Grundlæggende elementmetode. for. Bjælker og Rammer

Transkript

1 Grundlæggende elementmetode for Bjælker og Rammer 1. udg. februar 6 Sven Krabbenhøft

2 Indholdsfortegnelse 1 Indledning 1 Bjælkekonstruktioner 3.1 Indledning 3. okalanalyse 6..1 Den direkte metode 7.3 ransformation til globale koordinater 1.4 Den globale stivhedsrelation 13.5 øsning af ligningssystem 19.6 Bjælke med charniere Konjugeret bjælke 3 3 Arbejdsligningen Generelt 4 3. Formfunktioner Flytningsinterpolationsmatricen øjningsinterpolationsmatricen Udledning af stivhedsmatricen Hensyn til lokallaster Bjælke på lineærelastisk underlag 36

3 Grundlæggende elementmetode for bjælker og rammer 1 Indledning Ideen i elementmetoden er at opdele en konstruktion i et antal mindre overskuelige elementer og herefter på basis af en på forhånd kendt sammenhæng mellem kræfter og deformationer for disse elementer at bestemme det samlede (globale) systems opførsel. Metoden er oprindelig udviklet til beregning af bærende konstruktioner men bruges i dag også indenfor andre fagområder eksempelvis geoteknik og hydraulik. Metoden kan bruges til analyse af alle former for bærende konstruktioner men i dette notat vil kun bjælker blive behandlet. Det er karakteristisk for metoden at den er meget systematisk og dog meget fleksibel at anvende. Der opstilles et relativt stort antal lineære ligninger således at det i praksis er nødvendigt at anvende computerprogrammer. De punkter i konstruktionen hvor de enkelte elementer mødes kaldes knuder og i bjælkerammekonstruktioner vil disse punkter kunne identificeres umiddelbart idet de typisk vil være understøtningspunkter, knækpunkter i konstruktionen eller hvor 3 eller flere konstruktionselementer mødes. igeledes indlægges ofte knuder i de punkter hvor der angriber enkeltkræfter eller momenter. I konstruktioner som skiver og plader vil det være mere op til ingeniøren at foretage inddelingen i elementer. Efter at konstruktionen er opdelt i et antal elementer med tilhørende knudepunkter opskrives eller udledes stivhedsrelationerne for de enkelte elementer. Stivhedsrelationerne går ud på at skaffe en sammenhæng mellem de kræfter der virker i det enkelte elements endepunkter (knuder) og flytningerne i de samme punkter. Dette kaldes en lokal analyse. Herefter går man over til at se på den samlede konstruktions opførsel og her etableres også en sammenhæng mellem de ydre kræfter i knuderne og knudernes flytninger. Dette kaldes den globale analyse og denne udføres ved at man ved hjælp af ligevægtsbetingelser og kompatibilitetsbetingelser for alle knudepunkter samler alle de lokale stivhedsrelationer til en global stivhedsrelation der omfatter et antal lineære ligninger som herefter løses. øsningen til disse ligninger vil være flytningerne af knudepunkterne i det globale system. Elementmetoden er en tilnærmelsesmetode og generelt er det sådan at jo finere elementinddeling man laver jo nøjagtigere bliver resultaterne. For bjælke- og rammekonstruktioner hvor de enkelte elementers tværsnit har konstante dimensioner giver metoden dog exacte resultater forudsat at alle ydre laster angriber i knudepunkterne. 1

4 Det er her forudsat at de anvendte materialer er lineærelastiske hvilket medfører at superpositionsprincippet er gældende for sammenhængen mellem kræfter og deformationer i konstruktionen. Bjælkekonstruktioner.1 Indledning P B C 1 A 1 Fig.1 Vi betragter den på fig..1 viste konstruktion der kan betragtes som sammenstykket af et antal elementer som er forbundet i knudepunkterne som er nummereret 1, og 3 som er sammenfaldende med A,B og C. Hvert knudepunkt har i det viste koordinatsystem kaldet det globale koordinatsystem - 3 bevægelsesmuligheder (frihedsgrader) : lodret bevægelse (v), vandret bevægelse (u) og en vinkeldrejning α. Af beregningstekniske grunde kan det være praktisk at indskyde en knude i P s angrebspunkt som så får nummeret 4 hvorved antallet af elementer bliver 3. Samtlige disse bevægelser eller flytninger samles i den globale flytningsvektor q der således kan skrives som : { u1, v1, α1, u, v, α,..., um, vm, αm} q = eller { q1, q, q3, q4, q5, q6,..., q(3m ), q(3m 1), q(3 m) } q =

5 idet der i det generelle tilfælde forudsættes at være m knudepunkter. Her er m altså = 4. Det ses at q indeholder 3m elementer og disse betegnes knudeflytningerne Konstruktionen er således påvirket af et antal ydre kræfter som indtil videre forudsættes at angribe i knudepunkterne. Det bemærkes at reaktionskræfter også betragtes som ydre kræfter. Ydre kræfter kan opdeles i følgende komposanter : lodret kraft, vandret kraft og et moment. For nemheds skyld betegnes et moment når det er bekvemt også som en kraft. Disse kræfter samles i den globale kraftvektor R der således kan skrives som : { N1, Q1, M1, N, Q, M,..., Nm, Qm, Mm} R = eller { R1, R, R3, R4, R5, R6,,..., R(3m ), R(3m 1), R(3 m) } R = Det ses at R ligesom q indeholder 3m elementer og disse betegnes knudekræfterne. Da der er en lineær sammenhæng mellem flytninger og kræfter gælder det at : R = K q. K, der kaldes den globale stivhedsmatrix, er en 3m gange 3m symmetrisk og singulær matrix hvis elementer indtil videre er ubekendte men som skal bestemmes inden ligningssystemet kan løses. Opstillingen af stivhedsmatricen udgør et af kærneområderne i det samlede arbejde ved anvendelse af elementmetoden og er behandlet i afsnit.3 Det er ligningen : R = K q (.1) der er grundlaget for elementmetoden som den er behandlet i dette notat og man siger at man anvender elementmetoden efter deformationsmetoden. På engelsk bruges betegnelsen displacement method eller stiffness approach Vi har her at gøre med et lineært ligningssystem med 3m ubekendte hvortil der er et entydigt løsningssæt og ligningen (.1) løses med hensyn til elementerne i vektoren q således at det er flytningerne i knuderne der bestemmes. Når q er bestemt kan elementerne i R bestemmes. R indeholder knudekræfter som kan være ydre kræfter som normalt vil være kendte samt reaktioner som kan være kendte eller ukendte. Hvis reaktionerne er kendte vil de i praksis oftest have værdien. Som vi senere skal se kan man ikke løse (.1) ved blot at invertere K. Dels er K singulær og dels er det altid sådan at de ubekendte hvoraf der er 3m fordeler sig på både R og q. 3

