SO: Mini-SRP Matematik/IT

Transkript

1 SO: Mini-SRP Matematik/IT Dataopsamling og modellering Dato: 31/03/2014 Vejledere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G. Bjarnason Lavet af: Jacob D. Sørensen, og Rune Kofoed-Nissen Klasse: 2.4

2 Indholdsfortegnelse 1 Forord Indledning Læsevejledning Planlægning Krav Modelbegreb Afkølingsproblematik Delkonklusion IT-delen Instrument Konstruktion af probe Kalibrering Delkonklusion Software Arduino software Dataopsamlings program Delkonklusion Dataopsamling Delkonklusion Matematikdelen Modellering Systemafgrænsning Den matematiske model opstilles Modellens matematiske resultater bestemmes Modellens konklusioner Delkonklusion Konklusion Litteraturliste Bilag Tidsplan Skema over afvigelse fra punkt til model

3 1 Forord Under udarbejdelsen af denne rapport har følgende medvirket: Rune Kofoed-Nissen Jacob Ditlev Sørensen Opgaven er udstedet i fagene Matematik A, Informationsteknologi B. Projektforløbet strækker sig over perioden, d. 3. marts til d. 31. marts. Projektet er udstedet som et SO-tema hvor matematik og informationsteknologi spiller sammen omkring dataopsamling og modulering af opsamlede data. I forbindelse med projektet vil vi gerne takke matematik vejleder Jørn Christian Bendtsen og informationsteknologi vejleder Karl G. Bjarnason. 1. Indledning En kop kaffe afkøles når den står uden mere tilsat energi. Denne afkøling burde accelererer når koppen sættes ned i is. Vores opgave ligger i at opstille og evaluere matematiske modeller, samt sammenligne data som bliver opsamlet fra afkøling af varmt vand i forskellige omgivelser. Omgivelser kunne være forskellige typer kopper, eller påvirkning udefra, altså kold luft, varm luft, nedsænket i is osv. Selve dataopsamlingen skal ske med en temperaturmåler som vi selv bygger ud fra udleverede materialer og komponenter som del af flere eksperimenter vi selv sætter op. 2.1 Læsevejledning I denne rapport vil vi gå igennem vores planlægning for forløbet i afsnittet Planlægning, dette indeholder krav til produkter og gennemgang af matematiske begreber. Rapporten er delt op i to hovedafsnit, en til IT-delen og en matematik delen. I IT-delen ser vi dokumentation på software udvikling, samt dataopsamlingen. I matematik delen ser vi bearbejder vi dataene og opstiller modeller. Alle større afsnit indeholder en delkonklusion, som alle vil blive opsamlet i rapportens endelige konklusion. 2 Planlægning 4.1 Krav Til opsamlingen af dataen har vi valgt at udvikle et eksternt program. Vi har følgende krav til dataopsamlingen/programmet: Opsamle temperatur data ca. hvert minut i en time. Eksportere opsamlede data i en ekstern tekst fil. Visualisere opsamlede data i en graf. Fremvise data, live i kommandoprompt. 2-29

