Indholdsfortegnelse. Matematik A. Projekt 6 - Centralperspektiv. Stine Andersen og Morten Kristensen

Transkript

1 HTX Næstved Matematik A 8

2 2 Indholdsfotegnelse Indholdsfotegnelse... 2 Indledning... 3 Poblemstilling... 4 Teoi... 5 Vektoe i planet... 5 Vektobestemmelse... 5 Vinkel mellem to vektoe... 6 Vektokoodinate... 6 Vektokoodinate i et koodinatsystem... 6 Addition af to vektoe... 7 Vektoe i ligevægt... 8 Skalapodukt... 8 Vektoe i ummet... 9 Vektolængde... 9 Enhedsvekto... 1 Skalapodukt... 1 Pojektion... 1 Paametefemstilling af et linje Vektopodukt Paametefemstilling af plan Planets ligning på nomalfom Afstand e mellem punkt P og plan α Afstand e mellem P og linje Beegninge Opgave Linje IQ Linje IQ Linje IQ Opgave Opgave Opgave Plan Plan

3 Opgave Konklusion Indledning Denne opgave e lavet sådan at vi ved hjælp af det vi ha læt indenfo vektoegning i ummet skal beegne på et centalpespektiv til et animationspogam til computeen. Denne opgave laves fo at læe os mee om vektoegning i ummet, og heved også fostå hvodan man anvende disse egnemetode i paksis. 3

4 Poblemstilling Billedet skal væe i centalpespektiv, de kan beskives således: I Q1 P1 Q2 P2 Billedet skal tegnes i en plan π. Punktet I e et fast punkt (iagttagelsespunktet), P e et vilkåligt punkt på figuen de skal afbildes. Linjen PI skæe planen π i punktet Q, som e billedet af P. Q findes fo et passende antal punkte P, indtil man udfa de tilsvaende Q e kan lave en tegning i planen π af figuen I fobindelse med en pototype af animationspogammet, ønskes foetaget beegninge på en simpel umlig figu. En tesidet pyamide, de kan fastlægges ved de te hjønepunkte (se figu). z I(-36,-9,12) P3(,,2) P1(1,,) P4(,,) y P2(,1,) Hjønepunktenes koodinate i ummet e: P1(1,,) P2(,1,) 4 P3(,,2) P4(,,)

5 Vi betagte pyamiden fa punktet I(-36,-9,12), og vi se diekte mod punktet P4. Billedplanen π skal defo anbinges så linien IP4 stå vinkelet på π. Afstanden fa billedplanen π til punktet I sættes til 195. Bestem koodinatene til billedpunktene Q1, Q2, Q3 og Q4 Lav en paametefemstilling af planen π Bestem paametene s og t fo punktet Q3 Fo pyamiden ønskes bestemt den vinkel, de e mellem fladen de indeholde punktene P1, P2 og P3 og fladen de indeholde punktene P2, P3 og P4 Vis en tegning/figu som betagteen se pyamiden (bug evt. umfig2.mcd elle Autocad) Teoi Vektoe i planet Vektoe e en fællesbetegnelse fo linie de ikke alene ha en talstøelse, men også e bestemt ved en etning. Modsat vektoe ha man skalae, som hvis du se på dette matematisk, kun kæve en talvædi. Eksemple på dette e længde, aeale og umfang. Man bestemme en vekto ved at angive vektoens støelse, og ved at angive vektoens etning. Gafisk e støelsen selve længden, mens pilen angive etningen: Vektobestemmelse Vektoens støelse, elle talvædi give sig selv, mens etningen kan angives på 2 foskellige måde: 1. Du kan angive etningen i i fohold til vinklen, som e målt i fohold til en vandet linie således: 5 1. Du kan angive etningen ved hjælp af de to koodinate, dette skives sådan a = y he: ( )

6 Hvis det e at man ikke e bundet til noget bestemt punkt, i en given opgave, kan man afbilde en vekto fa et vilkåligt punkt i planet, men kende du f.eks. koodinatene til vekto a og skal bestemme længden kan det gøes således, da vi gå ud fa pythagoas: 2 b = b = y 2 + y 2 Vinkel mellem to vektoe Nå man abejde med flee vektoe, ha man bug fo at kunne bestemme vinklen som vektoene danne med hinanden. Du kan betegne vektoen således: ( a, b ) Vektokoodinate a = ( y) Vektokoodinate i et koodinatsystem ( ) 2 AB = 1 y2 y1 6