6 At ligningssystemet virkelig indeholder 3m ubekendte hvor m er antallet af knudepunkter ses ved følgende betragtning : Ved hver knude er der 3 flyningskomposanter og 3 kraftkomposanter og for hver knude vil 3 af disse være kendte størrelser og de 3 øvrige ubekendte. Idet der henvises til fig.. betragtes understøtningspunkterne hvor der kan være tale om følgende 3 grundformer : 1. simpel understøtning med rulleleje (eksempelvis vandret rullebane). fast simpel understøtning 3. fast indspænding 1 3 Fig. Ved 1. er følgende størrelser kendte : Vandret reaktion, moment og lodret bevægelse der er alle =. Det er her forudsat at der ikke angriber ydre kræfter (reaktioner undtaget) ved understøtningen men hvis dette alligevel er tilfældet vil disse være kendte. Der er altså 3 kendte størrelser. De 3 ukendte størrelser er den vandrette flytning, vinkeldrejningen samt den lodrette reaktion. Ved. er følgende 3 størrelser kendte : Vandret og lodret flytning samt moment er alle =. Hvis der angriber et ydre moment vil dette være kendt. De 3 ubekendte er følgende : odret og vandret reaktion samt vinkeldrejning. Ved 3 er følgende 3 størrelser kendte : Vinkeldrejning samt vandret og lodret bevægelse er alle =. De 3 ubekendte er følgende : Moment samt vandret og lodret reaktion. 4

7 Ved en knude som ikke ligger ved en understøtning vil det være de 3 flytningskomposanter som er ubekendte og knudekræfterne vil enten være = eller have en anden kendt værdi. I ligningssystemet (.1) er alle de ubekendte altså ikke samlet i flytningsvektoren q og systemet kan derfor ikke løses forudgående manipulation. I afsnit.5 er beskrevet en metode hertil. For at ligningerne kan løses er det en forudsætning at konstruktionen er statisk stabil dvs at der for plane konstruktioner skal være mindst 3 reaktionskomposanter.. okalanalyse Konstruktionen opdeles som ovenfor nævnt i et antal retlinede elementer der er forbundet i knudepunkterne. For disse principielt ens elementer foretages en analyse af sammenhængen mellem kræfter og deformationer. Der betragtes udelukkende kræfter og deformationer i endepunkternes idet det indtil videre forudsættes at kræfterne kun angriber her. Hvis vi ser på det lokale elements placering i det globale system kan knudekræfterne enten stamme fra påvirkningen fra en ydre kraft, en understøtning eller et naboelement. Vi betragter elementet på fig.3 og fig..4 For elementet indføres et almindeligt x-y koordinatsystem med origo i elementets nedre knudepunkt og x-aksen følger elementets længdeakse. Undersiden af elementet defineres som den side der ligger til højre for en når man stiller sig i det nedre knudepunkt og kigger ud af x-aksen dvs den sædvanlige definition. y α1 α Μ1 Μ u1 1 1 u N1 N x v1 v Q1 Q Fig.3 Fig.4 For hver knude er der følgende 3 bevægelsesmuligheder eller frihedsgrader : Knudens deformation i x- aksens retning, deformationen i y-aksens retning og endelig vinkeldrejningen af knuden. Der er således i alt for hvert element 6 frihedsgrader.il hver frihedsgrad svarer en kraft eller reaktion. il bevægelser i x- og y-retningen svarer normalkraft henholdsvis forskydningskraft og til vinkeldrejningen svarer et moment. Knudedeflytningerne og disses positive retninger er vist på fig..3 Knudekræfterne skal forstås som de kræfter der er nødvendige for at fastholde elementet i en bestemt deformationstilstand. Knudekræfterne og disses positive retninger er vist på fig..4 5

8 Idet superpositionsprincippet er gældende kan relationen mellem knudekræfter og knudedeformationer på matrixform udtrykkes således : f = k v (.) som udskrevet ser således ud : N1 k11 k1 k13 k14 k15 k16 u1 Q1 k1 k k3 k4 k5 k6 v1 M1 k31 k3 k33 k34 k35 k36 α1 = N k41 k4 k43 k44 k45 k46 u Q k51 k5 k53 k54 k55 k56 v M k61 k6 k63 k64 k65 k66 α k er som det fremgår en 6x6 matrix den såkaldte stivhedsmatrix og elementerne i k kan findes ved enten den såkaldte direkte metode eller ved arbejdsligningen. Bestemmelsen af den lokale stivhedsmatrix udgør en væsentlig del af arbejdet ved anvendelsen af elementmetoden og vi skal i næste afsnit se hvordan dette kan foregå...1 Den direkte metode Her skal først anvendes den direkte metode og ved denne sættes først u1 = 1 og de øvrige elementer i v-vektoren =. Herefter sættes v1 = 1 og de øvrige = osv. Hvert af disse 6 tilfælde betegnes som elementartilfælde. Det skal i det følgende vises hvordan nogle af elementerne i k bestemmes. 1. u1 = 1 : N1 er den kraft som skal påføres i knude 1 for at deformationen u1 = 1 kan optræde. Der henvises til fig..5. Den deformerede bjælke er vist punkteret. Elasticitetskoefficient, tværsnitsareal, inertimoment og længde af bjælkeelement betegnes i det følgende med E, A, I og. u1=1 N1 1 N Fig.5 6

9 1 E E A E A ε1 σ1 1, det = = N = i N = k11 u og u = fås k11 = For at elementet kan være i ligevægt må N være lige så stor og modsat rettet N1. Heraf ses at E A k41 = De øvrige elementer i v-vektoren har ingen indflydelse på aksialkræfterne og hermed bliver k 1, k 13, k 15, k 16, k 41, k 43, k 45 og k 46 = Herefter vises hvordan man finder k 3, k 33, k 53 og k 63 : : α1=1 Hvis vi forestiller os bjælken som værende vægtløs og frit svævende i luften så skal vi bestemme de knudekræfter der skal til for at fastholde bjælken i en deformationstilstand hvor α1 = 1 og de øvrige elementer i v-vektoren = Bidraget til M1 er det moment som skal påføres i knude 1 for at deformationen α 1= 1 kan optræde. Der henvises til figur.6. På samme måde er bidraget til M det ydre moment som er nødvendig for at vinkeldrejningen i knude er =. Den samlede værdi af M1 fås ved at summere bidragene fra de 6 elementartilfælde. Dette princip anvendes for alle 6 knudekræfter. M1 α1=1 M Q1 Q Fig.6 Vi vælges at anvende bjælkens differentialligning som lyder idet nedbøjningen v regnes positiv opefter og vinkeldrejningen ;regnes positiv mod uret: d v M x dv M x α dx EI dx EI ( ) ( ) =, = ( x) = dx, v( x) = α( x) dx 7

