9 Geodætiske kurver og Gauss-krumning

Transkript

1 9 Geodætiske kurver og Guss-krumning 9. Geodætiske kurver En ret linie i plnen fr punktet p til punktet q hr den egenskb t enhver nden kurve fr p til q hr kurvelængde som er mindst p q. Et stykke f en storcirkel på S 2 er en ret linie eller en geodæt. Hvis p og q er to punkter på S 2, så er der mindst to storcirkelbuer som forbinder p og q. Vi ønsker t klde dem lle for geodæter. Ligeledes vil vi klde kurverne, som strter i p og gennemløber storcirklen der indeholder de to punkter N gnge og derefter følger storcirklen til q, for en geodætisk kurve. Hvis p q er der netop to storcirkelbuer der forbinder p og q. Ld γ 0 være den korteste og γ den nden. Mn kn vise, t længden Lγ 0 er minimum for buelængde bln lle kurver som forbinder p og q. For Lγ er situtionen mere kompliceret. Der findes kurver σ som forbinder p og q med Lσ < Lγ og der findes kurver med Lσ > Lγ : γ er en ekstremlkurve bln kurver mellem p og q m.h.t. buelængde, men hverken et minimum eller et mksimum. Dette motiverer nedenstående definition f geodætiske kurver på en regulær flde. En kurve γ : [, b] S kldes differentibel hvis den kn udvides til en differentibel kurve på et åbent intervl δ, b + δ som indeholder [, b]. En vrition f γ, eller en fmilie f kurver som indeholder γ, er en differentibel funktion som opfylder i ii ˆγ : ε, ε δ, b + δ S ˆγ0, t = γt for t [, b], og ˆγϑ, = γ og ˆγϑ, b = γb for lle ϑ ε, ε. Mn skriver ofte γ ϑ t = ˆγϑ, t. Vi husker t længden f γ ϑ er givet ved Lγ ϑ = γ ϑt, hvor γ ϑ = d γ ϑ. Vi vil i første omgng kun betrgte kurver γt som forløber indenfor en kortomegn xu S. Så vil vritionerne ˆγϑ, t også forløbe i xu når blot ε er tilstrækkelig lille. Definition 9.. En differentibel kurve γ : [, b] S, som forløber i en kortomgen, kldes en geodæt, hvis for lle vritioner γ ϑ. d dϑ Lγ ϑ = 0 og γ t = c > 0 ϑ=0 Denne definition urykker t længden f γ er ekstreml bln små vritioner f γ, men ikke t længden f γ er miniml bln lle kurver som forbinder γ med γb. Bemærk, t vi i definition 9. ikke forudsætter, t γ er prmetriseret ved

2 buelængde, men blot t γ t hr konstnt længde c > 0. Kurven αs = γs/c er den tilsvrende kurve, som er prmetriseret ved buelængde. Vi ntger nu t hele fmilien γ ϑ er indehol i et kort U, x. Ld ˆγϑ, t = xûϑ, t, ˆvϑ, t, og sæt ut, vt = û0, t, ˆv0, t, så t γt = xut, vt. Det viser sig t betingelsen i Definition 9. er ækvivlent til t ut, vt opfylder en 2. ordens differentilligning. Vi bestemmer denne differentilligning i Sætning 9.3 nedenfor. Ld Rϑ, t = γ ϑt 2 = E û t 2 û ˆv ˆv 2, + 2F t t + G t hvor E, F og G er koefficienterne i første fundmentlform, og E = Eûϑ, t, ˆvϑ, t etc. Så hr vi R û 2 ϑ = û ˆv ˆv 2 û E u + 2Fu t t t + G u t ϑ û 2 û ˆv ˆv 2 ˆv + E v + 2Fv t t t + G v 2 t ϑ + 2 E û t + F ˆv 2û t ϑ t + 2 F û t + G ˆv 2ˆv t ϑ t. D hr vi Lγ ϑ = ϑ Lγ ϑ = 2 ϑ=0 Rϑ, t, R R0, t 0, t 3 ϑ Nu ntog vi i definition 9., t γ t = c men ikke tilsvrende for γ ϑ og derfor, t R0, t = c 2 for lle t. Prtiel integrtion giver E û = t + F ˆv t d 2û t ϑ E û t + F ˆv t û [ ϑ + E û t + F ˆv û ] b. t ϑ t= Sidste led er 0, d både ûϑ, og ûϑ, b er konstnte. Vi indsætter 2 i 3 og får ϑ Lγ ϑ = P û ˆv 0, t + Q ϑ=0 c ϑ ϑ 0, t. 4 Her er P t = Eu u 2 + 2F 2 u u v + G u v 2 Eu + F v, t Qt = Ev u 2 + 2F 2 v u v + G v v 2 F u + Gv, t 5 og E u = E u ut, vt etc., u t = du t og v t = dv t. 2

