Matematik A. Højere teknisk eksamen. Formelsamling til delprøve 1

Transkript

1 Mtemtik A Højere teknisk eksmen Formelsmling til delprøve

2 Mtemtik A Højere teknisk eksmen Formelsmling til delprøve Forfttere: Jytte Melin og Ole Dlsgrd April 209 ISBN: (web udgve) Denne udgve f Mtemtisk formelsmling hhx A-niveu er udgivet f Undervisningsministeriet og gjort tilgængelig på uvm.dk. Kopiering til ndet end personlig brug må kun ske efter ftle med Copy-Dn.

3 Forord Mtemtisk formelsmling for htx A er primært beregnet til brug for eksminnder ved den skriftlige prøve i mtemtik A på htx og i særdeleshed til prøven uden hjælpemidler. Mnge mtemtiske formler gælder kun under særlige forudsætninger. Fx er x 2 + bx + c = 0 kun en ndengrdsligning under forudsætning f t 0, logritmeregnereglerne gælder under forudsætning f t de tl, logritmen tges f, er positive etc. For overskuelighedens skyld er disse restriktioner ikke ngivet. Formlerne kn derfor siges t gælde, under forudsætning f t relevnte ntgelser er opfyldt, og de ngivne formler er meningsfulde. Mnge formler er illustreret med figurer. I de tilfælde hvor betydningen f de størrelser, som indgår i formlerne, ikke er forklret, vil disse være ngivet på den tilsvrende figur.

4 Indholdsfortegnelse FORORD... TABEL OVER KVADRATTAL... 3 KVADRATSÆTNINGER... 3 POTENSREGNEREGLER... 3 LOGARITMEREGNEREGLER... 4 KLASSISK GEOMETRI... 4 TRIGONOMETRI... 6 RUMLIGE FIGURER... 8 DEN RETTE LINJE... 9 PARABEL OG CIRKEL... 0 FUNKTIONER... 0 DIFFERENTIAL- OG INTEGRALREGNING... 2 VEKTORER I PLANEN... 4 VEKTORER I RUMMET... 6 DIFFERENTIALLIGNINGER... 7 DISKRET MATEMATIK... 8 STATISTIK

5 Tbel over kvdrttl x x x x Kvdrtsætninger ( + b) 2 = 2 + b b () ( ) 2 - b = + b- b (2) ( + b) ( b) = 2 b 2 (3) Potensregneregler p q p q = + (4) p q = p ( ) q p-q = pq ( ) p p p b = b p æö ç = èbø b 0 = p p (5) (6) (7) (8) (9) - p = p 2 = p = p (0) () (2) 3

6 Logritmeregneregler Den nturlige logritme 0-tls logritmen ln() = 0 log() = 0 (3) ln(e) = log(0) = (4) ln( b ) = ln( ) + ln( b) log( b) = log() + log(b) (5) ln æ ç ö = ln( ) - ln( b) èb ø p ( ) = p ln() ( ) ln p log æ ç ö = log( ) - log( b) èb ø log = p log( ) (6) (7) Klssisk geometri Linjer ved treknter Højde En højde står vinkelret på trekntens side (eller dennes forlængelse) og går til den modstående vinkelspids. Højderne skærer hinnden i smme punkt. (8) Medin En medin går fr midtpunktet f en side til den modstående vinkelspids. Medinerne skærer hinnden i smme punkt, der er trekntens tyngdepunkt. Skæringspunktet deler medinerne i forholdet :2. (9) Midtnorml En midtnorml står vinkelret på en side i sidens midtpunkt. Midtnormlerne skærer hinnden i smme punkt, der er centrum for trekntens omskrevne cirkel. (20) Vinkelhlveringslinje En vinkelhlveringslinje går fr en vinkelspids og deler vinklen i to lige store vinkler. Vinkelhlveringslinjerne skærer hinnden i smme punkt, der er centrum for trekntens indskrevne cirkel. (2) 4

7 Retvinklet treknt Pythgors sætning b = c hvor og b er kteter og c er hypotenusen (22) Ligednnede/ensvinklede treknter (23) = b b = c c Arel (T) f treknt T = 2 h (24) hvor h er højden på siden med længde Fr omskreven cirkel T = 2 b sin(c) hvor C er vinklen mellem siderne med længder og b T = b c 4 R hvor R er rdius i den omskrevne cirkel og R = 2 sin( A) (25) (26) Fr indskreven cirkel T = r s hvor r er rdius i den indskrevne cirkel og + b+ c s = 2 (27) 5

8 Arel (A) f firknt Prllelogrm A = h g hvor g er grundlinjen og h er højden (28) Trpez A = h ( + b) 2 hvor h er højden og og b er længden f de prllelle sider (29) Arel (A) og omkreds (O) f cirkel Arel A = π r 2 hvor r er cirklens rdius (30) Omkreds O = 2 π r hvor r er cirklens rdius (3) Trigonometri Retvinklet treknt sin( A) = cos( A) = tn( A) = modstående ktete hypotenusen hosliggende ktete hypotenusen = c = b c modstående ktete hosliggende ktete = b (32) (33) (34) 6

