PETERTROELSENTEKNISKGYMNASI UMHADERSLEVHTXPETERTROELSE NTEKNISKGYMNASIUMHADERSLEV HTXPETERTROELSENTEKNISKGYMN ASIUMHADERSLEVHTXPETERTROEL

Transkript

1 PETERTROELSENTEKNISKGYMNASI UMHADERSLEVHTXPETERTROELSE NTEKNISKGYMNASIUMHADERSLEV HTXPETERTROELSENTEKNISKGYMN ASIUMHADERSLEVHTXPETERTROEL Dæmpede svingninger SENTEKNISKGYMNASIUMHADERSLE Studieretningsprojekt 2010 Matematik A Fysik A VHTXPETERTROELSENTEKNISKGYM Peter Troelsen HTX Haderslev NASIUMHADERSLEVHTXPETERTRO ELSENTEKNISKGYMNASIUMHADERS LEVHTXPETERTROELSENTEKNISKG YMNASIUMHADERSLEVHTXPETERT ROELSENTEKNISKGYMNASIUMHAD ERSLEVHTXPETERTROELSENTEKNI SKGYMNASIUMHADERSLEVHTXPET ERTROELSENTEKNISKGYMNASIUMH ADERSLEVHTXPETERTROELSE

2 Abstract This study examines the change of energy in damped oscillations, oscillations and damped oscillations in general, and their belonging equations. The purpose of this paper is to investigate and explain damped oscillations and second order differential equations with constant coefficients in order to understand and substantiate their equations. The study also looks at different types of damped oscillations including critical damped oscillations. This study makes use of hypothetic deductive study methods in order to study the sub results which are reached by experiments with a weight suspended from a spring. Theoretical- and practical use of math and physics are also main parts of this study in order to compare measured result with theoretical results. Through the experiment it was observed that the experiment shows a great similarity between measured values and theoretical values, which supports the theoretical hypothesis for lowered oscillations. HTX Haderslev Side 2

3 Indholdsfortegnelse Abstract... 2 Indledning... 4 Svingninger generelt... 5 Differentialligninger... 6 Dæmpning og dæmpningstyper... 9 Energiforholdene i en dæmpet svingning ordens differentialligninger med konstante koefficienter Løsningen til differentialligningen for en dæmpet svingning Forsøg med dæmpede svingninger Hypotese og fremgangsmåde Resultater og databehandling Konklusion Litteraturliste Bilag Bilag HTX Haderslev Side 3

4 Indledning Svingninger findes over alt i naturen og flere steder end vi egentligt tænker på, vi ser svingninger som pendulet der hænger under det gamle bornholmerur eller som en streng på en guitar, men vi finder også svingninger som små vibrationer, som et atom der f.eks. er placeret i et metalgitter. Svingningerne vi ser, er dog stort set aldrig vedvarende, men dæmpede. Dette selvfølgelig kun hvis de ikke er påvirket af en ydre kraft der holder svingningen i gang. Dæmpningen på en svingning kan se meget forskellig ud, og derfor skal de også beskrives på forskellige måder. Jeg vil med denne opgave forsøge at belyse nogle af disse områder, ved bl.a. at kigge nærmere på dæmpningsformer og energiforholdene. Målet med opgaven er at lave et eksperiment som gerne skal være med til at eftervise den eksisterende teori omkring dæmpede svingninger. Eksperimentet skal forhåbentlig også være med til at beskrive en dæmpet svingning, på en sådan måde at det underbygger den teori jeg vil beskrive forinden. HTX Haderslev Side 4

5 Svingninger generelt Inden jeg bevæger mig ind på dæmpede svingninger er det vigtigt at forstå teorien bag svingninger generelt. Derfor vil jeg i første omgang beskrive det man kalder en harmonisk svingning, altså en svingning som ikke er dæmpet. Generelt kan man sige at en svingning er et objekt som udfører en bevægelse i skiftene retninger ind mod midten, denne bevægelse strækker sig over amplituden A til begge sider, altså fra A til +A. Denne bevægelse tager tiden T, hvorefter den gentager sig og gør den samme bevægelse en gang til. Hvis man forestiller sig at denne bevægelse ikke påvirkes af nogen ydre kraft, ville denne bevægelse fortsætte til evig tid, hvilket kan illustreres med en sinuseller cosinuskurve. Figur 1: Simpel svingning med tidsperioden T indtegnet med sort Kigger man nærmere på kræfterne der påvirker svingningen undervejs, kan det tydelig ses på kurven, man kan tænke sig til, at der må være en kraft som trækker objektet ind imod tyngdepunktet, eller midten af svingningen. Denne kraft kan man eksempelvis kalde F cen, da denne netop trækker ind imod centrum. Den anden kraft der påvirker systemet, må være den kraft der holder svingningen i gang, og må være den der får emnet til at svinge forbi tyngdepunktet. Denne kraft er den resulterende kraft, og det er givet at denne påvirker systemet i modsat retning af F cen, derfor må følgende være tilfældet. Dette betyder dog ikke at emnet står stille, men at der ikke er nogen ændring i kræfterne, hvilket omskrevet er følgende Newtons 2. lov for den resulterende kraft er givet ved følgende 1 Derfor kan man nu indsætte dette i formlen og isolere accelerationen, da massen på vores emne må anslås at være konstant. 1 Orbit 3 HTX Haderslev Side 5

