkter trækkes linier til skæring med tangenten. Herved bestem mes radierne til de cirkler på stjernekortet, der går gennem punkter med samme deklination. I figur 3.17 er indtegnet en række stjernebilleder. Hvilke? En væsentlig indvending mod dette kort er, at det er tegnet alt for lille, men du bestemmer jo selv størrelsen i din udgave! Dette stjernekort vil vi forbedre i Stjernekort med bevægelig horisont, så det får en bevæge lig horisont. Kortet kan da vise, hvilken del af himmelkuglen der er synlig på et givet sted til forskellige tidspunkter Figur

40 Sfærisk Astronomi Opgaver Opgave 3.1 Stil et fotoapparat op rettet mod himlens nordpol en stjerneklar aften og lad lukkeren være åben i en time. Hvad ses på billedet? Opgave 3.2 Angiv koordinaterne for objektet i figur 3.7. Opgave 3.3 Det velkendte stjernebillede Cassiopeia, der har form som et fladt W, har epoke koordinaterne: CAS α β γ δ ε α 0 h 41 m 0 h 09 m 0 h 57 m 1 h 26 m 1 h 54 m δ Det er almindeligt at nummerere stjerner i et stjernebillede med græske bogstaver, se Stjernernes navne. Find vha. værdierne for rektascnsionen, α, og deklinationen, δ, Cassiopeia på stjer nekort I i Almanakken. Opgave 3.4 Find på et stjernekort rektascension og deklination for stjernerne i Karlsvognen. Indføj resultatet i skemaet nedenfor. Fremgangsmåden er: Rektascensionen: Læg en lineal gennem nordpolen og stjernen. Aflæs på ækvator rektascensionen, α, i timer og minutter. Deklinationen: Anbring en passer med spidsen i nordpolen. Sæt det andet ben i stjernen, og drej så passeren hen til skala linien fra Nordpolen til Forårspunktet. Aflæs deklinationen. UMa α β γ δ ε ζ η α δ 40

41 3. Ækvatorsystemet Figur 3.18: Stjernebilledet Ursus Major, Store Bjørn, fra Bayers Uranometria, 1603, det første himmelatlas, der viste alle stjerner, synlige for det blotte øje. Opgave 3.5 Udfyld for Solen følgende skema: Dato 11. jan. 11. febr. 11. mar. 11. apr. 11. maj 11. jun. α δ Dato 11. jul. 11. aug. 11. sep. 11. okt. 11. nov. 11. dec. α δ Hvilket stjernebillede befinder Solen sig i på hver af disse datoer? Sammenlign med Almanakkens oversigt over Solens længde og indgangsdage i dyrekredsens tegn. Se også Appendix 2. Er der overens stemmelse? Opgave 3.6 I hvilken retning skal man kigge 25. marts kl. 22:00 for at finde Cassiopeia? Orion? og Bootes? 41

42 Horisontkoordinatsystemet 4. Horisontsystemet Alle himmellegemer vil bevæge sig rundt i lil lecirkler parallelt med ækvator. Planeterne og de fleste stjerner Solen inclusive vil kun en del af tiden være over horisonten. Figur 4.1 viser himmelkuglen og tre himmellegemer. S 1 vil altid være over horisonten; det er cirkumpolart. S 2 vil en kort periode være under horisonten, medens S 3, der ligger på himlens ækvator, netop halvdelen af tiden vil være under horisonten. Vi har indtil nu omtalt to forskellige koordinatsystemer på him melkuglen: ækvatorsystemet (α, δ) og ekliptikasystemet (λ, β). Ingen af disse koordinater ændrer sig mærkbart for stjernerne i den daglige bevægelse hen over himlen, og desuden er de uafhængige af observationsstedet. Vi vil nu indføre et tredie koordinatsystem, hvor positioner på himlen beskrives i forhold til iagttagerens ståsted og iagttagelsestidspunktet. Figur 4.2 illustrerer ideen bag de nye koordinater, azimut og højde. Betragt dernæst figur 4.3. Ved en stjernes højdecirkel forstås storcirklen NP Meridianen S 1 S 2 Øst Kulmination Nord S 3 Syd Vest Horisonten Figur

43 4. Horisontsystemet Meridian Højde Nord Azimut Horisont Figur 4.2 gennem zenit og stjernen, St. Denne cirkel skærer horisonten i horisontpunktet, S 2. En stjernes højde, h, er buen i højdecirklen fra horisontpunktet til stjernen. Den regnes positiv fra 0 til 90 over horisonten og negativ fra 0 til -90 under horisonten. Buen StZ = 90 - h kaldes zenitdistancen. NP t Z St N φ h δ Æ S Æ F α1 S 2 Az Na Figur 4.3 SP 43

44 Sfærisk Astronomi Ved et himmellegemes azimut, Az, forstås vinklen målt langs horisonten fra observationsstedets nordretning til himmellegemets højdecirkel. Azimut regnes fra nord over øst, fra 0 til 360. Tidligere definerede man ofte azimut ud fra sydpunktet! Sættet (Az, h) bestemmer entydigt stjernens sted på himmelkuglen. Men husk både Az og h ændrer sig til stadighed! På figur 4.3 er også indtegnet vinklen mellem verdensaksen og horisontplanen. Denne vinkel er polhøjden, φ, og dermed observationsstedets geografiske bredde. En simpel måling af h og Az kan man foretage med apparatet i figur 4.4. Det består af to plader, f.eks. af træ, begge forsynet med en cirkel med gradinddeling. I centrene er der boret hul. Den ene plade, den lodrette, er desuden forsynet med en tap, så den kan anbringes vinkelret og desuden dreje sig på den anden vandrette plade. Desuden forsynes den med en viser, så dens ret ning kan aflæses på den vandrette. I centrum af den lodrette cir kel anbringes en diopter, dvs. en lineal med et fint hul i den ene ende og et trådkors i den anden. Med diopteren kan sigteret ningen til og dermed højden for en stjerne bestemmes. Ved aflæsning på den vandrette plade kan stjernens azimut bestemmes, forudsat at man kender nordret h 90 h Figur 4.4 Figur

45 4. Horisontsystemet ningen. Denne er modsat sydretningen, som kan findes ved hjælp af apparatet ved at anvende de korresponderende højders metode: Man udpeger en stjerne, som endnu ikke har kulmi neret, bestemmer dens højde og aflæser vinklen på den vandrette skive. På et tidspunkt efter at stjernen har kulmineret, antager den igen samme højde, og aflæses også denne retning på den vand rette plade, må syd befinde sig præcist midt i mellem de to aflæs te stillinger. I en snæver vending kan den omtrentlige højde bestemmes ved hjælp af en snor og en bog, se figur 4.5. Man sigter langs bogryggen mod objektet og lader samtidig lodsnoren hænge ned fra bogens øverste hjørne. Horisonten er vinkelret på lodsnoren, og højden h kan således let findes. Timevinkel Den vinkel, som en stjerne under himlens drejning har drejet sig bort fra meridianen, kaldes dens timevinkel, t. Timevinklen er lig den bue, stjernen eller dens projektion på ækvator har be skrevet siden stjernens kulmination. Timevinkler måles i grader eller oftest i timer, fra 0 til 360 eller fra 0 h til 24 h. En stjernes timevinkel vokser uafbrudt. I øvre kulmination er den 0 h, i nedre 12 h. På figur 4.3 er timevinklen også indtegnet. I det borgerlige liv baseres tidsmålingen på Solen, men astro nomerne udnytter i stedet himmelkuglens drejning. Stjernehimlen drejer en omgang på 23 h 56 m 04 s, hvilket er tiden mellem to på hinan den følgende kulminationer af f.eks. forårspunktet for samme meridian, og dette tidsinterval kaldes et stjernedøgn. Dvs. 1 stjernedøgn = 24 h stjernetid (4.1) = 23 h 56 m 04,091 s soltid = 0, soldøgn. Heraf følger 1 soldøgn = 24 h soltid (4.2) = 24 h 03 m 56,555 s = 1, stjernedøgn. 45

46 Sfærisk Astronomi Klokkeslettet efter stjernetid er pr. definition forårspunktets timevinkel. Stjernetiden betegnes med θ. Specielt betegnes stjer netiden ved soldøgnets start med θ 0. I Almanakken kan man finde stjernetiden for Københavns Observatoriums meridian ved mellem europæisk midnat, altså kl dansk normaltid, for en række datoer i årets løb. Det følgende eksempel viser, hvorledes stjernetiden beregnes til et vilkårligt tidspunkt i året for Københavns Observatorium. Eksempel 4.1 Lad os antage, at stjernetiden 8. januar kl. 00:00 er 07 h 00 m 05,9 s, og at vi ønsker at finde stjernetiden 27. januar kl. 21:30 samme sted. Den forløbne tid er 19 døgn, 21 timer og 30 minutter eller 19, soldøgn, hvilket er 19, , stjernedøgn, eller et tidsinterval på 19 stjernedøgn 22 h 48 m 26,5 s, så stjer netiden bliver 07 h 0 m 05,9 s + 22 h 48 m 26,5 s = 05 h 48 m 32,4 s. Vi vil nu i et eksempel finde stjernetiden til et givet tidspunkt på et givet sted ud fra Almanakkens tabel over stjernetider ved Københavns Observatorium. Eksempel 4.2 Lad finde stjernetiden 27. januar kl. 21:30 i Haderslev ved domkirken under forudsætning af, at stjernetiden ved Køben havns Observatorium kl. 00:00 den 8. januar er 07 h 00 m 05,9 s. Fra eksempel 4.1 ved vi, at stjernetiden ved Københavns Observatorium på dette tidspunkt er 05 h 48 m 32,4 s. I Almanakkens oversigt over danske geografiske positioner finder man, at Ha derslev Domkirke har den geografiske længde mod Kø benhavns , begge østlig længde. Længdeforskellen er , hvilket udgør 0, gange en hel omdrejning, som himlen foretager på et stjernedøgn, altså er stjernetiden 0, døgn = 0 h 12 m 21,3 s mindre end København. Den ønskede stjernetid er altså 5 h 48 m 32,4 s - 0 h 02 m 21,3 s = 5 h 36 m 11,1 s. Alle stjerner kulminerer således godt 12 minutter senere i Haderslev sammenlignet med København. 46

47 4. Horisontsystemet Sammenhæng mellem stjernetid og rektascension På figur 4.6 er St 1 og St 2 to stjerner med timevinkler t 1 og t 2 samt rektascensioner α l og α 2. Af figuren fremgår, at θ = α 1 + t 1 = α 2 + t 2 (4.3) idet begge summer er forårspunktets timevinkel. Heraf ser vi, at α 1 - α 2 = t 2 - t 1 (4.4) To stjerners rektascensionsforskel er altså lig deres forskel i timevinkel med modsat fortegn. Ved kulmination er en stjernes timevinkel 0 h. Af 4.3 ses heraf, at forårspunktets timevinkel netop er den kulminerende stjernes rektascension. Anderledes sagt: En stjernes rektascension er lig stjernetiden i det øjeblik, hvor stjernen kulminerer. NP Z St 1 St 2 t 2 N F α 2 α 1 t 1 S Na Figur 4.6 SP 47

48 Sfærisk Astronomi I Almanakken kan man finde nogle klare stjerners rektascension er. Det kan naturligvis også udtrykkes således: I Almanakken kan man aflæse stjernetiden for nogle klare stjerners kulmination. Kulminationstidspunkter og -højder En stjerne kulminerer på et givet sted to gange i døgnet, nem lig i øvre kulmination K ø, når den passerer meridianen fra øst mod vest, og i nedre kulmination, K n, når meridianen passeres fra vest mod øst, se figur 4.7 Stjernen står højest på himlen under den øvre kulmination. Specificeres kulminationen ikke, er det altid den øvre, talen er om. Ved kulmination syd for zenit er kulminationshøjden h = 90 - φ + δ. (4.5) Sker kulminationen mellem zenit og Nordpolen, er kulminationshøjden, nu udregnet fra nord h = 90 - δ + φ. (4.6) NP Z N h = φ δ K n φ δ 90 - φ K ø Æ h = 90 - φ + δ S Æ Na Figur 4.7 SP 48

49 4. Horisontsystemet Hvis døgncirklen ikke skærer horisonten, siges stjernen at være cirkumpolar, enten om den synlige pol eller om den usynlige pol. Døgncirklens eventuelle skæringspunkter med horisonten kaldes henholdsvis opgangspunkt og nedgangspunkt. Den del af døgncirklen, der ligger over horisonten, kaldes dagbuen, og den, som er under, kaldes natbuen. Den halve dagbue er så buen mellem opgangspunkt og meridian eller mellem meridian og nedgangspunkt. Beregning af kulminationstidspunkter Som vi allerede har set, kulminerer et givet objekt, når stjer netiden på stedet er lig objektets rektascension. I eksempel 4.2 så vi, hvordan vi kan finde stjernetiden på et givet sted ved hjælp af stjernetiden for Københavns Observatorium og længden fra Køben havns Observatorium i tidsmål, som kan aflæses af positionslisten i Almanakken. Denne tidsforskel angiver så, hvor meget før eller senere, objektet kulminerer på det lokale sted. Såfremt stedet ikke er medtaget i positionslisten f.eks. en udenlandsk by må man gå frem, som det også blev vist i eksemplet. Af 4.3 ses, at en stjernes timevin kel er stjernetiden minus stjernens rektascension, altså t = θ - α. (4.7) Sammenhæng mellem horisont- og ækvatorkoordinater Betragt figur 4.8. Anvendes formlerne i og på den sfæriske trekant PZS, kan sammenhængen mellem de to sæt koordinater findes. I figur 4.9 er trekanten trukket ud. sin(δ) = sin(φ) sin(h) + cos(φ) cos(h) cos(az) (4.8) cos(δ) sin(t) = - cos(h) sin(a) (4.9) cos(δ) cos(t) = cos(φ) sin(h) - sin(φ) cos(h) cos(az) (4.10) 49

50 Sfærisk Astronomi P Z N φ α h S δ t Az P t 90 - φ 90 - δ Z 360 -Az 90 - h F Na S Figur 4.8 Figur 4.9 Af disse formler kan man finde deklination og timevinkel, når høj de og azimut samt observationsstedets bredde er kendt. Ved afgørelsen af, hvilken kvadrant t ligger i, skal det bemær kes, idet cos(δ) altid er positiv, at sin(t) har samme fortegn som højre side af 4.9, medens cos(t) har samme fortegn som højre side af Det omvendte problem: at bestemme højde og azimut ud fra kend skab til ækvatorkoordinaterne samt observationsstedets bredde kan løses med følgende sæt ligninger, jf. igen og sin(h) = sin(φ) sin(δ) + cos(φ) cos(δ) cos(t) (4.11) cos(h) sin(az) = - cos(δ) sin(t) (4.12) cos(h) cos(az) = cos(φ) sin(δ) - sin(φ) cos(δ) cos(t) (4.13) Vedrørende kvadranter gælder bemærkninger analoge til ovenfor. Divideres 4.12 med 4.13, kan man få en formel, hvor tan(az) ud trykkes ved δ, φ og t. Det sidste formelsæt skal vi bruge på flere måder. Eksempel 4.3 Lad os først finde retningen til Solen 25. april kl. 14:30 set fra Horsens. 50

