Kap. 1: Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner. Grundlæggende egenskaber.

Transkript

1 - 4 - Kap. : Logaitme-, eksponential- og potensfunktione. Gundlæggende egenskabe... Logaitmefunktione. Definition... Ved en logaitmefunktion fostå vi en funktion f, som opfylde følgende te kav: ) Dm(f) = R + og Vm(f) = R ) f e monoton (dvs. f e enten voksende i R + elle aftagende i R + ) 3) Fo alle a, b R + gælde: f(a b) = f(a) + f(b) Det føste, man måske kunne spøge om, e, om de ovehovedet findes en funktion med disse egenskabe. Dette e (sammen med andet basalt stof om logaitmefunktione) bevist i Appendi, som imidletid e på et højt fagligt niveau og defo må vente til senee i de fleste læsees matematiske kaiee. Da Vm(f) = R fo en logaitmefunktion f, findes de specielt et tal c R +, så f(c) =. Og da f e monoton, antages funktionsvædien kun én gang, dvs. de findes kun ét tal med denne egenskab. Vi kan defo tillade os at anføe følgende: Definition... Ved gundtallet fo en logaitmefunktion f fostå vi det tal c R +, som opfylde, at f(c) =. En logaitmefunktion med gundtallet c vil vi betegne således: log c Fo ethvet positivt eelt tal c findes de en logaitmefunktion med c som gundtal. Beviset fo denne påstand bygge på følgende sætning (se øvelse..4): Sætning..3 ) Hvis f e en logaitmefunktion og k e en given konstant (k 0), så e funktionen k f også en logaitmefunktion. ) Hvis f og g e to givne logaitmefunktione, så findes de en konstant k, så g() = k f() fo alle R + Denne sætning e bevist i Appendi. Øvelse..4: Lad log d væe en given logaitmefunktion med gundtal d, og lad c R + \{} væe vilkålig givet. Agumenté fo, at funktionen logd () e en logaitmefunktion med gundtal c. log (c) d

2 - 5 - Vi bemæke altså, at de findes uendeligt mange logaitmefunktione, men at de ligne hinanden idet foskellen på dem e en konstant. Dette vende vi tilbage til senee. I folængelse af definition.. og.. kan vi nu anføe, at de gælde følgende sætning (de måske bude betegnes som en definition, da de blot e tale om en gentagelse af.. og dele af.. med den nye notation anvendt): Sætning..5. Hvis log c e en logaitmefunktion med gundtal c, så gælde de: ) Dm(log c ) = R + og Vm(log c ) = R ) log c e enten voksende i R + elle aftagende i R + 3) Fo alle a, b R + gælde: log c (a b) = log c (a) + log c (b) 4) log c (c) = På baggund af denne sætning kan vi nu bevise følgende: Sætning..6. De gælde følgende egneegle fo en vilkålig logaitmefunktion log c : ) log c () = 0 og log c (c) = ) log c (a b) = log c (a) + log c (b) a 3) logc = logc (a) logc (b) fo alle a, b R + b n log a = n log (a fo alle a R + og alle n Z 4) ( ) ) c n 5) log ( a ) log (a) c n c = fo alle a R + og alle n N 6) log c ( a + b) kan ikke omskives. 7) log c ( a b) kan ikke omskives. Bevis: c Regel e en del af definitionen på en logaitmefunktion og nævnes blot he fo fuldstændighedens skyld. Regel : Da = se vi, at: log c () = log c ( ) = log c () + log c (), hvo egel e anvendt. Ved at tække log c () fa på begge side af lighedstegnet fås: log c () = 0. log c (c) = følge diekte af definition.. og nævnes blot he fo fuldstændighedens skyld. a a a Regel 3: Da a = b ses ved anvendelse af egel : logc (a) = logc b = logc + logc (b) b b b Ved at tække log c (b) fa på begge side af lighedstegnet fås den ønskede egel. Regel 4: Hvis n e positiv, få vi ved anvendelse af egel, at : log c (a n ) = log c (a a a. a) = log c (a) + log c (a) + log c (a) +. + log c (a) = n log c (a)

3 - 6 - Da a o = se vi af egel, at: log c (a o ) = log c () = 0 = 0 log c (a) n Endelig ha vi, at a = give os følgende: n a n n logc (a ) = logc = logc () logc (a ) = 0 n logc (a) = n logc (a) n a c, hvoefte egel 5 femkomme ved at dividee med n på begge side af lighedstegnet. Regel 5: Da ( ) n n a = n n n a ha vi ifølge egel 4, at: log c (a) = log ( a ) = n log( a ) Reglene 6 og 7 e blot at tage til efteetning, men det gø dem ikke minde betydningsfulde. Som omtalt findes de fo ethvet positivt eelt tal c en logaitmefunktion med c som gundtal. Men de mest almindeligt anvendte logaitmefunktione e log, log 0 og log e, hvo e e et iationalt tal, som med 6 decimales nøjagtighed e givet ved: e =,788. At netop tallet e og demed logaitmefunktionen log e ha sælig betydning, e vanskelig at gøe ede fo på dette tidspunkt, men det kan nævnes, at det netop e denne logaitmefunktions eksistens, de bevises i Appendi. De te omtalte logaitmefunktione kaldes totalslogaitmen, titalslogaitmen og den natulige logaitme. Titalslogaitmen log 0 skives ofte blot som log (hvo 0 altså e undefostået), og den natulige logaitme skives oftest som ln, altså: ln = log e. Eksempel..7. Lad os pøve at undesøge logaitmefunktionen med gundtal lidt næmee. Ifølge sætning..6 ha vi følgende funktionsvædie fo log : log () Disse vædie femkomme på følgende måde (vi give te eksemple): log (8) = log ( 3 ) = 3 log () = 3 = 3 log ( 8 ) = log (8) = 3 = 3 log ( 8 ) = log () log (8) = 0 3 = 3 log e voksende (idet log enten e voksende elle aftagende, og vi ved, at 0 = log () < = log ()) Desuden ved vi, at Dm(log ) = R + og Vm(log ) = R. Kombinees disse infomatione med de fundne vædie i tabellen, se vi, at gafen fo log ha et udseende som vist på figu Fig... log

4 - 7 - Alle voksende logaitmefunktione ha i pincippet samme udseende som log (se figu.. og jf. sætning..3). Gafene fo logaitmefunktionene log og ln (dvs. log 0 og log e ) ses på figu ln log Fig... Som logaitmefunktion betagtet buges de aftagende logaitmefunktione stot set ikke. Men fo i det mindste at se gafen fo en aftagende logaitmefunktion, e de på figu..3 tegnet gafen fo log (dvs. logaitmefunktionen med gundtal 3 ) log Fig...3 I fobindelse med logaitmefunktiones monotoni-egenskabe gælde følgende sætning: Sætning..8. Om en logaitmefunktion log c med gundtal c gælde: c < log c e aftagende i R + c > log c e voksende i R + Bevis: Sætningen følge af, at en logaitmefunktion enten e voksende i R + elle aftagende i R +, at log c () = 0 samt at log c (c) =. Detaljene ovelades til læseen. Bemæk, at indholdet af sætning..8 e fint i oveensstemmelse med udseendet af gafene på figu..,.. og..3.

5 - 8 - I folængelse af sætning..3 vil vi nu anføe følgende sætning: Sætning..9. Fo logaitmefunktionen med gundtal c gælde, at () log c = ln fo alle R + ln c Bevis: Ifølge sætning..3 findes de en konstant k, så () log c = k ln fo alle R +. Dette gælde specielt fo = c, hvomed vi få: hvomed det ønskede e bevist. (c) log c = k ln c. Da log c (c) = give dette os, at k =, ln c Af sætning..9 femgå, at det e nok med én logaitmetast på lommeegneen/gafegneen, nemlig en ln-tast. Heefte kan alle øvige logaitmefunktiones vædie beegnes ud fa fomlen i sætning..9. Vi ha f.eks., at: log () = ln = ln =,4470 ln ln 0,6935 og log 0 () = ln = ln = 0,4349 ln ln0,3059 Vi få demed f.eks., at log (5) =,4470 ln 5 =,4470,60944 =,393 og tilsvaende, at log 0 (5) = log(5) = 0,4349 ln 5 = 0, Imidletid indeholde de fleste matematiske lommeegnee en speciel tast til både ln og log. Øvelse..0. Find ved hjælp af lommeegneen/gafegneen log og ln til hvet af følgende tal: 3,8, 4869, , 0, 0-7 og Øvelse... Find vædien af følgende udtyk, nå a = 8,6 og b = 3,4, dels ved føst at indtaste udtykket diekte i lommeegneen, dels ved at educee mest muligt, og deefte udegne vædien: a) ln 4 b a a + ln b ln(a + b) + ln(b 3 ) b) 3 log(b a ) + log( ) + b log(a 4 b 3 ) log( 3 a ) Opindeligt blev logaitmefunktionen opfundet som et edskab til foenkling af beegninge. Denne foenkling femkom, idet multiplikation estattes af addition, division estattes af subtaktion og oduddagning og potensopløftning estattes af simpel division og multiplikation (jf. sætning..6). Ved hjælp af en tabel kunne man således nemmee ovekomme støe beegninge. Denne beegningsfoenkling, som foegik v.hj.a. titalslogaitmen log, ha efte egnemaskinenes indføelse kun histoisk inteesse, og vi vil ikke komme næmee ind hepå.

6 - 9 - Logaitmiske skalae: Ved hjælp af logaitmefunktione e det muligt at konstuee logaitmiske skalae, og demed også logaitmiske koodinatsysteme, hvo den ene elle begge akse e logaitmiske skalae. Logaitmiske skalae og koodinatsysteme anvendes i en lang ække sammenhænge (som det bl.a. vil femgå af afsnit.5,.7 og kapitel ). Logaitmiske skalaes styke ligge bl.a. i, at de e velegnede som akse i koodinatsysteme, hvo de skal illustees støelse, som kan vaiee ove et meget stot omåde, og i, at sælige type af funktione få et let genkendeligt udseende (ette linie) i logaitmiske koodinatsysteme. Men dette vende vi som omtalt tilbage til. Hvodan definee og konstuee man så en logaitmisk skala? Definition... Lad log c væe en voksende logaitmefunktion. Ved hjælp af denne fastlægges følgende: Ved en logaitmisk skala fostås en tallinie (en skala), hvo de ud fo hve tal t ikke anføes tallet t, men deimod det tal, hvis logaitme e lig med t, dvs. t = log c (): 0 t = log c () Fig...4 alm. skala log. skala Denne definition give anledning til en ække kommentae, bl.a.: At det ovehovedet e muligt at give denne definition skyldes, at Vm(log c ) = R, så uanset vædien af t e det muligt at finde, så t = log c () Da log c e voksende og demed injektiv ha den en omvendt funktion log c - (jf. Appendi ) De gælde demed: t = log c () = log c - (t). Vi se hemed, hvodan konstuktionen af den logaitmiske skala foegå: På en almindelig tallinie skive vi blot log c - (t) i stedet fo t ud fo ethvet tal t. log c - (t) kan findes v.hj.a. lommeegneen/gafegneen (se nedenstående eksempel..8). De findes ingen negative tal på en logaitmisk skala, idet Dm(log c ) = R + = Vm(log c - ). Da to vilkålige logaitmefunktione e popotionale (jf. sætning..3 )), e det i pincippet uden betydning hvilken voksende logaitmefunktion man anvende til at konstuee den logaitmiske skala. Dette svae blot til, at skalaen kopiees op elle ned. Sætning..3. På en logaitmisk skala konstueet v.hj.a. logaitmefunktionen log c gælde, at fo alle hele tal n e tallet c n placeet, hvo n e placeet på den tilsvaende almindelige skala: Fig c -3 c - c - c c c 3 c 4 alm. skala log. skala

7 - 0 - Bevis: Beviset bygge på, at c e gundtal fo log c og demed gælde: log c (c n ) = n log c (c) = n = n, hvo sætning..6 pkt. ) og 4) e anvendt. Øvelse..4. Tegn figue i stil med figu..5 fo funktionene: log, log 5 og log. Kommenté esultatene. Pøv på hve af de te skalae at placee tallene 7 og 9. Sætning..5. ) På en logaitmisk skala e den fysiske afstand mellem tallene 0 og lig med log c (0). Demed gælde specielt, at fo alle hele tal n e den fysiske afstand mellem 0 n og 0 n+ den samme uanset vædien af n. ) Lad væe et positivt tal og lad n væe det mindste hele tal, som opfylde, at 0 n. Da gælde, at på en logaitmisk skala e den fysiske afstand mellem og 0 n lig med den fysiske afstand mellem 0 og 0 n+ Bevis: Den fysisk afstand mellem 0 og e ifølge konstuktionen af den logaitmiske skala givet ved: log c (0) log c () = log c (0) + log c () log c () = log c (0). Den fysiske afstand mellem og 0 n e givet ved: log c (0 n ) log c () = n log c (0) log c () og den fysiske afstand mellem 0 og 0 n+ e givet ved: log c (0 n+ ) log c (0) = (n+) log c (0) (log c (0) + log c ()) = n log c (0) log c () hvomed de to støelse altså e ens. Hemed e sætningen bevist. Eksempel..6. På figu..6 e vist placeingen af 0,,, 0, 00, 000 og af 5,4 og 54 på en logaitmisk skala. 5,4 54 Fig...6 0, log.skala Ifl. sætning..5 e afsnittet fa 0 til 00 inddelt på samme måde som afsnittet fa til 0, som igen e inddelt på samme måde som afsnittet fa 0, til, osv. osv. F.eks. e afstanden fa 5,4 til 0 den samme som fa 54 til 00, som igen e den samme som afstanden mellem 540 og 000. Et sådant afsnit fa til 0 kaldes en dekade. På figu..6 e de således medtaget 4 dekade. På figu..7 ses dekaden fa til 0 i fostøet vesion: Fig Øvelse..7. Tegn en logaitmisk skala uden delepunkte og tal på. Afsæt 5 punkte med lige sto afstand imellem sig fodelt ove skalaen. a) Hvis de stå 000 og 0000 ved de to føste punkte, hvad stå de så ved esten? b) Hvis de stå og 0 ved de to sidste punkte, hvad stå de så ved esten? c) Pøv at inddele et pa af dekadene på de to akse i pkt. a) og b).

8 - - Eksempel..8. I folængelse af definition.. blev det omtalt, at vædiene, de skal afsættes på en almindelig skala fo at lave den om til en logaitmisk skala, dvs. log - c (t) i stedet fo t, kan findes v.hj.a. lomme/gafegneen. På de fleste matematiske lommeegnee findes som tidligee nævnt både log og ln. Og dees omvendte funktione. Hvis vi koncentee os om ln-tasten, så vil den omvendte funktion almindeligvis væe placeet ove denne tast og kunne nås ved hjælp af en nd -tast elle lign. Den omvendte funktion ln - betegnes også e (se afsnit.3). Hvis vi f.eks. vil konstuee en logaitmisk skala v.hj.a. log 5, så skal vi buge vædie af log - 5. Disse kan findes på følgende måde: Ifølge sætning..9 ha vi, at log 5 () = ln. Heaf få ln 5 vi, at t = log 5 () t = ln t ln5 = ln = ln - (t ln5). Da vi desuden ha, at ln 5 t = log 5 () = log - 5 (t) se vi i alt, at log - 5 (t) = ln - (t ln5). Vi kan altså finde vædie fo log - 5 ved at anvende ln- og ln - -tastene på gafegneen. Læseen kan som en øvelse pøve at finde følgende vædie: log 5 - ( 34), log 5 - (3) og log 5 - (00).. Udvidelse af potensbegebet. I dette afsnit vil vi fastlægge betydningen af a fo et vilkåligt positivt eelt tal a og et vilkåligt eelt tal. (Vi vil altså fastlægge, hvad vi f.eks. skal fostå ved Eksempel... Som et indledende eksempel vil vi se på fastlæggelsen af n 5 ). fo R. Vi kende alleede betydningen af fo n Z (mængden af hele tal) og kan defo buge disse q vædie som udgangspunkt. (Egentlig kende vi betydningen af fo q Q (mængden af ationale tal), men dette vil vi i føste omgang se bot fa og så lidt senee vende tilbage hetil). n I et koodinatsystem indtegnes punktene (n, ) fo n Z (se figu.. a)) a) -4 b) Fig log y = log

9 - - Hvis disse punkte fobindes med en blød kuve (som antydet med den stiplede linie på figuen), så kan vi ud fa denne kuve definee, hvad vi skal fostå ved også nå ikke e et helt tal. Vi se,68 f.eks., at må fastlægges til en vædi omking 3,5. En definition som den netop skitseede e imidletid fo løs, idet de givne punkte kan fobindes med en blød kuve på mange måde, og idet aflæsning ikke e pæcist. Dette kan afhjælpes på følgende måde: Som omtalt i afsnit. ha funktionen log en omvendt funktion n log. Ifølge sætning..6 gælde de fo alle n Z, at: log ( ) = n log () = n, hvoaf vi se, at: = log (n) Samtlige de givne punkte (n, n ) ligge altså på gafen fo log n. (se figu... b)). Da log () e defineet fo alle R, idet Dm( log ) = Vm(log ) = R, kan vi altså fo alle R fastsætte, at: = log (). Og da vi alleede ved, at denne fastsættelse stemme oveens n med det kendte potensbegeb, idet vi ved, at: = log (n) fo alle n Z, e de tale om en udvidelse af det almindelige potensbegeb. Inspieet af eksempel.. give vi følgende definition: Definition... Fo ethvet a > 0, a, fastlægges vædien af a ud fa logaitmefunktionen log a med gundtal a på følgende måde: a = log () Fo a = fastlægges, at = fo alle R. a fo R Som omtalt i eksempel.. e de fo a > 0 tale om en udvidelse af det kendte potensbegeb, idet log a (a n ) = n log a (a) = n fo alle n Z, hvoaf vi se, at: a n = loga (n) fo alle n Z, og idet n =. Men bemæk, at selvom vi godt kan udegne f.eks. ( ) n fo n Z, så findes de ingen udvidelse af dette potensbegeb. Udvidelsen foudsætte altså (som også nævnt), at a e et positivt tal. Fo enhve vædi af a skal vi ifølge definition.. have kendskab til den tilsvaende logaitmefunktion log a og dennes omvendte funktion. Det blive demed lidt besvæligt, hvis vi f.eks. skal fastlægge og udegne vædien af et udtyk som: 3,4 0,3 5 0,6 π 4,, idet dette da e givet ved: log3,4 ( 5) log0,6 ( π) log4, ( 0,3). Som det femgå af den følgende sætning (og se også eksempel..8), kan vi imidletid nøjes med at benytte én bestemt logaitmefunktion, nemlig ln. Sætning..3. Fo alle a > 0 og alle R gælde de: ) a = ln ( ln a) ) a = ln( a lna e 3) ) = ln a

10 - 3 - Bevis: Ad ): Ifølge sætning..9 gælde de følgende omskivninge: a = loga () = log a ( a ) = ln(a ) lna = ln( a ) a = ln - ( lna) ln a Fo a = ha vi, at ln ( ln) = ln (0) = =, hvomed ) e bevist i alle tilfælde. Ad ): Ud fa definition.. se vi, at e = ln - () fo et vilkåligt tal. Dette gælde specielt fo = ln a, hvomed vi ifl. pkt. ) få det ønskede. Ad 3): Da dette indgå som en del af omskivningen i pkt. ), e sætningen hemed bevist. Øvelse..4. Vis, at egel 3) i sætning..3 gælde fo en vilkålig logaitmefunktion log c, dvs. at: log c (a ) = log c (a) fo alle a > 0 og alle R. Eksempel..5. Som også omtalt i eksempel..8, findes de på de fleste matematiske lommeegnee taste til både ln og den omvendte funktion ln -, de også betegnes med e (se afsnit.3). Vi vil nu finde vædien af 3,4 5 0,3 0,6 π 4, ved hjælp heaf. Vi ha: 5 0,3 3,4 0,6 π 4, = ln ( 5 ln3,4) ln ( π ln 0,6) ln ( 0,3 ln 4,) = ln (,736445) ln (,50794) ln ( 0,3457) = 5,4307 0,730 0,7869 =,48463 Det skal bemækes, at de fleste lommeegnee ha en tast med benævnelsen y elle ^, og at f.eks. 5 3,4 da kan udegnes ved diekte at taste: 3,4 y 5 elle 3,4 ^ 5. Øvelse..6. Udegn vædien af følgende: a) 3 3 b), 0 π,7 c) 6,06 0,6 0,5 0,4 7,6 Det udvidede potensbegeb opfylde de samme egneegle som det sædvanlige potensbegeb, idet de gælde følgende sætning: Sætning..7. Fo alle a, b R +, fo alle, s R og alle n N gælde: ) 5) a a b s + s a = a ) a = 6) b a a s a = s = a 3) a (a ) s s = a 4) a b = 7) a = a n 8) a = a n (ab)

11 - 4 - Bevis: Vi bevise egel ) og 8). Bevisene fo de øvige egle foløbe på helt samme måde og ovelades til læseen som en øvelse: Ad ): Ifølge sætning..6 3) og sætning..3 3) ha vi, at: a ln( a s ) = ln( s s a ) ln( a ) = ln(a) s ln(a) = ( s) ln(a) = ln( a ) Da ln e en injektiv funktion få vi heaf, at: a a s s = a, hvomed det ønskede e bevist. Ad 8): Ifølge sætning..6 5) og sætning..3 3) ha vi, at: ln( n a ) = ln( a) ln(a ), og da ln e injektiv få vi heaf, at: n n a = a. Hemed e det ønskede bevist. n = n Ifølge sætning..7 gælde de altså f.eks., at,43,9 3,6 = og,6,47 3,95 ( 5,4 ) = 5,4. Eksempel..8. Som omtalt i indledningen til dette afsnit kendte vi faktisk til a q, hvo q e et ationalt tal (dvs. q e en bøk mellem to hele tal), inden vi foetog den ovenfo gennemføte udvidelse af potensbegebet. m q n m Hvis q =, hvo m Z og n N, så havde vi nemlig, at: a = ( a ). n Vi skal defo nu kontollee, at dette stemme oveens med det nye potensbegeb, så de som oveskiften til afsnittet lyde e tale om en udvidelse af det kendte potensbegeb. Dette følge imidletid umiddelbat af sætning..7 8) og 3), idet disse egle give os, at: m n m m ( a ) (a n ) = a n = = a. q Vi afslutte afsnit. med at omtale, at sætning..3 og sætning..7 sammen med egnemaskinens ln- og ln - -tast (dvs. ln- og e -tasten) kan benyttes til bl.a. løsning af ligninge: Eksempel..9. Vi vil i dette eksempel løse ligningene: a) 3 = b) = 0 c) log 5 () = 4, Ad a): Da ln e injektiv, ha vi, at: 3 = ln(3 ) = ln ln3 = ln = Løsningen e altså: = Ad b): Da ln ln3 = 0, = (3 ), skal vi løse ligningen: (3 ) 3 6 = 0. Hvis vi sætte 3 = y, så e poblemet educeet til at løse ligningen: y y 6 = 0. Denne andengadsligning ha løsningen: y = y = 3, hvomed vi se, at: (3 ) 3 6 = 0 3 = 3 = 3 ln ln3

12 - 5 - Da 3 = ln ( ln3), og da Vm(ln ) = Dm(ln) = R +, se vi, at 3 > 0 uanset vædien af. Ligningen 3 ln 3 = ha således ingen løsning. Vi se demed (jf. pkt. a)), at løsningen e: =. ln3 Ad c): Da log 5 () = ln se vi, at: ln5 log 5 () = 4, ln = 4, ln = 4, ln5 = ln (4, ln5) ln5 Løsningen findes heefte v.hj.a. egnemaskinen ved føst at udegne: 4, ln5 = 6,75964, hvoefte = ln 6,75964 (6,75964) = e = 86,33 findes ved anvendelse af e -tasten. Øvelse..0. Løs følgende ligninge: a) log 3 () = 7, 3 b) 5 ln = ln(5) c) = 3 4

13 Eksponentialfunktione. På baggund af definition.. e vi nu i stand til at anføe følgende definition: Definition.3.. Ved en eksponentialfunktion fostå vi en omvendt funktion til en logaitmefunktion, dvs. en eksponentialfunktion e en funktion f af typen: f() = a hvo a > 0, a. (a e gundtallet fo den tilsvaende logaitmefunktion). Eksponentialfunktionene e, og 0 e altså de omvendte funktione til hhv. ln, log og log. Eksponentialfunktionen e kaldes den natulige eksponentialfunktion (elle undetiden blot: eksponentialfunktionen). Funktionen (som e konstant lig med ) e ikke en eksponentialfunktion. Ud fa definition.3. og afsnit. kan vi diekte opskive den ække egenskabe, som e indeholdt i følgende sætning: Sætning.3.. Fo en eksponentialfunktion a gælde: ) Dm(a ) = R og Vm(a ) = R + ) a ln a = e 3) ln(a ) = lna 4) + a = a a 5) a = (a ) = ( ) = a a 6) a e voksende, hvis a > a e aftagende, hvis 0 < a < 7) Hvis a > gælde: a fo og a 0 fo Hvis a < gælde: a 0 fo og a fo Fo den natulige eksponentialfunktion gælde specielt: 8) e e voksende 9) e fo og e 0 fo e 0 fo og e fo Bevis: Læseen opfodes til at udfylde detaljene i det følgende: Ad ): Dette følge af definitionen på en omvendt funktion (jf. appendi ), samt af definition.. og definition.3.. Ad ): Følge af sætning..3 ). Ad 3): Følge af sætning..3 3). Ad 4): Følge af sætning..7 ). Ad 5): Følge af sætning..7 3) og 6). Ad 6): Følge af sætning..8, definition.3. og sætning A.. (se appendi A).

