At score mål på hjørnespark

Transkript

1 At scoe ål på hjønespk Ole Witt Hnsen, lekto eeitus undevisningens udvikling i gnsiet Indtil 988 hvilede fsikundevisningen i gnsiet på det teoetiske, so n søgte t bekæfte genne deonsttionsfosøg elle fsikøvelse, de blev nlseet og dokuenteet i fsikppote. I undevisningen bejdede n sig begebsæssigt og konologisk fe f kinetikken ed folene fo jævn og konstnt cceleeet bevægelse ove eknikken ed Netons love. Meget ieligt, d eknikken e foudsætningen fo en gundlæggende foståelse fo esten f fsikken. Denne begebsæssige konologi e opetholdtholdt i stnddvæket Univesit Phsics f Peson, i tske læebøge og også i de fleste læebøge f fø 988 blndt ndet ine egne. En centl del f g undevisningen v t befi elevene fo Aistoteleske hvedgsfoestillinge og t foulee Glileis fldlove, so den føste ekendelsesæssige lndvinding, de nltisk beskive en gundlæggende sipel lovæssighed i fsikken: Det fie fld. Isæ efte 5 e det teoetiske spekt stot set opgivet (fodi elevene helle ikke læe tetik længee?) og lovæssighedene i fsikken blive i stedet esulttet f coputefits. D kvntittiv åleusikkehed fo længst e fosvundet f fsikundevisningen, søge elevene ofte t finde nltiske foklinge på led i coputefits, so ikke bude væe de, desugtet, t luftodstnd fo fit fld f ssive legee fuldstændig dukne i åleusikkehed. D elevenes eleentæe tetiske fædighede i gnsiet i dg helt e estttet f bug f tetik IT, e det jo også osonst t fosøge t udlede folene fo konstnt cceleeet bevægelse, udtkkene fo potentiel og kinetisk enegi, bejdssætningen og enegibevelse i tngdefeltet. Jeg snes det e et pobletisk kultuelt og intellektuelt tilbgeskidt, t det teoetiske spekt f fsik og tetik ed udledning og bevise stot set e fosvundet f undevisningen, hvo det tidligee (og isæ fo pigene) hvde en eleentæ intellektuel ppel fo en del f elevene. Alt dette e jo en sg blot, d undevisningen o bevægelse i tngdefeltet foegå ved t optge fldende legee ed højhstighedske, og oveføe dt til et coputepog, so deefte lve fits og tegne gfe. Men nu til sgen. Tidligee, nå jeg udledte folene fo det skå kst (ed vektoegning ntuligvis) og undestegede, t nå n føst h sluppet et legee, så e bevægelsen udelukkende stet f tngdekften i lodet etning, så e det ikke 8 LMFK-bldet /4

2 så sjældent, t eleve h spugt o, hvodn n så f kn få en fodbold til t dkke elle deje. Svet e ntuligvis, t n ved udledningen f det skå kst, se bot f luftodstnd, en det fokle jo ikke, hvodn bolden kn deje. Foklingen å søges i, t bolden skue, ltså otee o en lodet kse. Opvkte eleve vil så gene hve en fokling på, hvofo det kn give en sidevæts kft, og undvigenøven h d væet, t det e lt fo kopliceet til t fokle på gnsilt niveu (hvilket e sndt). O jeg selv fostå det?...øh v det ikke klokken, de ingede? At n fktisk kn scoe ål på hjønespk, kn ses f flee videoe på YouTube, hvis n i Google søge på: Mål på hjønespk. Mn kn godt give en kvlittiv fokling, so jeg engng h set i bldet Ingeniøen, en en egentlig beegning f boldens bne ud f gundliggende lovæssighede, h jeg ldig set. Jeg kn huske, t en elev engng foeslog det, so Sto Opgve i fsik, en dengng opgv jeg det, so lt fo kopliceet. Pensionisttilvæelsen tillde iidletid t tge den slgs poblee op, selv o det e geoetisk (tetisk) kopliceet. Men det vise sig fktisk uligt t udlede nogle nltiske udtk, so beskive bevægelsen, hvo boldens hstighed og ottion e de eneste pete n kn vælge fit. Det esultee i koblede. odens diffeentilligninge, so heefte kn løses nueisk og vises i en D pojektion. Geoetisk nlse f poblestillingen Figuen på næste side vise en fodbold, de bevæge sig i etning, svende til en luftodstnd, de koe ind i odst etning. Et punkt på bolden e fstlgt ved polæe koodinte: (, θ, ). Geoetien kn væe lidt svæ t oveskue på den ulige tegning, så de e lgt et snit pllelt ed plnen, hvo vindens etning v e opløst efte en tngentil og en dil etning. betegne vindens dile koposnt og v t betegne vindens tngentile koposnt. Af figuen til høje ses, t v v sin v v cos t Idet bolden otee o z ksen, vil et punkt (, θ, ) hve en hstighed i etningen, so e boldens edføingshstighed, plus koposnten f boldens ottionshstighed. Fo ften i den jævne cikelbevægelse gælde v ω og ften i cikelbevægelsen, svende til ziutvinklen θ e defo v θ ω sinθ og koposnten vil væe v θ ω sinθ cos. LMFK-bldet /4 9

