MATEMATIK på Søværnets officerskole

Transkript

1 MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK på Søvænets officeskole (opeativ linie). udgave 9

2 FORORD Bogen gennemgå det pensum, som e beskevet i fagplanen af 9. Det e en foudsætning, at de studeende ha et solidt kendskab til det matematiske pensum, de findes i læebogen P. Madsen: Teknisk Matematik kapitlene til Ha man ikke denne bog kan man på intenettet på hjemmesiden lasen-net.dk gatis hente læebogen Mogens Oddeshede Lasen: Matematik fa C til A- niveau. He svae pensum nogenlunde til kapitlene - 5 +afsnit 6. og 6.. (sidene til 6) Selv om avanceede matematiklommeegnee let kan educee selv de vanskeligste udtyk, og løse selv meget kompliceede ligninge osv. så vise efaingen, at det e meget svæt, at anvende matematikken, hvis man ikke e i stand til at manipulee med simple udtyk. Det blive også næsten umuligt at læse en teknisk tekst elle høe et foedag, hvoi de indgå nogen matematik, hvis man ikke i imelig gad beheske symbolikken. Anvendelse af lommeegne. De foudsættes, at man ha ådighed ove en matematiklommeegne (he TI89). Denne e en avanceet minicompute, og det e en del af pensum, at man læe at anvende den på foskellige poblemstillinge. Eksemplene e dog ofte egnet både med og uden bug af lommeegne. Opgave e anføt efte hvet kapitel. En facitliste til disse opgave findes bagest i bogen. august 9 Mogens Oddeshede Lasen ii

3 Indhold INDHOLD Vektoe i planen. Indledning.... Definitione....3 Vektos koodinate Skalapodukt Retningsvinkel, polæe koodinate Vinkel mellem vektoe Tvævekto, Deteminant... 9 Opgave til kapitel... Rumgeometi. Vektoe i ummet.... Koodinatsystem i ummet Skalapodukt Linie i ummet Vektopodukt....6 Plane i ummet Polyede, cylinde, kegle og dees umfang Kuglen... 3 Opgave til kapitel Sfæisk geometi 3. Gundbegebe Sfæisk tekant Sfæiske koodinate, polatekant Gundfomle fo en vilkålig sfæisk tekant Den etvinklede sfæiske tekant De 6 tekantstilfælde Navigationsfomle Opgave til kapitel iii

4 Indhold 4 Standadfunktione 4. Funktionsbegebet Potensfunktione Polynomie Eksponential- og potensfunktione Eksponentialfunktion Logaitmefunktion Nogle anvendelse af logaitme- og eksponentialfunktione Tigonometiske funktione Indledning Definition af sinus og cosinus Peiodicitet Relatione mellem tigonometiske funktione Svingninge Opgave til kapitel Regession 5. Indledning Lineæ model Bestemmelse af egessionsligning Vudeing af om model beskive data godt Eksemple på lineæ egession egnet på TI Opgave til kapitel Diffeentialegning 6. Indledning Gænsevædi og kontinuitet Gænsevædi Kontinuitet Diffeentialkvotient Regneegle fo diffeentialkvotiente Diffeentiation af standadfunktionene Højee afledede Funktionsundesøgelse Nogle anvendelse af diffeentialegning Optimeing... iv

5 Indhold 6.8. Kinematik Indledning Jævn etlinet bevægelse Ikke etlinet bevægelse Økonomi... 8 Opgave til kapitel Integation 7. Indledning Ubestemt integal Integationsegle Bestemt integal Numeisk integation Rumfang af omdejningslegeme Tyngdepunkt af homogent plant omåde... 4 Opgave til kapitel Appendix Beegninge foetaget på lommeegne... 8 Facitliste... 3 Stikod v

6 .. Definitione Vektoe i planen. Indledning Som indledning til umgeometien epetees he kot de væsentligste definitione fa vektoe i planen. Bevisene e ofte udeladt, men kan findes i læebogen Matematik fa C til A niveau de kan findes på nettet (se foodet) Specielt gennemgås vektoe givet i polæe koodinate... Definitione Ved mange målinge og beegninge e man blot inteesseet i at opnå et tal som esultat. Man sige også, at esultatet e en skala. Dette gælde eksempelvis ved måling af en masse ( kg) elle en afstand (5 m). Ofte e tallet fosynet med en enhed. I ande tilfælde e man ikke alene inteesseet i et tal som esultat, men også i en etning. Dette gælde eksempelvis hvis man vil angive et skibs hastighed, som jo både e den etning skibet sejle i, og dens fat. Dette ske nomalt ved pile som både ha en etning og en længde (se figuen). Et andet eksempel e de kæfte de påvike et legeme. Også he ha man behov fo både at angive kaftens etning og dens støelse. Det e netop egning med sådanne 'pile', vil skal se på i dette kapitel. Definition: Mængden af alle liniestykke med samme længde og samme etning kaldes en vekto. Hve af disse oienteede liniestykke kaldes en pil, og hve pil kaldes en epæsentant fo vektoen. Vektoe betegnes med små bogstave med en pil ove eksempelvis a. Hvis vektoen ha begyndelsespunkt i A og endepunkt i B betegnes den AB a b b a Fig.: Vektoe På figu. e a = AB = CD og b = EF = GH, mens a b (da de ha foskellig etning).

7 . Vektoe i planen Længden af vektoen a = AB skives a og definees som længden af liniestykket AB. Nulvektoen e en vekto med længden. Egentlig vekto: Vekto de ikke e nulvektoen Vektoaddition. Lad a og b væe to egentlige vektoe. Vektoen a+ b definees på følgende måde. Et vilkåligt punkt A vælges som begyndelsespunkt fo a. Lad B væe endepunkte fo a. Deefte afsætte vi b med begyndelsespunkt i B. Endepunktet fo b kaldes C (se figu.). Vektoen a+ b e da defineet som vektoen med begyndelsespunkt i A og endepunkt i C. Indskudssætningen: AC = AB+ BC (kaldes således, da B e skudt ind mellem A og C) a b a a+ b a+ b a+ b b Fig. Vektoaddition Kæftenes paallelogam. En anden måde at konstuee summen af a og b e ved at afsætte de to vektoe med samme begyndelsespunkt (på figu. i punktet D). Vektoen a+ b e da diagonalen i det af a+ b udspændte paallelogam. Hvis a og b va kæfte de påvikede et legeme i punktet D, så e a+ b den esulteende kaft. Det ses umiddelbat af en figu, at de gælde a+ b = b + a og a+ ( b + c) = ( a+ b) + c Disse egle bevike, at man egneeglene fo addition af eelle tal og fo vektoaddition blive de samme. Man kan således hæve og sætte plus paentese efte behag.

8 .. Definitione Vektosubtaktion Fo eelle tal gælde som bekendt, at 6-4 e det tal de lagt til 4 give 6, elle 4 + (6-4) = 6. På samme måde skal det gælde, at b + ( a b) = a. På figu.3 e a og b afsat med samme begyndelsespunkt. a b e da den vekto, de ha begyndelsespunkt i b s endepunkt og endepunkt i a s endepunkt. a b a a b b Fig.3 Vektosubtaktion Multiplikation med tal Definition: Lad a væe en egentlig vekto og t væe et eelt tal. Vektoen t a e da bestemt ved: Hvis t > : t a og a e ensettede og t a e t gange så lang som a. Hvis t < : t a og a e modsat ettede og t a e t gange så lang som a. Hvis t = : a =. a a b b b Fig..4 Multiplikation med tal Specielt ses, at ( ) a e vektoen de e modsat ettet a og lige så lang som a. Den benævnes kot a. Fo multiplikation af vektoe med tal gælde se sædvanlige egneegle som vi e vant til fa tal. Eksempelvis ( a + 3b ) 4( 3a b ) = a + 6b a + 8b = a + 4b Ved en enhedsvekto e fostås en vekto med længden a Enhedsvekto e ensettet med en given vekto a e e = a a Hvis eksempelvis a ha længden 5, så e en enhedsvekto i a s etning e =. 5 3

9 . Vektoe i planen.3 Vektoes koodinate Lad i et koodinatsystem punktene O, E og F have koodinatene O = (,), E = (,) og F = (,). Vektoene i = OE, j = OF kaldes koodinatsystemets basisvektoe (jævnfø figu.5) En vekto a kan nu skives a = a + a hvo e paallel med x - aksen og ay e paallel med x y a x y - aksen. Da a x e paallel med i findes de et tal a, så ax = ai hvo tallet a e entydigt bestemt. Analogt haves ay = a j Vi ha defo a = ax + ay = ai + aj Vi sige, at vektoen a ha koodinatene (a, a ). Fo at kende foskel på punktes og vektoes koodinate, vælge man ofte at skive vektoens a koodinate lodet : a =. a a x j a ay a j i Fig..5. Basisvektoe j i 3 i a = 3 i + j = 3 Fig..6. Vektos koodinate Regning med koodinate a Sætning.. Lad a = og b b = a b Da gælde a + b a b ta a+ b = a b = t a = a + b a b,, ta Bevis: a = a i + a j, b = b i + b j a a+ b = ai + a j + bi + b j = ( a + b) i + ( a + b) j = a På ganske samme måde bevises de to ande fomle. + b + b 4

10 .3 Vektoes koodinate Eksempel.. Regning med vektoe Lad de væe givet a = og b = Find koodinatene til a+ 5b Løsning: a+ b = ( ) + = = TI-89: *[-,3]+5*[3,5] Resultat [ 3] Stedvekto Lad P=(x, y) væe et punkt i planen og O=(,). Vektoen OP kaldes stedvektoen til punktet P. Det ses umiddelbat af figu.7, at stedvektoen punktet P ha samme koodinate. OP og Fig.7. Stedvekto Sætning.. Koodinate fo vekto givet ved to punkte Lad punktet A= (a, a ) og punktet B = (b, b ). b a De gælde da, at vektoen AB = b a Bevis: Af indskudseglen fås: OB = OA+ AB AB = OB OA Da OB og OA e stedvektoe, ha de samme koodinate som A og B. Heaf fås b a b a AB = OB OA = b = a b a Eksempel.. Koodinate fo vekto givet ved punkte Lad punktene A = (5,) og B = (-3, 6). Find koodinatene til vektoen AB. Løsning: AB = 3 5 =

11 . Vektoe i planen Vektos længde. Sætning.3. Længde af vekto a a = a + a, hvo a =. a Bevis: Vektoene ai og a j danne sammen med a en etvinklet tekant med a som hypotenuse (se figu.8). Da længdene af katetene e ai = a og ai = a fås af Pythagoas sætning: a = a + a a = a + a Eksempel.3 Længde af vekto ) Find længden af vektoen a = 3. 4 ) Find en enhedsvekto e ensettet med a. Løsning: ) a = ( 3) + 4 = 5 ) 3 5 a e = = a 4 5 TI 89: ) ((-3)^+4^) elle nom([-3,]) (nom kan findes unde CATALOG) ) unitv([-3,4]) (unitv angive enhedsvekto og kan findes unde CATALOG).4 Skalapodukt. Vi vil nu definee et podukt af vektoe, hvo esultatet e et tal (en skala). Definition af skalapodukt. a Ved skalapoduktet (også kaldet pikpoduktet ) af vektoene a = og fostås b b = a b tallet a b = a b + a b. Eksempel.4. Skalapodukt Lad de væe givet a = og b = Find skalapoduktet a b. Løsning: a b = ( ) = 9 TI89: CATALOG\ dotp([-,],[3,5]) 6

12 De gælde følgende egneegle fo skalapoduktet:.5 Retningsvinkel, polæe koodinate Sætning.4. Regneegle fo skalapodukt () a b = b a () a ( b + c) = a b + a c (3) ( ta) b = a ( tb) = t( a b) (4) a = a a = a (sammenhæng mellem længde og skalapodukt) Bevis: Alle egle bevises ved koodinategning, efte samme metode som nedenfo bevist: a Lad a =, og b b = a c c = b c () a b = ab+ ab, b a = ba + ba. Da de to side e ens e () bevist. Regneeglene (), () og (3) svae ganske til de man kende fa almindelige tal, så vi kan defo tillade os at benytte samme metode ved udegning. a b a b a b a b = = + a b Eksempelvis ha vi ( ) ( )( ) ( ) Heaf fås a b = ( a b) a + b a b = a b a b. Da længden af en vekto e den samme uanset hvilket koodinatsystem de abejdes ( blot man ha samme enhed) så vise ovenstående, at skalapoduktets vædi også e uafhængigt af koodinatsystemet..5 Retningsvinkel, polæe koodinate Lad a væe en egentlig vekto. Vi ha tidligee vist, at en enhedsvekto e i samme etning a e givet ved a e =. Heaf fås a = a e a Hvis vi afsætte e med begyndelsespunkt i (,) vil endepunktet P ligge på enhedsciklen (se figu.8). j e i a Fig..8 Retningsvinkel Lad e danne vinklen v med den positive del af x - aksen. Punktet P få da koodinatene (cos v, sin v). Da en stedvekto ha de samme koodinate som punktet e e = cos v sin v a Vi ha demed a = a e = a. cos v = cos v sin v a sin v 7

13 . Vektoe i planen Vinklen v fa x - aksens positive del til a s etningsvekto kaldes a s etningsvinkel og egnes med fotegn sædvanligvis i intevallet [-8 ; 8 ] elle i intevallet [ ; 36 ] Man sige også, at punktet P ha de polæe koodinate OP,v. Da det e ganske besvæligt med håndkaft at egne i polæe koodinate, vil man sædvanligvis benytte en lommeegne som TI-89 til det. Eksempel.5 Regninge i polæe koodinate med TI89 5 ) Omegn vektoen til polæe koodinate ) Omegn vektoen til etvinklede koodinate 3) Udegn 3, i polæe koodinate Løsning: ) [5,] Pola ( Pola kan findes unde CATALOG) Resultat: [ ] ) [5.4,.8] ( findes ove EE) Resultat: [5..] 3) [3.6, 5] + [6., ] Pola Resultat: [ ] Eksempel.6. Regning i polæe koodinate Et skib sejle i 4 time fa punktet A til punktet B med en begyndelseskus på 34 og en fat på 6 knob. I B ændes kusen til 3. Man sejle med uændet fat videe i 5 time, hvoefte man e nået til punktet C a) Hvo mange sømil ha skibet sejlet fo at komme fa A til C. b) Angiv kusen i A, hvis man i stedet diekte havde sejlet diekte fa A til C, og angiv af antal sømil man ha sejlet. Løsning: a) Skibet ha sejlet 6 ( 4 + 5) = 44 sm b) I polæe koodinate haves AB = ( 4 6, 34) og BC = ( 56, 3) Heaf fås AB+ BC = AC dvs. [64, 34] + [8, 3] Pola = [35.43, - 4.3] Kusen e = og antallet af sømil e sm.6 Vinkel mellem vektoe Hvis a og b e egentlige vektoe, danne de en vinkel v med hinanden. Vi vil he altid egne vinkle som placeet i intevallet [ ; 8 ] (elle [; π] ). Vi egne altså ikke he vinkle med fotegn. Sætning.5. Vinkel mellem vektoe Hvis a og b e egentlige vektoe og v e vinklen mellem dem gælde cos v = Bevis: Kan ses i læebog Fa C til A a b a b 8

14 Eksempel.7. Vinkel mellem vektoe Find vinklen mellem vektoene a = b 5 3 og = Løsning: a = 5 + = 9 b = 3 + ( ) = 3 a b = 53 + ( ) = a b cos v = = = a b 9 3 v = a b TI 89: Idet cos v = = ea eb, hvo ea og eb e enhedsvektoe fås a b.7 Yvævekto, deteminant cos - ( dotp(unitv([5,]),unitv([3,-]))) hvo de enkelte vektoode findes i CATALOG elle ved MATH, MATRIX, L: Vecto ops To vektoe siges at væe otogonale hvis vinklen mellem dem e 9 Af sætning.5 følge:.7 Tvævekto, deteminant. a b = a b Definition af tvævekto. Ved tvævektoen $a til en egentlig vekto a fostås den vekto, de femkomme ved at deje a 9 i positiv omløbsetning (d.v.s. mod uet). Specielt gælde, at i et sædvanligt koodinatsystem e $i = j. Sætning.6. Tvævektos koodinate. a Lad a = væe en egentlig vekto. Tvævektoen ha da koodinatene. a $a $a = a a Bevis: se læebog fa C til A Eksempel.8. Tvævekto Find tvævektoen til vektoen a = 5 Løsning: $a = 5 b a 9

15 . Vektoe i planen Definition af deteminant. Ved deteminanten fo vektopaet ( ab, ) fostås tallet det ( ab, ) = a$ b a E a = og blive det b b = a (, ) $ a b ab = a b= ab ab b a = b Man buge en speciel skivemåde fo deteminanten fo et vektopa, nemlig et kvadatisk talskema med a som føste søjle og b som anden søjle. det(, a b ab) = = ab ab a b Eksempel.9. Beegning af deteminant. Lad a = b. Beegn deteminantene det og det. 3 = og (, ab ) ( ba, ) 4 Løsning: det (, 3 3 ab) = = ( ) = 4, det ( ba, ) = = = TI 89: CATALOG: det([3,;-,4]) Sætning.7. Aeal af paallelogam. Lad a og b væe to egentlige ikke-paallelle vektoe. Lad endvidee d= det( ab, ), v væe vinklen mellem a og b og A aealet af det paallelogam, som a og b udspænde. De gælde da: A = d = a b sin v. Bevis: Se læebog fa C til A. Eksempel.. Aeal af tekant Lad A=(5,), B=(6,-) og C=(3,-4). Find aealet af ABC. Løsning: Vi finde AB = og AC =. 3 5 Da deteminanten 5 6, ha det paallelogam de udspændes af vektoene 3 5 = = AB og AC aealet T =. Vi ha følgelig, at ABC s aeal = = 55.

16 Opgave til kapitel Opgave til kapitel. Løs ligningen x = x 4 4. a) Skiv a = på polæ fom. 3 b) Find de polæe koodinate fo punktet P = (, -3) c) I polæe koodinate e Q = (5, 46 ). Angiv Q s koodinate på ektangulæ fom d) Beegn (6, ) + (4, -3 ) i polæe koodinate..3 AB ha begyndelsespunkt A = (3,-), længden 6 og etningsvinklen 33. Bestem med 3 decimale koodinatene til B..4 Et skib sejle i 3 time fa punktet A med en begyndelseskus på 3 og en fat på 5 knob. (en kus e vinklen i fohold til nod (y-aksen) egnet positiv med uet, og knob e sømil/time) Heefte ændes kusen med i sydlig etning (med uet) og faten ændes til knob. Efte 4 times sejlads med den nye kus nås til punktet C. a) Hvo mange sømil ha skibet sejlet fo at komme fa A til C. b) Angiv kusen i A hvis man i stedet diekte havde sejlet diekte fa A til C, og angiv af antal sømil man ha sejlet..5 Bestem vinklen mellem vektoene a = b 5 = 9 og.6 Bestem vinklene i ABC, nå A = (7,8), B = (-5,) og C = (8,-).7 a) Vis at punktene A = (-,), B = (-,-), C = (4,) og D = (3,5) udspænde et paallelogam. b) Find den spidse vinkel mellem diagonalene..8 Lad A = (-,), B = (,5) og C = (,) Vis, at ABC e etvinklet, og bestem de to spidse vinkle i tekanten.

17 Rumgeometi. Rumgeometi. Vektoe i ummet. Vi vil i dette kapitel antage at epæsentantene fo vektoene e pile de e beliggende i det tedimensionale um. Et eksempel hepå kunne væe hastighedsvektoen fo en patikel i ummet. Definitionene i afsnit. (af længde, enhedsvekto osv.) og egneeglene i afsnit.3 (addition, subtaktion, multiplikation med tal) gælde også fo disse vektoe. Eksempel.. Paallelepipedum Ved et paallelepipedum ABCD-EFGH fostås et legeme begænset af paallelogamme (se figu.) Idet a = AB, b = AD og c = AE skal man udtykke diagonalvektoene AG, BH, EC og FD ved a, b og c. Løsning: Af indskudssætningen fås AG = AB+ BC+ CG = a + b + c BH = BA+ AD+ DH = a+ b + c EC = EA+ AB+ BC = a + b c FD = FE + EA+ AD= a c + b c b Fig... Paallelepipedum

18 . Koodinatsystem i ummet.. Koodinatsystem i ummet. Lad a, b og c væe 3 egentlige vektoe i ummet, som e tegnet med begyndelsespunkt i samme punkt, og som ikke ligge i samme plan. c De te vektoe a, b og c nævnt i denne ækkefølge siges at væe i højestilling, hvis følgende egel gælde: Omslutte man vektoen c med høje hånd (se figu.) og lade fingene følge undt samme vej som den mindste dejning, de føe a ove i b, vil tommelfingeen pege i c s etning. a Fig...Højestilling Et (sædvanligt) etvinklet koodinatsystem i ummet e givet ved et begyndelsespunkt O, og 3 enhedsvektoe (kaldet basisvektoe) som to og to stå vinkelette på hinanden. Basisvektoene benævnes sædvanligvis i, j og k og e i denne ækkefølge placeet i højestilling. De te oienteede linie de gå gennem O og ha i, j og k som etningsvektoe kaldes koodinatsystemets akse, og benævnes henholdsvis x, y og z - aksen. (elle (), () og (3) - aksen). k i j Fig..3. Koodinatsystem Punktet P pojicees ned i xy - planen i punktet Q. I xy - planen pojicees Q ind på x - aksen i R og på y - aksen i punktet S. Desuden pojicees P ind på z - aksen i punktet T. (jævnfø figu.3). Indskudseglen fo vektoe give OP = OQ+ QP = OR+ RQ+ QP = OR+ OS+ OT Da OR, OS og OT e paallelle med henholdsvis i, j og k fås OP = OR+ OS+ OT = xi + yj + zk. x Man sige, at P ha koodinatene (x, y, z) og vektoen OP = y. z 3

19 Rumgeometi Regning med vektoenes koodinate foegå på samme måde som det blev vist i det plane tilfælde. De gælde således b a Hvis A= ( a, a, a3) og B = ( b, b, b3), så e AB = b a og a = a + a + a3 b a 3 3 Tetaede Ved et tetaede fostås et legeme begænset af fie tekante (jævnfø figu.4). Ligesom en tekant e en gundlæggende figu i plangeometien e et tetaede en gundlæggende figu i umgeometien. Man kan vise, at umfanget V af et tetaede e V=, hvo G e gundfladens aeal og h e 3 Gh højden. Fig..4. Tetaede Eksempel.. Tetaede. I tetaedeet ABCD e A = (,,), B=(,4,) og C = (,,). Idet M e midtpunktet af BC, e D bestemt ved, at D ha positive koodinate, at DM stå vinkelet på xy - planen, og DM = 3 Skitse tetaedeet, og find D s koodinate. Løsning: Tetaedeet e skitseet på figu.5. Idet OM = OC+ CB = + == 4 3 fås D = (,3,3) k i j Fig..5. Skitse af tetaede 4

20 .3 Skalapodukt.3 Skalapodukt. Skalapodukt definees på ganske samme måde som i planen. Definition af skalapodukt: a b Hvis a = a og b = b e to vektoe i ummet, definees skalapoduktet a b ved a3 b3 a b = a b + a b + a b. 3 3 Fo skalapoduktet gælde defo egle, de e ganske mage til de tilsvaende i planen. Vi vil defo ikke gentage dem he, men henvise til afsnit 3.4, 3.6 og det følgende eksempel. Eksempel.3 Anvendelse af skalapodukt Givet punktene A = (,,-3), B = (, -, 3) og C = (3,4,5). ) Find skalapoduktet AB AC ) Find vinklen mellem AB og AC. Løsning: 3 AB = = 4, AC = 4 =. 3 ( 3) 6 5 ( 3) 8 ) AB AC = = 4 ) Vinklen mellem vektoe findes af fomlen i sætning.5. AB AC 4 7 cos v = = = = v = AB AC TI89: CATALOG ) dotp([,-4,6],[,,8]) Resultat 48 a b ) Idet cos v = = ea eb, hvo ea og eb e enhedsvektoe fås a b cos - ( dotp(unitv([,-4,6]),unitv([,,8]))) Resultat

21 Rumgeometi.4. Linie i ummet. Lad l væe en et linie i ummet, som gå gennem et fast punkt P og e paallel med en egentlig vekto l. Fo vilkålige punkte P på linien l og kun fo disse punkte vil de da gælde: PP = tl, hvo t e et eelt tal. Fo hve vædi af t (kaldet paameteen) svae de ét punkt på linien og omvendt. Af indskudssætningen fås OP = OP + P P OP = OP + t l OP = OP + t l, kaldes en paametefemstilling fo linien l, med paameteen t (som e et eelt tal). l kaldes liniens etningsvekto. k i j l Fig..6. Ret linie l a Lad vektoen l = b og P =(x, y,z ). (jævnfø figu.6) c x x a En paametefemstillingen fo l i koodinate blive da y = y + t b, t eelt tal z z c En linie ha mange paametefemstillinge, da man dels jo kan vælge foskellige faste punkte på l, dels vil alle vektoe popotionale med l kunne benyttes som etningsvektoe. 6

22 .4 Linie i ummet Eksempel.4. Linies paametefemstilling. ) Find en paametefemstilling fo linien l gennem punktene A=(3,, 4) og B = (,, -3). ) Angiv en paametefemstilling fo liniestykket AB Løsning: 3 ) Da AB = = og et punkt på linien e A e en paametefemstilling fo l: x 3 y t t R = +, z 4 7 ) Da t = svae til punktet A og t = svae til punktet B, ha liniestykket AB x 3 paametefemstillingen y t t = +, [, ] z 4 7 Man kan opfatte paametefemstillingen fo l som en beskivelse af en jævn etlinet bevægelse x () t a i ummet, hvo t angivet tiden. Bevægelsens hastighedsvekto e. = y () t b z () t c Eksempel.5. Retlinet bevægelse. x 4 Lad y t beskive et legeme L s etlinede bevægelse i ummet, hvo t angive tiden = + z 4 og hastigheden måles i m/s. a) Find vejlængden (i m) som legemet gennemløbe i 3 sekunde. b) Find den tid det tage fo L at gennemløbe en stækning på 9 m. Løsning: a) Faten e = 36 = 6m/s I 3 sekunde gennemløbes 8 m. 9 b) 9 m gennemløbes på = 5 s 6 7

23 Rumgeometi Skæing mellem ette linie I ummet vil to ette linie som ikke e paallelle ikke nødvendigvis skæe hinanden. Eksempelvis vil to linie, de indeholde to modstående side i et tetaede ikke skæe hinanden. Linie, de ikke e paallelle og ikke skæe hinanden kaldes vindskæve. Eksempel.6. Skæing mellem linie x x 5 Lad de væe givet liniene l: y t og m: = y s = + 4 z 4 5 z Vis, at liniene l og m e vindskæve. Løsning: Retningsvektoene l = 6 og m = e ikke paallelle (ikke popotionale) 5 Et eventuelt skæingspunkt mellem l og m må ligge på begge linie, dvs. at de må kunne findes vædie af s og t så x 5 t = 5+ s s+ t = 4 s= 4 t () y t = elle. = s 3+ 6t = 4+ s 6t s= s= 6t ( ) z t = s s 5t = s= + 5t () 3 7 Indsættes ligning () i ligning () fås ( 4 t) = 6t t = 7 t = Indsættes t = 7 i ligning () fås s= s= ) 6 Indsættes disse vædie i ligning (3) fås = = Da de ikke findes paametevædie de tilfedsstille alle te ligninge skæe de to linie ikke hinanden. Liniene e vindskæve. TI 89 F: solve(-t=5+x and 3+6t=4+x and 4-5t=-x,{t,x}) Resultat: false Anden mulighed APPS, A b, New, Numbe of eqns :, Numbe of unknown :, Ente Udfyld skemae, F5 8

24 .4 Linie i ummet Vinkel mellem linie Ved vinklen mellem to linie fostås den spidse vinkel mellem linienes etningsvektoe. Lad linienes etningsvektoe væe l og m l m I afsnit 3.6 fandt vi, at den spidse vinkel v e cos v = l m Eksempel.7. Vinkel mellem linie x 3 x 5 Lad de væe givet liniene l: y t og m: = y s = z 5 z 9 3 a) Vis, at liniene skæe hinanden, og find koodinatene til skæingspunktet S. b) Find vinklen mellem l og m. Løsning: a) Et eventuelt skæingspunkt mellem l og m må ligge på begge linie, dvs. at de må kunne findes vædie af s og t så x 3 3+ t = 5 s s+ t = s= t () 5 y t = elle = s 5+ 3t = 8+ 5s 3t 5s= 3 3t = 5s 3 ( ) 9 3 z 5 + 5t = 9+ 3s 5t 3s= 5t = 3s () 3 Indsættes ligning () i ligning () fås 3t = 5 ( t) 3 8t = 8 t = Indsættes t = i ligning () fås 3= 5s 3 s= Indsættes disse vædie i ligning (3) fås 5( ) = 3 5= 5 De to linie skæe hinanden i det til t = - svaende punkt S = (,, -3) Som kontol kan vi se, at indsættes s = fås samme punkt. TI 89 a) F: Solve(3+t=5-x and 5+3t=-8+5x and +5t=-9+3x,{t,x}) Resultat: t=- and x = b) Lad en vinkel mellem l og m væe v. Vi ha da 3 5 l m 5 3 cos v = = = = l m v = TI 89 l m l m e e b) Idet cos v = = l m, hvo el og em e enhedsvektoe fås cos - ( dotp(unitv([,3,5]),unitv([-,5,3]))) Resultat:

25 Rumgeometi.5 Vektopodukt. Ved mange anvendelse ha man bug fo en anden fom fo podukt af to vektoe, hvo esultatet e en vekto (og ikke et tal). Dette podukt kaldes vektopoduktet (elle kydspoduktet ) af de to vektoe a og b og skives a b. Man sige kot a kyds b. Definition af vektopodukt. Lad a og b væe to egentlige, ikke-paallelle vektoe. a b e da en vekto, ) hvis etning e bestemt ved, at a b stå vinkelet på både a og b, og a, b og a b i denne ækkefølge e i højestilling, ) hvis længde e aealet af det paallelogam, de udspændes af a og b dvs. a b = a b sin v hvo v e vinklen mellem a og b ( v π ). a b b a Fig..7. Vektopodukt Eksempel.8. Rotation. Lad de væe givet et stift legeme L, som otee om en akse l med vinkelhastigheden ω. Fa et vilkåligt punkt O på l afsættes en vekto ω, hvis længde e lig vinkelhastigheden, og hvis etning e fastlagt således, at den sammen med dejningen om l bestemme en højeskuning (se figu.7). Til et givet tidspunkt ha hve patikel P i legemet L en hastighed, de tænkes afsat som en vekto v P ud fa punktet P. Det e klat, at v P = ω d, hvo d e afstanden fa P til aksen l (se figu.7). Idet d e højden i det af ω og = OP udspændte paallelogam, ha dette paallelogam aealet ω d, og demed e v P = ω. Da v P også e ensettet med ω, e hemed vist = ω. v P ω v P ω

26 .5 Vektopodukt Eksempel.9. Momentvekto Lad k væe en kaft, de ha angebspunkt i punktet P. Kaftens momentvekto m om et punkt Q definees ved m= QP k m k Fig..8. Momentvekto Regneegle fo vektopoduktet. Lad a, b og c væe vektoe i ummet og t et eelt tal. Da gælde ) a b = b a Den kommutative lov gælde ikke. ) ( a b ) c a ( b c ) Den associative lov gælde ikke. 3) a ( b + c) = a b + a c Den distibutive lov gælde. 4) ta ( b) = ( ta) b Den distibutive lov gælde. Bevis: () følge umiddelbat af definitionen. (4) følge også af definitionen, ved at gennempøve de foskellige mulighede t >, t =, t <. () gælde ikke fo alle vektoe, thi hvis i, j og k e basisvektoe i et koodinatsystem, e ( i i ) j = mens i ( i j) = i k = j. (3) ha et noget vanskeligee bevis: a E a = gælde (3) umiddelbat. E a en egentlig vekto og e e = e det tilstækkeligt at vise a e ( b + c) = e b + e c (5) da vi blot ha divideet alle led i (3) med a. Lad nu α væe en plan vinkelet på e, og v en vilkålig vekto (jævnfø figu.9) v Lad endvidee v α væe pojektionen væe pojektionen af e v på α. Vi vil så føst vise, at e v= e v. v α α E v nulvektoen, elle v paallel med e e begge podukte α lig I alle ande tilfælde vil det af e og v udspændte paallelogam have samme aeal som det af e og Fig.9. Tvævekto i plan v α udspændte ektangel. De to vektoe ha altså samme længde, og som figu.9 vise, ha de også samme etning. Da e v α = vα e e v α simpelt hen vα s tvævekto $v α i planen α. Vi ha følgelig e v= e vα = v$ α Anvendes dette på ligning (5) fås e ( b + c) = e b + e c e ( b + c) α = e b α + e c α ( b+ c) α = b $ + c $ Den sidste ligning e sand ifølge egning med tvævektoe. Reglene (3) og (4) sike, at vi kan multiplicee to fleleddede støelse på sædvanlig vis. Reglene () og () vise, at man ikke må ombytte faktoe, og ikke hæve gange paentese. α α

27 Rumgeometi Eksempel.. Regneegle. Beegn ( a + b c ) ( a b ). Løsning: ( a + b c ) ( a b ) = a a + ( b a ) c a a b b b + c b = 3( b a ) c a + c b Sætning.. Vektopodukts koodinate. a b a3 b3 a b a b a b Lad a = a og b = b. Da gælde a b = a b = 3 3. a b a3 b3 a b 3 3 a b a b En huskeegel e, a b at. koodinaten i a b e deteminanten man få, hvis man se bot fa. ække i a b, a b. koodinaten e med modsat fotegn den deteminant man få hvis man se bot fa anden ække og 3. koodinaten e den deteminant man få, hvis man se bot fa 3. ække. Bevis: Idet a = ai + a j + a3k og b = bi + b j + b3k, fås ved benyttelse af egneeglene (), (3) og (4) samt elationene i i = j j = k k =, at a b= ( ai+ a j+ ak) ( bi+ b j+ bk) = ( ab ab) i+ ( ab ab) j+ ( ab ab) k Eksempel.. Vektopodukt. Lad A = (, 3, -), B = (-, 4, 4) og C = (,, 3). a) Beegn vektopoduktet AB AC b) Find aealet af ABC. Løsning: a) Idet AB = og AC = e AB AC = x = b) Tekant ABC s aeal e T AB AC = = + + = TI 89: CATALOG: a) cossp([-3,,5],[-,-,4]) Resultat [9 7 4 ] b) /* (dotp([9, 7, 4 ],[9, 7, 4 ])) Resultat

28 .5 Vektopodukt 3 k Fig... Idealiseet kan Fig... Kan Eksempel.. Kæfte. Lad de væe givet et stativ af stænge af fom som et tetaede. Hjønespidsene A, B og C tænkes bundet til et vandet plan, hvoi de kan foskydes gnidningsfit (se figu.) Stativet ha sådanne dimensione, at vælges denne plan som xy - plan og punktet A som begyndelsespunkt i et etvinklet koodinatsystem, få hjønespidsene koodinatene A = (,, ), B=(4,, ), C= (, 5, ) og D = (, 6, 3) (se figu 4.). Idet vi tænke os punktet D belastet og demed påviket af en lodet kaft. k k k = >, skal vi finde de eaktionskæfte og. de vike i undestøtningspunktene A, B og C, således at stativet k k A B, k C e i ligevægt.. Løsning: Da de ingen gnidning e, må eaktionskæftene væe lodette. Sættes og fås ifølge statikken, at ligevægten kæve k a k b A B = =, k c C = k k k k AB k AC k AD k A A B C B C = + + = ( ) ( ) kæftenes sum e nul moment om e nul = a b c k b c k x = + + = + + = = = = = a b c k b c k k a k b k c k k k k k k k A B C = = = ,,

29 Rumgeometi Afstand mellem punkt og linie. Lad en linie l gå gennem punktet A og have etningsvektoen l. Afstanden fa et punkt P til linien l kan findes af fomlen AP l dist( Pl) = l AP l Bevis: Vektoene og udspænde et paallelogam hvis ene side e og hvis højde e PQ (se figuen) AP l Aealet af paallelogammet e PQ l = AP l PQ = l Eksempel.3 Afstand punkt- linie x 3 Find afstanden mellem linien l : y t og punktet P=(, 5, 4). = + 5 z AP l Løsning: Idet A = (,,-3) fås dist( Pl) = = = = = 89. l ( ) TI 89: CATALOG: nom( cossp([-,4,7],[3,5,-]) )/nom([3,5,-]) l l.6. Plane i ummet. Lad P væe et givet punkt og n en given egentlig vekto. Ved en plan α gennem P med vektoen n som nomalvekto fostås mængden af punktet P fo hvilken vektoen PP stå vinkelet på vektoen n (se figu.). n α k i j Fig.. Plan 4

30 a Lad punktet P =(x, y, z ) og n = b (jævnfø figu.). c.6 Plane i ummet x x a Da gælde PPn y y b ax x by y cz z () = = ( ) + ( ) + ( ) = z z c Ligningen () kaldes planens ligning. Vektoen n kaldes planens nomalvekto Enhve plan kan altså femstilles ved en ligning af føste gad ax + by + cz + d =, Omvendt vil enhve ligning ax + by + cz + d = hvo (, abc,) (,,) femstille en plan med vektoen a n = b som nomalvekto. c Eksempel.4. Ligning fo plan. Find ligningen fo planen gennem punktene A = (,, ), B = (, -, ) og C = (-, -, ). Løsning: En nomalvekto til planen e n = AB AC = x = 3 4 Planens ligning e da: ( x ) ( y ) ( z ) = x y z+ 3= Vinkel mellem to plane. Ved vinklen mellem to plane fostås vinklen mellem dees nomalvektoe. Denne vinkel kan enten væe spids elle stump. E intet andet nævnt vil man sædvanligvis mene den spidse vinkel. nα nβ Denne spidse vinkel v kan beegnes af cos v =. (se figu.3) n n α β n β n α β α Fig.3. Vinkel mellem plane 5

31 Rumgeometi I en umlig figu eksempelvis et tetaede kan man ønske at finde den indvendige vinkel i figuen, og denne kan jo godt væe stump. Ønske man eksempelvis i tetaedeet ABCD (se figu.4) at bestemme den indvendige vinkel mellem planene ABD og BCD, så skal man vælge nomalvektoene således at den ene nomalvekto pege indad i figuen og den anden udad figuen. nbcd = BD BC pege he ind i figuen nabd = BD BA pege ud af figuen Den indvendige vinkel i tetaedeet e så nbcd nabd cos(v) = n n Fig..4. Tetaede BCD ABD Eksempel.5. Vinkel mellem plane. Lad hjønene i et tetaede ABCD have koodinatene A = (,, ), B = (, -, ), C = (-, -, ) og D = (, 3, 5) Find den indvendige vinkel i tetaedeet ved kanten AB Løsning: = = Ifølge eksempel.4 ha planen ABC nomalvektoen n AB AC 3 Planen ABD ha nomalvektoen n = AB AD= 3 x 3 = 4 4 n n cos v = = = 476. v = 4.34 n n TI89: a b ) Idet cos v = = ea eb, hvo ea og eb e enhedsvektoe fås a b cos - ( dotp(unitv([,-,]),unitv([-3,3,-4]))) Resultat:

32 .6 Plane i ummet Afstand mellem punkt og plan α Ved afstanden mellem et punkt og en plan fostås afstanden PP α, hvo P α e P s pojektion på planen α (se figu.5) α P α k i j Fig..5. Afstand d mellem P og plan Afstanden findes lettest ved benyttelse af sætning.. Sætning.. Afstandsfomel. Punktet P = (x, y, z ) s afstand fa planen med ligningen ax + by + cz + d dist( P, α ) = a + b + c ax + by + cz + d = Beviset e ganske analogt med det tilsvaende bevis i planen fo afstand mellem punkt og linie, og vil defo ikke blive gentaget he. Eksempel.6. Afstandsfomel Lad de væe givet et punkt P = (,, ) og en plan α: x+ y+ z 3=. Find punktet P s afstand til α. Løsning: dist( P, α ) = = = e 7

33 Rumgeometi Skæing mellem linie og plan. På figu.7 e tegnet en linie l som skæe planen α i punktet S. Da punktet S ligge både i planen α og på linien l må dens koodinate tilfedsstille både liniens paametefemstilling og planens ligning. Femgangsmåden femgå af det følgende eksempel.7. k i j α Fig..6. Skæing mellem linie og plan Eksempel.7. Skæing linie - plan. x Lad de væe givet en linie l: y t og en plan = + α: x+ y+ z = z Find skæingspunktet S mellem linien og planen. Løsning: x x = t Paametefemstillingen y t y t = + = + z z = t indsættes i ligningen x+ y+ z = ( + t) + ( + t) + t = t = Indsættes t= i paametefemstillingen fås skæingspunktet. S = (, 3, ) 8

34 .6 Plane i ummet Vinkel mellem linie l og plan α. Pojektionen af l på α e den linie l α som femkomme ved at alle punkte på l pojicees ned på planen α. Vinklen mellem en linie og plan e vinklen mellem linien og dens pojektion på planen (se figu.7). n α k i j Fig..7. Vinkel mellem linie og plan Vinklen v mellem en linie l med etningsvekto l og en plan α med nomalvekto n beegnes lettest ved, at man føst beegne den spidse vinkel u mellem etningsvektoen fo linien og planens nomalvekto. Deefte e v = 9 - u (se figu.7) l n Da cos( u) = sin( 9 u) = sin v fås sin v = l n Eksempel.8. Vinkel mellem linie og plan. x Lad de væe givet en linie l: y t og en plan = + α: x+ y+ z = z Find vinklen v mellem linien og planen Løsning: l n 7 sin v = = = = 956. v = 7.8 l n TI 89: sin - (abs(dotp(unitv([,,]),unitv([,,])))) Resultat: 7.8 9

35 Rumgeometi.7 Polyede, cylinde, kegle og dees umfang. Polyede Indledning. Ved et polyede fostås et legeme, de e begænset af et endeligt antal plane polygone. Disse polygone kaldes polyedeets sideflade, og dees side og vinkelspidse betegnes henholdsvis som polyedeets kante og hjønespidse.. En diagonal e en et linie, de fobinde to hjønespidse uden at ligge i en af polyedeets sideflade. (se figu.8). Et konvekst polyede e et polyede, hvo det fo vilkålige punkte A og B i polyedeet gælde, at hele liniestykket AB tilhøe polyedeet.. Pisme. Lad de væe givet to polygone F og G, som ikke ligge i samme plan, og hvo F kan føes ove i G ved en paallelfoskydning. (se figu.9). Ved pismet bestemt af F og G fostås det polyede, hvis kante e sidene i F og G samt fobindelsesstykkene mellem tilsvaende vinkelspidse i de to polygone. Afstanden mellem F og G (pismets gundflade) kaldes pismets højde. Rumfanget af et pisme e G h hvo G e gundfladens aeal og h e højden, dvs. afstanden mellem de to paallelle flade. Fig.8. Polyede Fig..9. Pisme Nedenstående figue vise specielle pisme. 3

36 .7 Polyede, cylinde, kegle og dees umfang Pyamide Ved en n - sidet pyamide fostås et polyede, de fembinges ved, at vinkelspidsene i en given plan n - kant ABC,... fobindes med et punkt T uden fo polygonens plan (se figu.). Polygonen ABC... kaldes pyamidens gundflade og tekantene TAB, TBC,... kaldes pyamidens sideflade. E H pojektionen af toppunktet T på gundfladen, kaldes HT fo pyamidens højde Af specielle pyamide kan nævnes de tidligee omtalte tetaede, som e begænset af fie tekante. Rumfanget af en pyamide 3 Gh gundfladens aeal og h e højden hvo G e Fig... Pyamide Fig... Tetaede Rumfanget af en cylinde e mellem de to paallelle flade. Rumfanget af en kegle e G h 3 Gh hvo G e gundfladens aeal og h e højden, dvs. afstanden hvo G e gundfladens aeal og h e højden. 3

37 Rumgeometi.8 Kuglen På figu. e tegnet en kugle med centum i C = og adius. ( x, y, z ) Kuglen kan vises at have umfanget V = π og ovefladen O = 4 π Sætning.3.Kuglens ligning En kugle med centum i C = ( x, y, z ) og adius ha ligningen Bevis: Lad P = (x, y, z)væe et vilkåligt punkt på peifeien af kuglen. Da Kuglepeifeien bestå af netop de punkte, hvis afstand til centum e adius, e CP =. I følge afstandsfomlen haves nu CP = ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) = ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) = Fig.. Kugle med adius ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) = Eksempel.9 Kugle Opskiv ligningen fo kuglen med centum i C = (, -, 5) og adius = 5. Løsning. ( x ) + ( y+ ) + ( z 5) = 5 Ganges kuglens ligning ud fås ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) = x + y + z x x y y z z+ x + y + z = Vi kan defo omvendt se, at hvis vi ha en ligning indeholdende leddet det muligvis en kugle. x + y + z så femstille 3

38 .8 Kuglen Eksempel. Kugle Undesøg om ligningen x + y + z x+ 4y z+ 3= femstille en kugle, og angiv i bekæftende fald kuglens centum og adius. Løsning: Vi ha, at x = y = 4 z = x = y = z = = 4 Hemed fås x y z dvs. 4-3 = 9 = elle = 3 Lad en kugle have centum C og adius. Ved kuglens tangentplan i et punkt P på peifeien, fostås den plan, som gå gennem P og stå vinkelet på CP. Eksempel.. Tangentplan En kugle ha centum C = (3, 4,5) og adius = 69. ) Vis, at punktet P = (4,, -3) ligge på kuglepeifeien. ) Find ligningen fo tangentplanen til kuglen i punktet P. Løsning: ) CP = CP = = 69 8 Da = CP ligge P på kuglens peifei. ) Tangentplanen gå gennem P og ha nomalvktoen CP = 8 Tangentens ligning: ( x 4) + ( )( y ) + ( 8)( z+ 3) = x y 8z = 4 33

39 Rumgeometi 34 Opgave til kapitel. Afsæt i et koodinatsystem punktet P = (,, ) og punktet Q = (, -, 3). Afsæt endvidee punktet R, således at vektoen, og angiv R s koodinate. PR =. Lad de væe givet punktene A =(-,, ), B = (3,, 4) og C = (6, 3, 7). Bestem punktet D, så ABCD danne et paallelogam..3 Find det abejde som kaften udføe på en patikel, nå denne bevæge sig etlinet k = 3 4 fa punktet A = (8, -, -3) til punktet B = (-,, 6)..4 Undesøg om vektoene og e indbydes otogonale a b = = 3, c = 5 4 (vinkelette på hinanden)..5 I teningen ABCD - EFGH med kantlængden a, skal man finde vinklen u mellem diagonalen i gundfladen AC og diagonalen AG. Find endvidee vinklen v mellem diagonalene AG og BH..6 Linien l gå gennem punktene A = (,-3,4) og B = (-,4, 3) Angiv en paametefemstilling fo l. En anden linie m ha paametefemstillingen x y z t = Undesøg om liniene l og m skæe hinanden..7 Lad en patikel P bevæge sig med jævn hastighed bestemt ved, hvo t x y z t = + 4 angive tiden i sekunde og afstande egnes i mete. a) Find faten (i m/s) b) Find den stækning ( i m) som legemet gennemløbe i 5 sekunde..8 Givet punktene A = (4, 3, -), B = (5, 9, ), C = (, -, -) og D = (4, 9, ). Lad l væe linien gennem A og B og lad m væe linien gennem C og D. a) Find koodinatene til liniene l og m s skæingspunktet E (foudsat natuligvis at de skæe hinanden). b) Find vinklen mellem de to linie

40 Opgave til kapitel.9 Et etlinet ø med en diamete på, skal føes fa punktet P i én bygning til punktet Q i en anden bygning. Røets centelinie gå gennem P = (-,, 3) og Q = (5, 4, 6). a) Find en paametefemstilling fo linien gennem P og Q. b) Undesøg om østykket fit kan passee en kommende kassefomet udbygning K givet ved K = {( x, y, z) x y 4 z 4} (Vink: tegn figuen set ovenfa).. En kugle med adius 4 m og med centum i koodinatsystemets begyndelsespunkt otee om z - aksen med en vinkelhastighed ω = ad/sec ( høje om ). Find hastighedsvektoene vp og vqi punktene P =(,, ) og Q = (, 3, 3 ).. Lad de væe givet et stativ af stænge af fom som et tetaede. Unde samme betingelse som i eksempel. skal man finde eaktionskæftene i punktene A = (3,, ), B = (,, ) og C = (-, -, ), nå punktet D = (,, 6) e påviket af kaften k =. 4. a) Angiv ligningen fo en plan α, som gå gennem punktene A = (3,, -), B = (,, 3) og C = (-, 3, ). b) Angiv ligningen fo en plan, de gå gennem D = (, 3, ) og e paallel med α..3 Find aealet af ABC., hvo A = (,, -), B = (, -, ) og C = (,, ).4 Lad de væe givet punktene A = (,, ), B = (-,, 3) og C = (,, ). a) Find ligningen fo den plan α, som indeholde A, B og C. b) Find ligningen fo den plan β, som indeholde A, B og e paallel med z - aksen. c) Find ligningen fo den plan γ, som indeholde A, og e paallel med yz - planen. d) Find de te planes skæingspunkte med x - aksen..5 I tetaedeet ABCD e A = (6,, ), B = (,, 3) og C = (,, ). Idet D ha positive koodinate, DB = DA = 3 og D s pojektion på xz - planen falde på liniestykket AB, skal man a) Skitsee tetaedeet i et etvinklet koodinatsystem og finde D s koodinate. b) Idet P e det punkt på BD fo hvilke BP = BD, skal P s koodinate angives. 3 35

41 Rumgeometi.6 To ette linie l og m e givet ved paametefemstillingene x x l: y t, t R og = m: y s, s R = + z 3 z Find en ligning fo den plan α, som indeholde l og e paallel med m..7 a) Undesøg om liniene x x l: y t, t R og = + 5 m: y s, = + z z 4 3 s R skæe hinanden. b) Find skæingspunktet mellem linien l og planen α med ligningen α: 6x+ 7y+ z = 6.8 Beegn toplansvinklen mellem to diagonalplane i en tening..9 Taghældningen e ovealt 45 på en filænget gåd (hvo længene stå vinkelet på hinanden. Find vinklen mellem to sammenstødende tagflade tilhøende hve sin længe.. Tetaedeet ABCD e bestemt ved A = (8,, ), B = (, 4, ), C = (3, -, ) og D = (,, ). a) Find afstanden fa C til planen ABD. b) Idet umfanget af en tetaede e, hvo G e gundfladens aeal og h e højden 3 G h skal man finde umfanget af tetaedeet ABCD c) Find vinklen mellem kanten CD og planen ABD. d) Find den indvendige vinkel ved kanten CD. e) Fodpunktet fo højden fa C på planen ABD kaldes H. Find H s koodinate. f) Find vinklen mellem liniene CD og AD.. De e givet et punkt P = (, 3, ), samt en et linie m med paametefemstillingen x y t t R = + 6,. z 5 a) Find ligningen fo den plan α, som indeholde punktet P og den ette linie m. b) Find ligningen fo den plan β, som gå gennem P og stå vinkelet på linien m. c) Find skæingspunktet H mellem m og β. d) Bestem en paametefemstilling fo linien gennem P, som skæe m unde en et vinkel. e) Find koodinatene til punktet P s symmetiske punkt med hensyn til linien m. 36

42 . En kugle ha centum i C = (3, 5, -) og gå gennem punktet P = (,, -3). Opskiv kuglens ligning. Opgave til kapitel.3 Angiv en ligning fo den kugle, de gå gennem punktet P = (4, 6, 9) og som tangee xy-planen i punktet O = (..).4 Bestem centum og adius fo de kugle, hvis ligninge e a) x + y + z 6x+ 6y+ 64= b) x + y + z 8y+ 5= 37

43 3. Sfæisk geometi 3. Sfæisk geometi 3.. Gundbegebe Plangeometien handle om egenskabe ved figue tegnet i en plan, mens den sfæiske geometi behandle egenskabe ved figue tegnet på en kugleflade. Den sfæiske geometi finde bl.a. anvendelse i astonomien (stjenene sidde på en kugleflade), og i geogafien ( joden opfattes som en kugle) Stocikel Ved en stocikel på en kugle fostås den cikel de femkomme ved skæing mellem kuglen og en plan gennem kuglens centum. Som eksemple på stocikle kan nævnes jodens ækvato og længdeciklene, som alle e stocikle. To punkte på kuglen, de ikke e diamentalt modsatte, bestemme netop en stocikel. Dette ses af, at de to punkte sammen med kuglens centum bestemme netop en plan. To stocikle skæe hinanden i to diamentalt modsatte punkte. Dette ses af, at de to plane skæe hinanden i en kuglediamete. (se figu 3.) Fig 3.. To stocikle Pole Til enhve stocikel høe pole. Disse e bestemt som skæingspunktene mellem kuglen og linien gennem kuglens centum vinkelet på planen bestemt ved stociklen. Et eksempel e jodens ækvato, som e en stocikel og dens to pole nodpol og sydpol. To stocikle siges at væe vinkelette på hinanden, nå dees plane e det. Hve af stociklene vil så indeholde hinandens nomale gennem begyndelsespunktet O. De vil defo indeholde hinandens pole. Omvendt gælde, at indeholde en stocikel en anden Fig 3.. To stocikle vinkelet på stocikels pole, e de to stocikle vinkelette på hinan- hinanden den. 38

44 3. Sfæisk tekant Ved den sfæiske afstand mellem to punkte A og B fostås den mindste af de to stocikelbue, de fobinde punktene målt i gade (elle adiane) Sfæisk tokant To foskellige stocikle dele kuglen i 4 omåde. Hve af disse omåde kaldes en sfæisk tokant. En tokant begænses altså af halve stocikle. På figuen e det skaveede omåde således en tokant. Tokantsvinklen v e afstanden mellem de to halvcikles midtpunkte, hvilket e den samme som vinklen mellem de to plane de bestemme stociklene. Det blive defo også den sfæiske afstand mellem de to pole P og Q på figu 3.3. Vælges de pole, de ligge på samme side af stociklen som tokanten blive det vinklen mellem P og Q, dvs. den blive 8 - v. Fig Tokant 3. Sfæisk tekant Te stocikle, de ikke gå gennem samme punkt, dele kuglen i otte omåde. Hvet af disse kaldes en sfæisk tekant. På figu 3.4 e aftegnet en af disse tekante med vinkelspidsene A, B og C. Hve af de sfæiske afstande mellem to af tekantens vinkelspidse kaldes en side. Disse side betegnes på samme måde som i plangeometien med a, b og c. Ligeledes tale man i en sfæisk tekant om mediane, højde osv. i tilsvaende betydning som fo en plan tekant. Fig Sfæisk tekant Lillecikel Skæe vi kuglen med en plan, de ikke gå gennem centum af kuglen blive skæingskuven en cikel. Denne kaldes en lillecikel. En beddecikel e et eksempel på en lillecikel (idet dog vi he se bot fa ækvato, som jo e en stocikel. 39

45 3. Sfæisk geometi Af figu 3.5 ses, at hvis lilleciklen e en beddecikel på b bedde, så e adius BA = cos b. Omkedsen af lilleciklen e følgelig π cos b E den sfæiske afstand mellem to punkte på stociklen v så e den tilsvaende buelængde på lilleciklen følgelig v cosb Fig 3.5 Omkeds af lillecikel Eksempel 3.. Sejlads langs beddecikel Et skib sejle fa Esbjeg (55.3 N, 8.5 Ø) til et punkt P (55.3 N,.5 V) ved den engelske kyst langs beddeciklen 55.3 N. Idet skibet sejle med en fat på 6 knob, skal man beegne hvo lang tid det tage fo skibet at sejle fa Esbjeg til P. Løsning: PÅ figuen e N nodpolen og NB og NA e længdeciklene gennem E og P ned til ækvato. Idet N = = 9.55 e BA =9.55 Heaf følge at EP = 9.55 cos(55.3) = =.4 time Idet = 6 sm vil sejladsen vae 6 Til beegning af stykkene i en vilkålig plan tekant anvendes cosinus- og sinuselationene. Ganske på samme måde kan man fo en vilkålig sfæiske tekant udvikle cosinus-og sinuselatione. Beviset fo disse elatione e et omfattende og kæve en ække suppleende begebe udviklet. Dette ske i det følgende afsnit. 4

46 3.3 Sfæiske koodinate 3.3. Sfæiske koodinate, polatekant 3.3. Polatekant Ved polatekanten A B C til en sfæiske tekant ABC fostås den sfæiske tekant, hvis vinkelspidse e pole fo sidene til den givne tekant, idet man ved udvælgelsen af polen fo en tekantside skal vælge den pol, de ligge på samme side af tekantsiden som tekant ABC. På figu 3.6 e således A pol fo stociklen gennem B og C, og afstanden A A < 9, da A ligge på samme halvkugle som A De gælde nu følgende sætninge: Fig Polatekant Sætning 3.. Hvis A B C e polatekant til ABC, vil omvendt ABC væe polatekant til A B C. Bevis: Idet B C indeholde en pol fo hve af sidene AC og AB, e B C vinkelet på disse to side. Gennem sidenes skæingspunkt A vil de defo gå to foskellige stocikle vinkelet på B C. A e følgelig en pol fo B C. Tilsvaende indses, at B og C e pole fo henholdsvis AC og AB. Sætning 3. E A B C polatekant til ABC vil side og vinkle i A B C væe supplementvinkle til vinkle og side i ABC. De gælde altså A = 8 - a, B = 8 - b, C = 8 - c, a = 8 - A, b = 8 - B, c = 8 - C. Bevis: Betagte den af AB og AC bestemte tokant, e den sfæiske afstand a mellem de to pole C og B (ifølge afsnittet om tokante ) 8 -toplansvinklen A. dvs. a = 8 - A Tilsvaende kan vises fo de øvige side. Da ABC e polatekant fo A B C fås tilsvaende, at a =8 - A, hvoaf A = 8 - a 3.3. Sfæiske koodinate Vi betagte en kugle med centum O og adius. Vi anbinge et koodinatsystem med centum i O (se figu.7) Fo et vilkåligt punkt P betegne vi dens sfæiske afstand til punktet (,, ) med. θ Vi ha nu, at OP = OP + OP, og = OP = OP + OP () Af den etvinklede tekant OPP, fås OP = cosθ Indsættes dette i (), fås = cos θ + OP OP = ( cos θ) OP = sin θ Da θ π e sinθ, dvs. OP = sinθ Koodinatene til OP kan defo skives på fomen sinθ cos ϕ, sinθ sin ϕ,, hvo ϕ π ( ) Da tediekoodinaten til OP e OP k = cosθ ha vi nu OP s koodinate, og demed P s koodinate Fig..7. Sfæiske koodinate P = ( sinθ cos ϕ, sinθ sin ϕ, cosθ) Beliggenheden af P på kuglen kan defo kaakteisees ved talpaet ( ϕ, θ), som kaldes punktets sfæiske koodinate. I geogafien og astonomien måles vinklene ofte i gade, og man estattes i eglen θ med v = 9 - θ Eksempelvis ligge København 55 4' nodlig bedde og 35' østlig længde. θ 4