14 - 7 - Ad 7): Fo a > læses sætningen: a gå imod uendelig fo gående mod uendelig hhv. a gå mod nul fo gående mod minus uendelig. Og det betyde, at a kan blive lige så sto, som vi måtte ønske det, blot e tilstækkelig sto, hhv. at a kan komme lige så tæt på 0, som vi måtte ønske det (dog uden nogensinde at blive 0), nå blot e tilstækkelig sto negativ. Og tilsvaende fo a <. Beviset følge diekte af ) og 6) i denne sætning. Ad 8): Følge diekte af 6) i denne sætning, idet e >. Ad 9): Følge diekte af 7) og 5) i denne sætning, idet e > og e <. Hemed e sætningen bevist. Bemæk, at egneeglen i 4) i sætning.3. sige, at en eksponentialfunktion af en sum af tal e poduktet af eksponentialfunktionen af de enkelte tal. Dette e den modsatte egel af egneeglen i definition.. (dvs. af egel ) i sætning..6) de sige, at logaitmen af et podukt af tal e summen af logaitmene til de enkelte tal. Bemæk desuden, at enhve eksponentialfunktion gå igennem punktet (0,) og (,a), idet a 0 = og a = a V.hj.a. de i afsnit. omtalte egnemaskinetaste kan vi udegne funktionsvædie fo foskellige eksponentialfunktione og deefte tegne gafene. På figu.3. ses gafene fo eksponentialfunktionene: e, og ( ) : Fig..3. Øvelse.3.3. Ovevej/Gø ede fo, at funktionene på figu.3. e eksemple på opfyldelse af pkt. 6), 7), 8) og 9) i sætning.3.. Øvelse.3.4. Tegn gafene fo funktionene ( 3 ) ) ( og ) 3 ( i samme koodinatsystem. Gø ede fo, at de to gafe e symmetiske omking andenaksen. e Øvelse.3.5. Løs ligningene: a) e = 4 b) e = e c) 4 7 = 9 d) 3,5 = 5 0,8

15 - 8 - Øvelse.3.6. Bestem i hvet af følgende tilfælde tallet a, så de fo alle gælde: 3 0,5 a) a = e b) a = e Da funktionene ln og e begge e voksende funktione, gælde de (ovevej!), at ln() < c 0 < < e c og a < b ln(a) < ln(b) hvo a, b og c e givne tal (a > 0, b > 0). Bemæk, at i den føste ulighed e > 0, idet Dm(ln) = R +. Dette kan buges til at løse ulighede, hvoi de optæde logaitme- elle eksponentialfunktione. Eksempel.3.7. a) Uligheden: log 3 <, 8 ha løsningsmængden ] 0 ; 7,5 [, idet vi ha:,8 ln3 log 3 <,8 ln <, 8 ln <,8 ln3 0 < < e 0 < < 7,5 ln3 b) Uligheden: 0,4 > 7 ha løsningsmængden ] ;,4 [, idet vi ha: 0,4 > 7 ln(0,4 ln7 ) > ln7 ln(0,4) > ln7 < <,4 ln0,4 hvo vi ha anvendt, at ln(0,4) < 0. Øvelse.3.8. Løs ulighedene: a) ln <,9 b) e > 5 c) log () + log() > 0 d) 3 > ln3 Afslutningsvist skal det bemækes, at de også i fobindelse med eksponentialfunktione anvendes foskellig symbolik i litteatuen. Den natulige eksponentialfunktion e skives undetiden: ep(), (hvilket kan væe en typogafisk fodel, hvis man skal angive eksponentialfunktionen af et stot udtyk). I lighed med logaitmefunktione anvendes undetiden udtykket ep a () fo a. Og tallet a kaldes da også gundtallet fo eksponentialfunktionen. Vi ha altså: ep a () = a og ep e () = ep() = e Med denne notation kan eglene ), 3), 4) og 5) i sætning.3. anføes på følgende måde: ep a () = ep( lna) ln(ep a ()) = lna epa ( + ) = epa () epa ( ) ep a ( ) = ep () a

16 Eksponentielle vækstfunktione. Definition.4.. Ved en eksponentiel vækstfunktion fostås en funktion af typen: f() = b a elle f() = b e k hvo a, b og k e konstante. (b > 0, a > 0, a, k 0). I definitionen kæves, at a og k 0, idet funktionen elles e konstant. At b foudsættes positiv og ikke kun foskellig fa nul e i ealiteten ingen indskænkning, fo i paktiske anvendelse e b oftest positiv, og selv om funktionsvædiene skulle væe negative, så betagte vi blot de numeiske funktionsvædie. (Vi se altså f.eks. på gæld i stedet fo på negativ fomue). En eksponentiel vækstfunktion kaldes undetiden også fo en eksponentiel udvikling elle en funktion, de e popotional med en eksponentialfunktion. Hvis man ved, at funktionen e voksende, tale man også om en eksponentielt voksende funktion, og hvis man ved, at den e aftagende, tale man om en eksponentielt aftagende funktion. De gælde, at b a = b e k fo alle, hvis a = e k elle k = lna (ovevej!). En eksponentiel vækstfunktion e altså blot en eksponentialfunktion, de e multipliceet med en konstant, (hvilket e åsagen til et af de altenative navne anføt ovenfo). De to skivemåde b a og b e k anvendes fit efte behov, idet det i nogle sammenhænge e smatest elle sædvane at buge b a, og i ande sammenhænge e det smatest elle sædvane at buge b e k. k 0 e Bemæk, at da a 0 = og =, så e b = f(0). I alt kan vi konkludee, at gafen fo en eksponentiel vækstfunktion ligne gafen fo en eksponentialfunktion, idet alle funktionsvædie på gafen ove en eksponentialfunktion a ganges med en konstant b (dvs. afstanden fa gafpunktet til føsteaksen blive b gange så sto ved den eksponentielle vækstfunktion som ved den tilsvaende eksponentialfunktion). Øvelse.4.. Tegn/Skitse gafene fo funktionene f() = 5 e, g() = 0,3 koodinatsystem. (Jf. figu.3.) og h() = 00 ( ) i hvet sit Da en eksponentiel vækstfunktion e bestemt ved vædien af to konstante (b og a hhv. b og k), kan funktionsfoskiften fo en eksponentiel vækstfunktion fastlægges, blot vi kende to punkte på dens gaf. Et eksempel på dette vises i det følgende:

17 - 0 - Eksempel.4.3. Om en eksponentiel vækstfunktion f() = b a gælde, at f(,) = 8 og f(9) = 5. Vi vil bestemme vædiene af a og b., f(,) = 8 give os, at 8 = b a, og f(9) = 5 give os, at 5 = b a 9. Vi ha således to ligninge med to ubekendte (a og b), og disse ligninge kan løses ved substitutionsmetoden:, 8 Af 8 = b a ses, at: b =,. a Dette indsættes i udtykket: 5 = b a 9, hvomed vi få: , 5 = a = a, a 8 ln(6,5) = 7,8 lna lna = 0,3997 0,3997 a = e Vi se altså, at a =,7. Denne vædi indsættes i udtykket b =, hvomed vi 8 få: b = 5,9988. Vi se demed, at f () = 5,9988,7. Gafen fo f e vist på figu.4.. Det skal bemækes, at udegningen af a også kan foegå ved at sige, at da 8 = b a og 5 = b a 9, b a a 9, 7,8 så få vi, at = = = a = a, hvoefte de kan fotsættes som ovenfo.,, 8 b a a Vi kan imidletid også fotsætte beegningen på følgende måde (jf. egneeglene i sætning..7): 5 8 = 7,8 a, a 5 7,8 7,8 7, 8 8 = (a ) a = 5 8 7,8, a =,7 8 hvoefte b findes ud fa, at b =,. a Endelig skal det bemækes, at selvom odtegnet s t egentlig kun e defineet fo positive hele tal s, så tillade man sig at skive f.eks. 7, 8 7, i stedet fo. Ved anvendelse af lommeegneens 8 8 (gafegneens) funktion e det nemlig muligt at indtaste og få udegnet sådanne støelse Fig..4.

18 - - Situationen i eksempel.4.3 kan genealisees til følgende sætning: Sætning.4.4. Hvis det om en eksponentiel vækstfunktion f() = b a gælde, at gafen gå igennem punktene (, y) og (, y ) (dvs. hvis f () = y og f ( ) = y ), så e konstantene a og b givet ved: Bevis: a = y y = y ln y ln y ep og b = y = a a Af foudsætningene følge, at y = b og y = b. Dette give os: y b a a y y = = = a og demed a = y b a a y = y hvo det sidste lighedstegn følge af, at vi som omtalt i eksempel.4.3 ha tilladt os at anvende n odtegnet selv om ikke e et positivt, helt tal. (Vi minde om eglen: s n = s ) Det sidste udtyk fo a komme af følgende omskivning: y y a y ln y ln y = ln( ) = ( ) ln a = lna y a = y a ln y ep Udtykket fo b komme ved simpel division med a i udtykket: y = b. a ln y Øvelse.4.5. t a) En eksponentiel vækstfunktion H(t) = q p gå igennem punktene (., 8) og (5, 53). Bestem foskiften fo H og tegn/skitse gafen fo H. k b) En eksponentielt aftagende funktion g() = b e opfylde, at g( ) = 80 og g(3,6) =. Bestem vædien af konstantene b og k og tegn/skitse gafen fo g. I fobindelse med monotoni gælde de følgende sætning, som følge diekte af sætning.3. 6), definition.4. og det faktum, at k = lna (Ovevej detaljene!): Sætning.4.6. Om en eksponentiel vækstfunktion f() = b a gælde, at: f e voksende, hvis a > f e aftagende, hvis 0 < a < Om en eksponentiel vækstfunktion f() = f e voksende, hvis k > 0 f e aftagende, hvis k < 0 k b e gælde, at

19 - - Øvelse.4.7. a) Skitse gafene fo funktionene: 0,48 f() = 300 e og 0,75 g() = 0 e i samme koodinatsystem. b) Løs ved beegning ligningen: f() = g() c) Find tallene b og c som opfylde, at f() = 300 b og g() = 0 c Relativ funktionstilvækst. Vi vil nu gå ove til at undesøge en inteessant og vigtig egenskab ved eksponentielle vækstfunktione, nemlig dees elative funktionstilvækst. Føst anføes et eksempel, som ikke ha noget med eksponentielle vækstfunktione at gøe, men hvo begebet elativ funktionstilvækst intoducees. Eksempel.4.8. I en planteskole følge man højden af et bestemt æbletæ, som bygge på en sælig podning. I den følgende tabel ses tæets højde målt d.. juli i hvet af de angivne å: Åstal Højde,00 m,30 m,50m,65 m Hvis vi gå fem fa å 000 til å 00, så se vi, at den absolutte tilvækst i højden e,50,00 m, dvs. 0,50 m. Den elative tilvækst af højden findes ved at beegne den absolutte tilvækst i fohold til 0,50 den opindelige vædi, altså: = 0, 5 elle hvis vi ønske den elative tilvækst i pocent: 5 %,00 Tilsvaende e den absolutte tilvækst fa å 00 til 003 givet ved: 0,35 m og den elative tilvækst e 0,5 (elle: 5, %). Hvis vi lade h væe den funktion, de til et givet åstal angive tæets højde, så e de ovenstående elative tilvækste udegnet som:,50,00 h(00) h(000),65,30 h(003) h(00) 0,5 = = og 0,5 = =,00 h(000),30 h(00) De elative tilvækste kan demed siges at væe elative funktionstilvækste fo funktionen h. Som anføt i eksempel.4.8 findes den elative funktionstilvækst fo en funktion f, nå dens uafhængige vaiable ændes fa til, som vædien af bøken: f ( ) f () f ( ) = f () 00 % f () f () hvo det sidste udtyk give tilvæksten i %. Hvis tilvæksten i den uafhængige vaiable kaldes h, og hvis statvædien kaldes, så e den elative funktionstilvækst altså givet ved: f ( + h) f () f () = f ( + h) f () 00 % f ()

20 - 3 - Da tilvæksten i den uafhængige vaiable e en støelse, de almindeligvis ha inteesse, vil vi i det følgende benytte det sidst anføte beegningsudtyk. Vi se (jf. også den nedenstående figu.4.), at hvis tilvæksten h i den uafhængige vaiable e positiv (dvs. hvis vi gå femad på.aksen), så e den elative funktionstilvækst positiv fo en voksende funktion og negativ fo en aftagende funktion. f() f(+h) f() f(+h) +h +h Fig..4. I fobindelse med eksponentielle vækstfunktione og elative funktionstilvækste gælde de nu: Sætning.4.9. Fo en eksponentiel vækstfunktion gælde, at de til en given absolut tilvækst i den uafhængige vaiable svae en bestemt elativ (pocentuel) tilvækst i den afhængige vaiable uanset udgangspunktet fo tilvæksten. Elle mee fomelagtigt udtyk: Lad f() = b a væe en eksponentiel vækstfunktion. f ( + h) f () Fo enhve vædi af tilvæksten h findes en konstant K h, så = K h, f () dvs. den elative funktionstilvækst afhænge ikke af udgangspunktet, men kun af tilvæksten h. De gælde: K h = a h Bevis: Ud fa foudsætningene og sætning.3. ses, at: + h f ( + h) f () b a b a b a a b a = = = a h f () b a b a Heaf ses, at den elative (pocentuelle) funktionstilvækst ikke afhænge af, og at K h = a h h

21 - 4 - Eksempel.4.0. a) Den elative funktionstilvækst fo funktionen f() = 5,6 svaende til den absolutte tilvækst 0,5 h = 0,5 e ifølge sætning.4.9 givet ved:,6 = 0, 649 (elle 6,49 %). Svaende til tilvæksten h =, e den:,6 =, 683 (elle 68,3 %) 0,8, Og svaende til h = 0,8 e den:,6 = 0, 334 (elle 3,34 %) b) Den elative funktionstilvækst fo funktionen g() = ,9 svaende til tilvæksten h =,, e: 0,9 = 0, 88 (elle,88 %). c) Hvis vi skal bestemme den elative funktionstilvækst fo funktionen p() = p(+,8) p() til tilvæksten h =,8, så kan vi enten udegne vædien af udtykket p() 0,4 0,4 3 e svaende, elle vi kan sige: p() = 3 a, hvo a = e = 0, 6703, hvomed esultatet blive: 0,6703 = 0, 53 (elle 5,3 %).,8 Eksponentielle vækstfunktione e i øvigt de eneste funktione, de ha konstant elativ tilvækst. De gælde nemlig følgende sætning, som ikke kan bevises he, men som vil blive bevist i kapitel 3. Læsee, de endnu ikke e bekendt med begebet diffeentiabilitet, kan blot spinge sætningen ove. Sætning.4.. Hvis det om en positiv, ikke-konstant, diffeentiabel funktion f defineet i et inteval I gælde, at fo f ( + h) f () en vilkåligt valgt vædi af tilvæksten h e den elative funktionstilvækst konstant f () (dvs. uafhængig af ), så e f en eksponentiel vækstfunktion. Femskivningsfaktoe. Hvis f() = b a og hvis h e en given absolut tilvækst, så gælde de fo alle, at: + h h h f(+h) = b a = b a a = f () a dvs. f(+h) = a h f() Støelsen a h angive altså, hvo mange gange støe funktionsvædien blive, nå den uafhængige vaiable gives en tilvækst på h. Støelsen a h kaldes vækstfaktoen elle femskivningsfaktoen svaende til tilvæksten h. Vi se specielt, at: f(+) = a f(), dvs. at tallet a i funktionsfoskiften f() = b a e femskivningsfaktoen svaende til tilvæksten. a kaldes undetiden blot fo femskivningsfaktoen fo f. Den elative funktionstilvækst svaende til en tilvækst på enhed e ifølge sætning.4.9 givet ved: a = a. Denne støelse betegnes ofte med og kaldes vækstaten (elle entefoden) fo funktionen. Vi ha altså: = a, elle: a = +, og demed, at: f() = b a = b (+) Bemæk, at e positiv fo en eksponentielt voksende funktion og negativ fo en eksponentielt aftagende funktion, idet de gælde: a > > 0 og 0 < a < < < 0. (Jf. sætning.4.6).

22 - 5 - Øvelse.4.. Bestem vækstaten (og den tilsvaende pocentuelle vækst p. enhed) fo hve af de følgende seks eksponentielle vækstfunktione: a) f() = 0,4 b) f() = 0,85,78 c) f() = 3000, d) f() = 4 0,94 e) f() = 58 0,58,3 f) f() = 900 e Hvis vi ha en støelse S, som foandes med en bestemt pocent P p. enhed, så kan denne støelse beskives ved en eksponentiel vækstfunktion S() = b a. Da S(+) = S() + (P % af S()) = S() + P P S() = ( + ) S( ) 00 P se vi, at vækstaten fo funktionen e, og at femskivningsfaktoen a svaende til tilvæksten 00 e a = P +. Da b = S(0) få vi demed i alt, at: 00 P S() = S(0) ( + ) 00 Bemæk, at det afhænge af den konkete situation, om fomlen gælde fo alle -vædie i et inteval I elle f.eks. kun fo alle heltallige -vædie. Og hvis fomlen skal gælde fo alle I, så skal støelsen S() væe defineet fo alle I, ligesom omskivningen skal gælde fo ethvet I (altså uanset udgangspunktet). Disse esultate benyttes meget i divese matematiske modelle, hvoi eksponentielle vækstfunktione indgå, heunde entesegning (se kapitel og 4). Øvelse.4.3. Om en given støelse vides, at den vokse med 6 % p. tidsenhed, og at dens vædi e 3 efte de føste 8 tidsenhede. Bestem en foskift fo en funktion, som kan beskive støelsens udvikling. 00 Halveings- og fodoblingskonstante. Hvis K e en given elativ funktionstilvækst fo en eksponentiel vækstfunktion f() = b a, så e vædien af den tilvækst h, de svae hetil, fastlagt ved: a h = K (jf. sætning.4.9). Heaf se vi, at: ln( + K) h = ln a Øvelse.4.4. Bestem i hvet af følgende tilfælde den absolutte tilvækst af den uafhængige vaiable, de skal til fo at give en eksponentiel vækstfunktion med femskivningsfaktoen a en elativ tilvækst K: a) a = 0,8 og K = 0,30 b) a =,68 og K =, c) a =,3 og K = 7 % d) a = 0,97 og K = 50 %

23 - 6 - Ofte e man inteesseet i at angive den vædi af tilvæksten h, som give en fodobling af funktionsvædiene (nå f e voksende) elle en halveing af funktionsvædiene (nå f e aftagende). Fodobling: En fodobling svae til en foøgelse på 00 %, hvomed K = 00 % = i det ovenstående udtyk og vi få: h = =. Fo denne vædi af h ha vi, at: f(+h) = f(). ln( + ) ln ln a ln a Halveing: En halveing svae til en fomindskelse på 50 %, dvs. en tilvækst på 50 %, hvomed ln( ) ln( K = 50 % = i det ovenstående udtyk og vi få: h = = ). Fo denne vædi ln a ln a af h ha vi: f(+h) = f(). I denne fobindelse give vi dels følgende definition, dels ha vi vist den deefte følgende sætning: Definition.4.5. Den tilvækst T, som give en eksponentielt voksende funktion en fodobling af funktionsvædiene (dvs. en elativ funktionstilvækst på 00 %), kaldes fodoblingskonstanten fo funktionen. Den tilvækst T ½, som give en eksponentielt aftagende funktion en halveing af funktionsvædiene (dvs. en elativ funktionstilvækst på 50% ), kaldes halveingskonstanten fo funktionen. Ofte e tiden den uafhængige vaiable, og vi tale da om fodoblingstiden elle halveingstiden. f() f() f() f() +T +T ½ Fig..4.3 Sætning.4.6. Fo en eksponentielt voksende funktion f() = b a gælde: ln f( + T ) = f() og T = ln a Fo en eksponentielt aftagende funktion f() = b a gælde: ln( f(+t ½ ) = f() og T ½ = ) ln a

24 - 7 - Bemæk, at nå f e eksponentielt voksende, så e a > og demed e lna > 0, hvomed T > 0, idet ln > 0. Tilsvaende ses, at nå f e eksponentielt aftagende, så e 0 < a < og demed e lna < 0, hvomed T ½ > 0, idet ln( ) < 0. I fobindelse med halveings- og fodoblingskonstante, samt de to foskellige opskivningsfome fo eksponentielle vækstfunktione gælde de en stibe omskivningsfomle, bl.a. følgende: Sætning.4.7. Fo en eksponentielt voksende funktion f() = b a = b e k (dvs. a >, k > 0) gælde de følgende fomle (hvo log c e en vilkålig logaitmefunktion): T = ln ln a ln log c () = = og k log (a) c a = = Fo en eksponentielt aftagende funktion f() = b a = b e k (dvs. 0 < a <, k < 0) gælde de følgende fomle (hvo log c e en vilkålig logaitmefunktion): Bevis: T = ln( ) ln a ln( ) log ( ) T c = = og a = = k log (a) c Den føste udtyk fo T hhv. T ½ e identisk med udtykket fa sætning.4.6. Det næste udtyk følge af, at k = lna, og det sidste udtyk følge af sætning..9. (Hvofo?). Udtykkene fo a følge af, at femskivningsfaktoen fo funktionen f svaende til en tilvækst på h, e givet ved a h (dvs. støelsen a h angive, hvo mange gange støe funktionsvædien blive, nå den uafhængige vaiable gives en tilvækst på h) Fo en eksponentielt voksende funktion gælde, at h = T give en fodobling af funktionsvædiene, T og demed: a T T =, hvoaf vi se, at: a = =. Fo en eksponentielt aftagende funktion gælde, at h = T ½ give en halveing af funktionsvædie- T T ne, og demed: a =, hvoaf vi se, at: a = = Øvelse.4.8. Bestem fodoblings- elle halveingskonstanten fo hve af de i øvelse.4. omtalte eksponentielle vækstfunktione. Eksempel.4.9. Om en eksponentielt aftagende funktion f vides, at f(3) = 0 samt at halveingskonstanten e lig med 6. Vi vil finde en funktionsfoskift fo f, samt løse uligheden f(). Da f(3) = 0 få vi demed, at f(3 + 6) = 0, dvs. f(9) = 0. Vi kende demed punkte på gafen fo f og kan deefte anvende metoden fa eksempel.4.3 og sætning.4.4. T T T T

25 - 8 - Vi vil imidletid anvende sætning.4.7, hvoaf vi se, at hvis f() = b a, så e a = ( )6 = 0,8909. Af f(3) = 0 fås heefte: 0 = b 0, og demed: b = 8,8. Foskiften fo f e altså: f() = 8,8 0,8909 Hvis vi vil have foskiften på fomen f() = b e k, så få vi, idet k = lna, at: f() = 8,8 e 0,55 Uligheden f() løses heefte på følgende måde, (hvo vi he fo vaiationens skyld vil anvende foskiften på fomen: f() = b e k ), og hvo vi benytte, at ln og e e voksende funktione: 0,55 f() 8,8 e 0,55 e 0,443 0,55 ln(0,443) 7,4 Løsningsmængden til uligheden f() e således lig med [,4 ; [ 7 Øvelse.4.0. a) Bestem funktionsfoskiften fo en eksponentielt aftagende funktion f med halveingskonstanten 3,6, idet det vides, at f( 7) = 39,7 b) Bestem funktionsfoskiften fo en eksponentielt voksende funktion g med fodoblingskonstanten 00, idet det vides, at g(000) = 3. Og løs deefte uligheden: g() < Enkeltlogaitmisk koodinatsystem. Ved et enkeltlogaitmisk (elle semilogaitmisk) koodinatsystem fostå vi et koodinatsystem, hvo den ene akse e en almindelig tallinie (almindelig skala, ækvidistant inddelt), og hvo den anden akse e en logaitmisk skala. De oftest anvendte enkeltlogaitmiske koodinatsysteme ha andenaksen som logaitmisk skala (man tale undetiden om et lodet-logaitmisk koodinatsystem), men de findes også eksemple på det modsatte (se kapitel ). I det følgende vil vi kun beskæftige os med enkeltlogaitmiske koodinatsysteme, hvo andenaksen e logaitmisk, og vi vil tillade os at omtale disse kot som enkeltlogaitmiske koodinatsysteme. Enkeltlogaitmiske koodinatsysteme spille en sælig olle i fobindelse med eksponentielle vækstfunktione, idet de gælde følgende sætning: Sætning.5.. Følgende to udsagn om en given funktion f e ensbetydende: ) Gafen fo f indtegnet i et enkeltlogaitmisk koodinatsystem e en (ikke-vandet) et linie. ) f e en eksponentiel vækstfunktion.

26 - 9 - Bevis: Vi skal altså bevise, at hvis udsagnet ) e opfyldt, så gælde ) også og omvendt. Vi state med at antage, at vi ha indtegnet gafen fo f i et enkeltlogaitmisk koodinatsystem og deved ha fået en et linie som vist på figu.5., dvs. vi antage, at ) e opfyldt. alm. skala log c (f()) Fig..5. log. skala f() (, f()) alm. skala På figuen e de ved siden af.aksen indtegnet en almindelig tallinie med en almindelig skala. (Man skal foestille sig, at den ligge oveni.aksen, men af tegnetekniske åsage e den vist ved siden af). Fo et vilkåligt punkt (, f()) på gafen i det enkeltlogaitmiske koodinatsystem gælde, at det svae til punktet (, log c (f())) i det almindelige koodinatsystem bestående af.aksen og den almindelige skala ved. aksen. (Jf. definitionen af en logaitmisk skala (Definition..)). log c e altså den logaitmefunktion, som e anvendt til konstuktionen af den logaitmiske skala. Da punkte af fomen (, log c (f())) udgø en ikke-vandet, et linie i et almindeligt koodinatsystem, findes de to tal p, q R (p 0), så log c (f()) = p + q Da Vm(log c ) = R og Dm(log c ) = R + (jf. sætning..5), findes de to positive tal a og b, så log c (a) = p og log c (b) = q. Vi få demed, at: log c (f()) = log c (a) + log c (b) = log c (a ) + log c (b) = log c (b a ) Da en logaitmefunktion e injektiv få vi hemed, at f() = b a, dvs. at f e en eksponentiel vækstfunktion. (Bemæk, at a, idet p 0). Hemed e ) bevist. Antag heefte omvendt, at ) e opfyldt, dvs. at f e af fomen: f() = b a, hvo b > 0, a > 0, a Vi vil nu udegne log c (f()), hvo log c e den logaitmefunktion, de e anvendt til at konstuee den logaitmiske skala i det enkeltlogaitmiske koodinatsystem: log c (f()) = log c (b a ) = log c (b) + log c (a ) = log c (b) + log c (a). Hvis vi sætte p = log c (a) og q = log c (b) få vi i alt, at: log c (f()) = p + q Som omtalt ovenfo gælde de, at nå vi i et enkeltlogaitmisk koodinatsystem afsætte punkte (,f()) på gafen fo f, så afsætte vi i vikeligheden p.g.a. konstuktionen af den logaitmiske skala punktene (, log c (f())) i et almindeligt koodinatsystem. Da log c (f()) = p + q se vi demed, at gafen fo f blive en et linie i det enkeltlogaitmiske koodinatsystem. (Bemæk desuden, at da a, e p 0). Hemed e sætningen bevist.

27 Som omtalt i fobindelse med definition.. kan man selv konstuee en enkeltlogaitmisk skala og demed kan man også selv konstuee et enkeltlogaitmisk koodinatsystem ved på et stykke almindeligt papi at tegne et koodinatsystem, hvo andenaksen e en logaitmisk skala. Med en given funktion elle nogle givne koodinatsæt foelagt, kan man også simulee et enkeltlogaitmisk koodinatsystem ved at afsætte (. koodinaten, logaitmen til.koodinaten) i et almindeligt koodinatsystem, og man kan he buge en hvilken som helst voksende logaitmefunktion, man ha lyst til elle finde passende til sammenhængen, f.eks. ln. Det e imidletid også muligt at købe og anvende fædigpoduceet enkeltlogaitmisk papi, hvilket e det almindeligste i undevisningssammenhænge. Eksempel.5.. 0,4 Vi vil indtegne gafene fo funktionene f() = 300 e og g() = 750 0,65 i et enkeltlogaitmisk koodinatsystem. Da vi ved, at gafen fo såvel f som g give en et linie, skal vi blot beegne to støttepunkte fo hve funktion. Vi finde (kontolle): f(0) = 300 og f(3) = 996, samt g(0) = 750 og g(4) = 490,9. Gafene fo f og g i et enkeltlogaitmisk koodinatsystem få demed det på figu.5. viste udseende. ln Fodoblingskonstanten T fo f e givet ved: T = =,73. Denne støelse kan imidletid 0,4 med tilnæmelse også aflæses på gafen, idet vi f.eks. benytte funktionsvædiene 300 og 600. Tilvæksten på.aksen ses netop at væe ca.,7. ln( Halveingskonstanten T ½ fo g e givet ved: T ½ = ) =,609, hvilket også kan aflæses på ln(0,65) gafen (om end med minde pæcision), f.eks. ved at benytte funktionsvædiene 4000 og 000. Vi se, at tilvæksten på.aksen blive ca. 0,7 ( 0,9) =,6 (kontollé!) f 000 g Fig..5.

