Vektorer og trigonometri

Vektorer og trigonometri 6. 0. egreber, sætninger og formler, du skal kende fra kapitel 5...07 2. Hvad er en vektor?...2 3. Vektorer i et koordinatsystem...4 4. Pythagoras sætning og længden af en vektor...8 5. Ensvinklede trekanter og skalering...9 6. Trigonometriske beregninger...22 7. Skalarprodukt af vektorer... 26 8. Projektioner...30 9. Tværvektor...3 0. Determinanter, arealberegning og sinusrelationerne...3. Udfordrende opgaver...36 6.0 egreber, sætninger og formler, du skal kende fra kapitel 6 Opgave 6. a) Omtrent hvornår begyndte man den opmåling af Danmark, der førte frem til tegning af forholdsvis nøjagtige kort? b) Man tidsinddeler verdenshistorien i nogle større perioder, som du fx kan finde markeret på indersiden af grundbogens omslag. I hvilken periode var det, opmålingen af verden foregik? Opgave 6.2 I Frankrig, der var foregangsland i arbejdet med opmålingen af verden, havde man en ambition om at standardisere måleenhederne. Det første til, at man fastlagde en ny enhed, der blev kaldt en meter. Hvilke måleenheder brugte man i Danmark på den tid? Opgave 6.3 Opmålingen foregik i alle lande ved anvendelse af triangulering. Forklar den grundlæggende ide heri. 07

Opgave 6.4 a) Opmålingen af Danmark blev lagt i hænderne på en bestemt institution. Hvilken? b) aspar Wessel, der var ansat af denne institution, udviklede nogle nye ideer til at lette det store beregningsarbejde, og han sammenfattede disse ideer i en afhandling. Hvad var den revolutionerende nye matematiske teori, aspar Wessel her fremlagde? Opgave 6.5 aspar Wessel taler om regning med linjestykker, der har en længde og en retning. a) Hvordan adderes to linjestykker? b) Hvad er det modsatte linjestykke til en linje ab? c) Hvordan foretages subtraktion af linjestykker? d) Hvilke regneregler gælder for addition af linjestykker? Opgave 6.6 a) Hvordan foretages multiplikation af to linjestykker? aspar Wessel indfører en ny enhed ved siden af tallet, og han indfører et symbol ε for den nye enhed. b) Hvor afsættes den nye enhed i koordinatsystemet? c) Udregn ε 2 med brug af den opskrift, der er givet under punkt a). Hvad ser du? d) Udregningen i punkt c) giver anledning til en anden måde at skrive ε på. Hvilken? Opgave 6.7 Med de komplekse tal tager vi skridtet fra éndimensionale tal på tallinjen til todimensionale tal i planen. I matematik forsøger vi ofte at generalisere. Men hvad var det, den irske matematiker Hamilton opdagede i 843? Opgave 6.8 a) Hvad er en vektor, og hvordan repræsenterer vi vektorer geometrisk? b) Givet to punkter, og. Hvad forstår vi ved vektoren? c) Givet en vektor. Hvad forstår vi ved den modsatte vektor til denne? Hvilket symbol anvender vi for denne modsatte vektor? Illustrer med vektoren. d) Hvad er en skalar? 08

6. Vektorer og trigonometri Opgave 6.9 a) Hvordan adderes vektorer geometrisk? b) Hvordan subtraheres vektorer geometrisk? En subtraktion af to vektorer kan omskrives til en addition. Hvordan? c) For addition af vektorer gælder den kommutative lov og den associative lov. Hvad siger de to love? Opgave 6.0 a) Hvad siger indskudsreglen? b) Gennemfør et argument for denne. Opgave 6. a) Hvordan multipliceres en vektor med en skalar? b) For multiplikation af skalarer på vektorer gælder de distributive regler. Hvad siger de? Opgave 6.2 a) Hvad er nulvektoren? b) Hvad kaldes vektorer, som vi ved ikke er nulvektoren? Opgave 6.3 a) Hvad er en stedvektor til et punkt P? b) Hvordan defineres koordinaterne til en vektor? Opgave 6.4 Opskriv på koordinatform regnereglerne for addition, subtraktion og multiplikation af en vektor med en skalar. Opgave 6.5 Givet koordinaterne til punkterne og. Hvad er koordinaterne til forbindelses- vektoren? 09

Opgave 6.6 a) Hvad siger Pythagoras læresætning? Formuler den både med ord og som formel. b) Hvordan udregnes længden af en vektor, når vi kender koordinaterne? c) Hvordan udregnes afstanden mellem to punkter, hvor vi kender deres koordinater? Opgave 6.7 a) Givet to vektorer a og b. Hvordan kan vi udtrykke påstanden a og b er parallelle med en formel? b) Hvad forstår vi ved en enhedsvektor? Hvordan bestemmer vi en enhedsvektor med samme retning som vektor a? Opgave 6.8 a) Hvordan defineres, at to figurer er ensvinklede? b) Hvordan defineres, at to figurer er ligedannede? Opgave 6.9 a) Hvordan regnes opgaver om ensvinklede trekanter? Illustrer gerne med et eksempel. b) Hvad kaldes det tal k, der indgår i udregningerne med ensvinklede trekanter? Opgave 6.20 a) Hvad forstår vi ved enhedscirklen? b) Forklar begreberne retningspunkt og retningsvektor for en vinkel, samt retningsvinkel for et punkt på enhedscirklen. Opgave 6.2 a) Hvad er definitionen på cosinus og på sinus til en vinkel? b) Hvad er definitionen på tangens til en vinkel? c) Ud fra enhedscirklen får vi de såkaldte overgangsformler for cosinus og sinus. Hvad siger disse formler? Opgave 6.22 osinus og sinus kan anvendes til beregninger af ukendte sider og ukendte vinkler i retvinklede trekanter. Hvilke formler vil du anvende? Illustrer gerne med eksempler. 0

6. Vektorer og trigonometri Opgave 6.23 a) Hvad er definitionen på skalarproduktet af to vektorer? b) Hvad får vi, hvis vi udregner skalarproduktet af en vektor med sig selv? Opgave 6.24 Hvad menes med sætningen skalarproduktet er uafhængigt af koordinatsystemet? Opgave 6.25 a) En vigtig formel sammenkæder skalarproduktet og vinklen mellem de to vektorer. Hvad siger formlen? b) Hvordan kan skalarproduktet afgøre, om to vektorer er ortogonale? Opgave 6.26 a) I enhver trekant gælder cosinusrelationerne. Redegør for formlerne. b) For at foretage beregninger i en trekant skal vi normalt kende tre ud af de i alt seks vinkler og sider. Hvilke af trekantstilfældene kan løses med cosinusrelationerne? Opgave 6.27 a) Hvad menes med projektionen af et punkt på en linje? Tegn og forklar. b) Hvad menes med projektionen af en vektor på en linje (eller på en vektor)? c) Givet to vektorer a og b. Der findes en formel, der angiver projektionen af vektor a på vektor b. Hvordan ser den formel ud? Opgave 6.28 Hvad forstår vi ved tværvektoren til en vektor? Opgave 6.29 a) Hvad er definitionen på determinanten det( a, b ) af vektorparret ( a, b )? b) Der findes et særligt determinantsymbol, hvor vektorerne indgår med deres koordinater. Forklar dette. Opgave 6.30 a) Hvad er sammenhængen mellem determinant og areal? b) Hvad er sammenhængen mellem determinanten det( a, b ) og vinklen mellem vektorerne?