10 Randbetingelserne er : α = 1og v = for x = og α = v = for x = dv 1 M x = M + Q x EI = EI α x = M x + Q x + c dx EI v( x) = M1 x + Q1 x + c1x + c 6 ( ) 1 1, ( ) 1 1 1, Ved anvendelse af randbetingelsen v = for x = fås at c =. Betingelsen ;= 1 for x = giver c1 = EI. De sidste betingelser for x = giver herefter : 1 = M Q EI 3 = M + Q + EI 4EI 6EI øsningerne hertil er : M1= og Q1= EI 6EI Ved moment om punkt og lodret ligevægt fås : M= og Q= 6EI 4EI 6EI EI Heraf ses at k3 =, k33 =, k53 =, k63 = 3. v = 1 : Hvis vi forestiller os bjælken frit svævende i luften så skal vi bestemme de knudekræfter der skal til for at fastholde bjælken i en deformationstilstand hvor v = 1 og de øvrige elementer i v-vektoren = Bidraget til Q er den kraft som skal påføres i knude for at deformationen henvises til figur.7 v = 1 kan optræde. Der M M1 1 Q1 Fig.7 Q v=1 De øvrige elementer i elementets stivhedsmatrix k findes efter samme metode og alt i alt fås : 8

11 N1 EA / EA / u1 3 3 Q1 1 EI / 6 EI / 1 EI / 6 EI / v1 M1 6 EI / 4 EI / 6 EI / EI / α1 = N EA/ EA/ u 3 3 Q 1 EI / 6 EI / 1 EI / 6 EI / v α M 6 EI / EI / 6 EI / 4 EI / (.3) Det bemærkes at der er symmetri omkring hoveddiagonalen. Endvidere er det sådan at rangen af matricen k er 3. Det bemærkes at 4. række er en linearkombination af 1. række, at 5. række er en linearkombination af. række samt at 6. række kan fremstilles af en linearkombination af. og 3. række..3 ransformation til globale koordinater I den ovenfor udledte relation mellem kræfter og flytninger f = k v- er det forudsat at det lokale elements x-akse følger elementets længdeakse og at y-aksen er vinkelret herpå. For at tydeliggøre at der er tale om en relation i lokale koordinater anvendes index og relationen skrives derfor som : f= k v (.4) I mange konstruktioner har de indgående elementer forskellige retninger og da vi senere får brug for at sammensætte både knudekræfter og knudeflytninger for flere elementer med forskellige retninger er det nødvendigt at indføre et fælles og dermed globalt koordinatsystem. Det bliver da nødvendigt at bestemme en sammenhæng mellem både kræfter og flytninger i de to koordinatsystemer. Idet både kræfter og flytninger kan udtrykkes ved vektorer kan vi ved hjælp af fig.8 bestemme denne sammenhæng. Det forudsættes at den lokale akse er drejet vinklen ϕ i forhold til det globale systems x-akse. 9

12 y y y P x y x O x x Fig.8 Ved rent geometriske betragtninger fås : x = x cosϕ y sin ϕ, y = x sinϕ + y cos ϕ, z = z Vinkeldrejningen af en knude samt momentet ved en knude er uafhængig af koordinatsystemets akseretninger og repræsenteres ved koordinaten z. På vektorform giver ovennævnte følgende relation : x cosϕ sinϕ x y sinϕ cosϕ y = z 1 z eller x cosϕ sinϕ x y sinϕ cosϕ y = z 1 z Vi ønsker at udtrykke den lokale vektor f i det globale koordinatsystem og dette gøres ved følgende transformation hvor f er vektoren i det globale system : f f (.5) = Matricen kaldes transformationsmatricen og skrives som : cosϕ sinϕ sinϕ cosϕ 1 =. cosϕ sinϕ sinϕ cosϕ 1 1

13 Rigtigheden ses bedre hvis vi skriver relationen f = f ud. Vi får : N 1 cosϕ sinϕ N1 Q 1 sinϕ cosϕ 1 Q M 1 1 M1 = N cosϕ sinϕ N Q sinϕ cosϕ Q M 1 M 1 Det kan vises at = og hermed fås idet der indsættes i kræfter men også flytninger kan udtrykkes som vektorer : f = k v og vi husker at ikke kun f= f, og v= v, (.6) = = f k v f k v (.7) Da vi ønsker at skrive : f = k v får vi at = k k (.8) Størrelserne f,v,k er da det enkelte elements knudekræfter, flytninger og stivhedsmatrix mht. de globale akser..4 Den globale stivhedsrelation. Den globale stivhedsrelation lyder som tidligere anført : R = K q og vi skal i det følgende redegøre for hvorledes denne kan opstilles. 11

14 r 1 k q t i h s Fig.9 Vi betragter fig.9 som forestiller et udsnit af en rammekonstruktion indeholdende n elementer og m knuder. Det forudsættes at det k te element har sit lokale nedre knudepunkt (pkt.1) sammenfaldende med det globale systems knudepunkt i og sit lokale øvre knudepunkt (pkt.) sammenfaldende med det globale systems knudepunkt h. Ved det globale systems knudepunkt i har vi yderligere elementerne r og t med disses lokale øvre knudepunkter (pkt. ) og endelig har vi ved det globale systems knudepunkt h elementerne q og s med disses lokale nedre knudepunkter (pkt. 1) Den lokale flytningsvektor for elementet k betegnes v k og indeholder elementerne { uk1, vk1, αk1, uk, vk, α k} Flytningsvektoren vk kan også skrives : { 1, } 1 { 1, 1, α 1} {,, α } vk = vk vk hvor vk = uk vk k og v k = uk vk k Den globale flytningsvektor q indeholder elementerne : { u1, v1, 1,..., ui, vi, i,..., uj, vj, j,..., um, vm, m} α α α α hvor u, v, α er flytningerne af det i te knudepunkt. Den globale flytningsvektor kan også skrives som : { q1,..., qi,..., qj,..., qm} hvor q i= { ui, vi, αi} i i i Sammenhængen mellem element k s flytningsvektor (i det globale system) og den globale flytningsvektor kan udtrykkes på følgende måde : vk = Ak q (.9) Her kaldes matricen A for elementets topologimatrix. Et tilsvarende udtryk kan opskrives for hvert af de øvrige elementer og samlet kaldes disse relationer kompatibilitetsbetingelsen dvs den sikrer at 1