4 Vi har følgende krav til vores temperatur måler. Temperatur måleren skal være vandtæt Man skal kunne skille den ad, uden den går i stykker. Den skal være let at håndtere, og installere. 1.2 Modelbegreb Modelbegrebet er en model der repræsentere (ved hjælp af en eller anden form for midler) af et kompliceret område af virkelighden, med henblik på at få indfanget træk ved virkelighsområdet, som ellers er for vanskeligt tilgængelige eller uhåndterlige. Når det er vi anvender matematik til at behandle vores modeller, kaldes det matematiske modeller. I en matematisk model sker repræsentationen af et virkelighedsområde ved hjælp af matematiske objekter, tal, funktioner, figurer, og hvad matematikken nu består af Afkølingsproblematik Se tilbage i 3.1 for at finde hypotese til det vi vil forklarer omkring afkølingsproblematikken. I afkølingsproblematikken har vi tre mekanismer der kan give en temperaturændring 2 : Varmeledning mellem to legemer, de to legemer (eller materialer) er i fysisk kontakt. Konvention, hvor det ikke er varmeenergi der flyttes, men det varme materiale. Et eksempel er den varme luft der stiger op fra en varm vej på en solrig dag. Varmestråling elektromagnetisk stråling der udsendes af alle legemer. Det kan være svært at forudsige og beregne hvordan eller hvor hurtigt temperaturændringen sker. Ved virkelighedsnære temperatur-forskelle, kan vi benytte Newtons afkølings lov: Ændringen i et legemes temperatur er proportional med temperaturforskellen mellem legemet og omgivelserne. Denne lov vil man bruge ved moderate temperatur forskelle, som vores er. Vi har fået givet følgende formel for beregning af de punkter som skal indgå i vores modeller. T(t) = k 2 e k 1 t Vi vil I dette afsnit gennemgå hvordan man kan komme frem til formlen. Da vi gerne vil undersøge hvor stor én effekt vores varme kop vand giver gøre vi brug af følgende formel: Og newtons afkølingslov: P = Q t P = k T 1 J. Dejgaard og C. Michaelsen, 2001, Trafikmodeller Matematikkens aspekter, Matematiklærerforeningen 2 M. Stoklund (upubliceret) 3-29

5 P Er den mængde effekt der strømmer ud af den varme kop. t Er et kort tidsinterval mellem punkter. Q Er varmemængden. T Start temperaturforskellen mellem vand og omgivelserne. k Er en temperatur konstant afhæng af systemet. T 1 Er temperaturen omkring koppen med vand T 2 Er start temperaturen af vandet Da det er starten af målingerne er t = 0 og følgende må være gældende: T = T 2 T 1 Q afhænger af temperaturændringen ifølge sætning Q = C T C svare til vandets varmekapacitet, der er bestemt ved at gange massen og den specifikke varmekapacitet: C = m c Vi kan nu indsætte det i den første formel: P = Q t Hvis det sættes lige med Newtons afkølingslov fås: C T P = k T = t = C T t T t = k C T Vi vil nu betragte mindre tidsintervaller, svarende til at t går mod 0, hvor at T differentialkvotienten T (t): t vil nærme sig T t T (t) for t

6 Her kan vi tydelig se at det er formlen y a h t, hvor at grænseværdien a t, som er tangentens hældningskoefficient, der kaldes differentialkvotienten i x 0, og skrives: f (x 0 ) Vi kan nu indsætte det i ovenstående: T (t) = k C T = k 1 T Da k C er to konstanter, gøre vi differentialligning mere simpel ved at indføre konstanten k 1 = k C. Da det jo er T(t) vi skal finde, finder vi nu stamfunktionen af T (t): T(t) = k 2 e k 1 t 4.4 Delkonklusion Vi har opstillet krav til både program og selve temperatur måleren. Med dette kan vi gå videre til at fremstille måler og program. En gennemgang af formlerne og fremgang til den matematiske modellering er også blevet fortaget. Derfor kan vi, efter at opsamlet data, hurtigt finde frem til modeller som vi derefter kan sammenligne, og evaluere efter. 2 IT-delen 5.2 Instrument Til fremstilling af instrumentet fik vi udleveret en LM335 temperatur variabel modstand og tilsidesat en Arduino UNO, samt det løse. Da vi skal opsamle temperaturen-data er en LM335 en af de bedste temperatur variable modstande man kan få, på grund af at det er en lineær modstand. Det vil altså sige at hvis temperaturen bliver x gange større, bliver modstanden også x gange større. LM335 er også nem at kalibre da det kan gøres via en variabel modstand. Her er nogle af LM335 mest betydelige specifikationer: Direkte kalibreret i Kelvin 5-29 FIGUR 1 LM335'S INTERNE DIAGRAM