Opgave 6.3 a) I enhver trekant gælder sinusrelationerne. Redegør for formlerne. b) For at foretage beregninger i en trekant skal vi normalt kende tre ud af de i alt seks vinkler og sider. Hvilke af trekantstilfældene kan løses med sinusrelationerne? Opgave 6.32 I beregninger med brug af sinusrelationerne skal man være opmærksom på den såkaldte sinusfælde. Hvad menes hermed? 5 4 y 6.2 Hvad er en vektor? Opgave 6.33 Figuren viser to vektorer a og b. a) Tegn de to vektorer på et kvadreret papir. b) Tegn på det kvadrerede papir de to summer af de to vektorer. 3 b 2 a 0 2 3 x c) Tegn på det kvadrerede papir de to differenser af de to vektorer. d) Tegn på det kvadrerede papir fire vektorer, der er a multipliceret med henholdsvis 2, 5, og 3. e) Tegn på det kvadrerede papir fire vektorer, der er b multipliceret med henholdsvis 2, 5, og 3. f) Tegn på det kvadrerede papir de fire vektorer, der er 3a + 4b, 2a + b, 5a 3b og 7a 8b. 5 y Opgave 6.34 Figuren viser to vektorer a og b. a) Tegn de to vektorer i et matematisk værktøjsprogram. 4 3 2 b b) Tegn i det matematiske værktøjsprogram de to summer af de to vektorer. c) Tegn i det matematiske værktøjsprogram de to differenser af de to vektorer. a 0 2 3 x d) Tegn i det matematiske værktøjsprogram de fire vektorer, der er a multipliceret med henholdsvis 2, 5, og 3. e) Tegn i det matematiske værktøjsprogram de fire vektorer, der er b multipli-ceret med henholdsvis 2, 5, og 3. f) Tegn i det matematiske værktøjsprogram de fire vektorer, der er 3a + 4b, 2a + b, 5a 3b og 7a 8b. 2

6. Vektorer og trigonometri Opgave 6.35 Figuren viser to vektorer a og b. a) Tegn de to vektorer på et kvadreret papir. b) Tegn på det kvadrerede papir de to summer af de to vektorer. c) Tegn på det kvadrerede papir de to differenser af de to vektorer. d) Tegn på det kvadrerede papir fire vektorer, der er a multipliceret med henholdsvis 2, 5, - og -3. e) Tegn på det kvadrerede papir fire vektorer, der er b multipliceret med henholdsvis 2, 5, og 3. f) Tegn på det kvadrerede papir de fire vektorer, der er 3 a + 4b, 2a + b, 5a 3b og 7a 8b. b a Opgave 6.36 Figuren viser to vektorer a og b. a) Tegn de to vektorer i et matematisk værktøjsprogram. b) Tegn i det matematiske værktøjsprogram de to summer af de to vektorer. c) Tegn i det matematiske værktøjsprogram de to differenser af de to vektorer. d) Tegn i det matematiske værktøjsprogram de fire vektorer, der er a multipliceret med henholdsvis 2, 5, og 3. e) Tegn i det matematiske værktøjsprogram de fire vektorer, der er b multipliceret med henholdsvis 2, 5, og 3. f) Tegn i det matematiske værktøjsprogram de fire vektorer, der er 3a + 4b, 2a + b, 5a 3b og 7a 8b. b a Opgave 6.37 Figuren viser tre vektorer a, b og c. a) Tegn de tre vektorer på et kvadreret papir. b) Tegn på det kvadrerede papir summer af de tre vektorer. c) Tegn på det kvadrerede papir differenser af to af vektorerne. d) Tegn på det kvadrerede papir de fire vektorer, der er 3a + 4b + 2c, 2a + b 3c, 5a 3b 8c og 7a 8b + c. a b c 3

Opgave 6.38 Figuren viser tre vektorer a, b og c. a) Tegn de tre vektorer i et matematisk værktøjsprogram. a b c b) Tegn i det matematiske værktøjsprogram summen af de tre vektorer. c) Tegn i det matematiske værktøjsprogram differensen af to af vektorerne. d) Tegn i det matematiske værktøjsprogram de fire vektorer, der er 3a + 4b + 2c, 2a + b 3c, 5a 3b 8c og 7a 8b + c. 6.3 Vektorer i et koordinatsystem Opgave 6.39 Vi har givet to vektorer på koordinatform 2 a og 3 b. 3 5 Tegn fire repræsentanter for henholdsvis a og b i et koordinatsystem. Opgave 6.40 Kontrol af sum- og differensformlen To vektorer er givet ved a 3 4 og b 7 2. a) Tegn på kvadreret papir (baggrund med gitterlinjer) de to vektorer, således at de ligger i forlængelse af hinanden. Tegn sumvektoren a + b, dvs. den vektor der går fra a s begyndelsespunkt til b s endepunkt. b) estem ved aflæsning sumvektorens koordinater, og vis, at man får det samme, hvis man lægger vektorernes x-koordinater hhv. y-koordinater sammen. c) Gentag processen, idet du nu tegner differensvektoren a b, idet du udnytter, at a b a +( b ). 4

6. Vektorer og trigonometri Opgave 6.4 y På figuren er repræsentanter for en række vektorer indtegnet. a) estem koordinaterne for vektorerne. b) estem koordinater for differensvektorerne a b, a d, d c, g b, tegn repræsentanter for hver af dem, og kontroller dine resultater ved aflæsning. c) Udnyt den geometriske beskrivelse af vektoraddition til at tegne følgende vektorer: ) a + b 2) g + d 3) a + d + 2c b c a d g f x Udregn koordinaterne og kontroller resultaterne ved aflæsning af koordinaterne. Opgave 6.42 Dynamisk model for sumformlen a) fsæt de to frie punkter og i et matematisk værktøjsprogram. b) Tegn de to stedvektorer O og O i værktøjsprogrammet. c) fsæt vektoren O ud fra punktet. d) Marker det nye endepunkt som, og afsæt vektoren O. e) fprøv den dynamiske illustration, så punktet flyttes, og beskriv sammen- hængen mellem koordinaterne til vektorerne O, O og O. f) fprøv den dynamiske illustration, så punktet flyttes, og beskriv sammen- hængen mellem koordinaterne til vektorerne O, O og O. Opgave 6.43 Kontrol af formlen for skalarmultiplikation To vektorer er givet ved a 3 4 og b 7 2. a) Gang koordinaterne for vektor a med 2, og tegn den nye vektor 2 a i samme koordinatsystem. Svarer den nye vektor til to vektor a lagt i forlængelse af hinanden? b) Gang koordinaterne for vektor b med 2, og tegn den nye vektor 2 b i samme koordinatsystem. Svarer den nye vektor til en halv vektor b? 5