47 3. Sfæisk geometi 3.4. Gundfomle fo en vilkålig sfæisk tekant Sætning 3.3 Fo en sfæisk tekant ABC med sidene a, b og c gælde følgende fomle Cosinuselationene: cosa cosb cosc (a) cos a = cosb cosc+ sin b sin c cos A elle (b) cos A = sin b sin c cos A+ cos B cosc (a) cos A = cos B cosc + sin B sin C cosa elle (b) cosa = sin B sin C Sinuselationene: sin a sin b sin c (3) = = sin A sin B sin C Det e klat, at ha man en tekant PNQ (hvad man ofte ha, da N e nodpolen) så kan man bae indsætte de elevante bogstave eksempelvis cos p = cosq cosn+ sin q sin n cos P Bevis: Bevis fo fomel (a) Koodinatsystemet anbinges som på figu 3.8, således at C ha koodinaten (,,), B ligge i xz-planen med positiv føstekoodinat, og A ha positiv andenkoodinat. A ha da de sfæiske koodinate (b, C) og B ha koodinatene (a,). sinbcosc sina Heaf følge OA = sinbsinc og OB = cosc cosa OA OB = sina sinb cosc+ cosa cosb Da vi samtidig ha, at OA OB = OA OB cosc = cosc få vi, at cosc= cosa cosb+ sin a sinb cosc Bevis fo fomel (a) Benyttes fomel () på polatekanten A B C fås Fig Sfæisk tekant cos a = cosb cosc + sinb sinc cos A Af sætning. følge nu ved indsættelse cos ( 8 A) = cos( 8 B) cos( 8 C) + sin( 8 B) sin( 8 C cos( 8 a) Da cos( 8 u) = cosu og sin( 8 u) = sinu, fås cos A = cos B cosc + sin B sin C cosa Hemed e fomel () bevist 4

48 Bevis fo fomel (7) Placees koodinatsystemet som på figu 3.8 e sin bcosc sin a OA = sinbsin C, OB = og OC = cosc cosa OA Da OC, OB og de 3 vektoe 3.4 Gundfomle fo en vilkålig sfæisk tekant i denne ækkefølge e i højestilling, e umfanget V af det paallellepipidum, de udspændes af V = ( OC OB) OA elle sin a sin bcosc V = b C a = sin sin cos cosc sin bcosc sin a sin bsin C a b C = sin sin sin cosc 3 Det e imidletid klat, at havde vi indlagt kooodinatsystemet med punktet A på z-aksen, C i xz-planen osv. så ville vi ved simpel bogstavombytning få V = 3 sin bsin csin A Det give 3 sin asinbsin C = 3 sinbsin csin A sin asin C = sin csin A Ved division fås sin a sin c = sin A sin C En ydeligee ænding af koodinatsystemet vil give den sidste elation Det skal bemækes, at man så vidt muligt undgå at benytte sinuselationene, da det kan væe vanskeligt at bedømme, ud fa disse om en vinkel elle side e spids elle stump (v og 8 - v ha begge samme sinus). Eksempel 3. Sejlads langs en stocikel Et skib sejle fa Esbjeg (55.3 N, 8.5 Ø) til Edinbugh (56. N,.6 V). a) Beegn afstanden (i sømil) fa Esbjeg til Edinbugh b Idet skibet sejle med en fat på knob, skal man beegne hvo lang tid det tage fo skibet at sejle fa Esbjeg til Edinbugh. Løsning: På figu 3.9 betagtes den sfæiske tekant, hvis vinkelspidse e Esbjeg (E), Edinbugh (A) og nodpolen N. a) Vinkel N e he byenes længdefoskel, dvs. N = =,75, a = = 33.9 og e = = 34.7 Af cosinuselationen (a): cos( n) = cos a cose+ sin a sin e cos N fås nu Fig Afstand mellem to punkte ( ) AE = cos cos. cos. + sin. sin. cos b) Sejltid = 8. 3 time = 6. 43

49 3. Sfæisk geometi 3.5. Den etvinklede sfæiske tekant Ligesom det fo almindelige plane tekante ofte e nødvendigt at tække højden i tekanten fo at kunne udegne de ønskede støelse, e dette også tilfældet fo sfæiske tekante. Dette e specielt nødvendigt, da vinkelsummen i en sfæisk tekant jo ikke e 8, så man kan ikke udnytte, at kende man to vinkle kan den tedie let beegnes. Benyttes sinuselatione til beegning af vinkle kan løsningen jo både væe en vinkel v og 8 - v. Dette kan i visse tilfælde væe svæt at afgøe, Som det femgå af den følgende sætning 3.4 ha man fo etvinklede tekante mulighed fo at afgøe dette. Lad os betagte en tekant, hvo vinkel C e 9. Som i det plane tilfælde kaldes den modstående side c fo hypotenusen og de hosliggende side a og b fo katetene. De gælde nu følgende sætning: Sætning 3.4. En katete og dens modstående vinkel e af samme at, dvs. enten begge spidse, begge ette elle begge stumpe. Bevis: På figu 3. e punktet B pol fo AC, dvs. i tekant ABC e A = 9 og C =9, samt CB = 9. Betagtes nu den etvinklede tekant AB C, hvo C = 9 ses umiddelbat, at såvel A som den modstående katete CB e spidse. Tilsvaende ses ved at betagte den etvinklede tekant AB C, at såvel A som CB e stumpe Hemed e sætningen bevist. Fig 3.. Katete og modstående vinkel Ud fa de geneelle gundfomle i sætning 3.3 kan vi nu let vise en ække specielle fomle fo etvinklede tekante. Sætning 3.5 Fo en etvinklet tekant ABC hvo C = 9 gælde (4) cosc= cosa cosb sin a (5) sin A = sinc tan b (6) cos A = tan c tan a (7) tan A = sin b Huskeegel: Fomlene svae til de sædvanlige fo etvinklede tekante, eksempelvis cos = hosliggende divideet med hypotenuse Fig... Retvinklet tekant osv 44

50 3.6 De 6 tekantstilfælde Bevis: (4) Af cosinuselationen (a) cos c= cosa cosb+ sin a sin b cosc fås, da cosc = cos9 = cosc = cosa cosb (5) Af sinuselationen (3) fås sin a sinc sina = sin A = sin A sin9 sinc da sin 9 =. (6) Af cosinuselationen (a) cos A = cos B cosc+ sin B sin C cosafås cos A= sin B cosa (da cos9 =) cosc sinb Fa fomel (4) haves: cosa = og fa fomel (5): sin B = cosb sinc sin b cosc tan b Indsættes disse fås cos A= sin B cosa = = sin c cosb tan c sin a sin c sin a sin A (7) tan sin sin tan cos sin cos A c a c c a b = = = = = cos A tan b tan b sin c sin b sin b cosc sin c tan c cosb Fomel () cosc= cosa cosbindsættes sin a tan a tan A = = sin b cosa sin b 3.6 De 6 tekantstilfælde Som i plangeometien e det nu muligt ud fa 3 stykke (f.eks. en vinkel og side) at beegne de manglende stykke. ) Givet de te side a, b og c: Ved at benytte elationen (b) findes A og ved bogstavombytning de to ande vinkle (bemæk: Vinkelsummen i en sfæisk tekant e ikke 8 (36 < A + B + C < 54 ) ) Givet de te vinkle A, B og C : Ved at benytte elationen (b) findes a og ved bogstavombytning de to ande side 3) Givet en vinkel A og de to hosliggende side b og c: Af (a) beegnes a. Vi kende nu alle te side og kan fotsætte som unde punkt. 4) Givet en side a og de to hosliggende vinkle B og C. Af (a) beegnes A. Vi kende nu alle te vinkle og kan fotsætte som unde punkt. Fig. 3. To løsninge 5) Givet en vinkel A og den hosliggende side c og den modstående side a. Dette tilfælde e foholdsvis kompliceet, da det e nødvendigt at tegne højden fa B, og betagte de to etvinklede tekante, de femkomme. Endvidee isikee man, at de e tekante ABC og ABC de opfylde betingelsene (se figu 3.) 45

51 3. Sfæisk geometi 6) Givet en side a og den hosliggende vinkel B og den modstående vinkel A. Man betagte i stedet polatekanten og benytte sætning 3.. I polatekanten kendes nu en side, den hosliggende og den modstående vinkel, dvs. beegningene kan foetages som unde punkt Navigationsfomle: I navigation benyttes en ække fomle, som e nyttige i ofte foekommende situatione. Fomlene kan som det femgå af det følgende udledes ud fa ovenstående tekantsfomle. I disse ofte foekommende situatione slippe man deved fo at betagte passende tekante, men kan diekte indsætte i fomlene. Man undgå dog ikke at foetage en vudeing, bl.a. i fom af en skitse, da eksempelvis kusen afhænge af, om man sejle mod øst elle vest. De e dog også en ække situatione, hvo disse fomle ikke helt slå til, og hvo det e nødvendigt at løse poblemet ved at betagte passende sfæiske tekante. Definitione: Et skibs kus e en vinkel i gade egnet fa nod med uet. En kus stik øst e altså 9. Punktene A og B s geogafiske koodinate benævnes A= ( b, l ) og B = ( b, l ) I navigationsfomlene skal bedde indsættes med fotegn + fo nodlig bedde og - fo sydlig bedde. Eksempelvis ligge A på den sydlige halvkugle estattes i de følgende fomle b A med - b A. Længdefoskellen mellem A og B benævnes lgf A-B, dvs.lgf A-B = l I: Afstanden dist(a,b) mellem to punkte A= ( ba, la) og B = ( bb, lb) e bestemt ved cos sin( b ) sin( b ) + cos( b ) cos( b ) cos(lg f ) (n) dist(ab) = ( ) A A A l A B A B A B B B B II: III: Begyndelseskusen k fo en sejlads fa A til B e bestemt ved sin( b (n) B) sin( ba) cos( dist(a, B) A = cos cos( ba) sin( dist(a, B) hvo A e vinklen mellem nod og sejluten. Kusen k kan så bestemmes afhængig af, om man sejle mod øst elle vest. Alle stocikle skæe ækvato stede, og følgelig vil de på en stocikel altid væe et punkt M på den nodlige halvkugle de ligge tættest ved nodpolen. Lad A s position og begyndelseskusen k væe kendt Lad M have koodinatene M = ( b M,l M ) (n3) b = cos cos( b ) sin( k). M ( A ) tan( ) (n4) lgf A-M = cos ba tan( bm ) l M kan nu bestemmes ud fa om kusen e østlig elle vestlig. 46

52 3.7 Navigationsfomle IV: Lad de væe givet en meidian med længden l D. Denne meidian og stociklen, som e bestemt ud fa A s koodinate og begyndelseskusen skæe hinanden i D. Vi ha altså, at D = ( bd, ld), hvo l D e kendt. b = tan tan( b ) cos( lgf ) (n5) D ( M M D ) V: Et skib sejle fa A med begyndelseskus k, og med en hastighed på v knob. Efte t time e skibet i punktet B. Lad A s position og begyndelseskusen k væe kendt Lad B have koodinatene B = ( b B,l B ) v t Idet u = gælde 6 (n6) bb = sin ( cos( ba) cos( k) sin( u) + sin( ba) cos( u) ) cos( u) sin( ba) sin( bb) (n7) lgf A-B = cos cos( b ) cos( b ) Bevis Ved udledningen skal benyttes de kendte tigonometiske ovegangsfomle. (a) cos( 9 x) = sin x, sin( 9. x) = cos x, og (b) cos( 9 + x) = sin x = sin( x), sin( 9. + x) = cos x = cos( x), A sin( 9 x) cos( x) (c ) tan( 9 x) = (ses af tan( 9 x) = = = ) tan( x) cos( 9 x) sin( x) tan( x) I: Vi søge afstanden mellem to punkte A og B givet ved dees geogafiske koodinate Lad A= ( b, l ) og B = ( b, l ), og lad begge punkte ligge på den nodlige halvkugle (se figuen) A A B B I tekant ABN kendes nu AN = 9 - b A, BN =9 - b B og N = l l Af fomel () fås nu dist = AB = cos (cos( AN ) cos( BN) + sin( AN ) sin( BN) cos(( N) = cos ( cos( 9 ba) cos( 9 bb) + sin( 9 ba) sin( 9 bb cos( N) ) cos sin( b ) sin( b ) + cos( b ) cos( b ) cos(lg f ) = ( ) A B A B A B Hvis et punkt A på den sydlige halvkugle, vil AN = 9 + b A, Af ovegangsfomlene (b) ses, at fomlen stadig gælde, hvis man estatte b A med - b A. Fomlen (n) d i s t = A B = cos sin( b ) sin( b ) + cos( b ) cos( b ) cos(lg f ( A B A B A B) e hemed bevist. B A B = lgf A-B II: Vi søge begyndelseskusen k fo en sejlads mellem to punkte A og B givet ved dees geogafiske koodinate Vi kende nu alle te side i tekant ANB, så vi kan nu benytte fomel (b) til at finde vinkel A. Kusen kan deefte beegnes afhængig af om man sejle mod øst elle vest. cos( NB) cos( NA) cos( AB) sin( bb) sin( ba) cos( dist) A = cos = cos sin( NA) sin( AB) cos( b ) sin( dist) Idet A let kan omsættes til kusen e fomel (n) hemed bevist. A 47

53 3. Sfæisk geometi III: Alle stocikle skæe ækvato stede, og følgelig vil de på en stocikel altid væe et punkt M på den nodlige halvkugle de ligge tættest ved nodpolen. På figuen e en sådan situation aftegnet. Lad A= ( ba, la) og lad kusen k i A væe kendt. Vi søge punktet M s bedde b M. I den etvinklede tekant NMA kendes nu A og AN = 9 - b A sin NM sin( 9 bm ) cos( bm ) Af fomel (5) fås sin A = = = sin NA sin( 9 b ) cos( b ) ( ) Heaf fås bm = cos cos( ba) sin A. A A e kusen k (dog afhængig af om man sejle mod øst elle vest), så hemed e fomel (n3) bevist A Vi søge nu længdefoskellen mellem punktene M og A. tan NM tan( 9 bm ) tan( b M ) tan( ba ) Af fomel (6) fås: cos N = = = = tan NA tan( 9 b A ) tan( bm ) tan( b A ). Da N = lm la = lgf A-M fås N = lgf A-M = cos tan( Demed e fomel (n4) bevist. ba tan( bm ) IV: Lad de væe givet en meidian med længden l D. Denne meidian og stociklen, som e bestemt ud fa A s koodinate og begyndelseskusen skæe hinanden i D. Vi ha altså, at D = ( bd, ld), hvo l D e kendt. Vi søge b D. Idet M som fø e det punkt på den nodlige halvkugle, som ligge tættest ved nodpolen, kendes M s koodinate M = ( bm, lm) I den etvinklede tekant MND kendes N = lm ld og NM = 9 - b M tan NM tan( 9 bm ) tan( bd ) N = = = tan ND tan( 9 bd ) tan( bm ) bd = tan ( tan( bm) cos( N) ) elle D = tan tan( bm) cos( lgf M D) Af fomel (6) fås: cos Heaf fås b ( ) Hemed e fomel (n5) bevist V: Et skib sejle fa A ned begyndelseskus k, og med en hastighed på v knob. Efte t time e skibet i punktet B Lad A s position og begyndelseskusen k væe kendt Lad B have koodinatene B = ( b B,l B ) Vi søge koodinatene til B. t Skibet sejle v t sømil fa A til B, og demed e BA = v gade. 6 I tekant NAB kendes A, NA = 9 - b A og AB= u, dvs en vinkel og de to hosliggende side. Af fomel () fås cos( NB) = cos( NA) cos( AB) + sin( NA) sin( AB) cos( A) cos( 9 b ) = cos( 9 b ) cos( u) + sin( 9 b ) sin( u) cos( A) B A A sin( b ) = sin( b ) cos( u) + cos( b ) sin( u) cos( A) B A A B A A ( ) b = sin sin( b ) cos( u) + cos( b ) sin( u) cos( k). Hemed e fomel (n6) bevist Da vi nu kende alle te side i tekanten kan vi beegne N = l l = lgf A-M af fomel (b) cos( u) cos( 9 ba) cos( 9 bb) cos( u) sin( ba) sin( bb) cos( N) = = sin( 9 b ) sin( 9 b ) cos( b ) cos( b ) A B A B M A 48

54 3.7 Navigationsfomle Heaf fås lgf A-B = cos( u) sin( ba) sin( bb) cos cos( b ) cos( b ) A B, dvs fomel (n7) e bevist. Til løsning af en ække skibsopgave e det nødvendigt at vide, at: knob = sømil/time, sømil = 85 m =. 6 Det e natuligvis en afvejning i det enkelte tilfælde, om man vil buge sfæiske tekante, elle navigationsfomlene. Det følgende eksempel e et eksempel hepå: Eksempel 3.3 Stocikelsejlads Et skib sejle stocikelsejlads fa Esbjeg (55.3 N, 8.5 Ø) med kusen 33. Skibet passee beddeciklen 59 N i punktet P. Stociklen skæe beddeciklen i to punkte, men he ønskes fundet det punkt P, hvo skibet føst passee beddecilen. Find koodinatene til punktet P. Løsning: Vi ved, at vi ud fa de givne betingelse kan finde det nodligste punkt på stociklen. Da skibet sejle mod nodvest på situationen væe som skitseet på figuen, hvo M e det nodligste punkt på stociklen, E e Esbjeg, N e nodpolen, og den stiplede linie gennem P og P e beddeciklen. Stategi: Vi ved fa navigationsfomlene at vi kan finde M s koodinate. I den etvinklede tekant NMP kendes så NM og NP, dvs. vi kan finde N = længdefoskellen mellem H og P. Demed ha vi fundet P s koodinate. Beegninge: b = cos cos( b ) sin( k) = cos cos( 553. ) sin( 33) = (n3): M ( E ) ( ) tan( b ) tan( 55. 3) (n4): lgf E-M = cos E = cos = tan( bm ) tan( ) I tekant NMP kendes NM = = 6.53 og NP = 9-39= 3 tan( NM) tan 653. Af fomel (7) fås cos( MNP) = MNP = cos = 6. 4 tan( NP) tan 3 Vi ha følgelig, at ENP = = 4.. Længdefoskellen mellem E og P e defo 4., hvoaf følge at P ligge på = 3.95 østlig længde. P = (59 N, 3.95 Ø) 49

55 3. Sfæisk geometi Eksempel 3.4 (= eksamensopgave 4 apil 6) Et skib sejle stocikelsejlads fa Laong, Philipinene (.85 N,5. Ø) med en begyndelseskus 84 og med konstant fat på 5 knob. a) Angiv positionen fo det nodligste punkt P på sejladsen. Efte 6 døgns sejlads, hvo skibet e på position B, ændes kusen mod syd. b) Angiv B s position samt den nye statkus. Efte ydeligee stocikelsejlads med 5 knob fa B e skibet i position C på længden 78.5 V c) Angiv den samlede sejltid fa Laong til C samt C s position. d) Angiv den samlede sejltid, såfemt skibet i stedet havde sejlet fa Laong langs en beddecikel til 78.5 V, og deefte langs en stocikel til C. Løsning: En skitse af sejladsen tegnes. a) Vi anvende navigationsfomlene (n3) og (n4) b = cos cos( b ) sin k = cos cos(. 85) sin( 84) = 46. P ( A ) ( ) tan( b ) L tan(. 85) lgf L-M = cos = cos = 59. tan( bp ) tan( 46. ) P = (4.6 N, 5, Ø ) = (4.6 N, 5.5 Ø ) b) Med 5 knob i 64 time tilbagelægge skibet = 36, dvs. LB = 36 6 Vi anvende navigationsfomlene (n6) og (n7) ( ) ( ) B L L b = sin cos( b ) cos( k) sin( u) + sin( b ) cos( u) = sin cos(. 85) cos( 84) sin( 36) + sin(. 85) cos( 36) = 388. cos( u) sin( bl) sin( bb) cos( 36) sin(. 85) sin( 388. ) lgf A-B = cos = cos = cos( bl) cos bb) cos(. 85) cos 388. ) B = (3.88 N, Ø = (3.88 N, 6.4 Ø ) Fo at kunne bestemme kusen må man føst bestemme slutkusen i B Hetil kan vi benytte (n) idet vi nu blot egne begyndelseskus fa B til L. B = cos sin( bl) sin( bb) cos( dist(l, B) sin(. 85) sin( 388. ) cos( 36) = cos = 875. cos( b ) sin( dist(l, B) cos( 388. ) sin( 36) B Ny kus = =.85 c) Vi kende statkus i B og B s beliggenhed. Skæing med meidian kan fås af fomel (n5), men det kæve, at vi igen benytte fomlene (n3) og (n4) fo at finde det nye maksimumspunkt M. Da vi endvidee skal beegne BC ud kæve det også (n) Lidt hutigee e det (måske) at betagte BNC. 5

56 3.7 Navigationsfomle Skibet passee datolinien, da C ligge på 78.8 V. Vi ha følgelig, at BNC =lgf B-C = = 9.7 I BNC kendes nu en side BN = = 76. og to hosliggende vinkle N = 9.7 og B =,85. Vi kan nu af fomel (a) beegne C, og deefte af fomel (b) de to side NC og BC. cosc = cos N cos B sin N sin B cos BN = cos. 85 cos sin. 85 sin 9. 7 cos 76, 4 C =73.48 cos cos 735. cos. 85 cos BC = BC = sin 735. sin. 85 cos. 85+ cos 735. cos 9. 7 cos NC = NC = 8.9 sin 735. sin 88. C = (9-8.9, 78.5 ) = (8.7 N, 78,5 V) Samlet sejltid: LC = = sejles på = 4 time, dvs sejles på 3.98 time 5 cos. 85+ cos 735. cos 9. 7 cos NC = NC = 8.9 sin 735. sin 88. C = (9-8.9, 78.5 ) = (8.7 N, 78,5 V) d) Beddeciklen LD (den stiplede linie på tegningen) ligge på bedden,85 N. LND = = CD = = Sejltid fa L til D og igen fa D til C : ( ) 37 8 time 5. cos. +. =. 5

57 3. Sfæisk geometi Opgave Opgave 3. (eksamen 5) a) Fa positionen A = (4.8 V, 8.45 N) sejles stocikelsejlads til position B = (36.75 V, 44.5 N) Bestem begyndelseskus og slutkus. b) I position B ændes kusen til 56.5 og de sejles fotsat stocikelsejlads til position C, de ligge på 8. vestlig længde. Bestem C s bedde c) De sejles hele tiden med.5 knob. Bestem sejltiden ABC, samt sejltiden hvis de i stedet va sejlet med.5 knob langs beddeciklen 8.45 N fa A til 8. V og denæst langs meidianen til C. d) På tuen fa A til B passees søndenom position D = (5.6 V, N). Bestem den koteste afstand til D i sømil unde sejladsen fa A til B. Opgave 3. (eksamen 4) a) Fa position A, 73. V på den sydlige halvkugle (Valdiva, Chilie) sejles stocikelsejlads ned en begyndelseskus 4 til position B, hvo kusen e 8. De sejles med knob i 5 døgn. Bestem positionene A og B s koodinate. b) Efte.5 døgns sejlads fa A e position M nået. Bestem position M s koodinate. c) Unde sejladsen passees syd om Robinson Cusoe Island (34. S, 79. V). Bestem i hvilken afstand angivet i sømil. d) Fa position B sejles kus 7 langs en beddecikel i 7 døgn, fotsat med faten knob, Bestem slutpositionen D (Invecagill, New Zealand). Opgave 3.3 (eksamen 3) a) Fa position A, 9.8 V sejles stocikelsejlads med en begyndelseskus 7 til position B, som anløbes med en slutkus Længdefoskellen mellem position A og B e 45.. Bestem Positionene A og B s koodinate. b) I position B foetages en kusænding på 5. mod syd og stocikelsejladsen fotsættes i.5 døgn med faten 3.5 knob, hvoefte position C nås. Bestem position C s koodinate. c) Hvis man fa position B havde fotsat mod position C, langs en beddecikel og siden langs en længdecikel stadig med faten 3.5 knob, hvo lang tid havde sejltuen fa B til C så væet? d) Unde sejltuen fa A til B passees en position D = (38. N, 6. V) i en vis afstand. Angiv den koteste afstand til position D unde sejltuen fa A til B. Opgave 3.4 (eksamen ) Et skib S sejle fa Byon Bay (55.3 N, 58.6 V) stik øst langs en beddecikel med en fat på 8 knob. Samtidig afsejle et andet skib S fa Cap Feet (44.7 N,. V) langs en stocikel med en begyndelseskus 35 og en fat på knob. a) Bestem S og S s positione efte 3 døgns sejlads. b) Bestem afstanden mellem skibene efte 3 døgns sejlads. c) Bestem positionen P, hvo S med fotsat stocikelsejlads skæe S 's sejlute. d) Hvonå skulle S væe statet, hvis begge skibe skulle have væet samtidig på positionen P 5

58 4.. Funktionsbegebet 4 Standadfunktione 4. Funktionsbegebet Det foudsættes i det følgende, at man ha et geneelt kendskab til funktionsbegebet. Vi vil defo kun kot epetee et pa væsentlige definitione: Monoton funktion Hvis de til støe x-vædie svae støe funktionsvædie kaldes funktionen voksende. Hvis de til støe x-vædie svae minde funktionsvædie kaldes funktionen aftagende. Den lineæe funktion f ( x) = ax+ b e således voksende, hvis a > (hældning e positiv) og aftagende hvis a <. Et monotoniinteval e et inteval, hvoi funktionen enten e voksende i hele intevallet, elle e aftagende i hele intevallet Omvendt funktion Fo x fås af ligningen x = y at x = y. Man kan altså kun løse ligningen, hvis man indføe funktionen kvadatod, som siges at væe den omvendte funktion af f ( x) = x. Da man ikke kan tage kvadatoden af et negativt tal, så e dette kun muligt fo x. Enhve monoton funktion en omvendt funktion. Således e f ( x) = x en voksende funktion fo x og f ha defo he en omvendt funktion f ( x) = x Symbolikken f e uheldig da den kan foveksles med /f. Man buge den defo kun hvo foveksling e umulig, men buges bl.a. på lommeegneen hvo sin e den omvendte funktion af sinus. Gafen fo f fås så af gafen fo f ved spejling i linien y = x,se figu 4.. Fig 4. Omvendt funktion 53

59 4. Standadfunktione Standadfunktion Ved en standadfunktion vil vi i det følgende fostå en af følgende type af funktione: Potensfunktione x a, Eksponentialfunktione a x, logaitmefunktione ln(x) og log(x) samt de tigonometiske funktione sin(x) og cos(x). Lad f ( x) og gx ( ) væe to standadfunktione og a og b væe to konstante. De kan så dannes nye funktione ud fa de sædvanlige egneegle a f ( x) + b g( x), a f ( x) b g( x), og f ( g( x)). f ( x) gx ( ) Ofte kalde man funktionen yx ( ) femfo f(x), da det så mee svae til, at vi i koodinatsystemet kalde andenaksen fo y-aksen. Eksempelvis yx ( ) = x 3e en lineæ funktion, hvis gaf e den ette linie med hældningen, og med ligningen y = x 3. Paktisk foklaing af skivemåden y = y(x). E f.eks. massen m af en stang en funktion af stangens længde l, vil man nødigt skive m = f(l), da man så dels benytte symbolet m fo massen betagtet som en vaiabel, dels benytte symbolet f fo massens afhængighed af l. I stedet skives tit m = m(l), så de kun knyttes ét symbol m til den fysiske støelse. Standadfunktionene vil blive gennemgået i de følgende afsnit, sammen med eksemple på funktione, de e dannet ud fa ovenstående egneegle. 4.. Potensfunktione Som bekendt e a 5 = a a a a a, og geneelt gælde, at hvis n e et helt positivt tal, så e a n = a a... a (i alt n faktoe) Fo egning med potense gælde som bekendt følgende potenssætninge: n n p n+ p a n p n ) a a a, ) a, 3) a p np n n n = = = a, 4) ( a b) = a b 5) p a Eksempelvis e a a = a = a og ( a ) 5 5 = a = a n n a a = b n b Eksponenten p i a p kan imidletid væe alle eel tal, blot man foudsætte oden a > De gælde nemlig Definition. Udvidelse af potensbegebet Lad n væe et positivt helt tal, og a et vilkåligt eelt tal hvis intet andet e nævnt. a n = a a... a (i alt n faktoe) a a n n = fo a n a a fo nlige n = a hvo avilkåligt eelt tal fo nulige = a a fo 54