15 deformationerne af de enkelte elementers knudepunkter hvor disse er fælles for flere elementer har samme størrelse. Skrevet ud ser relationen således ud : u1 v 1 α1. uh uk v vk h α h 1 α k I... =. på kort form: hvor og 1 f = (.1) uk q = I= ui I 1 vk vi α k αi. um vm α m Som det fremgår skal i øverste række af A-matricen indsættes I-matricen på den plads der svarer det globale nummer af det lokale elements nedre knudepunkt. På samme måde skal i nederste række af A- matricen indsætte I-matricen på den plads der svarer det globale nummer af det lokale elements øvre knudepunkt. På alle øvrige pladser indsættes -matricen. Den anden betingelse vi kan udnytte for hvert knudepunkt i det globale system er ligevægtsbetingelserne. Vi ser på den globale knudekraftvektor R. Denne kan skrives på følgende måde : { N1, Q1, M1,..., Nh, Qh, Mh,..., Ni, Qi, Mi,..., Nm, Qm, Mm } Den globale knudekraftvektor vektor kan også skrives som : { R1,..., Rh,..., Ri,..., Rm} hvor Ri= { Ni, Qi, Mi } 13

16 Den globale knudekraftvektor R stykkes sammen af bidrag fra hvert af knudepunkterne og bidraget Ri bestemmes ved vandret og lodret projektion samt momentligevægt for knudepunktet. Idet der henvises til fig..1 fås for knude i og h : r Qr Nr Mt Mr Nk1 Mk1 k Qq1 NkMk Mq1 Nq1 q t Nt Qt Qk1 Knude i Qk Ms1 Knude h Qs1 Ns1 s Fig.1 Ni = Nk1+Nt+Nr, Qi = Qk1+Qt+Qr, Mi = Mk1+Mt+Mr Nh= Nk+Nq1+Ns1, Qh = Qk+Qq1+Qs1, Mh = Mk+Mq1+Ms1 Disse ligninger kan også skrives på følgende måde : Nk1 Nt1 Nr1 Qk1 Qt 1 Qr 1 Ni Mk1 Mt1 Mr1 i = Qi = R Nk Nt Nr Mi Qk Qt Qr Mk Mt Mr 14

17 Nk1 Nq1 Ns1 Qk1 Qq1 Qs1 Nh Mk1 Mq1 Ms1 h= Qh = R Nk Nq Ns Mh Qk Qq Qs Mk Mq Ms Vi får på denne måde et bidrag fra hvert element og alle bidrag adderes. Vi indfører derfor vektoren Rk der indeholder 3m elementer og er element k s bidrag til R.. Ved summation af R erne fås R og R erne må derfor bringes på en sådan form at de som R indeholder 3m elementer. Det verificeres at Rk, der som anført har 3m rækker, kan skrives på følgende måde :. 1 1 Nk1 1Qk1 Mk1 Rk =. = A fk (.11) Nk Qk 1 Mk 1 1. Knudekraftvektoren fås herved ved summation af bidragene fra de enkelte elementer : 15

18 n R = A fk k = 1 k (.1) Vi har tidligere formel.7 udledt følgende for det k te element : fk k v k = k k og vi har endvidere (.9): vk = A k q Af disse ligninger fås : fk k A q = k k k og hermed ved indsættelse i.1 : n R = A k Ak q= K q k = 1 hvor n k = 1 k k k K = A k Ak k k k (.14) (.13) K kaldes den globale stivhedsmatrix og ligningssystemet R = K q kan herefter løses som beskrevet i afsnit.5 Det er vanskeligt at bevare overblikket over opbygningen af K og for at få en fornemmelse her vender vi et øjeblik tilbage til den lokale stivhedsrelation f = k v i globale koordinater for et vilkårligt element. Denne kan skrives sådan : N1 k11 k1 k13 k14 k15 k16 u1 Q1 k1 k k3 k4 k5 k6 v1 M1 k31 k3 k33 k34 k35 k36 α1 = N k41 k4 k43 k44 k45 k46 u Q k51 k5 k53 k54 k55 k56 v M k61 k6 k63 k64 k65 k66 α Vi foretager en opdeling af k i 4 submatricer på følgende måde : 16

19 k11 k1 k13 k14 k15 k16 k41 k4 k43 k44 k45 k46 k11 = k1 k k3 1 k4 k5 k6 1 k51 k5 k53 k = k = k = k54 k55 k56 k31 k3 k33 k34 k35 k36 k61 k6 k63 k64 k65 k66 Hvis vi antager at det nedre og øvre knudepunkt for det pågældende element har numrene og 4 i det globale system og at der for overskuelighedens skyld i det globale system kun er 5 knudepunkter har bidraget K fra det pågældende element til den globale stivhedsmatrix K følgende udseende : k11 k1 k13 k14 k15 k16 k1 k k3 k4 k5 k6 k31 k3 k33 k34 k35 k36 K = k41 k4 k43 k44 k45 k46 k51 k5 k53 k54 k55 k56 k61 k6 k63 k64 k65 k k k opdeling i submatricer: K = 1 k k Som det fremgår er de 4 stk 3x3 undermatricer som man kan opdele k i placeret i K i henhold til nummeret på nedre og øvre knude. Her er der for overskuelighedens skyld valgt et system med et begrænset antal elementer og knuder men sammenhængen gælder generelt..5 øsning af ligningssystem I ligningssystemet R = K qer det som anført i afsnit 1 principielt vektoren q der indeholder de ubekendte men det vil dog altid være sådan at man ved understøtningerne kender nogle af elementerne i q medens de tilsvarende elementer i R er ubekendte og ligningen kan derfor ikke løses ved blot at invertere K. Det forhold at K er singulær umuliggør også i sig selv en invertering af K. Der skal her beskrives en enkelt metode til løsning af ligningen og for at få noget konkret at arbejde med ser vi på den helt simple konstruktionen på fig