y Opgave 6.44 b c a d x Figuren viser repræsentanter for vektorerne a, b, c og d. a) estem koordinaterne for a, b, c og d. b) Tegn repræsentanter for 3 a, 2 b, c og 4 d, og bestem koordinaterne. c) Tegn repræsentanter for a + b og c + d, og bestem koordinaterne. Opgave 6.45 Tre vektorer er givet ved a 2 2, b 5 3 og c 4 0 a) Tegn en repræsentant for a + b i et koordinatsystem, og bestem koordinaterne. b) Tegn en repræsentant for a + c i et koordinatsystem, og bestem koordinaterne. c) Tegn en repræsentant for a + b + c i et koordinatsystem, og bestem koordinaterne. d) Tegn en repræsentant for 3 a i et koordinatsystem, og bestem koordinaterne. e) Tegn en repræsentant for 7 c i et koordinatsystem, og bestem koordinaterne. Opgave 6.46 Vi har i et koordinatsystem givet punkterne (5,7), ( 2,), (0, 3). estem koordinaterne for vektorerne,,, og. Opgave 6.47 Vi har i et koordinatsystem givet punkterne (7,5), ( 3,3), (8, 3). a) estem koordinaterne for midtpunktet af siderne, og. b) Konstruer midtpunkterne i et geometriprogram, og bestem koordinaterne dér. Opgave 6.48 Vi har de to vektorer a 7 2 og b 3 0. a) Tegn a i et koordinatsystem. b) estem koordinaterne til a + b. c) estem koordinaterne til b. 6 d) estem koordinaterne til 3a 5 b. c e) estem c, så 2a + c 5 b. c 2

6. Vektorer og trigonometri Opgave 6.49 Vi har fire vektorer a 0 2, b 8 5, c 9 20 og d 5 5. a) estem længden af hver af de fire vektorer. b) estem koordinaterne for hver af enhedsvektorerne, der er ensrettet med hver af de fire vektorer. Opgave 6.50 Du har to vektorer a og b, der er parallelle. a) Vælg koordinater for de to vektorer, så de er parallelle. b) Hvordan kan vi ud fra koordinaterne for to vektorer undersøge, om de er parallelle? Opgave 6.5 En vektor a er givet ved a 7 4. a) Tegn en repræsentant for a. b) estem længden af a, og bestem vinklen mellem a og vandret. c) estem b, så a + b 5 3. Opgave 6.52 Vi har punkterne (4,5) og (30,57). estem forbindelsesvektoren og forbindelsesvektoren. Opgave 6.53 Vi har punkterne ( 4,7) og D(25, 0). estem forbindelsesvektoren D og forbindelsesvektoren D. Opgave 6.54 Vi har de to vektorer a 8 5 og b 4. a) Tegn a i et koordinatsystem. b) Tegn a + b i et koordinatsystem. c) estem koordinaterne til a + b. d) estem koordinaterne til b. e) estem koordinaterne til 3a 5b. f) estem c c, så 3a + c b. c2 7

6.4 Pythagoras sætning og længden af en vektor Opgave 6.55 I en retvinklet trekant, hvor 90, er a 6 og b. a) estem c. Opgave 6.56 I en retvinklet trekant, hvor 90, er a 7 og c 20. a) estem b. Opgave 6.57 I en retvinklet trekant, hvor 90, er b 3 og c 0. a) estem a. Opgave 6.58 Der er givet følgende fire vektorer 4 a, 3 b 7, 4 c 3 og 5 d 0. a) eregn længden af hver af de fire vektorer. b) Tegn i et geometriprogram repræsentanter for hver af de fire vektorer. c) estem længden af vektorerne med geometriprogrammets facilitet. Opgave 6.59 Vi har i et 2D koordinatsystem givet punkterne (7,5), ( 3,3), (8, 3). a) estem længderne af linjestykkerne, og. Opgave 6.60 estem afstanden mellem de to punkter. a) (2,4) og (,5) b) ( 5,7) og (, 5) c) ( 8, 0) og (3,5) 8

6. Vektorer og trigonometri Vi vil i de følgende to opgaver se på nogle meget gamle anvendelser af Pythagoras sætning: Opgave 6.6 På en kileskrifttavle, der hedder M 8596, og som er ca. 3500 år gammel, findes en opgave om en pæl, der står lænet op ad en mur. Pælens længde er 30. a) Hvor langt er pælen gledet væk fra muren (a), når den er gledet 3 ned ad muren (x)? b) Hvor langt er pælen gledet ned ad muren (x), når den er gledet 5 væk fra muren (a)? x c x c Opgave 6.62 Den kinesiske matematik var grundlæggende algebraisk, og de matematiske problemer, kineserne beskæftigede sig med, var ligesom andre steder i verden hovedsagelig af praktisk karakter. Med "De ni kapitler om den matematiske kunst" begynder en ny matematisk tradition i Kina. Værket består af en samling matematiske problemer, som mange forskellige personer har bidraget til over flere århundreder. Den første egentlige bog kom nogenlunde samtidigt med Euklids Elementer, dvs. i år 300 f.v.t., men den udgave, vi kender i dag, er fra 263 e.v.t. Problem 3 i kapitel 9 handler om udnyttelse af den pythagoræiske læresætning (se også figuren): Man har et bambusrør, som er 0 ch'ih højt. Det er knækket, og den øverste ende rører jorden 3 ch'ih væk fra roden. Find højden af knækket. a) Løs problem 3. a P 6.5 Ensvinklede trekanter og skalering Opgave 6.63 På et kort er målestoksforholdet :200000. a) På kortet måles afstanden mellem to byer til 5 cm. estem afstanden i virkeligheden. b) I virkeligheden er afstanden mellem to byer 00 km. estem afstanden mellem de to byer på kortet. 9

Opgave 6.64 En person har tre forskellige kort over samme område, hvor det ene kort er tegnet med målestoksforholdet :00000. Det andet kort er tegnet med målestoksforholdet :50000, og det tredje kort er tegnet med målestoksforholdet :25000. a) I området er der 20 km mellem to byer. estem afstanden mellem de to byer på de tre kort. b) Hvilket kort vil indeholde flest detaljer? Opgave 6.65 Trekanterne og DE er ensvinklede. Nogle af trekanternes mål er 5, D 5, 6 og E 2. a) estem skaleringsfaktoren mellem de to ensvinklede trekanter. b) estem siderne og DE. D E Opgave 6.66 Trekanterne og er ensvinklede. Siderne a 20, b 60, a 000 og c 2500. a) estem siderne c og b. Opgave 6.67 0 4,8 7 7,5 Trekanterne og er ensvinklede. Nogle af trekanternes mål fremgår af figuren. a) estem længden af siden og længden af siden. (hf- eksamen august 2006) Opgave 6.68 Q Q Figuren viser to ensvinklede trekanter PQR og P Q R 9,5 25,5 30,6 a) estem længden af siden P Q. (hf- eksamen maj 2007) P R P R 20

6. Vektorer og trigonometri Opgave 6.69 En afstand over en sø skal bestemmes. a) estem afstanden, når og D er parallelle. 700 m 200 m D 240 m Opgave 6.70 I punktet står der en person, og i punktet er der en mast. Fra punktet H kan personen se toppen af masten, dvs. punktet, bliver reflekteret i en vandpyt i punktet D. a) estem højden af masten, dvs. længden af. H 80 cm D 500 cm 2,60 m Opgave 6.7 For to ensvinklede trekanter og 2 2 2 gælder det, at 2 2 3. a) estem forholdet mellem h og h 2, hvor h er højden fra, og h 2 er højden fra 2. b) estem forholdet mellem arealet af trekant og trekant 2 2 2. 2

