Eksponentielle modeller

Transkript

1 Eksponentielle modeller Fag: Matematik A og Informationsteknologi B Vejledere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Side 1 af 20

2 Indholdsfortegnelse Introduktion 1.Indledning Formål Gærcellevækst Eksponentielle funktion, fordobslingskonstant og cellevækst eksponentielle funktioner - teori Opsummering: Fordoblingskonstanter inden for logaritmefunktioner Data analyse Hypotese udgave 1: dm(f)= 100; Afprøvning af hypotese- opstilling af eksponentielle modeller Delkonklusion Hypotese udgave 2: dm(f)= [100;260] - [100;140] Afprøvning af hypotese- opstilling af eksponentielle modeller Delkonklusion - Vurdering af model Opsummer modeller og intervallets fremskrivningsfaktorer Konklusion af matematik delen Fremstilling af IT-Produktet Fase 1 - skitser Fase 2. produktet Fase 3. Implementering af Grafs Fase 3. Sidste detaljer Konklusion af produkt Litteraturliste kilder Bilag / relevant materiale Side 2 af 20

3 Introduktion 1.Indledning Vi skal i dette projekt arbejde i grupper af 2. Hvor vi skal arbejde med eksponentielle modeller. Vi har fået udleveret data som ses,på billedet til højre (figur 1.). Data er lavet af nogle Htx-elever, over udviklingen af gærceller over tid. hvor de har en teori, der siger at der vil være en eller flere perioder, hvor gærcellerne vil vokse eksponentielt. Vi vil komme mere ind på hvad en eksponentiel udvikling er senere i projektet. Vi vil også kort komme ind på teorien bag en gærcelles vækst. Figur 1 2. Formål Formålet til projektet er, at vi skal finde ud af om der i perioder er en eksponentiel vækst, ved at få defineret nogle intervaller og lavet modeller. Vi skal udarbejde visuelle modeller som grafer, i forskellige typer af koordinatsystemer og finde frem til flere forskellige funktions-modeller vha. beregninger, som kan beskrive gærcellernes vækst. Vi skal fremstille et IT-produkt, som vi kan bruge til visuelt at vise vores modeller og grafer. 3. Gærcellevækst Da vores forsøg handler om gærceller, vil vi starte med at komme ind på hvordan gærcellers vækst foregår. Gærceller vokser i 3-4 faser. afhængigt af hvad gæren bruges ti. Hvis den bruges til gæring af alkohol som f.eks. øl, vil der være 4 faser: Lagfasen, vækstfasen, gæringsfasen og sedimenteringsfasen. Men det vil vi ikke komme ind på da det ikke er relevant i vores projekt. Vi vil derimod komme ind på en gærcelles anaerobte udvikling. Dvs. at gæret arbejder uden tilføjelse af ilt. Her har vi skam også 4 faser Figur 2 Side 3 af 20 Figur 3 -

4 gærcellen går igennem under dens vækst. Se Figur. 2 Vi har lagfasen: Der kort beskrevet er den fase hvor gærcellen ikke vokser specielt meget. Lagfasens periode kan varierer i forhold til vækstbetingelserne, som for eksempel temperatur eller næringskilde. Derefter kommer den Eksponentielle fase: Hvor gærcellerne begynder at vokse eksponentielt da den deler sig ved knopskyning, som betyder cellen deler sig i 2, så til 4, så til 8 osv. Så kommer vi til en stationærer fase: Hvor gærcellerne har opbrugt alt næringen, og kan derfor ikke dele sig længere. Tilsidst indtræder Dødsfasen: Som i bund og grund er den fase hvor gærcellerne går til grunde som skyldes mangel på næring. Side 4 af 20

