Du kan efter ønske opfatte integralet som et Riemann-integral eller et Lebesgue-integral (idet de to er identiske på C([a, b], C) jf. Theorem 11.8.
|
|
- Steffen Mathiasen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Anlyse Øvelser Rsmus Sylvester Bryder. og 5. oktober 3 Supplerende opgve Ld C([, b], C) betegne rummet f lle kontinuerte funktioner f : [, b] C, hvor < b, og definér et indre produkt på C([, b], C) ved f, g b f(x)g(x) dx, f, g C([, b], C). Du kn efter ønske opftte integrlet som et Riemnn-integrl eller et Lebesgue-integrl (idet de to er identiske på C([, b], C) f. Theorem.8.) (i) Vis, t hvis f C([, b], C), så er f λ-næsten overlt hvis og kun hvis f (overlt). Det er klrt, t f overlt medfører t f λ-næsten overlt. Antg derfor, t f λ-n.o. og definér U {x [, b] f(x) }. D er U urbilledet f den åbne mængde C \ {} under f og dermed selv åben, idet f er kontinuert. Hvis der fndtes et punkt x [, b] således t f(x ), ville x U. D U er åben, ville der dermed findes en åben kugle K(x, r) U, hvor r >. Sættes v mx{, x r} og w min{b, x + r}, vil v < w (dette så vi i Supplerende opgve 3, uge 6), og (v, w) K(x, r), hvormed λ(u) λ((v, w)) w v >. Dette strider imod, t f vr lig λ-næsten overlt, således, t U må være tom, hvormed f overlt. (ii) Eftervis, t formlen ovenfor fktisk definerer et indre produkt på C([, b], C). (SP ) og (SP 3 ) er nemme: for f, g, h C([, b], C) og α, β C vil αf + βg, h og g, f b b (αf(x) + βg(x))h(x) dx α g(x)f(x) dx b b g(x)f(x) dx f(x)h(x) dx + β b b g(x)f(x) dx g(x)h(x) dx α f, h + β g, h b f(x)g(x) dx f, g. Altså er, ovenfor en sesquilineær form. Slutteligt skl vi tekke definithed (SP ); vi viser for f C([, b], C), t f, f og t f, f medfører f. Først og fremmest hr vi klrt, t f, f b f(x)f(x) dx idet f(x) for lle x [, b]. Hvis f, f, vil b b f(x) dx. f(x) dx, Eftersom x f(x) er Lebesgue-integrbel på [, b] og positiv, følger nu f Theorem.9 (i), t f(x) λ-næsten overlt. Altså må f(x) λ-næsten overlt, men d følger f (i), t f. Altså er, et indre produkt.
2 (iii) Beskriv normen på C([, b], C) der kommer fr det indre produkt,. Vi hr for f C([, b], C), t ( / b f f, f / f(x) dx), som netop er -normen f f i rummet L C ([, b], λ) (hvor f nturligvis er indeholdt). Bemærk for f, g C([, b], C), t f g λ-næsten overlt hvis og kun hvis f g overlt f. (i), således t [f] [g] i L C ([, b], λ) hvis og kun hvis f g. Inklusionen f [f] er derfor en inektiv lineær fbildning C([, b], C) L C ([, b], λ). Fktisk hr denne fbildning tæt billede i L C ([, b], λ) (dette vil vi dog ikke vise; men noget f beviset kommer f Supplerende opgve 5). Vis eventuelt de næste tre delopgver. Ld nu [, b] [, ]. Betrgt en følge (f n ) n C([, ], C), givet ved f n (x) for lle n og lle x [, ], f n (x) for x [, n+ ] og f n(x) for x [, ]. (iv) Vis, t f n f m N for lle n, m N. Konkludér, t (f n ) n er en Cuchy-følge. Ld N N og n, m N. Antg uden tb f generlitet, t n m. D hr vi, t n+ dermed m+ n+. Idet vi regner med Riemnn-integrler, får vi f n f m f n (x) f m (x) dx m+ m+ m+ m+ f n (x) f m (x) dx + f n (x) f m (x) dx + m+ dx + f n (x) f m (x) dx + m+ f n (x) f m (x) dx dx ( m + ) m + N. dx m+ og f n (x) f m (x) dx Ved trede lighedstegn benyttede vi, t f m (x) f n (x) for x [, ], smt f n(x) f m (x) for x [, m+ ] [, n+ ]. Endvidere vil f n(x), f m (x) [, ] for lle x [, ], så f n (x) f m (x) for lle x [, ], hvilket vi benyttede til uligheden. Altså hr vi vist det ønskede, hvormed vi konkluderer, t (f n ) n er en Cuchy-følge: for ε > kn vi tge N N så N > ε, hvormed f n f m N < ε for n, m N. (v) Ld g C([, ], C). Sæt U g (( 3, 3 )) og sæt V n [ n+, ]. Vis t for lle n. g f n 9 (λ(u) λ(v n)) Ld n N. Sæt W n [, ] [ ] n +,