3 Lemm 9.2. Hvis integrlet i 4 er nul for enhver vrition γ ϑ f γ, så er P = 0 og Q = 0. Bevis. Antg modsætningsvist t P t 0 0, ld os sige P t 0 > 0. Så er P t > 2 P t 0 for t tæt ved t 0, ld os sige for t t 0 δ, t 0 +δ. Vælg en funktion ϕ: [, b] R med ϕt 0 = og ϕ0 = 0 hvis t t 0 δ. Vi betrgter vritionen Integrlurykket 4 bliver ûϑ, t = ut + ϑϕt, ˆvϑ, t = vt. P tϕt 2 P t 0 t0 +δ t 0 δ i modstrid med ntgelsen. Tilsvrende vises t Q = 0. ϕt > 0 Sætning 9.3. Kurven γt = xut, vt er en geodæt, hvis og kun hvis γt ikke er konstnt og ut, vt opfylder differentilligningerne d Eu + F v = Eu u 2 + 2F 2 u u v + G u v 2, d F u + Gv = Ev u 2 + 2F 2 v u v + G v v 2. Bevis. Differentilligningerne 6 urykker, t P t = 0 og Qt = 0, så de gælder for en geodæt. Hvis på den nden side 6 er opfyl, så skl vi se i beviset for sætning 9.4 nedenfor, t γ t, γ t = 0. Det følger, t d γ t, γ t = 0 og derfor t γ t = c for lle t. Vi må hve c > 0, d vi hr forudst, t γt ikke er den konstnte kurve. Det følger fr 3 og 4, t er opfyl. Sætning 9.4. Ld γ være en ikke konstnt kurve i xu S. Så er γ en geodæt, hvis og kun hvis γ t er ortogonl til T γt S for lle t. Bevis. Inden for et kort U, x er γt = xut, vt, og γ = u x u + v x v. Derfor er γ t T γt S præcis hvis d d u x u + v x v, x u = 0, og u x u + v x v, x v = 0. Men d u x u + v x v, x u = d u x u + v x v, x u u x u + v x v, d x u = d u E + v F u x u + v x v, u x uu + v x uv = d u E + v F u 2 x u, x uu + u v x u, x uv + x v, x uu + v 2 x v, x uv = d u E + v F 2 Eu u 2 + 2F u u v + G u v 2, 6 3

4 hvor det sidste lighedstegn fås ved t nvende ligningerne 2 fr do Crmo, side 232. Tilsvrende udregnes d u x u + v x v, xv = d F u + Gv 2 Ev u 2 + 2F v u v + G v v 2. Hvis på den nden side γ t T γt S, så er specielt γ t, γ t = 0, og det følger, t γ t er konstnt. Differentilligningerne i Sætning 9.3 kn omskrives til Eu + F v + 2 E uu 2 + E v u v + F v 2 G uv 2 = 0 F u + Gv + F u 2 E vu 2 + G u u v + 2 G vv 2 = 0 7 ved t udføre differentitionerne d Eu + F v og d Gu + F v. Vi kn nu omskrive 7 ved t indføre Christoffel-symbolerne fr 2 i do Crmo, side 232. Dette giver i mtrixform E F u Γ F G v + Γ Γ 2 u Γ Γ 2 u v Γ 2 v 2 = 0 22 og vi kn multiplicere med den inverse mtrix og får følgende korollr. Korollr 9.5. Kurven γt = xut, vt er en geodæt, hvis og kun hvis u, v opfylder differentilligningerne u + Γ u 2 + 2Γ 2u v + Γ 22v 2 = 0, og v + Γ 2 u 2 + 2Γ 2 2u v + Γ 2 22v 2 = 0. Sætning 9.6. Ld p S og w T p S med w > 0. Så findes et ε > 0 og en entydig bestemt geodæt γ : ε, ε S med γ0 = p og γ 0 = w. Bevis. Det følger fr Sætning 3.3 i Noter til Geometri, t differentilligningerne fr Korollr 9.5 hr netop én løsning ut, vt defineret i et lille intervl ε, ε og således t u0, v0 = x p og u 0x u + v 0x v = w. Dette giver den entydigt bestemte geodæt γt = xut, vt for t < ε. Thi γ opfylder 6 og γ t = w, d γ t er konstnt og γ 0 = w. Vi husker fr 3 2 f do Crmo, t hvis α er en kurve i S som er prmetriseret ved buelængde α s =, så er dens normlkrumning k n s projektionen f α s = ksns på Ns = Nαs, hvor N : S S 2 er en Guss-fbildning: k n s = α s, Ns = II αs α s. Vi kn også projicere α s på T αs S. I T αs S kn vi bruge {α s, Ns α s} som ortonormlbsis. D α s, α s = 0, er projektionen f α s på T αs S proportionl med Ns α s. 4