6 Man kan se at accelerationen afhænger af kraften F cen og jo større denne er, jo større acceleration. Dette betyder altså at man kan se den største acceleration ved +A og A, da det må være her F cen må være størst. Samtidigt kan man også konkluderer at hastigheden må være størst i tyngdepunktet, da det er her objektet har accelereret mest muligt, inden en modsatrettet acceleration begynder. Som sagt kan en svingning illustreres med en sinuskurve, men det ville være mere interessant med en mere detaljeret formel, hvor man kan indsætte de data man kender for en svingning, og derefter få en teoretisk kurve der passer til denne svingning. Til beskrivelse af dette skal man bruge en differentialligning. Differentialligninger Differentialligninger kan generelt beskrives som en model der bruges til at behandle noget data. For alle differentialligninger glæder at denne indeholder mindst en afledt (altså differentieret) funktion. Funktionen kan være afledt en eller flere gange, og funktionen selv kan optræde i ligningen. Funktionen kan være afhængig af flere variabler, når funktionen er afhængig af en variabel kaldes differentialligningen en ordinær differentialligning, det kunne f.eks. være f(x), som er en funktion afhængig af variablen x. Selvom der måtte være flere afledninger af funktionen med i ligningen eller andre funktioner der afhænger af x, er der stadig kun tale om en variabel og altså en ordinær differentialligning. Er der i stedet flere variabler tilhørende funktionen eller funktionerne, er der i stedet tale om en partiel differentialligning. Differentialligninger opdeles normalt i ordener, disse ordener er med til at beskrive funktionen, og forklarer hvor mange gange den mest afledte funktion er afledt. Så en ligningen med den n-afledte funktion som den der er afledt flest gange, er altså en n ende ordens differentialligning. Denne funktion er altså derfor en 2. ordens differentialligning. Man kan i teorien have uendelig mange ordener, men i forbindelse med svingninger (harmoniske såvel som dæmpede) støder man kun på 1. og 2. ordens differentialligninger. Det sidste begreb inden for differentialligninger der er vigtigt at have styr på, kommer fra generel differentialregning. Det er tilfældet, at når man differentiere et hvilket som helst udtryk, får man at den nye funktion skal adderes med en konstant. Det man skelner imellem, er om man kender denne konstant eller HTX Haderslev Side 6

7 ej. Er dette tilfældet at man kender konstanten, kalder man løsningen for den specifikke løsning, er det ikke tilfældet, hedder det den generelle løsning. Den generelle kan laves om til den specifikke løsning vha. linjeelementer, som dog ikke beskrives nærmere i denne rapport. Denne viden kan nu bruges i forsøget på at opstille en funktion der beskriver en harmonisk svingning. Ved at kigge mere specifikt på én type harmonisk svingning, i stedet for alle typer som før, kan man komme lidt videre med kraftbetrækning fra tidligere. Et eksempel udvælges, i dette tilfælde et objekt der hænger i en fjeder. Dette gør man nu kan bruge Hookes lov som gælder for en fjeder i én dimension. Denne siger: Kraften en fjeder vil søge tilbage mod ligevægtspunktet med er en kraft der er proportional med en konstant samt strækningen denne strækkes over med modsat fortegn af den kraft der strækker fjederen 2 Hvor k er fjederkonstanten og x er stækningen fjederen strækkes over. Man kan se at denne kraft gør det som før beskrevet med kraften F cen derfor kan man nu opstille ligningen, Figur 2: Fjeder stukket x langt, med kraften F fj som trækker tilbage mod ligevægtspunktet Det er givet at massen m og fjederkonstanten k er konstanter, og at positionen x og accelerationen a er variable af tiden. Derfor kan man nu samle konstanterne og omskrive ligningen til følgende. Hvis man i stedet for at kigge på x(t) som afstanden mellem tyngdepunktet og dertil hvor emnet er udstrakt, ser på x(t) som en stedkoordinat, kan man betragte accelerationen som det dobbelte differentiale af denne, og derfor kan man eliminere funktionen a(t). 2 Robert Hooke ( ) Engelsk videnskabsmand HTX Haderslev Side 7