7 Kan aflæse temperaturer fra -40 til 100 celsius grader, Kontinuerlig Relativ lav pris Fungerer fra 400 ua til 5 ma Vi fik udleveret en variabel modstand på 10K ohm, hvilket vi fandt ud af at dens spektrum var for stort, vi skiftede derfor til en variabel modstand på 5K ohm. Dette gjorde at vi nemmere kunne fin justere temperaturen. LM335 kræver at man indsætter en modstand, som ses på nedenstående billede. Vi valgte at bruge en modstand på 220 ohm, men man kan også bruge en meget større modstand som 2.2K ohm. Jo større modstanden er, jo mindre bliver ampere forbruget, LM335 har et FIGUR 2 KREDSLØBS DIAGRAM minimum på 15 ma. Når man bruger en lille modstand bliver ampere forbruget større, hvilket også vil sige at den interne temperatur i LM335 bliver større, hvilket kan på påvirke aflæsningerne. Men 220 ohm er indenfor grænsen til hvad der kan påvirke dataopsamlingen Konstruktion af probe Vi startede med at lave en prototype på et fumlebræt. Vi fandt kredsløbs diagram af opstillingen på et datasheet fra Texas Instruments 3. Vi afprøvede sensoren ved at bruge vores hænders varme, hvor det så ud til at det var realistiske output vi fik. Vi havde følgen krav til vores dataopsamler: Temperatur måleren skal være vandtæt Man skal kunne skille den ad, uden den går i stykker. Den skal være let at håndtere, og installere. Vi loddede vores modstand på ved LM335, således at vores print fyldte mindre , Texas Instruments,

8 Vi isolerede alle nøgne ledninger, således at vi ikke fik en kortslutning i kredsløbet. Da vores enhed skulle være til at skille ad, loddede vi ben og sokkel på probe og printet. For at gøre proben vandtæt kom vi lim (der smelter ved varme) ved hovedet og ca. 10 cm nede af ledningerne. Herefter kom vi et 10 cm langt stykke krympeflex udover toppen af hovedet. Når at krympeflexen krymper (p.g.a varme) omkring hovedet og længere nede, varmes limen op og smelter sammen med krympeflexen Kalibrering vi ved at hvis vi kommer isterninger ned i koldt vand bliver temperaturen når der røres rundt 0 celsius. Med denne metode kalibrerede vi vores probe til den mest nøjagtige temperatur, uden brug af allerede kalibrede sensorer. 7-29

9 5.2.3 Delkonklusion Vi havde sat følgende krav til temperaturmåleren: Temperaturmåleren skal være vandtæt Proben blev lavet vandtæt på bedste opnåelig måde. Man skal kunne skille den ad, uden den går i stykker. Ved at lodde ben og sokkel på probeledningerne og printet, fik vi gjordet det nemt at kunne skille måleren ad. Den skal være let at håndtere, og installere. Ved at vi lodde ben på alle tre forbindelser til Arduino en, er det blevet nemt at installere enheden og den er blevet mere slidstærk. Vi har fremstillet en temperaturmåler der opfylder alle krav vi har sat. 8-29

10 5.1 Software Arduino software Om Arduino Eftersom at hovedcomputeren til temperaturmåleren er en Arduino, vil vi uden tvivl også bruge Arduinos eget sprog, kaldet Arduino IDE (Integrated Development Enviroment), som er lavet ud fra et andet sprog som hedder Processing. Arduino blev i 2005 oprettet i en skole i Italien, hvor IT lærere ikke var tilfredse med de daværende boards 4. ARDUINO COMMUNITY LOGO, LAVET FOR AT GIVE BRUGERE MULIGHED FOR AT BRUGE ET OFFICIELT ARDUINO LOGO, EFTERSOM AT DET NORMALE IKKE MÅ BRUGES PÅ IKKE- OFFICIELT ARDUINO INDHOLD. 5 Det ovenstående billede er koden vi har skrevet til temperaturmåleren. Til at omregne den rå data vi får fra måleren, bruger vi denne algoritme: x ( 5 ) 100, hvor x er 1023 den rå data. 5 er fordi vi bruger 5 volt til måleren. Chippen i Arduino boardet bruger 10 bits. Det vil sige at når man bruger det binærtalsystem vil man kunne få i alt 1024 værdier. Men værdien 4 Spectrum, 26/ , by David Kushner - spectrum.ieee.org/geek-life/hands-on/the-making-of-arduino , Arduino, arduino.cc/en/trademark/communitylogo 9-29

