Plasticitetsteori for jord som Coulomb materiale

Transkript

1 Downloaded fo obit.dtu.dk on: Nov 3, 05 Plasticitetsteoi fo jod so Coulob ateiale Jantzen, Thoas; Nielsen, Mogens Pete Publication date: 007 Docuent Vesion Publishe final vesion (usually the publishe pdf) Link to publication Citation (APA): Jantzen, T., & Nielsen, M. P. (007). Plasticitetsteoi fo jod so Coulob ateiale. Geneal ights Copyight and oal ights fo the publications ade accessible in the public potal ae etained by the authos and/o othe copyight ownes and it is a condition of accessing publications that uses ecognise and abide by the legal equieents associated with these ights. Uses ay download and pint one copy of any publication fo the public potal fo the pupose of pivate study o eseach. You ay not futhe distibute the ateial o use it fo any pofit-aking activity o coecial gain You ay feely distibute the URL identifying the publication in the public potal? If you believe that this docuent beaches copyight please contact us poviding details, and we will eove access to the wok iediately and investigate you clai.

2 BYG DTU, Danaks Tekniske Univesitet Depatent of Civil Engineeing, Technical Univesity of Denak Thoas Jantzen Plasticitetsteoi fo jod so Coulob ateiale Ph.D. Afhandling PHD THESIS Mats 007

3 BYGDTU, Danaks Tekniske Univesitet Depatent of Civil Engineeing, Technical Univesity of Denak Plasticitetsteoi fo jod so Coulob ateiale Ph.D. Afhandling Thoas Jantzen Mats 007 Repot no. R-74 ISSN ISBN

4

5 Plasticitetsteoi fo jod so Coulob ateiale Ph.D. afhandling Thoas Jantzen BYGDTU - Depatent of Civil Engineeing Technical Univesity of Denak Mats, 007 BYGDTU i

6 Plasticitetsteoi fo jod so Coulob ateiale Copyight, Thoas Jantzen, 007 Depatent of Civil Engineeing Building 8 Technical Univesity of Denak 800 Lyngby Denak ISSN ISBN ii BYGDTU

7 Food Denne appot e udabejdet på BYGDTU so et led i de betingelse, de skal opfyldes fo at opnå Ph.D.-gaden. Rappoten ohandle plasticitetsteoi fo Coulob ateiale. Næee betegnet jodtyk på vægge og støtteue i budtilstand. Pojektet e finansieet af Danaks Tekniske Univesitet og udføt unde vejledning af Pofesso, d. techn. Mogens Pete Nielsen. Desuden ha de til pojektet væet tilknyttet lic. techn. Bent Feddesen, Rabøll og civilingeniø Jens Kae Motensen, Rabøll so edvejledee. Jeg vil gene takke disse pesone fo dees hjælp til pojektet. Jeg vil også gene takke ine edstudeende igenne studiet, Linh Cao Hoang, Las Gean Hagsten, Moten Bo Chistiansen og Jakob Laugesen. Lyngby, Mats 007 Thoas Jantzen BYGDTU iii

8 iv BYGDTU

9 Sybolliste a : Adhæsion A c, A p, A Q, : Abejde b : Tykkelse c : Kohæsion p : Ovefladelast p : Hovedspænding ved oveflade q, q c, q p : Jodtyk, hhv. totalt, kohæsionsbidag, ovefladelastbidag q : Hovedspænding ved væg Q : Jodtykseaktion 0 : Støtteushøjde R : Radius fo Moh s cikel u, u 0, u x, u y, u, u : Flytninge V : Voluen W : Dissipation W v : Dissipation p. voluenenhed W l : Dissipation p. længdeenhed x, y, n, t : Rektangulæe koodinate, : Vinkle, c, p : Moentae : Flytningsvekto, : Vægfiktionsvinkel : Vinkel fo ovefladelast,, : Vinkle, x, y,,, : Noaltøjninge, : Middeltøjning xy, yx,, : Tvætøjninge, xy : Vinkelændinge : Fiktionsvinkel : Fiktionskoefficient, : Polæe koodinate, x, y,,, n, t : Noalspændinge, : Hovedspændinge : Middelspænding, xy, yx,,, nt : Foskydningsspændinge q : Foskydningsspænding på væg : Rotation BYGDTU v

10 vi BYGDTU

11 Resue I denne afhandling udvikles teoie fo jodtyk på støtteuskonstuktione. Teoiene e baseet på plasticitetsteoiens øve- og nedevædiløsninge. So flydebetingelse fo jod benyttes Coulobs flydebetingelse. Én løsning e baseet på en elle flee diskontinuitetslinie i jodens spændingsfelt. Teoien give et bud på beegning af jodtykket på en støtteuskonstuktion ed vilkålig hældning og ed vilkålig adhæsion og fiktion elle u og jod. I tilfældet uden bidag fa jodens egenvægt kan ovefladen og ovefladelasten endvidee have en vilkålig hældning. En anden teoi e baseet på at joden ikke e udnyttet fuldt ud til flydning. Denne løsning kan defo ikke væe en eksakt løsning. Løsningen e dog stadig en nedevædiløsning, og e defo tilladelig. Løsningen e udviklet til at beegne jodtyksbidaget på uen fa jodens egenvægt. Løsningene e saenlignet ed en kendt teoi, de benytte zonebud. Teoien e udviklet af Binch Hansen, og e den est benyttede jodtyksteoi i Danak. En saenligning af teoiene vise, at de e god oveenssteelse fo de noalt foekoende væggeoetie. BYGDTU vii

12 viii BYGDTU

13 Suay In this thesis, soe theoies fo eath pessue calculations on etaining walls ae developed. The theoies ae based on the ultiate load caying capacity, using the uppe and lowe bound solutions of the plastic theoy. Fo the yield condition the theoy suggested by Coulob is used. One solution is developed using a line of discontinuity of the stess field in the soil. The theoy gives a poposal of how to calculate the eath pessue on etaining walls with any angle fo the wall, and any adhesion and fiction between the wall and the soil. Finally, fo the eath pessue without gavity, any angle of the suface and any angle fo the suface load ae consideed. A second solution is based on a stess field which does not lead to fully yielding, The solution can consequently not be the ultiate load. The stess field is though still a lowe bound solution and theefoe adissible. The solution is developed to calculate the eath pessue poduced by gavity of the soil. The solutions ae copaed with a known theoy using zone uptue solutions. The solution is developed by Binch Hansen, and is the ost coonly used theoy in Denak. By copaing the theoies, faily good ageeent within the liits of the coonly used geoety of the walls is found. BYGDTU ix

14 x BYGDTU

15 Indholdsfotegnelse INDLEDNING.... Foål ed afhandlingen... PLASTICITETSTEORI Plasticitetsteoiens gundbegebe...3. Definitione i geoteknikken Nedevædiløsninge Ligevægtsbetingelse Tansfoationsfole Flydebetingelsen Rankine zonen Pandtl zonen Øvevædiløsninge Geoetiske betingelse Flydelov (noalitetsbetingelse) Flydelinie i Coulob ateiale BEMÆRKNINGER OM DEN VIRKELIGE BRUDBETINGELSE EKSAKTE LØSNINGER UDEN HENSYNTAGEN TIL EGENVÆGT Støtteue i kohæsionsjod Glat væg Ru væg Ru væg, topplade Støtteue i fiktions- og kohæsionsjod Glat væg Ru væg Ru væg, topplade DISKONTINUITETSLINIEN... 5 BYGDTU xi

16 6 GLAT STØTTEMUR MED VANDRET JORDOVERFLADE Fiktionsjod Kohæsionsjod Fiktions- og kohæsionsjod RU STØTTEMUR MED VANDRET JORDOVERFLADE Fiktionsjod Jodtyk ved u væg, = Kohæsionsjod Jodtyk ved u væg, a=c Fiktions- og kohæsionsjod Jodtyk fo u væg, = og a=c VILKÅRLIG RU STØTTEMUR MED HÆLDENDE JORDOVERFLADE Fiktionsjod Jodtyk fo u væg, = Kohæsionsjod Jodtyk fo u væg, a=c Fiktions- og kohæsionsjod Jodtyk fo u væg, = og a=c ANVENDELSE AF FLERE DISKONTINUITETSLINIER Fiktionsjod Kohæsionsjod Fiktions- og kohæsionsjod JORDTRYKSLØSNINGER UNDER HENSYN TIL EGENVÆGT Nedevædiløsninge Supeposition af jodtyksløsninge...07 xii BYGDTU

17 0.. Ligevægtsbetingelse Flydebetingelsen Rankine zonen Statisk tilladelig hældning fo jodoveflade Pandtl zonen Øvevædiløsninge...8 EKSAKTE LØSNINGER UNDER HENSYN TIL EGENVÆGT Støtteue i kohæsionsjod Glat væg Ru væg Ru væg, topplade...6. Støtteue i fiktions- og kohæsionsjod Glat væg Ru væg Ru væg, topplade...3 ØVREVÆRDILØSNINGER UNDER HENSYNTAGEN TIL EGENVÆGT Ru væg Ru væg, topplade DISKONTINUITETSLINIELØSNINGER SUMMATION AF DISKONTINUITETSLINIELØSNINGER GLAT STØTTEMUR MED VANDRET JORDOVERFLADE Fiktionsjod Anvendelse af flee diskontinuitetslinie Kohæsionsjod Anvendelse af flee diskontinuitetslinie Fiktions- og kohæsionsjod Anvendelse af flee diskontinuitetslinie...56 BYGDTU xiii

18 6 RU STØTTEMUR MED VANDRET JORDOVERFLADE Fiktionsjod Jodtyk ved u væg, = Anvendelse af flee diskontinuitetslinie Kohæsionsjod Jodtyk ved u væg, a=c Anvendelse af flee diskontinuitetslinie Fiktions- og kohæsionsjod Jodtyk fo u væg, = og a=c Anvendelse af flee diskontinuitetslinie SAMMENLIGNING MELLEM LØSNINGER FOR EKSISTERENDE TEORI OG DISKONTINUITETSLINIETEORIEN NEDREVÆRDILØSNINGER SOM IKKE OPFYLDER FLYDEBETINGELSEN OVERALT Vandet jodoveflade, u væg i fiktionsjod Vandet jodoveflade, glat væg i fiktionsjod KONKLUSION LITTERATURLISTE xiv BYGDTU

19 Indledning. Foål ed afhandlingen Foålet ed den følgende afhandling e at beskive nogle af de kendte løsninge fo jodtyk på vægge o.lign. sat angive nogle nye løsninge. I geoteknikken findes et eget stot antal teoie fo jodtyk. Den føste blev alleede udviklet af Coulob i slutningen af 700-tallet. Løsningene e fo de flestes vedkoende pæget af specielle foudsætninge uden saenhæng ed en geneel teoibygning. De løsninge, de angives i denne afhandling, udvikles udfa den geneelle teoibygning, de kaldes plasticitetsteoien. Hovedvægten lægges på at udvikle nye nedevædiløsninge, se afsnit.3. Den histoiske udvikling af plasticitetsteoiens anvendelse indenfo geoteknikken fegå af W.-F. Chens bog [75,]. Siden ha foskningen i høj gad væet ettet od udvikling af edb-etode. De findes f.eks. aktiv foskning i Austalien oking M.F. Randolph og i Fankig oking J. Salencon. Fo en intoduktion hetil, se [90,] og [03,]. De løsninge so benyttes i dag e baseet på Binch Hansens teoi, se [53,]. Teoien, ed tilhøende gyldighedsinteval, e blevet videe behandlet af Bent Hansen og J.S. Steenfelt. Resultatet heaf kan bl.a. findes i [80,]. Disse løsninge give poblee ed gyldighedsintevallet. Specielt fo en glat støtteu få an at vinklen elle jodovefladen og støtteuen skal væe støe end 90. I denne afhandling udvikles jodtyksteoien ved anvendelse af diskontinuitetslinie. Disse løsninge ha et eget støe gyldighedsinteval - til saenligning kan nævnes, at fønævnte tilfælde ed glat støtteu og vandet jodoveflade ikke give begænsninge ved. gyldigheden. BYGDTU

20 BYGDTU

21 Plasticitetsteoi I bæende konstuktione spille egenvægten fo det enkelte konstuktionseleent ofte en undeodnet olle og egenvægten kan odellees på sipel åde, f.eks. so en kontinuet last i en bjælkes systelinie. Fo jod spille egenvægten en doineende olle. Man skulle defo to, at løsninge fo hvilke egenvægten negligees, kun ha lille inteesse. Dette e iidletid foket, og det skyldes, at de kan udvikles en supepositionslov, hvo løsninge fo vægtløs jod supeponees ed løsninge, hvo jodens egenvægt e edtaget. Supepositionsloven udvikles i kapitel Plasticitetsteoiens gundbegebe Ved plasticitetsteoien fostås he teoien fo pefekt-plastiske ateiale. Et pefektplastisk ateiale e defineet ved sin flydebetingelse, de angive de spændingskobinatione, de kan føe til, at tøjningene kan vokse uden gænse, uden at spændingene ændes. Det vedtages, at den funktion, de beskive flydebetingelsen, antage negative vædie fo spændinge, de ikke kan give flydning, vædien nul fo spændinge de kan give flydning og vædie støe end nul fo spændinge uden fo flydefladen. Mateialet e desuden defineet ved sin flydelov, de angive foholdet elle de plastiske defoatione unde flydning. Nå spændingene svae til punkte inden fo flydefladen, optæde kun elastiske defoatione og specielt fo det stift-plastiske ateiale optæde slet ingen defoatione. I det følgende foudsættes, at flydeloven e givet ved noalitetsbetingelsen (den associeede flydelov). Afbildes flydefladen so funktion af spændingstilstanden, f.eks. kaakteiseet ved spændingskoponentene i et ektangulæt koodinatsyste, so en flade i spændingsuet (evt. en hypeflade) og afbildes de tilhøende plastiske tøjningstilvækste i sae u, udtykke noalitetsbetingelsen, at tøjningsvektoen e en udadettet noal til flydefladen. Plasticitetsteoetisk bæeevnebesteelse ske oftest ved anvendelse af de såkaldte ekstealpincippe. De foulees lettest ved anvendelse af følgende begebe: Ved en statisk tilladelig spændingstilstand fostås en spændingstilstand, de opfylde de inde ligevægtsbetingelse og de statiske andbetingelse. Ved en sikke spændingstilstand fostås en spændingstilstand, de svae til spændinge inden fo elle evt. på flydefladen. Ved en geoetisk ulig budfigu fostås en flytningstilstand, de opfylde de geoetiske andbetingelse og so svae til tøjninge, de e geoetisk ulige iht. noalitetsbetingelsen. BYGDTU 3

22 Ved dissipationen svaende til en geoetisk ulig budfigu fostås det inde abejde spændingene udføe iht. noalitetsbetingelsen. Nedevædisætningen udsige, at en last, de svae til en statisk tilladelig sikke spændingstilstand, e inde end elle lig ed bæeevnen. Sætningen kan indlysende nok benyttes til beegning af nedevædie fo bæeevnen. Øvevædisætningen udsige, at en last, de fo en geoetisk ulig budfigu give støe abejde end dissipationen, ikke kan bæes af konstuktionen. Hvis abejdet ydet af den yde last sættes lig ed dissipationen fås abejdsligningen. Fo popotionalbelastning, dvs. alle lastkoponente e popotionale, kan abejdsligningen benyttes til beegning af øvevædie fo bæeevnen. Saenfaldende nede- og øvevædie give en eksakt løsning.. Intoduktion til og definitione i geoteknikken De sættes ofte spøgsålstegn ved gyldigheden af noalitetsbetingelsen fo jod. Dette e foodentlig beettiget. Fo det ateiale vi senee vil definee so et ent fiktionsateiale finde an, at hvis noalitetsbetingelsen gælde e det salede inde abejde ved bud lig ed nul, dvs. de udvikles ingen inde enegi i ateialet; de e ingen inde dissipation. Dette e i odstid ed, at konene i jod å foodes at glide på hinanden unde udvikling af fiktionsvae. Man finde ligeledes fo et fiktionsateiale, at det altid få en voluenudvidelse ved bud hvis noalitetsbetingelsen gælde. Ved ålinge finde an ikke altid en sådan voluenudvidelse. Dette kan skyldes, at de indtæffe lokaliseing, dvs. at buddet ske i sale zone, flydezone, således at voluenudvidelsen e koncenteet i disse zone og defo ikke optæde i pøven so helhed. Konstitutive ligninge, de ikke foudsætte gyldigheden af noalitetsbetingelsen, e unde udvikling. De e i eglen kopliceede og beegninge kan, selv i siple tilfælde, kun udføes vha. edb. En af disse teoie, den såkaldte kitiske tilstands teoi (engelsk: citical state theoy), gå ud fa den antagelse, at en given konængde ved endeligt bud altid ende i en og sae tilstand, den kitiske tilstand, f.eks. kaakteiseet ved poevoluenet, de e en entydig funktion af iddelspændingen. En belastning kan f.eks. kaakteisees ved spændingskoponentenes afvigelse fa iddelspændingen (deviationsspændingene). De å skelnes elle budfosøg hvo poevandet uhindet kan folade pøven, et såkaldt dænet bud og fosøg, hvo poevandet holdes konstant, et såkaldt udænet bud. Spændingene ved et dænet bud åles ved de kæfte, de vike ellekonene, de såkaldte effektive spændinge. Fo et udænet bud åles spændingene ved de totale spændinge, dvs. suen af konspændinge og poevandstykket. Hvis poevoluenet i udgangssituationen e inde end svaende til den kitiske tilstand vil belastningen opnå en aksiusvædi, hvoefte den falde og ende ed at væe otent konstant unde voksende defoatione. Denne konstante last svae til den kitiske tilstand. Botset fa i staten af fosøget vil voluenet vokse indtil 4 BYGDTU

23 kitisk tilstand nås, hvoefte det vil væe otent konstant. De ske oftest lokaliseing. Hvis poevoluenet e støe end svaende til den kitiske tilstand, vil belastningen stige jævnt og voluenet vil i begyndelsen aftage, en pøven vil ende i den sae kitiske tilstand so ved fosøget hvo poevoluenet e inde end svaende til den kitiske tilstand. De ske sjældent lokaliseing. Last-defoationskuven vil altså i begge tilfælde ende ed en vandet gen svaende til næest pefekt plastisk opføsel. Maksial last indtæffe ved tøjninge af støelsesodenen %, ens den kitsike tilstand føst nås ved tøjninge af støelsen 0%. Budbetingelsen ved dænet bud svae til et ent fiktionsateiale. Noalitetsbetingelsen e ikke opfyldt, da defoationene i den kitiske tilstand ske unde voluenkonstans. Fo et udænet fosøg svae den kitiske tilstand til udgangstilstanden. Ved bud kan den totale iddelspænding vaiee ved at poevandstykket vaiee, ens konspændingene ikke vaiee. Budbetingelsen svae defo til, hvad vi senee vil definee so et ent kohæsionsateiale, de ved bud defoees unde voluenkonstans. Noalitetsbetingelsen vil defo væe opfyldt. Ved hjælp af den kitiske tilstands teoi kan an defo udføe fuldstændigt koekte beegninge både hvad angå defoatione ved bud og hvad angå spændingstilstanden ved bud vha. teoie fo pefekt plastiske ateiale, nå de deje sig o udænet bud. Fo dænet bud blive beegningene ikke koekte, dog gælde det, at en øvevædiløsning stadig e en gyldig øvevædi. Nedevædie behøve deiod ikke at væe koekte. En intoduktion til den kitiske tilstands teoi kan ses i [78.3], [9.] og [93.]. Pga. de stoe beegningsvanskelighede de fekoe, nå noalitetsbetingelsen ikke gælde, e det endnu ikke alindeligt at tage hensyn til ovenstående fohold i paksis. De e da også genne åtie opnået et stot efaingsateiale ht. anvendelse af teoie fo det pefekt-plastiske ateiale, ifølge hvilke an kan konkludee, at pobleene ed noalitetsbetingelsens anglende gyldighed ikke spille nogen støe paktisk olle ved beegning af bæevnen. Ved benyttelse af plasticitetsteoi på jodpoblee anvendes so egel Coulob s budbetingelse so flydebetingelsen fo jod. Coulob s budbetingelse sige at foskydningsbæeevnen, i et snit hvo flydning e opnået, vaiee lineæt ed noalspændingen so snittet e belastet ed. Dette udtykkes vha. to konstante, fiktionsvinklen og kohæsionen c. Se næee heo i afsnit.3.3. Geneelt å det antages at jod, pga. lagdelinge, vaieende konstøelse og pakning v. e et anisotopt og inhoogent ateiale. Udvikling af analytiske løsninge, so edtage disse fohold, vil hutigt vise sig at væe sædeles kopliceet selv ved de sipleste ekseple på jodtykspoblee. I paksis siplificees pobleet ved at antage at joden e isotop og hoogen, idet de BYGDTU 5