7 Addition af to vektoe Nå man lægge vektoe sammen, afsætte men fa et vilkåligt punkt, he kaldet P, vekto a. Fa vekto a s ende, sætte du så vekto b. Fa det afsatte punkt P tegne du så en linie til spidsen a vekto b, og he afslutte du linien med en pil, ligesom en vekto. Denne linie e en ny vekto, som vi kalde og som kaldes en sumvekto elle esultanten. Vektoene a og b kaldes komposante. Dette kan udtykkes i ligningen: = a + b Hvis du ha flee vektoe, e femgangsmåden bae det samme. Du kan også sætte vektoene i omvendt ækkefølge, esultatet blive det samme. ( ) Hvis a = 1 y1 ( ) og b = 2 y2 ( ) e 1+ a + b = 2 y1 + y2 7

8 Vektoe i ligevægt Ha man to modsatettede vektoe, som e lige lange holde de hinanden i ligevægt: Hvis man ha flee vektoe, med foskellige støelse og etninge, de danne en lukket polygon, e denne i ligevægt. (se illustationen nedenunde). Man kan udtykke det i ligningen: a + b + c + d = ( ) Skalapodukt Da vi ved fa fysikken af at: abejdet e lig med poduktet af vejlængden og kaften i bevægelsesetningen. Dette kan udtykkes i en ligning: = F s A Du ved også at F cos( v) = og demed F = F cos(v) F Hvis man indsætte dette i udtykket fo F, få man: A = F s cos(v) 8 Nå man kigge på denne fomel, kan vi se at de indgå to vektoe, og hvis man indsætte tal, blive esultatet et eelt tal. Dette tal kaldes skalae. Nu kan du få en definition. Skalapoduktet af det eelle tal kan du udtykke som:

9 a b = a b cos( v) a b = y 1 y 2 cos( v) = y a b 1 y 2 cos( v) = e a e b v e vinkelen mellem vektoene. a b e symbolet fo skalapoduktet. Pikken må ikke foveksles med et gange-tegn. Skalapoduktet a b =, nå vektoene stå vinkelet på hinanden: 9 Vektoe i ummet Vektoe i ummets koodinate skives således: Vektolængde Længden på sådan en vekto kan egnes ved hjælp af denne fomel:

10 Hvis du ha fået opgivet to punkte i ummet, kan du finde længden mellem dem ved denne fomel: :,,,, Enhedsvekto Hvis man skal bestemme koodinatene til vekto a s enhedsvekto buge man denne fomel: Skalapodukt Hvis vi udtykke definitionen fo skalapoduktet fa vektoe i planet og udvikle den så vi kan egne vektoe i ummet få vi denne ligning: cos Løse vi ligningen i fohold til cos(v) få vi denne ligning: Pojektion 1 Hvis vi pojicee vekto b ned på vekto a få vi umiddelbat længden af pojektionsvektoen :

11 cos Se vi på skalapoduktet fa fø: cos Og omskive det bagefte: cos Kan vi nu sætte voes føste fomel lig med den sidste og deved bestemme længden af pojektionsvektoen som: Paametefemstilling af et linje På denne figu kan man se en et linje, som gå igennem et punkt,, og denne linje ha en etningsvekto som e givet ved: defo kan vi vektofom beskive et punkt P(,y,z) på linjen:, hvo t e en paamete. Vi kan også beskive den ette linje ved hjælp af koodinatene: 11