3 og husk, t f n (x) for x [, n+ ] og f n(x) for x [, ]. Hvis x U W n, vil f n (x) {, } og 3 < g(x) < 3 ; vi konkluderer f dette, t g(x) f n(x) 3, hvormed g f n Vi hr nu, t g(x) f n (x) dx g(x) f n (x) dx U W n U W n 9 dx 9 λ(u W n). λ(u W n ) λ(u) + λ(w n ) λ(u W n ) λ(u) + ( λ(v n )) + λ(u W n ) λ(u) λ(v n ), hvilket giver det ønskede. (vi) Vis, t C([, ], C) ikke er et Hilbert-rum. (Benyt (v) og betrgt tilfældene U og U seprt.) Vi vil gerne komme frem til, t Cuchy-følgen (f n ) n ikke konvergerer imod nogen funktion g C([, ], C) i -normen, hvormed C([, ], C) ikke kn være fuldstændigt under denne norm. Antg derfor for modstrid, t f n g for et g C([, ], C), dvs. g f n. Idet vi lder U og V n være som i (v), hr vi, t λ(u) 9 g f n + λ(v n ). D følger, t λ(u). Bemærk nu, t U er åben, idet g er kontinuert. Hvis U vr ikke-tom, ville U indeholde et ikke-tomt intervl og dermed hve Lebesgue-mål strengt større end (som set i (i)), i modstrid med hvd vi hr fundet. Altså må U være tom, dvs. der gælder for lle x [, ], t g(x) / ( 3, 3 ). Bemærk nu, t g er nødt til t være reel. Jf. Corollry.8 findes en delfølge (f nk ) f (f n ) så f nk (x) g(x) næsten overlt på [, ]. Dermed vil g være reel næsten overlt, så Im(g) er lig næsten overlt. D Im(g) er kontinuert, idet g er kontinuert og z Im(z) er fstndsformindskende, vil f. (i) gælde, t Im(g) overlt, så g er reel. Idet g er reel og kontinuert, må U medføre enten t g(x) 3 for lle x [, ] eller t g(x) 3 for lle x [, ] (der kn ikke gælde t der findes punkter x, x [, ] så g(x ) 3 og g(x ) 3, idet dette ville betyde t g ville ntge lle værdier imellem 3 og 3 ). Hvis g 3 for lle x [, ], ville f n(x) g(x) f n (x) g(x) 3 3 for lle x [, ]. D ville g f n g(x) f n (x) dx g(x) f n (x) 4 dx 9 dx 9 grundet monotoni og diverse sætninger fr Kpitel 9, som Rsmus er for træt til t slå op. Dette strider imod, t g f n, så der må ltså gælde, t g 3. Dette medfører, t f n(x) g(x) g(x) 3 for n og x [, 6 ] (vi hr for n, t n+ 3 6, hvormed f n(x) for x [, 6 ]). Altså vil g f n g(x) f n (x) dx / /6 g(x) f n (x) dx / /6 4 9 dx 7, som igen strider imod, t g f n. Altså kn (f n ) n ikke konvergere under mod nogen funktion g C([, ], C), hvormed vi slutter, t C([, ], C) ikke er et Hilbert-rum. Supplerende opgve Verificér, t rummene l K (N), hvor K R eller K C, fr Exmple.5 (ii) er Hilbert-rum. Først og fremmest er l K (N), som vi fremover døber l, et vektorrum. For x (x n ) n, y (y n ) n l og λ K defineres x + y (x n + y n ) n og λx (λx n ) n. Det er klrt, t λx l, idet 3
4 x n < ; for N N definerer vi x (x,..., x N ), y (y,..., y N ) K N, hvorpå vi hr, t Idet x n + y n x n + y n + (x n y n + x n y n ) x l + y l + N (x n y n + x n y n ). (x n y n + y n x n ) x, y + y, x Re x, y x, y x K N y K N x l y l ved t benytte Cuchy-Schwrz ulighed på K N får vi derfor, t x n + y n x l + y l + x l y l ( x l + y l ) for lle N N. Derfor vil x + y l. Det indre produkt, : l l K givet ved x, y x n y n, x (x n ) n, y (y n ) n l er veldefineret. Vi hr netop for N N og x, y l, t vi ved t definere x ( x,..., x N ), y ( y,..., y N ) K N får x n y n x n y n x, y K N x y ( N ) / ( N ) / x n y n ( ) / ( ) / x n y n <, således t summen i det indre produkt er bsolut konvergent for x, y l, og tllet x, y dermed findes i K. Det er nu let t tekke, t, er et indre produkt: det er klrt lineært i første vribel, skævsymmetrisk, idet konugering er en kontinuert opertion, hvormed y, x y n x n lim N y n x n lim N Endvidere medfører x ligheden x for x l. y n x n lim N x n y n x n y n x, y. Slutteligt skl vi vise, t metrikken frembrgt f det indre produkt er fuldstændig. Ld derfor (x k ) k være en Cuchy-følge i l. Husk på t hver x k l er en følge i selv; vi skriver x k (x k n) n. For fst n og k, l N vil der gælde, t ( ) / x k n x l n x k n x l n x k x l. Dette medfører, t (x k n) k er en Cuchy-følge i K for lle n. D K selv er fuldstændigt, findes der x n K således t x k n x n for k. Vi betrgter nu følgen x (x n ) n som opnås på denne følge. Vi påstår, t () x l og () x k x i l. 4