24 foudsættes anvendelse af konsevative stykepaaete. I denne afhandling behandles således også kun løsninge fo isotope og hoogene ateiale uden lagdeling. Ved beegning af en støtteu siplificees pobleet endvidee ved at antage plan defoationstilstand, dvs at væggen i teoien e uendelig lang, således at tøjningene på tvæs vil væe nul. I Danak ha an tadition fo at koigee fiktionsvinklen fo plane tilfælde, dvs. at de inføes begebene den plane fiktionsvinkel pl og den tiaksiale fiktionsvinkel t. Den tiaksiale fiktionsvinkel e so egel den so findes ved laboatoiefosøg. I Danak egnes den plane fiktionsvinkel 0% støe end den tiaksiale fiktionsvinkel. Da en støtteu kan udføes ed foskellige oveflade, e det nødvendigt at tage hensyn til ovefladens uhed. Denne vil væe defineet ved en vægfiktionsvinkel, so svae til jodens fiktionsvinkel. Vægovefladens foskydningsbæevne i det tilfælde hvo noalspændingen på uen e nul betegnes adhæsionen a. I denne afhandling foudsættes endvidee at foholdet elle tangens til jodens fiktionsvinkel og tangens til vægfiktionsvinklen og foholdet elle jodens kohæsion og adhæsion e ens. Jodtykket på en støtteu afhænge af o jodtykket edvike til elle odvike et bud. I føste tilfælde, hvo joden edvike til bud, vil joden pesse støtteuen til bud og de vil dannes det såkaldte aktive jodtyk. I sidste tilfælde hvo joden odvike et bud, vil støtteuen blive pesset ind i joden, og de vil blive dannet det såkaldte passive jodtyk. Nedenstående figu vise et typisk foløb fo jodtykket so funktion af den elative bevægelse af væggen i fohold til joden. Det ses at de e betydelig foskel på det aktive jodtyk, betegnet E a og det passive jodtyk, E p. Gunden til den stoe foskel elle tykkene ligge i jodens foskydningsbæeevne. Denne vil altid odvike bevægelsen i joden. Dvs. at ved aktivt jodtyk odvike joden den bevægelse ind od uen so buddet febinge, heved fås den indst ulige last på uen, det aktive jodtyk. Ovendt såfet uen pesses ind i joden, vil jodens fodkydningsbæeevne odvike denne bevægelse og esultee i et askialt tyk på uen, det passive jodtyk. 6 BYGDTU

25 Figu.: Eksepel på jodtyk so funktion af den elative bevægelse af støtteu. e og e effektive spændinge, hhv. jodtyk og lodet spænding. K 0, K a og K p e de såkaldte jodtykskoefficiente fo hhv. hviletyk, aktivt tyk og passivt tyk. Figuen e taget fa Bent Hansen, Geoteknik og fundeing, del, [78.], figu 3A. Aktive og passive jodtyk kæve elative bevægelse af uen i fohold til joden. En bevægelse af denne støelse vil an so egel kun tillade i en budtilstand. Ved analyse af anvendelsestilstanden benytte an det såkaldte hviletyk, so e defineet so jodtykket i tilfældet hvo de ikke e nogen elativ bevægelse elle u og jod. Anvendelsestilstand og hviletyk på ue e ikke behandlet i denne afhandling. Analysen e dog sædeles elevant fo konstuktione, so kun tillade så defoatione, f. eks uaeede kældevægge. Da foskellen elle det aktive og passive jodtyk ligge i fotegnet fo foskydningsspændingene, vise det sig i de analytiske løsninge, at foskellen elle de to løsninge kan udtykkes ved fotegnet fo fiktionsvinklen og kohæsionen, de so nævnt beskive foskydningsbæeevnen i joden. Nå nedevædisætningen benyttes ved besteelse af aktivt jodtyk skal an søge indste vædi af jodtykket fo at få en så god løsning so uligt. Ovendt ved besteelse af passivt jodtyk. Nå øvevædisætningen anvendes til besteelse af aktivt jodtyk skal an søge støste vædi fo at få en så god løsning so uligt. Ovendt ved besteelse af passivt jodtyk. Nedevædisætningen give uiddelbat ulighed fo besteelse af jodtyksfodelinge. Ved øvevædiløsninge kan jodtyksfodelingen kun bestees i specielle tilfælde. Plasticitetsteoien foudsætte ubegænset flydeevne, en foudsætning de e udæket opfyldt fo ange jodate. BYGDTU 7

26 Bæeevnen bestet vha. plasticitetsteoien svae til den støste last, de kan findes fo en given flydebetingelse. Såfet noalitetsbetingelsen ikke gælde, fås altså en bæeevne, de e inde end evt. lig ed plasticitetsteoiens bæeevne. En gundig gennegang af plasticitetsteoien defineet so ovenfo e beskevet i Mekanik., del [00.]..3 Nedevædiløsninge So nævnt i afsnit. kæve nedevædiløsninge at ligevægtsbetingelsene tilfedsstilles. I det følgende angives disse fo to siple koodinatsystee, ektangulæe koodinate og polæe koodinate..3. Ligevægtsbetingelse De inde ligevægtsbetingelse findes ved at udtykke ligevægten af et infinitesialt eleent. Ligninge opskives he fo vægtløs jod, se [9,]..3.. Rektangulæe koodinate Det infinitesiale eleent e he begænset af et ektangel, so e oienteet efte de to koodinatakse. Støelsen af ektanglet e givet ved sidelængdene dy og dx, so angivet i figu.. Spændingskoponentenes positive etninge svae til koodinataksene i snit ed koodinataksene so udadgående noale. Betegnelsene, so fegå af figuen, e hhv. x, y, xy og yx. Fotegnsegningen indebæe, at tæknoalspændinge egnes positive. Den ænding, f.eks. af x, de x optæde ove afstanden dx, kan skives so dx plus højee odens led. Den x x esulteende spænding blive heved x dx. Tilsvaende betagtninge kan x gøes fo y, xy og yx. 8 BYGDTU

27 dy y x xy x y y dy y dx y yx yx yx dy y x x dx x xy xy dx x Figu.: Ligevægtsbetingelse i ektangulæe koodinate Rotationsligevægt o eleentets idtpunkt: xy yx 0 xydy dx yxdx dy xy dx dy dx yx dy dx dy x y (.) yx xy Da således udtykkes ligevægtsligningene noalt kun ved en af yx støelsene, f.eks. xy. Pojektion langs x-aksen: x xdy x dxdy x xy yx dx yx yx y dy dx 0 Idet (.) benyttes fås: x xy 0 x y (.) Pojektion langs y-aksen: y ydx y dy dx y xy dy xy xy x dx dy 0 BYGDTU 9

28

29 BYGDTU Pojektion på -etning: 0 dd d d d d d d d d Idet (.4) e benyttet fås: 0 (.5) Radiæ pojektion: 0 dd d d d d d d d 0 (.6).3. Tansfoationsfole I en plan spændingstilstand findes altid to på hinanden vinkelette snit, hvo foskydningsspændingene e nul. Disse snit kaldes hovedsnit. Noalspændingene i hovedsnittene kaldes hovedspændinge. I hovedsnittene findes støste og indste noalspænding. Man ha natuligvis ofte bug fo spændingene i ande snit end i snittene høende til et bestet koodinatsyste. Fole, de føe en spændingstilstand fa et koodinatsyste til et andet betegnes tansfoationsfole. Tansfoationsfolene fa et hovedsaksesyste til et vilkåligt x,y-syste lyde sin cos sin sin cos xy y x (.7) He e og 3 hovedspændingene, og e vinklen elle snittet ed og et snit vinkelet på x-aksen, egnet positiv i x,y-planens positive oløbsetning. Punktene ( x, xy ) og ( y, - xy ) ligge på en cikel ed diaeteen e - 3, nå genneløbe intevallet 0 til elle. He foudsættes, at e den støste hovedspænding. Ciklen kaldes Moh s cikel. Tansfoationsfole, de ikke foudsætte, at det ene koodinatsyste e et hovedaksesyste, kan f.eks. findes i Mekanik., del [9.].

30 .3.3 Flydebetingelsen Flydebetingelsen angive, so nævnt i afsnit., de spændingskobinatione, de kan føe til flydning, dvs. at de plastiske tøjninge kan vokse ubegænset uden at spændingene ænde sig. Fo jodate benyttes ofte den siplest tænkelige flydebetingelse, Coulobs flydebetingelse. Efte denne ske flydning, nå foskydningsspændingen i et snit antage en vædi, de e bestet af en paaete, kohæsionen c, plus et led de e popotionalt ed tyknoalspændingen i snittet. Popotionalitetsfaktoen betegnes fiktionskoefficienten. Flydebetingelsen e defo c, idet vi, so nævnt tidligee, egne spændinge positive so tæknoalspændinge. Vinklen defineet ved tan betegnes fiktionsvinklen. Flydebetingelsen kan altså skives c tan (.8) Relationen c tan festille i et,-koodinatsyste to ette linie, de ha hældningen tan, og so afskæe stykkene c af -aksen. Vha. Moh s cikel e det defo let at afgøe, o en spændingstilstand kan give flydning. Hvis den støste Moh s cikel tegnet ove diaeteen - 3, hvo e støste og 3 e indste hovedspænding, netop øe flydebetinglsen kan de ske flydning. Hvis Moh s cikel ligge inden oådet begænset af flydebetingelsen kan de ikke ske flydning. Spændingstilstande svaende til Moh s cikle ed punkte uden fo flydebetingelsen kan ikke foekoe. I et punkt vil de altid væe to snit, i hvilke spændingene tilfedsstille Coulobs flydebetingelse. Snittene danne vinklen 90- ed hinanden og betegnes flyde- elle budsnittene. Coulobs flydebetingelse kan udtykkes på hovedspændingsfo, idet den beskive et isotopt ateiale. Heo henvises til f.eks. Mekanik., del [00.]. Jodate ha noalt inge elle ingen tækstyke. Coulobs flydebetingelse bude defo supplees ed en afskæing svaende til tækstyken ligeso det gøes f.eks. fo beton. Dette vil ikke blive gjot i det følgende. Vi vil i stedet foudsætte, at de kun abejdes ed spændingstilstande, hvo alle hovedspændinge e tyk evt. nul. Mateiale, de tilfedsstille Coulobs flydebetingelse, kaldes Coulob ateiale. Ved plane defoationstilstande e hovedspændingene i planen og 3 hhv. støste og indste hovedspænding. Den tedje hovedspænding ligge elle disse vædie. Ved plan defoationstilstand skal den støste Moh s cikel altså tegnes ed diaeteen - 3 ( > 3 ). Coulobs flydebetingelse e ikke altid sælig nøjagtig fo jodate. Fo udænet bud kan an so nævnt egne fiktionsvinklen til nul og ed en kohæsion, de svae til poøsiteten. He e Coulobs budbetingelse eget nøjagtig. Fo kohæsionløse ateiale, såkaldte fiktionsateiale, finde an ofte fo så spændinge en ku BYGDTU

31 kuve i et,-koodinatsyste. Hulheden vende od -aksen. Pobleene beøes kot i kapitel 3. En spændingstilstand, de tilfedsstille Coulobs flydebetingelse, kan natuligvis angives i et etvinklet koodinatsyste, f.eks. et n,t-syste. Vi lade n-aksen væe noal til det ene snit, i hvilket flydebetingelsen e opfyldt. Moh s cikel e vist i figu.4. nt t n = c tan n c cot - n nt cot nt c cot Figu.4: Flydebetingelsen fo Coulob ateiale So det ses e de to løsninge, og, fo henholdsvis positiv og negativ vædi af foskydningsspændingen nt. Fotegnet på foskydningsspændingen indvike dog ikke på støelsene af n og t. Ved at benytte de geoetiske støelse angivet i figu.4 fås følgende saenhænge ielle spændingene: nt c t tan tan c tan nt t c cot t n n tan tan ctan t n n BYGDTU 3

32 Heved fås endelig følgende saenhænge ielle spændingene, hvo n = e den eneste ubekendte. n tan ctan (.9) t c tan nt.3.4 Rankine zonen I Rankine zonen e etningene fo de to snit, hvo flydetingelsen e opfyldt, konstante. De to snit kan defo beskives ved to sæt af paallelle linie, se figu.5. y 90+ x Figu.5: Rankine zonen I figu.5 e x-aksen so vist oienteet langs en af disse ette linie, og y-aksen e vinkelet hepå. Heved give flydebetingelsen følgende saenhæng ielle spændingene i x,ykoodinatsysteet: tan ctan x y (.0) c tan xy 4 BYGDTU

33 Indsættes disse spændinge i ligevægtsligningene (.) og (.3) fås: x xy 0 x y tan tan 0 (.) x y y xy y x 0 tan 0 (.) y x Hvis sidste ligning (.) ultiplicees ed tan og addees til (.) ses, at 0. Af (.) ses, at så e også 0. Dette betyde, at den eneste løsning fo x y Rankine zonen e: k (.3) hvo k e en konstant. k å natuligvis ikke foveksles ed konstanten k høende til Coulobs budbetingelse. Jf. f.eks. (.56). Udfa figu.4 ses, at k c cot. Heved fås at spændingstilstanden fo en Rankine zone kan skives: tan k ctan x y k (.4) c k tan xy I fiktionsløs jod fås løsningen: x k y k (.5) xy c hvo k e en abitæ konstant..3.5 Pandtl zonen Pandtl zonen fekoe ved, at snit langs adie fa et punkt opfylde flydebetingelsene. Ved at indføe et polæt koodinatsyste ed begyndelsespunkt i dette punkt, opfyldes flydebetingelsen altså i snit langs adie. Coulobs flydebetingelse sige, at et tilsvaende snit, de opfylde flydebetingelse, vil ligge BYGDTU 5

34 unde en vinkel på ed de adiæe snit (kun et fotegn benyttes). De dannes heved linie, de følge spiale, hvo snit opfylde flydebetingelsen, se figu.6. Spialen kan vende begge veje, hvilket esultee i besteelse af fotegn fo foskydningsspændingen. Figu.6: Pandtl zonen I et lokalt n,t-syste ed n-aksen i -etningen e spændingstilstanden kaakteiseet ved tan ctan (.6) c tan Ved indsættelse af (.6) i de polæe ligevægtsbetingelse (.5) og (.6) fås: 0 c tan tan 0 (.7) 0 tan ctan tan tan 0 (.8) Multiplicees (.7) ed tan og addees til (.8) fås 0 (.9) 6 BYGDTU

35 e altså konstant langs adiene. Ligning (.7) give heefte c tan 0 (.0) de ha løsningen tan ke c cot (.) hvo k e en konstant. Heved fås at spændingstilstanden fo fiktionsjod i en Pandtl zone e bestet ved: tan c cot ke tan tan ke c cot (.) k tane tan Idet c cot ifølge flydebetingelsen i figu.4, betyde det at k endvidee å væe en positiv konstant. Da de ikke kan findes nogen gænsevædi fo gående od nul, kan løsningen ikke buges fo fiktionsløs jod. Løsningen fo fiktionsløs jod findes ved indsætte ligningene (.6) i ligevægtsbetingelsene, idet fiktionsvinkelen sættes lig ed nul. Af (.6) fås: (.3) c Ligevægtsligningene give: c 0 (.4) f (.5) c hvo f e en abitæ funktion af. 0 f 0 (.6) (.7) Dvs. f e en konstant so benævnes k. Heved blive løsningen fo spændingen : c k (.8) BYGDTU 7

36 Spændingstilstanden i en Pandtl zone fo fiktionløs jod blive heved: c k c k (.9) c hvo k e en abitæ konstant..4 Øvevædiløsninge So nævnt i afsnit. abejdes de ved besteelse af øvevædiløsninge ed geoetisk ulige flytningstilstande. De geoetiske betingelse, de skal tilfedsstilles, afhænge af hvilke vaiable de benyttes, se det følgende. Øvevædie fo popotionalbelastning bestees vha. abejdsligningen, hvo det yde abejde sættes lig ed dissipationen fo det pågældende geoetisk ulige flytningsfelt..4. Geoetiske betingelse Hvis en geoetisk ulig budfigu fastlægges ud fa en valgt flytningstilstand skal følgende geoetiske betingelse væe opfyldt: ) De geoetiske andbetingelse fo flytningsfeltet skal væe opfyldt. ) De tøjninge, de svae til flytningene, skal opfylde noalitetsbetingelsen. Hvis de tages udgangspunkt i tøjningene skal tøjningene vælges således, at de til tøjningene svae en geoetisk ulig flytningstilstand, dvs. tøjningstilstanden skal gøe det uligt at tilfedsstille de geoetiske andbetingelse. Tøjningene kan ikke vælges vilkåligt. Til en foelagt tøjningstilstand svae kun en geoetisk ulig flytningstilstand, hvis de såkaldte kopatibilitetsbetingelse e tilfedsstillet. Følgende betingelse skal således væe opfyldte: ) Kopatibilitetsbetingelsene ) Tøjningene skal tilfedsstille noalitetsbetingelsen. Fo plane defoationstilstande e de kun én kopatibilitetsbetingelse. Ved. kopatibilitetsbetingelse i uet, se Mekanik., del [9.]. I det følgende udtykkes kopatibilitetsbetingelsen i ektangulæe og polæe koodinate. Kopatibilitetsbetingelsen udledes noalt ent ateatisk ved at kæve at en integand skal væe et totalt diffeential, se f.eks. Mekanik., del [9.]. Denne betingelse kan opskives på en ee anskuelig åde so vist i det følgende. 8 BYGDTU

37 .4.. Rektangulæe koodinate Flytningene i ektangulæe koodinate betegnes hhv. u x og u y. I figu.7 e flytningsfeltet illusteet i oegnen af et punkt. Flytningen e u x fo punkt i x- u x aksens etning. Flytningen af punkt i x-aksens e u x dx plus højee odens x led. Tilsvaende fohold gælde ved. flytningen u y. x dx y u x u x dx x dy u y u x u y u y dx x 3 u x u x dy y 4 u y u y dy y Figu.7: Flytningsfelt i ektangulæe koodinate Udfa de i figu.7 viste flytninge fås følgende noal- og tvætøjninge: u x u x u x x dx x (.30) 3 u y u y u y y dy y (.3) u y u y u y xy dx x (.3) 3 u x u x u x yx dy y (.33) hvo e en vilkålig otation af legeet. Vinkelændingen xy kan findes so suen af de to tvætøjninge: BYGDTU 9

38 0 BYGDTU x u y u y u x u y x x y yx xy xy (.34) Kopatibilitetsbetingelsen findes ved at kæve at flytningsbesteelsen skal væe uafhængig af integationsvejen. Opstilles ligninge fo besteelse af u x og u y ved at integee ove henholdsvis punkt og 3 fås: dx x dy y u u dy y u u dy y dx x u u dx x u u u x x x x x x x x x 4 dxdy x dx dy dydx y dy dx yx x yx x yx x x y yx x (.35) dx x dy y u u dy y u u dy y dx x u u dx x u u u y y y y y y y y y 4 dxdy x dx dy dydx y dy dx y xy y xy y xy x y y xy (.36) Rotationen eliinees heefte af ligningene (.35) og (.36). Eliineingen ske ved at diffeentiee ed hensyn til henholdsvis y og x i de to ligninge: y x y x y x y yx yx x (.37) x x y x y x y y xy xy (.38) Heved fås følgende kopatibilitetsbetingelse: x x y y x y y xy yx x Indføes at vinkelændingen xy e suen af tvætøjningene fås : x y y x y x xy (.39)

39 Betingelsen (.39) e, so den e udledt, en tilstækkelig betingelse fo kopatibilitet. At (.39) også e en nødvendig betingelse fås uiddelbat ved at vise, at nå tøjningene udtykkes ved flytningene e esultatet i (.39) en identitet..4.. Polæe koodinate De geoetiske betingelse i polæe koodinate findes fo et infinitesialt eleent so vist i figu.8. d u u d u u d u d 4 u d 3 u u u u d d Figu.8: Flytningsfelt i polæe koodinate Ved opskivning af tøjningene skal an væe opækso på, at flytningsvektoene ænde etning i det polæe koodinatsyste. De koe defo flee bidag til den salede flytning i en etning. Ved pojektion af flytningene benyttes følgende appoksiation, idet eleentet e infinitesialt: sin( d ) d (.40) cos( d ) Heved fås følgende noal- og tvætøjninge i polæe koodinate: 3 u u u d (.4) u u d u u u d (.4) u u d u u u d (.43) BYGDTU

