Projekt 5.2. Anvendelse af Cavalieris princip i areal- og rumfangsberegninger

Transkript

1 Hvad e matematik? B, i-bog Pojekte: Kapitel 5. Pojekt 5.. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Pojekt 5.. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Den gundlæggende metode til beegning af aeale af figue, de e bestemt af kumme kuve, a siden oldtiden væe at tilnæme disse med polygone. Dette kaldte man at lave kvadatu. Mest beømt e fosøgene på at løse ciklens kvadatu. Det e som bekendt umuligt at løse vis man kun må anvende passe og lineal. Men vis opgaven ikke e at studee matematikkens gundlag, men mee paktisk at bestemme aeale og umfang, så lykkedes det alleede i oldtiden at kvadee mange figue og at udlede mange af de fomle vi kende fo aeale og umfang af pæne, symmetiske figue som kugle, kegle og pyamide. Eksempel: Yde og inde polygone om en tekant (Dette afsnit indeolde mateiale fa afsnit. i kapitel 5 i gundbogen, side 6-8.) Lad os fo bede at fostå det følgende illustee, vodan man i modene matematik abejde med følge af yde og inde polygone. i vælge et meget simpelt eksempel. i a givet en etvinklet tekant med gundlinje (den ene katete) lig med og øjden (den anden katete) lig med 8. I dette tilfælde kende vi fomlen fo aealet og kan udegne dette elt pæcist: Det blive. Men vodan ville vi gøe, vis vi ikke kendte en fomel? i tegne tekanten i et koodinatsystem som vist på illustationen, og tegne to sæt af smalle øje ektangle af bedde b, se illustationen. Tilsammen udgø disse ektangle dels en inde polygon, dels en yde. Øvelse Agumente nu ud fa tegningen fo følgende:. Foskellen på den yde og den inde polygon e summen af de små ektangle. Disse små ektangle kan stables, så vi a ét ektangel, vo øjden e lig med tekantens øjde på 8.. Aealet af dette ektangel e 8 b 4. Tegne vi flee og flee ektangle, dvs. lade vi bedden b blive minde og minde, så vil foskellen næme sig. 5. Aealet af tekanten kan defo tilnæmes med summen af alle de smalle ektangle. 6. I modene matematik vil vi sige: Nå b, så vil polygonenes aeal næme sig tekantens aeal. 7. Udegne vi en ække endelige summe, fx med 5,, elle ektangle, så kan vi måske se et mønste og demed se, vilket tal polygonenes aeal næme sig. I 65 udsende den fanske matematike Bonaventua Fancesco Cavaliei ( ) et væk de skulle få afgøende betydning fo udviklingen af integalegningen. I stedet fo at se på en poces, som b i ovenstående eksempel, kaste Cavaliei sig ud i uendeligeden og gå staks elt til gænsen. L&R Uddannelse A/S ognmagegade DK-48 Købenavn K Tlf: 45 [email protected]

2 Hvad e matematik? B, i-bog Pojekte: Kapitel 5. Pojekt 5.. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Han sige, at tekanten bestå af uendeligt mange lodette linje, de ve fo sig ikke a nogen bedde. De e udelelige ( indivisible ). Dette e elt i tåd med Euklid, de sagde, at en linje e længde uden bedde. Men vodan få man et aeal ud af linjene? Hvis linjene bae a en anelse bedde, vil summen af alle linjene give et uendeligt aeal. Og a linjene ingen bedde kan de ikke bidage til aealet, så aealet e. Men Cavaliei avde alligevel fat i en vigtig pointe: En uendelig sum af uendeligt små støelse kan godt give noget endeligt. Matematikken va bae ikke udviklet til at åndtee dette. Han foeslog samme metode til at beegne umfang, nemlig at se en umlig figu som en stabel af uendeligt mange plane. Cavaliei ( ) Eksempel: Cavalieis pincip Cavaliei indføte samtidig det pincip, de siden e opkaldt efte am, nemlig at vis to figue bestå af samme linjestykke (elle samme plane stykke), så a de samme aeal (elle samme umfang) uanset linjestykkene (elle de plane stykke) ligge foskudt. Det kan illustees dels med ans egen tegning af to plane figue med samme aeal, dels af to umlige stable: Tegning fa Cavalieis 7-binds væk Geometia indivisibilius continuoum fa 65: De to figue a samme aeal, da linjene pavis e lige stoe. Illustation af Cavalieis pincip i ummet: De to stable a samme umfang, da de plane stykke pavis e ens. Øvelse a) Pøv at anvende Cavalieis pincip til at agumentee fo, at følgende to paallelogamme, ABCD og ADEF, a samme aeal: b) I eksemplet med yde og inde polygone om en tekant anvendte vi faktisk en metode de svae til Cavalieis pincip. Hvo va det? De to stable af mønte kan måske give dig en ide. L&R Uddannelse A/S ognmagegade DK-48 Købenavn K Tlf: 45 [email protected]