60 4.. Potensfunktione Begundelse n p n+ p Da potenseglen a a = a skal gælde, fås fo n n+ o p = : a a = a a =, n n n n n n n p= n: a a = a a a = a = n a ialt n addende an an an an n n... = = a. Da n a n a... n a = a fås heaf, at an n = a ialt n faktoe n faktoe Hvis n e lige må a ikke væe negativ, jævnfø, at ( 4) e udefineet ( x = 4 e uden løsning), mens = da ( ) = 8. At potenseglene ) 3) 4) og 5) også gælde fo det udvidede potensbegeb ovelades til læseen. Potense med ikke ational potens Ønske man at definee eksempelvis måde. = , så kan det ske ud fa de foige definitione på følgende 3 = 3, 3 = 3 = , 3 = , 3 = , 3 = , dvs På lommeegneen fås med 4 decimale Eksemple på anvendelse af potensfunktione Eksponentiel notation (scientific notation) Meget stoe tal elle meget små tal skives eksponentielt Eksempel :Elektonens masse e 9. 3 kg og lysets hastighed e ca 3. 8 m(s Keples 3. lov Planetene bevæge sig om solen i bane, hvo omløbstiden T og den gennemsnitlige afstand fa solen e givet ved T = Pulsen fo foskellige dyeate. Det vise sig, at små dy ha en hutig puls og stoe dy ha en langsom puls. Man he fundet, at hvis y e antallet af hjeteslag p. sekund, og x e dyets masse i kg, så gælde 7. med tilnæmelse y = 36. x 55

61 4. Standadfunktione 4.3. Polynomie Ved et polynomium af n te gad fostås funktionen n n f () x = an x + an x ax+ a, an Ved polynomiets ødde fostås løsningene til ligningen f ( x) =. Man kan vise, at et polynomium af n te gad ha højst n ødde. Polynomium af. gad: Et polynomium af gad en et linie. f ( x) = ax+ b:, a Det foudsættes, at man kende denne funktion samt den ette linie s ligning, så vi vil he nøjes med at vise gafen fo f (x) (se figu 4.), kaldes også en lineæ funktion, da dens gaf e Polynomium af. gad: f ( x) = ax + bx + c, a Gafen fo denne funktion kaldes en paabel. Det foudsættes at man kende denne funktion, så vi nøjes med at epetee via et eksempel. Eksempel 4.. (polynomium af. gad) Lad f ( x) = 3x x+ a) Angiv definitionsmængden fo f b) Find eventuelle nulpunkte fo f c) Skitse gafen fo funktionen i et inteval, de indeholde nulpunktene. d) Angiv funktionens vædimængde Løsning: a) Funktionen e defineet fo alle tal, dvs D = ] ; [ b) Nulpunkte: (= gafens skæingspunkte med x - aksen) f ( x) = 3x x+ = + = = ± = ± = ± b b 4 a c ( ) ( ) 4 ( 3) 5 3x x x = a ( 3) 6 3 elle benyt TI 89: F/solve(-3x^-x+=,x) Nulpunkte x = - og x = 3 Fig 4.. Hældning a c) Da a = -3 < ha paablen genene nedad. Støttepunkt (, ) 56

62 4.3. Polynomie Sædvanligvis e det klogest, at bede lommeegneen tegne gafen, men det e ikke nødvendigt he, hvo vi kende paablen d) Fo at finde maksimumspunktet, må man enten huske toppunktsfomlen fo en paabel, b d T = = 5 = 5,,, a 4a 6 4( 3) 6 elle igen benytte lommeegneens maximum På tegning vælg F5, og på menu vælg maksimum og indsæt et passende inteval. Vædimængde V = ; 5 Eksempel 4.. Optimeing En sto butikskæde sælge lommeegnee til 6 k p. stk. Til den pis ha man efaing fo, at de sælges stk. p. uge. Fo hve gang man hæve pisen med 5 k p. stk. falde salget med 6 stk. p. uge. Tilsvaende stige salget, hvis pisen sænkes. Hvis fimaet kun se på omsætningen, hvilken pis give så den støste omsætning? Løsning: Hvis pisen e 6 k e omsætningen O = 6k Hvis pisen e k e omsætningen O = ( 6 + 5) ( 6) k Hvis pisen e k e omsætningen O = ( 6 + 5) ( 6) k Idet x e antal gange pisen stige med 5 k, så ha vi følgelig, at hvis pisen e 6 + x 5 k e omsætningen O = ( 6 + x 5) ( x 6) k Håndegning: Ox ( ) = 5 6x + ( 5 6 6) x+ 6 = 3x + 4x+ 6 TI89 : expand((6+x*5)*(-x*6),x) Vi se, at omsætningen kan skives som et andengadspolynomium i x Vi søge den støste omsætning, dvs. støstevædien fo O(x) Da gafen e en paabel med genene nedad ha den en støstevædi i toppunktet. b 4 Vi ha defo, at omsætningen e støst fo x = = = 333. a ( 3) Da x skal væe et helt tal må x =, dvs. vi skal hæve pisen med k til 7 k p. stk. Heved sælges fæe lommeegnee, men omsætningen stige til ( 6 + 5) ( 6) = 7 88 = 66. En anden metode e at tegne gafen, men det e ikke helt let, at få det igtige vindue, da vædiene e så stoe (se evt. appendix ). 57

63 4. Standadfunktione 4.4. Eksponential- og logaitme-funktione Eksponentialfunktione Ved en eksponentialfunktion fostås en funktion af typen f ( x) = a x, hvo a > x kaldes eksponenten og a fo gundtallet. Da a = vil alle eksponentialfunktione gå gennem punktet (x, y) = (,). Eksempel 4.3 Gaf fo eksponentialfunktion x Skitse gafene fo eksponentialfunktionene f ( x) = og gx ( ) = Løsning: De beegnes følgende støttepunkte x f(x) = = = 8 4 g(x) 3 = 8 = 4 = 4 8 x x y = Det ses, at f ( x) = a x e voksende fo a > og aftagende fo a <. Af speciel inteesse e den eksponentialfunktion, som i punktet (x,y) = (,) ha en tangent med hældningskoefficienten. Denne funktion kaldes den natulige eksponentialfunktion og skives exp(x) elle e x Dens gundtal e e en uendelig decimalbøk. På TI 89 findes funktionen ove tasten x og man finde bl.a. at med 5 decimale e e^() =

64 4.4 Eksponential- og logaitme-funktione 4.4. Logaitmefunktione Da eksponentialfunktionene e monotone, ha enhve af dem en omvendt funktion. Disse omvendte funktione kaldes logaitmefunktione. Vi vil i detalje nøjes med at betagte de to vigtigste, nemlig ) Den natulige logaitme y = ln(x) som e den omvendte funktion til y = e x, dvs. y = ln( x) x = e y. De gælde altså (foudsat x > ) ln( x) x e = x og ln e = x ( ) ) Titalslogaitmen y = log(x), som e den omvendte funktion til y =, y log( x) x dvs. y = log( x) x = De gælde altså = x og log( ) = x x På figu 4. e tegnet gafene fo e x og fo ln(x). Fo log og ln gælde (jævnfø også figu 4.), at definitionsmængden D e alle positive eelle tal, da det e vædimængden fo e x og x. Vædimængden V = R (alle eelle tal) da det e definitionsmængden fo e x og x. ln( ) = og log( ) = da e = = Fig 4.. ln(x) e den omvendte funktion af e x 59

65 4. Standadfunktione Logaitmeegle Svaende til potenseglene ha man nogle logaitmeegle, de e vigtige hvis man skal bevise sætninge, elle hvis man skal løse ligninge ved håndkaft. Da vi sædvanligvis anvende lommeegne i sådanne tilfælde vil vi kun anvende dem ved bevise. Lad a og b væe positive tal. De gælde da ) ln( ab ) = ln a+ ln b log( ab ) = log a+ log b a a ) ln = ln a ln b log = log a log b b b x x 3) ( ) ( ) ln a = x ln a log a = x log a Bevis: a a = e ln og b= e lnb fås a b a+ b ) a b= e + e = e dvs. ln( a b) = ln e = lna + lnb ln ln ln ln ln ( a + ln b) ln a a e ln a ln b = = e ) b lnb e dvs. ln a lnb ( ) a ln = ln e = lna lnb b ln ln x x ln a ( ) ( ) ( ) x a 3) a e x x a = = e dvs. ln a = ln e = x lna Beviset fo log e ganske analogt. ln x Titalslogaitmen kan udtykkes ved de natulige logaitme: log x = ln Bevis: Af x = log x fås ved at tage logaitmen på begge side og benytte logaitmeegel 3): ln x ln x = log x ln log x = ln Nogle anvendelse af logaitme- og eksponentialfunktione. Radioaktivt henfald Radioaktive stoffe omdannes med tiden til ikke-adioaktivt stof. Man sige, at stoffet henfalde. Kulstof e således ud ove nogle stabile isotope, også sammensat af den adioaktive isotop 4 C, som kaldes kulstof-4. 6 Hvis mængden af det tilbagevæende stof til tiden t kaldes m(t), gælde mt () = m() e kt, hvo m() e mængden af den adioaktive stofmængde til tiden t =. Tallet k kaldes henfaldskonstanten. Støelsen af den afhænge af det pågældende stof. Fo en aftagende eksponentiel udvikling som ovenstående gælde, at nå de e gået en bestemt tid (halveingstiden T) så e den tilbagevæende mængde stof blevet halveet. Dette gælde uafhængigt af om man foetage målingen i dag elle om å. 6

66 4.4 Eksponential- og logaitme-funktione Sætning 4.. Halveingstid elle fodoblingstid Lad de væe givet funktionen f ()= t a b t, hvo t e tiden E b > e f(t) voksende. Den tid T det tage fo at f(t) blive fodoblet e uafhængig af tidspunktet og kaldes fodoblingstiden E b < e f(t) aftagende. Den tid T det tage fo, at f(t) blive halveet e uafhængig af tidspunktet og kaldes halveingstiden. De gælde T = ln( ) ln( b) Specielt, hvis f t a e kt ()= da e T = ln( ) k Bevis: a) b > : Vi ha, at f ( t+ T) = f ( t) () t + T t T Idet f ( t + T) = a b = a b b fås ved indsættelse i ligning () t T t T ln ab b = ab b = T lnb= ln T= lnb b) b < : Vi ha, at f ( t+ T) = f ( t) () Idet f t T a b t + ( + ) = T = a b t b T fås ved indsættelse i ligning () t T t T ln ab b = ab b = T lnb= ln ln T= lnb c) f t a e kt kt k ()= Da e ( e ) t ln ln = e T = = k ln( e ) k Eksempel 4.4 Halveingstid Fo kulstof -4 gælde mt () = m() e kt, Det vides, at den ha en halveingstid på ca. 573 å. Find henfaldskonstanten k. Løsning: Da funktionen aftage, e k >. ln ln Vi ha da 573 = k = =. k 573 I levende plante og dy e foholdet mellem kulstof-4 og den ikke adioaktive isotop 6 C konstant og e det samme som foholdet mellem de to isotope i omgivelsene. Nå oganismen dø, optage den ikke længee kulstof fa omgivelsene. Nu henfalde kulstof-4 og man kan defo benytte indholdet af kulstof-4 i akæologiske fund (knogle, planeeste) til at angive dets alde. 6

67 4. Standadfunktione Rentefomel Hvis entefoden e % p. temin, så vil en kapital på b k efte n temine væe vokset til b = b( + ) n n Denne fomel kaldes entefomlen Bevis: Et beløb på b k indsættes på en bankkonto, hvo de tilskives en ente på % om ået. Hvo meget e beløbet vokset til efte n å. Løsning: Efte å e beløbet vokset til b + b = b (+) k Efte å e beløbet vokset til b (+)+ b (+) = b (+) k osv. Efte n ås foløb e beløbet vokset til b (+) n k Eksempel 4.5. Anvendelse af entefomlen ) Hvad skal sættes ind på en bankkonto, som foentes med 4.5% ente p.a. fo at de om å stå 8 k ) En viksomhed ha det føste å en vækst på 8%, det næste å en vækst på %, det tedie å et fald på % og det fjede å en vækst på 5%. Hvad e den gennemsnitlige ålige vækstate på %, som på 4 å give det samme esultat. 3) De indsættes k på en bankkonto med fast ente på 4% p.a. Hvo mange å (temine) skal beløbet stå fo at det e vokset til k. 4) Et adioaktivt spoingsstof indspøjtes i en mus. Man ved at mængden af stof aftage med 5% ove en peiode på time. Hvad e det pocentiske fald p. time? Løsning: 8 ) b( +. 45) = 8 b = = 554. k 45. ) Lad os antage, at vi ha en kapital på k Denne e på 4 å vokset til De gælde ( + ) 4 = ( + ) 4 = = (. 437) 4 = = = 3. 4% 3) (.4) n n n ln = (. 4) = 4. = n = = ln 4. elle TI89: F: solve((*(.4)^n=,n) Resultat n = 7.67 Beløbet skal stå i 8 å 4) Lad det pocentiske fald p. time væe % ( ) = ( 5. ) ( ) = 75. = 75. = =. 368 =. 37% 6

68 4.4 Eksponential- og logaitme-funktione Richte - skalaen Ved måling af jodskælvs styke beegnes et tal R (f.eks. R = 6) efte Richte-skalaen. a Fomlen de benyttes e R = log + b,hvo a e amplituden fo jodovefladens svingninge T (i 6 m) ved målestationen, T e peioden fo jodskævbølgen i sekunde og b e en konstant, de afhænge af jodskælvbølgens svækkelse fa centum fo jodskælvet. Da skalaen e logaitmisk betyde en lille ænding i Reakto tal en sto ænding i jodskælvets styke. Det kan ses af følgende egninge: Lad et jodskælv have Reakto tallet R og et andet jodskælv have Reakto tallet R, og lad de tilsvaende amplitude væe a og a. Lad endvidee T og b væe de samme fo begge jodskælv. a a Vi ha defo R = log + b R = log + b T T Tækkes de to ligninge fa hinanden fås a a R R a R R a R R a a R R = log log = log log = log = T T a a Antages eksempelvis, at Richtetallet stige med.5 (f.eks. fa R = 5 til R = 5.5) blive a 5. = a = a a = 36. a a Amplituden blive altså ove 3 gange så sto ved en stigning på.5. Lydmåling Decibel (db) skalaen buges til at bestemme, hvo høj intensiteten i lydtykket e i de fekvense, det menneskelige øe kan opfatte. I Lydstyken L i decibel beegnes af fomlen L = log, hvo I e lydtykket og I e I den svageste lydtyk det menneskelig øe kan opfatte (begge målt i W/m (Watt p. m )). Det ses, at hvis I = e L = db. I Sættes I = 6 I e L = 6 db, hvilket svae til samtale i nomalt leje. Det ses altså, at det menneskelige øe ikke opfatte lyden som selve lydtykket, men dæmpe det kaftigt ned efte en logaitmisk skala. Måling af suhedsgad Enhve sye e kendetegnet ved en støe elle minde tilbøjelighed til at afgive H + -ione, så jo mee og jo stækee sye de e, desto flee ione. Man måle defo en væskes suhed ved at måle koncentationen af bintione [ H + ] i væsken (i mol/lite). + En opløsnings ph definees ved ph = log[ H ]. Destilleet vand ha en ph på 7 (svaende til [ H + ] = 7 ), en su væske ha ph < 7 og en basisk væske ha en ph > 7s Steng taget ikke H + men + HO 3 63

69 4. Standadfunktione Eksempel 4.6. Ligninge med logaitme- potens- elle eksponentialfunktione Løs ligningene a) ln x = 3 b) e x = 5 c) Lad y = x a. Nå x vokse med % vokse y med 5%. Find a. Løsning: 3 a) ln x = 3 x = e = 86. b) e x = 5 x = ln( 5) =. 78 a c) y 5. = ( x. ). Indsættes y = x a fås x a ( x ) a ln =. 5. x a = x a 5. a a = = 466. ln. TI 89: Spøgsmål c) kunne også løses ved F: solve(.5=(.)^a,a) Resultat a = Tigonometiske funktione Indledning Odet tigonometi betyde tekantsmåling, og de tigonometiske funktione anvendes i udstakt gad til geometiske beegninge (jævnfø kapitlene - 3). Ved mange fysiske anvendelse anvendes også de tigonometiske funktione, men he e det isæ dees peiodiske, svingende egenskabe de e af betydning, f.eks. ved beskivelse af vekselstøm, mekaniske svingninge osv.. Et eksempel på disse anvendelse kan findes i afsnittet om svingninge. Mens man i geometien sædvanligvis egne vinkle i gade, vil man ved fysiske anvendelse egne vinkle i adiane (også kaldet natuligt vinkelmål). Definition af vinkels adiantal På figu 4.4 e tegnet en cikel med centum i O og adius (ciklen kaldes en enhedscikel) Vinklen v mellem OQ og OP målt i adiane definees ved længde af cikelbue v = = adius længde af buen QP på enhedsciklen. Fig Definition af adian. 64

70 4.5 Tigonometiske funktione Da en cikel med adius ha omkedsen π ha en halvcikel på enhedsciklen længden π. 8 Da dette svae til en vinkel på 8 ske en omegning fa adiane til gade med faktoen. π π π Eksempelvis ha en vinkel på 6 adiantallet 6 = 47. og en vinkel på adiane ha 8 3 et gadtal på 8 = 36 = adiane π π I de følgende afsnit omstiles defo TI 89 til adiane: Mode Angle = adian 4.5..Definition af sinus og cosinus. Geneelt definees cosinus og sinus på følgende måde: Lad P væe et punkt en enhedscikel (cikel med adius ), og lad x betegne en vinkel fa x - aksen til linien gennem O og P. Vinklen x egnes med fotegn (positiv mod uet) Funktionene cos(x) og sin(x) definees da ved, at P ha koodinatene P = (cos x, sin x) Definitionene femgå af figu 4.3. Fig Definition af cos og sin Peiodicitet Enhedsciklen ha omkedsen π, så punktet P på figu 4.3 ha såvel koodinatene (cos x, sin x) som koodinatene (cos( x+ π ),sin( x+ π ),(cos( x+ 4π ),sin( x+ 4π ) osv. samt koodinatene (cos( x π ),sin( x π ),(cos( x 4π ),sin( x 4π ) osv. De gælde altså, at funktionsvædiene fo f ( x) = sinx og gx ( ) = cosxgentage sig selv med en afstand på π. Man sige de to funktione e peiodiske med peioden π. 65

71 4. Standadfunktione Tegnes gafen fo funktionen f ( x) = sin( x), hvo x måles i adiane, så kan man få en ække støttepunkte ved i lommeegneen at sætte x til foskellige vædie x, y=sin x Gafen kan nu tegnes, men lettee e det at lade lommeegneen gøe det. Vælg intevallet -< x< og - < y < Tilsvaende kan man gøe det fo cos. Fig Gafe fo cos og sin. π Hvis gafen fo cos x paallelfoskydes mod høje falde den sammen med gafen fo sin x, π π dvs. cos x = sin x elle cos x = sin x+. Relationen e et eksempel på de såkaldte ovegangsfomle, som vi bl.a. så anvendt i den sfæiske geometi. Løsning af tigonometisk ligning Ligninge hvoi de indgå sin elle cos ha ofte uendelig mange løsninge. Eksempelvis ha ligningen sin( x ) = 5. uendelig mange løsninge, da linien y =.5 jo skæe gafen uendelig mange gange. Eksempel 4.7. Løsning af tigonometisk ligning a) Find samtlige løsninge til ligningen sin(x) =.5 b) Find alle løsninge til ligningen sin(x) =.5 indenfo et peiodeinteval Løsning: a) TI 89: solve(sin(x)=.5,x) give x = c π x = c π hvo den mækelige konstant på lommeegneen (he kaldes c) kan væe alle hele tal svaende til de uendelig mange løsninge. Man se (som foventet) at peioden e π. b) Da peioden e π skives solve(sin(x)=.5,x) < x < *π Resultat : x =. 68 x =

72 4.5 Tigonometiske funktione Anden metode e at benytte sin - x = sin ( 5. ) = 536. give kun den ene løsning, nemlig den de ligge i intevallet mellem π π ; Betagte vi enhedsciklen på figu 4.5, så kan vi de se, at både punktene P og Q ha samme anden-koodinat, og at hvis den ene vinkel e x, må den anden væe π x Vi ha følgelig, at den anden løsning e x = π =.68 P = (cos x, sin x) Fig sin x =.5 De findes et utal af tigonometiske fomle, og selv lommeegneen ha undetiden svæt ved at educee tigonometiske udtyk og løse tigonometiske ligninge. Det e ikke pensum, at benytte alle disse fomle, så det følgende afsnit e kun til oienteing Relatione mellem tigonometiske funktione Gundelation mellem sin og cos cos x Vektoen OP = på figu 4.5 ha længden, dvs de gælde sin x Denne gundelation mellem cos og sin skives også sin ( sin x) ( cos x) x + cos x = + = Ovegangsfomele Ud fa enhedsciklen kan man som alleede vist på figu 4.5 ved symmetibetagtninge let indse de såkaldte ovegangsfomle. sin( π x) = sin x, cos( π x) =.cos x sin( x) = sin x, cos( x) = cos x π π sin( x+ π) = sin x cos( π + x) = cos x cos x = sin x, sin( x = cos x og mange flee. Additionsfomle Nogle af de vigtigste fomle i tigonometien e de såkaldte additionsfomele, som he angives uden bevis: cos( x+ y) = cos x cos y sin x sin y sin( x+ y) = sin x cos y+ cos x sin y Ud fa disse kan man ved eksempelvis at estatte y med -y elle y med x få ande nyttige fomle fem. () () 67

73 4. Standadfunktione E disse ikke tilstækkelige nå man ha bug fo at omfome et tigonometisk udtyk, kan man eventuelt finde den nødvendige fomel i en støe matematisk fomelsamling. Sådanne omfomninge af udtyk hvoi de foekomme tigonometiske funktione kan væe meget kompliceede. Det e defo, at eksempelvis TI 89 ha nogle specielle ode (F\Tig\ texpand (evt. tcollect) som man ofte med fodel kan benytte. Acusfunktione. Da man jo let kan to, at sin x = (hvad det ikke e), kan man møde skivemåden sin x Acus. Accos x = cos x, Acsin x = sin x og Actan x = tan x Fostavelsen "acus" (bue, vinkel) komme af, at f.eks. Acsin e den vinkel, hvis sinus e Svingninge I mange anvendelse ha man bug fo funktione de e peiodiske. Ved vekselstøm svinge spændingen fem og tilbage, og fasefoskudt men med samme fekvens svinge stømmen, et pendul svinge fem og tilbage, på gund af tidevandet vaiee vanddybden peiodisk, osv. Eksempel 4.8. Vekselstøm Lad os betagte en tådspole som deje undt i et magnetfelt. ωt Heved inducees en vekselspænding mellem tådullens endepunkte på Et () = A sin( ωt), hvo t e tiden, A kaldes amplituden og ω kaldes vinkelfekvensen elle fasen. Fobindes nu denne vekselspænding til et kedsløb med en spole med en selvinduktion L som på figu 4.6 vil det vise sig, at den fembagte vekselstøm i væe givet ved A i = sin( ωt ϕ),hvo impedansen Z = L ω og Z fasefoskydningen ϕ = π. Fig 4.6 L- kedsløb 68

74 4.5 Tigonometiske funktione Tilsvaende kan man vise, at fobindes vekselspændingen med en kondensato med kapacitet C π e impedansen Z = og fasefoskydningen ϕ =. C ω Nå man danne et kedsløb eksempelvis som på figu 4.7, hvo en modstand, en kondensato og en spole e sat i seie, så vil de en vekselstøm Et () = Asin( ω t) vil den fembagte vekselstøm i væe A givet ved i = sin( ω t ϕ) Z Fig 4.7 RCL - kedsløb Amplitude, fekvens, svingningstid, bølgelængde Som det ses af eksempel 4.8 optæde ofte svingninge af typen f () t = A sin( ωt + ϕ) Vi vil defo undesøge hvilken betydning amplituden A, vinkelfekvensen ω og fasefoskyd- ningen ϕ ha fo svingningene ved at undesøge hvad de ske med gafen fo en svingning, nå man ænde A, ω og ϕ. ) En svingning med amplituden A svinge mellem -A og +A. På figu 4.8 e tegnet funktionene f () t = sint med amplituden, gt () = sin() t med amplituden og ht () = sintmed amplituden π π π π Fig 4.8. Svingninge med amplitudene 3, og ½ 69

75 4. Standadfunktione ) En svingning med vinkelfekvens ω ha en peiode (kaldet svingningstid) på T = π ω Begundelse: f () t = sint ha peioden π, dvs gafen foetage en hel svingning (én bølge ) nå t vaiee mellem t = og t = π. Funktionen gt () = sin( ωt+ ϕ) vil defo tilsvaende foetage en hel svingning nå ωt + ϕ vaiee mellem og π. ϕ π ϕ Da ωt + ϕ = t = og ωt + ϕ = π t = e afstanden mellem de to punkte T = π som ω ω ω ω defo e peioden (svingningstiden). π På figu 4.9 e tegnet funktionene f() t = sin3t med svingningstiden, gt () = sin() t med 3 svingningstiden π og ht () = sin t med svingningstiden 4π. π Fig 4.9. Blå kuve:sin(3t), ød kuve: sin(t), sot kuve sin(t/) 3) Fasefofoskydning ϕ : Sammenlignes gafen fo f () t = Asin( ω t+ ϕ) med gafen fo gt () = Asin( ω t) ses, at de ha samme amplitude og samme svingningstid (peiode) Idet g() = og f ϕ = ses, at tallet ϕ angive det stykke gafen fo g skal ω ω paallelfoskydes i x-aksens etning fo at gå ove i gafen fo f. 4) Fekvens f. Ved fekvensen f fostås antallet af svingninge p sekund. Da svingningstiden e det antal sekunde det tage at udføe en svingning, så e f =.Fekvens måles i Hetz ( Hz = s - ). T En lyd på 44 Hetz = 44 svingninge p sekund e eksempelvis kammetonen A. 5) Bølgelængde Betagte vi igen lyden på 44 Hetz, og antage, at lydens udbedelseshastighed e 33 m/s, 33 så vil 44 Hetz fylde 33 m. svingning vil defo fylde = 75. m. Man sige så, 44 at bølgelængden e 75 cm. 7

76 4.5 Tigonometiske funktione Et andet eksempel e adiobølge, som i FM-omådet e ca. mhz (megahetz) = 8 s Da adiobølge udbede sig med lysets hast ca. 3 km/s = 8 3 bølgelængde = 3 m m/s, e dees Eksempel 4.8 Tempeatusvingninge Tempeatuen y (i Celcius) på et bestemt sted vaiee efte følgende ligning π y = 5+ 6 sin( x, hvo x e antal dage egnet fa apil, og ået fo nemheds skyld antages 36 at have månede på hve 3 dage. a) Angiv svingningstiden T b) Angiv åets middeltempeatu, samt højeste og laveste tempeatu c) Tegn på lommeegneen gafen i et peiodeinteval. d) Angiv tempeatuen janua og maj e) Angiv de dage hvo tempeatuen e højest. Løsning: π a) T = = 36 dage ω b) Middeltempeatu 5, Højeste tempeatu 5+6=3. Laveste tempeatu 5-6 =- c) Peioden e 36, så kuven tegnes i intevallene [; 36] og [ - ; 3] d) janua: x =7. π Tempeatu = π sin( = + sin( = 3 elle på tegning vælg F5: Value, x= 7 π maj: x =3. Tempeatu = π sin( = + sin( = 3 6 π e) 3 = Højeste tempeatu juli 36 π π π sin( x sin( x = x = x = 36 8 elle på tegning vælg F5: maximum. Lowe Bound =, Uppe Bound : 36 7