40 BYGDTU u d u u 3 (.44) So fø e otationen af legeet. Vinkelændingen fås til: u u u u u u (.45) So ved ektangulæe koodinate findes kopatibilitetsbetingelsen ved at kæve at flytningsbesteelsene skal væe uafhængige af integationsvejen. Opstilles ligninge fo besteelse af u og u i punkt "4", ved at integee ove henholdsvis punkt og 3 fås: d d u u d u u d d u u d u u u 4 u u u (.46) d d u u d u u d d u u d u u u 4 u u u (.47) Rotationen eliinees af ligningene (.46) og (.47) ved at diffeentiee ed hensyn til henholdsvis og i de to ligninge: (.48)

41 BYGDTU 3 (.49) Heved fås den tilstækkelige kopatibilitesbetingelse: (.50) At betingelsen e nødvendig vises so fo ektangulæe koodinate..4. Flydelov (noalitetsbetingelse) Iht. noalitetsbetingelsen, se afsnit., e tøjningsvektoen svaende til de plastiske tøjningstilvækste en udadettet noal til flydefladen. I et,-koodinatsyste, se figu.9, fås følgende fohold: De tøjningsstøelse, de svae til hhv. og, e længdetøjningen og vinkelændingen.,, (,) Figu.9: Noalitetsbetingelsen fo et Coulobateiale Noalitetsbetingelsen e illusteet i figu.9. Længden af en noal e betegnet og vi se, at cos sin (.5)

42 I en spids foudsættes i plasticitetsteoien, at tøjningsvektoen kan ligge vilkåligt i det vinkelu, de dannes af noalens gænsestillinge, nå an næe sig spidsen ad de to ulige veje. Spidsen i Coulobs flydebetingelse vil dog ikke blive behandlet næee, da vi, so nævnt tidligee, foudsætte at alle spændingstilstande svae til tyknoalspændinge. (0,-½) 3 ½ (,½) Figu.0: Moh s cikel fo tøjningene ved flydning. Tøjningstilstanden e illusteet vha. Moh s cikel i figu.0. Det ses at de ikke e noaltøjninge i de snit, i hvilke Coulobs flydebetingelse e opfyldt, flydesnittene elle budsnittene. Udfa figu.0 findes iddeltøjningen og adius R i Moh s cikel til: sin (.5) R (.53) cos Heved kan hovedtøjningene findes: sin 3 (.54) Det ses, at suen af hovedtøjningene e positiv, hvilket betyde, at de e tale o voluenudvidelse (dilatation), undtagen nå =0. Hovedspændingene og hovedtøjingene e saenfaldende således so det altid vil væe tilfældet fo et isotopt ateiale. Hovedspændingene kan f.eks. bestees vha. figu.4. Man finde: (.55) k k c cot 3 4 BYGDTU

43 c tan u

44 Figu. vise en flydelinie elle to oåde. Det nedeste oåde ha ingen flytning, det øveste ha flytningen u. Vha. (.5) ses, at u å danne vinkelen ed flydelinien. Heved blive =u sin og =u cos (=u). Dissipationen p. længdeenhed af flydelinien blive da W l ub c cos (.59) hvo b e tykkelsen på tvæs. 6 BYGDTU

45 3 Beækninge o den vikelige flydebetingelse Denne afhandling tage so nævnt udgangspunkt i det pefekte Coulob ateiale. Jod e dog, so ethvet andet ateiale, langt fa pefekt. Af uiddelbae ipefektione kan nævnes lagdeling, vaieende konstøelse heunde også konfodelingen, vaieende konfo, vaieende poøsitet og vandætning. Alle tænkelige paaete ha en vis indvikning på styken af joden. Skal an tage hensyn til alle disse paaete ved udvikling af en jodtyksteoi, vil an hutigt opdage, at an fo længst e nået til det punkt, hvo selv den sipleste beegning e uulig. Det e defo nødvendigt at have en sipel definition af styken på joden, f.eks. Coulobs flydebetingelse. Nå det e sagt, å an så også acceptee, at denne flydebetingelse i ekstee tilfælde kan væe langt fa sandheden. Coulobs flydebetingelse vil i et -, -koodinatsyste beskive en et linie. Den egentlige flydebetingelse ha ofte et kut foløb. I figu 3. e en typisk flydebetingelse fo sand optegnet. Det beækes at gå od nul fo gående od nul. Sand ha deed en eget lille foskydningsbæeevne fo så tyknoalspændinge, dvs. at den eelle kohæsion e tæt på nul. Benyttes en lineaiseing til besteelse af flydebetingelsen, vil den bedste tilpasningskuve væe en linie so tangee den eelle flydebetingelse fo stoe tyknoalspændinge. Man å heved acceptee, at afvigelsen fa den eelle flydebetingelse fo så noalspændinge blive elativt sto. Begebet den tilsyneladende kohæsion benyttes ofte i fobindelse ed lineaiseingen, idet den fundne kohæsion svaende til Coulobs flydebetingelse ikke beskive den eelle fyldebetingelse. Reel flydebetingelse c Figu 3.: Eksepel på en ku flydebetingelse BYGDTU 7

46 I laboatoiet bestees Coulobs budbetingelse ved at de udføes fosøg so bestee punkte på flydebetingelsen. Disse fosøg udføes enten ved shea box fosøg elle ved tiaksiale fosøg. Ud fa disse fosøgsesulate kan den tilnæede flydeflade bestees. En næee beskivelse af besteelsen af stykepaaetene og c kan f.eks. findes i [78,]. Makfosøg e beskevet i [90,]. Det beækes desuden, at de kan væe foskel på den vædi af fiktionsvinklen, de bestees vha. fosøg ed plan defoationstilstand og tiaksiale fosøg. Den plane vædi kan i paksis ansættes 0% støe end den tiaksiale vædi. I tilfælde af sand ses de i paksis bot fa kohæsionen. I tilfælde af le udføes beegninge i det udænede og dænede tilfælde. Det udænede tilfælde beskive tilfældet, hvo belastningen opbygges hutigee end oveskudsvand kan botdænes. Flydebetingelsen beskives ved den udænede foskydningsstyke c u. Fo dænet le, dvs. i tilfældet hvo ateialet nå at konsolidee, kan flydebetingelsen beskives ved den effektive fiktionsvinkel og den effektive kohæsion c. Heved fås de te pincipielle flydebetingelse so vist i figu 3. til 3.4. Disse beskive jods styke tilnæet vha. Coulobs flydebetingelse. Figu 3.: Flydebetingelse fo sand 8 BYGDTU

47 c u Figu 3.3: Flydebetingelse fo udænet le c Figu 3.4: Flydebetingelse fo dænet le BYGDTU 9

48 30 BYGDTU

49 4 Eksakte løsninge uden hensyntagen til egenvægt I det følgende gennegås kot de kendte eksakte løsninge fo jodtyk på vægge elle støtteue. De skyldes Rankine (857) og Pandtl (90 og 97) og kan f.eks. ses i [53.]. I det følgende angives såvel en spændingstilstand so en flytningstilstand, de opfylde alle betingelse. Fouden de i det foegående indføte betegnelse benyttes: A c : Totale dissipation p. enhedstykkelse. A p : Abejde p. enhedstykkelse fa jævnt fodelt spænding. p oveflade Støtteu, væg Figu 4.: Pincipskitse af støtteu Fo alle løsninge gælde at væggen e lodet og at vinklen elle væg og oveflade e et so vist i figu 4.. Ovefladen e påviket af lasten p (tyknoalspænding). Hvis spændingene i joden skal svae til tykspændinge, å p nødvendigvis væe en positiv tykspænding. I øvevædiløsninge edtages jodtykkets abejde so abejdet fa en yde last Q. Jodtykket bestees ved at diffeentiee Q ht. en lodet koodinat. Abejdet fa Q betegnes A Q. Det søgte jodtyk betegnes q (q p, q c etc.). I en væg ed topplade e flytningene nul på ovefladen i etningen paallel ed ovefladen. Fo jod ed kohæsion antages det, at ovefladelasten e støe end jodens tykstyke. BYGDTU 3

50 4. Støtteue i kohæsionsjod 4.. Glat væg u 0 y x Q Figu 4.: Betegnelse fo flytninge Øvevædiløsning. De indlægges det i figu 4. viste x,y-koodinatsyste, de e dejet 45 i fohold til væg og jodoveflade. Tøjningstilstanden e en vinkelænding i x,y-systeet. Heved e noalitetsbetingelsen tilfedsstillet. Flytningen e nul langs en linie unde 45 ed væg udgående i afstanden 0 fa skæingspunktet elle væg og den vandette oveflade. Støelsen u 0 e den vandette flytning i koodinatsysteets begyndelsespunkt. De e flytningsdiskontinuitete i vægetningen langs væggen. De give iidletid ikke noget bidag til dissipationen, da væggen e glat. Flytningsfeltet blive heved: u x 0 x u y u 0 0 Tøjningstilstanden blive: u x x 0 x u y y 0 y u u x y u 0 xy y x 0 3 BYGDTU

51

52 Nedevædiløsning. Vi antage, idet k e en konstant, de kun afhænge af ovefladelasten p, at: k x y og at: xy c p c 45 c y x Figu 4.3: Betegnelse fo spændinge fo et punkt på ovefladen Lodet pojektion, se figu 4.3, give: p c x x, y x y x, y x 0 dvs. p c k 0 de føe til k p c Heved fås spændingene p c x p c y xy c de uiddelbat ses at tilfedsstille ligevægtsbetingelsene og flydebetingelsen. 34 BYGDTU

53 y 45 c q x Figu 4.4: Betegnelse fo spændinge fo et punkt langs væggen Vandet pojektion, se figu 4.4, give: 0 q c x x y x y y Heaf findes q c p c p c elle q p c 0 0 Løsningen e altså den sae so øvevædiløsningen, dvs. løsningen e eksakt. 4.. Ru væg u 0 y 0 Q 0 x Figu 4.5: Betegnelse fo flytninge BYGDTU 35

54

55 Ovefladelastens abejde e: A p p 0 u 0 p0u 0 Abejdet fo kaften Q i afstanden 0 fa ovefladen e: u 0 Q A Q Abejdsligningen få da følgende udseende: A A A p dvs. Q c 4 u 0Q p0u 0 c0u 0 Heaf findes: Q p c Jodtykket q blive dq q p c d0 4 I analogi ed det foanstående tilfælde fås: q p p konstant, dvs. p q c p c konstant, dvs. 4 q p c Nedevædiløsning. c c Spændingstilstand i felt e so fo glat væg, dvs.: p c x p c y xy c Ovegangbetingelse ielle felt og (y=0, x=), give defo: x, y 0 p x c x, y p c 0 y xy c BYGDTU 37

56 Vi sætte fosøgsvis i felt :, c k Randbetingelsen fo føe da til betingelsen: 4, c k p c 4 de give k p c c Heved blive:, c p c Med = og =c e ligevægtsbetingelsene og flydebetingelsen tilfedsstillet ovealt. Endelig kan jodtykket q bestees ved: q, 0 p c Løsningen e den sae so øvevædiløsningen. Løsningen e defo eksakt Ru væg, topplade Med topplade fostås at de tillades oveføelse af foskydningsspændinge elle jodovefladen og toppladen. Denne foskydningsspænding vil natuligvis bevike, at toppladen vil få en esulteende vandet kaft, so skal optages af konstuktionen fo at sike en global ligevægt. Øvevædiløsning. u 0 0 Q 0 Figu 4.6: Betegnelse fo flytninge Flytningstilstanden e skitseet i figu 4.6. Vi sætte fosøgsvis i hele oådet.: u 0 38 BYGDTU

57

58 I analogi ed ovenfo behandlede tilfælde fås: q p p konstant, dvs. p q c c p c konstant, dvs. c Jodtykket blive defo: q p c Nedevædiløsning. Vi sætte fosøgsvis, c k Randbetingelse fo : p, c k p k c p Heved blive:, c p Med og c e ligevægtsbetingelsene og flydebetingelsen tilfedsstillet. Jodtykket q blive: q, 0 p c 40 BYGDTU

59 4. Støtteue i fiktions- og kohæsionsjod 4.. Glat væg 0 Q 0 u 0 y x 4 4 Figu 4.7: Betegnelse fo flytninge 4 Øvevædiløsning. Flytningstilstanden e skitseet i figu 4.7. Flytningene e nul langs en linie fa bunden af væggen unde vinklen ed væggen. En linie genne 4 koodinatsysteets begyndelsespunkt unde vinklen ed væggen otee o 4 dens skæingspunkt ed den otalte linie unde vinklen ed væggen. Heved 4 blive flytningstilstanden: u x 0 u0 x y u y cos cos tan cos 4 4 de svae til tøjningene: u x x 0 x u y u0 y tan y 0 u u x y u0 xy y x 0 BYGDTU 4

60

61 Nedevædiløsning. Vi sætte fosøgsvis, se foel (.0): tan k ctan x y k c k tan xy Heved e ligevægtsbetingelsene og flydebetingelsen tilfedsstillet. p xy 4 xy y x Figu 4.8:Betegnelse fo spændinge fo et punkt langs ovefladen Lodet pojektion, se figu 4.8, give: p x cos y sin 4 4 Betingelsen kan skives: sin cos 4 4 xy tan k ctan sin k sin c k tan p Løses ligningen ht. k fås: p ctan sin c cos k p sin c cos tan sin sin cos BYGDTU 43

62 q 4 y xy xy x Figu 4.9: Betegnelse fo spændinge fo et punkt langs væggen Vandet pojektion, se figu 4.9, give: q x sin y cos 4 4 sin sin 4 4 xy Betingelsen kan skives: q tan p sin c cos ctan sin p sin c cos sin c p sin c costancos Løses ligningen ht. q fås: sin sin q p c sin cos Løsningen e den sae so øvevædiløsningen. Den e defo eksakt. 44 BYGDTU

63 4.. Ru væg 0 Q 0 u 0 y x 4 Figu 4.0: Betegnelse fo flytninge Øvevædiløsning. Flytningstilstanden e skitseet i figu 4.0. I analogi ed flytningstilstanden i afsnit 4.. sættes fosøgsvis i felt : u 0 tan u u e tan e 0 0 Tøjningene i felt blive heved: u 0 u tan u u0 tane u u u u 0 0e 0 tan u e u tan 0 0 e tan Foholdet elle og e tan, jf. (.5). Heved blive noalitetsbetingelsen tilfedsstilet. Fo og y=0 e u y =u (=x) og u x =u. 4 Følgende flytningstilstand i felt opfylde denne betingelse: u x 0 u y u e tan e x tan 4 e y tan 4 0 tan BYGDTU 45

64

65 I analogi ed ovenfo behandlede tilfælde fås: q q p c p c cot c tan sin pe tan Jodtykket blive defo: q konstant, dvs. sine tan sin pe c cot sin Nedevædiløsning. e p konstant, dvs. tan Spændingstilstand i felt egnes uændet so fo glat væg: tan p sin c cos ctan sin c cos p sin c costan x y xy p c Ovegangbetingelse ielle zone og (y=0, x=): x, y 0 tan p sin c cos c ctan x, y 0 p sin c cos x, y 0 c p sin c costan x y xy I felt sættes, jf. foel (.): tan, c cot ke Spændingene og fegå også af foel (.). Ovegangsbetingelsene ielle felt og felt blive nu: 4, c cot ke 4 de give k p tan tan tan p sine e sinc cot hvoved vi finde tan sin c cos tan tan, c cot p sine e sinc cos e BYGDTU 47

66 Det ses at ligevægtsbetingelsene, ovegangsbetingelsene og flydebetingelsen e tilfedsstillet. Jodtykket blive: tan tan q, p sine e sin c cot 0 Løsningen e den sae so øvevædiløsningen, dvs. løsningen e eksakt Ru væg, topplade Øvevædiløsning. u 0 0 Q 0 Figu 4.: Betegnelse fo flytninge Flytningstilstanden e skitseet i figu 4.. I analogi ed det foegående afsnit sættes:: u 0 tan u u e tan e 0 0 Heved blive tøjningene: u 0 u tan u u0 tane u u u u 0 0e 0 tan u e u tan 0 0 e tan Foholdet elle og e tan, jf. foel (.5). Noalitetsbetingelsen e altså tilfedsstilet. 48 BYGDTU

67

68 Randbetingelse: ; p tan, ke c cot p tan k p c cot e Heved blive:, p c cot e tan tan e c cot So ovenfo ses, at ligevægtsbetingelsene, andbetingelsene og flydebetingelsen e tilfedsstillet. Jodtykket blive: tan tan q, 0 pe c cot e Løsningen e den sae so øvevædiløsningen, dvs. den e eksakt. 50 BYGDTU

69 5 Diskontinuitetslinien. I det følgende udvikles en ny jodtyksteoi, so benytte sig af spændingsdiskontinuitetslinie. En spændingsdiskontinuitetslinie e, so navnet sige, en linie elle en kuve langs hvilken spændingene ikke e kontinuete. I plasticitetsteoien folanges langs sådan en linie kun, at loven o aktion og eaktion e opfyldt. I figu 5. kæves defo n n og nt nt ens t kan væe foskellig fa. t I nedevædiløsninge skal spændingene natuligvis tilfedsstille ligevægtsbetingelsene på begge side af diskontinuitetslinien. t () () n () nt () nt () () t nt n t () t () nt () nt () nt () n t () diskontinuitetslinie Figu 5.: Spændingsdiskontinuitetslinien I et,-koodinatsyste vil de to spændingstilstande på hve side af diskontinuitetslinien have hve sin Moh s cikel, se figu 5.. Loven o aktion og eaktion kan kun opfyldes, nå de to Moh s cikle skæe hinanden. nt () = nt () t () t () n () = n () Figu 5.: Moh s cikle langs en diskontinuitetslinie Bug af diskontinuitetslinie e et standadvæktøj i plasticitetsteoien og anvendes både ved beegning af øve- og nedevædie. BYGDTU 5

70 Løsninge ed spændingsdiskontinuitete ved beegning af jodtyk e bl.a. blevet benyttet af Sokolovskii [65.], R.T. Shield [5.] og W. F. Chen [75.]. Sokolovskii udviklede løsningen fo det siple tilfælde glat støtteu ed vandet jodoveflade uden hensyntagen til egenvægt. Disse løsninge e selvfølgelig alle nedevædiløsninge. I det følgende behandles en ække jodtykspoblee vha. spændingsdiskontinuitetslinie. Mens anvendelsen af en diskontinuitetslinie e kendt synes den ikke tidligee at have væet anvendt til udvikling af en koplet jodtyksteoi. Det følgende indeholde defo en lang ække nye løsninge. De nye løsninge e saenlignet ed eksisteende teoi i kapitel 7. Vi nøjes ed at behandle poblee ed aktivt jodtyk, idet det tilsvaende passive jodtyk ent foelt kan findes ved at skifte fotegn fo kohæsionen og fiktionsvinklen. 5 BYGDTU

71 6 Glat støtteu ed vandet jodoveflade p Diskontinuitetslinie Figu 6.: Glat støtteu ed vandet oveflade q Lasten e et jævnt fodelt tyk p på en vandet oveflade, de edføe et jodtyk q på støtteuen. I det følgende e løsningene so nævnt egnet igenne svaende til aktivt jodtyk. Dette edføe at p>q. Vinklen elle den vandette oveflade og væggen e. Vinklen elle den vandette oveflade og diskontinuitetslinien e. Støelsene e vist på figu 6.. Fotegnsegning fo spændingene e so tidligee, dvs. tæknoalspændinge egnes positive. Ovefladelast og jodtyk egnes dog positive so tyknoalspændinge. 6. Fiktionsjod Løsningen uden hensynstagen til egenvægt vil bestå af to hoogene spændingsfelte, so e adskilt ved en diskontinuitetslinie. Den optiale nedevædi fo en enkelt diskontinuitetslinie vil fekoe, nå begge spændingsfelte opfylde flydebetingelsen. En sådan løsning e tegnet i figu 6.. Alle spændingstilstande, de ligge inden fo flydebetingelsens skå linie svaende til fiktionsvinklen, e tilladelige. Spændingstilstande hvis Moh s cikle øe de skå linie opfylde flydebetingelsen. BYGDTU 53

72 () -p -q () Figu 6.: Moh s cikle. Glat støtteu ed vandet oveflade. Fiktionsjod. Noalspændingene svaende til centu fo hve af de Moh ske cikle i figu 6. kan udtykkes ved: p (6.) sin q (6.) sin Disse spændinge betegnes iddelspændinge. På basis af kavet o kontinuitet i foskydningsspændingene fås følgende saenhæng elle iddelspændingene: sin sin sin sin sin (6.3) sin Kavet o kontinuitet fo noalspændingene vinkelet på diskontinuitetslinien give: sin cos sin cos (6.4) Indsættes (6.3) i (6.4) fås følgende ligning til bestees af : sin sin cos sin cos sin sin cos cos sin sin cos sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos sin sin sin sin cos sin cos cos 54 BYGDTU

