Projekt 0.5 Euklids algoritme, primtal og primiske tal

Transkript

1 Pojekt 0.5 Euklids algoitme, pimtal og pimiske tal Betegnelse. Mængden af hele tal (positive, negative og nul) betegnes. At et tal a e et helt tal angives med: aî, de læses a tilhøe. Nå vi ha to vilkålige hele tal, abî, kan vi dividee a op i b ved den metode, vi læte i folkeskolen. Resultatet skives således: b= q a+, hvo qî Z, og 0 < a (*) Vi vil altid skive esultatet således, at esten ligge i dette inteval. Denne est kaldes den pincipale est. Opskivningen af (*) kaldes divisionsligningen. Hvis a gå op i b, dvs hvis esten e 0, sige vi at a e diviso i b, og vi skive: a b. Hvis a ikke gå op i b skive vi det af og til således: ałb, men det e ikke en del af det fælles intenationale matematiske spog. Eksempel a = 5, b = 32: 32= a = 3, b = 6: 6= 5 3+ a = 3, b = -6: - 6= Bemæk at kavet om 0 < a give en lidt anden divisionsligning fo negative tal. Eksempel ł Sætning Fo vilkålige tal abî e, divisionsligningen éntydig. Bevis. Antag at vi ha to opskivninge af divisionsligningen: b= q a+ = 2 + 2, og lad os sige 2 b q a Tæk fa og få: q - q a= - ( ) 2 2 Da 0 < a og 0 2 < a vil 0 2- < a Defo må de gælde: q- q2 = 0, dvs q = q2. Indsæt nu dette i de to føste ligninge: b= q a+ = + 2, hvoaf vi let se at også 2 b q a =. Konklusion: De to opskivninge af divisionsligningen va i vikeligheden ens. Definition. Støste fælles diviso Givet to tal abî., Det støste tal blandt alle de fælles divisoe i a og b kaldes den støste fælles diviso i a og b og betegnes med ( ab,).

2 Bemækning. Man møde ofte betegnelsen SFD ( ab,), men vi nøjes med (,) Bemækning 2. Undesøg hvilken notation dit væktøjspogam anvende. ab. Eksempel 3 (0,25) = 5 (42,4) = 4 (56,5) = Øvelse a) Hvilken stategi vil du anvende til at bestemme følgende, uden bug af dit væktøjspogam: ) (34,665) 2) (3026,489) b) Løs som kontol opgavene med bug af dit væktøjspogam Nå vi ha to ikke alt fo stoe tal, som i øvelsen ovenfo, e det en ovekommelig opgave at finde den støste fælles diviso uden bug af væktøjspogamme, selvom det godt kan tage lidt tid. Specielt hvis man usystematisk gætte løs. Den hutigste metode, nå vi ha med oveskuelige tal at gøe, e at finde de to tals fælles pimfaktoe. Og vi kan jo nøjes med at finde det ene tals pimfaktoe, og se hvilke de gå op i det andet. Støste fælles diviso e så poduktet af disse pimfaktoe. Men hvad gø vi, hvis opgaven e at finde støste fælles diviso mellem tallene: og ? De findes en metode til at egne sig fem til ( ab,) fo vilkålige tal a og b. En egnemetode kaldes også en algoitme. Vi kende en hel del algoitme: I folkeskolen læte vi fx multiplikations- og divisionsalgoitme, så vi kan gange og dividee vilkålige tal med hinanden. Måske ha du i gymnasiet læt algoitmen til at udføe polynomies division, elle en algoitme til bestemmelse af nulpunkte, i tilfælde, hvo vi ikke ha en fomel. Euklids algoitme Metoden til at finde støste fælles diviso ha væet kendt siden oldtiden og kaldes Euklids algoitme. Den vike på følgende måde ovefo tallene a og b, hvo vi antage at a e støe end b : Føst opskives divisionsligningen fo a divideet med b: a= q b+ 0 0 Denæst dividees esten 0 op i b: b= q + 0 Således fotsættes. Næste tin e at dividee op i 0 : 0 = q2 + 2 osv så vi få følgende system af ligninge:

3 a= q b+ 0 0 b= q = q = q +... n- n+ n n+ 3 = q + = q n n+ 2 n+ (**) På et tidspunkt vil divisionen gå op og esten blive 0, fodi alle este e ³ 0 og: 0 > > 2 >... > n + (Ovevej selv hvofo dette e tilfældet). Sætning 2 a, b = n + Det tal vi finde ved Euklids algoitme e den støste fælles diviso: ( ) Fø vi agumentee fo denne påstand se vi på hvodan Euklids algoitme vike i paksis. Eksempel 4 Vi ønske at finde den støste fælles diviso af to stoe tal, som fx og Vi opskive tin fo tin divisionsligningene efte systemet i (**): = = = = = = = = = 9 8 Altså e de to stoe tals støste fælles diviso ifølge Euklids algoitme lug med 8. Et lille teknisk åd: Ved de enkelte divisione fås decimaltal fx: : = 30, De fleste væktøjspogamme kan udføe heltals division med est undesøg om dit kan. Hvis ikke, så kan heltalsdelen 30 let aflæses kvotienten. Resten findes lettest ved at gange decimalesten 0, med Det give den søgte est: Bevis fo sætning 2, dvs fo at Euklids algoitme vike Føst vises, at n + e en diviso i a og b. Se igen på ligningssystemet (**) (og sammenlign evt med taleksemplet). Gennemgå det nedefa og op:

4 Sidste ligning fotælle, at n + gå op i Næstsidste ligning give defo, at n n. + gå op i begge led på høje side, defo også op i venste side, dvs n + gå op i n -. Tedjesidste ligning give defo... Og næstøveste ligning give defo at n+ gå op i begge led på høje side, defo også op i venste side, dvs + gå op i b. n Øveste ligning give defo at n+ gå op i begge led på høje side, defo også op i venste side, dvs n op i a. Konklusion: n + e en diviso i a og b. + gå Denæst vises, at n + e den støste diviso i a og b. Dette gø vi ved at vise, at såfemt et tal t gå op i både a og b, så gå tallet t også op i n +. Men så vil t specielt væe minde end n +. Detil lave vi følgende lille ænding i ligningssystemet (**): a- q b= 0 0 b-q = 0 - q = q3 2 = q = n- n+ n n+ n - qn+ 2 n+ = 0 Læs disse ligninge oppe fa og ned igennem: Føste ligning fotælle, at hvis et tal t e diviso i a og b, gå det op i begge led på venste side, defo også op i høje side, dvs t e diviso i 0. Anden ligning fotælle, at hvis t e diviso i b og i 0, så gå det op i begge led på venste side, defo også op i høje side, dvs t e diviso i. Tedje ligning fotælle... Og næstsidste ligning give endelig, at t gå op i n +. Konklusion: Hvis et tal t e en diviso i a og b e det også en diviso i n +. Denne må defo væe den støste fælles diviso: ( a, b) = n +. (Slut på beviset!) (***) Euklids algoitme e et vigtigt væktøj i modene kyptogafiske systeme som RSA. Den anvendes bl.a. til at konstuee nøglen, de kan låse en smæklås op. Følgende sætning, de e en af hovedsætningene i talteoien, og som vi få ud fa Euklids algoitme, e et af de centale væktøje he: Sætning 3 Den støste fælles diviso d af to tal a og b ( (,) a b = d)) kan skives på fomen: d= s a+ t b, hvo stî, Vi sige også, at d e skevet som en lineakombination af a og b. (Bemæk, at et af tallene s og t natuligvis vil væe negativt)

5 Bevis. Se på ovenstående udgave (***) af ligningssystemet, hvo alle 'ene e isoleet til høje. n + e den støste fælles diviso, som vi nu kalde d. Stat med den næstnedeste: d= - q, n- n+ n og indsæt hei n fa den tedjenedeste, (de hedde n-2- qn n- = n) d = - q n- n+ n n- qn+ ( n-2 qn n-) ( q q ) q = - - = + - n+ n n- n+ n-2 Nu e d skevet som en kombination af n- og n- 2. Indsæt hei n - fa den fjedenedeste, (opskiv selv hvad denne hedde:... = n- ), educe og få d skevet som en kombination af n-2 og n- 3. Vi fotsætte nu med at indsætte ligning efte ligning op gennem ækken. Fo hvet tin skives d som en kombination af 'ene, indtil vi til sidst indsætte og 0. Tilbage på høje side e så 'et elle andet tal' gange a + 'et elle andet tal' gange b: d= s a+ t b, hvo stî, Øvelse 2 8 kan altså skives som en sådan kombination af de to stoe tal fa eksemplet ovenfo. Det kæve lidt egneabejde. Men uden Euklids algoitme ville opgaven nok have viket uovekommelig. a) Undesøg om dit væktøjspogam kan løse opgaven. b) De 4 nedeste divisionsligninge va: = = = = ,2898 = 8. og he stå jo, at de4 også gælde at ( ) Bestem ved håndkaft s og t så 8 = s t 2898 Øvelse 3 a) Bestem støste fælles diviso af tallene 5375 og 0465, og skiv den støste fælles diviso som en lineakombination af de to tal, som angivet i sætning 3. b) Vis, at støste fælles diviso af tallene 309 og 235 e tallet, og bestem s og t så = s t 235 Pimiske tal og pimtal