51 4. Horisontsystemet Af Almanakken finder man: A. Solen kulminerer 25. april kl. 12: m = 12:19. Solens timevinkel er derfor 14 h 30 m - 12 h 19 m = 2 h 11 m = 32,75. B. Solens deklination er = 13,25. C. φ Horsens = = 55,86 D. Af finder man da: h = 40,48 og Az = 223,81. Eksempel 4.4 Lad os dernæst finde retningen til Solen 25. juni kl. 10:30 set fra Horsens. Af Almanakken finder man: A. Solen kulminerer 25. juni kl. 12: m = 12:23. Solens timevinkel er 10 h 30 m - 12 h 23 m = 22 h 07 m = 331,75. Her er timevinklen reduceret til intervallet 0 h til 24 h. B. Solens deklination er = 23,38. C. φ Horsens = = 55,86. D. Af ovenstående formler finder man: h = 51,46 og Az = 135,80. Eksempel 4.5 Bestem retningen til Sirius kl. 22: marts set fra Svendborg. Først finder vi stjernetiden på observationsstedet i observationsøjeblikket, jf. eksempel 4.2. Resultatet bliver θ = 09 h 16 m. Da α Sirius = 6 h 45 m gælder: A. Timevinklen t = θ - α = 9 h 16 m - 6 h 45 m = 2 h 31 m =37,8 B. Deklinationen δ er -16,43. C. φ Svendborg = 55,06. D. Ved indsættelse i finder man h = 11,68 og Az = 216,89. Stjerners halve dagbue, opgangstider og nedgangstider En stjernes halve dagbue er stjernens timevinkel ved nedgang, hvor stjernens højde er 0. Indsættes dette i 4.11, fås 51

52 Sfærisk Astronomi sin(0) = sin(φ) sin(δ) + cos(φ) cos(δ) cos(t) hvoraf cos(t) = - tan(φ) tan(δ). (4.14) Her afhænger første led på højre side kun af observationsstedet, og det andet led kun af det observerede objekt. Eksempel 4.6 Hvor stor er Sirius halve dagbue set fra København? Af 4.14 finder man cos(t) = - tan( ) tan( ) hvoraf t = 63,9 = 4 h 16 m. Det netop beregnede resultat er 5 m mindre end det, man faktisk oplever. Det skyldes, at stjernen på grund af refraktion, se Refraktion, først ses forsvinde under horisonten, når den faktisk er 35 under horisonten. Eksempel 4.7 Hvor stor er den halve dagbue set fra København for stjernen Capella i stjernebilledet Kusken? Af 4.14 finder man, idet δ Capella = 46 00, at cos(t) = - 1,52. Da ingen t- værdier tilfredsstiller denne ligning, er stjernen cirkumpolar. Eksempel 4.8 Hvornår står Solen op i Frederikshavn 26. maj? Af Almanakkens kalendarium ses, at Solens deklination denne dag i kulminationsøjeblikket er Vi bruger denne værdi, da æn dringen på et døgn er kun 11. Indsættes dernæst i 4.14 fås, idet φ Frederikshavn = , at cos(t) = -0,6064, hvoraf t = 127,32 = 8 h 29 m, som altså er Solens halve dagbue i Frederikshavn denne dag. Af kalendariet aflæses, at Solen kulminerer i København kl. 12:07, og i Frederikshavn 8 m senere, altså kl. 12:015. Dvs. Solen står op kl. 12:15-8 h 29 m = 03:46 og går ned kl. 12: h 29 m = 20:44 Hvorfor står Solen op på næsten samme tid i Frederikshavn og København, men går ned betydeligt senere i Frederikshavn? 52

53 4. Horisontsystemet Eksempel 4.9 Opgangs- og nedgangstider kan også beregnes under anvendelse af Almanakkens tabel over dagens længde for forskellige breddegra der. Som eksempel vil vi finde dagens længde i Wien 19. fe bruar, hvor Solens deklination er = -11,20. Wien ligger på = 48,21 nordlig bredde. Af Almanakkens tabel over dagens længde finder man δ = -11 δ = -12 φ = h 28 m 10 h 18 m φ = h 20 m 10 h 18 m Vi kan nu efter lineær interpolation indføje en søjle svarende til δ = : φ = 48 φ = 49 δ = -11,20 10 h 26 m 10 h 18 m Og endelig en række svarende til φ = : φ = 48,21 δ = -11,20 10 h 24 m 19. februar kulminerer Solen kl. 12:24 i København, og da Wien ligger på østlig længde, kulminerer Solen 15 minut ter tidligere end i København. For Wien gælder så: Solen kulmi nerer kl. 12:09, den står op kl. 12:09-5 h 12 m = 06:57 og går ned kl. 12: h 12 m =17:21. Det skal bemærkes, at Wien også ligger i mellemeuropæisk tidszone, MET. Eksempel 4.10 Sjældent er man interesseret i så nøjagtige angivelser som i eksemplerne ovenfor, og da kan tabellen over daglængder være til stor hjælp. Er man f.eks. på ferie i Israel 15. januar, er det rart at kende dagens længde her. Af φ Tel Aviv = og δ Solen = ses, at dagens længde er ca. 10 h 20 m. Til sammenligning: i Danmark er den 7 h 35 m. 53

54 Kimingdalingen Sfærisk Astronomi Korrektioner til op- og nedgangstider. Refraktion Tre forhold bevirker, at de fundne tider skal korrigeres. 1. Når talen er om Solen, gælder alle i Almanakken anførte værdier for Solens centrum. Det kan være praktisk i stedet at regne med solranden, f.eks. ved opgang, nedgang og højdeangivelse. So lens diameter er omkring 32, men varierer noget. I Almanakken er Solens vinkelradius anført for den 1. i hver måned. 2. Ved højdebestemmelser skal man kende stedets horisont. På grund af Jordens krumning vil den synlige del af himmelkuglen ikke være begrænset af horisonten, men af kimingen, se figur Me dens kimingen på landjord ofte er usynlig på grund af bakker, træer og bygninger, vil den på havet ses som en fælleslinie mellem himmel og hav. 3. Refraktion. Når lys bevæger sig gennem atmosfæren, går det fra tyndere til tættere lag og brydes derfor som vist på figur Kun hvis lyset bevæger sig vinkelret på atmosfæren, altså kommer fra zenit, sker der ingen brydning. Fra alle andre retninger bliver den målte højde for stor, og man skal formindske resul tatet med refraktionsvinklen for at få det korrekte resultat. Størrelsen af refraktionsvinklen afhænger af stjernens højde og varierer lidt med både temperatur og tryk. Kor rektionen findes tabellagt som funk- Horisonten Figur

55 4. Horisontsystemet Tilsyneladende sigteretning Fra stjerne Virkelig sigteretning Atmosfære Refraktionsvinkel tion af tilsyneladende høj de, af tryk og temperatur. Ved højder over 30 kan refraktionen med stor nøjagtighed ansættes til 60 tan(90 - h ), hvor h er den observerede, altså den tilsyneladende, højde. Helt nede ved horisonten andrager refraktionen 35. Det betyder, at stjerner kan observeres, indtil de er 35 under horisonten. Solens vinkeldiameter er ca. 32. Dens øvre rand er så netop under horisonten, når den nedre ses at røre horisonten. Da refraktionen kan variere temmelig meget i nærheden af hori sonten, kan Solen se meget fladtrykt ud der. Dette gælder na turligvis også for Månen. Tusmørke og lyse nætter Figur 4.11 Øjensynlig højde Virkelig højde Når Solen går ned under horisonten, bliver det som bekendt ikke mørkt lige med det samme. Lyset aftager lidt efter lidt. Det skyl des, at Solen sender stråler op i atmosfæren; men jo længere den kommer under horisonten, fra desto højereliggende og derfor tyndere luft sker tilbagekastningen, og desto mindre lys kastes der tilbage. 55

56 Sfærisk Astronomi Når Solen er kommet 6 ned under horisonten, er mørket så vidt fremskredent, at stjerner af 1. størrelsesklasse bliver synlige. Det borgerlige tusmørke er forbi. Først når Solen er 18 under horisonten, bliver stjerner af 6. størrelsesklasse, som er de lyssvageste, der kan ses med det blotte øje, synlige. Det astronomiske tusmørke er da til ende. De lyse nætter er perioden, hvor Solen på et givet sted ikke går 18 ned under horisonten i nord. De lyse nætter starter i Danmark ved Skagen 1. maj, i Tønder 9. maj. Som en fælles dato for Danmark angives normalt 5. maj. Perioden slutter igen omkring 7. august. Af 4.11 kan varigheden af det borgerlige og det astronomiske tusmørke be regnes. I Almanakken er det borgerlige tusmørkes varighed anført for hver onsdag. Som det ses af formlen, spiller både Solens de klination og stedets bredde en rolle for varigheden. Af 4.11 får vi: sin(h) - sin(φ) sin(δ) cos(t) = (4.15) cos(φ) cos(δ) Eksempel 4.11 Vi vil finde varigheden af det borgerlige og det astronomiske tusmørke i Århus 27. februar. Indsættes i 4.15, at φ Århus = og δ Solen = -8 16, finder man følgende timevinkler for Solen: h = 0 t = 77,49 = 5 h 10 m : solnedgang. h = -6 t = 88,45 = 5 h 54 m : borgerligt tusmørke slutter. h = -18 t = 110,12 = 7 h 20 m : astronomisk tusmørke slutter. Det borgerlige tusmørke varer altså 44 m, det astronomiske varer 2 h 10 m Eksempel 4.12 Vi gentager beregningen i eksempel 4.11, men nu for 26. maj. Atter indsættes φ Århus = 56 09, men nu er δ Solen = h = 0 t = 124,95 = 8 h 20 m : solnedgang. h = -6 t = 140,70 = 9 h 23 m : borgerligt tusmørke slutter. h = -18 cos(t) <-1, der ikke opfyldes af noget t. Altså varer det borgerlige tusmørke 1 h 03 m, og vi befinder os i perioden med lyse nætter. 56

57 4. Horisontsystemet Eksempel 4.13 Ved sommersolhverv findes den nat, hvor Solen kommer det mindste antal grader ned under horisonten. Ved indsættelse i 4.15 finder man, idet vi fortsat bruger Århus som eksempel: sin(h) = sin(56 09 ) sin(23 27 ) + cos(56 09 ) cos(23 27 ) cos(180 ) h = -10,8. idet timevinklen i nedre kulmination er 12 h = 180. Altså er Solen mindre end 11 under horisonten mod nord! Stjernekort med bevægelig horisont Med brug af formel 4.11 kan vi fremstille et stjernekort med bevægelig horisont, dvs. et stjerne kort, som kan indstilles til at vise netop den del af himlen, der er synlig i et givet øjeblik på et givet sted. Et steds horisont er bestemt ved h = 0. Indsat i 4.11 giver det tan(δ) = 1 cos(t) (4.16) tan(φ) hvilket er sammenhængen mellem timevinkel og deklination for punk ter på horisonten. Stjernekortet kan nu fremstilles på følgende måde: Der anvendes tre stykker kraftigt pap. Efter anvisningerne i Konstruktion af stjernekort ved stereografisk projektion tegnes på det ene stykke et stjernekort, dækkende deklinationer fra -30 til +90. Kortet klippes til en cirkulær skive med nordpolen i centrum. På stykke nr. 2 tegnes deklinationscirkler i samme måle stoksforhold. Ved hjælp af 4.16 udregnes for hver 5. grad værdi en af deklinationen. Sammenhørende værdier af deklination og time vinkel nulpunktet for timevinklen vælges vilkårligt afsættes som støttepunkter det sidst tegnede kort. Støttepunkterne forbindes med en blød kurve. I dette kort klippes nu langs denne kurve, og man har stedets horisont. 57

58 Sfærisk Astronomi Nord 7 h 8 h 9 h 9 h 8 h 7 h 6 h 6 h 70 5 h 50 5 h Øst Vest 4 h 30 4 h 10 3 h 3 h h 2 h h 1 h 0 90 Syd Figur 4.12 Det først tegnede stjernekort lægges nu mellem det sidste stykke pap og papstykket med åbningen, således at nordpolerne dækker hinanden. Stjernekortet fastgøres med pose lukker eller noget mere solidt, så det kan dreje om himlens nordpol. Det yderste og det inderste papstykke klippes til og li mes i hjørnerne, som vist på figur På horisontkortet afsæt tes sydpunktet og timemærker til begge sider. Da kan dagbuerne aflæses direkte af kortet. Ved hjælp af Almanakkens tabel 3 stilles horisonten ind, og kortet viser da den på det tidspunkt og det sted synlige del af horisonten. Et professionelt stjernekort med bevægelig horisont kan købes mange steder, også i coatede udgaver der er velegnet til udendørs brug året rundt. 58

59 4. Horisontsystemet På kan man for et vilkårligt sted få genereret et stjernekort, hvor man selv kan vælge tidspunkt foruden en række visningsparametre, se figur Figur Skychart fra gældende for 15. december 2014 klokken i Horsens. Af visningsparametre er valgt farver, 800 pixels, konstellationslinier, konstellationsnavne og ekliptika, medens konstellationsgrænser er fravalgt. 59

60 Sfærisk Astronomi Opgaver Opgave 4.1 Aflæs af Almanakken værdien for polhøjden, altså stedets geogra fiske bredde, for Københavns Observatorium og for din by. Opgave 4.2 Navngiv de indtegnede punkter og buer på figur 4.14? N Æ NP F t Ø Z V Na Figur 4.14 St B SP A Æ S Z = Na = NP = SP = N = S = Ø = V = Æ = F = t = StZ = ÆZ = FA = ASt = NSB = BSt= NNP = Opgave 4.3 Find stjernetiden for Københavns Observatorium kl. 19:30 den 2. februar. Opgave 4.4 Beregn stjernetiden ved midnat 27. januar i Greenwich, der pr. defi nition har længden 0. 60

61 4. Horisontsystemet Opgave 4.5 Vi betragtede et sted på den nordlige halvkugle ved udledelsen af 4.5 og 4.6. Tegn en figur svarende til figur 4.7, men gældende for den sydlige halvkugle, hvor polhøjden φ regnes negativ. Gælder 4.5 og 4.6 uændret for kulminationshøjder? Opgave 4.6 Find den mindste deklination, en stjerne kan have, hvis den skal være cirkumpolar med dagbue 360 på et sted med bredden φ på den nordlige halvkugle. Find den største deklination, en stjerne må have, hvis dagbuen skal være 0. Find tilsvarende formler for et sted på den sydlige halvkugle. Opgave 4.7 Find i Almanakken den halve dagbue i København for følgende: Objekt Capella Sirius Antares Polaris Aldebaran Deneb Halv dagbue Kulminationshøjde Solen 1. jan. 1. febr. 1. mar. 1. apr. 1. maj 1. jun. Halv dagbue Kulminationshøjde Månen 30. apr. 4. maj 8. maj 12. maj 16. maj 28. maj Halv dagbue Opgave 4.8 Find kulminationstidspunk tet for Solen den 8. januar. Sted Rønne Skagen Thule Moskva Kulmi nationstidspunkt 61