5 Matematik delen 4. Eksponentielle funktion, fordobslingskonstant og cellevækst Men hvad er det helt præcis definitionen af en eksponentiel vækst er? Det vil vi kort beskrive her og b.la. hvordan vi finder frem til fordoblingskonstanten. 4.1 eksponentielle funktioner - teori Når vi snakker om en eksponentiel funktion snakker vi om en funktion, som vokser med en konstant procentuelt stigning. En eksponentiel funktion har denne regneforskrift: I vores tilfælde snakker vi om en eksponentiel udvikling hvor vi har regneforskriften: Hvor f(x) er y-værdien, b er begyndelsesværdien, som også er der hvor funktionen skærer y-aksen. a er fremskrivningsfaktoren, som er procent skrevet i decimaler, som bestemmer hvor stor en vækst funktionsværdien vokser med. Den fortæller os om funktionen er voksende eller faldende Vi kan definere om funktionen er faldende eller stigende således: Figur 5 Hvis vi har en funktion der har regneforskriften: Har vi en funktion med begyndelsesværdien 10, altså vil den skære y-aksen i (0;10), derefter kan vi se på fremskrivningsfaktoren at funktionen har en udvikling på 1%. Dvs. at hvis x = 1 får vi a til at være 1,01, som er decimal tallet af 101% hvis x derimod er f.eks. 50 får vi: Osv.Vi kan se funktionen på figur 3. samtidig med en tabel over funktionsværdien på figur 4. hvor vi kan se hvordan udvikling foregår med 1% vækst. Figur 4 Side 5 af 20

6 Hvis vi kigger på y-værdien kan vi se at den langsomt bliver højere og højere i starten, hvor den så tager højere og højere spring, f.eks. fra ændrer den sig ca. 2,6. Mens den ændrer sig med næsten 50 i intervallet Opsummering: Altså er en eksponentiel udvikling en funktion med regneforskriften som har en udvikling med konstant procentuel stigning. Samtidig kan vi afhængigt af fremskrivningsfaktoren vide om funktionen er voksende eller faldende 4.2 Fordoblingskonstanter inden for logaritmefunktioner Når vi snakker om fordoblingskonstanten inden for eksponentielt udviklende funktioner snakker vi om en konstant, som svarer til hvad x-værdien skal ændre sig for at funktionsværdien(y) er fordoblet. Vi kan matematisk udtrykke det i denne form: Den eksponentielt voksende udvikling Har fordoblingskonstanten: T 2 er den varierende x-værdi, og a er fremskrivningsfaktoren Hvis vi skal give et eksempel på, hvordan vi kan regne fordoblingskonstanten ud kan vi kigge på figur 4. Hvor vi har en eksponentiel udvikling, der har forskriften: Så kan vi udregne funktionens fordoblingskonstanten ud, da vi kender fremskrivningsfaktoren: figur 5. Det har vi evalueret på Graph, som du kan se på figur 4. hvor vi har taget y værdien for x=1, Som vi fik til at være vores fordoblingskonstant Side 6 af 20

7 5. Data analyse Vi kan ud fra tabellen, der er givet i projektet (figur 6.), Se de data som HTX-eleverne fik samlet i deres forsøg. Hvis vi kort skal analyserer det, ved blot at kigge på gærcellernes vækst i forhold til perioden. Som vi gjorde under kan vi se at lagfasen muligvis ligger i intervallet mellem min. Da udviklingen ser ud til at være meget lav. Hvorefter der efterfølgende ser ud til at være en stigning på nogenlunde det samme hvis vi kigger på stigningen fra interval til interval mellem min. Her kunne det meget vel være at vi har den Eksponentielle fase. Det sidste interval mellem min. er der ikke nogen specielt stor udvikling så det må være her den eksponentielle fase slutter og den stationære fase starter. På figur 7. har vi indsat punkterne i et koordinat system. hvor vi kan se hvordan punkterne ligger i forhold til hinanden Figur 6 Figur 7 Hvis vi kun kigger på punkternes placering og tager udgangspunkt i teorien bag gærcellernes vækst og sammenligner det med vores data. Kan vi se at den første fase, som vi nævnte mellem ligner det godt kunne være en lineær udvikling, hvilket vi ville kalde for lag-fasen. Perioden ville vi så kalde den eksponentielle fase. Perioden ville så være starten på den stationærer fase. Side 7 af 20

8 Hvis prøver at sætte Graph til at lave tendenslinje, hvilket også kaldes en regressionsanalyse for de givne punkters placering, som burde angive den bedst mulige eksponentielle tilnærmelse til det givne data sæt. Så for vi en tendenslinje, der kan ses på figur 8. R 2 er korrelationskoefficienten, som er et mål, for hvor god den lineære sammengæng mellem punkterne er. Kort sagt jo tættere den er på 1. Jo bedre er sammenhængen. Hvis R=1, ligger punkerne på ret linje med positiv hældning. Figur 8 Vi kan se punkterne varierer en lille smule, og at dens begyndelsesværdi er forkert fra vores data, vi har fået fra tabellen, den har vi nemlig fået til 15. Da det som sagt i afsnittet om eksponentielle funktioner er den værdi y har når x=0. Vi har indsat tallene vi får fra tendenslinjen og sammenlignet det, ved at finde afvigelsen i gærceller og den procentvise afvigelse vha. Excel, som vi kan se på figur 9. Vi kan se at tendenslinjen passer nogenlunde med vores data. De markerede punkter er dem der havde størst afvigelse, det kunne vi bla. se på figur 8. Det kan vi skam også se på, hvor meget de afviger i procent. De afviger nemlig alle mellem 10-16%(figur 9.). Får at få et andet billede af punkternes placering, vil vi lægge punkterne ind i et Figur 9 enkeltlogaritmisk koordinatsystem, da man kan se om en eksponentiel funktion ved at den danner en lineær linje. Side 8 af 20

