Spor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm.
|
|
- Hanne Karlsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Homografier Möbius transformationer Følgende tema, handler om homografier, inspireret af professor Børge Jessens noter, udgivet på Københavns Universitet Noterne er herefter blevet bearbejdet og tilpasset gymnasiet, men kan også bruges i den indledende matematik-undervisning på universitetet. Ved en homografi (eller en homografisk transformation eller Möbius transformation) forstås en afbildning bestemt ved en funktion a z + b w = f z = c z + d, () a b hvor a, b, c og d og matricen c d er regulær (dvs. at talparrene ( ab, ) og ( c, d) er lineært uafhængige)). At matricen er regulær kan også udtrykkes ved, at determinanten a d b c 0. Øvelse Vis, at to talsæt (,,, ) og og kun hvis de er proportionale. a b c d (,,, ) a b c d bestemmer samme funktion, hvis Behovet for betingelsen som a d b c 0 i ligning (), kan ses ved at skrive f ( z ) a b c a d f ( z) = +, med c 0, c c c z + d (2) eller ved at bemærke, at ( z) f = a d b c ( c z + d). 2 (3) Ligning (2) viser nødvendigheden af betingelsen a d b c 0, som følge af at f ( z ) ikke degenererer og afbilder ethvert punkt z over i punktet w = a c. Hvis c = 0 reduceres transformationen til den lineære transformation (se punkt nedenfor). Resultatet i ligning (3), viser at betingelsen a d b c 0, er nødvendig for at afbildningen er konform.. Hvis c = 0 drejer det sig om funktionen a b w = f ( z) = z a z b, c + c = + hvor a 0.
2 Hvis a = og 0 er dette den identiske afbildning f z = z. Hvis a = og b 0 er det den ved b bestemte parallelforskydning, som ikke har noget fikspunkt. Hvis a, har afbildningen det ved ligningen w0 = a z0 + b b bestemte fikspunkt z0 =. Ligningen w = a z + b antager ved subtraktion a af w0 = a z0 + b formen b = w w = a z z 0 0, ia og sættes a = r e (altså r a a = arg a ), ser man, at afbildningen er den ligedannethed, der beskrives ved, at z 0 går over i sig selv, og at enhver vektor z z 0 går over i den vektor w w0, der fås ved at multiplicere vektoren med r og dreje den en vinkel a. Vi siger at afbildningen, er sammensat af en homoteti ud fra z0 i forholdet r og en drejning om z0 med drejningsvinklen a (rækkefølgen af de to transformationer er ligegyldig). Er a reel og > 0, falder drejningen bort, a =, falder homotetien bort. Er a reel og < 0, kan vi vælge a = π, og drejningen er ensbetydende med en spejling i. = og Øvelse 2 Vis, at f er en bijektiv afbildning af på. Den omvendte afbildning bestemmes ved b. a a z = f w = w Den er altså en homografi af samme type. z 0 Øvelse 3 Vis, at ovenstående udtryk stemmer. 2. Hvis c 0, er funktionen kun defineret for d z c Øvelse 4 Vis, ved løsning efter z fås for d w + b z = f ( w) =. c w a w a c 2
3 Ved w f ( z) afbildning z f ( w) = afbilder d \{ } altså bijektivt på { } c \ a c, og den omvendte = er en homografi af samme type. Man frigør sig for undtagelsespunkter ved at udvide med et uendeligt fjernt punkt til, idet man sætter f c f a = og =. d c Herved bliver f en bijektiv afbildning af på. Øvelse 5 Vis, at f bliver en bijektiv afbildning af på. Bemærk a At f ( ) =, kan vises ved følgende omskrivning: c a + ( b z) f ( z) = går mod værdien a for z gående mod uendelig. c c + d z Herved bliver den omvendte afbildning en udvidelse og der gælder, at a d f = og f =. c c 3. Den udvidede plan anskueliggør man sig ved, at man anbringer en kugleflade S med en diameter på med sydpolen i z = 0 og projicere på S fra nordpolen. Ved denne stereografiske projektion afbildes bijektivt på S \ nordpolen, og man fastsætter nu nordpolen som billede af. Se figur 3 for { } en grafisk fremstilling. At kuglen netop placeres med sydpolen i z = 0 og at dens diameter vælges til er z z = afbildes i naturligvis underordnet. Herved opnås, at enhedscirklen { } kuglens ækvator. 