8 Nu har man altså en differentialligning som man kan forsøge at løse. Man kan se at funktion skal være sig selv negeret og multipliceret med en konstant, når denne er differentieret to gang. Fra trigonometriens verden er to funktioner, som netop giver sig selv negeret, når de differentieres to gange. Konstanten mangler dog stadig, og her bruges trigonometrien igen, det er givet at når vi arbejder med sinus og cosinus kan man uden problemer inddrage amplituden A samt vinkelhastigheden ω. Når disse er indsat ser det dobbelte differentiale sådan ud. Hermed er en x(t) defineret som har de ønskede egenskaber, dog er man nød til at være sikre på at k/m også passer og får den rigtige plads i ligningen, derfor kan man isolere k/m og få følgende: Man kan hvordan udtrykket forkortes, og det derfor heller ikke er nogen grund til at regne det samme igen med cosinus løsningen. Da k/m s plads nu er defineret, kan k/m indsættes i forskriften x(t). ( ) ( ) Der er dog stadig to løsninger, og det ideelle vil være en enkelt løsning. En sidste gang kommer trigonometri til hjælp, da det er givet at cosinus blot er en forskydning af sinus på π/2. Derfor kan den ene HTX Haderslev Side 8

9 løsning nu elimineres ved at tilføje en variabel som skubber svingningen på x-aksen. Derved fås den færdige løsning. 3 ( ) Dæmpning og dæmpningstyper I virkeligheden ser man stort set ingen harmoniske svingninger som den der lige er beskrevet, i virkeligheden vil der altid være en kraft, som gør at svingningen bliver dæmpet, med mindre der selvfølgelig er en kraft der holder svingningen i gang. Bornholmeruret som nævnt i indledningen, bliver f.eks. drevet af nogle lod som man skal trække op engang imellem. Guitar strengen derimod bliver dæmpet, det er menig viden at tonen ikke klinge til evig tid. Derfor omhandler resten af rapporten disse dæmpede svingninger. I princippet bygger en dæmpet svingning på de samme kræfter som en simpel harmonisk svingning, desværre passer Hookes lov Figur 3: Forholdsvis kraftigt dæmpet svingning ikke helt mere og må derfor udvides en smule, der er nemlig en ekstra kræft som svækker svingning, både i form af luftmodstand mm, og indre modstande, som fx modstanden i en fjeder. Derfor er følgende udtryk givet for en dæmpet svingning: Modstanden er lig konstanten b som er en konstant der beskriver hvor kraftigt en dæmpning, svingningen udsættes for, multipliceret med hastigheden på svingningen. Derfor kan man med det samme sige, at jo hurtigere svingning er, jo hårdere bliver denne dæmpet. Man kan tænke sig, at en dæmpning kan være så stor, at svingningen rent faktisk ikke sker, men igger sig til ro så hurtigt at objektet aldrig kommer på den anden side af tyngdepunktet. Dette er ganske korrekt, og her skelnes mellem forskellige typer svingninger, her findes der primært tre typer, som ganske kort vil blive gennemgået. 3 Simple harmonic motions Wikipedia.org HTX Haderslev Side 9

