Det perfekte blødkogte æg
|
|
- Magdalene Brøgger
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Det perfekte blødkogte æg Opgaveformulering: Ifølge undersøgelser på University of Exeter 1 kan det vises, at den optimale kogetid for et blødkogt æg kan skrives som Giv en kort redegørelse for den engelske artikels hovedpointer og undersøg herefter formlens anvendelighed. Afprøv tillige kogning baseret på gamle husråd, kogebøger e.l. og vurdér de to typer af metoder på baggrund af smagstest og visuelt indtryk. Undersøg herefter afkølingen af et hårdkogt æg, idet du 1. På den eksperimentelle side måler kernetemperaturen som funktion af tiden. 2. På den teoretiske side viser, at der med udgangspunkt i differentialregning kan opstilles en matematisk model til løsning af problemet. 3. Beskriver teorien bag 1. ordens differentialligninger, og beviser de sætninger der fastlægger den fuldstændige løsning for den type af differentialligninger som du bringer i spil. Løs den opstillede differentialligning og undersøg modellens brugbarhed i relation til de eksperimentelle data
2 Besvarelse af Signe Olsen, Sct. Knuds Gymnasium Indholdsfortegnelse Indledning Redegørelse for den engelske artikels hovedpointer og formlen Forsøg med kogning af blødkogte æg Vurdering af de to typer af metoder for kogning af blødkogte æg Forsøg med afkøling af hårdkogt æg Opstilning af matematisk model Teori vedrørende 1. ordens differentialligninger og understøttelse af opstillede model Konklusion og perspektivering til hverdagen Indledning Hvordan koger man det perfekte blødkogte æg? Findes der en formel for det? Og kan man opstille en matematisk model for afkølingen af et materiale? Jeg vil med denne opgave forsøge at besvare disse spørgsmål med udgangspunkt i en hypotese for en formel for det perfekt blødkogte æg fra artiklen The Science of Boiling an Egg skrevet af senior lektor Charles D. H. Williams på University of Exeter, som der redegøres for i efterfølgende afsnit. Herefter afprøves formlen eksperimentelt, og der sammenlignes med kogningen af et blødkogt æg efter et husråd. Begge metoder for kogningen vurderes både ved smagstest og ved det visuelle udtryk af de blødkogte æg. Efterfølgende undersøges afkølingen af et hårdkogt æg ved at måle kernetemperaturen som funktion af tiden. Ud fra disse data opstilles en matematisk model for afkølingen. Denne model understøttes ved at beskrive teorien bag 1. ordens differentialligninger. Til slut vurderes formlernes/modellernes anvendelse i praksis, og hvilken effekt yderligere formler for anden tilberedning af mad kan have på vores hverdag. Forsøgene er udarbejdet i samarbejde med Dua Ahma, Sct. Knuds Gymnasium. 2
3 Redegørelse for den engelske artikels hovedpointer og formlen I Charles Williams artikel 2 forklares en formel for den perfekte kogning af æg til blødkogte æg, der er afhængig af vægten og den initiale temperatur. Williams forklarer, at formlen er udledt i forbindelse med et spørgsmål i New Scientist Magazines sektion Last Word, der blev stillet af Chris Finn. Williams skriver desuden, at meget af informationen i hans artikel er fra sekundære kilder og velkendt, men at formlen for kogningen af et blødkogt æg er en nyudvikling. Formlen for den perfekte kogning for et blødkogt æg i artiklen 3 ser således ud: t ""#$% = M cρ Kπ 4π 3 log 0,76 T "" T "#$% T "#$ T "#$% Hvor ρ er densiteten, c er den specifikke varmekapacitet, og K er varmeledningsevnen for æg. Imidlertid er denne formel meget simpel, og der er flere antagelser. Williams forklarer: the egg will be treated as a spherical homogeneous object of mass M and initial temperature T "". ( ) it will be ready when the temperature at the boundary of the yolk has risen to T "#$ ~63 C 4. Oversat til dansk, antages ægget at være et sfærisk, homogent objekt med massen M og den initiale temperatur T "". Ifølge formlen er ægget, når grænsen til æggeblommen har en temperatur på 63 C. En mere nøjagtig model for perfekt kogning af et blødkogt æg skal tage hensyn til og inkludere de forskellige termiske egenskaber for æggets tre faser: æggehviden, æggeblommen og æggeskallen. Den mere nøjagtige formel skal desuden behandle ægget som tre koncentriske ellipsoider, hvori der indgår Dirichlet boundary- conditions gældende for grænsefladen mellem vand og æggeskal, samt Neuman boundary- conditions gældende for grænsefladerne mellem henholdsvis skallen og hviden samt hviden og blommen. Ydermere skal ændringen i æggets termiske egenskaber, idet æggehviden gennemgår en koagulation ved kogningen, involveres/inkluderes i en nøjagtigere formel. De følgende afsnit i artiklen 5 omhandler kogning af æg i forskellige lufthøjder, som f.eks. på et bjerg, og hvordan dette har en effekt på vandets kogepunkt og kogetiden, samt hvilken starttemperatur ægget har. Williams forklarer desuden hvilke egenskaber de tre faser i ægget besidder, blandt andet fasens procentvise vægt af æggets masse, ved hvilket temperaturinterval fasen koagulerer, og hvilke vitaminer og mineraler fasen indeholder. Til slut i artiklen henviser 2 Charles D. H. Williams, The Science of Boiling an Egg, 3 Charles D. H. Williams, The Science of Boiling an Egg, side 2, sektion, 4 Charles D. H. Williams, The Science of Boiling an Egg, side 2, sektion, 5 Charles D. H. Williams, The Science of Boiling an Egg, 3