4. Indførelsen af giver anledning til, at vi også i tilfældet c = 0, altså for en funktion w = f z = a z + b med a 0 går over til, idet vi fastsætter f =. Herved bliver f en bijektiv afbildning af på. For den omvendte betyder udvidelsen, at f b a afbildning z = f w = w =. Herefter må a det ovenfor gjorte udsagn vedrørende fikspunkter modificeres, idet vi nu i tilfældet a =, b 0 (parallelforskydningen) får det ene fikspunkt, og i b tilfældet a (ligedannetheden) får de to fikspunkter z0 = og. a Bemærk, at formelparret 3
4 a z + b c z d = = og z f ( w) + w f z d w + b = = c w a a b også gælder, når c = 0. Vi har blot ovenfor i dette tilfælde sat = a d og = b d (eller, hvad der kommer ud på det samme, valgt d = ). Efter den foretagne udvidelse har vi formuleret følgende Sætning Enhver homografi er en bijektiv, kontinuert afbildning af på. Bevis I det følgende vil vi stadig operere med udvidelserne til, men vi vil, for ikke at besværliggøre fremstillingen urimeligt, i regningerne se bort fra punktet og i reglen udelade de trivielle fortolkninger, som er nødvendige for dette pinks vedkommende. Vi kan tillade os dette, idet der i de regninger, vi kommer til at udføre, altid kun vil være et endeligt antal punkter for hvilke de ikke har mening, og resultaterne udstrækkes på grund af afbildningernes bijektivitet og kontinuitet umiddelbart til også at omfatte disse punkter. q.e.d. Sætning 2 Homografierne udgør en transformationsgruppe i. Bevis Vi har allerede vist, at den omvendte afbildning til en homografi er en homografi. Det drejer sig derfor om at vise, at når f og g er homografier, er også f g en homografi. Dette ses af, at vi ved sammensætning af får a z + b w = f z = c z + d a t + b c z + d 2 2 og z = g( t) = 2 2 a3 t + b w = f g( t) = c z + d 3 3 3, hvor a3 b3 a b a2 b2. c d = c d c d q.e.d. Øvelse 6 Indtast f og Sætning 3 g i et Cas-program og find f g( t ). Enhver homografi w f ( z) et eller to fikspunkter i. a z + b = =, som ikke er den identiske afbildning, har c z + d 4
5 Bevis Hvis c = 0, altså f ( z) = a z + b, har f som foran bemærket intet eller et fikspunkt i, eftersom α = eller a, og desuden fikspunktet. Hvis c 0, har f ikke til fikspunkt, og fikspunkterne i bestemmes ved a z + b z =, eller c z + d 2 c z a d z b = 0, der er altså et eller to, eftersom diskriminanten ( a d) 2 4 b c + er = 0 eller 0. q.e.d. Ovenfor så vi at sammensætning af Möbius transformationer igen er en Möbius transformation (se sætning 2)). Hvis der findes en identisk afbildning (kaldet det neutrale element), kan man vise, at vi får en gruppe. Øvelse 7 I algebraen taler vi om en gruppe. Möbius transformationer med kompositionen sammensætning er en gruppe. Kontroller om disse er opfyldt for en Möbius transformation. Den gruppe er meget interessant for både matematik og fysik. Øvelse 8 Betragt funktionen z i w = f ( z) = z + i Vis, at den inverse funktion er i ( w + ) z =. w Tegn funktionen, når du afbilder punkterne 0, i, z, i. Eksempel 3 Til den komplekse 2 2 matrix a c b d med determinant a d b c 0 tilordnes en rational funktion z w af form a z + b w =, a d b c 0 c z + d 5
6 som kaldes en Möbius transformation. Den er defineret for z, hvor c z + d 0 og har billede w, hvor c w+ a 0. Der er en invers transformation z d w b = c w + a Som også er en Möbius transformation. Det følger af, at sammensat funktion igen er en Möbius transformation, og på matrixform er koefficienterne i sammensætning givet ved matrixmultiplikation (se sætning 2). 6