3 z ω v θ z v t v v t Hstigheden f et punkt i etningen e defo v + ω sin θ cos ϕ, og den dile og tngentile koposnt f denne hstighed blive defo. v ( v + ω sinθ cos ϕ) sinϕ vt ( v + ω sinθ cos ϕ) cosϕ Vi e inteesseet i kften, de vike odst bevægelsesetningen ( etningen), so vil bese bolden og kften, de vike i etningen, vinkelet på bevægelsesetningen. Vi skl defo udegne koposntene i og etning f dilhstigheden. Rdilhstighedene f boldens bevægelse vil ænde ft og etning f bolden, ens tngentilhstigheden eventuelt vil ænde ottionshstigheden. Iidletid vil boldens hstighed bese på den ene side og give edløb på den nden, så vi se helt bot f tngentilhstigheden. Ud f tegningen øvest til høje, kn n fo dilhstigheden se, t: v v cosϕ v v sinϕ så v ( v + ω sinθ cos ϕ) sinϕ cosϕ v ( v + ω sinθ cos ϕ) sinϕ sinϕ So udtk fo luftodstnden, de vike odst bevægelsesetningen, vil vi nvende udtkket: F ½c ρ Av γ v Kæftene, de vike i etningen, svende til vinklene og, e odst ettede, hvd ngå leddet v, so det fegå f udtkket fo, en d vi kvdee hstighedene, blive vi nødt til t udegne F so: F F () F ( ) Den kft F, de vike i punktet (, θ, ) skl så gnges ed eleleentet da sinθ dθ dϕ og integees ove hele hlvkuglen, θ [, ] og ϕ [,½ ]. D vi h tukket elet ud f folen, skive vi den nu: df ½c ρv da γ v da df df ) df ( ϕ) ( ϕ) df ( ϕ) (( sinθ cos ϕ ) sin ϕ cos γ + ω sinθ cos ϕ) sin ϕ cos ϕ ϕ sin θ sin dθ θd ϕ dθ dϕ ( v + ω sin θ θcos( cos( ϕ )) ϕ )) sin sin ϕ cos ϕ cos ϕ ϕsin θ sin dθ θ d ϕd ) θ dϕ) De to udtk e ens, botset f et fotegnsskifte i det ndet led i de toleddede støelse, idet cos( ϕ) cosϕ. Leddene vil defo gå ud od hinnden, botset f gnge det dobbelte podukt f den toleddede støelse, n finde efte en inde eduktion: df ( ϕ) df ( ϕ) γ 4v ω sin θ cos ϕ sin ϕ dθ dϕ I det følgende få vi bug fo t kunne udegne integle f tpen: sin n cos d ρ e luftens sseflde, c e fofktoen, A e tvæsnitselet f legeet, og v e hstigheden i bevægelsesetningen. Hvis n e lige og e ulige (elle ovendt), så kn integlene udegnes eltivt net ved nvendelse f folene: cos sin, elle, hvd de e det se, sin cos og en sipel substitution. Hvis både n og e lige, kn integlet udegnes ved (successiv) nvendelse f ovennævnte fole, 4 LMFK-bldet /4