62 Sfærisk Astronomi Opgave 4.9 Beregn Solens højde og azimut kl. 09:53 den 11. maj i Hjørring. Opgave 4.10 Beregn Solens kulminationshøjde i Palma, Mallorca, den 3. juli. Opgave 4.11 Find den halve dagbue for stjernen Antares i stjernebilledet Skorpionen, når δ Antares = Vælg selv et observationssted. Opgave 4.12 Beregn kulminations-, op- og nedgangstider for Solen 26. no vember i Frederikshavn. Sammenlign som i eksempel 4.8 med København. Opgave 4.13 Beregn Solens op- og nedgangstider 25. maj i Palma. Opgave 4.14 Find dagens længde i Thule og dernæst et sted på ækvator, først 15. januar og dernæst 15 juli. Sammenlign! Opgave 4.15 Find oplysninger om Solens og Månens radier, samt mindste og største afstand til dem fra Jorden. Beregn derefter de tilhø rende vinkeldiametre. Opgave 4.16 Danmarks højeste fyr var Hammeren med en flammehøjde på 91 m over havet. Beregn kimingdalingen for flammehøjden. I hvor stor afstand kunne lyset fra fyret maksimalt ses? Fyret blev nedlagt i Opgave 4.17 Kan man astronomisk set opleve lyse nætter i Paris? 62

63 4. Horisontsystemet Opgave 4.18 Find varigheden af tusmørket ved Jordens ækvator? Opgave 4.19 Beregn, hvor højt mod nord man skal rejse for at komme til et sted med midnatssol ved sommersolhverv. Hvor ligger den sydlige grænse for lyse nætter? 63

64 5. Stjernehimlen Inddelingen af himlen i stjernebilleder Allerede i forhistorisk tid begyndte mennesket at inddele him lens stjerner i billeder eller konstellationer med navne på guder, helte, fabeldyr, o.l. Under den hellenske kulturperiode blev kon stellationerne tillempet den græske sagn- og gudeverden, og vi har overtaget den græske opfattelse af himlen uden de store ændringer. Allerede Homer omtalte stjernebilledet Orion og Syvstjernen [=Pleiaderne] i stjerne billedet Tyren. Hele sagnkredse er repræsenteret ved deres hovedpersoner. På sydhimlen optræder kun få sagnfigurer, men i stedet almindelige dyr og genstande, ofte fra søfolkenes verden. Det skyldes, at disse stjernebilleder, som ikke kan ses i Europa, først har fået navne i nyere tid. Nye stjernebilleder er dog kommet til. F.eks. indførte Johannes Hevelius ( ) 10 nye stjernebilleder, af hvilke 7 stadig accepteres. Mindre held havde Julius Schiller ( ), der befolkede stjernehimlen med bibelske figurer. Dyrekredsens 12 tegn blev til de 12 apostle. Stjernernes navne Medens der til flertallet af de mange tusinde katalogiserede stjerner blot er knyttet et katalognummer, har de klareste stjerner fra gammel tid egennavne, som regel af arabisk herkomst. Et eksempel er Aldebaran, der betyder følge svend. I Bayers stjernekatalog fra 1603 indførtes en nomenklatur, som anvendes endnu: stjernerne i en konstellation betegnes ved græ ske bogstaver, normalt begyndende med α for den klareste, β for den næstklareste, osv. efterfulgt af genitivformen af konstellationens navn, oftest i forkortelse. Fra stjerne 25 og frem brugtes latinske bogstaver, først de små, dernæst de store. 64

65 5. Stjernehimlen Eksempel 5.1 Sirius = α CMa = alfa Canis Majoris Vega = α Lyr = alfa Lyrae Rigel = β Ori = beta Orionis Desværre er dette system ikke fulgt konsekvent, idet man i visse tilfælde har nummereret stjernerne efter rækkefølge i stjernebille det. Den klareste stjerne i Store Bjørn er således betegnet med epsilon. Et andet system, indført af Flamsteed ( ), tildeler stjernerne i en konstellation numre efter voksende rektascension. For variable stjerner, stjernehobe, tåger og galakser bruges et særligt navngivningssystem. Se f.eks. En international sammenslutning af astronomer IAU standardise rede i 1930 stjernebillederne, således at himlen blev delt op i 88 områder med faste grænser. Hvert område kaldes et stjernebillede. Stjernebilledernes navne Det kan være svært at få stjernerne i et stjernebillede til at danne den figur, der har givet stjernebilledet navn. Der skal f.eks. virkelig fantasi til for at få Store Bjørn til at ligne en bjørn, at få Orion til at ligne en jæger og Pegasus til at være en vinget hest. Mange af stjernebillederne repræsenterer tildragelser, som ofte fortælles i forskellige varianter, fra sagn- og gudeverdenen. Her følger nogle eksempler med enkeltstjerner og stjernebilleders navne kursiveret. Eksempel 5.2 Engang regerede kong Cepheus og dronning Cassiopeia over Aithi opien. Dronningen var meget stolt af sin datter, Andromeda, og pralede med, at hun selv og den unge prinsesse overgik alle an dre kvinder i skønhed. Dette pikerede havets nymfer, nereider ne, som overtalte havguden Poseidon [= Neptun] til at sende det frygtelige havuhyre Cetus af sted for at ødelægge landet. Kong Cepheus blev af oraklet rådet til at give Andromeda som 65

66 Sfærisk Astronomi offer gave. Han fik hende lænket til en klippe ved havet, og her lå hun nu og ventede på, at uhyret skulle komme og sluge hende. Medens alt dette skete, foregik der et interessant mord et helt andet sted. Langt mod vest boede tre troldkvinder, gorgo nerne, den ene værre end den anden, og den værste af dem hed Me dusa. Engang var hun en smuk kvinde, der efter en omfavnelse af Poseidon blev mor til den vingede hest, Pegasus. Men nu var hun hæslig med levende slanger i håret, og de hvæsede og huggede efter alle, der kom hende nær. Endnu farligere var hendes øjne. Ingen kunne møde hendes blik uden at forstenes! Helten Perseus lovede i et anfald af overmod under et gilde at dræbe den onde Medusa. Han lånte et par sko med vinger, en hat, der gjorde ham usynlig, samt en kraftig pose. Desuden pudsede han sit kobber skjold blankt, så Medusa døde af at se sit eget spejlbillede. Perseus huggede hovedet af hende og gemte det i posen. På hjem vejen hørte han den arme Andromeda jamre, og han forelskede sig straks i hende. Da havuhyret i samme øjeblik dukkede op, svin gede Perseus både sit sværd og Medusas hoved mod Figur 5.1. Perseus og Andromeda. John Flamsteed s Atlas Coelestis. 66

67 5. Stjernehimlen uhyret, som straks sank til bunds. Han befriede den lænkede prinsesse og med tilladelse fra de lykkelige forældre, Cepheus og Cassiopeia, fløj parret til Perseus eget land, hvor de siden levede lykke ligt. Eksempel 5.3 Et af himlens smukkeste stjernebilleder er Orion, som tilmed kan ses fra alle dele af jordkloden. Han var en drabelig kæmpe og jæger. Læg navnlig mærke til de tre stjerner, som sidder på skrå i hans bælte. De ligger tæt på ækvator og spænder ret nøjagtigt over 3, hvorfor de også kaldes målestokken. Tre små stjerner under hans bælte udgør sværdet. Han har en klar stjerne på hver skulder: Betelgeuse og Bellatrix, en på venstre knæ, og en på høre fod: Rigel. I hænderne har han et skjold og en kølle. Ved hans ene fod ses en flygtende Hare og ved siden af hans hunde: Store Hund med hundestjernen Sirius og Lille Hund. Om Orion fortælles mange sagn. F.eks. at han havde pralet med at kunne udrydde alle vilde dyr på Kreta, og det lykkedes for ham. Næ sten! En skorpion blev hans banemand. Da Zeus gjorde både ham og Skorpionen til stjernebilleder, blev de dog efter Orions ønske sat i passende af stand fra hinanden, så de skiftes til at være fremme på himlen. I Flamsteeds Atlas er Orion i kamp med Tyren, der har en klar stjerne yderst i hvert horn samt et rødt øje: Alde baran. Tvillingerne, Castor og Pollux kigger interesseret på. Det fortælles, at Pollux i modsætning til Castor var udøde lig. Da Castor blev dræbt, fattede olympens guder medlidenhed med Pollux og anbragte begge brødre på himmelkuglen. På Tyrens krop finder man en åben stjernehob med over 1000 stjerner, Pleia derne eller Syvstjernen. Sagnet fortæller, at Pleiaderne, 7 døtre af Pleione og Atlas, var på flugt for Orion og gemte sig på himlen. Kun seks kan ses tydeligt, for den ene skjuler sig af skam over at have hengivet sig til en dødelig mand! Eksempel 5.4 Store Bjørn med Karlsvognen, som vel er det bedst kendte af alle asterismer har sin egen historie: Callisto, datter af kong Lyakon af Arkadien, gjorde tjeneste som nymfe hos gudinden Artemis, men mishagede sin her- 67

68 Sfærisk Astronomi Figur 5.2. Orion og Tyren. John Flamsteed s Atlas Coelestis. skerinde ved at lade sig forføre af Zeus. For at beskytte Callisto for vandlede Zeus hende til en bjørn. En dag, da Zeus og Callistos søn, Arcas, var ude at jage, mødte han sin mor og skulle lige til at dræbe hende med sit spyd, da Zeus også forvandlede ham til en bjørn, greb begge i halen og slyngede dem op blandt stjernerne. Naturligvis blev halerne lidt lange af denne behand ling, og derfor har Store Bjørn og Lille Bjørn lange haler i modsætning til deres jordiske bjørneslægtninge. Den blodtørstige Lyakon blev senere forvandlet til Ulven, Lupus, et stjernebil lede på den sydlige halvkugle. Karlsvognen er en mandevogn. Lille Bjørn har som Karlsvog nen 7 stjerner, som danner en vognlignende figur, men med stan gen bøjet den modsatte vej. I ældre tid hed dette stjernebille de Kvennavagnen i modsætning til den større Karlavagnen. I Norden har der i det hele taget været 68

69 5. Stjernehimlen knyttet helt andre figurer til himlens stjerner. Orion var f.eks. her slet ikke nogen person, men en rok, Frejas rok! Det skal nævnes, at de 12 stjernebilleder, der tilsammen udgør zodiak, dyrekredsen, er af særlig betydning for astrologien, en pseudovidenskab, der ikke er andet end overtro. Hvordan lærer man stjernebillederne at kende? Vi skal nu gennemgå den del af stjernehimlen, som er synlig set fra Danmark, og under læsningen kan det være en hjælp at følge med på et stjernekort med bevægelig ho risont. Før man begynder på selve himlen, er det en god idé at have indprentet sig omridsene af de vigtigste stjernebilleder og desuden være klar over himlens stilling den pågældende aften. Skal man lære himlens billedbog at kende, kan man med fordel indde le himlen i mindre områder, indprente sig omridsene af de vigtigste stjernebilleder inden for hvert område og meget gerne som en støtte for hukommelsen læse de sagn, som knytter sig til stjernebillederne. I det føl gende holder vi os til deklinationer over -25, for stjerner med lavere deklination er hos os enten altid under horisonten eller så nær denne, at observation ikke er mulig. Stjernehimlen inddeles i 13 områder, der går på tværs af stjernebillederne, for dels dækker nogle af disse kun et lille område, og dels er deres grænser kantede og svære at finde. I omtalen af de enkelte områder er der for stjernebilleder i kantet parentes angivet det latinske navn, Bogstaverne med fed skrift bruges, når navnet forkortes. For enkeltstjerner indeholdet parentesen den astronomiske betegnelse. De 13 områder er vist siderne Detaljer vedr. de enkelte stjernebilleder kan man finde mange steder på nettet, f.eks. på Område 1: Store Bjørn Denne egn omfatter Store Bjørn [= Ursus Major] med de 7 hovedstjerner, som tilsammen udgør asterismen Karlsvognen. Mizar [= ζ-uma] er en dobbeltstjerne, der kan adskilles med en lille kikkert. Trækker man en linie 69

70 0 Luftpumpen X Bægeret Duen Mejslen Agterskibet Kompasset Store Hund Haren VIII IV Sirius 8 Rigel 9 Enhjørningen Orion Søslangen Lille Hund Procyon Betelgeuse Bellatrix Eridanus Tvillingerne Aldebaran Sextanten Regulus Krebsen Kusken Tyren Pleiaderne Pollux Castor Mira Løven Lossen Perseus 6 7 Capella Vædderen Store Bjørn Algol 1 2 L Polaris Cassiop Andro meda Fiskene D Ovnen 13 Cetus

71 Ulven Skorpionen Søslangen Skytten Vægten Ørnen Ophiuchus Slangen Ravnen Jagthundene Slangen Nordlige Krone Hercules Bjørn ille Mikroskopet Sydlige fisk Jomfruen Vandmanden Pilen Stenbukken Pegasus Bootes Cepheus Svanen Lyren - Dragen eia Den sydlige krone Altair Deneb Vega Antares Spica enebola Arcturus Formalhaut II XVI XX

72 Sfærisk Astronomi fra α-uma til γ-uma og forlænger den halvanden gang, finder man Kong Karls Hjerte, Cor Caroli [= α-cvn], en meget klar stjerne i Jagthundene [= Canes Venatici]. Stjernen er dobbelt, hvilket kan ses i en lille kikkert. Nederst i om rådet finder man Berenices lokker [= Coma Berenices]. Det er en samling svage stjerner, der dog ikke udgør en stjernehob. Område 2: Nordpolen Dette område omfatter stjernebilledet Lille Bjørn [= Ursus Minor], samt dele af Cepheus [= Cepheus], Giraffen [= Camelopardalis], Dragen [= Draco], Cassiopeia og Store Bjørn. Området indeholder kun få klare stjerner. Trækkes gennem Karlsvognens to baghjul, β-uma og α-uma, et tænkt liniestykke, som forlænges godt fem gange opad, rammer man Polarstjernen [= Polaris = α-umi]. Lille Bjørn er en noget vanskabt kopi af Store Bjørn og udgøres desuden af nogle mindre lystærke stjerner. Mellem de to Bjørne slynger Dragen en del af sin hale. Forlænges den ovenfor tænkte linie, kommer man til stjernebilledet Cepheus. Område 3: Hercules Området omfatter store dele af stjernebillederne Hercules, Boo tes [= Børnevogteren] og Dragen [= Draco] samt Den nordlige Krone [= Corona Borealis]. Mellem η-her og ζ-her finder man den nordlige halvkugles klareste kugleformede stjernehob, M13, som kan ses med det blotte øje under gunstige betingelser, men som er et flot syn i selv en lille kikkert. CrB er et lille, men karakte ristisk stjernebillede med 7 stjerner arrangeret i en halvcir kel, så de ligner et diadem. Den lysstærkeste af de syv er Gemma. I Boo skal man især bemærke den lysstærke Arcturus [= α-boo]. Man finder denne stjerne ved at forlænge halen i Store Bjørn i en blød bue. Område 4: Svanen To stjernebilleder, Svanen [= Cygnus] og Lyren [= Lyre], der også er knyttet sammen af mytologien, dominerer dette område. 72