10 Den første type dæmpning er det man kalder en underdæmpet svingning, og er egentlig den eneste type svingning, hvor det man generelt tænker som en svingning sker, altså hvor objektet kommer på begge sider af tyngdepunktet flere gange. Dæmpningen kan fx ligne den funktionen i Figur 3, eller kan svinge mange flere gange frem og tilbage. Der er en klar definition for hvornår man kan kalde en dæmpning for underdæmpet, dette er tilfældet når følgende udsagn er korrekt Der findes forskellige udtryk til at bestemme dæmpningstyperne, men dette er dog den mest simple. Den næste type dæmpning der findes er det man kalder en kritisk dæmpning, denne type ser man flere steder, fx som støddæmperne på en bil (som dog også er en smule underdæmpet), eller som dørlukkeren, der lukke døren uden at smække den. Her sker nemlig det, at emnet forholdsvis hurtigt finder på plads i tyngdepunktet uden at bevæge sig på den anden side af dette. Ved en kritisk dæmpning gælder følgende Man ser ofte en kombination af kritisk og underdæmpede svingninger, altså når udtrykket ligger meget tæt på 0, men stadig en smule under. Figur 4: Kritisk dæmpning samt dæmpningen fra Figur 3, som den stiplede funktion Den sidste dæmpningstype der er tale om, er det man kalder en overdæmpet svingning, denne type svingning, kommer som den kritiske dæmpning aldrig over på den modsatte side af tyngdepunktet. Forskellen ligger i at det med denne svingning ikke går specielt hurtigt med at finde tilbage til tyngdepunktet. Generelt er der ikke den helt store forskel på en kritisk dæmpning og en overdæmpet svingning. Man kan dog forestille sig at hvis man lavede støddæmperne i en bil så de i stedet for at være kritisk dæmpede, vil være overdæmpet ville man få en mere behagelig oplevelse ved at kører over et bump. Problemet her ligger i at hvis man straks efter er kører over et nyt bump, og den gamle svingning endnu Figur 5: Overdæmpet svingning sat i forhold til en underdæmpet svingning samt en kritisk dæmpning HTX Haderslev Side 10

11 ikke er færdig, kan støddæmperen ikke kunne tage imod bumpet, og det vil i stedet give et stort ryk i hele bilen. Ved en overdæmpet svingning gælder følgende Altså er det b værdien der er afgørende for svingningstypen sat i forhold til massen og fjederkonstanten, videre arbejder jeg kun med underdæmpede svingninger. 4 Energiforholdene i en dæmpet svingning Der er ingen tvivl om, at efter som svingningen aftager af tiden, må det betyde at energien også aftager med tiden, dette må betyde at det er muligt at opstille en funktion der viser den totale energi over tiden t. Givet er forskriften for den totale energi i et mekanisk system Normalt taler man om at dette udtryk er lig en konstant, med dette er altså ikke tilfældet her, da der er tale om et tab af total energi. Hvis man igen forholder sig til situationen med et objekt i en fjeder ser den kinetiske og den potentielle energi således ud Man kender normalt den potentielle energi som multiplikationen af massen, tyngdeaccelerationen og højden, men dette er altså ikke tilfældet når der er tale om en fjeder. Den totale energi er altså givet ved følgende 5 Dette beskriver altså energien i en dæmpet svingning, det der egentligt er interesseret i er at kigge på hvordan energiforandringerne i systemet ser ud, da det kan give en et indblik i hvorfor svingningerne ser ud som de gør. Det gælder at konstanten k og massen m forbliver det samme under hele forløbet, men at v og 4 University physics 5 Fysik 112 HTX Haderslev Side 11

12 x, er afhængige af tiden t. Her er det ikke x-koordinatet der er det interessante, som ved den harmoniske svingning, men hældningen på energikurven, så man kan se udviklingen, derfor differentieres denne. ( ) ( ) ( ) Det gælder at differentialet af stedfunktionen er hastigheden v, og at at differentialet af hastigheden er accelerationen a. Derfor kan udtrykket nu forkortes ( ) Udtrykket ved ser bekendt ud, og det skyldes er at formlen for en dæmpet svingning var givet Derfor kan man nu forkorte vores udtryk til det endelige resultat ( ) Dette udtryk viser os at energien en i svingning altid vil falde, og at dette afhænger af konstanten b samt hastigheden i anden, dette betyder også at selvom en evt. hastighed vil være negativ (altså være modsatrettet, da en hastighed i princippet ikke kan være negativ), vil energien da stadig falde ordens differentialligninger med konstante koefficienter Til beregningerne af en dæmpet svingning og til at opstille en formel for netop dette, er det nødvendigt at kunne løse en 2. ordens differentialligning med konstante koefficienter, derfor omhandler det næste stykke netop dette. En sådan ligning ser således ud Herefter gætter man sig frem til en løsning, og denne er ofte gange og indsættes i ligning som derefter ser således ud derfor differentieres denne to 6 University physics HTX Haderslev Side 12