9 Et enkeltlogaritmisk koordinatsystem betyder kort, at y-aksen er logaritmisk og x-aksen er normal. Det vil gøre at den eksponentielle funktion ligner en lineær linje, fremfor en buet linje, som den ville være i et normalt koordinatsystem, som vi så under eksponentielle funktioner på figur 5. Figur 6 På figur 10. har vi sat punkterne og tendenslinjen ind i det enkeltlogaritmiske koordinatsystem Vi kan se at tendenslinje ligner en lineær funktion. Men vores punkter varierer godt nok en del, og ligner ikke umiddelbart at den bevæger sig på en ret linje. Det ser dog ud til at den har en tendens til at være linear på 4 punkter af punkterne. Det må være i intervallet , Da det var de 4 punkter der bl.a. var afvigende med stort set samme procent. Det kan vi bl.a. se på figur 8 og 9.' Det sidste vi kan tjekke er sammenhængen på fremskrivningsfaktorerne i data sættet. Vi kan finde fremskrivningsfaktorerne, hvis vi kender 2 punkter, vha. denne formel: Vi udregner fremskrivningsfaktoren for 0-20 til at være: Side 9 af 20

10 Således regner vi fremskrivningsfaktoren ud for de resterende. Se figur 11. Ud fra fremskrivningsfaktorerne. Kan vi se hvordan udviklingen pr. min. Ud fra det kan vi se at punkterne i intervallet 0-100, varierer meget angående fremskrivningsfaktoren, altså kan der ikke være en eksponentiel vækst i den periode. Det stemmer overens med vores observationer og teori omkring gærcellevæksten og vores data sæt. Da det meget vel burde være indenfor den periode at lagfasen burde være. Det er dog muligt, at der er tale om en eksponentiel vækst mellem i perioden , hvis vi sammenligner deres fremskrivningsfaktorer. Dog er der 2 undtagelser med og periodes fremskrivningsfaktorer, som viser sig at Figur 11 være det dobbelte af de andre. De sidste 3 perioder ser ikke ud til at have nogen sammenhæng med de andre, selvom vi havde konkluderet at det måske var perioden der var eksponentiel. Da vi kiggede på data sættet på figur 6. Men hvis vi kigger på grafen figur 8 og 10 samtidig med tabellen over afvigelse på figur 9. kan vi se at der ingen sammenhæng er der. Før vi går i gang med at opstille modeller for hvor den eksponentielle udvikling ligger henne af og om der overhovedet er en. Vil vi finde fordoblingskonstanten for regressionsmodellen, som kan hjælpe os til at få et overblik over hvor hurtigt modellen vokser og sammenligne det med vores modeller. Vi anvender funktionsudviklingen at Figur 12 Har fordoblingskonstanten: Vi kan se på figur 12. at stemmer overens med at f(x) bliver det dobbelte af b. Side 10 af 20