73 5. Stjernehimlen Lyren er cirkumpolar og indeholder nordhimlens klareste stjerne Vega [= α-lyr], en karakteristisk stjerne på sommernattens himmel. Med udgangspunkt i Karlsvognen finder man Lyren på en linie gennem de to forreste hjul, γ-uma og δ-uma. Sammen med Polarstjernen og Arcturus danner Vega en ligesidet trekant. Nær Vega finder man ε-lyr, et tredobbelt stjernesystem, der en mørk nat kan ses som en dobbeltstjerne med det blotte øje. Mellem β-lyr og γ-lyr ses den kendte ringtåge. En mellemstor kikkert er dog påkrævet. Svanefigurens bagerste stjerne er den lysstærke Deneb [= α-cyg], der sidder netop der, hvor Mælkevejen deler sig. I Svanens anden ende møder vi Albireo [= β-cyg], en smuk dobbelt stjerne, hvor komponenterne ses med forskellige farver med en lysstærk del af Mælkevejen som baggrund. Sammen med Altair [= α-aql] i Ørnen udgør Vega og Deneb den såkaldte sommertrekant, en markant asterisme på en lys sommerhimmel. Område 5: Cassiopeia Området udgøres af Cassiopeia, Andromeda og en del af Pegasus. Cassiopeia danner et skævt W og kan findes ud fra Karlsvognen. Forlænges linien fra Mizar [= ζ-uma, knækstjernen ] til Polar stjernen, finder man i samme afstand δ-cas. I øvrigt passerer me ridianen gennem forårspunktet tæt forbi β-cas. Lige under Cas siopeia ligger Andromeda, hvor γ-and kan nås ved at forlænge stykket fra β-cas til α-cas ca. 4 gange. Midt mellem γ-and og det nærmeste hjørne i Pegasusfirkanten [= α-peg] er β-and, og gan ske tæt ved denne stjerne finder vi Andromedagalaksen, M31, den eneste galakse, der kan ses med det blotte øje. Område 6: Kusken Her møder vi to konstellationer, Kusken [= Auriga] og Perseus. Store dele af disse stjernebilleder ligger på Mælkevejen. Kusken indeholder den strålende stjerne Capella [= α-aur], vinternattens klareste på den nordlige himmel. Den ligger midt mellem Orions bælte og Polarstjernen. 73

74 Sfærisk Astronomi I Perseus finder vi den variable stjerne Algol, som man kommer til ved at trække et liniestykke fra β-aur til Capella og forlænge det to gange. Allerede i oldtiden var det en kendt variabel stjerne. Med 2,9 døgns mellemrum falder lysstyr ken til en trediedel i 10 timer. I området har vi også Pleiaderne [= M45], fra gammel tid benævnt Syvstjernen, skønt det er svært med det blotte øje at se mere end fem-seks stjerner. I en lille kik kert er det en særdeles smuk, åben hob. Pleiaderne er en del af stjernebilledet Tyren [= Taurus]. Område 7: Tvillingerne Her er store dele af stjernebilledet Tvillingerne [= Gemini], Krebsen [= Cancer] og hele Lossen [= Lynx], men af lysstærke stjer ner ses kun to, nemlig brødrene Castor [= α-gem] og Pollux [= β-gem]. Den første af dem ses som en smuk dobbeltstjerne i virkeligheden er den 6-dobbelt i en lille teaterkikkert. Tvillingerne er det nordligste af dyrekredsens stjernebilleder. Område 8: Orion Her møder vi et af de smukkeste områder på himmelhvælvingen. Sammen med Orion er der et stort dyrehold: Store Hund [= Canis Major] og Lille Hund [= Canis Minor], Tyren [= Taurus], Haren [= Lepus] og Enhjørningen [= Monoceros]. Orion samler dog størst interesse. Hans skuldre udgøres af den rødgule Betelgeuse [= α-ori], den blå Bellatrix [= γ-ori]. På hans knæ sidder Rigel [= β-ori]. Orions bælte udgøres af tre stjerner, der kaldes vinkelmåleren, idet de ret præcist ligger i afstanden 1½ grad og i øvrigt tæt på ækvator, hvorfor konstellationen kan ses fra alle dele af Jorden. Under bæltet hænger sværdet, i hvis midte man finder den berømte Oriontåge, der en mørk nat kan skimtes med det blotte øje og i øvrigt er et interessant objekt for en lille kikkert. Tågen ligger omtrent midt mellem den østligste af de tre bæltestjerner [= ζ-ori] og Rigel. Orions bælte kan bruges som vejviser til både Sirius [= α-cma] i syd og Aldebaran [= α-tau] i nord. Man skal blot forlænge bæltet otte gange til hver side. Sirius er himlens klareste stjerne og betegnes som hundestjernen. 74

75 5. Stjernehimlen I stjernebilledet Lille Hund er der blot én lysstærk stjerne, Procyon [= α-cmi]. Den findes på forlængelsen af en linje fra Polarstjernen gennem Castor og Pollux. I Tyren er en rød kæmpestjerne særligt fremtrædende, nemlig Aldebaran [= α-tau]. Ekliptika passerer få grader over denne stjerne. Område 9: Løven Området udgøres af store dele af Løven [= Leo], Bægeret [= Crater], Søslangen [= Hydra] og Krebsen [= Cancer]. Løven kan man finde ved hjælp af Karlsvognen. De to bageste hjul, ved hvis hjælp vi fandt Polarstjernen, peger i modsat retning mod Løven, hvis ka rakteristiske segl så bliver let at finde. Tre stjerner i Løven skal nævnes. Først Regulus [= α-leo] på ekliptika. I Løvens hale finder vi den klare stjerne Denebola [= β-leo]. Den næstklareste stjerne i Løvens hoved er Algieba [= γ-leo], en dobbeltstjerne, som let adskilles i komponenter i en lille kikkert. Krebsen er et zodiaktegn, men indeholder ingen klare stjerner. Område 10: Jomfruen Foruden Jomfruen [= Virgo] finder vi her dele af Slangen [= Serpens] og Vægten [= Libra]. Både Jomfruen og Vægten passeres af eklipti ka. I Jomfruen bemærker vi især den klare stjerne Spica [= α-vir, Akset]. Denebola, Spica og Arcturus danner en ligesidet trekant. Område 11: Slangebæreren og ørnen I dette område ligger Slangebæreren [= Ophiuchus] og Slangen [= Serpens], Skorpionen [= Scorpius], Skytten [= Sagittaurus], Pilen [= Sagitta = Sge] og Ør nen [= Aquila]. Den sidste er et smukt lille stjernebillede med den klare stjerne Altair [= α-aql], som findes som spidsen i en ligebenet trekant, Sommertrekanten, hvor grundlinjen udgøres af Vega [= α-lyr] og Deneb [= α-cyg]. I øvrigt svæver Ørnen og Svanen over Mæl kevejen. I Slangebæreren findes nogle klare kugleformede stjernehobe samt Barnards stjerne, der har den største egenbevæ gelse af alle stjerner. I øvrigt er stjernebilledet ikke særligt fremtrædende. 75

76 Sfærisk Astronomi Slangen er et todelt stjernebillede med hoved og hale i adskilte områder. Figuren er langstrakt og slynger sig langs ækvator. I Skorpionen, som kun ses nær horisonten i Danmark, bemærkes især An tares [α-sco], der er en rød superkæmpe. Skytten er et komplice ret stjernebillede-, der ligger, hvor ekliptika igen får voksen de deklination. I skytten findes smukke mælkevejspartier. Område 12: Vandmanden I dette område har vi Vandmanden [= Aquarius], Fiskene [= Pisces] Stenbukken [= Capricornus] og flere mindre stjernebilleder. Fiske ne findes lige under Pegasusfirkanten. Ekliptika passerer gennem Vandmanden, der dækker et stort område, dog uden særligt klare objekter. I Stenbukken er β-cap en smuk dobbeltstjerne set gennem en prismekikkert. Område 13: Hvalen Hvalen [= Cetus] et stort stjernebillede, men rummer ikke ret man ge klare stjerner. Kendt er især Mira [= ο-cet], der har givet navn til langperiodiske variable stjerner. Med en periode på 331 dage varierer lysstyrken fra størrelsesklasse 2,0 til 10,1. I området ligger desuden Floden [= Eridanus]. Opgaver Opgave 5.1 For 3000 år siden befandt himlens nordpol sig ca. 17 sydligere end nu, jf. Præcession og epoker. Hvilken forskel er der på det synlige udsnit af himlens stjerne hav på et bestemt sted, dengang og nu? Opgave 5.2 Det er navnlig om efteråret, man kan stjernebillederne i eksempel 5.2 på én gang. På figur 5.1 fra Flamsteeds Atlas er Andromeda lænket til klippen, medens Perseus holder Medusa hoved med den variable stjerne Algol i sin hånd. Find dem på et stjernekort. Bemærk, at Cassiopeia lig ner et fladt W. 76

77 Planeternes bevægelse 6. Planeterne Alle plane ter bevæger sig så nogenlunde i samme plan om Solen, dvs. altid befinder sig på eller nær ekliptika. Størst afvigelse finder vi for de inderste planeter, idet Merkurs og Venus baneplaner danner en vinkel på 7,0 henholdsvis 3,4 med ekliptika. Indtil 2006 blev også Pluto regnet med blandt planeterne, og dens baneplan afviger hele 17,1 fra ekliptika. I modsætning til stjernerne ses planeterne som ikke-tin drende lyskilder på himlen, og karakteristisk er også, at de lyser med et varmere lys. Ved hjælp af Almanakkens oplysninger om op-, kulminations- og nedgangstidspunkter bliver det så ret let at finde de indre planeter samt Mars, Jupiter og Saturn på himlen. Jupiter bevæger sig det meste af tiden progressivt, dvs. fra vest mod øst, mellem stjernerne, men i en kort periode er bevægelsen retrograd, dvs. fra øst mod vest. Da bevægelsen ikke foregår i ekliptika, frem træder banen som en sløjfe, der kan være lukket eller z-formet set fra Jorden. Elongation, konjunktion, opposition og kvadratur Da planeterne lige som Solen befinder sig i eller nær ekliptikas plan, kan det være praktisk at angive en planets position i forhold til Solen. Hertil indføres begrebet elongation, der stort set er vinklen mellem sigtelinierne til planeten og til Solen. Helt kor rekt anvendes ekliptikakoordinaterne til definitionen: Et himmellegemes elongation er forskellen mellem dets længde og Solens længde. Elongationer regnes østlig, hvis himmellegemet i sin daglige rotation følger efter Solen, så det går ned efter Solen. I modsat fald er elongation vestlig. 77

78 Sfærisk Astronomi Et objekt med elongationen 0 siges at være i konjunktion. Er elon gationen 180, er det i opposition. Indre planeter kan ikke være i opposition, og her omtales konjunktionen som nedre, hvis planeten står mellem Jorden og Solen; i modsat fald kaldes den øvre. Et le geme med elongationen 90 siges at være i kvadratur. Figur 6.1 il lustrerer disse begreber. En øvre eller ydre planets elongation kan antage alle værdier mellem 0 og 180, medens en indre planets elongation har en stør steværdi. En lav værdi for den maksimale elongation betyder, at planeten i bedste fald er tæt ved horisonten, når Solen er lige under hori sonten. Følgelig kan planeten kun kan ses i få timer efter solned gang som aftenstjerne eller få timer før solopgang som morgen stjerne. Konjunktion (fuld) Ydre planets bane Jordens bane Indre planets bane Øvre konjunktion (ny) Solen Størst østlig elongation Størst vestlig elongation Nedre konjunktion (ny) Kvadratur Jorden Kvadratur Figur 6.1 Opposition (fuld) 78

79 6. Planeterne I Almanakkens positionsliste for planeterne kan de indre plane ters elongation aflæses for hver 20. dag i året. Omløbstider for planeter For en planet må man skelne mellem to slags omløbstider. Den sideriske omløbstid er tiden for et omløb i forhold til fiksstjernerne. Det er denne tid, der er anført i Almanakkens tabel over Planetsystemet, og som ind går i Keplers 3. lov. På grund af Jordens egen bevægelse kan den sideriske omløbstid ikke måles direkte i modsætning til den synodi ske omløbstid, som er tiden mellem successive oppositioner eller nedre konjunktioner. Sammenhængen mellem de to omløbstider kan let findes under den approksimerende forudsætning, at bevægelserne fore går jævnt i koncentriske cirkler. På figur 6.2 betragter vi for holdene for en indre planet, hvis vin- Jordens bane Planetens bane Solen A C A C B v Figur

80 Sfærisk Astronomi kelhastighed jo er større end Jordens. I A er planeten i nedre konjunktion. Efter et omløb af planten er denne igen i A, men Jorden har flyttet sig til B, og først i C finder næste konjunktion sted. Medens Jorden tilbagelægger vinklen v, gennemløber planeten en vinkel på v. Lad os kalde Jordens sideriske omløbstid T sid,jorden, og det er jo 1 år, planetens sideriske omløbstid T sid,planet og planetens synodiske for T syn,planet. Vi udnytter nu, at tiden for Jordens flytning fra position A til position C er T syn,planet. Det giver os: v 360 = T syn,planet T og v sid,jorden 360 = T syn,planet T sid,planet Af disse formler ses let, at 1 + T syn,planet T = T syn,planet sid,jorden T, eller sid,planet 1 T = 1 sid,planet T + 1 sid,jorden T (6.1) syn,planet Denne formel gælder for en indre planet. Den sideriske omløbstid kan bestemmes ud fra måling af den synodi ske, men eftersom forudsætningen om jævn cirkelbevægelse ikke hol der stik, varierer den synodiske omløbstid for en planet, og man må anvende en gennemsnitlig værdi for den. Tiden mellem to fuldmåner er netop Månens synodiske omløbstid. For Mars er den synodiske omløbstid også tiden mellem to gunstige observationstidspunkter. Planeternes baner. Baneelementerne Johannes Kepler ( ) fandt sine tre love, jf. Vort solsystem, netop ud fra kendskab til de to omløbstider samt en nøjagtig tabel udarbejdet af Tycho Brahe ( ) over Marspositioner blandt fikstjernerne. Lad os nu betragte ellipsebanens egenskaber: På figur 6.3 er S det brændpunkt, hvori Solen befinder sig, medens planeten bevæger sig rundt i ellipsen. C er ellipsens centrum. Gen nem centrum går ACB, som er ellipsens storakse med længden 2a, og dens lilleakse DCE med længden 2b. Ellipsens ligning er 80

81 6. Planeterne y D b ω P B C S A x a a e E Figur 6.3 a 2 + y2 b 2 = 1 (6.2) x2 Ved middelafstanden for planeten forstås den halve storakse, a. Ba nens ekscentricitet, e, er forholdet CS/CA. Man kan også vise, at vinklen ω er et mål for ekscentriciteten, idet sin(ω) = e. I A er afstanden planet-solen mindst. Denne position kaldes pe rihelium. Perihelafstanden er a(1 - e). Tilsvarende er afstanden til Solen størst i B, også kaldet aphelium. Afstanden er a(l + e). En lille ekscentricitet, e, betyder, at banen kun afviger lidt fra en cirkel. Blandt planeterne har kun Merkur en ekscentri citet over 0,1. Pluto og andre dværgplaneter har ligesom mange kometer og asteroider meget store baneekscentriciteter. Af Keplers 2. lov følger, at jo nærmere en planet befinder sig på Solen, des større er dens fart. Specielt bliver Jordens bevægelse i ellipsebevægelsen om Solen ujævn. Set fra Jorden er konsekvensen, at Solens synes at bevæge sig med ujævn fart rundt i ekliptika. I næ ste kapitel omtales konsekvensen af dette for tidsmålinger. Figur 6.4 viser Jordens årlige bevægelse. 81