5 For ε > lder vi nu M således t x k x l < ε for k, l M, hvilket er muligt idet (xk ) k er en Cuchy-følge. Specielt vil x k n x M n x k x M < ε 4 for lle N og k M. Hvis N er fst og vi lder k, får vi dermed, t Derfor vil x n x M n ε 4. x n x M n ε 4 <, hvorpå vi hr t y (x n x M n ) n l. Idet (x n ) n y + x M l, får vi nu, t x l. For k M vil vi slutteligt hve ( ) / x x k x x M + x M x k x n x M n + x M x k < ε + ε ε, således t x k x..4 Kommer normen på L ([, ], B[, ], λ [,] ) fr et indre produkt? Ne, desværre. Dette skyldes, t normen ikke opfylder prllelogrmloven: sæt for eksempel v(x) x og w(x) for x [, ]. D vil v + w x + dx og v w x dx smt v og w, men v + w.6 + v w ( ) + / ( ) x dx + ( x ) dx ( / 8 + ) 8 8, ( ) ( ( ) + ( ) ) ( v + w ) Ld V være et indre produkt-rum. Vis, t v w hvis og kun hvis Pythgors sætning v + w v + w gælder. Dette gælder ikke, medmindre V hr et reelt indre produkt. Bemærk generelt, t v + w v + w, v + w v, v + w + w, v + w v, v + v, w + w, v + w, w v + w + Re v, w for lle v, w V. Hvis v w, dvs. v, w, er det klrt, t Pythgors sætning gælder. Omvendt vil Pythgors sætning medføre, t Re v, w. Hvis det indre produkt er reelt, er det klrt, t v w. Som modeksempel til det generelle tilfælde kn vi betrgte v og w i i C med det indre produkt v, w vw. D vil v w og v + w, men v, w i. 5
6 . Vis, t g g, h, h H er kontinuert. For g, g H vil g, h g, h g g, h g g h f. Cuchy-Schwrz ulighed. Altså er fbildningen g g, h Lipschitz, og dermed kontinuert. Supplerende opgve 3 Ld H være et Hilbert-rum, og ld (e k ) k N være en ortonormlbsis for H. Ld x, y H og ntg, t for lle k N. (i) Beregn x, y og x, y. x, e k k, y, e k ( ) k k, D (e k ) k N er en ortonormlbsis, fås f Theorem.3, t og x x, e k k k k y y, e k k k k ( ) k k ( ) k 4 4 k således t x y 3. Slutteligt følger f smme sætning, t (ii) x, y x, e k y, e k k k k ( )k k k ( ) k k 3, ( ) k 4 3, k ( ) k For hvilke r > findes z H så for lle k N? z, e k k r Antg t der for r > findes z med ovenstående egenskb. D vil z z, e k k r k r. k D ovenstående række konvergerer, må der gælde, t r >, dvs. r >. Hvis vi omvendt hr, t r >, vil der gælde, t k k r k k <. D fås ved Theorem., t følgen r ( m k k r e k ) m N konvergerer imod et element z i H. Idet det indre produkt er kontinuert i begge k k 6
7 vrible, vil z, e k lim m k+m lim m m r e, e k r e, e k k+m lim r e, e k m k+m lim r e, e k m lim m k r k r, idet e, e k for k og e k, e k. Altså gælder det ønskede for r >. (Bemærk, t dette kn benyttes til t vise, t hvis k c k < og z k c ke k, vil z, e k c k for lle k N.) Supplerende opgve 4 Ld H være et Hilbert-rum, og ld y H, y, være givet. Vis, t mængden er et fsluttet underrum f H. Bestem M. M {x H x, y } Bemærk, t M {y}. D får vi f. Lemm.4, t M er et fsluttet underrum f H. D M {y}, vil M {y} : ({y} ). Bemærk først, t M {y} {y} er et underrum der indeholder y f. Lemm.4. Altså vil Cy M, hvor Cy er det fsluttede underrum {λy λ C} H. Bemærk nu, t hvis N N H er delmængder, vil N N (hvis x N, vil x, z for lle z N og specielt for lle z N, så x N ). Af dette får vi, t {y} (Cy) og dermed {y} (Cy). D Cy er et fsluttet underrum, vil M {y} (Cy) Cy Cy f. Corollry.6 (iii) (nden lighed gælder for vilkårlige underrum). Altså vil M Cy. (Mere generelt vil A være det mindste fsluttede underrum, der indeholder A.) Supplerende opgve 5 Betrgt målrummet ([, π], B([, π]), λ) og det tilhørende Hilbert-rum L C ([, π], λ). For hvert n Z lder vi e n : [, π] C være givet ved e n (t) π e int, t [, π]. Vis, t ([e n ]) n Z er et ortonormlt sæt i L C ([, π], λ). [Bemærkning: Det er et dybt resultt, som ikke vises i dette kursus, t ([e n ]) n Z fktisk er en ortonorml bsis for L C ([, π], λ).] Først og fremmest hr vi for n Z, t e n er kontinuert på [, π], dermed Riemnn-integrbel og f. Theorem.8 også Lebesgue-integrbel. Altså vil e n L C ([, π], λ). De følgende integrler kn betrgtes som både Riemnn- og Lebesgue-integrlerne; regnereglerne er ens. For n, m Z vil [e n ], [e m ] π e n (t)e m (t) dλ(t) π π 7 e int e imt dλ(t) π π e i(n m)t dλ(t).