11 , kan ikke bruges. Derfor trækker vi den fra og bruger Derefter ganges det med 100 for at få det op til rigtig kelvin. Bagefter definerer vi en anden variabel som regner det om til celsius, ved at minus det med 273,15, da det er forskellen mellem kelvin og celsius Dataopsamlings program Om Python Vi har valgt at bruge Python, da det er et fleksibelt sprog, som vi alle har haft erfaring med over det seneste år. Python blev designet af Guido Van Russom, en hollandsk programmør, og dukkede først op i PYTHONS LOGO 7 Python er blevet til et succesfuldt sprog som har mange applikationer indenfor alt fra video spil, forretning, læring, forskning og meget andet. En del af denne succes, ligger i at sproget er simpelt og nemt at lære. Dette gør det også til det første sprog for mange programmører Om PySerial For at vores Arduino kan kommunikere med programmet, vil vi bruge Python modulet Et Python modul er en udvidelse til Python, lavet i Python. PySerial. PySerial giver os kommandoer som gør det muligt for os at tage data som kommer ind fra computer porte, og skrive dem i en fil der gør det nemmere for os at behandle dataene. PySerial er lavet af Chris Liechti: PySerial bruger Python licensen, altså det er frit at bruge til både kommercielle og ikke-kommercielle formål. Copyright Chris Liechti <cliechti(at)gmx.net> PYSERIAL LOGO Kodnings forløb Programmet gik gennem 3 hoved versioner: 1. En hvor vi testede metoden hvorpå vi kunne skrive i en tekst fil. 2. En første fungerende version hvorpå vi havde implementeret PySerial og skrev dataene i tekst filen , Python Software Foundation, Python.org, docs.python.org/2/license.html , Python Software Foundation,

12 3. En version hvor der er implementeret interval mellem skrivning, live data oversigt og andre brugerflade funktioner Første version Dette blev en såkaldt Hello World test, en test brugt inden for software til at teste om et stykke software er konfigureret rigtigt, så det virker. HELLO WORLD TESTS ER NORMALT GJORT MED FAKTISK HELLO WORLD BESKED SOM PROGRAMMET LAVER. Dette script er meget simpelt. Vi starter med at lave en variabel som bliver defineres som vores nye fil. Derefter skriver vi 2 linjer i filen, og lukker og gemmer den så til sidst. Dette gav den fil med navnet newfile.txt, som så sådanne ud: Anden version Nu da vi havde fået filskrivning til at virke, var det tid til at implementerer PySerial. Da vi allerede havde uploadet Arduino scriptet til Arduinoen så dataene kom ind rigtigt, skulle vi bare hente dataene, uden at skulle behandle dem i dette program

13 PROGRAMMET SKRIVER DATAEN NED 60 GANGE, DOG UDEN INTERVAL IMELLEM. Dog blev dataene ikke opdateret for hver gang i denne version, så vi fik 60 kopier af det samme. Ud af dette fik vi følgende i filnavnet dataseat.txt, som set i Error! Reference source not found.: FIGUR Tredje version Til denne næste version, importerede vi time modulet, til at forsinke programmet så hver data opsamling tog ét minut. Dette er gjort med kommandoen: time.sleep(58). Tallet bestemmer hvor lang tid scriptet skal vente i sekunder. Den er sat til 58 fordi at vi fandt ud af at selve data læsningen tog ca. 2 sekunder. En anden ting der er gjort, er at port læsningen nu sker inde i loopet, så dataen nu bliver opdateret for hver gang. Loopet er også sat under en try, hvilket betyder at programmet nu bare vil vise en 12-29

14 fejl meddelelse i stedet for at crash, når den forkerte port er valgt, eller når der slet ikke er sat nogen Arduino til computeren. Det var med denne version af programmet at vores forsøg blev udført med Delkonklusion Vi havde sat følgende krav til programmerne: Opsamle temperatur data ca. hvert minut i en time. Dette er blevet gjort så præcist som muligt Eksportere opsamlede data i en ekstern tekst fil. Dette er blevet gjort. Med ny data på hver sin linje. Visualisere opsamlede data i en graf. Dette har vi dog ikke fået implementeret, da vi tidligt i forløbet fik lavet en skabelon til Excel, som opfyldte dette krav. Derfor fandt vi ingen grund til at bruge tid på dette krav til programmet. Fremvise data, live i kommandoprompt. Dette er blevet implementeret, hvor data vises sammen med minut tæller. Ud fra de krav, er dataopsamlingsprogrammet delvist fuldendt, men virker som det skal. Den manglende funktion fandt vi i forløbet ikke nødvendig, da en anden metode erstattede den. Med dette er vi klar til at stille forsøget op