5 Definition 9.7. Den geodætiske krumning f αs er k g s = α s, Ns α s αs. D α s ligger i plnen udspæn f Ns og Ns α s, og d k n s og k g s er projektionerne på de to kser, giver Pythgors, ks 2 = k n s 2 + k g s 2. 8 Bemærk t α er en geodæt præcis hvis k g = 0, og t krumningen ks = α s i dette tilfælde er den numeriske værdi f k n s. Thi k g s = 0 medfører, t α s er ortogonl på tngentplnen. Det er ikke umiddelbrt oplgt fr definition 9., t hvis γ : [, b] S er en geodæt, så gælder det smme for restriktionen f γ til ethvert delintervl f [, b]. Men dette følger fr ovenstående, som viser: αs er en geodæt prmetriseret ved buelængde, hvis og kun hvis k g s = 0. 9 Vi fslutter med t nævne et pr sætninger om geodætiske kurver, som vi dog ikke skl bevise. Det første resultt fortæller, t geodæter er loklt længdeminimliserende, dvs. Sætning 9.8. Ld p S. Der findes en omegn U f p, og som hr følgende egenskb. Ld γ : [, b] U være en geodæt med γ = p, og ld β : [, t 0 ] S være en kurve med β = γ og βt 0 = γt 0. Så er t0 γ t t0 β t. Bevis kn findes i do Crmo, side 293. En delmængde W S kldes geodætisk konveks, hvis to vilkårlige punkter p, q W kn forbindes med en miniml geodætisk kurve. Sætning 9.9. Ld p S, og ld U være en vilkårlig omegn f p. Så findes en geodætisk konveks omegn W med p W U. Bevis kn findes i do Crmo, side 305. Hiil hr vi kun betrgtet geodætiske kurver loklt, men vi kn bruge 9 til t udvide begrebet. Definition 9.0. En kurve γ : [, b] S kldes en geodæt hvis γ t = c > 0 for lle t, og hvis den geodætiske krumning f den reprmetriserede kurve γ s er nul c for lle s [c, bc]. Sætning 9.6 fortæller os, t geodæter eksisterer for t i et lille intervl ε, ε. Dette motiverer følgende definition. En flde S kldes komplet, hvis der for ethvert p S gælder, t en geodæt γ : [0, ε S med γ0 = p kn udvides til en geodæt γ : R S. Sætning 9. Hopf-Rinow. Ld S være en komplet smmenhængende flde. Til to vilkårlige punkter p, q S findes der en miniml geodæt, som forbinder dem. Bevis kn findes i do Crmo, side Endelig bemærker vi, t enhver kompkt flde er komplet. 5

6 9.2 Guss-krumning vi geodætiske treknter Denne prgrf indeholder et nyt bevis for, t Guss-krumningen kun fhænger f første fundmentlform. Vi vil betrgte geodætiske treknter indehol i en orienteret flde S. Hovedresulttet er følgende formel for Guss-krumningen: Kp = lim T p AreT ψ 0 + ψ + ψ 2 π, 0 hvor T gennemløber geodætiske treknter, som indeholder punktet p, og hvor ψ 0, ψ og ψ 2 er de indre vinkler. D både rel og vinkler kn beregnes fr første fundmentlform, giver 0 et nyt og mere konkret bevis for Theorem Egregium. I resten f denne prgrf er S en orienteret flde og N : S S 2 er den tilhørende Guss-fbildning. Vi skl udelukkende betrgte kort U, x på S med den egenskb, t første fundmentlform er på formen I p u x u + v x v = Eu 2 + Gv 2, dvs. kort, hvor F = 0. For sådnne kort er e = x u / x u og e 2 = x v / x v en ortonormlbsis for T p S. Vi klder dem ortogonle kort. Mn kn vise, t ethvert p S er indehol i et ortogonlt kort. Ld αs = xus, vs være en kurve på S indehol i U = xu og prmetriseret ved buelængde. Så er α s = u sx u + v sx v = se + bse 2 f længde. D e = x u / x u og e 2 = x v / x v er en ortonormlbsis, er Lemm 9.2. Kurven opfylder ϕs = ϕ 0 + s 2 + bs 2 =. s s 0 sb s bs s ds cos ϕs = s og sin ϕs = bs såfremt cos ϕ 0 = s 0 og sin ϕs 0 = bs 0. Bevis. Vi skl gogøre, t e iϕs = s + ibs. 2 Vi differentierer ligning 2 og multiplicerer resulttet med e iϕs ; det giver iϕ s = s + ib ss ibs = ib ss sbs + ss + b sbs = ib ss sbs. 6