4 Williams til hjemmeside Learn2.com6, der blandt andet forklarer, hvordan man koger et æg, og med hvilke forskellige metoder dette kan gøres. Forsøg med kogning af blødkogte æg Dette eksperiment med kogning af blødkogte æg har det formål at undersøge formlen for kogning af blødkogte æg fra artiklen7 ved smagstest og vurdering af det visuelle udtryk. Kogetiden for et æg med massen M = 57,05 g blev udregnet vha. formlen, og til sammenligning kogte vi et æg efter et husråd, der skulle give det perfekte blødkogte æg. Som før nævnt beregnede vi kogetiden for ægget vha. formlen, og udregningen så således ud: 𝑡""#$% = 57,05 g 3,7 Jg 1,08 g cm 5,4 10 W cm K π 4π 3 ln (0,76 20 C 100 C 63 C 100 C = 195,079 s 3,25 min Det er antaget, at æggets starttemperatur var 20 C, at vandet havde temperaturen 100 C, samt at æggets kernetemperatur var 63 C, da det var færdigkogt8. Kogetiden for det perfekt blødkogte æg med en masse og starttemperatur som vores er således 3 minutter og 15 sekunder. Til kogning af et blødkogt æg efter et husråd anvendte vi en opskrift af Ernæringsterapeut Karen Nørby i hendes artikel Sådan koger du det Forsøgsopstilling perfekte æg 9. I artiklen henviser Nørby til en æggeberegner 10 fremstillet på baggrund af en formel, der er udledt af norske videnskabsfolk 11. Æggeberegneren er afhængig af æggets omkreds, æggeblommens sluttemperatur, æggets starttemperatur og vandets kogepunkt afhængigt af lufthøjden. Artiklen12 har en overordnet oversigt over kogningstiden for æg, der er udregnet vha. æggeberegneren med generelle æggestørrelser såsom M/L, samt de tre typer for kogning af ægget. 6 Charles D. H. Williams, The Science of Boiling an Egg, side 5, 7 Charles D. H. Williams, The Science of Boiling an Egg, Charles D. H. Williams, The Science of Boiling an Egg, side 2, 9 Karen Nørby, Ernæringsterapeut, Karen Nørby, Sådan koger du det perfekte æg, linje 3, 12 Karen Nørby, Ernæringsterapeut, 8 4
5 I vores forsøg, er der taget udgangspunkt i kogetiden for æg med størrelsen M/L, der ifølge oversigten skal have 4 minutter og 47 sekunder og efter kogning skal æggene afkøles kort med koldt vand for at stoppe kogning 13. Efter beregningen af kogetiden for et blødkogt æg ud fra de to forskellige metoder, kogte vi de to æg af samme størrelse og med samme starttemperatur samtidig i en gryde med vand. Vandet dækkede dem helt og var forinden opvarmet til kogepunktet. Til at opvarme vandet og gryden brugte vi en kogeplade. Det ene æg, som vi kogte efter husrådet, mærkede vi med en grøn stjerne, som det ses af billedet: De to æg blev sænket ned i det kogende vand, men revnede begge i deres æggeskaller. Dette skyldtes, at der under æggeskallen i æg sidder små luftlommer, der ved brat opvarmning udvides og knækker skallen på ægget. Noget af æggemassen flød ud i vandet, som det ses af billedet: Der blev lagt låg på gryden, og æggene blev taget op af vandet efter hver deres kogetid. Ægget med den grønne stjerne overhældte vi efterfølgende med koldt vand, mens ægget kogt efter formlen blev lagt til afkøling på bordet. Efter et par minutter lavede vi en smagstest samt vurderede det visuelle udtryk af æggene. 13 Karen Nørby, Ernæringsterapeut, 5
6 Vurdering af de to typer af metoder for kogning af blødkogte æg Da æggene fik deres skal pillet af og vi smagte på dem, sås en fast æggehvide og en blød æggeblomme hos begge æg, som det ses af billedet: Der var således ingen nærmere forskel på de to æg, trods deres forskellige kogetider, og de var visuelt to typiske blødkogte æg. En smagstest af æggene adskilte dem dog en smule fra hinanden, da ægget kogt efter husrådet havde en stivere æggehvide end ægget kogt efter formlen. Æggeblommen var ligesom æggehviden fastere i ægget kogt efter husrådet end blommen i ægget kogt efter formlen. Herunder ses to billeder af æggene og deres æggeblommer: Æg kogt efter formlen Æg kogt efter husrådet Efter min smag, var ægget kogt efter formlen det bedst kogte æg ud af de to, eftersom der var en større forskel på konsistensen mellem æggehviden og blommen. Begge metoder vurderes dog som egnede til at koge et blødkogt æg, eftersom begge æg smagte og så ud som blødkogte æg. Formlen for kogningen har dog fungeret en smule bedre end husrådet. Den stivere æggehvide kan have været et resultat af den længere kogetid, som ægget kogt efter husrådet fik, idet kogetiden var 1 minut og 32 sekunder længere hos æg 2. 6