28 - 3 - Øvelse.5.3. Tegn gafene fo følgende funktione i enkeltlogaitmiske koodinatsysteme, idet [ ; ] skal væe med på føsteaksen på tegningene. Aflæs funktionenes halveings- elle fodoblingskonstante. a) f() = 0,5,9 b) g(y) = ,4 y c) h(p) = e, p β d) Ψ(β) = 345 e Eksempel.5.4. I det enkeltlogaitmiske koodinatsystem på figu.5.3 ses en et linie, som ifølge sætning.5. e gafen fo en eksponentielt voksende funktion f. Vi vil finde en funktionsfoskift fo f. Vi ved, at f e på fomen: f() = b a (elle: f() = b e k ), så ifølge sætning.4.4 skal vi blot kende koodinatene til to punkte på gafen, hvoefte a og b let kan bestemmes. Det deje sig defo om at finde to pæne /tydelige punkte på gafen, aflæse dees koodinatsæt og deefte anvende sætning.4.4. Vi se, at (0, 30) og (3, 60) e pæne punkte på gafen, hvomed vi finde (kontollé), at b = 30 og a =,56, og demed, at funktionsfoskiften e: f() = 30,56 0,3 elle f() = 30 e Fig..5.3 Øvelse.5.5. I den nedenstående tabel ses en ække målte data fo to biologiske støelse H og Q som funktion af tiden t. Indtegn disse punkte i enkeltlogaitmiske koodinatsysteme og agumenté deefte fo, at såvel H som Q med god tilnæmelse kan beskives ved eksponentielle vækstfunktione. t 3 5, ,5 4 6,5 9 H(t) Q(t) Find på baggund af tegningene en funktionsfoskift fo H(t) og fo Q(t), og aflæs fodoblingskonstant elle halveingskonstant fo funktionene.

29 Potensfunktione. Potentielle vækstfunktione. Potensfunktione: I definition.. og i sætning..3 e udtykket a fastlagt fo a R + og R. Vi defineede heudfa en eksponentialfunktion som en funktion, hvo e den vaiable, medens a holdes fast (Definition.3. og sætning.3.). Vi vil nu se på den omvendte situation, hvo holdes fast, medens a betagtes som vaiabel. Definition.6.. Ved en potensfunktion fostå vi en funktion f af typen: f() =, R +, hvo e et vilkåligt eelt tal. Vi bemæke, at definitionsmængden fo en potensfunktion e mængden R +, idet a som også omtalt ovenfo kun e defineet, nå a > 0. Funktione af typen: f() = n, hvo n Z (altså f.eks., 5 og -3 ), e også potensfunktione, idet de e af fomen:. Disse funktione e ikke kun defineet i R +, men i hele R (nå n > 0 ) elle i R\{ 0 } (nå n < 0). Nå vi betagte funktione af typen, så må vi defo egentlig skelne imellem, om Z og Z. I paktisk talt alle anvendelse af potensfunktione e de (uanset vædien af ) imidletid tale om positive støelse, og vi vil i det følgende ikke foetage denne skelnen, men kun se på positive vædie af den uafhængige vaiable. Vi minde om, at de fo alle n N gælde: vikeligheden e en potensfunktion (f.eks. e n n =, hvoaf vi se, at enhve odfunktion i 4 0,5 = ) Ifølge sætning..3 ha vi følgende omskivningsfomel: Sætning.6.. Fo alle R + gælde de: = ln e Eksempel.6.3. I potensfunktionene f() = 0,5, g() = 0,7 og h() =,88 e lig med hhv. 0,5, 0,7 og,88 Fo at skitsee gafene fo disse te potensfunktione, kan vi f.eks. udegne følgende støttepunkte: 0, f() 0,7,4,73,4 g(),6 0,6 0,46 0,38 0,3 h() 0,7 3,68 7,89 3,5 0,6

30 Disse tal kan vi enten finde v.hj.a. omskivningen ln = e, elle vi kan indtaste f.eks. 0,5,88 diekte på lommeegneen. Læseen opfodes til at pøve at udegne f(0,), g(0,) og h(0,). På baggund af disse vædie femkomme gafene på figu ,7,88 3 0, Fig..6. I folængelse af sætning.6. og eksempel.6.3 anføes følgende sætning: Sætning.6.4. ) Vædimængden fo en potensfunktion (hvo 0) e lig med R +, dvs. Vm( ) = R + ) Potensfunktionene (hvo 0) e monotone, idet de gælde: e voksende, nå > 0 e aftagende, nå < 0 Bevis: Ad ): Vi anvende omskivningen fa sætning.6.. Nå gennemløbe Dm( ), dvs. R +, så vil ln ln() gennemløbe hele R, og da 0 vil ln demed også gennemløbe hele R, hvomed e, dvs., gennemløbe R + (idet vædimængden fo en eksponentialfunktion e R + ). Ad ): Antag, at > 0, og lad, R + væe vilkåligt valgt, så <. Vi skal så vise, at <. Da funktionene ln og e begge e voksende, og da > 0, gælde de: < ln( ) < ln( ) ln() < ln( ) e ln( ) ln( ) < e < Vi se hemed, at funktionen e voksende, nå > 0. Beviset fo, at e aftagende, nå < 0, foløbe helt tilsvaende, idet dog ulighedstegnes vendes, nå de ganges med det negative tal. Detaljene ovelades til læseen. I kapitel 3 vil sætning.6.4 ) blive bevist igen, denne gang v.hj.a. diffeentialegning.

31 Fo logaitme- og eksponentialfunktione gælde, at de e hinandens omvendte funktione (jf. afsnit.,. og.3). Fo potensfunktione gælde, at den omvendte funktion til en potensfunktion selv e en potensfunktion. Løs føst den følgende øvelse, og læs deefte den følgende sætning og dens bevis. Øvelse.6.5. a) Tegn gafene fo funktionene: f() =, R + og g() = 0,5, R +, i samme koodinatsystem. b) Tegn gafene fo funktionene: f() =, R + og g() = 0,5, R +, i samme koodinatsystem. c) Giv et intuitivt geometisk agument fo, at f og g i pkt. a) e hinandens omvendte funktione, og tilsvaende i pkt. b). (Ved. omvendt funktione: se Appendi ). d) Pøv at give et egneteknisk bevis fo, at f og g e hinandens omvendte funktione. Sætning.6.6. Den omvendte funktion til potensfunktionen f() = (hvo 0), e potensfunktionen g() = Bevis: Ifølge sætning.6.4 b) e f monoton, hvomed den ifl. Appendi e injektiv og demed ha en omvendt funktion. Denne vil vi nu finde: y = f() y = y = ( ) = y f (y) og da vi kan navngive den uafhængige vaiable, som vi vil, se vi, at: f () = y = = g(). Potentielle vækstfunktione: Definition.6.7. Ved en potentiel vækstfunktion fostå vi en funktion g af typen: g() = b, R +, hvo e et vilkåligt eelt tal, og hvo b e en positiv konstant. En potentiel vækstfunktion benævnes også: en funktion, de e popotional med en potensfunktion. Da tallet b e en positiv konstant, gælde sætning.6.4 også fo potentielle vækstfunktione, ligesom det gælde, at den omvendte funktion til potentiel vækstfunktion e en potentiel vækstfunktion (detalje i agumentationen fo disse udsagn ovelades til læseen). Eksempel.6.8. Vi vil tegne gafene fo funktionene: g() = 00 0,8 og h() = 54 0,7 i samme koodinatsystem og deefte ved beegning løse ligningen: g() = h().

32 Vi bemæke, at g e aftagende og at h e voksende. Desuden ha vi følgende støttepunkte: 0,4 0,7,5,5 3 3,5 g() ,3 8, 7,6 h() 8,4 4, 54 7,7 87, Gafene fo g og h se demed således ud (figu.6.): 450 Ligningen g() = h() løses således: 400 g() = h() 00 0,8 = 54 0, g h ,7 = 0, 8,5 = = 54 =,366, Fig..6. Løsningsmængden e altså:,366 L = { } Øvelse.6.9. Tegn gafene fo funktionene: Λ(p) = 0,69 p,3 og Ψ(p) =,4 p 0,63 Løs såvel gafisk som ved beegning uligheden: Λ(p) > Ψ(p). i samme koodinatsystem. Da en potentiel vækstfunktion e fastlagt ved de to konstante b og, kan funktionsfoskiften bestemmes, blot vi kende to punkte på dens gaf (jf. tilsvaende egenskabe fo eksponentielle vækstfunktione, sætning.4.4). I denne sammenhæng gælde følgende sætning: Sætning.6.0. Hvis det om en potentiel vækstfunktion f() = b gælde, at gafen gå igennem punktene (,y ) og (,y ), (dvs. hvis f( ) = y og f( ) = y ), så e konstantene og b givet ved: log c (y ) log c (y) y = og b = log ( ) log ( ) c c hvo log c e en vilkålig logaitmefunktion. (Oftest benyttes ln elle log).

33 Bevis: y = b og y b b y = = b og demed: logc ( ) = logc ( ) logc ( ) y = Ifølge foudsætningene ha vi: y y =, hvoaf vi se, at: hvoaf det ønskede udtyk fo fås ved division med logc ( ) og anvendelse af sætning..6 3). Udtykket fo b fås diekte af y b = ved division med på begge side af lighedstegnet. Eksempel.6.. Om en potentiel vækstfunktion g gælde, at g(8) = 7 og g(83) = 6,4. Vi vil bestemme en foskift fo g. Da g e af typen: g() = b få vi ifølge sætning.6.0, at: = ln(6,4) ln(7) ln(83) ln(8) 7 = 0,899 og b = = 340 0, Funktionsfoskiften fo g e altså givet ved: g() = 340 0,899, R + Øvelse.6.. Gafen fo en potentiel vækstfunktion gå igennem punktene: (3, ) og (3, ). Bestem en foskift fo funktionen og tegn dens gaf. Eksempel.6.3. a) Som bekendt siges to vaiable støelse α og β at væe ligefem popotionale, hvis de findes en positiv konstant k, så de fo alle vædie af α og β gælde, at: β = kα. Hvis vi opfatte β som funktion af α, så ha vi altså, at: β(α) = kα, dvs. β e en potentiel vækstfunktion af α (hvo eksponenten = ) b) Som ligeledes bekendt siges to støelse α og β at væe omvendt popotionale, hvis de findes en positiv konstant k, så de fo alle vædie af α og β gælde, at: αβ = k. Hvis vi opfatte β som funktion af α, så ha vi altså, at: β(α) = k α, dvs. β e en potentiel vækstfunktion af α (hvo eksponenten = ). Vi slutte afsnittet om potentielle vækstfunktione med at undesøge disse funktiones egenskabe i elation til tilvækste/elative tilvækste. De gælde følgende sætning, (hvo vi af hensyn til benævnelsene kalde eksponenten a i stedet fo i foskiften fo den potentielle vækstfunktion):

34 Sætning.6.4. Betagt en potentiel vækstfunktion f med foskiften: f() = b a, R + ) Hvis den uafhængige vaiable femskives med faktoen q, så femskives funktionsvædien f() med faktoen q a, dvs. f( q) = q a f() ) Hvis den uafhængige vaiable ændes med en elativ tilvækst, så vil den afhængige vaiable f() ændes med den elative tilvækst givet ved: = ( + ) a. 3) Hvis en elativ tilvækst på i den uafhængige vaiable medføe en elativ tilvækst på i den afhængige vaiable f(), så e støelsen a givet ved: ln( + ) a = ln( + ) 4) Hvis den uafhængige vaiable ændes med s %, så vil den afhængige vaiable f() ændes med t % givet ved sammenhængen: a t s s + = + dvs. t = ( + ) Bemæk, at alle fomlene i det ovenstående e uafhængige af statvædien, dvs. esultatet give det samme fo enhve vædi af R + Bevis: Ad ): At femskive en -vædi med faktoen q betyde, at vi gange med q. Vi se defo på følgende omskivning: f( q) = b (q) a = b a q a = q a f(), hvoaf det ønskede femgå. Ad ): Hvis vi ænde med den elative tilvækst og deved få vædien ny, så gælde de p. ny, hvoaf vi få (kontollé), at: ny = (+ definition af elativ tilvækst, at: = ). At ænde -vædien med den elative tilvækst svae altså til at femskive med faktoen +. (Et esultat, som læseen muligvis alleede e bekendt med). Den hetil svaende elative tilvækst fo funktionen f findes heefte på følgende måde: a a a a a a f ( ny ) f () f ( ( + )) f () b ( ( + )) b ( + ) a = = = = = ( + ) a a f () f () b hvomed den ønskede fomel e bevist. Ad 3): Ifølge pkt. ) ha vi, at = ( + ) a, og ved at omskive dette udtyk fås det ønskede: = ( + ) a + = ( + ) a ln( + ) ln( + ) = a ln( + ) a = ln( + ) Ad 4): Hvis en given støelse ændes med p %, e det det samme som at femskive støelsen med faktoen + p 00. Ved at sammenholde dette med esultatet i pkt. ) fås den føste fomel i pkt. 4). Den anden fomel e blot en simpel omskivning af den føste fomel. (Detaljene ovelades til læseen). Hemed e sætningen bevist.

35 Eksempel.6.5. a) Om den potentielle vækstfunktion f() = 300,67 gælde, at hvis -vædien gøes 3 gange så sto, så gøes funktionsvædien f() ifølge sætning.6.4 ) 3,67 = 6,6 gange så sto. b) Om den potentielle vækstfunktion g() = 35, gælde, at hvis -vædien gives en elativ tilvækst på 0,8, så få den afhængige vaiable g() ifølge sætning.6.4 ) en elativ tilvækst = (+ 0,8), = 0,56, elle udtykt i pocent: Hvis -vædien øges med 8 %, så falde funktionsvædien med 5,6 %, et esultat de også stemme oveens med pkt. 4) i sætning.6.4 (Kontollé!). En positiv elativ tilvækst i -vædien give altså en negativ elativ tilvækst i g()-vædien, hvilket stemme fint oveens med, at g ifølge sætning.6.4 ) e aftagende. c) Om en potentiel vækstfunktion h gælde, at h(0) = 00, samt at en foøgelse af -vædien med 0 % give en fomindskelse af funktionsvædien med %. Ud fa disse oplysninge vil vi bestemme en funktionsfoskift fo h. Vi ved, at h e af typen: h() = b a, R +, og ifølge pkt. 3) i sætning.6.4 ha vi, at: ln( + ) ln( 0,) a = = =,607 ln( + ) ln( + 0,) Heefte findes b på følgende måde: Da h(0) = 00 gælde de: 00 = b 0,607 og demed, at: b = 00 0,607 = I alt ses, at h() = 46387,607. Øvelse.6.6. Om en potentiel vækstfunktion f gælde, at f(30) = 400, samt at en foøgelse af den uafhængige vaiable med 8 % give en foøgelse af funktionsvædien med 4 %. a) Bestem en funktionsfoskift fo f. b) Hvo mange gange støe blive funktionsvædien, hvis den uafhængige vaiable blive 4 gange støe? c) Udegn den pocentuelle foanding af funktionsvædien, nå den uafhængige vaiable fomindskes med %. Potentielle vækstfunktione e i øvigt de eneste funktione, de ha den egenskab, de e omtalt i sætning.6.4 ), altså at de til en given elativ tilvækst i den uafhængige vaiable svae en bestemt elativ tilvækst i den afhængige vaiable f(), som e uafhængig af vædien af. De gælde nemlig følgende sætning, som ikke kan bevises he, men som vil blive bevist i kapitel 3. Læsee, de endnu ikke e bekendt med begebet diffeentiabilitet, kan blot spinge sætningen ove. Sætning.6.7. Hvis det om en positiv, ikke-konstant, diffeentiabel funktion f defineet i R + gælde, at fo en vilkålig valgt vædi af den elative tilvækst i den uafhængige vaiable e den elative funktionstilvækst konstant (dvs. uafhængig af ), så e f en potentiel vækstfunktion. f ( ( + )) f () f ()

36 Dobbeltlogaitmisk koodinatsystem. Ved et dobbeltlogaitmisk koodinatsystem fostå vi et koodinatsystem, hvo begge akse ha en logaitmisk inddeling, dvs. begge akse bestå af logaitmiske skalae. I pincippet kan man godt buge foskellige logaitmefunktione til at konstuee de to akse, men det almindelige e at anvende den samme logaitmefunktion, og vi vil he benytte denne metode. Og som ved enkeltlogaitmiske koodinatsysteme gælde, at man selv kan konstuee dobbeltlogaitmiske koodinatsysteme elle man kan købe fædigtykt dobbeltlogaitmisk papi. Dobbeltlogaitmiske koodinatsysteme spille samme olle fo potentielle vækstfunktione, som enkeltlogaitmiske koodinatsysteme spille fo eksponentielle vækstfunktione, idet de gælde følgende sætning: Sætning.7.. Følgende to udsagn om en given funktion f e ensbetydende: ) Gafen fo f indtegnet i et dobbeltlogaitmisk koodinatsystem e en et linie. ) f e en potentiel vækstfunktion. Bevis: Vi skal bevise, at hvis udsagnet ) e opfyldt, så gælde ) også og omvendt. Vi state med at antage, at vi ha indtegnet gafen fo f i et dobbeltlogaitmisk koodinatsystem og deved ha fået en et linie som vist på figu.7., dvs. vi antage, at ) e opfyldt. alm. skala log c (f()) Fig..7. log. skala f() (, f()) log c () log. skala alm. skala På figuen e de ved siden af aksene indtegnet almindelige tallinie med almindelige skalae. (Man skal foestille sig, at de ligge oveni aksene, men af tegnetekniske åsage e de vist ved siden af). Fo et vilkåligt punkt (, f()) på gafen i det dobbeltlogaitmiske koodinatsystem gælde, at det svae til punktet (log c (), log c (f())) i et almindeligt koodinatsystem bestående af de almindelige skalae ved aksene. (Jf. definitionen af en logaitmisk skala (Definition..)). log c e altså den logaitmefunktion, som e anvendt til konstuktionen af de logaitmiske skalae. Da punkte af fomen (log c (), log c (f())) udgø en et linie i et almindeligt koodinatsystem, findes de to tal, q R, så log c (f()) = log c () + q Da Vm(log c ) = R og Dm(log c ) = R + (jf. sætning..5), findes de et positivt tal b, så log c (b) = q.

37 Vi få demed, at: log c (f()) = log c () + log c (b) = log c ( ) + log c (b) = log c (b ) Da en logaitmefunktion e injektiv få vi hemed, at f() = b, dvs. at f e en potentiel vækstfunktion. Hemed e ) bevist. Antag heefte omvendt, at ) e opfyldt, dvs. at f e af fomen: f() = b, hvo b > 0. Vi vil nu udegne log c (f()), hvo log c e den logaitmefunktion, de e anvendt til at konstuee de logaitmiske skalae i det dobbeltlogaitmiske koodinatsystem: log c (f()) = log c (b ) = log c (b) + log c ( ) = log c (b) + log c (). Hvis vi sætte q = log c (b) få vi i alt, at: log c (f()) = log c () + q Som omtalt ovenfo gælde de, at nå vi i et dobbeltlogaitmisk koodinatsystem afsætte punkte (,f()) på gafen fo f, så afsætte vi i vikeligheden p.g.a. konstuktionen af de logaitmiske skalae punktene (log c (), log c (f())) i et almindeligt koodinatsystem. Da log c (f()) = log c () + q se vi demed, at gafen fo f blive en et linie i det dobbeltlogaitmiske koodinatsystem. Hemed e sætningen bevist. Som det femgå af beviset fo sætning.7., vil funktionen f() = b i et dobbeltlogaitmisk koodinatsystem have en etlinet gaf, som ha hældningskoefficienten målt i fohold til et almindeligt koodinatsystem. Hvis vi fa et punkt på gafen gå cm udad (paallelt med.aksen), skal vi altså gå cm opad (hvis e negativ, svae dette til cm nedad). Dette omtales ydeligee i det følgende eksempel. Eksempel.7.. Vi vil tegne gafene fo funktionene f() = 3 0,5 og h() = 8 0,7 i et dobbeltlogaitmisk koodinatsystem. Da vi ved, at det skal give ette linie, behøve vi kun at finde to støttepunkte fo hve gaf. Vi ha (kontollé), at f() = 3 og f(9) = 9, samt at h() = 8 og h(9) =,78. Gafene få demed det på figu.7. viste udseende (se næste side). Bemæk, at hvis vi ved gafen fo f gå cm udad, så skal vi gå 0,5 cm opad, hvoimod vi ved gafen fo h skal gå 0,7 cm nedad. hvis vi gå cm udad.

38 - 4 - Fig..7. Øvelse.7.3. Tegn gafene fo de følgende funktione i et elle flee dobbeltlogaitmiske koodinatsysteme. a) f() = 0,6 b) g() = 00 0,6 c) h() = d) j() = 00,6 Kommenté esultatene. Som omtalt spille dobbeltlogaitmiske koodinatsysteme samme olle fo potentielle vækstfunktione, som enkeltlogaitmiske koodinatsysteme spille fo eksponentielle vækstfunktione. Vi kan således ved indtegning f.eks. af måleesultate kontollee påstande om, at én støelse afhænge af en anden støelse på en måde, som kan beskives ved en potentiel vækstfunktion. Og vi kan fastlægge sammenhængen mellem to vaiable støelse og y til at have udseendet y = b, hvis punktene (,y) svaende til mange foskellige - og y-vædie ligge på en et linie i et dobbeltlogaitmisk koodinatsystem. Øvelse.7.4. I den nedenstående tabel ses en ække målte data fo to økonomiske støelse U og E som funktion af pisen p. Indtegn disse punkte i dobbeltlogaitmiske koodinatsysteme og agumenté deefte fo, at såvel U som E med god tilnæmelse kan beskives ved potentielle vækstfunktione. p, 3,4 4, 5 5,8 7 7,7 8,6 U(p) E(p) Find på baggund af tegningene en funktionsfoskift fo U(p) og fo E(p). Beegn den elative funktionstilvækst fo hve af funktionene svaende til en elativ pistilvækst på 8 %.

39 Regession ved eksponentielle og potentielle vækstfunktione. Den følgende beskivelse bygge på en gafegne af Teas-TI-83/84-familien, men selve pincippet kan natuligvis oveføes til ande fabikate (hvoimod de konkete tastesekvense kan vaiee væsentligt fa fabikat til fabikat). I afsnit.5 (sætning.5. og øvelse.5.5) og i afsnit.7 (sætning.7. og øvelse.7.4) så vi på poblemstillingen om at genkende en eksponentiel hhv. potentiel vækstfunktion i givne data, samt på hvodan foskiften fo funktionen heefte kunne bestemmes v.hj.a sætning.4.4 hhv Metoden byggede på indtegning af de givne data i enkeltlogaitmisk hhv. dobbeltlogaitmisk koodinatsystem fo at se, om de med god tilnæmelse lå på en et linie og i bekæftende fald kunne de givne data beskives ved en eksponentiel hhv. potentiel vækstfunktion (som demed udgø en model fo beskivelsen af dataene), og funktionsfoskiften bestemmes ved aflæsning af to punkte på den ette linie (hvoefte sætning.4.4 hhv..6.0 binges i anvendelse). Hele denne poces kan automatisees (men af både faglige og pædagogiske gunde ikke estattes) v.hj.a. gafegneen. Vi se føst på eksponentiel vækst og vende senee tilbage til potentiel vækst. Vi vil ikke he komme ind på, hvodan gafegneen foetage selve udegningen, men blot nøjes med at fotælle, hvodan vi få den til det. Inteesseede læsee henvises til litteatuen om emnet. Eksponentiel egession. Beskivelsen af emnet må nødvendigvis bygge på givne data, så vi vil anvende dataene fa øvelse.5.5 og v.hj.a. gafegneen undesøge funktionen H(t), fo hvilken vi ha følgende målte data: t 3 5, ,5 4 6,5 9 H(t) Føst skal vi have dataene ind i gafegneens hukommelse, i de såkaldte liste. Disse liste benævnes L, L, L 3, L 4, L 5 og L 6 men vi skal he kun buge to af dem. Vi få fat i listene ved at taste: [STAT] og vælge: Edit og taste [ENTER]. Hvis de e data i listene (fa sidste gang de blev bugt), kan disse fjenes på bl.a. følgende to måde: ) V.hj.a. piletastene makees listens navn øvest oppe, deefte tastes [CLEAR] og v.hj.a. piletastene gås ned i listen igen og dataene fosvinde, elle ) Alle data i alle liste kan fjenes ved at taste [nd] [MEM] og he vælge: ClAllLists inden listene findes fem. Heefte tastes de nye data ind i to af listene. Det e nemmest men ikke nødvendigt at buge liste og, hvo den uafhængige vaiable (dvs. t i ovenstående tabel) indtastes i L og den afhængige vaiable, (dvs. H(t)) indtastes i L. Det e nemmest at udfylde en liste af gangen, så indtast føst t-vædiene i L og deefte H(t) i L. (Stil makøen på det øveste felt i listen, skiv vædien og tast [ENTER], osv. osv.)