20 Μ1= Μ= N1 Fig.11 Q1 Q N= Som ubekendte i R har vi her N1,Q1,Q og som kendte størrelser i q har vi u1,v1,v. Idet vi forudsætter at den globale stivhedsmatrix K er bestemt kommer ligningssystemet til at se således ud idet de ubekendte i R og de kendte i q anføres som understreget tekst : N1 k1,1 k1, k1, 3 k1, 4 k1, 5 k1, 6 u1 Q1 k,1 k, k,3 k, 4 k,5 k, 6 v1 M1 k3,1 k3, k3, 3 k3, 4 k3, 5 k3, 6 α1 = N k4,1 k4, k4,3 k4, 4 k4,5 k4, 6 u Q k5,1 k5, k5,3 k5,4 k5,5 k5,6 v M k6,1 k6, k6,3 k6, 4 k6,5 k6, 6 α (.16) De stive fjedres metode : Denne metode går ud på at man erstatter de faste understøtninger med uendelig stive fjedre. I praksis gøres dette ved at vælge en fjederkonstant af størrelsen 1 1 gange det største diagonalled. Hvis vi eksempelvis antager at k33 er største diagonalled får vi følgende : N1 = k33 1 u1, Q1 = k33 1 v1, Q1 = k33 1 v og indføres disse i ligningssystemet får vi i øverste linie : 1 ( k1,1+ k3,3 1 ) u1+ k,1 v1+ k1,3 α1+ k1,4 u+ k1,5 v+ k1,6 α= da k k kan denne skrives som 1 3,3 1 1,1 : k u k v k k u k v k 1 3, ,1 1+ 1,3 α1+ 1, 4 + 1,5 + 1, 6 α = De øvrige ligninger i systemet der indeholder de ubekendte knudekræfter ændres efter samme princip og vi får herefter : 18

21 1 k33 1 k1 k13 k14 k15 k16 u1 1 k1 k33 1 k34 k4 k5 k6 v1 M1 k31 k3 k33 k34 k35 k36 α1 = N k41 k4 k43 k44 k45 k46 u 1 k51 k5 k53 k54 k33 1 k16 v M k61 k6 k63 k64 k65 k66 α (.17) Dette ligningssystem løses ved invertering af den modificerede stivhedsmatrix og de ubekendte knudedeformationer bestemmes og til slut kan knudekræfterne bestemmes direkte af ligningssystemet (.16).6 Bjælker med charnierer Den lokale stivhedsmatrix for et bjælkeelement er udledt i afsnit.1 Hvis der i konstruktionen indgår en eller flere bjælker med charnierer er man selvfølgelig nødt til at tage hensyn hertil og dette gøres gennem de lokale stivhedsmatricer for de pågældende elementer. Nedenstående er anført stivhedsmatricen for et element med 1 charniere vist på fig..1 og der er vist udledningen af nogle af elementerne i matricen. y α1 α Μ1 Μ u1 v1 a b v u N1 Q1 a b Q N x Fig.1 19

22 EA EA 3EI 3EIa 3EI 3EIb a + b a + b a + b a + b 3EIa 3EIa 3EIa 3EIab a + b a + b a + b a + b k = EA EA (.18) 3EI 3EIa 3EI 3EIb a + b a + b a + b a + b 3EIb 3EIab 3EIb 3EIb a + b a + b a + b a + b Det er umiddelbart indlysende at de led i den lokale stivhedsmatrix der har relation til normalkraften N er uafhængige af charnieret sådan at de er de samme som i formel [.3] Herefter ser vi på de øvrige elementer og betragter først en lodret flytning v1 = 1 : 1. v1 = 1 v1=1 M1 M 1 Q1 a b Q Fig.13 Som følge af flytningen opstår der en forskydningskraft V i charnieret og følgende udtryk for de lodrette flytninger jf. fig.13 - va og vb i charnieret er gældende :

23 1 M1 a 1 V a va = = 3 EI 3 EI 1 M a 1 V b vb = = 3 EI 3 EI V( a + b ) 3 EI va + vb = 1 = V = 3 EI a + b Heraf fås : 3 EI 3 EI Q1 =, Q=, a + b a + b 3 EI 3 EI M1 = a, M= b a + b a + b Herefter betragtes flytningen α1 = 1 α1 = 1 : 3 3 M1 α1=1 M Q1 a b Q Fig.14 Forskydningskraften V i charnieret og M findes : M1 M1 V =, M = V b= b, herefter bestemmes momentkurven for bjælken som vist på fig.15 a a og ved hjælp af konjugeret bjælke - fig.16. Vedr konjugeret bjælke henvises til afsnit.6.1 1

24 M1 M1 M M a b a b Fig.15 Fig R1 = ( 1 ) 1 M a M b b 3 + a 3 EI =, idet vi udnytter at M= M1 b findes : a 1 1 b 1 3 EI a M1( a+ ) = 1 M1= a EI a + b 3 for M fås : 3 3 EI a b 3 EI a M= Q= a + b a + b Det overlades til læseren at eftervise bestemmelsen af de resterende elementer i stivhedsmatricen..6.1 Konjugeret bjælke Her skal kort repeteres følgende vedrørende metoden : Metoden går ud på at moment og forskydningskraft i den konjugerede bjælke når denne belastes med krumningen i den virkelige bjælke svarer til henholdsvis nedbøjning og vinkeldrejning i den virkelige bjælke. Den konjugerede bjælke har samme længde som den virkelige bjælke og et charnier i den virkelige bjælke svarer til en mellemunderstøtning i den konjugerede og en indspænding henholdsvis fri ende i den virkelige bjælke svarer til en fri ende henholdsvis indspænding i den konjugerede bjælke

