DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

Transkript

1 DesignMat Den komlekse eksonentialfunktion og olynomie Peben Alsholm Uge 8 Foå 009 Den komlekse eksonentialfunktion. Definitionen Definitionen Den velkendte eksonentialfunktion x! e x vil vi ofte ligesom i Male give navnet ex. Vi ha altså fo alle x R. ex (x) = e x Denne funktion ha den fundamentale egenskab ex (x + y) = ex (x) ex (y) elle andeledes skevet e x+y = e x e y fo alle x, y R. Vi definee nu elle andeledes skevet gældende fo alle x, y R.. Egenskabe fo ex Egenskabe fo ex ex (x + iy) = ex x (cos y + i sin y) e x+iy = e x (cos y + i sin y) Nå x, y R ha e x+iy modulus e x og agument y: e x+iy = e x ag e x+iy = y

2 Fo alle z, z C gælde ex (z + z ) = ex z ex z altså e z +z = e z e z Bevis: Sæt z = x + iy og z = x + iy, så ha vi: je z e z j = je z j je z j = e x +iy e x +iy = e x e x = e x +x = e x +x +i(y +y ) = e z +z ag (e z e z ) = ag (e z ) + ag (e z ) = ag e x +iy + ag e x +iy = y + y = ag e x +x +i(y +y ) = ag e z +z Tallene e z +z og e z e z ha altså samme modulus og samme agument. De e defo ens..3 Polæ fom Polæ fom Den olæe fom fo tallet a med modulus og agument v blev sidste gang skevet a = v = (cos v + i sin v) Den vil i femtiden blive skevet således: a = ex (iv) = e iv Eksemel. Vi finde den olæe fom fo tallet 3 i. Modulus e 3 + ( ) 5π = og et agument e 6. Tegn! Så 3 i = ex i 5π 6 = e i 5π 6 Male..4 Moives fomel Moives fomel Fo n N og x R gælde (cos x + i sin x) n = cos nx + i sin nx Bevis: (cos x + i sin x) n = e ix n = e inx = cos nx + i sin nx

3 Eksemel. cos 3x = Re (cos 3x + i sin 3x) = Re (cos x + i sin x) 3 = Re cos 3 x + 3i cos x sin x 3 cos x sin x i sin 3 x = cos 3 x 3 cos x sin x = cos 3 x 3 cos x cos x = 4 cos 3 x 3 cos x Ved ovenfo at estatte Re med Im fås fomlen sin 3x = 3 cos x sin x sin 3 x = 3 sin x sin x sin 3 x = 4 sin 3 x + 3 sin x Male..5 Den komlekse logaitmefunktion Den komlekse logaitmefunktion ex ha ingen omvendt funktion indenfo C, da e z+iπ = e z e iπ = e z (cos (π) + i sin (π)) = e z Hvis z, w C ofylde ex w = z, så kaldes w en logaitme til z. Vi skive w = ln z. Lad z C med z 6= 0. Så ha z følgende logaitme ln z = ln (jzj) + i (ag z + π) = ln (jzj) + i ag z + iπ hvo Z, og ag z e et agument fo z, og hvo ln (jzj) e den eelle velkendte logaitme af det ositive tal jzj. Vi finde samtlige logaitme til tallet a = 3 i. Da jaj = og ag a = π 6 fås (med Z): ln a = ln 3 i = ln i π 6 + πi Male..6 Den binome ligning I Den binome ligning I Lad n N og a C. En binom ligning ha fomen z n = a () 3

4 Løsningene til () kaldes komlekse n te ødde af a. Røddene i (), hvo a = e iv, 0, v R, e givet ved z = n e i( v n + π n ), = 0,,,..., n Bevis: Sæt z = ρe iθ, med ρ 0 og θ R. Ved indsættelse i () fås ρe iθ n = e iv og hemed ρ n e inθ = e iv De to side af denne ligning e olæe fome af samme tal, så ρ n = og nθ = v + π, hvo Z. Heaf følge fomlen. Koolla. E z 0 en od i ligningen z n = a, så e samtlige ødde givet ved z = z 0 e i π n, = 0,,,..., n..7 Den binome ligning II Den binome ligning II Fo den binome ligning z = a = a + ia = e iv gælde, at løsningene kan skives z = e i v + a = + i sign (a )! a Bevis. Vi vise den sidste vesion. Vi kan he foudsætte, at π < v π. Så gælde cos v = + cos v og sin v = sign (a ) cos v Defo fås z = e i v = cos v + i sin v + cos v = + i sign (a )! cos v Hvoaf esultatet følge. Male. Rødde i olynomie. Andengadsligningen I Andengadsligning I 4

