Fraktaler Af Hans Marius Kjærsgaard

Transkript

1 Fraktaler Af Hans Marius Kjærsgaard Side 1

2 Indholdsfortegnelse Indledning... 2 Prolemformulering... 3 Grundlæggende teori og introduktion til IFS... 3 Definition af gruppens iterativ systemet... 3 Beregning af Omkredsen... 5 Eksempel på eregningen af omkreds... 6 Omkreds af en fuld fraktal... 7 Beregning af areal... 8 Beregning af areal af den fulde fraktal Radius af den fulde fraktals omskrevne Areal eregninger ved rug af den omskreven irkel Grænser for og Konklusion Litteratur og kildeliste Bilag Beregning af sidetallet Eksempel på eregning af sideantal Sideantal af en fuld fraktal Indledning Galakser, rose, kogler, regner, solsikker, kål, snefnug, fraktaler lader til at være et grundlæggende mønster i naturen. Fraktaler er et forholdsvis nyt felt i matematikken, det egyndte at tage form i 1700-tallet, men lev først rigtigt en del af matematikken et par hundrede år efter. Den dag i dag ruger vi fraktaler i mange videnskaer, fra iologi til moderne kosmologi. Der er flere måder at eskrive fraktaler, det kan eskrive fraktaler som Mendalrot mængden og Julia mængden. Men ikke alle fraktaler kan eskrives på denne måde fraktaler. Fraktaler som Koh snefnug, og andre aseret på sammen prinip (IFS, se forklaring under Grundlæggende teori og introduktion til IFS. Jeg ønsker at eskrive dette prinip, da det kunne give et matematisk evis for formodninger der ikke er eviste endnu, for alle fraktaler. Illustrationer er fremstillet i programmet GeoGera Side 2

3 Prolemformulering I denne rapport vil jeg prøve at opstille en formel, der generelt eskriver omkredsen og arealet af IFS fraktaler. Jeg vil starte med at opstille disse formler for en undergruppe med et iterativ system, der ligner Koh snefnug. Her fra vil jeg generalisere mine formler, til mere irregulære fraktaler. Ud fra disse formler vil jeg evise to formodninger om den fulde fraktal, som kun er evis for Koh snefnug men ikke resten af denne gruppe. Grundlæggende teori og introduktion til IFS Der er flere former for fraktaler, de fraktaler jeg vil eskrive tilhøre gruppen kaldet IFS fraktaler. IFS (iterated funtion system er en måde at konstruere fraktaler. Man starter med en figur herefter udføres den sammen operation på denne figur, hver gang man gentager denne operation kaldes en iteration. Når denne operation er gentaget uendelig gange har man den fulde fraktal. Fraktaler skat med IFS vil være selv-similære, det etyder at forstøre man et område af fraktalen, vil området ligne hele fraktalen igen. selv-similæritet er et grundlæggende prinip inden for fraktaler. Definition af gruppens iterativ systemet fraktaler kan være aseret på mange former for iterative systemer, de formler jeg opstiller gælder kun for dette meget simple iteration system, men med disse formler håer jeg at det vil være muligt at lave en generel formel for mere avanerede iterative systemer. Start med en regulær n-siddet polygon, kaldet grundpolygonen. Illustrationen tager udgangspunkt i en regulær hexagon. Side 3

4 1. Del hvert linje stykke op i stykker. figuren herunder viser dette, hvor er =5. 2. Nu erstattes de midterste stykker af hver side med en polygon. Hvor hver side er lige så lang, som siden den erstatter. Illustration viser =1. 3. Gentag denne proes fra step 2, og men vil ende med den fulde fraktal. For en hexagon liver den fulde fraktal som denne figur viser. Hver gentagelse kaldes en iteration. Side 4