6 Øvelse 4. Fo ethvet pa af tal s og t vil s a+ t b væe et helt tal. d= ( ab,) e et af disse tal ifølge sætning 3. De gælde ydeligee, at det e lige pæcis det mindste positive tal, de kan skives således. Vis dette. (Hint: De må findes et mindste positivt tal e, på fomen: s a+ t b. Vis at e = d) Definition. Indbydes pimisk Hvis den støste fælles diviso fo a og b e, kaldes a og b fo indbydes pimiske. Nå ( ab,) = findes ifølge sætning 3 tal s og t, så s a+ t b= Dette kan vi nu udnytte til at vise en vigtige sætning i talteoien: Sætning 4 Hvis p½ ( a b) og p e pimisk med a (dvs ( ) Bevis Nå p e pimisk med a, findes hele tal s og t, så: s a+ t p= Gange ligningen igennem med b: s a b+ t p b= b p gå op i tallene på venste side af lighedstegnet. Defo gå p også op i høje side: pb ½. ap, = ), så gælde: pb ½ To foskellige pimtal e altid pimiske. Og hvis et pimtal gå op i et andet pimtal, må de væe tale om det samme pimtal. Sætning 4 give defo umiddelbat også: Sætning 5 Antal tallet N e skevet som et podukt af pimtal: N= p p2 p3... pn. Hvis p e et pimtal, og pn ½, så gælde, at : p= pi fo et af pimtallene i faktoiseingen af N. Øvelse 5 Anvend sætning 5 til at bevise aitmetikkens fundamentalsætning: Sætning 6 (Aitmetikkens fundamentalsætning) Ethvet helt tal kan skives på en og kun en måde som et podukt af pimtal, dvs pimtalsfaktoiseingen af et helt tal e entydig. (Hint: Føste del, nemlig at de findes en pimtalsfaktoiseing af ethvet helt tal, e simpelt: Enten e det selv et pimtal, elle det e et sammensat tal, dvs det kan skives som et podukt. Hve af disse tal e enten pimtal elle sammensatte tal osv, indtil vi nå fem til, at alle faktoe e pimtal. Anden del, entydigheden: Antag, at de to pimtalsfaktoiseinge af et tal: p p p... p = q q q... q, 2 3 n 2 3 m

7 hvo alle faktoe e pimtal. Anvend nu sætning 5 til at vise, at p må væe lig med et af q ene. Fokot væk og tag fat på det næste p osv.) Vi kalde denne opskivning fo pimfaktoopløsningen af N. Sætningen sige altså at pimfaktoopløsningen e éntydig. Eksempel 4. Pimfaktoopløsninge a) 230 = b) = Øvelse 6 Opskiv uden bug af væktøj en pimfaktoopløsning af : a) 42 b) 8 c) 225 d) 7 e) 368 f) 2093 g) 024 h)025 Øvelse 7 Anvend dit væktøj til at opskive en pimfaktoopløsning af: 32 a) 3397 b) c) d) 2 + Sætning 7 Den støste fælles diviso fo to hele tal a og b e poduktet af dees fælles pimfaktoe. Bevis: Vi opskive en pimfaktoopløsning af de to tal således: a= p p2 p3... pk q q2 q3... qs b= p p2 p3... pk t hvo q'ene og 'ene alle e foskellige. Ovevej selv hvofo vi kan gøe det! Sætningen sige: d= ( a, b) = p p2 p3... pk Det e klat at d e en diviso i a og b. Lad os nu sige vi ha et tal e, de e diviso i a og b. Opskiv så fo e: Alle e= e e2 e3... en e 'ene e diviso i a og b. i Hvis e gå op i a, må det gå op i en af pimfaktoene; men e e selv et pimtal, så e må væe lig med en af a's pimfaktoe. Det samme må gælde fo b. Så e må væe lig en af de fælles pimfaktoe, altså netop lig en af d's pimfaktoe. Således se vi, at e gå op i d. Dette kan vi fotsætte, og få defo, at e gå op i d, så d e den støste fælles diviso. Øvelse 8 Nå vi bevæge os op gennem talækken til stadigt støe tal, og på voes vej lede efte pimtal, så smide vi undevejs alle sammensatte tal væk, dvs alle tal i 2-tabellen, alle tal i 3-tabellen, alle tal i 5-tabellen osv. Man