15 5.3 Dataopsamling Vi lavede to forsøg, hvor vi havde et almindelig krus fra IKEA og et papkrus med plastlåg fra 7- eleven. Eftersom en normalperson kan drikke en kop kaffe over en time havde vi valgt at opsamledate over en time. Vi syntes at hvis vi tog en måling per minut ville det passe meget godt med temperaturfaldet uden at få alt for mange punkter med i forsøget. Derfor lavede vi forsøget over 1 60 punkter. I hver krus var der 240 ml næsten kogende vand. Første forsøg var med papkruset fra 7-eleven. Opstillingen stod i hjørnet af et lokale i MediaLab. Lokalet var ca. 23,5 garder celsius varmt. Vores computer indsamlede følgende data: Andet forsøg var med kruset fra IKEA. Opstillingen stod i alment klasselokale ved døren. Denne placering var ikke den mest optimale da der kan fremkomme træk. Lokalet var ca. 24,5 gader celsius varmt. Vores computer indsamlede følgende data:

16 5.3.1 Delkonklusion Vi har fået opsamlet to sæt data, fra to forskellige systemer, et fra en papkrus med plastlåg fra 7- eleven og et alment krus fra IKEA. Begge dataopsamlinger forgik problemfrit, men Kruset fra IKEA blev måske udsat for letter træk. 6 Matematikdelen 6.1 Modellering Systemafgrænsning Da det er vi har problemstillingen med kaffekoppen der afkøles hurtigere, hvis den står på is, end hvis den står på en varm overflade. 8 Vil vi gerne finde ud af om det passer med noget teori. Da det er vi tidligere har fået udgivet vores differentieringsmetode, vil vi bruge denne til at kunne opstille nogle modeller. Vi har dermed også fået lavet os en temperatur måler som vi vil bruge til vores forsøg. Vi har valgt at bruge en tidsramme der er 1 min. Mellem hver måling. Vi har dermed opstillet denne probelemstilling for vores situation af måle udstyr. Hastigheden som kaffen afkøles med er afhængig af forskellen på temperaturen inde i og udenfor koppen. Dette vil vi lave beregninger på ved hjælp fra afkølingsprobelmatikken Den matematiske model opstilles Matematisk modellering ud fra vores punkter vi har fået fra vores dataopsamling. Vi har benyttet os af temperatur ændringen i afkølingsproblematikken, som ser således ud: T(t) = k 2 e k 1 t Vi har dermed en ligning med to ubekendte og vi vil dermed afskaffe os af med k 2 ved at sætte tiden til at være 0: T(0) = k 2 e k 1 0 = k 2 1 = k 2 Så vores start temperatur vi har vil dermed være k 2. Vi vil nu lave vores første model, ved at tage de da vi har for vores forsøg med pap med låg. Vi har et som hedder (0;74,85), da det er temperaturen =k 2 så vil det i vores tilfælde være lig med 74,85=k 2. For så at finde k 1 skal vi bruge et andet punkt. Vi har så valgt at tage den sidste dataopsamling, den er (59;42,10). Hvis det er vi sætter det ind i vores nye ligning kommer det til at se således ud: 8 Fra mini-srp oplægget 42,10 = 74,85 e k ,10 74,85 ek1 59 = 74,85 74,