82 Sfærisk Astronomi Himlens nordpol Jordens baneplan danner en vinkel på 23,5 med Jordens omdrejningsakse Efterårsjævndøgn Efterår Sommer Vintersolhverv Solen Sommersolhverv Vinter Forårsjævndøgn Figur 6.4 Forår En planets eller komets position på himlen kan til enhver tid beregnes ud fra kendskab til seks konstante størrelser, de såkaldte banelementer, som er vist på figur 6.5: 1. Periheltiden, T. 2. Periheliets længde, π. 3. Den opstigende knudes længde, Ω. 4. Inklinationen, i. 5. Banens ekscentricitet, e. 6. Middelafstanden fra Solen, a. Det første baneelement angiver planetens sted i banen på et bestemt tidspunkt, de resterende 5 elementer bestemmer banens form, stør relse og beliggenhed i rummet. De to sidste elementer, e og a, er omtalt ovenfor. De øvrige forklares her. Først skal planetbanens plan bestemmes. Da planeten ikke bevæger sig i helt samme plan som Jorden omkring Solen, må baneplanen danne en vinkel med ekliptika. Denne vinkel kaldes inklinationen og fin des anført 82

83 6. Planeterne Baneplan A Ekliptikas plan P K 2 P 2 Ω M Solen a Planet P 1 i γ K 1 Ekliptika Baneplan F Ω Knudelinje ω i Opstigende knude Figur 6.5 i Almanakkens planettabel. Bemærk, at igen udskiller den inderste planet, Merkur, sig ved at have værdier væsentligt over de øvrige planeter. Skæringslinien mellem jordbanens plan og en planets baneplan går gennem Solen og kaldes en knudelinie. En planet passerer denne knu delinie to 83

84 Sfærisk Astronomi gange under et omløb, nemlig på vej fra syd mod nord og senere på vej fra nord mod syd. Punktet, hvor planetens bredde skifter fra sydlig til nordlig, kaldes den opstigende knude. Tilsvarende defineres den nedsti gende knude. Den opstigende knudes ekliptikalængde, Ω, angiver en tydigt knudeliniens retning. Ved ovenstående er baneplanen, ellipsens form og et brændpunkt fastlagt, men vi har endnu ikke angivet, hvordan ellipsen skal vende i planen. Det kan udpeges ved angivelse af periheliets læn gde π, der er summen af knudens længde målt i ekliptika og perihe liets afstand fra knuden, målt i baneplanen. Til beregning af en planets position skal man desuden kende en ten den sideriske omløbstid eller planetens masse. Planeternes lysstyrker og faser I en kikkert ses en planet som en skive, hvis størrelse ændres med planetens afstand fra Jorden. Da planeter kun lyser med tilbagekastet lys fra Solen, vil planeterne udvise fase, som det er kendt fra Månen. Her adskiller de indre planeter sig dog væsentligt fra de ydre. Vi modtager jo kun lys fra den del af den belyste pla netoverflade, som vender mod Jorden. B Solen Merkur A Venus Jorden Figur

85 6. Planeterne Disse forhold er illustreret med Venus som eksempel i figur 6.6. I nedre konjunktion, A, er Venus nærmest Jorden, men den belyste del vender bort fra Jorden. Altså er det nyvenus. I øvre konjunk tion, B, er afstanden størst, hvorfor skivens diameter synes mindst, men hele den belyste flade vender mod Jorden, så der er fuldvenus. Desuden er vist nogle mellemsituationer. I hvilken position er Ve nus lysstyrke set fra Jorden størst? For at svare herpå antager vi den af øjet modtagne lyseffekt er proportional med den tilsy neladende størrelse af den synlige del af skiven og afstandskvadratloven gælder for intensiteten af det modtagne lys. I beregningen skal vi bruge den såkaldte fasevinkel, defineret som vinklen mellem sigtelinierne fra planeten til Jorden og til Solen. Denne vinkel er et mål for, hvor stor en del af den belyste planet overflade, der ikke kan ses fra Jorden. Vi betragter situationen på figur 6.7. Halvkuglen BDB vender mod Solen og udgør således den belyste del af planetens overflade, medens halvkug- A Φ B C B A Venus r D Φ a R Solen d = planeters diameter Φ = fasevinklen R = afstanden Solen - Jorden r = afstanden Solen - Venus a = afstanden Jorden - Venus e = elongationen for Venus f = r R e Jorden Figur

86 Sfærisk Astronomi len ADA vender mod Jorden. Vi ser da Venus som den figur, der fremkommer ved at projicere BDA ind på planen ACA. Projektionen vil bestå af halvcirklen med radius CA = d_ 2, som er projektion af DA, hvortil der skal adderes/subtraheres projektion af BD, afhængigt af, om B ligger mellem A og D eller mellem D og A. Grænsecirklen mellem lys og mørke går gennem B. Når denne cirkel projiceres gennem vinklen på fladen AA fremkommer en ellipse med storaksen d og lilleaksen d cos(φ). Arealet af den del af den be lyste flade, som vender mod Jorden, her benævnet F, er derfor arealet af en halv cirkel + areal af en halv ellipse F = 1_ 2 π ( d 2 ) 2 + 1_ 2 π ( d 2 ) ( d 2 cos(φ) ) = 1_ 8 π d2 (1 + cos(φ)) Af sinusrelationerne finder man sin(e) = R r sin (φ) = f sin(φ), hvoraf cos(e) = 1 - f 2 sin 2 (φ) (6.3) Da a er summen af projektionerne af r og R på a, har vi a = r cos(φ) + R cos(e) = R (f cos(φ) + cos(e)) (6.4) Indsættes 6.3 i 6.4 finder man, at lysstyrken, der er proportional med F og omvendt proportional med a 2, er proportional med π d 2 (1 + cos(φ) 8 R 2 ( f cos(φ) + R 1 - f 2 sin 2 (φ) ) 2 (6.5) En funktionsundersøgelse viser, at 6.5 har maksimum for φ = 117,95, hvorefter 6.3 giver e = 39,69. Set fra Solen er vinklen mellem retningen til Venus og til Jorden da 180,00-117,95-39,69 = 22,36, hvilket bruges nedenfor. Vi vil nu finde den indbyrdes position for Jorden og Venus, når lysstyrken er maksimal. 86

87 6. Planeterne V 2 Solen V = Venus J = Jorden α = J 2 SJ 1 46,3 118,0 V 1 J 2 α 39,7 J 1 Figur 6.8 I position V 2 J 2, er fasevinklen 90, e = 46,3, og sigtelinierne fra Solen til Jorden og til Venus danner derfor vinklen 43,7 med hinanden. Den søgte position er V 1 J 1. Mellem disse stillinger har Jorden bevæget sig buen J 2 J 1, medens Venus har bevæget sig V 2 V 1. Af forholdet mellem omløbstiderne finder man V 2 SV 1 = 1,63 J 2 SJ 1. Vinklen V 2 SJ 1 kan nu fås som V 2 SV 1 + V 1 SJ 1 = 1,63 a + 22,36 eller som V 2 SJ 2 + J 2 SJ 1 = 43,7 + a. Heraf findes a = 33,9. Jorden bruger år = 34 døgn om at gennemløbe denne bue. Ve nus er derfor lysstærkest set fra Jorden 34 dage efter størst vest lig elongation og igen 34 dage før størst østlig elongation. For de ydre planeter spiller fasen ingen mærkbar rolle for lysstyr ken, som så alene må afhænge af afstanden mellem Jorden og plane ten-, idet planeters afstand til Solen jo stort set er konstant. For de ydre planeter er afstanden til Jorden mindst, når planeten er i opposition og størst i konjunktion. Kun for den nære planet Mars bevirker afstandsvariationen en mærkbar ændring i lysstyrken. 33,

88 Sfærisk Astronomi Opgaver Opgave 6.1 Indtegn banen for planeten Jupiter på et stjernekort, f.eks. på en kopi af Norton s Star Atlas. Det kan gøres ved hjælp af positionslisten i Almanakken. Hvis det benyttede stjernekort ikke har indtegnede forbindelseslinjer mellem de klareste stjerner, så de kendte figurer fremtræder, kan det være en fordel og en god øvelse at starte med det, da bevægelsen så bliver lettere at lokalisere. Opgave 6.2 Gør rede for, at en planet i opposition kulminerer ved midnat. Opgave 6.3 Vis ved hjælp af baneradierne, at den maksimale elongation er 46 for Venus og 28 for Merkur. Er elongationen østlig eller vestlig, når planeten optræder på morgenhimlen? Opgave 6.4 Betragt situationen for en ydre planet og vis, at 1 T = 1 sid,planet T - 1 sid,jorden T (6.6) syn,planet Opgave 6.5 Beregn den synodiske omløbstid for hver af planeterne Merkur, Venus, Mars, Jupiter og Saturn. Giv uden at regne på det en vurdering af den synodiske omløbstid for Uranus, Neptun og Plu to. Beregn den synodiske omløbstid for Jorden set fra Jupiter. Opgave 6.6 Beregn perihel- og aphelafstanden for Jorden. 88

89 6. Planeterne Opgave 6.7 Find i Almanakken tidspunkterne for perihelium, aphelium, jævn døgnene og solhvervene. Beregn årstidernes længder. Sammenlign sommer- og vinterhalvåret her og på den sydlige halvkugle! Opgave 6.8 I perihelium er Solens daglige tilvækst i længde Beregn den daglige tilvækst i aphelium. Opgave 6.9 Konstruer udseendet af Venusskiven, når denne ses lysstærkest fra Jorden. Var resultatet ikke overraskende? Opgave 6.10 Find i Almanakken datoerne for Venus største vestlige elongation og for største lysstyrke. Stemmer resultatet med figur 6.8? Opgave 6.11 Gør rede for, at fasevinklen er størst for en ydre planet, når denne er i kvadratur. Beregn den største fasevinkel for Mars og Jupiter. Opgave 6.12 Lad a max være afstanden Jorden-Mars ved konjunkion og a min af standen ved opposition. Find forholdet mellem disse afstande. Gør rede for, at Marsskivens tilsyneladende areal er ca. 25 gan ge større ved opposition sammenlignet med konjunktion. Svarende hertil veksler Mars mellem at være en uanseligt lysende plet og himlens næstklareste stjerne. Hvor meget varierer Jupiterskivens tilsyneladende størrelse? 89

90 Solens bevægelse og døgnet 7. Kalenderen At holde rede på tiden er sikkert astronomiens ældste opgave. Solens daglige bevægelse er ansvarlig for klokkeslættet, og dens årlige bevægelse er årsagen bag årstiderne. I det øjeblik, Solens centrum kulminerer på et sted, har dette sted sand middag. Tidsintervallet mellem to kulminationer er et sandt soldøgn. Klokkeslættet efter sand soltid er Solens timevinkel + 12 timer. I modsætning til stjernedøgnet er soldøgnet af varie rende længde, og det er der to årsager til. For det første er Solens bevægelse i ekliptika ikke jævn. Det følger af Keplers lov om den konstante arealhastighed i Jordens ellipsebane om Solen. For det andet foregår bevægelsen i ekliptika, der danner vinklen med ækvator. Se figur 7.1. St Ækvator Ekliptika S S 1 S S 1 Figur

91 7. Kalenderen På figuren tænkes Solen, S, og en stjerne, St, begge at kulminere. I løbet af et stjernedøgn drejer Solen og stjernen begge en omdrej ning parallelt med ækvator i pilens retning, så stjernen igen kulminerer. Men i denne periode flytter Solen sig et stykke på ekliptika modsat omdrejningsretningen og er kun nået til S l. Alt så varer det lidt endnu, før soldøgnet er omme, nemlig den tid, det tager himlen at dreje sig buen S S 1. Det er det, som soldøgnet er længere end stjernedøgnet. Længden af S S 1 afhænger på grund af hældningen mellem ekliptika og ækvator af, hvor på ekliptika SS 1 ligger. Va righeden af et sandt soldøgn kan variere med næsten 52 sekunder. Vore ure kan ikke gå efter sand soltid. Derfor har man udjævnet de nævnte uregelmæssigheder ved at regne med en fiktiv sol, den så kaldte middelsol, der bevæger sig jævnt i ækvator, og netop én gang rundt på samme tid som den sande Sol. På et givet sted er klokke slættet efter middelsoltid da middelsolens timevinkel + 12 timer. Forskellen mellem middelsolens og den sande Sols rektascension kal des tidsjævningen. Denne svinger mellem ca. -14 minutter midt i fe bruar til ca. +16 minutter i begyndelsen af november. Den hurtigste forandring finder sted i begyndelsen af januar. Med ud gangspunkt i Greenwich i England er jordkloden inddelt i 24 tidszo ner, hvor man regner med samme tid. Tidspunktet i den zone, hvor Greenwich ligger, kaldes verdenstiden, universal time, UTC eller WET. I Danmark har vi mellemeuropæisk tid, MET, som stemmer så no genlunde overens med Gudhjems middelsoltid. Årets længde I Danmark anvendes den gregorianske kalender i det borgerlige liv. Den er indrettet, så årets længde afpasses efter årstiderne, således at forstå, at solhvervene og jævndøgnene, der bestemmer livsrytmen, ligger på faste datoer. Solens venden hedder på latin tropus, og det her omtalte år er det tropiske år. Dette år define res som tiden mellem to passager af Solen gennem forårspunktet: T trop = 365,2422 døgn = 365 d 5 h 48 m 46 s (7.1) 91

92 Sfærisk Astronomi Solens omløbstid i forhold til fiksstjernene kal des et siderisk år: T sid = 365,2564 døgn = 365 d 06 h 09 m 10 s (7.2) Da forårspunktet som omtalt i Præcession og epoker vandrer 50 mod vest langs ekliptika hvert år, og således kommer Solen i møde, bliver Solens vandring mindre end 360 i et tropisk år, og derfor er dette kortere end det sideriske år. Det anomalistiske år er tiden mellem to successive perihelpassa ger. På grund af planeternes perturbation af Jordens bane præ cesserer perihelium i retning af banebevægelsen, så bevægelsen fra perihelium til næste perihelium overstiger 360. Dette gør det anomalistiske år til det længste af de tre her nævnte: T anomal = 365,2596 døgn = 365 d 06 h 13 m 49 s (7.3) Som tidsregneenhed anvendes desuden et juliansk år, defineret ved: T jul = 365,25 døgn = 365 d 06 h 00 m 00 s (7.4) Den julianske kalender Alle kalendere er baseret på en naturlig rytme af en eller anden form. Tidsenhederne døgn, uge, måned og år er afledt af henholdsvis Solens daglige vandring, varigheden af en månecyklus og Solens vandring mellem fiksstjernerne set her fra Jorden. I nogle kalendere er året udelukkende knyttet til måne perioder. Den gregorianske kalender har rod i den romerske kalender, der er indført ca. 750 f.kr. og havde 10 månemåneder. I agerdyrkende samfund er månedåret imidlertid ubekvemt som tidsinddeler. Kalenderen blev senere forbedret, så der regnedes med et år på 12 måneder begyndende med marts som første måned. Dette starttids punkt for året spores stadig i månednavnene september, oktober, no vember og december. 92