12 Vektopodukt Som det kan ses stå vekto a og b ikke vinkelet på hinanden; vinklen mellem a og b ligge i intevallet ; 18. Nå vi ved dette kan vi definee en ny vekto de stå vinkelet på både a og b: ab og kaldes kydspoduktet elle vektopoduktet, og længden på denne vekto definees som: sin Kydspoduktet ab kan også stå fo den numeiske vædi af det aeal, de udspændes af de to vektoe a og b. Hvis vi ha vekto a og b: Vektokoodinatene til kydspoduktet ab kan bestemmes med denne mati og deteminantfomel: : 12 Paametefemstilling af plan Hvis vi foestille os at vi i et ummeligt koodinatsystem ha fået givet te punkte,,,,,,. Disse udspænde planet α. Hvis AB og AC ses som vektoe og demed kan vi få en vekto de e paallel med planet α hvis den opløses i henholdsvis vekto AB og vekto AC s etning. Hvis vi ha givet et vilkåligt punkt P, kan vektoen AP opløses på følgende måde: hvo s og t e eelle tal.

13 I fohold til koodinatsystemets begyndelsespunkt, kan punkt P angives således: som e planet α skevet på vektofom. Vi indføe så koodinatene til AB og AC og få denne fomel: Nu kan vi få planet α på paametefom: Planets ligning på nomalfom Hvis man ha et plan hvo de e afsat en vekto de stå vinkelet på planet, kaldes denne en nomalvekto:. I planet ha vi to punkte:,, som e et givet punkt, og P(,y,z), som e et vilkåligt punkt, de dog e afsat sådan at vektoen fo disse to e vinkelet på voes nomalvekto: Da vi ved at denne vekto og voes nomalvekto stå vinkelet på hinanden, ved vi nu altså også at skalapoduktet e lig :, og hemed få vi så at Hvis vi gange den ud få vi til sidst: Så sætte vi udtykket: og ligningen få nu følgende udsende: Afstand e mellem punkt P og plan α Fo at egne afstanden mellem punkt og plan α skal man kigge på n da det e planet α s nomalvekto og afstanden kan udtykkes således: cos 13 Da udtykket cos e skalapoduktet, som også kan udtykkes som (se planets ligning på nomalfom )

14 Deudove gælde det også at og deved kan afstanden e altså nu udtykkes således: Afstand e mellem P og linje Nå du ha, en linje k, samt et punkt P på linjen k samt at vi ha etningsvektoen få vi ved hjælp af kydspoduktet: sin Og nu kan vi så udtykke: sin Da det gælde at afstanden sin kan vi nu bestemme afstanden e mellem punkt og linje k: Beegninge Opgave 1 De ligge en linje fa I til P4, denne linje skæe planet i Q4,. Linjen ligge vinkelet på linjen. Vi egne afstanden fa I til P4. I := I = 39 Vi egne afstanden fa P4 til planet. Afstand P4π := Nu kan vi se at Q4, skæingen med planet, må ligge lige midt mellem I og P4. Defo må koodinatene til Q4 væe det halve af I.

15 I Q 4 := 2 18 Q 4 = 45 6 Nomalvektoen ligge vinkel et på og må væe lig Q4I. Q4I := I Q Vi femstille nu en ligning fo planen fo at finde skæingen.planet ligning sige: ( ) b( y y ) a ( ) + + c z z a,b,c e nomal vektoen, Q4I.,y og z e et punkt på planet, altså Q4. 18( + 18) 45( y + 45) + 6( z 6) ( 18) y + 6 z Q1, Q2 og Q3 findes ved at egne skæing mellem linje og plan. Vi skal imidletid opstille paametefemstillinge fo alle linje, IQ1, IQ2 og IQ3. Linje IQ1 Vi egne etningsvektoen IP1 fo at lave en paamete femstilling. 1 P 1 := IP 1 := P 1 I Da vi ha et punkt, P1, kan vi nu lave paametefemstillingen fo linjen som blive: 15 y z 1 + t Opløse vi denne i,y,z få vi:

16 1 + 46t y + 9t z 12t Dette sættes ind i planens ligning og en t vædi udegnes. ( 18) ( t ) ( + 9t) + 6 ( 12t ) beegn, t t := 418 t vædien indsættes nu i linjens paamete femstilling og skæingspunktet findes, altså Q1. t vædien indsættes nu i linjens paamete femstilling og skæingspunktet findes, altså Q t = Q1 hedde defo: Q 1 := ( ) Linje IQ2 Vi egne etningsvektoen IP2 fo at lave en paamete femstilling. P 2 := 1 IP 2 := P 2 I Da vi ha et punkt, P1, kan vi nu lave paametefemstillingen fo linjen som blive: y z 1 + t Opløse vi denne i,y,z få vi: t y t z 12t