40 Vi e nu kla til at lade gafegneen udføe den eksponentielle egession, dvs. beegne den eksponentielle vækstfunktion, de bedst passe på de givne data. Føst folades listene ved at taste: [nd] [QUIT], og deefte kalde egessionen fem ved at taste: [STAT], makee CALC øvest oppe v.hj.a. piltastene, og he vælge EpReg (f.eks. ved at makee EpReg v.hj.a. piletastene og deefte taste [ENTER]). I displayet stå de nu EpReg og makøen stå og blinke vente på næste skidt. Da vi ha valgt listene L og L, kan vi nu blot taste [ENTER], idet EpReg default (dvs.: på fohånd) e indstillet til at anvende L og L. Hvis vi havde indtastet dataene i ande liste, skulle dees navn anføes i displayet efte EpReg (f.eks. EpReg L, L 5 ) inden de tastes [ENTER]. Listenavnene skives i displayet ved at taste [nd] [], [nd] [], osv. (Bemæk kommaet mellem L og L 5 ). I displayet stå nu: EpReg y = a*b^ a = b = = = Til dette esultat skal de knyttes en del kommentae: Væ meget opmæksom på, at funktionen angives på fomen: y = a b, dvs. de e byttet undt på a og b i fht. den måde, funktionene geneelt benævnes i afsnit.4. Resultatet blive: H(t) = 797,6,3405 t Hvis de to sidste linie ikke vises i displayet, kan de hentes fem på følgende måde: Tast [nd] [CATALOG], vælg v.hj.a. piletastene DiagnosticOn og tast [ENTER]. DiagnosticOn stå nu og vente i displayet, og de tastes [ENTER] igen, hvoefte de skives: Done. (Heefte skal EpReg aktivees igen som omtalt ovenfo). Tallet kaldes koelationskoefficienten. Det e et tal mellem og. Tallet e positivt fo en voksende funktion og negativt fo en aftagende funktion. Koelationskoefficienten give et mål fo, hvo godt esultatet (dvs. den fundne eksponentielle vækstfunktion) tilnæme de givne data. Jo tættee e på (fo voksende funktione) elle (fo aftagende funktione), desto bede e appoimationen. I det konkete eksempel e de altså meget fin oveensstemmelse med en eksponentiel vækstfunktion, idet = 0, , altså næsten. Resultatet kan vi også buge (idet det e oplagt, at jo tættee e på elle, desto tættee e på, så kan også buges til at fotælle noget om tilnæmelsens kvalitet). kaldes undetiden foklaingsgaden elle deteminationskoefficienten. Endelig skal det bemækes, at hvis vi gene vil abejde videe med esultatet, f.eks. tegne gafen elle udegne funktionsvædie fo esultatfunktionen, så e det smateste at taste f.eks. EpReg Y altså angive hvilken af gafegneens Y-vædie esultatet skal anbinges i i fobindelse med egessionsudegningen. Y efte EpReg femkomme ved at taste: [VARS], vælge: Y-VARS, he vælge: Function, og endelig vælge: Y Da funktionsfoskiften nu e placeet unde Y (se selv efte ved at taste [Y=]), kan gafen tegnes ved blot at taste [GRAPH] og evt. tilpasse vinduet v.hj.a. [WINDOW]-tasten. Af samme åsag kan de udegnes funktionsvædie ved at taste: Y (som netop omtalt), hvoefte den ønskede funktionsvædi udegnes ved i paentes efte Y at anføe det tal, hvis funktionsvædi ønskes udegnet. Bemæk, at man he altenativt kan buge [nd] [TABLE] og [nd] [TBLSET] - pøv det!

41 Øvelse.8.. a) Tegn gafen fo H(t) fa det ovenstående på gafegneen b) Udegn H(), H() og H(5) v.hj.a. gafegneen. c) Tegn både gafen og de målte data (de givne punkte) i samme koodinatsystem. Dette gøes på gafegneen ved at taste: [nd] [STAT PLOT], he vælge, makee On og tykke [ENTER], evt. vælge et nyt mæke ( mak ), og deefte igen taste [GRAPH]. Øvelse.8.. Fo at vudee betydningen af koelationskoefficientens støelse, kan vi pøve at ænde nogle få vædie fo H(t), og se den heaf følgende betydning fo vædien : a) Gå ind i listene og lav tallet 4009 om til Find såvel den nye foskift som den nye vædi af og kommenté esultatet. b) Gå ind i listene og lav desuden 700 om til og om til Find såvel den nye foskift som den nye vædi af og kommenté esultatet. c) Fasthold ændingene fa pkt. a) og b). Tegn gafen og de opgivne punkte i samme koodinatsystem (jf. øvelse.8.) og kommenté esultatet. Øvelse.8.3. Betagt funktionene: f() =,8 + 0, g() = 0,8 og h() = 0,8. Lav en tabel ove funktionsvædiene fo disse te funktione i tallene:, 5, 0, 50, 0 og 00. Gennemfø en eksponentiel egessionsbeegning på baggund af hve af disse te tabelle og kommenté esultatene. Øvelse.8.4. Gø v.hj.a. gafegneen ede fo, at funktionen Q fa øvelse.5.5 med god tilnæmelse e en eksponentiel vækstfunktion og find en foskift fo Q. Tegn gafen fo Q og udegn Q(), Q() og Q(5). Potentiel egession. Som ved eksponentiel egession må vi tage udgangspunkt i givne data, og vi vil he anvende dataene fa øvelse.7.4. V.hj.a. gafegneen vil vi undesøge U(p), fo hvilken vi ha følgende egisteede vædie: p, 3,4 4, 5 5,8 7 7,7 8,6 U(p) Føst skal vi have dataene ind i gafegneens hukommelse, i listene, hvilket foegå på pæcis samme måde som ved eksponentiel egession. Fo at få gennemføt en potentiel egession vælges PwReg inde i [STAT], CALC. I displayet stå de nu: PwReg og makøen stå og blinke. Vi vil med dette samme have det fundne esultat gemt i funktionslageet Y, så vi tilføje Y som foklaet ovenfo og taste [ENTER].

42 I displayet stå nu: PwReg y = a*^b a = b = = = Betydningen af tallet (og ) e den samme som ved eksponentiel egession. Bemæk, at funktionen gives på fomen: y = a b, dvs. også he e de byttet undt på ollene af a og b i fht. afsnit.6 (hvo de i øvigt anvendes både og a fo eksponenten i det geneelle funktionsudtyk fo en potentiel vækstfunktion). Resultatet blive altså: U(p) = 00,0 p 0,404 Øvelse.8.5. a) Tegn gafen fo U(p) fa det ovenstående på gafegneen b) Udegn U(), U(0) og U(8) v.hj.a. gafegneen. c) Tegn både gafen og de målte data (de givne punkte) i samme koodinatsystem. Øvelse.8.6. Fo at vudee betydningen af koelationskoefficientens støelse, kan vi pøve at ænde nogle få vædie fo U(p), og se den heaf følgende betydning fo vædien : a) Gå ind i listene og lav tallet 40 om til 60. Find såvel den nye foskift som den nye vædi af og kommenté esultatet. b) Gå ind i listene og lav desuden 455 om til 45 og 475 om til 00. Find såvel den nye foskift som den nye vædi af og kommenté esultatet. c) Fasthold ændingene fa pkt. a) og b). Tegn gafen og de opgivne punkte i samme koodinatsystem og kommenté esultatet. Øvelse.8.7. Betagt funktionene: f() =,8 + 0, g() = 0,8 og h() = 0,8. Lav en tabel ove funktionsvædiene fo disse te funktione i tallene:, 5, 0, 50, 0 og 00. (Jf. øvelse.8.3). Gennemfø en potentiel egessionsbeegning på baggund af hve af disse te tabelle og kommenté esultatene. Øvelse.8.8. Gø v.hj.a. gafegneen ede fo, at funktionen E fa øvelse.7.4 med god tilnæmelse e en potentiel vækstfunktion og find en foskift fo E. Tegn gafen fo E og udegn E(), E(0) og E(8).

43 Kap. : Eksemple på modelle uden anvendelse af diffeential- elle integalegning... Logaitmefunktione. Logaitmefunktione anvendes intent i matematikkens veden til divese omskivninge og til udabejdelse af logaitmiske papie. Udenfo matematikkens veden finde logaitmefunktione pimæt anvendelse i to sammenhænge: til definition af måleenhede til gafisk beskivelse af data, som kan vaiee ove et meget stot omåde, og hvo det e vigtigt at kunne aflæse infomation om vædie i såvel den lave som den høje ende af skalaen. De e således tale om en simpel modelleing (på beskivelsesniveau fa faglig til matematisk sammenhæng), hvoimod de kun i inge gad e tale om en matematisk løsning på et fagligt poblem med en eftefølgende faglig fotolkning af den matematiske løsning (jf. beskivelsen af matematiske modelle i kapitel 6) Måleenhede og logaitmiske sammenhænge: Kemiske opløsninge Eksempel.. Suhedsgaden af en kemisk opløsning afhænge af den aktuelle koncentation [H 3 O + ] af ooniumione i opløsningen. Jo støe koncentationen af H 3 O + e, desto støe e suhedsgaden. Idet koncentationene af ooniumione ofte e meget små, pleje man ikke at angive koncentationene selv, men deimod ph-vædien defineet ved: ph = log ([H 3 O + ]) hvo [H 3 O + ] som omtalt stå fo ooniumion-koncentationen. 7 Fo ent vand gælde, at [H 3 O + ] = 0 mol/lite, hvo enheden mol stå fo så mange atome, som de e i gam kulstof (C ), hvilket vil sige 6, (I ent vand e de således 0 6, ooniumione p. lite, dvs. 6, ooniumione p. lite). Vi finde defo, at ph-vædien fo ent vand og fo en neutal opløsning e: 7 ph = log ( 0 ) = ( 7) log0 = 7. Hvis [H 3 O + 7 ] > 0 mol/lite, så kaldes opløsningen fo en su opløsning, og vi ha da, idet funktionen log e aftagende), at ph-vædien e minde end 7, altså: ph < 7. Hvis [H 3 O + ] < 7 0 mol/lite, så ha vi en basisk opløsning, og de gælde: ph > 7.

44 Vi kan således sammenfatte: ph < 7 fo en su opløsning ph = 7 fo en neutal opløsning ph > 7 fo en basisk opløsning Det ha mange stede betydning, at ph-vædien e den igtige, idet mange pocesse foegå bedst ved bestemte ph-vædie. Heunde kan nævnes: ) gæingspocesse ) bakteies vækstfohold 3) vækst i foskellige type jod 4) blodets ph-vædi ha betydning fo cellenes funktionsduelighed 5) enzymenes aktivitet Det skal bemækes, at ooniumione tidligee blev kaldt hydooniumione, samt at man undetiden (specielt i ælde beskivelse) se bintione H + anvendt i stedet fo H 3 O + i definitionen af ph-vædi. Men bintione eksistee egentlig ikke i opløsninge, idet de altid e bundet til vandmolekyle H O, hvomed vi få ooniumione. Øvelse... a) Bestem koncentationen af ooniumione fo en opløsning, hvo ph = 3 b) I visse industibye ha egn ofte en ooniumion-koncentation på ca. 0,00008 mol/lite. Find den tilsvaende ph-vædi. Sammenlign med ooniumion-koncentationen fo ufouenet nedbø, som ha ph 6 c) Om en sye A gælde, at dens ph-vædi e,67, og om en anden sye B gælde, at dens ooniumion-koncentation e 3 gange så sto som A s koncentation. Bestem ph-vædien fo B Lydstyke: Eksempel..3. Fo auditive sanseindtyk (dvs. høeindtyk) og til dels fo visuelle sanseindtyk (synsindtyk) gælde Webe-Fechnes lov, som kan udtykkes således: Til lige stoe elative tilvækste i den fysiske påvikning (intensiteten) svae lige stoe absolutte tilvækste i det sansemæssige indtyk. Fo at foklae/beskive dette næmee vil vi undesøge lyd (med en bestemt fekvens). Ved lydens fysiske intensitet I fostå vi den lydenegi, de p. sekund passee en aealenhed vinkelet på lydens udbedelsesetning. (Lydens fysiske intensitet måles defo i W/m, hvo W betyde Watt, dvs. enegi p. tidsenhed). 6 Hvis den fysiske intensitet f.eks. ændes fa 0 W/m 6 til, 0 W/m 5, elle fa 5 0 W/m 5 til 6 0 W/m, så e den absolutte tilvækst i intensiteten 50 gange støe i det sidstnævnte tilfælde end det føstnævnte; men den elative tilvækst e den samme i de to tilfælde (nemlig 0 %). Høe-

45 sansen e da indettet således, at den i sådan en situation stot set vil betagte foskellen i lydstyke som væende den samme i de to tilfælde. Nå man skal angive en skala fo den subjektive lydstyke (dvs. det sansemæssige indtyk af lydstyken), så vælge man defo en logaitmisk skala, idet en vilkålig voksende logaitmefunktion log c netop ha den egenskab, at de til lige stoe elative tilvækste i svae lige stoe absolutte tilvækste i log c (). Dette indses på følgende måde: Lad og væe to givne positive tal. Hvis og begge foøges med % (dvs. gives den samme +. Den absolutte tilvækst i log c () e elative tilvækst), så få vi tallene: ( + ) og ( ) da givet ved: 00 log c ( + ) ) log c ( ) = log c ( + ) log c ( + ) ) log c ( ) = log c ( + ) 00 hvomed vi se, at den absolutte tilvækst i log c () e den samme den afhænge ikke af! Man kunne defo have valgt at definee den subjektive lydstyke fo en lyd med intensiteten I som log c (I) fo en elle anden given vædi af c. Poblemet med denne definition ville imidletid væe, at den subjektive lydstyke ville komme til at afhænge af hvilken enhed I måles i og demed kunne de skabes intenationale og intefaglige pobleme. Man ha defo i stedet fo valgt at definee den subjektive lydstyke L svaende til intensiteten I på følgende måde: L = I 0 log I o Støelsen ( ) I o hvo I o e intensiteten af den svagest høbae tone ( høegænsen ). Til denne definition skal knyttes en ække kommentae: Høegænsen I o fo en tone med fekvensen 000 Hz e ca. 0 W/m Som logaitmefunktion e valgt titalslogaitmen log log I måles i enheden bel (opkaldt efte Aleande Gaham Bell, de bl.a. opfandt telefonen). Men da dette i paksis e en sto enhed, ha man valgt at gange med 0 og demed få den subjektive lydstyke L målt i decibel (db). De e stadigvæk tale om, at de til lige stoe elative tilvækste i intensiteten svae lige sto- I log = 0 log(i) 0 log(i o ). e absolutte tilvækste i den subjektive lydstyke, idet L = 0 ( ) Da I o e en konstant, vil det sidste led ( 0 log(i o )) fosvinde, nå vi udegne foskellen mellem to L-vædie. Denne foskel blive da 0 gange foskellen imellem logaitmen af de tilsvaende intensitete, og denne foskel e som foklaet ovenfo uafhængig af I. Høegænsen indlægge et nulpunkt fo den subjektive lydstyke, idet hvis I = I o, så e den Io tilsvaende subjektive lydstyke L o givet ved: L o = 0 ( ) I o I o log = 0 log() = 0, dvs. den subjektive lydstyke L o af den svageste høbae tone e 0 db Enheden på I spille ingen olle, idet denne enhed også optæde på I o og demed fokotes I væk i bøken. I o

46 Øvelse..4. a) Den øve gænse fo lydstyke, som øet kotvaigt kan udsættes fo uden at tage skade, e omking 5 db. På et diskotek e de en aften en gennemsnitlig lydintensitet på 0,04 W/m. Find den tilsvaende subjektive lydstyke og kommenté esultatet. b) Beegn den subjektive lydstyke fo nomal tale (i metes afstand), idet intensiteten e omking 0,5 0 W/m. 6 c) Støjniveauet i en fabikshal, hvo de bl.a. foegå udskæing og slibning af jenplade og betonflise, e målt til at ligge imellem 75 og 0 db. Beegn de tilsvaende intevalgænse fo lydintensiteten. Øvelse..5. Beegn foøgelsen i db af den subjektive lydstyke, hvis intensiteten af lyden fodobles. Kommenté esultatet. (Vejledning: Stat evt. med en konket intensitetsvædi og gennemfø beegningen fo denne føst, inden de laves en geneel beegning). Øvelse..6. I fobindelse med anlæggelse af lufthavne (og ande støjende viksomhede) e man inteesseet i støjniveauets afhængighed af afstanden fa støjkilden. Hvis man f.eks. skal analysee et jetflys betydning fo støjniveauet i nogle eksisteende bolige i næheden af en påtænkt lufthavn, så skal man udove flyets take-off -pofil (dvs. hvo e det og i hvilken højde unde staten, hvo støjniveauet fa flyet e støst) også vide noget om lydintensitetens afhængighed af afstanden til lyd-/støjkilden. De gælde he afstandskvadatloven som sige, at ved en fodobling af afstanden falde intensiteten I() til en fjededel, elle geneelt: I() =, hvo I() e intensiteten i m afstand, og I() e intensiteten i m s afstand. (Bemæk, at ovefladen af en kugle med adius e givet ved: 4π ). Man ha i afstanden m målt støjniveauet (den subjektive lydstyke) fa en jetmoto til 30 db. Beegn støjniveauet fa en sådan moto i afstandene 00 m, 500m og 00 m. Eksempel..7. I paksis måles lydintensiteten ved at måle det lydtyk, som tonen/lyden/støjen bevike på det givne målested. (En lydbølges udbedelse foegå ved, at de i de enkelte punkte langs udbedelsesetningen skiftevis skabes ove og undetyk, som så foplante sig igennem luften). Måleudstyet kan måle amplituden dvs. det maksimale udsving fa ligevægtsstillingen i disse lufttyk-vaiatione. De gælde, at lydintensiteten e popotional med kvadatet på amplituden, dvs. de findes en konstant k, så I = k A, hvo A e amplituden. Om den subjektive lydstyke L målt i db gælde da, at: dvs. L = I 0 log = I o L = k A 0 log = k Ao A 0 log = Ao 0 log A A o A 0 log A o

47 Elektoniske komponente. Decibel-skalae anvendes ikke kun indenfo akustik (lydlæe) og ande auditive fohold, men også i fobindelse med en ække elektoniske komponente som antenne, fostækee, mm. Eksempel..8. I en ække elektoniske appaate (adioe, fjensyn, antenneanlæg, guitafostækee, osv. osv.) sidde de elektiske kedsløb hvis opgave enten e at fostæke elle dæmpe elektiske signale afhængig af den konkete situation og behov. Vi tale om et fostæketin hhv. et dæmpningstin. Ved et fostæketin definees fostækningen (elle fostækningsgaden) F som: F = P 0 log P ud ind hvo P ud e signalets udgangseffekt (målt i Watt) og P ind e signalets indgangseffekt (dvs. effekten inden det møde fostæketinet). Fostækningen måles i decibel (db). Da effekten P af et elektisk signal e popotional med stømstyken i anden potens, dvs. P = k I, Iud kan fostækningen også udtykkes ved: F = 0 log (Jf. omskivningen i eksempel..7). Iind Ved et dæmpningstin definees dæmpningen (elle dæmpningsgaden) D almindeligvis/ofte som D = Pud 0 log = Pind I 0 log I ud ind dvs. man tage den numeiske vædi fo at få et positivt tal, idet en dæmpning bevike, at P ud < P ind hvomed logaitmen til bøken blive negativ. Også dæmpningen måles i db. Øvelse..9. Agumenté fo, at dæmpningen D også kan findes som: D = 0 Pind log P = Iind ud 0 log Iud Øvelse a) Ved et fostæketin e indgangseffekten 6,5 0 W og udgangseffekten 4 W. Hvo sto e fostækningen målt i db? b) Et fostæketin ha en fostækning på 76 db. Hvo sto e udgangsstømstyken, nå indgangsstømstyken e 3, 0 A? 6 c) Betagt et dæmpningstin med dæmpningen 5 db. Hvo mange % blive effekten af et signal dæmpet ved passage af dette dæmpningstin?

48 - 5 - Eksempel... I mange sammenhænge (f.eks. i en adios modtagelse af signale via en antenne elle i en seismogafs opsamling af ystelse i undegunden) e de udove det ønskede signal også iblandet støj, dvs. uønskede signale som fostye de signale, man i den givne situation e inteesseet i at modtage/analysee/måle på. (Bemæk det geneelle udsagn, at hvad de fo en peson e støj, kan fo en anden peson væe det ønskede signal ). Det såkaldte signal/støj-fohold indføes til at beskive foholdet mellem styken af det ønskede signal og af støjen, således at et godt signal/støj-fohold give en sto vædi og et dåligt signal/støjfohold give en lille vædi. Signal/støj-foholdet SNR målt i decibel (db) definees på følgende måde: SNR = 0 log signalstyke støjstyke Signalstyken e det ønskede signals gennemsnitlige effekt, og støjstyken e tilsvaende støjens (de uønskede signales) gennemsnitlige effekt. (De anvendes de gennemsnitlige effekte, idet de kan væe en ikke-uvæsentlig vaiation i de øjeblikkelige effekte). Almindeligvis e de i det konkete elektoniske appaat tale om spændinge elle stømstyke, og som i de ovenstående eksemple kan SNR også udtykkes ved foholdet imellem disse, idet faktoen 0 estattes af faktoen 0 foan log til foholdet mellem spændingene elle mellem stømstykene. Bemæk, at med disse definitione af SNR opnå vi, at et støe SNR svae til et enee signal. Nå man skal angive SNR fo et givet appaat, buge man ofte vendingen, at appaatets SNR e bede end db, (altså f.eks. bede end 65 db) fo demed at antyde en nede gænse og en wost-case beskivelse. Øvelse.. a) I databladet bagest i bugevejledningen til en adiomodtage kan læses, at dens signal/støjfohold e bede end 48 db. Hvo mange gange støe e signalstyken end støjstyken.? b) Om en seismogaf vises, at dens SNR e bede end 34 db. Hvo mange % udgø støjstyken af signalstyken.? c) Udegn SNR fo et appaat, hvo støjstyken e 0,0 % af signalstyken. Stjenes lysstyke: Eksempel..3. Solen e den stjene, de e næmest joden, og om dagen lyse den så kaftigt, at vi ikke kan se de øvige stjene (selvom de natuligvis stadigvæk e de). De øvige stjene på himlen, (som kan ses om natten), kan nemt væe lige så stæke som elle stækee end solen (fostået som samlet enegiudsendelse p. tidsenhed), men dees meget støe afstand til joden gø, at de vike meget svagee. Det afgøende begeb fo at beskive disse fohold e intensiteten i den ståling, vi modtage.

49 - 5 - Intensiteten I bestemmes som den enegimængde, de p. tidsenhed modtages p. aealenhed. Intensiteten I kan defo måles i W/m. Da det e klat, at den enegimængde, de egistees p. aealenhed blive minde, jo længee væk en given enegikilde e ( afstandskvadatloven ), e stjenenes intensitet egisteet he fa Joden ikke et mål fo, hvo meget enegi de i vikeligheden udsende. Dette omtales ydeligee i eksempel..6. I oldtiden inddelte den gæske astonom Hippach (elle Hippachos) (90-5 f.k.) stjenene i 6 guppe, afhængig af hvo klae de va, dvs. afhængig af den lysstyke som det menneskelige øje så dem med. Disse 6 guppe, som kaldes (tilsyneladende) støelsesklasse, blev nummeeet til 6, med de kaftigst lysende stjene i guppe og de svagest lysende i guppe 6 (dvs. guppe 6 indeholdt de stjene, man kun lige netop kunne se). Hippach angav de tilsyneladende støelsesklasse fo ca. 000 stjene i et katalog, hvo antallet af stjene i klassene til 6 va: 4, 45, 08, 474, 7, 49. Dette katalog blev af Ptolemæus medtaget i den stoe astonomiske læebog Almagest (udgivet omking 40 e. K.), som va væket i en peiode på mee end 000 å. Dette e måske foklaingen på, at man i modene tid ha valgt at fastholde en skala fo stjenenes obsevebae intensitet, som nogenlunde stemme oveens med oldtidens visuelle obsevatione. Det kæve et tænet øje at vudee den tilsyneladende støelsesklasse med det blotte øje. Men det e også en vanskelig opgave at måle en given stjenes intensitet en opgave som igennem de seneste pa hundede å e blevet løst mee og mee sofistikeet via den tekniske udvikling med anvendelse af fotogafiske og fotoelektiske metode suppleet med dataopsamling via computee. I dag buge man almindeligvis et CCD-kamea ( chage-coupled device lavet af silicium). Det visuelle (synsmæssige) indtyk af intensiteten i fohold til den fysiske egisteing heaf følge Webe-Fechne s lov (se eksempel..3). Skalaen fo den tilsyneladende støelsesklasse m fo en stjene med intensiteten I definees defo ved følgende udtyk: m = k log (I) + k hvo k e en konstant, de fastlægge skalaens nulpunkt, og k bl.a. fastlægge støelsen af enhedene på skalaen. Gennem en ække målinge fandt man ud af, at intensiteten af en gennemsnitsstjene i den klassiske støelsesklasse va ca. 00 gange så sto som intensiteten af en gennemsnitsstjene i støelsesklasse 6. I fastlæggelsen af skalaen blev det defo bestemt, at følgende ligninge skal opfyldes: = k log (I ) + k og 6 = k log (I 6 ) + k hvo I og I 6 e den fysiske intensitet af de omtalte gennemsnitsstjene. Da I = 00 I 6 få vi heaf: I6 6 = k log (I 6 ) + k (k log (I ) + k ) 5 = k (log (I 6 ) log (00I 6 )) 5 = k log 00I6 hvoaf vi se, at k =,5 (Kontollé). I definitionen af den tilsyneladende støelsesklasse få vi nu, at: m =,5 log (I) + k. Bemæk, at k e negativ, hvilket passe med den besyndelighed, at jo støe intensiteten fo stjenen e, desto minde e støelsesklassen (jf. oldtidens definition beskevet ovenfo). Vi mangle endnu at få fastlagt nulpunktet på skalaen, og demed vædien af k. Dette ha vist sig at væe en meget vanskelig sag (idet k kan afhænge af egenskabe ved det anvendte appaatu, den

50 anvendte enhed fo intensiteten, sigtbaheden på det konkete geogafiske sted, stjenens højde ove hoisonten, foskellig intensitet i foskellige dele af lysspektet fa stjenene mm.) Men pincippet e simpelt: Fo at binge støst mulig oveensstemmelse med den klassiske definition af den tilsyneladende støelsesklasse, skal k have en støelse, så stjene, de lige netop kan ses med det blotte øje, tildeles en tilsyneladende støelsesklasse på 6. I paksis vælges en lidt anden vej. Hvis vi tænke os, at vi kende både den tilsyneladende støelsesklasse m o og den fysiske intensitet I o fo en given stjene (en såkaldt efeencestjene), så ha vi: m o =,5 log (I o ) + k og demed: k = m o +,5 log (I o ). Indsættes dette i den geneelle ligning: m =,5 log (I) + k få vi (kontollé): I m = m o,5 log I o Som efeencestjene skal vælges en stjene, som lyse klat og som e let at finde, og dens tilsyneladende støelsesklasse skal sættes til en vædi, så de blive støst mulig oveensstemmelse med det klassiske støelsesklassesystem. Valget e faldet på den klae stjene Vega i stjenebilledet Lyen, og dens tilsyneladende støelsesklasse sættes til m o = 0. I alt få vi da: m =,5 log I I Vega De e mange fodele ved denne definition: Ved at anvende foholdet mellem intensitete undgå man pobleme med hvilke enhede intensiteten måles i. Ved at anvende foholdet mellem intensitete undgå man pobleme med kalibeing af sit måleudsty (kalibeing betyde justeing af udstyet fo at stemme oveens med en given skala). Målepincip: Nå man skal måle på en given stjene, måle man føst på Vega, egistee dens intensitet med det udsty man buge og den situation man nu befinde sig i, hvoefte man måle intensiteten af den givne stjene. De e som omtalt høj gad af oveensstemmelse med det klassiske støelsesklassesystem. Øvelse..4. I a) Vis, at de fo to vilkålige stjene og gælde, at: m m =,5 log( ) b) Vis, at de fo to vilkålige stjene og gælde, at: I 0,4 (m m) = 0 I c) To stjene X og Y ha de tilsyneladende støelsesklasse 3,4 hhv. 4,4. Hvo mange gange støe e intensiteten af X end af Y? Kommenté esultatet. I Øvelse..5. a) Stjene de lyse stækee end Vega ha en negativ tilsyneladende støelsesklasse. Hvofo? b) Stjenen Siius ha en tilsyneladende støelsesklasse på,46 og Solen ha en tilsyneladende støelsesklasse på 6,74. Som omtalt kan intensitetene måles i W/m, og i en måling findes, at I Sol = 353 W/m. Bestem vædiene af I Siius og I Vega

51 Eksempel..6. Som omtalt i indledningen til eksempel..3, vil den enegimængde, de egistees p. aealenhed blive minde, jo længee væk en given enegikilde e, hvomed stjenenes intensitet egisteet he fa Joden ikke e et mål fo, hvo meget enegi de i vikeligheden udsende. Dette ligge gemt i odet tilsyneladende støelsesklasse. (Nogle stjene se ud til at lyse kaftigee end ande stjene, selvom de i ealiteten ikke udsende så meget enegi de e bae tættee på Joden). Skal vi sammenligne to stjenes enegiudståling, så skal de altså ligge i samme afstand fa Joden. Dette e desvæe sjældent tilfældet i paksis. Vi lave defo et tankeekspeiment: Vi flytte alle stjene hen i samme afstand fa Joden, egistee dees intensitet dé og kan deefte sammenligne dem. De stækest lysende stjene vil da væe dem med den støste enegiudsendelse og de svagest lysende stjene dem med den mindste enegiudsendelse. Selvom det kun e et tankeekspeiment, ha det vist sig fomålstjenligt at indføe den støelsesklasse, som de enkelte stjene ville have, hvis de va i en bestemt afstand fa Joden. Som denne afstand ha man af foskellige åsage valgt 0 pasec, hvo pasec e en sælig længdeenhed, hvis definition vi ikke skal komme næmee ind på ( pasec = 3, m). Vi fastsætte hemed følgende: Ved den absolutte støelsesklasse M fo en stjene fostå vi den støelsesklasse, som stjenen ville have, hvis den befandt sig i afstanden 0 pasec fa Joden. Ifølge eksempel..3 ha vi, at: M =,5 log(i 0 ) + k, hvo I 0 e den fysiske intensitet vi ville måle, hvis stjenen va i afstanden 0 pasec. Vi ha desuden, at: m =,5 log(i ) + k, hvo I e den faktisk egisteede intensitet. Indekset på I skal angive stjenens eelle afstand til Joden. På baggund heaf ses (kontollé), at: I0 M m =,5 log I I() Som omtalt gælde afstandskvadatloven fo intensitete: I() =, hvo I() e intensiteten i afstanden længdeenhed og I() e intensiteten i afstanden længdeenhede fa enegikilden. I den ovenstående situation med stjenene få vi: I() I() I = og I 0 = 0 hvo afstandene måles i pasec. I0 Vi se, at: = og demed, at: M m =,5 log I 0 = 5 log() + 5 (Kontollé!) 0 De gælde altså følgende sammenhæng fo en given stjene mellem den absolutte støelsesklasse, den tilsyneladende støelsesklasse og afstanden (målt i pasec): M = m 5 log() + 5 Fo nogle stjene e man ved foskellige avanceede metode i stand til at bestemme (måle elle estimee) afstanden, fo ande e man ved ande avanceede metode i stand til at vudee den absolutte støelsesklasse M. Ved kendskab til den tilsyneladende støelsesklasse m kan M elle heefte beegnes.