73 sin cos cos sin sin sin sin sin sin Ac sinsin sin (6.5) Det å kæves at <, hvilket e tilfældet i intevallet fo fiktionsvinklen 0;. Nå vinklen e bestet ved hjælp af (6.5), kan jodtykket q findes ved at indsætte (6.) og (6.) i (6.3). Heved fås: sin sin q p (6.6) sin sin Jodtykket q på væggen findes ved at indsætte bestet ved (6.5) i (6.6). På figu 6.3 e det elative jodtyk q/p vist so funktion af fiktionsvinklen. Kuvene e tegnet fo foskellige vædie af vinklen. BYGDTU 55

74 0,9 0,8 0,7 Relativt jodtyk q /p 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, Fiktionsvinkel Figu 6.3: Det elative jodtyk q/p på glat støtteu fo fiktionsjod so funktion af fiktionsvinklen ved anvendelse af én diskontinuitetslinie. 56 BYGDTU

75 6. Kohæsionsjod -c () -p -q () c Figu 6.4: Moh s cikle. Glat støtteu ed vandet jodoveflade. Kohæsionsjod. I figu 6.4 e de Moh ske cikle fo kohæsionsjod tegnet. Alle spændingstilstande svaende til Moh's cikle elle de to vandette linie i afstanden c fa -aksen e tilladelige. Spændingstilstande, hvis Moh ske cikle øe de to linie opfylde flydebetingelsen. c betegnes so tidligee nævnt kohæsionen. Middelspændingene e: p c (6.7) q c (6.8) Kontinuitetskavet fo foskydningsspændingene i diskontinuitetslinien give: c sin c sin (6.9) Heaf ses at diskontinuitetslinien å ligge i halveingslinien fo vinklen, dvs.: (6.0) Kontinuitetskavet fo noalspændingene vinkelet på diskontinuitetslinien give: c cos c cos (6.) de, nå fa foel (6.0) indsættes, føe til: c cos c cos (6.) BYGDTU 57

76 0,9 0,8 0,7 Relativt jodtyk q /p 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Relativ kohæsion c /p Figu 6.5: Det elative jodtyk q/p på glat støtteu fo kohæsionsjod so funktion af den elative kohæsion c/p ved anvendelse af én diskontinuitetslinie 58 BYGDTU

77 Indsættes (6.7) og (6.8) i (6.) fås: p c c cos q c c cos q p c cos (6.3) heved e det aktive jodtyk q på væggen bestet. I figu 6.5 e det elative jodtyk q/p vist so funktion af den elative kohæsion c/p. Kuvene e tegnet fo foskellige vædie af vinklen. 6.3 Fiktions- og kohæsionsjod () () -p -q c -c Figu 6.6: Moh s cikle. Glat væg ed vandet jodoveflade. Fiktions- og kohæsionsjod Løsningen, nå de e tale o jod ed både fiktion og kohæsion e vist i figu 6.6. Den svae til løsningen i figu 6., idet kohæsionen c blot flytte koodinatsysteet. Middelspændingene e he defineet so afstanden fa centu fo ciklene til spidsen af flydebetingelsen, so angivet i figu 6.6, Heved koe løsningen til at ligne løsningen fo fiktionjod. Disse iddelspændinge, de egnes positive, blive: p c cot (6.4) sin q c cot (6.5) sin Kontinuitetsbetingelsen fo foskydningsspændingene i diskontinuitetslinien give betingelsen: sin sin sin sin sin (6.6) sin BYGDTU 59

78 Kontinuitetsbetingelsen fo noalspændingene vinkelet på diskontinuitetslinien give betingelsen: c cot sin cos c cot sin cos sin cos sin cos (6.7) Ligningene (6.6) og (6.7) e identiske ed de tilsvaende fo fiktionsjod (6.3) og (6.4). Da disse ligninge bestee beliggenheden af diskontinuitetslinien fås, at hældningen e den sae so i tilfældet fo en fiktionsjod, dvs.: Ac sinsin sin (6.8) Nå vinklen e kendt kan jodtykket findes ved indsætning af (6.4) og (6.5) i (6.6): sin sin q p c cot c cot (6.9) sin sin Det aktive jodtyk q på væggen findes ved at bestee udfa (6.8) hvoefte q bestees af (6.9). Jodtykket (6.9) kan deles op i to dele q p og q c staende fa henholdsvis ovefladelasten p og kohæsionen c: sin sin q p p (6.0) sin sin sin sin q c c cot c cot (6.) sin sin Figu 6.3 kan benyttes til aflæsning af det elative jodtyk fa ovefladelasten p, q p /p efte foel (6.0) so funktion af fiktionsvinklen, idet denne foel e identisk ed foel (6.6), de e løsningen fo fiktionsjod. Det elative jodtyk fa kohæsionen c, q c /p fa foel (6.) kan aflæses på figu 6.7, so funktion af fiktionsvinklen. Kuvene e tegnet fo foskellige vædie af vinklen. q c e ikke defineet fo =0, dvs. i tilfældet af en kohæsionsjod. Beæk at q c /p ha negative vædie ovealt. 60 BYGDTU

79 0,0-0,5 -,0 -,5 Relativt jodtyk qc/c -,0 -,5-3,0-3,5-4, Fiktionsvinkel Figu 6.7: Det elative jodtyk q c /c på glat støtteu fo kohæsions- og fiktionsjod so funktion af fiktionsvinklen ved anvendelse af én diskontinuitetslinie BYGDTU 6

80 6 BYGDTU

81 7 Ru støtteu ed vandet jodoveflade Ruheden fo en støtteu bestees ved vægfiktionsvinklen og adhæsionen a. Vi foudsætte at Coulob s budbetingelse også kan benyttes fo skillefladen elle væg og jod. Den aksiale foskydningsstyke i skillefladen elle væg og jod kan heved skives: tan a (7.) Det foudsættes at tan a tan c (7.) Foholdet tan betegnes uhedsfoholdet. tan Foel (7.) ha selvfølgelig kun ening i de tilfælde, hvo fiktionsvinklen og kohæsionen begge e foskellige fa nul. Vægfiktionsvinklen og adhæsionen kan natuligvis aldig blive støe end de espektive jodstykepaaete, dvs.: a c (7.3) p Diskontinuitetslinie q q tan Figu 7.: Ru støtteu ed vandet jodoveflade So vist i figu 7. ligge diskontinuitetslinien unde en vinkel ålt fa den fie jodoveflade, de e belastet ed tykspændingen p. Jodtykket e bestet ved en tyknoalspænding q og en foskydningsspænding qtan, fo hvilke fotegnsegningen fegå af figuen. BYGDTU 63

82 7. Fiktionsjod (-q,-qtan) () -p -q () Figu 7.: Moh s cikle. Ru væg ed vandet jodoveflade. Fiktionsjod I figu 7. e de Moh ske cikle tegnet. So det ses, e de indføt en støelse, so e en funktion af vægfiktionsvinklen. Endvidee e jodtykket på væggen givet ved en tyknoalspænding q og en foskydningspænding -qtan. Hovedspændingen ved væggen e -q. Hovedsnittene ved væggen danne altså en vinkel ed væggen. () Figu 7.3: Saenhæng ielle vinklene og I figu 7.3 e saenhængen elle vinklene og vist. Vinklen e bestet nå vinklen e kendt. Opstilles sinuselationen fo tekanten, de ha vinklene, - - og fås: sin (7.4) sin sin 64 BYGDTU

83 Det ses, at iddelspændingen () kan fokotes bot fa ligningen, hvoved vi finde: sin sin sin (7.5) sin Det ses på figu 7.3 at linien, so e bestet af vægfiktionsvinklen, skæe den Moh ske cikel to stede. Dvs. at de findes to løsninge. Løsningen fo den fuldt optukne linie e vist i (7.4). Denne løsning svae til føste og tedje led i (7.5). Løsningen fo den punkteede linie svae til andet og tedje led i (7.5). Den bugbae løsning e den i figuen viste fuldt optukne linie: sin Ac sin sin (7.6) Middelspændingene i figu 7. kan udtykkes ved: p sin q sin (7.7) (7.8) Kontinuitetsbetingelsen fo foskydningsspændingene i diskontinuitetslinien give betingelsen: sin sin sin sin sin (7.9) sin Kontinuitetsbetingelsen fo noalspændingene give: sin cos sin cos (7.0) Ved indsættelse af (7.9) i (7.0) fås en ligning til besteelse af. Denne ligning e identisk ed ligning (6.5), idet foelt sættes lig +. Heed fås følgende udtyk fo vinklen : Ac sin sin sin (7.) Nå vinklen e bestet udfa (7.), kan tyknoalspændingen q findes ved indsætte (7.7) og (7.8) i (7.9). Heved fås: sin sin q p (7.) sin sin BYGDTU 65

84 R () -q -q Figu 7.4: Oegning fa q til q Den Moh ske cikel i figu 7.4 e tegnet ud fa iddelspændingen () og Radius R. Ved flydning kan Radius R bestees ved iddelspændingen () og fiktionsvinklen. Vi få: R sin (7.3) Vha. figu 7.4 fås følgende foel fo q: q R cos (7.4) Idet iddelspændingen () e bestet ved (7.8) og R ved (7.3), kan jodtykket på væggen q bestees ved: cos sin q q (7.5) sin Indsættes udtykket fo q, (7.), fås den endelige foel fo jodtykket på væggen: cos sin sin q p (7.6) sin sin Løsningen foudsætte selvfølgelig at <, idet diskontinuitetslinien i odsat fald ligge udenfo joden, hvilket ikke kan lade sig gøe. I tilfældet kan jodtykket bestees udfa den hoogene spændingstilstand i oådet svaende til hele vinklen. Løsningen findes ved blot at finde spændingskoposantene i et snit, de danne vinklen ed et lodet snit: 66 BYGDTU

85 -p - q -q Figu 7.5: Beegning af q i tilfældet >. So det ses af figu 7.5, vil uheden ved væggen ikke væe udnyttet i dette tilfælde. Spændingene i vandette og lodette snit e hovedspændinge, henholdsvis og : sin p sin (7.7) p Vha. tansfoationsfolene fo plane spændingstilstande fås jodtykket til: sin sin cos q sin cos pcos sin p (7.8) sin sin Foskydningsspændingen blive: sin sin sin q sin p sin p (7.9) sin sin 7.. Jodtyk ved u væg, = I tilfælde af aksial uhed = fås følgende ligning til besteelse af : 4 (7.0) Vinklen til diskontinuitetslinien kan bestees ved: Ac sin sin sin (7.) 4 4 BYGDTU 67

86 0,9 0,8 0,7 Relativt jodtyk q /p 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, Fiktionsvinkel Figu 7.6: Det elative jodtyk q/p på u støtteu fo fiktionsjod so funktion af fiktionsvinklen ved anvendelse af én diskontinuitetslinie 68 BYGDTU

87 Jodtykket på væggen (7.6) kan educees til: sin sin q p (7.) sin cos I figu 7.6 e det elative jodtyk q/p tegnet fo vægge ed aksial uhed. Kuvene e tegnet fo foskellige vædie af vinklen. 7. Kohæsionsjod -c () -p -q () -a c Figu 7.7: Moh s cikle. Ru væg ed vandet jodoveflade. Kohæsionsjod I figu 7.7 e løsningen i tilfælde af kohæsionsjod vist. Ruheden fo væggen e givet ved adhæsionen a. Foskydningsspændingen ved væggen e a, jf. fotegnsegningen fa figu 7.. Udtykkes foskydningsspændingen ved c og fås følgende ligning til besteelse af : - c sin a (7.3) de give: a Ac sin (7.4) c Middelspændingene blive i dette tilfælde: p c (7.5) q c (7.6) Kontinuitetsbetingelsen fo foskydningsspændingene i diskontinuitetslinien give betingelsen: c sin c sin (7.7) Det ses, at diskontinuitetslinien unde vinklen å ligge i halveingslinien fo vinklen +, dvs.: (7.8) BYGDTU 69

88 Folen e kun gyldig såfet findes inde end, da diskontinuitetslinien elles vil ligge udenfo joden. Vha. (7.8) fås følgende kav til : (7.9) Kontinuitetsbetingelsen fo noalspændingene vinkelet på diskontinuitetslinien give: c cos c cos Indsættes fa (7.8) fås: c cos c cos p c c cos q c c cos q p c cos (7.30) -c -a -q -q () c Figu 7.8: Oegning fa q til q Jodtykket q på væggen kan ifølge figu 7.8 udtykkes ved: ( ) q c cos (7.3) Indsættes de kendte støelse, () fa (7.6) og q fa (7.30), fås: q p c cos cos (7.3) Såfet (7.9) ikke e opfyldt vil uheden ikke blive fuldt udnyttet, og spændingsfeltet e hoogent ed den Moh ske cikel vist i figu BYGDTU

89 -c -a -p -q c Figu 7.9: Beegning af q i tilfældet Jodtykket blive: q p c cos (7.33) 7.. Jodtyk ved u væg, a=c I tilfælde af aksial uhed, dvs. a=c, fås at vinklen e givet ved: 4 (7.34) Deved blive : (7.35) 8 Kavet fo en tilladelige løsning, dvs. at (7.9) e opfyldt, koe til at lyde: (7.36) 4 Endelig fås jodtykket til: q p c cos (7.37) 4 I figu 7.0 e det elative jodtyk q/p vist so funktion af den elative kohæsion c/p. Kuvene e tegnet fo foskellige vædie af vinklen. BYGDTU 7

90 0,9 0,8 0,7 Relativt jodtyk q /p 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Relativ kohæsion c /p Figu 7.0: Det elative jodtyk q/p på u støtteu fo kohæsionsjod so funktion af den elative kohæsion c/p ved anvendelse af én diskontinuitetslinie 7 BYGDTU

91 7.3 Fiktions- og kohæsionsjod (-q,-qtan) -p -q -c c () () Figu 7.: Moh s cikle. Ru væg ed vandet jodoveflade. Fiktions- og kohæsionsjod I figu 7. e de Moh ske cikle tegnet i tilfældet, hvo joden både ha fiktion og kohæsion. Jodtykket på væggen e bestet ved en tyknoalspænding q og en foskydningsspænding qtan. Middelspændingene e i dette tilfælde ligeso i afsnit 6.3 defineet so afstanden fa centu af ciklene til spidsen af flydebetingelsen. Disse iddelspændinge e defo c cot inus den vikelige iddelspænding, so angivet i figu 7.. Afstandene () og () egnes he positive. De indføes en vinkel og en tyknoalspænding q so vist i figuen. -p () Figu 7.: Saenhæng ielle vinklene og I figu 7. e saenhængen elle vinklene og vist. Væggens uhed, bestet ved vægfiktionsvinklen og adhæsionen a, anses fo at væe kendt. Af figuen ses uiddelbat, at antagelsen, (7.), ved. uhedsfoholdet e opfyldt. BYGDTU 73

92 Vinklen e en funktion af vinklen. Opstilles sinuselationen fo tekanten i figu 7., de ha vinklene, - - og, fås: ( ) ( ) sin (7.38) sin sin Det ses, at spændingen () kan fokotes bot, hvoved vi få: sin sin sin (7.39) sin Det ses på figu 7. at linien, so e bestet af vægfiktionsvinklen og adhæssionen a, skæe den Moh ske cikel to stede. Dvs. at de findes to løsninge. Løsningen fo den fuldt optukne linie e vist i (7.38). Denne løsning svae til føste og tedje led i (7.39). Løsningen fo den punkteede linie svae til andet og tedje led i (7.39). Den bugbae løsning e den i figuen viste fuldt optukne linie: sin Ac sin sin (7.40) Middelspændingene defineet so ovenfo blive: p c cot sin q c cot sin (7.4) (7.4) Kontinuitetsbetingelsen fo foskydningsspændingene i diskontinuitetslinien give: sin sin sin sin sin (7.43) sin Kontinuitetsbetingelsen fo noalspændingene give: sin cos sin cos (7.44) Indsættes (7.43) i (7.44) fås en ligning til besteelse af : sin sin cos sin sin cos (7.45) Da denne ligning e identisk ed den tilsvaende ligning fo fiktionsjod, fås sae løsning fo : Ac sin sin sin (7.46) Nå vinklen e kendt udfa (7.46), kan noalspændingen q findes ved indsætte (7.4) og (7.4) i (7.43). Heved fås: 74 BYGDTU

93 sin sin p c cot sin sin q c cot (7.47) R -c -a -q -q c () Figu 7.3: Oegning fa q til q Den Moh ske cikel i figu 7.3 e bestet ved iddelspændingen () og Radius R. Ved flydning kan adius R udtykkes ved spændingen () og fiktionsvinklen. Vi få: R sin (7.48) Vha. figu 7.3 fås følgende foel fo q: q R cos c cot (7.49) Idet () e givet ved (7.4) og R ved (7.48), kan jodtykket på væggen q bestees ved: cos sin q q cot c cot (7.50) sin Indsættes udtykket fo q, (7.47), fås den endelige foel fo jodtykket på væggen: cos sin sin q p c cot c cot (7.5) sin sin Jodtykket kan deles op i to dele, et staende fa ovefladelasten p og et fa kohæsionen c. Folene fo de to dele, hhv. q p og q c blive: cos sin sin q p p (7.5) sin sin q c cos sin sin c cot (7.53) sin sin Løsningen fo bidaget fa ovefladelasten p, (7.5), e identisk ed løsningen fo fiktionsjod, (7.6). BYGDTU 75

94 Løsningen foudsætte selvfølgelig igen at <. Såfet dette ikke e tilfælde, e jodtykket fa ovefladelasten p bestet ved den hoogene spændingstilstand i vinklen. Løsningen findes ved at bestee spændingskoposantene i et snit unde vinklen ed vandet so vist i figu 7.4: -p - q -q -a -c c Figu 7.4: Beegning af q i tilfælde af >. So det ses af figu 7.4, vil uheden ved væggen ikke væe fuldt udnyttet. Hovedspændingene i lodette og vandette snit e hhv.: sin p c cot c cot sin p (7.54) Vha. tansfoationsfolene fo plane spændingstilstande findes jodtykket til: sin cos cos sin q sin cos p c (7.55) sin sin Foskydningsspændingen e givet ved: sin sin cos sin q sin p c (7.56) sin sin 7.3. Jodtyk fo u væg, = og a=c. I tilfælde af aksial uhed, = og a=c, fås følgende udtyk fo : 4 (7.57) Vinklen til diskontinuitetslinien bestees ved: Ac sin sin sin (7.58) 4 4 Udtykkene fo jodtykket på væggen kan educees til: 76 BYGDTU

95 sin sin q p p (7.59) sin cos sin sin q c c cot (7.60) sin cos Foel (7.59) e identisk ed ligning (7.), so e løsningen fo fiktionsjod. Den elative vædi af q p kan heved aflæses af figu 7.6. Den elative vædi af q c kan aflæses af figu 7.5 so funktion af fiktionsvinklen. Kuvene e tegnet fo foskellige vædie af vinklen. BYGDTU 77

96 0-0,5 - -,5 Relativt jodtyk qc/c - -,5-3 -3, Fiktionsvinkel Figu 7.5: Det elative jodtyk q c /c på u støtteu fo fiktions- og kohæsionsjod so funktion af fiktionsvinklen ved anvendelse af én diskontinuitetslinie 78 BYGDTU

97 8 Vilkålig u støtteu ed hældende jodoveflade p p tan Diskontinuitetslinie q q tan Figu 8.: Ru støtteu ed hældende jodoveflade I dette afsnit behandles det geneelle tilfælde, hvo både væggen og jodovefladen kan have vilkålig hælding. Væggen e u og jodtykket e so fø betegnet ed q. Belastningen på jodovefladen e en tykspænding p og en foskydningsspænding givet ved en fiktionsvinkel. Skillefladen elle væg og jod ha fiktionsvinklen. Foholdene e illusteet i figu 8.. Hældningen af ovefladen ha ingen estiktione i dette tilfælde, hvo de ses bot fa egenvægten. I tilfældet ed egenvægt vil de natuligvis væe begænsninge fo, hvo sto en hældning, de e ulig. De nye løsninge e saenlignet ed eksisteende teoi i kapitel 7. BYGDTU 79

98 8. Fiktionsjod De Moh ske cikle e vist i figu 8.. Diskontinuitetslinien ligge unde en vinkel egnet fa den fie jodoveflade. Fotegnsegning e so tidligee. De indføes de i figuen viste spændinge q og p sat vinklene og. (-q,-qtan ) -p -q (-p,-ptan ) Figu 8.: Moh s cikle. Ru væg. Vilkålig hældning af jodoveflade. Fiktionsjod Vinklene og e funktione af fiktionsvinklen fo ovefladelasten og vægfiktionsvinklen. Vinklen elle et snit ed hovedspændingen q og diskontinuitetslinien ses af figu 8. at væe -+. Vinklen elle et snit ed hovedspændingen p og diskontinuitetslinien ses at væe væe +. Vinklen e defineet so på figu 7.. Det ses at: sin Ac sin sin (8.) -p () Figu 8.3: Saenhæng ielle vinklene og 80 BYGDTU