77 4. Standadfunktione Opgave til kapitel En funktion e bestemt ved f ( x) = x 8x+ 7 a) Find koodinatene til paablens skæingspunkt med de to koodinatakse. b) Find toppunktets koodinate c) Tegn paablen. 4.. En funktion e bestemt ved f ( x) = x + 3x+ 4 a) Find koodinatene til paablens skæingspunkt med de to koodinatakse. b) Find toppunktets koodinate c) Tegn paablen Funktionene f og g e bestemt ved f ( x) = x+ g( x) = x x+ Find skæingspunktene mellem de to gafe En tønde (se figuen) skal have umfanget V = m 3. Endvidee skal den have højden h = m og endefladenes adie skal væe = m. Radius på tøndens bedeste sted kaldes R Det oplyses, at V h = ( 8R + 4 R + 3 ) π 5 Beegn R i mete med 3 betydende cife Lad de væe givet polynomiet f ( x) = x x 4x + x+ 6 Find polynomiets ødde, og skitse gafen fo funktionen Løs ligningen x + x 5x = 4.7. Løs ligningen x = x x 3 x 4.8 Løs ligningen = Lad y =, hvo x > og a e en vilkålig konstant. Bestem a med 3 betydende cife, nå det oplyses, at y øges med % nå x øges med 5%. x a 4.. Lad y væe den tid (i minutte) en pofessionel dykke kan opholde sig unde vandet i en dybde på x m uden at få dykkesyge. Med tilnæmelse kan man vise, at de mellem x og y gælde følgende sammenhæng : y = b x a, hvo a og b e konstante. Det oplyses, at i en dybde på x = 4 m e y = 98 minutte og i en dybde på x = m e y = 37 minutte. a) Bestem konstantene a og b med 4 betydende cife. b) Hvo længe kan en dykke opholde sig på 5 m uden isiko fo dykkesyge? 7

78 Opgave til kapitel 4 4. Et beløb på k skal indsættes i en bank. Man ønske, at beløbet efte 6 temine skal væe steget til ca. 7 k. Hvo mange pocent skal banken tilbyde i ente? 4. En ny bil koste k. Vædien nedskives hvet å på selvangivelsen med 8%. Hvad e bilen nedskevet til efte å. 4.3 Bonholms indbyggetal faldt fa 478 i 98 til 435 i 6. Faldet e med tilnæmelse gennem åene ske med en fast ålig pocent p. a) Find p b) Hvis udviklingen fotsætte, hvad blive så indbyggetallet på Bonholm i. 4.4 Mængden af adioaktive isotope aftage eksponentielt med tiden. Mængden af en bestemt isotop e 5. g og den ha en halveingstid på 95 å. a) Hvo mange gam e de tilbage af isotopen efte å b) Hvo mange å vil de gå fø mængden e nede på g. 4.5 Nå adioaktive ståle sendes gennem en blyvæg ske de en fomindskelse af intensiteten af stålingen. Denne fomindskelse e bestemt ved fomlen b = a e kx, hvo a e intensiteten fø passage af blyvæggen, b e intensiteten efte passage og x e tykkelsen af blyvæggen målt i mm. Fo en bestemt type ståle fominske en blyvæg på 5 mm intensiteten med 7%. Hvo tyk skal en blyvæg væe fo at intensiteten fominskes med 9%. 4.6 Find samtlige løsninge til ligningen cos( x ) = idet x måles i adiane med 4 decimale På gund af tidevandet ændes vanddybden ved en mole. I et bestemt døgn e vanddybden H målt i mete bestemt ved H = 7+ 5sin t, t 4 hvo t angive antallet af time efte middag. Til t =.5, svae altså kl 4.9. Bestem de to tidspunkte i det pågældende døgn, hvo vanddybden H e støst 4.8 En svingning e bestemt ved ligningen y = 3sin( 4π t+ ) +, t måles i time a) Angiv amplitude, svingningstid og fekvens. b) Bestem de tidspunkte i et peiodeinteval, hvo y e støst og y e mindst, og angiv vædien af y i disse punkte. c) Skitse gafen fo svingningen i et peiodeinteval 73

79 5. Regession 5 REGRESSION 5. Indledning I dette kapitel betagtes fosøg, hvo man ha målt sammenhøende vædie af to vaiable x og y. Det følgende eksempel demonstee et sådant tilfælde. Eksempel 5. Punkte ligge tilnæmelsesvis på et linie I et spindei udtykkes ganets kvalitet bl.a. ved en nom fo den foventede tækstyke. Kvaliteten anses således fo at væe i oden, hvis middeltækstyken mindst e lig med måleenhede (me). Ved uldgan opfylde ganets natulige tækstyke ikke det nævnte kvalitetskav, hvofo de tilsættes en vis mængde kunstfibe, hvilket foøge tækstyken. Heved ske de dog det, at ande kvalitetsegenskabe, såsom elasticitet og isoleingsevne, foinges. Man ha ekspeimenteet med foskellige tilsatte mængde kunstfibe x og egisteet ganets tækstyke y ved disse foskellige mængde. Heved femkom følgende obsevationsmateiale: Mængde x (i gam) af kunstfibe p kg uld Tækstyke (me): Y Mængden af kunstfibe x e blevet bestemt på fohånd (ha fået ganske bestemte vædie). Tækstyken Y synes deimod udove mængden af kunstfibe også at væe påviket af ande ukendte og ukontollable støjfaktoe. Afsættes de målte punktpa ( x, y i ) i et koodinatsystem fo at få et oveblik ove foløbet, fås følgende tegning: I TI89 fås tegningen på følgende måde: Tyk på APPS, vælg STAT/LIST, Indtast data i list (x-vædie) og list (y-vædie) F: Plots \ Plot Setup \ Define Behold Scatte og Box, indsæt list og list (Vælg VAR LINK og vælg listenavne hefa) \ ENTER, ENTER, F5 Selv om punktene ikke ligge eksakt på en et linie, synes det imeligt at antage, at afvigelsene fa en et linie kan foklaes ved den tilfældige vaiation (støjen). Defo e det næliggende at antage, at i middel vil y kunne skives som en lineæ funktion af x, dvs. y = ax+ b. () Da et punktpa ( x, y i ) ikke ligge eksakt på linien gælde defo, at yi = a xi + b+εi, hvo kaldes den i te esidual. ε i 74

80 5. Lineæ model 5.. Lineæ model Man søge altid den simplest mulige model, de kan beskive de fundne data.. Da man ha 5 punktpa, så vil et polynomium af fjotende gad gå igennem alle punkte. Umiddelbat skulle man måske to, at det ville væe en bede model. Dette e imidletid ikke tilfældet, da Y - vædiene jo e esultate af fosøg de e påviket af ukontollable støjkilde. Polynomiets koefficiente vil defo afspejle disse tilfældige udsving, og det give defo en ganske meningsløs model. Endvidee e modellen alt fo matematisk kompliceet til at kunne buges i paksis. Vi vil i dette kapitel kun betagte modelle, som e lineæe med hensyn til paametene. Et polynomium af. gad y = a + bx + cx e således lineæ i de 3 paamete a, b og c (selv om gafen natuligvis ikke e en et linie). Som et eksempel på en model de ikke e lineæ i paametene kan nævnes y = a + bx c. Vi vil endvidee begænse os til at betagte det ved anvendelsene meget ofte foekomne tilfælde, hvo modellen e lineæ i paamete. Som eksemple hepå kan nævnes () y = a + bx og () ln y = a + b ln x En ligning, de som () elle () beskive en sådan lineæ model kaldes en egessionsligning og koefficientene a og b kaldes fo egessionskoefficientene 5.3. Bestemmelse af egessionsligning På basis af en ække sammenhøende vædie af x og y bestemmes egessionskoefficientene a og b ved mindste kvadates metode. Metoden beskives i det følgende (uealistisk) lille taleksempel. Eksempel 5.. Beskivelse af mindste kvadates metode. I et medicinsk fosøg måles på en fosøgspeson sammenhøende vædie af en bestemt medicin i blodet (x i %) og eaktionstiden y. Resultatene va: x a) Fokla hvad de menes med esidual b) Beskiv mindste kvadates metode y

81 5. Regession Løsning: a) Residual. Ved et punkts esidual til en linie fostås den lodette afstand fa punktet til linien (se tegningen). På figu 5. e afsat de 5 punkte, og indtegnet en et linie. Figu 5. Residuale b) Mindste Kvadates metode. Regessionslinien y = ax+ b bestemmes som den af alle mulige ette linie, fo hvilket summen af kvadatet af esidualene til linien e mindst. I eksempel 5. e kvadatsummen Løsningen af dette optimeingspoblem esultee i løsning af et ligningssystem til bestemmelse af egessionskoefficientene Løsning af et sådant ligningssystem ske lettest ved hjælp af såkaldt matixegning 5.4. Vudeing af om model beskive data godt. Det e altid muligt ved mindste kvadates metode at finde en sådan mindste kvadates linie. Det e den af alle ette linie, de ha den mindste kvadatsum af esidualene, men det betyde ikke nødvendigvis, at linien så også e en imelig model, som kan anvendes til at beskive sammenhængen. Til vudeing heaf benytte man dels at se på en tegning, dels at se på støelsen af foklaingsgaden elle koelationskoefficienten a) Tegning. Til vudeing af dette tegnes linien i et koodinatsystem sammen med punktene. Hvis den lineæe model skal beskive dataene godt, skal punktene fodele sig tilfældigt omking linien. Da det ofte kan væe svæt at se dette på en lille tegning, e det ofte mee oveskueligt at tegne esidualene i stedet fo y-vædie. Residualene bø natuligvis fodele sig tilfældigt omking en vandet linie. b) Koelationskoefficient og foklaingsgad Samtidig skal punktene natuligvis ligge tæt på linien. Til en talmæssig vudeing heaf udegnes koelationskoefficienten og foklaingsgaden. Koelationskoefficienten e et tal mellem - og, dvs. Hvis y e uafhængig af x (eksempelvis hvis x va 5 pesones eaktionstid og y va dees højde) vil punktene fodele sig helt tilfældigt uden noget system, og. Hvis deimod y e afhængig af x vil egessionslinien have en hældning foskellig fa nul. 76

82 5.4 Vudeing af om model beskive data godt Hvis hældningen e positiv, vil > og hvis hældningen e negativ vil <. Endvidee gælde, at hvis punktene ligge tæt ved egessionslinien e I stedet fo koelationskoefficienten anvendes ofte foklaingsgaden, og man sige så, at den fundne model foklae af den totale vaiation % Anskuelig foklaing på foklaingsgad: Residualene til den fundne egessionslinie y =.6 +. x: = (. 6+ ) = 4., = (. 6+ ) = 6., 3 = 4 (. 6+ 3) = 4.,4 = 9 (. 6+ 6) = 4., 5 = 7 (. 6+ 8) = 4.. SAK esidual = = 4. + ( 6. ) ( 6. ) =. Hvis y e uafhængig af x (eksempelvis hvis x va 5 pesones eaktionstid og y va dees højde) vil punktene fodele sig helt tilfældigt uden noget system. Regessionslinien vil da blive en vandet linie med ligningen y = y (gennemsnittet af y-vædiene). I eksempel 5. e y = = = Residualene til denne vandette linie e = 46. = 6., = 46. = 36., 3 = = 6., 4 = = 44., 5 = = 4. = 9 (. 6+ 6) = 4., = 7 (. 6+ 8) = SAK total = = ( 6. + ( 36. ) + ( 6. ) ( 4. ) = Vi definee nu foklaingsgaden = SAK esidual SAK total Hvis y e uafhængig af x vil SAK esidual SAK total og demed at. Hvis deimod y e afhængig af x vil egessionslinien have en hældning foskellig fa nul. Det betyde igen at SAK esidual << SAK total, og demed at. Man sige også, at den fundne model foklae % af den totale vaiation De enkelte SAK-støelse kan anskueligt ses på figu 5.3. Figu 5.3. SAK - støelse Sædvanligvis finde man, at den fundne model på tilfedsstillende måde beskive data, hvis foklaingsgaden e på ove 7% samtidig med, at tegningen vise, at punktene fodele sig tilfældigt omking den fundne egessionskuve. At man ikke alene kan stole på foklaingsgaden illustees ved følgende eksempel. 77

83 5. Regession Eksempel 5.3.Gafisk vudeing af model. De følgende 4 figue afspejle foskellige mulighede. styke Plot of Fitted Model,5,5 8,5 6,5 4, kunstfibe Figu 5.4a: =.959 = 9.9% Plot of Fitted Model y x Figu 5.4c: =.78 = 7.73% y Plot of Fitted Model x Figu 5.4b: =.96 =9.6% Plot of Fitted Model y x Figu 5.4d: =.9 = 5.4% I figu 5.4a synes den lineæe model at kunne beskive dataene godt, idet punktene fodele sig tilfældigt omking linien, og foklaingsgaden = 9.9% e høj. I figu 5.4b e foklaingsgaden også høj, og punktene ligge da også tæt ved linien. Imidletid ligge punktene ikke tilfældigt omking linien. Ydepunktene ligge ove og de midteste punkte unde linien, så det e næppe imeligt at anvende en et linie som model. I stedet kunne man oveveje en eksponentialfunktion elle et andengadspolynomium. I figu 5.4c e de næppe nogen elation mellem x og y. E x og y uafhængige (ingen elation mellem x og y) vil punktene fodele sig tilfældigt omking gennemsnitslinien y = y, og foklaingsgaden væe. Vi se, at egessionslinien e næsten vandet, og foklaingsgaden inge. I figu 5.4d e foklaingsgaden også lille, men alligevel må vi antage at de e en sammenhæng mellem x og y. Den e blot ikke lineæ, men muligvis en paabel. 78

84 5.5 Eksemple på lineæ egession Outlies. Hvis en enkelt elle to målinge afvige kaftigt fa den almindelige tendens kan det skyldes fejlmålinge. Da sådanne punkte i uheldige tilfælde på gund af et stot bidag til esidualsummen kan få egessionslinien til at deje e det vigtigt at undesøge på en figu om sådanne punkte findes. Det e dog klat, at man ikke blot kan styge sådanne ubehagelige punkte. Det må kun ske, hvis man e sikke på, at punktet skyldes en fejl af en elle anden at ved målingen. Ekstapolation. Selv om modellen synes på tilfedsstillende måde at beskive data, så e det jo faktisk kun sikket indenfo måleomådet. Man skal væe ydest fosigtig med at ekstapolee, dvs. på basis af modellen fo x - vædie udenfo måleomådet beegne hvad y e. Åsagssammenhæng. Selv om man finde, at de e en sammenhæng mellem x og y, e det ikke sikket, at de e en åsagssammenhæng. De findes en god koelation mellem antallet af stoke i Søndejylland i 93-ene og antallet af bønefødsle (de faldt begge i samme takt), men det ene e nok ikke åsagen til det andet. Man kende det også fa sammenhængen mellem kæft og tobaksygning, hvo de i mange å va en diskussion om de ene bevikede det andet, elle om det va en hel tedie fakto, de fik antallet af lungekæft til at stige. 5.5 Eksemple på lineæ egession egnet med TI89 Da man altid vil foetække den simplest mulige model, e modellen y = ax+ b altid den, man state med at anvende. Hvis man se, at punktene ikke ligge tilfældigt omking linien, men dog synes at følge en kum kuve, så må man anvende en anden model. TI 89 tilbyde en ække modelle, bl.a. følgende () LinReg = føstegadspolynomium y = a+ bx elle y = ax+ b () PoweReg = potensfunktionen y = ax b Funktionen omskives ud fa logaitmeeglene automatisk til estatte y med ln y og x med ln x (3) ExpReg = eksponentialfunktionen y = a b x Funktionen omskives ud fa logaitmeeglene automatisk til estatte y med ln y (4) lnreg = logaitmefunktionen y = a+ b ln( x) Funktionen e lineæ hvis man estatte x med ln x QuadReg = andengadspolynomiet y = ax + bx+ c ln y = ln a+ b ln x ln y = ln a+ x ln b som e lineæ hvis man som e lineæ hvis man 3 CubicReg = tediegadspolynomiet y = ax + bx + cx+ d 4 3 QuatReg e fjedegadspolynomiet y = ax + bx + cx + dx+ e Geneelt gælde, at man så vidt mulig foetække modelle som (), (), (3) og (4), da de kun indeholde paamete a og b, og demed e de mest stabile (set fa et statistisk synspunkt). Vi vil i det følgende give eksemple på nogle af disse modelle. 79

85 5. Regession Eksempel 5.4 (= eksemple 4.) Føstegadspolynomium Tilsætning af en vis mængde kunstfibe foøge et gans tækstyke. Man ha ekspeimenteet med foskellige tilsatte mængde kunstfibe x og egisteet ganets tækstyke y ved disse foskellige mængde. Heved femkom følgende obsevationsmateiale: Mængde x (i gam) af kunstfibe p kg uld Tækstyke : y Benyt TI89 til at foetage de ønskede beegninge. a) Giv en vudeing af, om en et linie give en imelig god beskivelse af de givne data. b) Opskiv egessionsligningen. c) Find den til x = svaende vædi y fo y d) Angiv et usikkehedsinteval hvo den sande middelvædi af y finde sig med 95% sandsynlighed. Løsning: a) Vi tegnede punktene i eksempel 5.. Vi tegne nu også linien APPS STAT/LIST Indtast data i list (x-vædie) og list (y-vædie) F4: Calc 3. Regessions :linreg(a+bx) x-list Va Link, list" y-list Va Link, list" StoeReqn to: y(x) ENTER, Af udskiften fås =.993 ESC, F5 Vi få nu følgende tegning Da en lommeegnes display e meget lille, kan det ofte væe svæt at se, om punktene ligge ove elle unde kuven. Man kan så i stedet se på fotegnene af esidualene, som ligge i en liste esid helt til høje fo de øvige liste. Man få fotegnene Da foklaingsgaden e høj og punktene ligge tilfældigt på hve sin side af linien (ses af at fotegnene skifte) må den ette linie give en god beskivelse af data. Konklusion: Da foklaingsgaden e tæt på og punktene ligge tilfældigt om linien, e den lineæe model acceptabel. b) Af den ovennævnte udskift ses egessionskoefficientene a =.887 og b =.799 og demed e ligningen y = x Ligningen kan også findes ved Y= y(x) e) Kopie ligningen fa Y= y(x) til HOME og indsæt x =. Resultat y = f) 95% usikkehedsinteval fo y svaende til x = : F7 \7: LinRegTint\ udfyld menu, heunde sæt Inteval=Response og x Value = ENTER ENTER Resultat y_hat =y = og C int: [9.37 ;.] 8

86 5.5 Eksemple på lineæ egession Eksempel 5.5 Potensmodel Nedenstående tabel angive hvo mange minutte en pofessionel dykke kan opholde sig på en bestemt dybde, fø de e en isiko fo dykkesyge. dybde i mete x antal minutte y Det fomodes, at y e en potensfunktion af x. a) Begund, at fomodningen e imelig b) Angiv ligningen fo den fundne model c) Hvo længe kan en dykke opholde sig i en dybde på 3 m uden isiko fo dykkesyge Løsning: ) APPS STAT/LIST Data indtastes i list(x- vædie) og list (y-vædie) F4: Calc 3:Regessions 9:PoweReg Udfylde liste StoeReqn to: y(x), ENTER, Af udskiften fås = Da vi ønske også at tegne punktene vælges F: Plots \ Plot Setup \ Define Behold Scatte og Box, indsæt list og list ) \ ENTER, ENTER, Vi få følgende tegning: Da det kan væe svæt at se om punktene ligge tilfældigt på begge side af kuven se vi på esidualenes fotegn Til høje fo liste 6 findes en kolonne esid hvo esidualene e beegnet. Man få fotegnene Da punktene ligge ove linien i begyndelsen og til sidst men unde i midten e det tydeligt, at modellen ikke egne sig til ekstapolation ud ove intevallet fa til 35. Da foklaingsgaden e meget høj, ligge punktene tæt på kuven, så modellen e imelig indenfo måleomådet. ) Af udskiften fås y = x ) Fomlen kopiees fa Y= ned i Home, og x = 3 indsættes. y = 8.4 minutte 8

87 5. Regession Eksempel 5.6 Valg mellem lineæ og eksponentiel model I et fosøg undesøgtes et ventilationsanlægs effektivitet. Målingene foetoges ved at fylde et lokale med gas og vente til koncentationen va stabil. Heefte statedes ventilationsanlægget og gaskoncentationen C t måltes til foskellige tidspunkte t. Følgende esultate fandtes: t (min. efte anlæggets stat) C [ppm] Følgende modelle fo funktione ovevejes: Model l (lineæt henfald): C = a+ b t Mode (eksponentielt henfald): C = a e bt ) Vude hvilken model de e bedst ) Opskiv egessionsligningen fo den model du finde bedst, og beegn på basis af den vædi af C, fo hvilken t = minutte. Løsning: ) APPS, STAT/LIST hvoefte data indtastes i list(t- vædie) og list (C-vædie) F4: Calc, 3. Regessions, :linreg(a+bx), Udfylde liste, Af udskiften fås umiddelbat =.993 F: Plots \ Plot Setup \ Define Behold Scatte og Box, indsæt list og list ) \ ENTER, ENTER, Vi gentage nu ovenstående, idet vi nu vælge ExpReg og vælge y(x) F4: Calc, 3. Regessions, 8:ExpReg, Udfylde liste, StoeReqn to: y(x), ENTER, Af udskiften fås umiddelbat =.9883 Vi få følgende tegning: Det ses tydeligt, at den ette linie ikke e så god som den eksponentielle model. Det ses også af esidualenes fotegn Lineæ model Eksponentiel model : Endvidee e foklaingsgaden højest fo den eksponentielle model, hvilket vise at punktene ligge tættee på kuven. Da foklaingsgaden e støst, og punktene fodele sig tilfældigt omking kuven give den eksponentielle funktion den bedste tilpasning. ) Ved fa HOME at vælge Y= kan man se, at modellen e C = elle ln(. 93) C e t. 76 t = C = e t = : C = 36.8 t 8

88 Opgave til kapitel 5 Opgave til kapitel 5 Opgave 5. Man ønskede på en højee uddannelse at undesøge om de va en sammenhæng mellem de point elevene fik ved en indledende pøve i matematik, og de point de fik ved den afsluttende pøve i matematik. Resultatene va Student Indledende pøve x Afsluttende pøve y a) Undesøg om de e imeligt, at beskive ovennævnte sammenhæng ved en et linie m. (Tegn i et koodinatsystem såvel punktene som linien m samt beegn foklaingsgaden). Idet det i det følgende antages, at linien m e et imeligt udtyk fo ovennævnte sammenhæng b) Find en ligning fo egessionslinien m. c) Man fovente en positiv koelation mellem x og y. Udtyk dette i od, og undesøg om dette e tilfældet. d) En elev ha opnået 5 point ved den indledende pøve. Foudsig hvilket pointtal denne elev, vil få ved den afsluttende pøve. e) Angiv det usikkehedsinteval, som den sande middelvædi med 95% sikkehed ligge indenfo ved den afsluttende pøve, fo de eleve, som ved den indledende pøve ha opnået 5 point. Opgave 5. Tabellen vise antallet af heste i Danmak i udvalgte å Åstal Antal heste a) Bestem en ligning fo egessionslinien b) Tegn såvel linien som punktene i et koodinatsystem, og beegn foklaingsgaden c) E det fonuftigt at benytte denne model i å? Det oplyses at antal heste i å e

89 5. Regession Opgave 5.3 Man ha undesøgt højden af et stot antal pige og beegnet middelhøjden (i cm) nå de e å, nå de e 3 å osv. Resultatet femgå af skemaet: Alde Højde a) Undesøg om de e imeligt, at beskive sammenhængen mellem alde og højde ved en et linie. b) Angiv i bekæftende fald en ligning fo egessionslinien m. Det foudsættes i det følgende, at m e et imeligt udtyk fo pigenes middelhøjde. c) Hvad e den gennemsnitlige vækst i pigenes højde p. å. d) Giv et skøn fo middelvædien af pigenes højde nå de e 4 å. e) Ville du finde det fonuftigt at benytte linien til at foudsige en -åig piges højde? Opgave 5.4 Fo en kemisk fobindelse ha man en teoi om, at middeludbyttet y (angivet i % enhede) e tilnæmelsesvis bestemt ved y = a b t hvo t angive eaktionstiden. Fo at eftepøve igtigheden udføte man et fosøg med følgende esultate t y a) Foetag en vudeing af, om modellen kan antages at gælde. (Vink: Omskiv ligningen til y = a b t, og dan en tabel med - y-vædiene) Unde foudsætning af at modellen gælde, skal man b) opskive ligningen fo egessionskuven c) finde middeludbyttet svaende til t =. Opgave 5.5 Aktiviteten af adioaktive stoffe antages at væe eksponentielt aftagende. Fo et bestemt adioaktivt stof ha man målt adioaktiviteten som en funktion af tiden tid t (time) aktivitet y (becqueel) a) Foetag en vudeing af, om modellen kan antages at væe en eksponentielt aftagende funktion af t, dvs. y = a b t b) Bestem en foskift fo denne funktion c) Bestem halveingstiden fo aktiviteten. d) Hvo lang tid gå de fa den føste måling til middelaktiviteten e nede på 5 becqeel. 84

90 Opgave til kapitel 5 Opgave 5.6. Den effekt P (kwatt) som en bil må yde fo at ovevinde luftmodstanden ved en given hastighed v (km/t) e målt i en vindtunnel. Man fandt følgende sammenhæng mellem v og P. v P Det fomodes, at P e en potensfunktion af v. a) Begund, at fomodningen e imelig b) Angiv ligningen fo den fundne model c) Find den effekt de skal ydes ved en hastighed på km. Opgave 5.7 Ved et fosøg blev en luftat adiabatisk (dvs. unde samme tempeatu) kompimeet til foskellige foudvalgte umfang v, idet de tilsvaende vædie af tykket P måltes. Man b fomodede på fohånd, at de gælde egessionsmodellen P = a v. Ved fosøget fandtes følgende esultate: v cm P kp/cm a) Begund, at fomodningen e imelig b) Angiv ligningen fo den fundne model c) Beegn hvo mange % tykket vil stige hvis umfanget blive halveet. Opgave 5.8 Man ha fo en bestemt type tov målt sammenhængen mellem tovets diamete og tovets budstyke. Man fandt følgende esultate: diamete (i mm) Budstyke (i kg) Man fovente, at budstyken y som funktion af diameteen x med tilnæmelse kan skives ved en funktion af fomen y = b x a a) Vude ud fa tegning og foklaingsgad om den nævnte model e acceptabel. I det følgende antages, at modellen kan anvendes. b) Find ligningen fo egessionskuven. c) Bestem ud fa den fundne ligning, hvo mange gange støe budstyken blive ( i middel), hvis tovvækets diamete fodobles. 85

91 5. Regession Opgave 5.9 Man mene de e en sammenhæng mellem en bilists alde og antallet af alvolige fædselsulykke, de skyldes fo sto hastighed. Man ha fa USA, hvo aldesgænsen fo ehvevelse af køekot e 6 å, følgende data indsamlet gennem en peiode: Alde x Antal fat-elateede ulykke y Det femgå klat, at antallet af ulykke falde med aldeen. a) Giv en vudeing af, om modellen : y = a+ bx (antal ulykke aftage lineæt med aldeen) på imelig måde kan beskive denne sammenhæng b) En tafikekspet mene, at modellen y a e bx = (antal ulykke aftage eksponentielt med aldeen) give en bede beskivelse af modellen. Ha vedkommende et? c) Bestem ligningen fo den model, du finde bedst. d) Angiv ud fa ovennævnte ligning det foventede antal fat-elateede ulykke som 5 - åige i middel vil foåsage i den givne peiode. Opgave 5. Tykfaldet i et vandø afhænge af vandstømmen gennem øet. I en model fo støbejen med adius mm e tykfaldet y en funktion af vandstømmen x Tabellen vise sammenhøende vædie af vandstømmen og tykfaldet. Vandstøm x (lite p sekund) Tykfald y (cm vandsøjle p m) a) Undesøg hvilken model af de 4 mest anvendte, de bedst beskive tykfaldet som en funktion af vandstømmen. (Vink: se på tegning og foklaingsgad) b) Benyt den valgte model til at bestemme middelvædien af tykfaldet i øet, nå vandstømmen gennem det e lite p sekund. 86

92 6. Gænsevædi og kontinuitet 6 Diffeentialegning 6. Indledning Diffeentialegning ha mange anvendelse. I et senee afsnit vises eksemple hepå indenfo optimeing: få den bedste (optimale) løsning, de samtidig opfylde bestemte kav, kinematik (bevægelseslæe): begebe som hastighed og acceleation, og økonomi: Støst mulig avance indenfo givne amme. 6.. Gænsevædi og kontinuitet 6... Gænsevædi Hvis en funktion f x e vilkåligt tæt på et eelt tal a blot x e tilstækkeligt tæt på sige vi, ( ) x at f ( x) ha gænsevædien a fo x gående mod x Vi skive da f ( x) a fo x x elle lim f ( x) = a (læses limes af f(x) fo x gående mod ) Eksempelvis skive vi, at x x x + 5fo x elle lim f ( x) = 5 x Gænseovegang mod og anvendes også, f.eks. fo x og x Endvidee foekomme ensidige gænseovegange, f.eks. fo x + (x gå mod fa høje). x Sætning 6.. Regning med gænsevædie Hvis f ( x) a fo x x og g( x) b fo x xså vil fo x x f ( x ) g ( x ) a b, f ( x ) g ( f x x ) a a b f ( x ) g ( x ) a b, ( ) + + ( gx ( ) b b ) Sætningen anføes uden bevis. Eksempel 6.. Gænseovegang. 4x + 3x Undesøg x + 8 fo x og x Løsning: 4x + 3x = x fo x, x + 3x x 4 = x + + = x x fo x Ti89: F3:3 limit((4x^+3x-)/(-x^+8),x, ) Resultat - 4 x x fo x Fo bede at kunne undesøge vanskeligee tilfælde elle bevise sætninge om gænsevædi, må man estatte odene "vilkåligt tæt" og "tilstækkeligt tæt" med nedenstående mee pæcise definition: f(x) ha gænsevædien a i punktet x hvis de til ethvet inteval J omking a findes et udpikket inteval I omking x, så det fo alle x i I gælde, at f ( x) J (et udpikket inteval omking x e et inteval omking x som ikke indeholde x ) 87