5 Vi løse hvo a, b, c C, og a 6= 0. az + bz + c = 0 Vi ha: az + bz + c = a z + b! b 4ac a 4a Andengadsligningen kan altså omskives til z + b = b 4ac a 4a Sæt w = z + a b, så ha vi den binome ligning. Andengadsligningen II Andengadsligning II w = b 4ac 4a Sæt w = z + a b, så ha vi den binome ligning w = b 4ac 4a Denne ha (komlekse) ødde, som vi skive som b 4ac 4a Så øddene i andengadsligningen az + bz + c = 0 e z = b a b 4ac 4a = b b a 4ac Eksemel. Løs ligningen z + z + = 0. Vi finde z = 4 = 3 = i 3 = ( + i 3 i 3.3 Andengadsligningen III Andengadsligning III Eksemel. Løs ligningen z z + ( + i) = 0. Vi finde z = 4 4 ( + i) = 4i 5

6 Vi skal så løse den binome ligning w = 4i. Vi finde! + a a w = + i sign (a )! 4 4 = i = i Løsningene til andengadsligningen e demed z = i = ( i) =.4 Polynomie geneelt Polynomie geneelt Et olynomium i den vaiable z e et udtyk af fomen a n z n + a n z n a z + a 0 ( + i + i Algebaens Fundamentalsætning. Ethvet olynomium af gad ha mindst én od indenfo de komlekse tal. Geneelle løsningsfomle findes fo n 4, men det kan bevises, at de ikke kan konstuees geneelle løsningsfomle fo n 5. Husk dog, at et olynomium af vilkålig høj gad men med kun to led kan løses ved en fomel, de umiddelbat give den olæe fom fo løsningene. Se Male om 3. og 4. gadsligninge..5 Faktoiseing af olynomie I Faktoiseing af olynomie I En od z i olynomiet ha multiliciteten k, hvis (z) = (z hvo q (z) e et olynomium, og hvo z ikke e od i q (z). Hvis multiliciteten e, siges oden at væe simel. z ) k q (z), Eksemel. 5z 4 50z 3 + 0z + 60z 640 = 5 (z 4) 3 (z + ). Så 4 e od af multilicitet 3, og e od af multilicitet. e altså en simel od. Polynomiet (z) = a n z n + a n z n a z + a 0, hvo n (og a n 6= 0) kan skives som et odukt af a n og n føstegadsfaktoe: (z) = a n (z z ) (z z )... (z z n ) Ethvet olynomium af gad n ha altså n ødde, hvis disse egnes med multilicitet. 6

7 .6 Faktoiseing af olynomie II Faktoiseing af olynomie II Hvis et olynomium ha eelle koefficiente og z C e od, så e også z od. Ethvet olynomium af gad n og med eelle koefficiente kan skives som et odukt af eelle føste- og andengadsfaktoe. Eksemel. Hvis + 3i e od, så e 3i også. Så begge faktoene (z ( + 3i)) og (z ( 3i)) foekomme i en faktoiseing af olynomiet. Vi betagte oduktet af disse to faktoe: Sætte ande aentese: (a b) (a + b) = a b buges: (z ( + 3i)) (z ( 3i)) = ((z ) 3i) ((z ) + 3i) = (z ) + 3 = z 4z Eules fomle Eules fomle I Ifølge definitionen af den komlekse eksonentialfunktion ha vi e iv = cos v + i sin v e iv = cos v i sin v Ved addition af disse fomle og efte division med fås cos v = e iv + e iv Tilsvaende fås ved subtaktion og division med i sin v = i e iv e iv 7

8 3. Eules fomle II Eules fomle II Vi ønske sin 4 x udtykt ved sin x, sin x,..., cos x, cos x,.... Vi udnytte den ene af Eules fomle sin x = e ix e ix i og vi finde demed sin 4 x = e ix e ix 4 = e ix i (i) 4 e ix 4 Binomialfomlen (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a b + 4ab 3 + b 4 benyttes: = e 4ix 4e ix + 6 4e ix + e 4ix 6 = e 4ix + e 4ix 4 e ix + e ix = 8 cos 4x cos x Eules fomle III Eules fomle III Så sin 4 x = 8 cos 4x cos x Ved hjæl af denne fomel beegnes integalet Z π 0 sin 4 xdx som følge Z π 0 sin 4 xdx = = Z π 0 8 cos 4x cos x + 3 dx 8 3 sin 4x 4 sin x + 3 π 8 x = 3π 8 0 8