7 Forsøg med afkøling af hårdkogt æg Formålet med dette eksperiment er at undersøge afkølingen af et hårdkogt æg som funktion af tiden. Dette foregik ved at opvarme et allerede hårdkogt æg med kogende vand i en gryde. I det hårdkogte æg borede vi et hul igennem skallen og ind til midten af æggeblommen. Herefter overhældte vi ægget med kogende vand, som det ses på billedet herunder: Forsøgsopstilling Ægget lod vi ligge i gryden med det varme vand, som det ses af billedet af forsøgsopstillingen til højre. Efter nogle minutter tog vi ægget op af gryden og anbragte en punktsensor tilsluttet LoggerPro i ægget (se billedet). Eftersom punktsensorens starttemperatur var lig med stuetemperatur og ikke æggets kernetemperatur efter opvarmningen, lod vi ægget ligge i nogle minutter med sensoren i æggeblommens midte. Da punktsensoren målte en konstant værdi, startede vi en dataopsamling i LoggerPro. En anden temperaturmåler, der målte stuetemperaturen, var også tilsluttet LoggerPro. Vi målte temperaturen som funktion af tiden i 30 minutter. Da dataopsamlingen var færdig, sås den blå graf nedenfor for afkølingen af det hårdkogte æg: 7
8 Opstilling af matematisk model Af grafen i forrige afsnit sås en tydelig aftagende kernetemperatur i ægget som funktion af tiden. Der ses desuden en konstant stuetemperatur, idet ét æg ikke kan opgive så meget varme til dens omgivelser, at det kan ændre temperaturen i et helt rum. I uddraget omkring varmeledning af Fysik/Kemi HF fællesfag 14 opstilles udtrykket for den overførte effekt P fra et materiale til et andet, der lyder: P = U A T hvor A er materialets areal, T er temperaturforskellen mellem de to sider af materialet, som effekten strømmer igennem, og U er fladens U- værdi. En U- værdi eller k- værdien er materialets varmetransmissionskoefficient, og er afhængig af materialets tykkelse L og varmeledningskoefficient λ. Der kan heraf opstilles et udtryk for U- værdien: U = λ L Samtidig er formlen for den tilførte energien E : E = m c T hvor m er materialets masse, c er den specifikke varmekapacitet, og T er temperaturændringen. Ved at kende til disse ovennævnte udtryk, kan der opstilles et udtryk for æggets tab af varmeenergi. Der opstilles et samlet udtryk for P og E. Før det, skal T i formlen for E omskrives, idet den lyder: T = T T og T i formlen for P lyder: T = T T 14 Bent Kistrup, Gunnar Schiøtt Hansen og Erik Øhlenschlager, Fysik/Kemi HF fællesfag, Gyldendal,
9 Formlen for E kan nu omskrives således: 𝐸 = 𝑚 𝑐 𝑇 𝑇 = 𝑐 𝑚 𝑇 𝑇 Dette kan bekræftes, idet ægget ikke tilføres varmeenergi, men derimod afgiver energi, og tilførelsen ville derfor være negativ. En illustration af dette kan ses på billedet til højre. Eftersom temperaturændringen T er afhængig af tiden t, skrives den tilførte energi E nu således: 𝐸 𝑡 = 𝑐 𝑚 𝑇 𝑇 𝑡 Vi ser her en funktion af tiden t, og ved at differentiere ligningen, kan funktionens tilvækst undersøges: 𝐸 𝑡 = 𝑐 𝑚 Æggets temperatur 𝑇 i omgivelsernes temperatur 𝑇. 𝑑(𝑇 𝑇 ) 𝑑𝑡 Udtrykket for P kan omskrives vha. formlen for U: 𝜆 𝑃 = 𝐴 𝑇 𝑇 𝐿 Idet den overførte effekt P er den tilførte energi divideret med tiden, kan det samlede udtryk for P og E nu opstilles: 𝑃 = 𝐸 𝑡 𝑐 𝑚 𝑑 𝑇 𝑇 𝜆 = 𝐴 𝑇 𝑇 𝑑𝑡 𝐿 I udtrykket ses en række konstanter, som kan samles i én konstant, som vi kalder k: 𝑑 𝑇 𝑇 = 𝑘 𝑇 𝑇 𝑑𝑡 Dette udtryk vil i næste afsnit blive forklaret og identificeret ved hjælp af teorien bag differentialligninger. Teori vedrørende 1. ordens differentialligninger og understøttelse af opstillede model Differentialligninger er ligninger hvori den ubekendte er en funktion y med hensyn til x, og som indeholder en eller flere af funktionens afledede funktioner. En sådan ligning fastlægger en sammenhæng mellem y og de afledede. En differentialligning kan indeholde flere forskellige ordner af den afledede af y, såsom y og y. Differentialligninger kan heraf inddeles i ordner efter den højest afledede af y. Jeg vil i denne opgave fokusere udelukkende på 1. ordens differentialligninger. 9
10 Når en løsning til en differentialligning skal findes, bestemmes alle de funktioner, der gør ligningen sand for alle x- værdier i ligningen. Definitionsmængden for en løsning skal være et interval. Der er dog to typer af løsninger til en differentialligning: Den ene løsning for ligningen er den fuldstændige løsning, idet stamfunktionerne til y bestemmes, men ikke konstanten k. Den anden typer af løsning til ligningen er den partikulære løsning, idet konstanten k for en løsning bestemmes ud fra begyndelsesbetingelser, der f.eks. kunne være et givet punkt, som løsningskurven går igennem. En løsningskurve er grafen for f hvis y = f x. Inden for 1. ordens differentialligninger er lineære differentialligninger. I Plus A3 STX onlinebog 15 defineres lineære differentialligninger på formen: y + g x y = h(x) hvor g x og h x er kontinuerte funktioner af x. I lineære differentialligninger skal begge udtryk