6.6 Trigonometriske beregninger Opgave 6.72 a) Tegn enhedscirklen. b) fsæt i. kvadrant en vinkel v, der er mindre 90. c) Marker den tilhørende retvinklede trekant. d) Hvad er siderne i denne trekant I? e) fsæt også vinklen 90º v i. kvadrant. f) Marker den tilhørende retvinklede trekant. g) Hvad er siderne i denne trekant II? h) Hvad gælder der om trekant I og II? i) rgumenter for cos(90 v) sin(v) og sin(90 v) cos(v). Opgave 6.73 a) Tegn enhedscirklen. b) fsæt en vinkel v, der er større end 90 og mindre end 80. c) Marker den tilhørende retvinklede trekant i 2. kvadrant. d) Hvad er siderne i denne trekant I? e) fsæt i. kvadrant vinklen 80 v. f) Marker den tilhørende retvinklede trekant. g) Hvad er siderne i denne trekant II? h) Hvad gælder der om trekant I og II? i) rgumenter for sin(80 v) sin(v) og cos(80 v) cos(v). Opgave 6.74 I) II) b Vi har to retvinklede trekanter. a) estem den ukendte vinkel og de ukendte kateter for de to trekanter. a b c 8,5 c 6,5 a 30 40 22

6. Vektorer og trigonometri Opgave 6.75 Vi har to retvinklede trekanter. a) estem den ukendte vinkel, den ukendte katete og den ukendte hypotenuse i begge trekanter. I) b 5,6 a II) F e d 2,33 c 50 D 25 f E Opgave 6.76 Vi har to retvinklede trekanter. a) estem den ukendte side og de ukendte vinkler i de to trekanter. I) II) b a 6,8 F e d 5 c 3,9 D f 5 E Opgave 6.77 Figuren viser en trekant, hvor vinkel er ret. a) estem og vinkel. b) estem længden af højden fra på siden. 3,6 (hf- eksamen maj 2006) 8,4 Opgave 6.78 Figur 2 viser en del af en fodboldbane, hvor en spiller skal sparke frispark fra punktet. 8 m mål 7,32 m D a) estem og vinkel i trekant. b) estem vinkel i trekant D (dvs. den vinkel, som spilleren ser målet under). (hf- eksamen august 2007) 20 m Figur Figur 2 23

Opgave 6.79 3 cm H 30 cm 26 cm Figur Figur 2 Figur viser en sekskantet drage. På figur 2 er nogle af dragens mål angivet. a) estem vinkel i trekant H. estem H. b) estem vinkel i trekant. (hf- eksamen december 2007) Opgave 6.80 F 66 cm E D Figur Figur 2 42,9 40 cm Figur viser et telt. Figur 2 viser et længdesnit gennem teltet. Nogle af målene fremgår af figuren. a) estem teltets højde. estem længden af siden. b) estem vinkel E i trekant DEF. (hf- eksamen december 2008) Opgave 6.8 Fotoet på figur viser facaden af Ishavskatedralen i den norske by Tromsø. Figur 2 viser en modeltegning af facaden. Nogle af målene fremgår af figur 2. 38 m 38 m a) estem Ishavskatedralens højde H. b) estem arealet af Ishavskatedralens facade. 67 67 H (hf- eksamen maj 2009) Figur Figur 2 Opgave 6.82 Figuren viser en retvinklet trekant, hvor D halverer vinkel. Nogle af målene fremgår af figuren. 5,0 D a) estem vinklen v. b) estem arealet af trekant. v v 4,5 (hf- eksamen august 2009) 24

6. Vektorer og trigonometri Opgave 6.83 Hvis en,5 meter høj cyklist befinder sig i området D, kan chaufføren ikke se cyklisten gennem sideruden (se figurerne). a) estem vinkel i trekant ED. b) estem længden af D.,5 m 8,0 m E 2,5 m D Øje (hf- eksamen december 2009) Opgave 6.84 Figuren viser en bordplade, der har form som et ligebenet trapez, hvor siderne og D er parallelle. Nogle af målene fremgår af figuren. 70 cm a) estem vinkel i trekant E. b) estem længden af E. estem arealet af bordpladen. (hf- eksamen juni 200) 70 cm 70 cm 35 cm E D Opgave 6.85 På Møns Klint har der gennem tiden været mange nedstyrtninger. På nedenstående geometriske modeller ses et lodret snit gennem klinten før og efter en nedstyrtning. E F F før efter 0 m 0 m Møns Klint Figur (størrelsesforholdene er ikke korrekte) Figur 2 I modellen antager man, at materialet inden for rektanglet DEF styrter ned og danner trekant. Nogle af trekantens mål fremgår af figur 2. a) estem højden af det nedstyrtede materiale. I modellen antager man desuden, at trekant og rektanglet DEF har samme areal. Klinten er 0 meter høj. b) estem bredden D af det stykke af klinten, der styrtede ned. (hf- eksamen august 200) D 30 20 m 25

Opgave 6.86 200 m P w v Fra et punkt P på en 200 m høj klippe observeres to skibe på havet. Skibene befinder sig henholdsvis i positionerne og. Vinklen mellem vandret og sigtelinjen fra P til og mellem vandret og sigtelinjen til P måles til henholdsvis w 32 og v 24. a) estem afstanden fra til. (stx- eksamen august 2008) Opgave 6.87 En vektor er givet ved a 5 6. a) estem længden af a. b) estem vektor a s vinkel med den positive del af. aksen y Opgave 6.88 Figuren viser repræsentanter for vektorerne a og b. b a a) estem længderne af a og b. b) estem vinklen mellem repræsentanterne for a og b og den positive del af x-aksen. x 6.7 Skalarprodukt af vektorer Opgave 6.89 To vektorer er givet ved a 3 5 og b 0 6 Gør rede for, at de to vektorer er ortogonale. (stx eksamen net maj 202 uden) Opgave 6.90 I planen er der givet to vektorer, t 2 a og 5 estem tallet t, så vektorerne a og b er ortogonale. (stx eksamen maj 2008 uden) 3 b 3, hvor t er et tal. 26

6. Vektorer og trigonometri Opgave 6.9 4 To vektorer er givet ved a og 3 2 b, hvor t er et tal. t a) Tegn i et geometriprogram repræsentanter for a og for fem forskellige udgaver af b. 2 b) Sæt OP t, og give en sproglig beskrivelse af, hvor i planen punkterne P t t ligger for et vilkårligt t. c) Giv ud fra din geometriske konstruktion et bud på for hvilken værdi af t, a og b er ortogonale. d) eregn værdien af tallet t, så a og b er ortogonale. Opgave 6.92 I et koordinatsystem er to vektorer givet ved a 2 t og 3 + 2t b, hvor t er et tal. 4 a) Tegn i et geometriprogram repræsentanter for a og b for fem forskellige værdier af t. 2 Sæt OP 3 2t t, og OQ + t t. 4 b) Giv en sproglig beskrivelse af, hvor i planen punkterne P t og Q t ligger for et vilkårligt t. c) Konstruer OPt og OQ t ved hjælp af en skyder for tallet t, og giv ud fra din geometriske konstruktion et bud på for hvilken værdi af t, a og b er ortogonale. d) eregn værdien af tallet t, så a og b er ortogonale. Opgave 6.93 estem tallet t, så vektorerne a 2t og 5t b 3 er ortogonale. (stx eksamen juni 200 uden) Opgave 6.94 I et koordinatsystem er to vektorer a og b bestemt ved 2 a t og b t + 3 a) estem de værdier af t, der gør a og b ortogonale. b) Tegn vektorerne for de pågældende værdier af t. (aseret på stx eksamen maj 20 uden) 27