99 I figu 8.3 e saenhængen elle vinklene og vist. Da e kendt kan vinklen bestees so funktion af vinklen. Opstilles sinuselationen fo tekanten, de ha vinklene, - og -, fås: sin sin sin (8.) Det ses, at iddelspændingen () kan botfokotes. Heved fås: sin sin sin (8.3) sin Det ses på figu 8.3 at linien, so e bestet af vægfiktionsvinklen, skæe den Moh ske cikel to stede. Dvs. at de findes to løsninge. Løsningen fo den fuldt optukne linie e vist i (8.). Denne løsning svae til føste og tedje led i (8.3). Løsningen fo den punkteede linie svae til andet og tedje led i (8.3). Den bugbae løsning e den i figuen viste fuldt optukne linie: So det ses kan højesiden skives på to foe. Løsning ed hensyn til den føste ligning i (8.3) give den punkteede løsning i figu 8.3. Den bugbae løsning e den i figuen fuldt optegnede: sin Ac sin sin (8.4) Middelspændingene svaende til de Moh ske cikle i figu 8. kan udtykkes ved: p sin q sin (8.5) (8.6) Kontinuitetsbetingelsen fo foskydningsspændingsspændingene give: sin sin sin sin sin sin (8.7) Udfa kontinuitetsbetingelsen fo noalspændingene fås: sin cos sin cos (8.8) Indsættes (8.7) i (8.8) fås en ligning til besteelse af : sin sin cos sin sin cos (8.9) BYGDTU 8

100 Det ses at ligningene (8.7) og (8.9) e identiske ed ligningene (7.9) og (7.0), botset fa at vinklene e ændet. Ved at tage højde fo de ændede vinkle koe løsningen til se ud so følge: Ac sinsin sin (8.0) Nå vinklen e bestet udfa (8.0) kan tyknoalspændingen q findes ved indsætte (8.5) og (8.6) i (8.7). Heved fås: sin sin q p (8.) sin sin Oegningen fa q til q e identisk ed (7.5), idet definitionen af og e den sae: sin q q (8.) cos sin R -p -p () Figu 8.4: Oegning fa p til p Den Moh ske cikel i figu 8.4 e bestet ved iddelspændingen () og Radius R. Ved flydning kan adius R udtykkes ved iddelspændingen () og fiktionsvinklen. Vi få: () R sin (8.3) Udfa figu 8.4 fås følgende foel fo p: () R cos (8.4) p Idet iddelspændingen () e givet ved (8.5) og R e givet ved (8.3) kan noalspændingen p på ovefladen bestees: sin p p (8.5) cos sin Indsættes udtykkene fo p og q, (8.5) og (8.), i (8.), fås den endelige foel fo jodtykket på væggen: 8 BYGDTU

101 cos sin sin q p (8.6) cos sin sin Løsningen foudsætte selvfølgelig at <, da diskontinuitetslinien i odsat fald ligge udenfo joden, hvilket ikke kan lade sig gøe. Hvis kan jodtykket bestees ud fa den hoogene spændingstilstand i vinklen. - q -p -p -q Figu 8.5: Beegning af q i tilfældet. So det ses af figu 8.5, vil uheden ved væggen ikke væe udnyttet i dette tilfælde. Hovedspændingene kan bestees udfa spændingen p på ovefladen: sin p sin (8.7) p Vha. af tansfoationsfolene fo plane spændingstilstande fås jodtykket til: sin q sin cos p cos sin sin sin cos p cos sin (8.8) og foskydningsspændingen e givet ved: sin sin sin q sin p sin p sin cos sin (8.9) 8.. Jodtyk fo u væg, = I tilfælde af aksial uhed = fås følgende udtyk til besteelse af : 4 (8.0) BYGDTU 83

102 Vinklen til diskontinuitetslinien kan bestees ved: Ac sin sin sin (8.) 4 4 Jodtykket på væggen kan educees til: sin sin q p (8.) cos sin cos 8. Kohæsionsjod -c -p -q -a c Figu 8.6: Moh s cikle. Ru væg. Vilkålig hældning af jodoveflade. Kohæsionsjod Fo kohæsionsjod foløbe beegningene so følge. Vinklen e defineet so i figu 7.7, og e defo bestet ved (7.4): a Ac sin (8.3) c Middelspændingene blive: p c (8.4) q c (8.5) Kontinuitetsbetingelsen fo foskydningsspændingene lyde: c sin c sin (8.6) Idet vinklene indenfo sinusfunktionene å væe ens fås til: (8.7) 84 BYGDTU

103 Løsningen fo e kun gyldig såfet e inde end, da diskontinuitetslinien elles vil ligge udenfo joden. Benyttes fa (8.7) fås følgende kav: (8.8) Kontinuitetsbetingelsen fo noalspændingene give: c cos c cos Idet det benyttes, at e kendt fa (8.7) fås: cos c cos c q c c cos p c c cos q p c cos (8.9) Oegningen fa q til q e identisk ed (7.3), idet og e defineet ens: q c c cos (8.30) q -c -p -p () c Figu 8.7: Oegning fa p til p Oegningen fa p til p kan ifølge figu 8.7 skives: p c c cos (8.3) p Indsættes de kendte støelse, p fa (8.3) og q fa (8.30), i (8.9) fås: p c cos cos cos (8.3) q Såfet (8.8) ikke e opfyldt vil uheden ikke blive fuldt udnyttet. Spændingsfeltet e hoogent. BYGDTU 85

104 -c -a -p -q c Figu 8.8: Beegning af q i tilfældt I figu 8.8 e spændingstilstanden optegnet. Vi finde: p c cos cos (8.33) q 8.. Jodtyk fo u væg, a=c I tilfælde af aksial uhed, dvs. a=c, fås at vinklen e bestet ved: 4 Deved kan vinklen bestees ved: 8 (8.34) (8.35) Kavet fo en tilladelige løsning, dvs. at (8.8) e opfyldt, koe til at lyde: (8.36) 4 Endelig fås jodtykket til: q p ccos cos (8.37) 4 86 BYGDTU

105 8.3 Fiktions- og kohæsionsjod (-q,-qtan ) -c -p -q c (-p,-ptan ) () () Figu 8.9: Moh s cikle. Ru væg. Jodoveflade ed vilkålig hældning. Fiktions- og kohæsionsjod I dette afsnit behandles det tilfælde, hvo joden ha både fiktion og kohæsion. De Moh ske cikle e i vist i figu 8.9. Vinklene og e so ovenfo funktione af fiktionskoefficienten fo ovefladelasten og vægfiktionsvinklen. Vinklen elle et snit ed hovedspændingen q og diskontinuitetslinien ses af figu 8. at væe -+. Vinklen elle et snit ed hovedspændingen p og diskontinuitetslinien ses at væe væe +. Vinklen e defineet so på figu 8. og kan bestees ved (8.), dvs.: sin Ac sin sin (8.38) Vinklene og e defineet so vist på figu 8.. Dette betyde, at vinklen e bestet ved (8.4), dvs.: sin Ac sin (8.39) sin Middelspændingene () og () i figu 8.9 kan udtykkes ved: p c cot sin q c cot sin (8.40) (8.4) Kontinuitetsbetingelsen fo foskydningsspændingene give: sin sin sin sin BYGDTU 87

106 sin sin (8.4) Kontinuitetsbetingelsene fo noalspændingene føe til: sin cos sin cos (8.43) Indsættes (8.4) i (8.43) fås en ligning til besteelse af : sin sin cos sin sin cos (8.44) Det ses at ligningen e identisk ed (8.9), hvoved løsningen koe til se ud so følge: Ac sinsin sin (8.45) Nå vinklen e bestet af (8.45) kan tyknoalspændingen q findes ved indsætte (8.40) og (8.4) i (8.4). Heved fås: sin sin q p c cot c cot (8.46) sin sin Oegningen fa q til q e identisk ed (8.): sin q q c cot c cot cos sin Oegningen fa p til p e identisk ed (8.5): sin p p c cot c cot cos sin (8.47) (8.48) Indsættes udtykkene fo p og q, (8.47) og (8.48) i (8.46), fås den endelige foel fo jodtykket på væggen: q cos sin sin p c cot c cot (8.49) cos sin sin Jodtykket q kan deles op i to dele fa henholdsvis ovefladelasten p og kohæsionen c: cos sin sin q p p (8.50) cos sin sin q c sin cos sin c cot (8.5) cos sin sin Jodtykket fa ovefladelasten (8.50) e identisk ed (8.6), so e løsningen fo fiktionsjod. 88 BYGDTU

107 Løsningen foudsætte selvfølgelig at <, da diskontinuitetslinien elles ligge udenfo joden, hvilket ikke kan lade sig gøe. I dette tilfælde kan jodtykket, so tidligee, bestees vha. den hoogene spændingstilstand i oådet svaende til vinklen. - q -p -p -q Figu 8.0: Beegning af q i tilfældet. So det ses af figu 8.0, vil uheden af væggen ikke væe fuldt udnyttet. Hovedspændingene kan bestees ud fa p : sin p cot c cot sin p (8.5) Vha. tansfoationsfolene fo plane spændingstilstande findes: sin cos cos sin q sin cos p c sin sin (8.53) Foskydningsspændingen e givet ved: sin sin cos sin q sin p c sin sin (8.54) Anvendes oegningen fa p til p fås: sin cos cos sin q p c cos sin cos sin (8.55) sin sin cos sin q p c cos sin cos sin (8.56) BYGDTU 89

108 90 BYGDTU 8.3. Jodtyk fo u væg, = og a=c I tilfælde af aksial uhed = fås følgende udtyk fo : 4 (8.57) Vinklen fa jodovefladen til diskontinuitetslinien kan bestees ved: sin sin sin Ac 4 4 (8.58) Jodtykket kan educees til: cos sin sin cos sin p q (8.59)

109 9 Anvendelse af flee diskontinuitetslinie I det følgende udvikles løsninge ed flee diskontinuitetslinie. Så vidt vides e disse løsninge nye. Nå vinklen e tilstækkelig sto e de ulighed fo at anvende flee end én diskontinuitetslinie. Ved at anvende flee diskontinuitetslinie få an en bede nedevædiløsning. Ved en bede nedevædi fostås, so tidligee nævnt, at jodtykket q educees i det aktive tilfælde. p q To diskontinuitetslinie Figu 9.: Jodpoble ed to diskontinuitetslinie I figu 9. e vist et tilfælde hvo de e benyttet to diskontinuitetslinie. Vinklen fa ovefladen til den føste diskontinuitetslinie e, vinklen elle de to diskontinuitetslinie e. punkte svaende til diskontinuitetslinie - - () (3) () Figu 9.: Moh s cikle tegnet fo tilfældet ed to diskontinuitetslinie i fiktionsjod BYGDTU 9

110 På figu 9. e Moh s cikel tegnet fo de te spændingsfelte i fiktionsjod. Det ses at vinklen indst skal væe / fø det e uligt at indføe en ny diskontinuitetslinie. E vinklen sto nok til at én ny diskontinuitetslinie kan indføes, kan an i pincippet indføe uendelig ange diskontinuitetselinie. Fo hve eksta diskonitituitetslinie de indføes, blive nedevædiløsningen fobedet. I det følgende gennegås gænsetilfældet, hvo de e indføt uendelig ange diskontinuitetslinie. p p tan q Diskontinuitetslinie q tan Figu 9.3: Jodpoble ed uendelig ange diskontinuitetslinie 9 BYGDTU

111 9. Fiktionsjod Rd R= - sin d ( = 0 ) d Figu 9.4: Infinitesial ænding af vinklen fo fiktionsjod Gænsetilfældet uendelig ange diskontinuitetslinie e vist i figu 9.4. Vinklen e vinklen elle føste diskontinuitetslinie og en vilkålig diskontinuitetslinie. Den infinitesiale ænding af vinklen d e vist i figuen. Udfa denne fås at ændingen af iddelspændingen e givet ved: R d d cos Ligningen kan skives R d d cos (9.) Indsættes R so funktion af so angivet i figu 9.4 fås: tan 0 (9.) Den spændingstilstand, de svae til uendelig ange diskontinuitetslinie, findes ved løsning af denne ligning til: tan e 0 (9.3) BYGDTU 93

112 e tan cos -- -p -q () () Figu 9.5 Fiktionsjod, uendelig ange diskontinuitetslinie Middelspændingen svaende til den føste Moh s cikel () kan udtykkes ved ovefladelasten p, på følgende åde: p (9.4) cos( )sin Vi sætte () lig ed 0 i foel (9.3). En vilkålig anden Moh's cikel svaende til iddelspændingen () på figu 9.5 findes fo en dejning. Denne iddelspænding blive: p tan e (9.5) cos( )sin Oegning fa iddelspændingen () til jodtykket q e givet ved: q cos( ) sin (9.6) Indsættes (9.5) i (9.6) fås den endelige foel til beegning af jodtykket q på væggen: cos( )sin tan q p e cos( )sin (9.7) Vinklen bestees ved: (9.8) Løsningen gælde selvfølgelig kun såfet e positiv. Benyttes denne løsning så længe e positiv og løsningene fo én diskontinuitetslinie såfet dette ikke e tilfældet, vil figu 6.3 og figu 7.6 blive odificeet so vist i henholdsvis figu 9.6 og figu BYGDTU

113 0,9 0,8 0,7 Relativt jodtyk q /p 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, Fiktionsvinkel Figu 9.6: Det elative jodtyk q/p på glat støtteu fo fiktionsjod so funktion af fiktionsvinklen ved anvendelse af én elle flee diskontinuitetslinie BYGDTU 95

114 0,9 0,8 0,7 Relativt jodtyk q /p 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, Fiktionsvinkel Figu 9.7: Det elative jodtyk q/p på u støtteu fo fiktionsjod so funktion af fiktionsvinklen ved anvendelse af én elle flee diskontinuitetslinie 96 BYGDTU

115 9. Kohæsionsjod Rd -c R=c d (= 0 ) d Figu 9.8: Infinitesial ænding af vinklen fo kohæsionsjod Fo kohæsionsjod e foholdene illusteet i figu 9.8. Udfa figuen fås, at ændingen af iddelspændingen e givet ved: d Rd (9.9) de kan skives: d Rd So vist i figu 9.8 ha vi R=c, dvs.: c 0 (9.0) (9.) de give: 0 c (9.) BYGDTU 97

116 c -c -- -p () () -q Figu 9.9 Kohæsionsjod, uendelig ange diskontinuitetslinie So fø gælde løsningen selvfølgelig kun såfet e positiv. Middelspændingen fo den føste Moh s cikel, (), kan udtykkes ved ovefladelasten p ved: c cos (9.3) p Sættes () lig ed 0 i foel (9.) kan iddelspændingen fo en vilkålig Moh s cikel, (), svaende til en dejning bestees so vist i figu 9.9. Deved blive: p c cos c (9.4) Oegning fa iddelspændingen () til q e givet ved: c cos (9.5) q Indsættes (9.5) i (9.4) fås den endelige foel fo beegning af jodtykket q på væggen: p c cos cos (9.6) q Vinklen e givet ved: (9.7) Benyttes denne løsning så længe e positiv og løsningene fo én diskontinuitetslinie såfet dette ikke e tilfældet, blive figu 6.5 og figu 7.0 odificeet so vist i henholdsvis figu 9.0 og figu BYGDTU

117 0,9 0,8 0,7 Relativt jodtyk q /p 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 0 0, 0,4 0,6 0,8 Relativ kohæsion c /p Figu 9.0: Det elative jodtyk q/p på glat støtteu fo kohæsionsjod so funktion af den elative kohæsion c/p ved anvendelse af én elle flee diskontinuitetslinie BYGDTU 99

118 Relativt jodtyk q /p Relativ kohæsion c/p Figu 9.: Det elative jodtyk q/p på u støtteu fo kohæsionsjod so funktion af den elative kohæsion c/p ved anvendelse af én elle flee diskontinuitetslinie 00 BYGDTU

119 9.3 Fiktions- og kohæsionsjod Rd R= c cos- sin d -c (= 0 ) d Figu 9.: Infinitesial ænding af vinklen fo fiktions- og kohæsionsjod Den infinitesiale ænding d af vinklen, nå det deje sig o fiktions- og kohæsionsjod, e vist på figu 9.. Udfa figuen ses, at ændingen af iddelspændingen e givet ved: R d d (9.8) cos de kan skives: R d d cos Indsættes R so funktion af so vist i figu 9. fås: tan c 0 (9.9) (9.0) Løsning af denne ligning give e tan 0 c cot (9.) BYGDTU 0

120 e c cot tan cos -- -p -q () () -c Figu 9.3: Fiktions- og kohæsionsjod, uendelig ange diskontinuitetslinie Middelspændingen svaende til den føste Moh s cikel () kan he udtykkes ved ovefladelasten p, på følgende åde: p cot c cot (9.) cos( )sin Vi sætte () lig ed 0 i foel (9.). Middelspændingen fo en vilkålig Moh s cikel () svaende til en dejning e vist i figu 9.3 Det ses at: p cot tan c cot e c cot cos( )sin (9.3) Oegning fa iddelspændingen () til jodtykket q e givet ved: q c cot cos( )sin c cot (9.4) Indsættes (9.3) i (9.4) fås følgende foel fo beegning af jodtykket q på væggen: cos( )sin tan q p c cot e c cot cos( )sin (9.5) Jodtykket kan deles op i to dele, en fa ovefladelasten p og en fa kohæsionen c: cos( )sin tan q p p e (9.6) cos( )sin cos( )sin tan q c c cot e (9.7) cos( )sin 0 BYGDTU

121 hvo (9.8) So fø gælde løsningen selvfølgelig kun såfet e positiv. Benyttes denne løsning så længe e positiv og løsningene fo én diskontinuitetslinie såfet dette ikke e tilfældet, blive figu 6.7 og figu 7.5 odificeet so vist i henholdsvis figu 9.4 og figu 9.5. Figuene vise det elative jodtyk q c /c på væggen so funktion af fiktionsvinklen. Kuvene e tegnet fo foskellige vædie af. BYGDTU 03

122 0-0,5 - -,5 Relativt jodtyk qc/c - -,5-3 -3, Fiktionsvinkel Figu 9.4: Det elative jodtyk q c /c på glat støtteu fo fiktions- og kohæsionsjod so funktion af fiktionsvinklen ved anvendelse af én elle flee diskontinuitetslinie 04 BYGDTU

123 0-0,5 - -,5 Relativt jodtyk qc /c - -,5-3 -3, Fiktionvinkel Figu 9.5: Det elative jodtyk q c /c på u støtteu fo fiktions- og kohæsionsjod so funktion af fiktionsvinklen ved anvendelse af én elle flee diskontinuitetslinie BYGDTU 05

124 06 BYGDTU

125 0 Jodtyksløsninge unde hensyn til egenvægt I dette afsnit behandles vægge i jod so alene e påviket af egenvægtsbelastning. Såfet jodovefladen også e påviket af en ovefladelast kan jodtykket fa denne last supeponees ed ande løsninge, jf. eglene fo supeposition, so gennegås i afsnit Nedevædiløsninge 0.. Supeposition af jodtyksløsninge, II I R R R Figu 0.: Supeposition af spændingstilstande De ses på supeposition af de to spændingstilstande I og II so vist i figu 0.. Spændingstilstandene e kaakteiseet ved dees iddelspændinge () og (), og en spændingsvekto ed længden hhv. R og R. Den supeponeede spændingstilstand e kaakteiseet ved sin iddelspænding, so e suen af de to spændingstilstandes iddelspændinge () og (), og ved spændingsvektoen R so e suen af spændingsvektoene R og R (vektoaddition). Spændingstilstanden I opfylde budbetingelsene svaende til en fiktionsvinkel og en kohæsion c. Spændingstilstanden II opfylde budbetingelsen svaende til fiktionsvinklen og kohæsionen 0. Denne opdeling skyldes, at det vise sig at en BYGDTU 07