for y og dens afledede være lineære, og der må desuden kun indgå led med y, der er i nulte eller første potens.. Den fuldstændige og analytiske løsning til udtrykket for lineære differentialligninger af 1. orden, også kaldt Panserformlen, er her: y = e h x e dx ; x I hvor de to funktioner er kontinuerte i intervallet I, og G(x) er stamfunktionen til g(x) i intervallet I. Panserformlen kan dog løses fuldstændigt med en alternativ metode, idet den er svær at benytte i praksis. Den alternative metode består i at dele differentialligningen i to tilfælde: Inhomogen: y + g x y = h x Homogen: y + g x y = 0 Den fuldstændige løsning til Panserformlen er da summen af de to tilfælde for ligningen og er på formen: y = f x + f x hvor f x er den partikulære løsning til den inhomogene differentialligning, og f x er den fuldstændige løsning til den homogene differentialligning. Det er dog ikke altid, at Panserformlen gælder for 1. ordens lineære differentialligninger. Der findes specialtilfælde, som der skal tages hensyn til. Onlinebogen 16 udtrykker specialtilfælde på de tre former: 1) y = h x 15 Plus A3 STX 16 Plus A3 STX 10
11 2) 𝑦 = 𝑘𝑦 3) 𝑦 = 𝑏 𝑎𝑦 I tilfælde 1 er 𝑔 𝑥 = 0 i det generelle udtryk for lineære differentialligninger, den fuldstændige løsning til ligningen er derfor stamfunktionen til h, idet h antages som kontinuert: 𝑦 = ℎ 𝑥 𝑦 = ℎ 𝑥 𝑑𝑥 I tilfælde 2 er k en konstant, og den fuldstændige løsning for ligningen er: 𝑦 = 𝑘𝑦 𝑦 = 𝑐𝑒 " 17 hvor c er en vilkårlig konstant. Dette er dog ikke helt så enkelt at nå frem til i forhold til tilfælde 1. Vi begynder med at isolere k, y og dens afledede y på venstre side i udtrykket: 𝑦 = 𝑘𝑦 𝑦 𝑘𝑦 = 0 Herefter indsættes en integrationsfaktor: 𝑦 𝑒 " 𝑘𝑦 𝑒 " = 0 𝑦 𝑒 " + 𝑦 𝑘 𝑒 " = 0 𝑦 𝑒 " + 𝑦 𝑒 " = 0 Vi benytter os her af regnereglen for differentiation samt produktreglen for differentiation: 𝑦 𝑒 " = 0 𝑦 𝑒 " = 𝑐 𝑦 = 𝑐 𝑒 " Det er her benyttet, at stamfunktionen til 0 er en konstant. Hertil er den fuldstændige løsning til udtrykket bevist. I det tredje tilfælde er b og a konstanter, og en fuldstændig løsning af denne er her: 𝑦 = 𝑏 𝑎𝑦 𝑦 = 𝑏 + 𝑐𝑒 " 18 𝑎 hvor 𝑎 0 og c er en vilkårlig konstant. Idet udtrykket kan opdeles som værende en konstant og 𝑎 < 0, kan udtrykket identificeres som specialtilfælde 2). Den fuldstændige løsning er ligesom tilfælde 2) kompliceret. Dette vil vi kigge nærmere på. På samme måde som beviset for den fuldstændige løsning af 2) isolerer vi y, y og konstanten a på venstre side af ligningen og indsætter en integrationsfaktor: 𝑦 = 𝑏 𝑎𝑦 𝑦 + 𝑎𝑦 = 𝑏 𝑦 𝑒 " + 𝑎𝑦 𝑒 " = 𝑏 𝑒 " Produktreglen for differentiation benyttes til at forenkle udtrykket, og ligningen integreres: 𝑦 𝑒 " = 𝑏 𝑒 " 𝑦 𝑒 " = 𝑏 1 " 𝑏 𝑒 + 𝑐 𝑦 = + 𝑐 𝑒 " 𝑎 𝑎 Den fuldstændige løsning til udtrykket er hertil bevist Plus A3 STX Plus A3 STX 11
12 Løsningskurven for hver af disse to tilfælde er en eksponentiel voksende eller aftagende graf. 1. ordens differentialligninger som de ovennævnte er typisk anvendt i naturvidenskabelige sammenhænge, hvor der inden for et vist emne er tale om eksponentiel vækst. Der kan således dannes en model tilpasset de empiriske data, man besidder inden for et givent tispunkt, der kommer til udtryk gennem intervallet samt begyndelsesbetingelser. I forrige afsnit opstilledes et udtryk for afkølingen af ægget som funktion af tiden t, der lød: d T T dt = k T T Af grafen ses en eksponentielt aftagende funktion med et eksponentielt fit: Det opstillede udtryk kan derfor identificeres som et af udtrykkene for lineære 1. ordens differentialligninger. Formen for specialtilfælde 3): y = b ay findes som bedst passende på det opstillede udtryk for afkøling af et æg. Eftersom det opstillede er identificeret som et af specialtilfældene, kan en fuldstændig løsning til udtrykket bestemmes: d T T dt = k T T = k T + k T T t = T + c e For afkølingen af et materiale findes der allerede en formel, nemlig Newtons afkølingslov: T = k T E hvor T er objektets temperatur, k er (konstanten, h og A) og E er omgivelsernes temperatur. Det ses at der i denne formel indgår de samme variable og konstanter som i den opstillede formel. 12
13 Ved at benytte programmet TI- Nspire, kan den fuldstændige løsning til den opstillede formel, hvor tiden t = 0, T2 = 60,9 C og T1 = 22,3 C : Konstanten k ud fra punktet (28, 41.1) fra vores data: Det vil altså sige, at den partikulære løsning til den opstillede formel er: T t = 22,3 C + 38,6 e,"#$%& hvor T er en funktion af tiden t. Vi ser da en eksponentielt aftagende graf for funktionen: Tilfældige datapunkter kan nu indsættes i den partikulære løsning til formlen: 13