7 Opgaver Opgave En Möbius transformation fører cirkler og linjer i den komplekse plan i cirkler og linjer, men bevarer ikke altid type eller centrum. Benyt fx omskrivningen a z + b a a d b c =, for c 0. c z + d c c c z + d Opgave 2 Vis, at Möbius transformationen w = z er en bijektiv afbildning af fraregnet 0 på sig selv. For reelle tal a > 0 afbildes cirklen med centrum i a og radius a z a = a på den lodrette linje gennem 2 a Re w = 2 a og omvendt da transformationen er sin egen inverse. Opgave 3 Vis, for a < er Möbius transformationen z a w =, a z en bijektiv afbildning af cirkelskiven z på sig selv. Opgave 4 Vis, at möbius transformationerne z i, i w z w + = = i z + i w + giver en bijektiv afbildning z Im z > 0 w w <. { } { } 7
8 2. Dobbeltforhold I det videre studium af homografierne spiller begrebet dobbeltforhold en afgørende rolle. Ved dobbeltforholdet af de fire tal z, z, z2,, af hvilke z, z2, er indbyrdes forskellige, forstås tallet 2 [ zz z z ] = 2 3 z z z z z z z z hvis z, z2, alle er ; henholdsvis z, z2, er, skal udtrykket på højre side (naturligvis) erstattes med henholdsvis z z2 z z z2,,. z z z z z z Man ser, at w = f ( z) = [ z z z2 ] i alle tilfælde er en homografi, og at f ( z ) =, f ( z ) = Sætning 4 Til tre indbyrdes forskellige punkter z, z2, punkter, 2, 3 findes en og kun en homografi z, z2, i w, w2, w 3, dvs. for hvilken f z = w, f z = w, f z = w 3. f z =, og tre indbyrdes forskellige w w w w f ( z) Bevis Vi danner de dobbeltforholdene bestemte homografier [ ] [ ] t = g z = z z z z og t = h w = w w w w. Da fører g punkterne z = z, z, z over i t =, 0,, og 2 3 h =, der afbilder fører punkterne t =, 0, over i w = w, w2, w3. Altså fører w = h g punkterne z = z, z2, over i punkterne w = w, w, w. 2 3 Hvis to homografier f og f 2 begge fører z, z2, over i w, w2, w3, vil f2 f have de tre fikspunkter z, z2, og vil altså ifølge sætning 3 være den identiske afbildning. Altså er f = f. q.e.d. 2 8
9 Sætning 5 Enhver homografi er dobbeltforholdstro, dvs. hvis den fører z0, z, z2, (hvor z, z2, er indbyrdes forskellige) over i w0, w, w2, w 3 (hvor følgelig w, w 2, w 3 er indbyrdes forskellige), gælder [ z z z z ] [ w w w w ] = (4) Bevis Når, z, z2, går over i w, w2,, er ifølge beviset for sætning 4 3 sammenhørende punkter z og w netop bestemt ved, at g( z) = [ z z z2 ] og h w = w w w w har samme værdi t. [ ] 2 3 Ved en almindelig cirkel i forstås en sædvanlig cirkel i udvidet med punktet. Man ser, at der gennem tre indbyrdes forskellige punkter z, z2, går en og kun en almindelig cirkel. Vi vil vise, at denne cirkel er mængden af punkter z, for hvilke værdien af dobbeltforholdet [ zz z2 z 3] er et reelt tal eller. Dette er ensbetydende med at sige, at cirklen ved den ved dobbeltforholdet bestemte w = f z = z z z z afbilder på den reelle akse udvidet med. homografi [ ] 2 3 Vi betragter først det tilfælde, hvor cirklen er en sædvanlig cirkel (se figur). z2 α π α α + π z For z = z2, har [ zz z2 z 3] værdierne 0,. Vi skal altså vise, at cirklen eksklusive punkterne z2, er mængden af de punkter z, for hvilke z z2 z z2 [ zz z2 ] \{ 0}, dvs. for hvilke = k, hvor k \{ 0}. z z z z 3 3 9
10 z z Tallet 2 har argumentet α 0, π. De søgte punkter er de punkter z z2,, z z z2 for hvilke har enten argumentet α eller α + π? Punktet hører ikke til z disse. Ifølge sætningen om synsvinkelbuer udgør de første den bue z2, af cirklen, der ikke indeholder, de andre den bue z, z af cirklen, der ikke z 2 3 z z2 indeholder z. Ved også at betragte ser man, at når z gennemløber z cirklen fra til i den ved, z2, z, z 3 bestemte retning, vil [ zz z2 z 3] gennemløbe den reelle akse i positiv retning. Vi betragter dernæst det tilfælde, hvor cirklen er en ret linje udvidet med. Hvis z z z, z2,, har 2 argumentet 0 eller π. Det gælder derfor om at søge de z z z2 punkter z z2,, for hvilke har argumentet 0 eller π? Disse udgør netop z linjen eksklusive punkterne z2,. Man