93 7. Kalenderen I år 46 f.kr. foretog den romerske kejser Julius Cæsar en omfattende reform af kalende ren. Han var blevet inspireret hertil under en rejse til Ægypten, hvor man da længe havde haft en tidsregning med 12 måneder á 30 da ge samt 5 ekstra dage anbragt efter den 12. måned. Man vidste end og, at året var ¼ dag for kort, men skønt der af hensyn til tem pelfesterne var udstedt dekret om skuddag hvert 4. år, beholdt ægypterne dog et år med 365 dage. Først med Cæsar blev korrektionen indbygget i kalenderen. Den julianske kalender, der opkaldt efter Julius Cæsar, adskilte månedernes længde fra Månens faser. Hver måned fik tildelt et bestemt antal dage, og året fik 365 dage med en ekstra dag hvert fjerde år. På Cæsars tid talte man årene fra Romerrigets grundlæggelse: ab urbe condita eller efter en kejsers tiltrædelse. Først flere århundreder efter definitionen af den kristne æra, omkring 525, blev det almindeligt blev det almindeligt at regne tiden fra Kristi fødsel. Men da var nøjagtige oplysninger om tidspunktet herfor længst gået tabt. Ved overgangen til den nye tidsangivelse undlod man at indføre et år 0 og det menes i øvrigt, at der har indsneget sig en fejl, så Kristus i virkeligheden er født 6-4 år før vor tidsregning. Med den katolske kirke spredtes den julianske kalender til de kristne dele af verden. Den gregorianske kalender I den julianske kalender er der skudår netop hvert fjerde år. Den gennemsnitlige længde af året bliver herved 365,25 døgn. Sam menlignet med det tropiske år er det 0,0078 døgn for langt. På 128 år akkumuleres denne fejl til omtrent et døgn. Under et kirkekoncil i Nicæa i 325 e. Kr.f. havde man vedtaget en regel for påskens placering se Påsken og øvrige helligdages placering. På få undtagelser nær skal påskedag ligge på første søndag efter første fuldmåne efter forårsjævndøgn. Tidspunktet for fuldmåne varierer naturligvis, men forårsjævndøgnet var forudsat at ligge fast. Da det julianske år var for langt i forhold til det tropiske, havde forårsjævndøgnet flyttet sig baglæns i kalenderen. Dette problem blev behandlet på et kirkekoncil i

94 Sfærisk Astronomi I 1582 indførte Pave Gregor XIII en ny kalender, den gregorian ske. For at vende tilbage til forudsætningerne for Nicæavedtagelsen befalede paven, at 10 dage skulle overspringes, så 4. oktober 1582 efterfulg tes af 15. oktober Ugedagene skulle gå kontinuert videre. årstal, der er delelige med 100, skulle ikke være skudår, med mindre årstallet også er deleligt med 400. Den eneste forskel vedrørende datering mellem den gregorianske og den julianske kalender er således den ekstra skudårsregel. Den gregorianske kalender blev ret hurtigt udbredt i de katolske lande, medens de protestantiske lande var mere tøvende. I Danmark skete overgangen på foranledning af Ole Rømer i år 1700, således at 18. februar efterfulgtes af 1. marts. England indførte kalenderen i 1752, Sverige i 1753, Japan i 1873, Kina i 1912, Rusland i 1918 og Grækenland i De forskellige overgangstidspunkter til den gregorianske kalender har givet historikerne besværligheder ved dateringer. Andre kalendere I astronomien anvendes Julianske perioder på 365,25 døgn. Denne kalenders nulpunkt er sat til kl. 12:00 UTC 1. januar 4713 f.kr. Nummereringen blev indført af Joseph Scaliger i 1583 og er opkaldt efter dennes far, den franske filolog Julius Scaliger. Året 2015 er det i den julianske peri ode. Den jødiske eller mosaiske kalender er baseret på bevægelserne af såvel Solen som Månen. Året indeholder 12 eller i nogle tilfælde 13 månemåneder. Udgangspunktet for tidsregningen er Verdens Skabelse, som er sat til den 7. oktober 3761 før Kr.f. Den muslimske kalender er stadig baseret udelukkende på Månens faser. Døgnet begynder, når Solen går ned. Tidsregningen har Muham meds flugt fra Mekka 16. juli 622 som udgangspunkt. Som hos os har ugen 7 dage, men månedernes længder varierer. 94

95 7. Kalenderen Kalenderberegninger Beregning af ugedag for en bestemt dato, beregning af antal dage mellem to datoer, o.l., er generelt ikke helt simpelt. I Opgave 7.7 udvikles et værktøj til sådanne beregninger. Månen og tidsregningen Solen ser ens ud året rundt, medens Månens formforandring med skiftende faser sker hurtigt og er direkte observerbar. Derfor er det natur ligt, at Månen er blevet benyttet i tidsregningen fra de tidligste ti der. Månens synodiske omløbstid er 29,5306 døgn = 29 d 12 h 44 m. Tænker man sig nu et måneår som 12 månemåneder, vil dette år kun indeholde 354,37 døgn eller ca. 11 døgn mindre end et solår. Datoerne for fuld måne ligger derfor ikke fast i solåret. I et tidsinterval på 19 år forløber 6939 dage eller 6940 dage, afhængigt af om perioden indehol der 4 eller 5 skudår. Sammenlignes dette med et tidsrum på 235 månemåneder = 6939,7 døgn, ses, at efter denne periode vil Månens faser indtræffe på de samme dage i de samme måneder igen endda med en nøj agtighed på nogle få timer. Denne 19-års periode kaldes en Metons cyklus efter den græske astronom Meton, der anvendte sammenhængen i en kalenderreform ca. 435 f.kr. Selve perioden er opdaget tidligere af babylonerne. Metons cyklus har tidligere været udnyttet til spådomme over vejret ud fra troen på, at vejrforandringer følger måneskifter og derfor også må have en 19-årig periode. Årene i en Metons cyklus nummereres fra 1 til 19, således at det år, hvor nymånen indtræffer 1. januar, har nummer 1. Ved et års gyldental forstås årets nummer i cyklen. Betegnelsen gyldental skyldes, som en lærd har udtrykt det i det 12. århundrede, at dette tal overgår alle andre månetal, ligesom guld overgår alle andre metaller har gyldentallet 1. Tallet vokser naturligvis med 1 for hvert år. Det kan beregnes som (årstal + 1) mod 19, idet gyldentallet dog er 19, hvis modulus er 0. 95

96 Sfærisk Astronomi Påsken og øvrige helligdages placering På det tidligere omtalte kirkekoncil i Nicæa 325 e. Kr. fastlagdes regler for påskens placering. Påskedag blev fastsat til den 1. søndag efter første fuldmåne efter forårsjævn døgn. Det blev overdraget biskopperne i Alexandria at beregne tids punktet for påskefuldmånen. Ved beregningen benyttedes den metonske månecyklus, og de fremstillede tabeller hvilede på den forudsætning, at forårsjævndøgnet faldt 21. marts. Reglen blev: Påskefuldmåne er den fuldmåne, der falder på eller nærmest efter 21. marts. Den første søndag herefter er påskedag. I tiden under julianske kalender, rettede man sig efter disse tabeller til trods for, at forårsjævndøgnet rykkede baglæns i kalenderen. Den gregorianske kalenderreform indeholdt også en forandring af grundlaget for påskeberegningen. Metons cyklus er i det lange løb ikke præcis nok. Man gjorde brug af en epakt, der er antallet af dage fra sidste nymåne i det gamle år frem til nytårsdag, med andre ord Månens alder nytårsdag. Ud fra gyldental og epakt bliver det ret let at beregne tidspunktet for påskefuldmånen og dermed påskens placering. Da man i Danmark i år 1700 gik over til den gregorianske kalender, skete det kun for dateringens vedkommende. Forårsjævndøgn og fuld måne vedblev man at beregne rent astronomisk. Da tidspunktet for fuldmåne naturligvis afhænger af stedets tidszone, kan det astrono miske tidspunkt for fuldmåne, hvis det finder sted nær midnat, fal de på forskellige datoer selv på tætliggende steder. Dette bevirke de, at man i Danmark fejrede påske en uge før end de katol ske lande i Først i 1777 gik Danmark fuldt over til den gre gorianske kalender. For påsken gælder følgende regler: Normalt er påskedag første søndag efter første fuldmåne efter for årsjævndøgn. Dog må påskedag ikke falde senere end 25. april. Den ty ske matematiker Gauss ( ) omsatte de ret uoverskuelige tabel ler, som ledsagede påskedagsforordningen til følgende beregningsregel, der gælder for både den julianske og den grego- 96

97 7. Kalenderen rianske kalender. I de følgende beregninger anvendes operatorerne mod, div og, der er beskrevet i Appendix 3. Idet y betegner årstallet, beregner man efter tur: k = y div 100 p = ( k) div 25 q = k div 4 15 hvis y < 1583 M = { (15-p+k-q) mod 30 hvis y > hvis y < 1583 N = { (4+k-q) mod 7 hvis y > 1582 Bemærk, at M og N kun afhænger af århundredet! a = y mod 19 b = y mod 4 c = y mod 7 d = (19a + M) mod 30 e = (2b + 4c + 6d + N) mod 7 Nu findes påskedag normalt d + e dage efter 22. marts: Hvis 22 + d + e < 32 er påskedag (22 + d + e). marts Hvis (d = 28) (e = 6) (a > 10) er påskedag 18. april Hvis (d = 29) (e = 6) (a < 11) er påskedag 19. april Ellers er påskedag (d + e - 9). april Påsken kan tidligst falde 22. marts, nemlig i tilfælde af at fuld måne indtræffer 21. marts, og denne er en lørdag. Den seneste grænse er fastsat til 25 april. Påskesøndag kan nu falde på enhver dato mellem 22. marts og 25. april, dvs. på 35 forskellige datoer. 97

98 Sfærisk Astronomi I 2014 faldt påskedag 20. april, som er den 30. mulige dato. Årets påskedagsnummer er da 30. I Almanakken kan man finde tabeller over påskedagsnumrene for årene i perioden Årets bevægelige festdage retter sig efter påske. 1. januar er nytårs dag. 6. januar er helligtrekongersdag. De følgende søndage nummereres som søndage efter helligtrekonger indtil søndagen septuagesima, der er den 9. søndag før påskedag. Der kommer således mindst 1 og højst 6 søndage efter helligtrekonger. Søndagen efter septuagesima er seksagesima, og den næste igen er fastelavnssøndag. Herefter følger søndage i fasten indtil palmesøndag, der er den sidste før påske. Pinsedag er den 7. søndag efter påskedag. Store bededag er fredagen mellem 3. og 4. søndag efter påske. Torsdagen mellem 5. og 6. søndag efter påske er Kristi himmelfartsdag. Søndagen efter pinsedag er tri nitatis. De følgende nummereres som søndage efter trinitatis. De sid ste fire søndage før juledag kaldes adventssøndage. I Almanakken findes en oversigt over de 35 mulige kalendarier. 98

99 7. Kalenderen Opgaver Opgave 7.1 Undersøg i Almanakken kulminationstidspunkterne for Solen. På hvilke tidspunkter af året er det sande soldøgn længere end 24 timer, og på hvilke kortere end 24 timer? Opgave 7.2 I januar, når dagene længes, sker tilvæksten ved, at Solen går senere og senere ned, medens tidspunktet for opgangen er næsten uændret. Hvorfor? Opgave 7.3 Find ved hjælp af en fremmedordbog den etymologiske betydning af månedsnavnene. Opgave 7.4 Udregn størrelsen af den akkumulerede kalenderfejl i den julianske kalender i Opgave 7.5 Vis, at gregorianske år udgør dage, og vis, at 3000 gregorianske år overstiger 3000 tropiske år med et døgn. Opgave 7.6 I 1793 indførte man i Frankrig en særlig ka lender, Den Republikanske Kalender. Året bestod af 12 måneder á 3 uger á 10 dage. Den sidste dag i 10-dagesugen var hviledag. Året bestod desuden af 5 ekstra dage i skudår dog 6. Disse dage var nationale festdage. Døgnet inddeltes i 10 timer á 100 minutter á 100 sekunder. Undersøg, hvorledes det gik denne kalenderreform. Er der fordele og ulemper ved den? 99

100 Sfærisk Astronomi Opgave 7.7 Et års eksakte længde er Solens omløbstid i forhold til forårspunktet, det tropiske år, hvis længde er 365,2422 døgn. I de følgende beregninger anvendes operatorerne mod, div, int, og, der er beskrevet i Appendix 3. Vi vil her betragte en kalender, der indtil 4. oktober 1582 føl ger de julianske regler, dvs. 1. Tidsregningen starter med 1. januar år Alle år indeholder 365 dage, dog er der 366 dage i år, hvor årstallet er deleligt med 4. Sådanne år kaldes skudår. 3. Året deles i 12 måneder med følgende dagsantal: 28 dage: februar i ikke-skudår 29 dage: februar i skudår 30 dage: april, juni, september, november 31 dage: januar, marts, maj, juli, august, oktober, december. 4. Dagene fra og med 5. oktober til og med 14. oktober 1582 eksisterer ikke. Fra 15. oktober 1582 følges de gregorianske regler: 1. Dagsantallet i tidsregningen og ugedagene fortsætter kontinu ert fra den julianske kalender. 2. Den julianske regel for skudår fortsætter med den indskrænkning, at år, hvor årstallet er deleligt med 100, kun er skud år, hvis tallet også er deleligt med 400. I det nedenstående bruges følgende betegnelser: y = årstallet. m = månedsnummeret. d = dagens nummer i måneden. n = dagens nummer i året. k = antal dage fra vor tidsregnings start frem til dato. u = ugedagsnummer efter skala, der forklares senere. Et århundrede er en periode af formen 1/ til 31/

101 7. Kalenderen 1) Udfyld følgende skema: År antal dage År antal dage 2) Gør rede for, at antallet af dage fra 1. januar år 1 til 31. december år 100 er Hvert århundrede til og med det århundrede, der slutter 31. december 1500 vil indeholde dage. 3) Vis, at århundredet fra 1. januar 1501 til 31. december 1600 indeholder dage. 4) Alle følgende århundreder af denne form vil indeholde enten eller dage. Opstil en regel. 5) Udfyld følgende skema, så det gælder for et ikke-skudår: m int(m 0,4 + 2,3) n - ((m-l) 31+d) 101

102 Sfærisk Astronomi 6) Redegør for, at i et ikke-skudår gælder: (m-1) 31 + d for m < 3 n = { (m-1) 31 + d - int(m 0,4+2,3) for m > 2 Vi kan nu begynde at tælle op, hvor mange dage der er forløbet i vor tidsregning. Først lader vi som om, den julianske kalender var den gældende, uanset årstal. Da er antallet af forløbne århundreder: (y-1) div 100. Disse indeholder ((y-1) div 100) dage. Antallet af dage i det igangværende århundrede frem til 31. december i året før, idet vi ikke tager hensyn til skudår er ((y-1) mod 100) 365. Antallet af skuddage i det igangværende århundrede frem til 31. december året før er ((y-1) mod 100) div 4. Antallet af skuddage i det igangværende år efter de julianske regler er: ((y mod 4 = 0) (m > 2)). Her regnes med udsagn, så værdien bliver enten 0 eller 1. Hvis den julianske kalender gælder, ville antallet af dage frem til den omhandlede dato d, m, y således være: k = (m-1) 31 + d - (int(m 0,4+2,3)) (m>2) + ((y-1) div 100) ((y-1) mod 100) ((y-1) mod 100) div 4 + ((y mod 4 = 0) (m > 2)). Hvis datoen ligger efter den 4. oktober 1582, er det her udregnede tal for stort. Vi må først subtrahere de 10 dage, der forsvandt fra kalenderen. Dernæst må vi subtrahere antallet af dage, der er skuddage efter den julianske, men ikke efter den gregorianske ka lender. 102