126 supeposition af spændingstilstande kun e tilladelig, nå højst én af spændingstilstandene udnytte kohæsionen c. Radiene på de Moh'ske cikle, se figu 0., so beskive de to spændingstilstande, kan skives: ( ) R c cot sin (0.) ( ) R sin (0.) Såfet den supeponeede spændingstilstand skal væe tilladelig, å det gælde at adius fo den Moh'ske cikel, de beskive denne spændingstilstand, se figu 0., skal oveholde følgende betingelse: R c cot sin (0.3) Det ses. at R og R kan have en vilkålig etning og kun dees længde e begænset. Endvidee ses, at den supeponeede spændingsvekto R få sin aksiale længde såfet R og R ha sae etning. I dette tilfælde vil længden, den supeponeede spændingsvekto R, væe suen af længdene af de to spændingsvektoe R og R. Vi få heed følgende kav: R R R c cot sin (0.4) Indføes (0.5) blive (0.3) og (0.4) identiske. Det e heed vist at fo nedevædiløsninge kan to tilladelige spændingstilstande supeponees såfet an kun fo den ene ha edegnet kohæsionen c. Det ses ud fa figu 0. at denne supepositionslov e eget konsevativ, såfet de to spændingsvektoe R og R e odsat ettet. 0.. Ligevægtsbetingelse Ligevægtsbetingelsene i afsnit.. ændes, nå de tages hensyn til egenvægten, se [9,]. Vi betegne densiteten ed og tyngdeacceleationen ed g. Randbetingelsene e so fø. 08 BYGDTU

127 0... Rektangulæe koodinate dy y x xy x y y dy y dx y gdxdy xy yx dy y yx x x dx x xy xy dx x Figu 0.: Rektangulæe koodinate Ligevægtsbetingelsene fo et infinitesialt eleent unde hensyn til egenvægten kan udledes vha. figu 0.. Betegnelsene e so i afsnit.3... Tyngdekaften på det i figuen viste eleent e gdxdy og danne vinklen ed x-aksen. Rotationsligevægt o eleentets idtepunkt: xy yx 0 xydy dx yxdx dy xy dx dy dx yx dy dx dy x y (0.6) yx xy Pojektion i x-aksens etning: x xdy x dxdy x yx dx yx yx y dy dx g cosdxdy 0 BYGDTU 09

128 Vha. (0.6) fås: x xy g cos x y Pojektion i y-aksens etning: y ydx y dy dx y y xy g sin y x xy dy xy xy x dx dy g sindxdy 0 (0.7) (0.8) Dette e ligevægtsligningene i ektangulæe koodinate Polæe koodinate d d d gdd d d d Figu 0.3: Polæe kooodinate De efeees til figu 0.3. Betegnelsene e so i afsnit.3... Tyngdekaften på det viste eleentet e gdd og ha sae etning so -aksen. Rotationsligevægt o eleentets idtepunkt: d d d d d d d d d d d (0.9) 0 0 BYGDTU

129 Ligevægtsbetingelsene udtykkes noalt ved. Radiæ pojektion: d d d d d dd g sindd 0 d dd Idet (0.9) e benyttet fås: g sin (0.0) Pojektion på -etning: d d dd d d d dd g cosdd 0 g cos (0.) 0..3 Flydebetingelsen Flydebetingelsen e uændet, dvs.: c tan (0.) Saenhængen elle foskydnings- og noalspændinge e so tidligee: n tan ctan (0.3) t c tan nt 0..4 Rankine zonen Rankine zonen, se afsnit.3.4, kan let udvides til også at gælde fo et oåde ed egenvægt. Spændingskoponentene i x,y-koodinatsysteet e: x tan c tan y (0.4) c tan xy BYGDTU

130 Indsættes disse spændinge i ligevægtsligningene i etvinklede koodinate, (0.7) og (0.8), fås to ligninge til besteelse af de statisk ulige spændingsfodelinge: tan tan g cos (0.5) x y tan g sin (0.6) y x Multiplicees den sidste ligning (0.6) ed tan og addees den til den føste ligning (0.5), fås at: sin tan cos g (0.7) x tan Nå (0.5) ultiplicees ed tan og (0. ) ultiplicees ed tan og ligningene addees fås: sin tan cos tan g (0.8) y tan x Det ses, at y e lig ed, dvs. at kan bestees ved integation langs y x en vilkålig vej. Vi få således: sin tan cos sin tan cos tan g x g y k (0.9) tan tan hvo k e en konstant, lig ed i punktet (0,0). I tilfældet af kohæsionsjod, kan (0.9) educees til: gx cos gy sin k (0.0) 0..5 Statisk tilladelig hældning fo jodoveflade En statisk tilladelige hældning fo en jodoveflade, e en hældning, de svae til en tilladelig spændingstilstand so opfylde andbetingelsene fo ovefladelasten. I tilfældet af en fi oveflade, skal spændingene på ovefladen således væe nul. Det e uligt at finde en sådan oveflade fo Rankine zonen, (0.4), idet denne give et lineæt foløb af spændingene, dvs. det e uligt at finde en nullinie. BYGDTU

131 0..5. Kohæsionsjod I tilfældet kohæsionsjod fås af (0.0): gx cos gy sin k (0.) Spændingene blive: gx cos gy sin k x gx cos gy sin k (0.) y xy c Det ses, at nullinien danne en vinkel på 45 ed y-etningen, da dette e den eneste ulighed fo at få foskydningsspændinge lig ed nul. Nulinien ligge altså i snit ed hovedspændingene, de e: c gx cos gy sin k (0.3) c gx cos gy sin k (0.4) Ligningene fo nullinien i x,y-koodinatsysteet e, y=x, hvo betyde + elle -. Vælges at føste hovedspænding skal væe nul, skal k sættes til -c/. Heved fås en ligning til besteelse af : gx cos gx sin 0 (0.5) Da denne ligning skal væe opfyldt fo ethvet x, fås: tan 45 (0.6) Løsningen (0.6) gentages selvfølgelig ed peioden, en da det e de sae løsninge, de fekoe, e disse ikke edtaget. Hældningen af jodovefladen fås so tangens til suen af vinklen og vinklen elle nullinien og y-etningen, so vist i figu 0.4. Jodovefladen vil so ventet væe vandet. y -45 x Figu 0.4: Hældning af fi oveflade fo kohæsionsjod En kohæsionsjod kan altså ikke have en stabil skåning ed sto udstækning. Man kan dog godt have en skåning ed en begænset udstækning. Man udnytte i dette BYGDTU 3

132 tilfælde ikke ateialet til bud. Af denne gund fekoe den velkendte løsning svaende til lodet, fi oveflade ed en højde, de give spændinge inde end elle lig ed tykstyken c, ikke af ovenstående analyse. 4 BYGDTU

133 0..5. Fiktionsjod y x Figu 0.5: Hældning af fi oveflade fo fiktionsjod I tilfældet fiktionsjod, ses det af (0.4), at fo =0 e alle spændinge lig ed nul. Dvs. at betingelsen =0 give en ligning til besteelse af nullinien: sin tan cos sin tan cos tan g x g y k 0 (0.7) tan tan Den vinkel nullinien danne ed lodet afhænge af den vinkel, so x, y- koodinatsysteet danne ed lodet, se figu 0.. He vælges x, y- koodinatsysteet således at oigo ligge på ovefladen, dvs. at konstanten k nul. Nulliniens hældning a i x,y-koodinatsysteet e iht. (0.7): y sin tan cos a (0.8) x sin tan cos tan BYGDTU 5

134 y Jodoveflade ed hældning b i fohold til vandet. cos sin a asin acos x Figu 0.6: Placeing af x,y-koodinatsyste og jodoveflade Af figu 0.6 ses, at hældningen af nullinien, dvs. den fi oveflade, i fohold til vandet, e givet ved: a sin cos b a cos sin Indsættes (0.8) hei, fås: tan cos sin tan b sin tan cos sin tan I figu 0.7 e b vist so funktion af fo =30. De i figuen viste fede stege svae til en hældning b lig ed fiktionskoefficienten =tan. Hældning af jodoveflade b 0,8 0,6 0,4 0, 0-0, -0,4-0,6-0, Positiv hældning af jodoveflade Negativ hældning af jodoveflade Figu 0.7: Hældning b af jodoveflade so funktion af, fiktionsvinkel =30 6 BYGDTU

135 Ønskes nueisk støste hældning af den fi oveflade, å hældningen optiees ed hensyn til, hvilket give =n. Uanset vædien af fiktionskoefficienten, fås altså at den nueisk støste hældningen af jodovefladen blive =tan. Fo fiktions- og kohæsionsjod e den statisk tilladelige hældning den sae so fo fiktionsjod, specielt e den optieede hældning =tan Pandtl zonen I et polæt koodinatsyste, tilfedsstilles flydebetingelsen af spændingene: tan c tan (0.9) c tan Indsættes spændingene (0.9) i ligevægtsligningene, (0.0) og (0.), fås to ligninge til besteelse af statiske ulige spændingsfelte: c tan tan g sin (0.30) tan ctan tan tan g cos (0.3) Løses disse ligninge ht. og, og beegnes de blandede. afledede finde an, at disse blive foskellige. Dette betyde, at ligningene (0.30) og (0.3) ikke ha nogen løsning fo spændingsfeltet. Pandtl zonen e defo ikke en nedevædiløsning fo kohæsions- og fiktionsjod i tilfældet ed egenvægt. Fo kohæsionsjod kan (0.30) og (0.3) educees til: c g sin (0.3) g cos (0.33) Løsningen til disse ligninge lyde: c g cos k (0.34) hvo k e en konstant. BYGDTU 7

136 0. Øvevædiløsninge Medtagelse af egenvægten give ingen ænding af de geoetiske betingelse og flydeloven. Disse kan opstilles so i afsnit.4. og.4.. I abejdsligningen å tyngdekæftenes abejde natuligvis edtages. E flytningene i lodet etning u L egnet positivt i tyngdens etning, e det yde abejde af tyngdekæftene: A u gdv (0.35) V L He e V voluenet af joden. 8 BYGDTU

137 Eksakte løsninge unde hensyn til egenvægt I det følgende vises, hvoledes løsningene i kapitel 4 kan udvides, nå egenvægten edtages. Fo statisk tilladelige løsninge skal nu benyttes ligevægtsligningene i afsnit 0... Øvevædiløsninge udledes ved benyttelse af de sae flytningsfelte, eneste ænding i abejdsligningen e defo, at abejdet (0.35) skal edtages. I kapitel 4 indføtes betegnelsene: A c : Totale dissipation p. enhedstykkelse. A p : Abejde fa jævnt fodelt ovefladelast p. enhedstykkelse. He benyttes ydeligee betegnelsen: A : Abejde fa egenvægten p. enhedstykkelse p oveflade Støtteu, væg Figu.: Pincipskitse af støtteu, væg Fo alle løsninge gælde at væggen e lodet og at vinklen elle væg og oveflade e et so vist i figu.. Ovefladen e påviket af spændingen p (tyknoalspænding). I øvevædiløsninge edtages jodtykkets abejde so abejdet ligeso i kapitel 4 fa en yde last Q. Jodtykket bestees ved at diffeentiee Q ht. en lodet koodinat. Abejdet fa Q betegnes A Q. Det søgte jodtyk betegnes q (q p, q c, q etc.). BYGDTU 9

138

139

140 p c 45 c y x Figu.3: Betegnelse fo spændinge langs oveflade Lodet pojektion fo et punkt på den vandette oveflade kæve: p c x x, y x y x, y x 0 de give p c k 0 dvs. k p c y 45 c q x Figu.4: Betegnelse fo spændinge langs væg BYGDTU

141 BYGDTU 3 Vandet pojektion fo et punkt langs væggen: y x y x c q y x c p k g g c p k g g c q dvs. c g p q 0 Løsningen e den sae so øvevædiløsningen, dvs. den e eksakt. Løsningen svae til den i paksis anvendte, de e baseet på Binch Hansens teoi [53.], se næee heo i kapitel 7... Ru væg u Q x y Figu.5: Betegnelse fo flytninge Øvevædiløsning. Vi benytte sae flytningstilstand so i afsnit 4..: Flytninge i felt 0 u 0 0 u u Koodinatsysteet v. e vist i figu.5. Tøjningene i felt blive da: 0 u 0 u u

142

143 de give: Q p 0 g0 c Jodtykket findes heved til: dq q p g d0 6 0 c 4 Bidagene q p, q c og q blive da: q p p konstant, dvs. p p qc c konstant, dvs. c c 4 q g0 de e popotional ed 0, dvs. 3 3 Jodtykket blive således: q p g0 c Nedevædiløsning. Spændingstilstand i felt sættes so fo glat væg til: x gx gy p c y gx gy p c xy c Ovegangbetingelse ielle zone og (y=0, x=): y x, y 0 g p c xy c Vi sætte fosøgsvis, idet k e en konstant, jf. (0.34):, c g cos k og få da ovegangsbetingelsen fo : 4, c g k g p c 4 BYGDTU 5

144 de e opfyldt hvis k p c c Heved fås:, c g cos p c Jodtykket findes heefte til: q, 0 p g c Både ligevægtsbetingelsene og flydebetingelsen e tilfedsstillet. Jodtykket svae til øvevædiløsningen. De e altså tale o en eksakt løsning. Løsningen svae til den i paksis anvendte, de e baseet på Binch Hansens teoi, [53.], se næee heo i kapitel Ru væg, topplade Øvevædiløsning. u 0 0 Q 0 Figu.6: Betegnelse fo flytninge Vi benytte sae flytningstilstand so i afsnit 4..3, dvs.: u 0 u u0 0 Koodinatsysteet v. e vist i figu.6. Tøjningene blive: u 0 u u 0 6 BYGDTU

145

146 Nedevædiløsning. Vi sætte fosøgsvis, idet k e en konstant, jf. foel (0.39),, c g cos k Randbetingelse: ; p, c k p k c p Heved blive:, c p g cos Jodtykket blive da: q, p g c Det ses, at ligevægtsbetingelsene og flydebetingelsen e opfyldte. De e defo tale o en nedevædi. Løsningen svae til øvevædiløsningen. Den e defo eksakt. Løsningen svae til den i paksis anvendte, de e baseet på Binch Hansens teoi, [53.], se næee heo i kapitel 7.. Støtteue i fiktions- og kohæsionsjod.. Glat væg 0 Q 0 u 0 y x Figu.7: Betegnelse fo flytninge 8 BYGDTU

147

148

149 Nedevædiløsning. Vi gå nu tilbage til koodinatsysteet i afsnit 4.. vist i figu 4.7. Vinklen i folene (0.7) og (0.8) e lig ed. Ifgl.foel (.9) gælde geneelt: 4 tan ctan x y c tan xy Af (0.9) følge sin tan cos sin tan cos tan g x g y tan tan hvo k e en konstant. k Spændingstilstanden tilfedsstille ligevægtsbetingelsene og flydebetingelsen. p xy 4 xy y x Figu.8:Betegnelse fo spændinge fo et punkt på ovefladen I et punkt på ovefladen haves at e =k. x y tan, hvilket betyde at ved ovefladen 4 Lodet pojektion give betingelsen: p x cos y sin xy sin sin p tan k ctan sin k sin c k tan cos de føe til: p ctan sin c cos k p sin c cos tan sin sin BYGDTU 3

150 q 4 y xy xy x Figu.9: Betegnelse fo spændinge fo et punkt langs væggen Vandet pojektion fo et punkt langs væggen give: q x sin y cos xy sin cos Indsættes at x 0 cos, og at y 0 sin fås: 4 4 sin sin sin q p g0 c sin sin cos Dette e sae løsning so øvevædiløsningen. Løsningen e defo eksakt. Løsningen svae til den i paksis anvendte, de e baseet på Binch Hansens teoi [53.], se næee heo i kapitel 7... Ru væg De findes ingen eksakt løsning svaende til løsningen i afsnit 4... Felt i figu 4.0, e en Pandtl zone, fo hvilken de ikke eksistee en løsning unde hensyntagen til egenvægt...3 Ru væg, topplade Løsningen fa afsnit 4..3 kan ikke udvides til at gælde fo jod ed egenvægt, da de ikke eksistee nogen løsning fo denne zone unde hensyntagen til egenvægt. 3 BYGDTU

151 Øvevædiløsninge unde hensyntagen til egenvægt. Ru væg 0 Q 0 u 0 y x 4 Figu.: Betegnelse fo flytninge Øvevædiløsning. Vi benytte sae flytningsfelt i felt so i afsnit 4... Flytningene e defo i felt : u 0 tan u u e tan e 0 0 Koodinatsysteet v. e so vist i figu.. Tøjninge i felt : u 0 u tan u u0 tane u u u tan u 0 u e u e tan e Ovegangen til felt antages at ske fo 4 Fo e x=cos, y=-sin og u y =u cos, u x =u sin. 4 tan BYGDTU 33

152

153 BYGDTU 35 tan tan e sin cos gu sin tan cos e tan u g A tan tan tan tan e sin cos gu sin tan cos e tan u g A Abejdsligningen kan nu opskives: c Q p A A A A Fo oveskuelighedens skyld indføes betegnelsen C givet ved: gc u A Abejdsligningen kan da skives: tan tan e sin tan cu gc u e u p sin Q u Den give: tan tan e sin tan c gc e p sin Q Jodtykket blive: tan tan e sin c cot gc pe sin d dq q Heved findes følgende bidag q p, q c og q : tan p p pe sin q konstant, dvs. p tan c c e sin c cot q konstant, dvs. c gc q 0 3 de e popotional ed 0, dvs. 3 Støelsene q p og q c ha sae vædi so bestet i afsnit 4...

154 36 BYGDTU Heved findes jodtykket: 0 tan tan e sin c cot gc pe sin q hvo tan tan e sin cos sin tan cos e tan C Løsningen fo bidagene q p og q c til jodtykket, so e identisk ed løsningen fundet i afsnit 4.. beegnet fo vægtløs jod, svae til den i paksis anvendte, de e baseet på Binch Hansens teoi [53.], se næee heo i kapitel 7. Fo q ha Binch Hansen angivet en tilnæelsesfoel. Denne kan skives: sin tan c e, e sin g q I figu. e øvevædiløsningen fundet i nævæende afsnit saenlignet ed Binch Hansens tilnæelsesfoel. Det ses at løsningen fa dette afsnit ligge på den usike side i fohold til Binch Hansens foel, de foentlig give en bede løsning. Foskellen elle de to løsninge e dog ikke støe end at begge e bugbae i paksis.