52 Kendskab til stjenenes afstand indgå i en ække astonomiske modelle, heunde univesets opbygning og ekspansion. Kendskab til en stjenes absolutte støelsesklasse indgå i ande astonomiske modelle, hvo stjenens samlede enegiudsendelse kan bestemmes ud fa M. Denne samlede enegiudsendelse spille en afgøende olle fo hvodan man skønne, at stjenen e opbygget og hvo langt den e i sin udvikling. Nu e nævæende bog ikke en læebog i astonomi, men deimod en bog, hvo bl.a. anvendelse af logaitmiske skalae og fomle skulle pæsentees. Vi standse defo gennemgangen he og ovelade inteesseede læsee til den astonomiske litteatu på omådene. Øvelse..7. a) Vis, at hvis to stjene ha samme absolutte støelsesklasse (og demed samme totale enegiudståling p. tidsenhed), så gælde de følgende fomel mellem dees tilsyneladende støelsesklasse m og m og dees afstande og til Joden: m m = 5 log b) Hvo sto e foskellen i den tilsyneladende støelsesklasse fo to lige lysstæke stjene, hvo den ene e dobbelt så langt væk fa joden som den anden? c) Hvo sto en pocentuel afstandsfoskel svae til en foskel på i den tilsyneladende støelsesklasse fo to lige lysstæke stjene? Øvelse..8. Som nævnt i det ovenstående gælde, at m Vega = 0 og m Sol = 6,74. a) Afstanden til Vega e 7,5 pasec. Hvo sto e Vegas absolutte støelsesklasse? b) Middelafstanden til Solen e ca.,496 0 m. Hvo sto e Solens absolutte støelsesklasse? Sammenlign de to esultate og kommenté. Øvelse..9. Om en stjene ha man vudeet, at dens absolutte støelsesklasse e 3,7 og dens tilsyneladende støelsesklasse e 3,. Hvo langt fa Joden befinde denne stjene sig? Fotogafeing. Uanset om man fotogafee analogt (på filmulle) elle digitalt e de fie paamete/faktoe til at bestemme lyspåvikningen af filmen elle de digitale sensoe: Lysstyken fa selve lyskilden (dvs. lysstyken på motivet) Blænden (dvs. støelsen af den åbning, de opstå, nå man tykke på udløseen på kameaet) Lukketiden (dvs. hvo lang tid blænden e åben bude måske hedde åbningstiden, men.) Filmens elle sensoenes følsomhed ovefo lyset. På de fleste modene kameae e de en elle anden fom fo automatik, som aflæse filmens lysfølsomhed, måle lysstyken på motivet og fastlægge lukketiden og/elle blænden, men på mange af de specielt lidt dyee kameae kan man slå denne automatik fa og selv foetage sine valg af disse paamete (hvilket specielt buges af pofessionelle fotogafe, fotoentusiaste mm.).

53 Eksempel..0 Vedens føste fotogafi blev taget i 86 af Joseph Niépce. Eksponeingstiden (dvs. den tid lyset fik lov at påvike den lysfølsomme fotogafiske plade) va ca. 8 time, og esultatet va deefte. Op igennem 800-tallet blev de gjot en ække opdagelse og opfindelse, som både fobedede fotogafiets kvalitet, anvendelsesmulighede og tilgængelighed. I 878 blev Eastman Kodak Company (kot: Kodak) gundlagt af ameikaneen Geoge Eastman, og i 888 blev de i Belin gundlagt en viksomhed med et langt navn, som blev fokotet til Agfa. Disse to selskabe va i lang tid de føende i hhv. USA og Euopa indenfo fotoatikle. I slutningen af 800-tallet va man kommet så langt i udviklingen, at de viste sig behov fo at kunne angive en films lysfølsomhed elle dens hastighed, som det også blev og stadig blive kaldt. To engelske videnskabsmænd (F. Hute og V.C.Diffield) opfandt en metode og en skala den såkaldte H&D-skala til at definee en films lysfølsomhed. Nogenlunde samtidig (i 894) opfandt tyskeen Julius Scheine en anden metode til at angive filmens hastighed. Den tilhøende skala kaldes Scheine-Gad. Udviklingen fotsatte med øget intensitet op igennem 900-tallet. F.eks. blev spejleflekskameaet opfundet i 903, i 906 blev de opfundet film, som e lige følsom ovefo alle dele af favespektet og som defo give en bede/mee koekt gåtoning af billedet (som stadigvæk va sot-hvidt ), og i 98 en lysmåle, så man bede kunne bestemme den koekte eksponeingstid til de hutigee film, de i bede og bede kvalitet va kommet på makedet siden slutningen af 800-tallet. Den tyske viksomhed Agfa videeudviklede på Hute og Diffields abejde og fandt i begyndelsen af 930 ene en paktisk metode til måling af films lysfølsomhed, en metode som blev accepteet som national standad: DIN-skalaen. Denne metode/skala afløste H&D-skalaen og Scheine-Gad. (DIN komme af: Deutsche Industie Nom elle som det hedde i dag: Deutsches Institut fü Nomung). Nogenlunde samtidig opfandt ameikaneen Edwad Weston den føste elektoniske lysmåle og fimaet Weston indføte sin egen skala, Weston-skalaen, de va designet til at skulle buges sammen med den nye lysmåle-type, de hutigt blev meget populæ. Omking 940 kom Kodak med dees bud på en skala, som af ASA (Ameican Standad Association) blev gjot til den ameikanske nom på omådet, ASA-skalalen, ligesom Bitish Standad (BS) også abejdede med emnet. De omtalte skalae til bestemmelse og angivelse af films lysfølsomhed bygge på foskellige og undetiden besvælige metode, som også bevike, at nogle af dem (ASA/Weston) e lineæe skalae, hvo en fodobling elle halveing af skalavædien svae til en fodobling elle halveing af følsomheden, hvoimod ande (DIN/H&D/Scheine) e logaitmiske skalae (bygge på sansemæssige indtyk). I blev de abejdet på en intenational metode/standad (ASA/BS/DIN), som byggede på lidt af hvet fa de tidligee skalae, men samtidig blev baseet på en væsentligt simplee metode. I denne standad blev de fastlagt følgende sammenhæng: DIN = + 0 log(asa) En ASA-vædi på 00 give således en DIN-vædi på, og en DIN-vædi på 7 svae til en ASAvædi på 400 i afundede tal (Kontollé!). ASA e stadigvæk en lineæ skala, og DIN e, som det femgå, baseet på en logaitmefunktion. I Sovjetunionen og Østeuopa bugte man dees eget GOST-system til angivelse af lysfølsomhed. GOST e et lineæt system på linie med ASA, men med lidt lavee vædie i skalaen.

54 Siden ha den intenationale standadiseingsoganisation ISO (som beskæftige sig med meget andet end film) ovetaget specifikationen. F.eks. angive standaden ISO 5800: 987 (altså n fa ået 987) hvodan man skal måle og angive hastigheden/lysfølsomheden fo fave-negativ film. ISO buges nu i stedet fo de ande omtalte skalae, om end de e eminiscense fa de tidligee systeme i måden man angive vædien på. ISO lade nemlig filmhastigheden blive anføt med to vædie: en lineæ og en logaitmisk. F.eks. e en ISO 400/7 o film en film, hvo 400 svae til ASA/BS-vædien og 7 o svae til DIN-vædien. (Tegnet o ha ikke noget med tempeatu at gøe!). Bemæk, at i alle skalaene e det således, at jo støe filmhastighed/lysfølsomhed, desto hutigee elle mee lysfølsom e filmen, hvomed de kæves minde lys til at opnå et godt esultat. På denne måde tillade bugen af hutigee film, at man kan anvende kotee lukketid elle minde blænde. Bemæk ligeledes, at en films hastighed/lysfølsomhed e fastlagt i poduktionspocessen og ikke kan ændes unde bugen af filmen. Øvelse... I eksempel..0 omtales, at en fodobling i ASA-vædien svae til en fodobling i lysfølsomheden af de betagtede film. Agumenté fo, at en fodobling hhv. en halveing af lysfølsomheden svae til en foøgelse hhv. en fomindskelse på ca. 3 i DIN. Øvelse... Lav en tabel, som angive (afundede) ASA-vædien fo film med heltallige DIN-vædie fa 5 til og med 33, og kommenté esultatet. Eksempel..3. Som omtalt i indledningen til dette delafsnit om fotogafeing e de fie faktoe, de bestemme påvikningen af filmen (elle de digitale sensoe): Lysstyken fa selve lyskilden (dvs. lysstyken på motivet) Blænden (dvs. støelsen af den åbning, de opstå, nå man tykke på udløseen på kameaet) Lukketiden (dvs. hvo lang tid blænden e åben) Filmens (elle sensoenes) følsomhed ovefo lyset, (som vi ha beskæftiget os indgående med i eksempel..0). Den lysmængde, de slippe ind i kameaet, afhænge af blændens og af lukketidens støelse. Jo støe disse e, desto mee lys komme de ind. Den indslupne lysmængdes påvikning af filmen afhænge af filmens lysfølsomhed (de som omtalt i eksempel..0 også kaldes filmens hastighed). Jo støe lysfølsomhed/filmhastighed, desto støe påvikning. Som et samlet mål fo disse te faktoes vikning, dvs. fo den lysmængde de slippe ind i kameaet og fo dens påvikning af filmen, benyttes begebet/enheden eposue value (eksponeingsvædi), de fokotes EV. EV-skalaen e indettet på den lidt bagvendte måde, at jo støe EV, desto minde blændeåbning, lukketid elle filmhastighed elle en kombination heaf skal de til fo at opnå et godt esultat. Denne bagvendthed fjenes måske, hvis vi se på poblemstillingen på en lidt anden måde. Jo støe lysstyke de e på motivet, desto minde blændeåbning, lukketid elle filmhastighed skal de til at give et godt esultat. En sto EV vædi svae demed til et kaftigt belyst motiv.

55 Måleenhed EV ses defo ofte anvendt på (løse elle indbyggede) lysmålee. Disse indstilles føst til en bestemt lysfølsomhed (svaende til lysfølsomheden fo den film man aktuelt buge), hvoefte lysstyken på motivet aflæses på (egistees af) lysmåleen. Heefte indstilles kameaet (gennem valg af film (med en vis følsomhed), blændestøelse og lukketid) til at passe til motivets EV-vædi. Vi skal altså have lysstyken på motivet til at passe til den igtige kombination af blænde, lukketid og filmhastighed i kameaet. EV-skalaen e indettet således, at hvis lysstyken på motivet fodobles, så foøges EV med, og hvis lysstyken på motivet halvees, så fomindskes EV med. Hvis vi se på situationen fa kameaets synsvinkel, så svae dette til, at hvis den samlede påvikning af en film med en given kombination af kamea-paametene : blændestøelse, lukketid og filmhastighed fodobles, så aftage EV med, og hvis den samlede påvikning halvees, så stige EV med. En fodobling af den samlede påvikning af filmen kan opnås ved at fodoble blændens aeal, ved at fodoble den tid blænden e åben (dvs. lukketiden) elle ved at fodoble filmens lysfølsomhed. Da hve af disse fodoblinge vil føe til eduktion i EV-vædien med, vil en oplagt definition af EV ud fa kamea-paametene bygge på anvendelse af logaitmefunktionen log med gundtal på følgende måde: EV = konst. log (blændeaeal lukketid lysfølsomhed) idet de om log gælde, at: log () log () = log ( ) = log () = fo et givent > 0. En fodobling af give altså en foøgelse på i log -vædien, hvomed en fodobling give en fomindskelse på i log -vædien. Konstanten buges til at fastlægge nulpunktet fo EV-skalaen. Bemæk, at ved at gange de te kamea-paamete med hinanden vil en fodobling i blot en af dem give en fomindskelse på i EV. Fo at fuldende definitionen af EV-skalaen mangle vi nu at fastlægge, hvodan og i hvilke enhede blændeaeal, lukketid og lysfølsomhed skal måles, samt hvodan nulpunktet og demed konstanten skal fastlægges. Vi state med de nemmeste: lukketiden og filmens lysfølsomhed. Lukketiden måles i sekunde, og lysfølsomheden måles i den føste vædi i ISO-angivelsen (altså ASA-tallet) delt med 00. (Ved. ISO og ASA: se eksempel..0. Bemæk, at de anvendes den lineæe ASA-skala og ikke den logaitmiske DIN-skala fo at sike, at en fodobling af vædien give en fodobling af lysfølsomheden). De deles med 00 fo at undgå fo stoe EV-vædie. Blændeaealet e noget mee kompliceet, som det følgende vil vise. Den linse, de anvendes i kameaet, ha en vis bændvidde (afstanden fa centum af linsen til det punkt, hvo paallelle ståle, som sendes vinkelet ind på linsen langs med linsens akse, samles). Denne bændvidde kaldes på engelsk: focal length og benævnes med f. Blændens støelse angives nu ved diameteen af blænden udtykt i bøkdele af f. Hvis vi f.eks. ha en f/-blændestøelse, så betyde det, at blændens diamete e / af linsens bændvidde (den skå steg i notationen f/ e altså et divisionstegn!). Hvis vi defo ha en 80 mm linse, dvs. en linse med en bændvidde på 80 mm, så e diameteen i f/-blænden 80/ mm, dvs. ca. 7,3 mm. Blændeåbningens aeal e defo popotional med (f/) (ovevej dette!), hvomed tallet de anføes efte f/ e et mål fo blændeaealet fo et givet kamea. Dette tal kaldes f-tallet fo blænden.

56 Af paktiske åsage kan man ikke have alle mulige blændeåbninge i et kamea. I modene kameae (med tilhøende linse) ha man almindeligvis valgt at kunne indstille kameaets blændevædi på følgende positione (elle en delsekvens heaf): f/, f/.4, f/, f/.8, f/4, f/5.6, f/8, f/, f/6, f/, f/3, f/45 og f/64, (hvo de af opskivningsmæssige åsage e bugt decimal-punktum, hvilket også e almindeligt i paksis, hvo man på kameaet/linsen mm. oftest blot anføe f-tallet). Hvis vi kun se på f-tallet femgå det, at denne sekvens af vædie netop svae til, at man komme fa det ene f-tal til det næste ved at gange med. (Bemæk, at de af paktisk åsage benyttes afundede vædie fo f-tallene). Bemæk desuden, at hvis f-tallet ganges med, så svae det netop til, at blændeåbningens aeal blive halveet (ovevej!!), hvomed de slippe halvt så meget lys igennem. I definitionen af EV-skalaen anvendes f-tallet som mål fo blændens støelse. f-tallet ha ingen enhed og e uafhængig af hvilken enhed bændvidden fo linsen måles i. Som omtalt e blændeaealet popotional med (f-tallet), og det e netop denne støelse man ha valgt at lade indgå i definitionen af EV. Vi ha demed nået fem til, at: EV = konst. log ((f-tallet) t ASA/00), hvo t e lukketiden målt i sekunde og ASA stå fo filmens ASA-vædi (det føste tal i filmens ISO-vædi). Vi mangle nu blot at fastlægge konstanten. Vædien af denne findes af, at man p. definition sætte EV = 0 fo en ISO00 film, nå lukketiden t e sekund og f-tallet e. Dette give os: 0 = konst. log (() 00/00) = konst. log () = konst. hvoaf vi se, at konstanten e 0. Det endelige udtyk fo EV-skalaen se demed således ud: EV = log (f tallet) ASA t 00 Bemæk, at man ved angivelse af EV-vædie ofte unde af til hele tal, således at hvis f.eks. f-tallet e 5.6, t = /5 sek. og ASA = 400, så e: EV = 9,937, men det vil blive anføt som EV = 0. Afslutningsvist skal det bemækes, at nogle kameae ha en speciel indstillingsmulighed (en såkaldt eksponeingskompenseing) typisk med vædiene +, +, 0, og som fotogafen kan buge til bevidst at unde- elle ovebelyse filmen. De angivne talvædie e angivet i EV. Øvelse..4. Anvend sætning..9 og fomlen fo EV i eksempel..3 til at udegne EV-vædiene i følgende situatione (husk at afunde vædiene): a) f-tallet =.4, lukketid = /60 sek. fo en ISO 400/7 o -film. b) t = /50, ASA = 800 og f-tallet = c) ASA = 00, f-tallet = 5.6 og t = /500

57 Øvelse..5. Vis, at fomlen fo EV også kan udtykkes på følgende måde: EV = (f tallet) 00 (f tallet) log og EV = 3,3 log t ASA t 00 ASA Benyt hve af disse fomle til at bestemme EV-vædien i øvelse..4 a). Øvelse..6. På mange kameae e lukketiden angivet i sping, typisk med følgende vædie (i sekunde):, ½, ¼, /8, /5, /30, /60, /5, /50, /500, /000, /000. Bemæk, at de i alt væsentligt e tale om en halveing af lukketiden fa et skidt til det næste i denne ække af vædie. På tilsvaende måde e f-tallene som omtalt i eksempel..3 almindeligvis angivet i sping med følgende vædie:,.4,,.8, 4, 5.6, 8,, 6,, 3, 45 og 64, hvo et sping fa en vædi til den næste svae til en halveing af blændeåbningens aeal. Betagt en given film med en given lysfølsomhed/filmhastighed, som fastholdes i det følgende, og antag, at de på motivet e en bestemt lysstyke hvomed de skal anvendes en bestemt EV-vædi. a) Agumenté fo, at fo at sike et godt billede skal et sping femad i ækken af vædie fo lukketiden modsvaes af et sping tilbage i ækken af vædie ove f-tallene og omvendt. I paksis vil den såkaldte dybdeskaphed i billedet afhænge af blænden: Jo støe blændeaeal, desto minde et omåde vil femstå skapt på billedet. Denne effekt kan defo opnås ved at vælge blænden og demed lukketiden passende. b) På et givet motiv e lysstyken EV =, og de benyttes en 00 ASA film. Opstil en liste af sammenhøende vædie af f-tal (blænden) og lukketiden t, som vil give gode esultate fo et kamea, som ha følgende lukketide til ådighed: /8, /5, /30, /60, /5, /50, /500. Hvilket af f-tallene give den mindste dybdeskaphed (buges til potætfoto, hvo pesonen skal stå skapt i billedet, medens baggunden skal stå uskap)? Øvelse..7. Betagt en given vædi af f-tallet og lukketiden t. EV a) Agumenté fo, at de findes en konstant c, så ASA = c b) Bestem vædien af c, hvis f-tallet e og lukketiden e /60 sek. c) Hvilken filmfølsomhed bø vælges, hvis de på et motiv e en lysstyke på EV = 0, og vi kun åde ove et kamea, som ha en bestemt blændestøelse (svaende til f-tallet ) og en bestemt lukketid på /60 sek.? Øvelse..8. Mange kameae kan indstilles på tid, dvs. man bestemme selv lukketiden/eksponeingstiden. a) Hvo lang tid skal kamealinsen væe åben fo med en 00 ASA film og et f-tal på.8 at kunne få et godt billede ud af et nattemotiv, hvo EV = 4? b) Et kamea ha en speciallukketid på 30 sekunde beegnet til aftenfotogafeing. Hvilket f-tal skal vælges fo blænden fo at få et godt billede ud af et aftenmotiv med EV = 3, nå de benyttes en 800 ASA film?

58 - 6 - Toneintevalle og musikskalae. Den histoiske udvikling af musikskalae og toneintevalle, tansponeingsmulighede (at spille en given melodi i en anden toneat end den e skevet), enhed elle uenhed i klangbilledet, opfindelse af nye musikinstumente elle ny stemning af kendte musikinstumente, så de passe til foskellige skalae osv. osv. e en omfattende sag at beskive og ligge helt udenfo ammene af denne bog. I det følgende gives blot nogle få gundlæggende infomatione, hvoefte de fokusees på den matematiske side af emnet. Eksempel..9. Man kan ud fa høesansens anatomiske gundlag agumentee fo og ud fa tusindvis af psykologiske ekspeimente dokumentee, at menneske vudee foskellen imellem tone ud fa foholdet mellem tonenes fekvense. (Fekvense, dvs. antal svingninge p. sekund, måles i Hetz (Hz)). Uanset tonenes højde (dvs. fekvens) vil man altså opfatte det samme toneinteval imellem to tone, nå blot foholdet mellem dees fekvense e ens. Det vil defo væe oplagt at anvende logaitmefunktione til beskivelse af det sansemæssige indtyk af et toneinteval (SIT) på følgende måde: f SIT = k log c f hvo k e en konstant, de e med til at fastlægge enheden sammen med c, de e logaitmefunktionens gundtal, og hvo f og f e de to tones fekvense. En almindelig anvendt enhed fo SIT e en oktav, som svae til en fodobling af fekvensen, (dvs. at oktav svae til, at f = f ). Hvis vi lade c =, dvs. hvis vi buge -talslogaitmen, så blive k =, (ovevej!!), og vi få følgende simple fomel: SIT oktave = f log f Ofte anvendes dog enheden millioktav, dvs. /000 oktav, idet enheden oktav e fo sto til beskivelse af divese musikteoetiske emne f.eks. om finstemning af instumente. Som det måske e læseen bekendt og som det omtales i det følgende eksempel opdeles en oktav i tone. Man ha defo også fundet det elevant at indføe en SIT-enhed, som kaldes cent, og som e fastlagt ved, at en oktav e 00 cent. De gælde altså: SIT millioktave = 000 log f f og SIT cent = 00 f log f Uanset hvilken af de omtalte måleenhede, de anvendes fo SIT, så ha de den stoe fodel, at hvis man tage to intevalle, de ligge i folængelse af hinanden, så femkomme de et nyt inteval, hvis støelse blot findes som summen af de to opindelige intevalle (noget de bestemt ikke e natugivent på fohånd). Dette kan lidt mee pæcist udtykkes på følgende måde: Lad det ene inteval SIT væe givet ved at det gå fa tonen med fekvensen f til tonen med fekvensen f, medens det andet inteval SIT gå fa tonen med fekvensen f til tonen med fekvensen f 3. (Fekvensene f, f og f 3 e anføt i voksende oden). Heved femkomme de i alt et inteval SIT ialt fa tonen med fekvensen f til tonen med fekvensen f 3, hvoom de gælde: SIT + SIT = SIT ialt

59 - 6 - Dette indses således: Uanset hvilken af de omtalte SIT-enhede, de anvendes, så gælde de: SIT = k log f f, SIT = k log f 3 f og SIT ialt = k f 3 log f hvo k enten e, 000 elle 00. Vi se heaf, ved anvendelse af almindelige egneegle fo logaitme (kontollé), at: SIT + SIT = k log f f + k f 3 log = f log (f ) log (f ) + k log (f ) log (f ) log (f ) log (f ( ) ( ) = ( )) k 3 hvomed det ønskede e bevist. k 3 = SIT ialt Øvelse..30. Betagt te tone med fekvensene 40 Hz, 690 Hz og 905 Hz. Bestem vædien af de te intevalle imellem disse tone udtykt i hve af de te SIT-enhede omtalt i eksempel..9. Eksempel..3. Nå man f.eks. på en violin, en guita elle et klave anslå ( knipse ) en steng, så vibee den med en bestemt (gund)fekvens esonanstonen, som afhænge af stengens længde, tykkelse og udspændingskaft. Jo længee en steng, desto dybee en tone, jo tykkee en steng, desto dybee en tone og jo støe en udspændingskaft (dvs. jo stammee stengen e udspændt) desto højee en tone. Ved at vaiee på disse støelse kan man altså få en steng til at spille foskellige tone (foskellige fekvense). Man kan også have flee foskellige stenge af foskellig længde, tykkelse og/elle udspændingskaft ved siden af hinanden. Nå man anslå flee af disse stenge samtidigt, kan esultatet blive alt fa noget de af øet (dvs. af hjenen via øet) opfattes som velklingende og hamonisk til noget, de lyde afskyeligt og gø ondt fo det musikalske øe. Hvodan esultatet opfattes afhænge pimæt af foholdet imellem de anslåede stenges (gund)fekvense. Det menneskelige sanseappaat e indettet således, at simple fohold mellem fekvensene lyde pænest. I dees ene udgave e de gundlæggende pæne intevalle (pimæintevallene): oktav, kvint og kvat defineet på følgende måde: I intevallet en oktav e foholdet mellem tonenes fekvense lig med : (jf. eksempel..9), i en kvint e foholdet mellem fekvensene lig med 3:, og i en kvat e foholdet 4:3. Det ses (kontollé), at en en kvint e lig med (ha en SIT-vædi på) 584,96 millioktave og en en kvat e lig med (ha en SIT-vædi på) 45,04 millioktave. En oktav e et sælig pænt om end lidt kedeligt klingende inteval, idet to tone med en oktavs foskel lyde ens i sit klangbillede, blot e den ene dybee end den anden. Nå man spille en melodi med en given tone som udgangspunkt og bagefte spille melodien en oktav højee så lyde det på en måde ens, men dog alligevel foskelligt p.g.a. tonenes højdefoskel. Denne ensatethed kan let foklaes ud fa begebene gundtone og ovetone fo en svingende steng, men vi vil ikke gå dybee ind emnet, de blot omtales he, idet det spille en olle fo tonenes navngivning. To tone med en oktav imellem gives det samme navn (botset fa et evt. placeingsnumme ).