11 6. Hypotese udgave 1: dm(f)= 100;260 Vi har i opgaven fået opstillet en hypotese, som vi skal have bekræftet eller afkræftet. Hypotenusen lyder således: "Der vil være en tidsperiode, hvor gærcellerne udvikler sig eksponentielt." Den hypotese vil vi ud fra vores informationer vi fik ud fra vores opgaveanalyse prøve at opstille nogle modeller, som muligvis kan vise om gærcellen har en periode hvor den udvikler sig eksponentielt. Vha. vores opgaveanalyse har vi fundet et interval, som umiddelbart ser ud til at være den periode som tilnærmelsesvis udvikler sig eksponentielt. Det vil vi derfor prøve at opstille en model for. Hvor vi finder den gennemsnitlige fremskrivningsfaktor for det givne interval og laver en eksponentiel funktion i det nye begyndelsespunkt og så sammenligne vores model med virkeligheden og se om den passer. 6.1 Afprøvning af hypotese- opstilling af eksponentielle modeller Vi vil starte med at finde den gennemsnitlige fremskrivningsfaktor ved at bruge formlen: Vi udregner således vores fremskrivningsfaktor til at være: Så har vi regneforskriften for den eksponentielle funktion til at være: begyndelsesværdien er ændret til 31, da vores periode starter på 140. hvor f(x) = 24, Så vores model giver os de rigtige informationer. Vi vil nu sammenligne vores model med virkeligheden ligesom vi gjorde med tendenslinjen, for at se om vores model passer. Vi har indsat vores informationer i tabellen på figur 13. hvor vi kan se at vores model afviger med næsten ingenting, den største afvigelse er "kun" på 12%, hvor resten ligger under 7%, hvilket ikke er en særlig stor afvigelse. Hvis vi sammenligner det med vores regressionsmodel, som havde en større afvigelse på disse punkter. Vi er endda helt nede på en afvigelse på kun 1,7%. Figur 13 Side 11 af 20

12 På figur 14. kan vi se, hvordan vores model 1. (grøn) ser ud i forhold til data punkterne(prikker) og vores regressionsmodel(røde). Det var godt nok regressionsmodellen for alle data, men vi er kun interesseret i vores interval/periode. Derfor må vi lave en ny regressionsmodel Figur 14 for vores model for at sammenligne vores model mod den bedst mulige eksponentielle tilnærmelse i det nye interval. Se figur 15. Vi har sat begyndelsesværdien til at være x=0, så det vi ser ved x-aksen er faktisk x- 100, så 20 ville være perioden 120. Det er blot ændret for at vi ville kunne sammenligne modellerne lettere visuelt. Her har vi vores regression (den blå), sammenlignet med vores model (den grønne) og som vi kan se ligger vores model meget tæt op af regressionsmodellen, hvor "R" også ligger meget tæt på 1. Hvilket betyder at vores model er rimelig god. Figur 15 Nu da vi har en ny regressionsmodel for et nyt interval. Vil vi prøve at sammenligne den mod punkterne som vi gjorde over regressionsmodellen for hele intervallet under opgaveanalysen. Når vi indsætter de funktionsværdier vi får fra perioderne, får vi således de resultater, vi kan se på figur 16 næste side. Vi kan se hænger vores model og regressionsmodel over punkterne meget godt sammen angående den procentvise afvigelse fra punkterne. Begge modeller har en temmelig lille afvigelse. Som vi også kan se på korrelationskoefficienten R på figur 15. Er den også meget tæt på 1. Altså må vores model passe meget godt sammen med punkterne, da den ligger så tæt op af regressionsmodellen også. Side 12 af 20

13 Figur 16 Vi kan se at vores model og regressionen maksimalt afviger med 2-3 % fra hinanden, men regressions modellen er lige det tættere på vores punkter. Den højeste afvigelse er nemlig kun 9%, mens vores er oppe på 12%. Til sidst vil vi prøve at sammenligne fordoblingskonstanten fra vores model med regressions modellen. Vi bruger samme udtryk for konstanten som vi gjorde under afsnittet af fordoblingskonstanten i introduktionen. Fordoblingskonstanterne ligger altså rimeligt tæt op af hinanden indenfor dette interval. Lige kort kan vi aflæse på figur 16. at begge modeller har fordoblet deres antal gærceller før de når til periode 180 minutter. Altså må det passe meget godt med at fordoblingskonstanten er 71 og 72. Men i forhold til fordoblingskonstanten for hele intervallet som vi regnede os frem til opgaveanalysen, den fik vi til ca. 91. Men her havde vi godt nok for hele perioden og der havde vi lag-fasen med i intervallet. Altså giver det meget god mening at vores fordoblingskonstant her er 71 og 72. Da væksten går en anelse hurtigere i dette interval. 6.3 Delkonklusion Vores konklusion på modellen er, at den var god. Vores sammenligning med virkeligheden og modellen lå meget tæt op af hinanden. Men der er dog stor afvigelse lige i starten. Hypotesen vi er i Side 13 af 20