9 Udvlgte værdier f cosinus, sinus og tngens Enhedscirklen Grder Rdiner 0 π π π π sin cos tn sin(v) = sin(80 v) (35) (36) sin(v) = sin( v) (37) cos(v) = cos(80 v) (38) cos(v) = cos( v) (39) Grundreltionen sin(v) 2 + cos(v) 2 = (40) Vilkårlig treknt Sinusreltion (4) = b = c sin( A) sin( B) sin( C) Cosinusreltion = b+ c- 2 bc cos( A) (42) 7

10 Rumlige figurer Arel f krum overflde (A) og volumen (V) Prisme V = h G hvor G er grundflde, og h er prismets højde (43) Cylinder A = 2 π r h (44) V = π r 2 h (45) hvor r er rdius, og h er cylinderens højde Kegle A = π r s (46) V = 3 π r 2 h (47) hvor r er rdius, og h er keglens højde Pyrmide V = 3 G h (48) hvor G er grundfldens rel, og h er pyrmidens højde Kugle A = 4 π r 2 (49) V = 4 3 π r 3 (50) hvor r er kuglens rdius 8

11 Den rette linje Linjens ligning y = x + b hvor er hældningskoefficienten, og b er skæring med y-ksen y = (x x 0 ) + y 0 hvor er hældningskoefficienten, og P(x 0, y 0 ) er et punkt på linjen (5) (52) Hældningskoefficienten for linjen, gennem P(x 0, y 0 ) og Q(x, y ) = y y 0 x x 0 (53) Afstnden mellem P(x 0, y 0 ) og PQ = (x x 0 ) 2 + ( y y 0 ) 2 (54) Q(x, y ) Midtpunkt M f linjestykket mellem P(x 0, y 0 ) og Q(x, y ) M = x + x 0 2, y 0 + y 2 (55) Hældningsvinkel v mellem linjen og vndret (regnet med fortegn) tn( v) = (56) Ortogonle linjer To linjer er ortogonle, hvis og kun hvis 2 = hvor og 2 er linjernes hældningskoefficienter (57) 9

12 Prbel og cirkel Prblens ligning y = x 2 + b x + c hvor c er skæring med y-ksen (58) Cirklens ligning ( x- ) + ( y- b) = r hvor C(,b) er cirklens centrum, og r er rdius (59) Funktioner Polynomier Lineær funktion/ førstegrdspolynomium f (x) = x + b (60) Andengrdspolynomium f (x) = x 2 + b x + c (6) Andengrdsligning x 2 + b x + c = 0 (62) Løsninger: x = b b2 4 c 2 og x 2 = b + b2 4 c 2 (63) 0

13 Eksponentielle funktioner Eksponentilfunktion f (x) = x eller f (x) = e kx (64) Eksponentielt voksende/ftgende funktion f (x) = b x hvor er grundtllet, og b er skæring med y-ksen. (65) Fordoblingskonstnt log(2) ln(2) (66) T2 = = log( ) ln( ) Hlveringskonstnt log( (67) 2) ln( 2) T = = 2 log( ) ln( ) Potensfunktioner Potensfunktion f (x) = b x (68)

14 Trigonometriske funktioner Definition f funktionerne cosinus og sinus (69) Cosinus cos(x) = cos(x + 2π) (70) cos( x) = cos(x) (7) Sinus sin(x) = sin(x + 2π) (72) sin( x) = sin(x) (73) Differentil- og integrlregning Differentilkvotienten f (x 0 ) for f (x) f (x f (x 0 ) = lim 0 ) funktionen f i tllet x x x0 0 x x 0 f (x f (x 0 ) = lim 0 + Δx) f (x 0 ) Δx 0 Δx (74) (75) Ligning for tngenten t til grfen for f i P(x 0, f (x 0 )) y = f (x 0 ) (x x 0 )+ f (x 0 ) (76) 2

15 Regneregler for differentition ( f ± g ) (x) = f (x)± g (x) (77) ( f g) (x) = f (x) g(x)+ f (x) g (x) (k f ) (x) = k f (x) (78) (79) ( f g ) (x) = ( f (g(x)))' = f (g(x)) g (x) (80) Regneregler for integrtion Ubestemt integrl F(x) = f (x)dx + c (8) ( f ± g)(x)dx = f (x)dx ± g(x)dx (k f )(x)dx = k f (x)dx (82) (83) Bestemt integrl b (84) f (x) dx = [F(x)] b = F(b) F() ( f ± g)(x)dx = f (x)dx ± g(x)dx b b (k f )(x)dx = k f (x)dx b b b (85) (86) Arel (A) og kurvelængde (L) Arelet under grfen for f i intervllet [, b] A = b f (x)dx (87) Arelet mellem grferne for f og g i intervllet [, b] A = b ( f (x) g(x))dx (88) 3