155 00 Jodtykskoefficient q/g0 0 0, Fiktionsvinkel Øvevædiløsning fundet i nævæende afsnit. Binch Hansens foel Figu.: Saenligning af jodtykskoefficiente fo tilfældet u væg I figu. e jodtykskoefficienten q vist fo både aktivt og passivt tyk g 0 BYGDTU 37

156 . Ru væg, topplade Øvevædiløsning. Vi benytte sae flytningsfelt so i afsnit u 0 0 Q 0 Figu.3: Betegnelse fo flytninge Flytningene e altså: u 0 u u tan e 0 tan 0 Koodinatsysteet v. e vist i figu.3. Tøjningene blive: u 0 u tan u u0 tane u u u u 0 0e e 0 tan u e u tan 0 0 Fa afsnit 4..3 ha vi: cu00 tan Ac e d tan tan Ap p0u 0e u 0 Q A Q e tan 38 BYGDTU

157

158 40 BYGDTU

159 3 Diskontinuitetslinieløsninge Diskontinuitetsløsningene fa kaptilel 6 kan ikke uden videe benyttes, nå de skal tages hensyn til egenvægten, idet vi ikke længee kan have hoogene spændingsfelte. I Rankine zone vil de i stedet væe tale o spændingsfelte af typen (0.4) ed givet ved (0.9) Kontinuitetskavene til spændingene skal natuligvis væe opfyldt i ethvet punkt. Nå de ikke e tale o hoogene felte, e det ikke nok at opstille kavene i et punkt. Betagtes to zone og på hve sin side af en et diskontinuitetslinie e spændingspaaetene = fo zone og = fo zone : sin tan cos sin tan cos tan g y tan g x k tan sin tan cos sin tan cos tan g y tan g x k tan 0 (3.) 0 (3.) Vinklen kan bestees ved hjælp af andbetingelsene fo ovefladen, hvo k også kendes. De e altså ingen fie paaete i zone. Vinklen e fastlagt ved uheden af væggen. De e således kun to fie paaete, konstanten k og vinklen =, de bestee beliggenheden af diskontinuitetslinien, se f.eks. figu 8.. () () x, xy x, xy Figu 3.: Moh's cikle fo spændingsfeltene på hve side af en diskontinuitetslinie BYGDTU 4

160 Fo fiktionsjod fås iddelspændingene til, se figu 3..: tan g sin tan cos x g g sin tan cos tany k tan tan g sin tan cos x sin tan cos tany k tan (3.3) (3.4) He e k og k konstante. Kavet o kontinuitet af noalspændingene vinkelet på diskontinuitetslinien give: sin cos cos (3.5) Kontinuitetsbetingelsene fo foskydningspændingene ved diskontinuitetslinien give: sin sin sin sin (3.6) y y x Figu 3.: Retvinklede koodinate i de to zone x Intoducees to etvinklede koodinatsystee i de to zone ed x og x langs det ene sæt af budsnit, jf. figu 0.4 og figu 3., gælde: x cos y sin (3.7) y cos x y x sin (3.8) Indsættes (3.3), (3.4), (3.7) og (3.8) i (3.5) og (3.6), og indføes en koodinat langs diskontinuitetslinien, fås at og k skal bestees udfa to ligninge af typen: H H H H 3 H 4 5 H 6 H 7 H 8 (3.9) hvo alle konstantene H -8 vil væe afhængig af, H, H 4, H 6 og H 8 vil endvidee væe afhængig af k. Det vil kun i specielle tilfælde væe uligt at løse disse ligninge. Pobleet ed egenvægt kan defo ikke løses ved hjælp af en enkelt et diskontinuitetslinie. 4 BYGDTU

161 Pobleet kan deiod løses vha. en ku diskontinuitetslinie so påvist af Sokolovskii [65.]. De fundne spændingsfelte vil dog ikke væe beskevet af funktione af type (3.) og (3.). De vil defo kun i ganske få tilfælde kunne opfylde andbetingelsene. BYGDTU 43

162 44 BYGDTU

163 4 Suation af diskontinuitetslinieløsninge Belastningen fa egenvægt kan ses so en ække jævnt fodelte belastninge langs stile paallelle ed jodovefladen. Foholdene e illusteet fo en vandet jodoveflade i figu 4.. Stilen ha tykkelsen dt og vil deved give en jævnt fodelt belastning på gdt på den undeliggende jod. Denne belastning vil kun give jodtyk på væggen unde stielen. Jodtykket på væggen bestees ved suation af løsningene fo alle stilene ove koodinaten, hvo tykket ønskes bestet. Såfet egenvægten kun e en del af belastningen, å an kun edtage bidag fa kohæsionen c én gang, jf. afsnit 0... g dt dt Figu 4.: Opdeling af joden i vandette lag af tykkelsen dt BYGDTU 45

164 46 BYGDTU

165

166

167 0,9 0,8 0,7 Relativt jodtyk q /g 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, Fiktionsvinkel Figu 5.: Det elative jodtyk q/g på glat støtteu fo fiktionsjod so funktion af fiktionsvinklen ved anvendelse af én diskontinuitetslinie BYGDTU 49

168

169 0,9 0,8 0,7 Relativt jodtyk q/ g 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, Fiktionsvinkel Figu 5.3: Det elative jodtyk q/g på glat støtteu fo fiktionsjod so funktion af fiktionsvinklen ved anvendelse af én elle flee diskontinuitetslinie BYGDTU 5

170

171 0,9 0,8 0,7 Relativt jodtyk q /g 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Relativ kohæsion c/ g Figu 5.4: Det elative jodtyk q/g på glat støtteu fo kohæsionsjod so funktion af den elative kohæsion c/g ved anvendelse af én diskontinuitetslinie BYGDTU 53

172

173 0,9 0,8 0,7 Relativt jodtyk q /g 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 0 0, 0,4 0,6 0,8 Relativ kohæsion c / g Figu 5.5: Det elative jodtyk q/g på glat støtteu fo kohæsionsjod so funktion af den elative kohæsion c/g ved anvendelse af én elle flee diskontinuitetslinie BYGDTU 55

174

175

176 58 BYGDTU

177 6 Ru støtteu ed vandet jodoveflade Ruheden fo en støtteu e so i afsnit 7, defineet ved vægfiktionsvinklen og adhæsionen a. Foskydningsstyken i skillefladen elle jod og væg e givet ved Coulob s budbetingelse, dvs.: tan a (6.) So i afsnit 7 foudsættes det at (7.) e opfyldt, dvs.: tan a tan c (6.) g dt dt Diskontinuitetslinie q qtan Figu 6.: Opdeling af joden i vandette lag af tykkelsen dt Diskontinuitetslinien danne vinklen ed den vandette jodoveflade, og denne vinkel e konstant fo alle stilene ed tykkelsen dt. Jodtykket e so tidligee bestet ved en tyknoalspænding q og en foskydningsspænding qtan. Fotegnsegningen fegå af figu 6.. Tæknoalspændinge egnes positive. 6. Fiktionsjod Ifølge (7.6) i afsnit 7., kan en nedevædiløsning fo jodtykket fa en belastning gdt skives so: cos sin sin dt q dt g (6.3) sin sin Vinklen e bestet ved (7.6), dvs.: sin Ac sin sin (6.4) BYGDTU 59

178

179 Jodtykket (6.7), kan deefte educees til: sin q g sin sin (6.4) sin Betingelsen < gælde stadig. Hvis denne betingelse ikke e opfyldt, bestees jodtykket ved (6.0). I figu 6. e det elative jodtyk vist fo vægge ed fuld uhed. Kuvene e tegnet fo foskellige vædie af. BYGDTU 6

180 0,9 0,8 0,7 Relativt jodtyk q /g 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, Fiktionsvinkel Figu 6.: Det elative jodtyk q/g på u støtteu fo fiktionsjod so funktion af fiktionsvinklen ved anvendelse af én diskontinuitetslinie 6 BYGDTU

181 6.. Anvendelse af flee diskontinuitetslinie I tilfældet uendelig ange diskontinuitetslinie bestees jodtykket på væggen fa en stiel ed tykkelsen dt af (9.7): cos( )sin tan qdt g e dt (6.5) sin idet uheden fo ovefladelasten e sat til =0 og uheden ved væggen e bestet ved =. Det salede jodtyk fås ved integation af (6.5), idet dt estattes af sind: cos( )sin tan cos( )sin q g e sin d g sin e 0 sin sin tan (6.6) Folen benyttes fo positive vædie af, de iflg. (9.8) e defineet ved: (6.7) Denne løsning benyttes i dens gyldighedsoåde og heed fås et bede sæt af nedevædiløsninge til besteelse af jodtykket Jodtyk ved u væg, = I tilfældet u væg e: 4 (6.8) hvoved vinklen blive: (6.9) de føe til følgende udtyk fo jodtykket på væggen: tan q g sin sin e (6.0) I figu 6.3 e det elative jodtyk vist fo vægge ed fuld uhed so funktion af fiktionsvinklen. Kuvene e tegnet fo foskellige vædie af. BYGDTU 63

182 0,9 0,8 0,7 Relativt jodtyk q /g 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, Fiktionsvinkel Figu 6.3: Det elative jodtyk q/g på u støtteu fo fiktionsjod so funktion af fiktionsvinklen ved anvendelse af én elle flee diskontinuitetslinie 64 BYGDTU

183 I tilfældet af u væg ha vi ikke nogen sipel eksakt løsning. So tidligee nævnt ha Binch Hansen angivet en tilnæelsesfoel fo dette tilfælde, [53.]. Denne foel kan fo =90 skives (aktivt jodtyk): q g ens (6.0) lyde q g tan sin sin e, e sin e tan En saenligning elle de to udtyk vises i figu 6.4. Det ses so foventet at løsningen (6.0) ligge unde kuven svaende til Binch Hansens teoi fo aktivt jodtyk og ove fo passivt jodtyk, so også e vist i figuen. Diskontinuitetslinieløsningen e en nedevædiløsning og e defo altid sikke at buge. BYGDTU 65

184 00 Jodtykskoefficient q / g0 0 0, Fiktionsvinkel Diskontinuitetslinieløsning fundet i nævæende afsnit 6... Binch Hansens foel Figu 6.4: Saenligning elle jodtykskoefficient fo u væg fundet ved diskontinuitetslinieløsningen i nævæende afsnit 6... og Binch Hansens løsning. 66 BYGDTU

185

186 6.. Jodtyk ved u væg, a=c I tilfælde af aksial uhed, dvs. a=c, blive vinklen : 4 (6.3) og blive: (6.3) 8 Kavet til en tilladelig løsning, dvs. at (6.7) e opfyldt, koe til at lyde: (6.33) 4 Endelig fås jodtykket til: q g c cos (6.34) 4 I figu 6.5 e det elative jodtyk vist fo vægge ed fuld uhed so funktion af den elative kohæsion. Kuvene e tegnet fo foskellige vædie af. Fo =90 give (6.34): c g, c q g 4 ens den eksakte løsning i afsnit.. give q g c g, 57c 68 BYGDTU

187 0,9 0,8 0,7 Relativt jodtyk q/ g 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Relativ kohæsion c / g Figu 6.5: Det elative jodtyk q/g på u støtteu fo kohæsionsjod so funktion af den elative kohæsion c/g ved anvendelse af én diskontinuitetslinie BYGDTU 69

188

189 0,9 0,8 0,7 Relativt jodtyk q/g 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 0 0, 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Relativ kohæsion c/ g Figu 6.6: Det elative jodtyk q/g på u støtteu fo kohæsionsjod so funktion af den elative kohæsion c/g ved anvendelse af én elle flee diskontinuitetslinie BYGDTU 7

190 6.3 Fiktions- og kohæsionsjod Kohæsionens bidag til jodtyk beegnes ved (7.53), idet de ses på en stiel ved jodovefladen: cos sin sin q c cot (6.43) sin sin Diskontinuitetsliniens vinkel ed vandet e bestet ved (7.46): Ac sin sin sin (6.44) Vinklen e en funktion af væggens fiktionsvinkel. Det foudsættes so tidligee at foholdet elle tangens til vægfiktionsvinklen og tangens til jodens fiktionsvinkel, e det sae so foholdet elle adhæsionen a og kohæsionen c, jf. foel (7.). Vinklen e givet ved (7.40): sin Ac sin sin (6.45) Udfa foel (7.5) fås, at en stiel ed tykkelsen dt give et jodtyk på den del af væggen, de e beliggende unde stilen svaende til: cos sin sin qdt gdt (6.46) sin sin Det salede jodtyk fås ved suen af (6.43) og integalet af (6.46) fa 0 til. Indsættes dt=dsin fås: cos sin sin q g sin 0 sin sin cos sin sin ccot sin sin Udegnes integalet fås jodtykket: cos sin sin q g sin sin sin cos sin c cot sin sin sin d (6.47) (6.48) Løsningen e kun gyldig fo <. E denne betingelse ikke opfyldt ligge diskontinuitetslinien uden fo joden, og løsningen kan defo ikke buges. Jodtykket beegnes vha. én Rankine zone, idet det antages at uheden ved væggen ikke e fuldt udnyttet. Dette give iflg. (7.55) følgende bidag fa kohæsionen: cos sin q c (6.49) sin 7 BYGDTU

191

192

193 Opdeles dette udtyk i to dele, et fo bidaget fa egenvægten og et fo kohæsionen, fås: tan q g sin sine (6.65) tan q c cot sin e (6.66) c Det ses, at (6.65) e identisk ed (6.0), og jodtykket fa egenvægt kan heved aflæses i figu 6.3. Tilsvaende kan (6.66) udledes af (9.7) ved indsættelse af andbetingelsene og jodtykket fa kohæsionen kan heefte aflæses af figu 9.5. Ved. saenligning elle disse fole, specielt (6.65) og Binch Hansens fole henvises til afsnit 6... Beæk desuden at det af de to fole (6.65) og (6.66) følge, at fo =90 e q c q cot c g Da løsningene fo egenvægt ikke e helt tilfedsstillende, e tilfældet ed hældende jodoveflade ikke behandlet. BYGDTU 75

194 76 BYGDTU

195 7 Saenligning elle løsninge fo eksisteende teoi og diskontinuitetslinieteoien Jodtykket på vægge beegnes he i landet vha. en teoi udviklet af Binch Hansen, [53.] Denne teoi e baseet på anvendelse af Köttes ligning, so e en diffeentialligning fo spændingsvaiationen langs en budlinie. Denne ligning blev kobineet ed andbetingelse fo budliniens vinkel ed en oveflade, ed en væg osv.. Den såkaldte statisk koekte vinkel e enten den sae so defineet i nævæende afhandling, elle en andbetingelse udledt på basis af et kav o identiske løsninge opnået på basis af den såkaldte eksteetode og anvendelse af Köttes ligning. So en tilnæelse benyttedes budlinie i fo af cikle elle ette linie og kobinatione af sådanne. I specielle tilfælde findes defo den eksakte løsning. Nå de i det følgende buges odet " den gængse teoi" enes de de løsninge, de f.eks. e salet i Lundgen og Binch Hansen: Geoteknik [65.] elle den nyeste foelsaling af J. Steenfelt: [80.]. I fohold til den gængse teoi ha diskontinuitetslinieteoien den fodel, at den ha et støe gyldighedsoåde fo alle ulige kobinatione af de foskellige paaete såso hældning af jodoveflade, hældning af væg, vægfiktionsvinkel, "fiktionsvinkel" af ovefladelast og jodstykepaaetene. Nå de kun benyttes én diskontinuitetslinie ha denne teoi dog en svaghed, nå vinklen elle jodovefladen og væg blive fo sto, hvilket natuligvis va at vente. Jodtykskoefficientene kan endog begynde af stige ved foøgelse af vinklen (fo aktivt tyk). Stigningen skyldes, at de ved anvendelse af én diskontinuitetslinie kun kan opnås en aksial foskel elle f.eks. ovefladelasten og jodtykket på væggen. Fo en væg, de skal bæe ovefladelasten p, vil de væe en vinkel, hvo jodtykkket q ha nået sit iniu. Denne løsning svae til den fuldt optukne løsning i figu 7.. Antages nu at vinklen foøges, fås den punkteede løsning i figu 7.. Det ses, at nå ovefladenlasten p e uændet, vil jodtykskoefficienten stige. Endvidee ses, at den iniale vædi fo q findes fo en vinkel 3. 4 BYGDTU 77

196 p - q Figu 7.: Miniu fo jodtyk i fiktionsjod iflg. diskontinuitetslinieteoien I figu 7. til figu 7.7 e løsningene fo én og uendelig ange diskontinuitetslinie saenlignet. Gænsevædien fo gyldighedsintevallet ved anvendelse af uendelig ange diskontinuitetslinie e akeet ed en pik. Det ses, at kuvene i disse punkte ha sae vædi og hældning, hvilket indikee en god ovegang ielle teoiene. Det ses endvidee, at en enkelt diskontinuitetslinie give dålige esultate fo stoe vinkle af. Den bedste løsning findes ved at benytte løsningen fo uendelig ange diskontiuntetslinie i dennes gyldighedsinteval og kun buge løsningen fo én diskontinuitetslinie uden fo dette inteval. I figu 7.8 til figu 7.3 e diskontinuitetslinieteoien ved anvendelse af én elle flee diskontinuitetslinie saenlignet ed den gængse jodtyksteoi. Figuene vise det elative jodtyk so funktion af vinklen. De e tegnet fo foskellige vædie af fiktionsvinkel/elativ kohæsion. Kuvene vise kun bidaget fa ovefladelasten p, dvs. de ikke e egnet ed egenvægt. I gænsetilfældet uendelig ange diskontinuitetslinie vise det sig, at teoien stot set fuldstændigt epoducee den gængse jodtyksteoi. Den gængse jodtyksteoi e dog begænset til det inteval, so falde saen det inteval, hvo de anvendes flee diskontinuitetslinie. Mens den nye teoi således ikke give noget nyt i støstedelen af det elevante -inteval, give teoien nyttige nye løsninge fo så vædie, hvo den gængse teoi ikke give noget sva, hvilket skyldes, at de nævnte andbetingelse ikke kan opfyldes. I figu 7.4 til 7.9 e teoien saenlignet ed den gængse jodtyksteoi i tilfældet af hældende jodoveflade. Beækningene e de sae so ovenfo. Tilfældet ed egenvægt e alleede koenteet i kapitel 5 og BYGDTU

197 0,9 0,8 0,7 Relativt jodtyk qp/p 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, Vinkel Figu 7.: Saenligning af det elative jodtyk q p /p på glat støtteu fo fiktionsjod so funktion af vinklen ved anvendelse af én (tynd steg) elle flee (tyk steg) diskontinuitetslinie BYGDTU 79

198 0,8 0,6 0,4 Relativt jodtyk q/p 0, 0-0, -0,4-0,6-0, Vinkel Figu 7.3: Saenligning af det elative jodtyk q/p på glat støtteu fo kohæsionsjod so funktion af vinklen ved anvendelse af én (tynd steg) elle flee (tyk steg) diskontinuitetslinie 80 BYGDTU

199 0-0, -0,4-0,6 Relativt jodtyk qc/c -0,8 - -, -,4 -,6 -, Vinkel Figu 7.4: Saenligning af det elative jodtyk q c /c på glat støtteu fo fiktions- og kohæsionsjod so funktion af vinklen ved anvendelse af én (tynd steg) elle flee (tyk steg) diskontinuitetslinie BYGDTU 8

200 0,9 0,8 0,7 Relativt jodtyk qp/p 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, Vinkel Figu 7.5: Saenligning af det elative jodtyk q p /p på u støtteu fo fiktionsjod so funktion af vinklen ved anvendelse af én (tynd steg) elle flee (tyk steg) diskontinuitetslinie 8 BYGDTU

201 0,8 0,6 0,4 Relativt jodtyk q/p 0, 0-0, -0,4-0,6-0, Vinkel Figu 7.6: Saenligning af det elative jodtyk q/p på u støtteu fo kohæsionsjod so funktion af vinklen ved anvendelse af én (tynd steg) elle flee (tyk steg) diskontinuitetslinie BYGDTU 83

202 0-0, -0,4-0,6 Relativt jodtyk qc /c -0,8 - -, -,4 -,6 -, Vinkel Figu 7.7: Saenligning af det elative jodtyk q c /c på u støtteu fo fiktions- og kohæsionsjod so funktion af vinklen ved anvendelse af én (tynd steg) elle flee (tyk steg) diskontinuitetslinie 84 BYGDTU

203 0,9 0,8 0,7 Relativt jodtyk qp/p 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, Vinkel Figu 7.8: Saenligning af det elative jodtyk q p /p på glat støtteu fo fiktionsjod so funktion af vinklen ved anvendelse af diskontinuitetslinieteoien (tynd steg) og Binch Hansens teoi (tyk steg) BYGDTU 85

204 0,8 0,6 0,4 Relativt jodtyk q/p 0, 0-0, -0,4-0,6-0, Vinkel Figu 7.9: Saenligning af det elative jodtyk q/p på glat støtteu fo kohæsionsjod so funktion af vinklen ved anvendelse af diskontinuitetslinieteoien (tynd steg) og Binch Hansens teoi (tyk steg) 86 BYGDTU

205 0-0, -0,4-0,6 Relativt jodtyk qc/c -0,8 - -, -,4 -,6 -, Vinkel Figu 7.0: Saenligning af det elative jodtyk q c /c på glat støtteu fo fiktions- og kohæsionsjod so funktion af vinklen ved anvendelse af diskontinuitetslinieteoien (tynd steg) og Binch Hansens teoi (tyk steg) BYGDTU 87

206 0,9 0,8 0,7 Relativt jodtyk qp/p 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, Vinkel Figu 7.: Saenligning af det elative jodtyk q p /p på u støtteu fo fiktionsjod so funktion af vinklen ved anvendelse af diskontinuitetslinieteoien (tynd steg) og Binch Hansens teoi (tyk steg) 88 BYGDTU

207 0,8 0,6 0,4 Relativt jodtyk q/p 0, 0-0, -0,4-0,6-0, Vinkel Figu 7.: Saenligning af det elative jodtyk q/p på u støtteu fo kohæsionsjod so funktion af vinklen ved anvendelse af diskontinuitetslinieteoien (tynd steg) og Binch Hansens teoi (tyk steg) BYGDTU 89

208 0-0, -0,4-0,6 Relativt jodtyk qc /c -0,8 - -, -,4 -,6 -, Vinkel Figu 7.3: Saenligning af det elative jodtyk q c /c på u støtteu fo fiktions- og kohæsionsjod so funktion af vinklen ved anvendelse af diskontinuitetslinieteoien (tynd steg) og Binch Hansens teoi (tyk steg) 90 BYGDTU

209 0,9 0,8 0,7 Relativt jodtyk qp/p 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, Støtteuens hældningsvinkel Figu 7.4: Saenligning af det elative jodtyk q p /p på glat støtteu fo fiktionsjod, =30, ed vaiende ovefladehældning, so funktion af støtteuens hældningsvinkel ed lodet ved anvendelse af diskontinuitetslinieteoien (tynd steg) og Binch Hansens teoi (tyk steg) BYGDTU 9

210 0,8 0,6 0,4 0, 0-0, -0,4 Relativt jodtyk q/p -0,6-0,8 - -, -,4 -,6 -,8 - -, -,4 -,6 -, Støtteuens hældningsvinkel Figu 7.5: Saenligning af det elative jodtyk q/p på glat støtteu fo kohæsionsjod, p/c=, ed vaiende ovefladehældning, so funktion af støtteuens hældningsvinkel ed lodet ved anvendelse af diskontinuitetslinieteoien (tynd steg) og Binch Hansens teoi (tyk steg) 9 BYGDTU