14 Det ses her, at den opstillede formel passer fint på grafen for de målte data. Vi kan på baggrund af dette konstatere, at vores opstillede formel passer med vores målte data samt teorien bag 1. ordens differentialligninger. Konklusion og perspektivering til hverdagen På baggrund af smagstesten og vurderingen af det visuelle udtryk for de blødkogte æg, kan det konkluderes, at formlen for kogningen af blødkogte æg var den bedste metode til at koge de perfekt blødkogte æg. Det var dog ikke meget, der adskilte de to metoder, og de vurderes begge egnede til kogning af det perfekt blødkogte æg. Men i sidste ende er det en smagssag. Ligeledes opstillede vi en formel for afkølingen af et hårdkogt æg som funktion af tiden, som blev bevist af teorien bag 1. ordens lineære differentialligninger samt Newtons afkølingslov. Eftersom en formel er blevet bekræftet i at være på samme niveau eller bedre end husråd, og en ligning for afkølingen af et materiale er blevet opstillet og afprøvet, er det måske kun et spørgsmål om tid, før andre formler og ligninger bliver opstillet for anden tilberedning i madlavningen. Anvendelsen af matematiske formler i madlavningen, vil måske kunne bringe fremtidig kokkekunst til et endnu højere niveau, end vi ser i dag. Måske vil der i fremtiden blive behov for mere end tre Michelinstjerner for madanmelderne. Men det er trods alt en smagssag. Velbekomme. 14
15 Litteraturliste Bent Kistrup, Gunnar Schiøtt Hansen og Erik Øhlenschlager, uddrag af Fysik/Kemi HF fællesfag, Gyldendal, 1991 Charles D. H. Williams, University of Exeter, The Science of Boiling an Egg Carsten Claussen, Erik Both og Niels Harting, uddrag af Spektrum I, Gyldendal, 2001 Erik Øhlenschlager, uddrag af Grundlæggende fysik, Gyldendal, 1988 Finn Elvekjær og Børge Degn Nielsen, uddrag af Fysikkens Verden I, Gads forlag, 1994 Jens Ingwersen, Hans Birger Jensen og Knud Erik Sørensen, uddrag af Kernestoffet energi, Systime, 1988 Karen Nørby, Sådan koger du det perfekte æg, koger- du- det- perfekte- æg/ Ukendt forfatter, uddrag af Differentialligninger af 1. orden Peder Dalby, Bjarke Møller Madsen, Lars Peter Overgaard og Jens Studsgaard, Plus A3 STX, uddrag af 1. Ordens differentialligninger Robert E. Terrell, Notes on Differential Equations 15
Differentialregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel
Læs mereDifferentialligninger. Ib Michelsen
Differentialligninger Ib Michelsen Ikast 203 2 Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Ligninger og løsninger...3 Indledning...3 Lineære differentialligninger af første orden...3
Læs mereStudieretningsopgave Temperatur af en væske
Studieretningsopgave af en væske Studieretning: Matematik A, Fysik B, Kemi B Fagkombination: Fysik og Matematik Opgaveformulering: Redegør kort for forsøget om opvarmning og afkøling af en væske. Præsenter
Læs mereKom i gang-opgaver til differentialregning
Kom i gang-opgaver til differentialregning 00 Karsten Juul Det er kortsigtet at løse en opgave ved blot at udskifte tallene i en besvarelse af en tilsvarende opgave Dette skyldes at man så normalt ikke
Læs mereMads Peter, Niels Erik, Kenni og Søren Bo 06-09-2013
EUC SYD HTX 1.B Projekt kroppen Fysik Mads Peter, Niels Erik, Kenni og Søren Bo 06-09-2013 Indhold Indledning/formål... 2 Forventninger... 2 Forsøget... 2 Svedekassen... 2 Fremgangsforløb... 2 Materialer...
Læs mereGrundlÄggende variabelsammenhänge
GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 14/15 Hf
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereNewtons afkølingslov
Newtons afkølingslov miniprojekt i emnet differentialligninger Teoretisk del Vi skal studere, hvordan temperaturen i en kop kaffe aftager med tiden. Lad T ( t ) betegne temperaturen i kaffen til tiden
Læs mereTermin maj-juni 13-14 Institution HF uddannelsen i Nørre Nissum, VIA University College Uddannelse Hf. Matematik B, hfe bekendtgørelsen.
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 13-14 Institution HF uddannelsen i Nørre Nissum, VIA University College Uddannelse Hf Fag og niveau
Læs mereDette forudsætter, at alt stof i forvejen er opvarmet til smeltepunktet eller kogepunkt.
Projekt: Energi og nyttevirkning Temperaturskala Gennem næsten 400 år har man fastlagt temperaturskalaen ud fra isens smeltepunkt (=vands frysepunkt) og vands kogepunkt. De tre kendte, gamle temperaturskalaer
Læs mereKoblede differentialligninger.
2. 3. 4. Koblede differentialligninger. En udvidelse af Newtons afkølingslov løst numerisk ved hjælp af integralkurver. Sidste gang så vi på, hvordan vi kunne opstille og løse en model for afkølingen af
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Termin 2011-2012 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold stx Matematik B Bente Madsen 1e mab Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Titel 1 Titel
Læs mereKort om Eksponentielle Sammenhænge
Øvelser til hæftet Kort om Eksponentielle Sammenhænge 2011 Karsten Juul Dette hæfte indeholder bl.a. mange småspørgsmål der gør det nemmere for elever at arbejde effektivt på at få kendskab til emnet.
Læs mereNår strømstyrken ikke er for stor, kan batteriet holde spændingsforskellen konstant på 12 V.