13 Man bemærker straks at dette er en andengradsligning, og følgende gælder for en andengradsligning. En andengradsligning kan have en, to eller ingen løsninger. Disse er fordelt på følgende måde, helt som man allerede kender det ( Hvis det første er tilfældet, kan man blot indsætte de to løsningerne til andengradsligningen som λ 1 og λ 2, således løsningen er givet ved Hvis mulighed nr. 2 er tilfældet, indsættes løsningen til andengradsligningen som λ, og løsningen givet ved følgende Hvis den 3. mulighed er tilfældet, findes der ingen reel løsning til λ, men vha. komplekse tal, kan man alligevel få en løsning til differentialligningen, der er givet ved 7 ( ( ) ( )) Løsningen af de tre differentialligninger kommenteres ikke nærmere, da dette ligger et stykke fra det overordnede emne, og rapporten kun må have et begrænset omfang. Løsningen til differentialligningen for en dæmpet svingning Hermed er det muligt at arbejde videre med ligningen for en dæmpet svingning 7 Den lineære differentialligning af 2. orden HTX Haderslev Side 13

14 Nu har man som før en 2. ordens differentialligning med konstante koefficienter. Derfor kan man nu forsøge at omskrive løsningen der er givet fra før, til noget man kan bruge i forbindelse med dæmpede svingninger. For dæmpede svingninger gælder følgende, når man skal afgøre hvilken type løsning der skal bruges. For dæmpede svingninger gælder følgende Dette har vi brug før, dette er nemlig med til at afgøre hvilken type svingning man arbejder med, dette betyder altså når der er tale om en overdæmpning og D derfor er over 0, bliver løsningen (omskrevet en smule). Hvor C 1 og C 2 bl.a. afhænger af amplituden og vinkelhastigheden. Man kan bruge andre bogstaver i stedet for λ, bl.a. γ og a, dette afhænger af hvilke lærebøger man kigger i. Er der tale om en kritisk dæmpning, hvor D altid er 0, er ligningen givet ved følgende (igen omskrevet lidt) Hvor C 1 er amplituden og C 2 afhænger af amplituden og vinkelhastigheden. Det sidste tilfælde er, når man har en underdæmpet svingning og altså når D er under 0. Hvor C 1 er amplituden og C 2 afhænger af amplituden og vinkelhastigheden. Dette kan ved en længere omskrivning, som ikke bliver beskrevet her, skrives som følgende 8 ( ) Forsøg med dæmpede svingninger Formålet med at lave dette forsøg er at kunne sammenligne de teoretiske beregninger og udledninger jeg hat lavet gennem rapport. Forsøget skulle gerne vise en dæmpning af en fjeder i en detaljeret kurve som derefter kan lægges oven på den teoretiske. 8 Damping Wikipedia.org HTX Haderslev Side 14

15 Hypotese og fremgangsmåde Jeg forventer forsøget viser en stor lighed mellem den teoretiske kurve, og den praktisk målte, med kun små afvigelser. Jeg forventer desuden at kunne eftervise den udledte formel for en dæmpet svingning. Forsøges sættes op på følgende måde: En vandret stang placeres i passende højde over en afstandsmåler. På stangen fastgøres en fjeder så den hænger lodret over afstandsmåleren. I enden af fjederen hænges et lod med en passende vægt i forhold til fjederen. Loddet løftes derefter op til fjederen tyngdepunkt fra før loddet blev påsat. Herefter slippes loddet, samtidig startes afstandsmåleren, med en målehastighed høj nok til at give en pæn kurve. Figur 6: Forsøgsopstilling Til forsøget er der brugt måleudstyret spark 9 af firmaet Pasco. Forsøgene er målt med målinger pr sekund. Efter et forsøg gik det op for mig at dæmpningen var forholdsvis lille og monterede derefter et papstykke på undersiden for at opnå større vindmodstand, og dermed dæmpning. Resultater og databehandling Mit første resultat, hvor jeg lod loddet svinge frit i luften, har jeg valgt ikke at bruge til at regne videre med, da dæmpningen er meget lille og forsøget derfor stækker sig over en ekstra lang tidsperiode og derved er der mange flere data at håndtere. Den næste måling er rigtig fin, så den vælger jeg at arbejde videre med. Jeg vælger at vise mine data som en graf, og vedlægger heller ikke resultaterne som bilag, da der til den første dæmpede svingning er alene ca målinger. Efterfølgende har jeg skåret den første svingning væk, denne er upræcis da det er mig der holder emnet i luften hvor jeg vurderer fjederens massemidtpunkt uden monteret emne, grunden til jeg ikke kun skærer fx en halv svingning væk, er for at indgå faseforskydningen som ubekendt. 9 HTX Haderslev Side 15