14 gang med at bekræfte eller afkræfte kan meget vel være sand, det ser ud til at gærcellevæksten har i en periode eksponentiel udvikling. Men vi vil prøve at opstille en anden model hvor vi prøver at minimere vores afvigelse endnu mere. 7. Hypotese udgave 2: dm(f)= [100;260] - [100;140] Vores sidste model havde i starten en ret stor afvigelse i procent, det vil vi prøve at rette op på i denne model ved at overveje om det kan betale sig at tage gennemsnittet af hele periodens fremskrivningsfaktor. Da grunden til den "store" afvigelse i starten skyldtes en langsom start på udviklingen tænker vi, at uden fremskrivningsfaktoren for , måske ville kunne oprette denne afvigelse. Hvis vi gør således finder vi en ny fremskrivningsfaktor til at være: Således for vi en ny regneforskrift til at være: 7.1 Afprøvning af hypotese- opstilling af eksponentielle modeller Vi gør det samme som i vores første model og indsætter det i en tabel. Hvor vi således kan se resultaterne på figur. 15. og figur 16. Figur 17 Vi kan se at afvigelsen er blevet større. Hvilket ikke var hensigten. Men punktet 200, passer nu næsten perfekt med kun Figur 18 1% afvigelse. Men resten har fået en større afvigelse. Altså kan det ikke have været fremskrivningsfaktoren i perioden , som har forårsaget afvigelsen i starten. Side 14 af 20

15 7.3 Delkonklusion - Vurdering af model Vores konklusion af model nummer to, er at den ikke er bedre end vores første model, og at vi derfor ikke er kommet tættere på formindske afvigelsen fra virkeligheden til at be- eller afkræfte hypotesen. Vi bliver derfor nød til at opsætte en ny model, som bør minimere den afvigelse vi havde fra første model og ikke øge afvigelsen som vores denne model. 8. Opsummer modeller og intervallets fremskrivningsfaktorer Vores opsummering af vores 2 modeller er at vores første interval var et interval, vi havde fundet ud fra konklusionen af vores opgaveanalyse. Vi kunne allerede se på model 1. at den var spot on, i forhold til regressionsmodel i samme interval. Selv fordoblingskonstanten varierede kun en anelse. Men da vi prøvede at komme endnu tættere på at finde en model som passede endte vi med at lave en model som havde større afvigelse end vi havde forventet. Så Vi tænker at vores første model er vores bedste bud på om gærcellerne i en periode har en eksponentiel udvikling. 9. Konklusion af matematik delen Vi startede som sagt med at finde vores interval ud fra vores observationer vi lavede i opgave analyse, og vi fandt derfor hurtigt frem til en model, som lå utroligt tæt op af gærcellernes udvikling. Den største afvigelse var på 13%, som var det første punkt ud over startpunktet. Mens alle de andre punkter lå under 7 %. Det vil vi sige er en så lille afvigelse fra virkeligheden at hypotesen om at gærcellerne vokser eksponentielt i en periode. Er sand. Vores maksimale afvigelse vi ville have til at starte med er under 10% før vi kan sige om den faktisk har en eksponentiel vækst. Det har vi så fået lavet en model som kan bekræfte. Derfor må Hypotesen som sagt være sand. 10. IT delen Under IT delen af projektet skal vi have lavet en brugergrænseflade, som gør det muligt for brugeren at se de modeller vi har lavet i løbet af matematik delen i projektopgaven. Vi skal gøre rede for designet af brugerfladen til IT-produktet og vi skal dokumenterer arbejdet ligesom i en systemudviklingsmetode Fremstilling af IT-Produktet Først og fremmest laver vi en plan over hvordan vores IT-produkt skal se ud. Vi skal have en forside, som gør det muligt for brugeren lige kort at få overblik over hvad det her projekt handler om. Så skal vi have mulighed for at komme videre til vores modeller, men også til credits og licenser til de programmer vi har anvendt til vores IT produkt. Side 15 af 20

16 10.2 Fase 1 - skitser Nu har vi vores grundlæggende plan som vi så vil forsøge at lave nogle skitser over så vi har en klar ide om hvad det er vi skal have lavet. Figur 19 På figur 19. kan vi se en skitse over hvad det er vi har tænkt os at lave til vores IT-produkt. Vi skal have en forside/main menu, hvor vi skal have 3 eller flere muligheder. en for at gå ind til start, som giver os mulighed for at vælge 3 eller flere muligheder for at kigge på en grafisk billede af de dokumenter vi har lavet. Muligvis også få kildeteksten med eller lign. Der skal være mulighed for at kunne komme tilbage til hovedmenuen på alle overfladerne. Det skal samtidig være simpelt og let overskueligt så alle kan bruge den Fase 2. produktet Nu har vi fået lavet vores første interface, hvor vi har brugt EasyGUI modulet i python27. EasyGUI er en meget simpel måde at implementerer Tkinter, som man normalt bruger til at lave bokse af forskellige valgmuligheder, som vi anvender her. Men med EasyGUI, gør det kodningen langt mere simplet og lige til. Se vores nuværende produkt figur 20. Figur 20 Side 16 af 20