For at svare på nogle af spørgsmålene i dette opgavesæt kan det sagtens være, at du bliver nødt til at hente informationer på internettet. Til den ende kan oplyses, at der er anbragt relevante link på
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Juni 2017 HANSENBERG
Læs mereSRO. Newtons afkølingslov og differentialligninger. Josephine Dalum Clausen 2.Y Marts 2011 SRO
SRO Newtons afkølingslov og differentialligninger Josephine Dalum Clausen 2.Y Marts 2011 SRO 0 Abstract In this assignment I want to illuminate mathematic models and its use in the daily movement. By math
Læs mereMatematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale. htx112-mat/a-26082011
Matematik A Højere teknisk eksamen Forberedelsesmateriale htx112-mat/a-26082011 Fredag den 26. august 2011 Forord Forberedelsesmateriale til prøverne i matematik A Der er afsat 10 timer på 2 dage til
Læs mere3m Undervisningsbeskrivelser matematik A maj-juni 2013 JE Marie Kruses Skole, side 1 af 19
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2013 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer stx Matematik A Jørgen Ebbesen
Læs mereMatematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd. www.matematikhjaelp.tk
Matematik A-niveau STX 24. maj 2016 Delprøve 2 VUC Vestsjælland Syd www.matematikhjaelp.tk Opgave 7 - Eksponentielle funktioner I denne opgave, bliver der anvendt eksponentiel regression, men først defineres
Læs mereJakob Skovborg Sørensen Christian Dohrmann Mette Lunding Nielsen Lucas Paulsen
. Side 1 af 11 06/09 2013 Indhold Indledning/formål... 3 Hvordan måler vi?:... 3 Hvordan virker kassen?... 3 Forventninger... 4 Eksempel af måleserie... 4 Forsøget:... 4 Beregning af energiomsætning...
Læs mereEksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS
Eksempel på logistisk vækst med TI-Nspire CAS Tabellen herunder viser udviklingen af USA's befolkning fra 1850-1910 hvor befolkningstallet er angivet i millioner: Vi har tidligere redegjort for at antallet
Læs merematx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring
mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten
Læs mereMini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted
Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under
Læs mereAlgebra INTRO. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber:
INTRO Kapitlet sætter fokus på algebra, som er den del af matematikkens sprog, hvor vi anvender variable. Algebra indgår i flere af bogens kapitler, men hensigten med dette kapitel er, at eleverne udvikler
Læs mereNaturvidenskab. En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv
Naturvidenskab En fællesbetegnelse for videnskaberne om naturen, dvs. astronomi, fysik, kemi, biologi, naturgeografi, biofysik, meteorologi, osv Naturvidenskab defineres som menneskelige aktiviteter, hvor
Læs mereRKS Yanis E. Bouras 21. december 2010
Indhold 0.1 Indledning.................................... 1 0.2 Løsning af 2. ordens linære differentialligninger................ 2 0.2.1 Sætning 0.2............................... 2 0.2.2 Bevis af sætning
Læs mereMATEMATIK B. Videooversigt
MATEMATIK B Videooversigt 2. grads ligninger.... 2 CAS værktøj... 3 Differentialregning... 3 Eksamen... 5 Funktionsbegrebet... 5 Integralregning... 5 Statistik... 6 Vilkårlige trekanter... 7 71 videoer.
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU. Mandag den 11. maj 2009. Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA. Undervisningsministeriet
STUDENTEREKSAMEN MAJ 2009 MATEMATIK A-NIVEAU Mandag den 11. maj 2009 Kl. 09.00 14.00 STX091-MAA Undervisningsministeriet Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-5
Læs merefor matematik på C-niveau i stx og hf
VariabelsammenhÄnge generelt for matematik på C-niveau i stx og hf NÅr x 2 er y 2,8. 2014 Karsten Juul 1. VariabelsammenhÄng og dens graf og ligning 1.1 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1):
Læs mereHer skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål.
a. Buens opbygning Her skal vi se lidt på de kræfter, der påvirker en pil når den affyres og rammer sit mål. Buen påvirker pilen med en varierende kraft, der afhænger meget af buens opbygning. For det
Læs mereDokumentation af programmering i Python 2.75
Dokumentation af programmering i Python 2.75 Af: Alexander Bergendorff Jeg vil i dette dokument, dokumentere det arbejde jeg har lavet i løbet opstarts forløbet i Programmering C. Jeg vil forsøge, så vidt
Læs mereÆg bør tilberedes, så det er en kulinarisk fornøjelse at spise retter med æg!
Æggets dag 2015 Optimal tilberedning af æg Udarbejdet på baggrund af æggets kemi af Harold McGee, gennemtestede tilberedningsmetoder fra America s Test Kitchen og testet i et forbrugerkøkken af Grethe
Læs mereBilag til den indsigelse, som sommerhusgrundejerforeningerne på Samsø har fremsendt til Skov- og Naturstyrelsen den 27. april 2012.
Bilag til den indsigelse, som sommerhusgrundejerforeningerne på Samsø har fremsendt til Skov- og Naturstyrelsen den 27. april 2012. Bilagets formålet: Bilaget dokumenterer, at der fra de i lokalplanen
Læs mereVarmeligningen og cosinuspolynomier.
Varmeligningen og cosinuspolynomier. Projekt for MM50 Marts 009 Hans J. Munkholm 0. Praktiske oplysninger Dette projekt besvares af de studerende, som er tilmeldt eksamen i MM50 uden at være tilmeldt eksamen
Læs mereROSKILDE TEKNISKE GYMNASIUM 2. ÅR MAT. A & IT B MARTS 2014. Mini SRP - Projekt. Afkøling. Af Lars-Emil Jakobsen & Jacob Ruager.
ROSKILDE TEKNISKE GYMNASIUM 2. ÅR MAT. A & IT B MARTS 2014 Mini SRP - Projekt Afkøling Af Lars-Emil Jakobsen & Jacob Ruager. Logo af Java, redigeret i Paint af Lars-Emil Snefnug, redigeret i Paint af Lars-Emil
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012.