ser, at når z gennemløber linjen fra gennem til i den ved, z2, z, z 3 bestemte retning, vil [ zz z2 z 3] gennemløbe den reelle akse i positiv retning. De tilfælde, hvor cirklen er en ret linje udvidet med, og henholdsvis z, z2, er, behandles på tilsvarende måde. q.e.d. Sætning 6 Enhver homografi er cirkeltro, dvs. billedet af enhver almindelig cirkel er en almindelig cirkel. Bevis Lad z, z2, være indbyrdes forskellige punkter på den almindelige cirkel og w, w2, w 3 deres billeder. Det til et punkt z svarende punkt w er da ifølge sætning 5 bestemt ved, at [ zz z2 ] = [ ww w2 w3 ]. Da cirklen består af de punkter z, for hvilke [ zz z2 z 3] er reel eller, består af de punkter z, for hvilke [ ww w2 w 3] er reel eller? Billedet er altså netop den almindelige cirkel gennem w, w, w. q.e.d
11 Sætning 7 a z + b Enhver homografi w = f ( z) = er vinkeltro (med bevarelse af c z + d orienteringen). I denne forbindelse må vi nødvendigvis se bort fra punktet, dvs. vi må for c = 0 nøjes med at betragte f som en afbildning på, for c 0 som en afbildning d af \ på \ a. c c Bevis Funktionen f er holomorf, og dens afledede er f ( z) a d b c = ( c z + d) 2, som er 0. Vi ved fra tidligere, at betingelsen a d b c 0 er nødvendig for at afbildningen er konform. Det nærmere studium af den ved en homografi bestemte afbildning knyttes til bekvemt til fikspunkterne. = med to fikspunkter z0 og z. Hvis et af fikspunkterne, fx z, er, er afbildningen af typen = = +, a, og bestemmes også ved w z0 = a ( z z0). Den er da en ligedannethed. A. En homografi w f ( z) w f ( z) a z b Øvelse 9 Undersøg hvorfor det er en ligedannethed. Hvis begge fikspunkter er z z0 t = h( z) =. z z For denne gælder, vi nu for et givet w z0 s = h( w) =, w z ser vi, at s og t er forbundet ved, indfører vi som hjælpefunktion homografien h( z 0 ) = 0 h( z ) = og altså h ( 0 ) z 0, h z foruden t = h( z) det til w f ( z) s = h f h t = f t. = =. Betragter = svarende punkt z
12 = gælder f =, For denne homografi f h f h 0 0 f =. Den har altså de to fikspunkter 0 og og åbenbart ikke andre og er derfor af formen s = f t = a t, a. Afbildningen w = f z er derfor bestemt ved, at w z z z w z z z 0 0 = a. ia = Sættes α r e, er afbildningen s = f t = a t sammensat af den ved r bestemte homoteti ud fra 0 og den ved a bestemte drejning om 0. Bestemmes t ved t = k, arg t = θ, er s altså bestemt ved s = r k, arg s = θ + α. w s z0 α z α z α 0 t Ved afbildningen z z z z 0 = k z = h t går den ved t = k bestemte cirkel over i den ved bestemte forholdscirkel hørende til og, og den ved z0 z arg ( t ) 0 bestemte halvlinje går over i den ved arg z z = θ bestemte synsvinkelbue z z hørende til z0 og z. Vinkeltroskaben viser, at forholdscirklerne og synsvinkelbuerne skærer hinanden ortogonalt. Tilsvarende går ved afbildningen w z0 w = h ( s) den ved s = r k bestemte cirkel over i den ved = r k bestemte w z = θ 2
13 0 forholdscirkel, og den ved arg w z w z bestemte synsvinkelbue. Vinkeltroskaben viser, at denne i z0 og z danner vinklen α med den forrige. Afbildningen w = f ( z) kan derfor beskrives ved hjælp af forholdscirklerne og synsvinkelbuerne hørende til fikspunkterne z0 og z. Man kan kort sige, at den fremkommer ved at underkaste ligedannetheden s = f ( t) = a t transformationen h. Formelmæssigt udtrykkes det sagte ved at w z0 z z0 w z0 z z0 = r,arg = arg + α. w z z z w z z z Hvis a =, går hver forholdscirkel over i sig selv; afbildningen kaldes elliptisk. Hvis a er reel og > 0, går hver synsvinkelbue over i den modsatte synsvinkelbue (den, der sammen med buen udgør en cirkel); afbildningen kaldes hyperbolsk. I alle andre tilfælde kaldes afbildningen laxodromisk. w = f z = a z + b, a. Disse bemærkninger benyttes også for afbildningen B. Homografi w = f ( z) med