Opgave 6.95 4 Vi har givet to vektorer a og 5 6 b 5. fgør uden at tegne vektorerne eller beregne vinklen, om vinklen mellem disse to vektorer er ret, spids eller stump? Opgave 6.96 I et koordinatsystem er to vektorer a og b bestemt ved a 2 og b 3 2 estem vinklen mellem a og b. Opgave 6.97 I et koordinatsystem er givet vektorerne a t 2 og b 3 t hvor t er et tal. estem for t 4 vinklen mellem a og b. Opgave 6.98 To vektorer er givet ved a 2 8 og b 3 9. a) Tegn repræsentanter for a og b i et koordinatsystem med et matematisk værktøjsprogram. b) estem vinklen mellem a og b med et matematisk værktøjsprogram. c) estem vinklen mellem a og b vha. prikproduktet. Opgave 6.99 I en trekant kendes tre størrelser, se figuren. b 0 a 3,47 a) estem vinkel. b) estem vinklerne og. c 0 Opgave 6.00 I en trekant kendes tre størrelser, se figuren. b,88 a) estem siden a. 52 c 8 b) estem vinklerne og. 28

6. Vektorer og trigonometri Opgave 6.0 Figuren viser et koordinatsystem med en model af en helikopterrute på et bestemt tidspunkt af året mellem to byer og D. Enheden i koordinatsystemet er km. Modellen af helikopterruten er opdelt i tre strækninger S, S 2 og S 3, der hver kan beskrives ved en vektor. Koordinaterne for de fire punkter er: (0,0), (33,8), (27,28) og D(32,4). Opgaven løses i dit matematiske værktøjsprogram. a) Plot punkterne og tegn forbindelsesvektorerne, og D op som vist på figuren. b) Skriv stedvektorerne til punkterne ind. c) eregn forbindelsesvektorerne,, D og D ud fra stedvektorerne, idet der fx gælder, at: O O. d) estem ved måling på din konstruktion længden af helikopterruten D. y 50 40 30 20 0 S 3 S 2 S D v 0 20 30 40 x e) Hvor meget længere er ruten D i forhold til den direkte rute D? Hvilken regel fortæller, at man havner samme sted i begge tilfælde? f) estem ved måling på din konstruktion vinklen v, som helikopteren skal dreje ifølge modellen, når ruten skifter mellem de to strækninger S og S 2. Opgave 6.02 I trekant er der givet siderne 8, 2 og 5. a) Konstruer trekanten i et dynamisk geometriprogram, og forklar udførligt konstruktionstrinene. b) estem vha. det dynamiske geometriprogram de ukendte vinkler. Opgave 6.03 I trekant er der givet siderne 9, 0 og en mellemliggende vinkel på 35. a) Konstruer trekanten i et dynamisk geometriprogram, og forklar udførligt konstruktionstrinene. b) estem vha. det dynamiske geometriprogram den side og de ukendte vinkler. 29

Opgave 6.04 I trekant er 72, b 4, og c 3,8. a) Tegn en model af trekanten, og beregn længden af siden a. b) eregn længden af højden på siden b. (stx- eksamen maj 2007) Opgave 6.05 Til venstre ses en skitse af trekant DH og firkant D. 5 6 5 6 a) estem D i trekant DH. b) estem D og i firkant D. H D 7 D (stx- eksamen maj 2008) 6.8 Projektioner Opgave 6.06 I et koordinatsystem er to vektorer a og b bestemt ved a 2 3 og b 2 a) estem tallet s, således at a + s b og v er ortogonale. b) estem koordinatsættet til projektionen af a på b. (stx eksamen december 2008 med) Opgave 6.07 I et koordinatsystem er to vektorer a og b bestemt ved a 2 og b 3 2 a) estem vinklen mellem a og b. b) estem længden af projektionen af b på a. (stx eksamen august 2009 med) Opgave 6.08 To vektorer er givet ved a 6 2 og b 3 4. estem koordinatsættet til projektionen af a på b. (aseret på stx eksamen december 2009 med) 30

6. Vektorer og trigonometri 6.9 Tværvektor Opgave 6.09 a) Tegn vha. et geometriprogram repræsentanter for følgende vektorer i et koordinatsystem: 0 a b 3 5 2 4 c 2 7 d e 5 f 6 0 b) estem, og indtegn en tværvektor til a, b, d og f. 6.0 Determinanter, arealberegning og sinusrelationerne Opgave 6.0 Vi har givet vektorerne a 3 5 og b 7. a) estem det(a, b ). Hvilken geometrisk betydning har dette tal? b) estem det( b,a ). Sammenlign med det(a, b ). Hvad ser du? Opgave 6. I et koordinatsystem er to vektorer givet ved a t + og b 3 2t 4, hvor t er et tal. a) estem t, så vektorerne a og b er ortogonale b) estem t, så vektorerne a og b er parallelle. (stx eksamen august 2008 uden) Opgave 6.2 I planen er der givet to vektorer a 2 5 og b 3 4. a) estem koordinaterne til c, hvor c a + 2 b ved beregning og konstruktion i dit matematiske værktøjsprogram. b) estem længden af de tre vektorer a, 2 b og c ved måling i dit matematiske værktøjsprogram. c) De tre vektorer a, 2 b og c danner sammen en trekant. estem ved måling vinklerne i trekanten samt trekantens omkreds og areal. 3

Opgave 6.3 I planen er givet tre punkter (, 2), ( 3,4) og (6,). a) Opskriv koordinaterne til stedvektorerne for de tre punkter, og bestem ved beregning i dit matematiske værktøjsprogram koordinaterne til forbindelses- vektorerne,, og,. b) Konstruer de tre punkter, stedvektorer og forbindelsesvektorer i dit matematiske værktøjsprogram, konstruer den tilhørende trekant, og bestem omkreds og areal af trekanten ved måling. Opgave 6.4 estem tallet t, så vektorerne a 2 2t 3 og b 4 7t 5 (stx eksamen august 200 uden) er parallelle. Opgave 6.5 I et koordinatsystem i planen er to vektorer a og b givet ved a 3 t og b 2 8 estem t, så a og b er parallelle. (stx eksamen december 202 uden) Opgave 6.6 I et koordinatsystem er to vektorer a og b givet ved a 3 2 og b 2 5 estem arealet af det parallelogram, som de to vektorer a og b udspænder. (stx eksamen maj 202 uden) Opgave 6.7 I et koordinatsystem er to vektorer a og b bestemt ved a 5 0 og b 6 8 a) estem koordinatsættet til projektionen af a på b. b) estem arealet af parallelogrammet udspændt af a og b. (stx eksamen maj 20 med) 32