5 Beregning af Omkredsen For at lave en generel formel for omkredsen, er man nød til at se nærmere på hvad der sker når fraktalen går fra iteration nummer n-1 til iteration nummer n. derfor vælger man at ruge sammen metode som med sideantallet, man fokusere på den ene side. Længden af den side man fokusere på enævnes som L n 1, da der er sidelængden før den iteration man er interesseret i at finde omkredsen af. Sidelængden efter iterationen er udført kaldes L n. Symolfortegnelse O n = omkredsen efter n iterationer L n 1 = sidelægden fra iterationen Før den man vil finde omkredsen af L n = sidelængden af den iteration man vil finde omkredsen af Iterationen starter med at af L n 1 fjernes fra hele siden, heraf kommer det at den resterende sides længde liver: L n 1 L n 1. Nu tilføjes en ny polygon med sammen side antal som grundpolygonen, sideantallet kalder jeg for. Dog, som med sideantallet, forøges omkredsen kun med 1 sider, da den ene side liver fjernet for at sammen kole polygonerne. Da den nye polygon er regulær multipliere man sidetallet, 1 med sidelængden af den nye polygon, L n 1 det giver at den nye polygon forøger omkredsen med ( 1 L 0. Nu har man udført en hel iteration, og kender åde længden af det resterende linjestykke og længden af den nye polygon. Man kan nu addere længden af det resterende linjestykke med længden af linjestykkerne fra den nye polygon, for at få hele den nye længde L n : Dette udtryk faktoriseres og forkortes til: L n = L n 1 L n 1 + ( 1 L n 1. L n = L n 1 (1 + ( 1 = L n 1 ( ( 1 L n =L n 1 ( = L n 1 ( + 2. Da dette kun er forøgelsen i en side ganger man med antallet af sider S n 1. Det giver et udtryk for omkredsen efter n iterationer, O n. O n = s n 1 L n 1 ( + 2 På grund af sideantallet gange side længden er det sammen so omkredsen, er s n 1 L n 1 = O n 1. Det etyder at: Ved at dividere med O n 1, for man at O n = O n 1 ( + 2 Side 5

6 O n = ( + 2 O n 1 Hvilket etyder, at forholdet i omkredsen mellem hver iteration kan eskriver med ( + 2. Dette er uanset om man går fra 0. til 1. iteration eller fra 9. til 10. iteration. Dette etyder at udtrykket O n = O n 1 ( + 2 kan omskrives til: O n = O n 1 ( + 2 Hvilket ud fra sammen prinip kan omskrives til: O n = O n n ( s n = O n 2 ( = O 0 ( s n Som før er omkredsen lig med sideantallet gange sidelængden, det etyder at O 0 =. Det giver at: O n = ( s n Med dette udtryk er det muligt, at eskrive omkredsen ud fra variale man kender, nå man egynder at opygge sin fraktal. Eksempel på eregningen af omkreds En fraktal aseret på en regulær hexagon. Fraktalen har et forhold mellem polygonen før og efter en iteration på 1. Efter 6 iterationer har fraktalen en omkreds på 322,77m. Hvad er sidelængden af grundpolygonen? 3 Man starter med at isolere ved at dividere med ( + 2 n : = O n ( + 2 Ud fra oplysningerne givet ved man at, = 6 da grundpolygonen er en hexagon, = 1 og = 3 da forholdet er 1 3. n = 6 da man kender omkredsen efter 6 iterationer, O n = 322,77 da dette er omkredsen efter 6 iterationer. Disse oplysninger indsættes nu i formlen, det giver: 322,77 = 6 ( = 322, ( = 322, ( , ,38 322,77 968, Resultatet liver at sidelængden af grundpolygonen, er omkring 1 3 m. n Side 6