103 7. Kalenderen 7) Vis, at dette antal er int(0,75 (int((y-1)-1600)/ )). Vi kan nu opskrive udtrykket til beregning af antallet af dage i vor tidsregning frem til datoen d, m, y: k = (m-1) 31 + d - (int(m 0,4+2,3)) (m>2) + ((y-1) div 100) ((y-1) mod 100) ((y-1) mod 100) div 4 + ((y mod 4 = 0) (m > 2)) - 10 ((y>1582) ((y=1582) (d>=15) (m>= 10)) - int(0,75 (int((y-1)-1600)/ )) (y>1600) 8) Identificer de enkelte led. Antallet af dage mellem to datoer er så dif ferensen mellem datoernes k-værdier. 9) Beregn antallet af dage i vor tidsregning, hvor den julianske kalender har været gældende. 10) Hvor mange dage er gået siden indførelsen af vor tidsregning? 11) Hvor mange dage er forløbet siden indførelsen af 1849-grundloven? 12) Hvor mange dage er der forløbet af dette årtusinde? 13) k-værdien for 1. juli 1985 er , og dagen var en mandag. Her er u = k mod 7 resten ved division af k med 7. I dette tilfælde fås u = 3. Gør rede for, at hver gang u bliver 3, må u-værdien høre til en mandag. 103

104 Sfærisk Astronomi 14) Redegør for følgende oversættelsesskala for u-værdier: u Ugedag Fredag Lørdag Søndag Mandag Tirsdag Onsdag Torsdag 15) På hvilken ugedag blev du født? 16) Hvilken ugedag er den sidste i dette århundrede? Som tidligere nævnt blev den gregorianske kalender først indført i Danmark i år 1700, hvor 18. februar efterfulgtes af 1. marts. Dvs. i en periode fra 4. oktober 1582 til 1. marts 1700 er tidsangi velsen i Danmark altså forskellig fra den gregorianske kalenders. 17) Udled oversættelsesregler fra den julianske til den gregorianske tidsangivelse i denne periode. Opgave 7.8 Find ved hjælp af gyldentallet og epakttabellen i Almanakken ud af, hvornår første nymåne indtræder i januar Den beregnede værdi kan afvige lidt fra den astronomiske værdi. 104

105 Månen og dens bevægelse 8. Månen Jorden har kun én naturlig satelllit, Månen. På et felt udgør den noget særligt i solsystemet: det er den største og den mest massive satellit i forhold til primærplaneten. I forhold til Solen udgør Jorden-Månen en dobbelt-drabant. Tyngdepunktet for dette system ligger 4671 km fra Jordens centrum, hvilket er 1707 km under Jordens overflade. Både Jorden og Må nen roterer én omgang omkring dette punkt på én siderisk måned, alt imedens tyngdepunktet bevæger sig en gang rundt omkring Solen i netop ét siderisk år, som vist på figur 8.1. Set fra Jorden er Månens omløbstid i forhold til Solen en synodisk måned, som også er perioden for månens faser. For Månen er følgende 4 omløbstider interessante: Siderisk: T sid = 27, døgn = 27 d 07 h 43 m 11 s Synodisk: T syn = 29, døgn = 29 d 12 h 44 m 03 s Drakonisk: T nod = 27, døgn = 27 d 05 h 05 m 36 s Anomalistisk: T ano = 27, døgn = 27 d 13 h 18 m 33 s Konjunktion Østligt kvarter Opposition Vestligt kvarter Konjunktion Figur

106 Sfærisk Astronomi T nod tiden mellem to passager af den opstigende knude, jf. Planeternes baner. Perioden kaldes også en knudemåned. De punkter, hvor Månen er nærmest henholdsvis fjernest Jorden, kaldes perigæum henholdsvis apogæum. T ano er tiden mellem to perigæumpassager for Månen. Under sin bevægelse omkring Jorden roterer Månen om sin egen akse i en bunden rotation, dvs. rotationstiden og omløbstiden er ens. Må nen vender derfor altid samme del af overfladen mod os. Intet men neske havde set Månens bagside, før den blev fotograferet af den russiske rumsonde Lunik 3 i oktober Tre forskellige forhold gør, at man kan se lidt mere end halvde len af Månens overflade fra Jorden. Månen synes at rokke på en må de, så 59% af overfladen bliver synlig men naturligvis kan man på intet tidspunkt se mere end 50% ad gangen! Fænomenet kaldes li bration. De tre bidragydere er illustreret på figur 8.2. Parallakse km Jorden Længdelibration km Månen Jorden Breddelibration N Jorden 5 09 S 6 41 Figur

107 8. Månen 1. Parallaksen. På grund af Jordens daglige drejning skal en person kikke i forskellige retninger mod Månen ved dens opgang og ved dens nedgang. Herved ses også lidt forskellige dele af Månens overflade. 2. Længdelibrationen. Medens Månen roterer jævnt om sin akse, er bevægelsen i ellipsebanen om Jorden ujævn. Det betyder, at man på ét tidspunkt kan se lidt mere af Månen i højre side og lidt mindre i venstre. En halv omgang senere er det omvendt. 3. Breddelibrationen. Månens omdrejningsakse er ikke vinkelret på månebanens plan, men danner en vinkel på godt 83 med den. Under det halve omløb ser vi derfor noget mere af Månens nordlige halvdel og i resten af omløbet noget mere af den sydlige halvdel. De komplicerede kraftforhold mellem Solen, Månen og Jorden bevirker følgende særheder ved månebanen: Månens bane strækkes i konjunktion og i opposition. Perigæum præcesserer mod øst med periode på 8,85 år. Knudelinjen bevæger sig vestpå, dvs. baglæns, langs ekliptika med pr. år. Omløbstiden for denne bevægelse er 18,613 år. En konsekvens af disse særheder er bl.a., at månebanens ekscentri citet varierer fra 0,044 til 0,066 med et gennemsnit på 0,0549. Svarende hertil varierer perigæumafstanden mellem km og km. Middelværdier er km. For apogæum er middelvær dier km. Månens middelafstand udgør km. Såvel sol- som måneskiven synes at vokse, når de nærmer sig ho risonten. Man kan dog ved en simpel måling let overbevise sig om, at dette kun er et øjenbedrag, den såkaldte horisontillusion. Månens faser Solen oplyser altid netop halvdelen af Månens overflade, men afhængig af Månens elongation vender kun en del af den belyste flade mod Jorden, jf. Venus faser i Planeternes lysstyrker og faser. Cyklen for Må- 107

108 Sfærisk Astronomi 1 Kvadratur Opposition Jorden Konjunktion 1 Solstråler 4 4 Kvadratur Figur 8.3 nens faser er en synodisk måned. Når Månen bevæger sig fra konjunktion over kvadratur til opposition videre til kvadratur og tilbage til konjunktion, se figur 8.3, optræder Månen med faserne: 1: ny, vok sende, 2: første kvarter, voksende pukkel, 3: fuldmåne, aftagende pukkel, 4: tredie kvarter og aftagende pukkel tilbage til 1: ny. Om Månen er tiltagende eller aftagende ses af den belyste segls form. Man kan her erindre sig den gamle sentens Luna mendax est: crescit cum D et decrescit cum C, hvilket betyder: Månen er løgnagtig, for den vokser som et D og aftager som et C. Ved nymåne er Månen usynlig, idet den skjules af Solens lys. Først når Månen er omkring 20 h gammel, kan den ses i vest lige efter solnedgang. Ofte bruges betegnelsen ny om den første synlighed af Månen. Dens form er da en smal, lysende segl, medens re sten af dens overflade ofte kan anes med et askegråt skær, der skyldes jordskin på Månen En iagttager, der først studerer Månen set fra Jorden og dernæst Jorden set fra Månen, vil ved en sammenligning bl.a. bemærke følgende karakteristiske forskelle: 108

109 8. Månen 1. Jorden synes meget større end Månen. 2. Jorden bevæger sig ikke hen over Månens himmel, men ses fra et fast sted på Månen altid i samme retning. Jorden står altså ikke op! 3. Jorden udviser også faser. Ved fuldjord, som falder sammen med nymåne, lyser Jorden 50 gange så kraftigt som fuldmå nen! Det skyldes dels, at Jorden er større, og dels at Jordens albedo forholdet mellem intensiteten af det re flekterede og det indfaldende sollys er 39%, medens Må nens albedo kun er 7%. 4. Himlen vil være ganske sort, idet Månen er uden atmosfære, som kan sprede Solens lys. 5. En månedag vil vare 14 jorddøgn. Den efterfølges af en li ge så lang månenat. Månens form og stilling på himlen Ved nymåne kulminerer Månen ved middagstid sammen med Solen. Både Solen og Månen bevæger sig set fra Jorden mod øst blandt stjernerne, men Må nen bevæger sig hurtigst, hvorfor dens kulminationstidspunkt eller opgangstidspunkt også rykker baglæns i forhold til Solens, samtidig med at mere og mere af Månen bliver synlig. Af Almanakken fremgår det, at Månen står op et sted mellem 12 m og 1 h 30 m senere fra dag til dag. Månens baneplan danner en vinkel på 5 09 med ekliptika, dvs. Månen befinder sig højst godt 5 grader over eller under ekliptika. Meget groft kan man da sige, at Månen befinder sig i eller nær ekliptika. Dette kan vi bruge til at udtale os om Månens kulminationshøjde og halve dagbue. En sommerdag befin der Solen sig i Tvillingerne og dermed i et punkt på ekliptika, som står højt på vores himmel, og dens dagbue er derfor stor. Månen befin der sig ved fuldmåne diametralt modsat Solen, dvs. i Skytten, som står lavt på vores himmel. Med andre ord gælder, at sommerfuldmånen står lavt og har en lille dagbue. For vinterfuldmånen gælder det omvendt, at den står højt på himlen og har en stor dagbue. Lad os dernæst betragte Månen i den tiltagende fase. Sammenhængen mellem måneseglens udseende og retningen til Solen er følgende: Forbindes 109

110 Sfærisk Astronomi Figur 8.4 måneseglens spidser, se figur 8.4, med et liniestykke, da vil en normal gennem dettes midtpunkt og Månens fuldt belyste rand gå gennem Solens centrum. Under forudsætning af at Månen befinder sig i ekliptika, kan vi konstruere Månens udseende ved jævndøgnene. Lige efter solnedgang ses På Nordpolen: 21/3 Æ 21/6 E Æ 23/9 I Danmark: 21/3 E Æ E 23/9 21/6 21/12 Æ E Ved ækvator: 23/9 Æ 21/3 21/12 Æ 21/6 Figur

111 8. Månen Månen på vesthimlen. Solen befinder sig ved jævndøgn både på ækvator og eklip tika, og vi finder Månen ved at bevæge os nogle grader mod øst langs ekliptika, som her ved forårsjævndøgn ligger over, men ved efterårsjævndøgn ligger under ækvator. Måneseglens udseende bliver derfor som vist på figur 8.5. Ved efterårsjævndøgn ligger Månen altså ikke så meget på ryggen som ved forårsjævndøgn. Ved solhver vene bliver udseendet ens, blot er højden på himlen forskellig. Seglens stilling afhænger foruden af årstiden også af stedets geografiske beliggenhed. Figur 8.5 viser den tiltagende segls ud seende til forskellige tider og på forskellige steder un der den approksimation, at Månen befinder sig i ekliptika. Som det ses, synes seglen at ligge des mere parallelt med horisonten, jo nærmere vi kommer til ækvator. Månen og formørkelser En formørkelse opstår, når et legeme bevæger sig ind foran en lysgiver, så det skygger for et andet legeme. Her vil vi lade lys giveren være Solen og kan så opleve, at Jorden skygger for Månen og omvendt. Formørkelser kan være partielle eller totale, lokale eller globale. For at forstå disse fænomener må vi først betragte skygge dannelse. På figur 8.6 er D er enten Månen eller Jorden. Ved at trække fællestangenter til de to kugler får vi afgrænset områ derne med kerneskygge, K, og halvskygge, H. L Solen D K H Figur

112 Sfærisk Astronomi Et tredie himmellegeme, L, glider i sin bane ind i halvskyggen og videre gennem kerneskyggen og atter ud i halvskyggen. Set fra D vil der først ikke være noget at bemærke. I halvskyggen vil L gan ske vist tabe lidt i glans, men det bliver først mærkbart nær græn sen til helskyggen. Ved overgangen fra H til K vil en gradvis stør re del af L formørkes. Inde i kerneskyggen er L totalt formørket. Når L atter glider ind i H, gentager det hele sig blot i omvendt rækkefølge. Set fra L tager det sig anderledes ud! Straks, når L glider ind i halvskyggen, skjules en del af Solen. Den ikke synlige del tiltager i størrelse, og i kerneskyggeområdet kan ingen dele af Solen ses. Ved total solformørkelse på et givet observationssted forstår vi den situation, hvor hele Solen er skjult for iagttageren bag Månen. Er kun dele af Solen skjult, taler vi om partiel solformørkelse. Solformørkelse kan kun finde sted ved nymåne. En total måneformørkelse forekommer, når Månen befinder sig helt i Jordens kerneskygge. Er kun dele af Månen i kerneskyggen, taler vi om en partiel måneformørkelse. Måneformørkelse kan kun finde sted ved fuldmåne. Vi har stiltiende antaget, at L faktisk bevæger sig ind i kerneskyggeområdet. Lad os derfor nu udregne længden af Jordens og Må nens kerneskygger. På figur 8.6 er den afstanden fra D s centrum til skæringspunktet mellem de ydre fællestangenter for D og Solen. På figur 8.7 er R og r radierne for henholdsvis Solen og D. a er afstanden fra D til Solen, og s er kerneskyggens længde. Af ensvinklede trekanter får man R Solen a r D s A B Figur

113 8. Månen s_ r = a R + s hvoraf s = R-r r - a (8.1) Lader vi D være Jorden, og indsætter vi middelværdier, finder vi, at kerneskyggens længde s bliver 1,38 Gm, hvilket omregnet er 3,6 gange middelafstanden mellem Jorden og Månen. I Månens middel afstand er skyggens diameter AB = 9,4 Mm eller over 2,5 gange Må nens diameter. Med andre ord er en måneformørkelse mulig. Lader vi herefter D være Månen, giver indsættelse som ovenfor af middelværdier for afstande, at skyggen bliver 0,374 Gm, eller om trent det samme som middelafstanden mellem Jordens overflade og Må nens centrum. Vi skal imidlertid her huske på, at såvel Månens som Jordens baner er ellipser med i denne forbindelse ikke uvæsentlige ekscentriciteter. Men denne overslagsberegning antyder, at solfor mørkelse kan forekomme, dog kun i et smalt bælte hen over Jorden. Umiddelbart skulle man tro, at solformørkelse ville optræde ved hver nymåne og måneformørkelse ved hver fuldmåne. Men sådan er det som bekendt ikke. Forklaringen er, at Månens baneplan danner en vinkel på godt 5 med ekliptika. Skyggekeglen fra Månen passerer de fleste gange hen over eller under Jorden, og tilsvarende vil Jor dens skyggekegle ligge over eller under Månen, se figur 8.8. Såvel Solen som Månen fylder kun ca. en halv grad på himlen. En betingelse for formørkelse er derfor, at Månen befinder sig i eller nær et knudepunkt og månebanens knudelinie falder sammen med eller kun afviger lidt fra retningen til Solen. Det sidstnævnte sammenfald finder sted med ca. 173 dages mellemrum, hvilket er halvdelen af Solens synodiske omløbstid i forhold til knu delinien. Formørkelser optræder derfor i grupper med knapt et halvt års mellemrum, og disse formørkelsesgrupper rykker hvert år ca. 19 dage baglæns i kalenderen. En sarosperiode er en periode på 223 synodiske måneder, hvilket er 242 drakonitiske måneder eller omregnet: 18 år 10 dage og 8 timer, hvis der i perioden er 5 skudår ellers er det en dag mere. Må nebanens knuder bevæger sig som tidligere nævnt baglæns, og efter en sarosperiode genta- 113