6. Vektorer og trigonometri Opgave 6.8 To vektorer i planen er givet ved a 5 4 og b 3 6 estem arealet af det parallelogram, som de to vektorer udspænder. (stx eksamen august 20 uden) Opgave 6.9 I et koordinatsystem i planen er to vektorer a og b givet ved a 3 7 og b 4 a) estem vinklen mellem a og b. b) estem arealet af den trekant, der udspændes af a og b. (stx eksamen august 203 med) Opgave 6.20 To vektorer er givet ved a 8 6 og b 3 t, hvor t er et tal. a) estem t, så de to vektorer er ortogonale. b) estem arealet af det parallelogram, som de to vektorer udspænder, når t 2. (stx eksamen net maj 202 uden) Opgave 6.2 I et koordinatsystem er givet to punkter P(3,) og Q(20,7) samt en vektor a 4 3. a) estem arealet af det parallelogram, der udspændes af vektorerne PQ og a. b) estem koordinatsættet til projektionen af PQ på a. 33

Opgave 6.22 I et koordinatsystem er to vektorer givet ved 2 a 6 og b, hvor t er et tal. 3 t a) estem t, så a og b er ortogonale. b) estem t, så a og b er parallelle. c) Der er to værdier af t, så arealet udspændt af a og b er 0. estem disse to værdier. (efter stx eksamen maj 207, uden) Opgave 6.23 I en trekant kendes tre størrelser, se figuren. a) estem siden b. b a 7 b) estem vinkel. 68,7 c 4,72 c) estem siden c. d) estem arealet af trekant. Opgave 6.24 I en trekant kendes tre størrelser, se figuren. b 5 a 7 a) estem vinkel. b) estem vinkel. c 27,93 c) estem siden c. d) estem arealet af trekant. Opgave 6.25 22 I en trekant kendes tre størrelser, se figuren. a) estem den ukendte vinkel og sider. b) estem arealet af trekant. a 5,57 50 34

6. Vektorer og trigonometri Opgave 6.26 En model af en mark omkranset af vejstykker er beskrevet ved figuren DEF. Punkterne,,, D, E og F er indlagt i et koordinatsystem med enheden km. Koordinaterne for en række af vektorerne er givet ved 0,49, 0,07 DE 0,32 og 0,07 0,32, 0,26 EF 0,70 D, 0,26 0,425. 0,087 E D F 0,5 0 0,5 a) estem koordinaterne for en vektor, der beskriver vejstykket fra F til. b) estem afstanden fra til via. c) estem arealet af marken DEF. d) estem vinklen mellem de to vejstykker og F. Opgave 6.27 En model af en flagstang med flag er indlagt i et koordinatsystem med enheden meter. I modellen er der placeret en projektør i punktet, i punktet er foden til flagstangen placeret og i punktet er flagknoppen placeret. 7 I modellen er 0 og. Flaget er 3 meter bredt og 0 8 2 meter højt, når det er udfoldet som vist på figuren. a) estem afstanden fra projektøren til flagknoppen ifølge modellen. b) estem afstanden fra projektøren til det punkt på flaget, der er længst væk fra projektøren. Flagstangen flyttes, så er uændret, og projektøren flyttes ikke. c) estem koordinaterne til, hvis vinklen mellem en linje fra projektøren til foden af flagstangen og en linje fra projektøren til flagknoppen skal være 30º ifølge modellen. Opgave 6.28 Figuren viser en model af et område, der er beskrevet ved figuren, hvor enheden er km. 3 I modellen er, 59º og 3. 5 a) estem afstanden fra til ifølge modellen. b) estem arealet af området ifølge modellen. 35

Opgave 6.29 a) Scan QR-koden. Læg billedet ind i et koordinatsystem, og aflæs koordinater til forskellige punkter på kortet. b) eskriv en mulig løberute mellem alle de markerede punkter vha. vektorer, så man starter og slutter samme sted. c) estem længden af løberuten. Opgave 6.30 O z 6 T y illedet til venstre viser en flødebolle, der har form som en pyramide med kvadratisk bund. Toppunktet af pyramiden ligger på en linje, der står vinkelret på diagonalernes skæringspunkt i bunden. Den kvadratiske bund har sidelængden 6 cm, og afstanden fra toppunktet til bunden er 6 cm. x 6 6 På figuren er en model af flødebollen indtegnet i et koordinatsystem med enheden cm. a) enyt modellen til at bestemme den vinkel, som en af flødebollens sider danner med flødebollens bund. b) enyt modellen til at bestemme det samlede overfladeareal af flødebollen inklusive bunden. (stx eksamen, maj 205) 6. Udfordrende opgaver 3 D 2 Opgave 6.3 Lad os antage, at vi skal bevæge os fra punktet til punktet. På vejen skal vi hen og røre væggen D. Dette kan selvfølgelig gøres på rigtig mange forskellige måder. a) estem den korteste afstand fra til via D. D 5 D 36

6. Vektorer og trigonometri Opgave 6.32 reddegrader måles fra Ækvator (0 ) til Nordpolen (90 ). P er på v nordlig bredde. (Tilsvarende med sydlig bredde). N P N Nordstjernen P a) Forklar ud fra illustrationen til højre, hvordan du med hjælp fra Nordstjernen kan bestemme din breddegrad. Æ v Æ v Horisonten ved P S S Opgave 6.33 En af de mest berømte lertavler med matematisk indhold fra det gamle abylon har navnet Plimpton 322, opkaldt efter ham der fandt den. Den indeholder en tabel med 4 søjler af tal. Vi har her udeladt søjle. a) Hvis vi opfatter tallene i søjle 2 som bredden af et rektangel og tallene i søjle 3 som diagonalen i dette rektangel, hvordan udregnes da den anden side i rektanglet? Tegn og forklar. b) Kopier tabellen ind i et regneark, og udregn den sidste side. 9 69 3367 52 2 460 6649 3 2709 854 4 65 97 5 39 48 6 229 354 7 799 249 8 54 769 9 496 86 0 45 75 679 2929 2 2592 289 3 77 3229 4 56 53 5 c) I fortolkningen af tabellen antager man, at der er fire fejl, nemlig i de tonede felter med de kursiverede tal. Kan du forklare, hvorfor man mener, der må være fejl her? Hvad skulle der stå? Den første søjle beregnes ud fra søjle 2 og 3 og er knyttet til vinklen mellem diagonalen og siderne i rektanglet. Tavlen tolkes derfor som et udtryk for en tidlig babylonsk trigonometri. Rækkefølgen af tallene ned gennem tavlen er bestemt ved, at disse vinkler kommer i størrelsesorden. Plimptons tabel med tal skrevet i tres-talssystemet. Tabellen rummer fire søjler. Sidste søjle er blot en nummerering. Til venstre har vi skrevet søjlerne 2, 3 og 4 i titalssystemet. Opgave 6.34 Tegningen skal illustrere en situation, hvor en person befinder sig i på en klint, 50 m over havets overflade. Sigtbarheden er ideel, og med en rigtig god kikkert kan man lige ane toppen af en skibsmast, som vi ved er 0 m over havets overflade. er horisonten, set fra. (Målestoksforholdene er ikke korrekte). a) Hvor langt er der til horisontens kant fra, og hvor langt er der til skibet i fugleflugtslinje fra? (Jordens radius er 6370 km). 37

