Gravitationsfeltet. r i

Transkript

1 Gavitationsfeltet Den stoe bitiske fysike Isaac Newton opdagede i 600-tallet massetiltækningsloven, som sige, at to masse m og i den indbydes afstand påvike hinanden med en kaft af følgende støelse, hvo G e gavitationskonstanten: () Nå de e tale om to masse med en udstækning, e situationen den samme, som hvis massen af hve af de to objektes masse va koncenteet i det pågældende objekts tyngdepunkt. På figuen nedenfo ses et meteo, som komme ind i Jodens tyngdefelt og ha etning diekte mod Jodens centum. i i Lad os beegne et udtyk fo det abejde, som gavitationskaften udføe på meteoet, nå meteoet bevæge sig fa en afstand til en afstand fa Jodens centum. Vi ha tidligee læt, at det abejde, som en kaft udføe på et legeme e lig med s cos( θ ), hvo e kaftens støelse, s e den tilbagelagte stækning og θ e vinklen imellem kaft og vej. He e kaft og vej ensettede, dvs. vinklen θ e 0, hvoved abejdet blot e s. De e imidletid en komplikation: Kaften e ikke den samme hele vejen; faktisk blive den støe og støe jo næmee meteoet komme Joden. Defo e man nødt til at dele poblemet op i små vejstykke, hvo kaften kan egnes ca. konstant. () Agavitation ( ) i i i i i i Bemæk, at vi he ha placeet et minus foan i. Det e fodi egnes positiv udefte, og fo at vejlængden blive positiv må de anbinges et minus foan! Lade man længden af de små vejlængde gå mod 0, så få man et integal, og sjovt nok ende man med et eksakt udtyk fo gavitationskaftens abejde. (3) Agavitation ( ) d

2 Eik Vestegaad hvo det i integanden e femhævet at kaften e en kaft, som afhænge af afstanden til Jodens centum. I det følgende indsætte vi udtykket fo gavitationskaften () i integalet (3): (4) A ( ) d gavitation d d d I det 3. lighedstegn ha vi benyttet at gavitationskonstanten G, meteoets masse m og Jodens masse e konstante og defo kan sættes udenfo integalet. I 4. lighedstegn omskive vi bøken, så vi tydeligt kan se, at vi skal integee en potensfunktion. Vi ved, a at en potensfunktion x ha stanfunktionen a x +. Det udnyttes i de næste linje. a+ Ovenfo ha vi udegnet et udtyk fo kaftens abejde, nå meteoet bevæge sig i en diekte linje mod Jodens centum fa en afstand til en afstand fa denne. an kan imidletid vise, at gavitationskaftens abejde e uafhængig af vejen. Det betyde at ligegyldig hvilken kuve meteoet bevæge sig ad mellem to punkte, så vil de ikke væe nogen foskel i det abejde gavitationskaften udføe. Betagt figuen på næste side. Påstanden kan vike oveaskende, fodi den kumme bane på figuen e meget længee end den kote diekte bane. Sagen e imidletid, at de langs bane vil væe en vinkel mellem kaft og vej, som det også e vist på figuen. Vi ha altså igen fat i fomlen s cos( θ ), som skal buges på hvet lille baneelement. Så selv om bane e længee end bane, så vil de små bidag til abejdet langs bane blive ganget op med en cosinus-fakto. At det ende med at give pæcist det samme totale abejde e fo svæt til at blive vist he.