25 3 Arbejdsligningen 3.1 Generelt Arbejdsligningen eller det virtuelle arbejdes princip (engelsk : principle of virtual work) er en meget anvendt metode i forbindelse med beregning af bærende konstruktioner. Arbejdsligningen udspringer af termodynamikkens 1. Hovedsætning som siger at for et system i ligevægt er tilvæksten i indre energi du lig med det summen af udført arbejde W på systemet forudsat at der ikke tilføres varme til systemet. Vi skal her anvende arbejdsligningen til udledning af den lokale stivhedsrelation og herunder bestemmelse af elementerne i stivhedsmatricen. Udover kræfter i knuderne vil der også blive tage hensyn til lokale laster. Vi vil her kun beskæftige os med et bjælkeelement som behandlet i de forrige afsnit men de anvendte principper er generelle og kan bruges på alle typer af konstruktionselementer, herunder eksempelvis skiver og plader. 3. Formfunktioner Som anført ovenfor skal vi når arbejdsligningen anvendes beskæftige os med arbejdet der udføres af både de ydre og indre kræfter(spændinger). De ydre kræfter er knudekræfter samt eventuelle lokale laster og arbejdet udført af knudekræfter afhænger i sagens natur udover kræfternes størrelse af flytningerne af knuderne. Arbejdet udført af de indre kræfter foregår over hele elementets udstrækning og da både de indre kræfter og flytningerne varierer langs bjælkeaksen må dette arbejde beregnes ved en integration. Hvis vi antager at alle ydre kræfter angriber i knuderne er der en entydig sammenhæng mellem knudeflytningerne og flytningerne i et vilkårligt punkt af bjælkeaksen. Disse flytninger i et vilkårligt punkt på bjælkeaksen kan udtrykkes ved de såkaldte formfunktioner eller interpolationsfunktioner og vi vil i det følgende udlede udtrykkene for disse. I en bjælke vil der være tale om aksialflytninger (formfunktionerne N1 og N4) og flytninger vinkelret på bjælkeaksen (formfunktionerne N,N3,N5,N6). Disse sæt formfunktioner er uafhængige af hinanden. il hver frihedsgrad i en knude hører en formfunktion N(x) og funktionsværdien af denne er 1 i det punkt hvor den pågældende frihedsgrad optræder og i alle andre knudepunkter. Ideen med formfunktioner er at man da med kendskab til knudeflytningerne kan finde flytningen i et vilkårligt punkt på bjælken. Aksial- og tværflytningflytning i afstanden x fra venstre knude kan da beregnes således : 3

26 ux ( ) = N1( x) u1+ N4( x) u og wx ( ) = N( x) v1+ N3( x) α1+ N5( x) v+ N6( x) α Frihedsgrader med tilhørende formfunktioner : Frihedsgrad u1 v1 α1 u v α Formfunktion N1 N N3 N4 N5 N6 y α1 α Μ1 Μ u1 u N1 N x v1 v Q1 Q Fig 3.1 Fig 3. Bjælkeelementet i fig. 3.1 og 3. betragtes og for dette ønsker vi at bestemme formfunktionerne. 1. Formfunktion N1(x) og N4(x) : Disse bestemmes for henholdsvis u1 = 1 og u = 1 u1=1 u1 Formfunktion N1(x) u=1 u Formfunktion N(x) Fig 3.3 flytninger formfunktioner 4

27 Det fremgår umiddelbart af fig. 3.3 at følgende gælder : x N1( x) = 1, N4( x) = x. Formfunktion N(x) : v1 = 1 : v1=1 Fig Formfunktion N(x) flytninger og formfunktion Følgende 4 randbetingelser gælder : x = N= 1, x = N =, x = N=, x= N = Sådanne 4 betingelser kan opfyldes af et 3 grads polynomium : N x a x a x a x a N x a x a x a 3 ( ) = , ( ) = Indsættes ovenstående randbetingelser fås følgende ligninger : a= 1 a1= 3 a3 + a + a1+ a= a + a + a = øsningen til disse ligninger er følgende : 3 a3 =, a= 3 Herefter kan N(x) skrives som : 3 3 N( x) = x x

28 3. Formfunktion N3(x) : α1 = 1 : α1=1 Fig 3.5 flytninger og formfunktion Følgende 4 randbetingelser gælder : x = N=, x = N = 1, x = N=, x= N = Sådanne 4 betingelser kan opfyldes af et 3 grads polynomium : N x a x a x a x a N x a x a x a 3 3( ) = , ( ) = Indsættes ovenstående randbetingelser fås følgende ligninger : a= a1= 1 3 a3 + a + a1+ a= a + a + a = øsningen til disse ligninger er følgende : 1 a3 =, a= Herefter kan N3(x) skrives som : = N3( x) x x x På tilsvarende kan vi finde N5(x) og N6(x) ved at sætte henholdsvis v = 1 og α= 1. Vi får : 3 N5( x) = x + x 3 3 6

29 1 1 N6( x) = x x 3 Alt i alt kan de 6 formfunktioner altså skrives sådan : x x N1( x) = 1, N4( x) = (3.1) 3 3 N( x) = x x (3.) = 1 + (3.3) 3 N3( x) x x x 3 3 N5( x) = x x 3 + (3.4) = 1 1 (3.5) 3 N6( x) x x Ved bestemmelse af formfunktioner kan anvendes en mere systematisk fremgangsmåde som skal beskrives i det følgende idet vi kun vil beskæftige os med tværflytninger. Som ovenfor anført kan de 4 betingelser som hver formfunktion skal opfylde på entydig måde tilfredsstilles af et 3 gradspolynomium dvs : 7

30 N( x) = c11 + c1 x+ c31 x + c41 x 3 N3( x) = c1 + c x+ c3 x + c4 x 3 N5( x) = c13 + c3 x+ c33 x + c43 x 3 N6( x) = c14 + c4 x+ c34 x + c44 x 3 eller : N= C g hvor : (3.6) c11 c1 c31 c41 c1 c c3 c4 = c13 c3 c33 c43 c14 c4 c34 c44 1 x = x 3 x C og g Om N vides følgende : N()=1, N ()=, N()=, N ()= Disse 4 betingelser giver følgende ligningssystem : 1 1 c11 1 c 1 = 3 1 c c41 For N3, N5, N6 kan opstilles tilsvarende ligningssystemer : 1 c1 1 c c c 1 c3 1 c4 = = = c3 1 1 c33 1 c c4 1 3 c c44 8

31 Disse ligninger kan samles i følgende : 1 1 c11 c1 c13 c c1 c c3 c4 = c31c3 c33 c c41c4 c43 c44 eller: I = h C C matricen kan da findes ved : C = h -1 (3.7) Det skal anføres, at de fundne formfunktioner er exacte hvilket er et særtilfælde for bjælker og ikke gældende ved de konstruktionselementer (skiver og plader) som vi senere skal beskæftige os med. Når det gælder for bjælker hænger det sammen med at deformationsfiguren for en bjælke når denne kun er belastet i knudepunkterne netop kan beskrives af et 3' grads polynomium. Altså gælder formfunktionerne principielt ikke ved laster mellem knudepunkterne. 3.3 Flytningsinterpolationsmatricen De 6 formfunktioner samles i matricen N kaldet flytningsinterpolationsmatricen : N1 N4 Nu N = NN3 N5 N6 = Nv (3.8) Flytningen af et vilkårligt punkt på bjælken i x-aksens retning (u) og vinkelret derpå (w) samles i vektoren u : ux ( ) u = wx ( ) Flytningen af bjælkens endepunkter er samlet i vektoren v således : v = { u1, v1, α1, u, v, α} Hermed kan u udtrykkes på følgende måde : u= N v og ux ( ) = Nux ( ) v, wx ( ) = Nvx ( ) v (3.9) 9