Opgave 6.35 Vi har et rektangulært papir med siderne 32 og 40. Vi bøjer et hjørne, så vi får figuren til venstre. a) estem arealet af den gule trekant ved beregning. b) estem arealet ved konstruktion i et geometriprogram. Kilde: Georg Mohr Opgave 3. 993. Opgave 6.36 Figuren viser en cirkel og en retvinklet trekant, hvor er ret. uestykket D har længden 30, og cirklens radius er 25. a) estem D. D b) estem arealet af den skraverede punktmængde. Kilde: Gemt - men ikke glemt en opgavesamling til matematik, Matematiklærerforeningen i 99. Opgave 6.37 Højdevinkel Regnmåler,5 m Ved placering af regnmålere forsøger man at mindske vindens indflydelse på regndråbernes baner ved hjælp af passende læforhold. Forsøg har vist, at de bedste læforhold opnås, hvis måleren placeres på steder omgivet af vegetation, således at højdevinklen (se figur) regnet fra målerens overkant til toppen af træerne er mellem 5 o og 30 o. Regnmåleren er monteret på en træpind og er,5 m høj. 38

6. Vektorer og trigonometri a) I hvilke afstande fra 5 m høje lægivende træer kan en regnmåler placeres, når højdevinklen skal være mellem 5 o og 30 o. En anden regnmåler er placeret i afstanden 0 m fra lægivende træer, og højdevinklen er målt til 25 o. b) estem højden af de lægivende træer. Kilde: Gemt - men ikke glemt en opgavesamling til matematik, Matematiklærerforeningen i 99. Opgave 6.38 Figuren viser rørledningen i en såkaldt spidsbunderrørledning. Det oplyses, at radius R i den store cirkel er 40 cm, og at radius r i den lille cirkel er 5 cm. a) estem den vinkel, der på figuren er betegnet med v. b) estem arealet af røråbningen. R v Kilde: Gemt - men ikke glemt en opgavesamling til matematik, Matematiklærerforeningen i 99. r Opgave 6.39 Ovenstående figur viser to parabolantenner, der er rettet mod en kommunikationssatellit. Figuren til højre viser en geometrisk model af situationen i det tilfælde, hvor retningen fra antenne til satellit danner en vinkel på 5 o med vandret, og hvor satellittens afstand fra jordens centrum er 42200 km. Jordens radius sættes til 6370 km. 5 5 5 a) estem afstanden mellem satellitten og en af parabolantennerne. b) estem afstanden langs jordoverfladen mellem parabolantennerne. 39

204 Opgave 5.22 a) W(L) 0,00738 L 3,37 b) En aborre på 00 g er 6,8 cm lang. Opgave 5.23 En flyvefærdig unge på 0, kg er 26 døgn gammel. En unge som er 27 døgn gammel vejer 0,3 kg. Opgave 5.24 a 3 og b,5 Opgave 5.25 b 0,47, og overfladearealet af en sø med seks fuglearter er 26400 m 2 Opgave 5.26 a) En 30 mm lang hundestejle vejer 290,9 mg. b) En hundestejle på 000 mg er 46,8 mm lang. Opgave 5.27 a 0,2 og b 20 Opgave 5.28 Variable: v: hastighed, l: bremselængde. Model: l 0,0067 v 2 Opgave 5.29 Variable: p: entrepris, : tilskuerantal. Model: 5562,0355 p 0,5799 Opgave 5.30 a) w 225,6 g. b) w 4,64 g. Opgave 5.3 a) b 0,47, og overfladearealet af en sø med seks fuglearter er 26400 m 2. b) k 3,6. Dette betyder, at når overfladearealet tidobles, vil antallet af fuglearter vokse med 26%. Opgave 5.7 c) a,403 og b 2 k 0,403. Facit Kapitel 6 Opgave 6.-6.32 Ingen facitliste. Opgaverne fungerer som kontrolspørgsmål og/eller oplæg til diskussion i klassen. Opgave 6.4 a) 2 a 4, 5 b 2, 2 c, 2 d 6 4 2, f, g 2 7 b) Udregning af koordinater: a b 2, 0 a d 6, 4 d c, 9 g b 0 Den geometriske konstruktion af differensvektorerne: b a b g b 4 3 2 y a a d g c 5 4 3 2 0 2 3 4 5 6 d f 2 d c Ved aflæsning på tegningen finder vi de samme koordinatsæt. c) Geometrisk konstruktion af sumvektorerne: b a + b 6 5 4 3 2 y 5 4 3 2 0 2 3 4 5 6 c f 2 d a g a + d + 2c g + d Ved aflæsning finder vi samme koordinater som ved udregning: 3 6 a + b 6, g + d 0 0, a + d + 2c 0 x x

Facit Opgave 6.46 7 2 a) 6, 4, 0 7 0, 6 b) 4 5, 9 0 0, 0 Opgave 6.47 5 2, 8 4 5 9 5 0, 7, a) Midtpunkt på : (2,4) på : (2.5,0) på : (7.5,) b) y 5 M (2.00,4.00) 4 3 2 3 2 0 2 3 4 5 6 7 8 2 3 2,53 0,20 8,06 M (2.50,0.00) M (7.50,.00) c) 0,2 2,53 8,06 Opgave 6.48 a) Tegn pil fra (0,0) ud til (7,2) b) c) d) e) 0 a + b 2 33 b 0 6 3a 5b 44 c 46 x Opgave 6.49 a) a 0,2 b 9,4 c 2,9 d 5,8 b) a 0,98 a 0,20 b 0,85 b 0,53 c 0,4 c 0,9 d 0,32 d 0,95 Opgave 6.50 a) Der er uendeligt mange forskellige mulig- 4 0 heder. Et eksempel er a og b. 20 50 b) Man kan undersøge, om der findes en konstant k, så a k b. Hvis der findes en sådan konstant, er den forholdet mellem de to x-koordinater og forholdet mellem de to y-koordinater. Man kan altså beregne disse to forhold og tjekke, om de er ens; i givet fald er vektorerne parallelle. I eksemplet fra a) har vi 0 50 k 2,5. 4 20 Opgave 6.5 a) Tegn pil fra (0,0) ud til (7,4) b) Længden: 8,06, vinklen: 29,74º 22 c) b 29 Opgave 6.52 26 og 52 26 52 Opgave 6.53 29 29 D og D 7 7 205

Opgave 6.54 a) + b) y Opgave 6.59 a) 0,2 2,53 8,06 a + b Opgave 6.60 a) 4,24 b) 2,2 c) 0,9 d),34 c) d) e) a 9 a + b 9 b 54 9 3a 5b 55 3 f) c 39 Opgave 6.55 c 2,5 Opgave 6.56 b 8,7 Opgave 6.57 a 9,5 x Opgave 6.6 a) 3,08 b) 0,42 Opgave 6.62 ambusrøret er knækket i højden 4,55 ch ih over jorden. Opgave 6.63 a) 30 km b) 50 cm Opgave 6.64 a) fstanden er 20, 40 og 80 cm. b) Kortet med :00000 giver flest detaljer. Opgave 6.65 a) k 3 b) 4 og DE 8 Opgave 6.66 c 50 og b 3000 Opgave 6.67 2 og 4 Opgave 6.58 a) a 7, b 58, c 5, d 5 b) y c 5 c 7 6 5 4 3 2 b 7,62 4 3 2 0 2 3 4 5 a b a 4,2 d 5 d x c) L a 4,2, L b 7,62, L c 5, L d 5 Opgave 6.68 P Q 23,4 Opgave 6.69 840 m Opgave 6.70 7,78 m Opgave 6.7 h2 a) 3 h b) T T 9 206