et fikspunkt z 0. Hvis z 0 =, er afbildningen af typen w = z + b, b 0, altså en parallelforskydning. Hvis z, indfører vi som hjælpefunktion homografien 0 t = h ( z ) =. z z 0 For denne gælder h( z 0 ) = og altså foruden t = h( z) det til w f ( z) h = z 0. Betragtes nu for et givet = svarende punkt z s = h ( w) = w z ser vi, at s og t er forbundet ved 0, s = h f h t = f t. For denne homografi f = h f h gælder f og åbenbart ikke andre og er derfor af formen Afbildningen w = f ( z) er derfor bestemt ved, at =. Den har altså fikspunktet s = f t = t + b, b 0. 3
14 b. w z = z z w z s z0 b t Afbildningen s = f t = t + b kan beskrives ved hjælp af to linjesystemer, nemlig dels de med b parallelle linjer, som hver afbildes i sig selv, dels de på disse ortogonale linjer, af hvilke hver afbildes i den, der fås ved at forskyde den. Hvert af disse linjesystemer afbildes ved i et system af cirkler med samme tangent i z0 ; pga. vinkeltroskaben vil disse cirkelsystemers tangenter i z0 være ortogonale. Ved h w = f ( z) afbildes hver cirkel i det ene system i sig selv, medens hver cirkel i det andet system afbildes i en anden cirkel i dette system. Afbildningen kaldes parabolsk. Denne benævnelse benytter også for en parallelforskydning w = f z = z + b, b 0. Homografierne er først studeret af Möbius (853) under betegnelsen Kreisverwandtschaften og kaldes også Möbius transformationer. Fundamentale afsnit af geometrien mødes her med funktionalteorien. Eksempel 4 afbildning af det indre af en cirkel på det ydre af en cirkel Find homografien som afbilder punkterne i, og i på en cirkel i z -planen på punkterne 0, + i og 2 på en cirkel i w -planen. Bestem området i w -planen som er billedet det indre af cirklen i z -planen. b 4
15 Links: 5
16 Ordliste over de vigtigste ord til teksten ovenfor. En matrix er et skema bestående af rækker og søjler. Vi kigger specielt på kvadratiske matricer (række- og søjleantal er ens). Regulær matrice: Determinanten er forskellig fra 0. Proportionale talsæt: Eksempel: (, 2, 3, 4 ) og 5,0,5, 20 er proportionale, fordi alle tallene i det sidste talsæt er 5 gange større end i det første talsæt. Parallelforskydning: Eksempel: f ( z) z 2 i z = x + i y tallet w = x + + i ( y + 2 ), dvs. punktet ( x, y ) går over i punktet ( x, y 2) svarer til at vi flytter planen vandret og 2 lodret. Det er en parallelforskydning med vektoren. 2 = + +, vil sende tallet over i + +. Det Fikspunkt: Et punkt på linjen w = z, dvs. et punkt der afbildes over i sig selv. z = f z. Det er det samme som en løsning til ligningen Ligedannethed: Konform. Dvs. små trekanter bliver til trekanter med de samme vinkler. Et eksempel på ligedannethed uden drejning: Figur 6
17 Stereografisk projektion af fladen på kuglen: Stereografisk projektion tegn en linje fra Nordpolen gennem et givet punkt på sfæren. Punktets skygge er stedet, hvor linjen møder planen nedenunder. De punkter som ligger uendeligt langt væk, vil afbildes i nordpolen. Bijektiv afbildning: Til hvert z svarer netop et w. Konform afbildning: En afbildning f kaldes konform i et punkt. I en omegn af z0 er f tilnærmelsesvist en ligedannethed. holomorf med f ( z 0 ) 0 z0, hvis f er Synsvinkelbue Eksempel v Korde 2 v v Figur 3 7
18 Alle vinkelspidserne på den store cirkelbue danner en vinkel på v grader, når vinkelbenene tegnes til kordens endepunkter. Hvis punktet er udenfor cirklen bliver vinklen mindre end v og hvis punktet er indenfor cirklen bliver vinklen større end v. Synsvinklen for korden er altid halvdelen af buen. Tegningen viser to synsvinkler for den samme korde svarende til en bue på 2 v. 8
Affine transformationer/afbildninger
Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 2
Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.