8 Hvis n m, vil integrnden være lig, hvormed [e n ], [e m ] π λ([, π]). Hvis ikke, vil [e n ], [e m ] [ π i(n m) ei(n m)t ] π πi(n m) (( )(n m) e ). Altså er ([e n ]) n Z et ortonormlt sæt i L C ([, π], λ). Supplerende opgve 6 Betrgt vektorrummet C([, ], C) udstyret med det indre produkt πi(n m) (eπi(n m) e ) f, g f(x)g(x) dx, f, g C([, ], C), og med tilhørende norm f f, f /. Ld E være underrummet f C([, ], C) udspændt f funktionerne u (x) og u (x) x, x [, ]. Ld h C([, ], C) være givet ved h(x) x, x [, ]. Vi vælger i denne opgve t betrgte C([, ], C) som delrum f L ([, ]), idet de hr smme indre produkt. D kn vi med fordel benytte, t L ([, ]) er et Hilbert-rum og dermed vil resultterne fr Kpitel kunne bruges. (i) Find en ortonormlbsis for E. Vi benytter Grm-Schmidt-proceduren. Bemærk først, t u og u er lineært ufhængige. Sæt først e u u. D u, u, vil e (x) u (x) for lle x [, ]. Idet og u e kn vi sætte x dx u, e x dx, ( [ x ( dx x ) ) ] , e : u u, e e u u, e e (u e ), hvormed e (x) x 3. D vil {e, e } være en ortonormlbsis for E. (ii) Find, b C, som minimerer normen h u bu. Skitsér grfen for h og u + bu i smme koordintsystem. Bemærk først ved Theorem., t E er et fsluttet underrum. D E er fsluttet og konveks, følger f Proection theorem (.5), t proektionen P E h f h på E entydigt minimerer normen h x hvor x E (dvs. h P E h h x for lle x E), og eftersom ethvert x E er på formen x u + bu for, b C, vil P E h E ikke blot minimere normen, men også give os de ønskede, b C... såfremt vi kn finde dem. Og det kn vi! Jf. Theorem. vil P E h h, e e + h, e e. 8
9 Idet og vil h, e 5 h, e x dx [ 3 x3/ ] ( x 3/ 3x / ) dx [ 3 ] x 5/ x3/ 3 5, (P E h)(x) 3 e (x) e (x) ( x 3) x x for x [, ], således t de ønskede, b C er 4 5 og b 4 5. Nedenfor ses grferne for h og u +bu i smme koordintsystem. Bemærk, t relet mellem grferne over intervllet [, ] er meget småt; det er netop det som minimeringen f normen sørger for. (iii) Bestem h, h u bu og u + bu, hvor, b er som i spørgsmål (ii). Tkket være Pythgors sætning (Theorem. (ii)) behøver vi kun t finde to f de ovenstående. Først og fremmest vil h h, h x dx, således t h. Vi hr også f. Theorem. (i), t P E h u + bu, smt t P E h h, e + h, e , således t u + bu P E h Slutteligt følger f Pythgors, t hvormed h P E h h P E h , h u bu h P E h 5. Bemærk endvidere, t dette tl er særdeles småt; en fin indiktor for t proektionen hr minimeret normen i (ii). 9
10 (.6) Vis, t for H L (X, A, µ) og w H, t mængden M w {u H uw dµ } enten er {} eller et endimensionlt underrum i H. Sætter vi M w {u H u, w } { u H } uw dµ, ltså et endimen- vil Mw Cw f. Supplerende opgve 4, hvis ltså w, dvs. w. Her er Mw sionlt underrum. Hvis w, vil M w H, hvormed Mw H {}..7 Ld (e ) N være et ortonormlt sæt. (i) Vis, t ingen delfølge f (e ) N konvergerer. Dog vil lim e, h for lle h H. Hvis (e ) N konvergerede, ville det specielt være en Cuchy-følge. Vi hr dog for, k N med k, t e e k e, e e, e k e k, e + e k, e k +, således t e e k. Dermed kn (e ) ikke være Cuchy. For h H vil e, h h, e konvergere med sum mindre end h f. Bessels ulighed (Theorem. (iii)). D giver Divergenstesten, t leddene i summen går imod ; dvs. e, h for. Kontinuitet f kvdrtroden giver nu e, h og dermed e, h for, som ønsket. (ii) Vis, t Hilbert-kuben er fsluttet, begrænset og kompkt. Q : h H h c e, c, N Egentlig er det nok t vise, t Q er kompkt; i metriske rum er kompkte mængder fsluttede og begrænsede. Ikke desto mindre indgår fsluttet- og begrænsetheden f Q i beviset for t Q er kompkt, så vi viser disse. For enhver følge (c ) N med c og h c e hr vi, t f. Theorem. (v). Idet c h c, vil h π 6, hvilket viser, t Q er begrænset. Hvis vi endvidere hr en følge (h n ) n i Q, som konvergerer i H imod h, hr vi følger (c n) for hvert n med c n og h n c ne. Sæt nu c h, e. D vil c n h n, e h, e c, så c h, e lim h n, e lim n n c n. Det genstår nu t vise, t h c e. Ld ε >. D findes N N så h h n < ε for n N. Jf. Theorem. (i) vil k h c e k h h, e e k h c N e h h k N + h N c N e,
11 idet k c N e spn{e,..., e k } og vi benytter trekntsuligheden. Der findes nu N N så k h N c N e < ε for k N (idet h N c N e ). Altså hr vi for k N, t k h c e h h k N + h N c N e < ε + ε ε, hvormed h c e og h Q. Vi viser nu, t Q er kompkt (og nu bliver det tricky). Ld (h n ) n være en følge i Q; vi viser, t (h n ) hr en konvergent delfølge.. Definér c (n) h n, e, og bemærk, t c (n) for lle n. Altså er (c (n)) n N en begrænset følge i C. Jf. Heine-Borels sætning hr vi dermed, t denne hr en konvergent delfølge (c (n,k )) k N, hvis grænsepunkt vi klder c.. Idet c (n,k ) h n,k, e, får vi en konvergent delfølge (c (n,k )) k N f (c (n,k )) k N, hvis grænsepunkt i C vi klder c. Bemærk, t (n,k ) k N er en delfølge f (n,k ) k N. 3. Rekursivt hr vi for m hvor m, t c m (n m,k ) h nm,k, e m m, således t vi får en konvergent delfølge (c m (n m,k )) k N f (c m (n m,k )) k N, hvis grænsepunkt i C vi klder c m. Bemærk, t c m m, smt t (n m,k) k N er en delfølge f (n m,k ) k N. Mn skulle ikke tro det, men denne proces giver os fktisk mulighed for t konstruere et punkt i Q, som er grænsepunkt for en delfølge f (h n ) n. Bemærk nemlig først for m, t vi for k > m hr t n k,k indgår som følgeelement i (n k, ). Denne følge er en delfølge f (n k, ) og så videre og så videre op til (n m, ). Altså er c m (n k,k ) et følgeelement i (c m (n m, )). Fktisk er (c m (n k,k )) k>m også en delfølge. For k > m findes k så n k, n k,k og k + så n k, n k+,k+. D (n k, ) er en delfølge f (n k, ), hr vi, t n k, n k, for et. Spørgsmålet er så, om n k, n k+,k+ > n k,k n k,. Husk, t n k+,k+ > n k+,k. D der findes k så n k+,k n k, vil n k, n k,k, hvormed vi får det ønskede: t følgeelementerne i (n k, ) hørende til n k,k og n k+,k+ er plceret så den sidste f de to kommer efter den første. Ved t gå igennem delfølgerne op til (c m (n m, )), får vi t tllet hørende til n k,k er plceret strengt før tllet hørende til n k+,k+. Altså er (c m (n k,k )) k>m en delfølge f (c m (n m, )), og dermed må c m (n k,k ) c m for k. Af dette fås en delfølge (h nk,k ) k f (h n ) n så h nk,k, e m c m (n k,k ) c m for lle m. Vi definerer nu h m c me m ; dette element eksisterer i H ved Prsevls identitet og tilhører Q. Ld ε >. Tg N N således t mn+ 4 m < ε (idet m 4 m er konvergent). For m,..., N tges M m N så c m c m (n k,k ) < ε N for k M m. D hr vi for k mx{m,..., M N }, t t h h nk,k c m c m (n k,k ) m c m c m (n k,k ) + m m < ε, ε N + mn+ 4 m mn+ c m c m (n k,k ) idet c m c m (n k,k ) m for lle m. Altså vil h k,k h, så (h n ) n hr en konvergent delfølge.