32 Vi indfører nu vektoren e der som 1.koordinat har tøjningen af bjælkeelementet i længdeaksens retning og som.koordinat krumningen af bjælken dvs : ε x u ( x) ( Nu( x) v) e = κ = = w ( x) ( v( x) ) N v som da v er konstant = N ux ( ) = vx ( ) v B v N e kaldes den generaliserede tøjning og på samme måde kan indføres den generaliserede spænding : N s = M og den generaliserede stivhed : EA E = EI 3.4 øjningsinterpolationsmatricen. Matricen B der kaldes tøjningsinterpolationsmatricen får da følgende udseende : Bu N 1 N 4 B = v = N N 3 N 5 N 6 B (3.1) hvor : N 1( x) = N 4( x) = N ( x) = x N 3( x) = x N 5( x) = x+ N 6( x) = x Udledning af stivhedsmatricen P a Μ1 p(x) Μ N1 Fig 3.6 Q1 Q N 3

33 Vi ser nu på fig. 3.6 der viser et bjælkeelement med de 3 knudekræfter i hver ende samt den kontinuerlige belastning p(x) og enkeltkraften P placeret i afstanden a fra venstre understøtning. Flytningerne af bjælken hidrørende fra den ydre last beskrives ved u= N v. Snitkræfterne i bjælken er normalkraften N, forskydningskraften Q og momentet M. N og M kan udtrykkes på følgende måde : N( x) = σ ( x) A= ε( x) EA= N u( x) v EA dw M ( x) = κ ( x) EI = EI = N v( x) v EI dx I den deformerede tilstand gives knuderne 1 og begge en lille deformation svarende til vektoren δv. { u1, v1, 1, u, v, } δ v = δ δ δα δ δ δα Som følge af den ydre påtrykte deformation vil ethvert punkt i bjælken opleve en tilsvarende lille flytnings- og tøjningstilvækst i x-aksens retning og vinkelret derpå. På samme måde vil de enkelte snit i bjælken få en lille tilvækst i krumningen. Flytnings-, tøjnings- og krumningstilvækster af et vilkårligt punkt kan skrives på følgende måde : δε( x) = N u δv = Bu δv δκ( x) = N v δv= Bv δv δwxo ( ) = Nvxo ( ) δv Vi ser nu på det ydre arbejde δw og tilvæksten i den indre energi δu ved flytningen δv. Det ydre arbejde δw forårsaget af knudekraftvektoren f, den kontinuerlige last p(x) samt enkeltkraften P kan skrives som : δw = δv f + δv Nv ( x) p( x) dx+ δv N v ( xo) P (3.11) Den tilsvarende tilvækst i indre energi δu kan bestemmes som arbejdet udført af normalsnitkraften N(x) samt arbejdet udført af snitmomentet M(x). Det bemærkes at der ses bort fra arbejdet udført af forskydningskraften Q(x) idet forskydningsdeformationerne regnes små i forhold til de øvrige bidrag. Herefter fås : 31

34 δu = N( x) δε( xdx ) + M( x) δκ ( xdx ) = ε( x) EA δε( xdx ) + w ( x) EI δκ ( xdx ) = δv N u EA N u v dx+ δv N v EI N v vdx= δv Bu EA Bu vdx + δv Bv EI Bv vdx (3.1) Ved sammenligning af 3.11 og 3.1 ses at vi kan forkorte med δv hvorefter vi ved at sætte de udtryk lig med hinanden får : f + Nv ( x) p( x) dx+ Nv ( xo) P = u EA u dx+ v EI v dx B B v B B v (3.13) Vi indfører følgende : således ud : f + fp+ f P N v ( x) p( x) dx= f p og N v ( xo) P = fp hvorefter venstresiden af (3.13) ser Herefter ser vi på højresiden af (3.13) : Vi indfører herefter k defineret ved : u EA u dx+ v EI v dx B B v B B v (3.14) u EA udx v EI vdx k = B B + B B (3.15) eller ved indførelse af den generaliserede stivhed E : = k B Ε Bdx sådan at (3.14) kan skrives som : vi har : k v idet v er en konstant som går udenfor ved integration hvorefter f + fp+ fp = k v (3.16) 3

35 Vi husker at B er defineret således : Bu N 1 N 4 B = v = N N 3 N 5 N 6 B Vi bestemmer produktet Bu Bu og skriver det for overskuelighedens skyld ud : N 1 N 1 N 1 N 1 N 4 [ N 1 N 4] = N 4 N 4 N 1N 4 N 4 (3.17) Vi skriver ligeledes produktet Bv Bv ud : N N N N N 3 N N 5 N N 6 N 3 N 3 N N 3 N 3 N 3 N 5 N 3 N 6 [ N N 3 N 5 N 6 ] = N 5 N 5 N N 5 N 3 N 5 N 5 N 5 N 6 N 6 N 6 N N 6 N 3 N 6 N 5 N 6 N 6 (3.18) Vi summerer 3.17 og 3.18, indfører EA og EI og integrerer og får derefter : 33

36 N 1 N 1 EAdx N 1 N 4 EAdx N N EIdx N N 3 EIdx N N 5 EIdx N N 6 EIdx N 3 N EIdx N 3 N 3 EIdx N 3 N 5 EIdx N 3 N 6 EIdx k= N 1 N 1 EAdx N 4 N 4 EAdx N 5 N EIdx N 5 N 3 EIdx N 5 N 5 EIdx N 5 N 6 EIdx N 6 N EIdx N 6 N 3 EIdx N 6 N 5 EIdx N 6 N 6 EIdx Vi prøver at beregne et enkelt af elementerne i k : k3 = N N 3 EIdx= ( x ) ( x ) EIdx= ( x x x+ ) EIdx= ( x x x EI ) = ( + ) EI = EI Det ses at resultatet er i overensstemmelse med det tidligere i afsnit. fundne udtryk Hensyn til lokallaster Vi ser på udtrykkene for fp og fp : N vx ( ) pxdx ( ) = f pog N vxo ( ) P= fp Da vi er bundet til at alle kræfter skal angribe i knuderne er vi nødt til at ækvivalere lokallaster med knudekræfter. 34