7 Thi ved differentition f ligningen s 2 + bs 2 = ses, t ss + b sbs = 0. Det følger, t ϕs = ϕ 0 + s s 0 b b ds. Omven, ld ϕ være defineret ved ovenstående integrl med ϕ 0 vlgt, så t Så giver ovenstående udregninger, t s 0 = cos ϕ 0 og bs 0 = sin ϕ 0. d ds eiϕs = s + ib s og dermed e iϕs = s + ibs + c 0, hvor c 0 er en konstnt. Sæt s = s 0 for t se, t c 0 = 0. Funktionen ϕs kldes vinkelvritionen for kurven αs. Den måler vinklen mellem e = x u / x u og α s i tngentrummet T αs S. Bemærk dog, t selvom 0 ϕ 0 π, så behøver ϕs ikke t ligge i dette intervl: ϕs måler vinklen mellem e og α s op til et helt multiplum f 2π. I 9. indførte vi den geodætiske krumning k g for en kurve α, og så t k g s = 0 for en geodætisk kurve, som er prmetriseret ved buelængde. Lemm 9.3. I et orienteret ortogonlt kort er den geodætiske krumning for kurven αs = xus, vs givet ved formlen k g s = 2 EG dv G u ds E du v + dϕ ds ds, hvor Es = Eus, vs og Gs = Gus, vs, og hvor ϕ er vinkelvritionen f α. Bevis. Den geodætiske krumning lngs α er givet ved k g s = α s, Ns α s, hvor Ns = Nαs. Ld e i s = e i us, vs for i =, 2, hvor som ovenfor e = x u E, e 2 = x v G. Som i lemm 9.2 hr vi og derfor α s = cos ϕs e s + sin ϕs e 2 s, α s = ϕ sin ϕ e + ϕ cos ϕ e 2 + cos ϕ e + sin ϕ e 2 D U, x er et orienteret kort, er e e 2 = N, og dermed er N e = e 2 og N e 2 = e, så Ns α s = cos ϕ e 2 sin ϕ e. 7

8 D {e, e 2 } er en ortonormlbsis ses ved differentition f e i, e j = δ ij, t En lille udregning giver så e, e = 0, e 2, e 2 = 0, e, e 2 + e, e 2 = 0. α s, Ns α s = ϕ s + e s, e 2 s. På den nden side er d e s, e 2 s = ds e us, vs, e 2 s = u e u + v e v, e 2 = Gu v E v u. 2 EG EG Det sidste lighedstegn bruger, t F = 0 og differentition f x u, x v = 0 m.h.t. u, som giver, t x uu, x v = x u, x vu = x u, x uv = 2 E v. Det følger, t e u, e 2 = xu E u, x v = E v. G 2 EG Tilsvrende vises G u e v, e 2 =. 2 EG Dette gogør formlen, og beviset er færdigt. En simpel lukket kurve i S er en kontinuert kurve γ : [, b] S med γ = γb og således, t restriktionen f γ til det hlvåbne intervl [, b er injektiv. En simpel lukket kurve kldes stykkevist differentibel, hvis der er en inddeling = s 0 < s < < s k+ = b således, t restriktionen γ i f γ til intervllet [s i, s i+ ] er differentibel. Vi ntger endvidere, t γ i er prmetriseret ved buelængde således, t γ is =. Vi minder om, t en bsis {v, v 2 } i T p S kldes positiv, såfremt v v 2 / v v 2 = Np og negtiv, hvis v v 2 / v v 2 = Np. Definition 9.4. Den orienterede vinkel mellem to vektorer v, v 2 T p S er tllet π < ϑ < π bestemt ved i ii cos ϑ = v, v 2 / v v 2, og ϑ > 0, hvis og kun hvis {v, v 2 } er en positiv bsis. Den orienterede vinkel vil blive betegnet med v, v 2. 8