3 Hvad e matematik? B, i-bog Pojekte: Kapitel 5. Pojekt 5.. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Nå man agumente med uendelige støelse på denne måde e de mange fælde. Hvis vi foestille os i teoien, at vi a tegnet alle de udelelige linje i figuene ovenfo, vodan ved vi så at de e lige mange, så vi kan pae sammen to og to? Fx e de jo lige mange ele tal og lige tal, fo vi kan pae med, med 4, med 6 osv. Men vo blev de ulige tal af? Den følgende øvelse umme et agument mod Cavaliei fa en af ans kitikee. Øvelse Agumente ud fa Cavalieis pincip fo, at den venste og øje etvinklede tekant a samme aeal. Cavalieis idee fik isæ betydning som inspiation fo ande matematikee. Ikke mindst den engelske matematike Jon Wallis va stækt inspieet af Cavaliei og ovetog fa am ideen med at dele en punktmængde op i uendeligt mange linje, og bestemme aealet af punktmængden ved at summee linjenes bidag. Det edegø an detaljeet fo i sit ovedvæk Aitmetica infinitoum fa 656. Som titlen angive kaste også Wallis sig ud i uendeligeden, og i følgende beømte citat fa væket indføes uendeligedstegnet fo føste gang i matematikistoien: Som udgangspunkt foestille jeg mig (i oveensstemmelse med Bonaventua Cavalieis Geometi fo det udelelige) at enve plan så at sige e opbygget af et uendeligt antal paallelle linje. Elle ettee jeg foetække at se det som et uendeligt antal paallelogamme ve med en fælles øjde, vo ve øjde kan opfattes som af ele øjden, dvs. som en uendelig lille del af den samlede øjde (vo vi lade betegne et uendeligt stot tal), vofo den samlede øjde af dem alle netop svae til øjden fo figuen. Rumfang af kegle, pyamide og kugle i kan beegne umfanget af en ække figue ved en metode, de e beslægtet med den metode Wallis og ande af integalegningens føste teoetikee anvendte, og som minde om den metode vi anvendte i 5. til at beegne længde af kuve. Lad os betagte en kegle og placee den i et koodinatsystem, så den ligge ned med. aksen som symmetiakse. Keglens spids ligge i,. Keglens øjde kaldes. Keglens bund e en cikel med en adius på og den skæe. aksen i,. I det tvæsnit, de ligge i koodinatsystemet, følge kanten af keglen en linje gennem punktene, og,. Linjen a ligningen: y x i betagte keglen som sammensat af uendeligt mange uendeligt tynde cylindestykke. Radius i en sådan cylinde e ude, vo bunden ligge, og i et tilfældigt x e adius netop y x. Højden af cylindeen kaldes π adius x x. Så e umfanget af det lille cylindestykke: L&R Uddannelse A/S ognmagegade DK-48 Købenavn K Tlf: 45 [email protected]

4 Hvad e matematik? B, i-bog Pojekte: Kapitel 5. Pojekt 5.. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge π x x Indsæt udtykket fo adius Rumfanget af keglen e nu summen af alle disse små tynde cylindeskive. Opfatte vi x som et uendeligt lille stykke, vi betegne med dx, så bestå summen af uendeligt mange bidag. En sådan uendelig sum udegnes netop som integalet. Dette gå vi dybee ind i i A-bogen, men e få altså følgende esultat: π x dx π x dx Udnyt potensegel π x dx Udnyt egneegel fo integale π x Udegn det det bestemte integal π Udegn det det bestemte integal Reduce π π Reduce Dette e fomlen fo umfanget af en kegle Øvelse 4 Bestem umfanget af en kegle, de a en adius i bunden på 5 og en øjde på. Øvelse 5 Anvend samme teknik til at bestemme umfanget af en pyamide, vo gundfladen e et kvadat med sidelængde l og øjde a) Læg pyamiden vandet, som vi gjode med keglen. En af pyamidens sidelinje gå fa, til, l. Bestem en ligning fo denne. b) Pyamiden opfattes nu som sammensat af tynde kasse med kvadatisk bund med sidelængde lig med y og øjde lig med x. Bestem umfanget af en sådan lille kasse. c) Nå vi opfatte pyamiden som sammensat af uendeligt mange uendeligt tynde kasse med øjde dx, så kan summen af alle disse bidag til pyamidens umfang opskives som et integal. Gø det og vis, at pyamidens umfang blive: l Øvelse 6 Anvend samme teknik til at bestemme umfanget af en kugle med adius. Kuglen lægges med centum i, og et tvæsnit af kuglen ligge så fa - til på x-aksen. a) is, at alvciklen i den positive alvplan kan beskives ved vaiabelsammenængen: y x b) Kuglen opfattes nu som sammensat af tynde cylindestykke med adius lig med y og cylindeøjde lig med x. Bestem umfanget af en sådan lille cylindeskive. L&R Uddannelse A/S ognmagegade DK-48 Købenavn K Tlf: 45 [email protected]

5 Hvad e matematik? B, i-bog Pojekte: Kapitel 5. Pojekt 5.. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge c) Nå vi opfatte kuglen som sammensat af uendeligt mange uendeligt tynde cylindestykke med cylindeøjde dx, så kan summen af alle disse bidag til kuglens umfang opskives som et integal. Gø det og vis, at kuglens umfang blive: 4 π d) Agumente nu fo, at fomlen fo umfanget af en kugle med adius e: 4 π enten ved at genenmføe ovenstående udegninge med adius, elle ved at agumente ud fa skaleing: N adius blive gange så sto, så blive aeale ganget op med og umgang med. Øvelse 7 Bestem umfanget af en kugle med adius 6. L&R Uddannelse A/S ognmagegade DK-48 Købenavn K Tlf: 45 [email protected]