37 fp og fp er begge vektorer bestående af ækvivalente knudekræfter, hvilket vil sige knudekræfter der er af en sådan størrelse at de giver nedbøjninger og vinkeldrejninger der er lig med nedbøjninger og vinkeldrejninger fra lokallasterne p(x) og P. Dette indses på følgende måde idet vi nøjes med at se på fp : Vi antager at nedbøjningerne vinkeldrejningerne i henholdsvis nedre og øvre knude hidrørende fra lokallasten p(x) er følgende : v1,α1,v,α idet v betegner nedbøjning og α vinkeldrejning. Knudekræfterne som skal være ækvivalente med den ydre last benævnes Q1,M1,Q,M og ved de nævnte flytninger skal arbejdet udført af knudekræfterne på grund af ækvivalensen være lig med arbejdet udført af lokallasten.. Arbejde udført af knudekraft Q1 : WQ1= Q1 v1 Arbejde udført af lokallast som følge af flytning v1 : Wp = N ( x) v1 p( x) dx Da WQ1 = Wp får vi at : Q1= N( x) p( x) dx Samme fremgangsmåde kan anvendes på de øvrige knudeflytninger og knudekræfter. Der er flere fordele ved at udlede den lokale stivhedsrelation ved hjælp af arbejdsligningen fremfor ved den direkte metode. Det ses at EI indgår under integrationstegnet således at der er mulighed for at tage højde for eksempelvis et varierende tværsnit. igeledes ses at der kan tages hensyn til lokallast på en enkel og direkte måde Det skal påpeges at de anvendte formfunktioner kun er exacte for det tilfælde at EI er konstant over hele elementet og at kræfterne angriber i knuderne men den unøjagtighed man indfører ved også at anvende dem for varierende EI og lokallaster er normalt ikke større end hvad der er acceptabelt for almindelig ingeniørpraksis og unøjagtigheden kan reduceres ved anvendelse af et større antal elementer. 3.7 Bjælke på lineærelastisk underlag I dette afsnit skal det vises hvordan man ved hjælp af arbejdsligningen på en enkel måde kan udlede stivhedsmatricen for en bjælke på et lineært elastisk underlag. 35

38 Denne type bjælker forekommer bl. a. ved fundamentsbjælker hvilende på jorden idet jorden da med tilnærmelse betragtes som værende lineærelastisk. Man anvender da ballastteorien ifølge hvilken der er en lineær sammenhæng mellem kontakttrykket i fundamentsfladen og den tilhørende deformation. Dvs : ps = ks w (3.) Her er ps kontakttrykket, k ballasttallet og w deformationen af bjælke og underlag. Det bemærkes at det er en forudsætning at der både kan optages tryk og træk i kontaktfladen hvilket ved fundamenter er en tilnærmelse som ikke altid kan opfyldes. I 3. er ps kraften pr arealenhed og da det er mere praktisk at regne med kraft pr længde af bjælken ganges igennem med bjælkens bredde B hvorved fås : ps B = ks w B eller pr = k w hvor pr = ps B og k = ks B pr og w er begge funktioner sådan at vi kan skrive : pr( x) = k w( x) Det bemærkes at pr og w altid vil være modsatrettede. Vi betragter fig 3.7 som svarer til fig 3.6 blot er der nu også en belastning på undersiden af bjælken. a P Μ1 p(x) Μ N1 Q1 Q N Fig 3.7 k w(x) Vi har tidligere set på det ydre arbejde δw ved flytningen δv udtrykket 3.3 og vi får hertil et ekstra bidrag fra belastningen på undersiden af bjælken. Da denne belastning altid vil være modsat rettet flytningen vil bidraget til det samlede ydre arbejde være negativt. Herefter kan det ydre arbejde skrives som : 36

39 δw = δ v f + δ v N v ( x) p( x) dx+ δ v N v ( xo) P δ v N v ( x) k w ( x ) dx (3.1) Der er ingen ændring i udtrykket for det indre arbejde som er anført i 3.4 og gengivet nedenfor i 3.: δu = N( x) δε( xdx ) + M( x) δκ ( xdx ) = ε( x) EA δε( xdx ) + w ( x) EI δκ ( xdx ) = δv N u EA N u v dx+ δv N v EI N v vdx= δv Bu EA Bu vdx + δv Bv EI Bv vdx (3.) Ved at sætte 3.1 lig med 3. og bortforkorte med δv får vi følgende : f N ( ) ( ) N ( ) N + v x p x dx+ v xo P v ( x) k w( x) dx= u EA u dx+ v EI v dx B B v B B v Vi husker jf 3. at wx ( ) = Nvx ( ) v og hvis vi indfører dette i 3.3 får vi : f + Nv ( x) p( x) dx+ Nv ( xo) P = Nv ( x ) k Nv ( x ) v dx+ Bu EA Bu vdx + Bv EI Bv vdx (3.3) Vi har tidligere indført : ud : f + fp+ f P N v ( x) p( x) dx= f p og N v ( xo) P = fp hvorefter venstresiden ser således Herefter ser vi på højresiden : Bu EA Bu vdx+ Bv EI Bv vdx+ N v ( x) k N v( x) vdx Vi har tidligere defineret : u EA udx v EI vdx k = B B + B B og definerer nu kr = N v ( x) k N v( x) vdx 37

40 sådan at 3.3 kan skives som : f + fp+ fp = k v+ kr v (3.4) Vi skriver herefter udtrykket for kr ud hvorved vi får idet k er konstant : k N Ndx k N N3dx k N N5dx k N N6dx k N3 Ndx k N3 N3dx k N3 N5dx k N3 N6dx kr = k N5 Ndx k N5 N3dx k N5 N5dx k N5 N6dx k N6 Ndx k N6 N3dx k N6 N5dx k N6 N6dx Vi beregner et par af elementerne i kr matricen idet mellemregningerne overspringes : kr3 = k N N3dx= k ( x x + 1) ( x x + x) dx= k 3 1 kr36 = k N3 N6 dx = k ( x x + x) ( x x ) dx= k 14 3 Alt i alt får kr hermed følgende udseende : k k k k k k k k kr = k k k k k k k k

41 39