9 Ld os betrgte en treknt T S, som er indehol i kortområdet U = xu. Det betyder, t rndkurven γ er en simpel lukket kurve, som er stykkevist differentibel med = s 0 < s < s 2 < s 3 = b. Hjørnerne f T er A 0 = γs 0 = γs 3, A = γs og A 2 = γs 2. De eksterne vinkler ϑ 0, ϑ og ϑ 2 for T defineres som de orienterede vinkler mellem γ i s i og γ is i : ϑ i = γ i s i, γ is i, i =, 2, 3, ϑ 3 = ϑ 0. 3 Det bemærkes, t ϑ i skifter fortegn, hvis gennemløbsretningen for γ vendes: f.eks. γ 0s, γ s = γ s, γ 0s fordi {γ 0s, γ s } og { γ s, γ 0s } hr modstte orienteringer. Ld n i s T γi ss være en vinkelret på γ is og pegende ind i treknten T. Vi klder γ positivt orienteret, hvis {γ is, n i s} er en positivt bsis for T γi ss for s i s < s i+ og i = 0,, 2. Ld ϕ i s være vinkelvritionen for γ i s, hvor γ is = i se + b i se 2. ϕ i s = e, γ is i + s s i ib i i b i ds, Definition 9.5. Den totle vinkelvrition for γ er tllet Θγ = ϕ i s i+ ϕ i s i + ϑ i. Lemm 9.6. Den totle vinkelvrition Θγ er et helt multiplum f 2π. Bevis. For s i s < s i+ hr γ is koordinterne cos ϕ i s, sin ϕ i s i bsen {e, e 2 }. Ved t gå en tur run i treknten, ser vi, t cos ϕ 0 s 0, sin ϕ 0 s 0 = cosϕ 0 s 0 + Θγ, sinϕ 0 s 0 + Θγ og derfor, t Θγ 2πZ. 9

10 Uden bevis nføres: Sætning 9.7. For en treknt T S, indehol i en kortomegn og med rndkurve γ er Θγ = ±2π. Fortegnet er +, hvis γ er positivt orienteret. Bemærk, t det er klrt fr definitionen, t tllet Θγ ikke forndres ved kontinuert deformtion f γ. For eksempel kn vi deformere treknten til en differentibel simpel kurve ved t frunde hjørnerne grdvist uden t forndre Θγ. For en glt simpel kurve er ϑ i = 0, så t Θγ = ϕb ϕ = b b ds. Dette kldes også omløbstllet for γ : [, b] S, γ = γ b. Et bevis for sætning 9.7 kn findes i do Crmo, 5 7. Sætning 9.8. Ld T være en treknt i S, og som er indehol i et orienteret ortogonlt kort U, x. Ld γ være rndkurven med positiv orientering og med hjørner γs 0, γs og γs 2. Så gælder k g s ds + s i si+ T K + ϑ i = 2π. Bevis. Ifølge do Crmo, Exercise i 4 3, er K givet ved formlen K = 2 Ev Gu +. 4 EG EG v EG u Ld R U være treknten med xr = T og rndkurve α med xαs = γs. Vi husker, t K = ˆK x u x v du dv, 5 T R hvor ˆKu, v = Kxu, v, sml. do Crmo s. 97. Endelig hr vi brug for Guss- Green-Stokes-sætningen, som fortæller, t for differentible funktioner A, B : U R gælder A du ds + B dv B = ds R u A du dv. 6 v α Den venstre side i 6 er kurveintegrlet, dvs. α A du ds + B dv = ds si+ Den geodætiske krumning er givet i lemm 9.3: k g s = 2 EG s i Aαs du ds + Bαsdv ds. ds dv G u ds E du v + dϕ i ds ds 0

11 for s i s s i+. Fr 6 og 4 følger det, t k g = α 2 = R R Ev EG v + ˆK EG du dv + Gu EG du dv + si+ ϕ is ds 7 u s i ϕ i s i+ ϕ i s i. 8 Men x u x v = EG, så 5 giver, t ˆK EG = Endelig nvender vi sætning 9.7. R Korollr 9.9. Hvis treknten T i sætning 9.8 hr geodætiske sider, så er K = 2π ϑ 0 + ϑ + ϑ 2 = ψ 0 + ψ + ψ 2 π, hvor ψ i = π ϑ i er de indre vinkler. T Arelet AreT f treknten T er AreT = = T R T K. x u x v du dv. Hvis T, T 2,... er en følge f geodætiske treknter, som lle indeholder punktet p S, og som konvergerer mod p, så gælder K Kp. AreT i T i Det følger fr korollr 9.9, t Kp = lim i AreT i π ψ 0 ψ ψ 2, og derfor, som nævnt i 0, t K kun fhænger f første fundmentlform.