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 6 Differentialregning og modellering med f 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver
Læs mereKrop og energi - Opgaver og lidt noter 1! /! 14 Krop og Energi
Krop og energi - Opgaver og lidt noter 1 / 14 Krop og Energi Et undervisningsforløb i samarbejde mellem fysik og biologi. Dette dokument viser fysikdelen. En tilhørende LoggerPro fil viser målinger og
Læs mereFremtiden visioner og forudsigelser
Fremtiden visioner og forudsigelser - Synopsis til eksamen i Almen Studieforberedelse - Naturvidenskabelig fakultet: Matematik A Samfundsfaglig fakultet: Samfundsfag A Emne/Område: Trafikpolitik Opgave
Læs mereysikrapport: Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide I gruppe med Morten Hedetoft, Kasper Merrild og Theis Hansen Afleveringsdato: 28/2/08
ysikrapport: Gay-Lussacs lov Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide I gruppe med Morten Hedetoft, Kasper Merrild og Theis Hansen Afleveringsdato: 28/2/08 J eg har længe gået med den idé, at der godt kunne være
Læs mereIntegralregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement
Læs mereDeskriptiv statistik. Version 2.1. Noterne er et supplement til Vejen til matematik AB1. Henrik S. Hansen, Sct. Knuds Gymnasium
Deskriptiv (beskrivende) statistik er den disciplin, der trækker de væsentligste oplysninger ud af et ofte uoverskueligt materiale. Det sker f.eks. ved at konstruere forskellige deskriptorer, d.v.s. regnestørrelser,
Læs mereUddrag af studieordningen for Adgangskursus til Ingeniøruddannelserne
Uddrag af studieordningen for Adgangskursus til Ingeniøruddannelserne 21 Matematik B Kurset svarer til det gymnasiale niveau B 21.2.2 Kernestof Kernestoffet er: regningsarternes hierarki, det udvidede
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger
MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver
Læs mereFunktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul
Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse
Læs mereTallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål.
Labøvelse 2, fysik 2 Uge 47, Kalle, Max og Henriette Tallene angivet i rapporten som kronologiske punkter refererer til de i opgaven stillede spørgsmål. 1. Vi har to forskellige størrelser: a: en skive
Læs mereStudieretningsopgave
Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...
Læs mereMatematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1
Matematik B-niveau STX 7. december 2012 Delprøve 1 Opgave 1 Af trekanterne ABC og DEF ses ABC med b = 6 og c = 10. Der bestemmes for a. Tallene indsættes Så sidelængden er regnet til 8. For at bestemme
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2016 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hansenberg Gymnasium htx Matematik A Thomas Voergaard.
Læs mereEksempler på differentialligningsmodeller
1 Indledning Matematisk modellering er et redskab, som finder anvendelse i et utal af både videnskabelige og samfundsmæssige sammenhænge. En matematisk model søger at knytte en sammenhæng mellem et ikke-matematisk
Læs mere2. del. Reaktionskinetik
2. del. Reaktionskinetik Kapitel 10. Matematisk beskrivelse af reaktionshastighed 10.1. Reaktionshastighed En kemisk reaktions hastighed kan afhænge af flere forskellige faktorer, hvoraf de vigtigste er!
Læs mereRapport Bjælken. Derefter lavede vi en oversigt, som viste alle løsningerne og forklarede, hvad der gør, at de er forskellige/ens.
Rapport Bjælken Indledning Vi arbejdede med opgaverne i grupper. En gruppe lavede en tabel, som de undersøgte og fandt en regel. De andre grupper havde studeret tegninger af bjælker med forskellige længder,
Læs mereProjekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable
Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses
Læs mereMundtlige spørgsmål til 2v + 2b. mat B, sommer Nakskov Gymnasium & Hf.
Mundtlige spørgsmål til 2v + 2b. mat B, sommer 2010. Nakskov Gymnasium & Hf. Eksaminator: Ulla Juul Franck Der er 20 spørgsmål i alt, og bilag til spørgsmål 14 og 15. 1. Andengradspolynomier og parabler.
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2014 Studenterkurset
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereOpgaveformuleringer til studieprojekt - Matematik og andet/andre fag:
Opgaveformuleringer til studieprojekt - Matematik og andet/andre fag: Fag: Matematik/Historie Emne: Det gyldne snit og Fibonaccitallene Du skal give en matematisk behandling af det gyldne snit. Du skal
Læs mereSome like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS
Some like it HOT: Højere Ordens Tænkning med CAS Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2001 I år er det første år, hvor CAS-forsøget er et standardforsøg og alle studentereksamensopgaverne derfor foreligger
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Termin maj-juni 15/16 Institution Favrskov Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold stx Fysik C Signe Agerholm Clausen 1d fyc Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Læs mereOpgaver til Maple kursus 2012
Opgaver til Maple kursus 2012 Jonas Camillus Jeppesen, jojep07@student.sdu.dk Martin Gyde Poulsen, gyde@nqrd.dk October 7, 2012 1 1 Indledende opgaver Opgave 1 Udregn følgende regnestykker: (a) 2342 +
Læs mereUVB. Skoleår: 2013-2014. Claus Vestergaard og Franka Gallas
UVB Skoleår: 2013-2014 Institution: Fag og niveau: Lærer(e): Hold: Teknisk Gymnasium Skive Matematik A Claus Vestergaard og Franka Gallas 3. A Titel 1: Rep af 1. og 2. år + Gocart Titel 2: Vektorer i rummet
Læs mereLineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger
enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.
Læs mereUNDERVISNINGS MINISTERIET KVALITETS- OG TI LSYNSSTYRELSEN. Maten1atik A. Studenterel<sam.en. Fredag den 22. maj 2015 kl. 9.00-14.