8 kunne få den tanke, at vi på et tidspunkt få smidt alle tale væk, dvs at de ikke findes flee pimtal. Men det gø de. Alleede hos Euklid finde vi den næste sætning, de i voes fomuleing lyde: Sætning 7 De findes uendeligt mange pimtal. Bevis: Vi vise det indiekte. Antag de kun va endeligt mange pimtal: p, p2, p3,..., p k. Vi vil bevise, at dette føe til en modstid. Demed må vi så få, at antagelsen e foket. Betagt tallet: N= p p2 p3... p k + N e støe end alle p'ene. Hvis N e et pimtal ha vi alleede en modstid, fo så ha vi fundet endnu et pimtal. Hvis N e sammensat ha det en pimfakto q. Hvis q e et af tallene p, p 2, p 3,..., pk vil q gå op i tallet p p2 p3... pk. Men så kan q jo ikke også gå op i N= p p2 p3... p k +. (q e støe end, så "q-tabellens" skidt femad på talaksen e støe end ). Defo kan q ikke væe et af tallene p, p 2, p 3,..., p k. Altså ha vi fundet et nyt pimtal q. Men det va i modstid med antagelsen. De findes således uendeligt mange pimtal. Man ha gennem tidene væet fascineet af disse mækelige tal, og søgt at finde et system i dem. Men man egne i dag med, at de ikke kan findes en fomel elle en algoitme, de give os pimtallene. Hvet nyt pimtal må vi lede efte. Men nøjes vi med at se statistisk på sagene findes de et mækeligt system i pimtallene. Man ha i matematikhistoien indføt en funktion, de betegnes π( n ), og som angive antallet af pimtal de e minde end n. Det vise sig nu, at de gælde følgende mækelige fomel (hvo tegnet» betyde, det e en tilnæmelse: π ( n)» n ln( n) Det va Gauss ( ), en af de støste matematikee, de ha levet, de ha æen af fomlen. En dag, han som 4 åig sad og kiggede i en logaitme-tabel fik han ideen, og kadsede den ned i magenen. Et egentlig bevis blev føst givet sidst i 800-tallet, og beviset e meget vanskeligt. Men faktisk kan vi alleede hos Eule finde noget, de minde om denne fomel. Leonad Eule ( ) e den mest poduktive matematike, de ha levet - han skev atikle og bøge, og en sto del af dem i de sidste 20 å af sit liv, hvo han va blind. Øvelse 8 a) Giv en fotolkning af tallet π( n) n (Hint: Husk fomlen fa sandsynlighedsegningen: Antal gunstige divideet med Antal mulige). b) Vi tække et tilfældigt tal minde end million. Vis, at sandsynligheden fo, at det e et pimtal e ca 7,2%. c) Vis, at sandsynligheden fo, at et tilfældigt valgt tal unde mia e et pimtal, e ca 4,8%. Øvelse 9

9 Kyptosystemet RSA, som vi undesøge i pojekt 0.6, bygge netop på det manglende system i pimtallene. Fo at undgå at koden kan knækkes ved at state fofa med pimtallene 2,3,5,... skal vi have nogle gigantiske pimtal til ådighed. I RSA deje det sig om pimtal med et antal cife på flee hundede. E det nu muligt ovehovedet at finde pimtal med feks 00 cife? Kan du afgøe, hvad sandsynligheden e fo, at et tilfældigt tal mellem 0 99 og 0 00 e pimtal?