3 Eik Vestegaad 3 Bane Bane Definition En kaft, som ha den egenskab at kaftens abejde e uafhængig af vejen kaldes fo en konsevativ kaft. esultatet i udegning (4) samt egenskaben at gavitationskaften e en konsevativ kaft kan få én til at få den idé at indføe en potentiel enegi i tyngdefeltet: Definition (Potentiel enegi i Jodens tyngdefelt) Den potentielle enegi fo et legeme med massen m, som befinde sig i Jodens tyngdefelt i afstanden fa Jodens centum, definees ved (5) Epot ed denne definition blive (4) til følgende: (6) Agavitation Epot,+ Epot, Epot Demed kan gavitationskaftens abejde, nå et legeme bevæge sig fa et punkt P til et punkt P, altid udegnes ved blot at tække den potentielle enegi i punktet P fa den potentielle enegi i punktet P, uanset hvilken bane legemet bevæge sig ad! Nu gælde også den såkaldte abejdssætning, som sige at den esulteende kafts abejde e lig med tilvæksten i kinetisk enegi. Vi vil ikke vise den i det geneelle tilfælde he. I tilfældet med gavitationskaften, ha den følgende udseende: (7) Agavitation Ekin Ligningene (6) og (7) vise to udtyk fo A gavitation. De kan sættes lig med hinanden:

4 4 Eik Vestegaad (8) Epot Ekin Ekin Epot Ekin Epot konstant Vi e nu nået fem til det vi kende vældig godt fo det simple tilfælde næ Jodens oveflade. He e som bekendt den mekaniske enegi bevaet: mv + mgh konstant. en noget tilsvaende gælde altså også i tyngdefeltet, nå vi e ude i ummet. ekanisk enegi i tyngdefeltet 3 Den mekaniske enegi i tyngdefeltet e bevaet, dvs. (9) mek konstant E m v G Bemækning 4 Af udtykket fo den potentielle enegi i definition se vi at den e negativ. Hvis man lade afstanden gå mod uendelig, se vi, at den potentielle enegi gå mod 0: (0) Epot 0 fo an kan lidt løst sige, at nulpunktet fo den potentielle enegi e i det uendeligt fjene. Eksempel 5 (Escape-hastigheden) Et godt eksempel på bug af den mekaniske enegi i tyngdefeltet e til at bestemme den såkaldte escape-hastighed elle på dansk undvigelseshastigheden fo en aket på Joden. Spøgsmålet e hvo sto fat aketten skal have på fa stat fo at kunne undslippe Jodens tyngdefelt og i pincippet have nok enegi til at komme helt ud i det uendelige. I det uendeligt fjene e den potentielle enegi ifølge bemækning 4 lig med 0. Det e desuden nok, hvis aketten deude ha en fat på 0. akettens enegi i det uendeligt fjene skal altså væe mindst , undefostået Joule. Defo skal den mekaniske enegi, da den e besvaet, også væe 0 i det øjeblik, hvo aketten folade Jodovefladen. He e, Jodens adius. Vi kan opstille følgende ligning: Emek 0 v 0 v v v 4 Indsættes 637km, 5,976 0 kg og G 6, N m kg, fås følgende vædi fo escape-hastigheden: v 88 m/s. På vej ud i ummet vil aketten få højee og højee potentiel enegi og tilsvaende lavee kinetisk enegi. Så faten vil altså aftage udefte.

5 Eik Vestegaad 5 Den potentielle enegi kan opfattes som en slags opspaet enegi. Hvis et legeme fa staten befinde sig i o et sted i Jodens tyngdefelt, så vil det blive acceleeet ind mod Joden, hvis det slippes. Heved vil en del af legemets opspaede potentielle enegi blive omsat til kinetisk enegi. Bemækning 6 I dette afsnit ha vi kigget på tiltækningen mellem to legeme og ladet som om det udelukkende e meteoet de bevæge sig og ikke Joden. Det e da også en supe god appoksimation, fodi Jodens masse e så meget støe end meteoets. Hvis de va tale om et legeme med en masse, som blot va lidt minde end Jodens, så ville Joden også bevæge sig mækbat. I så fald skal man til at kigge på systemets tyngdepunkt. Det ligge udenfo denne notes hensigt. Bevægelse i solssystemet Vi ha ovenfo udelukkende fokuseet på Jodens tyngdefelt, som om det kun e det pågældende himmellegeme og så Joden, de tække i hinanden. I paksis vil de ofte væe flee himmellegeme, de skal tages hensyn til, afhængigt af hvo stoe dees masse e, og hvo langt bote de e. Nå ekspete egne på bevægelsene af himmellegemene i vot solsystem, så e de nødt til at egne på et telegemepoblem elle et mangelegemepoblem fo at få nøjagtige foudsigelse. o Jodens bevægelse om Solen kan vi som en gov model godt antage, at de kun findes Joden og Solen, og at det e Joden, som bevæge sig undt om Solen samt at Solen i øvigt e upåviket. Ifølge Keples. lov bevæge planetene sig omking Solen i en ellipsebane med Solen i det ene bændpunkt. Ved hjælp af gavitationsloven () va Newton i stand til at udlede dette teoetisk. Det skal vi natuligvis ikke gøe he, blot oveveje nogle få ting. iguen vise, hvodan de to objekte påvike hinanden med den centale gavitationskaft. Hvis planeten ikke havde haft fat på til siden, så ville den have foetaget et diekte styt ned mod Solen. Planet Solen