16 Resultatet er som følger: Graf 1: Måleresultaterne fra første forsøg med monteret papstykke På grafen ses en tydelig dæmpning som stille og roligt aftager, man ser også at jeg vælger at stoppe grafen inden denne falder helt til ro, dette skyldes at loddet det sidste stykke tid stort set ikke dæmper sig. Teoretisk burde den stoppe før, årsagerne til dette kommentere jeg under fejlkilder. Desuden har jeg trukket afstanden til tyngdepunktet fra alle målinger så grafen ligger sig oven på x-aksen, samt multipliceret med 100 så mine resultater blev i cm. Jeg kan nu vælge flere måder at sammenligne mine målte værdier med teoretiske værdier, jeg kan vælge at udplukke nogle værdier og sammenligne med teoretiske værdier, men der mangler helheden. Kan også forsøge at lave regression på mine data, men det får jeg nok ikke noget godt ud af. I stedet vælger jeg at sammenligne visuelt. Altså skriver den teoretiske funktion ud fra mine data og derefter lægge denne oven på min måling, for at lave en sammenligning. Jeg har noteret følgende ting: HTX Haderslev Side 16

17 10 Funktionen er givet ved ( ) Da jeg allerede har udelukket faseforskydningen er den eneste konstant der mangler, dæmpningsgraden b. Min første tanke var at isolere b i funktionen og derefter løse b i forhold til et hvilket som helst punkt. Det viser sig dog at være en større opgave, og jeg er heller ikke glad for at b skal afhænge af et punkt, derfor tænker jeg over en anden løsning. Givet er at linjen der følger overkanten er dæmpningen er givet ved den første del af formlen, og at denne indeholder konstanten b. Derfor kan jeg udplukke alle toppunkterne af svingningerne som derved viser denne linje Graf 2: Linje langs toppunkterne på den første del af den dæmpede svingning 10 Fra databladet for fjederen HTX Haderslev Side 17

18 Man kan nu foretage det jeg kalder bestemt regression over denne linje. Det betyder at formlen for denne linje allerede er givet ved følgende, og det eneste computeren skal beregne er variablen b, og det kan den gøre ud fra alle de markerede toppunkter. Altså afhænger dæmpningskoefficienten ikke længere kun af et bestemt punkt. ( ) Graf 3: Tendenslinjen til toppunkterne Det ses tydeligt at grafen teoretisk burde dæmpe hurtigere og dette skyldes ikke at jeg ikke har markeret alle toppunkterne, da formlen er rimelig fast, en stor del af formlen er defineret. Forskriften for tendenslinjen er følgende: ( ) HTX Haderslev Side 18

19 Dette betyder at jeg nu har den sidste konstant b og derfor nu kan beskrive svingningen teoretisk. ( ) ( ( )) Graf 4: Den teoretiske og måle funktion oven samtidigt Igen ses det tydeligt at den teoretiske svingning dæmper meget hurtigere end den praktiske måling. Når man kigger nærmere ligner den sidste del af den målte dæmpede svingning næsten en harmonisk svingning, hvilket tyder på at forsøget bliver påvirket af noget andet. Jeg har efterfølgende forsøgt at lave en længere linje langs toppene af svingningerne, men da forskriften for funktionen hen over toppene ligger så fast som den gør, ændre det stort det ikke kurven hen over toppunkterne, men giver blot en dårligere R værdi. HTX Haderslev Side 19

20 En anden ting man ikke ser så tydeligt på det store billede, men man ser tydeligt hvis man kigger lidt nærmere, er at de teoretiske svingninger har en lidt hurtigere svingningstid, altså der er flere svingninger pr tidsenhed. Det vil jeg kigge lidt nærmere på. Det er givet at svingningstiden for en harmonisk svingning kan beskrives på følgende måde Graf 5: Nærbillede af de to kurver Jeg er godt klar over at svingningstiden for en dæmpet svingning ikke er givet ved samme funktion, men da dæmpning ikke er særlig stor, og jeg ikke vælger en tid t som ligger alt for langt fra 0, mener jeg at jeg godt kan tillade mig at bruge denne formel, i hver faldt til at se om dette giver en bedre fjederkonstant. Af formlen kan man konkludere at det er massen eller fjederkonstanten som ikke passer helt. Derfor har jeg eftermålt massen af loddet, som stadig giver det samme, derfor må forskellen i tiden skyldes fjederkonstanten k. Derfor har jeg valgt at tælle 40 svingninger på grafen, derefter dividere med x- koordinatet, for at få svingningstiden. Vægten jeg har målt massen af loddet på, kan ikke måle med mindre præcision en ét gram, derfor kan der selvfølgelig være en lille forskel der. Hvorfor fjederkonstanten ikke er de 20 N/m som opgivet, kommentere jeg under afsnittet fejlkilder. Når jeg nu indsætter den nye fjederkonstant i forskriften for den teoretiske funktion får jeg nu et helt andet resultat. Jeg nu gå igennem det samme, med mine andre målinger, henvises til Bilag 2. Graf 6: Nærbilleder af de to kurver efter den nye fjederkonstant er indsat i den teoretiske funktion HTX Haderslev Side 20

