Impulsbevarelse ved stød

Transkript

1 Iulsbevaelse ved stød Iulsbevaelse ved stød Indhold Iulsbevaelse ved stød.... Centalt stød.... Elastisk stød Uelastisk stød Iulsbevaelse ved stød Centalt elastisk stød Centalt fuldstændig uelastisk stød Eksele og ogave...6

2 Iulsbevaelse ved stød. Centalt stød Vi skal i det følgende beskæftige os ed de lovæssighede de gælde, nå to legee støde saen i et centalt stød. Centalt, betyde at legeene fø og efte stødet bevæge sig langs sae ette linie. Nedenfo e skitseet de te fase af et centalt stød. To legee ed assene og bevæge sig hen iod hinanden ed hastighedene u og u. Stødet: De to legee åvike hinanden ed kæfte F og. Heved defoee de to legee hinanden. F De to legee fjene sig nu fa hinanden ed hastighedene v og v. Eventuelt kan de to legee væe tykket saen til et legee, de bevæge sig ed dees fælles hastighed v v. Beæk, at alle vaiable fo. legee ha indeks (, og tilsvaende fo legee. Beæk endvidee at alle hastighede fø stødet betegnes ed bogstavet u, en hastighedene efte stødet betegnes ed bogstavet v. (Vigtigt fo oveblikket Vi antage, at de ikke foekoe gnidningskæfte ed undelaget, således at de eneste kæfte, de åvike de to legee, e de kæfte, hvoed de åvike hinanden. Vi betagte nu to inciielt foskellige situatione.. Elastisk stød De to legee vil unde stødet defoee hinanden, og dees kinetiske enegi vil unde stødet væe delvis odannet til otentiel enegi, en å gund af elasticiteten vil den otentielle enegi igen blive odannet til kinetisk enegi. Et elastisk stød e defo defineet ved at den kinetiske enegi e bevaet. Et elastisk stød kan f.eks. (ed god tilnæelse ealisees, nå to billad kugle støde saen. 3. Uelastisk stød Et fuldstændig uelastisk stød e kaakteiseet ved, at de to legee abejde sig (uelastisk ind i hinanden, og efte stødet fotsætte so et legee, ed dees fælles hastighed. Et fuldstændig uelastisk stød, kan f.eks. ealisees ved at skyde et ojektil ind i en tæklods, hvo det blive siddende.

3 Iulsbevaelse ved stød 3 De fleste stød vil nok væe en elleting elle de to tilfælde, hvo legeene nok e adskilt efte stødet, en hvo de e et tab i kinetisk enegi å gund af fiktion. Nå den kinetiske enegi ikke e bevaet kaldes stødet fo uelastisk. På tods af foskelligheden i de te tye af stød, vil vi alligevel vise, at de gælde en og sae lovæssighed fo de alle. Dette kaldes fo iulsbevaelse (bevægelsesængdebevaelse. 4. Iulsbevaelse ved stød Vi betagte defo et centalt stød, de kan væe enhve af de te tye. Vi antage at stødet vae tidsuet Δt. I dette tidsu antages at legeene åvike hinanden ed kæftene: F og F. Ifølge Newtons 3. lov e F og F til ethvet tidsunkt lige stoe og odsat ettede: F F Unde stødet få legee ( en hastighedstilvækst: v v u og legee ( få en hastighedstilvækst: v v u. De to legees (gennesnitlige acceleation unde stødet, kan da bestees ved at dividee hastighedstilvæksten ed Δt. Vi oskive defo Newtons. lov fo de to legee unde stødet: (. v v F a F a Ved anvendelse af Newtons 3. lov: v v (.3 F F ( v u ( v u Odnes leddene i den sidste ligning, så hastighedene fø stødet stå å venste side og hastighedene efte stødet, stå å høje side, få an: (.4 v + v u + u Man definee et legees iuls (bevægelsesængde so oduktet af et legees asse og dets hastighed. Iuls betegnes ed bogstavet. Iulsen e lige so hastigheden en vekto. (.5 v Af (.4ses, at suen af de to legees iuls efte stødet e lig ed suen af de to legees iuls fø stødet. Dette kaldes fo (.6 Iulsbevaelse ved vekselvikning (stød elle to legee

4 Iulsbevaelse ved stød 4 Beæk, at da vi egne ed vektoe, ha vi intet antaget o, at stødet va elastisk elle centalt. Iulsbevaelsen gælde uindskænket, også i de tilfælde, hvo den ekaniske enegi ikke e bevaet. Næst efte enegibevaelse e iulsbevaelse nok den vigtigste lovæssighed i fysikken. Af definitionsligningen (.5 ses, at iuls ha SI-enheden kg /s. Vil vi nu betagte det cental elastiske og det fuldstændig uelastiske stød i detalje. 5. Centalt elastisk stød Kun fo at lette egningene, genneføe vi ekselet ed den antagelse at legee ( e i hvile fø stødet, så u 0. Resultatene fo det geneelle tilfælde e anføt bagefte. Vi doe endvidee vektosybolene, idet de e tale o etlinede bevægelse, ens hastighedene fotsat skal egnes ed fotegn. Fo det elastiske stød gælde både iulsbevaelse og bevaelse af den kinetiske enegi. (.6 I : u v + v (Iulsbevaelse, hvo u 0 II : u v + v (Bevaelse af den kinetiske enegi Af disse (to ligninge ed to ubekendte, kan an beegne hastighedene v og v efte stødet. Da det ikke e lineæe ligninge, gøes det ved følgende oskivninge, (so e vist en ikke foklaet i detalje: I : + v (.7 II : ( u v + v ( u v I : ( u v + v ( u v ( u v II : + v I det sidste udtyk dividees da I o i II. (I skal dog beholdes, hvis vi skal egne ensbetydende I : ( u v v I : ( u v v II : ( u + v v II u + v v v 0 : I : u v 0 I : ( u v ( u + v II : v 0 II : v u + v De sidste to ligninge e to lineæe ligninge ed to ubekendte, og de løses å sædvanlig vis. (.8 v u v u v 0 v u