114 Sfærisk Astronomi Jordens bane Fuldmåne Retning til Solen Nymåne Jordens bane Fuldmåne Retning til Solen Nymåne Figur 8.8 ger sol- og måneformørkelser sig med god tilnærmelse. I en sarosperiode fore kommer 41 solformørkelser og 29 måneformørkelser. I en model, hvor Jorden og Månen bevæger sig i samme plan i jævne cirkelbevæ gelser i middelafstandene, kan vi let udregne forholdet mellem antallet af sol- og måneformørkelser. Vi tænker os jordcentret omskrevet med en kugle, hvis radius er Månens middelafstand fra Jorden. Se figur 8.9. Forholdet mellem længderne af de to cirkelbuer AB og CD bestemmer da forholdet mellem antallet af sol- og måneformørkelser. En solformørkelse indtræder nemlig hver gang måneranden bevæger sig inden for buen AB, og en måneformør kelse hver gang måneranden bevæger sig inden for buen CD. En beregning viser, at forholdet mellem vinklerne u og v er 1,77. Forholdet mellem sarosperiodens 41 sol formørkelser og 29 måneformørkelser er 1,

115 8. Månen A Månen Solen u v C B Jorden D Figur 8.9 Solformørkelser Solformørkelser kan være partielle, ringformede eller totale, se figur Først tænker vi os, at Månen under formørkelsen be finder sig i et knudepunkt. Hvis Månen her er i perigæum, kan den set fra et givet sted på Jorden dække for hele solskiven, og en to tal solformørkelse kan opstå. Modsat kan den kun i apogæum dække for en del af Solen, og en ringformet solformørkelse bliver resul tatet, dvs. man kan se en lysende ring omkring den Månen Solen Figur 8.10 Total Partiel Ringformet 115

116 Sfærisk Astronomi Månen A Solen Jorden B Figur 8.11 mørke måneskive. Såfremt Månen ikke befinder sig i et knudepunkt, vil den kun kunne dække en del af solskiven, og formørkelsen bliver partiel. Som figur 8.11 viser, må en solformørkelse begynde i det øje blik, hvor halvskyggen træffer A, idet Månen og dermed dens skyg ge bevæger sig mod øst. En solformørkelse viser sig altså først på et sted, der netop har solopgang! Et punkt på ækvator bevæger sig mod øst med en fart på omkring 28 km i minuttet. Månen og dens skygge bevæger sig også mod øst, men med ca. den dobbelte fart, hvorfor solformørkelsen efterhånden må blive synlig fra steder, der ligger østligere end begyndelsespunktet. Endvidere ses, at måne skyggen må forlade Jorden ved B. Solformørkelsen ses altså sidst på et sted, der har solnedgang. En total solformørkelse skrider hen over Jorden langs et bælte med en maksimal bredde på 250 km. På begge sider af dette bælte optræ der områder med partiel formørkelse. En total solformørkelse observeret fra et givet sted begynder som en partiel formørkelse, glider over i totaliteten, der højst varer 8 minutter, for derefter igen at ende partielt. Da Månen bevæger sig mod øst, må en solformørkelse starte ved Solens vestlige rand i modsætning til en måneformørkelse, der begynder ved Månens østli ge rand! 116

117 8. Månen Måneformørkelser Måneformørkelser varer meget længere end totale solformørkelser. Passagetiden gennem Jordens helskygge er ca. 2 timer, medens van dringen gennem hele skyggeområdet tager omkring 4 timer. Under en måneformørkelse forsvinder Månen sjældent fuldstændigt. Det skyldes lys, som via spredning og afbøjning i vor atmosfære når frem til Jordens overflade. Den formørkede del lyser da med et kobberrødt skær. 117

118 Sfærisk Astronomi Opgaver Opgave 8.1 Find Månens vinkeldiameter i apogæum og i perigæum. Sammenlign med Solens vinkeldiameter. Opgave 8.2 Vis ud fra Månens sideriske omløbstid, at tiden mellem to suc cessive kulminationer af Månen i gennemsnit er 24 h 53 m, og at Må nen derfor i middel står 53 minutter senere op for hver dag. Opgave 8.3 Find største og mindste kulminationshøjde for Månen i Danmark. Opgave 8.4 Gennemgå figur 8.5 og begrund de viste udseender af seglen. Opgave 8.5 Foretag en undersøgelse af tidsforsinkelsen fra dag til dag for Månens opgang og for dens nedgang. Udfyld først ved hjælp af Almanakken følgende skema med den nævnte tidsforsinkelse. Vælg det fænomen, der ligger tættest på jævndøgnene henholdsvis sol hvervene. Find et mønster i dette! Tegn evt. figurer analoge til figur 8.5 til illustration. Marts Juni September December op ned op ned op ned op ned Fuldmåne Sidste kvarter Nymåne Første kvarter 118

119 8. Månen Opgave 8.6 Gør ud fra figur 8.6 rede for, at solformørkelse er en lokal foreteelse, dvs. kan være synlig et sted på Jorden uden at kunne ses fra andre steder. Gør ligeledes rede for, at måneformørkelse er et globalt fænomen, dvs. kan ses fra alle dele af Jorden, som har Månen over horisonten. Opgave 8.7 Selv om der i en sarosperiode fore kommer 41 solformørkelser og 29 måneformørkelser påstås med god ret, at måneformørkelser opleves hyppigere end solformørkelser. Hvordan kan dette have sin rigtighed? Opgave 8.8 Find, f.eks. ved at indlægge figur 8.9 i et velvalgt koordi natsystem, størrelsen af vinklerne u og v og eftervis herefter, at forholdet mellem deres størrelser er 1,77. Opgave 8.9 Næste totale solformørkelse i Danmark finder sted 25. maj Undersøg, hvornår og hvor den næste formørkelse finder sted. Opgave 8.10 Figur 8.12 viser forskellige baner for Månen i forhold til Jor dens skyggekegle i tiden omkring fuldmåne. Den fuldt optrukne linie er ekliptika, medens de stiplede linier viser månebaner. Beskriv de tre baner med hensyn til formørkelser. Figur

120 Sfærisk Astronomi Appendix 1 Nogle nyttige sammenhænge og konstanter Vinkelmål 1 h = 60 m = 15 ; 1 m = 60 s = 0,25 1 = 60 ; 1 = 60 Afstandsenheder 1 AU = 1 astronomisk enhed = 149, km 1 ly = 1 lysår = 6324,11 AE = 9, km 1 pc = 1 parsec = AU = 3, ly = 3, km Middelafstande Jorden - Solen Jorden - Månen = 149, km = km Masser Solen Jorden Månen 1, kg 5, kg 7, kg Radier Solen Jorden - ækvatorial Jorden-polar Månen km 6378 km 6357 km 1738 km Vinkler Ækvators hældning mod ekliptika = Månebanens hældning mod ekliptika = 5 08 Tidsmål 1 soldøgn = 24 h 1 stjernedøgn = 23 h 56 m 04,103 s 1 tropisk år = 365,2422 soldøgn = 365 d 05 h 48 m 46 s 1 siderisk år = 365,2564 soldøgn = 365 d 06 h 09 m 13 s 120

121 Appendix 2 Stjernebillede contra stjernetegn I tabellen er anført Solens ekliptikale længde, jf. Ekliptikakoordinater, ved indgangen til et stjernebillede henholdsvis et stjernetegn. Stjernebillede/ Stjernetegn Astrologisk Længde i Indgangsdag Astronomisk Længde i Indgangsdag Vandmanden jan febr Fiskene feb mar. Vædderen mar apr. Tyren apr maj Tvillingerne maj jun. Krebsen jun jul. Løven jul aug. Jomfruen aug sep. Vægten sep okt. Skorpionen okt nov. Ophiucus nov. Skytten nov dec. Stenbukken dec jan. Bemærk, at Solen i sin årlige vandring rundt i ekliptika passerer gennem 13 stjernebilleder. 121

122 Sfærisk Astronomi Appendix 3 Regning med operatorer og udsagn Ved kalenderberegninger har man stor glæde af følgende matematiske operatorer: mod giver resten ved heltalsdivision. Eks.: 27 mod 4 = 3. div giver heltalsdelen ved en division. Eks.: 27 div 4 = 6. int giver heltalsdelen af et tal. Eks.: int(3,865) = 3. er det logiske eller er det logiske og. Man kan regne med udsagn sådan at forstå, at et sandt udsagn repræ senterer tallet 1, medens et falsk udsagn repræsenterer tallet 0. Udsagn kan da optræde som faktorer, addender, osv. F.eks. er 4 (m = 2) tallet 4, hvis m har værdien 2; ellers er det nul. 122

123 Litteratur Emnet i denne bog er næsten tidløst, så også lidt ældre bøger er stadig anvendelige. Nyere bøger findes let via internettet, medens ældre ofte kun kan findes antikvarisk eller lånes på biblioteker. I listen herunder anfører især ældre litteratur, nogle tidsskrifter samt enkelte internetadresser. Bøger Allen, Richard H.: Star Names, Their Lore and Meaning. Dover Publications New York Brown, P. Lancaster: Bogen om astronomi. Politiken Cornelius, Geoffrey: Himlens Stjerner. Høst og Søn, København, Halkjær, Erik: Sfærisk astronomi. Gyldendal Helt, Bodil: Klassisk Astronomi. Akademisk Forlag Kanas, Nick: Star Maps. History, Artistry and Cartograhy. Springer Verlag, Klepesta & Rukl: Constellations. Hamlyn, London Liebgott, Niels-Knud: Kalendere, Folkelig Tidsregning i Norden. Nationalmuseet Roth, Günter D.: Stjerner og planeter. Gad Schadewaldt, Wolfgang: Græske stjernesagn. Gyldendal Strømgren, Elis og Bengt: Lærebog i astronomi. Gyldendal Vestergaard, Erik: Astronomisk Navigation. Matematiklærerforeningen,

124 Sfærisk Astronomi Almanakker og tidsskrifter Almanak skriv og Rejse-Kalender. Københavns Universitet. Astronomisk Guide. Astronomisk Selskab. Astronomy. Kalmbach Publishing Co. Sky and Telescope. Sky Publishing Corp. Cambridge Mass., USA, 12 numre pr år. Sterne und Weltraum. Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft mbh, Heidelberg. Leksika og stjernekort Norton s Star Atlas and Reference Handbook. Pearson Education, Svanhof, B: Stjernekort. Gyldendal, Vehrenberg & Blank: Handbuch der Sternbilder. Treugesell-Verlag. Düsseldorf Will Tirion: Sky Atlas Sky Publishing Corp. Cambridge Mass., USA Freeware almanakoplysninger og stjernekort Cartes du Ciel: sourceforge.net/projects/skychart/ Stellarium: World Wide Telescope: 124

125 Litteratur Konverteringsprogrammer Konvertering mellem koordinatsystemer på himlen www2.arnes.si/~gljsentvid10/nebes_pod/al_az_.htm Nogle apps til smartphones og tablets Planetdroid gratis. Denne app udregner efemerider med stor præcision for Solen, Månen og planeterne. Der vises en tabel over op- og nedgangstider, kulminationstider, elongation, azimut, højde, rektascension og deklination, afstand, og mange andre oplysninger for det tidspunkt, man vælger. Dele af det vises også grafisk. Vortex planetarium 4,99 $. Et fantastisk planetarium, som kan operere i Sky-mode henholdsvis Manual mode. I første tilfælde viser det et kort over den del af himlen, som skærmen vender mod. Der er gode søge- og zoommuligheder samt udførlige info-muligheder. Desuden er der en What s up-mulighed. SkySafari Plus 14,99 $. Atter et fantastisk planetarieprogram. Man skulle ikke tro, at det var muligt at proppe så megen funktionalitet ind i et program. Google Skymap gratis. Giver et vindue til nattehimlen. Velegnet til at lokalisere objekter på himlen. MoonWidget gratis. Viser månens faser, opgang og nedgang, koordinater, afstand mm. Priserne er indhentet november

126 Sfærisk Astronomi Index A B Albedo 109 Anomalistisk år 92 Aphelium 81 Apogæum 106 Asteroide 12 Astrologi 69 Azimut 44 Baneelementerne 80 Bredde ekliptikal 31 geografisk 25 D E F Dagbue 49, 51, 52, 61, 62 Deklination 28 Deklinationscirkel 27 Diopter 44 Dyrekredsen 41, 69 Døgncirkel 27 Egenbevægelse 35 Ekliptika 14, 29, 120 Ekliptikas plan 29 Ekscentricitet 81 Elongation 77 Epakt 96 Epoke 32 Faser 14, 84 Fasevinkel 85 Formørkelsesgrupper 113 Forårspunkt 28 G Gauss-regel for påske 96 Gravitationsloven 12 Gyldental 95 H I J Halvskygge 111 Horisont 26, 42 Højde 43 Inklination 82 Interstellart stof 11 K L Juliansk år 92 Kalender gregorianske 91 julianske 92 mosaiske 94 muslimske 94 Keplers love 12 Kerneskygge 111 Kimingen 54 Knudelinie 83 Kometer 12 Konjunktion 77 Korresponderende højder 45 Kulmination 26, 48 Kvadratur 77 Libration 106 Lillecirkel 21 Lyse nætter

127 Indeks Længde ekliptikal 31 geografisk 25 M Meridian 26, 28 Messierkataloget 10 MET 91 Metons cyklus 95 Middelafstand 81, 82 Middelsol 91 Middelsoltid 91 Månen afstand 107 faser 14, 84, 107 formørkelser 111 horisontillusion 107 knudelinie 113 libration 106 omløbstid 95, 105 præcession 107 N Nadir 26 Natbue 49 Nedgangspunkt 49 Nedgangstidspunkt 51 Nomenklatur 64 Nordlys 15 Nutation 33 O Omløbstid siderisk 79 synodisk 79 Opgangspunkt 49 Opgangstidspunkt 51 P Opposition 77 Opstigende knude 82 Parallakse 107 Perigæum 106 Periheliets længde 82 Perihelium 81 Periheltid 82 Polarlys 15 Polarstjerne 27 Polhøjde 26, 44 Progressiv bevægelse 77 Påskedag 93 R S T Reduktion 33 Refraktion 52, 54 Rektascension 28 Retrograd bevægelse 77 Sarosperiode 113 Soldøgn 90 Solformørkelse 112 Stereografisk projektion 37 Stjernedøgn 45 Stjerneskud 13 Stjernetid 45 Storcirkel 21 Størrelsesklasse 17 absolut 17 tilsyneladende 17, 55, 89 Synodisk omløbstid 79 Terminatoren 14 Tidsjævningen

128 Sfærisk Astronomi Timevinkel 45 Tropisk år 91 Tusmørke 55 U V Z UTC 91 Verdensakse 27 Verdenstid 91 Vertikallinie 25 Vædderpunkt 34 Zenit 26 Zenitdistance 43 Zodiak 30 Zodiakallys 15 Æ Ækvator 25, 27 Ækvatorpunkt 28 Å År anomalistisk 92 juliansk 92 siderisk 92 tropisk

129 Hermed slutter bogen.