21 Fejlkilder og diskussion Ved et samlet overblik over vores tre resultater, ser det egentligt meget hæderligt ud. Jeg ser hvordan den udregnede fjederkonstant k, passer på alle tre målinger, og hvordan jeg alle tre gange får to kurver der i x-retningen (tiden t) ligger fuldstændigt ens. På alle tre funktioner er det at bemærke at de teoretiske svingninger hurtigere lægger sig til ro. Hvad dette skyldes kan der være flere forklaringer på. Da jeg har monteret et stykke pap under loddet, gør dette vi får en større dæmpning, men det er samtidigt med til at gøre loddet meget over overfølsomt over for evt. vindpust der måtte være at finde. En anden årsag kunne være små bevægelser i bordet, der er med til hele tiden at give svingningen små ekstra skub, og derved holde denne i gang. En sidste mulighed er at konstruktionen ikke er helt stabilt og derfor står og rokker lidt med, hvilket faktisk også kan være med til at holde svingningen længere i gang. Det ender faktisk med at jeg efter et minut får en meget stor procentvis afvigelse.(eksempel taget fra måling 1) Jeg måler altså en amplitude ved 60 sekunder som er 650 % højere end den teoretiske. Dette lyder meget voldsomt, men beregningen er trodsalt også ude ved 60 sekunder. En anden fejlkilde jeg måtte rette ind efter undervejs er fjederkonstanten k, denne betød at vi fik en ændring i svingningstiden som gjorde at graferne ikke lå oven på hinanden, og den teoretisk svingede meget hurtigere end den målte, derfor beregnede jeg svingningstiden ved at tælle 40 svingninger frem, og herefter dividere med tiden t. Herefter bruger jeg formlen for en harmonisk svingning, selvom jeg godt er klar over at det ikke er denne der gælder for en dæmpet svingning. Jeg mener jeg kan tillade mig det, da resultatet af dette, er med til at udrette en fejlkilde der er ret så stor. Derfor mener jeg godt jeg kan tillade mig dette, også selvom dette egentligt giver mig en ny fejlkilde, og derfor stadig ikke bliver perfekt. Grunden til at fjederkonstanten k ikke er helt som opgivet i databladet kan som jeg ser det skyldes to ting, For det første kan forskellen skyldes at jeg har brugt fjederen en lille smule i forvejen, og fjederen ikke har så stor en holdbarhed, dette syntes jeg dog virker en smule usandsynligt da den i de næste to forsøg ikke ændre sig. Den anden mulighed kan være at man fra fabrikkens side ikke er nøjagtige nok. Dette finder jeg mere sandsynligt, bl.a. fordi de i databladet opgiver fjederkonstanten som hvilket kan tyde på de normalt arbejder med større fjederkonstanter. Der er måske også en forholdsvis stor tolerance på fjederkonstanten, set i forhold til mit forsøg hvor det er meget nøjagtigt. Man ser altså en forskel i fjederkonstansen jeg beregnede og den der står i databladet på Hvis jeg overfører det til svingningstiden giver det HTX Haderslev Side 21