7 Omkreds af en fuld fraktal Som med sideantal, vil jeg nu eregne omkredsen efter uendelig mange iterationer. Derfor lader jeg n gå mod grænse værdien for uendelig. Symolfortegnelse R = den reelle talmængde lim O n = ( + 2 n Da udtrykket ( + 2 er opløftet i en uendelig eksponent, kan man se ort fra s 0 og. Det etyder at man i stedet kan se nærmere på værdimængden for ( + 2. Da det udtryk vil have uendelig stor etydning. Det etyder at for at finde værdien af lim O n = ( + 2 n, må man først finde n værdimængden af ( + 2. For at kunne finde værdimængden, starter jeg med at dele udtrykket op i to røkker: + ( 2 = + ( 2 n = 1 + ( 2 Definitionsmængden for er Dm( = {x N x > 3}, definitionsmængden for er Dm( = {x R {x > x > 0}} og definitionsmængden for er Dm( = {x R x > 0}. Hvilket etyder at: Det etyder at værdimængden for 1 + ( 2 Alle tal i denne mængde er over 1, derfor vil lim Vm ( ( 2 = {x > 0} er: Vm (1 + ( 2 = {x > 1} ( + 2 n lim O n = ( + 2 n n =. n = Definitionsmængden for er Dm( = {x R x > 0}, da det ikke vil give mening at have en sidelængde på eller under 0. Det sammen gælder for Dm( = { x N x 3} da man ikke kan have en polygon med færre end 3 sider. på grund af egge af disse er positive tal, vil: lim O n = ( + 2 n n = = Hvilket etyder, at omkredsen vil være uendelig lang, uanset sidelængde og sideantallet. Side 7

8 Beregning af areal For at eregne arealet, må man først have en general formel for arealet af en regulær polygon. Denne formel ser sådan her ud. A p = L p 2 s p 4 tan( 180 s p Hvor A p er arealet af polygonen, L p er sidelængden af polygonen, s p er sideantallet i polygonen, og tan er den trigonometriske funktion tangens målt i grader. Nu er det are at regne ud hvor mange nye polygoner der kommer ved hver iteration og deres størrelse. I modsætning til Koh snefnug liver dette lidt mere komplieret, da ikke alle polygoner vil live lige store, selvom de opstår efter sammen antal iteration. Når man går fra n-1 iterationer til n iterationer, forøges arealet med en regulær polygon på hver side. Hver regulær polygon vil have en sidelængde på dele af siden den kommer ud fra. Man vælger at tage kvadratroden af formlen for at fjerne eksponenten på L p 2. Det giver: A p = L p s p 4 tan( 180 s p Symolfortegnelse A p = arealet af polygonen A n = arealet efter n iterationer n = antal iterationer L p = sidelængden af polygonen O n 1 = omkreds efter n 1 iterationer s p = sideantalet af polygonen = sideantallet af grundpolygonen tan = trigonometrisk funktion tangens målt i grader A E = sidelængden af hver alle siderne efter n 1 iterationer A f = areal forøgelsen Antag at længden af hver side efter n-1 iterationer er følgende A, B, C, D og E. kvadratroden af areal forøgelsen vil derfor være: A f = A 4 tan( B 4 tan( C 4 tan( D 4 tan( E 4 tan( 180 skyldes at kun dele der liver til sidelægderne af de nye polygoner. er sideantallet i grundpolygonen, den er i stedet for s p da alle polygoner i fraktalen, vil have sammen sideantal som grundpolygonen. Udtrykket over, kan faktoriseres til: A f = 4 tan ( 180 (A + B + C + D + E Som med omkredsen, kan A + B + C + D + E også skrives omkredsen efter n-1 iterationer, O n 1. grunden til dette er summen af siderne efter n-1 iterationer, vil være det sammen som omkredsen efter n-1 iterationer. A f = 4 tan ( 180 O n 1 Side 8

9 Man kan nu ruge formlen for omkredsen af fraktalen, fra side 7, O n 1 = ( + 2 n 1. Hvor n er antallet af iterationer. Det giver: A f = 4 tan ( 180 ( s n For at finde A f, opløfter man egge sider i anden: Det forkortes med eksponentreglerne: = A f = L 2 s tan ( 180 (( n 1 s A f = tan ( 180 ( n 2 s tan ( 180 ( n 1 s 2 0 Nu hvor man kan udregne forøgelsen af arealet, kan man for at udregne arealet, addere forøgelsen med arealet fra iterationen før, A n 1 : A n = tan ( 180 ( n 2 s 2 + A n 1 0 På grund af denne formel også gælder for A n 1, kan man sætte formlen ind i sig selv, til man når arealet af grundpolygonen: A n = tan ( 180 ( (n tan ( 180 ( (n tan ( 180 ( (n (n A 0 Dette kan forkortes til: n 1 A n = tan ( 180 ( (n k 2 + A 0 k=1 Med denne formel er det muligt, at finde arealet af den fulde fraktal. Side 9