60 Nå man skal stemme f.eks. en violin, en guita elle et klave, så gøes det ved at ænde på udspændingskaften, idet stengenes dimensione e givet ud fa instumentets design. Et af de stoe spøgsmål igennem den euopæiske histoie ha væet, hvodan man skulle stemme klaveet og demed fodele tone ove klaveets tangente, hvilket demed selvsagt fik betydning fo alle ande instumente, de skulle spille sammen med et klave. Pincipielt kunne man opdele en oktav i et vilkåligt antal intevalle og demed placee tone ved foskellige mellemliggende fekvense, hvilket e gjot i ande kultue igennem tiden, men dels e de en gænse fo, hvo små fekvensfoskelle øet kan opfatte (dette e i øvigt foskelligt fa peson til peson), dels tale en ække paktiske fohold (bl.a. i konstuktionen af instumentene) fo, at antallet af mellemliggende tone holdes på et behesket niveau. Desuden ville man gene søge fo muligheden af at kunne udnytte de velklingende intevalle kvint, kvat (og ande). I den (vest)euopæiske musikudvikling faldt valget på inddeling af en oktav i såkaldte halvtone. Men udove dette skulle de jo også tildeles fekvense til de enkelte tone (dvs. foetages en stemning af stengene). Som vi staks skal se, gav dette anledning til pobleme. En oktav (med udgangspunkt i tonen med navnet C) se ud som vist på figu.., hvo alle tones navne e angivet. Efte tonen B (som i bl.a. Danmak oftest kaldes H) komme det næste C, blot en oktav højee, hvoefte det hele gentage sig (se figu.., som vise alle tangentene på et klave). C # D # F # G # A # C D E F G A B Fig... På figu.. e kun anføt navne på tonene fo de hvide tangente, men med placeingsnumme - se kolonnen: Note name. (Dette e en nutidigt valgt notation. I musikhistoisk sammenhæng hed tonen C4 f.eks. C ). Kolonnene fequency omtales kot nedenfo, og kolonnen MIDI numbe omtales i det næste eksempel. En kvint svae til et sping på 7 halve tone! De e f.eks. en kvint fa C til G elle fa D # til A # - kontollé på figuen!! Hvis man (tålmodigt!) tælle kvinte fem fa tonen C på klaveet, havne man på tonen C8. Dette betyde, at kvinte skal svae til 7 oktave. Hvis fekvensen af tonen C kaldes f, så ha tonen, som ligge en en kvint ove f, fekvensen f 3, idet intevallet en en kvint svae til fekvensfoholdet 3:. Man gå altså en en kvint fem ved at gange fekvensen med 3 (Kilde: The Univesity of New South Wales, Sidney) Fig....

61 Nå vi gå kvinte fem, så få vi altså tonen med fekvensen f ( ) 5344 = f = f 9, Som omtalt svae et toneinteval på en oktav til fekvensfoholdet :. Nå vi gå 7 oktave fem fa tonen med fekvensen f, så få vi altså en tone med fekvensen f 7 = f 8. Som det ses, e de uoveensstemmelse mellem de to fekvense fo tonen C8, idet ene kvinte give en fo sto fekvens i fohold til de tilsvaende 7 oktave. Dette poblem ha man igennem tiden løst på foskellige mee elle minde tilfedsstillende måde, og de ha væet megen debat heom begge dele e dog noget vi ikke skal komme ind på hé. Da oktaven med fekvensfodobling e et helt fundamentalt pincip, endte man med at give afkald på at anvende ene kvinte. Man defineede, at de skulle væe den samme afstand (dvs. SIT-vædi) imellem alle de halvtone, de udgø en oktav. Dette betyde, at afstanden mellem to halvtone, f.eks. fa G til G #, e givet ved: SIT(½ tone) = oktav = log = log = log = log dvs. at foholdet imellem fekvensene fo to på hinanden følgende halvtone e :. Med 7 decimales nøjagtighed e =,059463, dvs. at fekvensen skal øges med ca. 6 % nå vi gå fa en tone til den næstfølgende halvtone. Et klave stemt på denne måde siges at væe tempeeet. Støelsen en kvint og en kvat blive ændet, nu hvo de ikke længee kan optæde i den ene fom. En kvint e som omtalt et sping på 7 halvtone mellem stattonen og sluttonen. Hvis stattonen i kvinten ha fekvensen f, så ha sluttonen i kvinten altså fekvensen f ( ) 7, hvomed vi se, at: 7 f ( ) SIT(kvint) = 7 7 log = log (( ) ) = f oktav hvilket vi natuligvis kunne have fået meget nemmee ved blot at bemæke, at hvet halvtonesping 7 svae til oktav, og i kvinten e de 7 halvtonesping. Da oktav = 583,33 millioktave, ses det, at en kvint e gjot,63 millioktave minde end en en kvint på 584,96 millioktave. Dette e imidletid så lille en foskel, at kun de fæeste menneske kan høe denne foskel, hvomed den tempeeede toneskala e bugba til de fleste paktiske fomål. Det ovelades til læseen at agumentee fo, at en kvat i den tempeeede toneskala e gjot,63 millioktave støe end en en kvat. (En kvat svae til et sping på 5 halvtone mellem stat- og sluttonen i kvaten). Hvis vi nu vende os mod fekvensene af de konkete tone på klaveet, så synes de at væe enighed om at tage udgangspunkt i, at tonen A4 (se figu..), de også kaldes kammetonen, ha en fekvens på 440 Hz. Heefte kan alle ande fekvense egnes ud ved at tælle, hvo mange halvtonesping de e fa A4 til den givne tone, og så enten gange (fo højee tone) elle dividee (fo dybee tone) med opløftet i antallet af sping. De e f.eks. 7 halvtonesping fa A4 til E5 (jf. figu..), hvoaf det ses, at fekvensen af E5 skal væe: 440 ( ) 7 Hz = 659,6 Hz, hvilket pæcist svae til den vædi, de stå i kolonnen ove fekvensene på figuen. Vi afslutte eksemplet med at bemæke, at hvis SIT-enheden cent anvendes, så e et halvtonesping i en tempeeet toneskala lig med 00 cent, idet en oktav svae til 00 cent (jf. eksempel..9). De komme hemed ganske pæne talvædie fem ved anvendelse af denne enhed.

62 Eksempel..3. I dette afsluttende eksempel vil vi se lidt på begebet MIDI og MIDI numbe (også kaldet MNN en fokotelse fo MIDI Note Numbe). MIDI e en fokotelse fo: Musical Instument Digital Inteface. Dette e en såkaldt standad fo dataudveksling mellem elektoniske musikinstumente (på samme måde som TCP/IP e en standad en potokol fo dataudveksling mellem computee ove netvæk). I MIDI-systemet e tonene nummeeet fa 0 til 7 (bemæk: 8 = 7 vædie), med dybe tone svaende til lave nume. På figu.. ses MIDI-numene svaende til klaveets tone i den høje kolonne. Det ses, at C4 ha fået nummeet 60, og at kammetonen demed få nummeet 69. Hvis vi vil finde fekvensen f n fo tonen med MIDI-nummeet n, så kan den findes efte følgende fomel (jf. eksempel..3 gennemfø agumentet!): n 69 f n = 440 ( ) = 440, n 69 Fo dem de abejde med MIDI e det desuden af betydning at kunne finde det MIDI-numme, de n 69 svae til en given fekvens, hvilket gøes ved at isolee n i ligningen: f = 440 ( ). Ved anvendelse af log få vi: n 69 f = 440 ( ) log (f ) = log (440) + (n 69) log ( ) altså: log (f ) log(440) = (n 69) f log = n n = 69 + log f 440 Fo det føste e det ikke sikket at n give et helt tal, hvomed de i fohold til valg af keyboadtone fo en given fekvens kan komme på tale at skulle afunde til næmeste vædi. Fo det andet e det med ikke-heltallige vædie muligt at abejde med såkaldt mikotonalitet, hvilket vi dog ikke skal komme ind på he. Øvelse..33. a) Vælg 3-4 tilfældige fekvense fo nogle tone på keyboadet på figu.., find de tilsvaende MIDI-nume og sammenlign med de vædie, de e anføt på figuen. b) Bestem MIDI-numene fo fekvensene 500 Hz, 000 Hz og 000 Hz.

63 Gafisk beskivelse af data v.hj.a. logaitmiske skalae: Da de på logaitmiske skalae gælde, at afstanden mellem 0 og 00 e den samme som mellem 00 og 000, mellem 000 og 0000 osv., og den samme som mellem og 0, mellem 0, og, mellem 0,0 og 0, osv. e logaitmiske skalae velegnede som akse() i koodinatsysteme, hvo de skal illustees støelse, som kan vaiee ove et meget stot omåde, og hvo det e vigtigt at kunne aflæse infomation om vædie i såvel den lave som den høje ende af skalaen. (Man skal blot passe på ikke at blive vildledt af det synsindtyk man få af gafen). Eksempel..34. Hvis man skal illustee vedens oliefobug i åene 890 til 970, så vil vi i et almindeligt koodinatsystem få kuven vist på figu..3 a), medens vi i et koodinatsystem med en logaitmisk skala som andenakse få kuven vist på figu..3 b). Fig...3 På figu..3 a) kan vi klat se, at de skete en kaftig foøgelse af fobuget, men til gengæld e det næsten umuligt at aflæse infomation om fobuget i de føste å. Denne mangel afhjælpe den logaitmiske skala på figu..3 b), hvo fobugsfoøgelsen til gengæld ikke se så alvolig ud. Eksempel..35. Ved en geologisk kaakteisation ( tekstukaakteisation ) af jodate opdeles pøvemateialet efte patikelstøelse i le, silt, sand, gus og sten. Hvis mateialets patikeldiamete (konstøelse) kaldes d, så anvendes betegnelsen: le silt sand gus sten nå d 0,00 mm nå 0,00 mm < d 0,06 mm nå 0,06 mm < d mm nå mm < d 60 mm nå d > 60 mm

64 Denne klassificeing af konstøelsen anføes bedst på en logaitmisk skala, idet en almindelig skala enten blive uimeligt lang elle også umuliggø infomation om le-, silt- og sandbestanddelene. Nå en jodpøve analysees, kan man angive hvo sto en pocentdel af pøvens masse (vægt) de foskellige konstøelsestype udgø. Men man kan også udegne, hvo mange pocent af pøven, de ha en konstøelse minde end elle lig med foskellige diamete d. (Man kan altså f.eks. angive, hvo mange pocent de af en given jodpøve ha en diamete minde end 0,03 mm). Foetages en sådan analyse fo flee foskellige vædie af d, kan de opnåede esultate indtegnes i et koodinatsystem som nedenfo (hvo de e tegnet te foskellige mulige kuve). Fig...4 Vi se, at moænele, de e en gletcheaflejing fa istiden, e en udpæget blandingsjodat, idet de både e le, silt, sand og gus hei. Deimod e flyvesandet, som e en vindaflejing, et homogent sammensat. Vi se ligeledes af kuvene, at f.eks. 40 % af moæneleet ha en konstøelse på unde 0,0 mm, og at 5 % af flyvesandet ha en konstøelse på unde 0,04 mm. Ved en kot angivelse af en given jodats konstøelsesammensætning anføe man ofte de følgende te støelse: ) Medianen, dvs. den konstøelse, som 50 % af mateialet e minde end ). kvatil, dvs. den konstøelse, som 5 % af mateialet e minde end. 3) 3. kvatil, dvs. den konstøelse, som 75 % af mateialet e minde end. Hvis vi f.eks. se på smeltevandsguset på figu..4, så e medianen 3,0 mm,. kvatil e,5 mm og 3. kvatil e 6 mm. Øvelse..36. Find i en statistisk ovesigt buttonationalpoduktet (BNP) fo Danmak, Fankig og USA fo en tiåspeiode elle lign. (BNP skal udtykkes i samme møntenhed, f.eks. dolla). Indtegn de te kuve i et almindeligt koodinatsystem samt i et koodinatsystem, hvo andenaksen e logaitmisk. (Alle te kuve indtegnes i samme koodinatsystem). Kommenté esultatet.

65 Eksempel..37. Evnen til at høe/opfatte tone afhængig bl.a. af alde og individuel høelsesfunktion og situation. Den bedst fungeende høelse omfatte fekvensene fa omking 0-30 Hz til ca Hz, hvofo en god højtale bø væe i stand til at dække dette fekvensomåde. Nå man skal beskive en højtales evne hetil, anvendes ofte en figu som den følgende (hvis tekniske detalje vi ikke skal komme ind på vi skal blot se figuen). Bemæk den logaitmiske føsteakse. Fig...5 (Kilde: JBL) Det ses, at de dybeste bastone og de højeste diskanttone gengives knap så godt som esten af fekvensomådet. Øvelse..38. Find på Intenettet eksemple på anvendelse af logaitmiske skalae ved tegning af kuve. Søg f.eks. unde statistiske elle tekniske infomatione... Eksponentielle vækstfunktione. I det følgende gives nogle få eksemple på eksponentielle vækstfunktione indenfo fysik (adioaktivitet og ståling), biologi (populationsvækst), medicin (udskillelse af medicin) og geogafi (befolkningsudvikling). De e imidletid mange ande emne/omåde, hvo eksponentielle vækstfunktione kan binges i anvendelse. Dette gælde specielt, nå vi ha diffeential- og integalegning til ådighed og/elle nå vi se på modelle, hvo eksponentielle vækstfunktione indgå som en del af funktionsudtykket i modellen. Vi skal i kapitel 4 komme ind på nogle af disse eksemple, og vi at e skal f.eks. se, at de gælde: T(t) = (T(0) T o ) + T o fo tempeatuudligning imellem et stot legeme med tempeatuen T o, som e i temisk kontakt med et lille legeme med tempeatuen T til tiden t. He og nu holde vi os som omtalt til nogle få eksemple. I afsnit.3 om enkeltlogaitmiske koodinatsysteme anføes desuden en beskivelse af en ække fosøg, man kan udføe med henblik på undesøgelse af, om de e tale om eksponentielle vækstfunktione og/elle med henblik på bestemmelse af paamete, de beskive denne vækst.

66 Radioaktivitet og ståling: Eksempel... Visse atomkene ha den egenskab, at de fø elle siden gå i stykke unde udsendelse af adioaktiv ståling (som bestå af små patikle ), hvoefte den tilbageblevne del af kenen odne sig i en ny slags atomkene. Vi sige kot, at den adioaktive kene henfalde. Stålingen fa en klump adioaktivt mateiale kan måles med et såkaldt Geige-Mülle-ø ( Geigetælle ), idet man måle stålingens aktivitet (dvs. antal udsendte patikle p. sekund). Vi skal i kapitel 4 agumentee fo, at hvis vi til tiden t ha et stot antal kene N(t) af et givet adioaktivt stof, som endnu ikke e henfaldet, så kan N(t) beskives ved en eksponentielt aftagende funktion N(t) = N o e kt, hvo N o e antallet af kene til tiden 0 (altså nå målingen begynde), og hvo støelsen k kaldes stoffets henfaldskonstant. Funktionen N(t), de beskive antallet af ikke-henfaldne kene til tiden t, opfylde altså: N(t) = kt N o e elle: N(t) = N o ep( kt) Antallet af ikke-henfaldne kene e eksponentielt aftagende. Ifølge sætning.4.7 e halveingstiden T ½ (dvs. den tid de gå inden halvdelen af de adioaktive kene e henfaldet) knyttet sammen med henfaldskonstanten k i følgende ligninge (ovevej!): ln ln T ½ = og k =. k Øvelse... Beskivelsen af adioaktivt henfald i eksempel.. kan bl.a. anvendes til aldesbestemmelse af histoiske objekte. En metode bygge på det adioaktive kulstof 4 (skives: C 4 ). En levende oganisme ha nemlig et ganske bestemt indhold af dette stof; men nå oganismen dø, vil dette indhold aftage eksponentielt som beskevet i eksempel... På baggund af halveingstidsbestemmelse e konstanten k fastlagt til ca., 0-4 (med enheden å - ), hvofo indholdet af C 4, 0 kan beskives ved funktionen: N(t) = N o e t, hvo N o e det opindelige indhold af C 4, og hvo t måles i å (efte at oganismen e død). a) I nogle knogle e indholdet af C 4 bestemt til 7,3 % af det opindelige indhold. Hvo gamle e disse knogle? Fo at vudee metodens nøjagtighed kan vi pøve at ænde lidt på vædien af k i udegningene: b) Hvilken alde ville vi få fo de omtalte knogle, hvis k =,4 0-4 å - og hvis k =,0 0-4 å - Kommenté esultatet. T ½ 4 Øvelse..3. Uan ha to natuligt foekommende adioaktive isotope: Uan-35 (U 35 ) med en halveingstid på 7, 0 8 å, og Uan-38 (U 38 ) med en halveingstid på 4,5 0 9 å. Det antages, at de ved dannelsen af uanholdigt mineal va lige mange atome af de to isotope. Giv en vudeing af Jodens alde, idet det oplyses, at de i Jodens uanmalm e ca. 40 gange så meget U 38 som U 35.

67 Eksempel..4. Vi vil i dette eksempel undesøge intensiteten af visse type ståling, nå stålingen tænge ind igennem stof/mateiale. (De e tale om gammaståling, øntgenståling og i en ække sammenhænge også betaståling). Stålingens intensitet et givet sted definees som antallet af patikle, som p. sekund passee en aealenhed (f.eks. cm ) placeet vinkelet på stålingsetningen det pågældende sted. Stålingens intensitet i dybden af mateialet betegnes med I(). På gund af absoption vil I() aftage eftehånden som stålingen tænge ind igennem stoffet, dvs. eftehånden som foøges. Vi skal i kapitel 4 vise, at intensiteten I() i dybden af absoptionsmateialet e givet ved: µ I() = I o e, hvo I o e stålingens intensitet ved ovefladen af mateialet (dvs. I o = I(0) = intensiteten inden stålingen begynde at tænge ind i mateialet), og hvo µ kaldes absoptionskoefficienten fo det pågældende mateiale i elation til den givne ståling. µ måles i m -, nå måles i m. Funktionen I(), de beskive intensiteten i dybden af absoptionsmateialet, opfylde altså: µ I() = I o e elle I() = I o ep( µ) Intensiteten af stålingen e eksponentielt aftagende. Ifølge sætning.4.7 e halveingstykkelsen ½ (dvs. den tykkelse mateialet skal have fo at absobee halvdelen af den pågældende ståling) knyttet sammen med absoptionskoefficienten µ i følgende ligninge (ovevej!): ½ = ln µ og µ = Det bemækes, at absoptionskoefficienten (og demed halveingstykkelsen) afhænge af absoptionsmateialet, af stålingstypen og af stålingsenegien. ln ½. Øvelse..5. Absoptionskoefficienten fo bly (jf. eksempel..4) e fo en given γ-ståling lig med 0,8 cm -. a) Hvo tyk skal en blyplade væe fo at bemse 80 % af den pågældende ståling? b) Hvo sto e halveingstykkelsen fo den pågældende ståling? Øvelse..6. I hospitalsvedenen mm. anvendes øntgenståling som bekendt til at tage øntgenbillede af udvalgte dele af koppen. Undetiden e de behov fo at beskytte ande dele af koppen elle fo at beskytte pesonale, foælde m.v., de hjælpe den peson, de skal øntgenfotogafees. Til dette ha man udviklet nogle bly-foklæde, som tages på fo at beskytte koppen. En given øntgenståling ha halveingstykkelsen 0, mm fo absoption i bly. Hvo tykt skal et bly-foklæde væe fo at de højst e % af øntgenstålingen, som tænge igennem det?

68 - 7 - Biologi og medicin Eksempel..7. Vi betagte i dette eksempel en gæcellepopulation, som vokse ved celledeling unde optimale vilkå (fastlagt ved koekt tempeatu, igelig næingsmængde og plads, o.lign.). Vi skal i kapitel 4 vise, at hvis N(t) betegne antallet af gæcelle p. ml i en næingsopløsning til tiden t, så gælde de: t N(t) = N o e elle: N(t) = N o ep(t) Unde optimale vilkå vokse antallet af gæcelle eksponentielt hvo N o e antallet af gæcelle p. ml til tiden 0 (altså ved staten af fosøget/målingen) og hvo e en konstant, de beskive sandsynligheden fo celledeling p. celle p. tidsenhed. Denne model fo en gæcelle-populations vækst gælde som omtalt kun ved optimale vilkå. Hvis de blive pladsmangel, næingsmangel, fo høj koncentation af affaldsstoffe elle en foket tempeatu, vil epoduktionsaten (dvs. det enkelte individs evne til epoduktion p. tidsenhed) begynde at aftage, hvilket kan føe til en såkaldt logistisk vækst med mætning. Den omtalte matematiske model kan også beskive ande populationes vækst. Hvis de i en given population både e tale om fødsle og dødsfald, så angive støelsen foskellen imellem fødselsaten (dvs. antallet af fødsle p. individ p. tidsenhed) og dødsaten (dvs. antallet af dødsfald p. individ p. tidsenhed). Dette vil vi imidletid ikke komme ydeligee ind på he. Øvelse..8. Støelsen af en given bakteiekultu e eksponentielt voksende og kan på samme måde som gæcellene i eksempel..7 beskives ved en funktion af typen N(t) = N o e. t a) Bestem, idet N o =,5 millione (p. ml) og N(50 min.) = 3 millione (p. ml). b) Hvo lang tid gå de, fø N(t) = 4, millione (p. ml)? c) Bestem fodoblingstiden fo bakteiekultuen. Øvelse..9. Salgschefen fo et ekspotfima skal på en foetningsejse til det centale Afika. Fø afejsen vaccinees salgschefen mod foskellige sygdomme. Det injiceede stofs mængde i koppen aftage eksponentielt med tiden, idet det nedbydes og udskilles. Halveingstiden i oganismen e ca. 9 dage, og de injicees 5 ml af stoffet fø afejsen. a) Angiv et funktionsudtyk fo koppens indhold af vaccine som funktion af tiden målt i dage. b) Lægene egne med, at vaccinen give beskyttelse, så længe legemet indeholde mindst ½ ml. Hvo lang tid kan foetningsejsen højst vae, hvis salgschefen skal væe beskyttet mod sygdommene?

69 - 7 - Befolkningsudvikling Eksempel..0. Indiens befolkningstal voksede i peioden 964 til 978 med ca., % om ået. Da befolkningstallet P i å 964 va 47, mill., kan vi ved anvendelse af fomlen: S() = S(0) ( + ) (se side 5) 00 angive følgende tilnæmede udtyk b(t) fo Indiens befolkningstal: b(t) = 47,,0 t hvo t e tiden målt i å siden 964 (Jf. øvelse.3.). Det ovelades som en øvelse til læseen at udegne Indiens befolkningstal i åene 990 og 000, samt at pøve at finde de koekte vædie (f.eks. via Intenettet) og heved vudee modellens langsigtede holdbahed. Øvelse... Bestem fodoblingstiden fo Indiens befolkningstal i henhold til modellen i eksempel..0. Øvelse... Af en ække åsage e de mange stede veden ove tale om en flugt fa land til by, specielt i de fattigee dele af veden og da specielt til stobye/hovedstæde. Meico City e en af de væst amte af denne effekt. I 950 havde byen knap 3 mill. indbyggee, og i å 000 va de ca. 8 mill. indbyggee, hvo fostædene tælles med som defacto-indbyggee i byen p.g.a. pladsmangel indenfo den geogafiske bygænse. a) Hvo sto ha den ålige pocentuelle vækst væet i gennemsnit i peioden fa 950 til 000? b) Hvo sto e fodoblingstiden i denne befolkningsudvikling? c) Pøv at finde tilsvaende vædie fo Tokyo samt den (af den Japanske egeing) foventede udvikling af befolkningstallet i byen. Kommenté esultatet. Øvelse..3. På gund af faflytning og natulig botgang e befolkningstallet på en ø aftaget med,6 % om ået siden 98, hvo de va 9 øboee. a) Angiv en funktionsfoskift fo antallet af øboee som funktion af tiden siden 98. b) Hvo mange menneske boede de på øen i 993? c) I hvilket åstal må vi fovente, at befolkningstallet komme unde 600?

70 Enkeltlogaitmisk koodinatsystem og eksponentiel egession. Øvelse.3.. I tabellen ses Indiens befolkningstal (målt i millione) fo hvet andet å fa 964 til 978: Åstal Befolkningstal 47, 493, 55,4 538,9 56,5 586, 63,3 638,4 Gø ede fo, at befolkningstallet b tilnæmelsesvist kan beskives ved en eksponentiel vækstfunktion med foskiften: b(t) = 47,,0 t, hvo t e tiden målt i å siden 964. Øvelse.3.. Egyptens befolkningstal (målt i millione) udviklede sig i peioden 965 til 986 som beskevet i følgende tabel: Åstal Befolkningstal Åstal Befolkningstal 965 9, , , , , , , , , , , , , 98 43, , , , , , , a) Indtegn vædiene på et stykke almindeligt mm-papi (altså et sædvanligt koodinatsystem) og kommenté esultatet. b) Indtegn vædiene fa åene 965 til 976 i et enkeltlogaitmisk koodinatsystem og kommenté esultatet. Gø det samme med vædiene fa åene 978 til 983. c) Egyptens befolkningstal i 996 va 59, millione. Kommenté dette i fohold til de ovenfo undesøgte vækstfohold. E de systematik i dataene? Øvelse.3.3. Atmosfæisk luft indeholde altid støe elle minde mængde vanddamp. Den mængde vanddamp, de maksimalt kan indeholdes i atmosfæisk luft (vi tale da om dampmættet luft) afhænge af tempeatuen jo højee tempeatu, desto støe mængde vanddamp. Dette fohold ha stoe klimatologiske konsekvense, fo hvis en vam vanddampholdig luftmasse afkøles, vil vi ved en given tempeatu få dampmættet luft. Hvis luften afkøles ydeligee, kan luften ikke indeholde al vanddampen. De vil således ske en fotætning af vanddamp i et uhye stot antal små vanddåbe, dvs. de dannes skye. Ved ydeligee fotætning vil de femkomme nedbø. I nedenstående skema ses den mængde vanddamp (målt i g/m 3 ), som findes i dampmættet luft ved foskellige tempeatue:

71 Temp. o C vanddamp g/m 3,4 3,4 4,9 6,8 9,3,9 7, 3,0 30,5 40,0 5,0 Undesøg om vi he ha en eksponentielt voksende funktion, og find i bekæftende fald en funktionsfoskift fo denne (find den foskift, de bedst muligt passe til dataene). Øvelse.3.4. En viksomhed sælge en sæsonpæget modevae. I nedenstående tabel ses salgstallet (stk. p. uge) som funktion af ugenummeet efte sæsonstat. Ugen. Salgstal Ugen. Salgstal a) Indtegn salgstallet som funktion af ugenummeet i et almindeligt koodinatsystem og fobind punktene med en blød kuve. Bemæk, at det godt kan se ud til, at salgstallet som funktion af ugenummeet e en eksponentielt aftagende funktion. b) Indtegn punktene i et enkeltlogaitmisk koodinatsystem og agumenté fo, at det faktisk se ud til at væe en eksponentielt aftagende funktion. c) Bestem en foskift fo funktionen s(n), de angive salgstallet som funktion af ugenummeet n. Bemæk, at s(n) kun ha betydning fo heltallige vædie af n. (Hvofo?). Øvelse.3.5. De pikkes et lille hul på en gasballon, så gassen sive ud. Ved at måle sammenhængen mellem umfanget (i cm 3 ) og tiden (i sek.) femkomme følgende kuve: Undesøg, om de e tale om en eksponentielt aftagende funktion. Fig..3..