22 Efter 100 svingninger giver det en forskel på 3,9 sekunder, og så begynder det altså at betyde noget. På trods af ovennævnte fejlkilder mener jeg at jeg med dette forsøg har eftervist mine teoretiske udregninger til formlen for svingningstiden og denne formel generelt. Konklusion Jeg har med denne rapport forsøgt at kaste lys over dæmpede svinger, og til sidst eftervise dette med et forsøg. Jeg beskæftigede mig først med svingninger generelt for at underbygge teorien til differentialligninger og dæmpede svingninger. Jeg har forklaret hvordan man opstiller en anden ordens differentialligning, herunder anden ordens differentialligninger med konstante koefficienter, som efterfølgende førte til ligningen for en dæmpet svingning. Jeg har forsøgt at fokusere generelt på dæmpede svingninger således at jeg ikke kun har arbejdet med en underdæmpet svingning, men også kritisk dæmpede svingninger og overdæmpet svingninger, ved både at forklare definitioner til disse og udledt formler. Jeg har undervejs gjort rede for energiforholdene og beskrevet hvorfor den samlede energi altid vil være aftagende i en dæmpet svingning. Herefter har jeg opstillet et forsøg som viser en dæmpet svingning, til denne har jeg udregnet dæmpningskoefficienten b som har gjort det muligt at tegne en teoretisk kurve, der beskriver netop denne svingning. Herefter har jeg vurderet disse data, ved grafisk at sammenholde måleresultaterne med den teoretiske kurve. Jeg har vurderet mine fejlkilder og derefter konkluderet at jeg med forsøget har eftervist formlen for en dæmpet svingning, samt min egen udredning af netop denne. I denne rapport har jeg benyttet mig af forskellige metoder i matematik og fysik. Jeg har i begge fag anvendt teoretisk og praktisk metode i forbindelse med teorien og opstilling af formler det går det muligt at lede op til mit forsøg. Desuden har jeg anvendt den hypotetisk deduktive metode, idet jeg har opsatte en hypotese som dannede grundlag for mit forsøg. HTX Haderslev Side 22

23 Litteraturliste Jeg har i denne rapport forsøgt at se kritisk på mine kilder, og valg disse med omhu, hvilket bygger på disse kilder. Kilder fra Wikipedia, er kun brugt da der er flere gode kildehenvisninger fra hver artikel. Primære kilder Bøger: Morten Brydensholt m.fl. ORBIT 3, Systime Lars Petersen Fysik 112, Nyt Teknisk Forlag Hugh D. Young og Roger A. Freedman University physics, Addison Wesley Longland, inc. Gorm Claussen - Den lineære differentialligning af 2. orden, Forelæsningsnotat Hjemmesider: Wikipedia Damping, (Seneste besøgt 09/ ) Wikipedia - Simple harmonic motion, (Seneste besøgt 09/ ) Sekundære kilder Bøger: Preben Madsen Teknisk Matematik 2, Erhvervsskolernes Forlag Torben Mikkelsen m.fl. Matematik 4, Erhvervsskolernes Forlag Hjemmesider: Michael Flower Oscillations, (Seneste besøgt 09/ ) Liste over figurer og ophav Figur 1: Plot i programmet Graph Figur 2: Fysik 112 Formel nr. 125 Figur 3: Plot i programmet Graph Figur 4: Plot i programmet Graph Figur 5: Plot i programmet Graph Figur 6: Billede af forsøgsopstilling HTX Haderslev Side 23

24 Bilag 1 HTX Haderslev Side 24

25 HTX Haderslev Side 25

26 HTX Haderslev Side 26

27 Bilag 2 Anden måling Følgende er givet Jeg vælger at beholde den udregnede fjederkonstant k, da jeg forventer denne til stadig at være det samme som ved forsøg 1, hvis andet viser sig at være tilfældet vil jeg derefter beregne en ny. Målingerne samt den indsatte linje for toppunkterne ser således ud Graf 7: Målinger med afmærkede linje for toppunkter Herefter laves bestemt regression på linjen så konstanten b findes. HTX Haderslev Side 27

28 Graf 8: Måling 2 med tendenslinjen til toppunkterne Herefter indsættes den teoretiske svingning. Graf 9: Måling 2 med teoretisk svingning lagt oven på. HTX Haderslev Side 28

29 Det ses igen tydeligt at dæmpningen i sidste ende, teoretisk falder hurtigere til ro. Men med den nye fjederkonstant k, passer tidsperioderne stadig. Det er interessant at den stort set samme svingning, har en anden dæmpningskoefficient, dette mener jeg dog ikke er et tegn på usikkerhed men nærmere at dæmpningskoefficient er meget overfølsom over for omgivelserne. Dette vil kommentere nærmere senere. Tredje måling For tredje måling gælder følgende: Graf 10: Målinger med afmærkede linje for toppunkter Herefter laves bestemt regression på linjen så konstanten b findes. HTX Haderslev Side 29

30 Graf 11: Måling 3 med tendenslinjen til toppunkterne Herefter indsættes den teoretiske svingning. Graf 12: Måling 3 med teoretisk svingning lagt oven på. Igen passe kurven godt på den teoretiske i staren (ses tydeligere på Graf 11) men er ikke ens til slut, igen er b forskellig. HTX Haderslev Side 30