4 st folene: cos cos cos + og sin. Endelig hvis n og e ulige, kn n nvende folen sin sin cos. F γ 4v ω sin θ cos ϕ sin ϕ dθ dϕ cos θ θ sin θdθ d θ sin θ 4 cos ϕ sin ϕ dϕ ( sin ϕ) cosϕ sin ϕ dϕ 4 (sin sin ϕ) sin sin sin d ϕ ϕ 5 ϕ 5 Det endelige udtk fo F blive heefte: F 4 cρ vω Beæk, t de (ntuligvis) ikke e nogen kft på tvæs f bevægelsesetningen, hvis ω. Udtkket fo hstigheden i etning e givet ovenfo: v ( v + ω sinθ cos ϕ) sin ϕ Dette udtk skl integees ove hele hlvkuglen: F γ v sinθ dθ dϕ γ (( v + ω sinθ cos ϕ) sin ϕ) sinθ dθ dϕ Bevægelsesligningene Heefte kn vi opskive udtkket fo F. F cρ ( v + ω ) 4 Vi h ntget, t bolden bevæge sig i etningen. Dette e ntuligvis en tilnæelse, hvis n skde et hjønespk lngs bglinien ( etningen). Den koekte foel fo luftodstnden e F ½c Av v ρ ½c v ρ Av v Selv o hstigheden ikke e gnske vinkelet på ottionsksen, vil vi beholde udtkket fo F lt ndet ville væe (tetik) hlsløs gening, og foodentlig kun ænde inilt på esulttene. Acceletionen bestees ved t dividee ed boldens sse, udskevet ved hjælp f de bsisvektoe i, j, k : F F Fz F + z i c v ρ ( + ω 5 4 j ) g k c 4 i c v v ρ ω ρ ( + ω 5 4 j ) g k Hvis vi skive cceletionen ud i koponente efte, og z kse, finde n defo: c vv c 4 ρ ρ v ω 4 5 c vv ρ ( + ω ) 4 c ρ 4 vv g z z Leddet, de koe ed cos vil fosvinde ved integtionen, idet cos e ulige i intevllet f til, og de øvige funktione e lige. Nå integnden udegnes finde n: F 4 4 F γ ( v sin ϕ sinθ + ω sin ϕ sin θ cos ϕ) dθ dϕ På næsten se åde so ovenfo, finde n fo de 4 integle: sin 4 ϕ d ϕ, sin 4 θ θ 8 d, sinθd θ 4 og sin ϕ cos ϕ d ϕ, 6 hvilket n uligvis også kn finde ved bug f CAS. LMFK-bldet /4 4

5 Dette e koblede. odens diffeentilligtninge, og selv o det skulle lkkes t finde en nltisk løsning, e det svæt t finde nvendelse fo den. Ligninge e løst nueisk, og plottet i en ægte D pojektion. Udegne n konstntene ed ρ,9 kg/, c,4, dius f bolden, og ssen f bolden,4 kg, få n følgende nueiske ligninge:, 5 vv 5, 4 vω z 4 5 ω, 5 vv +, 68, 5 vv z 9, 8 Gfisk løsning f bevægelsesligningene Vi h st fodboldbnens bedde til 6. Opgven, t bestee udgngsften, vinklene θ, fo etningen og det ette sku f bolden fo, t den ende i ål, e otent lige så vnskelig, so t udføe det i pksis, en nogle ielige vædie kunne væe: v,5 /s, ω,4 s, (oløbstid T, s), θ 6 og 8. Bolden vil gnske igtigt deje ind od ålet og lnde de, og på D figuene, se det ud so o den koe i ål, en det e et bedg på gund f pojektionen. Se n iidletid på gfene fo (t), (t), z(t), kn n se, t den fktisk ikke nå ind i ålet. Med de vlgte vædie f vinkle og hstighed skl n fktisk op på uelistisk høje ottionshstighede, fø bolden gå ind i ålet. O det e uligt i den nuvæende beskivelse, t få bolden i ål ed elistiske vædie f vinkle, hstighed og ottion, skl jeg ikke kunne sige, d n uligvis også skl justee det eodniske. Foålet h egentlig blot væet, t give en teoetisk og kvntittiv fokling på, t n kn scoe ål på hjønespk. Af de te gfe nedenfo, hvo D fbildningen ses f to foskellige pldse på tilskueækkene, kn ses, t de blive scoet på hjønespk. På hve D gf e vist to kuve, hvof den ene e e boldens bne i ål, den nden e bnekuven, nå n se bot f luftodstnden. Beæk t fstnde e stækt fotegnede i D pojektion. Den sidste gf e ((t), (t), z(t)) ed og uden luftodstnd. Beegningene og gfene e lvet ed et ee end å gelt DOS pog skevet i Tubo 7.. Efte Windos 98, kn n ikke længee tge et skædup f DOS gfikken, og poget kn ovehovedet ikke køe i Windos 7 elle 8. De viste billede e defo kopi f skædup f en Windos 98 skine. Fonøjelsen ved den klssiske fsik e jo, t det binge én i stnd til nltisk t fostå og beskive voes teielle oveden, so den kn igttges. Min pointe e lidt den, t gå ud f gundliggende lovæssighede, fo deefte t behndle esulttene ed IT, i stedet fo det ovendte, t udlede lovæssighede ud f IT gfe. 4 LMFK-bldet /4