5 Iulsbevaelse ved stød 5 Af udtykkene (.8, hastighedene efte stødet v og v defo beegnes, nå hastigheden fø stødet u sat assene og e kendte. Løsningen ed v 0, ha ingen fysisk inteesse, da det betyde at legeene ikke støde saen, en fotsætte ed dees esektive hastighede. (Men det e en løsning til ligningene. Af udtykkene fegå, at v altid e ensettet ed u, ens v e ensettet ed u, hvis > (edløb og odsat ettet u, hvis < (efleksion. Hvis, se an, at v u og at v 0. De to legee bytte hastighede, et fænoen, de e velkendt fa billad sil. Hvis vi nu antage at e uendelig sto i fohold til (en bold ae et gulv, så kende vi esultatet, so også kan vises ud fa ligningene (.7, ved at dividee ed i tælle og nævne, og anvende at foholdet : e nul. v u u v u + + Gulvet blive liggende, og bolden singe tilbage ed den sae hastighed. Vi ha taget dettte ed, fodi vi skal anvende esultatet i den kinetiske olekylteoi, hvo olekyle støde od væggen af en beholde. Det geneelle tilfælde, hvo begge legee e i bevægelse fø stødet, kan løses efte den sae etode, ved anvendelse af lidt ateatisk snilde. Resultatet e: I : u + u v + v (Iulsbevaelse, hvo u <> 0 0 II : u + u v + v (Bevaelse af den kinetiske enegi c ( u + u ( u + u (.8 v u v u Indsættes u 0, ses efte en inde eduktion, at an genfindeesultatet (.7 6. Centalt fuldstændig uelastisk stød Ved det fuldstændig uelastiske stød e den kinetiske enegi ikke bevaet ved stødet, en den fælles hastighed v v v efte stødet kan beegnes ud fa iulssætningen. Vi antage føst, at u 0. (.9 u v + v u v

6 Iulsbevaelse ved stød 6 Vi udegne denæst tilvæksten i kinetisk enegi. (.0 E kin u ( u + v u ( + ( + E kin + u So det fegå af (.0, så e tilvæksten i kinetisk enegi altid negativ. De ske altid et tab i kinetisk enegi ved et uelastisk stød. Det geneelle tilfælde, hvo begge legee e i bevægelse fø stødet, kan udegnes å lignende vis: (. I : u + u v + v u + u v E kin ( v u u (. E kin ( u u 7. Eksele og ogave.3 Ekseel. Hastigheden af et ojektil Et ojektil fa et gevæ ed assen 0 g, skydes ind i en tæklods ed assen k 3,0 kg, hvo den blive siddende. Klodsen e anbagt å et bod, og blive so følge af stødet flyttet en stækning s 5,0, hvoefte den blive bagt til standsning, so følge af fiktionen ed undelaget. Gnidningskoefficienten elle bod og klods e ålt til: µ 0,0. a beegn klodsens hastighed v lige efte, at ojektilet haat. b Beegn ojektilets hastighed. cbeegn tabet i kinetisk enegi og angiv tabet i ocent. dhvoledes osættes den kinetiske enegi. Løsning: a Vi anvende abejdssætningen: Den esulteende kafts (gnidningskaftens abejde e lig ed tilvæksten i kinetisk enegi. F gnidning s 0 ( + v k v F gnidning + Indsættes hei F gnidning µ( + k g, finde an ed indsatte talvædie. k s 0,0 3,0 kg 9,8 / s 5,0 v 4,43 / s 3,0 kg

7 Iulsbevaelse ved stød 7 b Vi anvende iulssætningen fo fuldstændig uelastisk stød u ( v k + k u Indsættes den fundne vædi fo v, finde an: u 669 /s. v c Vi anvende 0,0 kg 3,0 kg 3 E kin E kin (669 / s 4,45 J + 3,0 kg 0 u E 4,45 4,48 kin d 00% 99,3% ½ u Dette tab i kinetisk enegi osættes til vae i klodsen.4 Ogave. En lastbil, so veje 6 ton, støde fontalt saen ed en esonvogn, de veje 700 kg. Lastbilens hastighed fø saenstødet e 60 k/h og esonbilens hastighed fø saenstødet e -80 k/h. Saenstødet antages at væe centalt og fuldstændig uelastisk. a Beegn de to vognes fælles hastighed lige efte stødet, og beegn hastighedstilvæksten fo begge køetøje. b Idet an antage at saenstødet vae 0,5 sek, skal an udegne, hvo stoe acceleatione føeen i lastbilen og esonbilen e udsat fo unde saenstødet. c Unde den antagelse, at de begge veje 80 kg og at de begge sidde i sele, skal an beegne den kaft, so selen åvikes ed. d Oegnet til tyngdekaft, hvo sto en asse vil det svae til i de to tilfælde.