72 Fosøg til belysning af eksponentiel vækst. I det følgende vil de blive omtalt en ække fosøg, de alle ha det til fælles, at det skal undesøges, om de femkomne data kan beskives ved eksponentielle vækstfunktione. Samtlige fosøgsesultate skal defo behandles på følgende måde:. Indtegn i et enkelt-logaitmisk koodinatsystem. Hvis de foeligge en eksponentiel vækstfunktion, find da: a. en foskift fo funktionen (benyt to punkte på linien i det enkeltlogaitmiske koodinatsystem, elle anvend eksponentiel egession på egnemaskinen) b. vækstaten og halveings- elle fodoblingskonstanten c. tilvækst i den uafhængige vaiable, de give en elativ tilvækst på 0 % (fo voksende funktione) elle 0% (fo aftagende funktione) 3. Tegn (en del) af kuven i et almindeligt koodinatsystem. Fosøg : Væskes udstømning af beholde Vi se på en beholde med vand, hvo de i bunden e et lille hul, som vandet kan løbe ud af. Vi skal måle på vandsøjlehøjden som funktion af tiden. Jo højee vandsøjlen e, desto støe tyk e de på vandet ved hullet. Og da det e vandtykket ved hullet, de afgø, hvo hutigt vandet stømme ud, kan vi fovente en aftagende udstømningshastighed. Vandsøjlens højde h falde altså ikke lige meget p. sekund. Fosøget udføes ved at måle vandhøjden fo hvet 5. elle hvet 0. sekund, idet de holdes en finge fo hullet unde målingen. Fig..3. Fosøg : Opladning og afladning af en kondensato. I fysikkens veden (elektonikkens) findes en elektisk komponent (en adiodims ), som kaldes en kondensato. Den bestå i pincippet af to paallelle metalplade, som kan oplades med modsatte elektiske ladninge. Se figu.3.3 a). Denne kondensato indsættes i et kedsløb med en spændingskilde (stømfosyning) og en sto modstand. Desuden anbinges et voltmete ove kondensatoen. Se figu.3.3 b) (Voltmeteet kan evt. fobindes til en såkaldt skive elle til en PC med henblik på automatisk dataopsamling). Fosøget gå ud på v.hj.a. voltmeteet at følge spændingsfoskellen ove kondensatoen som funktion af tiden. Vi oplade nu kondensatoen ved at tænde fo spændingskilden. Heved blive den ene kondensatoplade positivt opladet og den anden negativt. De komme således en spændingsfoskel mellem de to plade (og den måles på voltmeteet).

73 a) Figu.3.3 b) Det tage imidletid lidt tid inden kondensatoen e maksimalt opladet, altså inden de e maksimal spændingsfoskel mellem pladene. På voltmeteet kan vi følge denne opladning som funktion af tiden. Undesøg, om de e tale om en eksponentielt voksende funktion ved opladningen af kondensatoen. Nå nu kondensatoen aflades igen (det ske ved at udelukke spændingskilden fa kedsløbet v.hj.a. en sælig kontakt K), så vil tiltækningen mellem den negative og den positive ladning på pladene fosøge at hinde stømmen i at gå igennem modstanden. Men det lykkes ikke, da de jo e en spændingsfoskel mellem de to plade og demed ove modstanden. Eftehånden som stømmen gå, vil pladene blive afladet igen og spændingsfoskellen aftage. Vi følge afladningen på voltmeteet. Undesøg om vi he ha en eksponentielt aftagende funktion. Øvelse: På figu.3.4 ses et eksempel på en op- og afladningskuve tegnet på en skive. Fig..3.4 Vælg selv enhede på.aksen (tiden) og.aksen (spændingsfoskellen). Undesøg, om de e tale om en eksponentielt voksende funktion unde opladningen, og om de e tale om en eksponentielt aftagende funktion unde afladningen.

74 Fosøg 3: Absoption af γ-ståling (adioaktiv ståling). Radioaktiv ståling kan egistees af et såkaldt Geige-Mülle-ø (GM-ø). Hvis man fobinde GM-øet med en tælle, kan man tælle, hvo mange γ-kvante dvs. hvo mange adioaktive patikle, GM-øet egistee. Nå γ-ståling passee nogle blyplade, vil stålingens intensitet (dvs. stålingens styke ) falde. Fig..3.5 Vi skal måle stålingsintensiteten som funktion af tykkelsen af blylaget, idet vi tælle i 60 sekunde (anvend stopu elle en tælle, de kan måle i givne tidsintevalle) fo hve gang vi montee en blyplade mee mellem γ-kilden og GM-øet. (Hvis blypladene ikke e lige tykke anvendes en såkaldt skydelæe til at måle tykkelsen af blylaget fo hve gang en ny plade montees). Absoption af adioaktiv ståling ha bl.a. betydning ved konstuktion af atomkaftvæke, atomaffaldsdepote o.lign. Fosøg 4: Tening-henfald. Vi vil he sige, at en tening henfalde, hvis den i et kast vise en 6 e. Som bekendt e de en bestemt sandsynlighed fo ved et kast med en tening at få en 6 e, nemlig, og demed e sandsynligheden fo at få en ikke-6 e, dvs.,, 3, 4 elle 5, lig med Vi tage nu en spand med et stot antal teninge, N o teninge (tæl!), og kaste dem ud på gulvet (elle i en tom kasse elle skuffe). Vi tage alle 6 ene fa og tælle dem. De tilbagevæende teninge, N() teninge, puttes i spanden, og vi kaste igen. De nu femkomne 6 ee fjenes og tilbage e N() teninge. Disse kommes i spanden.. Vi få på denne måde bestemt antallet af ikke-henfaldne teninge som funktion af antal kast. Da vi state med N o teninge, vil vi hvis N o e sto nok fovente at have: N() = N o 5 6 teninge tilbage efte føste kast. 5 5 Efte næste kast vil vi fovente at have N() 6 tilbage, dvs. N() = N() 6 = N o ( 5 ) 6 Således fotsættes, og efte n kast vil vi fovente at have: N(n) = Indtegn gafen fo funktionen f() = sammenlign. N o N o n 5 teninge tilbage. 6 5 i samme koodinatsystem som måleesultatene, og 6

75 Fosøg 5: Radioaktivt henfald. I dette fosøg skal vi se lidt på åsagen til adioaktiv ståling. Alting på joden e opbygget af ganske små bestanddele, atome, og de kendes ove 00 foskellige atome. Disse atome bestå af en kene placeet koncenteet i centum af atomet og af nogle elektone svævende (elativt langt) udenom kenen. Se figu.3.6. adioaktivt mateiale Fig..3.6 Fig..3.7 Visse kene både natuligt foekommende og kunstigt femstillede ha den egenskab, at de gå i stykke fø elle siden. Vi sige, de e ustabile. Nå sådanne ustabile kene henfalde (dvs. gå i stykke) udsendes nogle små patikle fa kenen, og esten af kenen odne sig i en ny slags atomkene. Det e de udsendte patikle, som kaldes adioaktiv ståling. Nu gælde de den egel, at uanset hvo lang tid en ustabil kene ha eksisteet, så e de den samme sandsynlighed fo, at kenen vil henfalde i løbet af det næste sekund. Som en analogi til dette kan vi tænke på kast med en tening. Uanset hvo mange gange vi ha kastet med en tening, så e de den samme sandsynlighed fo, at teningen i næste kast vil vise en 6 e. I dette fosøg vil vi måle antallet af ikke-henfaldne kene som funktion af tiden, idet vi ha givet en bestemt mængde adioaktivt mateiale. Odet måle e sat i anføelsestegn, idet vi ent faktisk ikke måle antallet af ikke-henfaldne kene, men denne mængde kenes aktivitet, dvs. hvo mange adioaktive henfald, de ske p. tidsenhed i dette mateiale. Selve fosøget udføes på følgende måde (se figu.3.7): Fa en lille eakto udskylles noget adioaktivt mateiale (Ba-37*) i en lille plastikskål ved hjælp af en sælig væske (elueingsvæske), og skålen anbinges på et lille bod. Ved hjælp af et GM-ø og en tælle måle vi antallet af henfald i 0 sek., holde pause i 0 sek., tælle i 0 sek. osv. (Man kan også få tællee med opdelt display, så de måles fotløbende i 0 sek. af gangen, men hvo tællingene fogå på skiftevis det ene og det andet display). Vi få på denne måde bestemt antallet af henfald som funktion af tiden. Fosøg 6: Undesøgelse af gæpopulationes vækst unde optimale fohold. De optimale fohold fo gæpopulationes vækst e igelig fødemængde og ca. 35 o C. Unde disse betingelse skal man undesøge gæpopulationens støelse som funktion af tiden. Dette gøes ved at tilsætte en vis mængde gæcelle til noget æblejuice (f.eks. 5 gam gæcelle i en lite juice). Af denne blanding udtages stikpøve til tælling, som kan foegå i et blodtællekamme unde mikoskop. De udtages en stikpøve med det samme (efte at blandingen e ystet godt), og deefte - gange daglig indtil populationens væksthastighed aftage.

76 Potentielle vækstfunktione. Geometiske objekte. De e i den følgende beskivelse af geometiske objekte egentlig ikke tale om modelle i den fostand, de e omtalt i kapitel 6. De e tale om eksakte beskivelse af inde sammenhænge imellem længde, aeale og umfang fo pæne geometiske objekte som cikel, tening, kasse, kugle, cylinde og kegle. Men disse eksakte beskivelse esultee i foskellige potensfunktione og e demed af inteesse. De gælde følgende fomle fo de omtalte geometiske objekte: Cikel: O = π, A = π Kugle: A = 4π 4, V = 3 Cylinde: A = π h + π, hvo e adius, O e omkeds og A e aeal π 3, hvo e adius, A e ovefladeaeal og V e umfang (volumen), V = π h, hvo e adius i endefladene, h e cylindeens højde, A e cylindeens samlede ovefladeaeal (kumme side plus de to endeflade) og V e cylindeens umfang Kegle: V = π h 3, hvo e adius i gundfladen, h e keglens højde og V keglens umfang Kasse: V = l b h, hvo l, b og h e hhv. længde, bedde og højde i kassen Tening: A = 6 s, V = s 3, hvo s e teningens sidelængde, A ovefladeaealet og V umfanget Øvelse.4.. Lav en figu, de illustee hve af de omtalte figue og maké de elevante adie, højde og sidestykke på figuene. Eksempel.4.. a) Fo en cikel se vi, at aealet e en potentiel vækstfunktion af adius: A() = π (svaende til f() = π ). Vi se samtidig, at hvis man ha en cikel med et givet aeal, så kan adius bestem- A mes af fomlen: =, dvs. adius e en potentiel vækstfunktion af aealet: (A) = A π π b) Fo en kugle få vi, at både aealet og umfanget e potentielle vækstfunktione af adius: A() = 4π 4 3 og V() = π. 3 Som i pkt. a) se vi, at adius e en potentiel vækstfunktion af ovefladeaealet A, og at adius e en potentiel vækstfunktion af umfanget V. Disse funktione e givet ved: (A) = A og (V) = π 4 V π Hvis vi f.eks. ved, at umfanget af en kugle e 87 m 3, så e adius fo denne kugle givet ved: (87) = =,749 m. π

77 Da adius både kan udtykkes ved ovefladeaealet A og ved umfanget V, må de væe en sammenhæng mellem A og V. Da vi ved (se ovenfo), at adius i en given kugle kan udtykkes som: = A og = π 4 V, få vi, at: A π 4 = π 4 V π og demed (kontollé!): A(V) = k V 3, hvo k = 3 / 3 ( π) / 3 Vi se altså, at ovefladeaealet fo en kugle e en potentiel vækstfunktion af kuglens umfang. Hvis kuglens umfang e 87 m 3, så e ovefladeaealet: A(87) = ( ) 3 / 3 / 3 3 4π 87 = 94,95 m Øvelse.4.3. I denne øvelse betagtes cylindee, hvis højde e den samme som diameteen i endefladene. a) Agumenté fo, at cylindeens ovefladeaeal og cylindeens umfang begge e potentielle vækstfunktione af adius ved at bestemme foskifte fo de to funktione. b) Agumenté fo, at cylindeens umfang e en potentiel vækstfunktion af ovefladeaealet ved at bestemme en foskift fo funktionen. c) Bestem cylindeens umfang, hvis dens ovefladeaeal e 00 cm. Øvelse.4.4. I denne øvelse betagtes kegle, hvis højde e 5 gange adius i gundfladen. a) Agumenté fo, at keglens umfang e en potentiel vækstfunktion af adius i gundfladen. b) Agumenté fo, at adius i gundfladen e en potentiel vækstfunktion af keglens umfang. c) Bestem adius i gundfladen, hvis keglens umfang e 50 cm 3. Øvelse.4.5. Bestem ovefladeaealet som funktion af umfanget, dvs. bestem A(V), fo en tening. Øvelse.4.6. I denne øvelse betagtes kasse, hvo gundfladen ha fom som et kvadat, og hvo højden i kassen e dobbelt så sto som sidelængden i gundfladen. a) Bestem umfanget af kassen som funktion af sidelængden. b) Bestem sidelængden som funktion af kassens umfang. c) Bestem kassens ovefladeaeal som funktion af umfanget. Ligefem og omvendt popotionalitet pimæt i fysik. Ligefem og omvendt popotionalitet må betegnes som de simpleste fome fo potentiel sammenhæng (jf. eksempel.6.3). De findes mange eksemple på ligefem og omvendt popotionalitet f.eks. e det beløb b man skal betale (ligefem) popotionalt med den mængde benzin V man købe, og popotionalitetskonstanten e pisen p k. p. lite, altså: b = p V. Og hvis man ha et bestemt beløb, f.eks. 300 k., at købe katofle fo, så e mængden af katofle m og pisen p k. p. kg af katoflene omvendt popotionale, idet 300 = p m, hvomed mængden af katofle f.eks. blive 3 gange så sto, hvis pisen p. kg blive 3 gange minde. I det følgende vil vi se på en ække simple eksemple, som alle e hentet fa faget fysik.

78 - 8 - Eksempel.4.7. a) Fo et givet homogent (ensatet) stof, f.eks. benzin, gælde, at massen (vægten) m af benzinen e ligefem popotional med umfanget V, dvs.: m = ρ V, hvo popotionalitetskonstanten ρ e benzinens massefylde (densitet). Hvis m måles i g og V i cm 3, så måles ρ i g/cm 3. b) Hvis en bil (elle et andet legeme) bevæge sig med konstant hastighed, så e de følgende sammenhænge mellem hastigheden v, stækningen s og den anvendte tid t: s = v t. Vi se således, at fo en given, bestemt stækning e hastigheden og tiden omvendt popotionale, så hvis man f.eks. køe 4 gange så hutigt, så tage det kun ¼ i tiden. Ligeledes ses det, at hvis man køe med en bestemt, konstant hastighed, så e stækningen man få køt og den tid de anvendes hepå ligefem popotionale. c) I elekticitetslæe beskæftige man sig med stømstyke og spændingsfoskelle i elektiske kedsløb, som indeholde foskellige elektiske komponente, bl.a. esistoe (modstande). De gælde he Ohm s lov: U = R I, hvo U e spændingsfoskellen (målt i Volt (V)) ove esistoen, I e stømstyken (målt i Ampee (A)) igennem esistoen, og R e esistoens esistans (modstand) målt i Ohm (Ω). Vi se således, at fo en given esisto e U og I ligefem popotionale, hvo R e popotionalitetskonstanten, således at f.eks. en 5 gange så sto spændingsfoskel give en 5 gange støe stømstyke igennem esistoen. d) En metaltåd (som f.eks. i en elektisk ledning) ha en esistans (modstand) R, som e givet ved: l R = β A hvo l e tådens længde, A e tådens tvæsnitsaeal og β e en konstant, som afhænge af det mateiale, tåden e lavet af. β kaldes mateialets esistivitet ( evne til at yde modstand ). Vi se, at fo en given længde af tåden, e R og A omvendt popotionale, samt at fo en et givet tvæsnitsaeal af tåden, e R og l ligefem popotionale. e) Fo de fleste gasse (luftate) gælde ved ikke fo eksteme tyk og tempeatue: P V = n R T, hvo P e gassens tyk (målt i enheden atmosfæe (atm)), V e gassens umfang (målt i lite), n e gasmængden (mål i enheden mol), T e gassens tempeatu (målt i enheden Kelvin (K), den såkaldte absolutte tempeatuskala) og R e en konstant, som kaldes gaskonstanten, og som måles i lite atm lite atm enheden:. De gælde, at: R = 0,08. mol K mol K Vi se, at hvis vi ha en given gasmængde, som e lukket inde i en beholde med et fastholdt umfang, så gælde de, at P = konst. T, hvomed de e ligefem popotionalitet mellem tyk og tempeatu (målt i Kelvin). Dette kaldes Gay-Lussacs. lov. Vi se ligeledes, at hvis vi ha en given gasmængde indespæet i en beholde, og hvis tempeatuen fastholdes, så e tyk og umfang omvendt popotionale. Hvis vi ha en beholde med et stempel, så umfanget nemt kan ændes, så gælde altså f.eks., at hvis umfanget gøes 3 gange så stot, så blive tykket 3 gange så lille. Dette kaldes Boyle-Maiottes lov. f) Nå et legeme, f.eks. en gyde med vand, skal opvames, så gælde det, at de e ligefem popotionalitet mellem tempeatustigningen T og den vameenegi Q, de anvendes hetil. Sammenhængen skives nomalt således: Q = C T, hvo popotionalitetskonstanten C kaldes legemets vamekapacitet, idet den e et mål fo legemets evne til at indeholde vameenegi (jo støe vædi

79 - 8 - C ha, desto mee vameenegi skal de til p. gads opvamning). Q måles i enheden Joule (J), T i gade (enten Kelvin (K) elle Celcius ( o C)) og C demed i J/gad. Ligningen Q = C T gælde så længe legemet elle dele deaf ikke skifte fase (dvs. smelte elle fodampe), og ligningen sige altså, at de f.eks. skal,8 gange så meget vameenegi til at give legemet en,8 gange så sto tempeatustigning. g) Bølge optæde i mange sammenhænge, bl.a. e de ved både lyd og lys tale om bølgeudbedelse. Bølge e kaakteiseet ved bølgelængden (afstanden mellem to på hinanden følgende bølgetoppe), fekvensen (antal udsving som bølgen foåsage p. sekund på et givet sted, hvo bølgen udbedes) og hastigheden (den hastighed hvomed bølgen udbedes). Hastigheden afhænge såvel af bølgetypen som af det medie bølgen udbede sig i (f.eks. bevæge en lydbølge sig langsommee i luft end den gø i et fast stof som f.eks. en jenstang). Hastigheden v måles i m/s, bølgelængden λ måles i m, og fekvensen f måles i Hz (Hetz, hvilket svae til s ), og sammenhængen mellem disse te støelse e givet ved ligningen: v = λ f Bølgehastigheden e paktisk talt konstant fo en given bølgetype i et givet udbedelsesmedie, og fo lys, de udbede sig i vacuum (lufttomt um), som f.eks. imellem joden og stjenene, e den helt konstant. Vi se demed, at bølgelængden og fekvensen e omvendt popotionale. h) I visse sammenhænge kan lys og anden elektomagnetisk ståling som f.eks. gammaståling opfattes som små lyspatikle (lys-kvante), som kaldes fotone. Sådanne fotone ha en vis enegi, hvilket f.eks. femgå af, at sollys kan opvame et legeme (og demed tilføe det enegi, jf. pkt. f) ovenfo), og af at gammaståling e i stand til at tænge igennem f.eks. en metalplade. Fotonens enegi E e popotional med dens fekvens f, idet de gælde ligningen: E = h f, hvo popotionalitetskonstanten h kaldes Planck s konstant. Hvis enegien måles i Joule (J) og fekvensen i Hz (Hetz = s ), så ha h støelsen: 6, J s Øvelse.4.8. a) Massefylden fo benzin e 0,7 g/cm 3. Bestem massen af lite benzin. Bestem umfanget af 3 kg benzin. b) En bil skal køe en stækning på 0 km. Hvo lang tid tage det, hvis bilen køe med 40 km/h? Hvo hutigt ha bilen køt, hvis det tage,7 time? c) Et pojektil bevæge sig med hastigheden 0 m/s. Hvo lang bevæge det sig på 0,6 sekunde? Hvo lang tid e det om at amme en målskive, som e 00 m væk? d) En esisto på 5000 Ω udsættes fo en spændingsfoskel på V. Hvo sto e stømstyken? e) Fo metallet wolfam e β = 5, Ω m. Bestem esistansen R af en 0 m lang wolfam-tåd, som ha et cikulæt tvæsnit med en diamete på 0,6 mm. Hvo sto blive esistansen, hvis tåden i stedet fo e 8 m lang? Hvo sto blive esistansen, hvis længden e 0 m og diameteen e, mm? f) En ilt-mængde på 0,3 mol e indesluttet i en lite sto beholde. Bestem tykket i beholdeen, hvis tempeatuen i beholdeen e 58 o C (sammenhæng mellem tempeatuen T målt i K og t målt i o C e givet ved: T = t + 73,5). Hvo stot e tykket, hvis tempeatuen e 9 o C? g) En beholde med et foskydeligt stempel, som kan buges til at ænde beholdeens umfang, indeholde atmosfæisk luft med konstant tempeatu. Nå tykket e 0,8 atm, så e umfanget 0,5 lite. Hvo stot e tykket, hvis umfanget e, lite? Hvo stot e umfanget, hvis tykket e atm? h) En gyde med vand ha alt i alt en vamekapacitet på 50 J/K. Gyden stå på en kogeplade. Hvo meget enegi skal de til at opvame vandet (og gyden) 60 gade? Hvo meget enegi skal de tilføes kogepladen, hvis 70 % af enegien blive til vame i gyden og vandet, og hvis tempeatuen skal stige 0 gade? Hvo meget stige tempeatuen, hvis de tilføes J?

80 i) En lydbølge udbede sig med hastigheden 340 m/s. Beegn bølgelængden fo kammetonen A, som ha fekvensen 440 Hz. Hvad e bølgelængden af det dybee A med fekvensen 0 Hz? Beegn fekvensen fo en tone med bølgelængden 0,4 m. j) Beegn enegiene af gammafotone med fekvensene 3,4 0 Hz hhv. 6,8 0 Hz. Afstandskvadatloven: Øvelse.4.9. Vi ha tidligee beskæftiget os med adioaktivitet og adioaktiv ståling (jf. eksempel.. og..4). Nå adioaktiv ståling udsendes fa en given klump adioaktivt mateiale, vil det antal patikle, som p. tidsenhed passee igennem en lille aealenhed, afhænge af aealenhedens afstand fa det adioaktive mateiale (se figu.4.): Fig..4. Nå vi defo måle aktiviteten med et Geige-Mülle-ø (GM-ø), som ha et ganske bestemt følsomt omåde til egisteingen af stålingen (se figu.4. a)), så afhænge måleesultatet af afstanden til den adioaktive kilde. Fig..4. I nedenstående tabel e anføt esultatene fo en adioaktiv kilde (gammakilde), hvis totale aktivitet kan betagtes som konstant (idet kilden ha en meget sto halveingstid). A() angive det egisteede antal patikle p. minut i afstanden cm fa kilden A() Gø ede fo (v.hj.a. dobbeltlogaitmisk papi og/elle potentiel egession), at A() kan skives på b fomen: A() = A, hvo A = A() og angiv vædien af konstanten b.