Læs mere1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen
1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,
Læs mereSfærisk Geometri. Ikast Ib Michelsen
Sfærisk Geometri Ikast 2018 Ib Michelsen Ib Michelsen Matematik A: Sfærisk Geometri Sidst ændret: 25-11-2018 Udskrevet: C:\Users\IbM\Dropbox\3uy\SfGe\SG0.odt 12 sider Indholdsfortegnelse Indledning...4
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,
Læs mereVinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014
Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereOversigt [LA] 3, 4, 5
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Læs mereTransformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion
Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august 2007 1 Inversion Inversion er en bestemt type transformation af planen, og ved at benytte transformation på en geometrisk problemstilling
Læs mereSvar på sommeropgave (2019)
Svar på sommeropgave (9) Opgave: I B er O centrum for den omskrevne cirkel og DE er en korde parallel med. En cirkel med centrum O gerer DE, B og den omskrevne cirkel, og en cirkel med centrum O gerer
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1)
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant. a) Beregn konstanten b således,
Læs mereOversigt [LA] 11, 12, 13
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar
Læs mereDefinition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Læs mereNøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse
Læs mereMatematik A. Højere teknisk eksamen. Gammel ordning. Forberedelsesmateriale. gl-htx191-mat/a
Matematik A Højere teknisk eksamen Gammel ordning Forberedelsesmateriale gl-htx191-mat/a-27052019 Udlevering: Mandag den 27. maj 2019 Forberedelsesmateriale til prøverne i matematik A Der er afsat 10 timer
Læs mere3D-grafik Karsten Juul
3D-grafik 2005 Karsten Juul Når der i disse noter står at du skal få tegnet en figur, så er det meningen at du skal få tegnet den ved at taste tildelinger i Mathcad-dokumentet RumFig2 Det er selvfølgelig
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Nasser 0. april 0 c 008-0. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereMatematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu
Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C
Læs mereKomplekse perler: Möbiustransformationer, hyperbolske mønstre og fraktaler
: Möbiustransformationer, hyperbolske mønstre og fraktaler Institut for matematiske fag Aalborg Universitet AAU 26.3.2010 Matematiske perler Möbiustransformationer Definition Möbiustransformation: En afbildning
Læs mereMødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius.
6.01 Mødet Begreb Eksempel Navn Parallel Vinkelret Linjestykke Polygon Cirkelperiferi Midtpunkt Linje Diagonal Radius Ret vinkel 6.02 Fire på stribe Regler Hver spiller får en spilleplade (6.03). Alle
Læs mereElementær Matematik. Trigonometriske Funktioner
Elementær Matematik Trigonometriske Funktioner Ole Witt-Hansen Indhold. Gradtal og radiantal.... sin x, cos x og tan x... 3. Trigonometriske ligninger...3 4. Trigonometriske uligheder...5 5. Harmoniske
Læs mereMatematik: Struktur og Form Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer
Matematik: Struktur og Form Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2017 1 / 12 Matrixmultiplikation Am n = [aij ], Bn
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereNøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar
Læs mereD = 0. Hvis rører parablen x- aksen i et enkelt punkt, dvs. den tilhørende andengradsligning
Projekt 55 Andengradspolynomier af to variable Kvadratiske funktioner i to variable - de tre typer paraboloider f() = A + B + C, hvor A 0 Et andengradspolynomium i en variabel har en forskrift på formen
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereLektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.
Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem
Læs mereI det følgende betragter vi en kugleflade med radius r. Lad os minde om, at overfladearealet af kuglen er F = 4π
Sfærisk geometri 26. Sfæriske trekanter 1 Den sædvanlige plangeometri handler, som navnet antyder, om geometri på en»plan«flade. Som model af den virkelige verden er plangeometrien udmærket, blot man holder
Læs mereLigningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet
Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemet Ax = 0 har mere end en løsning (uendelig mange) hvis og kun hvis nullity(a) 0 Løsningerne til et konsistent ligningssystem Ax
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote 7 enote 7 Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses Der bruges egenværdier og egenvektorer i løsningsproceduren,
Læs mereMatematik 1 Semesteruge 5 6 (30. september oktober 2002) side 1. Komplekse tal Arbejdsplan
Matematik Semesteruge 5 6 (30. september -. oktober 2002) side Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med opgaveregning
Læs mereGradienter og tangentplaner
enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem
Læs mereElementær Matematik. Mængder og udsagn
Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er
Læs mereLineær Algebra, TØ, hold MA3
Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mereLineær Algebra - Beviser
Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske tekst på bagsiden, hvis du følger den danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første
Læs mereAfstandsformlen og Cirklens Ligning
Afstandsformlen og Cirklens Ligning Frank Villa 19. august 2012 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk.
Læs mere1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?
1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også
Læs mereGruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.
Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereSymmetriske og ortogonale matricer Uge 7
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7 Preben Alsholm Efterår 2009 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = [ a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji
Læs mereUge 11 Lille Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Det ortogonale komplement
OPGAVER 1 Opgaver til Uge 11 Lille Dag Opgave 1 Det ortogonale komplement a) I R 2 er der givet vektoren (3, 7). Angiv en basis for det ortogonale komplement. b) Find i R 3 en basis for det ortogonale
Læs mereOm første og anden fundamentalform
Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt
Læs merez j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z
Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,
Læs mere1.1.1 Første trin. Læg mærke til at linjestykket CP ikke er en cirkelbue; det skyldes at det ligger på en diameter, idet = 210
1.1 Konstruktionen Denne side går lidt tættere på den hyperbolske geometri. Vi bruger programmet HypGeo, og forklarer nogle geometriske konstruktioner, som i virkeligheden er de samme, som man kan udføre
Læs mereVEKTORGEOMETRI del 2 Skæringer Projektioner Vinkler Afstande
VEKTORGEOMETRI del Skæringer Projektioner Vinkler Afstande x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Februar 019 ; Michael Szymanski ; mz@ghg.dk 1 Indhold OVERSIGT... 3 SKÆRINGSPUNKTER OG RØRINGSPUNKTER...
Læs mereEksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 4. januar 9 kl. 9:-: Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider
Læs mereKøbenhavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Afleveringsopgave 4 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte forsider
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereFigur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller
Læs mereVektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...
Læs mere************************************************************************
Projektet er todelt: Første del har fokus på Euklids system og består af introduktionen, samt I og II. Anden del har fokus på Hilberts system fra omkring år 1900 og består af III sammen med bilagene. Man
Læs mereDelmængder af Rummet
Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Juni 28 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten
Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen
Læs mereTilhørende: Robert Nielsen, 8b. Geometribog. Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden.