12 (.) Ld (X, A, µ) være et målrum og (A ) N A være prvist disunkte mængder så X N A. Definér { } Y : u L (µ) u dµ, N. (i) Vis t Y Y k, hvis k. A c Bemærk først, t hvis u Y (vi skelner ikke mellem repræsentnter for ækvivlensklsser og ækvivlensklsser selv) for et N, vil u L (µ), hvormed A c u være målelig og integrbel. Jf. Theorem.9 fås nu, idet u Y, t A c u næsten overlt på X; ltså vil u(x) for næsten lle x A c, hvilket kn omskrives til, t A c u næsten overlt. Ld, k N med k og tg u Y smt u k Y k. Vi skl vise, t u u k. Idet A c u næsten overlt og A c k u k ditto, hr vi nu u, u k u u k dµ A u u k dµ + A c u u k dµ A u u k dµ. Idet A A c k, vil A u u k dµ A c k u u k dµ, således t u, u k, som ønsket. (iii) Find proektionen P : L (µ) Y. For u Y ved vi, t A c (x)u(x) næsten overlt. Altså må u A u næsten overlt (dvs. der gælder lighed i L (µ)), så et oplgt bud ville være, t proektionen er givet ved P (u) A u for u L (µ). First things first. Definér en fbildning F : L (µ) L (µ) ved F (u) A u. D er F klrt veldefineret, idet A u dµ u dµ < for lle u L (µ). Det tger ingen tid t se, t F er en lineær fbildning. For lle u L (µ) vil F (u) dµ c A A u dµ, A c så F (u) Y. Omvendt vil der for u Y gælde, t F (u) A u u i L (µ) som fundet ovenfor. Altså hr F billede lig Y, så Y er specielt et underrum. Endvidere er F kontinuert, idet F (u) F (v) A u A v dµ A u v dµ u v dµ u v for u, v L (µ). Dette medfører bl.. t Y er fsluttet; d u n u i L (µ) og (u n ) n er en følge i Y, vil u n F (u n ) F (u). Idet u n u, må u F (u) Y. Nu hr vi ltså vist, t Y er et fsluttet underrum smt t F er en lineær kontinuert fbildning med billede lig Y. Det lyder pænt meget som om F er den ønskede proektion; f. Corollry.6 er det eneste vi behøver t tekke, t F (u) Y og u F (u) Y for lle u L (µ); d må gælde grundet
13 entydighed, t P F. Vi ved llerede det første. For u L (µ) og v Y vil A v v næsten overlt, hvormed u F (u), v (u A u)v dµ A c u A v dµ. Altså følger, t P (u) A u for u L (µ). Blot for t opsummere: hvis E er et fsluttet underrum f et Hilbert-rum H og T : H H er en fbildning således t T (h) E og h T (h) E for lle h H, d er T P E. Dette følger direkte f Corollry.6 (ii), og det giver utomtisk, t T er lineær. Vi vr nødt til t vise en række ting om F ovenfor idet vi ikke vidste om Y vr et fsluttet underrum; dette fulgte f t (i) F vr lineær, (ii) F vr kontinuert, (iii) F (u) u for lle u Y og (iv) F (u) Y for lle u L (µ). (iii) og (iv) giver tilsmmen t F s billede er Y, således t (i) giver t Y er et underrum. (ii) og (iii) giver nu i fællesskb, t Y er fsluttet. 3
Eksamen Analyse 1, Juni 2015, Besvarelse 1. Opgave 1. ( ln x) q x p dx =
Eksmen Anlyse, Juni 25, Besvrelse Ld p >, q, og r. Opgve () Vis t integrlet ( ln x)r x p dx konvergerer. [Vink: Smmenlign med x s for pssende vlgt s.] ( ln x)q x p dx. [Vink: Anvend (b) Bevis formlen (
Noget om Riemann integralet. Noter til Matematik 2
Noget om Riemnn integrlet. Noter til Mtemtik 2 Arne Jensen Afdeling for Mtemtik og Dtlogi Institut for Elektroniske Systemer Alborg Universitetscenter Fredrik Bjers Vej 7 9220 Alborg Ø 4. pril 1991 Revideret
Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)
Om Riemann-integralet. Noter til Matematik 1
Om Riemnn-integrlet. Noter til Mtemtik 1 Jon Johnsen Institut for Mtemtiske Fg, Alborg Universitet Fredrik Bjers Vej 7G, 9220 Ålborg Ø 3. december 2001 1 Indledning Integrlregning går tilbge til Newtons
ANALYSE 1, 2014, Uge 3
ANALYSE 1, 2014, Uge 3 Forelæsninger Tirsdg. Vi generliserer tlrækker til funktionsrækker ved t udskifte tllene med funktioner (TL Afsnit 12.5). Det svrer til forrige uges skridt fr tlfølger til funktionsfølger.