81 Eksempel.4.0. I øvelse.4.9 viste det sig fohåbentlig, at b =, således at de gælde: A() = A At det må foholde sig således, kan vi agumentee fo på bl.a. følgende måde: Den totale aktivitet A total fa kilden (dvs. den mængde ståling, de udsendes p. sekund) kan betagtes som konstant p.g.a. kildens stoe halveingstid. Stålingen spede sig ud fa kilden i alle mulige etninge, dvs. i en kuglefom og jo længee væk fa kilden man e, desto minde e mængden af ståling p. aealenhed. Hvis vi lade I() betegne stålingens intensitet (dvs. antal stålingspatikle p. sekund p. aealenhed anbagt vinkelet på stålingsetningen) i afstanden fa kilden, så må den totale aktivitet væe lig med stålingens intensitet gange kuglens ovefladeaeal, (hvo kuglens ovefladeaeal og aealenheden, de indgå i definitionen af intensiteten måles i samme enhed, f.eks. m ), dvs.: A total = I() 4π A total A total og demed: I() = = 4π 4π Atotal Hvis vi sætte = få vi, at intensiteten i afstanden e: I() = og demed: 4π I() = I() elle: I() = I() Vi se, at stålingens intensitet aftage med kvadatet på afstanden, hvoaf navnet: afstandskvadatloven komme. Bemæk også, at da enheden på I() og I() e den samme, egnes støelsen uden enhed, blot talvædien fo e udmålt i samme enhed som -tallet i I(). Hvis vi f.eks. ha, at intensiteten i afstanden m e 8, 0 patikle p. sekund p. m, så e intensiteten i afstanden 3,7 m lig med: 8, 0 3,7 = ,99 0 patikle p. sekund p. m. Disse beegninge bygge natuligvis på den foudsætning, at de ikke absobees noget af stålingen på vejen fa kilden og ud til afstanden. Da de e meget inge absoption af gammaståling i atmosfæisk luft, e denne foudsætning imidletid opfyldt med meget god tilnæmelse i eksemplet i øvelse.4.9 med egisteing af ståling med GM-øet. Om støelsen A() fa øvelse.4.9 gælde da, at: A() = S GM 60sek/min I() = c = c hvo S GM e aealet af GM-øets følsomme omåde gange GM-øets egisteingspocent (ikke alle patikle egistees, men en bestemt bøkdel heaf gø!), hvo de ganges med 60 sek/min, idet de i øvelse.4.9 abejdes med minutte, og hvo c e en konstant. Hvis vi i A() = c sætte =, få vi: A() = c, dvs. at konstanten c e det egisteede antal patikle p. minut, hvis GM-øet befinde sig i afstanden fa kilden. Hvis vi vælge benævnelsen A fo A() og demed ha, at c = A, så femkomme udtykket: A() = A. (Bemæk igen, at afstandene og skal måles i samme enhed, f.eks. cm, men at man i beegningen af A() deefte kun buge talvædien af, ikke enheden). Afslutningsvist skal de femhæves endnu en geneel kommenta ved. enhede i beegningene. Hvis man f.eks. 5 km fa en (støe) adioaktiv kilde tænk f.eks. på et atomkaftvæk efte en ulykke på en eaktotank vil angive stålingsintensiteten, så vil en imelig enhed fo denne væe: antal stålingspatikle p. sek. p. m, og altså ikke p. km. Hvis I() angive stålingsintensiteten i afstanden km fa kilden, men også måles i enheden: antal stålingspatikle p. sek. p. m, så

82 gælde de imidletid stadigvæk: I(5) = I() 5, idet afstanden e blevet 5 gang støe hvomed intensiteten e blevet 5 gange minde. Dette kan de geneelt agumentees fo på følgende måde: Hvis I() og I() e intensitetene målt i antal stålingspatikle p. sek. p. m i en afstand på hhv. km og km fa kilden, så gælde de (hvofo?), at: A total = I() 4π (000) og A total = I() 4π (000), og demed: I() 4π (000) = I() 4π (000) I() = I() I() = I() Vi se altså, at afstandskvadatloven: I() = I() gælde blot de anvendes samme tidsenhed og samme aealenhed i angivelsen af I() og I(), og blot de e anvendt samme længdeenhed ved afstandsangivelsene og. I() = I() gælde altså f.eks., hvis I() og I() begge måles i antal stålingspatikle p. sek. p. m og hvis afstandene og begge måles i km (elle i sømil, hvis det ønskes). I stedet fo at skive I() anføes ofte I, således at vi få: I() = I, men -tallet efeee i begge tilfælde til den samme afstandsenhed som anvendes fo, en enhed de elles lades ude af betagtning i beegninge med fomlen. Øvelse.4.. Lav et ekspeiment som det i øvelse.4.9 skitseede og eftepøv afstandskvadatloven. Eksempel.4.. Afstandskvadatloven gælde i ande fysiske sammenhænge, hvo kilden til fænomenet med imelighed kan betagtes som punktfomig set fa egisteingsstedet. Dette gælde f.eks. følgende: a) Intensiteten af lyset fa en lyskilde (f.eks. intensiteten af lyset fa foskellige stjene obseveet på joden). b) Intensiteten af vameståling fa en given vamekilde (f.eks. et bål). c) Intensiteten (lydstyken) af lyden fa en lydkilde (f.eks. en højtale elle et tågehon). d) Den elektiske kaftpåvikning F på en ladning q, som befinde sig i afstanden fa en anden ladning Q, e givet ved Coulombs lov: Q q Q Q F = k c, dvs. F = k q c = E() q hvo E() = k c k c kaldes Coulomb-konstanten (k c = 8, Nm /C, hvo C stå fo ladningsenheden Coulomb), og støelsen E() kaldes den elektiske feltstyke i afstanden fa ladningen Q. Feltstyken angive den elektiske kaftpåvikning p. ladningsenhed. Det ses altså, at en given ladning Q i afstanden skabe et elektisk felt med styken: E() = α hvo α e en konstant. Den elektiske feltstyke fa en punktfomig ladning opfylde altså afstandskvadatloven.

83 e) Massetiltækningskaften F på et legeme med massen m, som befinde sig i afstanden fa et andet legeme med massen M (f.eks. en planet og en stjene), e givet ved gavitationsloven: M m M M F = G dvs. F = G m = T() m hvo T() = G G kaldes gavitationskonstanten (G = 6,67 0 Nm /kg ), og støelsen T() kaldes gavitationsfeltstyken i afstanden fa massen M. Gavitationsfeltstyken angive tiltækningskaften p. masseenhed (f.eks. p. kg). Gavitationsloven kaldes også fo massetiltækningsloven. Det ses altså, at en given masse M i afstanden skabe et gavitationsfelt med styken: T() = δ hvo δ e en konstant. Gavitationsfeltstyken opfylde altså afstandskvadatloven. Som antydet i eksempel.4.0 gælde afstandskvadatloven unde foudsætning af, at de ikke ske absoption undevejs fa kilden til obsevationsstedet i afstanden fa kilden. Hvis de f.eks. e nogle huse elle en skov i vejen fo en lydbølge, så vil dens intensitet ikke opfylde afstandskvadatloven på den anden side af disse fohindinge. Ande eksemple fa fysik. Eksempel.4.3. a) Nå et legeme bevæge sig (f.eks. en bil køe), så e det i besiddelse af bevægelsesenegi, som også kaldes kinetisk enegi. De gælde he følgende sammenhæng: E kin = m v hvo E kin e den kinetiske enegi (måles i Joule (J)), m e legemets masse (måles i kg) og v e legemets hastighed (måles i m/s). Fo et givet legeme (og demed en given masse) se vi altså, at den kinetiske enegi e en potentiel vækstfunktion af hastigheden, idet de gælde: E kin (v) = konst. v b) Ofte e det af betydning at vide, hvo meget effekt (dvs. enegi p. tidsenhed) de kan afsættes i et elektisk appaat som f.eks. en støvsuge, en kogeplade, en el-adiato, en fostæke osv. Hvis vi se på et appaat med esistansen (modstanden) R jf. eksempel.4.7 c) så gælde de følgende sammenhæng mellem den afsatte effekt P, esistansen R og stømstyken I: P = R I Effekten P måles i Watt (W = J/s), og stømstyken måles i Ampee (A). Vi se, at hvis vi betagte et appaat med en bestemt (konstant) esistans, så e effekten en potentiel vækstfunktion af stømstyken, idet de gælde: P(I) = konst. I c) Den enegimængde, de p. sekund og p. aealenhed udsendes fa ovefladen af et vamt legeme (f.eks. en klump glødende lava elle en stjenes oveflade) afhænge af legemets absolutte tempeatu T målt i Kelvin (K). Enegien udsendes i fom af elektomagnetisk ståling (vameståling, lys) og legemets fave, nå det gløde, gå fa det møke ove det ødlige og gullige til det hvidlige eftehånden som tempeatuen foøges. Enegimængden p. sek. p. aealenhed kaldes stålingens intensitet I, og om denne gælde Stefan-Bolzmann s lov: I(T) = σ T 4 hvo konstanten σ e givet ved: σ = 5, W/m K 4 Vi se altså, at stålingsintensiteten e en potentiel vækstfunktion af den absolutte tempeatu.

84 d) I fobindelse med konstuktion af bygninge, maskine osv. e det af betydning at vide, hvodan de foskellige dele påvikes af de kæfte, de indgå. Vi vil he se på to simple eksemple: en tynd bjælke (dvs. en bjælke hvis egenvægt kan lades ude af betagtning). Bjælken e indspændt i en væg i den ene ende og belastet med en enkeltkaft i den anden, fie ende (se figu.4.3 a)) en tyk bjælke (dvs. en bjælke hvis egenvægt spille en olle) elle en tynd bjælke, som e belastet med en jævnt fodelt belastning. Bjælken e indspændt i en væg i den ene ende (se figu.4.3 b)) Væg F Væg L L a) b) Fig..4.3 En inteessant støelse at kende e bjælkens maksimale nedbøjning N ma. Denne afhænge bl.a. af bjælkens pofil (dvs. tvæsnittets udseende, f.eks. om den ha fom som et, et H elle et L) og af det mateiale bjælken e lavet af. I fagene teknisk stykelæe og statik vise man, at de fo en given bjælkepofil og givet mateiale gælde følgende fomle i hhv. situation a) og b): a) N ma 3 = c F L og b) N ma = k ϕ L 4 hvo c og k e konstante, F e enkeltkaftens støelse, ϕ e belastningen p. længdeenhed og L e bjælkens længde. Fo en fast vædi af F hhv. af ϕ e den maksimale nedbøjning altså en potentiel vækstfunktion af bjælken længde. Øvelse.4.4. a) En given bil veje 00 kg. Bestem bilens kinetiske enegi, nå den køe med hastigheden 40 km/h og nå den køe med 0 km/h. (Husk at omegne km/h til m/s!) b) Et givet elektisk appaat e i stand til at yde 850 W ved en stømstyke på 0 A. Hvilken effekt kan appaatet yde ved en stømstyke på 6 A? c) Ved måling fa en umstation (dvs. udenfo Jodens atmosfæe, som på foskellig vis absobee ståling) kan intensiteten af Solens ståling måles. En vædi fo denne intensitet e 80 W/m. Jodens (umstationens) afstand fa Solen e ca.,5 0 m, og Solens adius e 6, m. Beegn ovefladetempeatuen på Solen. (Vejledning: Antag, at de ikke absobees noget af den ståling, som folade Solens oveflade, fø den e kommet ud i en afstand, de svae til Jodens afstand fa Solen. Stålingen e blot spedt ove et støe omåde/aeal. Anvend afstandskvadatloven og Stefan-Bolzman s lov). Eksempel.4.5. a) Vi betagte et lod, som e ophængt i en sno. Hvis loddet sættes i svingninge lige fem og tilbage uden at køe i ing, og hvis udsvingene (udsvingsvinklene) ikke e fo stoe, så vise man i fysik, at svingningstiden T i sådan en bevægelse e givet ved:

85 T = π hvo g e tyngdeacceleationens støelse (g = 9,8 m/s i Danmak), og hvo l e længden af snoen (kaldet pendullængden). Vi se demed, at T som funktion af l e en potentiel vækstfunktion på fomen: T(l ) = konst. l Det bemækes, at svingningstiden natuligvis blive støe, nå længden blive støe, men også at svingningstiden ikke afhænge af loddets masse, hvilket måske nok kan oveaske!! b) Et lod hænge i en fjede og svinge op og ned imellem to ydepositione s ma og s ma (se figu.4.4). Afstanden fa ligevægtspunktet 0 til et af ydepunktene kaldes svingningens amplitude. l g Fig..4.4 m I fysik vises det, at svingningstiden T fo denne bevægelse e givet ved: T = π, k hvo m e massen af loddet, og hvo k kaldes fjedekonstanten. k fotælle noget om, hvo stiv fjedeen e: jo støe vædi af k, desto støe stivhed. Det bemækes, at jo stivee en fjede, desto minde e T, og demed desto hutigee foegå svingningene og det synes imeligt. Det bemækes ligeledes, at jo støe masse loddet ha, desto støe blive svingningstiden og også det lyde fonuftigt. Deimod ses det, at svingningstiden ikke afhænge af amplituden i svingningen, hvilket måske kan vike lidt oveaskende!! Hvis vi betagte en given fjede (og demed en given k-vædi), så se vi, at svingningstiden som funktion af den svingende masse e en potentiel vækstfunktion på fomen: T(m) = konst. m Øvelse.4.6: a) Udfø det i eksempel.4.5 a) omtalte ekspeiment. Pøv med 5-6 foskellige længde og mål fo hve længde tiden fo 0 hele svingninge, hvoefte svingningstiden T kan bestemmes. Opstil sammenhøende vædie af længde og svingningstid i en tabel og pøv at eftevise v.hj.a. dobbeltlogaitmisk papi og/elle potentiel egession, at T(l ) = konst. l b) Udfø det i eksempel.4.5 b) omtalte ekspeiment. Pøv med 5-6 foskellige masse, anvend en ikke fo stiv fjede og mål fo hve længde tiden fo 0 hele svingninge, hvoefte svingningstiden T kan bestemmes. Opstil sammenhøende vædie af masse og svingningstid i en tabel og pøv at eftevise v.hj.a. dobbeltlogaitmisk papi og/elle potentiel egession, at T(m) = konst. m

86 Øvelse.4.7. I denne øvelse vil vi undesøge et såkaldt fit fald ved at udføe ekspeimentet og analysee på de målte data. Et fit fald betyde, at et legeme falde i tyngdefeltet uden nogen anden påvikning end tyngdekaften. De skal defo væe tale om et fald, hvo vi kan se bot fa luftmodstanden, hvomed vi i denne sammenhæng ikke kan betagte faldet af f.eks. et stykke papi elle en plasticpose. Vi vil se på faldet af et metallod, en metalkugle, en und sten elle lign. Fosøget kan laves mee elle minde sofistikeet afhængig af, hvilket appaatu man ha til ådighed (man kan f.eks. benytte fotocelle, elektonisk egisteing af faldtide osv.). Men vi vil he se på fosøget i den appaatumæssigt simplest mulige udgave hvo de buges et langt målebånd, et stopu (f.eks. på en mobiltelefon) og en tappeopgang (elle vindue i foskellig højde). Udmål foskellige faldlængde (mindst 4 foskellige, gene flee), lad stenen elle kuglen falde (blot giv slip) samtidig med at tidtageen åbe Nu, nå uet states, og mål faldtiden. Undesøg om de e en potentiel sammenhæng mellem faldtiden og faldstækningen. Teoetisk foventes det, at de gælde: s(t) = g t, hvo s e faldstækningen, t e faldtiden og g e tyngdeacceleationen (g = 9,8 m/s i Danmak), dvs. teoetisk foventes, at s(t) = 4,9 t. Hvodan stemme de målte esultate oveens med denne foventning? Pøv at finde åsage til eventuelle afvigelse (hvad kan gå galt i fosøget). Øvelse.4.8. Planetene i voes solsystem otee egelmæssigt om Solen med en bestemt omløbstid, som afhænge af planetenes afstand til Solen. Planetene fastholdes i banen om Solen af gavitationskaften imellem planet og Sol (jf. eksempel.4. e)). Afstande i Solsystemet måles typisk i såkaldte astonomiske enhede (AE), hvo AE e lig med Jodens middelafstand til Solen (bemæk, at planetbanene om Solen ikke e helt cikulæe, men ha fom som en ellipse). De e målt følgende sammenhæng mellem planetenes omløbstid T oml om Solen og dees middelafstand til Solen: Planet Meku Venus Joden Mas Jupite Satun Uanus Neptun Pluto T oml (å) 0,4 0,65,00,88,86 9,4 83,75 63,7 48,0 (AE) 0,387 0,73,000,54 5,03 9,555 9,8 30,0 39,545 a) Agumenté fo på baggund af disse data, at de med meget god tilnæmelse gælde, at = k T oml /3 Middelafstanden som funktion af omløbstiden e altså en potentiel vækstfunktion. Astonomen og matematikeen Johannes Keple (57 630), som i nogle å abejdede som assistent fo den danske astonom Tycho Bahe (som i øvigt abejdede i Pag i disse å), avede efte Tycho Bahes død hans meget nøjagtige optegnelse bl.a. ove planetenes bevægelse og på baggund af disse optegnelse fandt han følgende pæne sammenhæng: planetenes omløbstid i. potens e popotional med dees middelafstand i 3. potens (Dette kaldes Keples 3. lov). b) Agumenté fo, at den unde pkt. a) fundne sammenhæng mellem middelafstand og omløbstid kan omfomes til at give Keples 3. lov. c) Bestem middelafstanden i AE til Halleys komet, som også otee omking Solen, idet T oml fo kometen e 76,0 å.

87 Biologi og medicin Eksempel.4.9. Ved en teoetisk undesøgelse af foskellige dys og menneskes kopsstøelse vudees bl.a. sammenhængen mellem stofskiftet og kopsvægten. Den kemiske enegi, som en given oganisme optage, buges dels til poduktion af vævscelle, dels til ande enegikævende pocesse som f.eks. opetholdelse af den inde tempeatu og udføelse af mekanisk elle kemisk abejde (f.eks. nå en am bøjes, elle nå de foegå en aktiv tanspot af stoffe fa omåde med lavee til omåde med højee koncentatione). Stofskiftepocessen ha således mange afdelinge, som vanskeligt kan måles hve fo sig. Man samle defo det hele i begebet espiation. Idet ilt indgå som det væsentligste led i stofskiftepocessene, kan espiationen måles ud fa den hastighed, hvomed den af lungene optagne ilt omsættes. Ved indtegning i et dobbeltlogaitmisk koodinatsystem ha man empiisk (dvs. efaingsmæssigt) fundet, at (hvile-)iltoptagelsen V ilt p tidsenhed kan beskives ved: 0.74 V ilt = k M hvo M e kopsvægten (målt i kg), og hvo k e en konstant. k e ca. lig med 0,0, nå V ilt måles i lite p. minut og M (som omtalt) måles i kg. Denne elation gælde fo dy med meget stoe foskelle i støelse lige fa en mus til en elefant. Vi se heaf, at stofskiftet p. kopsvægtenhed (V elativ ) e givet ved: Vilt 0,6 V elativ = = k M M Vi se således, at små dy skal have et meget højee stofskifte p. kopsvægtenhed end stoe dy 0,6 (idet M e aftagende, jf. sætning.6.4). Det e da også velkendt, at en mus hve dag skal spise mee, end den selv veje. Da fedtvæv e inaktive i stofskiftepocessen (idet fedtvæv stot set ikke e enegikævende), skal ovenstående betagtninge egentlig koigees til følgende: V ilt = k (M m) hvo m e massen af de inaktive fedtvæv, og e en konstant. Fo menneske af foskellig støelse og alde ha man fundet, at konstanten e ca. lig med 0,7. Øvelse.4.0. I nedenstående tabel ses sammenhængen mellem nogle pattedys kopsvægt M og hjetevægt H. Indtegn sammenhængende vædie i et dobbeltlogaitmisk koodinatsystem (da det næppe e muligt at skaffe et dobbeltlogaitmisk papi med 5 dekade, kan punktene (lnm, lnh) indtegnes i et almindeligt koodinatsystem). Mus Rotte Hae Hund Menneske Hest M gam H gam 0, 0, Agumenté fo, at de med god tilnæmelse gælde, at H = 0,0065 M 0,99 Udfø samme beegning v.hj.a. potentiel egession. Bemæk, at hjetets masse ifølge udtykket H = 0,0065 M 0,99 paktisk talt udgø en konstant bøkdel af kopsvægten, uanset dennes støelse.

88 - 9 - Eksempel.4.. Til en hutig klassificeing af en voksen pesons eventuelle ovevægt kan man anvende det såkaldte body mass inde (BMI), som beegnes ved at pesonens vægt m (målt i kg) dividees med pesonens højde h (målt i m) opløftet i. potens, altså: m BMI = h hvoefte den fundne vædi sammenholdes med den følgende goft inddelte tabel, som give nogle ovevægtskategoie på baggund af BMI-vædien: Nomalvægt Ovevægt Fedme Svæ fedme 0 < BMI 5 5 < BMI < BMI < BMI Hvis en peson veje 03 kg og e,8 m høj, så e vedkommendes BMI lig med 3,4 (kontollé) Den pågældende peson må da i henhold til klassificeingsmodellen betegne som fed. Lad os state med at konstatee, at fo pesone med en given vægt (dvs. med samme vædi af m) e BMI en potentiel vækstfunktion af pesonenes højde: BMI(h) = m h. Lad os denæst se lidt på modellens bugbahed/tovædighed/fuldstændighed. De e ingen tvivl om, at hvis man f.eks. veje 85 kg, så gælde de, at jo højee man e, desto minde ovevægtig må man vudees at væe, hvilket stemme fint oveens med funktionsfoskiften fo BMI(h), som angive en aftagende funktion. Men de e tilsyneladende ingen begundelse fo, at eksponenten på h skal væe. Det kunne f.eks. væe,6 elle,3. Tilsvaende e det klat, at hvis man f.eks. e,67 m høj, så gælde de, at jo mee man veje, desto mee ovevægtig må man vudees at væe, hvilket stemme fint med, at massen indgå i tælleen i BMI-fomelen. Men som fø e de ingen begundelse fo, at eksponenten på m skal væe. Det kunne f.eks. væe m,3 elle m 0,7 som også e voksende funktione af massen. Denæst komme vædiene, som adskille de foskellige ovevægtskategoie (dvs. BMI-vædiene 0, 5, 30 og 40). Disse e valgt på baggund af empiiske (efaingsbaseede), men subjektive vudeinge af hvonå en peson e ovevægtig, fed osv. og det e vel i et vist omfang en skønssag. De e i denne sammenhæng en kosmetisk, en helbedsmæssig og en psykologisk synsvinkel at tage højde fo. Endelig skal det bemækes, at de ikke i modellen tages højde fo kopsbygning, køn og alde (botset fa at man skal væe voksen (altså udvokset) typisk ove 8 å). Man kunne f.eks. udbygge modellen med en fakto fo hve af disse støelse: α, som beskive kopsbygningen. α kunne f.eks. ligge i intevallet [ 0,9;, ], hvo den mindste vædi buges ved kaftigt byggede pesone og den støste vædi buges ved spinkelt byggede. Fastsættelsen af denne vædi kæve natuligvis en vudeing, som kun kan væe delvis objektiv. β, som beskive køn (hvis det altså vudees imeligt at skelne imellem kønnene i denne sammenhæng): Man kunne f.eks. sætte β = 0,95 fo mænd og β = fo kvinde?! γ, som beskive aldeen (hvis det altså skønnes imeligt at skelne mellem foskellige alde i denne sammenhæng). Man kunne f.eks. sætte γ lig med hhv., 0,98, 0,96, 0,94, 0,9 og 0,90 afhængig af, om man e i aldesguppen 8-8 å, 8-38 å, å, å, å elle ove 68 å. Alt i alt ville modellen defo se således ud: BMI = α β γ m h q p, hvo p og q e positive tal.

89 - 9 - Dette ville givet gøe modellen mee koekt, men de ville stadigvæk væe subjektive elemente involveet i modellen, nemlig dels i fastlæggelsen af vædiene α, q og p, dels i gænsene fo BMIvædie og de detil knyttede klassificeingsnavne/ovevægtsbenævnelse. Men modellen ville væe meget mee kompliceet at buge og fostå i paksis. Så på tods af sine svaghede ha den føst beskevne BMI-model altså også nogle styke (nem at fostå og nem at buge). Modellen må betegnes som en elevant tommelfingeegel, som bestemt e bede end ingenting, men som ikke må anvendes ukitisk, og som ikke kan stå alene. Bemæk: Den bedste badevægt e og blive et spejl! Øvelse.4.. En kendt tommelfingeegel til beegning af en pesons idealvægt e følgende: Fo de føste 5 cm af pesonens højde medegnes 50 kg, hvoefte de lægges kg til fo hve cm pesonen e ove 5 cm. E man f.eks. 68 cm høj, så e idealvægten 66 kg (kontollé), hvis man vel og mæke e en peson med nomal kopsbygning. E man spinkelt bygget, tækkes de 0 % fa, nå idealvægten bestemmes, og e man kaftigt bygget, lægges de 0 % til. a) Beegn idealvægten fo en 83 cm høj peson med spinkel kopsbygning. b) Beegn idealvægten fo en 55 cm høj peson med kaftig kopsbygning. c) Bestem BMI fo de te omtalte pesone i denne opgave (68 cm, 83 cm og 55 cm høje). Ha de nomalvægt i hht. BMI-modellen? Økonomisk-afsætningsmæssige fohold Ved en viksomheds afsætning af en given vae (et givet podukt) fostå vi antallet af vaeenhede, som viksomheden kan sælge på et givet maked (indenfo et bestemt tidsum). Hvis vi f.eks. se på viksomheden Bød & Kage A/S, som p. måned kan sælge 000 pose af dees podukt Søde Småting på det danske maked, så e viksomhedens afsætning på det danske maked af poduktet altså 000 stk. p. måned. En viksomheds afsætning af en given vae på et givet maked afhænge af mange ting, bl.a. af vaens pis, vaens kvalitet, den eklameindsats viksomheden ofe fo vaen på makedet, konkuencen på makedet, makedets demogafiske stuktu, salgskanalene (hvem sælge vaen) og evt. sæsonfohold. Vi vil imidletid hé i dette kote afsnit kun se på pisens betydning fo afsætningen. Botset fa helt specielle fohold/vae må det gælde, at jo højee pisen e, desto fæe vae kan de afsættes på makedet. Afsætningen q som funktion af pisen p e altså en aftagende funktion. Den simpleste model til beskivelse heaf e en lineæt aftagende funktion. En sådan model e imidletid ofte fo simpel, bl.a. hvis man se på et elativt stot pisinteval fo vaen, og/elle hvis man se på vae, hvo afsætningen e sæligt følsom ovefo pisændinge. I sådanne tilfælde kan en model af typen: afsætningen falde med en bestemt pocentdel, nå pisen øges med en bestemt pocentdel ofte væe væsentlig mee elevant at anvende. Dette betyde ifølge sætning.6.4 og sætning.6.7 at (aftagende) potentielle vækstfunktione, dvs. funktione af typen: q(p) = b p a komme på banen, hvo a og b e positive tal. Ved en viksomheds omsætning Oms fo en given vae på et givet maked fostås afsætningen q gange pisen p, dvs. antallet af kone (elle anden møntenhed) som viksomheden få ind ved salget af vaen igen indenfo et vist tidsum. Vi ha altså, at: Oms = q p, og da q e en funktion af p, blive Oms også en funktion af p. Hvis vi specielt ha den potentielle model q(p) = b p a, så få vi, at Oms(p) = q(p) p = b p a+, altså også en potentiel vækstfunktion.

90 Eksempel.4.3. Vi se igen på viksomheden Bød & Kage. Viksomheden kan p. halvå afsætte 000 stk. Søde Småting, hvis pisen e k. p. stk. Desuden vise efaingen med ande tilsvaende podukte, at afsætningen falde med 8 %, nå pisen foøges med 6 % - og viksomheden buge dette som model fo Søde Småting. Som omtalt ovenfo vil en foskift fo afsætningen som funktion af pisen have udseendet: q(p) = b p a og ifølge sætning.6.4 3) gælde de (kontollé), at ln( + ( 0,08)) ln(0,9) a = a = a =,43 ln( + 0,06) ln(,06) Fo at finde vædien af b anvendes, at q() = 000, hvo af vi finde (kontollé!), at b = Den søgte funktionsfoskift e altså: q(p) = p,43 Gafen fo afsætningsfunktionen se således ud: Afsætning (stk.) Fo omsætningen Oms(p) gælde, at: Oms(p) = q(p) p = p 0,43 Vi se, at Oms() = k., hvilket (natuligvis) svae til: 000 stk. k./stk = k. Vi vende i kapitel 4 tilbage til dette eksempel. 0 Fig Pis (k.) Øvelse.4.4. a) Bestem afsætning og omsætning i eksempel.4.3, hvis pisen p. stk. e 8 k. hhv. 8 k. b) Bestem pisfunktionen, dvs. p som funktion af q (altså den omvendte funktion til q(p)) og udtyk i od, hvad denne funktion beskive. Øvelse.4.5. I en støe by e det ugentlige antal buspassagee med det kommunale tafikselskab afhængig af den gennemsnitlige billetpis. Passageantallet e bl.a. p.g.a. konkuence fa undegundsbanen og fa et pivat busselskab meget følsomt ovefo pisændinge. Det ha vist sig, at passagetallet falde med 6,5 % hvis pisen foøges med 5 %, samt at det ugentlige passageantal e , nå billetpisen e k. a) Bestem passageantallet A(p) som funktion af billetpisen p. b) Bestem den elative ænding i passageantallet, hvis billetpisen foøges med 9 %. c) Bestem den elative ænding i omsætningen, hvis billetpisen foøges med 9 %. d) Kommenté esultatene.