93 6. Diffeentialegning 6.. Kontinuitet Definition af kontinuitet. Lad f væe en funktion, de e defineet i et åbent inteval indeholdende x. Hvis f ( x) f ( x) fo x xsiges f at væe kontinuet i x. Hvis definitionsmængden fo f e et lukket inteval [a ; b], sige f at væe kontinuet i endepunktet a, blot de gælde f ( x) f ( a) fo x a+. Tilsvaende definees kontinuitet i intevalendepunktet b. Hvis f e kontinuet i hele sin definitionsmængde, sige vi kot, at f e kontinuet. Intuitivt kan man ofte foestille sig kontinuete funktione som funktione, hvis gaf e "ubudt". På nedenstående figu e vist nogle ikke-kontinuete funktiones gafe. Regning med kontinuete funktione Ved "sædvanlig egning" f + g f g f g f med kontinuete funktione fås g f f g x,,,,, ( ( )) atte kontinuete funktione, og da alle de funktione vi vil omtale i det følgende e kontinuete i dees definitionsmængde, vil også enhve funktion, de ved "sædvanlig egning" kan dannes ud fa disse funktione, blive kontinuet i sin definitionsmængde. 5x + 3x Eksempelvis vil funktionen f ( x) = væe kontinuet fo x > og fo x <. x 6.3 Diffeentialkvotient. Som et anskueligt indledende eksempel betagtes et legeme L, de bevæge sig langs en et linie. Eksempel 6.. Hastighed i et punkt Indføes en x-akse (se figuen) e legemets position e bestemt ved dens afstand fa begyndelsespunktet O. Lad legemet L til tidspunktet væe i punktet A med x-vædien og til et senee tidspunkt t t x væe i punktet B med x-vædien x. 88

94 6.3. Diffeentialkvotient x x x Den gennemsnitlige hastighed hvomed L bevæge sig fa A til B e da v g = =, t t t hvo x = x x e det stykke L ha bevæget sig i tidsummet t = t t. Fo at bestemme den hastighed som legemet ha i punktet A, så må man gøe intevallet t så x lille som muligt. Man føes altså til at betagte bøken fo t gående mod. t Lad os antage, at legemet L bevæge sig langs x - aksen således, at dens position til tiden t (målt i sekunde) e bestemt ved x = t + (målt i mete). 4 De gælde da, at til tiden t = e L i punktet O med x =, til t = e L i A med x =,5 og til t = e L i B med x =. Vi se umiddelbat at hastigheden foøges som legemet bevæge sig fa O til A til B (legemet acceleee). Poblemet e nu at bestemme hastigheden i A. Fo at finde hastigheden v i punktet A e vi defo nu inteesseet i at finde gænsevædien x v = lim t t. Vi ha : x x = t t 4 t t = = 4 4 t ( t )( t ) = = = ( t + ) t t 4 t 4 t 4 x Lade vi nu t, dvs. t vil = ( t + ) t 4 Vi ha følgelig fundet, at legemet L s hastighed v i punktet A e v =,5 m/s. x dx Matematisk skive man, at fo t. t dt dx og dt kaldes diffeentiale og kan ofte i paksis ved anvendelse opfattes som uendelig små tilvækste, i dette tilfælde af henholdsvis vejlængde og tid. dx kaldes defo en diffeentialkvotient (kvotient mellem diffeentiale) dt 89

95 6. Diffeentialegning Definition af diffeentialkvotient Da kinematik ikke e det eneste man kan anvende diffeentiation til, og de e tadition fo, at x-aksen e den vandette akse, vil vi i det følgende i stedet betagte poblemet i et x - y koodinatsystem. Med udgangspunkt i eksempel 6. vil vi nu se på det geneelle tilfælde. Lad y = f(x) væe en funktion defineet i et inteval I, lad x I, og lad α væe et eelt tal. Give vi x en tilvækst x ud fa x få y en tilvækst y = f ( x + x) f ( x) (se figu 6.) y f ( x + x) f ( x) Ved diffeenskvotienten fostås bøken =. x x f Fig. 6. Sekanten ha hældningen. x Definition af diffeentialkvotient og tangent. Funktionen y = f(x) siges at væe diffeentiabel y f ( x + x) f ( x) i x med diffeentialkvotienten f ( x ), hvis = f ( x ) fo x. x x dy Diffeentialkvotienten f ( x ) betegnes også,idet man så foudsætte x. dx Linien gennem x, f ( x ) med hældningskoefficienten f ( x ) kaldes en tangent til gafen fo ( ) f. Tangenten ha ligningen y f ( x ) = f ( x ) ( x x ) E x et endepunkt af intevallet I, foetages kun en ensidig gænseovegang. Funktionen f siges at væe diffeentiabel i intevallet I, hvis den e diffeentiabel i ethvet punkt af I. 9

96 6.3. Diffeentialkvotient Vi vil i det følgende eksempel anskueliggøe de centale definitione ved at igen at se på poblemet i eksempel 6. Eksempel 6.. (fotsættelse af eksempel 6.) Vi betagte følgelig funktionen y = f ( x) = x + 4 y væksthastigheden lim x x til x =., og e inteesseet i at finde y Vi fandt i eksempel 9., at lim = x x Vi ha følgelig fundet, at væksthastigheden i punktet A e. Matematisk siges, at vi i punktet ha diffeentieet funktionen f ( x) = x +, og fundet at 4 dy diffeentialkvotienten, elle. dx = f () = Geometisk deje linien gennem A og B ove i en et linie med hældningskoefficienten.5. 5 Denne linie kaldes tangenten til kuven med øingspunkt A = (, ) Ligningen fo tangenten blive y = ( x ) y = x+ 4 4 Sætning 6. En diffeentiabel funktion e kontinuet. y Bevis: Lad de væe givet, at y = f ( x) e diffeentiabel i x, dvs. lim = f ( x ) x x y Vi ha nu lim lim lim lim ( ) ( ) y y = x = x = f x = x x x x x x Da y = f ( x + x) f ( x ) fås lim y = lim f ( x ) ( ) lim ( ) ( ) + x f x = f x + x = f x, dvs. f e kontinuet i x. x x x 9

97 6. Diffeentialegning Den omvendte sætning gælde ikke, idet man godt kan have en kontinuet funktion, som i enkelte punkte ikke e diffeentiabel. Dette e tilfældet, hvis gafen ha et knæk. Et eksempel e funktionen f ( x) = x, hvis gaf (se figuen) ha et knæk fo x =, og defo ikke e diffeentiabel i dette punkt. 6.4 Regneegle fo diffeentialkvotiente Det ses umiddelbat ud fa definitionen, at diffeentialkvotienten fo ) f ( x) = ax+ b e f ( x) = a, (da tangenten til en et linie jo e funktionen selv med hældning a) ) e (da gafen e en vandet linie med hældningen ) f ( x) = a f ( x) = I mee kompliceede tilfælde må man nok benytte et computepogam som eksempelvis TI89. Fo de, de e inteesseet i en dybee foståelse af diffeentialegning (udledning af fomle osv.) e det natuligvis nødvendigt at beheske disse fomle. SÆTNING 6. Diffeentiation af sum, diffeens, podukt og kvotient af diffeentiable funktione. ) Lad f og g væe to funktione, de e diffeentiable i x og lad k væe en konstant. Så e f + g, f g, k f og f g diffeentiable i x og de gælde følgende egneegle: a) Sumegel: ( f + g) = f + g, ( f g) = f g, b) Poduktegel: ( f g) = f g+ f g c) Konstant fakto sættes udenfo: ( k f ) = k f d) f g f f g Bøkegel: = foudsat gx ( g ) g Bevis: Lad u= f ( x) og v = gx ( ) Vi give nu x tilvæksten x til x + x. Heved få u og v tilvæksten u og v. (se figu 6.). u v Da u og v e diffeentiable i x e lim = f ( x) og lim = g ( x) x x x x ) Lad y = f(x) + g(x) = u + v y få nu en tilvækst y + y = u+ u+ v + v Indsættes y = u+ v fås u+ v+ y = u+ u+ v+ v y = u+ v y u Ved division med x fås = + v. x x x y u v Heaf fås lim = lim + lim = f ( x) + g ( x) x x x x x x ) Bevises på samme måde som unde punkt ) 3) Lad y = f(x) g(x) = u v y få nu en tilvækst y+ y = ( u+ u) ( v+ v)=u v+u v+v u+ u v Indsættes y = u v fås u v+ y = u v+u v+v u+ u v y = u v+v u+ u v y u v Ved division med x fås v = v + u + u. x x x x Da u= f ( x) e diffeentiabel e den også kontinuet, dvs. u fo x 9

98 6.4 Regneegle fo diffeentialkvotiente y u v v Heaf fås lim = lim v + lim u + = gx ( ) f ( x) + f( x) g ( x) x x x x x x x f ( x) u 4) Lad y = = ( v ). gx ( ) v Da v e diffeentiabel, e den også kontinuet, dvs. v + v e også fo tilstækkelig små vædie af x. u u u u u u y få nu en tilvækst y+ y = + v = ( + ) v = + v ) v+ v v( v + v) v( v + v) u u u u u u u u v u u u u y = y = = + v+ v v+ v v = v ( ) ( v) v v ) v v v ( v + v) v ( v + v) Da v = gx ( ) e diffeentiabel e den også kontinuet, dvs. v fo x u v v u y = x x x v( v + v) du u d v v dx dx fo v x Sætning 6. Diffeentiation af en sammensat funktion Lad y = f ( u) og u = g( x) væe to funktione, hvo g e diffeentiabel i x og f e diffeentiabel i u = g( x ). Så e den sammensatte funktion f g x diffeentiabel i og f ( g( x )) = f ( g( x )) g ( x ) elle ( ( )) x ( ) kot dy dy du = dx du dx ( Man huske den ofte som Yde funktion f diffeentieet gange inde funktion g diffeentieet). Bevis skitse Vi ha y y u = x u x Da u e kontinuet, vil u fo x Heaf fås, dvs. dy dx dy = du du dx Sætning 6.3 Diffeentiation af omvendt funktion: Lad y = f ( x) væe en funktion, de e monoton og diffeentiabel i et inteval I. Hvis x I og f ( x ), så e den omvendte funktion f diffeentiabel i y = f ( x), og de gælde dy ( f ) ( y ) =, elle kot: = f ( x ) dx dx dy Anskueligt bevisskitse Da y ax b x ses, at den omvendte funktion til ha diffeentialkvotienten a y b = + = f ( x)= ax + b a a (dette kan også let ses geometisk ved spejling i vinkelhalveingslinien y = x). Heaf følge, at tangenten til gafen fo en funktion i et punkt, og tangenten til det tilsvaende punkt fo den omvendte funktion ha ecipokke hældningskoefficiente. 93

99 6. Diffeentialegning 6.5. Diffeentiation af standadfunktionene. Ved en standadfunktion fostås de i de foegående paagaffe omtalte funktione potens-, eksponentiallogaitme- og tigonometiske funktione. Følgende sætning samle eglene fo, hvoledes disse funktione diffeentiees. Sætning 6.4. Diffeentiation af standadfunktone. f( x) x a e ax a x ln( ax) sin( ax) cos( ax) f ( x) a x a a e ax a ln a x a cos( ax) a sin( ax) e ax,sin( ax) og cos( ax) x a og ln( ax) e diffeentiable hvo de e defineede. Bevis: Ifølge definitionen på diffeentialkvotient fo en funktion e diffeentiable fo alle vædie af konstanten a og den vaiable x. y = f ( x) e denne diffeentiabel i et punkt x, med y f ( x + x) f ( x) diffeentialkvotienten f ( x),hvis diffeenskvotienten = f ( x) fo x x x Af hensyn til det følgende indses, at hvis f ( x)= a x e f ( x) = a, da gafen fo f e en et linie med hældning a ) ( ln( ax) ) = x Føst vises, at ( ln x) = x Tangenten til gafen fo e x i punktet (x, y) = (,) ha hældningen. Da ln e den omvendte funktion af e x ha gafen til y = ln(x) i punktet (x, y) = (,) også hældningen. Vi ved defo at y = ln(x) e diffeentiabel i punktet x = med diffeentialkvotienten y ln( + x) ln Ifølge definitionen på diffeentialkvotient ved vi nu, at = fo x x x Da ln = fås ln( + x ) fo x x ln( + h) Af hensyn til det følgende foetages en omdøbning, idet vi sætte h= x så vi ha fo h h Vi danne nu diffeenskvotienten fo funktionen y = ln x ud fa et fast valgt punkt x. x + x x x ln ln + ln + y ln( x + x) ln x x x x = = = = x x x x x x x x ln + x y x Da h = fo x ha vi, at = x x x Vi ha demed bevist at ( ln x) = x x x ln( + h) = = fo x x h x x Da ln( ax) = ln( u) hvo u= ax kan vi benytte sætning 6. om diffeentiation af en sammensat funktion. ln( ax) ln u ( au) u a = = = ax a = x ( ) ( ) 94

100 6.5 Diffeentiation af standadfunktionene ) f ( x)= e ax f ( x) = a e ax Føst vises, at ( x e ) = x e x Vi ha y = e x =ln y Ifølge sætning 6.3 om diffeentiation af omvendt funktion gælde da Vi ha demed bevist, at ( x e ) = x e dy dx = dx = = y = dy y Da ax u e = e hvo u= ax kan vi benytte sætning 6. om diffeentiation af en sammensat funktion. e ax e u = ( au ) = e u a = e ax a ( ) ( ) x x ln ( a ) = a ln a da ( ) ( ) 3) f ( x)= x a f ( x) = a x a Vi ha ( ln ) x a f x a e x x ln a = = = e a x f x x e a a ln x u ( ) = = = e = e, hvo u= a lnx u Vi diffeentiee den sammensatte funktion y = e, hvo u= a lnx (se evt. sætning 6.) Vi ha dy dy du u a a = = e a = x a = a x dx du dx x x 4) sin( ax) = a cos( ax). ( ) Vi skal altså vise, at sin( ax + x ) sin( axx ) a cos( ax) fo x x Et fomelt bevis e et omfattende, da det kæve kendskab til en ække tigonometiske fomle. Vi vil defo nøjes med at benytte TI89 til at foetage gænseovegangen. Fo kotheds skyld omdøbes x til z. F3\limit((sin(a*x+z)-sin(a*x))/z,z,) Resultat: a cos( a x) cos( ax) = a sin( ax) 5) ( ) cos( ax + x) cos( ax) x Vi skal vise, at a sin x fo x x Vi finde: F3\limit((cos(a*x+z)-cos(a*x))/z,z,) Resultat: - a cos(a x) I følge sætning 6. e alle funktione, de femkomme som en sum, diffeens, podukt elle division af standadfunktione diffeentiabel i de intevalle hvo de e defineet. Det samme gælde ifølge sætning 6. fo funktione de e sammensat af standadfunktione. e x 95

101 6. Diffeentialegning Eksempel 6.3 Diffeentialkvotient (uden bug af hjælpemidle) Ti 89 må kun buges til kontol 5 ) Lad f( x) = 3x x +. a) Find f ( x) b) Beegn hældningskoefficienten fo tangenten l til gafen fo f med øingspunkt P = (, f () c) Opskiv ligningen fo tangenten l Løsning: ) a) 4 f ( x) = 5x x, b) f () = 5 = 3 c) f () = 3 + = 3 l: y 3 = 3( x ) y = 3x Eksempel 6.4. Diffeentiation ved benyttelse af TI89 x ) Lad f ( x) = ln, x > x + Find f ( x) x 3 ) Lad f ( x) =, x > x a) Find f ( ) b) Opskiv ligningen fo tangenten l til gafen fo f med øingspunkt P = (, f (). 3) Lad f( x) = 3 cos x Find f ( x) 3 x 4) f ( x) = + sin π sin, x Find x π f 4 x e 5) f ( x) = Find f ( x) x e + Løsning: Ti89: Tyk på nd d (stå ove 8- tallet) og indtast funktionen. ) d(ln((x-)/(x+)),x) f ( x) = ( x )( x+ ) ) a) d((x-3)/(x^-),x) x= f ( ) =7/9 b) (x-3)/(x^-) x= f ( ) = -/3 c) y = ( x ) y = x y = x ) d(/3*(cos(x))^3,x) f ( x) = sin( x) (cos( x)) 4) d((+sin(x))/(-sin(x)),x) x = π /4 f ( x) =

102 6.6 Højee afledede, acceleation 5) d((e^(x)-)/(e^(x)+),x) f ( x) = x cosh( ) Da den fundne funktion ikke høe til pensum fosøges at omfome udtykket ved at benytte en af de funktione de femkomme nå man tykke på F. expand(/(*(cosh(x/))^)) f ( x) = x x e + ( e + ) Man kunne også benytte have comdemon Højee afledede, acceleation Eksempel 6.5 (gentagelse af eksempel 6.) Lad et legeme L bevæge sig langs x-aksen således, at dens position til tiden t (målt i sekunde) e bestemt ved x = t + (målt i mete). 4 Til tiden t = e L i punktet A med x =, til t = e L i B med x =.5 og til t = e L i C med x =. Vi se umiddelbat at hastigheden foøges som legemet bevæge sig fa A til B til C (legemet dx acceleee). Idet = t fås, at hastigheden v i de te punkte e henholdsvis v() = m/s, dt v() =,5 m/s og v() = m/s. Et udtyk fo den gennemsnitlige hastighedsfoøgelse, de e sket ved at L bevæge sig fa B til v( ) v( ) C e a gen = = 5, m/sec Fo at bestemme den hastighedsfoøgelse, de e sket i punktet B, kan vi beegne v v v a g =, hvo tidsummet e meget lille. t = () t t v Matematisk betyde det, at vi skal finde lim = v ( ) t t. dv Da = e acceleationen a =.5 m/sec i punktet B. dt Iøvigt ses, at acceleationen i dette tilfælde e konstant.5 fo alle punkte. Konklusionen e, at man finde acceleationen i et punkt ved at diffeentiee x(t) gange. Afledet funktion Som det ses af eksempel 6.6 kan det ofte væe nyttigt, at opfatte f ( x) som en funktion, som man kan diffeentiee igen. Man sige, at f ( x) e den føste afledede, og at f ( x) (den afledede af den afledede) e den anden afledede. Sådan kan man fotsætte med at finde tedje afledede osv. 97

103 6. Diffeentialegning Eksempel 6.5.Anden afledede ) Find den anden afledede af funktionen f ( x) = 4 x 7 x ) Find diffeentialkvotienten f ( ) Løsning: ) f ( x) = x 4 x, ) f ( ) = 4 4 = 34 f ( x) = 4x 4 TI89: d(4*x^3-7*x^,x,) elle d( d(4*x^3-7*x^,x),x) Funktionsundesøgelse Vi vil i næste afsnit se på nogle anvendelse af diffeentialegning. Ved disse anvendelse opstilles en funktion, hvo det sædvanligvis e specielle fohold ved funktionen, de e af sælig inteesse. Eksempelvis e man måske kun inteesseet i at finde en støstevædi fo funktionen. Nå man skal undesøge en funktions egenskabe e det natuligvis en udmæket idé at få lommeegneen til at tegne dens gaf. Deefte kan man finde tangente, maksimum osv. diekte uden at benytte diffeentialegning. Nå det alligevel ikke e nok, skyldes det bl.a. følgende ) Funktionen kan kun tegne gafen i et begænset vindue. Det nytte ikke noget at man tegne funktionen omking begyndelsespunktet, hvis de inteessante punkte ligge omking punktet (,). Defo må man ved beegning føst finde ud af hvo de inteessante punkte e, og ovebevise alle om, at man ikke ha oveset noget væsentligt. ) Ofte vil man ved anvendelse gene have fundet et mee geneelt udtyk, dvs. de vil indgå nogle konstante a, b osv. i udtykket. Man kan ikke tegne funktionen i sådanne tilfælde og må defo igen benytte eksempelvis diffeentialegning ved løsningen. I de følgende eksemple gennemgås hvoledes man mest hensigtsmæssigt kan løse nogle af de oftest foekomne pobleme. Eksempel 6.6. Funktionsundesøgelse x + x Givet funktionen f ( x) = 4 + x ) Angiv funktionens definitionsmængde ) Find funktionens nulpunkte. 3) Find de eksakte vædie af funktionens støstevædi og mindstevædi (foudsat de eksistee). 4) Angiv funktionens vædimængde Løsning: I appendix e angivet hvoledes man tegne gafen, finde maksimum osv. Fø vi gø det, må vi vide i hvilket vindue vi skal tegne funktionen. De centale punkte på gafen vil væe de hvo funktionen ha vandet tangent, fodi det e blandt de punkte man skal finde maksimum og minimum. Af ande inteessante punkte kan væe funktionens skæing med aksene. 98

104 6.7 Funktionsundesøgelse ) Da nævneen ikke kan blive e definitionsmængden D = ] ; [ (alle eelle tal R). ) Nulpunkte: Løse ligningen f ( x) =. Dette svae til at finde gafens skæingspunkte med x - aksen. TI-89: solve(x^+x=,x) Nulpunkte: x = x = 3) Støstevædi og/elle mindstevædi: Bestemmes som den støste/mindste funktionsvædi blandt de punkte, hvo f ( x) = (vandet tangent) og definitionsmængdens endepunkte a) f ( x) = solve(d(4*(x^+x)/(x^+),x)=,x) Resultat: f ( x ) = x = ± = b) f ( + ) :4*(x^+x)/(+x^) x = + ( ) Resultat f ( + ) = Resultat f ( ): 4*(x^+x)/(+x^) x = ( ) f ( ) = 83. Da vi nu kende placeingen af de inteessante punkte tegnes gafen i eksempelvis omådet 5 x 5 5 y 5 TI89: Vælg: Y=, indtast funktionen, Gaph, Windows, og ænde vinduet som ovenfo. Det esultee i følgende tegning. Af denne ses, at funktionen ha et lokalt minimum -.83 og et lokalt maksimum Imidletid kan vi ikke af tegningen se om de e globale dvs støste og mindstevædie, da man eksempelvis kunne tænke sig at f(-) > Vi må defo se på hvad de ske nå x gå mod og, dvs. se om de e såkaldte vandette asymptote. Ti 89: F3\limit(4*(x^+x)/(x^+),x, ) Resultat 4 F3\limit(4*(x^+x)/(x^+),x,- ) Resultat 4 Gafen næme sig altså til den vandette linie y = 4. Den kaldes en vandet asymptote Da vi ha set, at funktionen ha den vandette asymptote 4 og det lokale maksimum e støe end 4 må støstevædien væe + som antages fo x = + Analogt må mindstevædien væe som antages fo x = 4) Af spøgsmål 3 femgå, at vædimængden e { y y + } Kontol: Man kunne ved tyk på F5 og valg af Minimum og Maksimum efte at have sat gænsene passende have fundet en tilnæmede vædie fo disse. 99

105 6. Diffeentialegning Eksempel 6.7. Funktionsundesøgelse x Givet funktionen f ( x) = fo x > 3x 6 Find funktionens vædimængde. Løsning: Definitionsmængden: Da nævneen e fo x = e funktionen defineet fo alle x > Fo at finde lokale ekstema,vil vi finde de punkte, hvo de e vandet tangent. Vi diffeentiee defo. x 4x+ f ( x): TI89: d((x^-)/(3*x-),x) Resultat: f ( x) = 3( x ) Vi søge nu punkte de ha vandet tangent: f ( x) = : TI89: solve(d((x^-)/(3*x-),x)=,x) Resultat: x = ± = Da x > e de kun et stationæt punkt x = + == Vi finde f ( + 3) = Vi kende nu det stationæe punkt, og kan tegne gafen i TI89 Vælg: Y=, indtast (x^-)/(3*x-6) x> ENTER Husk at justee vinduet, så de væsentlige punkte komme med. Vi undesøge nu gænsevædiene TI 89: F3\limit((x^-)/(3*x-5),x,,) Resultat: dvs. f ( x) fo x + Bemæk, at skal man gå ensidet fa høje, skal de stå + TI 89: F3\limit((x^-)/(3*x-),x, ) Resultat: dvs. f ( x) fo x Heaf følge, at vædimængden e 4 +, elle 3 3 ; [ 488. ; [ Som nævnt e man ofte ude fo, at man ønske besvaelse udtykt ved nogle konstante hvis vædi ikke e konketiseet. I sådanne tilfælde kan man ikke tegne gafen.

106 6.8. Optimeing Eksempel 6.8. Funktionsundesøgelse med paamete x + kx Givet funktionen f ( x) = 4, k > + x ) Angiv funktionens definitionsmængde ) Find de vædie af x, fo hvilke funktionen ha sin støstevædi og sin mindstevædi (foudsat de eksistee) Løsning: I eksempel 6.6 e givet samme funktion fo k =. Da k s vædi ikke kendes, kan funktionens gaf ikke tegnes. hvilket gø at man i stedet må foetage beegninge. ) Da nævneen ikke kan blive e definitionsmængden D = ] ; [ (alle eelle tal R). ) Føst findes de punkte, hvo f ( x) = (vandet tangent). f ( x) f = : d(4*(x^+k*x)/(x^+),x) Resultat: ( k x x k) ( x + ) = 4 f ( x) ( x) solve(d(4*(x^+k*x)/(x^+),x)=,x) Resultat: = = Vi tegne nu en monotonilinie f ( x) x k + ± k f ( x) k + k + + k k Da tælleen i f ( x) bestemme fotegnet (nævneen e altid positiv), og tælleen e et andengadspolynomium e gafen en paabel med genene nedad. Deved fotegnene fo f ( x). Da negativ diffeentialkvotient betyde at funktionen aftage, så ses heaf, at de e et lokalt maksimum fo x = k + + k + og lokalt minimum fo x = k k Vi undesøge lim f ( x) F3\limit(4*(x^+k*x)/(x^+),x, ) Resultat 4 x Vi undesøge lim f ( x) F3\limit(4*(x^+k*x)/(x^+),x,- ) Resultat 4 x Funktionens mindstevædi antages i x = k + og støstevædi i x = k k + + k

107 6. Diffeentialegning 6.8. Nogle anvendelse af diffeentialegning Optimeing Man e ofte inteesseet i at finde den bedste (optimale) løsning, de samtidig opfylde nogle bestemte kav. Det kan eksempelvis væe, at finde den billigste løsning, den poces, de give det støste udbytte osv. Sådanne pobleme kaldes optimeingspobleme. Vi ha alleede behandlet et sådant poblem i eksempel 4., hvo vi skulle finde hvilken pis de gav den støste omsætning. Vi kunne løse poblemet uden diffeentialegning, da den femkomne funktion blev et andengadspolynomium. Følgende to eksemple e nok et mee typisk eksempel på den slags pobleme. Femgangsmåden vil defo blive gundigt belyst. Eksempel 6.9 Optimeing En cylindisk beholde, de skal indeholde ætsende kemikalie, ønskes udfomet, så ovefladen blive så lille som muligt, da ovefladebehandlingen e dy. Beholdeen, som ikke behøve noget låg, skal have umfanget m 3. Find højde h og adius i cylindeen. Løsning: ) Føst opskives en fomel fo det man ønske at optimee (he aealet A af cylindeens oveflade), udtykt ved de vaiable man finde nødvendigt fo at skive fomlen op. Aealet A af cylindeens oveflade (bund + side) : A= π + π h. ) Da vi kun kan abejde med en funktion af vaiabel og ikke, må vi finde en elation mellem de to vaiable og h Vi skal defo have en ydeligee oplysning, og ha vi fået den oplysning at umfanget skal væe. Idet cylindeens umfang e V = π h,ha vi defo, at = π h Vi kan nu finde den ønskede elation mellem og h. = π h h = π 4 3) Ved indsættelse i udtykket fo A fås A= π + π = π +,hvo >. π Vi ha nu den ønskede funktion A() af vaiabel, som vi skal finde minimum fo. Dette ske ved diffeentialegning evt. suppleet ved, at man tegne gafen. 4) Fo oveblikkets skyld kaldes vaiablen fo x, og vi søge mindstevædi fo funktionen f ( x) = πx + 4 x, x > f ( x) = : TI89: solve(d( π *x^+4*x^(-),x)=,x) Resultat x =.863 De e altså kun en vædi, hvo tangenten e vandet Vi finde nu ovefladen fo denne vædi. TI89: π *x^+4*x^(-) x=.863 Resultat:

108 6.8. Optimeing Vi kende nu de stationæe punkt og kan tegne gafen i et passende vindue, eksempelvis. x 3 y Vi få en paabellignende gaf med genene opad. Da de kun e et stationæt punkt (punkt, hvo tangenten e vandet) så ha vi hemed vist, at dette punkt vikelig e et globalt minimumspunkt. Vi ha altså, at aealet blive mindst fo = 863. Den tilsvaende h - vædi fo højden i cylindeen blive nu h = = = 863., dvs. adius og højde blive ens. π π 863. Ønske man at kontollee egningene så vælg på tegningen F5 \Minimum. Man få (x, y) = (.863, ) Eksempel 6.. Optimeing med paamete En øledning påtænkes føt fa en boeplatfom B til et affinadei A beliggende ved kysten. B s afstand fa kysten e 5 km og afstanden AD e 4 km.(se figuen) Man ønske a vide, hvo på kysten (i punktet C) man skal føe ledningen i land, hvis det e k gange dyee p. km at bygge en undesøisk ledning, end det e at bygge den på land. a) Idet afstanden fa A til C kaldes x skal man udtykke de samlede udgifte z som en funktion af x (og k). b) Find den vædi af x, som gø udgiftene mindst, hvis det e dobbelt så dyt p. km at bygge undesøisk end ove land. c) Da man e usikke på, hvo sto pisfoskel de e mellem pis på land og unde havet, skal man geneelt udtykt ved k finde den vædi af x, de gø udgiftene mindst. Løsning: a) Kalde man længden af BC fo y e den samlede længde af ledningen x + y km. Det e klat, at va k = (samme pis) e x =, da det så ville væe billigst at bygge øledningen diekte fa B til A, og jo støe k e jo tættee ved D vil punktet C ligge. Antages at pisen fo at bygge km ledning på land e pisenhed (f.eks. pisenhed = k). I så fald e pisen fo at bygge km undesøisk ledning k (pisenhede) Den samlede pis e defo z = x+ k y (pisenhede). Vi skal nu finde en sammenhæng mellem x og y, og hetil anvendes Pythagoas på den etvinklede tekant BCD y = 5 + ( 4 x) y = 5 + ( 4 x) Ved indsættelse i udtykket fo z fås z = x+ k 5+ ( 4 x) 3

109 6. Diffeentialegning b) Vi sætte nu k = og få z = x+ 5+ ( 4 x) dz Vandet tangent fås fo de vædie af x, fo hvilke = dx TI89: solve(d(x+* (5-(4-x)^9,x)=,x) Resultat: x = 5( 3 8) = = 334. km Da dette e den eneste vædi i intevallet x 4hvo de e vandet tangent, må det ud fa hele poblemstillingen væe den vædi hvo pisen e mindst. Altenativt kunne man tegne gafen fo funktion i et elevant vindue. Da gafen blive en paabellignende figu med genene opad ses, at udgiftene blive mindst, hvis ledningen placees x =3.34 km fa A c) Vi finde igen de vædie af x fo hvilke =. TI89: solve(d(x+k* (5-(4-x)^9,x)=,x) k k 3 5 Resultat: x = o x = elle x = 4 ± k k k 5 Da x 4 e x = 4 k Da dette e den eneste vædi i intevallet x 4 hvo de e vandet tangent, og man ud fa poblemstillingen 5 kan se de må væe en mindstevædi, så må x = 4 væe den vædi de gø pisen mindst. k De næste afsnit vise anvendelse af diffeentialegningen indenfo fysik (kinematik) og økonomi. Det høe ikke til pensum, men kan fo sæligt inteesseede vise at diffeentialegning ha mange anvendelse indenfo foskellige fagomåde. 4

110 6.8. Kinematik 6.8..Kinematik Indledning I fobindelse med indføingen af diffeentialkvotient så vi på et legeme de bevægede sig etlinet langs en x-akse. Legemets position til tiden t sekunde va bestemt ved xt ()= t +. 4 Vi fandt da, at legemets hastighed til tiden t e v = x () t = t og at legemets acceleation e x () t =. Det fie fald Kastes en sten ned fa en høj bygning med en hastighed på v, så vil den stækning som stenen tilbagelægge til tiden t sekunde væe s = g t + t mete, hvo tyngdeacceleationen g = 9.8m/s v Ved diffeentiation ses, at stenens hastighed til tiden t e v = g t+v og dens acceleation g. Eksempel 6. Fit fald En sten falde til tiden t = fa en 3 mete højt tån. I statøjeblikket e dens hastighed m/s. Find stenens hastighed nå den nå joden. Løsning: 6 Af faldloven s= g t + v t fås 3 = g t t = = 47. s 98. Af v = g t+v fås nu v = = 4.6 m/s Jævn etlinet bevægelse Vi ha i afsnit.4 betagtet paametefemstillingen fo en linie. a En et linie i planen gennem P = ( x, y) med etningsvektoen ha paametefemstillingen. b x x t a y = + y b Opfattes paameteen t som tiden, kan paametefemstillingen opfattes som en beskivelse af en patikel P s bevægelse. Eksempel 6.. Jævn etlinet bevægelse Lad to bile A og B bevæge sig med en jævn etlinet bevægelse bestemt ved paametefemstillingene A: x t og B:, hvo t e tiden i sekunde og vejlængden måles i mete. y = x t y = + 4 a) Bestem de to biles fat b) Vil de to biles banekuve skæe hinanden?. c) Vil de to bile støde sammen? Løsning: a) Bil A ha faten = 5 og B ha faten 4 + ( ) = 7 3 b) Da de to etningsvektoe og ikke e paallelle, må de to banekuve skæe hinanden. 4 c) Hvis de støde sammen skal de findes et tidspunkt, hvo de e i samme punkt. Da x = + 3t = + 4t t = og y = + 4t = t 5t = t =, ses, at dette ikke e muligt, dvs. de støde ikke sammen. 5 Vi vil nu i det næste afsnit betagte paametefemstillinge, hvo banekuvene ikke e ette linie, og hvo hastigheden ikke e konstant. 5

111 6. Diffeentialegning..3. Ikke etlinet bevægelse. Lad punktene på en kuve k væe givet ved paametefemstillingen k: ( x, y) = f ( t), g( t), t et vilkåligt eelt tal. ( ) Diffeentiabilitet, tangent. Hvis koodinatfunktionene f(t) og g(t) e diffeentiable siges kuven at væe diffeentiabel. x f () t Vektoen = kaldes en tangentvekto til gafen. y g () t f () t Hvis t opfattes som tiden kaldes tangentvektoen v( t) = også fo hastighedsvektoen til tiden t, g () t længden v( t) af tangentvektoen kaldes faten, og at () = v () t kaldes acceleationsvektoen. Eksempel 6.3. Jævn cikelbevægelse Lad en kuve k væe givet ved paametefemstillingen k: (x,y) =( cos t, sin t), t π hvo t e tiden a) Beegn tangentvekto fo t = π 3 b) Idet t opfattes som tiden skal man beegne faten og acceleationsvektoen til tiden t = π 3 c) Skitse på en tegning kuven k, tangentvekto og acceleationsvekto, og kommente dees støelse og etning. Løsning: x a) = sin t, y cost π sin π = 3 = 3 π cos 3 elle d({*cos(t),*sin(t)},t) t = π /3 (husk vinkel i adiane) Resultat: { 3 } b) Faten e., v π 3 = ( 3) + = 3 Acceleationsvektoen e x t a = = cos π a =,. y sin t 3 3 t = π /3 {, 3} elle d(d({*cos(t),*sin(t)},t),t) Resultat: c)tegne kuven i Ti89: MODE Gaph=Paameic, Angle=Radian, ENTER Y= Indtast x(t) og y(t) GRAPH, Vælg F. Zoom Fit Man få en aflang ellipseagtig figu Vælg F: ZoomSq (fo at aksene kan få lige lange enhede.) Man få en cikel v a Det ses, at bevægelsen e en jævn cikelbevægelse med konstant fat på m/s. Acceleationsvektoen og demed kaften stå defo vinkelet på hastighedsvektoen. 6

112 6.8. Kinematik Lad os som et eksempel på en ikke etlinet bevægelse betagte det skå kast. Eksempel 6.4. Skå kast En håndganat kastes unde en vinkel på 3 med det vandette plan. Begyndelseshastigheden e m/s. a) Giv en paametefemstilling fo banekuven. b) Skitse ved hjælp af lommeegneen banekuven. c) Hvo højt nå ganaten op? d) Hvo langt (målt vandet) bevæge håndganaten sig inden den amme joden i samme højde som statstedet. Løsning: a) Begyndelseshastigheden e v 3 = cos sin 3 Tyngdekaften e den eneste kaft de påvike ganaten (vi se bot fa luftmodstand). Den vike lodet nedad, så vandet e de ingen kaft de påvike ganaten, dvs. hastigheden vandet e uændet x = cos3 Lodet vike tyngedekaften nedad, dvs. y = gt+ sin 3 Vi ha altså, at til et vilkåligt tidspunkt t e hastigheden v x cos3 = = y sin 3 gt Banekuven fås nu (ud fa fomlene i indledningen) t t x cos3 cos3 y = t gt = sin 3 sin 3 t t. 98. Som foventet fås hastigheden ved diffeentiation. b) Tegne banekuven MODE Gaph=Paameic, Angle=Degee ENTER Y= Indtast x(t) og y(t) GRAPH, WINDOW Indstil vædiene tmin =, tmax =?, xmin =, xmax =?, ymin =, ymax =? (he må man pøve sig lidt fem elle også vente til man ha beegnet vædiene i de næste spøgsmål) Jeg valgte tmin=, tmax =, xmin =, xmax = 4, ymax=5 De femkomme nu en kuve som man kan vise e en paabel (kastepaablen) Vælg eventuelt ZoomFit hvis intet vise sig c) Maksimumshøjden nås, nå hastighedsvektoen e vandet, dvs. y = gt+ sin t = sin t+ sin3= t = =. s 98. Højeste punkt y = sin (. ) = 5. m sin 3 d) Statstedet nås, nå y =, dvs y = sin 3 t 9. 8 ( t) = t = t = = (dvs. det dobbelte af.) Vi ha følgelig x = cos 3. 4 == 353. m 7

113 6. Diffeentialegning Økonomi Diffeentialegning anvendes også nå man abejde med økonomiske fohold. Dette give det følgende et pa eksemple på. Gænseomkostninge En viksomhed ha nogle poduktionsomkostninge. Disse omkostninge afhænge af antallet af poduceede enhede. Poduktionsomkostningene e følgelig en funktion f ( x) af antal poduceede enhede x. Diffeentiee vi f vil diffeentialkvotienten f ( x ) jo angive hældningskoefficienten fo tangenten i x (se figuen). f ( x ) f ( x ) kaldes gænseomkostningen ved poduktion af x poducee enhed mee. enhede, og kan tolkes dom omkostningen ved at Gennemsnitsomkostning Ofte e man inteesseet i den poduktion, de give mindst gennemsnitsomkostning p. enhed. f ( x) Ved poduktion af x enhede e den gennemsnitlige omkostning k( x) =. x f ( x ) Af figuen ses, at linien OP ha hældningskoefficienten. x f x ( ) Skal man finde den vædi de give den mindste gennemsnitsomkostning p. enhed, så skal man finde det punkt Q på gafen fo f ( x), hvo linien OQ ha den mindste hældning. Som det ses af figuen e det (elle de) punkte, hvo linien fa O e tangent til gafen fo f f ( x) Den mindste gennemsnitsomkostning findes ved poduktion af det antal enhede x fo hvilke f ( x) = x Gænseomsætning Nå en viksomhed sælge sine vae, få den en indtægt, som kaldes dens omsætning. Omsætningen e en funktion gx ( ) af det antal vae x de sælges. Ved gænseomsætningen ved afsætning af x enhede fostås diffeentialkvotienten g ( x ) som med tilnæmelse e omsætningsændingen ved afsætning af enhed mee. 8

114 6.8.3 Økonomi Avance Hvis man tække udgiftene fa indtægtene femkomme viksomhedens avance (fotjeneste) Avancen e en funktion h af antal solgte enhede, og kan med en vis tilnæmelse findes ved at tække omsætningen gx ( ) fa poduktionsomkostningene f ( x), dvs. hx ( ) = gx ( ) f( x). Avancen blive støst fo det salg x, hvo h ( x) = ( e vandet tangent) Eksempel 6.5 Økonomi En møbelfabik, ha fundet, at det koste f (x) k at poducee x stk. af en bestemt type sofae, hvo poduktionsomkostningene (i k) e f ( x) =. 9 x +. 37x x og omsætningen e gx ( ) =. 4x + 8. x 348. a) Hvis viksomheden poducee sofae p. dag, hvad e så ) poduktionsomkostningene, og hvad e gænseomkostningen ) omsætningen og gænseomsætningen 3) Hvad e avancen b) Hvo mange sofae skal poducees p. dag fo at få den støste avance. c) Hvo mange sofae skal dagligt poducees, så man få den mindste gennemsnitsomkostning p. sofa. Løsning: a) ) f () = k Gænseomkostning = f ( ) = 897 k ) g () = 33 k Gænseomsætning = g ( ) = 986 k 3) Avancen =g () -f ()= b) Støst avance : A ( x) = g ( x) f ( x) = 687. x. 554x+ 97. A ( x) = 378. x = 769. A(37.8)= 35 k A(769.)= Heaf ses, at avancen e støst ved salg af 37 sofae, og avancen e ca. 35 k c) f ( x) = f ( x) x =. 389 x = 6. x k( x) = f ( x). k (.389) = x Da k () =. og k (5) = e gennemsnitsomkostningen mindst fo x = 9

115 6. Diffeentialegning Opgave til kapitel x 3x + 3x x 3x + 3x 6. Bestem lim og lim x x 3x x x 3x x 6.. Bestem lim x x x Lad f ( x) = x a) Find ligningene fo de to tangente til gafen fo f, som e paallel med linien med ligningen y = - x +4. b) Find afstanden mellem de to tangente. x 6.4 Lad f ( x) = e + x Find den spidse vinkel mellem de to tangente til gafen fo f, de ha øingspunkte i henholdsvis (, f()) og (, f()). 6.5 En patikel bevæge sig på en et linie. Patiklen position s (mete) til tidspunktet t (sekunde) e give ved st ()= 4 t a) Bestem patiklens hastighed til tidspunktet t = 4. b) Bestem det tidspunkt, hvo patiklens hastighed e. c) Find patiklens acceleation til t = 4 x x En funktion f e bestemt ved f ( x) =, x + x + a) Angiv funktionens definitionsmængde. b) Find ved anvendelse af diffeentialegning støstevædi og mindstevædi fo funktionen. c) Skitse gafen i et omåde, som vise funktionens kaakteistiske egenskabe x En funktion f e givet ved f ( x) =. x + a) Angiv funktionens definitionsmængde. b) Beegn ved anvendelse af diffeentialegning maksimum og minimum fo funktionen. c) Angiv funktionens vædimængde d) Skitse gafen i et omåde, som vise funktionens kaakteistiske egenskabe x x 6.8 En funktion e givet ved f ( x) =, x < 3 x 6 a) Find funktionens nulpunkte b) Find ved anvendelse af diffeentialegning funktionens vædimængde. c) Skitse gafen i et omåde, som vise funktionens kaakteistiske egenskabe 6.9. Find ved anvendelse af diffeentialegning støste- og mindstevædi fo funktionen f ( x) = x x, x, 6.. Lad f ( x) = 3sinx+ 4cos x, x π

116 Opgave til kapitel 6 a) Skitse gafen på lommeegneen, og bestem koodinatene til det globale minimum med decimale b) Funktionen ønsket omskevet til fomen f ( x) = asin( bx+ c) Find eksempelvis ved passende aflæsning på gafen vædiene fo a, b og c med decimale c) Kontolle egningene ved at tegne begge gafe på lommeegneen. 6. Lad f ( x) = (sin x) + cos x, x π a) Find funktionens nulpunkte b) Find vædimængden fo funktionen c) Skitsé funktionen 6. Lad f ( x) = x ln( x) + e x < x Skitse funktionen ved hjælp af lommeegneen og bestem vædimængden fo funktionen Af en tynd kvadatisk plade med siden 3 m botskæes i hjønene fie lige stoe kvadate (se figuen). Resten bukkes, således at de dannes en kasse (uden låg). Bestem siden i de kvadate, de skal botskæes, således at kassens umfang blive støst muligt En plan væg i en ovn skal isolees mod vametab. Et isoleingslag af tykkelsen x koste 4 p. cm x 365 kone, og heigennem tabes vame fo kone/time. Anlægget x påegnes benyttet i døgndift ove 6 å. Find den mest økonomiske isoleingstykkelse x En vinduesåbning bestå af et ektangel og en halvcikel, de ha ektanglets øveste vandette side som diamete. (se figuen) a) Angiv aealet og omkedsen af vinduesåbningen udtykt ved x og y. b) Det oplyses, at omkedsen af vinduesåbningen ha længden m. Find den vædi af bedden x, som gø aealet af åbningen støst. c) Det oplyses, at omkedsen af vinduesåbningen ha længden a m Find udtykt ved a den vædi af bedden x, som gø aealet af åbningen støst I en etvinklet tekant med hypotenusen c skal summen af katetene have længden cm. Find den vædi af kateten a, som gø hypotenusen c mindst mulig.

117 6. Diffeentialegning 6.7 Et vindue e ektangulæt. Det oplyses at den nedeste side (kamen) e 5 gange så dy som de te ande side. Aealet af vinduet skal væe a m. Lad længden af den nedeste side væe x m. a) Angiv vinduets dimensione, hvis aealet skal væe a = 3 m b) Find den vædi af x, de gø den samlede pis fo de 3 side og kamen mindst mulig En viksomhed femstille en vae, hvo poduktionsomkostningene fo at femstille x 3 tons p. uge e givet ved Ox ( ) = x 75x + 95x+ 3. Den poduceede vaemængde kan sælges til en fast pis på 35 p. ton. Bestem det antal tons, som viksomheden skal femstille p. uge, hvis avancen skal væe støst mulig. 6.9 Ved indspøjtning af insulin ænde koncentationen af blodsukke. Koncentationen z (mg/ml) e en funktion af den tid t (i time) de e foløbet efte indspøjtningen. 4 z e t 8. t = + e Sammenhængen e bestemt ved fomelen ( ) a) Beegn det tidspunkt t, til hvilket blodsukkekoncentationen e mindst. b) I tiden efte t vokse blodsukkekoncentationen. Bestem det tidspunkt til hvilket blodsukkekoncentationen vokse hutigst. 6. I en ligebenet tekant ABC e gundlinien AB = 4 og højden CD = 4. Idet E e et punkt på højden CD, skal man bestemme v = EAD (se figuen) således, at z = EA +EB + EC blive så lille som muligt. 6. Et ektangulæt skydeomåde, de gænse op til en etlinet mu ønskes indhegnet med et 6 m langt hegn. De skal ikke sættes hegn op langs muen. Hvilke dimensione få skydeomådet, nå det indhegnede omåde skal have et så stot aeal som muligt. 6. Tempeatuen T (målt i C ) i en speciel ovn udvikle sig som en funktion af tiden t (målt i minutte efte at ovnen e tændt) givet ved foskiften T = + 5 ln(8 t+ ) a) Bestem (med decimale) tempeatuen i ovnen minutte efte at ovnen e tændt. b) Bestem (med decimale) hvo lang tid de gå, fa ovnen e tændt til tempeatuen i ovnen nå op på 5 C. c) Bestem (med decimale) den hastighed, hvomed tempeatuen ænde sig til tiden t =. 6.3 Et fly, de holde stille på en flyveplads, sætte i en take-off i gang med konstant acceleation. Indtil liftoff bevæge den sig på statbanen 6 m på s. a) Bestem acceleationen b) Bestem den hastighed flyet ha efte de føste s. c) Bestem gennemsnitshastigheden ove de føste s. d) Bestem den gennemløbne vejlængde i det. s.

118 Opgave til kapitel En haubitze afgive skud med mundingshastigheden 4 m/s mod et mål i afstanden 76 m. a) Hvilke elevatione (vinkel) vil binge pojektilet fem til målet. b) Hvo sto blive pojektilets flyvetid. 6.5 Et punkt P bevæge sig til tiden t i et koodinatsystem efte paametefemstillingen 3 x = t 6t+ 8 y = t 6t + t 6, t [ 4 ;. ] a) Til hvilket tidspunkte passee P x-aksen, og hvad blive skæingspunktets koodinate b) Til hvilket tidspunkte passee P y-aksen, og hvad blive skæingspunktets koodinate c) I hvilke punkte og til hvilke tidspunkte e hastighedsvektoen paallel med x - aksen. d) I hvilke punkte og til hvilke tidspunkte e hastighedsvektoen paallel med y - aksen. e) Skitse banekuven ved hjælp af lommeegneen. f) Bestem og indtegn på kuven hastighedsvekto og acceleationsvekto til t =. 6.6 Et punkt P bevæge sig til tiden t i et koodinatsystem efte paametefemstillingen 3 x = t 3t y = t, t [ ; ]. a) Skitse banekuven ved hjælp af lommeegneen. b) Find koodinatene til de punkte, hvo hastighedsvektoen e lodet. c) Find koodinatene til de punkte hvo gafen skæe y-aksen. d) Find vinklen mellem hastighedsvektoene i det punkt, hvo kuven skæe sig selv (dobbeltpunkt). 5) Find de punkte på banekuven, hvo acceleationsvektoen stå vinkelet på hastighedsvektoen. 6.7 Et punkt P bevæge sig til tiden t i et koodinatsystem efte paametefemstillingen x = cost+ sin t y = cos t, t [ π ; ]. a) Skitse banekuven ved hjælp af lommeegneen. b) Find koodinatene til de punkte, hvo hastighedsvektoen til gafen e vandet. 6.8 Fo et fima e poduktionsomkostningene p. enhed x givet ved 3 f ( x) = x 5x + 4x+ 5 og omsætningen gx ( ) = 64x x a) Hvis viksomheden poducee enhede p. dag, hvad e så ) poduktionsomkostningene og hvad e gænseomkostningen ) omsætningen og gænseomsætningen 3) hvad e avancen b) Hvo mange enhede skal poducees p. dag fo at få den støste avance c) Hvo mange enhede give den mindste gennemsnitsomkostning p. enhed. 3

119 7. Integation 7. Integation 7. Indledning Da vi i afsnit 6.8. om kinematik behandlede fomlene fo det fie fald, påstod vi, at den stækning stenen falde e s= gt + t, og så fandt vi ved diffeentiation hastigheden v v = gt + v og acceleationen g. Imidletid e det jo det omvendte man ved: tyngdeacceleationen e konstant g og man skal så egne baglæns fo at finde hastighed v og tilbagelagt vej s. Dette vise, at de e behov fo indføe den omvendte egningsat af at diffeentiee. Dette kaldes at integee. 7.. Ubestemt integal Definition af stamfunktion. Lad f væe en funktion, de e defineet i et inteval I. Ved en stamfunktion F til f i intevallet I fostås en diffeentiabel funktion, som i I opfylde betingelsen F ( x) = f ( x). Eksempelvis e sin x en stamfunktion til cos x, da (sin x) = cos x og x e en stamfunktion 3 til da x = x. x ( ) 3 Da man ofte ha bug fo at finde stamfunktione benyttes et sæligt symbol fo en sådan stamfunktion, nemlig f ( x) dx som kaldes det ubestemte integal af f. Funktionen f efte integaltegnet kaldes integanden. Eksempelvis e ( x+ 3) dx = x + 3x da man ved diffeentiation af høje side få integanden x + 3 x = x+ 3 ( ) Ved integationspøven fostås netop dette at f ( x) dx = F( x) F ( x) = f ( x) Det e klat, at hvis f ( x ) dx = F ( x ) så gælde også f ( x) dx = F( x) + k, hvo k e en konstant (da Fx ( ) + k = Fx ( ) = f( x) ) ( ) ( ) Hemed ha vi også fundet samtlige stamfunktione, idet de gælde følgende sætning: Sætning 7. Samtlige stamfunktione til f. Lad F væe en stamfunktion til f. Enhve anden stamfunktion G til f kan da skives på fomen Gx ( ) = Fx ( ) + khvo k e en konstant. Bevis: Da F og G begge e stamfunktione til f, gælde, at F ( x) = f ( x) og G ( x) = f ( x) Heaf fås, at G ( x) = F ( x) G ( x) F ( x) = En funktion, hvis diffeentialkvotient e i et inteval, e en konstant. Vi ha følgelig, at G(x) - F(x) = k elle G(x) = F(x) +k Vi vil i esten af dette kapitel udelade denne konstant i beegningene, da den ikke få nogen indflydelse på slutesultatene

120 3 Vi vil eksempelvis ikke skive x dx = x + k men kun x dx = x Integationsegle Ud fa kendskabet til de mest almindelige funktiones diffeentialkvotiente, kan man let finde det ubestemte integal af de samme funktione. Lad a og n væe konstante (eksempelvis a = 3 og n = - 5) p f ( x) a x x n e ax a x,a > sin( a x ) cos( ax) a x n+ x cos( ) f ( x) dx ln x x n + ax e a a ln( a) 3 a x a sin( ax) a 7.3. Integationsegle Skal man integee en given funktion, så kan det ofte væe nødvendigt at omfome integalet til noget som man lettee kan finde en stamfunktion til. Dette ske ved hjælp af de følgende integationsegle: a f ( x ) + b g ( x ) dx = a f ( x ) dx+ b g ( x ) dx lineaitetsegel ( ) Fo mee kompliceede funktione, kan nedennævnte integationsegle muligvis benyttes, men he vil det sædvanligvis væe sikee at benytte en lommeegne som eksempelvis Ti-89. Ande integationsegle Integation ved substitution: f ( g( x)) g ( x) dx = f ( u) du, hvo u = g( x) Reglen kan også kot skives f ( g( x)) dg( x) = f ( u) du hvo u = g( x), du = g ( x) dx Integation ved substitution kan med fodel benyttes, hvis integanden indeholde en sammensat funktion med den inde funktion gx ( ), og en fakto, som minde om g ( x). Patiel (delvis) integation: f ( x) g( x) dx = f ( x) G( x) f ( x) G( x) dx hvo Gx ( ) = gxdx ( ) Reglen kan også kot skives fdg = f g gdf Delvis integation kan med fodel benyttes, hvis integanden e et podukt, hvo den ene fakto simplee ved diffeentiation, og den anden fakto ikke blive væe ved integation. Deved e de håb om, at det nye integal blive lettee at bestemme. Indskudsegel b a c f ( x) dx = f ( x) dx+ f ( x) dx Ande egle b a a c b a f ( x) dx = f ( x) dx og f ( x ) dx = b a a f ( x) blive Man kan vise, at enhve funktion, de e kontinuet i et inteval I ha en stamfunktion i dette. 5

121 7. Integation Imidletid e det ikke altid muligt at finde en stamfunktion udtykkes ved de sædvanlige x funktione. Eksempelvis kan man vise, at e dxikke kan udtykkes ved de sædvanlige funktione. Det følgende eksempel belyse beegningene dels uden dels med lommeegne Eksempel 7. Integation uden benyttelse af lommeegne. Beegn a) ( 3x 4x ) dx x x e dx Løsning: Ved benyttelse af lineaitetseglen fås: b) ( x sin( ) + + ) 3 x x 3 a) ( 3x 4x ) dx = 3 4 x = x x x 3 b) ( x ) 4 4x sin( x) + 3x + 4 e dx = sin( x) dx + 3 x dx + 4 e dx 3 4x cosx x e = ( ) = cos( x) + x + e 3 4 Eksempel 7.. Integation med lommeegne Find + a) x 4x 5dx b) x + dx x + x 6 c) x sin xdx Løsning: Integaltegnet findes på TI 89 ove tallet x ( x + ) a) (x (4x^+5),x) Resultat: 4 5 b) ((x+)/(x^+x-6),x) ENTER Resultat: ln( x + x+6 c) (x*sin(x),x) ENTER Resultat: sin( x) x cos( x) 3 6

122 7.4. Bestemt integal 7.4. Bestemt integal Definition af middelsum. Lad de væe givet en eel funktion f de e defineet i et inteval [a ; b]. De vælges nu en inddeling af intevallet [a ; b] i n delintevalle med længde x, x,..., x n. I hvet delinteval vælges endvidee et punkt, hvoi f e defineet. Punktene betegnes x, x,..., x n. n Heefte e vi i stand til at danne støelsen f ( xj) xj, som kaldes en middelsum fo f i intevallet [a ; b]. j= Fig. 7.. Summen af ektanglenes aeale (egnet med fotegn) e en middelsum fo f i [a;b]. Definition af bestemt integal Hvis middelsummen n j= f ( x ) x j j ha en gænsevædi, nå inddelingen gøes finee og finee, sådan at længden af det støste delinteval gå mod, så kaldes denne gænsevædi det bestemte integal f ( x) dx. (integalsymbolet b a e et aflangt S, som stå fo sum) Man kan vise følgende sætning Sætning 7. (bestemt integal udtykt ved stamfunktion) Lad F væe en stamfunktion til en kontinuet funktion f i intevallet [a; b]. b Så gælde f ( x) dx = [ F( x) ] b = F( b) F( a). a a 7

123 7. Integation Eksempel 7.3. Beegning af bestemt integal Lad f ( x) = x+ Beegn 4 f ( x) dx Løsning: Idet en stamfunktion til f(x) e F(x) = x + x fås x+ dx = x + x 975 = + + =. Vi vil illustee definition og sætning ved følgende eksempel: Eksempel 7.4. Illustation af definition Lad væe givet den lineæe funktion f ( x) = x+ i intevallet x 4 Vi dele nu intevallet x 4 op i 3 lige lange delintevalle af længden x = Vi danne nu en middelsum ved at tage funktionsvædien i endepunktet af hvet inteval og multiplicee med x =. 3 f ( xi ) x = f ( ) + f ( ) + f ( 3) = = 9 i= Denne sun kan anskueliggøes ved nedenstående figu Det ses, at summen blive lig med aealet af de 3 ektangle på figuen. Opdeles i 6 delintevalle femfo ovennævnte 3 fås 5 f ( xi ) x = f ( ) 5. + f ( 5. ) f ( 35. ). 5 = = i= 8

124 7.4. Bestemt integal Det tilsvaende skaveede omåde (se figuen) blive mee fintakket Vi kan se, at jo flee delintevalle vi indskyde, jo mee fintakket blive kuven, og jo mee næme den søgte afstand sig til aealet unde linien. Aealet e A = (aeal af ektangel med højden.5 + tekantens aeal) (. ) =. 4 Vi ha følgelig, at ( x+ ) dx = 975. Vi se. at dette svae til facit i eksempel 7.3. Definitionen på bestemt integal og eksempel 7.3 illustee følgende sætning Sætning 7.3 Aeal unde kuve Fo en positiv funktion f(x) gælde, at b f ( x ) dx= aealet af den punktmængde, som e begænset a af gafen fo f, x - aksen og liniene x = a og x = b (det skaveede omåde på figu 7.) Fig 7.. Punktmængde 9

125 7. Integation Heaf følge så umiddelbat følgende mee geneelle sætning. SÆTNING 7.4. Aeal af lukket omåde Lad f og g væe kontinuete funktione i intevallet [a; b],lad f ( x) g( x) og lad M væe punktmængden mellem gafene fo f og g og liniene x = a og x = b. (skaveet på figu 7.3). De gælde da: b Aeal af M = ( f ( x) g( x)) dx a Fig.7.3. Aeal af omåde Bevisskitse: b b E både f og g positive som på figu 7.3 ses umiddelbat, at aealet kan fås ved f ( x) dx g( x) dx. a a Af sætning 7. fås nu, b b b f ( x) dx g( x) dx = Fb) Fa) ( G( b) G( a)) = F( b) G( b) F( a) G( a) = ( f ( x) g( x)) dx a ( ) a E de to funktione ikke begge positive, så kan man altid ved at lægge en passende konstant k til begge funktione søge fo at f ( x)+ k > og gx ( )+ k>. Da en paallelfoskydning ikke ænde aealet mellem kuvene, fås aeal b ( f ( x) + k) ( g( x) + k) dx = ( f ( x) g( x)) dx b af M = ( ) a a a Eksempel 7.5 Aeal unde kuve Find aealet af den punktmængde på figuen, de e begænset af gafen fo funktionen f ( x) = x +, 4 x - aksen og liniene x = og x = 5. Løsning: Som det femgå af sætning 7. e aealet bestemt ved 5 A= x + dx 4 Da ( 4 ) A= x x + dx = x + x, fås x = + = 3 f ( x) = x + 4 TI89: Integaltegnet findes på TI 89 ove tallet 7. (/4*x^+,x..5) ENTER Resultat: 43/3 De følgende eksemple belyse beegningene.