6 6 Eik Vestegaad Heldigvis ha planeten denne fat undt i banen. Hvis man lægge den kinetiske enegi sammen med den potentielle enegi, så vil man få et negativt tal. De gælde nemlig den egel, at objekte, de bevæge sig i en ellipsebane omking Solen ha en negativ mekanisk enegi: E mek < 0. Bevægelsen e bundet. Deimod e objekte, de beskive en paabelbane elle en hypebelbane, kaakteiseet ved henholdsvis en mekanisk enegi på 0 og en positiv mekanisk enegi. I begge de sidstnævnte tilfælde vil objektet kun komme ind omking Solen en enkelt gang, fø det igen vil fosvinde fo stedse! Det e ubundne bevægelse. Tilbage til planetene med dees ellipsebane. o dem postuleede Keple i sin. lov, at de ovestyge lige stoe aeale i lige stoe tidsum (aealhastigheden e konstant). Det ha umiddelbat som konsekvens, at planeten bevæge sig hutigee, nå den e tættee på Solen. Denæst e de Keples 3. lov, som udtykke en 3 sammenhæng mellem omløbstiden T og middelafstanden a til Solen: T a konstant. ed denne lov kan man blandt andet foudsige, at planete, de ligge længee fa Solen, ha en støe omløbstid. v Joden Solen Joden bevæge sig omtent i en jævn cikelbevægelse omking Solen. Ellipsen e altså næsten en cikel. Det betyde, at vi i en tilnæmelse kan benytte fomlene fo jævn cikelbevægelse. He gælde blandt andet følgende fomel fo acceleationen a v og følgende fomel fo hastigheden: v π T. Den esulteende kaft på Joden e gavitationskaften (), hvo dog he skal stå fo Solens masse og m fo Jodens masse! Ifølge Newtons. lov e es a. Det give følgende: () v a es Hvis man dividee på begge side med m og gange med og endelig tage kvadatoden på begge side af lighedstegnet, fås: () v Vi se, at hastigheden af Joden ikke afhænge af Jodens masse, men kun af Solens!

7 Eik Vestegaad 7 Vi ha nu to udtyk fo hastigheden. Dem kan vi sætte lig med hinanden: (3) π T T 3 4 π 4 π T Hemed ha vi faktisk udledt Keples 3. lov i specieltilfældet med en jævn cikelbevægelse, da højesiden i (3) e en konstant! Tyngdeacceleationen på Joden Vi skal benytte gavitationsloven samt Newtons. lov til at bestemme en vædi fo den velkendte tyngdeacceleation g. Vi tænke os en peson, som stå på Jodens oveflade og slippe en genstand med massen m. Den esulteende kaft på genstanden e klat massetiltækningen mellem Jod og objekt med henholdsvis masse og m. Afstanden mellem objektene kan med meget god tilnæmelse sættes lig med Jodens adius. Joden m es m a Det give anledning til følgende ligning: m (4) a es a ed talvædiene fo G, og fa eksempel 5 give det velkendte vædi fo tyngdeacceleationen på Joden. a 9,8 m s, hvilket e den