10 Beregning af areal af den fulde fraktal For at finde ud af om arealet af fraktalen er uendeligt, lader man igen n gå mod uendelig: Man kan se ort fra n 1 lim ( 2 3 n 4 tan ( 180 ( (n k s 2 + A 0 k= tan( 180 s0 og A 0, da de altid er positive og vil have minimal indflydelse i forhold til ( der er opløftet i en uendelig eksponent. Derfor vil jeg se nærmere på værdimængden af 2 ( Hvis ( er over 1 vil arealet live uendeligt, ellers vil arealet live egrænset. 2 figuren viser en graf med værdien af ud af y-aksen, og sideantallet ud af x aksen. Det røde område er de stæder, ( < 1 og arealet derfor vil være egrænset. Det hvide område er der hvor ( > 1 Og arealet vil derfor være uendeligt. Det etyder at arealet af den fulde fraktal åde kan være egrænset og uendeligt afhængig af, og alene. Side 10

11 Radius af den fulde fraktals omskrevne I dette afsnit vil jeg starte med at eskrive den omskrevne irkel af fraktalen, da det giver overraskende resultater angående arealet. Radiussen af den indskrevne irkel af en regulær polygon, er givet ved: R i = Hvor R i er radiussen af den indskrevne irkel. er antallet af sider i grundpolygonen, og er sidelængden af polygonen. Symolfortegnelse R Om = den fulde fraktals omskrevne irkels radius L 1, L 2, = sidelængden efter 1 iteration, 2 iterationer, R 1i, R 2i, = den idnskrevne irkels radius efter 1 iteration, 2 iterationer, Det viser sig at den omskrevne irkel af hele fraktalen har en radius, der svare til grundpolygonens indskrevende irkels radius, adderet med summen af diameteren af den indkrævende irkel af en hver polygon efter. Ud fra disse oservationer, kan jeg opstille formlen for den omskrevne irkels radius: R Om = R 0i + 2 R 1i + 2 R 2i + Da det eneste der ændre sig mellem hver iteration er. Kan dette udtryk omskrives ved rug at formlen for den indskrevne irkel R i = R Om = + 2 s0 L 1 til at: + 2 L 2 + s 0 Fordi hver side forminskes med mellem hver iteration, vil L n = C L n 1 det etyder at: Her ses radiussen af den omskrevende irkel i rød, kaldet R Om. R Om = L L0 + Jeg har unladt at forkorte udtrykket, da det gør det mere synligt at udtrykket også kan skrives som: R Om = + 2 k=1 k L0 2 tan ( 180 Side 11

12 Areal eregninger ved rug af den omskreven irkel Arealet af en irkel er givet som: A = π R 2 Hvor A er arealet af irklen og R er irklens radius. Da radius af den omskrevene irkel er: R Om = + k=0 Betyder det at arealet af den fulde fraktals omskrene irkel er: A Om = π ( 2 tan ( k L0 2 tan ( 180 k L0 2 tan ( 180 Hvor A om er arealet af den fulde fraktals omskrevne irkel. Jeg vil nu eregne arealet af fulde fraktals omskrævne irkel. Det vil jeg gøre ved at finde værdimængden af: π ( 2 tan ( k=0 k L0 2 tan ( 180 Da Vm ( = {x < 1} og og er konstanter, vil værdimængden af hele udtrykket være: Det etyder at, Vm (π ( 2 tan ( k=0 k=0 k L0 2 tan ( 180 Vm(A Om = {x > 0} = {x > 0} Alle tal i denne mængde er finitivt. Det resultatet er forløffende, da det modstrider resultatet fra fomlen for arealet af fraktalen af den fulde fraktal. Dette viser at arealet af den omskrevne irkel er finitivt, men den anden formel viser at arealet den fulde fraktal er infinitivt. Dette er udsedvanligt da arealet af den omskrævene irkel normalt er større end arealet af selve figuren. Hvor det i dette tilfælde er omvendt. Jeg formode at dette resultat skyldes at fraktalen overlapper sig selv. Dette vil gøre figurens areal størrere, uden at forøge den omskrævende irkels areal. Side 12