126 7.4. Bestemt integal Eksempel 7.6. Aeal mellem kuve og x-akse 4 3 Givet funktionen f ( x) = 8x 4x x + x, x ) Skitse gafen fo f(x) (Benyt lommeegne) ) Beegn det samlede aeal af de to omåde, de begænses af funktionen f(x) og x - aksen Løsning: ) Gafen tegnes på lommeegne Vælg Y=, y(x)= Skiv 8x^4-4x^3-x^+x ENTER a) Vælge GRAPH og funktionen tegnes. b) Vælge WINDOWS og afpasse tøelsen af tegnevinduet ved at sætte xmin = - og xmax =. Skitse af gaf: ) De blive to omåde, hvis aeal skal bestemmes. Fo at kunne det, må man finde gafens nulpunkte. TI-89: solve(8*x^4-4*x^3-*x^+x=,x) Resultat: x=-½ o x= o x=/ Ifølge sætning 7. findes aeal ved at integee øveste funktion - nedeste funktion. Den ene funktion e x = (x-aksen ) og den anden e f(x). Vi ha defo Aeal = ( (8 x 4x x + x)) dx+ (8 x 4x x + x ) dx = + = Eksempel 7.7. Aeal mellem kuve Beegn aealet af den lukkede punktmængde, som begænses af kuven linie 3x y = 5. y = x x Løsning: 3 5 3x y = 5 y = x Man finde skæingspunktene mellem kuvene solve (/x-/x^=3/*x-5/,x) Skæingspunkte x = /3, x =, x = - De to kuve tegnes på lommeegneen. Y= y(x)= /x-/x^ ENTER Y=, y(x)= 3/*x-5/ ENTER Begge kuve e nu makeede, og vælges GRAPH blive de tegnet. Man se på tegningen den lukkede punktmængde, at linien ligge nedest og at det e skæingspunktene x = /3, x = de e afgænsningen. (/x-/x^-(3/*x-5/),x,/3,) 3 5 A = x dx = 3 4 ln = x x 3 3 og den ette

127 7. Integation 7.5. Numeisk integation Selv om en funktion e kontinuet og demed integabel, e det ikke altid muligt at finde en stamfunktion udtykt ved de sædvanlige funktione. Eksempelvis kan man vise, at det ikke e x muligt at finde e dx. Det bestemte integal e dxkan defo kun findes ved at benytte en såkaldt numeisk metode. Sådanne metode give så omfattende egninge, at det i paksis e nødvendigt at anvende et pogam fo at få esultatet med tilstækkelig nøjagtighed. Metodene basee sig på, at opdele integationsintevallet i n delintevalle, og så indenfo det enkelte inteval estatte kuven med eksempelvis en et linie (tapezmetoden) elle bede med en paabel som figuen vise (Simpsons metode) x Fig. 7.4 Kuven tilnæmes ved paable (stiplede). Eksempel 7.8 Numeisk integation ) Undesøg om lommeegneen kan finde en stamfunktion til e dx. x ) Beegn e dxmed 4 betydende cife Løsning: ) (e^(x^),x) Resultat: Svae med samme integal, så kan ikke finde en stamfunktion ) (e^(x^),x,,) Resultat: 6.45 x 7.6 Rumfang af omdejningslegeme Lad f væe en kontinuet funktion i intevallet fa a til b. Vi deje dens gaf 36 omking x - aksen og søge umfanget af det deved femkomne omdejningslegeme (se figu 7.5) Rumfanget af en tynd skive vinkelet på x - aksen gennem punktet med føste-koodinaten x, kan beegnes som umfanget af en cylinde med adius f ( x) og højde dx. f ( x) Fig Omdejningslegeme

128 Rumfanget af skiven e da π ( f x ) ( ) dx 7.6.Rumfang af et omdejningslegeme Rumfanget V af hele omdejningslegemet fås da ved at summee ove alle sådanne skives umfang. Dette føe til følgende fomel b V = π ( f ( x) ) dx () a Lad f og g væe funktione i et inteval fa a til b, og lad os antage, at f ( x) g( x) og a Lad M væe punktmængden mellem gafene fo f og g og liniene x = a og x = b (se figuen) Dejes M om x - aksen blive umfanget b V x = π ( ( )) π ( ( )) a b f x dx g x dx a () Eksempel 7.9 Omdejningslegeme om x-aksen Lad A væe mængden begænset af gafen fo f ( x) = x,x-aksen og liniene x = og x =. Lad B væe mængden begænset af gafen fo f ( x) = x,y-aksen og liniene y = og y =. ) Find umfanget af det legeme de femkomme, nå A dejes 36 omking x - aksen. ) Find umfanget af det legeme de femkomme, nå B dejes 36 omking x - aksen. Løsning Omådet A skitsees (se figuen). ) Dejes A om x-aksen fås (af fomel ()) x 5 VA = π ( x) dx = π = π = ) B deles op i ) et ektangel B begænset af y-aksen og linien x = og ) omådet B begænset af liniene x = og x =. 3

129 7. Integation Af fomel () fås nu 3 V B = π (. ) dx + π ( ) π π ( 4 ) π π π 78. x dx = + x dx = + = = 4 4 Dejning om y-aksen Skal man tilsvaende deje det på figuen makeede omåde om y - aksen så blive fomlen f ( b) V y = (3) f ( y) dy f ( a) Dejes det af to funktione f og g begænsede omåde M omking y- aksen blive umfanget b ( ) V y = π x f ( x) g( x) dx (4) a Bevisskitse: En smal stimmel af bedden dx paallel med y-aksen føes ved dejning om y - aksen undt i en cylindeskal af tykkelsen dx, højden f(x) - g(x) og adius x (se figuen) Denne cylindeskal ha defo umfanget πx f ( x) g( x) (cylindeskallens aeal ganget med dens tykkelse) ( ) Det samlede umfang findes deefte ved integation Tyngdepunkt af homogent plant omåde Lad M væe et omåde som vist i figu 7.6 med en massetæthed på ρ kg/cm, og et aeal på A. Lad omådets tyngdepunkt T have koodinatene T = (x T, y T ) Man kan vise, at (se bevisskitsen) b b x( f ( x) g( x) ) dx ( f ( x) ) ( g( x) ) dx ( ) a a xt =, yt = A A Bevisskitse Fig.7.6.Tyngdepunkt Lad os betagte ektangulæe plade P og Q med samme massefylde ρ Kaldes aealene fo de to plade fo A og A ha pladene massene m = ρ A og m = ρ A Lad plade P have tyngdepunktet ( xp, yp ) og Q have tyngdepunktet ( xq, yq) Lad endvidee det samlede plade have massen M og tyngdepunktet ( x, y ) T T x A + x A De gælde da M xt = mx + mx xt = (bemæk, at ρ fokotes væk). A + A y A y A Analogt gælde y T = + A+ A Af symmetigunde, ha pladen P sit tyngdepunkt i (.5, ) og Q sit tyngdepunkt i (.5,.5) Vi ha følgelig, at tyngdepunktet fo det samlede system e ( xt, yt ) = , = (.,.)

130 7.6.Rumfang af et omdejningslegeme Genealisees ovenstående betagtninge fås: Lad aealet af punktmængden i figu 7.4 væe A og dets tyngdepunkt T =(x T, y T ). Lad endvidee et omåde have aealet dx dy med tyngdepunktet x i Vi danne nu x i dx dy og lægge alle disse led sammen x dx dy Da en sådan sum gå mod integalet haves Tilsvaende fås yt A= y dx dy yt = b f ( x) ydy dx a g( x) b a i xt A= x dx dy xt = b f ( x) y dx a g( x) = = b g x dx a ( f ( x) g( x) ) dx ( f ( x) ( )) b f ( x) x dy dx a g( x) = b ( f ( x) g( x) ) dx a b ( ( ) ( ) ) a b ( f ( x) g( x) ) dx a f x g x dx b x f x a b ( ( ) ( )) g x dx ( f ( x) ( )) a g x dx Eksempel 7. Tyngdepunkt fo plant legeme. Beegn koodinatene til tyngdepunktet fo den den lukkede punktmængde, som begænses af kuven y = og den ette linie 3x y = 5. x x Løsning: Opgaven e en fotsættelse af eksempel 7.6, hvo vi fandt, at kuvene ska hinanden i x = /3 og x = (Se figuen) Vi fandt,at aealet va A = Tyngdepunkt T =(x T, y T ) xt = x x dx A 3 5 x x 3 TI89: /.8689* (x*(/x-/x -(3/*x-5/),x,/3,) =. yt = x A x x 3 5 * 3 dx TI89: /.8689* (/*((/x-/x ) -(3/*x-5/) ),x,/3,) =

131 7. Integation Opgave til kapitel 7 e 7.. Find a) cos x 3sin x+ dx b) dx c) x e + 7. Find med 3 betydende cife 4 ln x a) b) c) x dx 4 x xdx ln x 3x dx 7.3 Find aealet begænset af gafen fo funktionen f ( x) = x samt liniene x =, y = og y = Gafen fo funktionen f ( x) = x x + x og x - aksen afgænse et lukket omåde A. a) Skitse gafen og skave omådet A. b) Beegn aealet af A Gafene fo funktionene f ( x) = x 6x og f ( x) = 5x afgænse lukkede omåde A og B. Beegn aealene af A og B. 7.6 Find umfanget af det omdejningslegeme, de femkomme nå den punktmængde, de 3 begænses af gafen fo funktionen f ( x) = x x og x-aksen dejes 36 om x - aksen. 7.7 Lad de væe givet funktionen f ( x) = ( x) x a) Find aealet af den omåde, de begænses af kuven og x - aksen. b) Find umfanget af det omdejningslegeme, de femkomme nå det i spøgsmål ) nævnte omåde dejes 36 om x - aksen. 7.8 Givet funktionen f ( x) = x, x x xe a) Find ligningen til tangenten til gafen med øingspunkt P = (,). Punktmængden begænset af gafen, x - aksen og tangenten kaldes M. (se figuen) b) Find aealet af M. c) M otees 36 omking X - aksen, hvoved de femkomme et omdejningslegeme. Bestem dette legemes umfang V x. 7.9 Lad M væe omådet begænset af gafene fo funktionene f ( x) = 3 x og gx ( ) = x +. a) Find umfanget af det omdejningslegeme, de femkomme ved, at M dejes 36 om x - aksen. b) Find (ved symmetibetagtning) uden beegning tyngdepunktets koodinate x dx 6

132 Opgave til kapitel 7 7. Lad M væe omådet, de begænses af gafen fo funktionen f ( x) = x samt liniene x = og x = 4. a) Find aealet af M b) Find koodinatene til tyngdepunktet fo M. M antages at væe homogent. 7. a) Tegn gafene fo funktionene f ( x) = 3x x og gx ( ) = x 3 b) Gafene begænse en punktmængde M. Find aealet af M. c) Find koodinatene til tyngdepunktet fo M. M antages at væe homogent. 7

133 Appendix Kot vejledning til lommeegne Ti.89 Appendix. Kot vejledning til lommeegne Ti-89 I dette appendix gennemgås kot hvoledes man kan løse nogle ofte foekommende matematiske pobleme såsom ligningsløsning, diffeentiation, integation osv. Det foudsættes dog, man kende de almindeligste måde at indtaste og beegne simple udtyk. Indstillinge: I det følgende foudsættes følgende indstillinge. Tyk Mode Vælg Gaph: Function Cuent Folde: Main Display Digit: Float (elle Float 6) Angle: Degee (hvis det e geometi) Radian (elles) Exact/Appox: Auto Man kan vælge en anden folde ved Vat Link: F Fodelen ved Auto e, at e de indtastede tal eksakte (ikke decimaltal) e esultatet eksakt, tykkes på gul tast og ENTER fås esultatet som decimaltal. Nå intet andet e nævnt foudsættes at man stå i HOME (tyk eventuelt på tasten Home ) Reducee udtyk: x 9 x 5 x x 4 x Reducé 3 Løsning: F: 3 expand (x^9-(x^5.3x^)*(x^4-x),x). Resultat: 7x^6-3x^3 Løse ligning med ubekendt Løs ligningen 3 x 6 x + 9x = Løsning: F: solve(x^3-6x^+9x-=,x) ENTER Løs ligningen 3 x 6 x + 9x =, hvo < x 3 Løsning: F: solve(x^3-6x^+9x-=,x) < x and x 3 ENTER ( ) Resultat: x = o x = 3 o x= 3 + and og findes ved MATH, 8: TEST Resultat: x = o x = ( 3 ) Løse ligninge med ubekendte. Løs ligningssystemet x 3y = 4 x+ 5y = 3 Løsning: F: solve(x-3y=4 and -x+5y=3,{x,y}) Resultat: x = 9/7 and y = /7 8

134 Vektoe Længde af vekto Find længden af vektoen 3 5 Appendix : Kot vejledning til lommeegne Ti.89 CATA LOG nom nom([-3,,5]) Resultat 5.96 Skalæt podukt (pikpodukt) Find CATA LOG dotp dotp([,-3],[-4,5]) Resultat -3 Vektopodukt (kydspdukt) 3 Find x 5 4 CATA LOG cossp cossp([-3,,5],[-,-,4]) Resultat [9,7,4] Vektoe i polæe koodinate 5 ) Omegn vektoen til polæe koodinate ) Omegn vektoen til etvinklede koodinate 3) Udegn 3, i polæe koodinate Løsning: ) [5,] Pola ( Pola kan findes unde CATALOG) Resultat: [ ] ) [5.4,.8] ( findes ove EE) Resultat: [5..] 3) [3.6, 5] + [6., ] Pola Resultat: [ ] Definee funktion f. Lad f x x + x ( )= 4 + x Catalog Define Ente f(x)=4*(x^+x)/(+x^) ENTER Sva Done Man kan nu anvende denne funktion ligesom de indbyggede funktione sinus, osv. Eksempel: f() = 4/5 Slette funktionen ( elle andet) som e gemt i Main: Va Link find f unde Main slet 9

135 Appendix Kot vejledning til lommeegne Ti.89 Definee et udtyk: Skiv 4*(x^+x)/(+x^) STO g ENTER (STO findes i næstnedeste ække) Man kan nu eksempelvis finde vædien af udtykket fo x = ved g i næst nedeste ække) x = (lodet steg findes Tegne gaf fo funktion x + x 4 Tegn gafen fo funktionen f ( x)= fo 5 x 5 + x Løsning: Vælg Y= y(x) = Skiv 4*(x^+x)/(+x^) ENTER (elle f(x)) a) Vælges GRAPH blive funktionen tegnet. b) Vælges WINDOWS kan man afpasse støelsen af tegnevinduet eksempelvis ved at sætte xmin=-5 og xmax = 5. Man må pøve sig lidt fem med y-vædiene indtil man ha fundet en passende vædi. Eventuelt kan man vælge F: Zoom og de vælge eksempelvis Zoom Fit Man må væe kla ove, at så e enhedene på aksene ikke lige stoe, hvilket kan give et falsk billede. c) Vælges F3 : Tace, kan man nu nogenlunde aflæse koodinate til punkte på kuven d) Vælges F5: Math ha man foskellige mulighede, hvoaf ikke alle e af inteesse Zeo: Nulpunkte: Vælg inteval (e de flee nulpunkte findes kun det ene) Minimum: Vælg inteval Maximum:Vælg inteval Intesection: Finde skæing mellem tegnede kuve Deivates: Finde diffeentialkvotient i givet punkt på kuven f ( x) dx: Finde integal fa nede til øve gænse Inflection: Finde vendepunkt fo kuve Distance: Finde afstanden mellem to punkte på kuven Tangent: Tegne en tangent i et punkt og angive tangentligning Ac: Finde kuvelængden mellem to punkte på kuven Shade: Skavee omådet mellem to tegnede funktione i et inteval 3

136 Gænsevædi Lad f x x + x ( )= 4 + x Find lim f ( x) (læses limes af f(x) fo x gående mod ) x x Appendix : Kot vejledning til lommeegne Ti.89 Løsning: F3:3 limit ( 4*(x^+x)/(+x^),x, ) Resultat: 4 elle F3:3 limit ( f(x)g,x, ) elle F3:3 limit ( g,x, ) Diffeentiation x + x f ( x)= 4 + x ) Find f ( x) ) Find f ( ) Løsning: ) d( 4*(x^+x)/(+x^),x). d findes ove 8-tallet, elle vælg F3) man kan natuligvis også buge f og g Resultat: 4( x x ) ( x + ) ) F3 d( 4*(x^+x)/(+x^),x) x= Resultat: 4/5 Integation. Ubestemt integal: Find x 4x dx Løsning: nd (x* (4x^+),x). Resultat: Integaltegn findes ove tallet 7 b) Bestemt integal: Find x 4x + dt : 7 7 Løsning: (x* (4x^+),x),,). Resultat: c) Numeisk integation. Find A = e dx med 3 betydende cife. x ( 4x + ) 3 / / = Løsning: nd (e^(-x^),x,,) Resultat: (en stamfunktion kan ikke findes) 3

137 Facitliste Facitliste., 3. a) 3.6, b) 3.6, c) 3.47, 3.6 d) 3.3, (-.9, 3.388).4 a) 93 sm b) 4.36, sm A=95.9, B = 35.4, C = a) - b) A=68.9, B = 9, C = (.3.3).3.4 ja.5 u = 35.6, v = Nej.7 a) 3 b)5.8 a) (,-,-4), b) a) x 7 y t = + 3 z 3 3 b) nej. 4 4, 6 4. k = k k, =, 4 8 A B C =. a) x + y = 5 b) x + y = a) x - y + z - 3 = b) x + 3y - 5 = c) x - = d) (3,,), (5,, ), (,,).5 a) - ( 46 3,, ) b) ( 3 4 ).6 x - 5y + 3z =.7 a) nej b) (-3, 4,8) a) 34 b) c) 3.3 d)

138 x = + z Facitliste. a) x y z+ 3= b) x+y+z-9= c)(4, 7, -3) d) y 3 t 4 e) (6,,-. ( x 3) + ( y 5) + ( z+ ) = 9.3 ( x 4) + ( y 6) + ( z 9) = 33.4 a) (3, -8, ), = 3 b) (, 4, ), = 3. a) 38.48, 35. b) 5.6 N c) d).8 sm 3.. a) (39.8 S, 73. V) (47.5 S, 8.69 V) b) (47.4 S, 99. V) c) d) (47.5 S, 48.4 Ø) 3.3. a) (5.96 N, 9.8 V) (43.4 N, 55. V) b) (33.74 N,67.54 V) c) 8.37 d) a) (55.3 N, 4.74 V) (55.74 N, 8.49 V) b) 8. c) (55.3 N, 3.7 V) d) a) (7,), (,) b) (4,-9) c) a) (4,), (-,), (,4) b), c) (,) (3,4) m 4.5, , a) -.55, 899 b) = 6% a).6 b) 4.5 8,69 mm 4.6 ± p π, p et helt tal ( ) 4.7 kl 7.9, kl a) 3,.5 b).454,.954 c) a) =.75, - b) y = x c ) - d) 79.6 e) [7.5 ; 85.6] 5. a) y = x b) =.9986 c ) nej 5.3 a) =.9968, - b) y = x c ) 6.4 cm d) 68.4 e) nej 5.4 a) =.985, - b) t y = c ) 9,77 t 5.5 a) =.9997, - b) y = 4344., c ) 8.8 time d) 89.9 time 5.6 a) =.9999, - b) P =. 5 V 3 c) P = ) 33

139 Facitliste 5.7 a) =.9464, - b) P = 4663, v c) 97% 5.8 a) =.9964, - b). 85 y = 369. x c ) a) =.966, - b) = c ) x y = d ) 3 5. a) Potensmodel =.9999 b) , a) y = x+, y = x+ b) a) m/s b) s c) m/s a) R b) 3 3 c) a) R b), intet c) y < d) a) - b) < y 5 c) y a) -5. b) 5,, a) b) 5 y 4 c) x < a) π π a x y+ x, x+ y+ x b) 7. m b) π a) a, b), a).59 b) b).94 c) a) 8.33 b) c) 5 d) a) 3.9, 76.9 b) 9.57 s 79.4 s 6.5 a) t=, (3,) t=, (,) t=3, (-,) b) t=, (,) t=4, (,6) c) t=.58 (-.8, -.39), t =.4 (.44,.39) d) t = 3 (-,) e) - f) 6.6 a) - b) (.), (-,) c) (,) (,3) d) 6 e) ,,, a) - b) (, ), (, ), (, ), (, ) 6.8 a) ) ) 6 6 3) 53 b) 4 c) 5 34

140 Facitliste ( ) 3 7. a) 3 sin( x) + 9 b) x ln( e x + ) c) 7. a).96 b) 6.7 c) a) - b) , a) 8 π b) a) y = x b) c) π 4 7. a) b) π 3, = (. 657 ; 836. ) 3 7. a) - b) c), 3 5 e x 4 35

141 Stikod STIKORD A acceleation 97 acceleationsvekto 6 addition af vektoe additionsfomele 67 afledet funktion 97 anden afledet 97 afstand punkt til linie 4 punkt til plan 7 aftagende funktion 53 amplitude 68, 69 acusfunktione 68 aeal af paallelogam aeal af punktmængde 9, afstandsfomel 7 asymptote 99 B basisvektoe 4, 3 begyndelsespunkt i koodinatsystem 3 bevægelse, etlinet 7, 5 bøkegel fo diffeentiation 9 bølgelængde 7 C cikelbevægelse 6 cosinus 65 cos 68 cosinuselationene fo sfæisk tekant 4 cylinde 3 D definitione egentlig vekto enhedsvekto 3 længde af vekto, 6 nulvekto otogonalitet 9 vektoaddition deteminant diffeenskvotient 89 diffeentialkvotient 88, 9 diffeentiation af eksponentialfunktion 94 af logaitmefunktion 94 af omvendt funktion 93 af potensfunktion 94 af sammensat funktion 93 standadfunktione 94 af tigonometiske funktione 94 egle 9 E egentlig vekto eksponentialfunktion 58 eksponentiel notation 55 ekstapolation 79 enhedscikel 64 enhedsvekto 3 F facitliste 3 fat 6 fasefoskydning 67, 69 fodoblingstid 6 foklaingsgad 77 fekvens 7 funktion aftagende 53 eksponential 58 lineæ 56 logaitme 59 monoton 53 omvendt 53 peiodisk 65 potens 54 sammensat 93 tigonometisk 65 voksende 53 undesøgelse 98 G Gundelation i tigonometi 67 gennemsnitsomkostning 8 gænseomkostning 8 gænseomsætning 8 gænsevædi 87 36

142 Stikod H halveingstid 6 hastighedsvekto 6 hældningskoefficient 9 højestilling 3 I impedans 68 indskudssætning fo vektoe integal bestemt 7 ubestemt 4 integand 4 integation 4 numeisk integationspøven 4 integationsegle patiel 5 substitution 5 K kegle 3 Keples lov 55 kinematik 5 kontinuitet 88 koodinate fo plane vektoe 4 fo vektoe i ummet 3 polæe 8 koodinatsystem i planen 4 i ummet 3 koelationskoefficient 77 kæftenes paallelogam kugle 3 L ligning kugle 3 plan i ummet 6 lineæ funktion 56 linie i ummet 6 linie, vindskæve 8 logaitme natulig ln 59 titals log 59 egle 6 længde af vekto, 6 M maksimum 99 mindste kvadates metode 76 mindstevædi 99 minimum 99 monoton funktion 53 momentvekto N natulig logaitme ln 59 navigationsfomle 46 nulpunkte 98 nulvekto nomalvekto til plan 4 numeisk integation O omvendt funktion 53 omvendt tigonometisk funktion 68 Opgave til kapitel til kapitel 34 til kapitel 3 5 til kapitel 4 7 til kapitel 5 83 til kapitel 6 til kapitel 7 6 optimeing 57, outlies 79 ovegangsfomle 67 otogonalitet 9 P paabel 56 paallelepipedum, 3 paallelogam s aeal paametefemstilling fo linie 6 peiodisk funktion 65 plan i ummet 4 ligning 5 polatekant 4, 4 pole 38 polæe koodinate 8 positiv omløbsetning polyede 3 polynomium af. gad 56 37

143 Stikod af. gad 56 af n te. gad 56 potensfunktion 54 potensegle 54 pikpodukt 6 pisme 3 poduktegel fo diffeentialkvotient 9 pyamide 3 R adian 64 adioaktivt henfald 6 egneegle diffeentiation 9 logaitme 6 potens 54 vektopodukt egession 74 ligning 75 lineæ model 75 entefomel 6 esidual 76 etningsvekto fo linie 6 etningsvinkel 7 Richte-skala 63 otation umfang af omdejningslegeme umgeometi S sammensat funktion 93 sfæisk geometi 38 koodinate 4 tokant 39 tekant 39 tekant, etvinklet 44 sinus 65 sin 68 sinuselationene fo sfæisk tekant 4 skalapodukt 6, 5 skå kast 7 skæing mellem to linie 8 mellem linie og plan 8 stamfunktion 4 standadfunktione 53, 54 stedvekto 5 stocikel 38 støstevædi 99 subtaktion af vektoe 3 svingninge 68 svingningstid 69 T tangentplan til kugle 33 tan 68 tangens 65 tangent til kuve 9 tangentplan til kugle 33 tetaede 4 TI-89 Vejledning 8 titalslogaitme 59 tokant 39 tekant, sfæisk 39 tekantstilfælde, sfæisk 45 tigonometiske additionsfomle 67 funktione 64 gundelation 67 ligninge 66 ovegangsfomle 67 tvævekto 9 tyngdepunkt 4 U V vekselstøm 68 vekto addition i planen i ummet koodinate i planen 4 længde, 6 multiplikation med tal 3 podukt etningsvinkel 7 subtaktion 3 vinkel indvendig mellem vektoe 8, 5 38

144 Stikod mellem linie 9 mellem linie og plan 9 mellem plane vinkelmål, natuligt 64 vinkelfekvens 68 vindskæve linie 8 voksende funktion 53 volumen af omdejningslegeme Ø Økonomi 8 39