Facit Opgave 6.74 I) 60º, a 7,4 og b 4,25 II) 50º, a 5,0 og b 4,2 Opgave 6.75 I) 40º, a 7,3 og b 4,7 II) F 65º, e 5,5 og f 5,0 Opgave 6.76 I) 55º, 35º og b 5,6 II) D 45º, F 45º og e 7, Opgave 6.77 a) 9, og 23,2 b) h c 3,3 Opgave 6.78 a) 2,5 m og 2,8º b) 5,7º Opgave 6.84 a) 60º b) E 60,6 cm og arealet af bordpladen er 6365,3 cm 2 Opgave 6.85 a),5 m b) D,05 m Opgave 6.86 29, m Opgave 6.87 a) 7,8 b) 50,2º Opgave 6.88 a) a 8,06 og b 3,6 b) v a 29,74º og v b 7,57º Opgave 6.79 a) 29,9º og H 5,0 b) 0,º Opgave 6.80 a) 30, cm og 9, cm b) E 5,6º Opgave 6.8 a) H 35,0 m b) realet er 59,4 m 2 Opgave 6.82 a) v 25,8º b) T 2,8 Opgave 6.89 Prikproduktet giver 0. Opgave 6.90 t 7 Opgave 6.9 a) 3 y a 2 b b 0 0 2 3 4 b x Opgave 6.83 a) 7,4º b) D 3,2 m 2 3 b b 2 b b 3 b) lle punkter P t ligger på linjen x 2. c) t ligger mellem 2 og 3. Tættest på 3. d) t 8. 3 207

Opgave 6.92 a) b b b b 2 0 b 2 4 7 6 5 4 3 2 0 2 ba 2 ba 2 b) Punkterne P t ligger på linjen x 2 (jo større numerisk t-værdi, jo længere væk fra x-aksen) og punkterne Q t ligger på linjen y 4 (for t,5 ligger P t på y-aksen. Jo længere numerisk t-værdien ligger fra t,5, jo længere fra y-aksen ligger punktet) c) Den geometriske konstruktion: d) t 3 4 t 0,75 Opgave 6.93 t Opgave 6.94 0 7 6 5 4 3 2 0 2 b b 3 2 4 3 2 y y 90 a) t 5 b) Vektorerne for pågældende t-værdi: b b 5 3 2 y b a 5 x b a b a 2 b a b a 0 x x Opgave 6.95 Da prikproduktet giver, er vinklen mellem vektorerne spids tæt på 90. Opgave 6.96 Vinklen 82,87 Opgave 6.97 Vinklen 9,44 Opgave 6.98 b) + c) 4,40º Opgave 6.99 a) 9,98º b) 80,0º Opgave 6.00 a) a 7,00 b) 63,78º og 64,22º Opgave 6.0 0 b) O 33, O 27, O 32 og OD 0 8 28 4 33 c) 6 5,, D 32, D 8 0 3 4 d) 63,8 km. e),7 km længere. Indskudssætningen garanterer, at vi lander det samme sted med de to ruter. f) 92,35º. Opgave 6.04 a) a 4,65 b) h c 3,6 Opgave 6.05 a) D 56,4º b) D 86, og 62, Opgave 6.06 a) s 3 0 2 b) a b 4 5 8 5 208

Facit Opgave 6.07 a) Vinklen 82,87 b) b 0,45 a Opgave 6.08 a b 3,2 4,6 Opgave 6.09 a) Geometrisk repræsentation y 4 3 b 2 f a d 6 5 4 3 2 0 2 3 4 5 6 7 e 2 c x Opgave 6. 3 a) t b) t 2 Opgave 6.2 4 a) c 3 b) a 5,39, 2b 0 og c 3,60 c) Vinklerne er 38,9º, 2,3º og 9,8º. Omkredsen er 28,99. realet er 23. Opgave 6.3 3 6 a) O, O, O 2 4 2, 9 7, 6 3 3 b) Omkredsen er 23,43. realet et 24. b) 2 â 0, ˆ 4 b 3, ˆ d 7, ˆ 0 f 6 Opgave 6.4 f b d ˆ 7 6 5 4 3 2 âa 4 5 6 y a 6 5 e 4 3 2 0 2 3 4 5 6 7 2 c b ˆ 3 f ˆ f d x t 3 Opgave 6.5 t 2 Opgave 6.6 real 9 Opgave 6.7 a) a b 3 4 b) real 00 Opgave 6.8 real 8 Opgave 6.0 a) det ( a, b ) 26 realet af parallelogrammet udspændt af de to vektorer giver 26. b) det( b, a ) 26 Der gælder, at det( a, b ) det( b, a) Opgave 6.9 a) 70,84 b) real 2,5 Opgave 6.20 a) t 4 b) real 34 209

Opgave 6.2 a) real 75 8 b) PQ a 6 Opgave 6.22 a) t 4 b) t 9 c) Determinanten skal være 0 eller 0. Så t 4 eller t 4 Opgave 6.23 a) b 5,00 b) 69,57º c) c 7,04 d) T 6, 4 Opgave 6.24 a) 40,98º b),09º c) c 9,96 d) T 6,33 Opgave 6.25 a) 08º, b 2,72 og c 6,92 b) T 7,2 Opgave 6.26 0,06 a) F 0,469 b) 0,707 km c) 0,247 km 2 96,23º Opgave 6.27 a) 0,63 m b) 2,8 m 3,86 c) 0 Opgave 6.28 a) 5,83 km b) 43,73 km 2 Opgave 6.29 Opgave 6.30 a) 63,43º b) 6,5 cm 2 Opgave 6.3 50 Opgave 6.33 c) Vi leder efter tre hele tal, der opfylder Pythagoras. Udregn i et værktøjsprogram som Maple en sequence. Gør som følger i tredje sidste række: seq ( a, 289 ) 2 a 2, a,288, og opsøg de hele tal blandt de 288. Der kan godt være flere svar, som her: 3. række: 36, 6, 240, 255. 2. række: 4033. 9. række: 600. 5. række: 65, 70, 06, 9, 92 Hvis vi ønsker ét svar, skal vi inddrage vinklerne, der skal stå i rækkefølge efter størrelse. Opgave 6.34 Der er 25,2 km til horisonten og 36,5 km fra skibet til klinten. Opgave 6.35 realet af trekanten er 400. Opgave 6.36 a) Vinkel D er 68,76º. b) realet af cirkeludsnittet er 375. Siden er 64,3. realet af trekant er 803,8. realet af den skraverede punktmængde er 803,8 375 428,8. Opgave 6.37 a) fstand mellem 23,38 m og 50,38 m b) Højden er 4,66 +,5 6,6 m Opgave 6.38 a) v 28,96º b) 5864, cm 2 Opgave 6.39 a) Den halve vinkel ved satellitten er 8,38º. fstanden er 28083 km. b) fstanden langs overfladen er 8894. 20