17 Dette sættes ind i planens ligning og en t vædi udegnes. ( 18) ( + 36t ) ( t ) + 6 ( 12t ) beegn, t t := 358 t vædien indsættes nu i linjens paamete femstilling og skæingspunktet findes, altså Q1. t vædien indsættes nu i linjens paamete femstilling og skæingspunktet findes, altså Q t = Q2 hedde defo: Q 2 := ( ) Linje IQ3 Vi egne etningsvektoen IP3 fo at lave en paamete femstilling. 2 2 P 3 := IP 3 := P 3 I Da vi ha et punkt, P1, kan vi nu lave paametefemstillingen fo linjen som blive: y z 2 + t Opløse vi denne i,y,z få vi: + 36t y + 9t z 2 + 8t 17 Dette sættes ind i planens ligning og en t vædi udegnes ( 18) ( + 36t ) ( + 9t) + 6 ( 2 + 8t) beegn, t t := 854 t vædien indsættes nu i linjens paamete femstilling og skæingspunktet findes, altså Q1.

18 t vædien indsættes nu i linjens paamete femstilling og skæingspunktet findes, altså Q t = Q3 hedde defo: Q 3 := ( ) Opgave 2 Fa opgave et ha vi en ligning fa planet. Vi kan nu lave det til en paametefemstilling. 18( + 18) 45( y + 45) + 6( z 6) P := Fo at finde to nye punkte state vi med at sætte og y til at væe nul. 18( + 18) 45( + 45) + 6( z 6) P1 := beegn, z cife, 4 Vi finde nu et nyt punkt ved at sætte y og z til at væe nul og løse til. 18( + 18) 45( + 45) + 6( 6) beegn, cife, 4 P2 := Vi kan nu femstille to etningsvektoe ud fa voes te punkte.

19 PP1:= P1 P PP2:= P2 P Voes paamete femstilling fo planet må defo hedde: y z t 45 + s Opgave 3 Paametefemstillingen ha vi fa opgave 2 og Q3s koodinate fa opgave 1. Q 3 := ( ) y z t 45 + s Vi indsætte nu Q3s koodinate i paametefemstillingen, og opløse ligningen i y og z. Vi ha nu to ligninge med to ubekendte og løse til t og s. Given t 18 + s ( 31.3) t 45 + s 45 t := Find( t, s) s := Vi vil nu kontollee de fundne vædie, og sætte dem defo ind i z, og se om det give z Vi vil nu kontollee de fundne vædie, og sætte dem defo ind i z, og se om det give z koodinaten. 6 + t s 6 = Det gø det, og voes fundne paamete må væe koekte. Opgave 4 Fo at finde vinklen mellem de to plane, skal vi finde dees to nomalvektoe.

20 Planet de indeholde P1, P2 og P3 kalde vi plan123, og planet de indeholde P2, P3 og P4 kalde vi plan234. Punktene e defineet som nomalvektoe fo bede at kunne egne med dem. 1 P 1 := P 2 := 1 P 3 := P 4 := Vi state med at danne to vektoe udfa de te punkte. Plan123 Vi buge P1 som fast punkt. Vi buge P1 som fast punkt. P1P2:= P 2 P 1 P1P3:= P 3 P Nå vi kydse disse to vektoe få vi planets nomalvekto. n plan123 := P1P2 P1P Plan234 Vi buge P2 som fast punkt. P2P3:= P 3 P 2 P2P4:= P 4 P Kydse vi disse to vektoe få vi dette plans nomalvekto. 2 2 n plan234 := P2P3 P2P4 2

21 cos ( v ) n plan123 n plan234 n plan123 n plan234 beegn, v cife, 4 Opgave 5 Figuen e tegnet i RumFig2. Konklusion Vi kan konkludee at vi ha løst poblemet med at få den geometiske figu i centalpespektiv. 21 Vi ha fået løst alle stillet opgave, og lavet tegninge de bekæfte at alle mål og vinkle passe.