13 Grænser for og For at finde grænserne for og vil jeg introduere fraktaldimensioner. Normalt er fraktal dimensioner givet som: N selv similær = f selv similær D f En selv-similær del er en del af fraktalen, der ligner sig selv efter en iteration. Jeg har omformuleret denne til fraktaler hvor = : N selv similær = antallet af selv similære dele f selv similær = forholdet mellem de selv similære dele D f = fraktaldimensionen 1 = 1 D f Ved at isolere fraktaldimensionen, vil jeg evise at disse figurere ikke er fraktaler, da de ikke har en defineret fraktaldimension. Først tager man logaritmen for at sænke eksponenten. Her efter isoleres fraktaldimensionen. log( 1 = D f log(1 D f = log( 1 log(1 Men da logaritmen til 1 altid er 0, liver fraktaldimensionen lig med D f = log( 1 0 Da dette giver et udtryk divideret med 0, vil disse fraktaler ikke have en defineret fraktaldimension. Derfor kan jeg konkludere at < Både og skal være større end 0, da man ikke kan dele en side op i 0 stykker. Derfor er grænserne for og. 0 < < B og vil have indflydelse på overlap, men dette er den eneste grænse for dem. Konklusion Fraktaler er fasinerende figurere, fyldt med interessante egenskaer. Det har lykkedes mig at evise formodninger om disse figurere. Først opstillede jeg en formel der eskrev omkredsen ud fra simple variale, og ud fra denne evise at alle fraktaler i denne gruppe vil have en uendelig omkreds. Mere interessant er det at mine formler viser at nogle fraktaler vil have et egrænset areal, mens andre vil have et uendeligt stort areal. Dette er afhængig af forholdet mellem og og sideantallet alene, ikke sidelængden som man kunne tro. Meget overraskende vil alle fraktaler vil have en omskreven irkel, med et egrænset areal. Dette er usædvanligt, da den omskrevne irkel normalt vil have et større areal ind figuren. Min formodning om dette er at fraktalen vil overlappe sig selv, dette vil forøge selve fraktalens eget areal, uden at forøge den omskrevne irkels areal. Der vil dog være en del arejde tilage med at generalisere formlerne, målet er at formlerne skal kunne dække alle fraktaler. Uanset om de er komplekse eller ej. Side 13

14 Litteratur og kildeliste Nynne Afzelius, Cand.Sient i matematik og Talenthef hos SieneTalenter Morten Blomhøj, Cand.Sient i matematik RUK A history of fratal geometry esøgt: Fratal explorer esøgt: Imgfave esøgt: Wired esøgt: Tumlr esøgt: Fratals esøgt: Utaot esøgt: LEWWWP esøgt: Fratalfoundation esøgt: Huffpost esøgt: The real Sasha esøgt: Reloggy esøgt: Side 14