17 42,10 74,85 = ek 1 59 For at få e k 1 59 til at se mere simpel ud bruger vi ln. Så det er vi for følgende udtryk: ln ( 42,10 74,85 ) = k 1 59 lne Da det er lne=1, så kommer vores udtryk til at være en del lettere. ln ( 42,10 74,85 ) = 0, = k = k 1 = 0, = 0, Så vores model kommer til at have følgende udtryk: T(t) = 74,85 e 0, t FIGUR 4 FØRSTE MODEL (TAGET MED START OG SLUTPUNKT) Som det er man kan se på grafen skærer vores kurve igennem start og slutpunkt. Dette kan resultere i at vi ikke har en særlig stor afvigelse fra punkterne, men derimod kan afvigelsen godt blive mindre. Vi vil nu afprøve med en ny model således at det er vi for flere punkter med på kurven. Vi har nu tænkt os at tage de to start punkter og finde funktionsudtryk til dette. De to puntker er (0;74,85), og (1;73,38). Vi har bruger samme princip som tidligere. Vi for så følgende udtryk og bruger de samme regneregler fra før: 73,38 = 74,85 e k

18 73,38 74,85 ek1 1 = 74,85 74,85 73,38 74,85 = ek 1 1 ln ( 73,38 74,85 ) = k 1 1 lne = 0, Så kommer vores k 1= 0,019835, så vores nye model med de to første punkter kommer til at se således ud: T(t) = 74,85 e 0, t FIGUR 5 ANDEN MODEL (DE TO FØRSTE PUNKTER) Som det er man kan se på grafen så skærer den i de to første punkter. Dette giver dog en rigtig stor afvigelse i forhold til de sidste punkter på punktsættet. Vi vil nu afprøve at lave en model med det sidste punkt, og det tedje sidste, da det er vores to sidste har samme temperatur vil det give en liniær linje. Vi vil bruge det samme matematik som før dog med disse punkter (57;42,59) og (59;42,10). Så vi for følgende udtryk givet: 42,59 = k 2 e k

19 42,10 = k 2 e k 1 59 Da det er vores ligninger er med to ubekendte vil vi dividere dem med hinanden, da det er de begge indeholder k 2. Så vil det give en ligning med en ubekendt således: 42,10 42,59 = k 2 e k1 59 k 2 e k 1 58 = ek1 59 e k 1 57 Da det er vores situation ikke er helt som før, og vi har en potens med en ubekendt i eksponenten. Kan vi bruge følgende regneregl. Når det er vi to potenser med forskellige eksponenter, der divideres med hinanden, trækker med eksponenterne fra hinanden. Så bruger vi udtrykket i vores situation således: a n = an p ap e k 1 59 e k 1 57 = ek 1 (59 57) = e k 1 2 Så bruger vi det samme princip som i de tidligere regnestykker: ln ( 42,10 42,59 ) = k 1 2 lne = 0, Så har vi fundet k 1=0, så skal vi finde k 2. Det gør vi ved at indsætte vores k 1 i en af de funktionsudtryk vi udledte i starten således: 42,59 = k 2 e 0, = 42,59 e 0, = k 2 e 0, e 0, = 59,2296 Så k 2=59,2296. Til sidst har vi så en funktion som ser således ud: T(t) = 59,2296 e 0, t 18-29

20 FIGUR 6 TREDJE MODEL (TREDJE SIDSTE PUNKT OG SIDSTE PUNKT) Som det er man kan se på grafen, så skærer grafen i de sidste punkter. Men derimod giver det er forholdsmæssig stor afvigelse i starten af vores punktserie. Vi vil nu afprøve at lave en model med de to midt punkt i vores punktserie. Vi vil bruge det samme matematik som tidligere, dog med punkterne (30; 52,36) og (31; 51.87). Så vi for følgende udtryk givet: 52,36 = k 2 e k ,87 = k 2 e k 1 31 VI bruger så vores potens regneregl til at komme videre således: 51,87 52,36 = k 2 e k1 31 k 2 e k 1 30 = ek1 31 e k 1 30 e k 1 31 e k 1 30 = ek 1 (31 30) = e k 1 1 Så tager vi ln på begge sider af lighedstegnet således: ln ( 51,87 52,36 ) = k 1 1 lne = 0, Så når det er vi har fundet k 1, så vil vi bruge det i en af vores ligninger til at finde k 2. Vi gør således: 19-29