- UNDERVISNINGS MINISTERIET KVALITETS- OG TI LSYNSSTYRELSEN Maten1atik A Studenterel
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2018 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Thy-Mors hf & VUC Stx Matematik A Knud Søgaard
Læs mereTransienter og RC-kredsløb
Transienter og RC-kredsløb Fysik 6 Elektrodynamiske bølger Joachim Mortensen, Edin Ikanovic, Daniel Lawther 4. december 2008 (genafleveret 4. januar 2009) 1. Formål med eksperimentet og den teoretiske
Læs mereStart pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul
Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs mereOpgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning
Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001
Læs merePrøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar
Første studieår Introduktion til matematiske metoder Prøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Lærebøger, notater mv. må medbringes. Ikke tilladte hjælpemidler:
Læs mereFormler, ligninger, funktioner og grafer
Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/Juni 2014 Institution Vejle HF og VUC, Campusvejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik
Læs mereOpfinderhjørnet, Syddurs Ungdomsskole, Distrikt Rønde DAMPBÅDE. Dette projekt er lavet af: Lotte Neimann Buch, Lasse Desdorf og Bjarke Patrick Gade
Opfinderhjørnet, Syddurs Ungdomsskole, Distrikt Rønde DAMPBÅDE Dette projekt er lavet af: Lotte Neimann Buch, Lasse Desdorf og Bjarke Patrick Gade DAMPBÅDE Dette projekt er lavet af: Buch, Lasse Desdorf
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Som 2015 Institution VUC Vest Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Mat B Niels Johansson 14MACB11E14
Læs mereFaglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1
Faglige delmål og slutmål i faget Matematik. Trin 1 Faglige delmål for matematik i 1. og 2. klasse. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne efter 2. klasse har tilegnet sig kundskaber og færdigheder,
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU-Net
STUDENTEREKSAMEN STUDENTEREKSAMEN PRØVESÆT MAJ 22007 2010/2011 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Prøvesæt 2 2010/2011 Kl. 09.00 14.00 Prøvesæt 2 2010/2011 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: 2 timer med autoriseret
Læs merePeterSørensen.dk : Differentiation
PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3
Læs mereMatematik B. Højere forberedelseseksamen
Matematik B Højere forberedelseseksamen hfe131-mat/b-31052013 Fredag den 31. maj 2013 kl. 9.00-13.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål.
Læs mereMujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011
Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation
Læs mereStx matematik B december 2007. Delprøven med hjælpemidler
Stx matematik B december 2007 Delprøven med hjælpemidler En besvarelse af Ib Michelsen Ikast 2012 Delprøven med hjælpemidler Opgave 6 P=0,087 d +1,113 er en funktion, der beskriver sammenhængen mellem
Læs mereFysikrapport: Rapportøvelse med kalorimetri. Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide. I gruppe med Ulrik Stig Hansen og Jonas Broager
Fysikrapport: Rapportøvelse med kalorimetri Maila Walmod, 1.3 HTX, Rosklide I gruppe med Ulrik Stig Hansen og Jonas Broager Afleveringsdato: 30. oktober 2007* *Ny afleveringsdato: 13. november 2007 1 Kalorimetri
Læs mereLineære modeller. Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså
Lineære modeller Opg.1 Taxakørsel: Et taxa selskab tager 15 kr. pr. km man kører i deres taxa. Hvis vi kører 2 km i taxaen koster turen altså Hvor meget koster det at køre så at køre 10 km i Taxaen? Sammenhængen
Læs mereArealer under grafer
HJ/marts 2013 1 Arealer under grafer 1 Arealer og bestemt integral Som bekendt kan vi bruge integralregning til at beregne arealer under grafer. Helt præcist har vi denne sætning. Sætning 1 (Analysens
Læs mereTalrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side
VisiRegn ideer 3 Talrækker Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Talrækker 2-4 Elevaktiviteter til Talrækker 3.1 Talrækker (1) M-Æ 5-9 3.2 Hanoi-spillet
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 15/16, eksamen maj-juni 2016 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold 2-årig
Læs mereDifferentiation af Logaritmer
Differentiation af Logaritmer Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereOm at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi
Om at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi I 996 var det en sensation, da det kom frem, at det var lykkedes D. Bailey, P. Borwein og S. Plouffe at finde en formel for tallet π, med hvilken man
Læs mereOptimale konstruktioner - når naturen former. Opgaver. Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om topologioptimering
Opgaver Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om solsikke Opgave 1 Opgave 2 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen om bobler Opgave 3 Opgave 4 Opgaver og links, der knytter sig til artiklen
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni, 13/14 Institution Vestegnen HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Matematik A Kirsten
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereAT-1. Oktober 09 + December 10 + November 11. CL+JW. Stenhus. side 1/5
AT-1. Oktober 09 + December 10 + November 11. CL+JW. Stenhus. side 1/5 1. 2. 3. 4. AT-1. Metodemæssig baggrund. Oktober 09. (NB: Til inspiration da disse papirer har været anvendt i gamle AT-forløb med
Læs mereSRP Mat A Kemi B Reaktionskinetik Gülcicek Sacma, 3.x 20. december 2012
Gülcicek Sacma, 3.x 20. december 202 Indhold Abstract... 2 Indledning:... 3 Hvad er en differentialligning?... 4 Bevis for løsningsmetoden separation af variable.... 5 Reaktionshastighed... 7 Faktorer,
Læs mereSkoletjenesten Aalborg kommune energiundervisning- Tjek på energien
Lærervejledning Materialer: Tiliters spande Målebægre Lommeregnere/mobiler http://aalborg.energykey.dk (Login fås af Teknisk Serviceleder på skolen) Om energi, effekt og kilowatttimer. Energi måles i Joule
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 11/12 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Matematik
Læs mereHALSE WÜRTZ SPEKTRUM FYSIK C Energiregnskab som matematisk model
HALSE WÜRTZ SPEKTRUM FYSIK C Energiregnskab som matematisk model Energiregnskab som matematisk model side 2 Løsning af kalorimeterligningen side 3 Artiklen her knytter sig til kapitel 3, Energi GYLDENDAL
Læs mereDifferential- regning
Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7
Læs mereMatematik B - hf-enkeltfag, april 2011
Matematik B - hf-enkeltfag, april 2011 1. Identitet og formål 1.1. Identitet Matematik bygger på abstraktion og logisk tænkning og omfatter en lang række metoder til modellering og problembehandling. Matematik
Læs mere