Tilhørende: Robert Nielsen, 8b Geometribog Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden. 1 Polygoner. 1.1 Generelt om polygoner. Et polygon er en figur bestående af mere end
Læs mereGratisprogrammet 27. september 2011
Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne
Læs mereKonstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder)
1: Tegn disse figurer: a: Et kvadrat med sidelængden 3,5 cm. b: En cirkel med radius 4,. c: Et rektangel med sidelængderne 3,6 cm og 9,. d: En cirkel med diameter 7,. e: En trekant med grundlinie på 9,6
Læs mereGeometri Følgende forkortelser anvendes:
Geometri Følgende forkortelser anvendes: D eller d = diameter R eller r = radius K eller k = korde tg = tangent Fig. 14 Benævnelser af cirklens liniestykker Cirkelperiferien inddeles i grader Cirkelperiferien
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mereOm ensvinklede og ligedannede trekanter
Om ensvinklede og ligedannede trekanter Vi vil her give et bevis for sætningen, der siger at for trekanter er begreberne ensvinklet og ligedannet det samme. Sætningen er langt fra trivial trekanter er
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni skoleåret 2016/17 Institution Viden Djurs - VID Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold HTX
Læs mereTo ligninger i to ubekendte
Oversigt [LA] 6, 7 Nøgleord og begreber Løs ligninger Eliminer ubekendte Rækkereduktion Reduceret matrix Enten-eller princippet Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Beregn invers matrix Calculus
Læs mereReeksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet
Reeksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 9 kl. 9:-: Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider
Læs mereProjekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion
ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2015 Københavns
Læs mereSymmetriske og ortogonale matricer Uge 6
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Preben Alsholm Efterår 2010 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Det sædvanlige
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2012 Institution Uddannelse Fag og niveau VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg GSK Matematik
Læs mereDesignMat Komplekse tal
DesignMat Komplekse tal Preben Alsholm Uge 7 Forår 010 1 Talmængder 1.1 Talmængder Talmængder N er mængden af naturlige tal, 1,, 3, 4, 5,... Z er mængden af hele tal... 5, 4, 3,, 1, 0, 1,, 3, 4, 5,....
Læs mereEgenværdier og egenvektorer
enote 9 enote 9 Egenværdier og egenvektorer Denne note indfører begreberne egenværdier og egenvektorer for lineære afbildninger i vilkårlige generelle vektorrum og går derefter i dybden med egenværdier
Læs mereKomplekse tal. x 2 = 1 (2) eller
Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse
Læs mereVi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge.
Cykloider Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge Retningspunkt (repetition) Figur 1 viser enhedscirklen Det viste punkt P er anbragt sådan at den øverste af buerne
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))
GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3
Læs mereGeometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit
Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale
STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale
Læs mereForslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de nye emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gymnasiepensum:
Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de ne emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gmnasiepensum: Ordinær kursusgang : Introduktion til vektorer og matricer. Regning
Læs merez 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2
M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning
Læs meregeometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt
brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er
Læs mereNoter om komplekse tal
Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at
Læs mereTidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
Læs mereLokalt ekstremum DiploMat 01905
Lokalt ekstremum DiploMat 0905 Preben Alsholm Institut for Matematik, DTU 6. oktober 00 De nition Et stationært punkt for en funktion af ere variable f vil i disse noter blive kaldt et egentligt saddelpunkt,
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs mereSkriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)
SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige
Læs mereElevbog s. 14-25 Vi opsummerer hvad vi ved i. kendskab til geometriske begreber og figurer.
Årsplan 5. LH. Matematik Lærer Pernille Holst Overgaard (PHO) Lærebogsmateriale. Format 5 Tid og fagligt Aktivitet område Uge 33-37 Tal Uge 38-41 (efterårsferie uge 42) Figurer Elevbog s. 1-13 Vi opsummerer
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereMatematik for økonomer 3. semester
Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.
Opsamling Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.. Brøkregning, parentesregneregler, kvadratsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Geometri. Georg Mohr-Konkurrencen
Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en teoretisk indføring, men der i stedet fokus på
Læs mereAALBORG UNIVERSITET LANDINSPEKTØR- MATEMATISK GRUNDLAG LISBETH FAJSTRUP. IVER OTTOSEN. - om formiddagen i hvert fald. Ellers er den parallelforskudt:
Generelt om kurset: Kurset består af flere elementer: Forelæsninger - to timer, Øvelser: Opgaveregning. Arbejde hjemme med Litteraturen Repetitionsopgaver - matematik fra gymnasiet eller første studieår,
Læs mereAnalytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen
Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger
Læs mereSvar på opgave 322 (September 2015)
Svar på opgave 3 (September 05) Opgave: En sekskant har sidelængder 7 7. Bestem radius i den omskrevne cirkel hvis sekskanten er indskrivelig. Besvarelse: ny version 6/0-05. metode. Antag at sekskanten
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mere