(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1
SEKTION 7 FOURIERANALYSE 7 Fouriernlyse Periodiske funktioner er vigtige i mnge smmenhænge, både videnskbeligt og teknisk Vi vil normlisere, så ntger, t perioden er π Disse funktioner er bedst nlyseret
Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17
Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil
Analyse 2. Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.11) Supplerende opgave 1. Øvelser
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 24. og 27. september 203 Bevis af Fatous lemma (Theorem 9.) Hvis (u j ) j er en følge af positive, målelige, numeriske funktioner (dvs. med værdier i [, ]) over
For så kan de to additionsformler samles i én formel, der kan ses som et specialtilfælde af den komplekse eksponentialfunktions funktionalligning,
15.1. Komplekse integrler 293 læse, og hvordn gør mn det i prksis? Men den virkelige motivtion bg begrebet bliver udst til fsnit 18.5, hvor vi viser t foldning f sndsynlighedsmål lder sig udtrykke meget
ANALYSE 1, 2015, Uge 2
ANALYSE 1, 2015, Uge 2 Forelæsninger Denne uges tem er uendelige rækker. Tirsdg: Tlrækker. En uendelig tlrække består ligesom en uendelig tlfølge f uendelig mnge tl. Forskellen mellem de to begreber består
1.1. n u i v i, (u, v) = i=1
1.1 1. Hilbert rum 1.1. Hilbert rum og deres geometri. Definition 1.1. Et komplekst vektor rum V kaldes et indre produkt rum (eller præ-hilbert rum), når det er forsynet med en funktion (, ): V V C, som
Analyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert.
Alyse, Prøve. mj 9 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Klkulus 6, Tom Lidstrøm. Direkte opgvehevisiger til Klkulus er givet med TLO, ellers er lle hevisiger til steder i de overordede fsit. Hevises
Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Projekt 5.7 Hovedsætninger om differentiable funktioner et opgaveforløb
Hvd er mtemtik?, e-og Projekter: Kpitel 5 Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner Projekt 57 Hovedsætninger om differentile funktioner et opgveforlø Projektet er en udvidelse f fsnittet i
Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum
Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
MM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 38, 010 Produceret f Hns J. Munkholm berbejdet f Jessic Crter 1 l Hopitls regler Afsnit 4.3 l Hopitls regel I omhndler beregning f grænseværdier f formen lim x f(x) g(x), hvor
Formelsamling til Fourieranalyse 10. udgave
Formelsmling til Fouriernlyse. udgve Kristin Jerslev og Steven Hyden 3. oktober 9 Her følger en formelsmling lvet til kurset Fouriernlyse på Arhus Universitet. Bemærk venligst, t smlingen indeholder sætninger
... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner
POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt
Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul
Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion
MM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 39, 009 Produceret f Hns J. Munkholm 1 Linerisering s. 66-67 Lineriseringen f f omkring x =, er den lineære funktion, der hr tngenten som grf. Klder mn den L er forskriften
Konvergens i L 1 -forstand. Definition af L 1 -seminorm. Topologi i pseudometrisk rum. Seminorm til norm
Definition af L 1 -seminorm Konvergens i L 1 -forstand Lad (X, E, µ) være et målrum. Husk at L(µ) er et reelt vektorrum. Vi definerer f 1 = f dµ for f L Definition En følge af funktioner f 1, f 2, L siges
Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.
Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer
Fremkomsten af mængdelæren. Stig Andur Pedersen
Fremkomsten f mængdelæren Stig Andur Pedersen 1 Fourier række for f(x)=x x n 1 ( 1) 2 sin( nx) n n= 1 sin(2 x) sin(3 x) sin(4 x) = 2 sin( x) + + 2 3 4 De første 15 led er tget med på kurven. 2 Fourierrække
ANALYSE 1, 2013, Uge 2
ANALYSE 1, 2013, Uge 2 Forelæsninger Denne uges tem er uendelige rækker. Tirsdg: Tlrækker. En uendelig tlrække består ligesom en uendelig tlfølge f uendelig mnge tl. Forskellen mellem de to begreber består
Analysens Fundamentalsætning
Anlysens Fundmentlsætning Frnk Nsser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Gult Foredrag Om Net
Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges
MM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 39, 200 Produceret f Hns J. Munkholm berbejdet f Jessic Crter Integrtion ved substitution Afsnit5.6 Ubestemte integrler s. 37-39 Reglen om differentition f en smmenst funktion
Integralregning. Version juni Mike Vandal Auerbach
Integrlregning Version.0 27. juni 209 y f x Mike Vndl Auerch www.mthemticus.dk Integrlregning Version.0, 209 Disse noter er skrevet til mtemtikundervisningen på stx A- og B-niveu efter gymnsiereformen
a b cos. n=1 er positiv på N. Vi kan nu benytte sammenligningskriteriet (sætning ) og sammenligne 2a sin ( )
Opgve Vi skl bestemme de tlpr (, for hvilke række b cos = er koverget. Først beytter vi divergeskriteriet (sætig 2..4) til t kræve t leddee må gå mod ul for gåede mod uedelig. Dette giver os t = b cos()
Afgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. 2 n. n=1 2n (n + 1)2 1 = 2(n + n+1
Analyse Reeksamen 00 Rasmus Sylvester Bryder 5. august 0 Opgave Afgør for hver af følgende rækker om den er divergent, betinget konvergent eller absolut konvergent. ( ) n n +3n+7 n= n + For alle n N vil
Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul
Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.