17 Figur 21 Hvis vi kigger på kodningen figur 21. Kan man se vi har importeret easygui. Så har vi lavet en defition som vi har kaldt startmenu, startmenuen er det vi kan se på figur 20. Så har vi sat et image ind. som er billedet på figur 20. Så har vi angivet nogle valgmuligheder under "choices", og det hele har vi så sat ind under "buttonbox" som vi har defineret som "menu". Hvor vi en besked vi kunne have indtastet, men den er blank, så har vi titlen på programmet. Der bliver vist øverst, se på figur 20, Så har vi "buttons" defineret til at den skal vælge "choice" og image. Altså en meget simpel måde at opstille vores program på Fase 3. Implementering af Grafs Nu har vi fået indsat vores næste front, hvor vi som på vores skitse, skal have mulighed for at komme ind på vores modeller og se grafen, kodningen og de data der er angivet. Men før vi kunne få vist vores graf i vores produkt har vi været nød til at kode den ind i python først. Det har vi brugt modulet "Matplotlib", til at hjælpe os med. Det er et modul, som gør det muligt for at direkte indsætte punkter og funktioner ind i et koordinatsystem. hvor du selv kan definerer akserne. Figur 22 Side 17 af 20

18 På figur 22. kan du se den anvendte kodning jeg har brugt til det. Vi vil ikke gå i detaljer angående kodningen da den allerede er blevet beskrevet i billedet. Men som du kan se er det selve grafen for vores datasæt(punkterne) og vores regressionsmodel over hele perioden(røde streg). Vi vil så tilføje de 2 andre modeller og regressionsmodeller vi har lavet så vi har mulighed for også at åbne dem i programmet Fase 3. Sidste detaljer Efter vi havde tilføjet Modellerne, og Data, ville vi gerne have indført under credits at man kunne komme igennem alle sammen uanset hvor henne du var henne af, så du f.ek.s kunne klikke credits, så python, og fra python til matplotlib og fra matplotlib tilbage til python eller videre til EasyGUI, så du ikke behøvede at åbne programmet hele tiden. Men på grund af det ville være for kringlet at kode, og da det ville kræve alt for meget tid. Måtte vi opgive det. Det ville ellers have været en meget lækker detalje, at man kunne undgå hele tiden at skulle starte programmet. Vores færdige produkt kan du se billeder af på figur 22-25, hvor vi har taget et billede af hvert front/frame, du kan komme ind på, dog har vi ikke billede af de enkelte modellers grafer, info om de enkelte programmer osv. Da det ville fylde for meget. Men alt det kan du se i de vedhæftede filer. Figur 22 Figur 23 Side 18 af 20

19 Figur Konklusion af produkt Hvis vi skal give en konklusion af vores produkt vil jeg sige at det er et meget simpelt, let og overskueligt produkt. Den har et meget let og enkelt design, som skulle gøre det lettere for brugeren at anvende det. Der har dog været en masse problemer med produktet og vi har ikke kunnet formå at give den det indhold, som vi havde ønsket. Vi ville gerne have haft mulighed for at kunne navigerer rundt fra sted til sted frem for sted til main menu til sted. Så i stedet for at det gik frem og tilbage. Kunne man gå rundt, som man ville have den destination man nu var endt på. Vi ville også gerne have haft vores kode med ind under en fjerde knap på skærmen, men da vi ikke kunne få al koden med på et billede og da billedet så ville være for stort. Blev vi nød til at nøjes med at ligge det ved siden af. Men alt i alt er det et udmærket produkt til at vise de modeller vi havde fundet frem til. Side 19 af 20

20 15. Litteraturliste 15.1 kilder Ophav: Biotech Academy - Dato: Ophav: Easygui - Dato: Ophav: Easygui - Dato: Ophav: Easygui - Dato: Ophav: Online convert - Dato: Ophav: Python - Dato: Bilag / relevant materiale. Mat 1A skrevet af Jens Carsten, Jesper Frandsen og systime A/S Mat 2A skrevet af Jens Carsten og Jesper Frandsen Side 20 af 20