16 Kurvelængden L f grfen for f i intervllet [, b] L = + f (x) 2 dx b (89) Afledede funktioner og stmfunktioner f (x) f (x) F(x) 0 x (90) n x n x n n + xn+ x 2 = x 2 x = x x ln(x) ln x x ln(x) x e x e x e x k e k x e k x k ek x ln() x x ln() x sin(x) cos(x) sin(x) (9) (92) (93) (94) (95) (96) (97) cos(x) sin(x) cos(x) (98) Vektorer i plnen Krtesiske koordinter (99) = 2 4

17 Polære koordinter = (,θ ) hvor er længden f vektoren og retningsvinklen, θ, er vinklen fr vektoren til vndret målt i positiv omløbsretning, θ [0;2π[. (00) Længde (0) = Retningsvinkel tn(θ) = 2 (02) Vektorens krtesiske koordinter (03) ud fr de polære koordinter = cos(θ) 2 = sin(θ) Enhedsvektor i s retning (04) e = Tværvektor (05) â = 2 Sklrprodukt (prikprodukt) Ortogonle vektorer i b = b + 2 b 2 i b = b cos(v) hvor v er vinklen mellem vektorerne i = 2 b i b = 0 To (egentlige) vektorer er ortogonle, hvis og kun hvis deres sklrprodukt er 0 (06) (07) (08) (09) Vektorsum + b = + b 2 + b 2 hvor = 2 og b = b b 2 (0) 5

18 Vektordifferens b = b 2 b 2 hvor = 2 og b = b b 2 () Vektor gnget med konstnt k = k k 2 hvor = 2 (2) Vektor mellem to punkter og B(x 2, y 2 ) A(x, y ) " AB x x = y 2 2 y (3) Vektorer i rummet Vektor (4) = 2 3 Vektors længde (5) = Sklrprodukt (prikprodukt) i b = (6) b + 2 b b 3 Prmeterfremstilling for linje x gennem P 0 med retningsvektor r y = z hvor x 0 y 0 z 0 + t r r 2 r3 P 0 = (x 0, y 0,z 0 ) og r = r r 2 r3 (7) 6

19 Prmeterfremstilling for pln gennem P med retningsvektorer 0 og q r x y = z x 0 y 0 z 0 + t r r 2 r3 + s q q 2 q 3 (8) r hvor P 0 = (x 0, y 0,z 0 ), r = r 2 og r3 q = q q 2 q 3 Ligning for pln gennem normlvektor n P 0 med ( x- x ) + b ( y- y ) + c ( z- z ) = 0 hvor P 0 = (x 0, y 0,z 0 ) og n = b c (9) Differentilligninger Linjeelement (x 0, f (x 0 ); f (x 0 )) = (x 0,y 0 ; y 0 ) = (x 0,y 0 ;) (20) hvor er tngentens hældning i punktet P(x 0,y 0 ) Retningsfelt/hældningsfelt (2) Løsningskurve Grfen for løsningen til en differentilligning. En funktion er løsning til differentilligningen, hvis den ved indsættelse gør ligningen snd. (22) 7

20 Diskret mtemtik Rekursionsligning Løsning f rekursionsligninger Newtons metode til bestemmelse f nulpunkter for en differentibel funktion f En rekursionsligning f første grd benyttes til t frembringe en følge f tl, hvor hvert nyt tl i rækken kn bestemmes ud fr det foregående: y n+ = f ( y n,n), n = 0,, 2, Løsningen f en rekursionsligning er entydigt bestemt ved en begyndelsesbetingelse: Rekursionsligningen y n+ = f ( y n,n) hr netop én løsning, der opfylder y 0 = s, hvor s er en konstnt. Smtlige løsninger til den homogene rekursionsligning y n+ = y n, n = 0,,2,... er givet ved tlfølgen n yn = k, n= 0,, 2,... hvor k er en konstnt. Tlfølgen xn, n= 0,, 2,... defineret ved rekursionsligningen x n+ = x n f (x ) n, n = 0,, 2,... f (x n ) x 0 hvor er et strtgæt på et nulpunkt, kn benyttes til bestemmelse f funktionens nulpunkter. (23) (24) (25) (26) Sttistik Ikke-grupperede observtioner Observtionssæt x (27),x 2 x 3,,x n Stolpedigrm/pindedigrm (28) 8

21 Middeltl x for observtionssæt (29) x = x + x + x + + x 2 3 n = n n n x i i= Vritionsbredde mx min hvor min er den mindste observtion og mx er den største. (30) Typetl Den/de oftest forekommende observtion(er) (3) Medin m Nedre kvrtil Q Øvre kvrtil Q3 Midterste observtionsværdi, når ntllet f observtioner er ulige, ellers tllet midt imellem de to midterste observtioner. Medinen for den nederste hlvdel f observtionerne. Medinen for den øverste hlvdel f observtionerne. (32) (33) (34) Kvrtilbredde Q3 Q (35) Kvrtilsæt (Q, m, Q3) (36) Udvidet kvrtilsæt (min, Q, m, Q3, mx) (37) Boksplot (38) 9

22