21 52,36 = k 2 e 0, = Så er k 2=69,4219. Så vi for følgende funktionsudtryk: 52,36 e 0, = k 2 = 69,4219 T(t) = 69,4219 e 0, t FIGUR 7 FJERDE MODEL (DE TO MIDTERSTE PUNKTER) Som det er man kan se på grafen så er der ikke nær så stor afvigelse fra punkterne som på anden og tredje model. Dette kan skyldes at det er vi har taget det midterste af punktserien, der hvor det er det næsten har en eksponentiel faldende afkøling af vores vand Modellens matematiske resultater bestemmes Vi vil i dette afsnit beregne os frem til hvor stor en afvigelse vores punkter har i forhold til vores modeller. Det har vi gjordt for alle 4 figurer. Vi har brugt samme algoritme til at finde vores afvigelse. Vi har gjordt således: Afvigelse i procent = ((vores punkt modellens punkt)/vores punkt) 100 Så har vi lavet et skema for hver figur, hvor det er man kan se afvigelse fra hvert punkt i forhold til hvad den er på modellen vi har opstillet. Man kan se vores skemaer i bilag. Vi har dermed også 20-29

22 taget en regressions analyse til vores dataopsamling. FIGUR 8 REGRESSIONS ANALYSE (TENDENSLINJE) Modellens R 2 =0,9861. Dette kan tydes på at det er vi har et meget stort interval mellem hver måling Modellens konklusioner Man kan sige at på nogle af vores opstillede modeller (figur 5), at det er vores afkølingsproblematik er til dels eksponentiel. Dette kan vi begrunde os frem til da det er vores afvigelser ikke er så store. Der er også en masse usikkerheder ved denne model, da det er vores temperatur måler ikke måler helt præcist. Samt den afkølingsproblematik med Newton ikke er så god i denne situation. 1.4 Delkonklusion Vi har fået opstillet nogle modeller, som det er vi har været tilfredse med. Samt fundet afviglse til. Man kan under dette afsnit finde vores beregninger, og vores modeller. Vi har præciseret vores modeller så det er de passer bedst muligt. Vi har til sidst lavet en regressions analyse for at finde den bedst mulige graf. 6 Konklusion Vi har fået konstrueret et instrument der kan måle temperaturer. Instrumentet opfylder alle opstillede krav, således at det er nemt at skille den ad, den er vandtæt og let at installere. Instrumentet er endvidere også blevet mere slidstærkt end forventet, på grund af på loddet ben. Endvidere blev det tilhørende software fremstillet, med en algoritme som gjorde det muligt for at nemt hente dataene, uden videre behandling. Til dette udviklede vi også et dataopsamlings program - med de fleste, og vigtigste, af de udtænkte krav ud fra et velkendt programmeringssprog

23 Vi fik opsamlet data fra vores instrument over to forsøg. Vi fandt frem til at 1 60 dataopsamlinger var det mest optimale, således at man ikke har flere punkter med end nødvendigt. Opsamlingen gik problemfrit, dog kunne kruset fra IKEA havde været udsat for lidt træk under forsøget Vi har dermed testet vores instrument, og fået bevis på at vores kop kaffe afkøles tilnærmelsesvis med en eksponentiel ligning. Vi har vist hvordan det ser ud i vores opstillede modeller, samt lavet beregninger på hvorvidt det er om modellen er god nok. Vi har lavet mere end et forsøg, og opsamling af data. Men vi har kun demonstreret ud fra en at dataopsamlingerne vores modeller. Vi har ikke oplevet nogle problemer undervejs med vores dataopsamling. Der er rigtig mange usikkerheder ved dette projekt da det er vi skal lave vores egen måler, samt det er vi skal teste den med en kop kaffe. Plus det er vi skal lave beregninger, som det er vi kan se om det er vores måler måler rigtigt. Og/eller om det udgivet differentierings udtryk ikke er helt korrekt, kan det også give en usikkerhed. 7 Litteraturliste Forfatter Dato Link Andet J. Dejgaard og C. Michaelsen, 2001 Matematiklærerforeningen Trafikmodeller, Matematikkens aspekter, M. Stoklund Upubliceret David Kushner, 26/ spectrum.ieee.org/geek-life/handson/the-making-of-arduino Spectrum Arduino arduino.cc/en/trademark/community Logo Python Software Python.org, Foundation docs.python.org/2/license.html Python Software Foundation Texas Instruments pdf Jørn Christian Mini-SRP Bendtsen oplægget 22-29