211 0-0, -0, -0,3-0,4-0,5-0,6-0,7 Relativt jodtyk qc/c -0,8-0,9 - -, -, -,3 -,4 -,5 -,6 -,7 -,8 -, Støtteuens hældningsvinkel Figu 7.6: Saenligning af det elative jodtyk q c /c på glat støtteu fo fiktions- og kohæsionsjod, =30 og p/c=, ed vaiende ovefladehældning, so funktion af støtteuens hældningsvinkel ed lodet ved anvendelse af diskontinuitetslinieteoien (tynd steg) og Binch Hansens teoi (tyk steg) BYGDTU 93

212 0,9 0,8 0,7 Relativt jodtyk qp/p 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, Støtteuens hældningsvinkel Figu 7.7: Saenligning af det elative jodtyk q p /p på u støtteu fo fiktionsjod, =30, ed vaiende ovefladehældning, so funktion af støtteuens hældningsvinkel ed lodet ved anvendelse af diskontinuitetslinieteoien (tynd steg) og Binch Hansens teoi (tyk steg) 94 BYGDTU

213 0,8 0,6 0,4 0, 0-0, -0,4 Relativt jodtyk q/p -0,6-0,8 - -, -,4 -,6 -,8 - -, -,4 -,6 -, Støtteuens hældningsvinkel Figu 7.8: Saenligning af det elative jodtyk q/p på u støtteu fo kohæsionsjod, p/c=, ed vaiende ovefladehældning, so funktion af støtteuens hældningsvinkel ed lodet ved anvendelse af diskontinuitetslinieteoien (tynd steg) og Binch Hansens teoi (tyk steg) BYGDTU 95

214 0-0, -0, -0,3-0,4-0,5-0,6-0,7 Relativt jodtyk qc/c -0,8-0,9 - -, -, -,3 -,4 -,5 -,6 -,7 -,8 -, Støtteuens hældningsvinkel Figu 7.9: Saenligning af det elative jodtyk q c /c på u støtteu fo fiktions- og kohæsionsjod, =30 og p/c=, ed vaiende ovefladehældning, so funktion af støtteuens hældningsvinkel ed lodet ved anvendelse af diskontinuitetslinieteoien (tynd steg) og Binch Hansens teoi (tyk steg) 96 BYGDTU

215 8 Nedevædiløsninge so ikke opfylde flydebetingelsen ovealt Da løsningene fo egenvægt, so nævnt i kapitel 5 og 6, ikke e sælig gode isæ fo passivt jodtyk og stoe fiktionsvinkle, skal det i dette afsnit undesøges, o de kan opnås bede løsninge ved eksakt opfyldelse af ligevægtsbetingelsene og, o nødvendigt, uden at opfylde flydebetingelsen ovealt. I det følgende gennegås defo en løsningsodel, so indeholde zone i hvilke flydning ikke indtæffe. De føste beegninge vha. denne odel blev foetaget ved et eksaenspojekt, [00.], unde fofatteens ledelse. Løsningen bestå af en Rankine zone næ ovefladen. Ved vinklen gå denne zone, se figu 8., ove i en zone, de opfylde ligevægtsbetingelsene og hvo flydebetingelsen ikke e oveskedet. So vist i afsnit 0..6 kan denne zone ikke væe en Pandtl zone, da denne ikke give ulighed fo at tilfedsstille ligevægtsbetingelsene i tilfældet ed egenvægt. De vælges defo en anden saenhæng elle spændingene. Figu 8.: Zoneopdeling i tilfældet ed vandet jodoveflade og lodet væg. 8.Vandet jodoveflade, u væg i fiktionsjod I øveste zone e spændingsfeltet givet ved Rankine løsningen. De indlægges et koodinatsyste ed begyndelsespunkt på jodovefladen, hvo x-aksen e vandet og y-aksen e lodet, nedadettet. Heved fås følgende vædie af hovedspændingene (so ligge i x, y-koodinatsysteet): y gy (8.) sin x gy (8.) sin BYGDTU 97

216 x y nt n Figu 8.: Fotegnsegning i ovegangssnit I et snit unde vinklen, se figu 8., kan noal- og foskydningsspændingene findes vha. tansfoationsfolene: sin n x cos y sin g cos sin y (8.3) sin Foskydningsspændingen blive: sin sin nt x y sin g y sin (8.4) I ovegangssnittet, se figu 8., gælde det at: y=cos,[0;90] (8.5) I zonen svaende til vinklen benyttes polæe koodinate. Denne zone betegnes den polæe zone. I polæe koodinate se ligevægtsbetingelsene ud so følge, se (0.0) og (0.): g sin 0 (8.6) g cos 0 (8.7) Løsningen foudsætte, at e popotional ed, og en foeløbig ubekendt funktion af, dvs.: f (8.8) Envidee antages det at foskydningsspændingen e popotional ed og en popotionalitetskonstant tan d, dvs.: d d tan f tan (8.9) Støelsen tan d bestees udfa ovegangsbetingelsene ved Rankine zonen. Fo aktivt jodtyk e tan d negativ. 98 BYGDTU

217 Ved indsættelse af (8.8) og (8.9) kan ligevægtsbetingelsene skives: f d 3 f tan g sin 0 d f tan f g cos 0 (8.0) (8.) Funktionen f() kan udtykkes ved tan d ved løsning af (8.0): d d 3 tan cos 3tan sin f g ke (8.) d 9tan hvo k e en konstant, Heved blive: d cos 3tan sin d 3 tan g ke (8.3) d 9tan d d cos 3tan sin tan g ke d 9tan d 3 tan (8.4) Den adiæe spænding findes ved løsning af diffeentialligningen (8.7). Ved indsættelse af (8.9) fås: d f tan f g cos 0 hvilket betyde at: A 0 (8.5) (8.6) hvo A d f tan f g cos (8.7) Løsningen til den adiæe diffeentialligning give således: c A (8.8) Konstanten c sættes lig ed nul fo at få endelige spændinge fo =0. Konstanten c å natuligvis ikke foveksles ed kohæsionen c. Heed e alle spændingskoposantene bestet. Den optiale vædi af vinklen bestees so den vinkel, de give det indste jodtyk unde oveholdelse af flydebetingelsen. Såfet an få at den optiale vinkel svae til et snit udenfo væggen, å an vælge svaende til væggens hældning, i dette tilfælde nul. Dette svae til at hele spændingstilstanden e en Rankineløsning. BYGDTU 99

218 Fegangsåden ved beegning af en statisk tilladelig løsning kan deles op i følgende tin:. tinvis valg af vinkel.. beegning af popotionalitetskonstanten tan d vha. ovegangsbetingelsen elle Rankinezonen og den polæe zone, i et snit unde vinklen =. 3. beste konstanten k således at noalspændingene på hve side af diskontinuitetslinien unde vinklen opfylde kontinuitetsbetingelsen. 4. beegn jodtykket q på væggen. 5. undesøg o flydebetingelsen e tilfedsstillet. I føste beegning sættes i Rankine zonen lig den givne fiktionsvinkel, hvoved flydebetingelsen e tilfedsstillet i Rankine zonen. Hvis flydebetingelsen e oveskedet i den polæe zone å vinklen ændes. 6. optie ed hensyn til. Væggen egnes fuldstændig u, dvs. ed tidligee betegnelse e =.. Dette betyde at odellen ikke udnytte fiktionen elle væg og jod fuldt ud hvis d <. Hvis d > e løsningen ubugelig. Et eksepel e gennegået heunde: Vi antage at fiktionsvinklen e =30. Spændingene egnes diensionsløse ved division ed g. Tinvis valg af vinkel : vælges til 0 Beegning af fiktionskoefficienten tan d : Folene (8.) til (8.8) give x x x y 3 sin cos cos 0, sin sin g cos 0, 0 sin Heudfa beegnes tan d : d 0, 0 tan 0, 5 0, 387 d 7, 47 Beste konstanten k: Ved hjælp af de fundne spændinge fås betingelsen: 00 BYGDTU

219 d cos 3tan sin d 3 tan ke 0, 48 7, k d 9tan de give: k 0,04 Beegn jodtykket q på væggen. Det diensionsløse jodtyk på væggen kan heefte bestees so fo =0: q, 0 k 0, 66 d g 9tan Undesøg flydebetingelsen Flydebetingelsen å undesøges i alle punkte i den polæe zone. Det vise sig, at flydebetingelsen e oveskedet, est ved væggen. De kæves en fiktionsvinkel på 33, hvis flydebetingelsen ikke å oveskides noget sted. Optie ed hensyn til Det vise sig, at hvis vælges til 4,8 kan den givne fiktionsvinkel på 30 netop udnyttes og flydebetingelsen e ikke oveskedet noget sted. Det diensionsløse jodtyk blive q/g=0,8, de e støe end det, de blev bestet ovenfo. I figu 8.3 e den udnyttede fiktionsvinkel i hele oådet vist so funktion af vinklen fo =4,8. 3 Udnyttet fiktionsvinkel Vinkel Figu 8.3: Udnyttet fiktionsvinkel so funktion af vinklen BYGDTU 0

220 , Relativt jodtyk q/g 0,8 0,6 0,4 0, Fiktionsvinkel Nedevædiløsning fundet i nævæende afsnit Diskontinuitetslinieløsningen Figu 8.4: Relativt jod tyk q/g fo u væg so funktion af fiktionsvinklen I figu 8.4 e det elative jodtyk q/g fo u væg vist so funktion af fiktionsvinklen. I figuen e jodtykket også vist fo diskontinuitetslinieteoien, hvo løsningen ed uendelig ange diskontinuitetslinie e anvendt. Det ses, at de e en gliende oveenssteelse elle de to teoie. Det ses dog, at nedevædiløsningen fa dette afsnit ligge en sule ove den anden løsning. Dvs. at de ikke e opnået nogen fobeding af løsningen. Lignende beegninge kan genneføes fo hældende væg og vandet jodoveflade. Væghældningen kaakteisees so tidligee ved vinklen, se f.eks. figu 6.. I figu 8.5 e vist det elative jodtyk q/g so funktion af fiktionsvinklen i tilfældet u væg. Kuvene e vist fo foskellige vædie af. Denne figu skal saenlignes ed figu 6.. Det ses, at de helle ikke he e tale o nogen fobeding af diskontinuitetslinieløsningen. 0 BYGDTU

221 0,9 0,8 0,7 Relativt jodtyk q/g 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, Fiktionsvinkel Figu 8.5: Det elative jodtyk q/g på u støtteu fo fiktionsjod so funktion af fiktionssvinklen ved anvendelse af løsning fa nævæende afsnit 8. BYGDTU 03

222 8.Vandet jodoveflade, glat væg i fiktionsjod De antages stadig, at væggen e lodet og at ovefladen e vandet sat at spændingsfodelingen i den øveste zone e givet ved Rankineløsningen. Vi ha defo stadig spændingsfodelingen (8.3) og (8.4): sin n x cos y sin g cos sin y (8.9) sin sin sin nt x y sin g y (8.0) sin I den polæe zone sætte vi nu fosøgsvis: f (8.) k (8.) hvo k e en konstant. Det ses, at nå vinklen e nul, e foskydningsspændingen også nul, hvilket betyde at andbetingelsen fo glat væg e opfyldt. Indsættes (8.) og (8.) i den føste ligevægtsligning (8.6) fås: f 3k g sin 0 Løsningen til denne diffeentialligning e: 3 3 f k k 3k g cos C (8.3) (8.4) hvo C e en konstant. Den anden diffeentialligning (8.7) give ved indsættelse af (8.), (8.): f k g cos 0 (8.5) Indsættes endvidee (8.4) give dette følgende løsning af den adiæe spænding: 3 3 g cos 3 k k k k C (8.6) 4 4 Ved udføelse af beegningene e de føste to tin de sae so i afsnit 8.. De næste tin e: 3. beste konstanten C, således at kontinuitetsbetingelsen fo noalspændingene på hve side af diskontinuitetslinien unde vinklen e opfyldt. 4. beegn jodtykket q på væggen. 5. undesøg o flydebetingelsen e tilfedsstillet. 6. optie ed hensyn til. 04 BYGDTU

223 Løsningen fo en glat, lodet væg ed vandet jodoveflade e tiviel, idet at an fo vinklen =0, vil få løsningen fo en Rankine zone. Dvs. at jodtykket vil væe, se afsnit..: sin q g (8.7) sin I figu 8.6 e vist det elative jodtyk so funktion af fiktionsvinklen fo foskellige vædie af. Løsningen skal saenlignes ed figu 6.3. Det ses, at den e væsentligt dåligee end diskontinuitetslinieløsningen. Sæligt fo vinkle <90 e løsningene ikke gode, beæk isæ det stoe gab de e elle kuvene fo =90 og fo =80. BYGDTU 05

224 Relativt jodtyk q/g Fiktionsvinkel Figu 8.6: Det elative jodtyk q/g på glat støtteu fo fiktionsjod so funktion af fiktionssvinklen ved anvendelse af løsning fa nævæende afsnit BYGDTU

225 9 Konklusion I denne afhandling behandles beegningsetode fo jodtyk på støtteuskonstuktione i budstadiet. Vægten i afhandlingen e lagt på udvikling af nedevædiløsninge unde foudsætning af, at jodens styke e beskevet ved Coulobs flydebetingelse. De e udviklet to etode, en diskontinuitetslinieteoi, sat en nedevædiløsning, de basee sig på tilladelige spændingstilstande, so ikke ovealt udnytte flydebetingelsen. Fo diskontinuitetslinieteoien e løsningene delt op i to tilfælde, jodtyk unde hensyntagen til egenvægt og jodtyk uden hensyntagen til egenvægten. I tilfældet uden hensyntagen til egenvægt ha teoien den fodel at dens gyldighedsoåde e støe end den i afhandlingen otalte gængse teoi. Fo glatte vægge kan alle tilfælde beegnes, fo u vægge kæve teoien, at de eksistee en diskontinuitetslinie indenfo afgænsningen af jodoveflade og støtteu. Saenligninge ed den gængse teoi vise oveenssteelse elle de to teoie ved gænsen fo den gængse teois gyldighed. Jo længee an bevæge sig væk fa dette tilfælde desto støe blive afvigelsene, nå de kun benyttes én diskontinuitetslinie. Indføes flee diskontinuitetslinie blive afvigelsen inde, og i tilfældet af uendelig ange diskontinuitetsline vil de to teoie give sae esultate. Tilfældet ed hensyntagen til egenvægt e vanskeligee, idet den såkaldte Rankine zone benyttet i diskontinuitetslinieteoien kun ed specielle andbetingelse kan give løsninge til jodtykket. Tilfældet ed egenvægt skal defo løses ed lidt ande etode. I denne afhandling findes løsningen ved at opdele jodtykket i flee lag. Egenvægten fo hvet lag vike deved so en jævnt fodelt last på det nedenstående lag. Et jodtyk kan deved findes ved supeposition af jodtyk fa alle lag i joden. Fo tilfældet glat væg e de god oveenssteelse ed den gængse teoi. Fo u vægge benyttes i den gængse teoi en tilnæelsesfoel udviklet af Binch Hansen. Denne løsning kan ikke epoducees af diskontinuitetslinieløsningen anvendt på lagvis suation. Sæligt fo passivt jodtyk blive de et sto uoveenssteelse ed den gængse teoi. Diskontinuitetsløsningen ed lagvis suation e dog stadig en gyldig nedevædi, dvs. på den sike side. Både diskontinuitetslinieteoien og den gængse teoi foudsætte, at de e bud i joden ovealt. Dette e ikke et nødvendigt kav fo en nedevædi. De e defo fundet løsninge, so ikke ha stillet dette kav. Ved udfoning af disse løsninge tages de udgangspunkt i ligevægtsligningene. De foudsættes visse saenhænge elle spændingene i joden, og ud fa disse e de fundet løsninge, so indenfo visse gænse give spændinge indenfo flydefladen. Teoien, de basee sig på zone, de opfylde ligevægtsbetingelsene, en ikke ovealt udnytte ateialet til bud, ha den ulepe, at beegningene skal optiees iteativt fo at give tilfedsstillende esultate. BYGDTU 07

226 Ekseplene i denne afhandling synes at indikee, at nedevædiløsninge, de ikke udnytte ateialet til bud ovealt, ikke ha nogle fodele i saenligning ed diskontinuitetslinieløsningen ed lagvis suation. 08 BYGDTU

227 0 Litteatuliste [5.] Shield, R. T.: Stesses and velocity fields in soil echanics. Technical Repot No.8 Gaduate Div.Appl.Matheatics, Bown Univesity, Dec. 95. [53,] Binch Hansen, Jøgen: Eath pessue calculation. The Danish Technical Pess, The Institution of Danish Civil Enginees, Copenhagen 953. [53.] Shield, R. T., Ducke, D. C: The application of liit analysis to punchindentation pobles. Joun. of Appl. Mech., vol. 0, 953, pp [53.3] Shield, R. T.: Mixed bounday value pobles in soil echanics. Quately of applied Matheatics, vol., No., 953, pp [54.] Shield, R. T.: Plastic potential theoy and Pandtl beaing capacity solution. Joun. of Appl. Mech., vol., 954, pp [54.] Shield, R. T.: Stess and velocity fields in soil echanics, J.Math.Phys., vol. 33, No., 954, pp [55.] Shield, R. T.: The plastic indentation of a laye by a flat punch. Quately of Appl. Math., vol. 3, 955, pp [55.] Shield, R. T.: On Coulobs law of failue in soils. Jounal of the Mechanics and Physics of Solids, vol. 4, 955, pp [65.] Sokolovskii, V.V.: Statics of ganula edia. Pegaon Pess, 965. [65.] Lundgen, H., Binch Hansen, J.: Geoteknik. Teknisk Folag, København, 965. [65.3] Hansen, Bent.: A theoy of plasticity Fo ideal fictionsless ateials. Doktoafhandling, Teknisk Folag, Copenhagen 965. [75.] Chen, Wai-Fah: Liit analysis and soil plasticity. Elsevie Scientific Publishing Copany, Asteda 975. [78.] Hansen, Bent: Geoteknik og fundeing, del, Laboatoiet fo fundeing, Danaks Tekniske Højskole, 978. [78.] Hansen, Bent: Geoteknik og fundeing, del. Laboatoiet fo fundeing, Danaks Tekniske Højskole, 978. [78.3] Atkinson, J. H, Bansby, P. L.: The echanics of soils. McGaw-Hill, London, 978. BYGDTU 09

228 [80.] Haeoës, Kebs Ovesen, Moust Jacobsen: Læebog i geoteknik, del. 4.udgave. Polyteknisk Folag, Lyngby 980. [80.] Steenfelt, J. S.: Foelsaling fo kusus 58 geoteknik, kusus 58 geoteknik. Laboatoiet fo Fundeing, Danaks Tekniske Højskole, 980. [84.] Haeoës, Kebs Ovesen, Moust Jacobsen: Læebog i geoteknik, del. 5.udgave. Polyteknisk Folag, Lyngby 984. [90.] Salencon, J.: An intoduction to the yield design theoy and its applications to soil echanics, Euopean Jounal of Mechanics, A/Solids, vol.9, No.5, 990, pp [90.] Hva, Tage.: Makundesøgelsesetode - ekaniske, dfg-bulletin 5, Dansk Geoteknisk Foening, 990. [9.] Nielsen, M. P., Pilegaad Hansen, L., Rathkjen A.: Mekanik., del. Instituttet fo Bygningsteknik, Aalbog Univesitetscente, 99. [9.] Mui Wood, D. M.: Soil behavioe and citical state soil echanics. Cabidge Univesity Pess, Cabidge, 99. [93.] Atkinson, John: The echanics of soils foundations. McGaw-Hill, 993. [00.] Nielsen, M. P., Pilegaad Hansen, L., Rathkjen A.: Mekanik., del. Institut fo Bæende Konstuktione og Mateiale, Aalbog/København 000. [00.] Said, Manhal J.: Jod/Konstuktionsinteaktion, Plasticitetsteoi. Eksaenspojekt, Inst.Bæ.Konst. Mat. i saabejde ed Inst.Geol.Geot., DTU, Juni 000. [0.] Hansen, Bent.: Advanced theoetical soil echanics. Dansk Geoteknisk foening, dfg-bulletin 0, 00. [03.] Randolph, M.F., Puzin, A.M.: Uppe bound liit analysis of cicula foundations on clay unde geneal loading, Geotechnique, vol.53, No. 9, 003, pp [07.] Kebs Ovesen, Fuglsang, Bagge (ed.): Læebog i geoteknik. Polyteknisk Folag, Lyngby BYGDTU

229 Repot no. R-74 ISSN ISBN Pinted by Schultz Gafisk A/S - Hestedvang - 60 Albetslund