Integration ved substitution og delvis (partiel) integration
DEN TEKNISK-NATURVIDENSKABELIGE BASISUDDANNELSE MATEMATIK INTEGRATION EFTERÅRET Integrtion ved sustitution og delvis (prtiel) integrtion Differentil- og integrlregningens hovedsætning lyder: Hvis ƒ er
Trigonometri. Matematik A niveau
Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den
Pointen med Integration
Pointen med Integrtion Frnk Vill 3. oktober 2012 2008-2012. IT Teching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere
INTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0
INTEGRALREGNING Version: 5.0 Noterne gennemgår egreerne: integrl og stmfunktion, og nskuer dette som et redsk til estemmelse f l.. reler under funktioner. Opgver til noterne kn findes her. PDF Fcit til
Planintegralet. Preben Alsholm 5. maj 2008. 1.1 Integralet af en funktion af én variabel. 1, x i ] et tal t i. Summen. n f (t i ) (x i x i 1 ) R =
Plnintegrlet Preben Alsholm 5. mj 8 Plnintegrlet. Integrlet f en funktion f én vribel et bestemte integrl efinition Ld f være en funktion defineret på intervllet [ b]. Ld = x x... x n = b være en inddeling
Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 2011 1 Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse Lad Opgave 1 (50%) M = {T R 2 T er en åben trekant} og lad A : M R være arealfunktionen, dvs.
Supplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at
Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn
2 Erik Vestergaard
Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk 3 Definition 1 En funktion på formen f ( x) = b x, x R +, hvor b R + og R er konstnter, kldes for en potensudvikling eller en potensiel
Pointen med Integration
Pointen med Integrtion Frnk Nsser 20. pril 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en
Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 12
Mtemtisk modellering numeriske metoder Lektion 12 Morten Grud Rsmussen 21. oktober, 213 1 Prtielle differentilligninger 1.1 Løsning f vrmeligningen vh. Fourierrækker [Bens sektion 12.6 på side 558] Vi
Lineær Algebra F08, MØ
Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder
Mat1GB Minilex. Henrik Dahl, Hold 8. 29. maj 2003. 1 Definitioner 2
Mt1GB Minilex Henrik Dhl, Hold 8 29. mj 2003 Indhold 1 Definitioner 2 2 Sætninger m.v. 18 2.1 Begrænsethed, åben/lukket..................... 18 2.2 Differentition............................ 18 2.3 Differentilligninger.........................
Gamle eksamensopgaver (MASO)
EO 1 Gamle eksamensopgaver (MASO) Opgave 1. (Vinteren 1990 91, opgave 1) a) Vis, at rækken er divergent. b) Vis, at rækken er konvergent. Opgave 2. (Vinteren 1990 91, opgave 2) Gør rede for at ligningssystemet
Hilbert rum. Chapter Indre produkt rum
Chapter 4 Hilbert rum 4.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Projekt 8.4 Logaritmefunktionerne
Hvd er mtemtik? Projekter: Kpitel 8. Projekt 8.4 Logritmefunktionerne Projekt 8.4 Logritmefunktionerne Indhold. log( ) og 0 som omvendte funktioner... 2 2. Den nturlige logritmefunktion, ln( ) og den nturlige
Sandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen
Dgens emner fsnit 3.5 og 4. oissonfordelingen Sndsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen Mtemtik og Computer Science Dnmrks Tekniske Universitet 800 Kgs. Lyngby Dnmrk Emil: bfni@dtu.dk Kontinuerte
9 Geodætiske kurver og Gauss-krumning
9 Geodætiske kurver og Guss-krumning 9. Geodætiske kurver En ret linie i plnen fr punktet p til punktet q hr den egenskb t enhver nden kurve fr p til q hr kurvelængde som er mindst p q. Et stykke f en
3. Vilkårlige trekanter
3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke
UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC
UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele
Differential-kvotient. Produkt og marked - differential og integralregning. Regneregler. Stamfunktion. Lad f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2.
Differentil-kvotient Ld f være en funktion - f.eks. f (x) = 2x 2. Produkt og mrked - differentil og integrlregning Rsmus Wgepetersen Institut for Mtemtiske Fg Alborg Universitet Februry 14, 2014 Differentilkvotienten
Eksamensnoter til Analyse 1
ksamensnoter til Analyse 1 Martin Geisler gimpster@daimi.au.dk Sommer 23 Indledning Disse noter gennemgår de 26 spørgsmål stillet til den mundtlige eksamen i Analyse 1 ved Aarhus Universitet sommeren 23.
Regneregler for brøker og potenser
Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit
Matematikprojekt. Integralregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 15 Oktober 2010
Mtemtikprojekt om Integrlregning Lvet f Arendse Morsing Gunill Olesen Julie Slvensky Michel Hnsen 15 Oktober 21 Indhold I Del 1................................ 3 I Generelt om stmfunktioner og integrler........
( ) Projekt 7.17 Simpsons formel A A A. Hvad er matematik? 3 ISBN
Projekt 7.7 Simpsons formel Simpson vr søn f en selvlært væver, og skulle egentlig selv hve været en væver, men en solformørkelse vkte hns interesse for mtemtik og nturvidensk og mod lle odds lykkedes
Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013
Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik
Lektion 5 Det bestemte integral
f(x) dx = F (b) F () Lektion 5 Det bestemte integrl Definition Integrlregningens Middelværdisætning Integrl- og Differentilregningens Hovedsætning Bereging f bestemte integrler Regneregler Arel mellem
gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper
gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution
Eksponentielle Sammenhænge
Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....
Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge
Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke
Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508)
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI SYDDANSK UNIVERSITET, ODENSE Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) Mandag d. 14. januar 2007 2 timer med alle sædvanlige hjælpemidler tilladt. Opgavesættet
Projekt 7.8 To ligninger med to ubekendte
Projekt 78 To ligninger med to uekendte Den opgve t skulle løse to ligninger med to uekendte er vi stødt på i en række speciltilfælde under ehndlingen f vækstmodellerne: Funktionstype Ligningssystem Lineær
Elementær Matematik. Vektorer i planen
Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer... 3. Multipliktion f vektor med et tl...3 4. Opløsning
Opgave 1. a) f : [a, b] R er en begrænset funktion for hvilken. A ε = {x [a + ε, b] f(x) 0}
Opgve ) f : [, b] R er e begræset fuktio for hvilke er edelig for ethvert < ε < b. Vi skl vise t f er itegrbel og t A ε = { [ + ε, b] } d =. Vi bemærker først t f er itegrbel på [, b] hvis og ku hvis de
Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel
Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,
TAL OG BOGSTAVREGNING
TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,
Kort om Potenssammenhænge
Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder
Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme
Om Dido var kyndig i matematik er nok tvivlsomt, men hun havde i hvert fald en veludviklet logisk sans, som vi skal se.
Forord. Det isoperimetriske problem går i l sin enkelhed ud på t finde den lukkede kurve i plnen, blndt en mængde f kurver lle med smme omkreds, som fgrænser det størst mulige rel. Løsningen til det isoperimetriske
Lektion 6 Bogstavregning
Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning
Stamfunktion & integral
PeterSørensen.dk Stmfunktion & integrl Indhold Stmfunktion... Integrl (Uestemt integrl)... 2 Det estemte integrl... 2 Arel og integrl... Regneregler for estemte integrler... Integrler / stmfunktioner kn
ANALYSE 1. Uge 7, 4. juni juni, 2007
ANALYSE 1 Uge 7, 4. juni - 10. juni, 2007 Forelæsninger Mandag 4. juni Formålet med denne dags forelæsninger er at etablere en overgang til emnet metriske rum, hvis hovedformål er at udvide begreber som
Eksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt
k(k 1)(k 2)... (k n + 1) = = 12 2 = 6
Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Nøgleord og begreber Binomilformlen Binomilkoefficienter Binomilrækken Tylor polynomier Vurdering f Tylor s restled Eksponentilrækken konvereger mod eksponentilfunktionen Clculus
1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k
0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)
Finitisme og Konstruktivisme. 22. November 2010
Fiitisme og Kostruktivisme 22. November 2010 Frktler Hilbert Mdelbrot Feigebum Lorez Lorez-Ligigere σ = 10 β = 8/3 ρ =28 Logistisk vækst x -> rx(1-x) Mdelbrots frktl z -> P c (z) = z 2 +c 0-> P c (0) ->P
Taylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Matematikkens sprog INTRO
Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.
6.1 Reelle Indre Produkter
SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II
Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler
Mt. B (Sån huskes fomlerne) Formler, som skl kunnes til prøven uen hjælpemiler Inhol Her er tilføjet emærkninger til nogle f formlerne BRØKER... PARENTESER... EKSPONENTER... LOGARITMER... GEOMETRI... Arel
2. Fourierrækker i en variabel
.1. Fourierrækker i en variabel I Kapitel II 7 blev der indført, dels funktionsrummene L p (X, µ) (mere udførligt skrevet L p (X, E, µ)), dels rummene L p (X, µ), der fås af L p (X, µ) ved at funktioner
n=1 er veldefineret for alle følger for hvilke højresiden er endelig. F.eks. tilhører følgen
2 Hilbert rum 2. Eksempler på Hilbert rum Vi skal nu først forsøge at begrunde, at de indre produkt rum af funktioner eller følger, som blev indført i Kapitel, ikke er omfattende nok til vores formål.
Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 03
IMFUFA Carsten Lunde Petersen Besvarelses forslag til Tag-hjemeksamen Vinteren 02 0 Hvor ikke andet er angivet er henvisninger til W.R.Wade An Introduction to analysis. Opgave a) Idet udtrykket e x2 cos
Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum
Supplerende note om Hilbertrum og Banachrum Jimi Lee Truelsen Om Noten Vi vil i denne note uddybe nogle af emnerne fra de første 3 apitler af [Ve] og komme med nogle eksempler. Det drejer sig især om begreberne
Potens regression med TI-Nspire
Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter
1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º).
Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus ved først t tegne vinklen i et koordint-system som vist til venstre. Derefter
Matematik 2 AN. Matematisk Analyse. Metriske rum. Christian Berg
Matematik 2 AN Matematisk Analyse Metriske rum Christian Berg 1997 Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København Ø c Matematisk Afdeling 1997 Forord Nærværende notehæfte er oprindelig skrevet
Simple udtryk og ligninger
Simple udtryk og ligninger for gymnsiet og hf 0 Krsten Juul Indhold Rækkefølge f + og... Smle led f smme type... Gnge ind i prentes. del... Rækkefølge f og smt f + og... Gnge ind i prentes. del... Hæve
Besvarelse, Eksamen Analyse 1, 2013
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 23 Besvarelse, Eksamen Analyse, 23 Opgave Lad, for n N, funktionen f n : [, ) R være givet ved NB. Trykfejl. Burde være x. f n (x)
Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet
Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Mens den 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner kom forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2. hovedsætning betydeligt
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.
Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk
Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler
Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side
Integrationsteknikker
Integrtionsteknikker Frnk Vill. jnur 14 Dette dokument er en del f MtBog.dk 8-1. IT Teching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 Numerisk integrtion.1
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...
MASO Uge 6. Følger i euklidiske rum Ekstremværdisætningen. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen.
MASO Uge 6 Følger i euklidiske rum Ekstremværdisætningen Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 6 Formålet med MASO Oversigt Følger i R n Konvergens, delfølger Det
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Projekt 3.7. En algebraisk tilgang til udvidelsen af potensbegrebet
Hvd er tetik? ISBN 978877879 Projekter: Kitel. Projekt.7.E lgebrisk tilgg til udvidelse f otesbegrebet Projekt.7. E lgebrisk tilgg til udvidelse f otesbegrebet Ld i det følgede tllet være et ositivt tl.