24 9 Bilag 9.1 Tidsplan Tidsplan Uge 10 Uge 11 Uge 12 Uge 13 Disposition Tidsplan Problemformulering Fremstilling af dataopsamler Forsøg og dataopsamling Systemafgrænsning Matematiske model opstilles Matematiske resultater Modellens konklusioner Konklusion 23-29

25 9.3 Skema over afvigelse fra punkt til model Figur2 minutter Figur2 temperatur Afvigelse fra punkt til Figur2 Afvigelse i procent 0 74, ,1235 1, ,4041 2, ,6917 2, ,9862 2, ,2875 2, ,5956 3, ,9104 3, ,2319 3, ,56 4, ,8946 4, ,2356 4, ,5831 5, ,9368 5, ,2969 4, ,6631 5, ,0355 6, ,414 5, ,7986 5, ,1891 6, ,5855 6, ,9878 6, ,3958 6, ,8097 6, ,2292 5, ,6543 6, ,085 6, ,5213 6, ,963 6, ,4102 6, ,8627 6, ,3205 6, ,7836 6, ,2519 6, ,7253 6, ,2039 6, ,6875 6, ,1761 5, ,6697 5, ,1682 4,

26 40 50,6716 4, ,1798 4, ,6928 4, ,2105 4, ,7329 4, ,2599 4, ,7915 3, ,3277 3, ,8683 2, ,4134 2, ,963 3, ,5169 3, ,0751 2, ,6376 2, ,2044 2, ,7754 1, ,3505 1, ,9298 0, ,5131 0, ,1005 0, Figur3 minutter Figur3 temperatur Afvigelse fra punkt til figur3 0 74, , ,9388 0, ,526-0, ,1409-1, ,783-2, ,4517-2, ,1467-3, ,8672-4, ,6129-4, ,3832-6, ,1777-6, ,9958-6, ,8371-8, ,7012-9, , , , , , , , ,

27 19 51, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,953-24, , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,225-38, , , ,855-43, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,16-66, , , , , , , , , , , , ,

28 Figur4 minutter Figur4 temperatur Afvigelse fra punkt til figur4 0 59, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,681-11, , , ,0634-9, ,7573-9, ,4529-9, ,1503-8, ,8494-7, ,5503-8, ,2529-6, ,9572-6, ,6632-6, ,3709-5, ,0803-5, ,7914-5, ,5041-4, ,2185-4, ,9345-4, ,6522-3, ,3715-3, ,0925-2, ,815-3, ,5391-2, ,2649-3, ,9922-3,

29 41 46,7211-2, ,4515-2, ,1835-1, ,9171-1, ,6522-0, ,3888-1, ,1269-0, ,8666-1, ,6077-0, ,3504-0, ,0945 0, ,8401-0, ,5872 0, ,3357 0, ,0857 0, ,8371 0, , ,3443 0, ,1 0 Figur5 minutter Figur5 temperatur Afvigelse fra punkt til figur5 0 69,4219-7, ,7723-6, ,1287-5, ,4911-5, ,8596-4, ,2339-4, ,6141-3, ,0001-3, ,3918-3, ,7892-2, ,1923-2, ,6009-2, ,0151-1, ,4348-1, ,8599-2, ,2904-1, ,7262-0, ,1673-0, ,6136-1, ,0651-0,

30 20 57,5217-0, ,9834-0, ,4502-0, ,9219 0, ,3986-0, ,8802 0, ,3666 0, ,8579 0, ,3539 0, ,8546 0, , , ,3846-0, ,9037 0, ,4274 0, ,9555 0, ,488 0, ,0249-0, ,5661-0, ,1117-1, ,6614-1, ,2154-1, ,7736-1, ,3359-1, ,9023-1, ,4727-1, ,0472-2, ,6256-2, ,208-2, ,7943-2, ,3845-2, ,9785-2, ,5763-3, ,1779-3, ,7832-3, ,3922-4, ,0049-3, ,6211-4, ,241-4, ,8644-5, Disse udregninger er foretaget i excel