15 Bilag Beregning af sidetallet For at finde sidetallet efter n iterationer, s n starter man med at finde sideantallet efter en iteration, s 1. man vælger at fokusere på et linje stykket i grundpolygonen. Lad os kalde længden af denne side, for. længden af dette stykke efter er fjernet vil der for være L 0. Lad os antage at <, dette vil resultere i at < L 0, som giver os at B 0. Dette etyder, at der vil være et restlinjestykke efter man har fjernet. På grund af at dette linjestykket fjernes fra midten, vil der opstå et linje stykke på hver side af den fjernede linje. Hvis = 0 ville der ikke være noget rest linjestykke, og der ville ikke opstå nogle side på hver side af hullet. Nu erstattes hullet med en ny regulær polygon med sammen side antal som grundpolygonen. Symolfortegnelse n = antalet af iterationer s n = sideantaet efter n iterationer s 1 = sideantalet efter en iteration = sideantalet af grundpolygonen = sidelængden i grundpolygonen = antalet af dele man deler hver side i mellem hver iteration = antalet dele af man udytter med en nye polygon Følgende figurer viser udviklingen af en linje hvor grundpolygonen (Fig. 1 er en hexagon, figur 2 viser en forstørrelse af den ene side af grundpolygonen før of efter en iteration. Her ses de to før nævnte linje stykker CK og LE på hver side af den nye hexagon (Fig. 2. Man kan se at den nye polygon ikke har sammen sideantal som grundpolygonen, grundpolygonens sideantal kaldes. Det skyldes at siden der støder op til linjen AB fjernes, for at forinde den nye polygonen med grundpolygonen. Det vil sige, at den nye polygon idrager med 1 sider til det samlede sideantal. Hvis man addere 1 med siderne på hver side af den nye polygonen for man, at en side før nu er levet + 1 sider. Nu kan man igen se på hele fraktalen. Grundpolygonen estår af sider, så når en side liver til + 1 kan man konkludere at sider liver til ( + 1 sider. Dette etyder at antallet af sider efter en iteration s 1, kan udregnes med følgende formel s 1 = ( + 1. pågrundaf stigningen i sideantalet ikke er afhængig af sidelængden, vil udviklingen være den sammen for anden iteration som for første. Man kan derfor sig at efter n iterationer, s n vil sidetallet være antallet af sider i iterationen før, gange stigningen af sideantallet i en side. Derfor for man at s n = s n 1 ( + 1. Denne formel kan omskrives til en mere rugar formel. Side 15

16 s n = s n 1 ( + 1 = s n 2 ( = s n n ( + 1 n = ( + 1 n Den endelige formel liver s n = ( + 1 n. Med denne formel er det muligt at eskrive sideantalet ved hjælp af kun to variale, antalet af sider og antallet af iterationer. Denne formel virker kun for fraktaler hvor <. For fraktaler hvor = vil der ikke opstå de to sider på hver side af den nye polygon, derfor sutrahere vi igen de to sider fra + 1 og kommer igen tilage til 1, det giver formlen s n = ( 1 n Eksempel på eregning af sideantal En fraktal med en regulær oktagon som grundpolygon, har et forhold mellem hver iteration på 3. Hvor mange 8 sider har fraktalen sider efter 10 iterationer? Start med at se hvilken formel vi skal ruge, da = 8 og = 3, er 3 < 8 og formlen s n = ( + 1 n er den gældende i dette eksempel. Man isolere nu i formlen: s n = ( + 1 n Man kommer nu oplysningerne ind i formlen. Dette giver = 8 da grundpolygonen er en otagon, og de n = 10 da man ønsker at finde sideantalet efter 10 iterationer. Dette resultere i at: s n = 8 ( = = Dette viser at efter are 10 iterationer vil fraktalen have et sideantal på hele sider. Sideantal af en fuld fraktal Man kan nu ved at ruge formlen s n = ( + 1 n til at udregne sideantallet efter grænseværdien mod uendelig iterationer, det giver denne formel: Symolfortegnelse N = de naturlige tal lim n (( + 1 n = s n Definitionsmængden for er Dm( = {x N x 3} da man ikke kan have en polygon med færder end 3 sider, eller halve sider. derfor vil værdimængde for + 1 Vm( + 1 = {x N x 4}. Da et hvert tal inden for denne mængde vil være større end 1, etyder det at resultatet vil live uendeligt: lim (( + 1 n =. n Hvilket vil sige, at efter uendelig mange iterationer, vil fraktalen have uendelig mange sider. Et mere interessant spørgsmål er så, vil omkredsen også live uendelig, og hvad med arealet? Dette vil jeg prøve at esvare, i de følgende par afsnit. Side 16